සයින් නීතියට අනුව දෝලනය විස්තර කරන්නේ නම්. දෝලනය

>> හාර්මොනික් කම්පන

§ 22 හාර්මොනික් කම්පන

දෝලනය වන ශරීරයක ත්වරණය සහ ඛණ්ඩාංකය එකිනෙකට සම්බන්ධ වන්නේ කෙසේදැයි දැන ගැනීමෙන්, ගණිතමය විශ්ලේෂණය මත පදනම්ව, නියමිත වේලාවට ඛණ්ඩාංකයේ යැපීම සොයා ගත හැකිය.

ත්වරණය යනු කාලය සම්බන්ධයෙන් ඛණ්ඩාංකයක දෙවන ව්‍යුත්පන්නයයි.ගණිත පාඨමාලාවකින් ඔබ දන්නා පරිදි ලක්ෂ්‍යයක ක්ෂණික වේගය යනු කාලයට අදාළ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංකවල ව්‍යුත්පන්නයයි. ලක්ෂ්‍යයක ත්වරණය යනු කාලයට සාපේක්ෂව එහි වේගයේ ව්‍යුත්පන්නයයි, නැතහොත් කාලයට සාපේක්ෂව ඛණ්ඩාංකයේ දෙවන ව්‍යුත්පන්නයයි. එබැවින්, සමීකරණය (3.4) පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:

එහිදී x " - කාලය සම්බන්ධයෙන් ඛණ්ඩාංකයේ දෙවන ව්‍යුත්පන්නය. සමීකරණයට (3.11) අනුව, නිදහස් දෝලනය අතරතුර, ඛණ්ඩාංක x කාලයත් සමඟ වෙනස් වන අතර එමඟින් කාලය සම්බන්ධයෙන් ඛණ්ඩාංකයේ දෙවන ව්‍යුත්පන්නය ඛණ්ඩාංකයට සෘජුවම සමානුපාතික වන අතර ලකුණෙහි ප්‍රතිවිරුද්ධ වේ.

සයින් සහ කොසයින් යන දෙවෙනි ව්‍යුත්පන්නයන් ඔවුන්ගේ තර්කයට අදාළව ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණ සමඟ ගත් ශ්‍රිතවලට සමානුපාතික වන බව ගණිත පාඨමාලාවෙන් දනී. වෙනත් කිසිදු ශ්‍රිතයකට මෙම ගුණය නොමැති බව ගණිතමය විශ්ලේෂණයෙන් සනාථ වේ. සයින් හෝ පැසීන් නීතියට අනුව නිදහස් දෝලනයන් සිදු කරන ශරීරයේ ඛණ්ඩාංකය කාලයත් සමඟ වෙනස් වන බව නීත්‍යානුකූලව ප්‍රකාශ කිරීමට මේ සියල්ල අපට ඉඩ සලසයි. රූප සටහන 3.6 පෙන්නුම් කරන්නේ කොසයින් නීතියට අනුව කාලයත් සමඟ ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංකයේ වෙනසයි.

කාලය අනුව භෞතික ප්‍රමාණයක කාලානුරූපී වෙනස්වීම්, සයින් හෝ කොසයින් නීතියට අනුව සිදු වන අතර, එය හර්මොනික් දෝලනය ලෙස හැඳින්වේ.

දෝලනවල විස්තාරය.හාර්මොනික් දෝලනයන්හි විස්තාරය යනු ශරීරයේ සමතුලිත ස්ථානයේ සිට විශාලතම විස්ථාපනයේ මාපාංකයයි.

ආරම්භක මොහොතේ අප ශරීරය සමතුලිත ස්ථානයේ සිට කොපමණ ප්‍රමාණයක් විස්ථාපනය කරනවාද යන්න මත හෝ ශරීරයට ලබා දෙන වේගය මත පදනම්ව විස්තාරයට විවිධ අගයන් තිබිය හැකිය. විස්තාරය තීරණය වන්නේ ආරම්භක තත්වයන් හෝ වඩාත් නිවැරදිව ශරීරයට ලබා දෙන ශක්තිය මගිනි. නමුත් සයින් මාපාංකයේ සහ කොසයින් මොඩියුලයේ උපරිම අගයන් එකකට සමාන වේ. එබැවින් සමීකරණයේ විසඳුම (3.11) සයින් හෝ කෝසයින් ලෙස සරලව ප්‍රකාශ කළ නොහැක. එය සයින් හෝ කොසයින් මගින් දෝලනය වන විස්තාරය x m නිෂ්පාදනයේ ස්වරූපය ගත යුතුය.

නිදහස් කම්පන විස්තර කරන සමීකරණයේ විසඳුම.අපි සමීකරණයට විසඳුම (3.11) පහත ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු:

සහ දෙවන ව්‍යුත්පන්නය සමාන වනු ඇත:

අපි සමීකරණය ලබාගෙන ඇත (3.11). ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, ශ්‍රිතය (3.12) මුල් සමීකරණයට (3.11) විසඳුමකි. මෙම සමීකරණයට විසඳුම ද කාර්යය වනු ඇත

(3.14) අනුව ශරීර ඛණ්ඩාංකයේ ප්‍රස්ථාරය කොසයින් තරංගයකි (රූපය 3.6 බලන්න).

හාර්මොනික් දෝලනවල කාලසීමාව සහ වාර ගණන. දෝලනය වන විට, ශරීරයේ චලනයන් වරින් වර පුනරාවර්තනය වේ. T කාලය තුළ පද්ධතිය එක් සම්පූර්ණ දෝලන චක්‍රයක් සම්පූර්ණ කරන කාල සීමාව දෝලනය වීමේ කාලය ලෙස හැඳින්වේ.

කාල පරිච්ඡේදය දැන ගැනීමෙන්, ඔබට දෝලනය වීමේ වාර ගණන තීරණය කළ හැකිය, එනම් තත්පරයකට උදාහරණයක් ලෙස කාල ඒකකයකට දෝලන ගණන. T කාලය තුළ එක් දෝලනය සිදුවන්නේ නම්, තත්පරයට දෝලනය වන ගණන

ජාත්‍යන්තර ඒකක පද්ධතියේ (SI), තත්පරයට එක් දෝලනයක් තිබේ නම් දෝලනය වීමේ සංඛ්‍යාතය එකකට සමාන වේ. ජර්මානු භෞතික විද්‍යාඥ ජී. හර්ට්ස්ගේ ගෞරවය පිණිස සංඛ්‍යාත ඒකකය හර්ට්ස් (කෙටියෙන්: Hz) ලෙස හැඳින්වේ.

තත්පර 2 ක දෝලනයන් ගණන සමාන වේ:

ප්‍රමාණය යනු චක්‍රීය හෝ චක්‍රාකාර, දෝලනවල සංඛ්‍යාතයයි. සමීකරණයේ (3.14) කාලය t එක කාල පරිච්ඡේදයකට සමාන නම්, T = 2. මේ අනුව, එම අවස්ථාවේ දී t = 0 x = x m, එවිට t = T x = x m, එනම් එකකට සමාන කාල පරිච්ඡේදයක් හරහා කාලපරිච්ඡේදය, දෝලනයන් නැවත නැවතත් සිදු වේ.

නිදහස් කම්පනවල සංඛ්‍යාතය තීරණය වන්නේ දෝලන පද්ධතියේ ස්වාභාවික සංඛ්‍යාතය 1 මගිනි.

පද්ධතියේ ගුණ මත නිදහස් උච්චාවචනයන් සංඛ්යාතය සහ කාලසීමාව මත රඳා පවතී.සමීකරණයට (3.13) අනුව, උල්පතකට සම්බන්ධ වූ සිරුරක කම්පනයේ ස්වාභාවික සංඛ්‍යාතය සමාන වේ:

වසන්තයේ තද ගතිය k වැඩි වන තරමට එය වැඩි වන අතර අඩු වන තරමට ශරීර ස්කන්ධය m වැඩි වේ. මෙය තේරුම් ගැනීම පහසුය: දැඩි වසන්තයක් ශරීරයට වැඩි ත්වරණයක් ලබා දෙන අතර ශරීරයේ වේගය වේගයෙන් වෙනස් කරයි. ශරීරය වඩාත් දැවැන්ත වන තරමට එය බලයේ බලපෑම යටතේ වේගය වෙනස් කරයි. දෝලන කාලය සමාන වේ:

විවිධ තද ගතිය සහ විවිධ ස්කන්ධ ශරීර ඇති උල්පත් සමූහයක් තිබීම, සූත්‍ර (3.13) සහ (3.18) k සහ m මත රඳා පවතින ස්වභාවය නිවැරදිව විස්තර කරන බව අත්දැකීමෙන් තහවුරු කර ගැනීම පහසුය.

උල්පතක් මත ශරීරය දෝලනය වන කාලය සහ අපගමනය වන කුඩා කෝණවල පෙන්ඩුලම් දෝලනය වන කාලය දෝලනය වීමේ විස්තාරය මත රඳා නොපවතින බව කැපී පෙනේ.

පෙන්ඩුලමයේ දෝලනය විස්තර කරන සමීකරණයේ (3.10) ත්වරණ t සහ විස්ථාපන x අතර සමානුපාතික සංගුණකයේ මාපාංකය, සමීකරණයේ (3.11) මෙන්, චක්‍රීය සංඛ්‍යාතයේ වර්ග වේ. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, ගණිතමය පෙන්ඩලයක දෝලනය වීමේ ස්වාභාවික සංඛ්‍යාතය සිරස් අතට නූල් අපගමනය වන කුඩා කෝණවල පෙන්ඩුලමයේ දිග සහ ගුරුත්වාකර්ෂණ ත්වරණය මත රඳා පවතී:

මෙම සූත්‍රය ප්‍රථමයෙන් ලබාගෙන පර්යේෂණාත්මකව පරීක්‍ෂා කළේ අයි.නිවුටන්ගේ සමකාලීනයකු වූ ලන්දේසි විද්‍යාඥ ජී.හියුජන්ස් විසිනි. එය නූල් අපගමනය කුඩා කෝණ සඳහා පමණක් වලංගු වේ.

1 බොහෝ විට පහත දැක්වෙන පරිදි, කෙටිකතාව සඳහා, අපි සරලව චක්‍රීය සංඛ්‍යාතය සංඛ්‍යාතය ලෙස හඳුන්වමු. ඔබට අංකනය මගින් චක්‍රීය සංඛ්‍යාතය සාමාන්‍ය සංඛ්‍යාතයෙන් වෙන්කර හඳුනාගත හැක.

පෙන්ඩනයේ දිග වැඩි වීමත් සමඟ දෝලනය වීමේ කාලය වැඩි වේ. එය පෙන්ඩුලමයේ ස්කන්ධය මත රඳා නොපවතී. විවිධ පෙන්ඩුලම් සමඟ මෙය පහසුවෙන් පර්යේෂණාත්මකව තහවුරු කළ හැක. ගුරුත්වාකර්ෂණ ත්වරණය මත දෝලනය වීමේ කාල පරිච්ඡේදයේ යැපීම ද හඳුනාගත හැකිය. කුඩා g, පෙන්ඩුලමයේ දෝලනය වීමේ කාලය දිගු වන අතර, එම නිසා, පෙන්ඩුලම් ඔරලෝසුව මන්දගාමී වේ. මේ අනුව, දණ්ඩක් මත බරක් ආකාරයෙන් පෙන්ඩනයක් සහිත ඔරලෝසුවක් මොස්කව් විශ්ව විද්‍යාලයේ පහළම මාලයේ සිට ඉහළ මහල දක්වා (උස මීටර් 200) ඔසවන්නේ නම් දිනකට තත්පර 3 කින් පමණ පසුපසට වැටෙනු ඇත. මෙය සිදුවන්නේ උස සමඟ නිදහස් වැටීමේ ත්වරණය අඩුවීම නිසා පමණි.

g හි අගය මත පෙන්ඩලයක දෝලනය වීමේ කාල පරිච්ඡේදයේ යැපීම ප්‍රායෝගිකව භාවිතා වේ. දෝලනය වන කාලය මැනීමෙන්, g ඉතා නිවැරදිව තීරණය කළ හැකිය. ගුරුත්වාකර්ෂණ ත්වරණය භූගෝලීය අක්ෂාංශ සමඟ වෙනස් වේ. නමුත් දී ඇති අක්ෂාංශයක පවා එය සෑම තැනකම සමාන නොවේ. සියල්ලට පසු, පෘථිවි පෘෂ්ඨයේ ඝනත්වය සෑම තැනකම සමාන නොවේ. ඝන පාෂාණ ඇති ප්රදේශ වල, ත්වරණය g තරමක් වැඩි වේ. ඛනිජ සෙවීමේදී මෙය සැලකිල්ලට ගනී.

මේ අනුව, යකඩ යපස් සාමාන්ය පාෂාණවලට සාපේක්ෂව වැඩි ඝනත්වයක් ඇත. ශාස්ත්රාලික A. A. Mikhailov ගේ නායකත්වය යටතේ සිදු කරන ලද Kursk අසල ගුරුත්වාකර්ෂණ ත්වරණය මැනීම, යකඩ යපස් පිහිටීම පැහැදිලි කිරීමට හැකි විය. ඒවා මුලින්ම සොයාගනු ලැබුවේ චුම්බක මිනුම් මගිනි.

බොහෝ ඉලෙක්ට්‍රොනික පරිමාණවල උපාංගවල යාන්ත්‍රික කම්පනවල ගුණාංග භාවිතා වේ. බර කළ යුතු ශරීරය දෘඩ වසන්තයක් සවි කර ඇති වේදිකාවක් මත තබා ඇත. ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, යාන්ත්රික කම්පන මතු වන අතර, එහි සංඛ්යාතය අනුරූප සංවේදකය මගින් මනිනු ලැබේ. මෙම සංවේදකය හා සම්බන්ධ මයික්‍රොප්‍රොසෙසරය දෝලනය වන සංඛ්‍යාතය බර කරන ශරීරයේ ස්කන්ධය බවට පරිවර්තනය කරයි, මන්ද මෙම සංඛ්‍යාතය ස්කන්ධය මත රඳා පවතී.

දෝලනය වන කාල සීමාව සඳහා ලැබෙන සූත්‍ර (3.18) සහ (3.20) පෙන්නුම් කරන්නේ ප්‍රතිමූර්තිය දෝලනය වීමේ කාලය පද්ධති පරාමිතීන් මත රඳා පවතින බවයි (වසන්තයේ තද බව, නූල් දිග, ආදිය)

Myakishev G. Ya., භෞතික විද්යාව. 11 වන ශ්රේණිය: අධ්යාපනික. සාමාන්ය අධ්යාපනය සඳහා ආයතන: මූලික සහ පැතිකඩ. මට්ටම් / G. Ya. Myakishev, B. V. Bukhovtsev, V. M. Charugin; විසින් සංස්කරණය කරන ලදී V. I. Nikolaeva, N. A. Parfentieva. - 17 වන සංස්කරණය, සංශෝධිත. සහ අතිරේක - එම්.: අධ්යාපනය, 2008. - 399 පි.: අසනීප.

ශ්‍රේණිය අනුව මාතෘකා සම්පූර්ණ ලැයිස්තුවක්, ඔන්ලයින් භෞතික විද්‍යාවේ පාසල් විෂය මාලාවට අනුව දින දර්ශන සැලැස්ම, 11 ශ්‍රේණිය සඳහා භෞතික විද්‍යාව පිළිබඳ වීඩියෝ ද්‍රව්‍ය බාගත කරන්න

උපරිම වේගය සහ ත්වරණ අගයන්

යැපීම v(t) සහ a(t) සමීකරණ විශ්ලේෂණය කිරීමෙන් පසු, ත්‍රිකෝණමිතික සාධකය 1 හෝ -1 ට සමාන වන විට වේගය සහ ත්වරණය උපරිම අගයන් ගන්නා බව අපට අනුමාන කළ හැකිය. සූත්රය මගින් තීරණය කරනු ලැබේ

පරායත්තතා v(t) සහ a(t) ලබා ගන්නේ කෙසේද

7. නිදහස් කම්පන. දෝලන චලිතයේ වේගය, ත්වරණය සහ ශක්තිය. කම්පන එකතු කිරීම

නිදහස් කම්පන(හෝ ස්වභාවික කම්පන) යනු බාහිර බලපෑම් නොමැති විට මුලින් ලබා දුන් ශක්තිය (විභව හෝ චාලක) හේතුවෙන් පමණක් සිදුවන දෝලන පද්ධතියක දෝලනය වේ.

විභව හෝ චාලක ශක්තිය ලබා දිය හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස, යාන්ත්‍රික පද්ධතිවල ආරම්භක විස්ථාපනය හෝ ආරම්භක ප්‍රවේගය හරහා.

නිදහසේ දෝලනය වන ශරීර සෑම විටම අනෙකුත් ශරීර සමඟ අන්තර් ක්‍රියා කරන අතර ඒවා සමඟ එක්ව හැඳින්වෙන ශරීර පද්ධතියක් සාදයි දෝලන පද්ධතිය.

නිදසුනක් ලෙස, වසන්තයේ ඉහළ කෙළවර සවි කර ඇති වසන්තයක්, බෝලයක් සහ සිරස් කණුවක් (පහත රූපය බලන්න) දෝලන පද්ධතියට ඇතුළත් වේ. මෙහිදී බෝලය නූල දිගේ නිදහසේ ලිස්සා යයි (ඝර්ෂණ බලවේග නොසැලකිය හැකිය). ඔබ පන්දුව දකුණට ගෙන ගොස් එය තමාටම තැබුවොත්, එය සමතුලිත ස්ථානය (ලක්ෂ්‍යය) වටා නිදහසේ දෝලනය වේ. ගැන) සමතුලිත තත්ත්වය දෙසට යොමු කරන ලද වසන්තයේ ප්රත්යාස්ථ බලයේ ක්රියාකාරිත්වය හේතුවෙන්.

යාන්ත්‍රික දෝලන පද්ධතියක තවත් සම්භාව්‍ය උදාහරණයක් වන්නේ ගණිතමය පෙන්ඩලයක් (පහත රූපය බලන්න). මෙම අවස්ථාවේ දී, බෝලය බලවේග දෙකක බලපෑම යටතේ නිදහස් දෝලනයන් සිදු කරයි: ගුරුත්වාකර්ෂණය සහ නූල් වල ප්රත්යාස්ථ බලය (පෘථිවිය ද දෝලන පද්ධතියට ඇතුළත් වේ). ඔවුන්ගේ ප්රතිඵලය සමතුලිත තත්ත්වය දෙසට යොමු කෙරේ.

දෝලන පද්ධතියේ සිරුරු අතර ක්රියා කරන බලවේග ලෙස හැඳින්වේ අභ්යන්තර බලවේග. බාහිර බලවේග මගින්පද්ධතියක් මත ක්‍රියා කරන බලවේග ලෙස හඳුන්වනු ලබන්නේ ඉන් පිටත සිරුරු වලින්. මෙම දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, නිදහස් දෝලනයන් පද්ධතිය එහි සමතුලිත තත්ත්වයෙන් ඉවත් කිරීමෙන් පසු අභ්යන්තර බලවේගවල බලපෑම යටතේ පද්ධතිය තුළ දෝලනය ලෙස අර්ථ දැක්විය හැක.

නිදහස් දෝලනයන් ඇතිවීම සඳහා කොන්දේසි:

1) මෙම තත්වයෙන් ඉවත් කිරීමෙන් පසු පද්ධතිය ස්ථායී සමතුලිතතාවයේ ස්ථානයකට ආපසු ලබා දෙන බලයක් ඔවුන් තුළ මතුවීම;

2) පද්ධතියේ ඝර්ෂණය නොමැතිකම.

නිදහස් කම්පන වල ගතිකත්වය.

ප්රත්යාස්ථ බලවේගවල බලපෑම යටතේ ශරීරයේ කම්පන. ප්රත්යාස්ථ බලයේ ක්රියාකාරිත්වය යටතේ ශරීරයේ දෝලන චලනය සමීකරණය එෆ්(රූපය බලන්න) නිව්ටන්ගේ දෙවන නියමය සැලකිල්ලට ගනිමින් ලබා ගත හැක ( F = ma) සහ හූක්ගේ නීතිය ( එෆ් පාලනය= -kx), කොහෙද එම්යනු පන්දුවේ ස්කන්ධය වන අතර, ප්‍රත්‍යාස්ථ බලයේ ක්‍රියාව යටතේ පන්දුව විසින් ලබා ගන්නා ත්වරණය වේ, කේ- වසන්ත දෘඪතා සංගුණකය, x- සමතුලිත ස්ථානයේ සිට ශරීරය විස්ථාපනය කිරීම (සමීකරණ දෙකම තිරස් අක්ෂයට ප්‍රක්ෂේපණයෙන් ලියා ඇත ඔහ්) මෙම සමීකරණවල දකුණු පස සමීකරණය කිරීම සහ ත්වරණය බව සැලකිල්ලට ගැනීම ඒඛණ්ඩාංකයේ දෙවන ව්යුත්පන්නය වේ x(විස්ථාපනය), අපට ලැබෙන්නේ:

.

ප්‍රත්‍යාස්ථ බලයක ක්‍රියාකාරිත්වය යටතේ දෝලනය වන ශරීරයක චලිතයේ අවකල සමීකරණය මෙයයි: කාලය (ශරීර ත්වරණය) සම්බන්ධයෙන් ඛණ්ඩාංකයේ දෙවන ව්‍යුත්පන්නය එහි ඛණ්ඩාංකයට සෘජුවම සමානුපාතික වේ, ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණ සමඟ ගනු ලැබේ.

ගණිතමය පෙන්ඩලයක දෝලනය.ගණිතමය පෙන්ඩලයක (රූපය) දෝලනය වීමේ සමීකරණය ලබා ගැනීම සඳහා ගුරුත්වාකර්ෂණ බලය පුළුල් කිරීම අවශ්‍ය වේ. එෆ් ටී= mgසාමාන්ය තත්ත්වයට Fn(නූල් දිගේ යොමු කර ඇත) සහ ස්පර්ශක F τ(බෝලයේ ගමන් පථයට ස්පර්ශක - රවුම) සංරචක. ගුරුත්වාකර්ෂණයේ සාමාන්ය සංරචකය Fnසහ නූල් වල ප්රත්යාස්ථ බලය Fynpවේගයේ විශාලත්වයට බලපාන්නේ නැති පෙන්ඩුලම් කේන්ද්‍රාපසාරී ත්වරණයට සම්පුර්ණයෙන් ලබා දෙයි, නමුත් එහි දිශාව පමණක් වෙනස් කරයි, සහ ස්පර්ශක සංරචකය F τයනු පන්දුව එහි සමතුලිත තත්ත්වයට ආපසු ගෙන එය දෝලන චලනයන් සිදු කිරීමට හේතු වන බලයයි. ස්පර්ශක ත්වරණය සඳහා පෙර අවස්ථාවෙහි මෙන්, නිව්ටන්ගේ නියමය භාවිතා කිරීම ma τ = F τකියලත් දුන්නා F τ= -mg sinα, අපට ලැබෙන්නේ:

a τ= -g sinα,

සමතුලිත ස්ථානයේ සිට අපගමනය වීමේ බලය සහ කෝණය නිසා අවාසි ලකුණ දිස් විය α ප්රතිවිරුද්ධ සංඥා ඇත. කුඩා අපගමනය කෝණ සඳහා sin α ≈ α. එහි වාරයේ, α = s/l, කොහෙද s- චාපය ඕ.ඒ., මම- නූල් දිග. ඒ ගැන සලකා බලමින් සහ τ= එස්", අපට අවසානයේ ලැබෙන්නේ:

සමීකරණයේ ස්වරූපය සමීකරණයට සමාන වේ . මෙහි පමණක් පද්ධතියේ පරාමිතීන් වන්නේ නූල් වල දිග සහ නිදහස් වැටීමේ ත්වරණය මිස වසන්ත තද බව සහ පන්දුවේ ස්කන්ධය නොවේ; ඛණ්ඩාංකයේ කාර්යභාරය චාපයේ දිග (එනම්, පළමු අවස්ථාවේ දී මෙන් ගමන් කළ දුර) විසින් ඉටු කරනු ලැබේ.

මේ අනුව, මෙම කම්පන ඇති කරන බලවේගවල භෞතික ස්වභාවය නොසලකා එකම වර්ගයේ (එකම නීතිවලට යටත්ව) සමීකරණ මගින් නිදහස් කම්පන විස්තර කෙරේ.

සමීකරණ විසඳීම සහ පෝරමයේ කාර්යයකි:

x = x mcos ω 0ටී(හෝ x = x mපාපය ω 0ටී).

එනම්, නිදහස් දෝලනයන් සිදු කරන ශරීරයේ ඛණ්ඩාංකය කොසයින් හෝ සයින් නීතියට අනුව කාලයත් සමඟ වෙනස් වන අතර, එම නිසා, මෙම දෝලනය එකඟ වේ:

Eq හි. x = x mcos ω 0ටී(හෝ x = x mපාපය ω 0ටී), x m- කම්පන විස්තාරය, ω 0 - දෝලනය වීමේ ස්වකීය චක්‍රීය (චක්‍රලේඛ) සංඛ්‍යාතය.

චක්‍රීය සංඛ්‍යාතය සහ නිදහස් හාර්මොනික් දෝලනය වීමේ කාලසීමාව පද්ධතියේ ගුණාංග අනුව තීරණය වේ. මේ අනුව, උල්පතකට සම්බන්ධ වූ ශරීරයේ කම්පන සඳහා, පහත සම්බන්ධතා වලංගු වේ:

.

වසන්ත තද බව වැඩි වන තරමට හෝ බරෙහි ස්කන්ධය කුඩා වන තරමට ස්වාභාවික සංඛ්‍යාතය වැඩි වන අතර එය අත්දැකීමෙන් සම්පූර්ණයෙන්ම සනාථ වේ.

ගණිතමය පෙන්ඩනයක් සඳහා පහත සමානාත්මතාවයන් තෘප්තිමත් වේ:

.

මෙම සූත්‍රය මුලින්ම ලබාගෙන පර්යේෂණාත්මකව පරීක්‍ෂා කළේ ලන්දේසි විද්‍යාඥ හියුජන්ස් (නිව්ටන්ගේ සමකාලීනයෙක්) විසිනි.

පෙන්ඩනයේ දිග වැඩි වීමත් සමඟ දෝලනය වීමේ කාලය වැඩි වන අතර එහි ස්කන්ධය මත රඳා නොපවතී.

විශේෂ අවධානය යොමු කළ යුතු කරුණක් නම්, හර්මොනික් දෝලනයන් දැඩි ලෙස ආවර්තිතා වන අතර (ඒවා සයින් හෝ කොසයින් නීතියට කීකරු වන බැවින්) සහ සැබෑ (භෞතික) පෙන්ඩුලමක පරමාදර්ශීකරණයක් වන ගණිතමය පෙන්ඩුලමයකට පවා හැකි වන්නේ කුඩා දෝලනයකදී පමණි. කෝණ. අපගමනය කෝණ විශාල නම්, භාරයේ විස්ථාපනය අපගමන කෝණයට (කෝණයේ සයින්) සමානුපාතික නොවන අතර ත්වරණය විස්ථාපනයට සමානුපාතික නොවේ.

නිදහසේ දෝලනය වන ශරීරයක වේගය සහ ත්වරණය ද සුසංයෝග දෝලනයකට ලක් වේ. ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්න කාලය ගත කිරීම ( x = x mcos ω 0ටී(හෝ x = x mපාපය ω 0ටී)), අපි වේගය සඳහා ප්රකාශනයක් ලබා ගනිමු:

v = -v mපාපය ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2),

කොහෙද v m= ω 0 x m- ප්රවේග විස්තාරය.

ත්වරණය සඳහා සමාන ප්රකාශනය ඒඅපි වෙන් කිරීම මගින් ලබා ගනිමු ( v = -v mපාපය ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2)):

a = -a mcos ω 0ටී,

කොහෙද එම්= ω 2 0x m- ත්වරණය විස්තාරය. මේ අනුව, හර්මොනික් දෝලනයන්හි වේගයේ විස්තාරය සංඛ්‍යාතයට සමානුපාතික වන අතර ත්වරණයේ විස්තාරය දෝලනය වන සංඛ්‍යාතයේ වර්ගයට සමානුපාතික වේ.

හාර්මොනික් කම්පන
කොසයින් හෝ සයින් (හාර්මොනික් නියමය) නීතියට අනුව භෞතික ප්‍රමාණවල වෙනස්වීම් සිදුවන දෝලනය ලෙස හැඳින්වේ. හාර්මොනික් කම්පන.උදාහරණයක් ලෙස, යාන්ත්‍රික සුසංයෝග කම්පන වලදී :. මෙම සූත්‍රවල, ω යනු දෝලනය වීමේ සංඛ්‍යාතය, x m යනු දෝලනය වීමේ විස්තාරය, φ 0 සහ φ 0 ' යනු දෝලනයේ ආරම්භක අවධීන් වේ. ඉහත සූත්‍ර ආරම්භක අදියරේ නිර්වචනයේ වෙනස් වන අතර φ 0 ’ = φ 0 +π/2 සම්පූර්ණයෙන්ම සමපාත වේ.
මෙය සරලම ආකාරයේ ආවර්තිතා දෝලනය වේ. ශ්රිතයේ නිශ්චිත ස්වරූපය (සයින් හෝ කොසයින්) පද්ධතිය එහි සමතුලිත තත්ත්වයෙන් ඉවත් කිරීමේ ක්රමය මත රඳා පවතී. ඉවත් කිරීම සිදු වන්නේ තල්ලුවකින් නම් (චාලක ශක්තිය ලබා දෙයි), එවිට t=0 හිදී විස්ථාපනය x=0, එබැවින්, sin ශ්‍රිතය භාවිතා කිරීම වඩාත් පහසු වේ, φ 0 '=0; t = 0 හි සමතුලිත තත්ත්වයෙන් (විභව ශක්තිය වාර්තා වේ) බැහැර වන විට, විස්ථාපනය x = x m, එබැවින්, cos ශ්රිතය සහ φ 0 = 0 භාවිතා කිරීම වඩාත් පහසු වේ.
cos හෝ sin යන ලකුණ යටතේ ඇති ප්‍රකාශනය හැඳින්වේ. දෝලනය අදියර:. දෝලනය වීමේ අදියර රේඩියන වලින් මනිනු ලබන අතර යම් අවස්ථාවක දී විස්ථාපනයේ (දෝලනය වන ප්‍රමාණය) අගය තීරණය කරයි.
දෝලනයේ විස්තාරය රඳා පවතින්නේ ආරම්භක අපගමනය මත පමණි (දෝලන පද්ධතියට ලබා දෙන ආරම්භක ශක්තිය).
හාර්මොනික් දෝලනය අතරතුර ප්‍රවේගය සහ ත්වරණය.
වේගයේ නිර්වචනයට අනුව, වේගය යනු කාලයට සාපේක්ෂව පිහිටුමක ව්‍යුත්පන්නයයි
මේ අනුව, හර්මොනික් දෝලන චලිතයේදී වේගය ද හාර්මොනික් නියමය අනුව වෙනස් වන බව අපට පෙනේ, නමුත් වේග දෝලනය අදියර විස්ථාපන දෝලනයන්ට වඩා π/2 කින් ඉදිරියෙන් ඇත.
අගය - දෝලන චලිතයේ උපරිම වේගය (වේග උච්චාවචනවල විස්තාරය).
එබැවින්, හාර්මොනික් දෝලනය අතරතුර වේගය සඳහා අපට ඇත්තේ: , සහ ශුන්‍ය ආරම්භක අදියර සඳහා (ප්‍රස්ථාරය බලන්න).
ත්වරණයේ නිර්වචනයට අනුව, ත්වරණය යනු කාලයට සාපේක්ෂව වේගයේ ව්‍යුත්පන්නයයි: කාලය සම්බන්ධයෙන් ඛණ්ඩාංකයේ දෙවන ව්‍යුත්පන්නය වේ. ඉන්පසු: . හර්මොනික් දෝලන චලිතයේදී ත්වරණය ද හාර්මොනික් නියමයට අනුව වෙනස් වේ, නමුත් ත්වරණය දෝලනය වේග දෝලනය π/2 කින් සහ විස්ථාපන දෝලනය π (දෝලනය සිදුවන බව කියනු ලැබේ. ප්‍රති-අදියර).
අගය - උපරිම ත්වරණය (ත්වරණය උච්චාවචනවල විස්තාරය). එබැවින්, ත්වරණය සඳහා අපට ඇත්තේ: , සහ ශුන්‍ය ආරම්භක අදියර සඳහා: (ප්‍රස්ථාරය බලන්න).
දෝලනය වන චලිතය, ප්‍රස්ථාර සහ අනුරූප ගණිතමය ප්‍රකාශන ක්‍රියාවලිය විශ්ලේෂණය කිරීමෙන් පැහැදිලි වන්නේ දෝලනය වන ශරීරය සමතුලිත ස්ථානය පසු කරන විට (විස්ථාපනය ශුන්‍ය වේ), ත්වරණය ශුන්‍ය වන අතර ශරීරයේ වේගය උපරිමය ( ශරීරය අවස්ථිති තත්ත්වයෙන් සමතුලිත තත්ත්වය පසු කරයි), සහ විස්ථාපනයේ විස්තාරය අගය ළඟා වූ විට, වේගය ශුන්‍යයට සමාන වන අතර, ත්වරණය නිරපේක්ෂ අගයෙන් උපරිම වේ (ශරීරය එහි චලනයේ දිශාව වෙනස් කරයි).
හාර්මොනික් කම්පන අතරතුර විස්ථාපනය සහ ත්වරණය සඳහා වන ප්‍රකාශන සංසන්දනය කරමු: සහ .
ඔබට ලිවිය හැකිය: - i.e. විස්ථාපනයේ දෙවන ව්‍යුත්පන්නය විස්ථාපනයට සෘජුව සමානුපාතික වේ (ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණ සමඟ). මෙම සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ හාර්මොනික් කම්පන සමීකරණය. මෙම යැපීම එහි ස්වභාවය කුමක් වුවත්, ඕනෑම සුසංයෝග දෝලනය සඳහා පවතී. නිශ්චිත දෝලන පද්ධතියක පරාමිතීන් අප කිසි විටෙක භාවිතා කර නොමැති බැවින්, චක්රීය සංඛ්යාතය පමණක් ඒවා මත රඳා පවතී.
කම්පන සඳහා සමීකරණ ස්වරූපයෙන් ලිවීම බොහෝ විට පහසුය: , T යනු දෝලනය වන කාලයයි. එවිට, කාල පරිච්ඡේදයක භාග වලින් කාලය ප්‍රකාශ කළහොත්, ගණනය කිරීම් සරල වනු ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, කාලපරිච්ඡේදයෙන් 1/8 කට පසුව විස්ථාපනය සොයා ගැනීමට අවශ්ය නම්, අපට ලැබෙන්නේ: . වේගය සහ ත්වරණය සඳහා සමාන වේ.

පද්ධතියක් එකිනෙකින් ස්වාධීනව දෝලන දෙකකට හෝ කිහිපයකට එකවර සහභාගී වන අවස්ථා බොහෝ විට ඇත. මෙම අවස්ථා වලදී, සංකීර්ණ දෝලන චලිතයක් සාදනු ලබන අතර, එය එකිනෙකා මත දෝලනය කිරීම (එකතු කිරීම) මගින් නිර්මාණය වේ. නිසැකවම, දෝලනයන් එකතු කිරීමේ අවස්ථා ඉතා විවිධාකාර විය හැකිය. ඒවා එකතු කරන ලද උච්චාවචන සංඛ්යාව මත පමණක් නොව, උච්චාවචනවල පරාමිතීන් මත, ඒවායේ සංඛ්යාතයන්, අදියර, විස්තාරය සහ දිශාවන් මත රඳා පවතී. දෝලනය එකතු කිරීමේ විවිධ අවස්ථා සමාලෝචනය කළ නොහැක, එබැවින් අපි තනි උදාහරණ පමණක් සලකා බැලීමට සීමා වෙමු.
1. එක් දිශාවක දෝලනය එකතු කිරීම. අපි එකම සංඛ්‍යාතයේ දෝලනය දෙකක් එකතු කරමු, නමුත් විවිධ අවධීන් සහ විස්තාරය.

(4.40)
දෝලනය එකිනෙකා මත අධිස්ථාපනය වන විට


අපි සමීකරණ අනුව නව A සහ ​​j පරාමිති හඳුන්වා දෙමු:

(4.42)
සමීකරණ පද්ධතිය (4.42) විසඳීමට පහසුය.

(4.43)

(4.44)
මේ අනුව, x සඳහා අපි අවසානයේ සමීකරණය ලබා ගනිමු

(4.45)
එබැවින්, එකම සංඛ්‍යාතයේ ඒක දිශාභිමුඛ දෝලනය එකතු කිරීමේ ප්‍රති result ලයක් ලෙස, අපි සමගාමී (sinusoidal) දෝලනය ලබා ගනිමු, එහි විස්තාරය සහ අදියර සූත්‍ර (4.43) සහ (4.44) මගින් තීරණය වේ.
එකතු කරන ලද දෝලන දෙකක අවධීන් අතර සම්බන්ධතා වෙනස් වන විශේෂ අවස්ථා අපි සලකා බලමු:


(4.46)
අපි දැන් එකම විස්තාරය, සමාන අවධීන්, නමුත් විවිධ සංඛ්‍යාතවල ඒක දිශානුගත දෝලනය එකතු කරමු.


(4.47)
සංඛ්‍යාත එකිනෙක සමීප වන අවස්ථාව සලකා බලමු, එනම් w1~w2=w
එවිට අපි දළ වශයෙන් උපකල්පනය කරමු (w1+w2)/2= w, සහ (w2-w1)/2 යනු කුඩා අගයක්. ප්රතිඵලය වන දෝලනය සඳහා සමීකරණය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:

(4.48)
එහි ප්‍රස්ථාරය රූපයේ දැක්වේ. 4.5 මෙම දෝලනය පහර ලෙස හැඳින්වේ. එය w සංඛ්යාතයකින් සිදු වේ, නමුත් එහි විස්තාරය විශාල කාල පරිච්ඡේදයක් සමඟ දෝලනය වේ.

2. අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් ලම්බක දෝලන දෙකක් එකතු කිරීම. අපි උපකල්පනය කරමු එක් දෝලනය x අක්ෂය දිගේ, අනෙක y අක්ෂය දිගේ. එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස චලනය පැහැදිලිවම xy තලයේ පිහිටා ඇත.
1. දෝලනය වන සංඛ්‍යාත සහ අදියර සමාන වන නමුත් විස්තාරය වෙනස් යැයි අපි උපකල්පනය කරමු.

(4.49)
ප්රතිඵලය වන ව්යාපාරයේ ගමන් පථය සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබ සමීකරණ (4.49) වලින් කාලය ඉවත් කිරීම අවශ්ය වේ. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, එක් සමීකරණ පදයක් තවත් පදයකින් බෙදීම ප්‍රමාණවත් වේ, එහි ප්‍රති result ලයක් ලෙස අපට ලැබේ

(4.50)
සමීකරණය (4.50) පෙන්නුම් කරන්නේ මෙම අවස්ථාවෙහිදී, දෝලනය එකතු කිරීම සරල රේඛාවකින් දෝලනය වීමට තුඩු දෙන අතර, එහි බෑවුම විස්තාරක අනුපාතය අනුව තීරණය වේ.
2. එකතු කරන ලද දෝලනයන්හි අවධීන් /2 න් එකිනෙකින් වෙනස් වීමට ඉඩ හරින්න සහ සමීකරණවල ස්වරූපය ඇත:

(4.51)
ප්රතිඵලය වන චලනයේ ගමන් පථය සොයා ගැනීම සඳහා, කාලය හැර, ඔබ වර්ග සමීකරණ (4.51) කළ යුතුය, පළමුව ඒවා පිළිවෙලින් A1 සහ A2 ලෙස බෙදන්න, ඉන්පසු ඒවා එකතු කරන්න. ගමන් පථ සමීකරණය ස්වරූපය ගනී:

(4.52)
මෙය ඉලිප්සයක සමීකරණයයි. ඕනෑම ආරම්භක අවධීන් සහ එකම සංඛ්‍යාතයේ අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් ලම්බක දෝලන දෙකක එකතු කරන ලද ඕනෑම විස්තාරයක් සඳහා, ප්‍රතිඵලයක් ලෙස දෝලනය ඉලිප්සයක් දිගේ සිදුවන බව ඔප්පු කළ හැක. එහි දිශානතිය එකතු කරන ලද දෝලනයන්හි අදියර සහ විස්තාරය මත රඳා පවතී.
එකතු කරන ලද උච්චාවචනයන්ට විවිධ සංඛ්‍යාත තිබේ නම්, ප්‍රතිඵලයක් ලෙස සිදුවන චලනයන්හි ගමන් පථ ඉතා විවිධාකාර වේ. x සහ y හි දෝලනය වන සංඛ්‍යාත එකිනෙක ගුණාකාර නම් පමණක් සංවෘත ගමන් පථ ලබා ගනී. එවැනි චලනයන් ආවර්තිතා ලෙස වර්ග කළ හැක. මෙම අවස්ථාවේ දී, චලනයන්හි ගමන් පථය ලිස්සාජස් රූප ලෙස හැඳින්වේ. චලනය ආරම්භයේ දී සමාන විස්තාරය සහ අදියර සමඟ 1: 2 සංඛ්යාත අනුපාත සහිත දෝලනයන් එකතු කිරීමෙන් ලබා ගන්නා ලිස්සාජස් සංඛ්යා වලින් එකක් සලකා බලමු.

(4.53)
දෝලනය x අක්ෂය දිගේ වඩා දෙගුණයක් y අක්ෂය දිගේ සිදු වේ. එවැනි උච්චාවචනයන් එකතු කිරීම රූපයේ අටක් (රූපය 4.7) ආකාරයෙන් චලන ගමන් මාර්ගයකට තුඩු දෙනු ඇත.

8. තෙතමනය සහිත දෝලනය සහ ඒවායේ පරාමිතීන්: අඩුවීම සහ දෝලන සංගුණකය, විවේක කාලය

)තෙතමනය සහිත උච්චාවචන කාලය:

ටී = (58)

හිදී δ << ω o කම්පන හාර්මොනික් ඒවාට වඩා වෙනස් නොවේ: T = 2π/ ω o.

2) තෙතමනය සහිත දෝලනවල විස්තාරයසූත්රය (119) මගින් ප්රකාශිත වේ.

3) දුර්වල වීම අඩු වීම,අනුක්‍රමික කම්පන විස්තාර දෙකක අනුපාතයට සමාන වේ ඒ(ටී) සහ ඒ(t+T), කාල සීමාවක් තුළ විස්තාරය අඩුවීමේ වේගය සංලක්ෂිත වේ:

= EDT (59)

4) ලඝුගණක තෙතමනය අඩු කිරීම- කාල පරිච්ඡේදයකින් වෙනස් වන කාල අවස්ථාවන්ට අනුරූප වන අනුක්‍රමික දෝලන දෙකක විස්තාරක අනුපාතයේ ස්වාභාවික ලඝුගණකය

q = ln = ln e d Т =dT(60)

ලඝුගණක damping decrement යනු දී ඇති දෝලන පද්ධතියක් සඳහා නියත අගයකි.

5) විවේක කාලයකාල සීමාව ඇමතීම සිරිතකි ( ටී) මෙම කාලය තුළ තෙත් දෝලනවල විස්තාරය e ගුණයකින් අඩු වේ:

e d τ = e, δτ = 1,

t = 1/d, (61)

ප්‍රකාශන (60) සහ (61) සංසන්දනය කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

q= = , (62)

කොහෙද N e -ලිහිල් කිරීමේදී සිදු කරන ලද දෝලනයන් ගණන.

කාලය තුළ නම් ටීපද්ධතිය සිදු කරයි Ν දෙගිඩියාව, පසුව ටී = Ν . Τ සහ තෙතමනය සහිත දෝලනවල සමීකරණය මෙසේ නිරූපණය කළ හැක:

S = A 0 e -d N T cos(w t+j)= A 0 e -q N cos(w t+j).

6)දෝලන පද්ධතියේ ගුණාත්මක සාධකය(ප්‍රශ්නය) සාමාන්‍යයෙන් දෝලනය වන කාලය තුළ පද්ධතියේ ශක්තිය නැතිවීම සංලක්ෂිත ප්‍රමාණය ලෙස හැඳින්වේ:

Q = 2පි , (63)

කොහෙද ඩබ්ලිව්- පද්ධතියේ සම්පූර්ණ ශක්තිය, ΔW- යම් කාලයක් තුළ ශක්තිය විසුරුවා හැරීම. අඩු ශක්තියක් විසුරුවා හරින අතර, පද්ධතියේ ගුණාත්මක සාධකය වැඩි වේ. ගණනය කිරීම් පෙන්නුම් කරන්නේ

Q = = pN e = = . (64)

කෙසේ වෙතත්, ගුණාත්මක සාධකය ලඝුගණක දුර්වලතා අඩුවීමට ප්‍රතිලෝමව සමානුපාතික වේ. සූත්‍රයෙන් (64) ගුණාත්මක සාධකය දෝලනය වන සංඛ්‍යාවට සමානුපාතික වේ. එන් ඊලිහිල් කිරීමේදී පද්ධතිය විසින් සිදු කරනු ලැබේ.

7) විභව ශක්තියකාලය t පද්ධතිය, විභව ශක්තිය අනුව ප්රකාශ කළ හැක ඩබ්ලිව් 0 විශාලතම අපගමනය:

ඩබ්ලිව් = = kA o 2 e -2 qN = W 0 e -2 qN . (65)

ඔවුන්ගේ ශක්තිය 100 ගුණයකින් අඩු වී ඇත්නම් (විස්තාරය 10 ගුණයකින් අඩු වී ඇත) දෝලනය ප්රායෝගිකව නතර වී ඇති බව සාමාන්යයෙන් සාම්ප්රදායිකව සලකනු ලැබේ. පද්ධතිය විසින් සිදු කරන ලද දෝලනය කිරීම් ගණන ගණනය කිරීම සඳහා ප්‍රකාශනයක් මෙතැන් සිට අපට ලබා ගත හැක:

= e 2qN= 100, ln100 = 2 qN;

එන් = = . (66)

9. බලහත්කාර කම්පන. අනුනාදනය. ඇප්රියෝඩික් දෝලනයන්. ස්වයං දෝලනය.

පද්ධතියට නොගැලපෙන දෝලනයන් සිදු කිරීම සඳහා, පිටත සිට ඝර්ෂණය හේතුවෙන් දෝලනය වන ශක්තිය අහිමි වීම සඳහා වන්දි ගෙවීම අවශ්ය වේ. පද්ධතියේ දෝලන ශක්තිය අඩු නොවන බව සහතික කිරීම සඳහා, වරින් වර පද්ධතිය මත ක්‍රියා කරන බලයක් හඳුන්වා දෙනු ලැබේ (අපි එවැනි බලයක් ලෙස හඳුන්වමු. බල කරනවා, සහ දෝලනයන් බල කෙරේ).

අර්ථ දැක්වීම: බලෙන්බාහිර වරින් වර වෙනස් වන බලයක බලපෑම යටතේ දෝලනය වන පද්ධතියක සිදුවන දෝලනය මේවාය.

මෙම බලය සාමාන්යයෙන් ද්විත්ව භූමිකාවක් ඉටු කරයි:

පළමුව, එය පද්ධතිය රොක් කරන අතර එයට නිශ්චිත ශක්තියක් සපයයි;

දෙවනුව, එය ප්‍රතිරෝධයේ සහ ඝර්ෂණයේ බලවේග ජය ගැනීම සඳහා වරින් වර බලශක්ති පාඩු (බලශක්ති පරිභෝජනය) නැවත පුරවයි.

නීතියට අනුව කාලයත් සමඟ ගාමක බලය වෙනස් වීමට ඉඩ දෙන්න:

.

එවැනි බලයක බලපෑම යටතේ දෝලනය වන පද්ධතියක් සඳහා චලිත සමීකරණයක් සම්පාදනය කරමු. පද්ධතිය අර්ධ ප්‍රත්‍යාස්ථ බලයකින් සහ මාධ්‍යයේ ප්‍රතිරෝධක බලයෙන් ද බලපාන බව අපි උපකල්පනය කරමු (කුඩා දෝලනයන් උපකල්පනය කිරීම යටතේ එය සත්‍ය වේ). එවිට පද්ධතියේ චලිත සමීකරණය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:

හෝ .

පද්ධතියේ දෝලනය වීමේ ස්වාභාවික සංඛ්‍යාතය, ආදේශ කිරීම් සිදු කිරීමෙන් පසු, අපි අසමජාතීය රේඛීය අවකල සමීකරණය 2 ලබා ගනිමු. thනියෝග:

අවකල සමීකරණ න්‍යායෙන් එය සමජාතීය සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුම සමජාතීය සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුමේ එකතුවට සහ සමජාතීය සමීකරණයක විශේෂිත විසඳුමකට සමාන බව දන්නා කරුණකි.

සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම දනියි:

,

කොහෙද ; ඒ 0 සහ ඒ- හිතුවක්කාර const.

.

දෛශික රූප සටහනක් භාවිතා කරමින්, ඔබට මෙම උපකල්පනය සත්‍ය බව සත්‍යාපනය කළ හැකි අතර, "" හි අගයන් ද තීරණය කළ හැකිය. ඒ" සහ " j”.

දෝලනය වීමේ විස්තාරය පහත ප්‍රකාශනය මගින් තීරණය වේ:

.

තේරුම " j”, එනම් බලහත්කාර දෝලනය වන අදියර ප්‍රමාදයේ විශාලත්වයයි එය තීරණය කළ ගාමක බලයෙන්, දෛශික රූප සටහනෙන් ද තීරණය කරනු ලබන අතර ප්‍රමාණය:

.

අවසාන වශයෙන්, සමජාතීය සමීකරණයට විශේෂිත විසඳුමක් ස්වරූපය ගනී:

(8.18)

මෙම කාර්යය, සමඟ ඒකාබද්ධව

(8.19)

බලහත්කාර දෝලනය යටතේ පද්ධතියක හැසිරීම විස්තර කරන සමජාතීය අවකල සමීකරණයකට පොදු විසඳුමක් ලබා දෙයි. මෙම පදය (8.19) ක්රියාවලියෙහි ආරම්භක අදියරේදී, උච්චාවචනයන් ඊනියා ස්ථාපිත කිරීමේදී සැලකිය යුතු කාර්යභාරයක් ඉටු කරයි (රූපය 8.10). කාලයාගේ ඇවෑමෙන්, ඝාතීය සාධකය හේතුවෙන්, දෙවන පදයේ (8.19) භූමිකාව වැඩි වැඩියෙන් අඩු වන අතර, ප්රමාණවත් කාලයකට පසුව එය නොසලකා හැරිය හැක, විසඳුමේ පදය (8.18) පමණක් රඳවා තබා ගනී.

මේ අනුව, ශ්‍රිතය (8.18) ස්ථාවර රාජ්‍ය බලහත්කාර දෝලනය විස්තර කරයි. ඒවා ගාමක බලයේ සංඛ්‍යාතයට සමාන සංඛ්‍යාතයක් සහිත හාර්මොනික් දෝලනය නියෝජනය කරයි. බලහත්කාර දෝලනයන්හි විස්තාරය ගාමක බලයේ විස්තාරයට සමානුපාතික වේ. දී ඇති දෝලන පද්ධතියක් සඳහා (w 0 සහ b මගින් අර්ථ දක්වා ඇත), විස්තාරය රියදුරු බලයේ සංඛ්යාතය මත රඳා පවතී. බලහත්කාර දෝලනය අදියරේදී ගාමක බලයට වඩා පසුගාමී වන අතර “j” ප්‍රමාදයේ විශාලත්වය ද ගාමක බලයේ සංඛ්‍යාතය මත රඳා පවතී.

ගාමක බලයේ සංඛ්‍යාතය මත බලහත්කාර දෝලනවල විස්තාරය රඳා පැවතීම, යම් පද්ධතියක් සඳහා තීරණය කරන ලද යම් සංඛ්‍යාතයක දී, දෝලනය වීමේ විස්තාරය උපරිම අගයකට ළඟා වේ. මෙම සංඛ්‍යාතයේ ගාමක බලයේ ක්‍රියාකාරිත්වයට දෝලන පද්ධතිය විශේෂයෙන් ප්‍රතිචාර දක්වයි. මෙම සංසිද්ධිය ලෙස හැඳින්වේ අනුනාදනය, සහ අනුරූප සංඛ්යාතය වේ අනුනාද සංඛ්යාතය.

අර්ථ දැක්වීම: බලහත්කාර දෝලනවල විස්තාරයේ තියුණු වැඩිවීමක් නිරීක්ෂණය කරන සංසිද්ධිය ලෙස හැඳින්වේ අනුනාදනය.

බලහත්කාර දෝලනයන්හි විස්තාරය සඳහා උපරිම තත්ත්වයෙන් අනුනාද සංඛ්‍යාතය තීරණය වේ:

. (8.20)

එවිට, මෙම අගය විස්තාරය සඳහා ප්‍රකාශනයට ආදේශ කිරීමෙන්, අපට ලැබෙන්නේ:

. (8.21)

මධ්‍යම ප්‍රතිරෝධයක් නොමැති විට, අනුනාදයේදී දෝලනය වීමේ විස්තාරය අනන්තය වෙත හැරෙනු ඇත; එම තත්ත්‍වයන් යටතේ ඇති අනුනාද සංඛ්‍යාතය (b=0) දෝලනය වීමේ ස්වභාවික සංඛ්‍යාතය සමග සමපාත වේ.

ගාමක බලයේ සංඛ්‍යාතය මත බලහත්කාර දෝලනයන්හි විස්තාරය රඳා පැවතීම (හෝ, දෝලනය වන සංඛ්‍යාතය මත එයම) චිත්‍රක ලෙස නිරූපණය කළ හැකිය (රූපය 8.11). තනි වක්‍ර "b" හි විවිධ අගයන්ට අනුරූප වේ. කුඩා "b", ඉහළ සහ දකුණට මෙම වක්‍රයේ උපරිමය පිහිටයි (w res සඳහා ප්‍රකාශනය බලන්න.). ඉතා ඉහළ තෙතමනය සහිතව, අනුනාදනය නිරීක්ෂණය නොකෙරේ - වැඩිවන සංඛ්යාතය සමඟ, බලහත්කාර දෝලනයන්හි විස්තාරය ඒකාකාරී ලෙස අඩු වේ (රූපය 8.11 හි පහළ වක්රය).

b හි විවිධ අගයන්ට අනුරූප වන ඉදිරිපත් කරන ලද ප්‍රස්ථාර කට්ටලය ලෙස හැඳින්වේ අනුනාද වක්‍ර.

සටහන්අනුනාද වක්‍ර සම්බන්ධයෙන්:

w®0 නැඹුරු වන පරිදි, සියලු වක්‍ර සමාන ශුන්‍ය නොවන අගයට පැමිණේ. මෙම අගය නිරූපනය කරන්නේ නියත බලයක බලපෑම යටතේ පද්ධතියට ලැබෙන සමතුලිත ස්ථානයේ සිට විස්ථාපනයයි. එෆ් 0 .

w®¥ ලෙස සියලුම වක්‍ර අසමමිතිකව ශුන්‍යයට නැඹුරු වේ, මන්ද ඉහළ සංඛ්‍යාතවලදී, බලය එහි දිශාව ඉතා ඉක්මනින් වෙනස් කරයි, පද්ධතියට එහි සමතුලිතතා ස්ථානයෙන් සැලකිය යුතු ලෙස මාරු වීමට කාලය නොමැත.

කුඩා b, සංඛ්යාතය සමඟ අනුනාදයට ආසන්න විස්තාරය වෙනස් වන විට, "තියුණු" උපරිම වේ.

අනුනාදයේ සංසිද්ධිය බොහෝ විට ප්‍රයෝජනවත් වේ, විශේෂයෙන් ධ්වනි විද්‍යාව සහ ගුවන් විදුලි ඉංජිනේරු විද්‍යාවේදී.

ස්වයං දෝලනය- රේඛීය නොවන ප්‍රතිපෝෂණ සහිත විඝටන ගතික පද්ධතියක නොකැඩූ දෝලනය, නියත ශක්තියෙන් සහාය වේ, එනම් ආවර්තිතා නොවනබාහිර බලපෑම.

ස්වයං දෝලනය වෙනස් වේ බලහත්කාර දෝලනයන්මක්නිසාද යත්, දෙවැන්න ඇති වන බැවිනි ආවර්තිතාබාහිර බලපෑම සහ මෙම බලපෑමේ සංඛ්‍යාතය සමඟ සිදු වන අතර, ස්වයං-දෝලනය වීම සහ ඒවායේ සංඛ්‍යාතය ස්වයං-දෝලනය වන පද්ධතියේ අභ්‍යන්තර ගුණාංග මගින් තීරණය වේ.

වාරය ස්වයං දෝලනය 1928 දී A. A. Andronov විසින් රුසියානු පාරිභාෂිතයට හඳුන්වා දෙන ලදී.

උදාහරණ[

ස්වයං දෝලනය සඳහා උදාහරණ ඇතුළත් වේ:

· එතීෙම් බරෙහි ගුරුත්වාකර්ෂණයේ නිරන්තර ක්‍රියාකාරිත්වය හේතුවෙන් ඔරලෝසු පෙන්ඩලයෙහි නොකැඩූ උච්චාවචනයන්;

ඒකාකාරව චලනය වන දුන්නක බලපෑම යටතේ වයලීන නූල් කම්පන

· නියත සැපයුම් වෝල්ටීයතාවයකින් බහු කම්පන පරිපථ සහ අනෙකුත් ඉලෙක්ට්රොනික ජනක යන්ත්රවල ප්රත්යාවර්ත ධාරාවක් ඇතිවීම;

· ඉන්ද්‍රියයේ පයිප්පයේ වායු තීරුවේ උච්චාවචනය, එය තුළට ඒකාකාර වාතය සැපයීම. (ස්ථාවර රැල්ලද බලන්න)

· චුම්බකයකින් අත්හිටුවන ලද සහ ඇඹරුණු වානේ අක්ෂයක් සහිත පිත්තල ඔරලෝසු ආම්පන්නයේ භ්‍රමණ කම්පන (ගමාස්කොව්ගේ අත්හදා බැලීම) (රෝදයේ චාලක ශක්තිය, ඒක ධ්‍රැව උත්පාදක යන්ත්‍රයක මෙන්, විද්‍යුත් ක්ෂේත්‍රයක විභව ශක්තිය බවට පරිවර්තනය වේ, විභව ශක්තිය ඒක ධ්‍රැව මෝටරයක මෙන් විද්‍යුත් ක්ෂේත්‍රය රෝදයේ චාලක ශක්තිය බවට පරිවර්තනය වේ.)

මැක්ලකොව්ගේ මිටිය

විද්‍යුත් පරිපථයක ධාරාවේ සංඛ්‍යාතයට වඩා බොහෝ ගුණයකින් අඩු සංඛ්‍යාතයක් සහිත ප්‍රත්‍යාවර්ත ධාරා ශක්තිය භාවිතයෙන් පහර දෙන මිටියක්.

දෝලනය වන පරිපථයේ දඟර L මේසයට ඉහළින් තබා ඇත (හෝ පහර දිය යුතු වෙනත් වස්තුවක්). යකඩ බටයක් පහළින් ඇතුල් වන අතර, එහි පහළ කෙළවර මිටියේ කැපී පෙනෙන කොටස වේ. ෆූකෝ ධාරා අඩු කිරීම සඳහා නලයට සිරස් ස්ලට් එකක් ඇත. දෝලනය වන පරිපථයේ පරාමිතීන් එහි දෝලනවල ස්වාභාවික සංඛ්‍යාතය පරිපථයේ ධාරාවේ සංඛ්‍යාතය සමඟ සමපාත වේ (උදාහරණයක් ලෙස, විකල්ප නගර ධාරාව, ​​හර්ට්ස් 50).

ධාරාව සක්රිය කර උච්චාවචනයන් ස්ථාපිත කිරීමෙන් පසුව, පරිපථයේ සහ බාහිර පරිපථයේ ධාරා වල අනුනාදයක් නිරීක්ෂණය කරනු ලබන අතර, යකඩ නළය දඟරයට ඇද දමනු ලැබේ. දඟරයේ ප්‍රේරණය වැඩි වන අතර, දෝලන පරිපථය අනුනාදයෙන් පිටතට යන අතර, දඟරයේ ධාරා දෝලනයන්හි විස්තාරය අඩු වේ. එමනිසා, ගුරුත්වාකර්ෂණ බලපෑම යටතේ නළය එහි මුල් ස්ථානයට - දඟරයෙන් පිටත නැවත පැමිණේ. එවිට පරිපථය තුළ වත්මන් උච්චාවචනයන් වැඩි වීමට පටන් ගන්නා අතර, අනුනාදනය නැවත සිදු වේ: නළය නැවතත් දඟරයට ඇද දමනු ලැබේ.

නළය සාදයි ස්වයං දෝලනය, එනම්, වරින් වර චලනයන් ඉහළට සහ පහළට යන අතර, ඒ සමඟම මිටියක් මෙන් හයියෙන් මේසයට තට්ටු කරයි. මෙම යාන්ත්‍රික ස්වයං-දෝලනයන්හි කාලසීමාව ඒවාට ආධාරක වන ප්‍රත්‍යාවර්ත ධාරාවේ කාල පරිච්ඡේදයට වඩා දස ගුණයකින් වැඩි වේ.

මෙම මිටිය නම් කර ඇත්තේ මොස්කව් භෞතික විද්‍යා හා තාක්ෂණ ආයතනයේ දේශන සහකාර M.I. Maklakov විසින් වන අතර ඔහු ස්වයං දෝලනය ප්‍රදර්ශනය කිරීම සඳහා එවැනි අත්හදා බැලීමක් යෝජනා කර සිදු කළේය.

ස්වයං-දෝලනය යාන්ත්රණය

රූපය 1.ස්වයං-දෝලනය යාන්ත්රණය

ස්වයං-දෝලනය වෙනස් ස්වභාවයක් තිබිය හැක: යාන්ත්රික, තාප, විද්යුත් චුම්භක, රසායනික. විවිධ පද්ධතිවල ස්වයං-දෝලනය ඇතිවීම සහ නඩත්තු කිරීම සඳහා යාන්ත්රණය භෞතික විද්යාවේ හෝ රසායන විද්යාවේ විවිධ නීති මත පදනම් විය හැක. විවිධ පද්ධතිවල ස්වයං-දෝලනය පිළිබඳ නිවැරදි ප්‍රමාණාත්මක විස්තරයක් සඳහා, විවිධ ගණිතමය උපකරණ අවශ්‍ය විය හැකිය. එසේ වුවද, මෙම යාන්ත්‍රණය ගුණාත්මකව විස්තර කරන සියලුම ස්වයං-දෝලනය වන පද්ධති සඳහා පොදු රූප සටහනක් සිතාගත හැකිය (රූපය 1).

රූප සටහන මත: එස්- නියත (ආවර්තිතා නොවන) බලපෑමේ මූලාශ්රය; ආර්- නියත බලපෑමක් විචල්‍ය එකක් බවට පරිවර්තනය කරන රේඛීය නොවන පාලකයකි (නිදසුනක් ලෙස, වරින් වර අතරමැදි එකක් බවට), එය “පැද්දීම” දෝලනය වී- පද්ධතියේ දෝලනය වන මූලද්‍රව්‍ය(ය) සහ ප්‍රතිපෝෂණ හරහා දෝලනය වන දෝලනය බීනියාමකයේ ක්රියාකාරිත්වය පාලනය කිරීම ආර්, අහනවා අදියරසහ සංඛ්යාතයඔහුගේ ක්රියාවන්. ස්වයං දෝලනය වන පද්ධතියක විසුරුවා හැරීම (ශක්ති විසර්ජනය) නිරන්තර බලපෑම් ප්‍රභවයකින් එයට ශක්තිය ගලා යාමෙන් වන්දි ලබා දෙන අතර එම නිසා ස්වයං දෝලනය මිය නොයයි.

සහල්. 2පෙන්ඩුලම් ඔරලෝසුවක රැට්චට් යාන්ත්‍රණයේ රූප සටහන

පද්ධතියේ දෝලනය වන මූලද්රව්යය තමන්ගේම හැකියාවක් තිබේ නම් තෙතමනය සහිත දෝලනයන්(ඊනියා හාර්මොනික් විඝටන දෝලනය), ස්වයං-දෝලනය (කාලසීමාව තුළ පද්ධතියට සමාන විසර්ජනය සහ බලශක්ති ආදානය සමඟ) ආසන්න සංඛ්‍යාතයක ස්ථාපිත කර ඇත. අනුනාදිතමෙම දෝලකය සඳහා, ඒවායේ හැඩය සුසංයෝගයට සමීප වන අතර, විස්තාරය, නිශ්චිත පරාසයක අගයන් තුළ, නියත බාහිර බලපෑමේ විශාලත්වය වැඩි වේ.

එවැනි පද්ධතියකට උදාහරණයක් වන්නේ පෙන්ඩුලම් ඔරලෝසුවක රැට්චට් යාන්ත්‍රණයයි, එහි රූප සටහන රූපයේ දැක්වේ. 2. රැට්චෙට් රෝද ඇක්සලය මත ඒ(මෙම පද්ධතියේ රේඛීය නොවන නියාමකයෙකුගේ කාර්යය ඉටු කරයි) බලයේ නියත මොහොතක් පවතී එම්, ප්‍රධාන උල්පතේ සිට ගියර් දුම්රියක් හරහා හෝ බරකින් සම්ප්‍රේෂණය වේ. රෝදය කැරකෙන විට ඒඑහි දත් පෙන්ඩුලයට කෙටි කාලීන බලයක් ලබා දෙයි පී(දෝලනය), එහි දෝලනයන් මැකී නොයන ස්තුතිය. යාන්ත්‍රණයේ චාලක විද්‍යාව පද්ධතියේ ප්‍රතිපෝෂණ භූමිකාව ඉටු කරයි, රෝදයේ භ්‍රමණය පෙන්ඩුලමයේ දෝලනයන් සමඟ සමමුහුර්ත කරමින් දෝලනය වන සම්පූර්ණ කාලය තුළ රෝදය එක් දතකට අනුරූප කෝණයක් හරහා භ්‍රමණය වේ.

හාර්මොනික් ඔස්කිලේටර් අඩංගු නොවන ස්වයං-දෝලන පද්ධති ලෙස හැඳින්වේ ලිහිල් කිරීම. ඒවායේ ඇති කම්පන හාර්මොනික් ඒවාට වඩා බෙහෙවින් වෙනස් විය හැකි අතර සෘජුකෝණාස්රාකාර, ත්රිකෝණාකාර හෝ trapezoidal හැඩයක් ඇත. ලිහිල් කිරීමේ ස්වයං දෝලනයන්හි විස්තාරය සහ කාලසීමාව තීරණය වන්නේ නියත බලපෑමේ විශාලත්වයේ අනුපාතය සහ පද්ධතියේ අවස්ථිතිභාවයේ සහ විසුරුවා හැරීමේ ලක්ෂණ මගිනි.

සහල්. 3විදුලි සීනුව

ස්වයං දෝලනය ලිහිල් කිරීමේ සරලම උදාහරණය වන්නේ රූපයේ දැක්වෙන විදුලි සීනුවක ක්‍රියාකාරිත්වයයි. 3. මෙහි නියත (ආවර්තිතා නොවන) නිරාවරණ මූලාශ්රය විද්යුත් බැටරියකි යූ; රේඛීය නොවන නියාමකයෙකුගේ කාර්යභාරය චොපර් මගින් සිදු කෙරේ ටී, විදුලි පරිපථයක් වසා දැමීම සහ විවෘත කිරීම, එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස එහි අතුරු ධාරාවක් දිස්වේ; දෝලනය වන මූලද්‍රව්‍ය යනු විද්‍යුත් චුම්භකයක හරය තුළ වරින් වර ප්‍රේරණය වන චුම්බක ක්ෂේත්‍රයකි ඊ, සහ නැංගුරම ඒ, ප්රත්යාවර්ත චුම්බක ක්ෂේත්රයක බලපෑම යටතේ ගමන් කිරීම. ආමේචරයේ උච්චාවචනයන් බ්රේකර් සක්රිය කරයි, එය ප්රතිපෝෂණ සාදයි.

මෙම පද්ධතියේ අවස්ථිති බව විවිධ භෞතික ප්රමාණ දෙකකින් තීරණය වේ: ආමේචරයේ අවස්ථිති මොහොත ඒසහ විද්යුත් චුම්භක එතීෙම් ප්රේරණය ඊ. මෙම ඕනෑම පරාමිතියක වැඩි වීමක් ස්වයං දෝලනය වීමේ කාලය වැඩි වීමට හේතු වේ.

පද්ධතිය තුළ එකිනෙකින් ස්වාධීනව දෝලනය වන සහ එකවර රේඛීය නොවන නියාමකයෙකුට හෝ නියාමකයෙකුට බලපෑම් කරන මූලද්‍රව්‍ය කිහිපයක් තිබේ නම් (ඒවායින් කිහිපයක් ද තිබිය හැකිය), ස්වයං-දෝලනය වඩාත් සංකීර්ණ ස්වභාවයක් ගත හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස, aperiodic, හෝ ගතික අවුල්.

ස්වභාවය සහ තාක්ෂණය තුළ

ස්වයං දෝලනය බොහෝ ස්වභාවික සංසිද්ධිවලට යටින් පවතී:

· ඒකාකාර වායු ප්රවාහයක බලපෑම යටතේ ශාක පත්රවල කම්පන;

· ගංගාවල ඉරිතැලීම් සහ වේගවත් මත කැළඹිලි සහිත ගලා යාම;

· නිත්‍ය ගීසර ක්‍රියාව ආදිය.

විවිධ තාක්ෂණික උපාංග සහ උපාංග විශාල සංඛ්‍යාවක මෙහෙයුම් මූලධර්මය ස්වයං දෝලනය මත පදනම් වේ, ඒවා අතර:

· යාන්ත්‍රික සහ විද්‍යුත් යන දෙඅංශයෙන්ම සියලුම ආකාරයේ ඔරලෝසු ක්‍රියාත්මක කිරීම;

· සියලු සුළං සහ තන්තු සහිත සංගීත භාණ්ඩවල ශබ්දය;

©2015-2019 අඩවිය
සියලුම හිමිකම් ඔවුන්ගේ කතුවරුන් සතුය. මෙම වෙබ් අඩවිය කර්තෘත්වයට හිමිකම් නොකියයි, නමුත් නොමිලේ භාවිතය සපයයි.
පිටු නිර්මාණය දිනය: 2017-04-04

දෝලන චලිතය- ශරීරයේ ආවර්තිතා හෝ පාහේ ආවර්තිතා චලනය, සමාන කාල පරාසයන් තුළ ආසන්න වශයෙන් එකම අගයන් ගන්නා ඛණ්ඩාංක, වේගය සහ ත්වරණය.

යාන්ත්‍රික කම්පන ඇති වන්නේ, ශරීරයක් සමතුලිත තත්ත්වයෙන් ඉවත් කළ විට, ශරීරය ආපසු හැරීමට නැඹුරු වන බලයක් දිස්වන විට ය.

විස්ථාපනය x යනු සමතුලිත ස්ථානයේ සිට ශරීරයේ අපගමනයයි.

විස්තාරය A යනු ශරීරයේ උපරිම විස්ථාපනයේ මොඩියුලයයි.

දෝලන කාලය T - එක් දෝලනයක කාලය:

දෝලන සංඛ්යාතය

කාල ඒකකයකට ශරීරයක් විසින් සිදු කරන ලද දෝලනය ගණන: දෝලනය අතරතුර, වේගය සහ ත්වරණය වරින් වර වෙනස් වේ. සමතුලිත ස්ථානයේ වේගය උපරිම වන අතර ත්වරණය ශුන්‍ය වේ. උපරිම විස්ථාපන ලක්ෂ්යවලදී, ත්වරණය උපරිමයට ළඟා වන අතර වේගය ශුන්ය වේ.

හාර්මොනික් කම්පන කාලසටහන

හාර්මොනික්සයින් හෝ කොසයින් නීතියට අනුව සිදුවන කම්පන ලෙස හැඳින්වේ:

මෙහි x(t) යනු t අවස්ථාවේ පද්ධතියේ විස්ථාපනයයි, A යනු විස්තාරයයි, ω යනු දෝලනවල චක්‍රීය සංඛ්‍යාතයයි.

ඔබ ශරීරයේ සමතුලිත ස්ථානයේ සිට සිරස් අක්ෂය දිගේ සහ කාලය තිරස් අක්ෂය දිගේ සැලසුම් කරන්නේ නම්, ඔබට දෝලනය වන ප්‍රස්ථාරයක් ලැබෙනු ඇත x = x (t) - නියමිත වේලාවට ශරීරයේ විස්ථාපනයේ යැපීම. නිදහස් හාර්මොනික් දෝලනය සඳහා, එය සයින් තරංගයක් හෝ කොසයින් තරංගයක් වේ. රූපයේ දැක්වෙන්නේ විස්ථාපන x හි යැපීම, V x ප්‍රවේගයේ ප්‍රක්ෂේපන සහ නියමිත වේලාවට a x ත්වරණය.

ප්‍රස්ථාර වලින් දැකිය හැකි පරිදි, උපරිම විස්ථාපනයේදී x, දෝලනය වන ශරීරයේ වේගය V ශුන්‍ය වේ, ත්වරණය a, එබැවින් ශරීරය මත ක්‍රියා කරන බලය උපරිම වන අතර විස්ථාපනයට ප්‍රතිවිරුද්ධව යොමු කෙරේ. සමතුලිත ස්ථානයේ දී විස්ථාපනය සහ ත්වරණය ශුන්‍ය වන අතර වේගය උපරිම වේ. ත්වරණ ප්රක්ෂේපණය සෑම විටම විස්ථාපනයට ප්රතිවිරුද්ධ ලකුණක් ඇත.

කම්පන චලිතයේ ශක්තිය

දෝලනය වන ශරීරයක සම්පූර්ණ යාන්ත්‍රික ශක්තිය එහි චාලක සහ විභව ශක්තීන්ගේ එකතුවට සමාන වන අතර ඝර්ෂණය නොමැති විට නියතව පවතී:

විස්ථාපනය උපරිම x = A වෙත ළඟා වන මොහොතේදී, වේගය සහ ඒ සමඟ චාලක ශක්තිය ශුන්‍යයට යයි.

මෙම අවස්ථාවේදී, සම්පූර්ණ ශක්තිය විභව ශක්තියට සමාන වේ:

දෝලනය වන ශරීරයක සම්පූර්ණ යාන්ත්‍රික ශක්තිය එහි දෝලනයන්හි විස්තාරයේ වර්ගයට සමානුපාතික වේ.

පද්ධතිය සමතුලිත තත්ත්වය පසු කරන විට, විස්ථාපනය සහ විභව ශක්තිය ශුන්‍ය වේ: x = 0, E p = 0. එබැවින්, සම්පූර්ණ ශක්තිය චාලක ශක්තියට සමාන වේ:

දෝලනය වන ශරීරයක සම්පූර්ණ යාන්ත්‍රික ශක්තිය සමතුලිත ස්ථානයේ එහි වේගයේ වර්ගයට සමානුපාතික වේ. එබැවින්:

ගණිතමය පෙන්ඩලය

1. ගණිත පෙන්ඩලයබර රහිත විස්තීරණ නූල් මත අත්හිටුවන ලද ද්රව්යමය ලක්ෂ්යයකි.

සමතුලිත ස්ථානයේ දී ගුරුත්වාකර්ෂණ බලය නූල් ආතතියෙන් වන්දි ලබා දේ. පෙන්ඩලය අපගමනය කර මුදා හරිනු ලැබුවහොත්, බලවේග එකිනෙකාට වන්දි ගෙවීම නවත්වනු ඇති අතර, සමතුලිත තත්ත්වය දෙසට යොමු කරන ලද බලයක් පැන නගී. නිව්ටන්ගේ දෙවන නියමය:

කුඩා දෝලනය සඳහා, විස්ථාපනය x l ට වඩා බෙහෙවින් අඩු වූ විට, ද්‍රව්‍ය ලක්ෂ්‍යය තිරස් x අක්ෂය දිගේ පාහේ ගමන් කරයි. එවිට MAB ත්‍රිකෝණයෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

නිසා sin a = x/l, එවිට ලැබෙන බලය R x අක්ෂය වෙත ප්රක්ෂේපණය කිරීම සමාන වේ

ඍණ ලකුණෙන් පෙන්නුම් කරන්නේ R බලය සෑම විටම x විස්ථාපනයට ප්‍රතිවිරුද්ධව යොමු කර ඇති බවයි.

2. ඉතින්, ගණිතමය පෙන්ඩලයක දෝලනය වීමේදී මෙන්ම වසන්ත පෙන්ඩලයක දෝලනයන්හිදී, ප්රතිස්ථාපන බලය විස්ථාපනයට සමානුපාතික වන අතර ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවට යොමු කෙරේ.

ගණිතමය සහ වසන්ත පෙන්ඩුලම්වල ප්‍රතිස්ථාපන බලය සඳහා ප්‍රකාශන සංසන්දනය කරමු:

mg/l යනු k හි ප්‍රතිසමයක් බව දැකිය හැක. වසන්ත පෙන්ඩලයක කාලසීමාව සඳහා සූත්‍රයේ k වෙනුවට mg/l

අපි ගණිතමය පෙන්ඩලයක කාල පරිච්ඡේදය සඳහා සූත්‍රය ලබා ගනිමු:

ගණිතමය පෙන්ඩලයක කුඩා දෝලනය වීමේ කාලය විස්තාරය මත රඳා නොපවතී.

පෘථිවි පෘෂ්ඨයේ දී ඇති ස්ථානයක කාලය මැනීමට සහ ගුරුත්වාකර්ෂණ ත්වරණය තීරණය කිරීමට ගණිතමය පෙන්ඩුලමයක් භාවිතා කරයි.

අපගමනය වන කුඩා කෝණවල ගණිතමය පෙන්ඩලයක නිදහස් දෝලනය සමගාමී වේ. ඒවා සිදු වන්නේ ගුරුත්වාකර්ෂණ බලය සහ නූල්වල ආතති බලය මෙන්ම භාරයේ අවස්ථිති භාවය හේතුවෙනි. මෙම බලවේගවල ප්රතිඵලය වන්නේ ප්රතිෂ්ඨාපන බලයයි.

උදාහරණයක්.මීටර් 6.25ක් දිග පෙන්ඩනයක් තත්පර 3.14ක නිදහස් දෝලනය වන කාල සීමාවක් ඇති ග්‍රහලෝකයක ගුරුත්වාකර්ෂණය හේතුවෙන් ත්වරණය නිර්ණය කරන්න.

ගණිතමය පෙන්ඩලයක දෝලනය වීමේ කාලය නූල් වල දිග සහ ගුරුත්වාකර්ෂණ ත්වරණය මත රඳා පවතී:

සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තම වර්ග කිරීමෙන්, අපට ලැබෙන්නේ:

පිළිතුර:ගුරුත්වාකර්ෂණ ත්වරණය 25 m/s 2 වේ.

මාතෘකාව පිළිබඳ ගැටළු සහ පරීක්ෂණ "මාතෘකාව 4. "යාන්ත්ර විද්යාව. දෝලනය සහ තරංග."

• තීර්යක් සහ කල්පවත්නා තරංග. තරංග ආයාමය

  පාඩම්: 3 පැවරුම්: 9 පරීක්ෂණ: 1

• ශබ්ද තරංග. ශබ්ද වේගය - යාන්ත්රික කම්පන සහ තරංග. ශබ්දය 9 වන ශ්රේණියේ

අපි භෞතිකව සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් පද්ධති කිහිපයක් පරීක්ෂා කර, චලිතයේ සමීකරණ එකම ස්වරූපයකට අඩු කිරීමට වග බලා ගත්තා.

භෞතික පද්ධති අතර වෙනස්කම් පෙනෙන්නේ ප්‍රමාණයේ විවිධ නිර්වචනවල පමණි සහ විචල්‍යයේ විවිධ භෞතික සංවේදනයන්හිදී x: මෙය ඛණ්ඩාංකයක්, කෝණයක්, ආරෝපණයක්, ධාරාවක්, යනාදිය විය හැක. මෙම අවස්ථාවේ දී, සමීකරණයේ (1.18) ව්‍යුහයෙන් පහත පරිදි, ප්‍රමාණයට සෑම විටම ප්‍රතිලෝම කාලයෙහි මානය ඇති බව සලකන්න.

සමීකරණය (1.18) ඊනියා විස්තර කරයි හාර්මොනික් කම්පන.

හාර්මොනික් කම්පන සමීකරණය (1.18) යනු දෙවන පෙළ රේඛීය අවකල සමීකරණයකි (එහි විචල්‍යයේ දෙවන ව්‍යුත්පන්නය අඩංගු බැවින් x). සමීකරණයේ රේඛීයත්වය යනු එයයි

යම් කාර්යයක් නම් x(t)මෙම සමීකරණයට විසඳුමක් වේ, පසුව ශ්රිතය Cx(t)ඔහුගේ විසඳුම ද වනු ඇත ( සී- අත්තනෝමතික නියත);

කාර්යයන් නම් x 1(t)සහ x 2(t)මෙම සමීකරණයට විසඳුම් වේ, පසුව ඒවායේ එකතුව x 1 (t) + x 2 (t)එම සමීකරණයට විසඳුමක් ද වනු ඇත.

ගණිතමය ප්‍රමේයයක් ද ඔප්පු කර ඇති අතර, ඒ අනුව දෙවන පෙළ සමීකරණයකට ස්වාධීන විසඳුම් දෙකක් ඇත. රේඛීයත්වයේ ගුණාංග අනුව අනෙකුත් සියලුම විසඳුම්, ඒවායේ රේඛීය සංයෝජන ලෙස ලබා ගත හැකිය. ස්වාධීන ක්‍රියාකාරීත්වය සහ සමීකරණය තෘප්තිමත් කරන බව සෘජු අවකලනය මගින් සත්‍යාපනය කිරීම පහසුය (1.18). මෙයින් අදහස් කරන්නේ මෙම සමීකරණයට පොදු විසඳුමේ ස්වරූපය ඇති බවයි:

කොහෙද C 1,C 2- අත්තනෝමතික නියතයන්. මෙම විසඳුම වෙනත් ආකාරයකින් ඉදිරිපත් කළ හැකිය. අපි අගය ඇතුල් කරමු

සහ සම්බන්ධතා මගින් කෝණය තීරණය කරන්න:

එවිට සාමාන්ය විසඳුම (1.19) ලෙස ලියා ඇත

ත්‍රිකෝණමිතිය සූත්‍රවලට අනුව වරහන් තුළ ප්‍රකාශනය සමාන වේ

අපි අන්තිමට එනවා හාර්මොනික් කම්පන සමීකරණයේ පොදු විසඳුමපරිදි:

සෘණ නොවන අගය ඒකියලා කම්පන විස්තාරය, - දෝලනය වීමේ ආරම්භක අදියර. සම්පූර්ණ කෝසයින් තර්කය - සංයෝජනය - ලෙස හැඳින්වේ දෝලනය අදියර.

ප්‍රකාශන (1.19) සහ (1.23) සම්පූර්ණයෙන්ම සමාන වේ, එබැවින් අපට සරල බව පිළිබඳ සලකා බැලීම් මත පදනම්ව ඒවායින් ඕනෑම එකක් භාවිතා කළ හැකිය. විසඳුම් දෙකම කාලානුරූපී කාර්යයන් වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, සයින් සහ කොසයින් කාලපරිච්ඡේදයක් සමඟ ආවර්තිතා වේ . එබැවින්, සුසංයෝග දෝලනයන් සිදු කරන පද්ධතියක විවිධ තත්ත්‍වයන් කාලයකට පසුව නැවත නැවත සිදු වේ ටී*, දෝලනය වීමේ අදියරෙහි ගුණාකාරයක් වන වර්ධකයක් ලැබේ :

එය අනුගමනය කරයි

අඩුම තරමේ මේ වෙලාවල්

කියලා දෝලනය වීමේ කාලය (රූපය 1.8), සහ - ඔහුගේ චක්රලේඛය (චක්රීය) සංඛ්යාතය.

සහල්. 1.8

ඔවුන් ද භාවිතා කරයි සංඛ්යාතය උච්චාවචනයන්

ඒ අනුව, චක්රලේඛ සංඛ්යාතය අනුව දෝලනය වන සංඛ්යාවට සමාන වේ තත්පර

ඉතින්, නියමිත වේලාවට පද්ධතිය නම් ටීවිචල්‍යයේ අගය මගින් සංලක්ෂිත වේ x(t),එවිට විචල්‍යයට යම් කාලපරිච්ඡේදයකට පසු සමාන අගයක් ලැබෙනු ඇත (රූපය 1.9), එනම්

කාලයත් සමඟ එකම අර්ථය ස්වභාවිකවම පුනරාවර්තනය වේ 2T, ZTආදිය

සහල්. 1.9 දෝලන කාලය

සාමාන්‍ය විසඳුමට අත්තනෝමතික නියතයන් දෙකක් ඇතුළත් වේ ( C 1, C 2හෝ ඒ, ඒ), එහි අගයන් දෙකකින් තීරණය කළ යුතුය ආරම්භක කොන්දේසි. සාමාන්‍යයෙන් (අත්‍යවශ්‍ය නොවන නමුත්) ඔවුන්ගේ කාර්යභාරය විචල්‍යයේ ආරම්භක අගයන් විසින් ඉටු කරනු ලැබේ x(0)සහ එහි ව්යුත්පන්නය.

අපි උදාහරණයක් දෙමු. හාර්මොනික් දෝලනය සමීකරණයේ විසඳුම (1.19) වසන්ත පෙන්ඩලයක චලිතය විස්තර කරමු. අත්තනෝමතික නියතවල අගයන් රඳා පවතින්නේ අප පෙන්ඩලය සමතුලිතතාවයෙන් පිටතට ගෙන ආ ආකාරය මතය. නිදසුනක් වශයෙන්, අපි දුරින් වසන්තය ඇදගෙන ගියෙමු සහ ආරම්භක වේගයකින් තොරව පන්දුව මුදා හැරියේය. මේ අවස්ථාවේ දී

ආදේශ කරනවා t = 0(1.19), අපි නියතයේ අගය සොයා ගනිමු C 2

විසඳුම මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:

කාලයට සාපේක්ෂව අවකලනය මගින් බර පැටවීමේ වේගය අපි සොයා ගනිමු

මෙහි ආදේශ කිරීම ටී = 0, නියතය සොයන්න C 1:

අවසාන

(1.23) සමඟ සසඳන විට, අපි එය සොයා ගනිමු දෝලනවල විස්තාරය වන අතර එහි ආරම්භක අදියර ශුන්ය වේ: .

අපි දැන් වෙනත් ආකාරයකින් පෙන්ඩලය අසමතුලිත කරමු. එය ආරම්භක වේගයක් ලබා ගන්නා පරිදි බරට පහර දෙමු, නමුත් බලපෑම අතරතුර ප්‍රායෝගිකව චලනය නොවේ. එවිට අපට වෙනත් මූලික කොන්දේසි තිබේ:

අපගේ විසඳුම පෙනෙන්නේ

පැටවීමේ වේගය නීතියට අනුව වෙනස් වේ:

අපි මෙහි ආදේශ කරමු:

වරින් වර පුනරාවර්තනය වන ඕනෑම චලනයක් දෝලනය ලෙස හැඳින්වේ. එබැවින්, දෝලනය වන විට නියමිත වේලාවට ශරීරයේ ඛණ්ඩාංකවල යැපීම් සහ වේගය විස්තර කරනුයේ කාලානුරූපී ශ්‍රිතයන් මගිනි. පාසල් භෞතික විද්‍යා පාඨමාලාවේදී ශරීරයේ පරායත්තතා සහ ප්‍රවේග ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත වන කම්පන සලකා බලනු ලැබේ. , හෝ එහි සංයෝජනයක්, නිශ්චිත සංඛ්යාවක් කොහෙද. එවැනි දෝලනය හර්මොනික් (කාර්යයන්) ලෙස හැඳින්වේ සහ බොහෝ විට හාර්මොනික් කාර්යයන් ලෙස හැඳින්වේ). භෞතික විද්‍යාවේ ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයේ වැඩසටහනට ඇතුළත් කර ඇති දෝලනය පිළිබඳ ගැටළු විසඳීම සඳහා, ඔබ දෝලනය වන චලිතයේ ප්‍රධාන ලක්ෂණ වල නිර්වචන දැන සිටිය යුතුය: විස්තාරය, කාලසීමාව, සංඛ්‍යාතය, රවුම් (හෝ චක්‍රීය) සංඛ්‍යාතය සහ දෝලනය වීමේ අදියර. අපි මෙම නිර්වචන ලබා දී ලැයිස්තුගත ප්‍රමාණයන් නියමිත වේලාවට ශරීරයේ ඛණ්ඩාංකවල රඳා පැවැත්මේ පරාමිතීන් සමඟ සම්බන්ධ කරමු, එය හාර්මොනික් දෝලනය වලදී සෑම විටම ස්වරූපයෙන් නිරූපණය කළ හැකිය.

කොහෙද, සහ සමහර ඉලක්කම් වේ.

දෝලනය වීමේ විස්තාරය යනු දෝලනය වන ශරීරයක් එහි සමතුලිත ස්ථානයේ සිට උපරිම අපගමනය වේ. (11.1) හි ඇති කොසයිනයේ උපරිම සහ අවම අගයන් ±1 ට සමාන වන බැවින්, ශරීරයේ දෝලනය වන (11.1) දෝලනය වීමේ විස්තාරය සමාන වේ. දෝලනය වීමේ කාලය යනු ශරීරයේ චලනය නැවත නැවත සිදු වන අවම කාලයයි. යැපීම සඳහා (11.1), පහත සලකා බැලීම් වලින් කාල සීමාව සැකසිය හැක. කොසයින් යනු කාල පරිච්ඡේද සමඟ ආවර්තිතා ශ්‍රිතයකි. එමනිසා, එවැනි අගයක් හරහා චලනය සම්පූර්ණයෙන්ම පුනරාවර්තනය වේ. මෙතනින් අපිට ලැබෙනවා

දෝලනයන්හි චක්‍රීය (හෝ චක්‍රීය) සංඛ්‍යාතය යනු කාල ඒකකයකට සිදු කරනු ලබන දෝලන සංඛ්‍යාවයි. සූත්‍රයෙන් (11.3) අපි නිගමනය කරන්නේ වෘත්තාකාර සංඛ්‍යාතය සූත්‍රයේ (11.1) ප්‍රමාණය බවයි.

දෝලනය වන අදියර යනු ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයක තර්කය වන අතර එය නියමිත වේලාවට ඛණ්ඩාංකයේ යැපීම විස්තර කරයි. සූත්‍රයෙන් (11.1) අපට පෙනෙන්නේ ශරීරයේ දෝලනය වීමේ අවධිය, යැපීම (11.1) මගින් විස්තර කර ඇති චලනය සමාන බවයි. . කාලය = 0 දී දෝලනය වන අදියරෙහි අගය ආරම්භක අදියර ලෙස හැඳින්වේ. යැපීම සඳහා (11.1), දෝලනය වීමේ ආරම්භක අදියර සමාන වේ. නිසැකවම, දෝලනය වීමේ ආරම්භක අදියර සෑම විටම කොන්දේසි සහිත කාල විමර්ශන ලක්ෂ්‍යය (මොහොත = 0) තේරීම මත රඳා පවතී. කාලයෙහි මූලාරම්භය වෙනස් කිරීමෙන්, දෝලනය වීමේ ආරම්භක අදියර සෑම විටම ශුන්‍යයට සමාන "සාදා" කළ හැකි අතර, සූත්‍රයේ (11.1) සයින් කෝසයින් බවට හෝ අනෙක් අතට "හැරිය හැක".

ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයේ වැඩසටහනට වසන්ත හා ගණිතමය පෙන්ඩුලම් වල දෝලනය වීමේ සංඛ්‍යාතය සඳහා සූත්‍ර පිළිබඳ දැනුම ද ඇතුළත් වේ. වසන්ත පෙන්ඩුලමයක් සාමාන්‍යයෙන් හඳුන්වනු ලබන්නේ වසන්තයේ ක්‍රියාකාරිත්වය යටතේ සුමට තිරස් මතුපිටක් මත දෝලනය විය හැකි ශරීරයක් ලෙසිනි, එහි දෙවන කෙළවර ස්ථාවර වේ (වම් රූපය). ගණිතමය පෙන්ඩුලම යනු දැවැන්ත ශරීරයක් වන අතර, එහි මානයන් නොසලකා හැරිය හැකි, දිගු, බරක් නොමැති සහ දිග හැරිය නොහැකි නූල් (දකුණු රූපය) මත දෝලනය වේ. මෙම පද්ධතියේ නම, "ගණිතමය පෙන්ඩුලම්", එය වියුක්තයක් නියෝජනය කරන බැවිනි. ගණිතමයසැබෑ ආකෘතිය ( භෞතික) පෙන්ඩලය. වසන්ත හා ගණිතමය පෙන්ඩුලම් වල දෝලනය වීමේ කාල පරිච්ඡේදය (හෝ සංඛ්‍යාතය) සඳහා සූත්‍ර මතක තබා ගැනීම අවශ්‍ය වේ. වසන්ත පෙන්ඩනයක් සඳහා

නූල් වල දිග කොහෙද, ගුරුත්වාකර්ෂණ ත්වරණය වේ. ගැටළු විසඳීමේ උදාහරණය භාවිතා කරමින් මෙම නිර්වචන සහ නීති යෙදීම සලකා බලමු.

භාරයේ දෝලනය වීමේ චක්‍රීය සංඛ්‍යාතය සොයා ගැනීමට කාර්යය 11.1.1අපි මුලින්ම දෝලනය වන කාලය සොයා ගනිමු, ඉන්පසු සූත්රය (11.2) භාවිතා කරන්න. 10 m 28 s යනු තත්පර 628 ක් වන අතර, මෙම කාලය තුළ භාරය 100 වතාවක් දෝලනය වන බැවින්, භාරයේ දෝලනය වන කාලය තත්පර 6.28 කි. එබැවින්, දෝලනවල චක්‍රීය සංඛ්‍යාතය 1 s -1 වේ (පිළිතුර 2 ) තුල ගැටළුව 11.1.2භාරය තත්පර 600 කදී දෝලන 60 ක් සිදු කරන ලදී, එබැවින් දෝලනය වන සංඛ්‍යාතය 0.1 s -1 වේ (පිළිතුර 1 ).

භාරය කාල පරිච්ඡේද 2.5 කින් ගමන් කරන දුර තේරුම් ගැනීමට ( ගැටළුව 11.1.3), අපි ඔහුගේ චලනය අනුගමනය කරමු. කාලපරිච්ඡේදයකට පසු, භාරය නැවත උපරිම අපගමනය වන ස්ථානයට පැමිණ සම්පූර්ණ දෝලනයක් සම්පූර්ණ කරයි. එමනිසා, මෙම කාලය තුළ, භාරය විස්තාර හතරකට සමාන දුරක් ගමන් කරනු ඇත: සමතුලිතතා ස්ථානයට - එක් විස්තාරයක්, සමතුලිත ස්ථානයේ සිට අනෙක් දිශාවට උපරිම අපගමනය දක්වා - දෙවන, නැවත සමතුලිත ස්ථානයට - තෙවනුව, සමතුලිත ස්ථානයේ සිට ආරම්භක ස්ථානය දක්වා - හතරවන. දෙවන කාල පරිච්ෙඡ්දය තුළ, භාරය නැවතත් විස්තාරක හතරක් හරහා ගමන් කරනු ඇති අතර, ඉතිරි කාල සීමාව තුළ - විස්තාර දෙකක්. එබැවින්, ගමන් කළ දුර විස්තාර දහයකට සමාන වේ (පිළිතුර 4 ).

ශරීරයේ චලනයේ ප්රමාණය ආරම්භක ස්ථානයේ සිට අවසන් ස්ථානය දක්වා දුර වේ. කාල පරිච්ඡේද 2.5 ට වැඩි කාර්යය 11.1.4සම්පූර්ණ දෝලනය දෙකක් සම්පූර්ණ කිරීමට ශරීරයට කාලය ලැබෙනු ඇත, i.e. උපරිම අපගමනය වනු ඇත, නමුත් සමතුලිත ස්ථානයේ අනෙක් පැත්තෙන්. එබැවින්, විස්ථාපනයේ විශාලත්වය විස්තාරය දෙකකට සමාන වේ (පිළිතුර 3 ).

නිර්වචනය අනුව, දෝලනය වීමේ අදියර යනු නියමිත වේලාවට දෝලනය වන ශරීරයේ ඛණ්ඩාංකවල යැපීම විස්තර කරන ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයක තර්කයයි. එබැවින් නිවැරදි පිළිතුර වේ ගැටළුව 11.1.5 - 3 .

කාල පරිච්ඡේදයක් යනු සම්පූර්ණ දෝලනය වන කාලයයි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ශරීරය චලනය වීමට පටන් ගත් ස්ථානයට නැවත පැමිණීමෙන් කාල පරිච්ඡේදයක් ගත වූ බවක් අදහස් නොවේ: ශරීරය එම ස්ථානයට එකම වේගයකින් ආපසු යා යුතුය. උදාහරණයක් ලෙස, ශරීරයක්, සමතුලිත ස්ථානයක සිට දෝලනය වීම ආරම්භ කළ පසු, එක් දිශාවකට උපරිම ප්‍රමාණයකින් අපගමනය වීමට, ආපසු පැමිණීමට, අනෙක් දිශාවට උපරිමයෙන් අපගමනය වීමට සහ නැවත ආපසු පැමිණීමට කාලය තිබේ. එමනිසා, කාලපරිච්ඡේදය තුළදී ශරීරයට සමතුලිත ස්ථානයේ සිට උපරිම ප්රමාණයෙන් දෙවරක් අපගමනය වී ආපසු පැමිණීමට කාලය ඇත. එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, සමතුලිත ස්ථානයේ සිට උපරිම අපගමනය දක්වා ගමන් කිරීම ( ගැටළුව 11.1.6) ශරීරය කාලයෙන් හතරෙන් එකක් ගත කරයි (පිළිතුර 3 ).

හාර්මොනික් දෝලනය යනු දෝලනය වන සිරුරේ ඛණ්ඩාංක නියමිත වේලාවට යැපීම කාලයෙහි ත්‍රිකෝණමිතික (සයින් හෝ කොසයින්) ශ්‍රිතයක් මගින් විස්තර කෙරේ. තුල කාර්යය 11.1.7මේවා කර්තව්යයන් වන අතර, ඒවාට ඇතුළත් කර ඇති පරාමිතීන් 2 සහ 2 ලෙස නම් කර ඇතත්. ශ්‍රිතය යනු කාල වර්ගයෙහි ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයකි. එබැවින්, ප්‍රමාණවලින් පමණක් කම්පන සහ සුසංයෝග වේ (පිළිතුර 4 ).

හාර්මොනික් කම්පන අතරතුර, ශරීරයේ වේගය නීතියට අනුව වෙනස් වේ , වේග දෝලනයන්හි විස්තාරය කොහිද (වේලා යොමු ලක්ෂ්‍යය තෝරාගෙන ඇති අතර එමඟින් දෝලනය වීමේ ආරම්භක අදියර ශුන්‍යයට සමාන වේ). මෙතැන් සිට අපි ශරීරයේ චාලක ශක්තිය නියමිත වේලාවට යැපීම සොයා ගනිමු
(ගැටළුව 11.1.8) සුප්රසිද්ධ ත්රිකෝණමිතික සූත්රය තවදුරටත් භාවිතා කරමින්, අපි ලබා ගනිමු

මෙම සූත්‍රයෙන් කියවෙන්නේ ප්‍රතිමූර්තිය දෝලනය වීමේදී ශරීරයේ චාලක ශක්තිය වෙනස් වන බව ද ප්‍රතිමූර්තිය නියමයට අනුව නමුත් දෙගුණයක් සංඛ්‍යාතයකින් (පිළිතුර 2 ).

බරෙහි චාලක ශක්තිය සහ වසන්තයේ විභව ශක්තිය අතර සම්බන්ධය පිටුපස ( ගැටළුව 11.1.9) පහත සලකා බැලීම් වලින් අනුගමනය කිරීම පහසුය. සමතුලිත ස්ථානයේ සිට උපරිම ප්රමාණයෙන් ශරීරය අපගමනය කරන විට, ශරීරයේ වේගය ශුන්ය වන අතර, එම නිසා, වසන්තයේ විභව ශක්තිය බරෙහි චාලක ශක්තියට වඩා වැඩි වේ. ඊට ප්රතිවිරුද්ධව, ශරීරය සමතුලිත තත්ත්වය හරහා ගමන් කරන විට, වසන්තයේ විභව ශක්තිය ශුන්ය වන අතර, එබැවින් චාලක ශක්තිය විභව ශක්තියට වඩා වැඩි වේ. එබැවින්, සමතුලිතතා පිහිටීම සහ උපරිම අපගමනය අතර, චාලක සහ විභව ශක්තිය එක් වරක් සංසන්දනය කරනු ලැබේ. යම් කාල පරිච්ඡේදයක් තුළ ශරීරය සමතුලිත ස්ථානයේ සිට උපරිම අපගමනයට හෝ පසුපසට සිව් වතාවක් ගමන් කරන බැවින්, එම කාලය තුළ බරෙහි චාලක ශක්තිය සහ වසන්තයේ විභව ශක්තිය හතර වතාවක් එකිනෙකා සමඟ සංසන්දනය කරයි (පිළිතුර 2 ).

වේග උච්චාවචනවල විස්තාරය ( කාර්යය 11.1.10) බලශක්ති සංරක්ෂණය පිළිබඳ නීතිය භාවිතයෙන් සොයා ගැනීමට පහසුම වේ. උපරිම අපගමනය වන ස්ථානයේ දී, දෝලන පද්ධතියේ ශක්තිය වසන්තයේ විභව ශක්තියට සමාන වේ. , වසන්ත දෘඪතා සංගුණකය කොහෙද, කම්පන විස්තාරය වේ. සමතුලිත තත්ත්වය හරහා ගමන් කරන විට, ශරීරයේ ශක්තිය චාලක ශක්තියට සමාන වේ , ශරීරයේ ස්කන්ධය කොතැනද, සමතුලිත තත්ත්වය හරහා ගමන් කරන විට ශරීරයේ වේගය, දෝලන ක්රියාවලියේදී ශරීරයේ උපරිම වේගය වන අතර, එබැවින්, වේග දෝලනයන්හි විස්තාරය නියෝජනය කරයි. මෙම ශක්තීන් සමාන කරමින්, අපි සොයා ගනිමු

(පිළිතුර 4 ).

සූත්‍රයෙන් (11.5) අපි නිගමනය කරමු ( ගැටළුව 11.2.2), එහි කාලසීමාව ගණිතමය පෙන්ඩලයක ස්කන්ධය මත රඳා නොපවතින අතර දිග 4 ගුණයකින් වැඩි වීමත් සමඟ දෝලනය වීමේ කාලය 2 ගුණයකින් වැඩි වේ (පිළිතුර 1 ).

ඔරලෝසුවක් යනු කාල පරතරයන් මැනීමට භාවිතා කරන දෝලන ක්‍රියාවලියකි ( ගැටළුව 11.2.3) "ඔරලෝසුව කඩිමුඩියේ" යන වචන වලින් අදහස් වන්නේ මෙම ක්රියාවලියේ කාලපරිච්ඡේදය එය විය යුතු දේට වඩා අඩු බවයි. එබැවින්, මෙම ඔරලෝසු වල ප්රගතිය පැහැදිලි කිරීම සඳහා, ක්රියාවලියේ කාලසීමාව වැඩි කිරීම අවශ්ය වේ. සූත්‍රයට (11.5) අනුව, ගණිතමය පෙන්ඩලයක දෝලනය වීමේ කාලය වැඩි කිරීම සඳහා, එහි දිග වැඩි කිරීම අවශ්‍ය වේ (පිළිතුර 3 ).

දෝලනය වීමේ විස්තාරය සොයා ගැනීමට ගැටළුව 11.2.4, තනි ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයක ස්වරූපයෙන් නියමිත වේලාවට ශරීරයේ ඛණ්ඩාංකවල යැපීම නියෝජනය කිරීම අවශ්‍ය වේ. කොන්දේසියේ දී ඇති කාර්යය සඳහා, අතිරේක කෝණයක් හඳුන්වා දීමෙන් මෙය කළ හැකිය. මෙම ශ්‍රිතය ගුණ කිරීම සහ බෙදීම සහ ත්රිකෝණමිතික ශ්රිත එකතු කිරීම සඳහා සූත්රය භාවිතා කිරීම, අපි ලබා ගනිමු

කෝ එවැනි කෝණයක් . මෙම සූත්‍රයෙන් ඇඟවෙන්නේ ශරීරයේ දෝලනය වීමේ විස්තාරය බවයි (පිළිතුර 4 ).