Číselné úseky, intervaly, polovičné intervaly a lúče sa nazývajú číselné intervaly. Číselné intervaly Funkcia. Graf funkcie

B) Číselný rad

Zvážte číselný rad (obr. 6):

Zvážte množinu racionálnych čísel

Každé racionálne číslo je reprezentované nejakým bodom na číselnej osi. Čísla sú teda vyznačené na obrázku.

Dokážme to.

Dôkaz. Nech je tam zlomok : . Máme právo považovať tento zlomok za neredukovateľný. Od , teda - číslo je párne: - nepárne. Nahradením výrazu namiesto neho nájdeme: , z čoho vyplýva, že ide o párne číslo. Získali sme rozpor, ktorý dokazuje toto tvrdenie.

Nie všetky body číselnej osi teda predstavujú racionálne čísla. Tie bodky, ktoré nepredstavujú racionálne čísla, predstavujú volané čísla iracionálny.

Akékoľvek číslo v tvare , , je buď celé číslo alebo iracionálne.

Číselné rozpätia

Číselné úseky, intervaly, polovičné intervaly a lúče sa nazývajú číselné intervaly.

Predstavme si na súradnicovej čiare čísla a A b, ako aj číslo X medzi nimi.

Množina všetkých čísel, ktoré spĺňajú podmienku a ≤ x ≤ b, sa volá číselný segment alebo len rez. Označuje sa takto: a; b]-Znie to takto: segment od a po b.

Množina čísel, ktoré spĺňajú podmienku a< x < b , sa volá interval. Je to označené takto: a; b)

Znie to takto: interval od a do b.

Množiny čísel spĺňajúce podmienky a ≤ x< b или a<x ≤ b, sa volajú polovičné intervaly. Označenia:

Nastavte a ≤ x< b обозначается так:[a; b), sa číta takto: polovičný interval od a predtým b, počítajúc do toho a.

Kopa a<x ≤ b označené takto: a; b], znie takto: polovičný interval od a predtým b, počítajúc do toho b.

Teraz si predstavte Ray s bodkou a, vpravo a vľavo od neho je množina čísel.

a, splnenie podmienky x ≥ a, sa volá číselný lúč.

Označuje sa takto: a; +∞) - Znie to takto: číselný lúč z a až do plus nekonečna.

Veľa čísel napravo od bodky a zodpovedajúce nerovnosti x > a, sa volá otvorený číselný lúč.

Je to označené takto: a; +∞) - Znie to takto: otvorený číselný lúč z a až do plus nekonečna.

a, splnenie podmienky x ≤ a, sa volá číselný rad od mínus nekonečna doa .

Je to označené takto: -∞; a]-Znie to takto: číselný lúč od mínus nekonečna do a.

Sada čísel naľavo od bodky a zodpovedajúce nerovnosti X< a , sa volá otvorený numerický lúč od mínus nekonečna doa .

Je to označené takto: -∞; a) - Znie to takto: otvorený číselný lúč od mínus nekonečna do a.

Množina reálnych čísel je reprezentovaná celou súradnicovou čiarou. Volá sa číselný rad. Je to označené takto: - ∞; + ∞ )

3) Lineárne rovnice a nerovnice s jednou premennou, ich riešenia:

Rovnica obsahujúca premennú sa nazýva rovnica s jednou premennou alebo rovnica s jednou neznámou. Napríklad rovnica s jednou premennou je 3(2x+7)=4x-1.

Koreň alebo riešenie rovnice je hodnota premennej, pri ktorej sa rovnica stáva skutočnou číselnou rovnosťou. Napríklad číslo 1 je riešením rovnice 2x+5=8x-1. Rovnica x2+1=0 nemá riešenie, pretože ľavá strana rovnice je vždy väčšia ako nula. Rovnica (x+3)(x-4)=0 má dva korene: x1= -3, x2=4.

Riešenie rovnice znamená nájsť všetky jej korene alebo dokázať, že žiadne korene neexistujú.

Rovnice sa nazývajú ekvivalentné, ak všetky korene prvej rovnice sú koreňmi druhej rovnice a naopak, všetky korene druhej rovnice sú koreňmi prvej rovnice, alebo ak obe rovnice nemajú korene. Napríklad rovnice x-8=2 a x+10=20 sú ekvivalentné, pretože koreň prvej rovnice x=10 je zároveň koreňom druhej rovnice a obe rovnice majú rovnaký koreň.

Pri riešení rovníc sa používajú tieto vlastnosti:

Ak v rovnici prenesiete výraz z jednej časti do druhej a zmeníte jej znamienko, dostanete rovnicu, ktorá je ekvivalentná tejto rovnici.

Ak sa obe strany rovnice vynásobia alebo vydelia rovnakým nenulovým číslom, získa sa rovnica, ktorá je ekvivalentná danej.

Rovnica ax=b, kde x je premenná a aab sú nejaké čísla, sa nazýva lineárna rovnica s jednou premennou.

Ak a¹0, potom rovnica má jedinečné riešenie.

Ak a=0, b=0, potom rovnicu spĺňa ľubovoľná hodnota x.

Ak a=0, b¹0, potom rovnica nemá riešenia, pretože 0x=b sa nevykoná pre žiadnu hodnotu premennej.
Príklad 1. Vyriešte rovnicu: -8(11-2x)+40=3(5x-4)

Otvorme zátvorky v oboch častiach rovnice, presunieme všetky členy s x na ľavú stranu rovnice a členy, ktoré neobsahujú x na pravú stranu, dostaneme:

16x-15x=88-40-12

Príklad 2. Riešte rovnice:

x3-2x2-98x+18=0;

Tieto rovnice nie sú lineárne, ale ukážeme si, ako sa dajú takéto rovnice riešiť.

3x2-5x=0; x(3x-5)=0. Súčin sa rovná nule, ak sa jeden z faktorov rovná nule, dostaneme x1=0; x2= .

Odpoveď: 0; .

Faktorizácia ľavej strany rovnice:

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), t.j. (x-2)(x-3)(x+3)=0. To ukazuje, že riešenia tejto rovnice sú čísla x1=2, x2=3, x3=-3.

c) Predstavme si 7x ako 3x+4x, potom máme: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4) = 0, teda x1=-3, x2=-4.

Odpoveď: -3; - 4.
Príklad 3. Vyriešte rovnicu: ½x+1ç+½x-1ç=3.

Pripomeňme si definíciu modulu čísla:

Napríklad: ½3½=3, ½0½=0, ½-4½= 4.

V tejto rovnici sú pod znakom modulu čísla x-1 a x + 1. Ak je x menšie ako -1, potom x+1 je záporné, potom ½x+1½=-x-1. A ak x>-1, potom ½x+1½=x+1. Pre x=-1 ½x+1½=0.

teda

Podobne

a) Uvažujme túto rovnicu½x+1½+½x-1½=3 pre x£-1, je ekvivalentná rovnici -x-1-x+1=3, -2x=3, x= , toto číslo patrí do množiny x £-1.

b) Nech -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

c) Uvažujme prípad x>1.

x+1+x-1=3, 2x=3, x=. Toto číslo patrí do množiny x>1.

Odpoveď: x1=-1,5; x2 = 1,5.
Príklad 4. Vyriešte rovnicu:½x+2½+3½x½=2½x-1½.

Ukážme si krátky záznam riešenia rovnice s rozšírením znamienka modulu „o intervaly“.

x £-2, -(x + 2) -3x \u003d -2 (x-1), - 4x \u003d 4, x \u003d -2О (-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=-4, x=-2W(1; +¥)

Odpoveď: [-2; 0]
Príklad 5. Vyriešte rovnicu: (a-1) (a + 1) x \u003d (a-1) (a + 2), pre všetky hodnoty parametra a.

Táto rovnica má v skutočnosti dve premenné, ale x považuje za neznámu a a za parameter. Je potrebné vyriešiť rovnicu pre premennú x pre ľubovoľnú hodnotu parametra a.

Ak a=1, potom má rovnica tvar 0×x=0, tejto rovnici vyhovuje ľubovoľné číslo.

Ak a \u003d -1, potom rovnica má tvar 0 × x \u003d -2, táto rovnica nespĺňa žiadne číslo.

Ak a¹1, a¹-1, potom rovnica má jedinečné riešenie.

Odpoveď: ak a=1, potom x je ľubovoľné číslo;

ak a=-1, potom neexistujú žiadne riešenia;

ak a¹±1, potom .

B) Lineárne nerovnosti s jednou premennou.

Ak premennej x dostaneme nejakú číselnú hodnotu, tak dostaneme číselnú nerovnosť vyjadrujúcu buď pravdivé alebo nepravdivé tvrdenie. Nech je daná napríklad nerovnosť 5x-1>3x+2. Pri x=2 dostaneme 5 2-1> 3 2+2 - pravdivé tvrdenie (pravdivé číselné tvrdenie); pre x=0 dostaneme 5·0-1>3·0+2 – nepravdivé tvrdenie. Akákoľvek hodnota premennej, pre ktorú sa daná nerovnosť s premennou zmení na skutočnú číselnú nerovnosť, sa nazýva riešenie nerovnosti. Riešenie nerovnice s premennou znamená nájsť množinu všetkých jej riešení.

Dve nerovnosti s jednou premennou x sa považujú za ekvivalentné, ak sú množiny riešení týchto nerovností rovnaké.

Hlavná myšlienka riešenia nerovnosti je nasledovná: danú nerovnosť nahradíme inou, jednoduchšou, ale ekvivalentnou danej; výsledná nerovnosť je opäť nahradená jednoduchšou ekvivalentnou nerovnicou atď.

Takéto výmeny sa vykonávajú na základe nasledujúcich tvrdení.

Veta 1. Ak sa ktorýkoľvek člen nerovnosti s jednou premennou prenesie z jednej časti nerovnosti na druhú s opačným znamienkom, pričom znamienko nerovnosti zostane nezmenené, dostaneme nerovnosť ekvivalentnú danému znamienku.

Veta 2. Ak sa obe časti nerovnosti s jednou premennou vynásobia alebo vydelia rovnakým kladným číslom, pričom znamienko nerovnosti zostane nezmenené, dostaneme nerovnosť ekvivalentnú danej premennej.

Veta 3. Ak sa obe časti nerovnosti s jednou premennou vynásobia alebo vydelia rovnakým záporným číslom, pričom sa znamienko nerovnosti zmení na opačné, potom dostaneme nerovnosť ekvivalentnú danému.

Nerovnosť v tvare ax+b>0 (resp. ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

Príklad 1. Vyriešte nerovnosť: 2(x-3) + 5(1-x)³3(2x-5).

Otvorením zátvoriek dostaneme 2x-6 + 5-5x³6x-15,

"Tabuľky v algebre stupeň 7" - Rozdiel štvorcov. Výrazy. Obsah. Algebrické tabuľky.

"Numerické funkcie" - Množina X sa nazýva oblasť úloh alebo oblasť definície funkcie f a označuje sa D (f). Funkčný graf. Nie každý riadok je však grafom nejakej funkcie. Príklad 1. Parašutista skočí zo vznášajúceho sa vrtuľníka. Len jedno číslo. Kusová špecifikácia funkcií. Prírodné javy spolu úzko súvisia.

"Číselné postupnosti" - lekcia-konferencia. "Číselné sekvencie". Geometrická progresia. Metódy úloh. Aritmetický postup. Číselné sekvencie.

"Limita numerickej postupnosti" - Riešenie: Metódy špecifikovania postupností. Obmedzená číselná postupnosť. Hodnota уn sa nazýva spoločný člen postupnosti. Limit číselnej postupnosti. Spojitosť funkcie v bode. Príklad: 1, 4, 9, 16, ..., n2, ... - obmedzené zdola 1. Nastavením analytického vzorca. Limitné vlastnosti.

"Číselná postupnosť" - Číselná postupnosť (číselný rad): čísla zapísané v určitom poradí. 2. Metódy nastavenia sekvencií. 1. Definícia. Sekvenčný zápis. Sekvencie. 1. Vzorec n-tého člena postupnosti: - umožňuje nájsť ľubovoľný člen postupnosti. 3. Graf číselnej postupnosti.

"Tabuľky" - Ťažba ropy a plynu. Tabuľka 2. Tabuľka 5. Tabuľkové informačné modely. Poradie konštrukcie tabuľky typu OS. Tabuľka 4. Ročné odhady. Číslo stola. Tabuľky typu "Objekty - objekty". Žiaci 10 "B" triedy. Štruktúra tabuľky. Tabuľky typov objektov-vlastností. Sú opísané dvojice objektov; Nehnuteľnosť je len jedna.

Medzi množinami čísel sú množiny, kde objekty sú číselné intervaly. Pri zadávaní množiny je jednoduchšie určiť podľa intervalu. Množiny riešení preto zapisujeme pomocou číselných intervalov.

Tento článok dáva odpovede na otázky týkajúce sa numerických medzier, názvov, zápisu, obrázkov medzier na súradnicovej čiare, korešpondencie nerovností. Na záver sa zváži tabuľka medzier.

Každé číselné rozpätie je charakterizované:

• názov;
• prítomnosť bežnej alebo dvojitej nerovnosti;
• označenie;
• geometrický obraz na súradnicovej čiare.

Číselný rozsah sa nastavuje pomocou ľubovoľných 3 metód zo zoznamu vyššie. Teda pri použití nerovnosti, zápisu, obrázkov na súradnicovej čiare. Táto metóda je najvhodnejšia.

Urobme popis číselných intervalov s vyššie uvedenými stranami:

Definícia 2

• Otvorte lúč čísla. Názov je spôsobený tým, že je vynechaný a zostáva otvorený.

Tento interval má zodpovedajúce nerovnosti x< a или x >a , kde a je nejaké reálne číslo. To znamená, že na takomto lúči sú všetky reálne čísla menšie ako a - (x< a) или больше a - (x >a) .

Množina čísel, ktorá vyhovie nerovnici v tvare x< a обозначается виде промежутка (− ∞ , a) , а для x >a , ako (a , + ∞) .

Geometrický význam otvoreného lúča zvažuje prítomnosť numerickej medzery. Medzi bodmi súradnicovej čiary a jej číslami existuje súlad, vďaka čomu sa čiara nazýva súradnicová čiara. Ak je potrebné porovnať čísla, potom na súradnicovej čiare je väčšie číslo vpravo. Potom nerovnosť tvaru x< a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x >a - body, ktoré sú vpravo. Samotné číslo nie je vhodné na riešenie, preto je na výkrese označené vyrazenou bodkou. Medzera, ktorá je potrebná, je zvýraznená šrafovaním. Zvážte obrázok nižšie.

Z vyššie uvedeného obrázku je vidieť, že číselné medzery zodpovedajú časti čiary, to znamená lúčom začínajúcim na a. Inými slovami, nazývajú sa lúče bez začiatku. Preto sa nazýval otvorený číselný lúč.

Pozrime sa na pár príkladov.

Príklad 1

Pre danú striktnú nerovnosť x > − 3 je daný otvorený lúč. Tento záznam môže byť reprezentovaný ako súradnice (− 3 , ∞) . To znamená, že toto sú všetky body ležiace vpravo ako - 3 .

Príklad 2

Ak máme nerovnosť tvaru x< 2 , 3 , то запись (− ∞ , 2 , 3) является аналогичной при задании открытого числового луча.

Definícia 3

• číselný lúč. Geometrický význam je, že začiatok nie je zahodený, inými slovami, lúč zanecháva svoju užitočnosť.

Jeho priradenie prebieha pomocou nestriktných nerovníc tvaru x ≤ a alebo x ≥ a . Pre tento typ je akceptovaný špeciálny zápis tvaru (− ∞ , a ] a [ a , + ∞) a prítomnosť hranatej zátvorky znamená, že bod je zahrnutý v riešení alebo v množine. Zvážte obrázok nižšie.

Pre názorný príklad nastavme číselný lúč.

Príklad 3

Nerovnosti tvaru x ≥ 5 zodpovedá zápis [ 5 , + ∞) , potom dostaneme lúč tohto tvaru:

Definícia 4

• Interval. Nastavenie pomocou intervalov sa zapisuje pomocou dvojitých nerovností a< x < b , где а и b являются некоторыми действительными числами, где a меньше b , а x является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше a , но меньше b . Обозначение такого интервала принято записывать в виде (a , b) . Наличие круглых скобок говорит о том, что число a и b не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает 2 выколотые точки.

Zvážte obrázok nižšie.

Príklad 4

Príklad intervalu - 1< x < 3 , 5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала (− 1 , 3 , 5) . Изобразим на координатной прямой и рассмотрим.

Definícia 5

• Číselný riadok. Tento interval sa líši tým, že obsahuje hraničné body, potom má tvar a ≤ x ≤ b . Takáto neprísna nerovnosť hovorí, že pri zápise ako číselný segment sa používajú hranaté zátvorky [ a , b ], čo znamená, že body sú zahrnuté v množine a zobrazujú sa ako vyplnené.

Príklad 5

Po zvážení segmentu dostaneme, že jeho špecifikácia je možná pomocou dvojitej nerovnosti 2 ≤ x ≤ 3 , ktorá je reprezentovaná ako 2 , 3 . Na súradnicovej čiare budú dátové body zahrnuté do riešenia a zatienené.

Definícia 6 Príklad 6

Ak existuje polovičný interval (1 , 3 ] , potom jeho označenie môže byť v tvare dvojitej nerovnosti 1< x ≤ 3 , при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3 , где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой.

Medzery môžu byť zobrazené ako:

• otvorený číselný lúč;
• číselný lúč;
• interval;
• číselný segment;
• polovičný interval.

Pre zjednodušenie procesu výpočtu je potrebné použiť špeciálnu tabuľku, kde sú označenia pre všetky typy číselných intervalov priamky.

názov	nerovnosť	Označenie	Obrázok
Otvorte lúč čísla	X< a	- ∞, a
	x > a	a , +∞
číselný lúč	x ≤ a	(-∞, a]
	x ≥ a	[ a , +∞)
Interval	a< x < b	a , b
Číselný segment	a ≤ x ≤ b	a , b
Polovičný interval

Číselné intervaly zahŕňajú lúče, segmenty, intervaly a polovičné intervaly.

Typy číselných intervalov

Tabuľka a A b sú hraničné body a X- premenná, ktorá môže nadobudnúť súradnicu ľubovoľného bodu patriaceho do číselného intervalu.

hraničný bod je bod, ktorý definuje hranicu číselného intervalu. Hraničný bod môže alebo nemusí patriť do číselného intervalu. Na výkresoch sú hraničné body, ktoré nepatria do uvažovaného číselného intervalu, označené nevyplneným kruhom a tie, ktoré patria do vyplneného kruhu.

Otvorený a uzavretý lúč

otvorený lúč je množina bodov na priamke, ktorá leží na jednej strane hraničného bodu, ktorý nie je zahrnutý v danej množine. Lúč sa nazýva otvorený práve kvôli hraničnému bodu, ktorý mu nepatrí.

Zoberme si množinu bodov na súradnicovej čiare, ktoré majú súradnicu väčšiu ako 2, a preto sú umiestnené napravo od bodu 2:

Takáto množina môže byť definovaná nerovnicou X> 2. Otvorené lúče sú označené zátvorkami - (2; +∞), táto položka znie takto: otvorený numerický lúč od dvoch do plus nekonečna.

Množina zodpovedajúca nerovnosti X < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:

uzavretý lúč je množina bodov na priamke, ktoré ležia na tej istej strane hraničného bodu patriacemu do danej množiny. Na výkresoch sú hraničné body patriace do posudzovaného súboru označené vyplneným kruhom.

Uzavreté číselné lúče sú definované neprísnymi nerovnosťami. Napríklad nerovnosti X 2 a X 2 možno zobraziť takto:

Tieto uzavreté lúče sú označené nasledovne: , čítame takto: číselný lúč od dvoch do plus nekonečna a číselný lúč od mínus nekonečna po dva. Hranatá zátvorka v zápise označuje, že bod 2 patrí do číselnej medzery.

Segment čiary

Segment čiary je množina bodov na priamke, ktorá leží medzi dvoma hraničnými bodmi patriacimi do danej množiny. Takéto zostavy sú dané dvojitými neprísnymi nerovnosťami.

Zvážte segment súradnicovej čiary s koncami v bodoch -2 a 3:

Množina bodov, ktoré tvoria daný segment, môže byť špecifikovaná dvojitou nerovnosťou -2 X 3 alebo označujú [-2; 3], takýto záznam znie takto: segment od mínus dva do troch.

Interval a polovičný interval

Interval je množina bodov na priamke, ktorá leží medzi dvoma hraničnými bodmi, ktoré do danej množiny nepatria. Takéto množiny sú definované dvojitými prísnymi nerovnosťami.

Zvážte segment súradnicovej čiary s koncami v bodoch -2 a 3:

Množina bodov, ktoré tvoria tento interval, môže byť špecifikovaná dvojitou nerovnosťou -2< X < 3 или обозначить (-2; 3). Такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.

Polovičný interval je množina bodov na priamke, ktorá leží medzi dvoma hraničnými bodmi, z ktorých jeden patrí do množiny a druhý nie. Takéto množiny sú dané dvojitými nerovnosťami:

Tieto polovičné intervaly sú označené nasledovne: (-2; 3] a [-2; 3). Znie to takto: polovičný interval od mínus dva do troch vrátane 3 a polovičný interval od mínus dva do troch vrátane mínus dva.