Význam tangens uhla. Sínus, kosínus, tangenta: čo to je? Ako nájsť sínus, kosínus a tangens? Sínus v trigonometrii

Príklady:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Argument a hodnota

Kosínus ostrého uhla

Kosínus ostrého uhla možno určiť pomocou pravouhlého trojuholníka - rovná sa pomeru priľahlej nohy k prepone.

Príklad :

1) Nech je daný uhol a musíte určiť kosínus tohto uhla.

2) Na tomto rohu dotvorme ľubovoľný pravouhlý trojuholník.

3) Po zmeraní potrebných strán môžeme vypočítať kosínus.

Kosínus ostrého uhla je väčší ako \(0\) a menší ako \(1\)

Ak sa pri riešení problému ukázalo, že kosínus ostrého uhla je väčší ako 1 alebo záporný, potom je niekde v riešení chyba.

Kosínus čísla

Číselný kruh vám umožňuje určiť kosínus ľubovoľného čísla, ale zvyčajne nájdete kosínus čísel, ktoré sú nejako spojené s : \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\).

Napríklad pre číslo \(\frac(π)(6)\) - kosínus sa bude rovnať \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . A pre číslo \(-\)\(\frac(3π)(4)\) sa bude rovnať \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (približne \ (-0,71\)).

Kosínus pre iné čísla často sa vyskytujúce v praxi, viď.

Kosínusová hodnota vždy leží medzi \(-1\) a \(1\). V tomto prípade možno kosínus vypočítať pre absolútne akýkoľvek uhol a číslo.

Kosínus ľubovoľného uhla

Vďaka číselnému kruhu je možné určiť kosínus nielen ostrého uhla, ale aj tupého, záporného a dokonca väčšieho ako \ (360 ° \) (úplné otočenie). Ako na to – je ľahšie raz vidieť ako \(100\)-krát počuť, preto sa pozrite na obrázok.

Teraz vysvetlenie: nech je potrebné určiť kosínus uhla KOA s mierou stupňov v \(150°\). Spájame bod O so stredom kruhu a stranou OK- s osou \(x\). Potom odložte \ (150 ° \) proti smeru hodinových ručičiek. Potom ordináta bodu ALE nám ukáže kosínus tohto uhla.

Ak nás zaujíma uhol s mierou stupňov, napríklad v \ (-60 ° \) (uhol KOV), urobíme to isté, ale \(60°\) odložíme v smere hodinových ručičiek.

A nakoniec, uhol je väčší ako \(360°\) (uhol KOS) - všetko je podobné tupému, iba po prejdení celej otáčky v smere hodinových ručičiek prejdeme do druhého kola a „získame nedostatok stupňov“. Konkrétne v našom prípade je uhol \(405°\) vynesený ako \(360° + 45°\).

Je ľahké uhádnuť, že ak chcete odložiť uhol, napríklad v \ (960 ° \), musíte urobiť dve otáčky (\ (360 ° + 360 ° + 240 ° \)) a pre uhol v \ (2640 ° \) - celých sedem.

Stojí za to pripomenúť, že:

Kosínus pravého uhla je nula. Kosínus tupého uhla je záporný.

Kosínusové znaky v štvrtinách

Pomocou kosínusovej osi (tj osi x, zvýraznenej na obrázku červenou farbou) je ľahké určiť znamienka kosínusov pozdĺž číselného (trigonometrického) kruhu:

Ak sú hodnoty na osi od \(0\) do \(1\), kosínus bude mať znamienko plus (štvrtiny I a IV sú zelená plocha),
- kde sú hodnoty na osi od \(0\) do \(-1\), bude mať kosínus znamienko mínus (štvrtiny II a III - fialová oblasť).

Príklad. Definujte znak \(\cos 1\).
Riešenie: Nájdime \(1\) na trigonometrickej kružnici. Vychádzame zo skutočnosti, že \ (π \u003d 3,14 \). To znamená, že jedna je približne trikrát bližšie k nule ("počiatočný" bod).

Ak nakreslíme kolmicu na kosínusovú os, je zrejmé, že \(\cos⁡1\) je kladné.
odpoveď: plus.

Vzťah k iným goniometrickým funkciám:

Funkcia \(y=\cos(x)\)

Ak vykreslíme uhly v radiánoch pozdĺž osi \(x\) a hodnoty kosínusu zodpovedajúce týmto uhlom pozdĺž osi \(y\), dostaneme nasledujúci graf:

Tento graf sa nazýva a má nasledujúce vlastnosti:

Oblasť definície je ľubovoľná hodnota x: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- rozsah hodnôt - od \(-1\) do \(1\) vrátane: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- párne: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- periodické s bodkou \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- priesečníky so súradnicovými osami:
os x: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), kde \(n ϵ Z\)
os y: \((0;1)\)
- intervaly znakov:
funkcia je kladná na intervaloch: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), kde \(n ϵ Z\)
funkcia je záporná na intervaloch: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), kde \(n ϵ Z\)
- intervaly zvyšovania a znižovania:
funkcia rastie v intervaloch: \((π+2πn;2π+2πn)\), kde \(n ϵ Z\)
funkcia klesá v intervaloch: \((2πn;π+2πn)\), kde \(n ϵ Z\)
- maximá a minimá funkcie:
funkcia má maximálnu hodnotu \(y=1\) v bodoch \(x=2πn\), kde \(n ϵ Z\)
funkcia má minimálnu hodnotu \(y=-1\) v bodoch \(x=π+2πn\), kde \(n ϵ Z\).

Aký je sínus, kosínus, tangens, kotangens uhla vám pomôže pochopiť pravouhlý trojuholník.

Ako sa nazývajú strany pravouhlého trojuholníka? Správne, prepona a nohy: prepona je strana, ktorá leží oproti pravému uhlu (v našom príklade je to strana \ (AC \) ); nohy sú dve zostávajúce strany \ (AB \) a \ (BC \) (tie, ktoré susedia s pravým uhlom), navyše, ak vezmeme nohy do úvahy vzhľadom na uhol \ (BC \) , potom noha \ (AB \) je susedná noha a noha \ (BC \) je opačná. Takže teraz odpovedzme na otázku: aký je sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla?

Sínus uhla- to je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k prepone.

V našom trojuholníku:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kosínus uhla- toto je pomer priľahlej (blízkej) nohy k prepone.

V našom trojuholníku:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangenta uhla- to je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k susednej (blízkej).

V našom trojuholníku:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangens uhla- toto je pomer priľahlej (blízkej) nohy k opačnej (ďalekej).

V našom trojuholníku:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Tieto definície sú potrebné zapamätaj si! Aby ste si ľahšie zapamätali, ktorú nohu čím rozdeliť, musíte tomu jasne rozumieť dotyčnica a kotangens sedia len nohy a prepona sa objavuje len v sínus a kosínus. A potom môžete prísť s reťazcom asociácií. Napríklad tento:

kosínus→dotyk→dotyk→priľahlý;

Kotangens→dotyk→dotyk→priľahlý.

V prvom rade je potrebné si uvedomiť, že sínus, kosínus, tangens a kotangens ako pomery strán trojuholníka nezávisia od dĺžok týchto strán (pod jedným uhlom). Nedôveruj? Potom sa presvedčte na obrázku:

Uvažujme napríklad kosínus uhla \(\beta \) . Podľa definície z trojuholníka \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ale môžeme vypočítať kosínus uhla \(\beta \) z trojuholníka \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vidíte, dĺžky strán sú rôzne, ale hodnota kosínusu jedného uhla je rovnaká. Hodnoty sínus, kosínus, tangens a kotangens teda závisia výlučne od veľkosti uhla.

Ak rozumiete definíciám, pokračujte a opravte ich!

Pre trojuholník \(ABC \) , znázornený na obrázku nižšie, nájdeme \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(pole)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(pole) \)

Dobre, pochopili ste to? Potom to skúste sami: vypočítajte to isté pre uhol \(\beta \) .

odpovede: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Jednotkový (trigonometrický) kruh

Pochopením pojmov stupeň a radián sme uvažovali o kružnici s polomerom rovným \ (1 \) . Takýto kruh sa nazýva slobodný. Je veľmi užitočný pri štúdiu trigonometrie. Preto sa mu budeme venovať trochu podrobnejšie.

Ako vidíte, tento kruh je postavený v karteziánskom súradnicovom systéme. Polomer kruhu sa rovná jednej, zatiaľ čo stred kruhu leží v počiatku, počiatočná poloha vektora polomeru je pevná pozdĺž kladného smeru osi \(x \) (v našom príklade je to polomer \(AB \) ).

Každý bod na kruhu zodpovedá dvom číslam: súradnici pozdĺž osi \(x \) a súradnici pozdĺž osi \(y \) . Aké sú tieto súradnicové čísla? A vôbec, čo majú spoločné s danou témou? Aby ste to dosiahli, nezabudnite na uvažovaný pravouhlý trojuholník. Na obrázku vyššie môžete vidieť dva celé pravouhlé trojuholníky. Uvažujme trojuholník \(ACG \) . Je obdĺžnikový, pretože \(CG \) je kolmý na os \(x \).

Čo je \(\cos \ \alpha \) z trojuholníka \(ACG \) ? To je správne \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Okrem toho vieme, že \(AC \) je polomer jednotkovej kružnice, takže \(AC=1 \) . Dosaďte túto hodnotu do nášho kosínusového vzorca. Čo sa stane:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

A čo je \(\sin \ \alpha \) z trojuholníka \(ACG \) ? no, samozrejme, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Dosaďte do tohto vzorca hodnotu polomeru \ (AC \) a získajte:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Môžete mi teda povedať, aké sú súradnice bodu \(C \) , ktorý patrí do kruhu? No v žiadnom prípade? Čo ak si však uvedomíte, že \(\cos \ \alpha \) a \(\sin \alpha \) sú len čísla? Akej súradnici zodpovedá \(\cos \alpha \)? No, samozrejme, súradnice \(x \) ! A akej súradnici zodpovedá \(\sin \alpha \)? Správne, súradnica \(y \)! Takže pointa \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Čo sú potom \(tg \alpha \) a \(ctg \alpha \) ? Správne, použime príslušné definície tangens a kotangens a získajme to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), a \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Čo ak je uhol väčší? Tu, napríklad, ako na tomto obrázku:

Čo sa zmenilo v tomto príklade? Poďme na to. Aby sme to urobili, opäť sa otočíme do pravouhlého trojuholníka. Uvažujme pravouhlý trojuholník \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : uhol (ako susediaci s uhlom \(\beta \) ). Aká je hodnota sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu pre uhol \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Správne, dodržiavame zodpovedajúce definície goniometrických funkcií:

\(\začiatok(pole)(l)\sin \uhol ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \uhol ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\uhol ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\uhol ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(pole) \)

No ako vidíte, hodnota sínusu uhla stále zodpovedá súradnici \ (y \) ; hodnota kosínusu uhla - súradnica \ (x \) ; a hodnoty tangens a kotangens k zodpovedajúcim pomerom. Tieto vzťahy sú teda použiteľné pre akékoľvek rotácie vektora polomeru.

Už bolo spomenuté, že počiatočná poloha vektora polomeru je pozdĺž kladného smeru osi \(x \). Doteraz sme tento vektor otáčali proti smeru hodinových ručičiek, ale čo sa stane, ak ho otočíme v smere hodinových ručičiek? Nič mimoriadne, získate aj uhol určitej veľkosti, ale iba negatívny. Pri otáčaní vektora polomeru proti smeru hodinových ručičiek teda dostaneme kladné uhly a pri otáčaní v smere hodinových ručičiek - negatívne.

Vieme teda, že celá otáčka vektora polomeru okolo kruhu je \(360()^\circ \) alebo \(2\pi \) . Je možné otočiť vektor polomeru o \(390()^\circ \) alebo o \(-1140()^\circ \) ? No, samozrejme, že môžete! V prvom prípade \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), takže vektor polomeru vykoná jednu úplnú rotáciu a zastaví sa na \(30()^\circ \) alebo \(\dfrac(\pi )(6) \) .

V druhom prípade \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), to znamená, že vektor polomeru vykoná tri úplné otáčky a zastaví sa na pozícii \(-60()^\circ \) alebo \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Z vyššie uvedených príkladov teda môžeme vyvodiť záver, že uhly, ktoré sa líšia o \(360()^\circ \cdot m \) alebo \(2\pi \cdot m \) (kde \(m \) je ľubovoľné celé číslo ) zodpovedajú rovnakej polohe vektora polomeru.

Obrázok nižšie zobrazuje uhol \(\beta =-60()^\circ \) . Rovnaký obrázok zodpovedá rohu \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) atď. Tento zoznam môže pokračovať donekonečna. Všetky tieto uhly možno zapísať všeobecným vzorcom \(\beta +360()^\circ \cdot m\) alebo \(\beta +2\pi \cdot m \) (kde \(m \) je ľubovoľné celé číslo)

\(\begin(pole)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(pole) \)

Teraz, keď poznáte definície základných goniometrických funkcií a pomocou jednotkového kruhu, skúste odpovedať na to, čomu sa hodnoty rovnajú:

\(\begin(pole)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(pole) \)

Tu je kruh jednotiek, ktorý vám pomôže:

Nejaké ťažkosti? Potom poďme na to prísť. Takže vieme, že:

\(\begin(pole)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(pole) \)

Odtiaľ určíme súradnice bodov zodpovedajúcich určitým mieram uhla. No, začnime po poriadku: roh dovnútra \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) zodpovedá bodu so súradnicami \(\left(0;1 \right) \), preto:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\šípka doprava \text(tg)\ 90()^\circ \)- neexistuje;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Ďalej, pri dodržaní rovnakej logiky, zistíme, že rohy v \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) zodpovedajú bodom so súradnicami \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \vpravo) \), resp. S týmto vedomím je ľahké určiť hodnoty goniometrických funkcií v zodpovedajúcich bodoch. Najprv si to vyskúšajte a potom skontrolujte odpovede.

odpovede:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\šípka doprava \text(ctg)\ \pi \)- neexistuje

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\šípka doprava \text(tg)\ 270()^\circ \)- neexistuje

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\šípka doprava \text(ctg)\ 2\pi \)- neexistuje

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- neexistuje

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Môžeme teda zostaviť nasledujúcu tabuľku:

Nie je potrebné si pamätať všetky tieto hodnoty. Stačí si zapamätať zhodu medzi súradnicami bodov na jednotkovej kružnici a hodnotami trigonometrických funkcií:

\(\left. \begin(pole)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(pole) \vpravo\)\\text(Treba si zapamätať alebo mať možnosť výstupu!! \) !}

A tu sú hodnoty goniometrických funkcií uhlov v a \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) v tabuľke nižšie si musíte pamätať:

Netreba sa báť, teraz si ukážeme jeden z príkladov celkom jednoduchého zapamätania zodpovedajúcich hodnôt:

Ak chcete použiť túto metódu, je dôležité zapamätať si sínusové hodnoty pre všetky tri miery uhlov ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), ako aj hodnotu dotyčnice uhla v \(30()^\circ \) . Keď poznáte tieto \(4\) hodnoty, je celkom ľahké obnoviť celú tabuľku - hodnoty kosínusu sa prenášajú v súlade so šípkami, to znamená:

\(\begin(pole)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \koniec (pole) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \) s vedomím toho je možné obnoviť hodnoty pre \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Čitateľ „\(1 \) “ sa bude zhodovať s \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) a menovateľ „\(\sqrt(\text(3) \) “ sa bude zhodovať \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Hodnoty kotangens sa prenášajú v súlade so šípkami znázornenými na obrázku. Ak tomu rozumiete a pamätáte si schému so šípkami, bude stačiť zapamätať si iba \ (4 \) hodnoty z tabuľky.

Súradnice bodu na kružnici

Je možné nájsť bod (jeho súradnice) na kružnici, ak poznáme súradnice stredu kružnice, jej polomer a uhol natočenia? No, samozrejme, že môžete! Odvoďme si všeobecný vzorec na zistenie súradníc bodu. Tu máme napríklad taký kruh:

Je nám daný bod \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) je stred kruhu. Polomer kruhu je \(1,5 \) . Je potrebné nájsť súradnice bodu \(P \) získané otočením bodu \(O \) o \(\delta \) stupňov.

Ako vidno z obrázku, súradnica \ (x \) bodu \ (P \) zodpovedá dĺžke úsečky \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Dĺžka segmentu \(UK \) zodpovedá súradnici \(x \) stredu kruhu, to znamená, že sa rovná \(3 \) . Dĺžka segmentu \(KQ \) môže byť vyjadrená pomocou definície kosínusu:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Potom máme pre bod \(P \) súradnicu \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Podľa rovnakej logiky nájdeme hodnotu súradnice y pre bod \(P\) . Touto cestou,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Vo všeobecnosti sú teda súradnice bodov určené vzorcami:

\(\začiatok(pole)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(pole) \), kde

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - súradnice stredu kruhu,

\(r\) - polomer kruhu,

\(\delta \) - uhol natočenia polomeru vektora.

Ako vidíte, pre jednotkový kruh, ktorý uvažujeme, sú tieto vzorce výrazne znížené, pretože súradnice stredu sú nulové a polomer sa rovná jednej:

\(\begin(pole)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(pole) \)

Kosínus je známa trigonometrická funkcia, ktorá je zároveň jednou z hlavných funkcií trigonometrie. Kosínus uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlej vetvy trojuholníka k prepone trojuholníka. Najčastejšie je definícia kosínusu spojená s trojuholníkom presne obdĺžnikového typu. Stáva sa však aj to, že uhol, pre ktorý je potrebné vypočítať kosínus v trojuholníku obdĺžnikového typu, sa nenachádza práve v tomto trojuholníku obdĺžnikového typu. čo potom robiť? Ako nájsť kosínus uhla trojuholníka?

Ak chcete vypočítať kosínus uhla v pravouhlom trojuholníku, potom je všetko veľmi jednoduché. Stačí si spomenúť na definíciu kosínusu, v ktorej je riešenie tohto problému. Musíte len nájsť rovnaký pomer medzi susednou nohou a preponou trojuholníka. V skutočnosti tu nie je ťažké vyjadriť kosínus uhla. Vzorec vyzerá takto: - cosα = a/c, tu "a" je dĺžka nohy a strana "c" je dĺžka prepony. Napríklad pomocou tohto vzorca možno nájsť kosínus ostrého uhla pravouhlého trojuholníka.

Ak vás zaujíma, čomu sa rovná kosínus uhla v ľubovoľnom trojuholníku, potom prichádza na pomoc kosínusová veta, ktorá by sa mala v takýchto prípadoch použiť. Kosínusová veta hovorí, že druhá mocnina strany trojuholníka sa a priori rovná súčtu štvorcov ostatných strán toho istého trojuholníka, ale bez dvojnásobku súčinu týchto strán kosínusom uhla medzi nimi.

1. Ak potrebujete nájsť kosínus ostrého uhla v trojuholníku, musíte použiť nasledujúci vzorec: cosα \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab).
2. Ak je v trojuholníku potrebné nájsť kosínus tupého uhla, musíte použiť nasledujúci vzorec: cosα \u003d (c 2 - a 2 - b 2) / (2ab). Označenia vo vzorci - a a b - sú dĺžky strán, ktoré susedia s požadovaným uhlom, c je dĺžka strany, ktorá je oproti požadovanému uhlu.

Pomocou sínusovej vety možno vypočítať aj kosínus uhla. Hovorí, že všetky strany trojuholníka sú úmerné sínusom uhlov, ktoré sú opačné. Pomocou sínusovej vety môžete vypočítať zostávajúce prvky trojuholníka, pričom poznáte iba dve strany a uhol, ktorý je oproti jednej strane, alebo dva uhly a jednu stranu. Zvážte príklad. Problémové podmienky: a=1; b = 2; c=3. Uhol, ktorý je oproti strane "A", označujeme - α, potom podľa vzorcov máme: cosα \u003d (b² + c²-a²) / (2 * b * c) \u003d (2² + 3² -1²) / (2*2*3)=(4+9-1)/12=12/12=1. odpoveď: 1.

Ak je potrebné vypočítať kosínus uhla nie v trojuholníku, ale v nejakom inom ľubovoľnom geometrickom útvare, potom sa všetko trochu skomplikuje. Hodnotu uhla treba najskôr určiť v radiánoch alebo stupňoch a až potom z tejto hodnoty vypočítať kosínus. Kosínus podľa číselnej hodnoty sa určuje pomocou tabuliek Bradis, inžinierskych kalkulačiek alebo špeciálnych matematických aplikácií.

Špeciálne matematické aplikácie môžu mať funkcie ako automatický výpočet kosínusov uhlov v danom obrázku. Krása takýchto aplikácií je v tom, že dávajú správnu odpoveď a používateľ netrávi čas riešením niekedy dosť zložitých problémov. Na druhej strane, neustálym používaním výhradne aplikácií na riešenie problémov sa strácajú všetky zručnosti pre prácu s riešením matematických úloh na hľadanie kosínusov uhlov v trojuholníkoch, ako aj iných ľubovoľných útvarov.

Jednou z oblastí matematiky, s ktorou sa školáci vyrovnávajú s najväčšími ťažkosťami, je trigonometria. Niet sa čomu čudovať: na slobodné zvládnutie tejto oblasti vedomostí potrebujete priestorové myslenie, schopnosť nájsť sínus, kosínus, tangens, kotangens pomocou vzorcov, zjednodušiť výrazy a vedieť použiť pri výpočtoch číslo pí. Navyše pri dokazovaní viet musíte vedieť aplikovať trigonometriu, a to si vyžaduje buď rozvinutú matematickú pamäť, alebo schopnosť odvodzovať zložité logické reťazce.

Počiatky trigonometrie

Zoznámenie sa s touto vedou by malo začať definíciou sínusu, kosínusu a tangensu uhla, ale najprv musíte zistiť, čo robí trigonometria vo všeobecnosti.

Historicky boli pravouhlé trojuholníky hlavným predmetom štúdia v tejto časti matematickej vedy. Prítomnosť uhla 90 stupňov umožňuje vykonávať rôzne operácie, ktoré umožňujú určiť hodnoty všetkých parametrov uvažovaného obrázku pomocou dvoch strán a jedného uhla alebo dvoch uhlov a jednej strany. V minulosti si tento vzor ľudia všimli a začali ho aktívne využívať pri stavbe budov, navigácii, astronómii a dokonca aj v umení.

Prvé štádium

Spočiatku ľudia hovorili o vzťahu uhlov a strán výlučne na príklade pravouhlých trojuholníkov. Potom boli objavené špeciálne vzorce, ktoré umožnili rozšíriť hranice použitia v každodennom živote tejto časti matematiky.

Štúdium trigonometrie v škole sa dnes začína pravouhlými trojuholníkmi, po ktorých získané poznatky využívajú študenti vo fyzike a riešení abstraktných goniometrických rovníc, s ktorými sa začína už na strednej škole.

Sférická trigonometria

Neskôr, keď sa veda dostala na ďalší stupeň vývoja, začali sa vzorce so sínusom, kosínusom, dotyčnicou, kotangensom používať v sférickej geometrii, kde platia iné pravidlá a súčet uhlov v trojuholníku je vždy viac ako 180 stupňov. Táto časť sa v škole neštuduje, ale je potrebné vedieť o jej existencii, prinajmenšom preto, že zemský povrch, ale aj povrch akejkoľvek inej planéty, je konvexný, čo znamená, že akékoľvek označenie povrchu bude mať „oblúkový tvar“. trojrozmerný priestor.

Vezmite zemeguľu a nite. Pripevnite niť na ľubovoľné dva body na zemeguli tak, aby bola napnutá. Venujte pozornosť - získala tvar oblúka. Práve takýmito formami sa zaoberá sférická geometria, ktorá sa využíva v geodézii, astronómii a iných teoretických a aplikovaných odboroch.

Správny trojuholník

Keď sme sa trochu naučili o spôsoboch používania trigonometrie, vráťme sa k základnej trigonometrii, aby sme ďalej pochopili, čo sú sínus, kosínus, tangens, aké výpočty možno s ich pomocou vykonávať a aké vzorce použiť.

Prvým krokom je pochopenie pojmov súvisiacich s pravouhlým trojuholníkom. Po prvé, prepona je strana opačná k uhlu 90 stupňov. Je najdlhšia. Pamätáme si, že podľa Pytagorovej vety sa jeho číselná hodnota rovná odmocnine súčtu štvorcov ostatných dvoch strán.

Napríklad, ak sú dve strany 3 a 4 centimetre, dĺžka prepony bude 5 centimetrov. Mimochodom, starí Egypťania o tom vedeli asi pred štyri a pol tisíc rokmi.

Dve zostávajúce strany, ktoré tvoria pravý uhol, sa nazývajú nohy. Okrem toho si musíme uvedomiť, že súčet uhlov v trojuholníku v pravouhlom súradnicovom systéme je 180 stupňov.

Definícia

Nakoniec, keď dobre rozumieme geometrickej základni, môžeme prejsť k definícii sínusu, kosínusu a tangensu uhla.

Sínus uhla je pomer protiľahlej vetvy (t.j. strany protiľahlej k požadovanému uhlu) k prepone. Kosínus uhla je pomer priľahlého ramena k prepone.

Pamätajte, že sínus ani kosínus nemôžu byť väčšie ako jedna! prečo? Pretože prepona je štandardne najdlhšia, bez ohľadu na dĺžku nohy bude kratšia ako prepona, čo znamená, že ich pomer bude vždy menší ako jedna. Ak teda v odpovedi na úlohu dostanete sínus alebo kosínus s hodnotou väčšou ako 1, hľadajte chybu vo výpočtoch alebo uvažovaní. Táto odpoveď je jednoznačne nesprávna.

Nakoniec tangens uhla je pomer protiľahlej strany k susednej strane. Rovnaký výsledok poskytne delenie sínusu kosínusom. Pozrite sa: podľa vzorca delíme dĺžku strany preponou, potom delíme dĺžkou druhej strany a násobíme preponou. Dostaneme teda rovnaký pomer ako pri definícii dotyčnice.

Kotangens je pomer strany susediacej s rohom k opačnej strane. Rovnaký výsledok dostaneme vydelením jednotky dotyčnicou.

Takže sme zvážili definície toho, čo sú sínus, kosínus, tangens a kotangens, a môžeme sa zaoberať vzorcami.

Najjednoduchšie vzorce

V trigonometrii sa bez vzorcov nezaobídeme – ako bez nich nájsť sínus, kosínus, tangens, kotangens? A to je presne to, čo sa vyžaduje pri riešení problémov.

Prvý vzorec, ktorý potrebujete vedieť, keď začnete študovať trigonometriu, hovorí, že súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu uhla sa rovná jednej. Tento vzorec je priamym dôsledkom Pytagorovej vety, ale šetrí čas, ak chcete poznať hodnotu uhla, nie strany.

Mnoho študentov si nevie zapamätať druhý vzorec, ktorý je tiež veľmi obľúbený pri riešení školských úloh: súčet jednotky a druhej mocniny tangens uhla sa rovná jednej delenej druhou mocninou kosínusu uhla. Pozrime sa bližšie: ide predsa o rovnaký výrok ako v prvom vzorci, len obe strany identity boli rozdelené druhou mocninou kosínusu. Ukazuje sa, že jednoduchá matematická operácia robí trigonometrický vzorec úplne nerozoznateľným. Pamätajte: s vedomím toho, čo sú sínus, kosínus, tangens a kotangens, s pravidlami prevodu a niekoľkými základnými vzorcami, môžete kedykoľvek nezávisle odvodiť požadované zložitejšie vzorce na hárku papiera.

Vzorce dvojitého uhla a pridávanie argumentov

Dva ďalšie vzorce, ktoré sa musíte naučiť, súvisia s hodnotami sínusu a kosínusu súčtu a rozdielu uhlov. Sú znázornené na obrázku nižšie. Upozorňujeme, že v prvom prípade sa sínus a kosínus vynásobia v oboch prípadoch a v druhom prípade sa pripočíta párový súčin sínusu a kosínusu.

Existujú aj vzorce spojené s argumentmi dvojitého uhla. Sú úplne odvodené od predchádzajúcich - v praxi sa ich snažte získať sami, pričom uhol alfa sa rovná uhlu beta.

Nakoniec si všimnite, že vzorce s dvojitým uhlom možno previesť na zníženie stupňa sínusu, kosínusu a dotyčnice alfa.

Vety

Dve hlavné vety v základnej trigonometrii sú sínusová a kosínusová. Pomocou týchto teorémov môžete ľahko pochopiť, ako nájsť sínus, kosínus a tangentu, a teda aj plochu obrázku a veľkosť každej strany atď.

Sínusová veta hovorí, že ako výsledok delenia dĺžky každej zo strán trojuholníka hodnotou opačného uhla dostaneme rovnaké číslo. Navyše, toto číslo sa bude rovnať dvom polomerom kružnice opísanej, teda kružnice obsahujúcej všetky body daného trojuholníka.

Kosínusová veta zovšeobecňuje Pytagorovu vetu a premieta ju na ľubovoľné trojuholníky. Ukazuje sa, že od súčtu štvorcov dvoch strán odčítajte ich súčin, vynásobený dvojitým kosínusom uhla susediaceho s nimi - výsledná hodnota sa bude rovnať štvorcu tretej strany. Pytagorova veta sa teda ukazuje ako špeciálny prípad kosínusovej vety.

Chyby v dôsledku nepozornosti

Aj keď vieme, čo sú sínus, kosínus a tangens, je ľahké urobiť chybu kvôli neprítomnosti alebo chybe v najjednoduchších výpočtoch. Aby sme sa vyhli takýmto chybám, zoznámime sa s najobľúbenejšími z nich.

Po prvé, nemali by ste prevádzať obyčajné zlomky na desatinné miesta, kým nedosiahnete konečný výsledok – odpoveď môžete ponechať ako obyčajný zlomok, pokiaľ podmienka neurčuje inak. Takúto transformáciu nemožno nazvať chybou, ale treba mať na pamäti, že v každej fáze úlohy sa môžu objaviť nové korene, ktoré by sa podľa myšlienky autora mali znížiť. V tomto prípade budete strácať čas zbytočnými matematickými operáciami. Platí to najmä pre hodnoty, ako je odmocnina troch alebo dvoch, pretože sa vyskytujú v úlohách na každom kroku. To isté platí pre zaokrúhľovanie „škaredých“ čísel.

Ďalej si všimnite, že kosínusová veta platí pre akýkoľvek trojuholník, ale nie pre Pytagorovu vetu! Ak omylom zabudnete odpočítať dvojnásobok súčinu strán vynásobeného kosínusom uhla medzi nimi, dostanete nielen úplne nesprávny výsledok, ale preukážete aj úplné nepochopenie témy. To je horšie ako neopatrná chyba.

Po tretie, nezamieňajte hodnoty uhlov 30 a 60 stupňov pre sínus, kosínus, tangens, kotangens. Zapamätajte si tieto hodnoty, pretože sínus 30 stupňov sa rovná kosínusu 60 a naopak. Je ľahké ich zamiešať, v dôsledku čoho nevyhnutne získate chybný výsledok.

Aplikácia

Mnoho študentov sa neponáhľa so štúdiom trigonometrie, pretože nerozumejú jej aplikovanému významu. Čo je sínus, kosínus, tangens pre inžiniera alebo astronóma? Ide o koncepty, vďaka ktorým môžete vypočítať vzdialenosť k vzdialeným hviezdam, predpovedať pád meteoritu, poslať výskumnú sondu na inú planétu. Bez nich nie je možné postaviť budovu, navrhnúť auto, vypočítať zaťaženie povrchu alebo trajektóriu objektu. A toto sú len tie najzreteľnejšie príklady! Koniec koncov, trigonometria v tej či onej forme sa používa všade, od hudby po medicínu.

Konečne

Takže ste sínus, kosínus, tangenta. Môžete ich použiť pri výpočtoch a úspešne riešiť školské úlohy.

Celá podstata trigonometrie sa scvrkáva na skutočnosť, že neznáme parametre sa musia vypočítať zo známych parametrov trojuholníka. Celkovo existuje šesť parametrov: dĺžky troch strán a veľkosti troch uhlov. Celý rozdiel v úlohách spočíva v tom, že sú dané rôzne vstupné údaje.

Ako nájsť sínus, kosínus, tangens na základe známych dĺžok nôh alebo prepony, teraz viete. Keďže tieto pojmy neznamenajú nič iné ako pomer a pomer je zlomok, hlavným cieľom trigonometrickej úlohy je nájsť korene obyčajnej rovnice alebo sústavy rovníc. A tu vám pomôže obyčajná školská matematika.

Pojmy sínus, kosínus, tangens a kotangens sú hlavnými kategóriami trigonometrie - odvetvia matematiky a sú neoddeliteľne spojené s definíciou uhla. Ovládanie tejto matematickej vedy si vyžaduje zapamätanie a pochopenie vzorcov a teorémov, ako aj rozvinuté priestorové myslenie. Preto trigonometrické výpočty často spôsobujú ťažkosti školákom a študentom. Aby ste ich prekonali, mali by ste sa lepšie zoznámiť s goniometrickými funkciami a vzorcami.

Pojmy v trigonometrii

Aby ste pochopili základné pojmy trigonometrie, musíte sa najprv rozhodnúť, čo je pravouhlý trojuholník a uhol v kruhu a prečo sú s nimi spojené všetky základné trigonometrické výpočty. Trojuholník, v ktorom je jeden z uhlov 90 stupňov, je pravouhlý trojuholník. Historicky túto postavu často používali ľudia v architektúre, navigácii, umení, astronómii. V súlade s tým ľudia pri štúdiu a analýze vlastností tohto čísla dospeli k výpočtu zodpovedajúcich pomerov jeho parametrov.

Hlavné kategórie spojené s pravouhlými trojuholníkmi sú prepona a nohy. Prepona je strana trojuholníka, ktorá je oproti pravému uhlu. Nohy sú ďalšie dve strany. Súčet uhlov akéhokoľvek trojuholníka je vždy 180 stupňov.

Sférická trigonometria je časť trigonometrie, ktorá sa v škole neštuduje, ale v aplikovaných vedách ako astronómia a geodézia ju vedci využívajú. Znakom trojuholníka v sférickej trigonometrii je, že má vždy súčet uhlov väčší ako 180 stupňov.

Uhly trojuholníka

V pravouhlom trojuholníku je sínus uhla pomer nohy oproti požadovanému uhlu k prepone trojuholníka. V súlade s tým je kosínus pomerom susednej vetvy a prepony. Obe tieto hodnoty majú vždy hodnotu menšiu ako jedna, pretože prepona je vždy dlhšia ako noha.

Tangenta uhla je hodnota rovnajúca sa pomeru protiľahlej vetvy k susednej vetve požadovaného uhla alebo sínusu ku kosínusu. Kotangens je zase pomer priľahlého ramena požadovaného uhla k opačnému kaktetu. Kotangens uhla možno získať aj delením jednotky hodnotou dotyčnice.

jednotkový kruh

Jednotková kružnica v geometrii je kružnica, ktorej polomer sa rovná jednej. Takáto kružnica je zostrojená v karteziánskom súradnicovom systéme, pričom stred kružnice sa zhoduje s počiatočným bodom a počiatočná poloha vektora polomeru je určená kladným smerom osi X (os úsečka). Každý bod kružnice má dve súradnice: XX a YY, teda súradnice úsečky a ordináty. Označením ľubovoľného bodu na kružnici v rovine XX a znížením kolmice z nej na os x dostaneme pravouhlý trojuholník tvorený polomerom k vybranému bodu (označme ho písmenom C), kolmicu nakreslenú k os X (priesečník je označený písmenom G) a úsečka os x medzi počiatkom (bod je označený písmenom A) a priesečníkom G. Výsledný trojuholník ACG je pravouhlý trojuholník vpísaný do kruh, kde AG je prepona a AC a GC sú nohy. Uhol medzi polomerom kružnice AC a segmentom osi x s označením AG definujeme ako α (alfa). Takže, cos α = AG/AC. Vzhľadom na to, že AC je polomer jednotkovej kružnice a rovná sa jednej, ukáže sa, že cos α=AG. Podobne sin α=CG.

Okrem toho, ak poznáte tieto údaje, môžete určiť súradnicu bodu C na kruhu, pretože cos α=AG a sin α=CG, čo znamená, že bod C má dané súradnice (cos α; sin α). Keď vieme, že dotyčnica sa rovná pomeru sínusu ku kosínusu, môžeme určiť, že tg α \u003d y / x a ctg α \u003d x / y. Vzhľadom na uhly v negatívnom súradnicovom systéme je možné vypočítať, že sínusové a kosínusové hodnoty niektorých uhlov môžu byť záporné.

Výpočty a základné vzorce

Hodnoty goniometrických funkcií

Po zvážení podstaty goniometrických funkcií cez jednotkový kruh môžeme odvodiť hodnoty týchto funkcií pre niektoré uhly. Hodnoty sú uvedené v tabuľke nižšie.

Najjednoduchšie trigonometrické identity

Rovnice, v ktorých sa pod znamienkom goniometrickej funkcie nachádza neznáma hodnota, sa nazývajú trigonometrické. Totožnosti s hodnotou sin x = α, k je ľubovoľné celé číslo:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. hriech x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, žiadne riešenia.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Totožnosti s hodnotou cos x = a, kde k je ľubovoľné celé číslo:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, žiadne riešenia.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Totožnosti s hodnotou tg x = a, kde k je ľubovoľné celé číslo:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Totožnosti s hodnotou ctg x = a, kde k je ľubovoľné celé číslo:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Odlievacie vzorce

Táto kategória konštantných vzorcov označuje metódy, pomocou ktorých môžete prejsť od goniometrických funkcií tvaru k funkciám argumentu, to znamená previesť sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla ľubovoľnej hodnoty na zodpovedajúce ukazovatele uhla uhla. interval od 0 do 90 stupňov pre väčšie pohodlie pri výpočtoch.

Vzorce na redukciu funkcií pre sínus uhla vyzerajú takto:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = hriech α.

Pre kosínus uhla:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + a) = -cos a;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Použitie vyššie uvedených vzorcov je možné pri dodržaní dvoch pravidiel. Po prvé, ak možno uhol znázorniť ako hodnotu (π/2 ± a) alebo (3π/2 ± a), hodnota funkcie sa zmení:

• od hriechu k cos;
• od cos k hriechu;
• od tg do ctg;
• z ctg do tg.

Hodnota funkcie zostáva nezmenená, ak možno uhol znázorniť ako (π ± a) alebo (2π ± a).

Po druhé, znamienko zníženej funkcie sa nemení: ak bolo pôvodne pozitívne, tak to zostane. To isté platí pre negatívne funkcie.

Vzorce na sčítanie

Tieto vzorce vyjadrujú hodnoty sínusu, kosínusu, tangensu a kotangens súčtu a rozdielu dvoch uhlov natočenia z hľadiska ich goniometrických funkcií. Uhly sa zvyčajne označujú ako α a β.

Vzorce vyzerajú takto:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Tieto vzorce platia pre všetky uhly α a β.

Vzorce s dvojitým a trojitým uhlom

Goniometrické vzorce dvojitého a trojitého uhla sú vzorce, ktoré spájajú funkcie uhlov 2α a 3α s goniometrickými funkciami uhla α. Odvodené zo sčítacích vzorcov:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Prechod od sumy k produktu

Ak vezmeme do úvahy, že 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), zjednodušením tohto vzorca dostaneme identitu sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Podobne sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Prechod od produktu k sume

Tieto vzorce vyplývajú z identít pre prechod súčtu na súčin:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Redukčné vzorce

V týchto identitách môžu byť druhé mocniny a kubické mocniny sínusu a kosínusu vyjadrené ako sínus a kosínus prvej mocniny viacnásobného uhla:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Univerzálna náhrada

Univerzálne goniometrické substitučné vzorce vyjadrujú goniometrické funkcie ako tangens polovičného uhla.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), zatiaľ čo x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), kde x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), kde x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), zatiaľ čo x \u003d π + 2πn.

Špeciálne prípady

Konkrétne prípady najjednoduchších goniometrických rovníc sú uvedené nižšie (k je akékoľvek celé číslo).

Súkromné ​​pre sínus:

Kosínové kvocienty:

Súkromné ​​pre dotyčnicu:

Kotangensové kvocienty:

Vety

Sínusová veta

Existujú dve verzie vety - jednoduchá a rozšírená. Jednoduchá sínusová veta: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. V tomto prípade sú a, b, c strany trojuholníka a α, β, γ sú opačné uhly.

Rozšírená sínusová veta pre ľubovoľný trojuholník: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. V tejto identite R označuje polomer kružnice, do ktorej je daný trojuholník vpísaný.

Kosínusová veta

Identita sa zobrazí takto: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Vo vzorci sú a, b, c strany trojuholníka a α je uhol opačnej strany a.

Tangentová veta

Vzorec vyjadruje vzťah medzi dotyčnicami dvoch uhlov a dĺžkou strán proti nim. Strany sú označené a, b, c a zodpovedajúce opačné uhly sú α, β, γ. Vzorec tangentovej vety: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Kotangensová veta

Priradí polomer kružnice vpísanej trojuholníku k dĺžke jeho strán. Ak a, b, c sú strany trojuholníka a A, B, C sú ich opačné uhly, r je polomer vpísanej kružnice a p je polovica obvodu trojuholníka, nasledujúce identity držať:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Aplikácie

Trigonometria nie je len teoretická veda spojená s matematickými vzorcami. Jeho vlastnosti, vety a pravidlá využívajú v praxi rôzne odvetvia ľudskej činnosti – astronómia, letecká a námorná navigácia, hudobná teória, geodézia, chémia, akustika, optika, elektronika, architektúra, ekonómia, strojárstvo, meračské práce, počítačová grafika, elektronika, elektronika, elektronika, elektronika, elektronika, elektronika, elektronika, elektronika kartografia, oceánografia a mnohé iné.

Sínus, kosínus, tangens a kotangens sú základné pojmy trigonometrie, pomocou ktorých môžete matematicky vyjadriť vzťah medzi uhlami a dĺžkami strán v trojuholníku a pomocou identít, teorémov a pravidiel nájsť požadované veličiny.