Logariti ya usemi wa sehemu. Logarithm asilia, kitendakazi ln x

Tunaendelea kusoma logarithms. Katika makala hii tutazungumzia kuhesabu logarithm, mchakato huu unaitwa logarithm. Kwanza tutaelewa hesabu ya logarithms kwa ufafanuzi. Ifuatayo, hebu tuangalie jinsi maadili ya logarithms yanapatikana kwa kutumia mali zao. Baada ya hayo, tutazingatia kuhesabu logariti kupitia maadili maalum ya logariti zingine. Hatimaye, hebu tujifunze jinsi ya kutumia meza za logarithm. Nadharia nzima imetolewa na mifano yenye masuluhisho ya kina.

Urambazaji wa ukurasa.

Kukokotoa logariti kwa ufafanuzi

Katika hali rahisi, inawezekana kufanya haraka na kwa urahisi kutafuta logarithm kwa ufafanuzi. Wacha tuangalie kwa undani jinsi mchakato huu unavyotokea.

Kiini chake ni kuwakilisha nambari b katika fomu a c, ambayo, kwa ufafanuzi wa logarithm, nambari c ni thamani ya logarithm. Hiyo ni, kwa ufafanuzi, mlolongo ufuatao wa usawa unalingana na kutafuta logarithm: log a b=log a a c =c.

Kwa hivyo, kuhesabu logariti kwa ufafanuzi kunakuja kupata nambari c hivi kwamba c = b, na nambari c yenyewe ndio dhamana inayotakikana ya logariti.

Kwa kuzingatia habari katika aya zilizopita, wakati nambari iliyo chini ya ishara ya logarithm inatolewa na nguvu fulani ya msingi wa logarithm, unaweza kuonyesha mara moja kile logarithm ni sawa - ni sawa na kielelezo. Wacha tuonyeshe suluhisho kwa mifano.

Mfano.

Tafuta logi 2 2 -3, na pia uhesabu logarithm ya asili ya nambari e 5,3.

Suluhisho.

Ufafanuzi wa logarithm hutuwezesha kusema mara moja kwamba logi 2 2 -3 =-3. Hakika, nambari iliyo chini ya ishara ya logariti ni sawa na msingi 2 hadi -3 nguvu.

Vile vile, tunapata logarithm ya pili: lne 5.3 =5.3.

Jibu:

logi 2 2 -3 =−3 na lne 5,3 =5,3.

Ikiwa nambari b chini ya ishara ya logariti haijabainishwa kama nguvu ya msingi wa logarithm, basi unahitaji kuangalia kwa uangalifu ili kuona ikiwa inawezekana kuja na uwakilishi wa nambari b katika fomu a c . Mara nyingi uwakilishi huu ni dhahiri kabisa, haswa wakati nambari iliyo chini ya ishara ya logarithm ni sawa na msingi kwa nguvu ya 1, au 2, au 3, ...

Mfano.

Kokotoa logariti logariti 5 25 , na .

Suluhisho.

Ni rahisi kuona kwamba 25=5 2, hii inakuwezesha kukokotoa logariti ya kwanza: logi 5 25=logi 5 5 2 =2.

Wacha tuendelee kuhesabu logarithm ya pili. Nambari inaweza kuwakilishwa kama nguvu ya 7: (angalia ikiwa ni lazima). Kwa hivyo, .

Wacha tuandike upya logarithm ya tatu katika fomu ifuatayo. Sasa unaweza kuona hilo , ambayo tunahitimisha kuwa . Kwa hiyo, kwa ufafanuzi wa logarithm .

Kwa kifupi, suluhisho linaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

Jibu:

kumbukumbu 5 25=2 , Na .

Wakati kuna idadi kubwa ya asili ya kutosha chini ya ishara ya logarithm, haidhuru kuijumuisha katika sababu kuu. Mara nyingi husaidia kuwakilisha nambari kama nguvu fulani ya msingi wa logariti, na kwa hivyo kuhesabu logariti hii kwa ufafanuzi.

Mfano.

Tafuta thamani ya logariti.

Suluhisho.

Baadhi ya sifa za logariti hukuruhusu kutaja mara moja thamani ya logarithms. Sifa hizi ni pamoja na sifa ya logariti ya moja na sifa ya logariti ya nambari sawa na msingi: logi 1 1=logi a 0 =0 na logi a=logi a a 1 =1. Hiyo ni, wakati chini ya ishara ya logarithm kuna nambari 1 au nambari sawa na msingi wa logarithm, basi katika kesi hizi logarithms ni sawa na 0 na 1, kwa mtiririko huo.

Mfano.

Logarithms na log10 ni sawa na nini?

Suluhisho.

Tangu , basi kutoka kwa ufafanuzi wa logarithm inafuata .

Katika mfano wa pili, nambari 10 chini ya ishara ya logariti inalingana na msingi wake, kwa hivyo logariti ya desimali ya kumi ni sawa na moja, ambayo ni, lg10=lg10 1 =1.

Jibu:

NA lg10=1 .

Kumbuka kwamba hesabu ya logariti kwa ufafanuzi (ambayo tulijadili katika aya iliyotangulia) inamaanisha matumizi ya logi ya usawa a p =p, ambayo ni moja ya sifa za logariti.

Kwa mazoezi, wakati nambari iliyo chini ya ishara ya logariti na msingi wa logariti inawakilishwa kwa urahisi kama nguvu ya nambari fulani, ni rahisi sana kutumia fomula. , ambayo inalingana na moja ya mali ya logarithms. Hebu tuangalie mfano wa kutafuta logariti inayoonyesha matumizi ya fomula hii.

Mfano.

Kuhesabu logarithm.

Suluhisho.

Jibu:

.

Sifa za logarithm ambazo hazijatajwa hapo juu pia hutumiwa katika mahesabu, lakini tutazungumza juu ya hili katika aya zifuatazo.

Kupata logariti kupitia logariti nyingine zinazojulikana

Taarifa katika aya hii inaendelea na mada ya kutumia sifa za logarithm wakati wa kuzihesabu. Lakini hapa tofauti kuu ni kwamba mali ya logarithms hutumiwa kuelezea logarithm ya awali kwa suala la logarithm nyingine, ambayo thamani yake inajulikana. Hebu tutoe mfano kwa ufafanuzi. Wacha tuseme tunajua kuwa logi 2 3≈1.584963, basi tunaweza kupata, kwa mfano, logi 2 6 kwa kufanya mabadiliko kidogo kwa kutumia mali ya logarithm: gogo 2 6=logi 2 (2 3)=logi 2 2+logi 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Katika mfano hapo juu, ilikuwa ya kutosha kwetu kutumia mali ya logarithm ya bidhaa. Walakini, mara nyingi zaidi inahitajika kutumia safu pana ya mali ya logarithm ili kuhesabu logarithm asili kupitia zile zilizopewa.

Mfano.

Kokotoa logariti ya 27 hadi msingi 60 ikiwa unajua logi 60 2=a na logi 60 5=b.

Suluhisho.

Kwa hivyo tunahitaji kupata logi 60 27 . Ni rahisi kuona kwamba 27 = 3 3 , na logariti ya awali, kutokana na sifa ya logariti ya nguvu, inaweza kuandikwa upya kama 3·log 60 3 .

Sasa hebu tuone jinsi ya kuelezea logi 60 3 kwa suala la logarithms inayojulikana. Sifa ya logariti ya nambari sawa na msingi inaturuhusu kuandika logi ya usawa 60 60=1. Kwa upande mwingine, logi 60 60=log60(2 2 3 5)= gogo 60 2 2 +logi 60 3+logi 60 5= 2·logi 60 2+logi 60 3+logi 60 5 . Hivyo, 2 gogo 60 2+logi 60 3+logi 60 5=1. Kwa hivyo, gogo 60 3=1−2·logi 60 2−logi 60 5=1−2·a−b.

Hatimaye, tunahesabu logarithm asili: logi 60 27=3 logi 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Jibu:

gogo 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Kando, inafaa kutaja maana ya fomula ya mpito kwa msingi mpya wa logarithm ya fomu. . Inakuruhusu kuhama kutoka kwa logariti na msingi wowote hadi logariti zilizo na msingi maalum, maadili ambayo yanajulikana au inawezekana kuipata. Kawaida, kutoka kwa logarithm ya asili, kwa kutumia formula ya mpito, huhamia logarithms katika moja ya besi 2, e au 10, kwa kuwa kwa misingi hii kuna meza za logarithms ambazo huruhusu maadili yao kuhesabiwa kwa kiwango fulani. usahihi. Katika aya inayofuata tutaonyesha jinsi hii inafanywa.

Jedwali la Logarithm na matumizi yao

Kwa hesabu takriban ya maadili ya logarithm inaweza kutumika meza za logarithm. Jedwali la logarithm 2 la msingi linalotumika sana, jedwali la logarithm asilia na jedwali la logarithm ya desimali. Wakati wa kufanya kazi katika mfumo wa nambari ya decimal, ni rahisi kutumia meza ya logarithms kulingana na msingi wa kumi. Kwa msaada wake tutajifunza kupata maadili ya logarithms.

Jedwali lililowasilishwa hukuruhusu kupata maadili ya logariti za nambari za nambari kutoka 1,000 hadi 9,999 (na sehemu tatu za decimal) na usahihi wa elfu kumi. Tutachambua kanuni ya kupata thamani ya logariti kwa kutumia jedwali la logariti za desimali kwa kutumia mfano maalum - ni wazi zaidi kwa njia hii. Wacha tupate logi1.256.

Katika safu ya kushoto ya jedwali la logarithms ya decimal tunapata tarakimu mbili za kwanza za nambari 1.256, yaani, tunapata 1.2 (nambari hii imezungukwa kwa bluu kwa uwazi). Nambari ya tatu ya nambari 1.256 (tarakimu 5) inapatikana kwenye mstari wa kwanza au wa mwisho upande wa kushoto wa mstari wa mara mbili (nambari hii imezunguka kwa nyekundu). Nambari ya nne ya nambari ya asili 1.256 (tarakimu 6) inapatikana kwenye mstari wa kwanza au wa mwisho upande wa kulia wa mstari wa mara mbili (nambari hii imezungukwa na mstari wa kijani). Sasa tunapata nambari katika seli za jedwali la logarithm kwenye makutano ya safu iliyowekwa alama na safu wima (nambari hizi zimeangaziwa kwa machungwa). Jumla ya nambari zilizowekwa alama hutoa thamani inayotakiwa ya logarithm ya desimali kwa usahihi hadi nafasi ya nne ya desimali, ambayo ni, logi1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Inawezekana, kwa kutumia jedwali hapo juu, kupata maadili ya logariti za nambari za nambari ambazo zina zaidi ya nambari tatu baada ya nukta ya decimal, na vile vile zile zinazoenda zaidi ya safu kutoka 1 hadi 9.999? Ndio unaweza. Wacha tuonyeshe jinsi hii inafanywa kwa mfano.

Wacha tuhesabu lg102.76332. Kwanza unahitaji kuandika nambari katika fomu ya kawaida: 102.76332=1.0276332 · 10 2. Baada ya hayo, mantissa inapaswa kuzungushwa hadi nafasi ya tatu ya decimal, tunayo 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, wakati logariti ya desimali asili ni takriban sawa na logariti ya nambari inayotokana, yaani, tunachukua log102.76332≈lg1.028·10 2. Sasa tunatumia mali ya logarithm: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Hatimaye, tunapata thamani ya logarithm lg1.028 kutoka kwa jedwali la logarithms desimali lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Kama matokeo, mchakato mzima wa kuhesabu logarithm inaonekana kama hii: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = logi1.028+lg10 2 =logi1.028+2≈0.012+2=2.012.

Kwa kumalizia, ni muhimu kuzingatia kwamba kwa kutumia jedwali la logarithm za decimal unaweza kuhesabu thamani ya takriban ya logarithm yoyote. Ili kufanya hivyo, inatosha kutumia formula ya mpito kwenda kwa logarithms ya decimal, kupata maadili yao kwenye jedwali, na kufanya mahesabu iliyobaki.

Kwa mfano, hebu tuhesabu logi 2 3 . Kulingana na fomula ya mpito hadi msingi mpya wa logarithm, tunayo . Kutoka kwa jedwali la logarithms decimal tunapata log3≈0.4771 na log2≈0.3010. Hivyo, .

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. na wengine Algebra na mwanzo wa uchambuzi: Kitabu cha kiada kwa darasa la 10 - 11 la taasisi za elimu ya jumla.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Hisabati (mwongozo kwa wale wanaoingia shule za ufundi).

Maneno ya logarithmic, mifano ya kutatua. Katika makala hii tutaangalia matatizo yanayohusiana na kutatua logarithms. Majukumu yanauliza swali la kupata maana ya usemi. Ikumbukwe kwamba dhana ya logarithm hutumiwa katika kazi nyingi na kuelewa maana yake ni muhimu sana. Kuhusu Mtihani wa Jimbo la Umoja, logarithm hutumiwa wakati wa kusuluhisha hesabu, katika shida zinazotumika, na pia katika kazi zinazohusiana na masomo ya kazi.

Wacha tutoe mifano ili kuelewa maana halisi ya logarithm:

Utambulisho wa msingi wa logarithmic:

Sifa za logarithm ambazo lazima zikumbukwe kila wakati:

*Logariti ya bidhaa ni sawa na jumla ya logariti za vipengele.

* * *

*Logariti ya nukuu (sehemu) ni sawa na tofauti kati ya logariti za vipengele.

* * *

*Logariti ya kipeo ni sawa na bidhaa ya kipeo na logariti ya msingi wake.

* * *

* Mpito kwa msingi mpya

* * *

Sifa zaidi:

* * *

Hesabu ya logarithms inahusiana kwa karibu na matumizi ya mali ya vielelezo.

Hebu tuorodhe baadhi yao:

Kiini cha mali hii ni kwamba wakati nambari inapohamishiwa kwa denominator na kinyume chake, ishara ya kielelezo hubadilika kinyume chake. Kwa mfano:

Muhtasari kutoka kwa mali hii:

* * *

Wakati wa kuinua nguvu kwa nguvu, msingi unabaki sawa, lakini vielelezo vinazidishwa.

* * *

Kama umeona, wazo la logarithm yenyewe ni rahisi. Jambo kuu ni kwamba unahitaji mazoezi mazuri, ambayo inakupa ujuzi fulani. Bila shaka, ujuzi wa fomula unahitajika. Ikiwa ujuzi wa kubadilisha logarithms za msingi haujatengenezwa, basi wakati wa kutatua kazi rahisi unaweza kufanya makosa kwa urahisi.

Fanya mazoezi, suluhisha mifano rahisi zaidi kutoka kwa kozi ya hisabati kwanza, kisha uende kwa ile ngumu zaidi. Katika siku zijazo, bila shaka nitaonyesha jinsi logariti "mbaya" zinavyotatuliwa; hizi hazitaonekana kwenye Mtihani wa Jimbo Pamoja, lakini ni za kupendeza, usizikose!

Ni hayo tu! Bahati nzuri kwako!

Kwa dhati, Alexander Krutitskikh

P.S: Ningeshukuru ukiniambia kuhusu tovuti kwenye mitandao ya kijamii.

Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.

Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi

Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.

Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.

Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.

Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:

• Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, barua pepe, n.k.

Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:

• Taarifa za kibinafsi tunazokusanya huturuhusu kuwasiliana nawe na matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
• Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
• Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani, kama vile kufanya ukaguzi, uchambuzi wa data na utafiti mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
• Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.

Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine

Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.

Vighairi:

• Ikiwa ni lazima - kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, katika kesi za kisheria, na / au kwa misingi ya maombi ya umma au maombi kutoka kwa mamlaka ya serikali katika eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
• Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.

Ulinzi wa habari za kibinafsi

Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.

Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni

Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.

Kwa hivyo, tuna nguvu mbili. Ikiwa unachukua nambari kutoka kwa mstari wa chini, unaweza kupata kwa urahisi nguvu ambayo itabidi kuinua mbili ili kupata nambari hii. Kwa mfano, kupata 16, unahitaji kuongeza nguvu mbili hadi nne. Na kupata 64, unahitaji kuongeza nguvu mbili hadi sita. Hii inaweza kuonekana kutoka kwa meza.

Na sasa - kwa kweli, ufafanuzi wa logarithm:

Msingi wa logariti ya x ni nguvu ambayo lazima iinulishwe ili kupata x.

Uteuzi: logi a x = b, ambapo a ni msingi, x ni hoja, b ni nini logarithm ni sawa na.

Kwa mfano, 2 3 = 8 ⇒ logi 2 8 = 3 (msingi 2 logarithm ya 8 ni tatu kwa sababu 2 3 = 8). Na logi sawa ya mafanikio 2 64 = 6, kwani 2 6 = 64.

Uendeshaji wa kutafuta logariti ya nambari kwa msingi fulani huitwa logarithmization. Kwa hivyo, wacha tuongeze mstari mpya kwenye meza yetu:

Kwa bahati mbaya, sio logarithm zote zinahesabiwa kwa urahisi sana. Kwa mfano, jaribu kutafuta logi 2 5 . Nambari ya 5 haiko kwenye jedwali, lakini mantiki inaamuru kwamba logarithm italala mahali fulani kwenye sehemu. Kwa sababu 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Nambari kama hizo huitwa zisizo na maana: nambari baada ya nukta ya desimali zinaweza kuandikwa ad infinitum, na hazirudiwi kamwe. Ikiwa logarithm itageuka kuwa isiyo na maana, ni bora kuiacha kwa njia hiyo: logi 2 5, logi 3 8, logi 5 100.

Ni muhimu kuelewa kwamba logarithm ni usemi wenye vigezo viwili (msingi na hoja). Mara ya kwanza, watu wengi huchanganya wapi msingi ulipo na wapi hoja. Ili kuzuia kutokuelewana kukasirisha, angalia tu picha:

Kabla yetu hakuna chochote zaidi ya ufafanuzi wa logarithm. Kumbuka: logarithm ni nguvu, ambayo msingi lazima ujengwe ili kupata hoja. Ni msingi ambao umeinuliwa hadi nguvu - imeangaziwa kwa rangi nyekundu kwenye picha. Inatokea kwamba msingi ni daima chini! Ninawaambia wanafunzi wangu sheria hii nzuri katika somo la kwanza kabisa - na hakuna mkanganyiko unaotokea.

Tumegundua ufafanuzi - kilichobaki ni kujifunza jinsi ya kuhesabu logarithms, i.e. ondoa ishara ya "logi". Kuanza, tunaona kwamba mambo mawili muhimu yanafuata kutoka kwa ufafanuzi:

1. Hoja na msingi lazima iwe kubwa kuliko sufuri kila wakati. Hii inafuatia kutokana na ufafanuzi wa shahada na kipeo busara cha kimantiki, ambapo ufafanuzi wa logariti hupunguzwa.
2. Msingi lazima uwe tofauti na moja, kwa kuwa moja kwa shahada yoyote bado inabaki moja. Kwa sababu hii, swali "ni kwa nguvu gani mtu anapaswa kuinuliwa ili kupata mbili" haina maana. Hakuna degree kama hiyo!

Vikwazo vile huitwa anuwai ya maadili yanayokubalika(ODZ). Inabadilika kuwa ODZ ya logariti inaonekana kama hii: logi a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Kumbuka kuwa hakuna vizuizi kwa nambari b (thamani ya logarithm). Kwa mfano, logariti inaweza kuwa hasi: logi 2 0.5 = -1, kwa sababu 0.5 = 2 -1.

Walakini, sasa tunazingatia maneno ya nambari tu, ambapo haihitajiki kujua VA ya logarithm. Vikwazo vyote tayari vimezingatiwa na waandishi wa matatizo. Lakini wakati milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa unapoanza kutumika, mahitaji ya DL yatakuwa ya lazima. Baada ya yote, msingi na hoja inaweza kuwa na miundo yenye nguvu sana ambayo si lazima yanahusiana na vikwazo hapo juu.

Sasa hebu tuangalie mpango wa jumla wa kuhesabu logarithms. Inajumuisha hatua tatu:

1. Eleza msingi a na hoja x kama nguvu yenye msingi wa chini unaowezekana zaidi ya mmoja. Njiani, ni bora kuondokana na decimals;
2. Tatua mlinganyo wa kutofautisha b: x = a b;
3. Nambari inayotokana b itakuwa jibu.

Ni hayo tu! Ikiwa logarithm itageuka kuwa isiyo na maana, hii itaonekana tayari katika hatua ya kwanza. Mahitaji ya kuwa msingi ni mkubwa zaidi kuliko moja ni muhimu sana: hii inapunguza uwezekano wa makosa na kurahisisha mahesabu kwa kiasi kikubwa. Ni sawa na sehemu za decimal: ikiwa utazibadilisha mara moja kuwa za kawaida, kutakuwa na makosa mengi machache.

Wacha tuone jinsi mpango huu unavyofanya kazi kwa kutumia mifano maalum:

Kazi. Kukokotoa logariti: logi 5 25

1. Hebu tufikirie msingi na hoja kama nguvu ya tano: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;

Wacha tuunda na kutatua equation:
logi 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Tulipata jibu: 2.

Kazi. Kuhesabu logarithm:

Kazi. Kukokotoa logariti: logi 4 64

1. Wacha tufikirie msingi na hoja kama nguvu ya mbili: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Wacha tuunda na kutatua equation:
   logi 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Tulipata jibu: 3.

Kazi. Kukokotoa logariti: logi 16 1

1. Hebu tufikirie msingi na hoja kama nguvu ya mbili: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
2. Wacha tuunda na kutatua equation:
   logi 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Tulipokea jibu: 0.

Kazi. Kokotoa logariti: logi 7 14

1. Hebu tufikirie msingi na hoja kama nguvu ya saba: 7 = 7 1 ; 14 haiwezi kuwakilishwa kama nguvu ya saba, kwani 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Kutoka kwa aya iliyotangulia inafuata kwamba logarithm haihesabu;
3. Jibu sio mabadiliko: logi 7 14.

Ujumbe mdogo kwenye mfano wa mwisho. Unawezaje kuwa na uhakika kwamba nambari sio nguvu kamili ya nambari nyingine? Ni rahisi sana - ifafanue tu katika mambo kuu. Ikiwa upanuzi una angalau mambo mawili tofauti, nambari sio nguvu halisi.

Kazi. Jua ikiwa nambari ni nguvu kamili: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - shahada halisi, kwa sababu kuna kizidishi kimoja tu;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - sio nguvu halisi, kwa kuwa kuna mambo mawili: 3 na 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - shahada halisi;
35 = 7 · 5 - tena si nguvu halisi;
14 = 7 · 2 - tena si shahada halisi;

Kumbuka pia kwamba nambari kuu zenyewe huwa ni nguvu zenyewe kila wakati.

Logariti ya decimal

Baadhi ya logariti ni ya kawaida sana kwamba wana jina maalum na ishara.

Logariti ya desimali ya x ni logariti hadi msingi 10, i.e. Nguvu ambayo nambari 10 lazima iongezwe ili kupata nambari x. Wajibu: lg x.

Kwa mfano, logi 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - nk.

Kuanzia sasa na kuendelea, wakati kifungu kama "Pata lg 0.01" kinapoonekana kwenye kitabu cha kiada, ujue kuwa hii sio kosa la kuandika. Hii ni logariti ya desimali. Hata hivyo, ikiwa hufahamu nukuu hii, unaweza kuiandika upya kila wakati:
logi x = logi 10 x

Kila kitu ambacho ni kweli kwa logariti za kawaida pia ni kweli kwa logariti za desimali.

Logarithm ya asili

Kuna logarithm nyingine ambayo ina jina lake. Kwa njia fulani, ni muhimu zaidi kuliko decimal. Tunazungumza juu ya logarithm ya asili.

Logariti asilia ya x ni logariti hadi msingi e, i.e. nguvu ambayo nambari e inapaswa kuinuliwa ili kupata nambari x. Wajibu: ln x .

Wengi watauliza: nambari e ni nini? Hii ni nambari isiyo na mantiki; thamani yake halisi haiwezi kupatikana na kuandikwa. Nitatoa takwimu za kwanza tu:
e = 2.718281828459...

Hatutaingia kwa undani kuhusu nambari hii ni nini na kwa nini inahitajika. Kumbuka tu kuwa e ndio msingi wa logarithm asilia:
ln x = logi e x

Hivyo ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - nk. Kwa upande mwingine, ln 2 ni nambari isiyo na maana. Kwa ujumla, logarithm asili ya nambari yoyote ya busara haina mantiki. Isipokuwa, kwa kweli, kwa moja: ln 1 = 0.

Kwa logarithms asili, sheria zote ambazo ni kweli kwa logarithm za kawaida ni halali.

mali kuu.

1. logax + logay = logi(x y);
2. logi − logi = logi (x: y).

misingi inayofanana

Log6 4 + log6 9.

Sasa hebu tufanye kazi ngumu kidogo.

Mifano ya kutatua logarithms

Je, ikiwa msingi au hoja ya logariti ni nguvu? Kisha kielelezo cha digrii hii kinaweza kutolewa nje ya ishara ya logarithm kulingana na sheria zifuatazo:

Kwa kweli, sheria hizi zote zina mantiki ikiwa ODZ ya logarithm inazingatiwa: a > 0, a ≠ 1, x >

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Mpito kwa msingi mpya

Acha logarithm logi itolewe. Halafu kwa nambari yoyote c kama vile c > 0 na c ≠ 1, usawa ni kweli:

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Angalia pia:

Tabia za kimsingi za logarithm

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Kipeo ni 2.718281828…. Ili kukumbuka kielelezo, unaweza kusoma sheria: kielelezo ni sawa na 2.7 na mara mbili mwaka wa kuzaliwa kwa Leo Nikolaevich Tolstoy.

Mali ya msingi ya logarithms

Kujua sheria hii, utajua thamani halisi ya mtangazaji na tarehe ya kuzaliwa kwa Leo Tolstoy.

Mifano kwa logarithm

Maneno ya logarithm

Mfano 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Kutumia mali 3.5 tunahesabu

2.

3.

4. Wapi .

Mfano 2. Tafuta x kama

Mfano 3. Hebu thamani ya logarithms itolewe

Kokotoa logi(x) ikiwa

Mali ya msingi ya logarithms

Logarithm, kama nambari yoyote, inaweza kuongezwa, kupunguzwa na kubadilishwa kwa kila njia. Lakini kwa kuwa logarithms sio nambari za kawaida, kuna sheria hapa, ambazo huitwa mali kuu.

Hakika unahitaji kujua sheria hizi - bila yao, hakuna shida moja kubwa ya logarithmic inaweza kutatuliwa. Kwa kuongeza, kuna wachache sana - unaweza kujifunza kila kitu kwa siku moja. Basi hebu tuanze.

Kuongeza na kupunguza logariti

Fikiria logarithmu mbili zilizo na besi sawa: logi na logay. Kisha wanaweza kuongezwa na kupunguzwa, na:

1. logax + logay = logi(x y);
2. logi − logi = logi (x: y).

Kwa hivyo, jumla ya logariti ni sawa na logariti ya bidhaa, na tofauti ni sawa na logarithm ya mgawo. Tafadhali kumbuka: jambo kuu hapa ni misingi inayofanana. Ikiwa sababu ni tofauti, sheria hizi hazifanyi kazi!

Fomula hizi zitakusaidia kukokotoa usemi wa logarithmic hata wakati sehemu zake binafsi hazizingatiwi (tazama somo "Logarithmu ni nini"). Angalia mifano na uone:

Kwa kuwa logariti zina misingi sawa, tunatumia fomula ya jumla:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log2 48 − log2 3.

Misingi ni sawa, tunatumia formula tofauti:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log3 135 − log3 5.

Tena besi ni sawa, kwa hivyo tunayo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kama unavyoona, misemo ya asili imeundwa na logarithm "mbaya", ambazo hazijahesabiwa tofauti. Lakini baada ya mabadiliko, nambari za kawaida kabisa zinapatikana. Vipimo vingi vinatokana na ukweli huu. Ndiyo, usemi unaofanana na mtihani hutolewa kwa uzito wote (wakati mwingine bila mabadiliko yoyote) kwenye Mtihani wa Jimbo Pamoja.

Kuchomoa kipeo kutoka kwa logariti

Ni rahisi kuona kwamba sheria ya mwisho inafuata mbili za kwanza. Lakini ni bora kukumbuka hata hivyo - katika hali nyingine itapunguza sana mahesabu.

Bila shaka, sheria hizi zote zina maana ikiwa ODZ ya logarithm inazingatiwa: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Na jambo moja zaidi: jifunze kutumia kanuni zote sio tu kutoka kushoto kwenda kulia, lakini pia kinyume chake. , i.e. Unaweza kuingiza nambari kabla ya logarithm kuingia kwenye logariti yenyewe. Hii ndiyo inayohitajika mara nyingi.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log7 496.

Wacha tuondoe digrii katika hoja kwa kutumia fomula ya kwanza:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba denominator ina logarithm, msingi na hoja ambayo ni nguvu kamili: 16 = 24; 49 = 72. Tuna:

Nadhani mfano wa mwisho unahitaji ufafanuzi. Logarithm zimeenda wapi? Hadi dakika ya mwisho tunafanya kazi tu na dhehebu.

Fomula za Logarithm. Logarithms mifano ya ufumbuzi.

Tuliwasilisha msingi na hoja ya logariti iliyosimama pale katika mfumo wa nguvu na tukatoa wawakilishi - tulipata sehemu ya "hadithi tatu".

Sasa hebu tuangalie sehemu kuu. Nambari na denominator zina idadi sawa: log2 7. Tangu log2 7 ≠ 0, tunaweza kupunguza sehemu - 2/4 itabaki katika denominator. Kulingana na sheria za hesabu, nne zinaweza kuhamishiwa kwa nambari, ambayo ndiyo iliyofanywa. Matokeo yalikuwa jibu: 2.

Mpito kwa msingi mpya

Kuzungumza juu ya sheria za kuongeza na kupunguza logarithm, nilisisitiza haswa kuwa zinafanya kazi tu na misingi sawa. Nini ikiwa sababu ni tofauti? Je, ikiwa sio nguvu kamili za idadi sawa?

Mifumo ya mpito hadi msingi mpya huja msaada. Wacha tuyaunda kwa namna ya nadharia:

Acha logarithm logi itolewe. Halafu kwa nambari yoyote c kama vile c > 0 na c ≠ 1, usawa ni kweli:

Hasa, ikiwa tutaweka c = x, tunapata:

Kutoka kwa formula ya pili inafuata kwamba msingi na hoja ya logarithm inaweza kubadilishwa, lakini katika kesi hii usemi wote "umegeuzwa", i.e. logarithm inaonekana katika denominator.

Fomula hizi hazipatikani kwa maneno ya kawaida ya nambari. Inawezekana kutathmini jinsi zinavyofaa tu wakati wa kutatua milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa.

Hata hivyo, kuna matatizo ambayo hayawezi kutatuliwa kabisa isipokuwa kwa kuhamia msingi mpya. Hebu tuangalie michache kati ya hizi:

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log5 16 log2 25.

Kumbuka kuwa hoja za logariti zote mbili zina nguvu kamili. Hebu tuchukue viashiria: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sasa hebu "tubadilishe" logarithm ya pili:

Kwa kuwa bidhaa haibadilika wakati wa kupanga upya mambo, tulizidisha kwa utulivu nne na mbili, na kisha tukashughulika na logarithms.

Kazi. Pata thamani ya usemi: log9 100 lg 3.

Msingi na hoja ya logarithm ya kwanza ni nguvu kamili. Wacha tuandike hii na tuondoe viashiria:

Sasa hebu tuondoe logarithm ya desimali kwa kuhamia msingi mpya:

Utambulisho wa msingi wa logarithmic

Mara nyingi katika mchakato wa suluhisho ni muhimu kuwakilisha nambari kama logarithm kwa msingi fulani. Katika kesi hii, fomula zifuatazo zitatusaidia:

Katika kesi ya kwanza, nambari n inakuwa kielelezo katika hoja. Nambari n inaweza kuwa chochote kabisa, kwa sababu ni thamani ya logarithm.

Fomula ya pili kwa kweli ni ufafanuzi uliofafanuliwa. Hiyo ndiyo inaitwa:.

Kwa kweli, nini kitatokea ikiwa nambari b itainuliwa kwa nguvu ambayo nambari b kwa nguvu hii inatoa nambari a? Hiyo ni kweli: matokeo ni nambari sawa a. Soma kifungu hiki kwa uangalifu tena - watu wengi wanakwama juu yake.

Kama fomula za kuhamia msingi mpya, kitambulisho cha msingi cha logarithmic wakati mwingine ndio suluhisho pekee linalowezekana.

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba log25 64 = log5 8 - ilichukua tu mraba kutoka kwa msingi na hoja ya logarithm. Kwa kuzingatia sheria za kuzidisha nguvu na msingi sawa, tunapata:

Ikiwa mtu yeyote hajui, hii ilikuwa kazi halisi kutoka kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja :)

Logarithmic kitengo na logarithmic sifuri

Kwa kumalizia, nitatoa vitambulisho viwili ambavyo haziwezi kuitwa mali - badala yake, ni matokeo ya ufafanuzi wa logarithm. Wanaonekana kila wakati katika shida na, kwa kushangaza, huunda shida hata kwa wanafunzi "wa hali ya juu".

1. loga = 1 ni. Kumbuka mara moja na kwa wote: logariti kwa msingi wowote wa msingi yenyewe ni sawa na moja.
2. logi 1 = 0 ni. Msingi a unaweza kuwa chochote, lakini ikiwa hoja ina moja, logariti ni sawa na sifuri! Kwa sababu a0 = 1 ni tokeo la moja kwa moja la ufafanuzi.

Hiyo ndiyo mali yote. Hakikisha unajizoeza kuziweka katika vitendo! Pakua karatasi ya kudanganya mwanzoni mwa somo, ichapishe, na kutatua matatizo.

Angalia pia:

Logariti ya b kuweka msingi a inaashiria usemi. Kukokotoa logariti inamaanisha kupata nguvu x () ambapo usawa unaridhika

Tabia za kimsingi za logarithm

Inahitajika kujua mali hapo juu, kwani karibu shida zote na mifano zinazohusiana na logarithms zinatatuliwa kwa msingi wao. Sifa zingine za kigeni zinaweza kupatikana kupitia upotoshaji wa hisabati na fomula hizi

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Wakati wa kuhesabu fomula ya jumla na tofauti ya logarithm (3.4) unakutana mara nyingi. Zingine ni ngumu kiasi fulani, lakini katika kazi kadhaa zinahitajika sana kwa kurahisisha misemo changamano na kukokotoa thamani zake.

Kesi za kawaida za logarithms

Baadhi ya logariti za kawaida ni zile ambazo msingi ni hata kumi, kielelezo au mbili.
Logariti hadi msingi kumi kwa kawaida huitwa logariti ya desimali na inaashiriwa kwa urahisi na lg(x).

Ni wazi kutokana na kurekodi kwamba mambo ya msingi hayajaandikwa kwenye rekodi. Kwa mfano

Logariti asilia ni logariti ambayo msingi wake ni kielelezo (kilichoonyeshwa na ln(x)).

Kipeo ni 2.718281828…. Ili kukumbuka kielelezo, unaweza kusoma sheria: kielelezo ni sawa na 2.7 na mara mbili mwaka wa kuzaliwa kwa Leo Nikolaevich Tolstoy. Kujua sheria hii, utajua thamani halisi ya mtangazaji na tarehe ya kuzaliwa kwa Leo Tolstoy.

Na logarithm nyingine muhimu kwa msingi wa mbili inaonyeshwa na

Nyingine ya logariti ya chaguo za kukokotoa ni sawa na ile iliyogawanywa na kutofautisha

Logarithm muhimu au kizuia derivative imedhamiriwa na uhusiano

Nyenzo uliyopewa inatosha kwako kutatua darasa pana la shida zinazohusiana na logarithms na logarithms. Ili kukusaidia kuelewa nyenzo, nitatoa mifano michache tu ya kawaida kutoka kwa mtaala wa shule na vyuo vikuu.

Mifano kwa logarithm

Maneno ya logarithm

Mfano 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Kutumia mali 3.5 tunahesabu

2.
Kwa mali ya tofauti ya logarithm tunayo

3.
Kwa kutumia mali 3.5 tunapata

4. Wapi .

Usemi unaoonekana kuwa changamano hurahisishwa kuunda kwa kutumia sheria kadhaa

Kupata thamani za logarithm

Mfano 2. Tafuta x kama

Suluhisho. Kwa hesabu, tunaomba kwa muhula wa mwisho wa 5 na 13 mali

Tunaiweka kwenye rekodi na kuomboleza

Kwa kuwa misingi ni sawa, tunalinganisha misemo

Logarithm. Kiwango cha kwanza.

Acha thamani ya logariti itolewe

Kokotoa logi(x) ikiwa

Suluhisho: Wacha tuchukue logariti ya kutofautisha ili kuandika logariti kupitia jumla ya masharti yake.

Huu ni mwanzo tu wa kufahamiana kwetu na logarithms na mali zao. Fanya mazoezi ya kuhesabu, boresha ujuzi wako wa vitendo - hivi karibuni utahitaji maarifa unayopata ili kutatua milinganyo ya logarithmic. Baada ya kusoma njia za kimsingi za kutatua hesabu kama hizo, tutapanua maarifa yako kwa mada nyingine muhimu - usawa wa logarithmic ...

Mali ya msingi ya logarithms

Logarithm, kama nambari yoyote, inaweza kuongezwa, kupunguzwa na kubadilishwa kwa kila njia. Lakini kwa kuwa logarithms sio nambari za kawaida, kuna sheria hapa, ambazo huitwa mali kuu.

Hakika unahitaji kujua sheria hizi - bila yao, hakuna shida moja kubwa ya logarithmic inaweza kutatuliwa. Kwa kuongeza, kuna wachache sana - unaweza kujifunza kila kitu kwa siku moja. Basi hebu tuanze.

Kuongeza na kupunguza logariti

Fikiria logarithmu mbili zilizo na besi sawa: logi na logay. Kisha wanaweza kuongezwa na kupunguzwa, na:

1. logax + logay = logi(x y);
2. logi − logi = logi (x: y).

Kwa hivyo, jumla ya logariti ni sawa na logariti ya bidhaa, na tofauti ni sawa na logarithm ya mgawo. Tafadhali kumbuka: jambo kuu hapa ni misingi inayofanana. Ikiwa sababu ni tofauti, sheria hizi hazifanyi kazi!

Fomula hizi zitakusaidia kukokotoa usemi wa logarithmic hata wakati sehemu zake binafsi hazizingatiwi (tazama somo "Logarithmu ni nini"). Angalia mifano na uone:

Kazi. Pata thamani ya usemi: log6 4 + log6 9.

Kwa kuwa logariti zina misingi sawa, tunatumia fomula ya jumla:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log2 48 − log2 3.

Misingi ni sawa, tunatumia formula tofauti:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log3 135 − log3 5.

Tena besi ni sawa, kwa hivyo tunayo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kama unavyoona, misemo ya asili imeundwa na logarithm "mbaya", ambazo hazijahesabiwa tofauti. Lakini baada ya mabadiliko, nambari za kawaida kabisa zinapatikana. Vipimo vingi vinatokana na ukweli huu. Ndiyo, usemi unaofanana na mtihani hutolewa kwa uzito wote (wakati mwingine bila mabadiliko yoyote) kwenye Mtihani wa Jimbo Pamoja.

Kuchomoa kipeo kutoka kwa logariti

Sasa hebu tufanye kazi ngumu kidogo. Je, ikiwa msingi au hoja ya logariti ni nguvu? Kisha kielelezo cha digrii hii kinaweza kutolewa nje ya ishara ya logarithm kulingana na sheria zifuatazo:

Ni rahisi kuona kwamba sheria ya mwisho inafuata mbili za kwanza. Lakini ni bora kukumbuka hata hivyo - katika hali nyingine itapunguza sana mahesabu.

Bila shaka, sheria hizi zote zina maana ikiwa ODZ ya logarithm inazingatiwa: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Na jambo moja zaidi: jifunze kutumia kanuni zote sio tu kutoka kushoto kwenda kulia, lakini pia kinyume chake. , i.e. Unaweza kuingiza nambari kabla ya logarithm kuingia kwenye logariti yenyewe.

Jinsi ya kutatua logarithm

Hii ndiyo inayohitajika mara nyingi.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log7 496.

Wacha tuondoe digrii katika hoja kwa kutumia fomula ya kwanza:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba denominator ina logarithm, msingi na hoja ambayo ni nguvu kamili: 16 = 24; 49 = 72. Tuna:

Nadhani mfano wa mwisho unahitaji ufafanuzi. Logarithm zimeenda wapi? Hadi dakika ya mwisho tunafanya kazi tu na dhehebu. Tuliwasilisha msingi na hoja ya logariti iliyosimama pale katika mfumo wa nguvu na tukatoa wawakilishi - tulipata sehemu ya "hadithi tatu".

Sasa hebu tuangalie sehemu kuu. Nambari na denominator zina idadi sawa: log2 7. Tangu log2 7 ≠ 0, tunaweza kupunguza sehemu - 2/4 itabaki katika denominator. Kulingana na sheria za hesabu, nne zinaweza kuhamishiwa kwa nambari, ambayo ndiyo iliyofanywa. Matokeo yalikuwa jibu: 2.

Mpito kwa msingi mpya

Kuzungumza juu ya sheria za kuongeza na kupunguza logarithm, nilisisitiza haswa kuwa zinafanya kazi tu na misingi sawa. Nini ikiwa sababu ni tofauti? Je, ikiwa sio nguvu kamili za idadi sawa?

Mifumo ya mpito hadi msingi mpya huja msaada. Wacha tuyaunda kwa namna ya nadharia:

Acha logarithm logi itolewe. Halafu kwa nambari yoyote c kama vile c > 0 na c ≠ 1, usawa ni kweli:

Hasa, ikiwa tutaweka c = x, tunapata:

Kutoka kwa formula ya pili inafuata kwamba msingi na hoja ya logarithm inaweza kubadilishwa, lakini katika kesi hii usemi wote "umegeuzwa", i.e. logarithm inaonekana katika denominator.

Fomula hizi hazipatikani kwa maneno ya kawaida ya nambari. Inawezekana kutathmini jinsi zinavyofaa tu wakati wa kutatua milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa.

Hata hivyo, kuna matatizo ambayo hayawezi kutatuliwa kabisa isipokuwa kwa kuhamia msingi mpya. Hebu tuangalie michache kati ya hizi:

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log5 16 log2 25.

Kumbuka kuwa hoja za logariti zote mbili zina nguvu kamili. Hebu tuchukue viashiria: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sasa hebu "tubadilishe" logarithm ya pili:

Kwa kuwa bidhaa haibadilika wakati wa kupanga upya mambo, tulizidisha kwa utulivu nne na mbili, na kisha tukashughulika na logarithms.

Kazi. Pata thamani ya usemi: log9 100 lg 3.

Msingi na hoja ya logarithm ya kwanza ni nguvu kamili. Wacha tuandike hii na tuondoe viashiria:

Sasa hebu tuondoe logarithm ya desimali kwa kuhamia msingi mpya:

Utambulisho wa msingi wa logarithmic

Mara nyingi katika mchakato wa suluhisho ni muhimu kuwakilisha nambari kama logarithm kwa msingi fulani. Katika kesi hii, fomula zifuatazo zitatusaidia:

Katika kesi ya kwanza, nambari n inakuwa kielelezo katika hoja. Nambari n inaweza kuwa chochote kabisa, kwa sababu ni thamani ya logarithm.

Fomula ya pili kwa kweli ni ufafanuzi uliofafanuliwa. Hiyo ndiyo inaitwa:.

Kwa kweli, nini kitatokea ikiwa nambari b itainuliwa kwa nguvu ambayo nambari b kwa nguvu hii inatoa nambari a? Hiyo ni kweli: matokeo ni nambari sawa a. Soma kifungu hiki kwa uangalifu tena - watu wengi wanakwama juu yake.

Kama fomula za kuhamia msingi mpya, kitambulisho cha msingi cha logarithmic wakati mwingine ndio suluhisho pekee linalowezekana.

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba log25 64 = log5 8 - ilichukua tu mraba kutoka kwa msingi na hoja ya logarithm. Kwa kuzingatia sheria za kuzidisha nguvu na msingi sawa, tunapata:

Ikiwa mtu yeyote hajui, hii ilikuwa kazi halisi kutoka kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja :)

Logarithmic kitengo na logarithmic sifuri

Kwa kumalizia, nitatoa vitambulisho viwili ambavyo haziwezi kuitwa mali - badala yake, ni matokeo ya ufafanuzi wa logarithm. Wanaonekana kila wakati katika shida na, kwa kushangaza, huunda shida hata kwa wanafunzi "wa hali ya juu".

1. loga = 1 ni. Kumbuka mara moja na kwa wote: logariti kwa msingi wowote wa msingi yenyewe ni sawa na moja.
2. logi 1 = 0 ni. Msingi a unaweza kuwa chochote, lakini ikiwa hoja ina moja, logariti ni sawa na sifuri! Kwa sababu a0 = 1 ni tokeo la moja kwa moja la ufafanuzi.

Hiyo ndiyo mali yote. Hakikisha unajizoeza kuziweka katika vitendo! Pakua karatasi ya kudanganya mwanzoni mwa somo, ichapishe, na kutatua matatizo.