Ubadilishaji wa trigonometric wa Universal, derivation ya fomula, mifano.

Uwiano kati ya kazi kuu za trigonometric - sine, cosine, tangent na cotangent - hutolewa fomula za trigonometric. Na kwa kuwa kuna miunganisho mingi kati ya kazi za trigonometric, hii pia inaelezea wingi wa fomula za trigonometric. Njia zingine huunganisha kazi za trigonometric za pembe sawa, zingine - kazi za pembe nyingi, zingine - hukuruhusu kupunguza kiwango, ya nne - kuelezea kazi zote kupitia tangent ya pembe ya nusu, nk.

Katika makala hii, tunaorodhesha kwa utaratibu fomula zote za msingi za trigonometric, ambazo zinatosha kutatua matatizo mengi ya trigonometry. Kwa urahisi wa kukariri na matumizi, tutawaweka kulingana na madhumuni yao, na kuwaingiza kwenye meza.

Urambazaji wa ukurasa.

Vitambulisho vya msingi vya trigonometric

Vitambulisho vya msingi vya trigonometric weka uhusiano kati ya sine, kosine, tanjiti na cotangent ya pembe moja. Wanafuata kutoka kwa ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent, pamoja na dhana ya mduara wa kitengo. Wanakuruhusu kuelezea kazi moja ya trigonometric kupitia nyingine yoyote.

Kwa maelezo ya kina ya fomula hizi za trigonometria, mifano yao ya kutolewa na matumizi, angalia kifungu.

Fomula za Cast

Fomula za Cast kufuata kutoka kwa sifa za sine, cosine, tangent na cotangent, yaani, zinaonyesha mali ya upimaji wa kazi za trigonometric, mali ya ulinganifu, na pia mali ya kuhama kwa pembe fulani. Fomula hizi za trigonometriki hukuruhusu kuhama kutoka kufanya kazi na pembe kiholela hadi kufanya kazi na pembe kuanzia sifuri hadi digrii 90.

Mantiki ya fomula hizi, sheria ya kumbukumbu ya kukariri, na mifano ya matumizi yao inaweza kusomwa katika kifungu.

Fomula za Nyongeza

Njia za kuongeza trigonometric onyesha jinsi kazi za trigonometriki za jumla au tofauti za pembe mbili zinavyoonyeshwa kulingana na kazi za trigonometriki za pembe hizi. Fomula hizi hutumika kama msingi wa kupatikana kwa fomula zifuatazo za trigonometriki.

Fomula za mara mbili, tatu, nk. kona

Fomula za mara mbili, tatu, nk. pembe (pia huitwa fomula za pembe nyingi) zinaonyesha jinsi trigonometric inavyofanya kazi mara mbili, tatu, nk. pembe () zinaonyeshwa kwa suala la kazi za trigonometric za pembe moja. Utoaji wao unategemea kanuni za nyongeza.

Maelezo ya kina zaidi yanakusanywa katika kanuni za makala kwa mara mbili, tatu, nk. pembe.

Nusu Angle Formulas

Nusu Angle Formulas onyesha jinsi utendakazi wa trigonometriki za pembe nusu zinavyoonyeshwa kulingana na kosine ya pembe kamili. Fomula hizi za trigonometric hufuata kutoka kwa fomula za pembe mbili.

Hitimisho lao na mifano ya maombi inaweza kupatikana katika makala.

Fomula za kupunguza

Fomula za trigonometric za digrii zinazopungua zimeundwa ili kuwezesha mpito kutoka kwa nguvu za asili za kazi za trigonometriki hadi sine na kosini katika daraja la kwanza, lakini pembe nyingi. Kwa maneno mengine, wanaruhusu mtu kupunguza nguvu za kazi za trigonometric hadi ya kwanza.

Fomula za jumla na tofauti za chaguo za kukokotoa za trigonometric

marudio kuu jumla na tofauti fomula kwa ajili ya utendaji trigonometric inajumuisha mpito kwa bidhaa ya kazi, ambayo ni muhimu sana wakati wa kurahisisha misemo ya trigonometric. Fomula hizi pia hutumiwa sana katika kutatua milinganyo ya trigonometriki, kwani huruhusu kuweka jumla na tofauti ya sines na kosini.

Fomula za bidhaa za sines, cosines na sine na kosine

Mpito kutoka kwa bidhaa ya kazi za trigonometric hadi jumla au tofauti hufanywa kupitia fomula za bidhaa za sines, cosines na sine na cosine.

Hakimiliki na wanafunzi wajanja

Haki zote zimehifadhiwa.
Imelindwa na sheria ya hakimiliki. Hakuna sehemu ya www.site, ikijumuisha nyenzo za ndani na muundo wa nje, inaweza kunakiliwa kwa njia yoyote au kutumika bila idhini ya maandishi ya mwenye hakimiliki.

Maswali yanayoulizwa mara kwa mara

Je, inawezekana kufanya muhuri kwenye hati kulingana na sampuli iliyotolewa? Jibu Ndiyo, inawezekana. Tuma nakala iliyochanganuliwa au picha bora kwa anwani yetu ya barua pepe, na tutafanya nakala inayohitajika.

Je, unakubali malipo ya aina gani? Jibu Unaweza kulipa hati wakati wa kupokea na courier, baada ya kuangalia usahihi wa kujaza na ubora wa diploma. Hii inaweza pia kufanywa katika ofisi ya kampuni za posta zinazotoa pesa taslimu kwa huduma za uwasilishaji.
Masharti yote ya utoaji na malipo ya nyaraka yanaelezwa katika sehemu ya "Malipo na Utoaji". Pia tuko tayari kusikiliza mapendekezo yako juu ya masharti ya utoaji na malipo ya hati.

Je, ninaweza kuwa na uhakika kwamba baada ya kuweka amri huwezi kutoweka na pesa yangu? Jibu Tuna uzoefu wa muda mrefu katika uwanja wa uzalishaji wa diploma. Tuna tovuti kadhaa ambazo zinasasishwa kila mara. Wataalamu wetu hufanya kazi katika sehemu mbalimbali za nchi, wakitoa hati zaidi ya 10 kwa siku. Kwa miaka mingi, hati zetu zimesaidia watu wengi kutatua matatizo yao ya ajira au kuhamia kazi zinazolipa zaidi. Tumepata uaminifu na kutambuliwa miongoni mwa wateja, kwa hivyo hakuna sababu kabisa kwetu kufanya hivi. Kwa kuongezea, haiwezekani kuifanya kwa mwili: unalipa agizo lako wakati wa kuipokea mikononi mwako, hakuna malipo ya mapema.

Je, ninaweza kuagiza diploma kutoka chuo kikuu chochote? Jibu Kwa ujumla, ndiyo. Tumekuwa tukifanya kazi katika eneo hili kwa karibu miaka 12. Wakati huu, hifadhidata karibu kamili ya hati iliyotolewa na karibu vyuo vikuu vyote nchini na kwa miaka tofauti ya suala imeundwa. Unachohitaji ni kuchagua chuo kikuu, taaluma, hati na kujaza fomu ya kuagiza.

Nifanye nini nikipata makosa ya kuchapa na makosa kwenye hati? Jibu Unapopokea hati kutoka kwa msafirishaji wetu au kampuni ya posta, tunapendekeza uangalie kwa uangalifu maelezo yote. Ikiwa typo, hitilafu au usahihi hupatikana, una haki ya kuchukua diploma, lakini lazima uonyeshe mapungufu yaliyotambuliwa binafsi kwa courier au kwa maandishi kwa kutuma barua pepe.
Haraka iwezekanavyo, tutasahihisha hati na kuituma tena kwa anwani maalum. Bila shaka, meli italipwa na kampuni yetu.
Ili kuepuka kutoelewana huko, kabla ya kujaza fomu asili, tunatuma mpangilio wa hati ya baadaye kwa barua pepe ya mteja ili kuthibitishwa na kuidhinishwa na toleo la mwisho. Kabla ya kutuma hati kwa barua au barua, tunachukua picha na video ya ziada (pamoja na mwanga wa ultraviolet) ili uwe na wazo la kuona la kile utapata mwisho.

Unahitaji kufanya nini ili kuagiza diploma kutoka kwa kampuni yako? Jibu Ili kuagiza hati (cheti, diploma, cheti cha kitaaluma, nk), lazima ujaze fomu ya kuagiza mtandaoni kwenye tovuti yetu au utoe barua pepe yako ili tukutumie fomu ya dodoso, ambayo unahitaji kujaza na kutuma. kurudi kwetu.
Iwapo hujui cha kuonyesha katika sehemu yoyote ya fomu ya kuagiza/hojaji, waache wazi. Kwa hiyo, tutafafanua taarifa zote zinazokosekana kwenye simu.

Maoni ya hivi punde

Alexei:

Nilihitaji kupata diploma ili kupata kazi kama meneja. Na muhimu zaidi, nina uzoefu na ujuzi wote, lakini bila hati siwezi, nitapata kazi popote. Mara moja kwenye tovuti yako, bado niliamua kununua diploma. Diploma ilikamilishwa ndani ya siku 2! Sasa nina kazi ambayo sikuwahi kuitamani hapo awali!! Asante!

Tunaanza somo letu la trigonometry na pembetatu ya kulia. Hebu tufafanue sine na kosine ni nini, pamoja na tangent na cotangent ya angle ya papo hapo. Hizi ndizo msingi wa trigonometry.

Kumbuka hilo pembe ya kulia ni pembe sawa na digrii 90. Kwa maneno mengine, nusu ya kona iliyofunuliwa.

Kona kali- chini ya digrii 90.

Pembe ya kupuuza- zaidi ya digrii 90. Kuhusiana na pembe kama hiyo, "blunt" sio tusi, lakini neno la kihesabu :-)

Wacha tuchore pembetatu ya kulia. Pembe ya kulia kawaida huashiria . Kumbuka kwamba upande ulio kinyume na kona unaonyeshwa na barua sawa, ndogo tu. Kwa hivyo, upande ulio kinyume na pembe A umeonyeshwa.

Pembe inaonyeshwa na herufi inayolingana ya Kigiriki.

Hypotenuse Pembetatu ya kulia ni upande ulio kinyume na pembe ya kulia.

Miguu- pande kinyume na pembe kali.

Mguu kinyume na kona inaitwa kinyume(kuhusiana na angle). Mguu mwingine, ulio upande mmoja wa kona, unaitwa karibu.

Sinus pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia ni uwiano wa mguu kinyume na hypotenuse:

Cosine pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia - uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse:

Tanji pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia - uwiano wa mguu kinyume na karibu:

Ufafanuzi mwingine (sawa): tangent ya pembe ya papo hapo ni uwiano wa sine ya pembe kwa kosine yake:

Cotangent pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia - uwiano wa mguu wa karibu na kinyume (au, sawa, uwiano wa cosine na sine):

Jihadharini na uwiano wa msingi wa sine, cosine, tangent na cotangent, ambayo imetolewa hapa chini. Watakuwa na manufaa kwetu katika kutatua matatizo.

Hebu tuthibitishe baadhi yao.

Sawa, tumetoa ufafanuzi na fomula zilizoandikwa. Lakini kwa nini tunahitaji sine, kosine, tangent na cotangent?

Tunajua hilo jumla ya pembe za pembetatu yoyote ni.

Tunajua uhusiano kati ya vyama pembetatu ya kulia. Hii ndio nadharia ya Pythagorean:.

Inageuka kuwa kujua pembe mbili katika pembetatu, unaweza kupata ya tatu. Kujua pande mbili katika pembetatu ya kulia, unaweza kupata ya tatu. Kwa hiyo, kwa pembe - uwiano wao, kwa pande - wao wenyewe. Lakini nini cha kufanya ikiwa katika pembetatu ya kulia pembe moja (isipokuwa ya kulia) na upande mmoja hujulikana, lakini unahitaji kupata pande nyingine?

Hivi ndivyo watu walivyokabiliana nao siku za nyuma, wakitengeneza ramani za eneo na anga yenye nyota. Baada ya yote, si mara zote inawezekana kupima moja kwa moja pande zote za pembetatu.

Sine, cosine na tangent - pia huitwa kazi za trigonometric za pembe- toa uwiano kati ya vyama na pembe pembetatu. Kujua angle, unaweza kupata kazi zake zote za trigonometric kwa kutumia meza maalum. Na kujua sines, cosines na tangents ya pembe ya pembetatu na moja ya pande zake, unaweza kupata wengine.

Pia tutachora jedwali la thamani za sine, cosine, tangent na cotangent kwa pembe "nzuri" kutoka kwa.

Zingatia dashi mbili nyekundu kwenye jedwali. Kwa maadili yanayolingana ya pembe, tangent na cotangent haipo.

Hebu tuchambue matatizo kadhaa katika trigonometry kutoka kwa Benki ya kazi za FIPI.

1. Katika pembetatu, pembe ni,. Tafuta .

Tatizo linatatuliwa kwa sekunde nne.

Kwa sababu ya , .

2. Katika pembetatu, pembe ni , , . Tafuta .

Wacha tupate kwa nadharia ya Pythagorean.

Tatizo limetatuliwa.

Mara nyingi katika matatizo kuna pembetatu na pembe na au kwa pembe na. Kariri uwiano wa kimsingi kwao kwa moyo!

Kwa pembetatu yenye pembe na mguu ulio kinyume na pembe ni sawa na nusu ya hypotenuse.

Pembetatu yenye pembe na ni isosceles. Ndani yake, hypotenuse ni mara kubwa zaidi kuliko mguu.

Tulizingatia shida za kutatua pembetatu za kulia - ambayo ni, kutafuta pande au pembe zisizojulikana. Lakini si hivyo tu! Katika lahaja za mtihani katika hisabati, kuna kazi nyingi ambapo sine, cosine, tangent au cotangent ya pembe ya nje ya pembetatu inaonekana. Zaidi juu ya hili katika makala inayofuata.

Katika makala hii, tutaangalia kwa kina. Vitambulisho vya msingi vya trigonometriki ni usawa ambao huanzisha uhusiano kati ya sine, kosine, tanjiti na kotangenti ya pembe moja, na hukuruhusu kupata mojawapo ya vitendakazi hivi vya trigonometriki kupitia nyingine inayojulikana.

Mara moja tunaorodhesha vitambulisho kuu vya trigonometric, ambayo tutachambua katika makala hii. Tunaziandika kwenye jedwali, na hapa chini tunatoa uundaji wa fomula hizi na kutoa maelezo muhimu.

Urambazaji wa ukurasa.

Uhusiano kati ya sine na kosine wa pembe moja

Wakati mwingine hawazungumzii juu ya vitambulisho kuu vya trigonometric vilivyoorodheshwa kwenye jedwali hapo juu, lakini kuhusu moja kitambulisho cha msingi cha trigonometric aina . Ufafanuzi wa ukweli huu ni rahisi sana: usawa hupatikana kutoka kwa utambulisho wa msingi wa trigonometric baada ya kugawanya sehemu zake zote mbili na kwa mtiririko huo, na usawa. na kufuata kutoka kwa ufafanuzi wa sine, kosine, tanjiti, na kotangent. Tutajadili hili kwa undani zaidi katika aya zifuatazo.

Hiyo ni, ni usawa ambao ni wa maslahi fulani, ambayo ilipewa jina la utambulisho kuu wa trigonometric.

Kabla ya kuthibitisha utambulisho wa msingi wa trigonometric, tunatoa uundaji wake: jumla ya mraba wa sine na cosine wa pembe moja ni sawa sawa na moja. Sasa hebu tuthibitishe.

Utambulisho wa msingi wa trigonometric hutumiwa mara nyingi sana mabadiliko ya maneno ya trigonometric. Inaruhusu jumla ya miraba ya sine na kosine ya pembe moja kubadilishwa na moja. Sio chini ya mara nyingi, kitambulisho cha msingi cha trigonometric hutumiwa kwa mpangilio wa nyuma: kitengo kinabadilishwa na jumla ya miraba ya sine na cosine ya pembe yoyote.

Tanji na kotanjiti kupitia sine na kosine

Vitambulisho vinavyounganisha tanjiti na kotanjiti na sine na kosine ya pembe moja ya umbo na mara moja kufuata kutoka kwa ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent. Hakika, kwa ufafanuzi, sine ni mratibu wa y, cosine ni abscissa ya x, tangent ni uwiano wa kuratibu kwa abscissa, yaani, , na cotangent ni uwiano wa abscissa kwa kuratibu, yaani, .

Kutokana na udhahiri huu wa utambulisho na mara nyingi ufafanuzi wa tangent na cotangent hutolewa si kwa njia ya uwiano wa abscissa na kuratibu, lakini kupitia uwiano wa sine na cosine. Kwa hivyo tanjiti ya pembe ni uwiano wa sine na kosine ya pembe hii, na kotanjenti ni uwiano wa kosine kwa sine.

Kuhitimisha sehemu hii, ni lazima ieleweke kwamba utambulisho na shikilia kwa pembe zote kama hizo ambazo kazi za trigonometric zilizomo ndani yake zina maana. Kwa hivyo fomula ni halali kwa nyingine yoyote isipokuwa (vinginevyo dhehebu litakuwa sifuri, na hatukufafanua mgawanyiko kwa sifuri), na fomula. - kwa wote, tofauti na, ambapo z ni yoyote.

Uhusiano kati ya tangent na cotangent

Utambulisho dhahiri zaidi wa trigonometric kuliko hizo mbili zilizopita ni utambulisho unaounganisha tanjiti na kotanji ya pembe moja ya fomu. . Ni wazi kwamba hufanyika kwa pembe zozote zaidi ya , vinginevyo aidha tanjiti au cotangent haijafafanuliwa.

Uthibitisho wa formula rahisi sana. Kwa ufafanuzi na kutoka wapi . Uthibitisho ungeweza kufanywa kwa njia tofauti kidogo. Tangu na , basi .

Kwa hiyo, tangent na cotangent ya angle moja, ambayo hufanya maana, ni.

Kosine ya jumla na tofauti ya pembe mbili

Katika sehemu hii, fomula mbili zifuatazo zitathibitishwa:

cos (α + β) = cos α cos β - dhambi α dhambi β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + dhambi α dhambi β. (2)

Kosine ya jumla (tofauti) ya pembe mbili ni sawa na bidhaa ya cosines ya pembe hizi minus (pamoja) bidhaa ya sines ya pembe hizi.

Itakuwa rahisi zaidi kwetu kuanza na uthibitisho wa fomula (2). Kwa unyenyekevu, hebu kwanza tufikirie kwamba pembe α na β kukidhi masharti yafuatayo:

1) kila moja ya pembe hizi sio hasi na chini ya 2p:

0 < α <2p, 0< β < 2π;

2) α > β .

Acha sehemu chanya ya mhimili 0x iwe upande wa kawaida wa pembe α na β .

Hebu tuonyeshe pande za mwisho za pembe hizi kama 0A na 0B, mtawalia. Ni wazi angle α - β inaweza kuzingatiwa kama pembe ambayo ni muhimu kuzungusha boriti 0B karibu na hatua 0 kinyume cha saa ili mwelekeo wake ufanane na mwelekeo wa boriti 0A.

Juu ya mionzi 0A na 0B, tunaweka alama M na N, ambazo ziko umbali wa 1 kutoka asili 0, ili 0M = 0N = 1.

Katika mfumo wa kuratibu wa x0y, hatua M ina kuratibu ( cosa, dhambi), na kumweka N - kuratibu ( cos β , dhambi β) Kwa hivyo mraba wa umbali kati yao ni:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (dhambi α - dhambi β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + dhambi 2 α - 2dhambi α dhambi β + dhambi 2 β = .

Katika mahesabu, tulitumia kitambulisho

dhambi 2 φ + cos 2 φ = 1.

Sasa fikiria mfumo mwingine wa kuratibu B0C, unaopatikana kwa kuzungusha shoka 0x na 0y kuzunguka nukta 0 kinyume cha saa kwa pembe. β .

Katika mfumo huu wa kuratibu, nukta M ina kuratibu (cos ( α - β ), dhambi ( α - β )), na uhakika ni N-coordinates (1,0). Kwa hivyo mraba wa umbali kati yao ni:

d 2 2 \u003d 2 + 2 \u003d cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ dhambi 2 (α - β) \u003d 2.

Lakini umbali kati ya pointi M na N haitegemei ni mfumo gani wa kuratibu tunazingatia pointi hizi. Ndiyo maana

d 1 2 = d 2 2

2 (1 - cos α cos β - dhambi α dhambi β) = 2 .

Hapa ndipo fomula (2) inapofuata.

Sasa tunapaswa kukumbuka vikwazo viwili ambavyo tumeweka kwa urahisi wa kuwasilisha kwenye pembe α na β .

mahitaji kwamba kila moja ya pembe α na β haikuwa hasi, haikuwa muhimu sana. Baada ya yote, pembe ambayo ni nyingi ya 2n inaweza kuongezwa kwa yoyote ya pembe hizi, ambayo haitaathiri uhalali wa formula (2) kwa njia yoyote. Vile vile, kutoka kwa kila pembe iliyotolewa, unaweza kutoa pembe ambayo ni nyingi 2p. Kwa hiyo, inaweza kuchukuliwa kuwa 0 < α < 2p, 0 < β < 2p.

Hali α > β . Kweli, ikiwa α < β , basi β >α ; kwa hiyo, kwa kuzingatia usawa wa kazi cos X , tunapata:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + dhambi β dhambi α,

ambayo kimsingi inaendana na fomula (2). Hivyo formula

cos (α - β) = cos α cos β + dhambi α dhambi β

kweli kwa pembe zote α na β . Hasa, kwa kuchukua nafasi β kwenye - β na kutokana na kwamba kazi hiyo cosX ni sawa, na kazi dhambiX isiyo ya kawaida, tunapata:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + dhambi α dhambi (-β) =

\u003d cos α cos β - dhambi α dhambi β,

ambayo inathibitisha fomula (1).

Kwa hivyo, fomula (1) na (2) zinathibitishwa.

Mifano.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

Mazoezi

1 . Kuhesabu bila kutumia jedwali la trigonometric:

a) cos 17 ° cos 43 ° - dhambi 17 ° dhambi 43 °;

b) dhambi 3 ° dhambi 42 ° - cos 39 ° cos 42 °;

c) cos 29 ° cos 74 ° + dhambi 29 ° dhambi 74 °;

d) dhambi 97 ° dhambi 37 ° + cos 37 ° cos 97 °;

e) cos 3π / 8 cos π / 8 + dhambi 3π / 8 dhambi π / 8;

e) dhambi 3π / 5 dhambi 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .

2.Rahisisha misemo:

a). cos ( α + π / 3 ) + cos (π / 3 - α ) .

b). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + dhambi (36° + α ) dhambi ( α - 24 °).

ndani). dhambi (π / 4 - α ) dhambi (π / 4 + α ) - cos(π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )

d) kwa 2 α +tg α dhambi 2 α .

3 . Piga hesabu :

a) cos (α - β), kama

kosa = - 2 / 5 , sinβ = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

b) kwani ( α + π / 6) ikiwa cos α = 0,6;

3π / 2< α < 2π.

4 . Tafuta cos(α + β) na cos (α - β) , ikiwa inajulikana kuwa dhambi α = 7/25 cos β = - 5/13 na pembe zote mbili ( α na β ) kuishia katika robo sawa.

5 .Hesabu:

a). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3]

b). cos [ arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .

ndani). cos [arctg 1 / 2 + arccos (- 2)]