- Hii ni polyhedron, ambayo huundwa na msingi wa piramidi na sehemu inayofanana nayo. Tunaweza kusema kwamba piramidi iliyokatwa ni piramidi na juu iliyokatwa. Sura hii ina mali nyingi za kipekee:

• Nyuso za upande wa piramidi ni trapeziums;
• Mbavu za nyuma za piramidi ya kawaida iliyokatwa ni ya urefu sawa na inaelekea kwenye msingi kwa pembe moja;
• Besi ni kama poligoni;
• Katika piramidi ya kawaida iliyokatwa, nyuso zinafanana na isosceles trapezoids, ambayo eneo lake ni sawa. Pia huelekezwa kwenye msingi kwa pembe moja.

Fomula ya eneo la uso wa piramidi iliyokatwa ni jumla ya maeneo ya pande zake:

Kwa kuwa pande za piramidi iliyokatwa ni trapezoids, itabidi utumie fomula kuhesabu vigezo eneo la trapezoid... Kwa piramidi sahihi iliyokatwa, unaweza kutumia fomula ya eneo tofauti. Kwa kuwa pande zake zote, nyuso, na pembe kwenye msingi ni sawa, inawezekana kutumia viunga vya msingi na apothemi, na pia tambua eneo hilo kupitia pembe kwenye msingi.

Ikiwa, kulingana na hali katika piramidi ya kawaida iliyokatwa, apothem (urefu wa upande wa nyuma) na urefu wa pande za msingi hutolewa, basi inawezekana kuhesabu eneo hilo kupitia nusu ya bidhaa ya jumla ya mzunguko wa besi na apothem:

Wacha tuangalie mfano wa kuhesabu eneo la uso wa piramidi iliyokatwa.
Piramidi ya kawaida ya pentagonal inapewa. Apothem l= 5 cm, urefu wa uso katika msingi mkubwa ni a= 6 cm, na makali katika msingi mdogo b= Cm 4. Mahesabu ya eneo la piramidi iliyokatwa.

Kwanza, wacha tupate mzunguko wa besi. Kwa kuwa tumepewa piramidi ya pentagonal, tunaelewa kuwa besi ni pentagoni. Hii inamaanisha kuwa takwimu iliyo na pande tano zinazofanana iko kwenye besi. Pata mzunguko wa msingi mkubwa:

Kwa njia hiyo hiyo, tunapata mzunguko wa msingi mdogo:

Sasa tunaweza kuhesabu eneo la piramidi sahihi iliyokatwa. Tunabadilisha data kwenye fomula:

Kwa hivyo, tulihesabu eneo la piramidi ya kawaida iliyokatwa kupitia viunga na apothem.

Njia nyingine ya kuhesabu eneo la uso wa piramidi ya kawaida ni fomula kupitia pembe kwenye msingi na eneo la besi hizi.

Wacha tuangalie mfano wa hesabu. Kumbuka kwamba fomula hii inatumika tu kwa piramidi sahihi iliyokatwa.

Wacha ipewe piramidi ya mara kwa mara ya pembe nne. Makali ya msingi wa chini ni = 6 cm, na makali ya msingi wa juu ni b = cm 4. Pembe ya dihedral chini ni β = 60 °. Pata eneo la uso wa piramidi ya kawaida iliyokatwa.

Kwanza, wacha tuhesabu eneo la besi. Kwa kuwa piramidi ni sahihi, nyuso zote za besi ni sawa na kila mmoja. Kwa kuzingatia kuwa kuna pembe nne kwenye msingi, tunaelewa kuwa itakuwa muhimu kuhesabu eneo la mraba... Ni bidhaa ya upana na urefu, lakini maadili haya ni mraba sawa. Pata eneo la msingi mkubwa:


Sasa tunatumia maadili yaliyopatikana kuhesabu eneo la uso wa baadaye.

Kujua fomula chache rahisi, tulihesabu kwa urahisi eneo la trapezium ya baadaye ya piramidi iliyokatwa kupitia maadili anuwai.

Piramidi. Piramidi iliyokatwa

Piramidi inaitwa polyhedron, ambaye nyuso zake ni poligoni ( msingi ), na nyuso zingine zote ni pembetatu zilizo na kitabaka cha kawaida ( nyuso za upande (Mtini. 15). Piramidi inaitwa sahihisha ikiwa msingi wake ni poligoni ya kawaida na juu ya piramidi inakadiriwa katikati ya msingi (Mtini. 16). Piramidi ya pembe tatu ambayo kingo zote ni sawa inaitwa tetrahedron .

Ubavu wa upande piramidi ni upande wa uso wa upande ambao sio wa msingi Urefu piramidi inaitwa umbali kutoka juu hadi ndege ya msingi. Vipande vyote vya piramidi ya kawaida ni sawa na kila mmoja, kingo zote za nyuma ni pembetatu sawa za isosceles. Urefu wa uso wa upande wa piramidi ya kawaida inayotolewa kutoka juu inaitwa apothem . Sehemu ya Ulalo sehemu ya piramidi inaitwa ndege inayopitia kingo mbili za nyuma ambazo sio za uso mmoja.

Eneo la uso wa baadaye piramidi inaitwa jumla ya maeneo ya nyuso zote za upande. Sehemu kamili ya uso inaitwa jumla ya maeneo ya nyuso zote za upande na msingi.

Nadharia

1. Ikiwa kwenye piramidi kando kando kando pande zote zinaelekezwa kwa ndege ya msingi, basi juu ya piramidi inakadiriwa katikati ya duara iliyozunguka juu ya msingi.

2. Ikiwa katika piramidi kando kando kote kuna urefu sawa, basi juu ya piramidi inakadiriwa katikati ya duara iliyozunguka juu ya msingi.

3. Ikiwa katika piramidi nyuso zote zimeelekezwa sawa kwa ndege ya msingi, basi juu ya piramidi inakadiriwa katikati ya duara iliyoandikwa kwenye msingi.

Ili kuhesabu kiasi cha piramidi holela, fomula ifuatayo ni sahihi:

wapi V- ujazo;

S kuu- eneo la msingi;

H- urefu wa piramidi.

Kwa piramidi sahihi, fomula ni sahihi:

wapi p- mzunguko wa msingi;

h a- upendeleo;

H- urefu;

S kamili

S upande

S kuu- eneo la msingi;

V Je! Ni kiasi gani cha piramidi sahihi.

Piramidi iliyokatwa inaitwa sehemu ya piramidi, iliyofungwa kati ya msingi na ndege ya usalama inayofanana na msingi wa piramidi (Kielelezo 17). Piramidi iliyokatwa mara kwa mara inaitwa sehemu ya piramidi ya kawaida, iliyofungwa kati ya msingi na ndege iliyo salama inayofanana na msingi wa piramidi.

Misingi piramidi zilizokatwa - polygoni nyingi zinazofanana. Nyuso za upande - trapezoid. Urefu piramidi iliyokatwa ni umbali kati ya besi zake. Ulalo piramidi iliyokatwa inaitwa sehemu inayounganisha vipeo vyake ambavyo havilali kwa uso ule ule. Sehemu ya Ulalo sehemu ya piramidi iliyokatwa inaitwa ndege inayopitia kingo mbili za nyuma ambazo sio za uso mmoja.

Kwa piramidi iliyokatwa, fomula zifuatazo ni halali:

(4)

wapi S 1 , S 2 - maeneo ya besi za juu na chini;

S kamili- jumla ya eneo;

S upande- eneo la uso wa nyuma;

H- urefu;

V- kiasi cha piramidi iliyokatwa.

Kwa piramidi sahihi iliyokatwa, fomula ni sahihi:

wapi p 1 , p 2 - mzunguko wa besi;

h a- apothem ya piramidi ya kawaida iliyokatwa.

Mfano 1. Katika piramidi ya pembetatu ya kawaida, pembe ya dihedral chini ni 60º. Pata tangent ya pembe ya mwelekeo wa ukingo wa upande kwa ndege ya msingi.

Suluhisho. Wacha tufanye kuchora (mtini 18).

Piramidi ni ya kawaida, kwa hivyo kwenye msingi kuna pembetatu ya usawa na nyuso zote za upande ni pembetatu sawa za isosceles. Pembe ya dihedral chini ni pembe ya mwelekeo wa uso wa piramidi kwa ndege ya msingi. Pembe ya mstari ni pembe a kati ya perpendiculars mbili: na i.e. Juu ya piramidi inakadiriwa katikati ya pembetatu (katikati ya tohara na duara iliyoandikwa kwenye pembetatu. ABC). Pembe ya mwelekeo wa ubavu wa baadaye (kwa mfano SB Je! Pembe ni kati ya makali yenyewe na makadirio yake kwenye ndege ya msingi. Kwa ubavu SB pembe hii itakuwa pembe SBD... Ili kupata tangent, unahitaji kujua miguu HIVYO na OB... Wacha urefu wa sehemu hiyo BD ni sawa na 3 a... Nukta O sehemu BD imegawanywa katika sehemu: na Kutoka tunapata HIVYO: Kutoka tunapata:

Jibu:

Mfano 2. Pata ujazo wa piramidi ya mara kwa mara iliyopunguzwa ikiwa pembe za besi zake ni cm na cm, na urefu ni 4 cm.

Suluhisho. Ili kupata kiasi cha piramidi iliyokatwa, tunatumia fomula (4). Ili kupata eneo la besi, unahitaji kupata pande za mraba wa msingi, ukijua diagonal zao. Pande za besi ni 2 cm na 8 cm, mtawaliwa. Kwa hivyo eneo la besi na Baada ya kubadilisha data zote kwenye fomula, tunahesabu kiasi cha piramidi iliyokatwa:

Jibu: 112 cm 3.

Mfano 3. Pata eneo la uso wa upande wa piramidi iliyokatwa mara kwa mara ya pembetatu, pande zake ambazo ni 10 cm na 4 cm, na urefu wa piramidi ni 2 cm.

Suluhisho. Wacha tufanye kuchora (mtini 19).

Uso wa upande wa piramidi hii ni trapezoid ya isosceles. Ili kuhesabu eneo la trapezoid, unahitaji kujua msingi na urefu. Besi zinapewa kwa hali, urefu tu haujulikani. Tutapata kutoka wapi A 1 E perpendicular kutoka kwa uhakika A 1 kwenye ndege ya msingi wa chini, A 1 D- perpendicular kutoka A 1 imeendelea AS. A 1 E= 2 cm, kwa kuwa huu ndio urefu wa piramidi. Kutafuta DE tutafanya kuchora ya ziada, ambayo tutaonyesha maoni ya juu (mtini. 20). Hatua O- makadirio ya vituo vya besi za juu na chini. kwani (tazama mtini. 20) na Kwa upande mwingine sawa Je! Ni eneo la mduara ulioandikwa na OM- eneo la mduara ulioandikwa:

MK = DE.

Na nadharia ya Pythagorean kutoka

Sehemu ya uso wa upande:

Jibu:

Mfano 4. Msingi wa piramidi hiyo kuna isosceles trapezoid, ambayo misingi yake a na b (a> b). Kila uso wa upande huunda pembe na ndege ya msingi ya piramidi sawa na j... Pata eneo la jumla la piramidi.

Suluhisho. Wacha tufanye kuchora (mtini 21). Jumla ya eneo la piramidi SABCD sawa na jumla ya maeneo na eneo la trapezoid ABCD.

Wacha tutumie taarifa kwamba ikiwa nyuso zote za piramidi zimeelekezwa kwa usawa kwenye ndege ya msingi, basi kilele kinakadiriwa katikati ya duara iliyoandikwa kwenye msingi. Hatua O- makadirio ya vertex S chini ya piramidi. Pembetatu SOD ni makadirio ya orthogonal ya pembetatu CSD kwenye ndege ya msingi. Kwa nadharia kwenye eneo la makadirio ya orthogonal ya takwimu ya ndege, tunapata:

Vivyo hivyo, inamaanisha Kwa hivyo, kazi ilipunguzwa kupata eneo la trapezoid ABCD... Chora trapezoid ABCD kando (mtini 22). Hatua O- katikati ya duara iliyoandikwa kwenye trapezoid.

Kwa kuwa mduara unaweza kuandikwa kwenye trapezoid, ama Kutoka, na nadharia ya Pythagorean, tuna

Katika somo hili, tutaangalia piramidi iliyokatwa, tujue piramidi sahihi iliyokatwa, na tujifunze mali zao.

Wacha tukumbuke dhana ya piramidi iliyo na upande mmoja kwa kutumia mfano wa piramidi ya pembetatu. Triangle ABC imewekwa. Nje ya ndege ya pembetatu, kumweka P kunachukuliwa, kushikamana na vipeo vya pembetatu. Uso unaosababishwa wa polyhedral unaitwa piramidi (Kielelezo 1).

Mchele. 1. Piramidi ya pembetatu

Wacha tukate piramidi na ndege inayofanana na ndege ya msingi wa piramidi. Takwimu iliyopatikana kati ya ndege hizi inaitwa piramidi iliyokatwa (Kielelezo 2).

Mchele. 2. Piramidi iliyokatwa

Vipengele kuu:

Msingi wa juu;

Msingi wa chini ABC;

Makali ya upande;

Ikiwa PH ni urefu wa piramidi ya asili, basi ndivyo urefu wa piramidi iliyokatwa.

Mali ya piramidi iliyokatwa hufuata kutoka kwa njia ya ujenzi wake, ambayo ni kutoka kwa usawa wa ndege za msingi:

Nyuso zote za upande wa piramidi iliyokatwa ni trapeziums. Kwa mfano, fikiria jambo. Kulingana na mali ya ndege zinazofanana (kwa kuwa ndege ni sawa, hukata uso wa pembeni wa piramidi ya asili ya ABP kando ya mistari iliyonyooka sawa), wakati huo huo hazilingani. Kwa wazi, pande zote nne ni trapezoid, kama nyuso zote za piramidi iliyokatwa.

Uwiano wa msingi ni sawa kwa trapezoids zote:

Tuna jozi kadhaa za pembetatu zinazofanana na mgawo sawa wa kufanana. Kwa mfano, pembetatu na RAV ni sawa kwa sababu ya kufanana kwa ndege na, mgawo wa kufanana:

Wakati huo huo, pembetatu na RBC zinafanana na mgawo wa kufanana:

Kwa wazi, coefficients ya kufanana kwa jozi zote tatu za pembetatu sawa ni sawa, kwa hivyo uwiano wa besi ni sawa kwa trapezoids zote.

Piramidi iliyokatwa mara kwa mara inaitwa piramidi iliyokatwa iliyopatikana kwa kukata piramidi ya kawaida na ndege inayofanana na msingi (Mtini. 3).

Mchele. 3. Piramidi iliyokataliwa sahihi

Ufafanuzi.

Piramidi inaitwa piramidi ya kawaida, chini ya n-gon ya kawaida, na vertex inakadiriwa katikati ya n-gon hii (katikati ya duara iliyoandikwa na kuzungukwa).

Katika kesi hii, mraba umelala chini ya piramidi, na juu inakadiriwa kufikia hatua ya makutano ya diagonal zake. Piramidi iliyopunguzwa ya quadrangular iliyopunguzwa ABCD ina msingi wa chini na msingi wa juu. Urefu wa piramidi ya asili - RO, piramidi iliyokatwa - (Mtini. 4).

Mchele. 4. Piramidi iliyokatwa mara kwa mara ya pembe nne

Ufafanuzi.

Urefu wa piramidi iliyokatwa ni sawa inayochukuliwa kutoka kwa sehemu yoyote kwenye msingi mmoja hadi kwenye ndege ya msingi mwingine.

Apothem ya piramidi ya asili ni PM (M ni katikati ya AB), apothem ya piramidi iliyokatwa ni (Mtini. 4).

Ufafanuzi.

Apothem ya piramidi iliyokatwa ni urefu wa uso wowote wa upande.

Ni wazi kuwa kingo zote za piramidi iliyokatwa ni sawa kwa kila mmoja, ambayo ni kwamba, kingo za nyuma ni sawa na isosceles trapezoids.

Sehemu ya juu ya piramidi ya kawaida iliyokatwa ni sawa na bidhaa ya nusu ya jumla ya mzunguko wa msingi na apothem.

Uthibitisho (kwa piramidi iliyokatwa mara kwa mara ya mstatili - Mchoro 4):

Kwa hivyo, inahitajika kuthibitisha:

Eneo la uso wa nyuma hapa litakuwa na jumla ya maeneo ya nyuso za nyuma - trapeziums. Kwa kuwa trapezoids ni sawa, tuna:

Eneo la trapezoid ya isosceles ni bidhaa ya nusu-jumla ya besi na urefu, apothem ni urefu wa trapezoid. Tuna:

Q.E.D.

Kwa piramidi ya upande mmoja:

Ambapo n ni idadi ya nyuso za upande wa piramidi, a na b ndio msingi wa trapezoid, ni apothem.

Pande za msingi wa piramidi ya quadrangular iliyopunguzwa mara kwa mara ni sawa na 3 cm na 9 cm, urefu - cm 4. Pata eneo la uso wa nyuma.

Mchele. 5. Mchoro wa shida 1

Suluhisho. Wacha tuonyeshe hali hiyo:

Imepewa: ,,

Kupitia hatua O tunachora MN moja kwa moja sambamba na pande mbili za msingi wa chini, vivyo hivyo kupitia hatua tunachora laini moja kwa moja (Mtini. 6). Kwa kuwa mraba na ujenzi ni sawa katika besi za piramidi iliyokatwa, tunapata trapezoid sawa na nyuso za upande. Kwa kuongezea, upande wake wa kupita utapita katikati ya kingo za juu na za chini za nyuso za upande na kuwa apothem ya piramidi iliyokatwa.

Mchele. 6. Ujenzi wa ziada

Fikiria trapezoid inayosababishwa (Mtini. 6). Katika trapezoid hii, msingi wa juu, msingi wa chini na urefu hujulikana. Inahitajika kupata upande, ambayo ni apothem ya piramidi iliyokatwa iliyopewa. Wacha tuelekeze kwa MN. Wacha tuangalie NQ ya kibinafsi kutoka kwa hatua. Tunapata kwamba msingi mkubwa umegawanywa katika sehemu za sentimita tatu (). Fikiria pembetatu iliyo na pembe ya kulia, miguu ndani yake inajulikana, hii ndio pembetatu ya Misri, kulingana na nadharia ya Pythagorean, tunaamua urefu wa hypotenuse: 5 cm.

Sasa kuna mambo yote ya kuamua eneo la uso wa piramidi:

Piramidi imevuka na ndege inayofanana na msingi. Thibitisha, kwa kutumia mfano wa piramidi ya pembetatu, kwamba kando kando na urefu wa piramidi hugawanywa na ndege hii katika sehemu sawia.

Uthibitisho. Wacha tuonyeshe:

Mchele. 7. Mchoro wa shida 2

Piramidi ya RAVS imewekwa. RO ni urefu wa piramidi. Piramidi hugawanywa na ndege, piramidi iliyokatwa hupatikana, zaidi ya hayo. Point - hatua ya makutano ya urefu wa RO na ndege ya msingi wa piramidi iliyokatwa. Inahitajika kuthibitisha:

Ufunguo wa suluhisho ni mali inayofanana ya ndege. Ndege mbili zinazofanana hukata ndege yoyote ya tatu ili mistari ya makutano iwe sawa. Kwa hivyo:. Usambamba wa mistari inayolingana inaashiria uwepo wa jozi nne za pembetatu zinazofanana:

Uwiano wa pande zinazofanana hufuata kutoka kwa kufanana kwa pembetatu. Kipengele muhimu ni kwamba coefficients ya kufanana kwa pembetatu hizi ni sawa:

Q.E.D.

Piramidi ya kawaida ya piramidi RAVS iliyo na urefu na upande wa msingi hugawanywa na ndege inayopita katikati ya urefu wa RN sambamba na msingi wa ABC. Pata eneo la uso wa piramidi iliyosababishwa.

Suluhisho. Wacha tuonyeshe:

Mchele. 8. Mchoro wa shida 3

ASB ni pembetatu ya kulia, H ndio kitovu cha pembetatu hii (katikati ya miduara iliyoandikwa na kuzungukwa). RM ni apothem ya piramidi iliyopewa. - apothem ya piramidi iliyokatwa. Kulingana na mali ya ndege zinazofanana (ndege mbili zinazofanana hukata ndege yoyote ya tatu ili mistari ya makutano iwe sawa), tuna jozi kadhaa za pembetatu zinazofanana na mgawo sawa wa kufanana. Hasa, tunavutiwa na uhusiano:

Wacha tutafute NM. Hii ndio eneo la duara lililoandikwa kwenye msingi, tunajua fomula inayolingana:

Sasa, kutoka pembetatu ya pembe-kulia РНМ, kulingana na nadharia ya Pythagorean, tunapata РМ - apothem ya piramidi ya asili:

Kutoka kwa uwiano wa awali:

Sasa tunajua vitu vyote vya kutafuta eneo la uso wa pembeni wa piramidi iliyokatwa:

Kwa hivyo, tulifahamiana na dhana za piramidi iliyokatwa na piramidi iliyokatwa mara kwa mara, ikatoa ufafanuzi wa kimsingi, ikizingatiwa mali, na ikathibitisha nadharia kwenye eneo la uso. Somo linalofuata litahusu utatuzi wa shida.

Bibliografia

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Jiometri. Madarasa ya 10-11: kitabu cha masomo kwa wanafunzi wa taasisi za elimu (viwango vya msingi na wasifu) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5 ed., Mch. na ongeza. - M. Mnemozina, 2008 .-- 288 p.: Mgonjwa.
2. Shometgin I.F. Jiometri. Daraja la 10-11: Kitabu cha maandishi kwa taasisi za jumla za elimu / Sharygin I.F. - M: Bustard, 1999. - 208 p .: Ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Jiometri. Daraja la 10: Kitabu cha maandishi kwa taasisi za elimu zilizo na utafiti wa kina na maalum wa hisabati / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Tarehe 6, Mfano. - M.: Bustard, 2008 - 233 p.: Mgonjwa.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

Kazi ya nyumbani