Nyenzo za kinadharia. Upeo wa kipengele cha kukokotoa ni nini: pointi muhimu za Upeo wa juu zaidi na wa chini zaidi wa upeo wa juu na wa chini wa chaguo la kukokotoa
maana
Kubwa zaidi
maana
Angalau
Kiwango cha juu zaidi
Kiwango cha chini cha uhakika
Shida za kupata alama za kazi ya kupindukia hutatuliwa kulingana na mpango wa kawaida katika hatua 3.
Hatua ya 1. Pata derivative ya chaguo za kukokotoa
- Kumbuka kanuni derivative za kazi za kimsingi na sheria za msingi za utofautishaji ili kupata derivative.
y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.
Hatua ya 2. Pata sufuri za derivative
- Tatua mlinganyo unaotokana ili kupata sufuri za derivative.
3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.
Hatua ya 3. Pata pointi kali
- Tumia njia ya muda ili kuamua ishara za derivative;
- Katika hatua ya chini, derivative ni sawa na sifuri na mabadiliko ishara kutoka minus hadi plus, na katika hatua ya juu, kutoka plus kwa minus.
Wacha tutumie njia hii kutatua shida ifuatayo:
Pata upeo wa upeo wa chaguo za kukokotoa y=x3−243x+19.
1) Tafuta derivative: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;
2) Tatua mlingano y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;
3) Kinyume chake ni chanya kwa x>9 na x<−9 и отрицательная при −9 Jinsi ya kupata thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa Ili kutatua shida ya kupata maadili makubwa na madogo ya kazi muhimu: Husaidia na kazi nyingi nadharia: Ikiwa kuna sehemu moja tu ya kiwango cha juu kwenye sehemu, na hii ni hatua ya chini, basi thamani ndogo zaidi ya kazi hupatikana ndani yake. Ikiwa hii ni hatua ya juu, basi thamani kubwa zaidi inafikiwa hapo. 14. Dhana na mali ya msingi ya kiungo kisichojulikana. Ikiwa kazi f(x X, Na k- nambari, basi Kwa ufupi: mara kwa mara inaweza kuchukuliwa nje ya ishara muhimu. Ikiwa kazi f(x) Na g(x) kuwa na vizuia derivatives kwenye muda X, Hiyo Kwa ufupi: muunganisho wa jumla ni sawa na jumla ya viambatanisho. Ikiwa kazi f(x) ina kizuia derivative kwa muda X, basi kwa mambo ya ndani ya muda huu: Kwa ufupi: derivative ya kiungo ni sawa na integrand. Ikiwa kazi f(x) inaendelea kwa muda X na inaweza kutofautishwa katika sehemu za ndani za muda huu, basi: Kwa ufupi: kiungo cha utofautishaji wa chaguo za kukokotoa ni sawa na chaguo za kukokotoa pamoja na ujumuishaji thabiti. Hebu tupe ufafanuzi mkali wa hisabati dhana ya ujumuisho usio na kikomo. Usemi wa fomu unaitwa muhimu ya kazi f(x)
, wapi f(x)
- kazi ya kuunganisha ambayo imepewa (inajulikana), dx
- tofauti x
, na ishara iko kila wakati dx
. Ufafanuzi. Muhimu usio na kikomo inayoitwa kazi F(x) + C
, iliyo na ulinganifu wa kiholela C
, tofauti ambayo ni sawa na integrand kujieleza f(x)dx
, i.e. Hebu tukumbushe kwamba - kazi tofauti na hufafanuliwa kama ifuatavyo: Kutafuta tatizo kiungo kisicho na kikomo ni kupata kazi kama hiyo derivative ambayo ni sawa na integrand. Kazi hii imedhamiriwa kuwa sahihi kwa mara kwa mara, kwa sababu derivative ya mara kwa mara ni sifuri. Kwa mfano, inajulikana kuwa , basi zinageuka kuwa Kutafuta tatizo kiungo kisicho na kikomo kazi sio rahisi na rahisi kama inavyoonekana mwanzoni. Katika hali nyingi, lazima kuwe na ujuzi katika kufanya kazi na viungo visivyo na kikomo, lazima kuwe na uzoefu unaokuja na mazoezi na mara kwa mara kutatua mifano ya viambatanisho visivyo na kikomo. Inafaa kuzingatia ukweli kwamba viungo visivyo na kikomo kutoka kwa kazi zingine (kuna nyingi sana) hazijachukuliwa katika kazi za kimsingi. 15. Jedwali la viambatanisho vya msingi vya muda usiojulikana. Kanuni za msingi 16. Muhimu dhahiri kama kikomo cha jumla muhimu. Maana ya kijiometri na kimwili ya kiungo. Acha kitendakazi y=ƒ(x) kifafanuliwe kwa muda [a; b], a< b. Выполним следующие действия. 1. Kutumia pointi x 0 = a, x 1, x 2, ..., x n = B (x 0 2. Katika kila sehemu ya sehemu , i = 1,2,...,n, chagua hatua ya kiholela na i є na uhesabu thamani ya chaguo la kukokotoa ndani yake, yaani thamani ƒ(pamoja na i). 3. Zidisha thamani iliyopatikana ya chaguo za kukokotoa ƒ (na i) kwa urefu ∆x i =x i -x i-1 ya sehemu inayolingana ya sehemu: ƒ (pamoja na i) ∆x i. 4. Wacha tufanye jumla ya S n ya bidhaa zote kama hizo: Jumla ya fomu (35.1) inaitwa jumla kamili ya chaguo za kukokotoa y = ƒ(x) kwenye muda [a; b]. Wacha tuonyeshe kwa λ urefu wa sehemu kubwa zaidi ya sehemu: λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n). 5. Wacha tupate kikomo cha jumla ya jumla (35.1) wakati n → ∞ ili λ→0. Ikiwa katika kesi hii jumla ya S n ina kikomo I, ambayo haitegemei njia ya kugawa sehemu [a; b] kwenye sehemu za sehemu, wala juu ya uchaguzi wa pointi ndani yao, basi nambari mimi inaitwa kiungo cha uhakika cha kazi y = ƒ(x) kwenye sehemu [a; b] na inaonyeshwa hivi, Nambari a na b huitwa mipaka ya chini na ya juu ya ushirikiano, kwa mtiririko huo, ƒ(x) - kazi ya integrand, ƒ(x) dx - integrand, x - kutofautiana kwa ushirikiano, sehemu [a; b] - eneo (sehemu) ya ushirikiano. Kazi y=ƒ(x), ambayo kwa muda [a; b] kuna kiunganishi dhahiri kinachoitwa kuunganishwa kwenye muda huu. Wacha sasa tutengeneze nadharia ya uwepo wa kiunganishi dhahiri. Nadharia 35.1 (Cauchy). Ikiwa kitendakazi y = ƒ(x) kinaendelea kwa muda [a; b], kisha kiungo hakika Kumbuka kuwa mwendelezo wa chaguo za kukokotoa ni hali ya kutosha kwa ujumuishaji wake. Hata hivyo, kiunganishi dhahiri kinaweza pia kuwepo kwa baadhi ya vitendakazi ambavyo haviendelei, haswa kwa chaguo za kukokotoa zilizowekwa kwenye kipindi ambacho kina idadi maalum ya alama za kutoendelea juu yake. Wacha tuonyeshe sifa zingine za kiunga fulani ambacho hufuata moja kwa moja kutoka kwa ufafanuzi wake (35.2). 1. Kiunganishi dhahiri hakitegemei uteuzi wa kigezo cha ujumuishaji: Hii inafuata kutokana na ukweli kwamba jumla ya jumla (35.1), na kwa hiyo kikomo chake (35.2), haitegemei ni barua gani hoja ya kazi iliyotolewa inaonyeshwa. 2. Kiunganishi dhahiri kilicho na mipaka sawa ya ujumuishaji ni sawa na sifuri: 3. Kwa nambari yoyote halisi c. 17. Fomula ya Newton-Leibniz. Sifa za kimsingi za kiunganishi dhahiri. Hebu kazi y = f(x) kuendelea kwenye sehemu
Na F(x) ni mojawapo ya vizuia derivatives ya kazi kwenye sehemu hii, basi Fomula ya Newton-Leibniz: Njia ya Newton-Leibniz inaitwa formula ya msingi ya calculus muhimu. Ili kuthibitisha fomula ya Newton-Leibniz, tunahitaji dhana ya kiungo chenye kikomo cha juu kinachobadilika. Ikiwa kazi y = f(x) kuendelea kwenye sehemu
, basi kwa hoja kiunganishi cha fomu ni kazi ya kikomo cha juu. Hebu tuangazie kipengele hiki Kwa kweli, hebu tuandike nyongeza ya kazi inayolingana na ongezeko la hoja na tutumie mali ya tano ya kiunganishi dhahiri na mfuatano kutoka kwa mali ya kumi: Hebu tuandike upya usawa huu katika fomu Hebu tuhesabu F(a), kwa kutumia mali ya kwanza ya kiunganishi dhahiri: Ongezeko la chaguo la kukokotoa kwa kawaida huashiriwa kama Ili kutumia fomula ya Newton-Leibniz, inatosha kwetu kujua mojawapo ya vizuia derivatives. y=F(x) kazi ya integrand y=f(x) kwenye sehemu
na kukokotoa ongezeko la kizuia derivative hiki kwenye sehemu hii. Njia za ujumuishaji za kifungu hujadili njia kuu za kupata kizuia derivative. Hebu tutoe mifano michache ya kukokotoa viambatanisho dhahiri kwa kutumia fomula ya Newton-Leibniz kwa ufafanuzi. Mfano. Kokotoa thamani ya kiunganishi dhahiri kwa kutumia fomula ya Newton-Leibniz. Suluhisho. Kuanza, tunaona kwamba integrand ni kuendelea kwa muda
, kwa hiyo, inaweza kuunganishwa juu yake. (Tulizungumza juu ya kazi zinazoweza kuunganishwa katika sehemu ya kazi ambazo kuna kiunganishi dhahiri.) Kutoka kwa jedwali la viambatisho visivyojulikana ni wazi kuwa kwa kazi seti ya antiderivatives kwa maadili yote halisi ya hoja (na kwa hivyo kwa) imeandikwa kama Sasa inabakia kutumia fomula ya Newton-Leibniz kuhesabu kiunganishi dhahiri: 18. Maombi ya kijiometri ya kiunganishi cha uhakika. MATUMIZI YA KIJIometri CHA MUHIMU MAAMUZI Kuhesabu kiasi cha mwili Kuhesabu kiasi cha mwili kutoka kwa maeneo yanayojulikana ya sehemu zinazofanana: Kiasi cha mwili wa mzunguko:; . Mfano 1. Tafuta eneo la takwimu lililofungwa na curve y = sinx kwa mistari iliyonyooka Suluhisho: Tafuta eneo la takwimu: Mfano 2. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari Suluhisho: Wacha tupate abscissa ya sehemu za makutano ya grafu za kazi hizi. Ili kufanya hivyo, tunatatua mfumo wa equations Kutoka hapa tunapata x 1 =0, x 2 =2.5. 19. Dhana ya udhibiti tofauti. Agiza kwanza milinganyo tofauti. Mlinganyo wa tofauti- equation inayounganisha thamani ya derivative ya kazi na kazi yenyewe, maadili ya kutofautiana huru, na nambari (vigezo). Mpangilio wa derivatives uliojumuishwa katika equation unaweza kuwa tofauti (rasmi hauzuiliwi na chochote). Viingilio, chaguo za kukokotoa, vigeu vinavyojitegemea, na vigezo vinaweza kuonekana katika mlinganyo katika michanganyiko mbalimbali, au derivative yote isipokuwa moja inaweza kuwa haipo kabisa. Sio kila mlinganyo ulio na viingilio vya chaguo la kukokotoa lisilojulikana ni mlinganyo wa kutofautisha. Kwa mfano, Milinganyo ya sehemu tofauti(PDF) ni milinganyo iliyo na utendakazi zisizojulikana za vigeu kadhaa na viambajengo vyake vya sehemu. Fomu ya jumla ya milinganyo kama hii inaweza kuwakilishwa kama: vigeu huru viko wapi, na ni kazi ya viambishi hivi. Mpangilio wa milinganyo ya sehemu tofauti inaweza kuamuliwa kwa njia sawa na milinganyo ya kawaida ya tofauti. Uainishaji mwingine muhimu wa milinganyo ya sehemu tofauti ni mgawanyiko wao katika milinganyo ya aina ya duaradufu, kimfano na haipaboliki, hasa kwa milinganyo ya mpangilio wa pili. Milinganyo ya kawaida ya kutofautisha na milinganyo ya kutofautisha ya sehemu inaweza kugawanywa katika mstari Na isiyo ya mstari. Equation ya kutofautisha ni ya mstari ikiwa kazi isiyojulikana na derivatives zake huingia kwenye equation kwa daraja la kwanza tu (na hazizidishi kwa kila mmoja). Kwa milinganyo kama hii, suluhu huunda nafasi ndogo ya affine ya nafasi ya vitendaji. Nadharia ya milinganyo ya mstari tofauti inaendelezwa kwa kina zaidi kuliko nadharia ya milinganyo isiyo ya mstari. Mtazamo wa jumla wa mlingano wa tofauti za mstari n- utaratibu: Wapi p i(x) ni kazi zinazojulikana za tofauti huru, inayoitwa coefficients ya equation. Kazi r(x) upande wa kulia unaitwa mwanachama huru(neno pekee ambalo halitegemei kazi isiyojulikana) Darasa fulani muhimu la milinganyo ya mstari ni milinganyo ya tofauti ya mstari na mgawo wa mara kwa mara. Kikundi kidogo cha milinganyo ya mstari ni zenye homogeneous milinganyo tofauti - milinganyo ambayo haina neno huru: r(x) = 0. Kwa milinganyo ya tofauti ya homogeneous, kanuni ya uwekaji juu inashikilia: mchanganyiko wa mstari wa ufumbuzi wa sehemu ya equation kama hiyo pia itakuwa suluhisho lake. Milinganyo mingine yote ya tofauti ya mstari inaitwa tofauti milinganyo tofauti. Milinganyo ya tofauti isiyo ya mstari katika hali ya jumla haina njia za suluhisho, isipokuwa kwa madarasa maalum. Katika baadhi ya matukio (kwa kutumia makadirio fulani) yanaweza kupunguzwa kwa mstari. Kwa mfano, usawa wa mstari wa oscillator ya harmonic · - equation ya tofauti ya homogeneous ya utaratibu wa pili na coefficients mara kwa mara. Suluhisho ni familia ya kazi , ambapo na ni mara kwa mara ya kiholela, ambayo kwa suluhisho maalum imedhamiriwa kutoka kwa hali maalum ya awali. Mlinganyo huu, haswa, unaelezea mwendo wa oscillator ya usawa na mzunguko wa mzunguko wa 3. Sheria ya pili ya Newton inaweza kuandikwa kwa namna ya mlinganyo wa kutofautisha ambapo m- uzito wa mwili, x- uratibu wake, F(x, t) - kulazimisha kutenda kwa mwili kwa kuratibu x kwa wakati fulani t. Suluhisho lake ni trajectory ya mwili chini ya hatua ya nguvu maalum. · Mlinganyo wa tofauti wa Bessel ni mlinganyo wa kawaida wa mstari wa homogeneous wa mpangilio wa pili wenye viambajengo vinavyobadilika: Masuluhisho yake ni vitendakazi vya Bessel. · Mfano wa mlinganyo wa kawaida wa utofautishaji usio wa homogeneous wa mpangilio wa 1: Katika kundi linalofuata la mifano kuna kazi isiyojulikana u inategemea vigezo viwili x Na t au x Na y. · Mlingano wa tofauti wa mpangilio wa mstari wa mpangilio wa kwanza: · Mlinganyo wa wimbi la mwelekeo mmoja - mlingano wa mstari wa homogeneous katika sehemu ya sehemu ya aina ya lipaboliki ya mpangilio wa pili na coefficients ya mara kwa mara, hufafanua msisimko wa mfuatano ikiwa - mchepuko wa kamba katika hatua na kuratibu. x kwa wakati fulani t, na kigezo a huweka sifa za kamba: · Mlinganyo wa Laplace katika nafasi ya pande mbili ni mlinganyo wa usawa wa sehemu ya mpangilio wa mpangilio wa pili wa aina ya duaradufu na coefficients zisizobadilika, zinazotokana na matatizo mengi ya kimwili ya mechanics, conductivity ya mafuta, umemetuti, hydraulics: · Mlinganyo wa Korteweg-de Vries, mlingano wa tofauti usio na mstari wa mpangilio wa tatu unaoelezea mawimbi yasiyotulia yasiyo ya mstari, ikijumuisha solitons: 20. Milinganyo tofauti na zinazoweza kutenganishwa zinazotumika. Milinganyo ya mstari na mbinu ya Bernoulli. Mlinganyo wa tofauti wa mstari wa mpangilio wa kwanza ni mlingano ambao ni mstari kuhusiana na chaguo la kukokotoa lisilojulikana na kinyambulisho chake. Ina fomu Nguvu nzima. Hakika, ikiwa utapata na kubadilisha katika milinganyo ya aina zinazozingatiwa, utapata usawa wa kweli. Kama ilivyoelezwa katika makala kuhusu milinganyo ya homogeneous, ikiwa kulingana na hali inahitajika kupata suluhisho fulani tu, basi kazi, kwa sababu za wazi, haitusumbui, lakini inapohitajika kupata suluhisho la jumla / muhimu, basi ni muhimu kuhakikisha kwamba kipengele hiki hakijapotea! Nilileta tofauti zote maarufu za equation ya Bernoulli katika mfuko mkubwa wa zawadi na kuanza kuzisambaza. Tundika soksi zako chini ya mti. Mfano 1 Tafuta suluhu mahususi kwa mlinganyo wa kutofautisha unaolingana na hali uliyopewa ya awali. Pengine wengi walishangaa kwamba zawadi ya kwanza ilitolewa mara moja kutoka kwenye mfuko pamoja na Tatizo la uchungu. Hii sio ajali. Wakati usawa wa Bernoulli unapendekezwa kwa suluhisho, kwa sababu fulani mara nyingi ni muhimu kupata suluhisho fulani. Kutoka kwa mkusanyiko wangu, nilifanya uteuzi wa nasibu wa hesabu 10 za Bernoulli, na suluhisho la jumla (bila suluhisho fulani) linahitaji kupatikana katika hesabu 2 tu. Lakini, kwa kweli, hii ni ndogo, kwani suluhisho la jumla litalazimika kutafutwa kwa hali yoyote. Suluhisho: Kisambazaji hiki kina umbo na kwa hivyo ni mlinganyo wa Bernoulli Kazi na utafiti wa vipengele vyake huchukua moja ya sura muhimu katika hisabati ya kisasa. Sehemu kuu ya kazi yoyote ni grafu zinazoonyesha si mali zake tu, bali pia vigezo vya derivative ya kazi hii. Hebu tuelewe mada hii ngumu. Kwa hivyo ni ipi njia bora ya kupata alama za juu na za chini za kazi? Tofauti yoyote ambayo kwa namna fulani inategemea maadili ya wingi mwingine inaweza kuitwa kazi. Kwa mfano, chaguo za kukokotoa f(x 2) ni quadratic na huamua thamani za seti nzima ya x. Wacha tuseme kwamba x = 9, basi thamani ya kazi yetu itakuwa sawa na 9 2 = 81. Kazi huja katika aina nyingi tofauti: mantiki, vector, logarithmic, trigonometric, numeric na wengine. Walisoma na akili bora kama Lacroix, Lagrange, Leibniz na Bernoulli. Kazi zao hutumika kama msingi katika njia za kisasa za kusoma kazi. Kabla ya kupata pointi za chini, ni muhimu sana kuelewa maana halisi ya kazi na derivative yake. Kazi zote hutegemea vigezo vyao, ambayo ina maana kwamba wanaweza kubadilisha thamani yao wakati wowote. Kwenye grafu, hii itaonyeshwa kama mkunjo ambao huanguka au kuinuka kando ya mhimili wa kuratibu (hii ndiyo seti nzima ya nambari za "y" kwenye grafu wima). Kwa hivyo, kuamua kiwango cha juu na cha chini cha alama za kukokotoa kunahusiana haswa na "oscillations" hizi. Wacha tueleze uhusiano huu ni nini. Toleo la chaguo za kukokotoa lolote limechorwa ili kusoma sifa zake za msingi na kukokotoa jinsi chaguo za kukokotoa hubadilika haraka (yaani, hubadilisha thamani yake kulingana na kigezo cha "x"). Kwa sasa wakati kazi inapoongezeka, grafu ya derivative yake pia itaongezeka, lakini kwa sekunde yoyote kazi inaweza kuanza kupungua, na kisha grafu ya derivative itapungua. Pointi hizo ambazo derivative inabadilika kutoka ishara ya minus hadi ishara ya kuongeza huitwa alama za chini. Ili kujua jinsi ya kupata alama za chini, unapaswa kuelewa vizuri zaidi Ufafanuzi na kazi zinamaanisha dhana kadhaa kutoka Kwa ujumla, ufafanuzi wa derivative unaweza kuonyeshwa kama ifuatavyo: hii ni kiasi kinachoonyesha kiwango cha mabadiliko ya kazi. Njia ya hisabati ya kuamua inaonekana kuwa ngumu kwa wanafunzi wengi, lakini kwa kweli kila kitu ni rahisi zaidi. Unahitaji tu kufuata mpango wa kawaida wa kutafuta derivative ya kazi yoyote. Hapo chini tunaelezea jinsi unaweza kupata kiwango cha chini cha kazi bila kutumia sheria za kutofautisha na bila kukariri meza ya derivatives. Katika mtaala wa hisabati wa shule, inawezekana kupata kiwango cha chini cha kazi kwa njia mbili. Tayari tumejadili njia ya kwanza kwa kutumia grafu, lakini tunawezaje kuamua thamani ya nambari ya derivative? Ili kufanya hivyo, utahitaji kujifunza fomula kadhaa zinazoelezea sifa za derivative na kusaidia kubadilisha vigeu kama "x" kuwa nambari. Njia ifuatayo ni ya ulimwengu wote, kwa hivyo inaweza kutumika kwa karibu aina zote za kazi (zote za kijiometri na logarithmic). Sehemu ya msingi zaidi katika kusoma kazi na derivative yake ni maarifa ya sheria za utofautishaji. Ni kwa msaada wao tu unaweza kubadilisha maneno magumu na kazi kubwa ngumu. Wacha tujue nao, kuna mengi yao, lakini yote ni rahisi sana kwa sababu ya mali asili ya kazi za nguvu na logarithmic. Tayari tumejadili jinsi ya kupata alama za chini, lakini pia kuna wazo la alama za juu za kazi. Ikiwa kiwango cha chini kinaashiria alama hizo ambazo kazi hubadilika kutoka ishara ya minus hadi plus, basi pointi za juu ni zile pointi kwenye mhimili wa x ambapo derivative ya kazi hubadilika kutoka plus hadi kinyume - minus. Unaweza kuipata kwa kutumia njia iliyoelezwa hapo juu, lakini unapaswa kuzingatia kwamba zinaonyesha maeneo hayo ambayo kazi huanza kupungua, yaani, derivative itakuwa chini ya sifuri. Katika hisabati, ni kawaida kujumuisha dhana zote mbili, na kuzibadilisha na kifungu cha maneno "alama za kupindukia." Wakati kazi inakuuliza kuamua pointi hizi, ina maana kwamba unahitaji kuhesabu derivative ya kazi fulani na kupata pointi za chini na za juu. Thamani kubwa zaidi ya utendakazi Thamani ndogo ya utendakazi Kama godfather alisema: "Hakuna kitu cha kibinafsi." Ni derivatives pekee! Kazi ya takwimu 12 inachukuliwa kuwa ngumu sana, na yote kwa sababu wavulana hawakusoma nakala hii (utani). Katika hali nyingi, kutojali ni lawama. Kazi 12 huja katika aina mbili: Kazi za Mitihani ya Jimbo Iliyounganishwa: Pata kiwango cha juu cha chaguo za kukokotoa Pata kiwango cha chini cha chaguo za kukokotoa Kazi za Mitihani ya Jimbo Iliyounganishwa: Pata thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa kwenye muda [-4; −1] Jibu: -6 Pata thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa kwenye sehemu Jibu: 11 Hitimisho: Nadharia.
(hali ya lazima kwa uwepo wa uliokithiri) Ikiwa chaguo la kukokotoa f(x) linaweza kutofautishwa katika hatua x = x 1 na ncha x 1 ni sehemu ya juu zaidi, basi derivative ya chaguo za kukokotoa itatoweka katika hatua hii. Ushahidi.
Wacha tuchukue kuwa chaguo la kukokotoa f(x) lina upeo wa juu katika hatua x = x 1. Halafu kwa chanya ndogo ya kutosha Dх>0 ukosefu wa usawa ufuatao ni kweli: A-kipaumbele: Wale. ikiwa Dх®0, lakini Dх<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, kisha f¢(x 1) £0. Na hii inawezekana tu ikiwa kwa Dх®0 f¢(x 1) = 0. Kwa kesi ikiwa chaguo la kukokotoa f(x) lina kiwango cha chini katika nukta x 2, nadharia inathibitishwa kwa njia sawa. Nadharia imethibitishwa. Matokeo.
Taarifa ya kinyume si kweli. Ikiwa derivative ya chaguo za kukokotoa katika hatua fulani ni sawa na sifuri, hii haimaanishi kuwa chaguo la kukokotoa lina upeo katika hatua hii. Mfano mzuri wa hii ni kazi y = x 3, derivative ambayo katika hatua x = 0 ni sawa na sifuri, lakini katika hatua hii kazi ina tu inflection, na si kiwango cha juu au cha chini. Ufafanuzi. Pointi muhimu kazi ni pointi ambapo derivative ya kazi haipo au ni sawa na sifuri. Nadharia iliyojadiliwa hapo juu inatupa hali muhimu kwa uwepo wa uliokithiri, lakini hii haitoshi. Mfano: f(x) = ôxô Mfano: f(x) = Katika hatua x = 0 kazi ina kiwango cha chini, lakini katika hatua x = 0 kazi haina wala haina derivative. kiwango cha juu, hakuna kiwango cha chini, hakuna uzalishaji Kwa ujumla, chaguo la kukokotoa f(x) linaweza kuwa na hali ya juu zaidi katika sehemu ambazo derivative haipo au ni sawa na sifuri. Nadharia.
(Masharti ya kutosha kwa uwepo wa uliokithiri) Acha kazi f(x) iendelee katika muda (a, b), ambayo ina nukta muhimu x 1, na iweze kutofautishwa katika sehemu zote za muda huu (isipokuwa, labda, nukta x 1 yenyewe). Ikiwa, wakati wa kupitia nukta x 1 kutoka kushoto kwenda kulia, derivative ya chaguo la kukokotoa f¢(x) inabadilisha ishara kutoka "+" hadi "-", basi katika hatua x = x 1 chaguo la kukokotoa f(x) ina. kiwango cha juu, na ikiwa derivative inabadilisha ishara kutoka "-" hadi "+" - basi kazi ina kiwango cha chini. Ushahidi.
Hebu Kulingana na nadharia ya Lagrange: f(x) – f(x 1) = f¢(e)(x – x 1), wapi x< e < x 1 . Kisha: 1) Ikiwa x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f¢(e)(x - x 1)<0, следовательно f(x) - f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1). 2) Ikiwa x > x 1, basi e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно f(x) - f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1). Kwa kuwa majibu yanalingana, tunaweza kusema kwamba f(x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума. Uthibitisho wa nadharia ya kiwango cha chini ni sawa. Nadharia imethibitishwa. Kulingana na hapo juu, unaweza kukuza utaratibu wa umoja wa kupata maadili makubwa na madogo ya kazi kwenye sehemu: 1) Pata vidokezo muhimu vya chaguo la kukokotoa. 2) Pata maadili ya kazi katika sehemu muhimu. 3) Pata maadili ya kazi kwenye miisho ya sehemu. 4) Chagua kubwa na ndogo kati ya maadili yaliyopatikana. Kusoma utendaji kwa matumizi ya hali ya juu derivatives ya maagizo ya juu. Hebu katika uhakika x = x 1 f¢(x 1) = 0 na f¢¢(x 1) ipo na inaendelea katika baadhi ya mtaa wa nukta x 1. Nadharia.
Ikiwa f¢(x 1) = 0, basi chaguo la kukokotoa f(x) katika uhakika x = x 1 ina kiwango cha juu ikiwa f¢¢(x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.
Ushahidi.
Acha f¢(x 1) = 0 na f¢¢(x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 . Kwa sababu f¢¢(x) = (f¢(x))¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) >0 kwa x Kwa kesi ya kazi ya chini, theorem inathibitishwa kwa njia sawa. Ikiwa f¢ ¢(x) = 0, basi asili ya hatua muhimu haijulikani. Utafiti zaidi unahitajika ili kubaini. Convexity na concavity ya curve. Pointi za mkato. Ufafanuzi.
Curve ni convex juu kwa muda (a, b) ikiwa nukta zake zote ziko chini ya viambajengo vyake katika muda huu. Curve convex kwenda juu inaitwa mbonyeo, na curve inayoelekea chini inaitwa concave. Kielelezo kinaonyesha kielelezo cha ufafanuzi hapo juu. Nadharia 1.
Ikiwa katika sehemu zote za muda (a, b) derivative ya pili ya chaguo za kukokotoa f(x) ni hasi, basi curve y = f(x) ni convex kwenda juu (convex). Ushahidi.
Acha x 0 О (a, b). Wacha tuchore tanjiti kwenye mzingo katika hatua hii. Mlinganyo wa curve: y = f(x); Mlinganyo wa tangent: Ni lazima ithibitishwe kuwa. Kulingana na nadharia ya Lagrange ya f(x) - f(x 0): , x 0< c < x. Kulingana na nadharia ya Lagrange Acha x > x 0 kisha x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 >0 na c - x 0 > 0, na kwa kuongeza, kwa hali Kwa hivyo,. Acha x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то Vile vile imethibitishwa kuwa ikiwa f¢¢(x) > 0 kwenye muda (a, b), basi curve y=f(x) inajipinda kwenye muda (a, b). Nadharia imethibitishwa. Ufafanuzi.
Hatua ya kutenganisha sehemu ya convex ya curve kutoka sehemu ya concave inaitwa hatua ya inflection. Ni wazi, katika sehemu ya ugeuzaji tangent hukatiza mkunjo. Nadharia 2.
Acha curve ifafanuliwe na equation y = f (x). Ikiwa derivative ya pili f¢¢(a) = 0 au f¢¢(a) haipo na inapopitia hatua x = a f¢¢(x) inabadilisha ishara, basi hatua ya curve na abscissa x = a ni sehemu ya mkato. Ushahidi.
1) Acha f¢(x)< 0 при х < a и f¢¢(x) >0 kwa x > a. Kisha saa x< a кривая выпукла, а при x >a curve ni concave, i.e. pointi x = a - hatua ya inflection. 2) Acha f¢(x) > 0 kwa x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x >b - mbonyeo kwenda juu. Kisha x = b ni hatua ya inflection. Nadharia imethibitishwa. Asymptotes. Wakati wa kusoma utendakazi, mara nyingi hutokea kwamba wakati kiratibu cha x cha nukta kwenye curve kinaposogea hadi isiyo na kikomo, curve inakaribia kwa muda usiojulikana mstari fulani ulionyooka. Ufafanuzi.
Mstari wa moja kwa moja unaitwa kutokuwa na dalili curve ikiwa umbali kutoka kwa sehemu ya kutofautisha ya curve hadi mstari huu mnyoofu huwa sufuri kadiri nukta inavyosogea hadi isiyo na ukomo. Ikumbukwe kwamba si kila curve ina asymptote. Asymptotes inaweza kuwa sawa au oblique. Kusoma kazi za uwepo wa asymptotes ni muhimu sana na hukuruhusu kuamua kwa usahihi asili ya kazi na tabia ya grafu ya curve. Kwa ujumla, curve, inayokaribia asymptote yake kwa muda usiojulikana, inaweza kuivuka, na sio wakati mmoja, kama inavyoonyeshwa kwenye grafu ya kazi hapa chini. Wacha tuchunguze kwa undani zaidi njia za kupata asymptotes ya curves. Asymptotes za wima. Kutoka kwa ufafanuzi wa asymptote inafuata kwamba ikiwa au au , basi mstari wa moja kwa moja x = a ni asymptote ya curve y = f (x). Kwa mfano, kwa kazi, mstari x = 5 ni asymptote ya wima. Asymptotes za oblique. Tuseme kwamba mkunjo y = f(x) una asymptote iliyoinamishwa y = kx + b. Hebu tuonyeshe hatua ya makutano ya curve na perpendicular kwa asymptote - M, P - hatua ya makutano ya perpendicular hii na asymptote. Wacha tuonyeshe pembe kati ya asymptote na mhimili wa Ox kama j. MQ perpendicular kwa mhimili wa Ox hukatiza asymptote kwenye ncha N. Kisha MQ = y ndio mratibu wa nukta kwenye curve, NQ = ni mratibu wa nukta N kwenye asymptote. Kulingana na hali: , ÐNMP = j, . Angle j ni mara kwa mara na si sawa na 90 0, basi Kisha Kwa hivyo, mstari wa moja kwa moja y = kx + b ni asymptote ya curve. Ili kuamua kwa usahihi mstari huu, ni muhimu kutafuta njia ya kuhesabu coefficients k na b. Katika usemi unaosababisha tunachukua x nje ya mabano: Kwa sababu x®¥, basi Kisha Kwa sababu Kumbuka kwamba asymptotes mlalo ni kesi maalum ya asymptotes oblique kwa k = 0. Mfano. 1) Dalili za wima: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, kwa hivyo, x = 0 ni asymptoti wima. 2) Dalili za Oblique: Kwa hivyo, mstari wa moja kwa moja y = x + 2 ni asymptote ya oblique. Wacha tupange kazi: Mfano. Tafuta asymptotes na uchora kitendakazi. Mistari x = 3 na x = -3 ni asymptotes wima ya curve. Wacha tupate asymptotes za oblique: y = 0 - asymptote ya mlalo. Mfano. Tafuta asymptotes na uchora kitendakazi Mstari wa moja kwa moja x = -2 ni asymptote ya wima ya curve. Wacha tupate asymptotes za oblique. Kwa jumla, mstari wa moja kwa moja y = x - 4 ni asymptote ya oblique. Mpango wa utafiti wa kazi Mchakato wa utafiti wa kazi una hatua kadhaa. Kwa ufahamu kamili zaidi wa tabia ya kazi na asili ya grafu yake, ni muhimu kupata: 1) Kikoa cha kuwepo kwa chaguo za kukokotoa. Dhana hii inajumuisha kikoa cha maadili na kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa. 2) Pointi za kuvunja. (Ikiwa inapatikana). 3) Vipindi vya kuongezeka na kupungua. 4) Upeo na pointi za chini. 5) Thamani ya juu na ya chini zaidi ya chaguo za kukokotoa kwenye kikoa chake cha ufafanuzi. 6) Maeneo ya convexity na concavity. 7) Pointi za kugeuza (ikiwa zipo). 8) Asymptotes (kama ipo). 9) Kujenga grafu. Wacha tuangalie utumiaji wa mpango huu kwa kutumia mfano. Mfano. Chunguza chaguo za kukokotoa na ujenge grafu yake. Tunapata kikoa cha kuwepo kwa chaguo la kukokotoa. Ni dhahiri kwamba uwanja wa ufafanuzi kazi ni eneo (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). Kwa upande wake, ni wazi kwamba mistari ya moja kwa moja x = 1, x = -1 ni asymptotes wima potofu. Msururu wa maadili ya chaguo hili la kukokotoa ni muda (-¥; ¥). Kuvunja pointi kazi ni pointi x = 1, x = -1. Tunapata pointi muhimu. Wacha tupate derivative ya chaguo la kukokotoa Pointi muhimu: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1. Wacha tupate derivative ya pili ya chaguo la kukokotoa Wacha tuamue ugumu na ugumu wa curve kwa vipindi. -¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая - < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < 0, y¢¢ >0, kijipinda nyororo 0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < , y¢¢ >0, kijipinda nyororo < x < ¥, y¢¢ >0, kijipinda nyororo Kutafuta mapungufu kuongezeka Na kushuka kazi. Ili kufanya hivyo, tunaamua ishara za derivative ya kazi kwa vipindi. -¥ < x < - , y¢ >0, utendaji unaongezeka - < x < -1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает 0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < , y¢ < 0, функция убывает < x < ¥, y¢¢ >0, utendaji unaongezeka Inaweza kuonekana kuwa hatua x = - ni uhakika upeo, na uhakika x = ni uhakika kiwango cha chini. Thamani za kazi katika pointi hizi ni sawa na -3/2 na 3/2, mtawaliwa. Kuhusu wima asymptotes tayari imesemwa hapo juu. Sasa tupate asymptotes oblique. Kwa jumla, equation ya asymptote ya oblique ni y = x. Hebu tujenge ratiba vipengele: Kazi za vigezo kadhaa
Wakati wa kuzingatia kazi za vigezo kadhaa, tutajiwekea kikomo kwa maelezo ya kina ya kazi za vigezo viwili, tangu matokeo yote yaliyopatikana yatakuwa halali kwa utendakazi wa idadi kiholela ya vigeuzo. Ufafanuzi: Ikiwa kila jozi ya nambari zinazojitegemea (x, y) kutoka kwa seti fulani, kulingana na sheria fulani, inahusishwa na maadili moja au zaidi ya kutofautisha z, basi z ya kutofautisha inaitwa kazi ya anuwai mbili. Ufafanuzi:
Ikiwa jozi ya nambari (x, y) inalingana na thamani moja z, basi kazi inaitwa isiyo na utata, na ikiwa zaidi ya moja, basi - polysemantic. Ufafanuzi: Kikoa cha ufafanuzi kazi z ni seti ya jozi (x, y) ambayo chaguo la kukokotoa z lipo. Ufafanuzi: Ujirani wa uhakika M 0 (x 0, y 0) ya radius r ni seti ya pointi zote (x, y) zinazokidhi hali hiyo. Ufafanuzi:
Nambari A inaitwa kikomo kazi f(x, y) kama nukta M(x, y) inaelekea kwenye uhakika M 0 (x 0, y 0), ikiwa kwa kila nambari e > 0 kuna nambari r > 0 kiasi kwamba kwa nukta yoyote M. (x, y), ambayo hali ni kweli hali pia ni kweli Andika chini: Ufafanuzi:
Acha alama M 0 (x 0, y 0) iwe ya kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa f(x, y). Kisha kazi z = f (x, y) inaitwa kuendelea kwa uhakika M 0 (x 0, y 0), ikiwa na uhakika M(x, y) huelekea kwenye uhakika M 0 (x 0, y 0) kwa njia ya kiholela. Ikiwa kwa hali yoyote (1) haijaridhika, basi hatua hii inaitwa hatua ya mapumziko kazi f(x, y). Hii inaweza kuwa katika kesi zifuatazo: 1) Kazi z = f (x, y) haijafafanuliwa kwa uhakika M 0 (x 0, y 0). 2) Hakuna kikomo. 3) Kikomo hiki kipo, lakini si sawa na f(x 0 , y 0). Mali.
Ikiwa chaguo za kukokotoa f(x, y, ...) imefafanuliwa na kuendelea katika funge na kikoa kilichofungwa D, basi katika kikoa hiki kuna angalau nukta moja N(x 0 , y 0 , …), ili kwamba kwa pointi zilizosalia usawa ni kweli f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …) na vile vile nukta N 1 (x 01, y 01, ...), ili kwamba kwa pointi nyingine zote ukosefu wa usawa ni kweli. f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …) kisha f(x 0 , y 0 , …) = M – thamani ya juu kazi, na f(x 01 , y 01 , ...) = m - thamani ndogo kazi f(x, y, …) katika kikoa D. Chaguo za kukokotoa zinazoendelea katika kikoa D kilichofungwa na kilichofungwa hufikia thamani yake kubwa zaidi angalau mara moja na thamani yake ndogo zaidi mara moja. Mali.
Ikiwa kazi ya f(x, y, ...) imefafanuliwa na inaendelea katika kikoa kilichofungwa D, na M na m ni, mtawaliwa, maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi katika kikoa hiki, basi kwa nukta yoyote m О. kuna uhakika N 0 (x 0 , y 0 , …) kiasi kwamba f(x 0 , y 0 , …) = m. Kwa ufupi, kazi inayoendelea inachukua katika kikoa D maadili yote ya kati kati ya M na m. Matokeo ya mali hii inaweza kuwa hitimisho kwamba ikiwa nambari M na m ni za ishara tofauti, basi katika kikoa D kazi itatoweka angalau mara moja. Mali.
Kazi f(x, y, …), inayoendelea katika kikoa kilichofungwa D, mdogo katika eneo hili, ikiwa kuna nambari K ambayo kwa pointi zote katika kanda ukosefu wa usawa ni kweli Mali.
Ikiwa chaguo la kukokotoa f(x, y, …) limefafanuliwa na kuendelea katika kikoa D kilichofungwa, basi inayoendelea kwa usawa katika eneo hili, i.e. kwa nambari yoyote chanya e kuna nambari D > 0 hivi kwamba kwa nukta zozote mbili (x 1, y 1) na (x 2, y 2) za eneo lililo umbali chini ya D, usawa unashikilia. Sifa zilizo hapo juu ni sawa na sifa za kazi za kigezo kimoja ambacho kinaendelea kwa muda. Angalia Sifa za chaguo za kukokotoa zinazoendelea kwa muda. Derivatives na tofauti za kazi vigezo kadhaa. Ufafanuzi.
Acha kazi z = f(x, y) itolewe katika kikoa fulani. Wacha tuchukue hatua ya kiholela M(x, y) na tuweke nyongeza ya Dx kwa mabadiliko ya x. Kisha idadi D x z = f(x + Dx, y) - f(x, y) inaitwa nyongeza ya sehemu ya chaguo za kukokotoa katika x. Unaweza kuandika Kisha inaitwa derivative sehemu kazi z = f(x, y) katika x. Uteuzi: Sehemu ya derivative ya chaguo za kukokotoa kwa heshima na y imebainishwa vile vile. Maana ya kijiometri derivative ya sehemu (hebu tuseme) ni tangent ya angle ya mwelekeo wa tangent inayotolewa kwa uhakika N 0 (x 0, y 0, z 0) kwa sehemu ya uso na ndege y = y 0. Ongezeko kamili na tofauti kamili.
ndege ya tangent Hebu N na N 0 ziwe pointi za uso huu. Wacha tuchore mstari ulionyooka NN 0. Ndege inayopitia hatua N 0 inaitwa ndege ya tangent kwa uso ikiwa pembe kati ya secant NN 0 na ndege hii inaelekea sifuri, wakati umbali NN 0 huwa na sifuri. Ufafanuzi. Kawaida kwa uso katika hatua N 0 ni mstari wa moja kwa moja unaopita kwenye hatua N 0 perpendicular kwa ndege ya tangent kwenye uso huu. Wakati wowote uso una ndege moja tu ya tangent au haina kabisa. Ikiwa uso umetolewa na equation z = f(x, y), ambapo f(x, y) ni kitendakazi kinachoweza kutofautishwa katika hatua ya M 0 (x 0, y 0), ndege ya tangent kwenye hatua N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) ipo na ina mlinganyo: Equation ya kawaida kwa uso katika hatua hii ni: Maana ya kijiometri tofauti ya jumla ya kazi ya vigeu viwili f(x, y) katika hatua (x 0, y 0) ni nyongeza ya viambatisho (z kuratibu) vya ndege inayozunguka hadi kwenye uso wakati wa kusonga kutoka kwa uhakika (x 0). , y 0) kwa uhakika (x 0 + Dx, y 0 +Dу). Kama unaweza kuona, maana ya kijiometri ya tofauti ya jumla ya kazi ya vigezo viwili ni analog ya anga ya maana ya kijiometri ya tofauti ya kazi ya kutofautiana moja. Mfano. Pata equations ya ndege ya tangent na ya kawaida kwa uso kwa uhakika M(1, 1, 1). Mlinganyo wa ndege wa tangent: Mlinganyo wa kawaida: Mahesabu ya takriban kwa kutumia tofauti za jumla.
Tofauti kamili ya chaguo za kukokotoa u ni sawa na: Thamani kamili ya usemi huu ni 1.049275225687319176. Baadhi ya derivatives ya maagizo ya juu. Ikiwa chaguo za kukokotoa f(x, y) zimefafanuliwa katika baadhi ya kikoa D, basi sehemu zake za sehemu za kukokotoa pia zitafafanuliwa katika kikoa sawa au sehemu yake. Tutaita derivatives hizi agizo la kwanza derivatives sehemu. Derivatives ya kazi hizi itakuwa agizo la pili sehemu derivatives. Kuendelea kutofautisha usawa unaotokana, tunapata derivatives ya sehemu ya maagizo ya juu. Fikiria kazi y = f (x), ambayo inazingatiwa kwa muda (a, b). Ikiwezekana kuashiria kitongoji cha b cha nukta x1 inayomilikiwa na muda (a, b) hivi kwamba kwa wote x (x1, b), ukosefu wa usawa f(x1) > f(x) unashikilia, basi y1 = f1(x1) inaitwa upeo wa chaguo za kukokotoa y = f(x) tazama mtini. Tunaashiria upeo wa chaguo za kukokotoa y = f(x) kwa max f(x). Ikiwezekana kuashiria kitongoji cha b cha nukta x2 inayomilikiwa na muda (a, b) hivi kwamba kwa wote x ni ya O (x2, 6), x si sawa na x2, usawa unashikilia. f(x2)< f(x)
, kisha y2= f(x2) inaitwa kima cha chini cha chaguo za kukokotoa y-f(x) (angalia kielelezo). Kwa mfano wa kupata kiwango cha juu, angalia video ifuatayo Tunaashiria kiwango cha chini cha chaguo za kukokotoa y = f(x) kwa min f(x). Kwa maneno mengine, kiwango cha juu au cha chini cha chaguo za kukokotoa y = f(x) kuitwa thamani yake ambayo ni kubwa zaidi (chini) kuliko maadili mengine yote yanayokubaliwa kwa pointi karibu na ile iliyotolewa na tofauti nayo. Kumbuka 1. Upeo wa utendakazi, iliyofafanuliwa na usawa inaitwa upeo mkali; kiwango cha juu kisicho na masharti kinaamuliwa na ukosefu wa usawa f(x1) > = f(x2) Kumbuka 2. kuwa na tabia ya ndani (hizi ni maadili makubwa na ndogo zaidi ya kazi katika kitongoji kidogo cha kutosha cha hatua inayolingana); minima mahususi ya chaguo za kukokotoa inaweza kuwa kubwa kuliko upeo wa chaguo za kukokotoa sawa Kiwango cha juu na cha chini zaidi cha chaguo za kukokotoa huitwa extremum
. Extrema in hupatikana kuunda grafu za vitendaji Kilatini uliokithiri maana yake ni "uliokithiri"
maana. Thamani ya hoja x ambapo upeo unafikiwa inaitwa sehemu ya juu zaidi. Hali ya lazima kwa extremum inaonyeshwa na theorem ifuatayo. Nadharia. Katika hatua ya mwisho ya kazi inayoweza kutofautishwa, derivative yake ni sawa na sifuri. Nadharia ina maana rahisi ya kijiometri: tangent kwa grafu ya kazi inayoweza kutofautishwa katika hatua inayolingana ni sambamba na mhimili wa Ox.
au kazi inaitwa kazi ya antiderivative. Kizuia derivative cha chaguo za kukokotoa hubainishwa hadi thamani isiyobadilika.
, hapa ni mara kwa mara kiholela.
.
, na kazi hii ni endelevu na usawa ni kweli 
.
Wapi.
. Ikiwa tutakumbuka ufafanuzi wa derivative ya chaguo za kukokotoa na kwenda kwenye kikomo katika , tunapata . Hiyo ni, hii ni moja ya antiderivatives ya kazi y = f(x) kwenye sehemu
. Kwa hivyo, seti ya antiderivatives zote F(x) inaweza kuandikwa kama 
, wapi NA- mara kwa mara kiholela.
, kwa hivyo,. Wacha tutumie matokeo haya wakati wa kuhesabu F(b): , hiyo ni 
. Usawa huu unatoa fomula inayoweza kuthibitishwa ya Newton-Leibniz .
. Kwa kutumia nukuu hii, fomula ya Newton-Leibniz inachukua fomu 
.
. Wacha tuchukue antiderivative kwa C=0: .
.Mstatili S.K. Chaguo za kukokotoa zimebainishwa kigezo Polyarnaya S.K.
Uhesabuji wa maeneo ya takwimu za ndege
Kuhesabu urefu wa arc ya curve ya ndege
Kuhesabu eneo la uso wa mapinduzi
sio mlinganyo wa kutofautisha.
inaweza kuzingatiwa kama ukadiriaji wa mlinganyo wa kihisabati usio na mstari wa pendulum 
kwa kesi ya amplitudes ndogo, wakati y≈ dhambi y.
, Kazi: ufafanuzi
Derivative na jukumu lake
Jinsi ya kuhesabu derivative?
Mbinu za kusoma kazi
Kanuni za kutofautisha
Pointi za hali ya juu
Maadili ya kazi na alama za juu na za chini
Jinsi ya kutenda katika kesi hizi? Tafuta kiwango cha juu/chini zaidi
Hiyo ni kweli, kwanza kazi huongezeka, kisha hupungua - hii ni hatua ya juu!
Jibu: -15 
Jibu: -2 Tafuta thamani kubwa/ndogo ya chaguo za kukokotoa
y y
katika
. Asymptote yake ya oblique ni y = x.
.
, kwa sababu b = const, basi 
.
, kwa hivyo,
.
, Hiyo 
, kwa hivyo,
.
.
.
.
(1)
.
.
Utendaji wa chini kabisa
Matokeo yake, kiwango cha juu (kiwango cha chini) cha kazi kinaitwa upeo wa ndani(kima cha chini cha ndani) tofauti na kiwango cha juu kabisa (kiwango cha chini) - thamani kubwa zaidi (ndogo) katika kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa.
