Tafuta jumla ya pembe zilizo karibu. Pembe za karibu na za wima

1. Pembe za karibu.

Ikiwa tutaendelea upande wa pembe fulani zaidi ya vertex yake, tunapata pembe mbili (Mchoro 72): ∠ABC na ∠CBD, ambayo upande mmoja wa BC ni wa kawaida, na nyingine mbili, AB na BD, huunda mstari wa moja kwa moja. .

Pembe mbili ambazo zina upande mmoja na nyingine mbili huunda mstari wa moja kwa moja huitwa pembe za karibu.

Pembe za karibu zinaweza pia kupatikana kwa njia hii: ikiwa tunatoa ray kutoka kwa hatua fulani kwenye mstari wa moja kwa moja (sio uongo kwenye mstari uliopewa), basi tunapata pembe za karibu.

Kwa mfano, ∠ADF na ∠FDВ ni pembe za karibu (Mchoro 73).

Pembe za karibu zinaweza kuwa na aina mbalimbali za nafasi (Mchoro 74).

Pembe za karibu huongeza hadi pembe moja kwa moja, hivyo jumla ya pembe mbili zilizo karibu ni 180 °

Kwa hivyo, pembe ya kulia inaweza kufafanuliwa kama pembe sawa na pembe yake ya karibu.

Kujua thamani ya moja ya pembe zilizo karibu, tunaweza kupata thamani ya pembe nyingine iliyo karibu.

Kwa mfano, ikiwa moja ya pembe za karibu ni 54 °, basi pembe ya pili itakuwa:

180 ° - 54 ° = l26 °.

2. Pembe za wima.

Ikiwa tunapanua pande za pembe zaidi ya vertex yake, tunapata pembe za wima. Katika Mchoro 75, pembe EOF na AOC ni wima; pembe AOE na COF pia ni wima.

Pembe mbili huitwa wima ikiwa pande za pembe moja ni upanuzi wa pande za pembe nyingine.

Hebu ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° (Mchoro 76). ∠2 iliyo karibu nayo itakuwa sawa na 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, yaani 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

Kwa njia hiyo hiyo, unaweza kukokotoa ∠3 na ∠4 ni nini.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (Mchoro 77).

Tunaona kwamba ∠1 = ∠3 na ∠2 = ∠4.

Unaweza kutatua matatizo kadhaa zaidi ya sawa, na kila wakati unapata matokeo sawa: pembe za wima ni sawa kwa kila mmoja.

Hata hivyo, ili kuhakikisha kwamba pembe za wima daima ni sawa kwa kila mmoja, haitoshi kuzingatia mifano ya nambari za mtu binafsi, kwani hitimisho linalotolewa kutoka kwa mifano fulani wakati mwingine linaweza kuwa na makosa.

Ni muhimu kuthibitisha uhalali wa mali ya pembe za wima kwa uthibitisho.

Uthibitisho unaweza kufanywa kama ifuatavyo (Mchoro 78):

∠a +∠c= 180 °;

∠b+∠c= 180 °;

(kwa kuwa jumla ya pembe za karibu ni 180 °).

∠a +∠c = ∠b+∠c

(kwa kuwa upande wa kushoto wa usawa huu ni 180 °, na upande wake wa kulia pia ni 180 °).

Usawa huu unajumuisha pembe sawa Na.

Ikiwa tutaondoa kwa usawa kutoka kwa maadili sawa, basi itabaki sawa. Matokeo yake yatakuwa: ∠a = ∠b, yaani, pembe za wima ni sawa na kila mmoja.

3. Jumla ya pembe ambazo zina vertex ya kawaida.

Katika kuchora 79, ∠1, ∠2, ∠3 na ∠4 ziko upande mmoja wa mstari na zina vertex ya kawaida kwenye mstari huu. Kwa jumla, pembe hizi hufanya pembe moja kwa moja, i.e.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Katika kuchora 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 na ∠5 zina kipeo cha kawaida. Pembe hizi huongeza hadi pembe kamili, yaani ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Jiometri ni sayansi yenye mambo mengi sana. Inakuza mantiki, mawazo na akili. Kwa kweli, kwa sababu ya ugumu wake na idadi kubwa ya nadharia na axioms, watoto wa shule hawapendi kila wakati. Kwa kuongeza, kuna haja ya kuthibitisha mara kwa mara hitimisho zao kwa kutumia viwango na sheria zinazokubaliwa kwa ujumla.

Pembe za karibu na wima ni sehemu muhimu ya jiometri. Hakika watoto wengi wa shule wanawaabudu tu kwa sababu mali zao ziko wazi na ni rahisi kudhibitisha.

Uundaji wa pembe

Pembe yoyote huundwa na makutano ya mistari miwili au kwa kuchora miale miwili kutoka kwa hatua moja. Wanaweza kuitwa ama barua moja au tatu, ambayo mfululizo huteua pointi za ujenzi wa kona.

Angles hupimwa kwa digrii na inaweza (kulingana na thamani yao) kuitwa tofauti. Kwa hiyo, kuna pembe ya kulia, ya papo hapo, iliyopigwa na iliyotumiwa. Kila moja ya majina inalingana na kipimo cha digrii fulani au muda wake.

Pembe ya papo hapo ni pembe ambayo kipimo chake haizidi digrii 90.

Pembe butu ni pembe kubwa kuliko digrii 90.

Pembe inaitwa kulia wakati kipimo chake ni 90.

Katika kesi wakati inaundwa na mstari mmoja unaoendelea wa moja kwa moja, na kipimo chake cha shahada ni 180, inaitwa kupelekwa.

Pembe ambazo zina upande wa kawaida, upande wa pili ambao unaendelea kila mmoja, huitwa karibu. Wanaweza kuwa ama mkali au butu. Makutano ya mstari huunda pembe za karibu. Tabia zao ni kama ifuatavyo:

1. Jumla ya pembe kama hizo itakuwa sawa na digrii 180 (kuna nadharia inayothibitisha hii). Kwa hiyo, mmoja wao anaweza kuhesabiwa kwa urahisi ikiwa mwingine anajulikana.
2. Inafuata kutoka kwa hatua ya kwanza kwamba pembe za karibu haziwezi kuundwa na pembe mbili za obtuse au mbili za papo hapo.

Shukrani kwa mali hizi, mtu anaweza daima kuhesabu kipimo cha shahada ya angle kutokana na thamani ya pembe nyingine, au angalau uwiano kati yao.

Pembe za wima

Pembe ambazo pande zake ni mwendelezo wa kila mmoja huitwa wima. Yoyote ya aina zao zinaweza kufanya kama jozi kama hiyo. Pembe za wima daima ni sawa kwa kila mmoja.

Huundwa wakati mistari inapoingiliana. Pamoja nao, pembe za karibu zipo kila wakati. Pembe inaweza kuwa karibu kwa moja na wima kwa nyingine.

Wakati wa kuvuka mstari wa kiholela, aina kadhaa zaidi za pembe pia huzingatiwa. Mstari kama huo huitwa secant, na huunda pembe zinazolingana, za upande mmoja na za kuvuka. Wao ni sawa na kila mmoja. Wanaweza kutazamwa kwa kuzingatia sifa ambazo pembe za wima na karibu nazo.

Kwa hivyo, mada ya pembe inaonekana kuwa rahisi na inayoeleweka. Mali zao zote ni rahisi kukumbuka na kuthibitisha. Kutatua shida sio ngumu mradi tu pembe zinalingana na thamani ya nambari. Tayari zaidi, wakati utafiti wa dhambi na cos unapoanza, utalazimika kukariri fomula nyingi ngumu, hitimisho zao na matokeo. Hadi wakati huo, unaweza tu kufurahia mafumbo rahisi ambayo unahitaji kupata pembe za karibu.

Pembe ya karibu ni nini

Kona- hii ni takwimu ya kijiometri (Kielelezo 1), kilichoundwa na miale miwili OA na OB (pande za kona), inayotokana na hatua moja O (kilele cha kona).

KONA ZA KARIBU ni pembe mbili ambazo jumla yake ni 180°. Kila moja ya pembe hizi inakamilisha nyingine kwa pembe kamili.

Pembe za karibu- (Agles adjacets) wale ambao wana juu ya kawaida na upande wa kawaida. Mara nyingi, jina hili linarejelea pembe kama hizo, ambazo pande zingine mbili ziko katika mwelekeo tofauti wa mstari mmoja ulionyooka.

Pembe mbili huitwa karibu ikiwa zina upande mmoja kwa pamoja na pande zingine za pembe hizi ni nusu-mistari inayosaidiana.

mchele. 2

Katika Mchoro 2, pembe a1b na a2b ziko karibu. Wana upande wa kawaida wa b, na pande a1, a2 ni mistari ya ziada ya nusu.

mchele. 3

Mchoro wa 3 unaonyesha mstari wa AB, hatua C iko kati ya pointi A na B. Point D ni hatua isiyo ya uongo kwenye mstari wa AB. Inatokea kwamba pembe za BCD na ACD ziko karibu. Zina CD ya upande wa kawaida, na pande CA na CB ni nusu ya mistari ya ziada ya mstari AB, kwa kuwa pointi A, B zimetenganishwa na nukta C ya mwanzo.

Nadharia ya pembe ya karibu

Nadharia: jumla ya pembe za karibu ni 180 °

Uthibitisho:
Pembe a1b na a2b ziko karibu (ona Mchoro 2) Boriti b hupita kati ya pande a1 na a2 za pembe iliyonyooka. Kwa hiyo, jumla ya pembe a1b na a2b ni sawa na angle moja kwa moja, yaani 180 °. Nadharia imethibitishwa.

Pembe sawa na 90 ° inaitwa pembe ya kulia. Kutoka kwa nadharia juu ya jumla ya pembe za karibu inafuata kwamba pembe iliyo karibu na pembe ya kulia pia ni pembe ya kulia. Pembe chini ya 90 ° inaitwa papo hapo, na pembe kubwa kuliko 90 ° inaitwa butu. Kwa kuwa jumla ya pembe za karibu ni 180 °, basi pembe iliyo karibu na angle ya papo hapo ni angle ya obtuse. Pembe iliyo karibu na angle ya obtuse ni pembe ya papo hapo.

Pembe za karibu- pembe mbili na vertex ya kawaida, moja ya pande ambayo ni ya kawaida, na pande zilizobaki ziko kwenye mstari sawa sawa (sio sanjari). Jumla ya pembe za karibu ni 180 °.

Ufafanuzi 1. Pembe ni sehemu ya ndege iliyofungwa na miale miwili yenye asili ya kawaida.

Ufafanuzi 1.1. Pembe ni kielelezo kinachojumuisha nukta - kipeo cha pembe - na mistari miwili tofauti ya nusu inayotokana na hatua hii - pande za pembe.
Kwa mfano, pembe ya BOS kwenye Mchoro 1 Fikiria mistari miwili ya kwanza inayoingiliana. Wakati zinaingiliana, mistari huunda pembe. Kuna kesi maalum:

Ufafanuzi 2. Ikiwa pande za pembe ni mistari ya nusu inayosaidia ya mstari mmoja wa moja kwa moja, basi pembe inaitwa angle moja kwa moja.

Ufafanuzi 3. Pembe ya kulia ni pembe ya digrii 90.

Ufafanuzi 4. Pembe chini ya digrii 90 inaitwa angle ya papo hapo.

Ufafanuzi wa 5. Pembe kubwa zaidi ya digrii 90 na chini ya digrii 180 inaitwa angle ya obtuse.
mistari ya kukatiza.

Ufafanuzi 6. Pembe mbili, upande mmoja ambao ni wa kawaida, na pande nyingine hulala kwenye mstari sawa sawa, huitwa karibu.

Ufafanuzi 7. Pembe ambazo pande zake zinapanua kila mmoja huitwa pembe za wima.
Kielelezo cha 1:
karibu: 1 na 2; 2 na 3; 3 na 4; 4 na 1
wima: 1 na 3; 2 na 4
Nadharia 1. Jumla ya pembe za karibu ni digrii 180.
Kwa uthibitisho, fikiria Mtini. 4 pembe za karibu AOB na BOC. Jumla yao ni pembe iliyoendelezwa ya AOC. Kwa hivyo, jumla ya pembe hizi za karibu ni digrii 180.

mchele. 4

Uhusiano kati ya hisabati na muziki

"Nikifikiria juu ya sanaa na sayansi, juu ya miunganisho na mizozo yao ya pande zote, nilifikia hitimisho kwamba hisabati na muziki ziko kwenye nguzo kali za roho ya mwanadamu, kwamba antipodes hizi mbili zinaweka mipaka na kuamua shughuli zote za ubunifu za mtu, na. kwamba kila kitu kimewekwa kati yao, kile ambacho mwanadamu ameunda katika uwanja wa sayansi na sanaa."
G. Neuhaus
Inaweza kuonekana kuwa sanaa ni eneo dhahania kutoka kwa hisabati. Walakini, uhusiano kati ya hisabati na muziki umewekwa kihistoria na ndani, licha ya ukweli kwamba hisabati ndio muhtasari wa sayansi, na muziki ndio aina ya sanaa ya kufikirika zaidi.
Consonance huamua sauti ya kamba ambayo inapendeza sikio.
Mfumo huu wa muziki ulitegemea sheria mbili, ambazo zina majina ya wanasayansi wawili wakuu - Pythagoras na Archytas. Hizi ndizo sheria:
1. Mishipa miwili ya sauti huamua konsonanti ikiwa urefu wake unahusiana kama nambari kamili zinazounda nambari ya pembetatu 10=1+2+3+4, i.e. kama 1:2, 2:3, 3:4. Zaidi ya hayo, jinsi nambari n inavyokuwa ndogo kuhusiana na n:(n+1) (n=1,2,3), ndivyo muda unaotokana na konsonanti unavyozidi kuongezeka.
2. Masafa ya msisimko w ya kamba ya sauti inawiana kinyume na urefu wake l.
w = a:l,
ambapo a ni mgawo unaoonyesha sifa za kimwili za kamba.

Pia nitatoa mawazo yako mbishi wa kuchekesha kuhusu mzozo kati ya wanahisabati wawili =)

Jiometri karibu nasi

Jiometri ina jukumu muhimu katika maisha yetu. Kutokana na ukweli kwamba unapotazama kote, haitakuwa vigumu kutambua kwamba tumezungukwa na maumbo mbalimbali ya kijiometri. Tunakutana nao kila mahali: mitaani, darasani, nyumbani, kwenye bustani, kwenye ukumbi wa michezo, kwenye mkahawa wa shule, kimsingi, popote tulipo. Lakini mada ya somo la leo ni makaa ya mawe yaliyo karibu. Kwa hivyo wacha tuangalie pande zote na tujaribu kupata pembe katika mazingira haya. Ikiwa unatazama kwa makini nje ya dirisha, unaweza kuona kwamba baadhi ya matawi ya mti huunda pembe za karibu, na unaweza kuona pembe nyingi za wima kwenye sehemu za lango. Toa mifano yako ya pembe zinazopakana ambazo unaona katika mazingira.

Zoezi 1.

1. Kuna kitabu kwenye meza kwenye stendi ya vitabu. Je, inaunda pembe gani?
2. Lakini mwanafunzi anafanya kazi kwenye kompyuta ndogo. Unaona pembe gani hapa?
3. Je, ni pembe gani ya sura ya picha kwenye msimamo?
4. Je, unafikiri inawezekana kwa pembe mbili zilizo karibu kuwa sawa?

Jukumu la 2.

Mbele yako ni takwimu ya kijiometri. Kielelezo hiki ni nini, kipe jina? Sasa taja pembe zote za karibu ambazo unaweza kuona kwenye takwimu hii ya kijiometri.

Jukumu la 3.

Hapa kuna picha ya mchoro na mchoro. Waangalie kwa uangalifu na sema ni aina gani za kukamata unaona kwenye picha, na ni pembe gani kwenye picha.

Kutatua tatizo

Amri ya hisabati kwa marudio ya nyenzo zilizojifunza hapo awali

Tatua matatizo:

1. Je, jumla ya pembe 3 zilizoundwa kwenye makutano ya mistari 2 inaweza kuwa sawa na 100 °? 370°?
2. Katika takwimu, pata jozi zote za pembe za karibu. Na sasa pembe za wima. Taja pembe hizi.

3. Unahitaji kupata pembe wakati ni kubwa mara tatu kuliko ile iliyo karibu nayo.
4. Mistari miwili inaingiliana. Kama matokeo ya makutano haya, pembe nne ziliundwa. Amua thamani ya yoyote kati yao, mradi tu:

a) jumla ya pembe 2 kati ya nne 84 °;
b) tofauti ya pembe 2 kati yao ni 45 °;
c) angle moja ni mara 4 chini ya pili;
d) jumla ya pembe tatu kati ya hizi ni 290 °.

Muhtasari wa somo

1. taja pembe ambazo zinaundwa kwenye makutano ya mistari 2?
2. Taja jozi zote zinazowezekana za pembe kwenye takwimu na uamua aina yao.

Kazi ya nyumbani:

1. Pata uwiano wa hatua za shahada za pembe za karibu wakati mmoja wao ni 54 ° zaidi ya pili.
2. Tafuta pembe ambazo hutengenezwa wakati mistari 2 inapoingiliana, mradi moja ya pembe ni sawa na jumla ya pembe nyingine 2 zilizo karibu nayo.
3. Ni muhimu kupata pembe za karibu wakati bisector ya mmoja wao huunda pembe na upande wa pili, ambayo ni 60 ° kubwa kuliko angle ya pili.
4. Tofauti ya pembe 2 zilizo karibu ni sawa na theluthi ya jumla ya pembe hizi mbili. Amua maadili ya pembe 2 za karibu.
5. Tofauti na jumla ya pembe 2 za karibu zinahusiana kama 1: 5, kwa mtiririko huo. Pata pembe za karibu.
6. Tofauti kati ya mbili zilizo karibu ni 25% ya jumla yao. Je, maadili ya pembe 2 za karibu yanahusianaje? Amua maadili ya pembe 2 za karibu.

Maswali:

1. Pembe ni nini?
2. Ni aina gani za pembe?
3. Ni kipengele gani cha pembe za karibu?

Swali 1. Ni pembe gani zinazoitwa karibu?
Jibu. Pembe mbili huitwa karibu ikiwa zina upande mmoja kwa pamoja na pande zingine za pembe hizi ni nusu-mistari inayosaidiana.
Katika takwimu 31, pembe (a 1 b) na (a 2 b) ziko karibu. Wana upande wa kawaida wa b, na pande 1 na 2 ni nusu ya ziada.

Swali la 2. Thibitisha kuwa jumla ya pembe za karibu ni 180 °.
Jibu. Nadharia 2.1. Jumla ya pembe za karibu ni 180 °.
Ushahidi. Hebu angle (a 1 b) na angle (a 2 b) ipewe pembe za karibu (tazama Mchoro 31). Boriti b hupita kati ya pande 1 na 2 ya angle iliyoendelea. Kwa hiyo, jumla ya pembe (a 1 b) na (a 2 b) ni sawa na angle iliyoendelea, yaani 180 °. Q.E.D.

Swali la 3. Thibitisha kwamba ikiwa pembe mbili ni sawa, basi pembe zilizo karibu nao pia ni sawa.
Jibu.

Kutoka kwa nadharia 2.1 Inafuata kwamba ikiwa pembe mbili ni sawa, basi pembe zilizo karibu nao ni sawa.
Wacha tuseme pembe (a 1 b) na (c 1 d) ni sawa. Tunahitaji kuthibitisha kwamba pembe (a 2 b) na (c 2 d) pia ni sawa.
Jumla ya pembe za karibu ni 180 °. Inafuata kutoka kwa hili kwamba 1 b + a 2 b = 180 ° na c 1 d + c 2 d = 180 °. Kwa hivyo, 2 b \u003d 180 ° - a 1 b na c 2 d \u003d 180 ° - c 1 d. Kwa kuwa pembe (a 1 b) na (c 1 d) ni sawa, tunapata kwamba 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d c 2 d. Kwa mali ya transitivity ya ishara sawa, inafuata kwamba 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Swali la 4. Ni pembe gani inayoitwa kulia (papo hapo, butu)?
Jibu. Pembe sawa na 90 ° inaitwa pembe ya kulia.
Pembe chini ya 90 ° inaitwa pembe ya papo hapo.
Pembe kubwa kuliko 90 ° na chini ya 180 ° inaitwa pembe ya obtuse.

Swali la 5. Thibitisha kuwa pembe iliyo karibu na pembe ya kulia ni pembe ya kulia.
Jibu. Kutoka kwa nadharia juu ya jumla ya pembe za karibu inafuata kwamba pembe iliyo karibu na pembe ya kulia ni pembe ya kulia: x + 90 ° = 180 °, x = 180 ° - 90 °, x = 90 °.

Swali la 6. Pembe za wima ni nini?
Jibu. Pembe mbili huitwa wima ikiwa pande za pembe moja ni mistari ya nusu inayosaidia ya pande za nyingine.

Swali la 7. Thibitisha kuwa pembe za wima ni sawa.
Jibu. Nadharia 2.2. Pembe za wima ni sawa.
Ushahidi. Hebu (a 1 b 1) na (a 2 b 2) wapewe pembe za wima (Mchoro 34). Kona (a 1 b 2) iko karibu na kona (a 1 b 1) na kona (a 2 b 2). Kutoka hapa, kwa nadharia juu ya jumla ya pembe za karibu, tunahitimisha kwamba kila moja ya pembe (a 1 b 1) na (a 2 b 2) inakamilisha angle (a 1 b 2) hadi 180 °, i.e. pembe (a 1 b 1) na (a 2 b 2) ni sawa. Q.E.D.

Swali la 8. Thibitisha kwamba ikiwa kwenye makutano ya mistari miwili moja ya pembe ni pembe ya kulia, basi pembe nyingine tatu pia ni sawa.
Jibu. Chukulia kuwa mistari AB na CD hupishana katika sehemu ya O. Chukulia kuwa pembe AOD ni 90°. Kwa kuwa jumla ya pembe za karibu ni 180 °, tunapata kwamba AOC = 180 ° -AOD = 180 ° - 90 ° = 90 °. Pembe ya COB ni wima kwa pembe ya AOD, kwa hiyo ni sawa. Hiyo ni, angle COB = 90 °. COA ni wima kwa BOD, hivyo ni sawa. Hiyo ni, angle BOD = 90 °. Hivyo, pembe zote ni sawa na 90 °, yaani, wote ni sawa. Q.E.D.

Swali la 9. Ni mistari gani inayoitwa perpendicular? Ni ishara gani inayotumika kuonyesha upenyo wa mistari?
Jibu. Mistari miwili inaitwa perpendicular ikiwa inaingiliana kwa pembe ya kulia.
Perpendicularity ya mistari inaonyeshwa na \(\perp\). Ingizo \(a\perp b\) inasomeka: "Mstari a ni wa mstari wa b".

Swali la 10. Thibitisha kwamba kupitia hatua yoyote ya mstari mtu anaweza kuchora mstari wa perpendicular kwake, na moja tu.
Jibu. Nadharia 2.3. Kupitia kila mstari, unaweza kuchora mstari unaoendana nayo, na moja tu.
Ushahidi. Wacha iwe mstari uliopeanwa na A iwe nukta fulani juu yake. Onyesha kwa 1 moja ya mistari ya nusu kwa mstari wa moja kwa moja a na hatua ya kuanzia A (Mchoro 38). Weka kando kutoka kwa mstari wa nusu a 1 pembe (a 1 b 1) sawa na 90 °. Kisha mstari ulio na ray b 1 utakuwa perpendicular kwa mstari a.

Fikiria kuwa kuna mstari mwingine ambao pia hupitia hatua A na ni ya kawaida kwa mstari a. Onyesha kwa c 1 mstari wa nusu wa mstari huu ulio kwenye nusu-ndege sawa na ray b 1 .
Pembe (a 1 b 1) na (1 c 1), sawa na 90 ° kila moja, zimewekwa katika nusu-ndege kutoka mstari wa nusu a 1. Lakini kutoka kwa mstari wa nusu 1, pembe moja tu sawa na 90 ° inaweza kuweka kando katika nusu ya ndege. Kwa hiyo, hawezi kuwa na mstari mwingine unaopitia hatua A na perpendicular kwa mstari a. Nadharia imethibitishwa.

Swali la 11. Je, perpendicular kwa mstari ni nini?
Jibu. Perpendicular kwa mstari uliopewa ni sehemu ya mstari perpendicular kwa moja iliyotolewa, ambayo ina moja ya mwisho wake katika hatua yao ya makutano. Mwisho wa sehemu hii inaitwa msingi perpendicular.

Swali la 12. Eleza uthibitisho wa kupingana ni nini.
Jibu. Njia ya uthibitisho ambayo tulitumia katika Theorem 2.3 inaitwa uthibitisho kwa kupingana. Njia hii ya uthibitisho inajumuisha kwamba kwanza tunafanya dhana kinyume na kile kinachoelezwa na nadharia. Halafu, kwa hoja, kutegemea axioms na nadharia zilizothibitishwa, tunafikia hitimisho ambalo linapingana na hali ya nadharia, au moja ya axioms, au theorem iliyothibitishwa hapo awali. Kwa msingi huu, tunahitimisha kwamba dhana yetu haikuwa sahihi, ambayo ina maana kwamba madai ya theorem ni kweli.

Swali la 13. Kipenyo cha pembe mbili ni nini?
Jibu. Bisector ya pembe ni ray inayotoka kwenye vertex ya angle, hupita kati ya pande zake na kugawanya angle kwa nusu.

Pembe mbili huitwa karibu ikiwa zina upande mmoja kwa pamoja na pande zingine za pembe hizi ni miale ya ziada. Katika takwimu ya 20, pembe za AOB na BOC ziko karibu.

Jumla ya pembe za karibu ni 180 °

Nadharia 1. Jumla ya pembe za karibu ni 180 °.

Ushahidi. Boriti ya OB (tazama Mchoro 1) hupita kati ya pande za angle iliyoendelea. Ndiyo maana ∠ AOB + ∠ BOC = 180 °.

Kutoka kwa Theorem 1 inafuata kwamba ikiwa pembe mbili ni sawa, basi pembe zilizo karibu nao ni sawa.

Pembe za wima ni sawa

Pembe mbili huitwa wima ikiwa pande za pembe moja ni miale ya ziada ya pande za nyingine. Pembe za AOB na COD, BOD na AOC, zilizoundwa kwenye makutano ya mistari miwili ya moja kwa moja, ni wima (Mchoro 2).

Nadharia 2. Pembe za wima ni sawa.

Ushahidi. Fikiria pembe za wima AOB na COD (tazama Mchoro 2). Angle BOD iko karibu na kila moja ya pembe AOB na COD. Kwa Nadharia 1, ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Kwa hivyo tunahitimisha kuwa ∠ AOB = ∠ COD.

Corollary 1. Pembe iliyo karibu na pembe ya kulia ni pembe ya kulia.

Fikiria mistari miwili ya moja kwa moja inayoingiliana AC na BD (Mchoro 3). Wanaunda pembe nne. Ikiwa mmoja wao ni sahihi (pembe 1 kwenye Mchoro 3), basi pembe nyingine pia ni sawa (pembe 1 na 2, 1 na 4 ziko karibu, pembe 1 na 3 ni wima). Katika kesi hii, mistari hii inasemekana kuingiliana kwa pembe za kulia na inaitwa perpendicular (au perpendicular pande zote). Umuhimu wa mistari AC na BD umebainishwa kama ifuatavyo: AC ⊥ BD.

Sehemu ya pembeni ya sehemu ni mstari unaoelekea sehemu hii na kupita katikati yake.

AN - perpendicular kwa mstari

Fikiria mstari a na hatua A sio uongo juu yake (Mchoro 4). Unganisha hatua A na sehemu kwa uhakika H na mstari wa moja kwa moja a. Sehemu ya AH inaitwa perpendicular inayochorwa kutoka kwa uhakika A hadi mstari wa ikiwa mistari AN na a ni perpendicular. Hatua H inaitwa msingi wa perpendicular.

Kuchora mraba

Nadharia ifuatayo ni kweli.

Nadharia 3. Kutoka kwa hatua yoyote ambayo haina uongo kwenye mstari, mtu anaweza kuteka perpendicular kwa mstari huu, na zaidi ya hayo, moja tu.

Ili kuteka perpendicular kutoka kwa uhakika hadi mstari wa moja kwa moja katika kuchora, mraba wa kuchora hutumiwa (Mchoro 5).

Maoni. Kauli ya nadharia kawaida huwa na sehemu mbili. Sehemu moja inazungumza juu ya kile kinachotolewa. Sehemu hii inaitwa hali ya nadharia. Sehemu nyingine inazungumza juu ya kile kinachohitaji kuthibitishwa. Sehemu hii inaitwa hitimisho la nadharia. Kwa mfano, hali ya Theorem 2 ni pembe za wima; hitimisho - pembe hizi ni sawa.

Nadharia yoyote inaweza kuonyeshwa kwa undani kwa maneno ili hali yake itaanza na neno "ikiwa", na hitimisho kwa neno "basi". Kwa mfano, Theorem 2 inaweza kuelezwa kwa undani kama ifuatavyo: "Ikiwa pembe mbili ni wima, basi ni sawa."

Mfano 1 Moja ya pembe za karibu ni 44 °. Je, mwingine ni sawa na nini?

Suluhisho. Onyesha kipimo cha digrii cha pembe nyingine kwa x, kisha kulingana na Nadharia ya 1.
44 ° + x = 180 °.
Kutatua equation inayosababishwa, tunapata kwamba x \u003d 136 °. Kwa hiyo, pembe nyingine ni 136 °.

Mfano 2 Acha pembe ya COD kwenye Mchoro 21 iwe 45°. Pembe AOB na AOC ni nini?

Suluhisho. Pembe za COD na AOB ni wima, kwa hiyo, kwa Theorem 1.2 ni sawa, yaani, ∠ AOB = 45 °. Pembe ya AOC iko karibu na pembe ya COD, kwa hivyo, kwa Theorem 1.
∠ AOC = 180 ° - ∠ COD = 180 ° - 45 ° = 135 °.

Mfano 3 Pata pembe za karibu ikiwa moja yao ni mara 3 ya nyingine.

Suluhisho. Onyesha kipimo cha digrii cha pembe ndogo kwa x. Kisha kipimo cha shahada cha pembe kubwa kitakuwa Zx. Kwa kuwa jumla ya pembe za karibu ni 180 ° (Theorem 1), kisha x + 3x = 180 °, wapi x = 45 °.
Kwa hivyo pembe za karibu ni 45 ° na 135 °.

Mfano 4 Jumla ya pembe mbili za wima ni 100 °. Tafuta thamani ya kila moja ya pembe nne.

Suluhisho. Hebu takwimu 2 ilingane na hali ya tatizo Pembe za wima COD hadi AOB ni sawa (Theorem 2), ambayo ina maana kwamba vipimo vyao vya digrii pia ni sawa. Kwa hiyo, ∠ COD = ∠ AOB = 50 ° (jumla yao ni 100 ° kwa hali). Angle BOD (pia AOC ya pembe) iko karibu na COD ya pembe, na, kwa hivyo, kwa Theorem 1.
∠ BOD = ∠ AOC = 180 ° - 50 ° = 130 °.