குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள். முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை முறைகள்

உங்கள் பிரச்சினைக்கு விரிவான தீர்வை நீங்கள் ஆர்டர் செய்யலாம் !!!

ஒரு முக்கோணவியல் செயல்பாட்டின் (`sin x, cos x, tan x` அல்லது` ctg x`) அடையாளத்தின் கீழ் அறியப்படாத ஒரு சமத்துவம் ஒரு முக்கோணவியல் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அவற்றின் சூத்திரங்களை மேலும் கருத்தில் கொள்வோம்.

எளிமையான சமன்பாடுகள் `sin x \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a, ctg x \u003d a` என அழைக்கப்படுகின்றன, இங்கு` x` காணப்பட வேண்டிய கோணம்,` a` என்பது எந்த எண்ணும். அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் மூல சூத்திரங்களை எழுதுவோம்.

1. சமன்பாடு `பாவம் x \u003d அ`.

`| அ |\u003e 1` க்கு தீர்வுகள் இல்லை.

`| அ | க்கு \\ leq 1` எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

ரூட் சூத்திரம்: `x \u003d (- 1) ^ n ஆர்க்சின் a + \\ pi n, Z` இல் n \\

2. `cos x \u003d a` என்ற சமன்பாடு

`| அ |\u003e 1` க்கு - சைனைப் போலவே, உண்மையான எண்களிடையே இதற்கு தீர்வுகள் இல்லை.

`| அ | க்கு \\ leq 1` எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

ரூட் சூத்திரம்: `x \u003d \\ pm ஆர்கோஸ் a + 2 \\ pi n, n` இல் Z`

வரைபடங்களில் சைன் மற்றும் கொசைனுக்கான சிறப்பு வழக்குகள்.

3. `tg x \u003d a` என்ற சமன்பாடு

`A` இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும் எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.

ரூட் சூத்திரம்: `x \u003d arctan a + \\ pi n, n Z Z` இல்

4. `ctg x \u003d a` என்ற சமன்பாடு

`A` இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும் எல்லையற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.

ரூட் சூத்திரம்: `x \u003d arcctg a + \\ pi n, n Z இல் Z`

ஒரு அட்டவணையில் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்கள்

சைனுக்கு:
கொசைனுக்கு:
தொடுகோடு மற்றும் கோட்டன்ஜெண்டிற்கு:
தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் கொண்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரங்கள்:

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் முறைகள்

எந்த முக்கோணவியல் சமன்பாட்டிற்கும் தீர்வு இரண்டு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது:

• அதைப் எளிமையாக மாற்றுவது;
• மேலே எழுதப்பட்ட ரூட் சூத்திரங்கள் மற்றும் அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தி விளைந்த எளிய சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்க்கும் முக்கிய முறைகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

இயற்கணித முறை.

இந்த முறையில், மாறி மாற்றீடு மற்றும் சமத்துவத்திற்கு மாற்றீடு செய்யப்படுகிறது.

உதாரணமாக. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3sin (\\ frac \\ pi 3 - x) + 1 \u003d 0`

`2 கோஸ் ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3cos (x + \\ frac \\ pi 6) + 1 \u003d 0`,

நாங்கள் மாற்றத்தை செய்கிறோம்: `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d y`, பின்னர்` 2y ^ 2-3y + 1 \u003d 0`,

வேர்களைக் காண்கிறோம்: `y_1 \u003d 1, y_2 \u003d 1/2`, இரண்டு வழக்குகள் பின்வருமாறு:

1.` cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1`, `x + \\ frac \\ pi 6 \u003d 2 \\ pi n`,` x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

2.` cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1/2`, `x + \\ frac \\ pi 6 \u003d \\ pm arccos 1/2 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3-. \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

பதில்: `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

காரணியாக்கம்.

உதாரணமாக. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `பாவம் x + cos x \u003d 1`.

முடிவு. சமத்துவத்தின் அனைத்து விதிமுறைகளையும் இடதுபுறமாக நகர்த்தவும்: `பாவம் x + காஸ் x-1 \u003d 0`. இடது பக்கத்தைப் பயன்படுத்துதல், மாற்றுவது மற்றும் காரணி:

`பாவம் x - 2 சின் ^ 2 x / 2 \u003d 0`,

`2 சின் x / 2 காஸ் x / 2-2 சின் ^ 2 x / 2 \u003d 0`,

`2 சின் x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) \u003d 0`,

1. `பாவம் x / 2 \u003d 0`,` x / 2 \u003d \\ pi n`, `x_1 \u003d 2 \\ pi n`.
2. `cos x / 2-sin x / 2 \u003d 0`,` tg x / 2 \u003d 1`, `x / 2 \u003d arctan 1+ \\ pi n`,` x / 2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`. , `x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

பதில்: `x_1 \u003d 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

ஒரேவிதமான சமன்பாட்டிற்கான குறைப்பு

முதலில், இந்த முக்கோணவியல் சமன்பாட்டை நீங்கள் இரண்டு வகைகளில் ஒன்றிற்கு கொண்டு வர வேண்டும்:

`ஒரு பாவம் x + b cos x \u003d 0` (முதல் பட்டத்தின் ஒரேவிதமான சமன்பாடு) அல்லது` ஒரு பாவம் ^ 2 x + b பாவம் x cos x + c cos ^ 2 x \u003d 0` (இரண்டாவது பட்டத்தின் ஒரேவிதமான சமன்பாடு).

பின்னர் இரண்டு பகுதிகளையும் `cos x \\ ne 0` - முதல் வழக்குக்கு, மற்றும்` cos ^ 2 x \\ ne 0` - இரண்டாவதாக பிரிக்கவும். `Tg x` க்கான சமன்பாடுகளை நாங்கள் பெறுகிறோம்:` a tg x + b \u003d 0` மற்றும் `a tg ^ 2 x + b tg x + c \u003d 0`, அவை அறியப்பட்ட முறைகளால் தீர்க்கப்பட வேண்டும்.

உதாரணமாக. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `2 பாவம் ^ 2 x + பாவம் x காஸ் x - காஸ் ^ 2 x \u003d 1`.

முடிவு. வலது பக்கத்தை `1 \u003d பாவம் ^ 2 x + cos ^ 2 x` என மீண்டும் எழுதவும்:

`2 பாவம் ^ 2 x + பாவம் x cos x - cos ^ 2 x \u003d` `பாவம் ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 பாவம் ^ 2 x + பாவம் x cos x - cos ^ 2 x -`` பாவம் ^ 2 x - cos ^ 2 x \u003d 0`

`பாவம் ^ 2 x + பாவம் x cos x - 2 cos ^ 2 x \u003d 0`.

இது இரண்டாவது பட்டத்தின் ஒரேவிதமான முக்கோணவியல் சமன்பாடு, அதன் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை `cos ^ 2 x \\ ne 0` எனப் பிரிக்கிறோம், நமக்கு கிடைக்கிறது:

`\\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \\ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \\ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) \u003d 0`

`tg ^ 2 x + tg x - 2 \u003d 0`. `Tg x \u003d t` மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறோம், இதன் விளைவாக,` t ^ 2 + t - 2 \u003d 0`. இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் `t_1 \u003d -2` மற்றும்` t_2 \u003d 1`. பிறகு:

1. `tg x \u003d -2`,` x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`, `n Z Z` இல்
2. `tg x \u003d 1`,` x \u003d arctan 1+ \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n Z Z` இல்.

பதில். `x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`, Z` இல்` n \\, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n Z Z` இல்.

அரை மூலையில் செல்லுங்கள்

உதாரணமாக. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `11 பாவம் x - 2 cos x \u003d 10`.

முடிவு. இதன் விளைவாக இரட்டை கோண சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துங்கள்: `22 பாவம் (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 \u003d` `10 பாவம் ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`

`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 \u003d 0`

மேலே உள்ள இயற்கணித முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்:

1. `tg x / 2 \u003d 2`,` x_1 \u003d 2 ஆர்க்டன் 2 + 2 \\ pi n`, `n Z Z`,
2. `tg x / 2 \u003d 3/4`,` x_2 \u003d arctan 3/4 + 2 \\ pi n`, `n Z Z` இல்.

பதில். `x_1 \u003d 2 ஆர்க்டன் 2 + 2 \\ பை n, Z` இல் n,` x_2 \u003d ஆர்க்டன் 3/4 + 2 \\ பை n`, `n Z Z` இல்.

துணை கோணத்தை அறிமுகப்படுத்துங்கள்

முக்கோணவியல் சமன்பாட்டில் `a sin x + b cos x \u003d c`, இங்கு a, b, c குணகங்கள் மற்றும் x ஒரு மாறி, நாம் இருபுறமும்` சதுர (a ^ 2 + b ^ 2)` ஆல் வகுக்கிறோம்:

`\\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +` `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x \u003d '' \\ frac c (sqrt (a ^ 2) + b ^ 2)) `.

இடது பக்கத்தில் உள்ள குணகங்கள் சைன் மற்றும் கொசைனின் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது அவற்றின் சதுரங்களின் தொகை 1 க்கு சமம் மற்றும் அவற்றின் முழுமையான மதிப்புகள் 1 ஐ விட அதிகமாக இல்லை. அவற்றை பின்வருமாறு குறிப்பிடுவோம்: `\\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d cos \\ varphi` , `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d sin \\ varphi`,` \\ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d C`, பின்னர்:

`cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d C`.

பின்வரும் உதாரணத்தை உற்று நோக்கலாம்:

உதாரணமாக. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `3 பாவம் x + 4 காஸ் x \u003d 2`.

முடிவு. சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் `சதுரடி (3 ^ 2 + 4 ^ 2) 'ஆல் வகுக்கவும், நமக்கு கிடைக்கும்:

`\\ frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\\ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d '' \\ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

`3/5 பாவம் x + 4/5 cos x \u003d 2/5`.

`3/5 \u003d cos \\ varphi`,` 4/5 \u003d sin \\ varphi` என்பதைக் குறிப்போம். `பாவம் \\ வார்ஃபி\u003e 0`,` காஸ் \\ வார்ஃபி\u003e 0` என்பதால், `\\ varphi \u003d arcsin 4/5` ஐ ஒரு துணை கோணமாக எடுத்துக்கொள்கிறோம். பின்னர் நமது சமத்துவத்தை வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்:

`cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d 2/5`

சைனுக்கான கோணங்களின் தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், எங்கள் சமத்துவத்தை பின்வரும் வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்:

`பாவம் (x + \\ varphi) \u003d 2/5`,

`x + \\ varphi \u003d (- 1) ^ n ஆர்க்சின் 2/5 + \\ pi n`,` n Z இல் Z`,

`x \u003d (- 1) ^ n ஆர்க்சின் 2/5-` `ஆர்க்சின் 4/5 + \\ பை என்`,` என் Z இல் Z`.

பதில். `x \u003d (- 1) ^ n ஆர்க்சின் 2/5-` `ஆர்க்சின் 4/5 + \\ பை என்`,` என் Z இல் Z`.

பின்னம்-பகுத்தறிவு முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்

இவை பின்னங்களுடன் சமமானவை, முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் கொண்ட எண்கள் மற்றும் வகுப்புகள்.

உதாரணமாக. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். `\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d 1-cos x`.

முடிவு. சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தை `(1 + cos x)` ஆல் பெருக்கவும். இதன் விளைவாக, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

`\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`

`\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\\ frac (sin x) (1 + cos x) -`` \\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

`\\ frac (பாவம் x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாது என்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, `1 + cos x \\ ne 0`,` cos x \\ ne -1`, `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n` Z` இல் பெறுகிறோம்.

பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை பூஜ்ஜியத்துடன் சமன் செய்யுங்கள்: `பாவம் x- பாவம் ^ 2 x \u003d 0`,` பாவம் x (1-பாவம் x) \u003d 0`. பின்னர் `பாவம் x \u003d 0` அல்லது` 1-பாவம் x \u003d 0`.

1. `பாவம் x \u003d 0`,` x \u003d \\ பை n`, `n Z Z` இல்
2. `1-பாவம் x \u003d 0`,` பாவம் x \u003d -1`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n, n Z Z` இல்.

Z` இல் `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n that என்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, தீர்வுகள்` x \u003d 2 \\ pi n, Z` இல் n and மற்றும்` x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`. , `n Z இல் Z`.

பதில். `x \u003d 2 \\ pi n`, Z` இல்` n \\, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`,` n Z Z` இல்.

முக்கோணவியல் மற்றும் குறிப்பாக முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் வடிவியல், இயற்பியல், பொறியியல் ஆகியவற்றின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து பகுதிகளிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஆய்வு 10 ஆம் வகுப்பில் தொடங்குகிறது, நிச்சயமாக தேர்வுக்கான பணிகள் உள்ளன, எனவே முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் அனைத்து சூத்திரங்களையும் நினைவில் வைக்க முயற்சி செய்யுங்கள் - அவை நிச்சயமாக கைக்கு வரும்!

இருப்பினும், நீங்கள் அவற்றை மனப்பாடம் செய்யத் தேவையில்லை, முக்கிய விஷயம் சாராம்சத்தைப் புரிந்துகொள்வதும், அதைக் குறைப்பதும் ஆகும். இது போல் கடினமாக இல்லை. வீடியோவைப் பார்த்து நீங்களே பாருங்கள்.

முக்கோணவியலின் அடிப்படை சூத்திரங்களைப் பற்றிய அறிவு தேவைப்படுகிறது - சைன் மற்றும் கொசைனின் சதுரங்களின் தொகை, சைன் மற்றும் கொசைன் மற்றும் பிறவற்றின் அடிப்படையில் தொடுகோட்டின் வெளிப்பாடு. அவற்றை மறந்துவிட்ட அல்லது தெரியாதவர்களுக்கு, "" என்ற கட்டுரையைப் படிக்க பரிந்துரைக்கிறோம்.
எனவே, அடிப்படை முக்கோணவியல் சூத்திரங்களை நாங்கள் அறிவோம், அவற்றை நடைமுறையில் பயன்படுத்த வேண்டிய நேரம் இது. முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் சரியான அணுகுமுறையுடன், இது ஒரு ரூபிக் கனசதுரத்தை தீர்ப்பது போன்ற ஒரு அற்புதமான செயலாகும்.

பெயரை அடிப்படையாகக் கொண்டு, ஒரு முக்கோணவியல் சமன்பாடு என்பது ஒரு சமன்பாடு என்பது தெரியாதது முக்கோணவியல் செயல்பாட்டின் அடையாளத்தின் கீழ் உள்ளது என்பது தெளிவாகிறது.
எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுபவை உள்ளன. அவர்கள் இப்படித்தான் இருக்கிறார்கள்: sinx \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a. கவனியுங்கள் அத்தகைய முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது, தெளிவுக்காக, ஏற்கனவே தெரிந்த முக்கோணவியல் வட்டத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

sinx \u003d அ

cos x \u003d a

tg x \u003d a

cot x \u003d a

எந்த முக்கோணவியல் சமன்பாடும் இரண்டு நிலைகளில் தீர்க்கப்படுகிறது: சமன்பாட்டை எளிய வடிவத்திற்கு கொண்டு வந்து பின்னர் அதை எளிய முக்கோணவியல் சமன்பாடாக தீர்க்கிறோம்.
முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்படும் 7 முக்கிய முறைகள் உள்ளன.

1. மாறி மாற்று மற்றும் மாற்று முறை

2cos 2 (x + / 6) - 3sin (/ 3 - x) +1 \u003d 0 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

குறைப்பு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 \u003d 0

எளிமைக்காக y உடன் cos (x + / 6) ஐ மாற்றவும் மற்றும் வழக்கமான இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறவும்:

2y 2 - 3y + 1 + 0

யாருடைய வேர்கள் y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 1/2

இப்போது தலைகீழ் வரிசையில் செல்லலாம்

கிடைத்த y மதிப்புகளை மாற்றுகிறோம், எங்களுக்கு இரண்டு பதில்கள் கிடைக்கின்றன:

2. காரணியாக்கம் மூலம் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை தீர்க்கிறது

பாவம் x + cos x \u003d 1 என்ற சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

எல்லாவற்றையும் இடதுபுறமாக நகர்த்துவதன் மூலம் 0 வலதுபுறத்தில் இருக்கும்:

sin x + cos x - 1 \u003d 0

சமன்பாட்டை எளிமைப்படுத்த மேலே உள்ள அடையாளங்களைப் பயன்படுத்துவோம்:

sin x - 2 sin 2 (x / 2) \u003d 0

காரணிமயமாக்கலை நாங்கள் செய்கிறோம்:

2 சின் (x / 2) * cos (x / 2) - 2 பாவம் 2 (x / 2) \u003d 0

2 சின் (x / 2) * \u003d 0

நாம் இரண்டு சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்

3. ஒரேவிதமான சமன்பாட்டிற்கான குறைப்பு

சைன் மற்றும் கொசைனைப் பொறுத்தவரையில் அதன் அனைத்து சொற்களும் ஒரே கோணத்தின் ஒரே சக்தியாக இருந்தால், ஒரு சமன்பாடு சைன் மற்றும் கொசைனைப் பொறுத்தவரை ஒரேவிதமானதாகும். ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, பின்வருமாறு தொடரவும்:

a) அதன் அனைத்து உறுப்பினர்களையும் இடது பக்கமாக மாற்றவும்;

b) அனைத்து பொதுவான காரணிகளையும் அடைப்புக்குறிக்குள் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்;

c) அனைத்து காரணிகளையும் அடைப்புக்குறிகளையும் 0 க்கு சமன் செய்யுங்கள்;

d) குறைந்த அளவிலான ஒரேவிதமான சமன்பாடு அடைப்புக்குறிக்குள் பெறப்படுகிறது, இதையொட்டி சைன் அல்லது கொசைன் மூலம் மிக உயர்ந்த அளவில் பிரிக்கப்படுகிறது;

e) tg க்கான விளைவான சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x \u003d 2 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

பாவம் 2 x + cos 2 x \u003d 1 என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வலதுபுறத்தில் திறந்த இரண்டிலிருந்து விடுபடுவோம்:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x \u003d 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x \u003d 0

Cos x ஆல் வகுக்கவும்:

tg 2 x + 4 tg x + 3 \u003d 0

Tg x ஐ y உடன் மாற்றவும் மற்றும் இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறவும்:

y 2 + 4y +3 \u003d 0, இதன் வேர்கள் y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3

இங்கிருந்து அசல் சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு தீர்வுகளைக் காணலாம்:

x 2 \u003d ஆர்க்டன் 3 + கே

4. அரை கோணத்திற்குச் சென்று சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

3sin x - 5cos x \u003d 7 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

X / 2 க்கு நகரும்:

6 சின் (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) \u003d 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

எல்லாவற்றையும் இடது பக்கம் நகர்த்தவும்:

2 சின் 2 (x / 2) - 6 சின் (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) \u003d 0

Cos (x / 2) ஆல் வகுக்க:

tg 2 (x / 2) - 3tg (x / 2) + 6 \u003d 0

5. துணை கோணத்தை அறிமுகப்படுத்துங்கள்

கருத்தில் கொள்ள, நாம் படிவத்தின் சமன்பாட்டை எடுத்துக்கொள்கிறோம்: ஒரு பாவம் x + b cos x \u003d c,

a, b, c சில தன்னிச்சையான குணகங்கள், மற்றும் x தெரியவில்லை.

சமன்பாட்டின் இருபுறமும் பிரிக்கவும்:



இப்போது சமன்பாட்டின் குணகங்கள், முக்கோணவியல் சூத்திரங்களின்படி, பாவம் மற்றும் காஸ் ஆகிய பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது: அவற்றின் மாடுலஸ் 1 ஐ விட அதிகமாக இல்லை மற்றும் சதுரங்களின் தொகை \u003d 1. அவற்றை முறையே காஸ் மற்றும் பாவம் என்று குறிப்பிடுவோம், எங்கே துணை கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பின்னர் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்:

cos * sin x + sin * cos x \u003d

அல்லது பாவம் (x +) \u003d சி

இந்த எளிய முக்கோணவியல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு

x \u003d (-1) k * arcsin С - + k, எங்கே



காஸ் மற்றும் பாவம் ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று மாறக்கூடியவை என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

பாவம் 3x - cos 3x \u003d 1 என்ற சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

இந்த சமன்பாட்டில், குணகங்கள்:

a \u003d, b \u003d -1, எனவே இரு பக்கங்களையும் \u003d 2 ஆல் வகுக்கிறோம்

எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை தீர்க்கும்.

எந்த அளவிலான சிக்கலான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் தீர்வு இறுதியில் எளிய முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை தீர்க்கும். இதில் முக்கோணவியல் வட்டம் மீண்டும் சிறந்த உதவியாளராக மாறும்.

கொசைன் மற்றும் சைனின் வரையறைகளை நினைவுபடுத்துவோம்.

ஒரு கோணத்தின் கோசைன் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட கோணத்தின் சுழற்சிக்கு ஒத்த அலகு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியின் அப்சிஸ்ஸா (அதாவது, அச்சில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு) ஆகும்.

ஒரு கோணத்தின் சைன் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட கோணத்தின் சுழற்சிக்கு ஒத்த அலகு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியின் ஆர்டினேட் (அதாவது அச்சுடன் ஒருங்கிணைத்தல்) ஆகும்.

முக்கோணவியல் வட்டத்தில் இயக்கத்தின் நேர்மறையான திசை எதிரெதிர் திசையில் இயக்கம் ஆகும். 0 டிகிரி (அல்லது 0 ரேடியன்கள்) சுழற்சி ஆயத்தொலைவுகளுடன் (1; 0) ஒத்திருக்கிறது

எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை தீர்க்க இந்த வரையறைகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

1. சமன்பாட்டை தீர்ப்போம்

இந்த சமன்பாடு சுழற்சியின் கோணத்தின் அனைத்து மதிப்புகளாலும் திருப்தி அடைகிறது, இது வட்டத்தின் புள்ளிகளுடன் ஒத்திருக்கும், அதன் ஆர்டினேட் சமமாக இருக்கும்.

ஆர்டினேட் அச்சில் ஒரு ஆர்டினேட் மூலம் ஒரு புள்ளியைக் குறிப்போம்:

வட்டத்துடன் குறுக்கிடும் வரை அப்சிஸ்ஸா அச்சுக்கு இணையாக ஒரு கிடைமட்ட கோட்டை வரைவோம். இரண்டு புள்ளிகள் ஒரு வட்டத்தில் படுத்து ஒரு ஆர்டினேட் பெறுகிறோம். இந்த புள்ளிகள் சுழற்சியின் கோணங்களுக்கும் ரேடியன்களுக்கும் ஒத்திருக்கின்றன:

நாம், ரேடியன்களின் சுழற்சியின் கோணத்துடன் தொடர்புடைய புள்ளியை விட்டுவிட்டு, ஒரு முழு வட்டத்தைச் சுற்றிச் சென்றால், ரேடியன்களால் சுழலும் கோணத்துடன் தொடர்புடைய புள்ளிக்கு வருவோம், அதே ஆர்டினேட் வேண்டும். அதாவது, இந்த சுழற்சியின் கோணமும் நமது சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது. நாம் விரும்பும் பல "செயலற்ற" புரட்சிகளை நாம் செய்ய முடியும், அதே புள்ளியில் திரும்புவோம், மேலும் கோணங்களின் இந்த மதிப்புகள் அனைத்தும் நமது சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்யும். "செயலற்ற" திருப்பங்களின் எண்ணிக்கை கடிதத்தால் குறிக்கப்படும் (அல்லது). இந்த புரட்சிகளை நாம் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை திசையில் செய்ய முடியும் என்பதால், (அல்லது) எந்த முழு மதிப்புகளையும் எடுக்கலாம்.

அதாவது, அசல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் முதல் தொடர் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

,, என்பது முழு எண்களின் தொகுப்பு (1)

இதேபோல், தீர்வுகளின் இரண்டாவது தொடர்:

, எங்கே,. (2)

நீங்கள் யூகித்தபடி, இந்த தொடர் தீர்வுகள் சுழற்சியின் கோணத்துடன் தொடர்புடைய வட்டத்தின் புள்ளியை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

இந்த இரண்டு தொடர் தீர்வுகளையும் ஒரு நுழைவாக இணைக்கலாம்:

இந்த பதிவில் நாம் எடுத்துக் கொண்டால் (அதாவது, கூட), முதல் தொடர் தீர்வுகளைப் பெறுவோம்.

இந்த பதிவில் (அதாவது ஒற்றைப்படை) எடுத்துக் கொண்டால், இரண்டாவது தொடர் தீர்வுகளைப் பெறுவோம்.

2. இப்போது சமன்பாட்டை தீர்க்கலாம்

ஒரு கோணத்தால் திருப்புவதன் மூலம் பெறப்பட்ட அலகு வட்டத்தின் புள்ளியின் அப்சிஸ்ஸா என்பதால், அச்சில் உள்ள அப்சிஸ்ஸாவுடன் புள்ளியைக் குறிக்கவும்:

வட்டத்துடன் வெட்டும் வரை அச்சுக்கு இணையாக ஒரு செங்குத்து கோட்டை வரையவும். ஒரு வட்டத்தில் படுத்துக் கொண்டு இரண்டு புள்ளிகளைப் பெறுகிறோம். இந்த புள்ளிகள் சுழற்சியின் கோணங்களுக்கும் ரேடியன்களுக்கும் ஒத்திருக்கும். கடிகார திசையில் நகரும்போது, \u200b\u200bஎதிர்மறை சுழற்சி கோணத்தைப் பெறுகிறோம் என்பதை நினைவில் கொள்க:

இரண்டு தொடர் தீர்வுகளை எழுதுவோம்:

,

,

(நாம் விரும்பிய இடத்திற்குச் செல்கிறோம், முக்கிய முழு வட்டத்திலிருந்து கடந்து செல்கிறோம், அதாவது.

இந்த இரண்டு தொடர்களையும் ஒரே நுழைவாக இணைப்போம்:

3. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

தொடுகோடு OY அச்சுக்கு இணையாக அலகு வட்டத்தின் ஆயத்தொலைவுகளுடன் (1,0) புள்ளி வழியாக செல்கிறது

அதன் மீது ஒரு புள்ளியை 1 க்கு சமமான ஒரு ஆர்டினேட் மூலம் குறிக்கிறோம் (எந்த கோணங்களில் 1 என்ற தொடுதலை நாங்கள் தேடுகிறோம்):

இந்த புள்ளியை ஒரு நேர் கோடுடன் ஆயங்களின் தோற்றத்துடன் இணைப்போம் மற்றும் நேர் கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளை அலகு வட்டத்துடன் குறிப்போம். நேர் கோடு மற்றும் வட்டத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள் மற்றும் சுழற்சியின் கோணங்களுடன் ஒத்துப்போகின்றன:

எங்கள் சமன்பாட்டை பூர்த்திசெய்யும் சுழற்சியின் கோணங்களுடன் தொடர்புடைய புள்ளிகள் ஒருவருக்கொருவர் ரேடியன்களின் தூரத்தில் இருப்பதால், இதுபோன்ற தீர்வை நாம் எழுதலாம்:

4. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

கோடான்ஜென்ட் கோடு அச்சுக்கு இணையாக அலகு வட்டத்தின் ஆயங்களுடன் புள்ளி வழியாக செல்கிறது.

கோட்டான்ஜென்ட்களின் வரிசையில் அப்சிஸ்ஸா -1 உடன் ஒரு புள்ளியைக் குறிப்போம்:

இந்த புள்ளியை ஒரு நேர் கோட்டின் ஆயங்களின் தோற்றத்துடன் இணைத்து வட்டத்துடன் குறுக்குவெட்டுக்குத் தொடரலாம். இந்த வரி சுழற்சியின் கோணங்களுக்கும் ரேடியன்களுக்கும் ஒத்த புள்ளிகளில் வட்டத்தை வெட்டுகிறது:

இந்த புள்ளிகள் ஒருவருக்கொருவர் சமமான தொலைவில் இருப்பதால், இந்த சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளில், எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் தீர்வை விளக்குகிறது, முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் அட்டவணை மதிப்புகள் பயன்படுத்தப்பட்டன.

இருப்பினும், சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் ஒரு அட்டவணை மதிப்பு இல்லை என்றால், சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வில் மதிப்பை மாற்றுகிறோம்:

சிறப்பு தீர்வுகள்:

வட்டத்தில் 0 இன் ஆர்டினேட் புள்ளிகளைக் கவனியுங்கள்:

வட்டத்தில் 1 ஐக் குறிக்கும் ஒரே புள்ளியைக் குறிப்போம்:

வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியைக் குறிப்போம், இதன் ஆர்டினேட் -1:

பூஜ்ஜியத்திற்கு மிக நெருக்கமான மதிப்புகளைக் குறிப்பிடுவது வழக்கம் என்பதால், தீர்வை பின்வருமாறு எழுதுகிறோம்:

வட்டத்தில் குறிப்பு அப்சிஸ்ஸா 0:

5.
வட்டத்தில் ஒரே புள்ளியைக் குறிப்போம், இதன் அப்சிஸ்ஸா 1 க்கு சமம்:

வட்டத்தில் ஒரே புள்ளியைக் குறிப்போம், இதன் அப்சிஸ்ஸா -1:

மேலும் சற்று சிக்கலான எடுத்துக்காட்டுகள்:

1.

வாதம் இருந்தால் சைன் ஒன்று

எங்கள் சைனின் வாதம் சமம், எனவே நாம் பெறுகிறோம்:

சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் 3 ஆல் வகுக்கவும்:

பதில்:

2.

கொசைனின் வாதம் என்றால் கொசைன் பூஜ்ஜியமாகும்

எங்கள் கொசைனின் வாதம் சமம், எனவே நாம் பெறுகிறோம்:

வெளிப்படுத்துவோம், இதற்காக நாம் முதலில் எதிர் அடையாளத்துடன் வலது பக்கம் செல்கிறோம்:

வலது பக்கத்தை எளிதாக்குவோம்:

இரு பகுதிகளையும் -2 ஆல் வகுக்கவும்:

கே எந்த முழு மதிப்புகளையும் எடுக்கக்கூடும் என்பதால், சம்மண்டிற்கு முன் அடையாளம் மாறாது என்பதை நினைவில் கொள்க.

பதில்:

இறுதியாக, "ஒரு முக்கோணவியல் வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு முக்கோணவியல் சமன்பாட்டில் வேர்களைத் தேர்ந்தெடுப்பது" என்ற வீடியோ டுடோரியலைப் பாருங்கள்.

இது எளிய முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை தீர்ப்பது பற்றிய உரையாடலை முடிக்கிறது. அடுத்த முறை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பது பற்றி பேசுவோம்.

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் கருத்து.

• முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, அதை ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளாக மாற்றவும். ஒரு முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது இறுதியில் நான்கு அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்.