திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு

நாங்கள் தொடர்ந்து திசையன்களைக் கையாளுகிறோம். முதல் பாடத்தில் டம்மிகளுக்கான திசையன்கள் ஒரு திசையன், திசையன்களுடன் செயல்கள், ஒரு திசையனின் ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் திசையன்களுடன் எளிமையான பணிகள் ஆகியவற்றை நாங்கள் கருத்தில் கொண்டுள்ளோம். ஒரு தேடுபொறியிலிருந்து நீங்கள் முதன்முறையாக இந்தப் பக்கத்திற்கு வந்திருந்தால், மேலே உள்ள அறிமுகக் கட்டுரையைப் படிக்க நான் மிகவும் பரிந்துரைக்கிறேன், ஏனென்றால் பொருளை மாஸ்டர் செய்ய, நான் பயன்படுத்தும் விதிமுறைகள் மற்றும் குறியீடுகளில் நீங்கள் செல்ல வேண்டும், திசையன்கள் பற்றிய அடிப்படை அறிவு மற்றும் அடிப்படை சிக்கல்களை தீர்க்க முடியும். இந்த பாடம் தலைப்பின் தர்க்கரீதியான தொடர்ச்சியாகும், அதில் திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு பயன்படுத்தப்படும் வழக்கமான பணிகளை விரிவாக ஆராய்வேன். இது மிகவும் முக்கியமான செயல்பாடு... எடுத்துக்காட்டுகளைத் தவிர்க்க முயற்சிக்காதீர்கள், அவற்றுடன் ஒரு பயனுள்ள போனஸ் உள்ளது - நீங்கள் உள்ளடக்கிய பொருளை ஒருங்கிணைப்பதற்கும் பகுப்பாய்வு வடிவவியலில் பொதுவான சிக்கல்களுக்கான தீர்வைப் பெறுவதற்கும் பயிற்சி உதவும்.

திசையன்களைச் சேர்ப்பது, ஒரு திசையனை ஒரு எண்ணால் பெருக்குதல்…. கணிதவியலாளர்கள் வேறு எதையும் கொண்டு வரவில்லை என்று நினைப்பது அப்பாவியாக இருக்கும். ஏற்கனவே கருதப்பட்ட செயல்களுக்கு கூடுதலாக, திசையன்களுடன் பல செயல்பாடுகள் உள்ளன, அதாவது: திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு, திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு மற்றும் திசையன்களின் கலப்பு தயாரிப்பு... திசையன்களின் அளவிடுதல் தயாரிப்பு பள்ளியிலிருந்து நமக்கு நன்கு தெரியும், மற்ற இரண்டு தயாரிப்புகளும் பாரம்பரியமாக உயர் கணித பாடத்துடன் தொடர்புடையவை. தலைப்புகள் எளிமையானவை, பல சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை ஸ்டென்சில் மற்றும் தெளிவானது. அந்த ஒரு விஷயம். நிறைய தகவல்கள் உள்ளன, எனவே ஒவ்வொன்றையும் மாஸ்டர் செய்ய முயற்சிப்பது விரும்பத்தகாதது. இது தேனீர்களுக்கு குறிப்பாக உண்மை, என்னை நம்புங்கள், கணிதத்தில் இருந்து சிக்காடிலோவைப் போல எழுத்தாளர் உணர விரும்பவில்லை. நல்லது, மற்றும் கணிதத்திலிருந்து அல்ல, நிச்சயமாக, \u003d) மேலும் தயாரிக்கப்பட்ட மாணவர்கள் பொருட்களைத் தேர்ந்தெடுத்துப் பயன்படுத்தலாம், ஒரு பொருளில், விடுபட்ட அறிவை "பெறுங்கள்", உங்களுக்காக நான் பாதிப்பில்லாத கவுண்ட் டிராகுலாவாக இருப்பேன் \u003d)

இறுதியாக, கதவைத் திறந்து, இரண்டு திசையன்கள் ஒருவருக்கொருவர் சந்திக்கும் போது என்ன நடக்கும் என்று ஆர்வத்துடன் பார்ப்போம்….

திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு தீர்மானித்தல்.
புள்ளி தயாரிப்பு பண்புகள். வழக்கமான பணிகள்

புள்ளி தயாரிப்பு கருத்து

முதலில் பற்றி திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம்... திசையன்களுக்கு இடையேயான கோணம் என்ன என்பதை எல்லோரும் உள்ளுணர்வாக புரிந்துகொள்கிறார்கள் என்று நான் நினைக்கிறேன், ஆனால் இன்னும் கொஞ்சம் விரிவாக இருந்தால். இலவச nonzero திசையன்கள் மற்றும். இந்த திசையன்களை ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியிலிருந்து நீங்கள் ஒத்திவைத்தால், பலர் ஏற்கனவே தங்கள் மனதில் கற்பனை செய்த ஒரு படத்தைப் பெறுவீர்கள்:

புரிந்துகொள்ளும் மட்டத்தில் மட்டுமே நிலைமையை நான் கோடிட்டுக் காட்டியுள்ளேன் என்று ஒப்புக்கொள்கிறேன். திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கடுமையான வரையறை உங்களுக்குத் தேவைப்பட்டால், தயவுசெய்து பாடப்புத்தகத்தைப் பார்க்கவும், ஆனால் நடைமுறை சிக்கல்களுக்கு, கொள்கையளவில், எங்களுக்கு இது தேவையில்லை. மேலும், இங்கே மற்றும் பின்தொடர்வது, சில இடங்களில் பூஜ்ஜிய திசையன்களை அவற்றின் குறைந்த நடைமுறை முக்கியத்துவம் காரணமாக புறக்கணிப்பேன். பின்வரும் சில அறிக்கைகளின் தத்துவார்த்த முழுமையற்ற தன்மைக்காக என்னை நிந்திக்கக்கூடிய மேம்பட்ட தள பார்வையாளர்களுக்காக நான் குறிப்பாக முன்பதிவு செய்தேன்.

இலக்கியத்தில், கோண ஐகான் பெரும்பாலும் கவனிக்கப்படாமல் வெறுமனே எழுதப்படுகிறது.

வரையறை: இரண்டு திசையன்களின் அளவிடுதல் தயாரிப்பு இந்த திசையன்களின் நீளங்களின் உற்பத்திக்கு சமமான ஒரு எண், அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கொசைன்:

இது ஏற்கனவே மிகவும் கடுமையான வரையறை.

அத்தியாவசிய தகவல்களில் நாங்கள் கவனம் செலுத்துகிறோம்:

பதவி: புள்ளி தயாரிப்பு அல்லது வெறுமனே குறிக்கப்படுகிறது.

செயல்பாட்டின் முடிவு ஒரு எண்: திசையன் திசையன் மூலம் பெருக்கப்படுகிறது, இதன் விளைவாக ஒரு எண். உண்மையில், திசையன்களின் நீளம் எண்களாக இருந்தால், ஒரு கோணத்தின் கொசைன் ஒரு எண்ணாக இருந்தால், அவற்றின் தயாரிப்பு ஒரு எண்ணாகவும் இருக்கும்.

சில சூடான எடுத்துக்காட்டுகள்:

எடுத்துக்காட்டு 1

முடிவு: நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் ... இந்த வழக்கில்:

பதில்:

கொசைன் மதிப்புகளை இதில் காணலாம் முக்கோணவியல் அட்டவணை... அதை அச்சிட பரிந்துரைக்கிறேன் - இது கோபுரத்தின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து பிரிவுகளிலும் தேவைப்படும் மற்றும் பல முறை தேவைப்படும்.

முற்றிலும் கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், புள்ளி தயாரிப்பு பரிமாணமற்றது, அதாவது, இதன் விளைவாக, இந்த விஷயத்தில், ஒரு எண் மட்டுமே, அவ்வளவுதான். இயற்பியலின் சிக்கல்களைப் பார்க்கும்போது, \u200b\u200bஅளவிடுதல் தயாரிப்பு எப்போதும் ஒரு குறிப்பிட்ட உடல் பொருளைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது, முடிவுக்குப் பிறகு, ஒன்று அல்லது மற்றொரு இயற்பியல் அலகு குறிக்கப்பட வேண்டும். ஒரு சக்தியின் வேலையைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு நியமன உதாரணத்தை எந்த பாடப்புத்தகத்திலும் காணலாம் (சூத்திரம் சரியாக புள்ளி தயாரிப்பு). ஆகவே, சக்தியின் பணி ஜூல்ஸில் அளவிடப்படுகிறது, மேலும் பதில் மிகவும் குறிப்பாக எழுதப்படும், எடுத்துக்காட்டாக.

எடுத்துக்காட்டு 2

இருந்தால் கண்டுபிடிக்கவும் , மற்றும் திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம்.

செய்ய வேண்டிய தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு இது, டுடோரியலின் முடிவில் பதில்.

திசையன்கள் மற்றும் புள்ளி தயாரிப்பு மதிப்பு இடையே கோணம்

எடுத்துக்காட்டு 1 இல், புள்ளி தயாரிப்பு நேர்மறையாக மாறியது, எடுத்துக்காட்டு 2 இல், அது எதிர்மறையாக மாறியது. புள்ளி தயாரிப்பின் அடையாளம் என்ன சார்ந்துள்ளது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். எங்கள் சூத்திரத்தைப் பார்க்கிறோம்: ... Nonzero திசையன்களின் நீளம் எப்போதும் நேர்மறையானது :, எனவே அடையாளம் கொசைனின் மதிப்பை மட்டுமே சார்ந்தது.

குறிப்பு: கீழேயுள்ள தகவல்களை நன்கு புரிந்துகொள்ள, கையேட்டில் கொசைன் வரைபடத்தைப் படிப்பது நல்லது செயல்பாட்டு வரைபடங்கள் மற்றும் பண்புகள்... ஒரு பிரிவில் கொசைன் எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் பாருங்கள்.

ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் அதற்குள் மாறுபடும் , மற்றும் பின்வரும் வழக்குகள் சாத்தியமாகும்:

1) என்றால் கோணம் திசையன்களுக்கு இடையில் கடுமையானது: (0 முதல் 90 டிகிரி வரை), பின்னர் மற்றும் புள்ளி தயாரிப்பு நேர்மறையாக இருக்கும் இணை இயக்கியது, பின்னர் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் பூஜ்ஜியமாகக் கருதப்படுகிறது, மேலும் புள்ளி தயாரிப்பு நேர்மறையாக இருக்கும். என்பதால், சூத்திரம் எளிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது :.

2) என்றால் கோணம் திசையன்களுக்கு இடையில் முட்டாள்: (90 முதல் 180 டிகிரி வரை), பின்னர் , மற்றும் அதற்கேற்ப, புள்ளி தயாரிப்பு எதிர்மறையானது:. சிறப்பு வழக்கு: திசையன்கள் என்றால் எதிர் திசை, பின்னர் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் கருதப்படுகிறது பயன்படுத்தப்பட்டது: (180 டிகிரி). புள்ளி தயாரிப்பு எதிர்மறையானது என்பதால்

உரையாடல் அறிக்கைகளும் உண்மைதான்:

1) என்றால், இந்த திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் கடுமையானது. மாற்றாக, திசையன்கள் குறியீட்டு திசையாகும்.

2) என்றால், கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களுக்கு இடையேயான கோணம் அபத்தமானது. மாற்றாக, திசையன்கள் எதிர்மாறாக இருக்கின்றன.

ஆனால் மூன்றாவது வழக்கு குறிப்பாக ஆர்வமாக உள்ளது:

3) என்றால் கோணம் திசையன்களுக்கு இடையில் நேராக: (90 டிகிரி), பின்னர் புள்ளி தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாகும்:. உரையாடலும் உண்மை: என்றால், அப்படியானால். அறிக்கை பின்வருமாறு சுருக்கமாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது: இந்த திசையன்கள் ஆர்த்தோகனலாக இருந்தால் மட்டுமே இரண்டு திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாகும்... குறுகிய கணித குறியீடு:

! குறிப்பு : மீண்டும் கணித தர்க்கத்தின் அடித்தளங்கள்: இரட்டை பக்க தருக்க விளைவு ஐகான் வழக்கமாக “பின்னர், அப்போதுதான்”, “இருந்தால் மட்டுமே” என்று படிக்கப்படும். நீங்கள் பார்க்கிறபடி, அம்புகள் இரு திசைகளிலும் இயக்கப்படுகின்றன - "இதிலிருந்து இதைப் பின்தொடர்கிறது, இதற்கு நேர்மாறாக - இதிலிருந்து பின்வருவனவற்றிலிருந்து." மூலம், ஒரு வழி பின்தொடர் ஐகானிலிருந்து என்ன வித்தியாசம்? ஐகான் கூறுகிறது அது மட்டும்"இது இதிலிருந்து பின்வருமாறு", இது எதிர் உண்மை என்பது உண்மை அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக: ஆனால் ஒவ்வொரு மிருகமும் ஒரு சிறுத்தை அல்ல, எனவே இந்த விஷயத்தில் ஐகானைப் பயன்படுத்த முடியாது. அதே நேரத்தில், ஐகானுக்கு பதிலாக முடியும் ஒரு வழி ஐகானைப் பயன்படுத்தவும். எடுத்துக்காட்டாக, சிக்கலைத் தீர்க்கும்போது, \u200b\u200bதிசையன்கள் ஆர்த்தோகனல் என்று முடிவு செய்துள்ளோம்: - அத்தகைய நுழைவு சரியாக இருக்கும், அதை விடவும் பொருத்தமானது .

மூன்றாவது வழக்கு மிகவும் நடைமுறை முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது.திசையன்கள் ஆர்த்தோகனல் இல்லையா என்பதை சரிபார்க்க இது உங்களை அனுமதிக்கிறது. பாடத்தின் இரண்டாவது பகுதியில் இந்த சிக்கலை தீர்ப்போம்.

புள்ளி தயாரிப்பு பண்புகள்

இரண்டு திசையன்கள் இருக்கும்போது நிலைமைக்கு திரும்புவோம் இணை இயக்கியது... இந்த வழக்கில், அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் பூஜ்ஜியமாகும், மற்றும் புள்ளி தயாரிப்பு சூத்திரம் வடிவத்தை எடுக்கும் :.

திசையன் தானாகப் பெருக்கினால் என்ன ஆகும்? திசையன் தன்னுடன் குறியீடாக உள்ளது என்பது தெளிவாகிறது, எனவே மேலே உள்ள எளிமைப்படுத்தப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

எண் அழைக்கப்படுகிறது அளவிடல் சதுரம் திசையன், மற்றும் என குறிக்கப்படுகிறது.

இதனால், ஒரு திசையனின் அளவிடல் சதுரம் கொடுக்கப்பட்ட திசையனின் நீளத்தின் சதுரத்திற்கு சமம்:

இந்த சமத்துவத்திலிருந்து, ஒரு திசையனின் நீளத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பெறலாம்:

இது தெளிவற்றதாகத் தோன்றினாலும், பாடத்தின் பணிகள் எல்லாவற்றையும் அதன் இடத்தில் வைக்கும். சிக்கல்களைத் தீர்க்க, எங்களுக்கும் தேவை புள்ளி தயாரிப்பு பண்புகள்.

தன்னிச்சையான திசையன்கள் மற்றும் எந்த எண்ணிற்கும், பின்வரும் பண்புகள் செல்லுபடியாகும்:

1) - இடமாற்றம் செய்யக்கூடிய அல்லது பரிமாற்றம் அளவிடல் தயாரிப்பு சட்டம்.

2) - விநியோகம் அல்லது விநியோகிப்பு அளவிடல் தயாரிப்பு சட்டம். வெறுமனே, நீங்கள் அடைப்புக்குறிகளை விரிவாக்கலாம்.

3) - சேர்க்கை அல்லது துணை அளவிடல் தயாரிப்பு சட்டம். புள்ளி தயாரிப்பிலிருந்து மாறிலியை வெளியே எடுக்கலாம்.

பெரும்பாலும், அனைத்து வகையான பண்புகளும் (அவை நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்!) மாணவர்களால் தேவையற்ற குப்பைகளாக கருதப்படுகின்றன, அவை மனப்பாடம் செய்யப்பட வேண்டும் மற்றும் பரீட்சைக்குப் பின் பாதுகாப்பாக மறக்கப்பட வேண்டும். இங்கே முக்கியமானது என்னவென்றால், காரணிகளின் வரிசைமாற்றத்திலிருந்து தயாரிப்பு மாறாது என்பது முதல் வகுப்பிலிருந்து அனைவருக்கும் தெரியும் :. நான் உங்களுக்கு எச்சரிக்க வேண்டும், இந்த அணுகுமுறையுடன் உயர் கணிதத்தில், விறகுகளை உடைப்பது எளிது. எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, இடப்பெயர்ச்சி சொத்து செல்லுபடியாகாது இயற்கணித மெட்ரிக்குகள்... இது தவறானது திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு... ஆகையால், குறைந்த கணிதத்தின் போது நீங்கள் காணக்கூடிய எந்தவொரு பண்புகளையும் ஆராய்வது நல்லது, என்ன செய்ய முடியும் மற்றும் செய்ய முடியாது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது நல்லது.

எடுத்துக்காட்டு 3

.

முடிவு:முதலில், திசையனுடன் நிலைமையை தெளிவுபடுத்துவோம். எப்படியும் இது என்ன? திசையன்களின் தொகை மற்றும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட திசையன் ஆகும், இது குறிக்கப்படுகிறது. திசையன்களுடன் செயல்களின் வடிவியல் விளக்கத்தை கட்டுரையில் காணலாம் டம்மிகளுக்கான திசையன்கள்... ஒரு திசையனுடன் அதே வோக்கோசு திசையன்களின் தொகை மற்றும்.

எனவே, நிபந்தனையின் படி புள்ளி தயாரிப்பைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். கோட்பாட்டில், நீங்கள் வேலை செய்யும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும் , ஆனால் சிக்கல் என்னவென்றால், திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் நமக்குத் தெரியாது. ஆனால் நிபந்தனை திசையன்களுக்கு ஒத்த அளவுருக்களைக் கொடுக்கிறது, எனவே வேறு வழியில் செல்வோம்:

(1) திசையன் வெளிப்பாடுகளை மாற்றவும்.

(2) பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்க விதிக்கு ஏற்ப நாம் அடைப்புக்குறிகளை விரிவுபடுத்துகிறோம், ஒரு மோசமான நாக்கு முறுக்கு கட்டுரையில் காணலாம் சிக்கலான எண்கள் அல்லது ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு... நான் என்னை மீண்டும் சொல்ல மாட்டேன் \u003d) மூலம், புள்ளி உற்பத்தியின் விநியோக சொத்து அடைப்புக்குறிகளை விரிவாக்க அனுமதிக்கிறது. எங்களுக்கு உரிமை உண்டு.

(3) முதல் மற்றும் கடைசி சொற்களில், திசையன்களின் அளவிடல் சதுரங்களை சுருக்கமாக எழுதுகிறோம்: ... இரண்டாவது காலப்பகுதியில், அளவிடுதல் தயாரிப்பின் வரிசைமாற்றத்தை நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம் :.

(4) இதே போன்ற சொற்களை நாங்கள் தருகிறோம் :.

(5) முதல் காலப்பகுதியில், அளவிடல் சதுர சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம், இது மிக நீண்ட காலத்திற்கு முன்பு குறிப்பிடப்படவில்லை. கடைசி வார்த்தையில், முறையே, அதே விஷயம் செயல்படுகிறது :. நிலையான சூத்திரத்தின் படி இரண்டாவது சொல்லை விரிவுபடுத்துகிறோம் .

(6) இந்த நிபந்தனைகளை நாங்கள் மாற்றுகிறோம் , மற்றும் கவனமாக இறுதி கணக்கீடுகளை செய்கின்றன.

பதில்:

புள்ளி உற்பத்தியின் எதிர்மறை மதிப்பு திசையன்களுக்கு இடையேயான கோணம் அபத்தமானது என்ற உண்மையை கூறுகிறது.

பணி பொதுவானது, இங்கே ஒரு சுயாதீன தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு:

எடுத்துக்காட்டு 4

திசையன்களின் அளவிடக்கூடிய உற்பத்தியைக் கண்டுபிடித்து, அது தெரிந்தால் .

இப்போது மற்றொரு பொதுவான பணி, ஒரு திசையனின் நீளத்திற்கான புதிய சூத்திரத்திற்காக. இங்குள்ள பெயர்கள் சற்று மேலெழும், எனவே தெளிவுக்காக, வேறு கடிதத்துடன் மீண்டும் எழுதுகிறேன்:

எடுத்துக்காட்டு 5

இருந்தால் திசையனின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் .

முடிவு பின்வருமாறு இருக்கும்:

(1) ஒரு திசையன் வெளிப்பாட்டை வழங்கவும்.

(2) நீளத்தின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் :, முழு வெளிப்பாடும் ஒரு திசையன் "ve" ஆக செயல்படுகிறது.

(3) தொகையின் சதுரத்திற்கு பள்ளி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். இது இங்கே ஆர்வமாக எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள்: - உண்மையில், இது வித்தியாசத்தின் சதுரம், உண்மையில், அது. ஆர்வமுள்ளவர்கள் இடங்களில் திசையன்களை மறுசீரமைக்க முடியும்: - இது விதிமுறைகளின் மறுசீரமைப்பு வரை மாறியது.

(4) மீதமுள்ளவை முந்தைய இரண்டு சிக்கல்களிலிருந்து ஏற்கனவே தெரிந்தவை.

பதில்:

நாம் நீளத்தைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்பதால், பரிமாணத்தைக் குறிக்க மறக்காதீர்கள் - "அலகுகள்".

எடுத்துக்காட்டு 6

இருந்தால் திசையனின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் .

செய்ய வேண்டிய தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு இது. டுடோரியலின் முடிவில் முழுமையான தீர்வு மற்றும் பதில்.

டாட் தயாரிப்பிலிருந்து பயனுள்ள விஷயங்களை நாங்கள் தொடர்ந்து கசக்கிவிடுகிறோம். எங்கள் சூத்திரத்தை மீண்டும் பார்ப்போம் ... விகிதத்தின் விதிப்படி, திசையன்களின் நீளத்தை இடது பக்கத்தின் வகுப்பிற்கு மீட்டமைப்போம்:

நாங்கள் பகுதிகளை மாற்றிக்கொள்வோம்:

இந்த சூத்திரத்தின் பொருள் என்ன? இரண்டு திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றின் அளவிடுதல் தயாரிப்பு உங்களுக்குத் தெரிந்தால், இந்த திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கொசைனை நீங்கள் கணக்கிடலாம், எனவே, கோணமே.

புள்ளி தயாரிப்பு ஒரு எண்ணா? எண். திசையன்கள் எண்களின் நீளம் உள்ளதா? எண்கள். எனவே, பின்னம் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையாகும். கோணத்தின் கொசைன் தெரிந்தால்: , பின்னர் தலைகீழ் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது: .

எடுத்துக்காட்டு 7

திசையன்களுக்கு இடையேயான கோணத்தைக் கண்டுபிடித்து, அது தெரிந்தால்.

முடிவு: நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

கணக்கீடுகளின் இறுதி கட்டத்தில், ஒரு நுட்பம் பயன்படுத்தப்பட்டது - வகுப்பிலுள்ள பகுத்தறிவின்மையை நீக்குதல். பகுத்தறிவின்மையை அகற்றுவதற்காக, நான் எண் மற்றும் வகுப்பினைப் பெருக்கினேன்.

அப்படியென்றால் , பிறகு:

தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளைக் காணலாம் முக்கோணவியல் அட்டவணை... இது மிகவும் அரிதாகவே நடந்தாலும். பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் சிக்கல்களில், ஒருவித விகாரமான கரடி பெரும்பாலும் தோன்றுகிறது, மேலும் கோணத்தின் மதிப்பு தோராயமாக ஒரு கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும். உண்மையில், அத்தகைய படத்தை ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முறை பார்ப்போம்.

பதில்:

மீண்டும், பரிமாணத்தைக் குறிக்க மறக்காதீர்கள் - ரேடியன்கள் மற்றும் டிகிரி. தனிப்பட்ட முறையில், தெரிந்தே “எல்லா கேள்விகளையும் அழிக்க”, அதையும் அதையும் குறிக்க விரும்புகிறேன் (நிச்சயமாக, நிபந்தனையின் படி, பதிலை ரேடியன்களில் அல்லது டிகிரிகளில் மட்டுமே முன்வைக்க வேண்டும்).

இப்போது நீங்கள் சொந்தமாக மிகவும் கடினமான பணியைச் சமாளிக்க முடியும்:

எடுத்துக்காட்டு 7 *

திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் ஆகியவை கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

பணி பல படி போன்ற கடினமானதல்ல.
தீர்வு வழிமுறையை பகுப்பாய்வு செய்வோம்:

1) நிபந்தனையின் படி, திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம், எனவே, நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும் .

2) புள்ளி தயாரிப்பைக் கண்டறியவும் (எடுத்துக்காட்டுகள் எண் 3, 4 ஐப் பார்க்கவும்).

3) திசையனின் நீளம் மற்றும் திசையனின் நீளம் ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும் (எடுத்துக்காட்டுகள் எண் 5, 6 ஐப் பார்க்கவும்).

4) தீர்வின் முடிவு எடுத்துக்காட்டு எண் 7 உடன் ஒத்துப்போகிறது - நமக்கு எண் தெரியும், அதாவது கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது:

டுடோரியலின் முடிவில் ஒரு குறுகிய தீர்வு மற்றும் பதில்.

பாடத்தின் இரண்டாவது பகுதி அதே புள்ளி தயாரிப்பில் கவனம் செலுத்துகிறது. ஒருங்கிணைப்புகள். இது முதல் பகுதியை விட எளிதாக இருக்கும்.

திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு,
ஒரு ஆர்த்தோனார்மல் அடிப்படையில் ஆயத்தினால் வழங்கப்படுகிறது

பதில்:

ஆயத்தொகைகளைக் கையாள்வது மிகவும் இனிமையானது என்று சொல்லத் தேவையில்லை.

எடுத்துக்காட்டு 14

திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பைக் கண்டுபிடித்து, இருந்தால்

செய்ய வேண்டிய தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு இது. இங்கே நீங்கள் செயல்பாட்டின் இணைத்தன்மையைப் பயன்படுத்தலாம், அதாவது, எண்ணாதீர்கள், ஆனால் உடனடியாக மூன்று அளவை அளவிடக்கூடிய தயாரிப்பிலிருந்து நகர்த்தி, அதன் மூலம் பெருக்கலாம். பாடத்தின் முடிவில் தீர்வு மற்றும் பதில்.

பத்தியின் முடிவில், ஒரு திசையனின் நீளத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான ஆத்திரமூட்டும் உதாரணம்:

எடுத்துக்காட்டு 15

திசையன்களின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் , என்றால் ஒரு

முடிவு:முந்தைய பிரிவின் வழி மீண்டும் தன்னைக் குறிக்கிறது :, ஆனால் வேறு வழி உள்ளது:

திசையன் கண்டுபிடிக்க:

மற்றும் சிறிய சூத்திரத்தின் படி அதன் நீளம் :

புள்ளி தயாரிப்பு இங்கே கேள்விக்கு இடமில்லை!

வணிகத்திற்கு வெளியே, ஒரு திசையனின் நீளத்தை கணக்கிடும்போது இது:
நிறுத்து. திசையன் நீளத்தின் வெளிப்படையான சொத்தை ஏன் பயன்படுத்தக்கூடாது? திசையனின் நீளம் பற்றி என்ன? இந்த திசையன் திசையனை விட 5 மடங்கு நீளமானது. திசை எதிர்மாறாக இருக்கிறது, ஆனால் அது ஒரு பொருட்டல்ல, ஏனென்றால் பேச்சு நீளம் பற்றியது. வெளிப்படையாக, திசையனின் நீளம் தயாரிப்புக்கு சமம் தொகுதி திசையன் நீளத்திற்கு எண்கள்:
- தொகுதியின் அடையாளம் எண்ணின் சாத்தியமான கழித்தல் "சாப்பிடுகிறது".

இதனால்:

பதில்:

திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கொசைனுக்கான சூத்திரம், அவை ஆயக்கட்டுகளால் வழங்கப்படுகின்றன

திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளின் அடிப்படையில் திசையன்களுக்கு இடையேயான கோணத்தின் கொசைனுக்கான முன்னர் பெறப்பட்ட சூத்திரத்தை வெளிப்படுத்த இப்போது எங்களிடம் முழுமையான தகவல்கள் உள்ளன:

விமானத்தின் திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கொசைன் மற்றும் ஒரு எலும்பியல் அடிப்படையில் வழங்கப்படுகிறது, சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:
.

விண்வெளி திசையன்களுக்கு இடையில் கோணத்தின் கொசைன் ஆர்த்தோனார்மல் அடிப்படையில் வழங்கப்படுகிறது, சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

எடுத்துக்காட்டு 16

முக்கோணத்தின் மூன்று புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. கண்டுபிடி (வெர்டெக்ஸ் கோணம்).

முடிவு:நிபந்தனையின் படி, வரைதல் செய்ய தேவையில்லை, ஆனால் இன்னும்:

தேவையான கோணம் பச்சை வளைவுடன் குறிக்கப்பட்டுள்ளது. கோணத்தின் பள்ளி பெயரை நாங்கள் உடனடியாக நினைவில் கொள்கிறோம்: - சிறப்பு கவனம் சராசரி கடிதம் - இது நமக்குத் தேவையான மூலையின் உச்சி. சுருக்கத்தைப் பொறுத்தவரை, இது வெறுமனே எழுதப்படலாம்.

வரைபடத்திலிருந்து முக்கோணத்தின் கோணம் திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்துடன் ஒத்துப்போகிறது என்பது தெளிவாகத் தெரிகிறது, வேறுவிதமாகக் கூறினால்: .

மனரீதியாக நிகழ்த்தப்பட்ட பகுப்பாய்வை எவ்வாறு மேற்கொள்வது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வது நல்லது.

திசையன்களைக் கண்டுபிடி:

புள்ளி தயாரிப்பைக் கணக்கிடுவோம்:

மற்றும் திசையன்களின் நீளம்:

ஒரு கோணத்தின் கொசைன்:

தேனீர்களுக்கு நான் பரிந்துரைக்கும் பணியை முடிக்கும் வரிசை இது. மேலும் மேம்பட்ட வாசகர்கள் "ஒரே வரியில்" கணக்கீடுகளை எழுதலாம்:

"மோசமான" கொசைன் மதிப்பின் எடுத்துக்காட்டு இங்கே. இதன் விளைவாக மதிப்பு இறுதியானது அல்ல, எனவே வகுப்பிலுள்ள பகுத்தறிவற்ற தன்மையிலிருந்து விடுபடுவது கொஞ்சம் அர்த்தமல்ல.

மூலையைத் தேடுங்கள்:

நீங்கள் வரைபடத்தைப் பார்த்தால், இதன் விளைவாக மிகவும் நம்பத்தகுந்ததாக இருக்கும். சரிபார்க்க, கோணத்தை ஒரு நீட்சி மூலம் அளவிட முடியும். மானிட்டரின் அட்டையை சேதப்படுத்த வேண்டாம் \u003d)

பதில்:

பதிலில், அதை மறந்துவிடாதீர்கள் முக்கோணத்தின் கோணம் பற்றி கேட்டார் (மற்றும் திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைப் பற்றி அல்ல), சரியான பதிலைக் குறிக்க மறக்காதீர்கள்: மற்றும் கோணத்தின் தோராயமான மதிப்பு: கால்குலேட்டருடன் காணப்படுகிறது.

செயல்முறையை அனுபவித்தவர்கள் கோணங்களைக் கணக்கிட்டு நியமன சமத்துவத்தின் செல்லுபடியை சரிபார்க்க முடியும்

எடுத்துக்காட்டு 17

ஒரு முக்கோணம் விண்வெளியில் அதன் செங்குத்துகளின் ஆயங்களால் வரையறுக்கப்படுகிறது. பக்கங்களுக்கு இடையில் கோணத்தைக் கண்டறியவும்

செய்ய வேண்டிய தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு இது. டுடோரியலின் முடிவில் முழுமையான தீர்வு மற்றும் பதில்

ஒரு குறுகிய இறுதிப் பிரிவு திட்டங்களுக்கு அர்ப்பணிக்கப்படும், இதில் அளவிடுதல் தயாரிப்பு "கலப்பு" ஆகும்:

திசையன் முதல் திசையன் திட்டம். ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுக்கு திசையனின் திட்டம்.
ஒரு திசையனின் திசை கொசைன்கள்

திசையன்கள் மற்றும்:

திசையன் திசையன் மீது திட்டமிடலாம், இதற்காக நாம் திசையனின் தொடக்கத்திலும் முடிவிலும் தவிர்க்கிறோம் செங்குத்தாக ஒரு திசையன் (பச்சை புள்ளியிடப்பட்ட கோடுகள்). ஒளியின் கதிர்கள் திசையனுக்கு செங்குத்தாக விழுகின்றன என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். பின்னர் பிரிவு (சிவப்பு கோடு) திசையனின் "நிழல்" ஆக இருக்கும். இந்த வழக்கில், திசையன் மீது திசையன் திட்டமிடப்படுவது பிரிவின் நீளம் ஆகும். அதாவது, திட்டம் ஒரு எண்.

இந்த NUMBER பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது :, "பெரிய திசையன்" என்பது ஒரு திசையன் என்று பொருள் எது திட்டம், "சிறிய சந்தா திசையன்" ஒரு திசையனைக் குறிக்கிறது அதன் மேல் இது திட்டமிடப்பட்டுள்ளது.

பதிவே இவ்வாறு கூறுகிறது: "திசையன்" a "திசையன்" bh "" மீது.

திசையன் "பிஎஸ்" "மிகக் குறுகியதாக" இருந்தால் என்ன ஆகும்? திசையன் "இரு" கொண்ட ஒரு நேர் கோட்டை வரைகிறோம். திசையன் "அ" ஏற்கனவே திட்டமிடப்படும் திசையன் "பிஎஸ்" திசையில், வெறுமனே - திசையன் "இரு" கொண்ட நேர் கோட்டில். முப்பதாம் இராச்சியத்தில் திசையன் "அ" ஒத்திவைக்கப்பட்டால் அதுவும் நடக்கும் - இது "பி" என்ற திசையன் கொண்ட நேர் கோட்டில் எளிதாக திட்டமிடப்படும்.

கோணம் என்றால் திசையன்களுக்கு இடையில் கடுமையானது (படத்தில் உள்ளதைப் போல), பின்னர்

திசையன்கள் என்றால் ஆர்த்தோகனல், பின்னர் (திட்டம் என்பது ஒரு பரிமாணமாகும், அதன் பரிமாணங்கள் பூஜ்ஜியமாக கருதப்படுகிறது).

கோணம் என்றால் திசையன்களுக்கு இடையில் முட்டாள்(படத்தில், திசையனின் அம்புக்குறியை மனரீதியாக மறுசீரமைக்கவும்), பின்னர் (அதே நீளம், ஆனால் கழித்தல் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்டது).

இந்த திசையன்களை ஒரு கட்டத்தில் இருந்து ஒத்திவைப்போம்:

வெளிப்படையாக, திசையன் நகரும் போது, \u200b\u200bஅதன் திட்டம் மாறாது

I. குறைந்தபட்சம் ஒரு திசையன்கள் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் அல்லது திசையன்கள் செங்குத்தாக இருந்தால் மட்டுமே அளவிடக்கூடிய தயாரிப்பு மறைந்துவிடும். உண்மையில், இருந்தால், அல்லது.

மாறாக, பெருக்கப்படும் திசையன்கள் பூஜ்ஜியமாக இல்லாவிட்டால், நிபந்தனையிலிருந்து

அது பின்வருமாறு:

பூஜ்ஜிய திசையனின் திசை நிச்சயமற்றது என்பதால், பூஜ்ஜிய திசையன் எந்த திசையனுக்கும் செங்குத்தாக கருதப்படுகிறது. ஆகையால், அளவிடுதல் உற்பத்தியின் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட சொத்து குறுகிய வடிவத்தில் வடிவமைக்கப்படலாம்: திசையன்கள் செங்குத்தாக இருந்தால் மட்டுமே அளவிடக்கூடிய தயாரிப்பு மறைந்துவிடும்.

II. புள்ளி தயாரிப்பு இடமாற்றத்தின் சொத்துக்களைக் கொண்டுள்ளது:

இந்த சொத்து வரையறையிலிருந்து நேரடியாக பின்வருமாறு:

ஏனெனில் ஒரே கோணத்திற்கு வெவ்வேறு பெயர்கள்.

III. விநியோக சட்டம் மிகவும் முக்கியமானது. அதன் பயன்பாடு சாதாரண எண்கணிதம் அல்லது இயற்கணிதத்தைப் போலவே சிறந்தது, இது பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது: தொகையை பெருக்க, நீங்கள் ஒவ்வொரு காலத்தையும் பெருக்கி, அதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்புகளைச் சேர்க்க வேண்டும், அதாவது.

வெளிப்படையாக, இயற்கணிதத்தில் எண்கணித அல்லது பல்லுறுப்புக்கோவைகளில் பல இலக்க எண்களின் பெருக்கல் இந்த பெருக்கத்தின் சொத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

இந்த சட்டம் திசையன் இயற்கணிதத்தில் அதே அடிப்படை பொருளைக் கொண்டுள்ளது, ஏனெனில் அதன் அடிப்படையில் நாம் வெக்டார்களுக்கு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கத்தின் வழக்கமான விதியைப் பயன்படுத்தலாம்.

ஏ, பி, சி ஆகிய மூன்று திசையன்களுக்கும் சமத்துவம் என்பதை நிரூபிப்போம்

சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்பட்ட புள்ளி தயாரிப்பின் இரண்டாவது வரையறையின்படி, நாம் பெறுகிறோம்:

§ 5 இலிருந்து கணிப்புகளின் சொத்து 2 ஐ இப்போது பயன்படுத்துகிறோம், நாங்கள் காண்கிறோம்:

கே.இ.டி.

IV. புள்ளி தயாரிப்பு ஒரு எண் காரணி தொடர்பாக இணைக்கும் சொத்து உள்ளது; இந்த சொத்து பின்வரும் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

அதாவது, திசையன்களின் புள்ளி உற்பத்தியை ஒரு எண்ணால் பெருக்க, இந்த எண்ணால் காரணிகளில் ஒன்றை பெருக்க போதுமானது.

ஒரு சுயாதீன தீர்வுக்கான பணிகளும் இருக்கும், அதற்கான பதில்களை நீங்கள் காணலாம்.

சிக்கலில் திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கு இடையேயான கோணம் இரண்டும் "ஒரு வெள்ளி தட்டில்" வழங்கப்பட்டால், சிக்கலின் நிலை மற்றும் அதன் தீர்வு இப்படி இருக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 1.திசையன்கள் வழங்கப்படுகின்றன. திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு அவற்றின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் பின்வரும் மதிப்புகளால் குறிப்பிடப்பட்டால் கண்டுபிடிக்கவும்:

மற்றொரு வரையறையும் செல்லுபடியாகும், இது வரையறை 1 க்கு முற்றிலும் சமம்.

வரையறை 2... திசையன்களின் அளவிடுதல் தயாரிப்பு என்பது இந்த திசையன்களில் ஒன்றின் நீளத்தின் தயாரிப்புக்கு சமமான ஒரு எண் (அளவிடுதல்) ஆகும், இந்த திசையன்களில் முதலாவது தீர்மானிக்கப்பட்ட அச்சில் மற்ற திசையன் மூலம் திட்டமிடப்படுகிறது. வரையறை 2 இன் படி சூத்திரம்:

அடுத்த முக்கியமான தத்துவார்த்த புள்ளிக்குப் பிறகு இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சிக்கலைத் தீர்ப்போம்.

ஆயங்களின் அடிப்படையில் திசையன்களின் புள்ளி உற்பத்தியை தீர்மானித்தல்

பெருக்கப்படும் திசையன்கள் அவற்றின் ஆயத்தொலைவுகளால் வழங்கப்பட்டால் அதே எண்ணைப் பெறலாம்.

வரையறை 3. திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு என்பது அந்தந்த ஆயங்களின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமான எண்.

மேற்பரப்பில்

இரண்டு திசையன்கள் மற்றும் விமானத்தில் அவற்றின் இரண்டால் வரையறுக்கப்பட்டால் கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஆய அச்சுகள்

இந்த திசையன்களின் அளவிடுதல் தயாரிப்பு அந்தந்த ஆயங்களின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

.

எடுத்துக்காட்டு 2.திசையனுக்கு இணையான ஒரு அச்சில் திசையன் திட்டத்தின் எண்ணியல் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

முடிவு. அவற்றின் ஆயங்களின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் திசையன்களின் புள்ளி உற்பத்தியைக் காண்கிறோம்:

இப்போது நாம் விளைவிக்கும் அளவிடுதல் உற்பத்தியை திசையனின் நீளத்தின் தயாரிப்பு மற்றும் திசையனுடன் இணையான அச்சில் திசையன் திட்டத்தை (சூத்திரத்திற்கு இணங்க) ஒப்பிட வேண்டும்.

திசையனின் நீளத்தை அதன் ஆயங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையின் சதுர மூலமாகக் காண்கிறோம்:

.

நாங்கள் ஒரு சமன்பாட்டை வரைந்து அதை தீர்க்கிறோம்:

பதில். விரும்பிய எண் மதிப்பு கழித்தல் 8 ஆகும்.

விண்வெளியில்

இரண்டு திசையன்கள் மற்றும் விண்வெளியில் அவற்றின் மூன்று கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஆயத்தினால் வரையறுக்கப்பட்டால்

,

இந்த திசையன்களின் அளவிடுதல் தயாரிப்பு அந்தந்த ஆயங்களின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், ஏற்கனவே மூன்று ஆயத்தொகுப்புகள் மட்டுமே உள்ளன:

.

புள்ளி உற்பத்தியின் பண்புகளை பாகுபடுத்திய பின் கருதப்பட்ட முறையால் புள்ளி தயாரிப்பைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் உள்ளது. ஏனெனில் பணியில் பெருக்கப்பட்ட திசையன்கள் எந்த கோணத்தில் உருவாகின்றன என்பதை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்.

திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு பண்புகள்

இயற்கணித பண்புகள்

1. (இடப்பெயர்ச்சி சொத்து: அவற்றின் புள்ளி உற்பத்தியின் அளவு பெருக்கப்படும் திசையன்களின் இடங்களின் மாற்றத்திலிருந்து மாறாது).

2. (எண் காரணி தொடர்பாக சேர்க்கை சொத்து: ஒரு திசையனின் புள்ளி தயாரிப்பு சில காரணிகளால் பெருக்கப்படுகிறது மற்றும் மற்றொரு திசையன் இந்த திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்புக்கு சமமானதாகும்).

3. (திசையன்களின் தொகை தொடர்பாக விநியோக சொத்து: மூன்றாவது திசையன் மூலம் இரண்டு திசையன்களின் தொகையின் புள்ளி தயாரிப்பு முதல் திசையனின் புள்ளி தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையை மூன்றாவது திசையன் மற்றும் இரண்டாவது திசையன் மூன்றாவது திசையன் மூலம் சமம்).

4. (திசையனின் அளவிடல் சதுரம் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக உள்ளது), ஒரு nonzero திசையன் என்றால், மற்றும் பூஜ்ஜிய திசையன் என்றால்.

வடிவியல் பண்புகள்

ஆய்வின் கீழ் செயல்பாட்டின் வரையறைகளில், இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கருத்தை நாங்கள் ஏற்கனவே தொட்டுள்ளோம். இந்த கருத்தை தெளிவுபடுத்த வேண்டிய நேரம் இது.

மேலே உள்ள படத்தில், இரண்டு திசையன்கள் தெரியும், அவை பொதுவான தோற்றத்திற்கு கொண்டு வரப்படுகின்றன. முதலில் கவனம் செலுத்த வேண்டியது: இந்த திசையன்களுக்கு இடையில் இரண்டு கோணங்கள் உள்ளன - φ 1 மற்றும் φ 2 ... திசையன்களின் புள்ளி உற்பத்தியின் வரையறைகள் மற்றும் பண்புகளில் இந்த கோணங்களில் எது தோன்றும்? கருதப்படும் கோணங்களின் தொகை 2 ஆகும் π எனவே இந்த கோணங்களின் கொசைன்கள் சமம். புள்ளி தயாரிப்பின் வரையறை ஒரு கோணத்தின் கொசைனை மட்டுமே உள்ளடக்கியது, அதன் வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு அல்ல. ஆனால் பண்புகளில் ஒரு மூலையில் மட்டுமே கருதப்படுகிறது. இது இரண்டு கோணங்களில் ஒன்றாகும் π , அதாவது 180 டிகிரி. படத்தில், இந்த கோணம் என குறிப்பிடப்படுகிறது φ 1 .

1. இரண்டு திசையன்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன ஆர்த்தோகனல் மற்றும் இந்த திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் ஒரு நேர் கோடு (90 டிகிரி அல்லது π / 2) என்றால் இந்த திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாகும் :

.

திசையன் இயற்கணிதத்தில் உள்ள ஆர்த்தோகனாலிட்டி என்பது இரண்டு திசையன்களின் செங்குத்தாக உள்ளது.

2. இரண்டு nonzero திசையன்கள் உருவாக்குகின்றன கூர்மையான மூலையில் (0 முதல் 90 டிகிரி வரை, அல்லது, இது ஒன்றே - குறைவு π புள்ளி தயாரிப்பு நேர்மறையானது .

3. இரண்டு nonzero திசையன்கள் உருவாக்குகின்றன obtuse கோணம் (90 முதல் 180 டிகிரி வரை, அல்லது, இது ஒன்றே - மேலும் π / 2) இருந்தால் மட்டுமே புள்ளி தயாரிப்பு எதிர்மறையானது .

எடுத்துக்காட்டு 3. திசையன்கள் ஆயக்கட்டுகளில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:

.

கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களின் அனைத்து ஜோடி புள்ளி தயாரிப்புகளையும் கணக்கிடுங்கள். இந்த ஜோடி திசையன்கள் எந்த கோணத்தில் (கடுமையான, நேராக, சதுர) உருவாகின்றன?

முடிவு. தொடர்புடைய ஆயங்களின் தயாரிப்புகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் கணக்கிடுவோம்.

எங்களுக்கு எதிர்மறை எண் கிடைத்தது, எனவே திசையன்கள் ஒரு முழுமையான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

எங்களுக்கு நேர்மறை எண் கிடைத்தது, எனவே திசையன்கள் கடுமையான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

எங்களுக்கு பூஜ்ஜியம் கிடைத்தது, எனவே திசையன்கள் சரியான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

எங்களுக்கு நேர்மறை எண் கிடைத்தது, எனவே திசையன்கள் கடுமையான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

.

எங்களுக்கு நேர்மறை எண் கிடைத்தது, எனவே திசையன்கள் கடுமையான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

சுய சோதனைக்கு, நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கொசைன்.

எடுத்துக்காட்டு 4. இரண்டு திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:

.

திசையன்கள் மற்றும் ஆர்த்தோகனல் (செங்குத்தாக) எண்ணின் எந்த மதிப்பில் தீர்மானிக்கவும்.

முடிவு. பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பெருக்கும் விதிக்கு ஏற்ப திசையன்களைப் பெருக்குகிறோம்:

இப்போது ஒவ்வொரு காலத்தையும் கணக்கிடுவோம்:

.

ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம் (உற்பத்தியின் சமத்துவம் பூஜ்ஜியத்திற்கு), ஒத்த சொற்களைக் கொடுத்து சமன்பாட்டை தீர்க்கலாம்:

பதில்: எங்களுக்கு மதிப்பு கிடைத்தது λ \u003d 1.8 இதற்காக திசையன்கள் ஆர்த்தோகனல் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 5.திசையன் என்பதை நிரூபிக்கவும் திசையனுக்கு ஆர்த்தோகனல் (செங்குத்தாக)

முடிவு. ஆர்த்தோகோனலிட்டியை சரிபார்க்க, நாம் திசையன்களையும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகவும் பெருக்கி, அதற்குப் பதிலாக சிக்கல் அறிக்கையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள வெளிப்பாட்டை மாற்றுகிறோம்:

.

இதைச் செய்ய, முதல் பல்லுறுப்புறுப்பின் ஒவ்வொரு காலத்தையும் (காலத்தை) இரண்டாவது ஒவ்வொரு காலத்திலும் பெருக்கி, அதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்புகளைச் சேர்க்க வேண்டும்:

.

இதன் விளைவாக, பின்னம் செலவில் குறைக்கப்படுகிறது. இதன் விளைவாக பின்வருமாறு:

முடிவு: பெருக்கத்தின் விளைவாக, எங்களுக்கு பூஜ்ஜியம் கிடைத்தது, எனவே, திசையன்களின் ஆர்த்தோகனாலிட்டி (செங்குத்தாக) நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

சிக்கலை நீங்களே தீர்த்துக் கொள்ளுங்கள், பின்னர் தீர்வைக் காண்க

எடுத்துக்காட்டு 6. திசையன்களின் நீளம் மற்றும், மற்றும் இந்த திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் π / 4. எந்த மதிப்பில் தீர்மானிக்கவும் μ திசையன்கள் மற்றும் பரஸ்பரம் செங்குத்தாக இருக்கும்.

சுய சோதனைக்கு, நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கொசைன்.

திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் n- பரிமாண திசையன்களின் தயாரிப்பு ஆகியவற்றின் மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவம்

சில நேரங்களில் இரண்டு திசையன்களை மெட்ரிக்குகளாகப் பெருக்கிக் கொள்வது தெளிவுக்கு சாதகமானது. முதல் திசையன் ஒரு வரிசை மேட்ரிக்ஸாகவும், இரண்டாவது - நெடுவரிசை மேட்ரிக்ஸாகவும் குறிப்பிடப்படுகிறது:

பின்னர் திசையன்களின் அளவிடுதல் தயாரிப்பு இருக்கும் இந்த மெட்ரிக்ஸின் தயாரிப்பு :

இதன் விளைவாக நாம் ஏற்கனவே கருத்தில் கொண்ட முறையால் பெறப்பட்டதைப் போன்றது. ஒரு ஒற்றை எண் பெறப்படுகிறது, மற்றும் நெடுவரிசை மேட்ரிக்ஸின் வரிசை மேட்ரிக்ஸின் தயாரிப்பு ஒரு ஒற்றை எண்ணாகும்.

மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் சுருக்க n- பரிமாண திசையன்களின் உற்பத்தியைக் குறிப்பது வசதியானது. எனவே, இரண்டு நான்கு பரிமாண திசையன்களின் தயாரிப்பு நான்கு உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு வரிசை மேட்ரிக்ஸின் தயாரிப்பாகவும், நான்கு உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு நெடுவரிசை மேட்ரிக்ஸின் தயாரிப்பாகவும் இருக்கும், இரண்டு ஐந்து பரிமாண திசையன்களின் தயாரிப்பு ஐந்து உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு வரிசை மேட்ரிக்ஸின் தயாரிப்பாகவும், ஐந்து உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு நெடுவரிசை மேட்ரிக்ஸின் தயாரிப்பாகவும் இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 7. ஜோடி திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்புகளைக் கண்டறியவும்

,

மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவத்தைப் பயன்படுத்துகிறது.

முடிவு. முதல் ஜோடி திசையன்கள். முதல் திசையனை வரிசை மேட்ரிக்ஸாகவும், இரண்டாவது நெடுவரிசை மேட்ரிக்ஸாகவும் குறிக்கிறோம். நெடுவரிசை மேட்ரிக்ஸால் வரிசை மேட்ரிக்ஸின் தயாரிப்பாக இந்த திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பைக் காண்கிறோம்:

இதேபோல், நாங்கள் இரண்டாவது ஜோடியை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறோம்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, முடிவுகள் எடுத்துக்காட்டு 2 இலிருந்து ஒரே ஜோடிகளின் முடிவுகளைப் போலவே இருக்கும்.

இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையில் கோணம்

இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கொசைனுக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல் மிகவும் அழகாகவும் குறுகியதாகவும் உள்ளது.

திசையன்களின் புள்ளி உற்பத்தியை வெளிப்படுத்த

(1)

ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில், அலகு திசையன்களின் அளவிடக்கூடிய உற்பத்தியை முதலில் காணலாம். ஒரு திசையனின் புள்ளி தயாரிப்பு வரையறையால் தானே:

மேலே உள்ள சூத்திரத்தில் எழுதப்பட்டவை இதன் பொருள்: ஒரு திசையனின் புள்ளி தயாரிப்பு அதன் நீளத்தின் சதுரத்திற்கு சமம்... பூஜ்ஜியத்தின் கொசைன் ஒன்றுக்கு சமம், எனவே ஒவ்வொரு சுற்றுப்பாதையின் சதுரமும் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும்:

திசையன்கள் என்பதால்

ஜோடிவரிசை செங்குத்தாக இருக்கும், பின்னர் அலகு திசையன்களின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்:

இப்போது திசையன் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கத்தை செய்வோம்:

அலகு திசையன்களின் தொடர்புடைய அளவிடல் தயாரிப்புகளின் மதிப்புகளை சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தில் மாற்றுகிறோம்:

இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கொசைனுக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 8.மூன்று புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது அ(1;1;1), பி(2;2;1), சி(2;1;2).

மூலையைக் கண்டுபிடி.

முடிவு. திசையன்களின் ஆயங்களை கண்டுபிடிக்கவும்:

,

.

ஒரு கோணத்தின் கொசைனுக்கான சூத்திரத்தின் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்:

எனவே,.

சுய சோதனைக்கு, நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கொசைன்.

எடுத்துக்காட்டு 9.இரண்டு திசையன்கள் வழங்கப்படுகின்றன

அவற்றுக்கிடையேயான தொகை, வேறுபாடு, நீளம், புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

2. வேறுபாடு