கோபியேவ்ஸ்கயா கிராமப்புற மேல்நிலைப் பள்ளி

இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்க 10 வழிகள்

தலை: கலினா அனடோலியேவ்னா பட்ரிகீவா,

கணித ஆசிரியர்

கிராமம் கோபியேவோ, 2007

1. இருபடி சமன்பாடுகளின் வளர்ச்சியின் வரலாறு

1.1 பண்டைய பாபிலோனில் இருபடி சமன்பாடுகள்

1.2 டையோபாண்டஸ் இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தொகுத்து தீர்த்தார்

1.3 இந்தியாவில் இருபடி சமன்பாடுகள்

1.4 அல்-கோரேஸ்மியிடமிருந்து இருபடி சமன்பாடுகள்

1.5 ஐரோப்பாவில் இருபடி சமன்பாடுகள் XIII - XVII நூற்றாண்டுகள்

1.6 வியட்டாவின் தேற்றம் பற்றி

2. இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் முறைகள்

முடிவுரை

இலக்கியம்

1. இருபடி சமன்பாடுகளின் வளர்ச்சியின் வரலாறு

1.1 பண்டைய பாபிலோனில் இருபடி சமன்பாடுகள்

முதன்மையானது மட்டுமல்லாமல், பண்டைய காலங்களில் கூட இரண்டாம் பட்டம் சமன்பாடுகளை தீர்க்க வேண்டிய அவசியம் ஏற்பட்டது, ஒரு இராணுவ இயல்புடைய நிலம் மற்றும் பூமியின் பகுதிகள் ஆகியவற்றைக் கண்டுபிடிப்பது, அத்துடன் வானியல் மற்றும் கணிதத்தின் வளர்ச்சியுடன் தொடர்புடைய சிக்கல்களைத் தீர்க்க வேண்டியதன் காரணமாக ஏற்பட்டது. கி.மு 2000 இல் இருபடி சமன்பாடுகள் தீர்க்க முடிந்தது. e. பாபிலோனியர்கள்.

நவீன இயற்கணிதக் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, அவற்றின் கியூனிஃபார்ம் நூல்களில், முழுமையற்றவற்றுடன் கூடுதலாக, எடுத்துக்காட்டாக, முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகள் உள்ளன என்று நாம் கூறலாம்:

எக்ஸ் 2 + எக்ஸ் = ¾; எக்ஸ் 2 - எக்ஸ் = 14,5

இந்த சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான விதி, பாபிலோனிய நூல்களில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது, நவீனத்துடன் சாராம்சத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, ஆனால் பாபிலோனியர்கள் இந்த விதிக்கு எவ்வாறு வந்தார்கள் என்பது தெரியவில்லை. இதுவரை கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஏறக்குறைய அனைத்து கியூனிஃபார்ம் நூல்களும் அவை எவ்வாறு கண்டுபிடிக்கப்பட்டன என்பதற்கான வழிமுறைகள் இல்லாமல், சமையல் வடிவில் அமைக்கப்பட்ட தீர்வுகளின் சிக்கல்களை மட்டுமே தருகின்றன.

பாபிலோனில் இயற்கணிதத்தின் உயர் மட்ட வளர்ச்சி இருந்தபோதிலும், கியூனிஃபார்ம் நூல்களில் எதிர்மறை எண் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான முறைகள் இல்லை.

1.2 டையோபாண்டஸ் இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தொகுத்து தீர்த்தார்.

டையோபாண்டஸின் "எண்கணிதத்தில்" இயற்கணிதத்தின் முறையான விளக்கக்காட்சி இல்லை, ஆனால் இது ஒரு முறையான தொடர் சிக்கல்களைக் கொண்டுள்ளது, விளக்கங்களுடன் மற்றும் வெவ்வேறு டிகிரிகளின் சமன்பாடுகளை வரைவதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது.

சமன்பாடுகளை வரையும்போது, \u200b\u200bதீர்வை எளிமையாக்க டயோபாண்டஸ் திறமையாக தெரியாதவர்களைத் தேர்வுசெய்கிறார்.

இங்கே, எடுத்துக்காட்டாக, அவரது பணிகளில் ஒன்றாகும்.

சிக்கல் 11. இரண்டு எண்களைக் கண்டுபிடி, அவற்றின் தொகை 20 என்றும் தயாரிப்பு 96 என்றும் தெரிந்தும்

டையோபாண்டஸ் பின்வருமாறு வாதிடுகிறார்: இது தேடப்பட்ட எண்கள் சமமாக இல்லை என்பது பிரச்சினையின் நிலையிலிருந்து பின்வருமாறு, ஏனெனில் அவை சமமாக இருந்தால், அவற்றின் தயாரிப்பு 96 அல்ல, 100 ஆக சமமாக இருக்கும். ஆகவே, அவற்றில் ஒன்று அவற்றின் தொகையில் பாதிக்கும் அதிகமாக இருக்கும், அதாவது. ... 10 + x , மற்றது குறைவாக உள்ளது, அதாவது. 10 - எக்ஸ் ... அவர்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு 2x .

எனவே சமன்பாடு:

(10 + x) (10 - x) \u003d 96

100 - x 2 \u003d 96

x 2 - 4 \u003d 0 (1)

இங்கிருந்து x \u003d 2 ... தேவையான எண்களில் ஒன்று 12 , மற்றவை 8 ... முடிவு x \u003d -2 கிரேக்க கணிதம் நேர்மறை எண்களை மட்டுமே அறிந்திருப்பதால், டயோபாண்டஸ் இல்லை.

இந்த சிக்கலை நாங்கள் தீர்த்துக் கொண்டால், தேவையான எண்களில் ஒன்றை தெரியாதவை எனத் தேர்ந்தெடுத்தால், சமன்பாட்டின் தீர்வுக்கு வருவோம்

y (20 - y) \u003d 96,

y 2 - 20y + 96 \u003d 0. (2)

தேடப்பட்ட எண்களின் அரை வேறுபாட்டை அறியப்படாதவை எனத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், டையோபாண்டஸ் தீர்வை எளிதாக்குகிறது; முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான சிக்கலைக் குறைக்க அவர் நிர்வகிக்கிறார் (1).

1.3 இந்தியாவில் இருபடி சமன்பாடுகள்

499 ஆம் ஆண்டில் இந்திய கணிதவியலாளரும் வானியலாளருமான ஆர்யபட்டாவால் தொகுக்கப்பட்ட "ஆர்யபட்டியம்" என்ற வானியல் பாதையில் இருபடி சமன்பாடுகளுக்கான சிக்கல்கள் ஏற்கனவே ஏற்பட்டுள்ளன. மற்றொரு இந்திய அறிஞர், பிரம்மகுப்தா (VII நூற்றாண்டு), இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான விதியைக் கோடிட்டுக் காட்டினார், இது ஒரு நியமன வடிவமாகக் குறைக்கப்பட்டது:

ah 2 + b x \u003d c, a\u003e 0. (1)

சமன்பாட்டில் (1), தவிர, குணகங்கள் மற்றும் , எதிர்மறையாக இருக்கலாம். பிரம்மகுப்த விதி அடிப்படையில் நம்முடையது போலவே இருக்கிறது.

பண்டைய இந்தியாவில், கடினமான பிரச்சினைகளுக்கான பொதுப் போட்டி பொதுவானது. பண்டைய இந்திய புத்தகங்களில் ஒன்று இதுபோன்ற போட்டிகளைப் பற்றி பின்வருமாறு கூறுகிறது: "சூரியன் அதன் புத்திசாலித்தனத்துடன் நட்சத்திரங்களை கிரகணம் செய்வதால், ஒரு கற்றறிந்த மனிதன் பிரபலமான கூட்டங்களில் இன்னொருவரின் மகிமையைக் கிரகிப்பான், இயற்கணித சிக்கல்களை முன்மொழிகிறான் மற்றும் தீர்க்கிறான்." சிக்கல்கள் பெரும்பாலும் கவிதை வடிவத்தில் அணிந்திருந்தன.

பன்னிரெண்டாம் நூற்றாண்டின் பிரபல இந்திய கணிதவியலாளரின் பணிகளில் ஒன்று இங்கே. பாஸ்கரஸ்.

சிக்கல் 13.

“குரங்குகளின் மந்தமான மந்தையும், கொடிகள் சேர்ந்து பன்னிரண்டு ...

சக்தியைச் சாப்பிட்ட பிறகு, வேடிக்கையாக இருங்கள். அவர்கள் குதிக்க ஆரம்பித்தார்கள், தொங்கினார்கள் ...

சதுரத்தில் அவற்றில் எட்டாவது பகுதி உள்ளன எத்தனை குரங்குகள் இருந்தன,

நான் துப்புரவு செய்வதில் வேடிக்கையாக இருந்தேன். இந்த பேக்கில் நீங்கள் சொல்லுங்கள்? "

இருபடி சமன்பாடுகளின் இரண்டு மதிப்புள்ள வேர்களைப் பற்றி அவர் அறிந்திருந்தார் என்பதை பாஸ்கராவின் தீர்வு குறிக்கிறது (படம் 3).

சிக்கல் 13 உடன் தொடர்புடைய சமன்பாடு:

( எக்ஸ் /8) 2 + 12 = எக்ஸ்

பாஸ்கரா என்ற போர்வையில் எழுதுகிறார்:

x 2 - 64x \u003d -768

இந்த சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை ஒரு சதுரத்திற்கு முடிக்க, இருபுறமும் சேர்க்கிறது 32 2 , பின்னர் பெறுதல்:

x 2 - 64x + 32 2 \u003d -768 + 1024,

(x - 32) 2 \u003d 256,

x - 32 \u003d ± 16,

x 1 \u003d 16, x 2 \u003d 48.

1.4 அல்-கோரேஸ்மிக்கான இருபடி சமன்பாடுகள்

அல்ஜீப்ராயிக் கட்டுரையில் அல்-கோரேஸ்மி நேரியல் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளின் வகைப்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஆசிரியர் 6 வகையான சமன்பாடுகளை கணக்கிட்டு அவற்றை பின்வருமாறு வெளிப்படுத்துகிறார்:

1) "சதுரங்கள் வேர்களுக்கு சமம்", அதாவது. கோடாரி 2 + சி \u003d b எக்ஸ்.

2) "சதுரங்கள் ஒரு எண்ணுக்கு சமம்", அதாவது. கோடாரி 2 \u003d சி.

3) "வேர்கள் எண்ணுக்கு சமம்", அதாவது. ah \u003d c.

4) "சதுரங்கள் மற்றும் எண்கள் வேர்களுக்கு சமம்", அதாவது கோடாரி 2 + சி \u003d b எக்ஸ்.

5) "சதுரங்களும் வேர்களும் ஒரு எண்ணுக்கு சமம்", அதாவது. ah 2 + bx \u003d கள்.

6) "வேர்களும் எண்களும் சதுரங்களுக்கு சமம்", அதாவது. bx + c \u003d கோடாரி 2.

எதிர்மறை எண்களைப் பயன்படுத்துவதைத் தவிர்த்த அல்-கோரேஸ்மியைப் பொறுத்தவரை, இந்த சமன்பாடுகளின் ஒவ்வொன்றின் சொற்களும் சேர்க்கப்படாதவை, கழிக்கப்படுவதில்லை. இந்த வழக்கில், நேர்மறையான தீர்வுகள் இல்லாத சமன்பாடுகள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுவதில்லை. அல்-ஜப்ர் மற்றும் அல்-முகாபலின் நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி, இந்த சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிகளை ஆசிரியர் கோடிட்டுக் காட்டுகிறார். அவருடைய முடிவு, நிச்சயமாக, நம்முடையதுடன் முற்றிலும் ஒத்துப்போவதில்லை. இது முற்றிலும் சொல்லாட்சிக் கலை என்ற உண்மையைத் தவிர, எடுத்துக்காட்டாக, முதல் வகையின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்போது அதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

அல்-கோரேஸ்மி, 17 ஆம் நூற்றாண்டு வரையிலான அனைத்து கணிதவியலாளர்களையும் போலவே, பூஜ்ஜிய தீர்வையும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதில்லை, ஏனெனில் இது குறிப்பிட்ட நடைமுறை சிக்கல்களில் ஒரு பொருட்டல்ல. முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்கும்போது, \u200b\u200bஅல்-கோரேஸ்மி, குறிப்பிட்ட எண் எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி, தீர்ப்பதற்கான விதிகளை வகுக்கிறார், பின்னர் வடிவியல் சான்றுகள்.

சிக்கல் 14. “சதுரமும் 21 எண்ணும் 10 வேர்களுக்கு சமம். மூலத்தைக் கண்டுபிடி " (x 2 + 21 \u003d 10x என்ற சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் குறிக்கிறது).

ஆசிரியரின் தீர்வு இதுபோன்றது: வேர்களின் எண்ணிக்கையை பாதியாகப் பிரிக்கவும், 5 ஐப் பெறவும், 5 ஐ தானாகவே பெருக்கவும், உற்பத்தியில் இருந்து 21 ஐக் கழிக்கவும், 4 இருக்கும். அல்லது 2 முதல் 5 ஐச் சேர்க்கவும், இது 7 ஐக் கொடுக்கும், இதுவும் ஒரு வேர்.

அல்-கோரெஸ்மி என்ற கட்டுரை நமக்கு வந்த முதல் புத்தகம், இதில் இருபடி சமன்பாடுகளின் வகைப்பாடு முறையாக முன்வைக்கப்பட்டு அவற்றின் தீர்வுக்கான சூத்திரங்கள் வழங்கப்படுகின்றன.

1.5 ஐரோப்பாவில் இருபடி சமன்பாடுகள் XIII - XVII சி.சி.

ஐரோப்பாவில் அல்-கொரேஸ்மியின் மாதிரியில் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரங்கள் முதன்முதலில் 1202 இல் இத்தாலிய கணிதவியலாளர் லியோனார்டோ ஃபைபோனச்சி எழுதிய "அபாகஸ் புத்தகம்" இல் முன்வைக்கப்பட்டன. இஸ்லாமிய நாடுகளிலும் பண்டைய கிரேக்கத்திலும் கணிதத்தின் செல்வாக்கை பிரதிபலிக்கும் இந்த மிகப்பெரிய படைப்பு, விளக்கக்காட்சியின் முழுமை மற்றும் தெளிவு ஆகியவற்றால் வேறுபடுகிறது. சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான சில புதிய இயற்கணித உதாரணங்களை ஆசிரியர் சுயாதீனமாக உருவாக்கினார் மற்றும் எதிர்மறை எண்களின் அறிமுகத்தை அணுகிய ஐரோப்பாவில் முதன்மையானவர் ஆவார். இத்தாலி மட்டுமல்ல, ஜெர்மனி, பிரான்ஸ் மற்றும் பிற ஐரோப்பிய நாடுகளிலும் இயற்கணித அறிவு பரவுவதற்கு அவரது புத்தகம் பங்களித்தது. "அபாக்கஸின் புத்தகம்" இலிருந்து பல சிக்கல்கள் 16 - 17 ஆம் நூற்றாண்டுகளின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து ஐரோப்பிய பாடப்புத்தகங்களுக்கும் மாற்றப்பட்டன. மற்றும் ஓரளவு XVIII.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான விதி ஒற்றை நியமன வடிவமாகக் குறைக்கப்பட்டது:

x 2 + bx \u003d கள்,

குணக அறிகுறிகளின் சாத்தியமான அனைத்து சேர்க்கைகளுடன் b , இருந்து ஐரோப்பாவில் 1544 இல் எம். ஸ்டீஃபெல் மட்டுமே வடிவமைத்தார்.

வியட்நா ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரத்தின் பொதுவான வழித்தோன்றலைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் வியட்டா நேர்மறையான வேர்களை மட்டுமே அங்கீகரித்தது. இத்தாலிய கணிதவியலாளர்களான டார்டாக்லியா, கார்டானோ, பாம்பெல்லி ஆகியோர் 16 ஆம் நூற்றாண்டில் முதன்மையானவர்கள். நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை வேர்களுக்கு கூடுதலாக கருதுங்கள். 17 ஆம் நூற்றாண்டில் மட்டுமே. ஜிரார்ட், டெஸ்கார்ட்ஸ், நியூட்டன் மற்றும் பிற விஞ்ஞானிகளின் பணிக்கு நன்றி, இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் முறை நவீன வடிவத்தை பெறுகிறது.

1.6 வியட்டாவின் தேற்றம் பற்றி

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் குணகங்களுக்கும் அதன் வேர்களுக்கும் இடையிலான உறவை வெளிப்படுத்தும் ஒரு தேற்றம், வியட்டா என பெயரிடப்பட்டது, முதலில் 1591 இல் அவர் பின்வருமாறு வடிவமைத்தார்: “என்றால் பி + டி ஆல் பெருக்கப்படுகிறது அ - அ 2 , சமம் பி.டி. பிறகு அ சமமாக IN மற்றும் சமம் டி ».

வியட்டாவைப் புரிந்து கொள்ள, அதை ஒருவர் நினைவில் கொள்ள வேண்டும் மற்றும் , எந்த உயிரெழுத்தையும் போல, அவருக்கு தெரியாத (எங்கள் எக்ஸ்), உயிரெழுத்துகள் IN, டி - அறியப்படாதவற்றுக்கான குணகங்கள். நவீன இயற்கணிதத்தின் மொழியில், வியட்டாவின் மேலே சூத்திரம் பொருள்: என்றால்

(a + b ) x - x 2 \u003d ab ,

x 2 - (a + b ) x + அ b = 0,

x 1 \u003d a, x 2 \u003d b .

சின்னங்களைப் பயன்படுத்தி எழுதப்பட்ட பொது சூத்திரங்களால் வேர்கள் மற்றும் சமன்பாடுகளின் குணகங்களுக்கிடையிலான உறவை வெளிப்படுத்திய வியட், சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் முறைகளில் ஒற்றுமையை ஏற்படுத்தியது. இருப்பினும், வியட்டாவின் குறியீட்டுவாதம் அதன் நவீன வடிவத்திலிருந்து இன்னும் வெகு தொலைவில் உள்ளது. அவர் எதிர்மறை எண்களை அடையாளம் காணவில்லை, எனவே, சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது, \u200b\u200bஎல்லா வேர்களும் நேர்மறையாக இருக்கும்போது மட்டுமே நிகழ்வுகளை அவர் கருதினார்.

2. இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் முறைகள்

இயற்கணிதத்தின் அற்புதமான மாளிகை அமைந்திருக்கும் அடித்தளமாக இருபடி சமன்பாடுகள் உள்ளன. முக்கோணவியல், அதிவேக, மடக்கை, பகுத்தறிவற்ற மற்றும் ஆழ்நிலை சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதில் இருபடி சமன்பாடுகள் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பள்ளியிலிருந்து (தரம் 8), பட்டப்படிப்பு வரை இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை நாம் அனைவரும் அறிவோம்.

நவீன சமுதாயத்தில், மாறுபட்ட சதுரங்களைக் கொண்ட சமன்பாடுகளுடன் செயல்களைச் செய்வதற்கான திறன் செயல்பாட்டின் பல பகுதிகளுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும் மற்றும் அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்ப முன்னேற்றங்களில் நடைமுறையில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. கடல் மற்றும் நதிக் கப்பல்கள், விமானங்கள் மற்றும் ஏவுகணைகளின் வடிவமைப்பு இதற்கு சான்று. இத்தகைய கணக்கீடுகளின் உதவியுடன், விண்வெளி பொருள்கள் உட்பட பல்வேறு உடல்களின் இயக்கத்தின் பாதைகள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வைக் கொண்ட எடுத்துக்காட்டுகள் பொருளாதார முன்கணிப்பு, கட்டிடங்களின் வடிவமைப்பு மற்றும் கட்டுமானத்தில் மட்டுமல்லாமல், மிகவும் சாதாரண அன்றாட சூழ்நிலைகளிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. முகாம் பயணங்கள், விளையாட்டு நிகழ்வுகள், ஷாப்பிங் செய்யும் போது கடைகள் மற்றும் பிற பொதுவான சூழ்நிலைகளில் அவை தேவைப்படலாம்.

வெளிப்பாட்டை அதன் அங்க காரணிகளாக உடைப்போம்

ஒரு சமன்பாட்டின் அளவு வெளிப்பாடு கொண்டிருக்கும் மாறியின் அளவின் அதிகபட்ச மதிப்பால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இது 2 க்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய சமன்பாடு சதுரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நாம் சூத்திரங்களின் மொழியைப் பயன்படுத்தினால், இந்த வெளிப்பாடுகள், அவை எவ்வாறு தோற்றமளித்தாலும், வெளிப்பாட்டின் இடது புறம் மூன்று சொற்களைக் கொண்டிருக்கும்போது எப்போதும் வடிவத்திற்குக் குறைக்கப்படலாம். அவற்றில்: கோடாரி 2 (அதாவது, அதன் குணகத்துடன் கூடிய ஒரு மாறி), பிஎக்ஸ் (அதன் குணகத்துடன் ஒரு சதுரம் இல்லாமல் அறியப்படாதது) மற்றும் சி (ஒரு இலவச கூறு, அதாவது ஒரு சாதாரண எண்). வலதுபுறத்தில் இவை அனைத்தும் 0 க்கு சமம். கோடாரி 2 ஐத் தவிர, இதேபோன்ற ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை அதன் தொகுதிச் சொற்களில் ஒன்றைக் காணவில்லை என்றால், அது முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இத்தகைய சிக்கல்களுக்கான தீர்வைக் கொண்ட எடுத்துக்காட்டுகள், எளிதில் கண்டுபிடிக்கக்கூடிய மாறிகளின் மதிப்பு முதலில் கருதப்பட வேண்டும்.

வெளிப்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் இரண்டு சொற்கள் இருக்கும் வகையில் வெளிப்பாடு தோற்றமளித்தால், இன்னும் துல்லியமாக கோடாரி 2 மற்றும் பிஎக்ஸ், மாறியை அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே வைப்பதன் மூலம் x ஐக் கண்டுபிடிப்பது எளிது. இப்போது எங்கள் சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்: x (கோடாரி + பி). மேலும், x \u003d 0, அல்லது பின்வரும் வெளிப்பாட்டிலிருந்து ஒரு மாறியைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் குறைக்கப்படுகிறது என்பது தெளிவாகிறது: கோடாரி + பி \u003d 0. இது பெருக்கத்தின் பண்புகளில் ஒன்றால் கட்டளையிடப்படுகிறது. விதி என்னவென்றால், இரண்டு காரணிகளின் தயாரிப்பு 0 இல் விளைகிறது, அவற்றில் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே.

உதாரணமாக

x \u003d 0 அல்லது 8x - 3 \u003d 0

இதன் விளைவாக, சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்களைப் பெறுகிறோம்: 0 மற்றும் 0.375.

இந்த வகையான சமன்பாடுகள் ஈர்ப்பு விசையின் கீழ் உடல்களின் இயக்கத்தை விவரிக்க முடியும், இது ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியிலிருந்து தோற்றத்தை எடுக்கத் தொடங்கியது. இங்கே கணிதக் குறியீடு பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கிறது: y \u003d v 0 t + gt 2/2. தேவையான மதிப்புகளை மாற்றியமைத்தல், வலது பக்கத்தை 0 க்கு சமன் செய்தல் மற்றும் சாத்தியமான அறியப்படாதவற்றைக் கண்டறிதல், உடல் உயரும் தருணத்திலிருந்து அது விழும் தருணம் வரை கழிந்த நேரத்தையும், மேலும் பல அளவுகளையும் நீங்கள் காணலாம். ஆனால் இதைப் பற்றி பின்னர் பேசுவோம்.

ஒரு வெளிப்பாடு காரணி

மேலே விவரிக்கப்பட்ட விதி இந்த சிக்கல்களை மிகவும் சிக்கலான நிகழ்வுகளில் தீர்க்க உதவுகிறது. இந்த வகையின் இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வுடன் எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எக்ஸ் 2 - 33 எக்ஸ் + 200 \u003d 0

இந்த சதுர முக்கோணம் முடிந்தது. முதலில், வெளிப்பாட்டை மாற்றி அதை காரணியாக்குவோம். அவற்றில் இரண்டு உள்ளன: (x-8) மற்றும் (x-25) \u003d 0. இதன் விளைவாக, நமக்கு 8 மற்றும் 25 என்ற இரண்டு வேர்கள் உள்ளன.

தரம் 9 இல் இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வைக் கொண்ட எடுத்துக்காட்டுகள் இந்த முறையானது இரண்டாவது மட்டுமல்ல, மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது ஆர்டர்களிலும் கூட வெளிப்பாடுகளில் மாறுபாட்டைக் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டாக: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. வலது பக்கத்தை ஒரு மாறியுடன் காரணிகளாக மாற்றும்போது, \u200b\u200bஅவற்றில் மூன்று உள்ளன, அதாவது (x + 1), (x-3) மற்றும் (x + 3).

இதன் விளைவாக, இந்த சமன்பாட்டில் மூன்று வேர்கள் உள்ளன என்பது தெளிவாகிறது: -3; -1; 3.

சதுர மூலத்தின் பிரித்தெடுத்தல்

முழுமையற்ற இரண்டாம்-வரிசை சமன்பாட்டின் மற்றொரு நிகழ்வு, கடிதங்களின் மொழியில் குறிப்பிடப்படும் ஒரு வெளிப்பாடு ஆகும், இது வலது புறம் கோடாரி 2 மற்றும் சி ஆகிய கூறுகளிலிருந்து கட்டமைக்கப்படுகிறது. இங்கே, மாறியின் மதிப்பைப் பெற, இலவச சொல் வலது பக்கத்திற்கு மாற்றப்படுகிறது, பின்னர் சதுர வேர் சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களிலிருந்தும் பிரித்தெடுக்கப்படுகிறது. இந்த விஷயத்தில், பொதுவாக சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். ஒரே விதிவிலக்குகள் சி என்ற சொல்லைக் கொண்டிருக்காத சமநிலைகள், அங்கு மாறி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், அதே போல் வலது புறம் எதிர்மறையாக இருக்கும்போது வெளிப்பாடுகளின் மாறுபாடுகள். பிந்தைய வழக்கில், எந்தவொரு தீர்வும் இல்லை, ஏனெனில் மேற்கண்ட செயல்களை வேர்களால் செய்ய முடியாது. இந்த வகையின் இருபடி சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் கருதப்பட வேண்டும்.

இந்த வழக்கில், சமன்பாட்டின் வேர்கள் -4 மற்றும் 4 எண்களாக இருக்கும்.

நிலத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுதல்

இந்த வகையான கணக்கீடுகளின் தேவை பண்டைய காலங்களில் தோன்றியது, ஏனென்றால் அந்த தொலைதூர காலங்களில் கணிதத்தின் பல வழிகளில் வளர்ச்சியானது நில அடுக்குகளின் பகுதிகள் மற்றும் சுற்றளவுகளை மிகத் துல்லியமாக தீர்மானிக்க வேண்டியதன் காரணமாகும்.

இந்த வகையான சிக்கல்களை அடிப்படையாகக் கொண்ட இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் நம்மால் கருதப்பட வேண்டும்.

எனவே, அதன் அகலத்தை விட 16 மீட்டர் நீளமுள்ள ஒரு செவ்வக நிலம் உள்ளது என்று சொல்லலாம். தளத்தின் பரப்பளவு 612 மீ 2 என்று தெரிந்தால் அதன் நீளம், அகலம் மற்றும் சுற்றளவு ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும்.

வணிகத்தில் இறங்குவது, முதலில் தேவையான சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம். பிரிவின் அகலத்தை x ஆல் குறிப்போம், அதன் நீளம் (x + 16) இருக்கும். எழுதப்பட்டவற்றிலிருந்து x (x + 16) என்ற வெளிப்பாட்டால் அந்த பகுதி தீர்மானிக்கப்படுகிறது, இது எங்கள் பிரச்சினையின் நிலைக்கு ஏற்ப 612 ஆகும். இதன் பொருள் x (x + 16) \u003d 612.

முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வு, இந்த வெளிப்பாடு அதுதான், அதே வழியில் செய்ய முடியாது. ஏன்? அதன் இடது பக்கத்தில் இன்னும் இரண்டு காரணிகள் இருந்தாலும், தயாரிப்பு 0 க்கு சமமாக இல்லை, எனவே மற்ற முறைகள் இங்கே பொருந்தும்.

பாகுபாடு

முதலில், நாம் தேவையான மாற்றங்களைச் செய்வோம், பின்னர் இந்த வெளிப்பாட்டின் தோற்றம் இப்படி இருக்கும்: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. இதன் பொருள், முன்னர் குறிப்பிட்ட தரநிலைக்கு ஒத்த வடிவத்தில் ஒரு வெளிப்பாடு கிடைத்தது, அதாவது a \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

பாகுபாடு காண்பவரின் மூலம் இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. இங்கே தேவையான கணக்கீடுகள் திட்டத்தின் படி செய்யப்படுகின்றன: D \u003d b 2 - 4ac. இந்த துணை அளவு இரண்டாவது வரிசை சமன்பாட்டில் தேவையான அளவுகளைக் கண்டுபிடிப்பதை சாத்தியமாக்குவது மட்டுமல்லாமல், சாத்தியமான விருப்பங்களின் எண்ணிக்கையை இது தீர்மானிக்கிறது. டி\u003e 0 என்றால், அவற்றில் இரண்டு உள்ளன; D \u003d 0 க்கு, ஒரு வேர் உள்ளது. என்றால் டி<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

வேர்கள் மற்றும் அவற்றின் சூத்திரம் பற்றி

எங்கள் விஷயத்தில், பாகுபாடு காண்பிப்பவர்: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. இது எங்கள் பிரச்சினைக்கு ஒரு பதில் இருப்பதைக் குறிக்கிறது. உங்களுக்குத் தெரிந்தால், கே, இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வு கீழேயுள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தொடர வேண்டும். இது வேர்களைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறது.

இதன் பொருள் வழங்கப்பட்ட வழக்கில்: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. இந்த குழப்பத்தில் இரண்டாவது விருப்பம் ஒரு தீர்வாக இருக்க முடியாது, ஏனென்றால் நில சதித்திட்டத்தின் பரிமாணங்களை எதிர்மறை மதிப்புகளில் அளவிட முடியாது, அதாவது x (அதாவது சதித்திட்டத்தின் அகலம்) 18 மீ ஆகும். இதிலிருந்து, நீளத்தை கணக்கிடுகிறோம்: 18 + 16 \u003d 34, மற்றும் சுற்றளவு 2 (34+ 18) \u003d 104 (மீ 2).

எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் பணிகள்

இருபடி சமன்பாடுகளை நாங்கள் தொடர்ந்து படிக்கிறோம். அவற்றில் பலவற்றிற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் விரிவான தீர்வு கீழே கொடுக்கப்படும்.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

எல்லாவற்றையும் சமத்துவத்தின் இடது பக்கமாக மாற்றுவோம், ஒரு மாற்றத்தை உருவாக்குவோம், அதாவது, சமன்பாட்டின் வடிவத்தைப் பெறுகிறோம், இது வழக்கமாக நிலையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறது.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

ஒத்தவற்றைச் சேர்த்து, பாகுபாட்டை வரையறுக்கிறோம்: டி \u003d 49 - 48 \u003d 1. எனவே நமது சமன்பாட்டில் இரண்டு வேர்கள் இருக்கும். மேற்கண்ட சூத்திரத்தின்படி அவற்றைக் கணக்கிடுவோம், அதாவது அவற்றில் முதலாவது 4/3 ஆகவும், இரண்டாவது 1 ஆகவும் இருக்கும்.

2) இப்போது நாம் வேறு வகையான புதிர்களை வெளிப்படுத்துவோம்.

X 2 - 4x + 5 \u003d 1 இல் இங்கே ஏதேனும் வேர்கள் இருக்கிறதா என்று கண்டுபிடிப்போம்? ஒரு முழுமையான பதிலைப் பெற, பல்லுறுப்புறுப்பை பொருத்தமான பழக்கமான வடிவத்திற்குக் கொண்டு வந்து பாகுபாட்டைக் கணக்கிடுவோம். இந்த எடுத்துக்காட்டில், இருபடி சமன்பாட்டின் தீர்வு தேவையில்லை, ஏனென்றால் பிரச்சினையின் சாராம்சம் இதில் இல்லை. இந்த வழக்கில், டி \u003d 16 - 20 \u003d -4, அதாவது உண்மையில் வேர்கள் இல்லை.

வியட்டாவின் தேற்றம்

சதுர வேர் பிந்தையவற்றின் மதிப்பிலிருந்து பிரித்தெடுக்கப்படும்போது, \u200b\u200bமேற்கூறிய சூத்திரங்கள் மற்றும் பாகுபாடுகளின் மூலம் இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்க வசதியானது. ஆனால் இது எப்போதும் அப்படி இல்லை. இருப்பினும், இந்த வழக்கில் மாறிகளின் மதிப்புகளைப் பெற பல வழிகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டு: வியட்டாவின் தேற்றத்தால் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. 16 ஆம் நூற்றாண்டில் பிரான்சில் வாழ்ந்த ஒரு மனிதனின் பெயரால் அவர் பெயரிடப்பட்டார் மற்றும் அவரது கணித திறமை மற்றும் நீதிமன்றத்தில் உள்ள தொடர்புகளுக்கு ஒரு சிறந்த தொழில் வாழ்க்கையை செய்தார். அவரது உருவப்படத்தை கட்டுரையில் காணலாம்.

பிரபல பிரெஞ்சுக்காரர் கவனித்த முறை பின்வருமாறு. தொகையின் சமன்பாட்டின் வேர்கள் எண்ணியல் ரீதியாக -p \u003d b / a க்கு சமம் என்பதை அவர் நிரூபித்தார், மேலும் அவற்றின் தயாரிப்பு q \u003d c / a உடன் ஒத்துள்ளது.

இப்போது குறிப்பிட்ட பணிகளைப் பார்ப்போம்.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

எளிமைக்காக, வெளிப்பாட்டை மாற்றுகிறோம்:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவோம், இது பின்வருவனவற்றைக் கொடுக்கும்: வேர்களின் தொகை -7, அவற்றின் தயாரிப்பு -18. இதிலிருந்து சமன்பாட்டின் வேர்கள் -9 மற்றும் 2 எண்கள் என்பதை நாம் பெறுகிறோம். ஒரு சோதனை செய்தபின், மாறிகளின் இந்த மதிப்புகள் உண்மையில் வெளிப்பாட்டிற்கு பொருந்துகின்றன என்பதை உறுதி செய்வோம்.

பரபோலா வரைபடம் மற்றும் சமன்பாடு

இருபடி செயல்பாடு மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளின் கருத்துக்கள் நெருங்கிய தொடர்புடையவை. இதற்கு எடுத்துக்காட்டுகள் முன்பே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இப்போது கணித புதிர்களில் சிலவற்றை உற்று நோக்கலாம். விவரிக்கப்பட்ட வகையின் எந்த சமன்பாட்டையும் காட்சிப்படுத்தலாம். அத்தகைய உறவு, வரைபடத்தின் வடிவத்தில் வரையப்பட்டிருப்பது ஒரு பரவளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதன் பல்வேறு வகைகள் கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன.

எந்தவொரு பரபோலாவிலும் ஒரு உச்சி உள்ளது, அதாவது அதன் கிளைகள் வெளிப்படும் ஒரு புள்ளி. ஒரு\u003e 0 எனில், அவை முடிவிலிக்கு உயர்ந்தவை, மற்றும் ஒரு போது<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

செயல்பாடுகளின் காட்சி பிரதிநிதித்துவங்கள் இருபடி உள்ளிட்ட எந்த சமன்பாடுகளையும் தீர்க்க உதவுகின்றன. இந்த முறை வரைகலை என்று அழைக்கப்படுகிறது. மாறி x இன் மதிப்பு, வரைபடக் கோடு 0x உடன் குறுக்கிடும் புள்ளிகளில் உள்ள அப்சிஸ்ஸா ஒருங்கிணைப்பு ஆகும். X 0 \u003d -b / 2a என்ற சூத்திரத்தால் வெர்டெக்ஸின் ஆயத்தொலைவுகளைக் காணலாம். மேலும், பெறப்பட்ட மதிப்பை செயல்பாட்டின் அசல் சமன்பாட்டிற்கு மாற்றாக, நீங்கள் y 0 ஐக் காணலாம், அதாவது, பரபோலாவின் உச்சியின் இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பு, ஆர்டினேட் அச்சுக்கு சொந்தமானது.

பரபோலாவின் கிளைகளின் குறுக்குவெட்டு அப்சிஸ்ஸா அச்சுடன்

இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வோடு நிறைய எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன, ஆனால் பொதுவான வடிவங்களும் உள்ளன. அவற்றைக் கருத்தில் கொள்வோம். ஒரு\u003e 0 க்கான 0x அச்சுடன் வரைபடத்தின் குறுக்குவெட்டு y 0 எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுத்தால் மட்டுமே சாத்தியமாகும் என்பது தெளிவாகிறது. மற்றும் ஒரு<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. இல்லையெனில், டி<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

பரபோலா வரைபடத்திலிருந்து வேர்களையும் தீர்மானிக்க முடியும். இதற்கு நேர்மாறாகவும் இருக்கிறது. அதாவது, ஒரு இருபடி செயல்பாட்டின் காட்சி படத்தைப் பெறுவது எளிதல்ல என்றால், நீங்கள் வெளிப்பாட்டின் வலது பக்கத்தை 0 க்கு சமன் செய்து அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை தீர்க்கலாம். 0x அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகளை அறிந்து, ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவது எளிது.

வரலாற்றிலிருந்து

மாறி ஸ்கொயர் கொண்ட சமன்பாடுகளின் உதவியுடன், பழைய நாட்களில் அவர்கள் கணித கணக்கீடுகளை மட்டும் செய்யவில்லை மற்றும் வடிவியல் வடிவங்களின் பகுதிகளை தீர்மானிக்கவில்லை. முன்னோர்களுக்கு இயற்பியல் மற்றும் வானியல் துறையில் மிகப்பெரிய கண்டுபிடிப்புகளுக்கும், ஜோதிட கணிப்புகளை உருவாக்குவதற்கும் இதுபோன்ற கணக்கீடுகள் தேவைப்பட்டன.

நவீன விஞ்ஞானிகள் கருதுவது போல, இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க முதலில் பாபிலோன் மக்கள் இருந்தனர். இது நம் சகாப்தத்திற்கு நான்கு நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்பே நடந்தது. நிச்சயமாக, அவற்றின் கணக்கீடுகள் தற்போது ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டவற்றிலிருந்து அடிப்படையில் வேறுபட்டவை மற்றும் மிகவும் பழமையானவை. உதாரணமாக, எதிர்மறை எண்கள் இருப்பதைப் பற்றி மெசொப்பொத்தேமிய கணிதவியலாளர்களுக்கு எதுவும் தெரியாது. எங்கள் காலத்தின் எந்தவொரு பள்ளி மாணவருக்கும் தெரிந்த பிற நுணுக்கங்களையும் அவர்கள் அறிந்திருக்கவில்லை.

பாபிலோனின் விஞ்ஞானிகளைக் காட்டிலும் முன்பே, இந்தியாவில் இருந்து வந்த முனிவர் ப ud தயாமா இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வை எடுத்துக் கொண்டார். கிறிஸ்துவின் சகாப்தத்தின் வருகைக்கு சுமார் எட்டு நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்பே இது நடந்தது. உண்மை, இரண்டாவது வரிசையின் சமன்பாடுகள், அவர் கொடுத்த தீர்க்கும் முறைகள் எளிமையானவை. அவரைத் தவிர, சீன கணிதவியலாளர்களும் பழைய நாட்களில் இதே போன்ற கேள்விகளில் ஆர்வம் காட்டினர். ஐரோப்பாவில், இருபடி சமன்பாடுகள் 13 ஆம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் மட்டுமே தீர்க்கத் தொடங்கின, ஆனால் பின்னர் அவை நியூட்டன், டெஸ்கார்ட்ஸ் மற்றும் பல பெரிய விஞ்ஞானிகளால் தங்கள் படைப்புகளில் பயன்படுத்தப்பட்டன.

இருபடி சமன்பாடு - தீர்க்க எளிதானது! * மேலும் "KU" உரையில்.நண்பர்களே, இதுபோன்ற ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதை விட கணிதத்தில் எது எளிதாக இருக்கும் என்று தோன்றுகிறது. ஆனால் ஏதோ என்னிடம் சொன்னார், பலருக்கு அவருடன் பிரச்சினைகள் உள்ளன. யாண்டெக்ஸ் மாதத்திற்கு எத்தனை பதிவுகள் பார்க்க முடிவு செய்தேன். என்ன நடந்தது என்பது இங்கே, பாருங்கள்:

இதற்கு என்ன பொருள்? இதன் பொருள் ஒரு மாதத்திற்கு சுமார் 70,000 பேர் இந்த தகவலைத் தேடுகிறார்கள், மேலும் கல்வியாண்டின் நடுப்பகுதியில் என்ன நடக்கும் - இரு மடங்கு கோரிக்கைகள் இருக்கும். இது ஆச்சரியமல்ல, ஏனென்றால் நீண்ட காலத்திற்கு முன்பே பள்ளியில் பட்டம் பெற்ற மற்றும் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்குத் தயாராகும் ஆண்களும் சிறுமிகளும் இந்தத் தகவலைத் தேடுகிறார்கள், மேலும் பள்ளி மாணவர்களும் அதை தங்கள் நினைவில் புதுப்பிக்க முற்படுகிறார்கள்.

இந்த சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்று உங்களுக்குச் சொல்லும் டன் தளங்கள் இருந்தபோதிலும், எனது பிட்டையும் செய்து பொருள் வெளியிட முடிவு செய்தேன். முதலாவதாக, இந்த கோரிக்கைக்காக பார்வையாளர்கள் எனது தளத்திற்கு வர வேண்டும் என்று நான் விரும்புகிறேன்; இரண்டாவதாக, மற்ற கட்டுரைகளில், "KU" பேச்சு வரும்போது, \u200b\u200bஇந்த கட்டுரைக்கு ஒரு இணைப்பைக் கொடுப்பேன்; மூன்றாவதாக, மற்ற தளங்களில் பொதுவாகக் கூறப்படுவதைக் காட்டிலும் அவரது தீர்வைப் பற்றி இன்னும் கொஞ்சம் கூறுவேன். தொடங்குவோம்!கட்டுரையின் உள்ளடக்கம்:

ஒரு இருபடி சமன்பாடு என்பது வடிவத்தின் சமன்பாடு:

அங்கு குணகங்கள் a,b மற்றும் தன்னிச்சையான எண்களுடன், ≠ 0 உடன்.

பள்ளி பாடத்திட்டத்தில், பொருள் பின்வரும் வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது - சமன்பாடுகள் நிபந்தனையுடன் மூன்று வகுப்புகளாக பிரிக்கப்படுகின்றன:

1. அவற்றுக்கு இரண்டு வேர்கள் உள்ளன.

2. * ஒரே ஒரு வேர் மட்டுமே.

3. வேர்கள் இல்லை. அவற்றுக்கு சரியான வேர்கள் இல்லை என்பது இங்கே கவனிக்கத்தக்கது.

வேர்கள் எவ்வாறு கணக்கிடப்படுகின்றன? வெறும்!

பாகுபாடு காண்பிப்போம். இந்த "பயங்கரமான" வார்த்தையின் அடியில் மிகவும் எளிமையான சூத்திரம் உள்ளது:

மூல சூத்திரங்கள் பின்வருமாறு:

* இந்த சூத்திரங்களை இதயத்தால் அறிய வேண்டும்.

நீங்கள் உடனடியாக எழுதி முடிவு செய்யலாம்:

உதாரணமாக:

1. டி\u003e 0 என்றால், சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

2. டி \u003d 0 என்றால், சமன்பாட்டிற்கு ஒரு வேர் உள்ளது.

3. என்றால் டி< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

சமன்பாட்டைப் பார்ப்போம்:

இந்த சந்தர்ப்பத்தில், பாகுபாடு காண்பிப்பவர் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது, \u200b\u200bபள்ளி பாடத்திட்டத்தில் ஒரு வேர் பெறப்படுகிறது என்று கூறப்படுகிறது, இங்கே அது ஒன்பதுக்கு சமம். எல்லாம் சரியானது, அது, ஆனால் ...

இந்த பிரதிநிதித்துவம் ஓரளவு தவறானது. உண்மையில், இது இரண்டு வேர்களை மாற்றிவிடும். ஆமாம், ஆமாம், ஆச்சரியப்பட வேண்டாம், இது இரண்டு சம வேர்களை மாற்றிவிடும், மற்றும் கணித ரீதியாக துல்லியமாக இருக்க வேண்டும், பின்னர் பதில் இரண்டு வேர்களை எழுத வேண்டும்:

x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3

ஆனால் இது அப்படியே - ஒரு சிறிய திசைதிருப்பல். பள்ளியில், நீங்கள் ஒரு வேர் இருப்பதாக எழுதி எழுதலாம்.

இப்போது அடுத்த எடுத்துக்காட்டு:

நமக்குத் தெரிந்தபடி, எதிர்மறை எண்ணின் வேர் பிரித்தெடுக்கப்படவில்லை, எனவே இந்த விஷயத்தில் தீர்வு இல்லை.

அதுதான் முழு தீர்வு செயல்முறை.

இருபடி செயல்பாடு.

தீர்வு வடிவியல் ரீதியாக எப்படி இருக்கிறது என்பதை இது காட்டுகிறது. புரிந்து கொள்ள இது மிகவும் முக்கியமானது (எதிர்காலத்தில், கட்டுரைகளில் ஒன்றில், சதுர சமத்துவமின்மையின் தீர்வை விரிவாக ஆராய்வோம்).

இது படிவத்தின் செயல்பாடு:

x மற்றும் y ஆகியவை மாறிகள்

a, b, c - கொடுக்கப்பட்ட எண்கள், with 0 உடன்

வரைபடம் ஒரு பரவளையம்:

அதாவது, பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான "y" உடன் இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம், பரபோலாவின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளை எருது அச்சுடன் காண்கிறோம். இந்த புள்ளிகளில் இரண்டு இருக்கலாம் (பாகுபாடு காண்பது நேர்மறையானது), ஒன்று (பாகுபாடு காண்பவர் பூஜ்ஜியம்) மற்றும் எதுவுமில்லை (பாகுபாடு காண்பவர் எதிர்மறை). இருபடி செயல்பாடு பற்றி மேலும் நீங்கள் பார்க்கலாம் இன்னா ஃபெல்ட்மேன் எழுதிய கட்டுரை.

சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

எடுத்துக்காட்டு 1: தீர்க்கவும் 2x 2 +8 எக்ஸ்–192=0

a \u003d 2 b \u003d 8 c \u003d –192

டி \u003d பி 2 –4ac \u003d 8 2 –4 ∙ 2 ∙ (–192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

பதில்: x 1 \u003d 8 x 2 \u003d –12

* சமன்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை உடனடியாக 2 ஆல் வகுக்க முடிந்தது, அதாவது அதை எளிமைப்படுத்த. கணக்கீடுகள் எளிதாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 2: முடிவு x 2–22 x + 121 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d –22 c \u003d 121

D \u003d b 2 –4ac \u003d (- 22) 2 –4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484–484 \u003d 0

எங்களுக்கு x 1 \u003d 11 மற்றும் x 2 \u003d 11 கிடைத்தது

பதிலில், x \u003d 11 எழுத அனுமதிக்கப்படுகிறது.

பதில்: x \u003d 11

எடுத்துக்காட்டு 3: முடிவு x 2 –8x + 72 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d –8 c \u003d 72

D \u003d b 2 –4ac \u003d (- 8) 2 –4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64–288 \u003d –224

பாகுபாடு காண்பது எதிர்மறையானது, உண்மையான எண்களில் தீர்வு இல்லை.

பதில்: தீர்வு இல்லை

பாகுபாடு காண்பது எதிர்மறையானது. ஒரு தீர்வு இருக்கிறது!

எதிர்மறையான பாகுபாடு பெறப்படும்போது வழக்கில் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது பற்றி இங்கே பேசுவோம். சிக்கலான எண்களைப் பற்றி உங்களுக்கு ஏதாவது தெரியுமா? அவர்கள் ஏன், எங்கிருந்து வந்தார்கள், கணிதத்தில் அவற்றின் குறிப்பிட்ட பங்கு மற்றும் தேவை என்ன என்பது பற்றி நான் இங்கு விரிவாகப் பேச மாட்டேன், இது ஒரு பெரிய தனித்தனி கட்டுரைக்கான தலைப்பு.

ஒரு சிக்கலான எண்ணின் கருத்து.

ஒரு பிட் கோட்பாடு.

ஒரு சிக்கலான எண் z என்பது படிவத்தின் பல

z \u003d a + bi

a மற்றும் b ஆகியவை உண்மையான எண்களாக இருந்தால், நான் கற்பனை அலகு என்று அழைக்கப்படுகிறேன்.

a + bi ஒரு ஒற்றை எண், கூடுதலாக இல்லை.

கற்பனை அலகு கழித்தல் ஒன்றின் வேருக்கு சமம்:

இப்போது சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:

எங்களுக்கு இரண்டு இணை வேர்கள் கிடைத்தன.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு.

சிறப்பு நிகழ்வுகளைக் கவனியுங்கள், இது "பி" அல்லது "சி" குணகம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது (அல்லது இரண்டும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்). எந்தவொரு பாகுபாடும் இல்லாமல் அவை எளிதில் தீர்க்கப்படுகின்றன.

வழக்கு 1. குணகம் b \u003d 0.

சமன்பாடு வடிவம் பெறுகிறது:

மாற்றுவோம்:

உதாரணமாக:

4x 2 –16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d –2

வழக்கு 2. \u003d 0 உடன் குணகம்.

சமன்பாடு வடிவம் பெறுகிறது:

நாங்கள் மாற்றுகிறோம், காரணியாக்குகிறோம்:

* குறைந்தது ஒரு காரணிகளாவது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

உதாரணமாக:

9x 2 –45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (x - 5) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 அல்லது x - 5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

வழக்கு 3. குணகங்கள் b \u003d 0 மற்றும் c \u003d 0.

சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு எப்போதும் x \u003d 0 ஆக இருக்கும் என்பது இங்கே தெளிவாகிறது.

குணகங்களின் பயனுள்ள பண்புகள் மற்றும் வடிவங்கள்.

பெரிய குணகங்களுடன் சமன்பாடுகளை தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கும் பண்புகள் உள்ளன.

மற்றும்எக்ஸ் 2 + bx+ c=0 சமத்துவம் உள்ளது

a + b + c \u003d 0,பிறகு

- சமன்பாட்டின் குணகங்களுக்கு என்றால் மற்றும்எக்ஸ் 2 + bx+ c=0 சமத்துவம் உள்ளது

a + c \u003db, பிறகு

இந்த பண்புகள் ஒரு குறிப்பிட்ட வகையான சமன்பாட்டை தீர்க்க உதவுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 1: 5001 எக்ஸ் 2 –4995 எக்ஸ் – 6=0

முரண்பாடுகளின் தொகை 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, எனவே

எடுத்துக்காட்டு 2: 2501 எக்ஸ் 2 +2507 எக்ஸ்+6=0

சமத்துவம் பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது a + c \u003db, பொருள்

குணகங்களின் ஒழுங்குமுறைகள்.

1. 2 + bx + c \u003d 0 என்ற சமன்பாட்டில் "b" குணகம் (ஒரு 2 +1) க்கு சமமாகவும், "c" குணகம் "a" குணகத்திற்கு எண்ணாகவும் சமமாக இருந்தால், அதன் வேர்கள்

கோடாரி 2 + (ஒரு 2 +1) ∙ х + а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d –а х 2 \u003d –1 / அ.

உதாரணமாக. 6x 2 + 37x + 6 \u003d 0 என்ற சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்.

x 1 \u003d –6 x 2 \u003d –1/6.

2. கோடரி 2 - bx + c \u003d 0 என்ற சமன்பாட்டில் "b" குணகம் (ஒரு 2 +1) க்கு சமமாகவும், "c" குணகம் "a" குணகத்திற்கு எண்ணாகவும் சமமாக இருந்தால், அதன் வேர்கள்

கோடாரி 2 - (ஒரு 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

உதாரணமாக. 15x 2 –226x +15 \u003d 0 என்ற சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்.

x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15.

3. சமன்பாட்டில் இருந்தால்கோடாரி 2 + பிஎக்ஸ் - சி \u003d 0 குணகம் "பி" சமம் (ஒரு 2 - 1), மற்றும் குணகம் "சி" "a" குணகத்திற்கு எண்ணியல் சமம், அதன் வேர்கள் சமம்

аx 2 + (а 2 –1) х - а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d - х 2 \u003d 1 / a.

உதாரணமாக. 17x 2 + 288x - 17 \u003d 0 என்ற சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. கோடாரி 2 - bx - c \u003d 0 என்ற சமன்பாட்டில் "b" குணகம் (a 2 - 1) க்கு சமமாகவும், குணகம் c என்பது "a" குணகத்திற்கு எண்ணாகவும் சமமாக இருந்தால், அதன் வேர்கள்

аx 2 - (а 2 –1) х - а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d а х 2 \u003d - 1 / a.

உதாரணமாக. 10x 2 - 99x –10 \u003d 0 என்ற சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

வியட்டாவின் தேற்றம்.

வியட்டாவின் தேற்றம் பிரபல பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் பிரான்சுவா வியட்டாவின் பெயரிடப்பட்டது. வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, தன்னிச்சையான KE இன் வேர்களின் கூட்டுத்தொகையையும் உற்பத்தியையும் அதன் குணகங்களின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தலாம்.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

மொத்தத்தில், எண் 14 5 மற்றும் 9 ஐ மட்டுமே தருகிறது. இவை வேர்கள். ஒரு குறிப்பிட்ட திறனுடன், வழங்கப்பட்ட தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் பல இருபடி சமன்பாடுகளை வாய்மொழியாக தீர்க்க முடியும்.

வியட்டாவின் தேற்றம், மேலும். வழக்கமான முறையில் இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்த்த பிறகு (பாகுபாடு காண்பிப்பதன் மூலம்), பெறப்பட்ட வேர்களை சரிபார்க்க முடியும். இதை எப்போதும் செய்ய பரிந்துரைக்கிறேன்.

டிரான்ஸ்ஃபர் முறை

இந்த முறையால், "a" என்ற குணகம் இலவச வார்த்தையால் பெருக்கப்படுகிறது, அதற்கு "தூக்கி எறியப்படுவது" போல, எனவே இது அழைக்கப்படுகிறது "பரிமாற்றம்" மூலம்.வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு சமன்பாட்டின் வேர்களை நீங்கள் எளிதாகக் கண்டறியும் போது, \u200b\u200bமிக முக்கியமாக, பாகுபாடு காண்பவர் ஒரு சரியான சதுரமாக இருக்கும்போது இந்த முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது.

என்றால் ஒரு மற்றும்± b + c0, பின்னர் பரிமாற்ற நுட்பம் பயன்படுத்தப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக:

2எக்ஸ் 2 – 11x +5 = 0 (1) => எக்ஸ் 2 – 11x +10 = 0 (2)

சமன்பாட்டில் (2) வியட்டாவின் தேற்றத்தால், x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1 என்பதை தீர்மானிக்க எளிதானது

சமன்பாட்டின் பெறப்பட்ட வேர்களை 2 ஆல் வகுக்க வேண்டும் (இரண்டு x 2 இலிருந்து "தூக்கி எறியப்பட்டதால்", நமக்கு கிடைக்கிறது

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

பகுத்தறிவு என்ன? என்ன நடக்கிறது என்று பாருங்கள்.

(1) மற்றும் (2) சமன்பாடுகளின் பாகுபாடுகள் சமம்:

சமன்பாடுகளின் வேர்களைப் பார்த்தால், வெவ்வேறு வகுப்புகள் மட்டுமே பெறப்படுகின்றன, இதன் விளைவாக x 2 இல் உள்ள குணகத்தை துல்லியமாக சார்ந்துள்ளது:

இரண்டாவது (மாற்றியமைக்கப்பட்ட) வேர்கள் 2 மடங்கு பெரியவை.

எனவே, முடிவை 2 ஆல் வகுக்கிறோம்.

* மூன்றை மீண்டும் உருட்டினால், முடிவை 3 ஆல் வகுக்கிறோம்.

பதில்: x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5

சதுர. உர்-யே மற்றும் தேர்வு.

அதன் முக்கியத்துவத்தைப் பற்றி நான் சுருக்கமாகக் கூறுவேன் - நீங்கள் விரைவாகவும் தயக்கமின்றி தீர்க்க முடியும், வேர்களின் சூத்திரங்கள் மற்றும் பாகுபாடு காண்பிப்பவர் இதயத்தால் அறியப்பட வேண்டும். யுஎஸ்இ பணிகளை உருவாக்கும் பல பணிகள் இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கு குறைக்கப்படுகின்றன (வடிவியல் சார்ந்தவை உட்பட).

கவனிக்க வேண்டியது என்ன!

1. சமன்பாட்டை எழுதும் வடிவம் "மறைமுகமாக" இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் பதிவு சாத்தியம்:

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 அல்லது 15x + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 அல்லது 15 -5x + 10x 2 \u003d 0.

நீங்கள் அதை ஒரு நிலையான வடிவத்திற்கு கொண்டு வர வேண்டும் (தீர்க்கும்போது குழப்பமடையக்கூடாது என்பதற்காக).

2. x என்பது அறியப்படாத அளவு என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள், அதை வேறு எந்த கடிதத்தாலும் குறிக்கலாம் - t, q, p, h மற்றும் பிற.

», அதாவது முதல் பட்டத்தின் சமன்பாடுகள். இந்த பாடத்தில் நாம் பகுப்பாய்வு செய்வோம் இது ஒரு இருபடி சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது அதை எவ்வாறு தீர்ப்பது.

ஒரு இருபடி சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது

முக்கியமான!

சமன்பாட்டின் அளவு அறியப்படாத மிகப்பெரிய பட்டம் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

அறியப்படாத அதிகபட்ச பட்டம் "2" என்றால், உங்களிடம் இருபடி சமன்பாடு உள்ளது.

இருபடி சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

• 5x 2 - 14x + 17 \u003d 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x \u003d 0
• x 2 - 8 \u003d 0

முக்கியமான! இருபடி சமன்பாட்டின் பொதுவான பார்வை இதுபோல் தெரிகிறது:

ஒரு x 2 + b x + c \u003d 0

• "ஏ" - முதல் அல்லது மிக முக்கியமான குணகம்;
• “பி” இரண்டாவது குணகம்;
• "சி" ஒரு இலவச உறுப்பினர்.

"A", "b" மற்றும் "c" ஐக் கண்டுபிடிக்க உங்கள் சமன்பாட்டை "கோடாரி 2 + bx + c \u003d 0" என்ற இருபடி சமன்பாட்டின் பொது வடிவத்துடன் ஒப்பிட வேண்டும்.

இருபடி சமன்பாடுகளில் "a", "b" மற்றும் "c" ஆகிய குணகங்களை வரையறுப்பதைப் பயிற்சி செய்வோம்.

• a \u003d −1
• b \u003d 1
• c \u003d

  1

  3

• a \u003d 1
• b \u003d 0.25
• c \u003d 0

• a \u003d 1
• b \u003d 0
• c \u003d −8

இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது

நேரியல் சமன்பாடுகளைப் போலன்றி, ஒரு சிறப்பு வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான சூத்திரம்.

நினைவில் கொள்ளுங்கள்!

உங்களுக்கு தேவையான இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்க:

• "கோடாரி 2 + பிஎக்ஸ் + சி \u003d 0" என்ற பொது வடிவத்திற்கு இருபடி சமன்பாட்டைக் கொண்டு வாருங்கள். அதாவது, "0" மட்டுமே வலது பக்கத்தில் இருக்க வேண்டும்;
• வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிக்க ஒரு சூத்திரத்தை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு எடுத்துக்கொள்வோம். இருபடி சமன்பாட்டை தீர்ப்போம்.

எக்ஸ் 2 - 3 எக்ஸ் - 4 \u003d 0

"X 2 - 3x - 4 \u003d 0" சமன்பாடு ஏற்கனவே "கோடாரி 2 + பிஎக்ஸ் + சி \u003d 0" என்ற பொது வடிவமாகக் குறைக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் கூடுதல் எளிமைப்படுத்தல்கள் தேவையில்லை. அதைத் தீர்க்க, நாங்கள் விண்ணப்பிக்க வேண்டும் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான சூத்திரம்.

இந்த சமன்பாட்டிற்கான "a", "b" மற்றும் "c" ஆகிய குணகங்களை வரையறுப்போம்.

அதன் உதவியுடன், எந்த இருபடி சமன்பாடும் தீர்க்கப்படும்.

"X 1; 2 \u003d" சூத்திரத்தில், தீவிர வெளிப்பாடு பெரும்பாலும் மாற்றப்படுகிறது
"டி" என்ற எழுத்துடன் "பி 2 - 4 ஏசி" மற்றும் பாகுபாடு காண்பிப்பவர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. "ஒரு பாகுபாடு காண்பவர்" என்ற பாடத்தில் பாகுபாடு காண்பிப்பவர் என்ற கருத்து இன்னும் விரிவாக விவாதிக்கப்படுகிறது.

இருபடி சமன்பாட்டின் மற்றொரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்.

x 2 + 9 + x \u003d 7x

இந்த வடிவத்தில் "a", "b" மற்றும் "c" ஆகிய குணகங்களை தீர்மானிப்பது கடினம். முதலில் "கோடாரி 2 + பிஎக்ஸ் + சி \u003d 0" என்ற பொது வடிவத்திற்கு சமன்பாட்டைக் கொண்டு வருவோம்.

எக்ஸ் 2 + 9 + எக்ஸ் \u003d 7 எக்ஸ்
x 2 + 9 + x - 7x \u003d 0
x 2 + 9 - 6x \u003d 0
x 2 - 6x + 9 \u003d 0

இப்போது நீங்கள் ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.

எக்ஸ் 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x \u003d

இருபடி சமன்பாடுகளில் வேர்கள் இல்லாத நேரங்கள் உள்ளன. மூலத்தின் கீழ் உள்ள சூத்திரத்தில் எதிர்மறை எண் தோன்றும்போது இந்த நிலைமை ஏற்படுகிறது.

இந்த கணித நிரல் மூலம் உங்களால் முடியும் இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

நிரல் சிக்கலுக்கு ஒரு பதிலை அளிப்பது மட்டுமல்லாமல், தீர்வு செயல்முறையை இரண்டு வழிகளில் காட்டுகிறது:
- பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்துதல்
- வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துதல் (முடிந்தால்).

மேலும், பதில் துல்லியமாக காட்டப்படும், தோராயமாக அல்ல.
எடுத்துக்காட்டாக, equ (81x ^ 2-16x-1 \u003d 0 \\) சமன்பாட்டிற்கு, பதில் இந்த வடிவத்தில் காட்டப்படும்:

இந்த திட்டம் இடைநிலைப் பள்ளிகளின் மூத்த மாணவர்களுக்கு சோதனைகள் மற்றும் தேர்வுகளுக்கான தயாரிப்புகளில், தேர்வுக்கு முன் அறிவைச் சரிபார்க்கும்போது, \u200b\u200bகணிதம் மற்றும் இயற்கணிதத்தில் உள்ள பல சிக்கல்களின் தீர்வைக் கட்டுப்படுத்த பெற்றோருக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும். அல்லது நீங்கள் ஒரு ஆசிரியரை நியமிப்பது அல்லது புதிய பாடப்புத்தகங்களை வாங்குவது மிகவும் விலை உயர்ந்ததா? அல்லது உங்கள் கணித அல்லது இயற்கணித வீட்டுப்பாடத்தை விரைவில் செய்ய விரும்புகிறீர்களா? இந்த வழக்கில், எங்கள் திட்டங்களை விரிவான தீர்வோடு பயன்படுத்தலாம்.

இந்த வழியில், நீங்கள் உங்கள் சொந்த போதனைகளை நடத்தலாம் மற்றும் / அல்லது உங்கள் இளைய சகோதரர்கள் அல்லது சகோதரிகளுக்கு கற்பிக்கலாம், அதே நேரத்தில் தீர்க்கப்படும் பிரச்சினைகளின் துறையில் கல்வி நிலை அதிகரிக்கிறது.

ஒரு சதுர பல்லுறுப்புக்கோவையில் நுழைவதற்கான விதிகளை நீங்கள் அறிந்திருக்கவில்லை என்றால், அவர்களுடன் உங்களைப் பழக்கப்படுத்திக்கொள்ள நாங்கள் பரிந்துரைக்கிறோம்.

ஒரு சதுர பல்லுறுப்புறுப்புக்குள் நுழைவதற்கான விதிகள்

எந்த லத்தீன் எழுத்தையும் மாறியாகப் பயன்படுத்தலாம்.
எடுத்துக்காட்டாக: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\) போன்றவை.

எண்களை முழு அல்லது பின் எண்களாக உள்ளிடலாம்.
மேலும், பகுதியளவு எண்களை தசம வடிவத்தில் மட்டுமல்ல, சாதாரண பகுதியின் வடிவத்திலும் உள்ளிடலாம்.

தசம பின்னங்களுக்குள் நுழைவதற்கான விதிகள்.
தசம பின்னங்களில், முழுமையிலிருந்து பகுதியளவு ஒரு புள்ளி அல்லது கமாவால் பிரிக்கப்படலாம்.
எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் இது போன்ற தசமங்களை உள்ளிடலாம்: 2.5x - 3.5x ^ 2

சாதாரண பின்னங்களுக்குள் நுழைவதற்கான விதிகள்.
ஒரு முழு எண்ணை மட்டுமே எண், வகுத்தல் மற்றும் ஒரு பகுதியின் முழு பகுதியாக பயன்படுத்த முடியும்.

வகுத்தல் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது.

ஒரு எண் பின்னத்திற்குள் நுழையும்போது, \u200b\u200bஒரு பிரிவு அடையாளத்தால் எண் வகுப்பிலிருந்து பிரிக்கப்படுகிறது: /
முழு பகுதியும் ஒரு ஆம்பர்சண்டால் பின்னத்திலிருந்து பிரிக்கப்படுகிறது: &
உள்ளீடு: 3 & 1/3 - 5 & 6/5z + 1/7z ^ 2
முடிவு: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ frac (6) (5) z + \\ frac (1) (7) z ^ 2 \\)

ஒரு வெளிப்பாட்டில் நுழையும்போது அடைப்புக்குறிகளைப் பயன்படுத்தலாம்... இந்த வழக்கில், ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்போது, \u200b\u200bஅறிமுகப்படுத்தப்பட்ட வெளிப்பாடு முதலில் எளிமைப்படுத்தப்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டாக: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)

இந்த சிக்கலை தீர்க்க தேவையான சில ஸ்கிரிப்ட்கள் ஏற்றப்படவில்லை, மற்றும் நிரல் வேலை செய்யாமல் போகலாம் என்று கண்டறியப்பட்டது.
ஒருவேளை நீங்கள் AdBlock இயக்கப்பட்டிருக்கலாம்.
இந்த வழக்கில், அதை முடக்கி, பக்கத்தைப் புதுப்பிக்கவும்.

ஏனெனில் சிக்கலைத் தீர்க்க நிறைய பேர் தயாராக உள்ளனர், உங்கள் கோரிக்கை வரிசைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது.
சில விநாடிகளுக்குப் பிறகு, தீர்வு கீழே தோன்றும்.
தயவுசெய்து காத்திருங்கள் நொடி ...

நீங்கள் என்றால் முடிவில் பிழை ஏற்பட்டது, நீங்கள் இதைப் பற்றி கருத்துப் படிவத்தில் எழுதலாம்.
மறவாதே எந்த பணியைக் குறிக்கவும் நீங்கள் என்ன முடிவு செய்கிறீர்கள் புலங்களில் உள்ளிடவும்.

எங்கள் விளையாட்டுகள், புதிர்கள், முன்மாதிரிகள்:

ஒரு பிட் கோட்பாடு.

இருபடி சமன்பாடு மற்றும் அதன் வேர்கள். முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்

ஒவ்வொரு சமன்பாடுகளும்
\\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 \u003d 0, \\ குவாட் 8x ^ 2-7x \u003d 0, \\ குவாட் x ^ 2- \\ frac (4) (9) \u003d 0 \\)
வடிவம் உள்ளது
\\ (கோடாரி ^ 2 + பிஎக்ஸ் + சி \u003d 0, \\)
x என்பது ஒரு மாறி, a, b மற்றும் c எண்கள்.
முதல் சமன்பாட்டில் a \u003d -1, b \u003d 6 மற்றும் c \u003d 1.4, இரண்டாவது a \u003d 8, b \u003d -7 மற்றும் c \u003d 0, மூன்றாவது a \u003d 1, b \u003d 0 மற்றும் c \u003d 4/9. இத்தகைய சமன்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன இருபடி சமன்பாடுகள்.

வரையறை.
இருபடி சமன்பாடு கோடாரி 2 + bx + c \u003d 0 வடிவத்தின் சமன்பாடு, இங்கு x என்பது ஒரு மாறி, a, b மற்றும் c ஆகியவை சில எண்கள், மற்றும் \\ (a \\ neq 0 \\).

A, b மற்றும் c எண்கள் இருபடி சமன்பாட்டின் குணகங்களாகும். A எண்ணை முதல் குணகம் என்றும், எண் b - இரண்டாவது குணகம் என்றும், எண் c - இலவச சொல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

கோடாரி 2 + bx + c \u003d 0 வடிவத்தின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலும், இங்கு \\ (a \\ neq 0 \\), மாறி x இன் மிகப்பெரிய சக்தி சதுரம் ஆகும். எனவே பெயர்: இருபடி சமன்பாடு.

ஒரு இருபடி சமன்பாடு இரண்டாவது பட்டத்தின் சமன்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அதன் இடது புறம் இரண்டாவது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்.

X 2 இல் உள்ள குணகம் 1 எனப்படும் இருபடி சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு... எடுத்துக்காட்டாக, குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடுகள் சமன்பாடுகள்
\\ (x ^ 2-11x + 30 \u003d 0, \\ குவாட் x ^ 2-6x \u003d 0, \\ குவாட் x ^ 2-8 \u003d 0 \\)

இரு சமன்பாட்டில் கோடாரி 2 + பிஎக்ஸ் + சி \u003d 0 குணகங்களில் ஒன்று பி அல்லது சி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு... எனவே, -2x 2 + 7 \u003d 0, 3x 2 -10x \u003d 0, -4x 2 \u003d 0 சமன்பாடுகள் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள். அவற்றில் முதலாவது b \u003d 0, இரண்டாவது c \u003d 0 இல், மூன்றாவது b \u003d 0 மற்றும் c \u003d 0 இல்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள் மூன்று வகைகளாகும்:
1) கோடாரி 2 + சி \u003d 0, எங்கே \\ (சி \\ நெக் 0 \\);
2) கோடாரி 2 + பிஎக்ஸ் \u003d 0, எங்கே \\ (பி \\ நெக் 0 \\);
3) கோடாரி 2 \u003d 0.

இந்த வகைகளில் ஒவ்வொன்றின் சமன்பாடுகளின் தீர்வையும் கருத்தில் கொள்வோம்.

\\ (C \\ neq 0 \\) க்கான கோடாரி 2 + c \u003d 0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, அதன் இலவச சொல்லை வலது பக்கமாக மாற்றி, சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் a ஆல் வகுக்கவும்:
\\ (x ^ 2 \u003d - \\ frac (c) (a) \\ வலதுபுறம் x_ (1,2) \u003d \\ pm \\ sqrt (- \\ frac (c) (a)) \\)

\\ (C \\ neq 0 \\) என்பதால், \\ (- \\ frac (c) (a) \\ neq 0 \\)

\\ (- \\ frac (c) (a)\u003e 0 \\) என்றால், சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

If (- \\ frac (c) (அ) ax (b \\ neq 0 \\) காரணிக்கு அதன் இடது பக்க காரணி 2 + bx \u003d 0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்க மற்றும் சமன்பாட்டைப் பெறவும்
\\ (x (கோடாரி + பி) \u003d 0 \\ வலதுபுறம் \\ இடது \\ (\\ தொடக்கம் (வரிசை) (எல்) x \u003d 0 \\\\ கோடாரி + பி \u003d 0 \\ முடிவு (வரிசை) \\ வலது. \\ வலதுபுறம் \\ இடது \\ (\\ தொடக்கம் (வரிசை) (எல்) x \u003d 0 \\\\ x \u003d - \\ frac (b) (a) \\ end (array) \\ right. \\)

எனவே, ax (b \\ neq 0 \\) உடன் கோடாரி 2 + bx \u003d 0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு எப்போதும் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

கோடாரி 2 \u003d 0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு x 2 \u003d 0 சமன்பாட்டிற்கு சமம், எனவே ஒரு தனித்துவமான வேர் 0 உள்ளது.

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம்

இருபடி சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதை இப்போது சிந்திப்போம், இதில் தெரியாதவர்களின் குணகங்கள் மற்றும் இலவச சொல் இரண்டுமே நொஜெரோ ஆகும்.

இருபடி சமன்பாட்டை பொது வடிவத்தில் தீர்ப்போம், இதன் விளைவாக வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம். எந்தவொரு இருபடி சமன்பாட்டையும் தீர்க்க இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.

இருபடி சமன்பாடு கோடாரி 2 + bx + c \u003d 0 ஐ தீர்க்கவும்

அதன் இரு பகுதிகளையும் a ஆல் வகுத்து, சமமான குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்
\\ (x ^ 2 + \\ frac (b) (a) x + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\)

பைனோமியலின் சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் இந்த சமன்பாட்டை மாற்றுகிறோம்:
\\ (x ^ 2 + 2x \\ cdot \\ frac (b) (2a) + \\ left (\\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2- \\ left (\\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2 + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\ Rightarrow \\)

தீவிர வெளிப்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு கோடாரி 2 + பிஎக்ஸ் + சி \u003d 0 (லத்தீன் "பாகுபாடு" என்பது ஒரு பாகுபாடு காண்பிப்பவர்). இது டி என்ற எழுத்தால் நியமிக்கப்படுகிறது, அதாவது.
\\ (D \u003d b ^ 2-4ac \\)

இப்போது, \u200b\u200bபாகுபாடு காண்பிப்பவரின் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தை மீண்டும் எழுதுகிறோம்:
\\ (x_ (1,2) \u003d \\ frac (-b \\ pm \\ sqrt (D)) (2a) \\), அங்கு \\ (D \u003d b ^ 2-4ac \\)

இது வெளிப்படையானது:
1) டி\u003e 0 என்றால், இருபடி சமன்பாட்டில் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன.
2) டி \u003d 0 என்றால், இருபடி சமன்பாட்டில் ஒரு வேர் உள்ளது \\ (x \u003d - \\ frac (b) (2a) \\).
3) டி எனில், பாகுபாடு காண்பவரின் மதிப்பைப் பொறுத்து, இருபடி சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கலாம் (டி\u003e 0 க்கு), ஒரு வேர் (டி \u003d 0 க்கு) அல்லது வேர்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை (டி க்கு இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்போது, \u200b\u200bபின்வருமாறு தொடர அறிவுறுத்தப்படுகிறது வழி:
1) பாகுபாட்டைக் கணக்கிட்டு அதை பூஜ்ஜியத்துடன் ஒப்பிடுங்கள்;
2) பாகுபாடு காண்பிப்பவர் நேர்மறை அல்லது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துங்கள், பாகுபாடு காண்பிப்பவர் எதிர்மறையாக இருந்தால், வேர்கள் இல்லை என்று எழுதுங்கள்.

வியட்டாவின் தேற்றம்

கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு கோடாரி 2 -7x + 10 \u003d 0 வேர்கள் 2 மற்றும் 5 ஐக் கொண்டுள்ளது. வேர்களின் கூட்டுத்தொகை 7, மற்றும் தயாரிப்பு 10 ஆகும். வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமம் என்பதைக் காண்கிறோம், மேலும் வேர்களின் தயாரிப்பு இலவச காலத்திற்கு சமம். வேர்களைக் கொண்ட எந்தவொரு இருபடி சமன்பாட்டிற்கும் இந்த சொத்து உள்ளது.

கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமம், எதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்படுகிறது, மேலும் வேர்களின் தயாரிப்பு இலவச காலத்திற்கு சமம்.

அந்த. குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டின் x 2 + px + q \u003d 0 இன் வேர்கள் x 1 மற்றும் x 2 சொத்துக்களைக் கொண்டுள்ளன என்று வியட்டாவின் தேற்றம் கூறுகிறது:
\\ (\\ இடது \\ (\\ தொடக்கம் (வரிசை) (எல்) x_1 + x_2 \u003d -p \\\\ x_1 \\ cdot x_2 \u003d q \\ end (வரிசை) \\ வலது. \\)