ஆன்லைன் கால்குலேட்டர்.
ஒரு சதுர முக்கோணத்தின் இருவகை மற்றும் காரணிமயமாக்கலின் சதுரத்தின் தேர்வு.

அந்த. \\ (p, q \\) மற்றும் \\ (n, m \\) எண்களைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல்கள் குறைக்கப்படுகின்றன.

நிரல் சிக்கலுக்கு விடை தருவது மட்டுமல்லாமல், தீர்வு செயல்முறையையும் காட்டுகிறது.

இந்த திட்டம் இடைநிலைப் பள்ளிகளின் மூத்த மாணவர்களுக்கு சோதனைகள் மற்றும் தேர்வுகளுக்கான தயாரிப்புகளில், தேர்வுக்கு முன் அறிவைச் சரிபார்க்கும்போது, \u200b\u200bகணிதம் மற்றும் இயற்கணிதத்தில் உள்ள பல சிக்கல்களின் தீர்வைக் கட்டுப்படுத்த பெற்றோருக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும். அல்லது நீங்கள் ஒரு ஆசிரியரை நியமிப்பது அல்லது புதிய பாடப்புத்தகங்களை வாங்குவது மிகவும் விலை உயர்ந்ததா? அல்லது உங்கள் கணித அல்லது இயற்கணித வீட்டுப்பாடத்தை விரைவில் செய்ய விரும்புகிறீர்களா? இந்த வழக்கில், எங்கள் திட்டங்களை விரிவான தீர்வோடு பயன்படுத்தலாம்.

இந்த வழியில், நீங்கள் உங்கள் சொந்த போதனைகளை நடத்தலாம் மற்றும் / அல்லது உங்கள் இளைய சகோதரர்கள் அல்லது சகோதரிகளுக்கு கற்பிக்கலாம், அதே நேரத்தில் தீர்க்கப்படும் பிரச்சினைகளின் துறையில் கல்வி நிலை அதிகரிக்கிறது.

ஒரு சதுர முக்கோணத்திற்குள் நுழைவதற்கான விதிகளை நீங்கள் அறிந்திருக்கவில்லை என்றால், அவர்களுடன் உங்களைப் பழக்கப்படுத்திக்கொள்ள நாங்கள் பரிந்துரைக்கிறோம்.

ஒரு சதுர பல்லுறுப்புறுப்புக்குள் நுழைவதற்கான விதிகள்

எந்த லத்தீன் எழுத்தையும் மாறியாகப் பயன்படுத்தலாம்.
எடுத்துக்காட்டாக: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\) போன்றவை.

எண்களை முழு அல்லது பின் எண்களாக உள்ளிடலாம்.
மேலும், பகுதியளவு எண்களை தசம வடிவத்தில் மட்டுமல்ல, சாதாரண பகுதியின் வடிவத்திலும் உள்ளிடலாம்.

தசம பின்னங்களுக்குள் நுழைவதற்கான விதிகள்.
தசம பின்னங்களில், முழுமையிலிருந்து பகுதியளவு ஒரு புள்ளி அல்லது கமாவால் பிரிக்கப்படலாம்.
எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் இது போன்ற தசமங்களை உள்ளிடலாம்: 2.5x - 3.5x ^ 2

சாதாரண பின்னங்களுக்குள் நுழைவதற்கான விதிகள்.
ஒரு முழு எண்ணை மட்டுமே எண், வகுத்தல் மற்றும் ஒரு பகுதியின் முழு பகுதியாக பயன்படுத்த முடியும்.

வகுத்தல் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது.

ஒரு எண் பின்னத்திற்குள் நுழையும்போது, \u200b\u200bஒரு பிரிவு அடையாளத்தால் எண் வகுப்பிலிருந்து பிரிக்கப்படுகிறது: /
முழு பகுதியும் பின்னத்திலிருந்து ஒரு ஆம்பர்சண்டால் பிரிக்கப்படுகிறது: &
உள்ளீடு: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5x + 1 / 7x ^ 2
முடிவு: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ frac (6) (5) x + \\ frac (1) (7) x ^ 2 \\)

ஒரு வெளிப்பாட்டில் நுழையும்போது அடைப்புக்குறிகளைப் பயன்படுத்தலாம்... இந்த வழக்கில், தீர்க்கும்போது, \u200b\u200bஉள்ளிடப்பட்ட வெளிப்பாடு முதலில் எளிமைப்படுத்தப்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டாக: 1/2 (x-1) (x + 1) - (5x-10 & 1/2)

விரிவான தீர்வு உதாரணம்

ஒரு பைனோமியலின் சதுரத்தின் தேர்வு. $$ கோடாரி ^ 2 + பிஎக்ஸ் + சி \\ வலதுபுறம் a (x + p) ^ 2 + q $$ x 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d $$ x 2x ^ 2 +2 \\ cdot 2 \\ cdot \\ இடது ( \\ frac (1) (2) \\ வலது) \\ cdot x + 2 \\ cdot \\ இடது (\\ frac (1) (2) \\ வலது) ^ 2- \\ frac (9) (2) \u003d $$ $$ 2 \\ இடது (x ^ 2 + 2 \\ cdot \\ இடது (\\ frac (1) (2) \\ வலது) \\ cdot x + \\ இடது (\\ frac (1) (2) \\ வலது) ^ 2 \\ வலது) - \\ frac (9 ) (2) \u003d $$ $$ 2 \\ இடது (x + \\ frac (1) (2) \\ வலது) ^ 2- \\ frac (9) (2) $$ பதில்: $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d 2 \\ இடது (x + \\ frac (1) (2) \\ வலது) ^ 2- \\ frac (9) (2) $$ காரணியாக்கம். $$ கோடாரி ^ 2 + பிஎக்ஸ் + சி \\ வலதுபுறம் a (x + n) (x + m) $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d $$
$$ 2 \\ இடது (x ^ 2 + x-2 \\ வலது) \u003d $$
$$ 2 \\ இடது (x ^ 2 + 2x-1x-1 \\ cdot 2 \\ வலது) \u003d $$ $$ 2 \\ இடது (x \\ இடது (x +2 \\ வலது) -1 \\ இடது (x +2 \\ வலது ) \\ வலது) \u003d $$ $$ 2 \\ இடது (x -1 \\ வலது) \\ இடது (x +2 \\ வலது) $$ பதில்: $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d 2 \\ இடது (x -1 \\ வலது) \\ இடது (x +2 \\ வலது) $$

இந்த சிக்கலை தீர்க்க தேவையான சில ஸ்கிரிப்ட்கள் ஏற்றப்படவில்லை, மற்றும் நிரல் வேலை செய்யாமல் போகலாம் என்று கண்டறியப்பட்டது.
ஒருவேளை நீங்கள் AdBlock இயக்கப்பட்டிருக்கலாம்.
இந்த வழக்கில், அதை முடக்கி, பக்கத்தைப் புதுப்பிக்கவும்.

ஏனெனில் சிக்கலைத் தீர்க்க நிறைய பேர் தயாராக உள்ளனர், உங்கள் கோரிக்கை வரிசைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது.
சில விநாடிகளுக்குப் பிறகு, தீர்வு கீழே தோன்றும்.
தயவுசெய்து காத்திருங்கள் நொடி ...

நீங்கள் என்றால் முடிவில் பிழை ஏற்பட்டது, நீங்கள் இதைப் பற்றி கருத்துப் படிவத்தில் எழுதலாம்.
மறவாதே எந்த பணியைக் குறிப்பிடவும் நீங்கள் என்ன முடிவு செய்கிறீர்கள் புலங்களில் உள்ளிடவும்.

எங்கள் விளையாட்டுகள், புதிர்கள், முன்மாதிரிகள்:

ஒரு பிட் கோட்பாடு.

ஒரு சதுர முக்கோணத்திலிருந்து ஒரு சதுர இருபக்கத்தை பிரித்தெடுப்பது

சதுர முக்கோண அச்சு 2 + bx + c a (x + p) 2 + q வடிவத்தில் குறிப்பிடப்பட்டால், p மற்றும் q உண்மையான எண்களாக இருந்தால், அவர்கள் அதிலிருந்து கூறுகிறார்கள் சதுர முக்கோண சதுர இருவகை.

முக்கோண 2x 2 + 12x + 14 இலிருந்து இருவகையின் சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

\\ (2x ^ 2 + 12x + 14 \u003d 2 (x ^ 2 + 6x + 7) \\)

இதைச் செய்ய, 6x ஐ 2 * 3 * x இன் தயாரிப்பாகக் குறிக்கிறோம், பின்னர் 3 2 ஐச் சேர்த்து கழிக்கவும். நாங்கள் பெறுகிறோம்:
$$ 2 (x ^ 2 + 2 \\ cdot 3 \\ cdot x + 3 ^ 2-3 ^ 2 + 7) \u003d 2 ((x + 3) ^ 2-3 ^ 2 + 7) \u003d $$ $$ \u003d 2 ((x + 3) ^ 2-2) \u003d 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

அதனால் நாங்கள் சதுர முக்கோணத்திலிருந்து சதுர இருபக்கத்தை தனிமைப்படுத்தியது, அதைக் காட்டு:
$$ 2x ^ 2 + 12x + 14 \u003d 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

ஒரு சதுர முக்கோண காரணி

சதுர முக்கோண அச்சு 2 + பிஎக்ஸ் + சி ஒரு (x + n) (x + m) வடிவத்தில் குறிப்பிடப்பட்டால், அங்கு n மற்றும் m ஆகியவை உண்மையான எண்களாக இருந்தால், செயல்பாடு செய்யப்பட்டதாகக் கூறப்படுகிறது சதுர முக்கோண காரணி.

இந்த மாற்றம் எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதை ஒரு எடுத்துக்காட்டுடன் காண்பிப்போம்.

சதுர முக்கோண 2x 2 + 4x-6 காரணி.

அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து குணகத்தை வெளியே எடுப்போம், அதாவது. 2:
\\ (2x ^ 2 + 4x-6 \u003d 2 (x ^ 2 + 2x-3) \\)

அடைப்புக்குறிக்குள் வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்.
இதைச் செய்ய, நாங்கள் 2x ஐ 3x-1x ஆகவும், -3 ஐ -1 * 3 ஆகவும் குறிப்பிடுகிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:
$$ \u003d 2 (x ^ 2 + 3 \\ cdot x -1 \\ cdot x -1 \\ cdot 3) \u003d 2 (x (x + 3) -1 \\ cdot (x + 3)) \u003d $$
$$ \u003d 2 (x-1) (x + 3) $$

அதனால் நாங்கள் சதுர முக்கோணத்தை காரணியாக்கியது, அதைக் காட்டு:
$$ 2x ^ 2 + 4x-6 \u003d 2 (x-1) (x + 3) $$

இந்த முக்கோணத்துடன் தொடர்புடைய இருபடி சமன்பாடு வேர்களைக் கொண்டிருந்தால்தான் ஒரு இருபடி முக்கோணத்தின் காரணியாக்கம் சாத்தியமாகும் என்பதை நினைவில் கொள்க.
அந்த. எங்கள் விஷயத்தில், 2x 2 + 4x-6 \u003d 0 என்ற இருபடி சமன்பாடு வேர்களைக் கொண்டிருந்தால், முக்கோண 2x 2 + 4x-6 ஐ காரணியாக்குவது சாத்தியமாகும். காரணியாக்கலின் செயல்பாட்டில், 2x 2 + 4x-6 \u003d 0 என்ற சமன்பாடு 1 மற்றும் -3 ஆகிய இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருப்பதைக் கண்டறிந்தோம். இந்த மதிப்புகளுக்கு, 2 (x-1) (x + 3) \u003d 0 என்ற சமன்பாடு உண்மையான சமத்துவமாக மாறுகிறது.

என்ன காரணிமயமாக்கல்? இது ஒரு மோசமான மற்றும் சிக்கலான உதாரணத்தை எளிய மற்றும் அழகான ஒன்றாக மாற்றுவதற்கான ஒரு வழியாகும்.) மிகவும் சக்திவாய்ந்த தந்திரம்! இது தொடக்கநிலை கணிதத்திலும் உயர் கணிதத்திலும் ஒவ்வொரு அடியிலும் காணப்படுகிறது.

கணித மொழியில் இத்தகைய மாற்றங்கள் வெளிப்பாடுகளின் ஒத்த மாற்றங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இந்த விஷயத்தில் இல்லாதவர் - இணைப்பில் நடந்து செல்லுங்கள். மிகக் குறைவான, எளிமையான மற்றும் பயனுள்ளதாக இருக்கிறது.) எந்தவொரு ஒத்த மாற்றத்திற்கும் பொருள் ஒரு வெளிப்பாட்டை எழுதுவது மற்றொரு வடிவத்தில் அதன் சாரத்தை பாதுகாக்கும் போது.

பொருள் காரணிமயமாக்கல் மிகவும் எளிமையான மற்றும் நேரடியான. பெயரிலிருந்தே நேராக. ஒரு பெருக்கி என்றால் என்ன என்பதை நீங்கள் மறந்துவிடலாம் (அல்லது தெரியாது), ஆனால் இந்த சொல் "பெருக்கல்" என்ற வார்த்தையிலிருந்து வந்தது என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க முடியுமா?) காரணி பொருள்: ஒரு வெளிப்பாட்டை எதையாவது பெருக்குவது எனக் குறிக்கும். கணிதத்தையும் ரஷ்ய மொழியையும் மன்னியுங்கள் ...) அவ்வளவுதான்.

எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் 12 எண்ணை விரிவாக்க வேண்டும். நீங்கள் பாதுகாப்பாக எழுதலாம்:

எனவே 12 ஐ 3 ஆல் 4 ஆல் பெருக்கமாக வழங்கினோம். வலதுபுறத்தில் உள்ள எண்கள் (3 மற்றும் 4) இடதுபுறத்தில் (1 மற்றும் 2) விட முற்றிலும் வேறுபட்டவை என்பதை நினைவில் கொள்க. ஆனால் 12 மற்றும் 3 4 என்பதை நாம் நன்றாக புரிந்துகொள்கிறோம் அதே. மாற்றத்திலிருந்து எண் 12 இன் சாரம் மாறவில்லை.

12 வித்தியாசமாக சிதைக்க முடியுமா? சுலபம்!

12 \u003d 3 4 \u003d 2 6 \u003d 3 2 2 \u003d 0.5 24 \u003d ........

விரிவாக்க விருப்பங்கள் முடிவற்றவை.

எண்களை காரணியாக்குவது ஒரு பயனுள்ள விஷயம். இது நிறைய உதவுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, வேர்களைக் கையாளும் போது. ஆனால் இயற்கணித வெளிப்பாடுகளை காரணியாக்குவது பயனுள்ள ஒன்று அல்ல, அது - அவசியம்! உதாரணமாக:

எளிமைப்படுத்து:

ஒரு வெளிப்பாட்டை எவ்வாறு காரணியாக்குவது என்று தெரியாதவர்கள் ஓரங்கட்டப்படுகிறார்கள். யாருக்கு எப்படி தெரியும் - எளிதாக்குகிறது மற்றும் பெறுகிறது:

விளைவு ஆச்சரியமாக இருக்கிறது, இல்லையா?) மூலம், தீர்வு மிகவும் எளிது. கீழே நீங்களே பாருங்கள். அல்லது, எடுத்துக்காட்டாக, இது போன்ற ஒரு பணி:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

x 5 - x 4 \u003d 0

மனதில் முடிவு செய்யப்பட்டது. காரணிமயமாக்கலைப் பயன்படுத்துதல். இந்த உதாரணத்தை கீழே தீர்ப்போம். பதில்: x 1 \u003d 0; x 2 \u003d 1.

அல்லது, அதே விஷயம், ஆனால் பழையவர்களுக்கு):

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

இந்த எடுத்துக்காட்டுகளுடன் நான் காட்டியுள்ளேன் முக்கிய நோக்கம் காரணிமயமாக்கல்: பகுதியளவு வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குதல் மற்றும் சில வகையான சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும். கட்டைவிரல் விதியை நினைவில் வைக்க நான் பரிந்துரைக்கிறேன்:

எங்களுக்கு முன் ஒரு பயங்கரமான பகுதியளவு வெளிப்பாடு இருந்தால், நீங்கள் எண் மற்றும் வகுப்பினை காரணிகளாகக் கொள்ள முயற்சி செய்யலாம். மிக பெரும்பாலும் பின்னம் சுருக்கப்பட்டு எளிமைப்படுத்தப்படுகிறது.

எங்களுக்கு முன்னால் ஒரு சமன்பாடு இருந்தால், வலதுபுறம் பூஜ்ஜியமாகவும், இடதுபுறமாகவும் இருந்தால் - என்ன புரியவில்லை என்றால், நீங்கள் இடது பக்கத்தை காரணிகளாகக் கொள்ள முயற்சி செய்யலாம். சில நேரங்களில் அது உதவுகிறது).

காரணியாலான அடிப்படை முறைகள்.

மிகவும் பிரபலமான வழிகள் இங்கே:

4. ஒரு சதுர முக்கோணத்தின் சிதைவு.

இந்த முறைகள் நினைவில் கொள்ளப்பட வேண்டும். அந்த வரிசையில். சிக்கலான எடுத்துக்காட்டுகள் சரிபார்க்கப்படுகின்றன சாத்தியமான அனைத்து சிதைவு முறைகளிலும். குழப்பமடையாமல் இருக்க, ஒழுங்காக சரிபார்க்க நல்லது ... எனவே வரிசையில் ஆரம்பிக்கலாம்.)

1. அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பொதுவான காரணியை எடுத்துக்கொள்வது.

ஒரு எளிய மற்றும் நம்பகமான வழி. இது ஒருபோதும் வலிக்காது! அது நல்லது அல்லது இல்லை.) ஆகையால், அவர்தான் முதல்வர். புரிதல்.

அனைவருக்கும் தெரியும் (நான் நம்புகிறேன்!)) விதி:

a (b + c) \u003d ab + ac

அல்லது, பொதுவாக:

a (b + c + d + .....) \u003d ab + ac + ad + ....

எல்லா சமத்துவங்களும் இடமிருந்து வலமாகவும், நேர்மாறாகவும், வலமிருந்து இடமாகவும் செயல்படுகின்றன. நீங்கள் எழுதலாம்:

ab + ac \u003d a (b + c)

ab + ac + ad + .... = a (b + c + d + .....)

அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பொதுவான காரணியை எடுத்துக்கொள்வதற்கான முழு புள்ளியும் அதுதான்.

இடது பக்கத்தில் மற்றும் - பொதுவான காரணி எல்லா விதிமுறைகளுக்கும். எல்லாவற்றையும் பெருக்கி). சரியானது மிக அதிகம் மற்றும் ஏற்கனவே அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே.

முறையின் நடைமுறை பயன்பாட்டை எடுத்துக்காட்டுகள் மூலம் கருதுவோம். முதலில் விருப்பம் எளிமையானது, பழமையானது கூட.) ஆனால் இந்த விருப்பத்தில் எந்தவொரு காரணியாக்கலுக்கும் மிக முக்கியமான புள்ளிகளை (பச்சை நிறத்தில்) குறிப்பேன்.

காரணியாக்கம்:

ah + 9x

என்ன பொது பெருக்கி இரண்டு சொற்களிலும் அமர்ந்திருக்கிறதா? எக்ஸ், நிச்சயமாக! நாங்கள் அதை அடைப்புக்குறிக்குள் வெளியே எடுப்போம். இதை நாங்கள் செய்கிறோம். நாம் உடனடியாக அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே எக்ஸ் எழுதுகிறோம்:

கோடாரி + 9 எக்ஸ் \u003d எக்ஸ் (

மற்றும் அடைப்புக்குறிக்குள் பிரிவின் முடிவை எழுதுகிறோம் ஒவ்வொரு காலமும் இந்த x இல். ஆணைப்படி:

அவ்வளவுதான். நிச்சயமாக, இதுபோன்ற விரிவாக விவரிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, இது மனதில் செய்யப்படுகிறது. ஆனால் என்ன என்பதை புரிந்து கொள்ள, இது விரும்பத்தக்கது). நினைவகத்தில் சரிசெய்கிறோம்:

பொதுவான காரணியை அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே எழுதுகிறோம். அடைப்புக்குறிக்குள், எல்லா சொற்களையும் இந்த பொதுவான காரணியால் வகுப்பதன் முடிவுகளை எழுதுகிறோம். ஆணைப்படி.

எனவே வெளிப்பாட்டை விரிவுபடுத்தினோம் ah + 9x காரணிகளால். இதை x ஆல் பெருக்கமாக மாற்றியது (a + 9). அசல் வெளிப்பாட்டில் இரண்டு பெருக்கங்களும் உள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க: a x மற்றும் 9 x. ஆனால் அது காரணியாக்கப்படவில்லை! ஏனெனில் பெருக்கத்திற்கு கூடுதலாக, இந்த வெளிப்பாட்டில் "+" அடையாளம் கூடுதலாக உள்ளது! மற்றும் வெளிப்பாட்டில் x (a + 9) பெருக்கத்தைத் தவிர வேறு எதுவும் இல்லை!

எப்படி!! - மக்களின் கோபமான குரலை நான் கேட்கிறேன் - மற்றும் அடைப்புக்குறிக்குள்!?)

ஆம், அடைப்புக்குறிக்குள் கூடுதலாக உள்ளது. ஆனால் தந்திரம் என்னவென்றால், அடைப்புக்குறிகள் திறக்கப்படாத நிலையில், அவற்றை நாங்கள் கருதுகிறோம் ஒரு கடிதமாக. நாங்கள் எல்லா செயல்களையும் அடைப்புக்குறிகளுடன் முழுமையாக செய்கிறோம், ஒரு கடிதத்தைப் போல. இந்த அர்த்தத்தில், வெளிப்பாட்டில் x (a + 9) பெருக்கத்தைத் தவிர வேறு எதுவும் இல்லை. இது முழு காரணியாகும்.

மூலம், நாம் எல்லாவற்றையும் சரியாகச் செய்திருக்கிறோமா என்று எப்படியாவது சரிபார்க்க முடியுமா? சுலபம்! வெளியே எடுக்கப்பட்டதை (x) அடைப்புக்குறிகளால் பெருக்கி, அது வேலைசெய்ததா என்று பார்த்தால் போதும் ஆரம்ப வெளிப்பாடு? இது வேலை செய்தால், எல்லாம் நுனி மேல்!)

x (a + 9) \u003d கோடாரி + 9x

நடந்தது.)

இந்த பழமையான எடுத்துக்காட்டில் எந்த பிரச்சனையும் இல்லை. ஆனால் பல சேர்க்கைகள் இருந்தால், மற்றும் வெவ்வேறு அறிகுறிகளுடன் கூட ... சுருக்கமாக, ஒவ்வொரு மூன்றாவது மாணவரும் குழப்பமடைகிறார்கள்). எனவே:

தேவைப்பட்டால், தலைகீழ் பெருக்கல் மூலம் காரணிமயமாக்கலை சரிபார்க்கவும்.

காரணியாக்கம்:

3ax + 9x

நாங்கள் ஒரு பொதுவான காரணியைத் தேடுகிறோம். சரி, எல்லாம் எக்ஸ் மூலம் தெளிவாக உள்ளது, நீங்கள் அதை சகித்துக்கொள்ளலாம். இன்னும் இருக்கிறதா? பொது காரணி? ஆம்! இது மூன்று. இது போன்ற வெளிப்பாட்டை நீங்கள் எழுதலாம்:

3ax + 3 3x

பொதுவான காரணி இருக்கும் என்பதை இங்கே நீங்கள் உடனடியாகக் காணலாம் 3x... இங்கே நாம் அதை வெளியே எடுக்கிறோம்:

3ax + 3 3x \u003d 3x (a + 3)

அவர்கள் அதை தீட்டினர்.

நீங்கள் சகித்தால் என்ன நடக்கும் x மட்டும்? சிறப்பு எதுவும் இல்லை:

3ax + 9x \u003d x (3a + 9)

இது ஒரு காரணியாகவும் இருக்கும். ஆனால் இந்த கண்கவர் செயல்பாட்டில், ஒரு வாய்ப்பு இருக்கும்போது, \u200b\u200bஅது நிற்கும் வரை எல்லாவற்றையும் அடுக்கி வைப்பது வழக்கம். இங்கே, அடைப்புக்குறிக்குள், ஒரு மும்மடங்கை எடுக்க ஒரு வாய்ப்பு உள்ளது அது மாறிவிடும்:

3ax + 9x \u003d x (3a + 9) \u003d 3x (a + 3)

ஒரே விஷயம், ஒரே ஒரு கூடுதல் செயலுடன்.) நினைவில் கொள்ளுங்கள்:

பொதுவான காரணியை அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே எடுக்கும்போது, \u200b\u200bநாங்கள் வெளியே எடுக்க முயற்சிக்கிறோம் அதிகபட்சம் பொதுவான காரணி.

நாங்கள் வேடிக்கையாக இருக்கிறோமா?)

காரணி வெளிப்பாடு:

3ax + 9x-8a-24

நாம் என்ன தாங்கப் போகிறோம்? மூன்று, எக்ஸ்? இல்லை ... உங்களால் முடியாது. நீங்கள் மட்டுமே தாங்க முடியும் என்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன் பொது என்று காரணி ஆகமொத்தம்வெளிப்பாடு விதிமுறைகள். அதனால்தான் அவர் பொது. இங்கே அத்தகைய பெருக்கி எதுவும் இல்லை ... என்ன, நீங்கள் விரிவாக்க முடியாது!? சரி, ஆம், நாங்கள் மகிழ்ச்சியடைந்தோம், நிச்சயமாக ... சந்திப்பு:

2. தொகுத்தல்.

உண்மையில், குழுவாக்கத்தை ஒரு சுயாதீனமான காரணி என்று அழைக்க முடியாது. மாறாக, இது ஒரு சிக்கலான எடுத்துக்காட்டில் இருந்து வெளியேறுவதற்கான ஒரு வழியாகும்.) நீங்கள் விதிமுறைகளை தொகுக்க வேண்டும், இதனால் எல்லாம் செயல்படும். இதை உதாரணத்தால் மட்டுமே காட்ட முடியும். எனவே, நமக்கு முன் வெளிப்பாடு:

3ax + 9x-8a-24

சில பொதுவான எழுத்துக்கள் மற்றும் எண்கள் இருப்பதைக் காணலாம். ஆனாலும்... பொது எல்லா விதிமுறைகளிலும் எந்த காரணியும் இல்லை. நாங்கள் இதயத்தை இழக்கவில்லை வெளிப்பாட்டை துண்டுகளாக உடைக்கவும். குழுவாக இருப்போம். எனவே ஒவ்வொரு பகுதியிலும் ஒரு பொதுவான காரணி இருந்தது, வெளியே எடுக்க ஏதாவது இருந்தது. அதை எவ்வாறு உடைப்பது? அடைப்புக்குறிகளை மட்டும் வைக்கவும்.

அடைப்புக்குறிகளை எங்கும் எந்த வகையிலும் வைக்கலாம் என்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன். உதாரணத்தின் சாராம்சம் இருந்தால் மட்டுமே மாறவில்லை. உதாரணமாக, நீங்கள் இதை செய்யலாம்:

3ax + 9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8 அ + 24)

இரண்டாவது அடைப்புக்குறிக்கு கவனம் செலுத்துங்கள்! அவர்களுக்கு முன்னால் ஒரு கழித்தல் அடையாளம் உள்ளது, மற்றும் 8 அ மற்றும் 24 நேர்மறையாக! சரிபார்ப்புக்கு, அடைப்புக்குறிகளை மீண்டும் திறந்தால், அறிகுறிகள் மாறும், மேலும் நமக்குக் கிடைக்கும் ஆரம்ப வெளிப்பாடு. அந்த. அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து வெளிப்பாட்டின் சாராம்சம் மாறவில்லை.

ஆனால் அடையாள மாற்றத்தை கருத்தில் கொள்ளாமல் நீங்கள் அடைப்புக்குறிக்குள் சிக்கிக்கொண்டால், எடுத்துக்காட்டாக, இது போன்றது:

3ax + 9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8 அ -24 )

அது ஒரு தவறாக இருக்கும். வலது - ஏற்கனவே மற்றவை வெளிப்பாடு. அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கவும், எல்லாம் தெரியும். நீங்கள் முடிவு செய்ய முடியாது, ஆம் ...)

ஆனால் மீண்டும் காரணியாக்கத்திற்கு. முதல் அடைப்புக்குறிகளைப் பார்க்கிறோம் (3ax + 9x) நாம் எதையும் தாங்க முடியுமா? சரி, இந்த உதாரணத்தை நாங்கள் மேலே தீர்த்தோம், நீங்கள் எடுக்கலாம் 3 எக்ஸ்:

(3ax + 9x) \u003d 3x (a + 3)

நாங்கள் இரண்டாவது அடைப்புக்குறிகளைப் படிக்கிறோம், அங்கு நீங்கள் எட்டு வெளியே எடுக்கலாம்:

(8 அ + 24) \u003d 8 (அ + 3)

எங்கள் முழு வெளிப்பாடு மாறும்:

(3ax + 9x) - (8a + 24) \u003d 3x (a + 3) -8 (a + 3)

காரணியா? இல்லை. சிதைவு ஏற்பட வேண்டும் பெருக்கல் மட்டுமே, எங்கள் கழித்தல் அடையாளம் எல்லாவற்றையும் கெடுத்துவிடும். ஆனால் ... இரண்டு சொற்களுக்கும் பொதுவான காரணி உள்ளது! அது (a + 3)... முழு அடைப்புக்குறிகளும் ஒரு கடிதம் என்று நான் சொன்னது ஒன்றும் இல்லை. எனவே, இந்த அடைப்புக்குறிகளை அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து எடுக்கலாம். ஆமாம், அது போலவே தெரிகிறது.)

மேலே விவரிக்கப்பட்டபடி செய்கிறோம். நாங்கள் பொதுவான காரணியை எழுதுகிறோம் (a + 3), இரண்டாவது அடைப்புக்குறிக்குள் சொற்களைப் பிரிப்பதன் முடிவுகளை எழுதுகிறோம் (a + 3):

3x (a + 3) -8 (a + 3) \u003d (a + 3) (3x-8)

எல்லாம்! வலதுபுறத்தில், பெருக்கத்தைத் தவிர வேறு எதுவும் இல்லை! எனவே காரணியாக்கம் வெற்றிகரமாக உள்ளது!) இங்கே அது:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

குழுவின் சாரத்தை சுருக்கமாக மீண்டும் கூறுவோம்.

வெளிப்பாடு இல்லை என்றால் பொது க்கான பெருக்கி எல்லாவற்றிலும் விதிமுறைகள், அடைப்புக்குறிக்குள் வெளிப்பாட்டை உடைக்கிறோம், இதனால் அடைப்புக்குறிக்குள் பொதுவான காரணி இருக்கும் இருந்தது. நாங்கள் அதை வெளியே எடுத்து என்ன நடந்தது என்று பார்க்கிறோம். நீங்கள் அதிர்ஷ்டசாலி என்றால், அடைப்புக்குறிக்குள் அதே வெளிப்பாடுகள் இருந்தால், இந்த அடைப்புக்குறிகளை அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே நகர்த்தவும்.

தொகுத்தல் ஒரு படைப்பு செயல்முறை என்று நான் சேர்ப்பேன்). இது எப்போதும் முதல் முறையாக வேலை செய்யாது. தவறில்லை. சில நேரங்களில் நீங்கள் இடங்களை மாற்ற வேண்டும், வெற்றிகரமான ஒன்றைக் கண்டுபிடிக்கும் வரை குழுவாக வெவ்வேறு விருப்பங்களைக் கவனியுங்கள். இங்கே முக்கிய விஷயம் இதயத்தை இழக்காதது!)

எடுத்துக்காட்டுகள்.

இப்போது, \u200b\u200bஅறிவால் வளப்படுத்தப்பட்டதால், நீங்கள் தந்திரமான உதாரணங்களைத் தீர்க்க முடியும்.) பாடத்தின் ஆரம்பத்தில் இவற்றில் மூன்று இருந்தன ...

எளிமைப்படுத்து:

உண்மையில், இந்த உதாரணத்தை நாங்கள் ஏற்கனவே தீர்த்துள்ளோம். எனக்குத் தெரியாமல்.) நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்: எங்களுக்கு ஒரு பயங்கரமான பகுதியைக் கொடுத்தால், நாங்கள் எண் மற்றும் வகுப்பினரைக் காரணியாக்க முயற்சிக்கிறோம். பிற எளிமைப்படுத்தும் விருப்பங்கள் வெறுமனே இல்லை.

சரி, இங்குள்ள வகு விரிவடையவில்லை, ஆனால் எண் ... பாடத்தின் போக்கில் நாம் ஏற்கனவே எண்ணிக்கையை விரிவுபடுத்தியுள்ளோம்! இது போன்ற:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

விரிவாக்கத்தின் முடிவை பின்னத்தின் எண்ணிக்கையில் எழுதுகிறோம்:

பின்னங்களைக் குறைப்பதற்கான விதியின் படி (ஒரு பகுதியின் முக்கிய சொத்து), நாம் ஒரே நேரத்தில் அல்லது வெளிப்பாட்டின் மூலம் எண் மற்றும் வகுப்பினை பிரிக்கலாம் (ஒரே நேரத்தில்!). இதிலிருந்து பின்னம் மாறாது. எனவே நாம் எண்களையும் வகுப்பையும் வெளிப்பாடு மூலம் பிரிக்கிறோம் (3x-8)... இங்கேயும் அங்கேயும் நாம் ஒன்றைப் பெறுகிறோம். இறுதி எளிமைப்படுத்தல் முடிவு:

நான் வலியுறுத்த விரும்புகிறேன்: வெளிப்பாடுகளைப் பெருக்குவதோடு கூடுதலாக, ஒரு பகுதியையும் குறைப்பதும் சாத்தியமாகும். எதுவும் இல்லை. அதனால்தான் தொகையை (வேறுபாடு) மாற்றுவது பெருக்கல் எளிமைப்படுத்த மிகவும் முக்கியமானது. நிச்சயமாக, வெளிப்பாடுகள் என்றால் பல்வேறு, பின்னர் எதுவும் குறைக்கப்படாது. நிச்சயமாக. ஆனால் காரணி ஒரு வாய்ப்பு தருகிறது. சிதைவு இல்லாத இந்த வாய்ப்பு வெறுமனே இல்லை.

சமன்பாட்டுடன் எடுத்துக்காட்டு:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

x 5 - x 4 \u003d 0

பொதுவான காரணியை நாங்கள் எடுத்துக்கொள்கிறோம் x 4 அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே. நாங்கள் பெறுகிறோம்:

x 4 (x-1) \u003d 0

காரணிகளின் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியம் என்று நாங்கள் கருதுகிறோம் பின்னர், பின்னர், அவற்றில் ஏதேனும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது. சந்தேகம் இருந்தால், பூஜ்ஜியமற்ற எண்களைக் கண்டுபிடி, அவை பெருக்கும்போது பூஜ்ஜியத்தைக் கொடுக்கும்.) எனவே நாம் எழுதுகிறோம், முதலில் முதல் காரணி:

இந்த சமத்துவத்துடன், இரண்டாவது காரணி நம்மைத் தொந்தரவு செய்யாது. யார் வேண்டுமானாலும் இருக்கலாம், முடிவில் ஒரே மாதிரியாக அது பூஜ்ஜியமாக மாறும். பூஜ்ஜியத்தின் நான்காவது சக்தியில் எந்த எண் கொடுக்கும்? பூஜ்ஜியம் மட்டுமே! வேறு ஒன்றும் இல்லை ... எனவே:

முதல் காரணியை நாங்கள் வரிசைப்படுத்தினோம், ஒரு மூலத்தைக் கண்டறிந்தோம். இரண்டாவது காரணியைக் கையாள்வோம். இப்போது முதல் காரணியைப் பற்றி நாங்கள் கவலைப்படவில்லை.):

எனவே ஒரு தீர்வைக் கண்டோம்: x 1 \u003d 0; x 2 \u003d 1... இந்த வேர்கள் ஏதேனும் நமது சமன்பாட்டிற்கு பொருந்தும்.

மிக முக்கியமான குறிப்பு. சமன்பாட்டை நாங்கள் தீர்த்தோம் என்பதை நினைவில் கொள்க துண்டு துண்டாக! ஒவ்வொரு காரணியும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக அமைக்கப்பட்டது, மீதமுள்ள காரணிகளை புறக்கணித்தல். மூலம், அத்தகைய சமன்பாட்டில் இரண்டு காரணிகள் இல்லை என்றால், எங்களிடம் உள்ளது, ஆனால் மூன்று, ஐந்து, நீங்கள் விரும்பும் பல, நாங்கள் தீர்ப்போம் ஒத்த. துண்டு துண்டாக. உதாரணத்திற்கு:

(x-1) (x + 5) (x-3) (x + 2) \u003d 0

அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பவர், எல்லாவற்றையும் பெருக்கி, அவர் எப்போதும் இந்த சமன்பாட்டைத் தொங்கவிடுவார்.) சரியான மாணவர் உடனடியாக இடதுபுறத்தில் பெருக்கத்தைத் தவிர வேறு எதுவும் இல்லை என்பதைக் காண்பார், வலதுபுறம் - பூஜ்ஜியம். அது தொடங்கும் (மனதில்!) அனைத்து அடைப்புக்குறிப்புகளையும் வரிசையில் பூஜ்ஜியமாக சமன் செய்ய. அவர் பெறுவார் (10 வினாடிகளில்!) சரியான தீர்வு: x 1 \u003d 1; x 2 \u003d -5; x 3 \u003d 3; x 4 \u003d -2.

பெரியது, இல்லையா?) சமன்பாட்டின் இடது புறம் இருந்தால் அத்தகைய நேர்த்தியான தீர்வு சாத்தியமாகும் காரணிகளாக சிதைந்துள்ளது. குறிப்பு தெளிவாக இருக்கிறதா?)

சரி, கடைசி உதாரணம், பழையவர்களுக்கு):

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

இது எப்படியாவது முந்தையதைப் போன்றது, நீங்கள் நினைக்கவில்லையா?) நிச்சயமாக. ஏழாம் வகுப்பு இயற்கணிதத்தில், கடிதங்கள் சைன்கள், மடக்கைகள் மற்றும் நீங்கள் விரும்பியதை மறைக்க முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டிய நேரம் இது! அனைத்து கணிதத்திலும் காரணி வேலை செய்கிறது.

பொதுவான காரணியை நாங்கள் எடுத்துக்கொள்கிறோம் lg 4 x அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே. நாங்கள் பெறுகிறோம்:

lg 4 x \u003d 0

இது ஒரு வேர். இரண்டாவது காரணியைக் கையாள்வோம்.

இறுதி பதில் இங்கே: x 1 \u003d 1; x 2 \u003d 10.

பின்னங்களை எளிதாக்குவதிலும் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதிலும் காரணியாலின் ஆற்றலை நீங்கள் உணர்ந்திருப்பீர்கள் என்று நம்புகிறேன்.)

இந்த பாடத்தில், பொதுவான காரணி மற்றும் தொகுத்தல் பற்றி நாங்கள் கற்றுக்கொண்டோம். சுருக்கமான பெருக்கல் மற்றும் சதுர முக்கோணத்திற்கான சூத்திரங்களைக் கண்டுபிடிக்க இது உள்ளது.

இந்த தளத்தை நீங்கள் விரும்பினால் ...

மூலம், உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் உள்ளன.)

எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதை நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்பு சோதனை. கற்றல் - ஆர்வத்துடன்!)

நீங்கள் செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களுடன் பழகலாம்.

இயற்கணிதத்தில் "பல்லுறுப்புக்கோவை" மற்றும் "பல்லுறுப்புறுப்பு காரணிமயமாக்கல்" என்ற கருத்துக்கள் மிகவும் பொதுவானவை, ஏனென்றால் பெரிய பல இலக்க எண்களைக் கொண்டு எளிதாக கணக்கீடுகளைச் செய்ய நீங்கள் அவற்றை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். இந்த கட்டுரை சிதைவின் பல வழிகளை விவரிக்கும். அவை அனைத்தும் பயன்படுத்த மிகவும் எளிமையானவை, ஒவ்வொரு விஷயத்திலும் நீங்கள் சரியானதைத் தேர்வு செய்ய வேண்டும்.

பல்லுறுப்புக்கோவை கருத்து

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது மோனோமியல்களின் கூட்டுத்தொகை, அதாவது பெருக்கல் செயல்பாட்டை மட்டுமே கொண்ட வெளிப்பாடுகள்.

எடுத்துக்காட்டாக, 2 * x * y என்பது ஒரு மோனோமியல், ஆனால் 2 * x * y + 25 என்பது 2 மோனோமியல்களைக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்: 2 * x * y மற்றும் 25. இத்தகைய பல்லுறுப்புக்கோவைகள் பைனோமியல்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

சில நேரங்களில், பன்முகப்படுத்தப்பட்ட மதிப்புகளுடன் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வசதிக்காக, ஒரு வெளிப்பாடு மாற்றப்பட வேண்டும், எடுத்துக்காட்டாக, பல காரணிகளாக சிதைக்கப்படுகிறது, அதாவது, பெருக்கல் செயல் நிகழ்த்தப்படும் எண்கள் அல்லது வெளிப்பாடுகள். ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்க பல வழிகள் உள்ளன. ஆரம்ப தரங்களில் கூட பயன்படுத்தப்படும் மிகவும் பழமையானவற்றிலிருந்து தொடங்குவதைக் கருத்தில் கொள்வது மதிப்பு.

தொகுத்தல் (பொது பதிவு)

பொதுவாக தொகுப்பதன் மூலம் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை காரணிகளாக சிதைப்பதற்கான சூத்திரம் இதுபோல் தெரிகிறது:

ac + bd + bc + ad \u003d (ac + bc) + (ad + bd)

ஒவ்வொரு குழுவிலும் ஒரு பொதுவான காரணி தோன்றும் வகையில் மோனோமியல்களை தொகுக்க வேண்டியது அவசியம். முதல் அடைப்புக்குறியில் இது காரணி c, மற்றும் இரண்டாவது அது d ஆகும். இதை அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே வைக்க, இதன் மூலம் கணக்கீடுகளை எளிதாக்குவதற்கு இது செய்யப்பட வேண்டும்.

ஒரு குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுக்கான சிதைவு வழிமுறை

தொகுத்தல் மூலம் காரணிகளாக ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்குவதற்கான எளிய எடுத்துக்காட்டு கீழே காட்டப்பட்டுள்ளது:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

முதல் அடைப்புக்குறிக்குள், நீங்கள் a என்ற காரணியுடன் விதிமுறைகளை எடுக்க வேண்டும், இது பொதுவானதாக இருக்கும், மற்றும் இரண்டாவது - காரணி b உடன். முடிக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டில் + மற்றும் - அறிகுறிகளைக் கவனியுங்கள். ஆரம்ப வெளிப்பாட்டில் இருந்த அடையாளத்தை மோனோமியலின் முன் வைத்தோம். அதாவது, நீங்கள் 25a வெளிப்பாட்டுடன் அல்ல, ஆனால் -25 என்ற வெளிப்பாட்டுடன் செயல்பட வேண்டும். மைனஸ் அடையாளம் அதன் பின்னால் உள்ள வெளிப்பாட்டை "ஒட்டிக்கொள்வது" போன்றது மற்றும் கணக்கீடுகளில் எப்போதும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.

அடுத்த கட்டத்தில், அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே பொதுவான காரணியை நீங்கள் எடுக்க வேண்டும். குழுவாக இருப்பது இதுதான். அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே வைப்பது என்பது அடைப்புக்குறிக்கு முன்னால் எழுதுவது (பெருக்கல் அடையாளத்தைத் தவிர்ப்பது) அடைப்புக்குறிப்பில் உள்ள அனைத்து சொற்களிலும் துல்லியமாக மீண்டும் மீண்டும் கூறப்படும் அனைத்து காரணிகளும். அடைப்புக்குறிக்குள் 2, ஆனால் 3 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சொற்கள் இல்லாவிட்டால், அவை ஒவ்வொன்றிலும் பொதுவான காரணி இருக்க வேண்டும், இல்லையெனில் அதை அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே எடுக்க முடியாது.

எங்கள் விஷயத்தில் - அடைப்புக்குறிக்குள் 2 சொற்கள் மட்டுமே. பொதுவான காரணி உடனடியாக தெரியும். முதல் அடைப்பு ஒரு, இரண்டாவது ஆ. இங்கே நீங்கள் டிஜிட்டல் குணகங்களுக்கு கவனம் செலுத்த வேண்டும். முதல் அடைப்புக்குறியில், இரண்டு குணகங்களும் (10 மற்றும் 25) 5 இன் பெருக்கங்கள். இதன் பொருள் a மட்டுமல்ல, 5a ஐ அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே எடுக்கலாம். அடைப்புக்குறிக்கு முன் 5a ஐ எழுதுங்கள், பின்னர் எடுக்கப்பட்ட பொதுவான காரணியால் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள ஒவ்வொரு சொற்களையும் பிரிக்கவும், மேலும் அடையாளங்களை மறந்துவிடாமல் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள பகுதியை எழுதவும் + மற்றும் - இரண்டாவது அடைப்புக்குறிக்குள் இதைச் செய்யுங்கள், 7b ஐ எடுக்கவும், 14 மற்றும் 35 7 இன் பல.

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

இது 2 சொற்கள்: 5 அ (2 சி - 5) மற்றும் 7 பி (2 சி - 5). அவை ஒவ்வொன்றிலும் ஒரு பொதுவான காரணி உள்ளது (இங்கு அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள அனைத்து வெளிப்பாடுகளும் பொருந்துகின்றன, அதாவது இது ஒரு பொதுவான காரணி): 2 சி - 5. இது அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே எடுக்கப்பட வேண்டும், அதாவது 5a மற்றும் 7b ஆகிய சொற்கள் இரண்டாவது அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ளன:

5 அ (2 சி - 5) + 7 பி (2 சி - 5) \u003d (2 சி - 5) * (5 அ + 7 பி).

எனவே முழுமையான வெளிப்பாடு:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

இவ்வாறு, பல்லுறுப்புறுப்பு 10ac + 14bc - 25a - 35b 2 காரணிகளாக சிதைக்கப்படுகிறது: (2c - 5) மற்றும் (5a + 7b). எழுதும் போது அவற்றுக்கிடையேயான பெருக்கல் அடையாளத்தை தவிர்க்கலாம்

சில நேரங்களில் இந்த வகையின் வெளிப்பாடுகள் உள்ளன: 5a 2 + 50a 3, இங்கே நீங்கள் ஒரு அல்லது 5a மட்டுமல்ல, 5a 2 ஐ கூட அடைப்புக்குறிக்குள் வைக்கலாம். நீங்கள் எப்போதும் சாத்தியமான மிகப்பெரிய பொதுவான காரணியைக் கண்டறிய முயற்சிக்க வேண்டும். எங்கள் விஷயத்தில், ஒவ்வொரு வார்த்தையையும் ஒரு பொதுவான காரணியால் வகுத்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

5 அ 2/5 அ 2 \u003d 1; 50 அ 3/5 அ 2 \u003d 10 அ (சமமான தளங்களுடன் பல டிகிரிகளின் அளவைக் கணக்கிடும்போது, \u200b\u200bஅடித்தளம் தக்கவைக்கப்படுகிறது, மற்றும் அடுக்கு கழிக்கப்படுகிறது). எனவே, அலகு அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ளது (எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும், நீங்கள் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள சொற்களில் ஒன்றை எடுத்துக் கொண்டால், அலகு எழுத மறக்காதீர்கள்) மற்றும் பிரிவின் அளவு: 10а. அது மாறிவிடும்:

5 அ 2 + 50 அ 3 \u003d 5 அ 2 (1 + 10 அ)

சதுர சூத்திரங்கள்

கணக்கீடுகளின் வசதிக்காக, பல சூத்திரங்கள் பெறப்பட்டுள்ளன. அவை சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவை பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த சூத்திரங்கள் டிகிரி கொண்ட காரணி பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு உதவுகின்றன. இது மற்றொரு சக்திவாய்ந்த காரணிமயமாக்கல் நுட்பமாகும். எனவே, இங்கே அவை:

• a 2 + 2ab + b 2 \u003d (a + b) 2 - "தொகையின் சதுரம்" என்று அழைக்கப்படும் சூத்திரம், ஒரு சதுரமாக விரிவாக்கத்தின் விளைவாக, அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்பட்ட எண்களின் தொகை எடுக்கப்படுகிறது, அதாவது, இந்த தொகையின் மதிப்பு 2 மடங்கு பெருக்கப்படுகிறது, அதாவது இது ஒரு காரணி.
• a 2 + 2ab - b 2 \u003d (a - b) 2 - வித்தியாசத்தின் சதுரத்திற்கான சூத்திரம், இது முந்தையதைப் போன்றது. இதன் விளைவாக வேறுபாடு, அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்பட்டுள்ளது, சதுர சக்தியில் உள்ளது.
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b) - இது சதுரங்களின் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரமாகும், ஏனெனில் ஆரம்பத்தில் பல்லுறுப்புக்கோவை 2 சதுர எண்கள் அல்லது வெளிப்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது, அவற்றுக்கு இடையில் கழித்தல் செய்யப்படுகிறது. ஒருவேளை, பெயரிடப்பட்ட மூன்றில், இது பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

சதுர சூத்திரங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

அவர்களுக்கான கணக்கீடுகள் மிகவும் எளிமையானவை. உதாரணத்திற்கு:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - "தொகையின் சதுரம்" என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
2. 25x 2 என்பது 5x இன் சதுரம். 20xy என்பது 2 * (5x * 2y) இன் இரட்டிப்பான தயாரிப்பு, மற்றும் 4y 2 என்பது 2y இன் சதுரம்.
3. எனவே 25x 2 + 20xy + 4y 2 \u003d (5x + 2y) 2 \u003d (5x + 2y) (5x + 2y). இந்த பல்லுறுப்புக்கோவை 2 காரணிகளாக சிதைக்கப்படுகிறது (காரணிகள் ஒன்றுதான், எனவே, இது ஒரு சதுர சக்தியுடன் ஒரு வெளிப்பாடாக எழுதப்பட்டுள்ளது).

வித்தியாசத்தின் சதுரத்தின் சூத்திரத்தின் படி செயல்கள் ஒரே வழியில் செய்யப்படுகின்றன. சூத்திரம் சதுரங்களின் வித்தியாசமாக உள்ளது. இந்த சூத்திரத்திற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் மற்ற வெளிப்பாடுகளில் வரையறுக்க மற்றும் கண்டுபிடிக்க மிகவும் எளிதானது. உதாரணத்திற்கு:

• 25 அ 2 - 400 \u003d (5 அ - 20) (5 அ + 20). 25a 2 \u003d (5a) 2, மற்றும் 400 \u003d 20 2 முதல்
• 36x 2 - 25y 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y). 36x 2 \u003d (6x) 2, மற்றும் 25y 2 \u003d (5y 2)
• c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). 169 பி 2 \u003d (13 பி) 2 முதல்

ஒவ்வொரு சொற்களும் சில வெளிப்பாட்டின் சதுரம் என்பது முக்கியம். இந்த பல்லுறுப்புக்கோவை சதுரங்களின் வேறுபாட்டின் சூத்திரத்தால் காரணிமயமாக்கலுக்கு உட்பட்டது. இதற்காக, இரண்டாவது பட்டம் எண்ணுக்கு மேலே இருக்க வேண்டும் என்பது அவசியமில்லை. பெரிய டிகிரிகளைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகள் உள்ளன, ஆனால் இன்னும் இந்த சூத்திரங்களுக்கு பொருந்துகின்றன.

a 8 + 10a 4 +25 \u003d (a 4) 2 + 2 * a 4 * 5 + 5 2 \u003d (a 4 +5) 2

இந்த எடுத்துக்காட்டில், ஒரு 8 ஐ (ஒரு 4) 2, அதாவது சில வெளிப்பாட்டின் சதுரம் என குறிப்பிடலாம். 25 என்பது 5 2, மற்றும் 10 அ 4 ஆகும் - இது 2 * a 4 * 5 என்ற சொற்களின் இரட்டிப்பான தயாரிப்பு ஆகும். அதாவது, இந்த வெளிப்பாடு, பெரிய எக்ஸ்போனெண்டுகளுடன் டிகிரி இருந்தபோதிலும், பின்னர் அவர்களுடன் இணைந்து பணியாற்றுவதற்காக 2 காரணிகளாக சிதைக்கப்படலாம்.

கன சூத்திரங்கள்

க்யூப்ஸைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளை காரணியாக்க அதே சூத்திரங்கள் உள்ளன. அவை சதுரங்களைக் கொண்டவர்களைக் காட்டிலும் சற்று சிக்கலானவை:

• a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2) - இந்த சூத்திரம் க்யூப்ஸின் கூட்டுத்தொகை என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அதன் ஆரம்ப வடிவத்தில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது ஒரு கனசதுரத்தில் இணைக்கப்பட்டுள்ள இரண்டு வெளிப்பாடுகள் அல்லது எண்களின் கூட்டுத்தொகையாகும்.
• a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) - முந்தையதை ஒத்த ஒரு சூத்திரம் க்யூப்ஸின் வித்தியாசமாக குறிப்பிடப்படுகிறது.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 \u003d (a + b) 3 - தொகையின் ஒரு கன சதுரம், கணக்கீடுகளின் விளைவாக, எண்கள் அல்லது வெளிப்பாடுகளின் தொகை பெறப்படுகிறது, அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்பட்டு 3 மடங்கு பெருக்கப்படுகிறது, அதாவது ஒரு கனசதுரத்தில் அமைந்துள்ளது
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 \u003d (a - b) 3 -கணித செயல்பாடுகளின் சில அறிகுறிகளை (பிளஸ் மற்றும் கழித்தல்) மாற்றுவதன் மூலம் முந்தையவற்றுடன் ஒப்புமை மூலம் வரையப்பட்ட சூத்திரம் "வேறுபாடு கன சதுரம்" என்று அழைக்கப்படுகிறது.

கடைசி இரண்டு சூத்திரங்கள் நடைமுறையில் ஒரு பல்லுறுப்புறுவை காரணிகளாக மாற்றுவதற்கான நோக்கத்திற்காக பயன்படுத்தப்படுவதில்லை, ஏனெனில் அவை சிக்கலானவை, மேலும் அத்தகைய கட்டமைப்பிற்கு முற்றிலும் ஒத்திருக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மிகவும் அரிதானவை, இதனால் அவை இந்த சூத்திரங்களால் சிதைக்கப்படுகின்றன. ஆனால் நீங்கள் இன்னும் அவற்றை அறிந்து கொள்ள வேண்டும், ஏனென்றால் எதிர் திசையில் விஷயங்களைச் செய்யும்போது அவை தேவைப்படும் - அடைப்புக்குறிகளை விரிவுபடுத்தும்போது.

கன சூத்திரங்களுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

ஒரு உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்: 64a 3 - 8b 3 \u003d (4a) 3 - (2b) 3 \u003d (4a - 2b) ((4a) 2 + 4a * 2b + (2b) 2) \u003d (4a - 2b) (16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

இங்கே நாம் மிகவும் பிரதான எண்களை எடுத்துள்ளோம், எனவே 64a 3 (4a) 3 என்றும், 8b 3 (2b) 3 என்றும் உடனடியாகக் காணலாம். எனவே, இந்த பல்லுறுப்புக்கோட்டு க்யூப்ஸின் சூத்திர வேறுபாட்டால் 2 காரணிகளால் சிதைக்கப்படுகிறது. க்யூப்ஸ் தொகைக்கான சூத்திரத்தின் படி செயல்கள் ஒப்புமை மூலம் செய்யப்படுகின்றன.

எல்லா பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் குறைந்தது ஒரு வழியிலாவது சிதைக்க முடியாது என்பதை புரிந்து கொள்ள வேண்டும். ஆனால் ஒரு சதுரம் அல்லது கனசதுரத்தை விட அதிகமான டிகிரிகளைக் கொண்ட வெளிப்பாடுகள் உள்ளன, ஆனால் அவை சுருக்கமான பெருக்கல் வடிவங்களாகவும் சிதைக்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக: x 12 + 125y 3 \u003d (x 4) 3 + (5y) 3 \u003d (x 4 + 5y) * ((x 4) 2 - x 4 * 5y + (5y) 2) \u003d (x 4 + 5y) ( x 8 - 5x 4 y + 25y 2).

இந்த எடுத்துக்காட்டில் 12 டிகிரி வரை உள்ளது. ஆனால் க்யூப்ஸின் தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இது காரணியாக இருக்கலாம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் x 12 ஐ (x 4) 3 ஆக குறிக்க வேண்டும், அதாவது சில வெளிப்பாட்டின் கனசதுரமாக. இப்போது, \u200b\u200bஅதற்கு பதிலாக, நீங்கள் அதை சூத்திரத்தில் மாற்ற வேண்டும். சரி, 125y 3 வெளிப்பாடு க்யூப் 5y ஆகும். அடுத்து, நீங்கள் சூத்திரத்தின் படி ஒரு தயாரிப்பை உருவாக்கி கணக்கீடுகளை செய்ய வேண்டும்.

முதலில், அல்லது சந்தேகம் ஏற்பட்டால், நீங்கள் எப்போதும் பெருக்கல் மூலம் சரிபார்க்கலாம். இதன் விளைவாக வெளிப்பாட்டில் நீங்கள் அடைப்புக்குறிகளை விரிவுபடுத்த வேண்டும் மற்றும் அத்தகைய சொற்களைக் கொண்டு செயல்களைச் செய்ய வேண்டும். இந்த முறை மேலே உள்ள அனைத்து குறைப்பு முறைகளுக்கும் பொருந்தும்: இரண்டும் பொதுவான காரணி மற்றும் குழுவாக வேலை செய்வது, அதே போல் க்யூப்ஸ் மற்றும் சதுர டிகிரி சூத்திரங்களின் செயல்பாடுகளுக்கும்.

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது ஒரு தொகை மோனோமியல்களைக் கொண்ட ஒரு வெளிப்பாடு ஆகும். பிந்தையது ஒரு நிலையான (எண்) மற்றும் வெளிப்பாட்டின் வேர் (அல்லது வேர்கள்) k இன் சக்தியாகும். இந்த வழக்கில், ஒருவர் பட்டம் k இன் பல்லுறுப்புக்கோவையைப் பற்றி பேசுகிறார். ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் சிதைவு என்பது வெளிப்பாட்டின் மாற்றத்தை உள்ளடக்கியது, இதில் சொற்கள் காரணிகளால் மாற்றப்படுகின்றன. இந்த வகையான மாற்றத்தை மேற்கொள்வதற்கான முக்கிய வழிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

ஒரு பொதுவான காரணியை பிரித்தெடுப்பதன் மூலம் பல்லுறுப்பு சிதைவு முறை

இந்த முறை விநியோக சட்டத்தின் சட்டங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டது. எனவே, mn + mk \u003d m * (n + k).

• உதாரணமாக:7y 2 + 2uy மற்றும் 2m 3 - 12m 2 + 4lm ஐ விரிவாக்குங்கள்.

7y 2 + 2uy \u003d y * (7y + 2u),

2 மீ 3 - 12 மீ 2 + 4 எல்எம் \u003d 2 மீ (மீ 2 - 6 மீ + 2 எல்).

இருப்பினும், ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையிலும் அவசியமாக இருக்கும் காரணி எப்போதும் காணப்படாமல் போகலாம், எனவே இந்த முறை உலகளாவியது அல்ல.

சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களின் அடிப்படையில் பல்லுறுப்புறுப்பு சிதைவு முறை

சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள் எந்த அளவின் பல்லுறுப்புக்கோவிற்கும் செல்லுபடியாகும். பொதுவாக, ஒரு மாற்று வெளிப்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது:

uk - lk \u003d (u - l) (u k-1 + u k-2 * l + u k-3 * l 2 +… u * l k-2 + l k-1), இங்கு k என்பது இயற்கை எண்களின் பிரதிநிதி ...

நடைமுறையில் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரங்கள் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது ஆர்டர்களின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு:

u 2 - l 2 \u003d (u - l) (u + l),

u 3 - l 3 \u003d (u - l) (u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 \u003d (u + l) (u 2 - ul + l 2).

• உதாரணமாக:25p 2 - 144b 2 மற்றும் 64m 3 - 8l 3 ஆகியவற்றை பரப்பவும்.

25 ப 2 - 144 பி 2 \u003d (5 ப - 12 பி) (5 ப + 12 பி),

64 மீ 3 - 8 எல் 3 \u003d (4 மீ) 3 - (2 லி) 3 \u003d (4 மீ - 2 எல்) ((4 மீ) 2 + 4 மீ * 2 எல் + (2 எல்) 2) \u003d (4 மீ - 2 எல்) (16 மீ 2 + 8 மிலி + 4 எல் 2) ).

பல்லுறுப்புறுப்பு சிதைவு முறை - ஒரு வெளிப்பாட்டின் விதிமுறைகளை தொகுத்தல்

இந்த முறை ஏதோ ஒரு வகையில் பொதுவான காரணியைப் பெறுவதற்கான நுட்பத்துடன் பொதுவான ஒன்றைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் சில வேறுபாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. குறிப்பாக, பொதுவான காரணியைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கு முன், ஒருவர் மோனோமியல்களை தொகுக்க வேண்டும். தொகுத்தல் மற்றும் இடமாற்ற சட்டங்களின் விதிகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

வெளிப்பாட்டில் வழங்கப்பட்ட அனைத்து மோனோமியல்களும் குழுக்களாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன, ஒவ்வொன்றிலும் மொத்த மதிப்பு எடுக்கப்படுகிறது, அதாவது இரண்டாவது காரணி அனைத்து குழுக்களிலும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். பொதுவாக, அத்தகைய சிதைவு முறையை ஒரு வெளிப்பாடாக குறிப்பிடலாம்:

pl + ks + kl + ps \u003d (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps \u003d p (l + s) + k (l + s),

pl + ks + kl + ps \u003d (p + k) (l + s).

• உதாரணமாக:14mn + 16ln - 49m - 56l.

14mn + 16ln - 49m - 56l \u003d (14mn - 49m) + (16ln - 56l) \u003d 7m * (2n - 7) + 8l * (2n - 7) \u003d (7m + 8l) (2n - 7).

பல்லுறுப்புறுப்பு சிதைவு முறை - ஒரு முழுமையான சதுரத்தை உருவாக்குகிறது

இந்த முறை பல்லுறுப்புறுப்பு விரிவாக்கத்தின் போது மிகவும் திறமையான ஒன்றாகும். ஆரம்ப கட்டத்தில், வேறுபாடு அல்லது தொகையின் சதுரத்தில் “மடிக்கக்கூடிய” மோனோமியல்களைத் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம். இதற்காக, விகிதங்களில் ஒன்று பயன்படுத்தப்படுகிறது:

(p - b) 2 \u003d ப 2 - 2 பிபி + பி 2,

• உதாரணமாக: u 4 + 4u 2 - 1 என்ற வெளிப்பாட்டை விரிவாக்குங்கள்.

முழுமையான சதுரத்தை உருவாக்கும் சொற்களை அதன் மோனோமியல்களில் தனிமைப்படுத்துவோம்: u 4 + 4u 2 - 1 \u003d u 4 + 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 \u003d

\u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 4 - 1 \u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 5.

சுருக்கமான பெருக்கல் விதிகளைப் பயன்படுத்தி உருமாற்றத்தை முடிக்கவும்: (u 2 + 2) 2 - 5 \u003d (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

அதனால் u 4 + 4u 2 - 1 \u003d (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கத்தைக் கருத்தில் கொண்டு, பல சூத்திரங்களை நினைவில் வைத்தோம், அதாவது: (a + b) for க்கான சூத்திரங்கள், (a - b) for, (a + b) (a - b), (a + b) for மற்றும் (a - b).

கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை இந்த சூத்திரங்களில் ஒன்றோடு ஒத்துப்போகிறது என்றால், அதை காரணிகளாகக் கொள்ள முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, a² - 2ab + b² என்ற பல்லுறுப்புக்கோவை (a - b) ² [அல்லது (a - b) · (a - b) க்கு சமம், அதாவது, a² - 2ab + b² ஐ 2 காரணிகளாக சிதைக்க முடிந்தது]; மேலும்

இந்த எடுத்துக்காட்டுகளில் இரண்டாவதைக் கவனியுங்கள். இங்கே கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை இரண்டு எண்களின் வேறுபாட்டிலிருந்து (முதல் எண்ணின் சதுரம், முதல் எண்ணால் இரண்டின் உற்பத்தியைக் கழித்தல், இரண்டாவது எண்ணின் சதுரம்) பெறப்பட்ட சூத்திரத்துடன் பொருந்துகிறது என்பதைக் காண்கிறோம்: x 6 என்பது முதல் எண்ணின் சதுரம், எனவே , முதல் எண் x 3, இரண்டாவது எண்ணின் சதுரம் இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையின் கடைசி காலமாகும், அதாவது 1, இரண்டாவது எண் தானே, எனவே 1; இரண்டு மற்றும் முதல் எண் மற்றும் இரண்டாவது தயாரிப்பு -2 எக்ஸ் 3 ஆகும், ஏனெனில் 2x 3 \u003d 2 · x 3 · 1. ஆகையால், x 3 மற்றும் 1 எண்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டைக் குறிப்பதன் மூலம் எங்கள் பல்லுறுப்புக்கோவை பெறப்பட்டது, அதாவது, இது (x 3 - 12. மற்றொரு 4 வது உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த பல்லுறுப்புக்கோவை 2 பி 2 - 25 ஐ இரண்டு எண்களின் சதுரங்களின் வேறுபாடாகக் கருதலாம் என்பதைக் காண்கிறோம், அதாவது, முதல் எண்ணின் சதுரம் 2 பி 2 ஆகும், எனவே, முதல் எண் தானே ab, இரண்டாவது எண்ணின் சதுரம் 25, ஏன் இரண்டாவது எண் தானே 5. எனவே, இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகையை அவற்றின் வேறுபாட்டால் பெருக்கி, அதாவது,

(ab + 5) (ab - 5).

சில நேரங்களில் அது கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையில், சொற்கள் நாம் பழகிய வரிசையில் இல்லை, எடுத்துக்காட்டாக.

9a 2 + b 2 + 6ab - மனரீதியாக நாம் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சொற்களை மறுசீரமைக்க முடியும், பின்னர் நமது முக்கோண \u003d (3a + b) 2 என்பது நமக்குத் தெளிவாகத் தெரியும்.

... (முதல் மற்றும் இரண்டாவது சொற்களை மனரீதியாக மாற்றுவோம்).

25 அ 6 + 1 - 10 எக்ஸ் 3 \u003d (5 எக்ஸ் 3 - 1) 2, முதலியன.

மற்றொரு பல்லுறுப்புக்கோவைக் கவனியுங்கள்

a 2 + 2ab + 4b 2.

அதன் முதல் சொல் a எண்ணின் சதுரம் என்றும் மூன்றாவது சொல் 2b எண்ணின் சதுரம் என்றும் நாம் காண்கிறோம், ஆனால் இரண்டாவது சொல் இரண்டின் தயாரிப்பு அல்ல, முதல் எண் மற்றும் இரண்டாவது, - அத்தகைய தயாரிப்பு 2 a 2b \u003d 4ab க்கு சமமாக இருக்கும். எனவே, இரண்டு எண்களின் தொகையின் சதுரத்திற்கான சூத்திரத்தை இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையில் பயன்படுத்த முடியாது. 2 + 2ab + 4b 2 \u003d (a + 2b) 2 என்று யாராவது எழுதியிருந்தால், இது தவறாக இருக்கும் - சூத்திரங்கள் மூலம் காரணிமயமாக்கலைப் பயன்படுத்துவதற்கு முன்பு நீங்கள் பல்லுறுப்புறுப்பின் அனைத்து விதிமுறைகளையும் கவனமாக பரிசீலிக்க வேண்டும்.

40. இரண்டு நுட்பங்களையும் இணைத்தல்... சில நேரங்களில், பல்லுறுப்புக்கோவைகளை காரணிகளாகக் கொள்ளும்போது, \u200b\u200bபொதுவான காரணியை அடைப்புக்குறிக்குள் எடுக்கும் முறை மற்றும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கான முறை இரண்டையும் இணைக்க வேண்டும். இங்கே சில உதாரணங்கள்:

1.2 அ 3 - 2ab 2. முதலில், அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே 2a என்ற பொதுவான காரணியை எடுத்துக்கொள்கிறோம், - நமக்கு 2a (a 2 - b 2) கிடைக்கிறது. 2 - b 2 காரணி, சூத்திரத்தால் காரணிகளாக (a + b) மற்றும் (a - b) சிதைக்கப்படுகிறது.

சில நேரங்களில் சூத்திரங்கள் மூலம் சிதைவு முறையைப் பயன்படுத்துவது அவசியம்:

1.a 4 - b 4 \u003d (a 2 + b 2) (a 2 - b 2)

2 + b 2 இன் முதல் காரணி பழக்கமான எந்த சூத்திரங்களுக்கும் பொருந்தாது என்பதைக் காண்கிறோம்; மேலும், பிரிவின் சிறப்பு நிகழ்வுகளை (உருப்படி 37) நினைவு கூர்ந்தால், 2 + பி 2 (இரண்டு எண்களின் சதுரங்களின் தொகை) காரணிகளாக இருக்க முடியாது என்பதை நாங்கள் நிறுவுவோம். பெறப்பட்ட காரணிகளில் இரண்டாவது 2 - பி 2 (இரண்டு எண்களின் சதுரத்தின் வேறுபாடு) காரணிகளாக (a + b) மற்றும் (a - b) சிதைக்கப்படுகிறது. அதனால்,

41. பிரிவின் சிறப்பு வழக்குகளின் பயன்பாடு... பத்தி 37 ஐ அடிப்படையாகக் கொண்டு, அதை உடனடியாக எழுதலாம், எடுத்துக்காட்டாக,