பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிக்க பல்வேறு வழிகள். பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பற்றிய சுவாரஸ்யமான உண்மைகள்: பிரபலமான தேற்றத்தைப் பற்றிய புதிய விஷயங்களைக் கற்றுக்கொள்ளுங்கள்

(பெர்லின் அருங்காட்சியகத்தின் பாப்பிரஸ் 6619 படி). கேன்டரின் கூற்றுப்படி, ஹார்பிடோனாப்ட்ஸ் அல்லது "கயிறு பதற்றம்", 3, 4 மற்றும் 5 பக்கங்களைக் கொண்ட வலது கோண முக்கோணங்களைப் பயன்படுத்தி சரியான கோணங்களை உருவாக்கியது.

அவர்கள் கட்டும் வழியை இனப்பெருக்கம் செய்வது மிகவும் எளிதானது. 12 மீ நீளமுள்ள ஒரு கயிற்றை எடுத்து, ஒரு முனையிலிருந்து 3 மீ தூரத்திலும், மறு முனையிலிருந்து 4 மீட்டர் தூரத்திலும் ஒரு வண்ண துண்டுடன் கட்டவும். வலது கோணம் 3 முதல் 4 மீட்டர் நீளமுள்ள பக்கங்களுக்கு இடையில் இணைக்கப்படும். நாம் பயன்படுத்தினால் அவற்றின் கட்டுமான முறை மிதமிஞ்சியதாக இருக்கும் என்று ஹார்பெடோனாப்ட்ஸ் வாதிடலாம், எடுத்துக்காட்டாக, அனைத்து தச்சர்களும் பயன்படுத்தும் மர சதுரம். உண்மையில், எகிப்திய வரைபடங்கள் அறியப்படுகின்றன, அதில் அத்தகைய கருவி காணப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு தச்சு பட்டறை சித்தரிக்கும் வரைபடங்கள்.

பாபிலோனிய பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பற்றி இன்னும் கொஞ்சம் அறியப்படுகிறது. ஒரு உரையில், ஹம்முராபியின் காலம், அதாவது கிமு 2000 வரை. e. , ஒரு சரியான முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்ஸின் தோராயமான கணக்கீடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இதிலிருந்து மெசொப்பொத்தேமியாவில் வலது கோண முக்கோணங்களுடன் கணக்கீடுகளை எவ்வாறு செய்வது என்று அவர்களுக்குத் தெரியும், குறைந்தது சில சந்தர்ப்பங்களில். ஒருபுறம், எகிப்திய மற்றும் பாபிலோனிய கணிதத்தைப் பற்றிய தற்போதைய அளவிலான அறிவின் அடிப்படையிலும், மறுபுறம், கிரேக்க மூலங்களைப் பற்றிய ஒரு விமர்சன ஆய்வின் அடிப்படையிலும், வான் டெர் வேர்டன் (டச்சு கணிதவியலாளர்), ஹைப்போடனஸின் சதுரத்தில் தேற்றம் அறியப்பட்டிருப்பது மிகவும் சாத்தியமானது என்று முடிவு செய்தார். இந்தியா ஏற்கனவே கிமு XVIII நூற்றாண்டில். e.

சுமார் கிமு 400. e., ப்ரோக்லஸின் கூற்றுப்படி, பித்தாகோரியன் மும்மடங்குகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்கும், இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவவியலை இணைப்பதற்கும் பிளேட்டோ ஒரு முறையைக் கொடுத்தார். சுமார் கிமு 300. e. பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் மிகப் பழமையான அச்சு ஆதாரம் யூக்லிட்டின் "கூறுகள்" இல் தோன்றியது.

சொற்கள்

வடிவியல் உருவாக்கம்:

ஆரம்பத்தில், தேற்றம் பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டது:

இயற்கணித உருவாக்கம்:

அதாவது, முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்ஸின் நீளத்தையும், கால்களின் நீளத்தையும் குறிக்கிறது:

தேற்றத்தின் இரண்டு கூற்றுகளும் சமமானவை, ஆனால் இரண்டாவது அறிக்கை மிகவும் அடிப்படை, அதற்கு பரப்பளவு என்ற கருத்து தேவையில்லை. அதாவது, இரண்டாவது அறிக்கையைப் பற்றி எதுவும் தெரியாமல் சரிபார்க்கலாம் மற்றும் வலது கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளத்தை மட்டுமே அளவிட முடியும்.

தலைகீழ் பித்தகோரியன் தேற்றம்:

ஆதாரம்

இந்த நேரத்தில், இந்த தேற்றத்தின் 367 சான்றுகள் அறிவியல் இலக்கியங்களில் பதிவு செய்யப்பட்டுள்ளன. பித்தகோரியன் தேற்றம் அநேகமாக இதுபோன்ற ஈர்க்கக்கூடிய எண்ணிக்கையிலான சான்றுகளைக் கொண்ட ஒரே தேற்றமாகும். இந்த வகையை வடிவவியலுக்கான தேற்றத்தின் அடிப்படை அர்த்தத்தால் மட்டுமே விளக்க முடியும்.

நிச்சயமாக, கருத்தியல் ரீதியாக அவை அனைத்தையும் ஒரு சிறிய எண்ணிக்கையிலான வகுப்புகளாக பிரிக்கலாம். அவற்றில் மிகவும் பிரபலமானது: பகுதி முறையின் சான்றுகள், அச்சு மற்றும் கவர்ச்சியான சான்றுகள் (எடுத்துக்காட்டாக, வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்துதல்).

ஒத்த முக்கோணங்கள் மூலம்

இயற்கணித சூத்திரத்தின் பின்வரும் ஆதாரம், கோட்பாடுகளிலிருந்து நேரடியாக கட்டப்பட்ட சான்றுகளில் எளிமையானது. குறிப்பாக, இது ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவு என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்துவதில்லை.

இருக்கட்டும் ஏபிசி வலது கோண முக்கோணம் உள்ளது சி... இருந்து உயரத்தை வரையலாம் சி மற்றும் அதன் தளத்தை குறிக்கவும் எச்... முக்கோணம் ஆச் ஒரு முக்கோணம் போல ஏபிசி இரண்டு மூலைகளிலும். இதேபோல், முக்கோணம் சி.பி.எச் ஒத்திருக்கிறது ஏபிசி... குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறது

நாங்கள் பெறுகிறோம்

எது சமம்

சேர்ப்பது, நமக்குக் கிடைக்கிறது

பகுதிகள் ஆதாரம்

கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள சான்றுகள், அவற்றின் எளிமை இருந்தபோதிலும், அவ்வளவு எளிதானவை அல்ல. அவை அனைத்தும் பகுதியின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகின்றன, அதற்கான ஆதாரம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை விட மிகவும் கடினம்.

சம நிரப்பு ஆதாரம்

1. படம் 1 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி நான்கு சம கோண முக்கோணங்களை ஏற்பாடு செய்யுங்கள்.
2. பக்கங்களுடன் நாற்புற c ஒரு சதுரம், ஏனெனில் இரண்டு கடுமையான கோணங்களின் தொகை 90 °, மற்றும் விரிவடையாத கோணம் 180 is.
3. முழு உருவத்தின் பரப்பளவு, ஒருபுறம், பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவு (a + b), மறுபுறம், நான்கு முக்கோணங்களின் பரப்பளவு மற்றும் உள் சதுரத்தின் பரப்பளவு.

கே.இ.டி.

யூக்லிட்டின் ஆதாரம்

யூக்லிட்டின் ஆதாரத்தின் பின்னணியில் உள்ள யோசனை பின்வருமாறு: ஹைப்போடென்ஸில் கட்டப்பட்ட சதுரத்தின் பரப்பளவு பாதி கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பகுதிகளின் பகுதிகளின் தொகைக்கு சமம் என்பதை நிரூபிக்க முயற்சிப்போம், பின்னர் பெரிய மற்றும் இரண்டு சிறிய சதுரங்களின் பகுதிகள் சமம்.

இடதுபுறத்தில் உள்ள வரைபடத்தைக் கவனியுங்கள். அதன் மீது, நாம் ஒரு கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் சதுரங்களைக் கட்டினோம், வலது கோணத்தின் சி முனையிலிருந்து செங்குத்தாக ஏபி என்ற ஹைப்போடென்யூஸுக்கு ஒரு கதிர் வரைந்தோம், இது ஹைப்போடனஸில் கட்டப்பட்ட ABIK என்ற சதுரத்தை முறையே BHJI மற்றும் HAKJ என இரண்டு செவ்வகங்களாக வெட்டுகிறது. இந்த செவ்வகங்களின் பகுதிகள் தொடர்புடைய கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பகுதிகளுக்கு சரியாக சமமாக இருக்கும் என்று அது மாறிவிடும்.

DECA சதுரத்தின் பரப்பளவு AHJK செவ்வகத்தின் பரப்பிற்கு சமம் என்பதை நிரூபிக்க முயற்சிப்போம். இதைச் செய்ய, ஒரு துணை அவதானிப்பைப் பயன்படுத்துவோம்: இந்த செவ்வகத்தின் அதே உயரமும் அடித்தளமும் கொண்ட ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு கொடுக்கப்பட்ட செவ்வகத்தின் பாதி பரப்பிற்கு சமம். இது ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவை அடித்தளத்தின் அரை தயாரிப்பு மற்றும் உயரமாக வரையறுப்பதன் விளைவாகும். இந்த கண்காணிப்பிலிருந்து ACK முக்கோணத்தின் பரப்பளவு AHK முக்கோணத்தின் பரப்பிற்கு சமம் (படத்தில் காட்டப்படவில்லை), இது AHJK செவ்வகத்தின் பாதி பரப்பிற்கு சமம்.

ACK முக்கோணத்தின் பரப்பளவு DECA சதுரத்தின் பாதி பகுதிக்கு சமம் என்பதை இப்போது நிரூபிப்போம். ஏ.சி.கே மற்றும் பி.டி.ஏ ஆகிய முக்கோணங்கள் சமம் என்பதை நிரூபிப்பதே இதற்கு செய்ய வேண்டிய ஒரே விஷயம் (பி.டி.ஏ முக்கோணத்தின் பரப்பளவு மேற்கண்ட சொத்துக்கு ஏற்ப சதுரத்தின் பாதி பரப்பிற்கு சமம் என்பதால்). இந்த சமத்துவம் வெளிப்படையானது: முக்கோணங்கள் இரண்டு பக்கங்களிலும் சமமாகவும் அவற்றுக்கு இடையேயான கோணமாகவும் இருக்கும். அதாவது - AB \u003d AK, AD \u003d AC - CAK மற்றும் BAD கோணங்களின் சமத்துவம் இயக்க முறை மூலம் நிரூபிக்க எளிதானது: நாங்கள் CAK என்ற முக்கோணத்தை 90 ° எதிரெதிர் திசையில் சுழற்றுகிறோம், பின்னர் பரிசீலிக்கப்பட்டுள்ள இரண்டு முக்கோணங்களின் தொடர்புடைய பக்கங்களும் ஒன்றிணைக்கும் என்பது தெளிவாகிறது (சதுரத்தின் உச்சியில் உள்ள கோணம் என்பதால் 90 °).

சதுர BCFG மற்றும் BHJI செவ்வகத்தின் பகுதிகளின் சமத்துவம் பற்றிய காரணம் முற்றிலும் ஒத்ததாகும்.

இவ்வாறு, ஹைபோடென்ஸில் கட்டப்பட்ட சதுரத்தின் பரப்பளவு கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை என்பதை நாங்கள் நிரூபித்துள்ளோம். இந்த ஆதாரத்தின் பின்னால் உள்ள யோசனை மேலே உள்ள அனிமேஷனுடன் மேலும் விளக்கப்பட்டுள்ளது.

லியோனார்டோ டா வின்சியின் சான்று

ஆதாரத்தின் முக்கிய கூறுகள் சமச்சீர் மற்றும் இயக்கம்.

வரைபடத்தை கருத்தில் கொள்ளுங்கள், சமச்சீர்மையிலிருந்து காணக்கூடியது, பிரிவு சதுரத்தை இரண்டு ஒத்த பகுதிகளாக வெட்டுகிறது (முக்கோணங்கள் மற்றும் கட்டுமானத்தில் சமம் என்பதால்).

ஒரு புள்ளியைச் சுற்றி 90 டிகிரி எதிரெதிர் திசையில் சுழற்றுவதன் மூலம், நிழலாடிய புள்ளிவிவரங்கள் மற்றும் சமமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம்.

நிழல் உருவத்தின் பரப்பளவு சிறிய சதுரங்களின் பகுதிகளின் (கால்களில் கட்டப்பட்டவை) மற்றும் அசல் முக்கோணத்தின் பரப்பளவுக்கு சமம் என்பது இப்போது தெளிவாகிறது. மறுபுறம், இது பெரிய சதுரத்தின் பாதி பரப்பளவுக்கு (ஹைப்போடென்யூஸில் கட்டப்பட்டுள்ளது) அசல் முக்கோணத்தின் பரப்பிற்கும் சமம். இவ்வாறு, சிறிய சதுரங்களின் பரப்பளவின் தொகையில் பாதி பெரிய சதுரத்தின் பரப்பளவில் பாதிக்கு சமம், எனவே கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பரப்பளவு கூட்டுத்தொகையில் கட்டப்பட்ட சதுரத்தின் பரப்பிற்கு சமம்.

எல்லையற்ற முறையின் சான்று

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் ஆதாரம் பெரும்பாலும் பிரபல ஆங்கில கணிதவியலாளர் ஹார்டிக்கு காரணம், அவர் 20 ஆம் நூற்றாண்டின் முதல் பாதியில் வாழ்ந்தார்.

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வரைபடத்தைப் பார்த்து, பக்க மாற்றத்தைக் கவனிக்கவும் a, பக்கங்களின் எண்ணற்ற சிறிய அதிகரிப்புகளுக்கு பின்வரும் விகிதத்தை எழுதலாம் இருந்து மற்றும் a (முக்கோணங்களுடன் ஒற்றுமையைப் பயன்படுத்துதல்):

மாறிகள் பிரிக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி, நாம் காண்கிறோம்

இரு கால்களின் அதிகரிப்புகளின் விஷயத்தில் ஹைப்போடென்ஸை மாற்றுவதற்கான பொதுவான வெளிப்பாடு

இந்த சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைத்து ஆரம்ப நிலைமைகளைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம்

இவ்வாறு, நாங்கள் விரும்பிய பதிலை அடைகிறோம்

பார்ப்பது எளிதானது என்பதால், முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கும் அதிகரிப்புகளுக்கும் இடையிலான நேரியல் விகிதாசாரத்தின் காரணமாக இறுதி சூத்திரத்தில் இருபடி சார்பு தோன்றும், அதே சமயம் வெவ்வேறு கால்களின் அதிகரிப்புகளிலிருந்து சுயாதீன பங்களிப்புகளுடன் தொடர்புடையது.

கால்களில் ஒன்று அதிகரிப்பு அனுபவிக்கவில்லை என்று கருதினால் (இந்த விஷயத்தில், கால்) ஒரு எளிய சான்றைப் பெறலாம். ஒருங்கிணைப்பின் மாறிலிக்கு நாம் பெறுகிறோம்

மாறுபாடுகள் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தல்கள்

மூன்று பக்கங்களிலும் ஒத்த வடிவியல் வடிவங்கள்

ஒத்த முக்கோணங்களுக்கான பொதுமைப்படுத்தல், பச்சை வடிவங்களின் பரப்பளவு A + B \u003d நீல சி பரப்பளவு

ஒத்த வலது முக்கோணங்களைப் பயன்படுத்தி பித்தகோரியன் தேற்றம்

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தல் யூக்லிட் தனது படைப்பில் செய்யப்பட்டது ஆரம்பம், பக்கங்களில் உள்ள சதுரங்களின் பகுதிகளை ஒத்த வடிவியல் வடிவங்களின் பகுதிகளுக்கு விரிவுபடுத்துதல்:

வலது கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் நீங்கள் ஒத்த வடிவியல் வடிவங்களை (யூக்ளிடியன் வடிவவியலைப் பார்க்கவும்) உருவாக்கினால், இரண்டு சிறிய புள்ளிவிவரங்களின் கூட்டுத்தொகை பெரிய உருவத்தின் பரப்பிற்கு சமமாக இருக்கும்.

இந்த பொதுமைப்படுத்தலின் முக்கிய யோசனை என்னவென்றால், அத்தகைய வடிவியல் உருவத்தின் பரப்பளவு அதன் எந்த நேரியல் பரிமாணங்களின் சதுரத்திற்கும், குறிப்பாக எந்த பக்கத்தின் நீளத்தின் சதுரத்திற்கும் விகிதாசாரமாகும். எனவே, பகுதிகளுடன் ஒத்த புள்ளிவிவரங்களுக்கு அ, பி மற்றும் சி நீளத்துடன் பக்கங்களிலும் கட்டப்பட்டுள்ளது a, b மற்றும் c, எங்களிடம் உள்ளது:

ஆனால், பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் படி, a 2 + b 2 = c 2, பின்னர் அ + பி = சி.

மாறாக, அதை நாம் நிரூபிக்க முடிந்தால் அ + பி = சி பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தாமல் மூன்று ஒத்த வடிவியல் புள்ளிவிவரங்களுக்கு, நாம் தேற்றத்தை நிரூபிக்க முடியும், எதிர் திசையில் நகரும். எடுத்துக்காட்டாக, தொடக்க மைய முக்கோணத்தை ஒரு முக்கோணமாக மீண்டும் பயன்படுத்தலாம் சி ஹைப்போடனஸில், மற்றும் இரண்டு ஒத்த வலது முக்கோணங்களில் ( அ மற்றும் பி), மற்ற இரண்டு பக்கங்களிலும் கட்டப்பட்டுள்ளது, அவை மத்திய முக்கோணத்தை அதன் உயரத்தால் பிரிப்பதன் விளைவாக உருவாகின்றன. முக்கோணங்களின் இரண்டு சிறிய பகுதிகளின் தொகை பின்னர் மூன்றாவது பகுதிக்கு சமமாக இருக்கும், இதனால் அ + பி = சி முந்தைய சான்றுகளை தலைகீழ் வரிசையில் செய்தால், பித்தகோரியன் தேற்றத்தை 2 + b 2 \u003d c 2 ஐப் பெறுகிறோம்.

கொசைன் தேற்றம்

பித்தகோரியன் தேற்றம் என்பது பொதுவான கொசைன் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வு ஆகும், இது ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்தில் பக்கங்களின் நீளத்தை தொடர்புபடுத்துகிறது:

எங்கே θ என்பது பக்கங்களுக்கு இடையிலான கோணம் a மற்றும் b.

90 90 டிகிரி என்றால் cos θ \u003d 0 மற்றும் சூத்திரம் வழக்கமான பித்தகோரியன் தேற்றத்திற்கு எளிமைப்படுத்தப்படுகிறது.

தன்னிச்சையான முக்கோணம்

பக்கங்களைக் கொண்ட தன்னிச்சையான முக்கோணத்தின் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட எந்த மூலையிலும் a, b, c ஒரு ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தை அதன் அடிவாரத்தில் சம கோணங்கள் the தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட கோணத்திற்கு சமமாக எழுதவும். தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட கோணம் குறிக்கப்பட்ட பக்கத்திற்கு எதிரே உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம் c... இதன் விளைவாக, AB கோணத்துடன் ABD என்ற முக்கோணம் கிடைத்தது, இது பக்கத்திற்கு எதிரே அமைந்துள்ளது a மற்றும் கட்சிகள் r... இரண்டாவது முக்கோணம் the கோணத்தால் உருவாகிறது, இது பக்கத்திற்கு எதிரே உள்ளது b மற்றும் கட்சிகள் இருந்து நீளம் கள், இது படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி. இந்த மூன்று முக்கோணங்களின் பக்கங்களும் பின்வருமாறு இணைக்கப்பட்டுள்ளன என்று தபிட் இப்னு குர்ரா வாதிட்டார்:

கோணம் θ / 2 ஐ நெருங்கும்போது, \u200b\u200bஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் அடிப்பகுதி குறைந்து, r மற்றும் s ஆகிய இரு பக்கங்களும் குறைவாகவும் குறைவாகவும் ஒன்றுடன் ஒன்று இணைகின்றன. Θ \u003d π / 2 போது, \u200b\u200bADB சரியான முக்கோணமாக மாறும், r + கள் = c ஆரம்ப பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பெறுகிறோம்.

ஒரு காரணத்தை கருத்தில் கொள்வோம். முக்கோண ஏபிசி முக்கோண ஏபிடி போன்ற கோணங்களைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் தலைகீழ் வரிசையில். . எதிர் பக்கங்களுக்கும் the கோணத்திற்கு அருகில் உள்ள விகிதத்தையும் எழுதுவோம்.

மற்றொரு முக்கோணத்தின் பிரதிபலிப்பும்,

பின்னங்களை பெருக்கி இந்த இரண்டு விகிதங்களையும் சேர்ப்போம்:

கே.இ.டி.

இணையான வரைபடங்கள் வழியாக தன்னிச்சையான முக்கோணங்களுக்கான பொதுமைப்படுத்தல்

தன்னிச்சையான முக்கோணங்களுக்கான பொதுமைப்படுத்தல்,
பச்சை பகுதி சதி \u003d பகுதி நீலம்

மேலே உள்ள படத்தில் உள்ள ஆய்வறிக்கையின் சான்று

சதுரங்களுக்குப் பதிலாக மூன்று பக்கங்களிலும் இணையான வரைபடங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் செவ்வகமற்ற முக்கோணங்களுக்கு மேலும் பொதுமைப்படுத்துவோம். (சதுரங்கள் ஒரு சிறப்பு வழக்கு.) மேல் கோணம் ஒரு கடுமையான கோண முக்கோணத்திற்கு, நீண்ட பக்கத்தில் உள்ள இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவு மற்ற இரு பக்கங்களிலும் உள்ள இணையான வரைபடங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்பதைக் காட்டுகிறது, இது படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி நீண்ட பக்கத்தில் உள்ள இணையான வரைபடம் கட்டப்பட்டுள்ளது (அம்புகளால் குறிக்கப்பட்ட பரிமாணங்கள் ஒரே மாதிரியானவை மற்றும் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன கீழ் இணையான வரைபடத்தின் பக்கங்கள்). இணையான வரைபடங்களால் சதுரங்களை மாற்றுவது பித்தகோரஸின் ஆரம்ப தேற்றத்துடன் தெளிவான ஒற்றுமையைக் கொண்டுள்ளது, இது கி.பி 4 இல் அலெக்ஸாண்டிரியாவின் பப்பஸால் வடிவமைக்கப்பட்டது என்று நம்பப்படுகிறது. e.

கீழே உள்ள எண்ணிக்கை ஆதாரத்தின் முன்னேற்றத்தைக் காட்டுகிறது. முக்கோணத்தின் இடது பக்கத்தைப் பார்ப்போம். இடது பச்சை இணையான வரைபடம் நீல இணையான வரைபடத்தின் இடது பக்கத்தைப் போலவே அதே பகுதியைக் கொண்டுள்ளது, ஏனெனில் அவை ஒரே அடித்தளத்தைக் கொண்டுள்ளன b மற்றும் உயரம் h... கூடுதலாக, இடது பச்சை இணையான வரைபடம் மேல் உருவத்தில் இடது பச்சை இணையான வரைபடத்தைப் போலவே உள்ளது, ஏனெனில் அவை பொதுவான தளத்தையும் (முக்கோணத்தின் மேல் இடது பக்கத்தையும்) மற்றும் முக்கோணத்தின் அந்த பக்கத்திற்கு செங்குத்தாக மொத்த உயரத்தையும் கொண்டுள்ளன. முக்கோணத்தின் வலது பக்கத்திற்கும் இதேபோல் வாதிடுகையில், கீழ் இணையான வரைபடம் இரண்டு பச்சை இணையான வரைபடங்களின் அதே பகுதியைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நாங்கள் நிரூபிக்கிறோம்.

சிக்கலான எண்கள்

கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கண்டறிய பித்தகோரியன் தேற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது, மேலும் இந்த தேற்றம் அனைத்து உண்மையான ஆயங்களுக்கும் பொருந்தும்: தூரம் கள் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையில் ( a, b) மற்றும் ( c, d) சமம்

சிக்கலான எண்களை உண்மையான கூறுகளுடன் திசையன்களாகக் கருதினால் சூத்திரத்தில் எந்தப் பிரச்சினையும் இல்லை எக்ஸ் + i y = (எக்ஸ், y). ... உதாரணமாக தூரம் கள் 0 + 1 க்கு இடையில் நான் மற்றும் 1 + 0 நான் நாம் திசையன் தொகுதி என கணக்கிடுகிறோம் (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), அல்லது

ஆயினும்கூட, சிக்கலான ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்ட திசையன்களுடன் செயல்படுவதற்கு, பித்தகோரியன் சூத்திரத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட முன்னேற்றம் செய்ய வேண்டியது அவசியம். சிக்கலான எண்களைக் கொண்ட புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் ( a, b) மற்றும் ( c, d); a, b, cமற்றும் d அனைத்து சிக்கலானது, முழுமையான மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி உருவாக்குவோம். தூரம் கள் திசையன் வேறுபாட்டின் அடிப்படையில் (a − c, b − d) பின்வரும் வடிவத்தில்: வித்தியாசத்தை விடுங்கள் a − c = ப + i qஎங்கே ப - வித்தியாசத்தின் உண்மையான பகுதி, q கற்பனையான பகுதி, மற்றும் நான் \u003d √ (−1). இதேபோல், விடுங்கள் b − d = r + i கள்... பிறகு:

எங்கே சிக்கலான இணை எண். உதாரணமாக, புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் (a, b) = (0, 1) மற்றும் (c, d) = (நான், 0) , வித்தியாசத்தை கணக்கிடுவோம் (a − c, b − d) = (−நான், 1) சிக்கலான இணைப்புகள் பயன்படுத்தப்படாவிட்டால் இதன் விளைவாக 0 இருக்கும். எனவே, மேம்படுத்தப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நமக்குக் கிடைக்கும்

தொகுதி பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

ஸ்டீரியோமெட்ரி

முப்பரிமாண இடத்திற்கான பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் குறிப்பிடத்தக்க பொதுமைப்படுத்தல் டி குவாவின் தேற்றம் ஆகும், இது J.-P. டி குவா: டெட்ராஹெட்ரான் சரியான கோணத்தைக் கொண்டிருந்தால் (ஒரு கனசதுரத்தைப் போல), வலது கோணத்திற்கு எதிரே அமைந்திருக்கும் முகத்தின் பரப்பளவு மற்ற மூன்று முகங்களின் பகுதிகளின் சதுரங்களின் தொகைக்கு சமம். இந்த முடிவை சுருக்கமாகக் கூறலாம் “ n-பரிமாண பித்தகோரியன் தேற்றம் ":

முப்பரிமாண இடைவெளியில் உள்ள பித்தகோரியன் தேற்றம் மூலைவிட்ட கி.பி. ஐ மூன்று பக்கங்களுடன் இணைக்கிறது.

மற்றொரு பொதுமைப்படுத்தல்: பித்தகோரியன் தேற்றத்தை பின்வரும் வடிவத்தில் ஸ்டீரியோமெட்ரிக்கு பயன்படுத்தலாம். படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி ஒரு செவ்வக இணையான பைப்பைக் கவனியுங்கள். பித்தகோரியன் தேற்றத்தால் மூலைவிட்ட BD இன் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்:

மூன்று பக்கங்களும் வலது கோண முக்கோணத்தை உருவாக்குகின்றன. மூலைவிட்ட கி.பி. நீளத்தைக் கண்டுபிடிக்க கிடைமட்ட மூலைவிட்ட பி.டி மற்றும் செங்குத்து விளிம்பு ஏபி ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்துகிறோம், இதற்காக நாம் மீண்டும் பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

அல்லது, அனைத்தும் ஒரு சமன்பாட்டில் எழுதப்பட்டிருந்தால்:

இந்த முடிவு ஒரு திசையனின் அளவை தீர்மானிக்க ஒரு 3D வெளிப்பாடு ஆகும் v (மூலைவிட்ட கி.பி.) அதன் செங்குத்து கூறுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது ( v k) (மூன்று பரஸ்பரம் செங்குத்தாக பக்கங்கள்):

இந்த சமன்பாட்டை பல பரிமாண இடத்திற்கான பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகக் காணலாம். இருப்பினும், இதன் விளைவாக பித்தகோரியன் தேற்றத்தை மீண்டும் மீண்டும் செங்குத்தாக விமானங்களில் வலது கோண முக்கோணங்களின் வரிசைக்கு மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவதைத் தவிர வேறொன்றுமில்லை.

திசையன் இடம்

திசையன்களின் ஆர்த்தோகனல் அமைப்பின் விஷயத்தில், சமத்துவம் உள்ளது, இது பித்தகோரியன் தேற்றம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது:

ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளில் திசையன் திட்டமிடப்பட்டால், இந்த சூத்திரம் யூக்ளிடியன் தூரத்துடன் ஒத்துப்போகிறது - மேலும் திசையனின் நீளம் அதன் கூறுகளின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையின் சதுர மூலத்திற்கு சமம் என்று பொருள்.

திசையன்களின் எல்லையற்ற அமைப்பின் விஷயத்தில் இந்த சமத்துவத்தின் ஒரு ஒப்புமை பார்செவலின் சமத்துவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவியல்

பித்தகோரியன் தேற்றம் யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் கோட்பாடுகளிலிருந்து பெறப்பட்டது, உண்மையில், யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியலுக்கு இது செல்லுபடியாகாது, அது மேலே எழுதப்பட்ட வடிவத்தில். (அதாவது, பித்தகோரியன் தேற்றம் யூக்லிட்டின் இணையான வாதத்திற்கு சமமானதாக மாறும்) வேறுவிதமாகக் கூறினால், யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியலில், ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கிடையிலான விகிதம் பித்தகோரியன் தேற்றத்திலிருந்து வேறுபட்ட வடிவத்தில் இருக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, கோள வடிவவியலில், வலது கோண முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களும் (சொல்லுங்கள் a, b மற்றும் c), இது அலகு கோளத்தின் ஆக்டான்ட்டை (எட்டாவது பகுதி) கட்டுப்படுத்துகிறது, நீளம் π / 2 ஐ கொண்டுள்ளது, இது பித்தகோரியன் தேற்றத்திற்கு முரணானது, ஏனெனில் a 2 + b 2 ≠ c 2 .

யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியலின் இரண்டு நிகழ்வுகளை இங்கே கவனியுங்கள் - கோள மற்றும் ஹைபர்போலிக் வடிவியல்; இரண்டு நிகழ்வுகளிலும், வலது கோண முக்கோணங்களுக்கான யூக்ளிடியன் இடத்தைப் போலவே, பித்தகோரியன் தேற்றத்தை மாற்றும் முடிவு கொசைன் தேற்றத்திலிருந்து பின்வருமாறு.

இருப்பினும், பித்தகோரியன் தேற்றம் ஹைபர்போலிக் மற்றும் நீள்வட்ட வடிவவியலுக்கு செல்லுபடியாகும், முக்கோணத்தின் செவ்வகத்திற்கான தேவை மாற்றப்பட்டால், முக்கோணத்தின் இரு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை மூன்றாவதாக சமமாக இருக்க வேண்டும் என்ற நிபந்தனையால் மாற்றப்படும், அ+பி = சி... பக்கங்களுக்கிடையிலான விகிதம் இதுபோல் தோன்றுகிறது: விட்டம் கொண்ட வட்டங்களின் பகுதிகளின் தொகை a மற்றும் b விட்டம் கொண்ட வட்டத்தின் பரப்பிற்கு சமம் c.

கோள வடிவியல்

ஆரம் கொண்ட கோளத்தில் எந்த வலது கோண முக்கோணத்திற்கும் ஆர் (எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு முக்கோணத்தில் கோணம் a ஒரு நேர் கோட்டாக இருந்தால்) பக்கங்களுடன் a, b, c கட்சிகளுக்கு இடையிலான உறவு இப்படி இருக்கும்:

இந்த சமத்துவம் கோள கோசைன் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாக பெறப்படலாம், இது அனைத்து கோள முக்கோணங்களுக்கும் பொருந்தும்:

கோஷ் என்பது ஹைபர்போலிக் கொசைன். இந்த சூத்திரம் ஹைபர்போலிக் கொசைன் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, இது அனைத்து முக்கோணங்களுக்கும் செல்லுபடியாகும்:

எங்கே γ என்பது கோணமாகும், அதன் வெர்டெக்ஸ் பக்கத்திற்கு நேர்மாறாக இருக்கும் c.

எங்கே g ij மெட்ரிக் டென்சர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது நிலையின் செயல்பாடாக இருக்கலாம். இத்தகைய வளைவு இடைவெளிகளில் ரைமானியன் வடிவியல் ஒரு பொதுவான எடுத்துக்காட்டு. வளைவு ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தும் போது யூக்ளிடியன் இடத்திற்கு இந்த உருவாக்கம் பொருத்தமானது. எடுத்துக்காட்டாக, துருவ ஆயங்களுக்கு:

திசையன் தயாரிப்பு

பித்தகோரியன் தேற்றம் ஒரு திசையன் உற்பத்தியின் அளவிற்கு இரண்டு வெளிப்பாடுகளை இணைக்கிறது. குறுக்கு உற்பத்தியை வரையறுப்பதற்கான ஒரு அணுகுமுறை சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்:

இந்த சூத்திரம் புள்ளி தயாரிப்பைப் பயன்படுத்துகிறது. சமன்பாட்டின் வலது புறம் கிராம் தீர்மானிப்பான் என்று அழைக்கப்படுகிறது a மற்றும் b, இது இந்த இரண்டு திசையன்களால் உருவாக்கப்பட்ட இணையான வரைபடத்தின் பரப்பிற்கு சமம். இந்த தேவையின் அடிப்படையில், அத்துடன் திசையன் உற்பத்தியின் செங்குத்தாக அதன் கூறுகளுக்கு தேவை a மற்றும் b இது 0- மற்றும் 1-பரிமாண இடத்திலிருந்து சிறிய நிகழ்வுகளைத் தவிர, திசையன் தயாரிப்பு மூன்று மற்றும் ஏழு பரிமாணங்களில் மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது. இன் கோணத்தின் வரையறையைப் பயன்படுத்துகிறோம் nபரிமாண இடம்:

திசையன் உற்பத்தியின் இந்த சொத்து பின்வரும் வடிவத்தில் அதன் மதிப்பை அளிக்கிறது:

பித்தகோரஸின் அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளத்தின் மூலம், அதன் மதிப்பைப் பதிவு செய்வதற்கான மற்றொரு வடிவத்தைப் பெறுகிறோம்:

குறுக்கு உற்பத்தியை வரையறுப்பதற்கான மாற்று அணுகுமுறை அதன் அளவிற்கு ஒரு வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறது. பின்னர், தலைகீழ் வரிசையில் வாதிடுகையில், புள்ளி தயாரிப்புடன் ஒரு இணைப்பைப் பெறுகிறோம்:

மேலும் காண்க

குறிப்புகள்

1. வரலாற்று தலைப்பு: பாபிலோனிய கணிதத்தில் பித்தகோரஸின் தேற்றம்
2. (, பி. 351) பி. 351
3. (, தொகுதி I, பக். 144)
4. வரலாற்று உண்மைகள் பற்றிய விவாதம் (, பக். 351) பக். 351 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது
5. கர்ட் வான் ஃபிரிட்ஸ் (ஏப்ரல் 1945). "தி டிஸ்கவரி ஆஃப் இன்கமன்சுரபிலிட்டி பை ஹிப்பாசஸ் ஆஃப் மெட்டாபொன்டம்". கணிதத்தின் அன்னல்ஸ், இரண்டாவது தொடர் (கணிதத்தின் அன்னல்ஸ்) 46 (2): 242–264.
6. லூயிஸ் கரோல், "எ ஸ்டோரி வித் நாட்ஸ்", எம்., மிர், 1985, ப. 7
7. அஸ்ஜர் அபோ கணிதத்தின் ஆரம்பகால வரலாற்றிலிருந்து வரும் அத்தியாயங்கள். - அமெரிக்காவின் கணித சங்கம், 1997. - பி. 51. - ஐ.எஸ்.பி.என் 0883856131
8. பித்தகோரியன் முன்மொழிவு, எலிஷா ஸ்காட் லூமிஸ் எழுதியது
9. யூக்லிட்ஸ் கூறுகள்: புத்தகம் VI, முன்மொழிவு VI 31: "வலது கோண முக்கோணங்களில் வலது கோணத்திற்கு உட்பட்ட பக்கத்தின் உருவம் சரியான கோணத்தைக் கொண்ட பக்கங்களில் உள்ள ஒத்த மற்றும் இதேபோல் விவரிக்கப்பட்ட புள்ளிவிவரங்களுக்கு சமம்."
10. லாரன்ஸ் எஸ். லெஃப் மேற்கோள் காட்டப்பட்ட வேலை ... - பரோனின் கல்வித் தொடர் - பி. 326. - ஐ.எஸ்.பி.என் 0764128922
11. ஹோவர்ட் விட்லி ஈவ்ஸ் §4.8: ... பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தல் // கணிதத்தில் சிறந்த தருணங்கள் (1650 க்கு முன்). - அமெரிக்காவின் கணித சங்கம், 1983 .-- பி. 41. - ஐ.எஸ்.பி.என் 0883853108
12. தபிட் இப்னு கொர்ரா (முழுப்பெயர் தபிட் இப்னு குர்ரா இப்னு மர்வான் அல்-அபிக் அல்-அர்ரான்) (கி.பி 826-901) பாக்தாத்தில் வசிக்கும் ஒரு மருத்துவர் ஆவார், அவர் யூக்லிட்டின் கூறுகள் மற்றும் பிற கணித பாடங்களில் விரிவாக எழுதினார்.
13. அய்டின் சாயிலி (மார்ச் 1960). "தபிட் இப்னு குர்ரா" பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தல். " ஐசிஸ் 51 (1): 35–37. DOI: 10.1086 / 348837.
14. ஜூடித் டி. சாலி, பால் சாலி உடற்பயிற்சி 2.10 (ii) // மேற்கோள் காட்டப்பட்ட வேலை. - பி. 62. - ஐ.எஸ்.பி.என் 0821844032
15. அத்தகைய கட்டுமானத்தின் விவரங்களுக்கு, பார்க்கவும் ஜார்ஜ் ஜென்னிங்ஸ் படம் 1.32: பொதுவான பித்தகோரியன் தேற்றம் // பயன்பாடுகளுடன் நவீன வடிவியல்: 150 புள்ளிவிவரங்களுடன். - 3 வது. - ஸ்பிரிங்கர், 1997. - பி. 23. - ஐ.எஸ்.பி.என் 038794222 எக்ஸ்
16. ஆர்லன் பிரவுன், கார்ல் எம். பியர்சி பொருள் சி: ஒரு தன்னிச்சையான விதிமுறை n-tuple ... // பகுப்பாய்வுக்கான அறிமுகம். - ஸ்பிரிங்கர், 1995. - பி. 124. - ஐ.எஸ்.பி.என் 0387943692 47-50 பக்கங்களையும் காண்க.
17. ஆல்ஃபிரட் கிரே, எல்சா அப்பேனா, சைமன் சாலமன் கணிதத்துடன் வளைவுகள் மற்றும் மேற்பரப்புகளின் நவீன வேறுபாடு வடிவியல். - 3 வது. - சி.ஆர்.சி பிரஸ், 2006 .-- பி. 194 .-- ஐ.எஸ்.பி.என் 1584884487
18. ராஜேந்திர பாட்டியா மேட்ரிக்ஸ் பகுப்பாய்வு. - ஸ்பிரிங்கர், 1997. - பி. 21. - ஐ.எஸ்.பி.என் 0387948465
19. ஸ்டீபன் டபிள்யூ. ஹாக்கிங் மேற்கோள் காட்டப்பட்ட வேலை ... - 2005. - பி. 4. - ஐ.எஸ்.பி.என் 0762419229
20. எரிக் டபிள்யூ. வெய்ஸ்டீன் சி.ஆர்.சி சுருக்கமான என்சைக்ளோபீடியா ஆஃப் கணிதம். - 2 வது. - 2003. - பி. 2147. - ஐ.எஸ்.பி.என் 1584883472
21. அலெக்சாண்டர் ஆர். பிரஸ்

ஒரு விஷயத்தில், ஹைப்போடென்ஸின் சதுரம் என்ன என்று கேட்டால், எந்தவொரு பெரியவரும் தைரியமாக பதிலளிப்பார்: "கால்களின் சதுரங்களின் தொகை." இந்த தேற்றம் ஒவ்வொரு படித்த நபரின் மனதிலும் உறுதியாக பதிந்துள்ளது, ஆனால் அதை நிரூபிக்க யாரையாவது கேட்டால் போதும், பின்னர் சிரமங்கள் ஏற்படலாம். எனவே, பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிப்பதற்கான பல்வேறு வழிகளை நினைவில் வைத்துக் கொள்வோம்.

சுருக்கமான சுயசரிதை கண்ணோட்டம்

பித்தகோரியன் தேற்றம் கிட்டத்தட்ட அனைவருக்கும் தெரிந்ததே, ஆனால் சில காரணங்களால் அதைப் பெற்றெடுத்த நபரின் வாழ்க்கை வரலாறு அவ்வளவு பிரபலமாக இல்லை. இது சரிசெய்யக்கூடியது. எனவே, பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிப்பதற்கான பல்வேறு வழிகளைப் படிப்பதற்கு முன், நீங்கள் அவரது ஆளுமையை சுருக்கமாக அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

பித்தகோரஸ் ஒரு தத்துவஞானி, கணிதவியலாளர், சிந்தனையாளர், முதலில் இன்று முதல் அவரது வாழ்க்கை வரலாற்றை இந்த பெரிய மனிதனின் நினைவாக உருவான புனைவுகளிலிருந்து வேறுபடுத்துவது மிகவும் கடினம். ஆனால் அவரைப் பின்பற்றுபவர்களின் எழுத்துக்களிலிருந்து பின்வருமாறு, சமோஸின் பித்தகோரஸ் சமோஸ் தீவில் பிறந்தார். அவரது தந்தை ஒரு சாதாரண கல் வெட்டுபவர், ஆனால் அவரது தாயார் ஒரு உன்னத குடும்பத்திலிருந்து வந்தவர்.

புராணத்தின் படி, பித்தகோரஸின் பிறப்பு பைத்தியா என்ற பெண்ணால் கணிக்கப்பட்டது, அதன் மரியாதைக்குரிய பையனுக்கு பெயரிடப்பட்டது. அவரது கணிப்பின்படி, பிறந்த சிறுவன் மனிதகுலத்திற்கு பல நன்மைகளையும் நன்மையையும் கொண்டு வந்திருக்க வேண்டும். அவர் உண்மையில் செய்தார்.

தேற்றத்தின் பிறப்பு

தனது இளமை பருவத்தில், பிரபலமான எகிப்திய முனிவர்களை சந்திக்க பித்தகோரஸ் எகிப்துக்கு சென்றார். அவர்களுடன் சந்தித்த பிறகு, அவர் படிப்பில் அனுமதிக்கப்பட்டார், அங்கு அவர் எகிப்திய தத்துவம், கணிதம் மற்றும் மருத்துவம் ஆகியவற்றின் அனைத்து பெரிய சாதனைகளையும் கற்றுக்கொண்டார்.

அநேகமாக, எகிப்தில் தான் பித்தகோரஸ் பிரமிடுகளின் கம்பீரத்தினாலும் அழகினாலும் ஈர்க்கப்பட்டு அவரது சிறந்த கோட்பாட்டை உருவாக்கியது. இது வாசகர்களை அதிர்ச்சிக்குள்ளாக்கலாம், ஆனால் நவீன வரலாற்றாசிரியர்கள் பித்தகோரஸ் தனது கோட்பாட்டை நிரூபிக்கவில்லை என்று நம்புகிறார்கள். அவர் தனது அறிவைப் பின்தொடர்பவர்களுக்கு மட்டுமே அனுப்பினார், பின்னர் தேவையான அனைத்து கணிதக் கணக்கீடுகளையும் முடித்தார்.

எப்படியிருந்தாலும், இன்று இந்த தேற்றத்தை நிரூபிக்கும் ஒரு முறை அறியப்படவில்லை, ஆனால் ஒரே நேரத்தில் பல. பண்டைய கிரேக்கர்கள் தங்கள் கணக்கீடுகளை எவ்வாறு செய்தார்கள் என்பதை இன்று நாம் யூகிக்க முடியும், எனவே இங்கே பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிப்பதற்கான பல்வேறு வழிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

பித்தகோரியன் தேற்றம்

எந்த கணக்கீடுகளையும் தொடங்குவதற்கு முன், எந்த கோட்பாடு நிரூபிக்கப்பட வேண்டும் என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். பித்தகோரியன் தேற்றம் இதைப் போன்றது: "ஒரு முக்கோணத்தில், கோணங்களில் ஒன்று 90 is ஆக இருந்தால், கால்களின் சதுரங்களின் தொகை ஹைப்போடனஸின் சதுரத்திற்கு சமம்."

மொத்தத்தில், பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிக்க 15 வெவ்வேறு வழிகள் உள்ளன. இது மிகவும் பெரிய எண்ணிக்கை, எனவே மிகவும் பிரபலமானவர்களுக்கு கவனம் செலுத்துவோம்.

முறை ஒன்று

முதலில், எங்களுக்கு வழங்கப்பட்டதை நியமிப்போம். இந்த தரவு பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிக்கும் பிற முறைகளுக்கும் பொருந்தும், எனவே கிடைக்கக்கூடிய அனைத்து குறியீடுகளையும் உடனடியாக நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

ஒரு கோண முக்கோணம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், கால்கள் a, b மற்றும் c க்கு சமமான ஒரு ஹைபோடென்யூஸ். சான்றின் முதல் முறை நீங்கள் ஒரு கோண முக்கோணத்திலிருந்து ஒரு சதுரத்தை வரைய வேண்டும் என்ற உண்மையை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

இதைச் செய்ய, நீங்கள் கால் b க்கு சமமான ஒரு பகுதியை நீளத்தின் காலுக்கு வரைய வேண்டும், மற்றும் நேர்மாறாகவும். இது சதுரத்தின் இரண்டு சம பக்கங்களை உருவாக்க வேண்டும். இது இரண்டு இணையான கோடுகளை வரைய மட்டுமே உள்ளது, மேலும் சதுரம் தயாராக உள்ளது.

இதன் விளைவாக உருவத்தின் உள்ளே, அசல் முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்ஸுக்கு சமமான ஒரு பக்கத்துடன் மற்றொரு சதுரத்தை வரைய வேண்டும். இதைச் செய்ய, ac மற்றும் sv ஆகிய செங்குத்துகளிலிருந்து, நீங்கள் c க்கு சமமான இரண்டு இணை பிரிவுகளை வரைய வேண்டும். இவ்வாறு, சதுரத்தின் மூன்று பக்கங்களையும் நாம் பெறுகிறோம், அவற்றில் ஒன்று அசல் வலது கோண முக்கோணத்தின் ஹைபோடென்யூஸ் ஆகும். இது நான்காவது பிரிவை முடிக்க மட்டுமே உள்ளது.

இதன் விளைவாக உருவின் அடிப்படையில், வெளிப்புற சதுரத்தின் பரப்பளவு (a + b) 2 என்று நாம் முடிவு செய்யலாம். நீங்கள் உருவத்தின் உள்ளே பார்த்தால், உள் சதுரத்திற்கு கூடுதலாக, அதில் நான்கு வலது கோண முக்கோணங்கள் இருப்பதைக் காணலாம். ஒவ்வொன்றின் பரப்பளவு 0.5 ஏ.வி.

எனவே, பரப்பளவு: 4 * 0.5av + s 2 \u003d 2av + s 2

எனவே (a + b) 2 \u003d 2ab + c 2

எனவே, c 2 \u003d a 2 + b 2

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

முறை இரண்டு: ஒத்த முக்கோணங்கள்

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரத்திற்கான இந்த சூத்திரம் ஒத்த முக்கோணங்களைப் பற்றிய வடிவியல் பிரிவில் இருந்து ஒரு அறிக்கையின் அடிப்படையில் பெறப்பட்டது. ஒரு வலது கோண முக்கோணத்தின் கால் அதன் ஹைபோடென்யூஸின் விகிதாசார சராசரி மற்றும் 90 ° கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து வெளிப்படும் ஹைப்போடென்யூஸின் பிரிவு என்று அது கூறுகிறது.

ஆரம்ப தரவு அப்படியே உள்ளது, எனவே ஆதாரத்துடன் உடனே தொடங்குவோம். SD இன் ஒரு பகுதியை AB பக்கத்திற்கு செங்குத்தாக வரைவோம். மேற்கண்ட கூற்றின் அடிப்படையில், முக்கோணங்களின் கால்கள்:

AC \u003d √AB * HELL, SV \u003d √AB * DV.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தை எவ்வாறு நிரூபிப்பது என்ற கேள்விக்கு பதிலளிக்க, இரு ஏற்றத்தாழ்வுகளையும் வரிசைப்படுத்துவதன் மூலம் ஆதாரம் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்.

AC 2 \u003d AB * HELL மற்றும் SV 2 \u003d AB * DV

இதன் விளைவாக ஏற்படும் ஏற்றத்தாழ்வுகளை இப்போது நீங்கள் சேர்க்க வேண்டும்.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (BP * DV), அங்கு BP + DV \u003d AB

அது மாறிவிடும்:

AC 2 + SV 2 \u003d AB * AB

எனவே:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் சான்று மற்றும் அதைத் தீர்க்க பல்வேறு வழிகள் இந்த சிக்கலுக்கு பல்துறை அணுகுமுறை தேவை. இருப்பினும், இந்த விருப்பம் எளிமையான ஒன்றாகும்.

மற்றொரு கணக்கீட்டு நுட்பம்

பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிக்கும் வெவ்வேறு முறைகளின் விளக்கம் நீங்கள் சொந்தமாக பயிற்சி செய்யத் தொடங்கும் வரை எதுவும் சொல்லக்கூடாது. பல நுட்பங்கள் கணிதக் கணக்கீடுகளை மட்டுமல்லாமல், அசல் முக்கோணத்திலிருந்து புதிய வடிவங்களை உருவாக்குவதையும் உள்ளடக்கியது.

இந்த வழக்கில், கி.மு.யின் காலில் இருந்து வி.எஸ்.டி.யின் மற்றொரு வலது கோண முக்கோணத்தை முடிக்க வேண்டியது அவசியம். எனவே, இப்போது கி.மு. ஒரு பொதுவான காலுடன் இரண்டு முக்கோணங்கள் உள்ளன.

அத்தகைய புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகள் அவற்றின் ஒத்த நேரியல் பரிமாணங்களின் சதுரங்களாக ஒரு விகிதத்தைக் கொண்டுள்ளன என்பதை அறிவது, பின்னர்:

S avd * s 2 - S avd * a 2 \u003d S avd * a 2 - S awd * a 2

S abc * (s 2 -v 2) \u003d a 2 * (S abd -S vd)

s 2 -w 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + b 2

தரம் 8 க்கான பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிக்கும் வெவ்வேறு முறைகளிலிருந்து இந்த விருப்பம் அரிதாகவே பொருந்தாது என்பதால், நீங்கள் பின்வரும் நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிக்க எளிதான வழி. விமர்சனங்கள்

பண்டைய கிரேக்கத்தில் ஒரு தேற்றத்தை நிரூபிக்க இந்த முறை முதன்முதலில் பயன்படுத்தப்பட்டது என்று வரலாற்றாசிரியர்கள் நம்புகின்றனர். எந்தவொரு கணக்கீடுகளும் தேவையில்லை என்பதால் இது மிகவும் எளிமையானது. நீங்கள் உருவத்தை சரியாக வரைந்தால், 2 \u003d c 2 இல் 2 + தெளிவாக இருக்கும் என்று கூறும் ஆதாரம்.

இந்த முறைக்கான நிபந்தனைகள் முந்தைய முறையிலிருந்து சற்று வித்தியாசமாக இருக்கும். தேற்றத்தை நிரூபிக்க, வலது கோண முக்கோணம் ஏபிசி ஐசோசில்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

ஏ.சி. ஹைபோடென்யூஸை சதுரத்தின் பக்கமாக எடுத்து அதன் மூன்று பக்கங்களையும் பிரிக்கிறோம். கூடுதலாக, இதன் விளைவாக வரும் சதுரத்தில் நீங்கள் இரண்டு மூலைவிட்ட கோடுகளை வரைய வேண்டும். எனவே அதன் உள்ளே நான்கு ஐசோசெல் முக்கோணங்கள் உள்ளன.

ஏபி மற்றும் சிபி கால்களுக்கு, நீங்கள் ஒரு சதுரத்தில் வரைய வேண்டும் மற்றும் அவை ஒவ்வொன்றிலும் ஒரு மூலைவிட்ட கோட்டை வரைய வேண்டும். முதல் வரி A என்ற உச்சியிலிருந்து எடுக்கப்படுகிறது, இரண்டாவது C இலிருந்து.

இதன் விளைவாக வரும் வரைபடத்தை இப்போது நீங்கள் உன்னிப்பாக கவனிக்க வேண்டும். ஏ.சி ஹைப்போடென்ஸில் அசல் ஒன்றுக்கு சமமான நான்கு முக்கோணங்களும், கால்களில் இரண்டு இருப்பதால், இது இந்த தேற்றத்தின் உண்மையை குறிக்கிறது.

மூலம், பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிக்கும் இந்த முறைக்கு நன்றி, பிரபலமான சொற்றொடர் பிறந்தது: "பித்தகோரியன் பேன்ட் எல்லா திசைகளிலும் சமம்."

ஜே. கார்பீல்ட் ஆதாரம்

ஜேம்ஸ் கார்பீல்ட் அமெரிக்காவின் 20 வது ஜனாதிபதி ஆவார். அமெரிக்காவின் ஆட்சியாளராக வரலாற்றில் தனது அடையாளத்தை விட்டுச் சென்றதோடு மட்டுமல்லாமல், அவர் ஒரு சிறந்த சுய-கற்பிக்கப்பட்ட நபராகவும் இருந்தார்.

தனது தொழில் வாழ்க்கையின் ஆரம்பத்தில், அவர் ஒரு நாட்டுப்புற பள்ளியில் சாதாரண ஆசிரியராக இருந்தார், ஆனால் விரைவில் உயர் கல்வி நிறுவனங்களில் ஒன்றின் இயக்குநரானார். சுய வளர்ச்சிக்கான ஆசை பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிக்க ஒரு புதிய கோட்பாட்டை முன்மொழிய அனுமதித்தது. தேற்றமும் அதன் தீர்வின் எடுத்துக்காட்டு பின்வருமாறு.

முதலில், நீங்கள் ஒரு தாளில் இரண்டு வலது கோண முக்கோணங்களை வரைய வேண்டும், இதனால் அவற்றில் ஒன்றின் கால் இரண்டாவது தொடர்ச்சியாகும். இந்த முக்கோணங்களின் செங்குத்துகள் இறுதியில் ஒரு ட்ரெப்சாய்டை உருவாக்க இணைக்கப்பட வேண்டும்.

உங்களுக்கு தெரியும், ஒரு ட்ரெப்சாய்டின் பரப்பளவு அதன் தளங்களின் அரை தொகை மற்றும் உயரத்தின் தயாரிப்புக்கு சமம்.

S \u003d a + b / 2 * (a + b)

இதன் விளைவாக வரும் ட்ரெப்சாய்டை மூன்று முக்கோணங்களைக் கொண்ட ஒரு உருவமாகக் கருதினால், அதன் பரப்பளவை பின்வருமாறு காணலாம்:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2/2

இப்போது நீங்கள் இரண்டு அசல் வெளிப்பாடுகளை சமப்படுத்த வேண்டும்

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + b) 2/2

c 2 \u003d a 2 + b 2

பித்தகோரியன் தேற்றம் மற்றும் அதன் ஆதாரத்தின் முறைகள் பற்றி ஒரு பாடப்புத்தகத்தின் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட தொகுதிகள் எழுதப்படலாம். ஆனால் இந்த அறிவை நடைமுறையில் பயன்படுத்த முடியாதபோது அர்த்தமுள்ளதா?

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் நடைமுறை பயன்பாடு

துரதிர்ஷ்டவசமாக, நவீன பள்ளி பாடத்திட்டங்கள் இந்த தேற்றத்தை வடிவியல் சிக்கல்களில் மட்டுமே பயன்படுத்துகின்றன. பட்டதாரிகள் விரைவில் பள்ளி சுவர்களை விட்டு வெளியேறுவார்கள், அவர்கள் தங்கள் அறிவையும் திறமையையும் எவ்வாறு நடைமுறையில் பயன்படுத்தலாம் என்பதை அறிய மாட்டார்கள்.

உண்மையில், ஒவ்வொருவரும் தங்கள் அன்றாட வாழ்க்கையில் பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம். மேலும் தொழில்முறை நடவடிக்கைகளில் மட்டுமல்ல, சாதாரண வீட்டு வேலைகளிலும். பித்தகோரியன் தேற்றமும் அதன் ஆதாரத்தின் முறைகளும் மிகவும் அவசியமாக இருக்கும்போது பல நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

தேற்றத்திற்கும் வானியலுக்கும் உள்ள தொடர்பு

காகிதத்தில் உள்ள நட்சத்திரங்களையும் முக்கோணங்களையும் எவ்வாறு இணைக்க முடியும் என்று தோன்றும். உண்மையில், வானியல் என்பது பித்தகோரியன் தேற்றம் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு அறிவியல் துறையாகும்.

எடுத்துக்காட்டாக, விண்வெளியில் ஒரு ஒளி கற்றை இயக்கத்தைக் கவனியுங்கள். ஒளி இரு திசைகளிலும் ஒரே வேகத்தில் நகர்கிறது என்பது அறியப்படுகிறது. ஒளி கற்றை நகரும் ஏபி என்ற பாதை அழைக்கப்படுகிறது l. புள்ளி A இலிருந்து B ஐ வெளிச்சம் பெற பாதி நேரம் எடுக்கும், அழைப்போம் டி... மற்றும் பீமின் வேகம் - c. அது மாறிவிடும்: c * t \u003d l

வேறொரு விமானத்திலிருந்து இந்த கதிரைப் பார்த்தால், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வி வி வேகத்துடன் நகரும் ஒரு விண்வெளி லைனரிலிருந்து, உடல்களைப் போன்ற அவதானிப்பால் அவற்றின் வேகம் மாறும். இந்த வழக்கில், நிலையான கூறுகள் கூட வேக v உடன் எதிர் திசையில் நகரும்.

காமிக் லைனர் வலதுபுறம் பயணிக்கிறது என்று சொல்லலாம். கதிர் தூக்கி எறியப்படும் A மற்றும் B புள்ளிகள் இடதுபுறமாக நகரும். மேலும், பீம் புள்ளி A இலிருந்து B க்கு நகரும் போது, \u200b\u200bபுள்ளி A க்கு நகர நேரம் உள்ளது, அதன்படி, ஒளி ஏற்கனவே ஒரு புதிய புள்ளியில் வந்து சேரும். சி எந்த புள்ளியில் A மாறிவிட்டது என்பதில் பாதி தூரத்தைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் லைமரின் வேகத்தை பீமின் பயண நேரத்தின் பாதி பெருக்க வேண்டும் (t ").

இந்த நேரத்தில் ஒளியின் கதிர் எவ்வளவு தூரம் பயணிக்க முடியும் என்பதைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் பாதையின் பாதியை புதிய எழுத்துக்களுடன் நியமித்து பின்வரும் வெளிப்பாட்டைப் பெற வேண்டும்:

ஒளி சி மற்றும் பி புள்ளிகள், விண்வெளி லைனர் ஆகியவை ஒரு ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் செங்குத்துகள் என்று நாம் கற்பனை செய்தால், புள்ளி A இலிருந்து லைனர் வரையிலான பிரிவு அதை இரண்டு வலது கோண முக்கோணங்களாக பிரிக்கும். எனவே, பித்தகோரியன் தேற்றத்திற்கு நன்றி, ஒளியின் கதிர் பயணிக்கக்கூடிய தூரத்தை நீங்கள் காணலாம்.

இந்த எடுத்துக்காட்டு, நிச்சயமாக, மிகவும் வெற்றிகரமானதல்ல, ஏனென்றால் ஒரு சிலரே அதை நடைமுறையில் முயற்சிக்க போதுமான அதிர்ஷ்டசாலி. எனவே, இந்த தேற்றத்தின் மேலும் சாதாரணமான பயன்பாடுகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்.

மொபைல் சிக்னல் பரிமாற்ற ஆரம்

ஸ்மார்ட்போன்கள் இல்லாமல் நவீன வாழ்க்கையை இனி கற்பனை செய்ய முடியாது. மொபைல் தகவல்தொடர்புகள் மூலம் சந்தாதாரர்களை இணைக்க முடியாவிட்டால் அவை அதிகம் பயன்படுமா?!

மொபைல் தகவல்தொடர்புகளின் தரம் நேரடியாக மொபைல் ஆபரேட்டரின் ஆண்டெனாவின் உயரத்தைப் பொறுத்தது. மொபைல் கோபுரத்திலிருந்து தொலைபேசியில் சிக்னலை எவ்வளவு தூரம் பெற முடியும் என்பதைக் கணக்கிட, நீங்கள் பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.

ஒரு நிலையான கோபுரத்தின் தோராயமான உயரத்தை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று சொல்லலாம், இதனால் 200 கிலோமீட்டர் சுற்றளவில் ஒரு சமிக்ஞையை பரப்ப முடியும்.

ஏபி (கோபுர உயரம்) \u003d x;

விமானம் (சமிக்ஞை பரிமாற்ற ஆரம்) \u003d 200 கி.மீ;

ஓஎஸ் (உலகின் ஆரம்) \u003d 6380 கிமீ;

OB \u003d OA + ABOV \u003d r + x

பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகையில், கோபுரத்தின் குறைந்தபட்ச உயரம் 2.3 கிலோமீட்டராக இருக்க வேண்டும் என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

அன்றாட வாழ்க்கையில் பித்தகோரியன் தேற்றம்

விந்தை போதும், பித்தகோரியன் தேற்றம் அன்றாட விஷயங்களில் கூட பயனுள்ளதாக இருக்கும், உதாரணமாக ஒரு அலமாரியின் உயரத்தை தீர்மானித்தல். முதல் பார்வையில், இதுபோன்ற சிக்கலான கணக்கீடுகளைப் பயன்படுத்த வேண்டிய அவசியமில்லை, ஏனென்றால் நீங்கள் ஒரு டேப் அளவீடு மூலம் அளவீடுகளை எடுக்கலாம். ஆனால் அனைத்து அளவீடுகளும் துல்லியமாக விட அதிகமாக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டால், சட்டசபை செயல்பாட்டின் போது சில சிக்கல்கள் ஏன் எழுகின்றன என்று பலர் ஆச்சரியப்படுகிறார்கள்.

உண்மை என்னவென்றால், அலமாரி ஒரு கிடைமட்ட நிலையில் கூடியிருக்கிறது, அப்போதுதான் அது உயர்ந்து சுவருக்கு எதிராக நிறுவப்படுகிறது. எனவே, கட்டமைப்பைத் தூக்கும் பணியில் அமைச்சரவையின் பக்கமானது அறையின் உயரத்திலும் குறுக்காகவும் சுதந்திரமாக கடந்து செல்ல வேண்டும்.

உங்களிடம் 800 மிமீ ஆழத்துடன் அலமாரி இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம். தரையிலிருந்து உச்சவரம்பு வரை தூரம் - 2600 மி.மீ. அமைச்சரவையின் உயரம் அறையின் உயரத்தை விட 126 மி.மீ குறைவாக இருக்க வேண்டும் என்று ஒரு அனுபவமிக்க தளபாடங்கள் தயாரிப்பாளர் உங்களுக்குச் சொல்வார். ஆனால் சரியாக 126 மி.மீ ஏன்? ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

அமைச்சரவையின் சிறந்த பரிமாணங்களுடன், பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் செயல்பாட்டை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

ஏசி \u003d √2474 2 +800 2 \u003d 2600 மிமீ - அனைத்தும் இணைகிறது.

அமைச்சரவையின் உயரம் 2474 மிமீ அல்ல, 2505 மிமீ என்று சொல்லலாம். பிறகு:

ஏசி \u003d 502505 2 + √800 2 \u003d 2629 மி.மீ.

எனவே, இந்த அறையில் நிறுவுவதற்கு இந்த அமைச்சரவை பொருத்தமானதல்ல. அதை செங்குத்து நிலைக்கு உயர்த்துவதால் அதன் உடலை சேதப்படுத்தும்.

ஒருவேளை, வெவ்வேறு விஞ்ஞானிகளால் பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிப்பதற்கான பல்வேறு வழிகளைக் கருத்தில் கொண்டு, அது உண்மைக்கு மேலானது என்று நாம் முடிவு செய்யலாம். இப்போது நீங்கள் உங்கள் அன்றாட வாழ்க்கையில் பெறப்பட்ட தகவல்களைப் பயன்படுத்தலாம் மற்றும் அனைத்து கணக்கீடுகளும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஆனால் சரியானவை என்பதையும் முழுமையாக உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள்.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் அனிமேஷன் சான்று ஒன்று அடிப்படை யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் கோட்பாடுகள், வலது கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு இடையிலான உறவை நிறுவுகின்றன. இது கிரேக்க கணிதவியலாளர் பித்தகோரஸால் நிரூபிக்கப்பட்டது என்று நம்பப்படுகிறது, அதன் பெயரால் பெயரிடப்பட்டது (பிற பதிப்புகள் உள்ளன, குறிப்பாக, இந்த தேற்றம் பொது வடிவத்தில் பித்தகோரியன் கணிதவியலாளர் ஹிப்பாசஸால் உருவாக்கப்பட்டது என்ற மாற்றுக் கருத்து).
தேற்றம் கூறுகிறது:

வலது கோண முக்கோணத்தில், ஹைப்போடென்ஸில் கட்டப்பட்ட சதுரத்தின் பரப்பளவு கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்ஸின் நீளத்தைக் குறிக்கிறது c, மற்றும் கால்களின் நீளம் a மற்றும் b, பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:

இவ்வாறு, பித்தகோரியன் தேற்றம் ஒரு உறவை நிறுவுகிறது, இது ஒரு சரியான முக்கோணத்தின் பக்கத்தை தீர்மானிக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது, மற்ற இரண்டின் நீளத்தை அறிந்து கொள்ளுங்கள். பித்தகோரியன் தேற்றம் என்பது கொசைன் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வு ஆகும், இது ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு இடையிலான விகிதத்தை தீர்மானிக்கிறது.
உரையாடல் அறிக்கையும் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது (தலைகீழ் பித்தகோரியன் தேற்றம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது):

ஏதேனும் மூன்று நேர்மறை எண்களுக்கு a, b மற்றும் c போன்றவை? + ஆ? \u003d c?, கால்கள் a மற்றும் b மற்றும் ஹைபோடென்யூஸ் c உடன் வலது கோண முக்கோணம் உள்ளது.

கிமு 500-200 "சு பீ" புத்தகத்திலிருந்து முக்கோணத்திற்கான காட்சி சான்றுகள் (3, 4, 5). தேற்றத்தின் வரலாற்றை நான்கு பகுதிகளாகப் பிரிக்கலாம்: பித்தகோரியன் எண்களைப் பற்றிய அறிவு, சரியான முக்கோணத்தில் பக்கங்களின் விகிதம் பற்றிய அறிவு, அருகிலுள்ள கோணங்களின் விகிதம் பற்றிய அறிவு மற்றும் தேற்றத்தின் சான்று.
கிமு 2500 இல் மெகாலிதிக் கட்டமைப்புகள் எகிப்து மற்றும் வடக்கு ஐரோப்பாவில், முழு கோணங்களின் பக்கங்களைக் கொண்ட வலது கோண முக்கோணங்களைக் கொண்டுள்ளது. அந்த நேரத்தில் பித்தகோரியன் எண்கள் இயற்கணிதமாகக் காணப்பட்டதாக பார்டெல்லே லீண்டர்ட் வான் டெர் வேர்டன் கருதினார்.
கிமு 2000 முதல் 1876 வரை எழுதப்பட்டது மத்திய எகிப்திய இராச்சியத்தின் பாப்பிரஸ் பெர்லின் 6619 பித்தகோரியன் எண்களின் தீர்வு ஒரு சிக்கலைக் கொண்டுள்ளது.
பெரிய ஹம்முராபியின் ஆட்சியின் போது, \u200b\u200bபாபிலோனிய மாத்திரை பிளிம்ப்டன் 322, கிமு 1790 மற்றும் 1750 க்கு இடையில் எழுதப்பட்ட பித்தகோரஸின் எண்களுடன் நெருங்கிய தொடர்புடைய பல உள்ளீடுகள் உள்ளன.
கிமு எட்டாம் அல்லது இரண்டாம் நூற்றாண்டுகளுக்கு பல்வேறு பதிப்புகளின்படி தேதியிடப்பட்ட புதாயண சூத்திரங்களில். இந்தியாவில், இயற்கணிதமாக பெறப்பட்ட பித்தகோரியன் எண்கள், பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் உருவாக்கம் மற்றும் ஒரு சாகிட்டல் வலது முக்கோணத்திற்கான வடிவியல் சான்று ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது.
அப்பஸ்தாம்பா சூத்திரங்கள் (கி.மு. 600) பகுதி கணக்கீடுகளைப் பயன்படுத்தி பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் எண் ஆதாரத்தை வழங்குகின்றன. வான் டெர் வேர்டன் அதன் முன்னோடிகளின் மரபுகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது என்று நம்புகிறார். ஆல்பர்ட் புர்கோவின் கூற்றுப்படி, இது தேற்றத்தின் அசல் சான்று, மேலும் பித்தகோரஸ் அரக்கன்களுக்குச் சென்று அதை நகலெடுத்தார் என்று அவர் கருதுகிறார்.
பித்தகோரஸ், அதன் ஆண்டுகள் பொதுவாக கிமு 569 - 475 ஆல் குறிக்கப்படுகின்றன. யூக்லிட் பற்றிய புரோக்லோவின் வர்ணனையின் படி, பித்தகோரியன் எண்களைக் கணக்கிடுவதற்கு இயற்கணித முறைகளைப் பயன்படுத்துகிறது. இருப்பினும், புரோக்லஸ் கி.பி 410 முதல் 485 வரை வாழ்ந்தார். தாமஸ் கீஸின் கூற்றுப்படி, பித்தகோரஸுக்குப் பிறகு ஐந்து நூற்றாண்டுகளாக தேற்றத்தின் படைப்புரிமை குறித்த எந்த அறிகுறியும் இல்லை. இருப்பினும், புளூடார்ச் அல்லது சிசரோ போன்ற ஆசிரியர்கள் பித்தகோரஸுக்கு தேற்றத்தை காரணம் கூறும்போது, \u200b\u200bஅவர்கள் படைப்புரிமை பரவலாக அறியப்பட்டதும் சந்தேகத்திற்கு அப்பாற்பட்டதும் போலவே செய்கிறார்கள்.
சுமார் கிமு 400 ப்ரோக்லஸின் கூற்றுப்படி, பித்தாகோரியன் எண்களைக் கணக்கிடுவதற்கும், இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவவியலை இணைப்பதற்கும் பிளேட்டோ ஒரு முறையைக் கொடுத்தார். கிமு 300 இல், இல் ஆரம்பம் யூக்லிட், இன்றுவரை எஞ்சியிருக்கும் மிகப் பழமையான அச்சு ஆதாரம் எங்களிடம் உள்ளது.
கிமு 500 க்கு இடையில் எங்காவது எழுதப்பட்டது மற்றும் கிமு 200, சீன கணித புத்தகம் "சூ பீ" (????), பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் காட்சி ஆதாரத்தை அளிக்கிறது, இது சீனாவில் குகு (????) தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணத்திற்கு (3, 4, ஐந்து). கிமு 202 முதல் ஹான் வம்சத்தின் ஆட்சிக் காலத்தில் 220 கி.பி. வலது கோண முக்கோணங்களைக் குறிப்பிடுவதோடு கணிதக் கலையின் ஒன்பது பிரிவுகள் என்ற புத்தகத்தில் பித்தகோரியன் எண்கள் தோன்றும்.
தேற்றத்தின் பயன்பாடு முதன்முதலில் சீனாவில் பதிவு செய்யப்பட்டது, அங்கு அது குகு (????) தேற்றம் என்றும், இந்தியாவில் பாஸ்கர் தேற்றம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.
பித்தகோரியன் தேற்றம் ஒன்று அல்லது பல முறை கண்டுபிடிக்கப்பட்டது என்பது விவாதத்திற்குரியது. ஷுல்பா சூத்திரத்தில் காணப்படும் அறிவு மெசொப்பொத்தேமிய வம்சாவளியைச் சேர்ந்ததாக இருக்கலாம் என்று போயர் (1991) நம்புகிறார்.
இயற்கணித ஆதாரம்
நான்கு வலது கோண முக்கோணங்களிலிருந்து சதுரங்கள் உருவாகின்றன. பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் நூற்றுக்கும் மேற்பட்ட சான்றுகள் அறியப்படுகின்றன. ஒரு உருவத்தின் பரப்பிற்கான இருப்பு தேற்றத்தின் அடிப்படையில் ஒரு ஆதாரம் இங்கே:

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி நான்கு ஒத்த வலது கோண முக்கோணங்களை வைக்கவும்.
பக்கங்களுடன் நான்கு மடங்கு c ஒரு சதுரம், இரண்டு கடுமையான கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை என்பதால், ஒரு விரிவடைந்த கோணம்.
முழு உருவத்தின் பரப்பளவு, ஒருபுறம், "a + b" பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவு, மறுபுறம், நான்கு முக்கோணங்களின் பரப்பளவு மற்றும் ஒரு உள் சதுரம்.

இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டியது.
முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையால்
ஒத்த முக்கோணங்களைப் பயன்படுத்துதல். இருக்கட்டும் ஏபிசி ஒரு கோண முக்கோணம், இதில் கோணம் சி நேராக காட்டப்பட்டுள்ளது. புள்ளியிலிருந்து உயரத்தை வரையலாம் சி, மற்றும் அழைக்கவும் எச் பக்க குறுக்குவெட்டு புள்ளி ஏபி. முக்கோணம் உருவானது ஆச் ஒரு முக்கோணம் போல ஏபிசி, அவை இரண்டும் செவ்வக வடிவமாக இருப்பதால் (உயரத்தின் வரையறையால்) அவை பொதுவான கோணத்தைக் கொண்டுள்ளன அ, இந்த முக்கோணங்களிலும் மூன்றாவது கோணம் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். இதேபோல் மிர்குயுச்சி, முக்கோணம் சி.பி.எச் ஒரு முக்கோணம் போன்றது ஏபிசி. முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையிலிருந்து: என்றால்

இதை இவ்வாறு எழுதலாம்

இந்த இரண்டு சமத்துவங்களையும் சேர்த்தால், நமக்குக் கிடைக்கும்

HB + c முறை AH \u003d c முறை (HB + AH) \u003d c ^ 2 ,! Src \u003d "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" /\u003e

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பித்தகோரியன் தேற்றம்:

யூக்லிட்டின் ஆதாரம்
யூக்ளிடியன் "கூறுகள்" இல் யூக்லிட்டின் ஆதாரம், பித்தகோரியன் தேற்றம் இணையான வரைபடங்களின் முறையால் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. இருக்கட்டும் ஏ, பி, சி வலது முக்கோணத்தின் செங்குத்துகள், வலது கோணம் ஏ. புள்ளியிலிருந்து செங்குத்தாக விடுங்கள் அ ஹைப்போடனஸில் கட்டப்பட்ட சதுக்கத்தில் உள்ள ஹைப்போடென்ஸுக்கு எதிர் பக்கத்தில். வரி சதுரத்தை இரண்டு செவ்வகங்களாகப் பிரிக்கிறது, ஒவ்வொன்றும் கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் அதே பகுதியைக் கொண்டுள்ளது. ஆதாரத்தில் உள்ள முக்கிய யோசனை என்னவென்றால், மேல் சதுரங்கள் அதே பகுதியின் இணையான வரைபடங்களாக மாறும், பின்னர் அவை திரும்பி கீழ் சதுக்கத்தில் செவ்வகங்களாக மாறி மீண்டும் அதே பகுதியுடன் இருக்கும்.

பிரிவுகளை வரைவோம் சி.எஃப் மற்றும் கி.பி., நாம் முக்கோணங்களைப் பெறுகிறோம் பி.சி.எஃப் மற்றும் பி.டி.ஏ.
மூலைகள் வண்டி மற்றும் BAG - நேர் கோடுகள்; முறையே புள்ளிகள் சி, ஏ மற்றும் ஜி கோலைனியர். அதே பி, ஏ மற்றும் எச்.
மூலைகள் சி.பி.டி. மற்றும் FBA - இரண்டு நேர் கோடுகள், பின்னர் கோணம் ஏபிடி கோணத்திற்கு சமம் FBC, இரண்டும் ஒரு சரியான கோணத்தின் மற்றும் ஒரு கோணத்தின் கூட்டுத்தொகை என்பதால் ஏபிசி.
முக்கோணம் ஏபிடி மற்றும் FBC இருபுறமும் நிலை மற்றும் அவற்றுக்கு இடையேயான மூலையில்.
புள்ளிகள் முதல் அ, கே மற்றும் எல் - கோலைனியர், பி.டி.எல்.கே செவ்வகத்தின் பரப்பளவு முக்கோணத்தின் இரண்டு பகுதிகளுக்கு சமம் ஏபிடி (பி.டி.எல்.கே. = BAGF = ஏபி 2)
இதேபோல், நாங்கள் பெறுகிறோம் சி.கே.எல் = ACIH = ஏசி 2
ஒரு பக்க பகுதி சிபிடிஇ செவ்வகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் பி.டி.எல்.கே. மற்றும் சி.கே.எல்.இ, மறுபுறம், சதுரத்தின் பரப்பளவு கிமு 2, அல்லது ஏபி 2 + ஏசி 2 = கிமு 2.

வேறுபாடுகளைப் பயன்படுத்துதல்
வேறுபாடுகளைப் பயன்படுத்துதல். வலதுபுறத்தில் உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, பக்க ஆதாயம் ஹைப்போடென்யூஸின் மதிப்பை எவ்வாறு பாதிக்கிறது என்பதைப் படிப்பதன் மூலமும், ஒரு சிறிய கணக்கீட்டைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமும் பித்தகோரியன் தேற்றத்தை அடையலாம்.
பக்க ஆதாயத்தின் விளைவாக a, எண்ணற்ற அதிகரிப்புகளுக்கான ஒத்த முக்கோணங்களின்

ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம் நமக்கு கிடைக்கும்

என்றால் ஒரு a \u003d 0 பின்னர் c = b, எனவே "மாறிலி" ஆகும் b 2. பிறகு

நீங்கள் பார்க்கிறபடி, சதுரங்கள் அதிகரிப்புகளுக்கும் பக்கங்களுக்கும் இடையிலான விகிதத்தின் காரணமாக பெறப்படுகின்றன, அதே சமயம் தொகை என்பது பக்கங்களின் அதிகரிப்புகளின் சுயாதீன பங்களிப்பின் விளைவாகும், வடிவியல் சான்றுகளிலிருந்து தெளிவாக இல்லை. இந்த சமன்பாடுகளில் டா மற்றும் dc - முறையே, பக்கங்களின் எண்ணற்ற சிறிய அதிகரிப்புகள் a மற்றும் c. ஆனால் அவற்றுக்கு பதிலாக நாம் பயன்படுத்துகிறோமா? a மற்றும்? c, அவை பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் விகிதத்தின் வரம்பு டா / dc, வழித்தோன்றல், மற்றும் இது சமம் c / a, முக்கோணங்களின் பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதம், இதன் விளைவாக நாம் ஒரு மாறுபட்ட சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.
திசையன்களின் ஆர்த்தோகனல் அமைப்பின் விஷயத்தில், சமத்துவம் உள்ளது, இது பித்தகோரியன் தேற்றம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது:

என்றால் - இது திசையன் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளில் செலுத்தப்படும் திட்டமாகும், பின்னர் இந்த சூத்திரம் யூக்ளிடியன் தூரத்துடன் ஒத்துப்போகிறது மற்றும் திசையனின் நீளம் அதன் கூறுகளின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையின் சதுர மூலத்திற்கு சமம் என்று பொருள்.
திசையன்களின் எல்லையற்ற அமைப்பின் விஷயத்தில் இந்த சமத்துவத்தின் ஒரு ஒப்புமை பார்செவலின் சமத்துவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பித்தகோரியன் தேற்றம்

ஆதாரம்

இந்த நேரத்தில், இந்த தேற்றத்தின் 367 சான்றுகள் அறிவியல் இலக்கியங்களில் பதிவு செய்யப்பட்டுள்ளன. பித்தகோரியன் தேற்றம் இதுபோன்ற ஈர்க்கக்கூடிய எண்ணிக்கையிலான சான்றுகளைக் கொண்ட ஒரே தேற்றம். இந்த வகையை வடிவவியலுக்கான தேற்றத்தின் அடிப்படை அர்த்தத்தால் மட்டுமே விளக்க முடியும்.
நிச்சயமாக, கருத்தியல் ரீதியாக, அவை அனைத்தையும் ஒரு சிறிய எண்ணிக்கையிலான வகுப்புகளாக பிரிக்கலாம். அவற்றில் மிகவும் பிரபலமானது: பகுதி முறையின் சான்றுகள், அச்சு மற்றும் கவர்ச்சியான சான்றுகள் (எடுத்துக்காட்டாக, வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்துதல்).

ஒத்த முக்கோணங்கள் மூலம்

இயற்கணித சூத்திரத்தின் பின்வரும் ஆதாரம், கோட்பாடுகளிலிருந்து நேரடியாக கட்டப்பட்ட சான்றுகளில் எளிமையானது. குறிப்பாக, இது ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவு என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்துவதில்லை.
ஏபிசி வலது கோணத்துடன் ஒரு கோண முக்கோணமாக இருக்கட்டும். சி இலிருந்து உயரத்தை வரைந்து அதன் அடித்தளத்தை எச். முக்கோண ஆச் என்பது இரண்டு கோணங்களில் ஏபிசி முக்கோணத்திற்கு ஒத்ததாகும்.
அதேபோல், சிபிஹெச் முக்கோணம் ஏபிசிக்கு ஒத்ததாகும். குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறது

நாங்கள் பெறுகிறோம்

எது சமம்

சேர்ப்பது, நமக்குக் கிடைக்கிறது

அல்லது

பகுதிகள் ஆதாரம்

கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள சான்றுகள், அவற்றின் எளிமை இருந்தபோதிலும், அவ்வளவு எளிதானவை அல்ல. அவை அனைத்தும் பகுதியின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகின்றன, அதற்கான ஆதாரம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை விட மிகவும் கடினம்.

சம நிரப்பு ஆதாரம்

அளவிடுதல் மூலம் சான்றுகள்

அத்தகைய சான்றுகளில் ஒன்றின் எடுத்துக்காட்டு வலதுபுறத்தில் உள்ள வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது, அங்கு ஹைப்போடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட சதுரம் வரிசைமாற்றத்தால் கால்களில் கட்டப்பட்ட இரண்டு சதுரங்களாக மாற்றப்படுகிறது.

யூக்லிட்டின் ஆதாரம்

லியோனார்டோ டா வின்சியின் சான்று

ஆதாரத்தின் முக்கிய கூறுகள் சமச்சீர் மற்றும் இயக்கம்.

வரைபடத்தை கருத்தில் கொள்ளுங்கள், சமச்சீரிலிருந்து பார்க்க முடிந்தால், சிஐஐ பிரிவு ABHJ சதுரத்தை இரண்டு ஒத்த பகுதிகளாக வெட்டுகிறது (கட்டுமானத்தில் ABC மற்றும் JHI முக்கோணங்கள் சமமாக இருப்பதால்). 90 டிகிரி எதிரெதிர் சுழற்சியைப் பயன்படுத்தி, நிழல் புள்ளிவிவரங்களான CAJI மற்றும் GDAB ஆகியவற்றின் சமத்துவத்தைக் காண்கிறோம். நிழலான உருவத்தின் பரப்பளவு கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பகுதிகள் மற்றும் அசல் முக்கோணத்தின் பரப்பளவுக்கு சமம் என்பது இப்போது தெளிவாகியுள்ளது. மறுபுறம், இது ஹைப்போடனஸில் கட்டப்பட்ட சதுரத்தின் பாதி பரப்பிற்கும் அசல் முக்கோணத்தின் பரப்பிற்கும் சமம். ஆதாரத்தின் கடைசி படி வாசகருக்கு விடப்படுகிறது.

பைதகோரஸின் கோட்பாட்டின் மிகவும் சுவாரஸ்யமான சான்றுகள்

பித்தகோரியன் தேற்றம் யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் அடிப்படைக் கோட்பாடுகளில் ஒன்றாகும், இது ஒரு கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு இடையிலான உறவை நிறுவுகிறது. c2 \u003d a2 + b2 இந்த தேற்றத்தை நிரூபிக்க பல வழிகள் உள்ளன, ஆனால் நாங்கள் மிகவும் சுவாரஸ்யமானவற்றைத் தேர்ந்தெடுத்தோம் ...

மணமகளின் நாற்காலி படத்தில், கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்கள் ஒன்றன்பின் ஒன்றாக படிகளில் வைக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த எண்ணிக்கை, கி.பி 9 ஆம் நூற்றாண்டில் இருந்த சான்றுகளில் காணப்படுகிறது. e., இந்தியர்கள் "மணமகளின் நாற்காலி" என்று அழைக்கப்பட்டனர். ஹைபோடென்யூஸுக்கு சமமான ஒரு பக்கத்துடன் ஒரு சதுரத்தை நிர்மாணிப்பதற்கான வழி வரைபடத்திலிருந்து தெளிவாகிறது. கால்களில் கட்டப்பட்ட இரண்டு சதுரங்களின் பொதுவான பகுதி மற்றும் ஹைப்போடென்ஸில் கட்டப்பட்ட சதுரம் ஒரு ஒழுங்கற்ற நிழல் கொண்ட பென்டகன் 5. அதனுடன் 1 மற்றும் 2 முக்கோணங்களை இணைத்து, கால்களில் கட்டப்பட்ட இரண்டு சதுரங்களையும் பெறுகிறோம்; 1 மற்றும் 2 முக்கோணங்களை 3 மற்றும் 4 சம முக்கோணங்களுடன் மாற்றினால், நாம் ஒரு சதுரத்தை ஹைப்போடனஸில் கட்டியெழுப்புகிறோம். கீழேயுள்ள புள்ளிவிவரங்கள் முதல் படத்தில் கொடுக்கப்பட்ட இடத்திற்கு இரண்டு வெவ்வேறு இடங்களைக் காட்டுகின்றன.

இந்திய கணிதவியலாளர் பாஸ்கரியின் சான்று படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சதுரத்தைக் கவனியுங்கள். சதுரத்தின் பக்கமானது பி, 4 அசல் முக்கோணங்கள் கால்கள் a மற்றும் c ஆகியவை சதுரத்தில் மிகைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன, படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. மையத்தில் உள்ள சிறிய சதுரத்தின் பக்கம் c - a, பின்னர்: b2 \u003d 4 * a * c / 2 + (ca) 2 \u003d \u003d 2 * a * c + c2 - 2 * a * c + a2 \u003d \u003d a2 + c2

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் எளிய ஆதாரம். படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சதுரத்தைக் கவனியுங்கள். சதுரத்தின் பக்கம் ஒரு + சி. ஒரு வழக்கில் (இடது), சதுரம் பக்க b மற்றும் நான்கு வலது கோண முக்கோணங்கள் கால்கள் a மற்றும் c உடன் சதுரமாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. மற்றொரு வழக்கில் (வலதுபுறம்), சதுரம் இரண்டு சதுரங்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது a மற்றும் c மற்றும் நான்கு வலது கோண முக்கோணங்கள் கால்கள் a மற்றும் c. ஆக, பக்க b உடன் ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவு a மற்றும் c பக்கங்களைக் கொண்ட சதுரங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்பதைக் காண்கிறோம்.

ஒத்த முக்கோணங்களின் மூலம் ஆதாரம் ஏபிசி வலது கோண சி கொண்ட வலது கோண முக்கோணமாக இருக்கட்டும். C இலிருந்து உயரத்தை வரைந்து அதன் அடித்தளத்தை H ஆல் குறிக்கவும். முக்கோண ஆச் இரண்டு கோணங்களில் ஏபிசி முக்கோணத்திற்கு ஒத்ததாகும். அதேபோல், சிபிஹெச் முக்கோணம் ஏபிசிக்கு ஒத்ததாகும். குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறோம், சமமானதைப் பெறுகிறோம். சேர்ப்பது, நாங்கள் பெறுகிறோம்

ஹாக்கின்ஸின் ஆதாரம் இங்கே இன்னும் ஒரு சான்று உள்ளது, இது ஒரு கணக்கீட்டு இயல்புடையது, ஆனால் முந்தைய எல்லாவற்றிலிருந்தும் மிகவும் வித்தியாசமானது. இது 1909 இல் ஆங்கிலேயரான ஹாக்கின்ஸால் வெளியிடப்பட்டது; இது முன்னர் அறியப்பட்டதா என்று சொல்வது கடினம். வலது கோண முக்கோண ஏபிசியை வலது கோண சி உடன் 90 by ஆல் சுழற்றுங்கள், இதனால் அது ஒரு "சிபி" நிலையை எடுக்கும். புள்ளி A க்கு அப்பால் A "B" என்ற கருதுகோளை விரிவாக்குவோம். பிரிவு B "D முக்கோணத்தின் B" AB இன் உயரமாக இருக்கும். இப்போது நிழலாடிய நாற்கர A "AB" B ஐ கருத்தில் கொள்ளுங்கள். இது இரண்டு ஐசோசெல் முக்கோணங்களாக CAA "மற்றும் CBB "(அல்லது இரண்டு முக்கோணங்கள் A" B "A மற்றும் A" B "B). SCAA" \u003d b² / 2 SCBB "\u003d a² / 2 SA" AB "B \u003d (a² + b²) / 2 முக்கோணங்கள் A" B " A மற்றும் A "B" B க்கு பொதுவான அடிப்படை c மற்றும் உயரங்கள் DA மற்றும் DB உள்ளன, எனவே: SA "AB" B \u003d c * DA / 2 + c * DB / 2 \u003d c (DA + DB) / 2 \u003d c² / 2 ஒப்பிடுகையில் பகுதிக்கு பெறப்பட்ட இரண்டு வெளிப்பாடுகள், நாம் பெறுகிறோம்: a ² + b ² \u003d c theore தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

வோல்ட்ஹெய்மின் ஆதாரம் இந்த ஆதாரம் கணக்கீட்டு இயல்பு. முதல் உருவத்தைப் பயன்படுத்தி தேற்றத்தை நிரூபிக்க, ட்ரெப்சாய்டின் பகுதியை இரண்டு வழிகளில் வெளிப்படுத்த மட்டுமே போதுமானது. Strapeziums \u003d (a + b) ² / 2 Strapezoids \u003d a²b² + c² / 2 நாம் பெறும் வலது புறங்களை சமன் செய்தல்: a² + b² \u003d c² தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.