ஒரு கோணத்தின் தொடுகோடு பொருள். சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட்: அது என்ன? சைன், கொசைன் மற்றும் டேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? முக்கோணவியலில் சைன்

எடுத்துக்காட்டுகள்:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0.416...\)

வாதம் மற்றும் மதிப்பு

கடுமையான கோணத்தின் கொசைன்

கடுமையான கோணத்தின் கொசைன்ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்க முடியும் - இது ஹைபோடென்ஸுக்கு அருகிலுள்ள காலின் விகிதத்திற்கு சமம்.

உதாரணமாக :

1) ஒரு கோணம் கொடுக்கப்பட்டு, இந்த கோணத்தின் கோசைனை நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும்.

2) இந்த மூலையில் ஏதேனும் வலது கோண முக்கோணத்தை நிறைவு செய்வோம்.

3) தேவையான பக்கங்களை அளந்த பிறகு, நாம் கொசைனைக் கணக்கிடலாம்.

தீவிர கோணத்தின் கோசைன் \(0\) ஐ விட அதிகமாகவும் \(1\) ஐ விட குறைவாகவும் உள்ளது

சிக்கலைத் தீர்க்கும்போது, ​​​​ஒரு தீவிர கோணத்தின் கொசைன் 1 அல்லது எதிர்மறையை விட அதிகமாக இருந்தால், தீர்வில் எங்காவது பிழை உள்ளது.

ஒரு எண்ணின் கோசைன்

எண் வட்டமானது எந்த எண்ணின் கொசைனையும் தீர்மானிக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது, ஆனால் பொதுவாக எண்களின் கோசைனை எப்படியாவது தொடர்புடையது : \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

எடுத்துக்காட்டாக, \(\frac(π)(6)\) எண்ணுக்கு - கொசைன் \(\frac(\sqrt(3))(2)\) க்கு சமமாக இருக்கும். மேலும் \(-\)\(\frac(3π)(4)\) எண்ணுக்கு அது \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (தோராயமாக \) க்கு சமமாக இருக்கும் (-0 ,71\)).

நடைமுறையில் அடிக்கடி சந்திக்கும் பிற எண்களுக்கான கொசைன், பார்க்கவும்.

கொசைன் மதிப்பு எப்போதும் \(-1\) மற்றும் \(1\) இடையே இருக்கும். இந்த வழக்கில், கொசைன் முற்றிலும் எந்த கோணத்திற்கும் எண்ணிற்கும் கணக்கிடப்படலாம்.

எந்த கோணத்தின் கொசைன்

எண் வட்டத்திற்கு நன்றி, ஒரு கடுமையான கோணத்தின் கொசைனை மட்டும் தீர்மானிக்க முடியும், ஆனால் ஒரு மழுங்கிய, எதிர்மறை மற்றும் \ (360 ° \) (முழு திருப்பம்) விட பெரியது. அதை எப்படி செய்வது - \(100\) முறை கேட்பதை விட ஒரு முறை பார்ப்பது எளிது, எனவே படத்தைப் பாருங்கள்.

இப்போது ஒரு விளக்கம்: கோணத்தின் கோசைனைத் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம் KOA\(150°\) டிகிரி அளவோடு. நாங்கள் புள்ளியை இணைக்கிறோம் ஓவட்டத்தின் மையம் மற்றும் பக்கத்துடன் சரி- \(x\) அச்சுடன். அதன் பிறகு, \ (150 ° \) எதிரெதிர் திசையில் ஒதுக்கி வைக்கவும். பின்னர் புள்ளியின் ஒழுங்குமுறை ஆனால்இந்தக் கோணத்தின் கோசைனை நமக்குக் காண்பிக்கும்.

டிகிரி அளவைக் கொண்ட கோணத்தில் நாம் ஆர்வமாக இருந்தால், எடுத்துக்காட்டாக, \ (-60 ° \) (கோணம் கோவி), நாங்கள் அதையே செய்கிறோம், ஆனால் \(60°\) கடிகார திசையில் ஒதுக்கி வைக்கிறோம்.

இறுதியாக, கோணம் \(360°\) (கோணம்) விட அதிகமாக உள்ளது KOS) - எல்லாமே அப்பட்டமாக இருக்கிறது, ஒரு முழு திருப்பத்தை கடிகார திசையில் கடந்து சென்ற பின்னரே, நாங்கள் இரண்டாவது சுற்றுக்குச் சென்று "டிகிரிகளின் பற்றாக்குறையைப் பெறுகிறோம்". குறிப்பாக, எங்கள் விஷயத்தில், கோணம் \(405°\) \(360° + 45°\) என திட்டமிடப்பட்டுள்ளது.

ஒரு கோணத்தை ஒதுக்கி வைக்க, எடுத்துக்காட்டாக, \ (960 ° \) இல், நீங்கள் இரண்டு திருப்பங்களைச் செய்ய வேண்டும் (\ (360 ° + 360 ° + 240 ° \)), மற்றும் \ இல் ஒரு கோணத்திற்கு (2640 ° \) - முழு ஏழு.

அதை நினைவில் கொள்வது மதிப்பு:

செங்கோணத்தின் கோசைன் பூஜ்ஜியமாகும். மழுங்கிய கோணத்தின் கோசைன் எதிர்மறையானது.

காலாண்டுகளில் கொசைன் அடையாளங்கள்

கோசைன் அச்சைப் பயன்படுத்தி (அதாவது, அப்சிஸ்ஸா அச்சு, படத்தில் சிவப்பு நிறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது), எண் (முக்கோணவியல்) வட்டத்தில் கோசைன்களின் அறிகுறிகளைத் தீர்மானிப்பது எளிது:

அச்சில் உள்ள மதிப்புகள் \(0\) முதல் \(1\) வரை இருக்கும் இடத்தில், கொசைன் ஒரு கூட்டல் குறியைக் கொண்டிருக்கும் (I மற்றும் IV காலாண்டுகள் பச்சைப் பகுதி),
- அச்சில் உள்ள மதிப்புகள் \(0\) முதல் \(-1\) வரை இருக்கும் இடத்தில், கொசைன் ஒரு கழித்தல் குறியைக் கொண்டிருக்கும் (II மற்றும் III காலாண்டுகள் - ஊதா பகுதி).

உதாரணமாக. \(\cos 1\) அடையாளத்தை வரையறுக்கவும்.
தீர்வு: முக்கோணவியல் வட்டத்தில் \(1\) ஐக் கண்டுபிடிப்போம். \ (π \u003d 3,14 \) என்பதிலிருந்து தொடங்குவோம். அதாவது ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு ("தொடக்க" புள்ளி) தோராயமாக மூன்று மடங்கு நெருக்கமாக உள்ளது.

கோசைன் அச்சுக்கு செங்குத்தாக வரைந்தால், \(\cos⁡1\) நேர்மறை என்பது தெளிவாகிறது.
பதில்: ஒரு கூட்டல்.

மற்ற முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுடன் தொடர்பு:

செயல்பாடு \(y=\cos(x)\)

\(x\) அச்சில் ரேடியன்களில் உள்ள கோணங்களையும், \(y\) அச்சில் இந்த கோணங்களுடன் தொடர்புடைய கொசைன் மதிப்புகளையும் அமைத்தால், பின்வரும் வரைபடத்தைப் பெறுவோம்:

இந்த வரைபடம் அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது:

வரையறையின் டொமைன் x இன் எந்த மதிப்பாகும்: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- மதிப்புகளின் வரம்பு - \(-1\) முதல் \(1\) வரை: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- கூட: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- காலம் \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் வெட்டும் புள்ளிகள்:
abscissa: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), இங்கு \(n ϵ Z\)
y-அச்சு: \((0;1)\)
- எழுத்து இடைவெளிகள்:
செயல்பாடு இடைவெளிகளில் நேர்மறையாக உள்ளது: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), எங்கே \(n ϵ Z\)
செயல்பாடு எதிர்மறையானது இடைவெளிகளில்: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), எங்கே \(n ϵ Z\)
- அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவின் இடைவெளிகள்:
செயல்பாடு இடைவெளிகளில் அதிகரிக்கிறது: \((π+2πn;2π+2πn)\), இங்கு \(n ϵ Z\)
செயல்பாடு இடைவெளிகளில் குறைகிறது: \((2πn;π+2πn)\), இங்கு \(n ϵ Z\)
- செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சம்:
செயல்பாடு \(x=2πn\) புள்ளிகளில் அதிகபட்ச மதிப்பு \(y=1\) உள்ளது, அங்கு \(n ϵ Z\)
செயல்பாடு \(x=π+2πn\) புள்ளிகளில் \(y=-1\) குறைந்தபட்ச மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு \(n ϵ Z\).

ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட், கோடேன்ஜென்ட் என்ன என்பது செங்கோண முக்கோணத்தைப் புரிந்துகொள்ள உதவும்.

செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் என்ன அழைக்கப்படுகிறது? அது சரி, ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் கால்கள்: ஹைப்போடென்யூஸ் என்பது வலது கோணத்திற்கு எதிரே இருக்கும் பக்கமாகும் (எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், இது பக்க \ (ஏசி \) ); கால்கள் இரண்டு எஞ்சியிருக்கும் பக்கங்கள் \ (AB \) மற்றும் \ (BC \) (சரியான கோணத்தை ஒட்டியவை), மேலும், நாம் கோணத்தைப் பொறுத்து கால்களைக் கருத்தில் கொண்டால் \ (BC \) , பின்னர் கால் \ (AB \) என்பது அருகில் உள்ள கால், மற்றும் கால் \ (BC \) எதிரில் உள்ளது. எனவே, இப்போது கேள்விக்கு பதிலளிப்போம்: ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் என்றால் என்ன?

ஒரு கோணத்தின் சைன்- இது எதிர் (தூர) காலின் ஹைப்போடென்ஸுக்கு விகிதமாகும்.

எங்கள் முக்கோணத்தில்:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

ஒரு கோணத்தின் கொசைன்- இது ஹைபோடென்ஸுக்கு அருகிலுள்ள (நெருக்கமான) காலின் விகிதம்.

எங்கள் முக்கோணத்தில்:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

கோண தொடுகோடு- இது எதிரெதிர் (தூர) காலின் விகிதமாகும், இது அருகிலுள்ள (நெருக்கமான) ஆகும்.

எங்கள் முக்கோணத்தில்:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

ஒரு கோணத்தின் கோடன்ஜென்ட்- இது அருகிலுள்ள (நெருக்கமான) காலின் எதிர் (தொலைவு) விகிதமாகும்.

எங்கள் முக்கோணத்தில்:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

இந்த வரையறைகள் அவசியம் நினைவில் கொள்க! எந்தக் காலை எதில் வகுக்க வேண்டும் என்பதை எளிதாக நினைவில் வைத்துக் கொள்ள, அதை நீங்கள் தெளிவாகப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும் தொடுகோடுமற்றும் கோடேன்ஜென்ட்கால்கள் மட்டுமே அமர்ந்திருக்கும், மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் மட்டுமே தோன்றும் நீர் சேர்க்கைமற்றும் கொசைன். பின்னர் நீங்கள் சங்கங்களின் சங்கிலியைக் கொண்டு வரலாம். உதாரணமாக, இது:

கொசைன்→டச்→டச்→அருகில்;

கோடன்ஜென்ட்→டச்→டச்→அருகிலுள்ளது.

முதலில், ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் விகிதங்களாக சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவை இந்த பக்கங்களின் நீளத்தை (ஒரு கோணத்தில்) சார்ந்து இல்லை என்பதை நினைவில் கொள்வது அவசியம். நம்பாதே? பின்னர் படத்தைப் பார்த்து உறுதிப்படுத்தவும்:

எடுத்துக்காட்டாக, கோணத்தின் கோசைன் \(\beta \) . வரையறையின்படி, ஒரு முக்கோணத்திலிருந்து \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ஆனால் முக்கோணத்திலிருந்து \(\beta \) கோணத்தின் கோசைனைக் கணக்கிடலாம் \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). நீங்கள் பார்க்கிறீர்கள், பக்கங்களின் நீளம் வேறுபட்டது, ஆனால் ஒரு கோணத்தின் கொசைனின் மதிப்பு ஒன்றுதான். எனவே, சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் மதிப்புகள் கோணத்தின் அளவை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது.

நீங்கள் வரையறைகளை புரிந்து கொண்டால், மேலே சென்று அவற்றை சரிசெய்யவும்!

கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள முக்கோணத்திற்கு \(ABC \) , நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம் \(\sin \\alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \\alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \\alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\\alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

சரி, கிடைத்ததா? பிறகு நீங்களே முயற்சி செய்து பாருங்கள்: \(\beta \) கோணத்திற்கும் இதையே கணக்கிடுங்கள்.

பதில்கள்: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

அலகு (முக்கோணவியல்) வட்டம்

பட்டம் மற்றும் ரேடியன் கருத்துகளைப் புரிந்துகொண்டு, \ (1 \) க்கு சமமான ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தைக் கருதினோம். அத்தகைய வட்டம் அழைக்கப்படுகிறது ஒற்றை. முக்கோணவியல் ஆய்வில் இது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். எனவே, நாம் அதை இன்னும் கொஞ்சம் விரிவாக வாழ்கிறோம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இந்த வட்டம் கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கட்டப்பட்டுள்ளது. வட்டத்தின் ஆரம் ஒன்றுக்கு சமம், அதே சமயம் வட்டத்தின் மையம் தோற்றத்தில் உள்ளது, ஆரம் திசையன் ஆரம்ப நிலை \(x \) அச்சின் நேர்மறை திசையில் சரி செய்யப்படுகிறது (எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், இது ஆரம் \(AB \) ).

வட்டத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் இரண்டு எண்களுடன் ஒத்துள்ளது: அச்சில் உள்ள ஆய \(x \) மற்றும் அச்சில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு \(y \) . இந்த ஆய எண்கள் என்ன? பொதுவாக, அவர்கள் கையில் இருக்கும் தலைப்புடன் என்ன செய்ய வேண்டும்? இதைச் செய்ய, கருதப்படும் வலது கோண முக்கோணத்தைப் பற்றி நினைவில் கொள்ளுங்கள். மேலே உள்ள படத்தில், நீங்கள் இரண்டு முழு வலது முக்கோணங்களைக் காணலாம். முக்கோணத்தை கருதுங்கள் \(ACG \) . \(CG \) \(x \) அச்சுக்கு செங்குத்தாக இருப்பதால் இது செவ்வகமானது.

முக்கோணத்தில் இருந்து \(\cos \\alpha \) என்றால் என்ன \(ACG \) ? அது சரி \(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC) \). தவிர, \(AC \) என்பது அலகு வட்டத்தின் ஆரம், எனவே \(AC=1 \) . இந்த மதிப்பை எங்கள் கொசைன் சூத்திரத்தில் மாற்றவும். என்ன நடக்கிறது என்பது இங்கே:

\(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

மற்றும் முக்கோணத்தில் இருந்து \(\sin \\alpha \) என்றால் என்ன \(ACG \) ? சரி, நிச்சயமாக, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! இந்த சூத்திரத்தில் ஆரம் \ (AC \) மதிப்பை மாற்றவும் மற்றும் பெறவும்:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

எனவே, வட்டத்திற்குச் சொந்தமான புள்ளி \(C \) யின் ஆயத்தொலைவுகள் என்னவென்று சொல்ல முடியுமா? சரி, வழி இல்லையா? ஆனால் \(\cos \\alpha \) மற்றும் \(\sin \alpha \) வெறும் எண்கள் என்பதை நீங்கள் உணர்ந்தால் என்ன செய்வது? \(\cos \alpha \) எந்த ஒருங்கிணைப்புடன் ஒத்துப்போகிறது? சரி, நிச்சயமாக, ஒருங்கிணைப்பு \(x \) ! மேலும் \(\sin \alpha \) எந்த ஒருங்கிணைப்புடன் ஒத்துப்போகிறது? அது சரி, \(y \) ஒருங்கிணைப்பு! எனவே புள்ளி \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

\(tg \alpha \) மற்றும் \(ctg \alpha \) என்றால் என்ன? அது சரி, தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் பொருத்தமான வரையறைகளைப் பயன்படுத்தி அதைப் பெறுவோம் \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha)=\dfrac(y)(x) \), ஏ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

கோணம் பெரியதாக இருந்தால் என்ன செய்வது? இங்கே, எடுத்துக்காட்டாக, இந்த படத்தில் உள்ளது போல:

இந்த எடுத்துக்காட்டில் என்ன மாறிவிட்டது? அதை கண்டுபிடிக்கலாம். இதை செய்ய, நாம் மீண்டும் ஒரு வலது கோண முக்கோணத்திற்கு திரும்புவோம். செங்கோண முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள் \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : ஒரு கோணம் (கோணத்திற்கு அருகில் \(\beta \) ). ஒரு கோணத்திற்கான சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் மதிப்பு என்ன \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? அது சரி, முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் தொடர்புடைய வரையறைகளை நாங்கள் கடைபிடிக்கிறோம்:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac((((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\ cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac((((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))(A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

சரி, நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, கோணத்தின் சைனின் மதிப்பு இன்னும் ஒருங்கிணைப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது \ (y \) ; கோணத்தின் கொசைன் மதிப்பு - ஒருங்கிணைப்பு \ (x \) ; மற்றும் தொடர்புடைய விகிதங்களுக்கு தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் மதிப்புகள். எனவே, இந்த உறவுகள் ஆரம் திசையன் எந்த சுழற்சிக்கும் பொருந்தும்.

ஆரம் வெக்டரின் ஆரம்ப நிலை \(x \) அச்சின் நேர்மறையான திசையில் உள்ளது என்று ஏற்கனவே குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. இதுவரை இந்த வெக்டரை எதிரெதிர் திசையில் சுழற்றினோம், ஆனால் அதை கடிகார திசையில் சுழற்றினால் என்ன ஆகும்? அசாதாரணமானது எதுவும் இல்லை, நீங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவிலான கோணத்தையும் பெறுவீர்கள், ஆனால் அது எதிர்மறையாக மட்டுமே இருக்கும். இவ்வாறு, ஆரம் திசையன் எதிரெதிர் திசையில் சுழலும் போது, ​​நாம் பெறுகிறோம் நேர்மறை கோணங்கள், மற்றும் கடிகார திசையில் சுழலும் போது - எதிர்மறை.

எனவே, வட்டத்தைச் சுற்றியுள்ள ஆரம் திசையன் முழுப் புரட்சியும் \(360()^\circ \) அல்லது \(2\pi \) . ஆரம் வெக்டரை \(390()^\circ \) அல்லது \(-1140()^\circ \) ஆல் சுழற்ற முடியுமா? சரி, நிச்சயமாக உங்களால் முடியும்! முதல் வழக்கில், \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), எனவே ஆரம் திசையன் ஒரு முழு சுழற்சியை செய்து \(30()^\circ \) அல்லது \(\dfrac(\pi )(6) \) .

இரண்டாவது வழக்கில், \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), அதாவது, ஆரம் திசையன் மூன்று முழுமையான புரட்சிகளை செய்து \(-60()^\circ \) அல்லது \(-\dfrac(\pi )(3) \) நிலையில் நிறுத்தப்படும்.

எனவே, மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து, \(360()^\circ \cdot m \) அல்லது \(2\pi \cdot m \) (\(m \) என்பது எந்த முழு எண்ணாக இருந்தாலும்) வேறுபடும் கோணங்கள் என்று முடிவு செய்யலாம். ஆரம் திசையன் அதே நிலைக்கு ஒத்துள்ளது.

கீழே உள்ள படம் \(\beta =-60()^\circ \) கோணத்தைக் காட்டுகிறது. அதே படம் மூலைக்கு ஒத்திருக்கிறது \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)முதலியன இந்த பட்டியலை காலவரையின்றி தொடரலாம். இந்தக் கோணங்கள் அனைத்தையும் பொது வாய்ப்பாடு மூலம் எழுதலாம் \(\beta +360()^\circ \cdot m \)அல்லது \(\beta +2\pi \cdot m \) (இங்கு \(m \) எந்த முழு எண் ஆகும்)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

இப்போது, ​​அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வரையறைகளை அறிந்து, அலகு வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி, மதிப்புகள் எதற்கு சமம் என்பதற்கு பதிலளிக்க முயற்சிக்கவும்:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\ text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\\pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

உங்களுக்கு உதவ ஒரு யூனிட் வட்டம் இங்கே:

ஏதேனும் சிரமங்கள் உள்ளதா? பின்னர் அதை கண்டுபிடிக்கலாம். எனவே நாம் அதை அறிவோம்:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array) \)

இங்கிருந்து, கோணத்தின் சில நடவடிக்கைகளுடன் தொடர்புடைய புள்ளிகளின் ஆயங்களை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம். சரி, வரிசையில் ஆரம்பிக்கலாம்: மூலையில் \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)\(\இடது(0;1 \வலது) \) ஆயத்தொகுதிகளுடன் ஒரு புள்ளிக்கு ஒத்திருக்கிறது, எனவே:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- இல்லை;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

மேலும், அதே தர்க்கத்தை கடைபிடிப்பதன் மூலம், மூலைகளிலும் இருப்பதைக் கண்டுபிடிப்போம் \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )ஆயத்தொலைவுகளுடன் புள்ளிகளுடன் ஒத்துள்ளது \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \வலது) \), முறையே. இதை அறிந்தால், தொடர்புடைய புள்ளிகளில் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளை தீர்மானிக்க எளிதானது. முதலில் நீங்களே முயற்சிக்கவும், பின்னர் பதில்களைச் சரிபார்க்கவும்.

பதில்கள்:

\(\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =0 \)

\(\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\\pi \)- இல்லை

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- இல்லை

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- இல்லை

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- இல்லை

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

எனவே, நாம் பின்வரும் அட்டவணையை உருவாக்கலாம்:

இந்த மதிப்புகள் அனைத்தையும் நினைவில் வைத்திருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. அலகு வட்டத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளுக்கும் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளுக்கும் இடையிலான கடிதப் பரிமாற்றத்தை நினைவில் கொள்வது போதுமானது:

\(\இடது. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(நினைவில் இருக்க வேண்டும் அல்லது அவுட்புட் செய்ய முடியும்!! \) !}

மற்றும் கோணங்களின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகள் இங்கே உள்ளன \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \)கீழே உள்ள அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்:

பயப்படத் தேவையில்லை, இப்போது தொடர்புடைய மதிப்புகளை மிகவும் எளிமையான மனப்பாடம் செய்வதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளில் ஒன்றைக் காண்பிப்போம்:

இந்த முறையைப் பயன்படுத்த, மூன்று கோண அளவீடுகளுக்கும் சைன் மதிப்புகளை நினைவில் கொள்வது அவசியம் ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), அத்துடன் \(30()^\circ \) இல் உள்ள கோணத்தின் தொடுகோடு மதிப்பு. இந்த \(4 \) மதிப்புகளை அறிந்தால், முழு அட்டவணையையும் மீட்டெடுப்பது மிகவும் எளிதானது - கொசைன் மதிப்புகள் அம்புகளுக்கு ஏற்ப மாற்றப்படுகின்றன, அதாவது:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\\முடிவு(வரிசை) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), இதை அறிந்தால், அதற்கான மதிப்புகளை மீட்டெடுக்க முடியும் \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). “\(1 \) ” என்ற எண் \(\text(tg)\ 45()^\circ \\) உடன் பொருந்தும், மேலும் “\(\sqrt(\text(3)) \) ” \) (\text (tg)\ 60()^\circ \\) . படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள அம்புகளுக்கு ஏற்ப கோட்டான்ஜென்ட் மதிப்புகள் மாற்றப்படுகின்றன. நீங்கள் இதைப் புரிந்துகொண்டு அம்புக்குறிகளுடன் திட்டத்தை நினைவில் வைத்திருந்தால், அட்டவணையில் இருந்து \(4 \) மதிப்புகளை மட்டும் நினைவில் வைத்திருந்தால் போதும்.

ஒரு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள்

வட்டத்தின் மையத்தின் ஆயத்தொலைவுகள், அதன் ஆரம் மற்றும் சுழற்சியின் கோணம் ஆகியவற்றை அறிந்து, ஒரு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியை (அதன் ஆயத்தொலைவுகள்) கண்டுபிடிக்க முடியுமா? சரி, நிச்சயமாக உங்களால் முடியும்! ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்பதற்கான பொதுவான சூத்திரத்தைப் பெறுவோம். இங்கே, எடுத்துக்காட்டாக, எங்களிடம் அத்தகைய வட்டம் உள்ளது:

எங்களுக்கு அந்த புள்ளி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)வட்டத்தின் மையமாக உள்ளது. வட்டத்தின் ஆரம் \(1,5 \) . \(O \) புள்ளியை \(\டெல்டா \) டிகிரிகளால் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட \(P \) புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிவது அவசியம்.

படத்தில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், \ (P \) புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பு \ (x \) பிரிவின் நீளம் \ (TP=UQ=UK+KQ \) . பிரிவின் நீளம் \ (UK \) வட்டத்தின் மையத்தின் ஒருங்கிணைப்பு \ (x \) உடன் ஒத்துள்ளது, அதாவது \ (3 \) க்கு சமம். கோசைனின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி \(KQ \) பிரிவின் நீளத்தை வெளிப்படுத்தலாம்:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).

பின்னர் புள்ளி \(P \) ஒருங்கிணைப்பு என்று உள்ளது \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

அதே தர்க்கத்தின் மூலம், \(P\) புள்ளிக்கான y ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பைக் காண்கிறோம். இந்த வழியில்,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

எனவே, பொதுவாக, புள்ளிகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), எங்கே

\((((x)_(0)),((y)_(0)) \) - வட்டத்தின் மையத்தின் ஆயத்தொகுப்புகள்,

\(r\) - வட்டம் ஆரம்,

\(\டெல்டா \) - திசையன் ஆரத்தின் சுழற்சி கோணம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, நாங்கள் கருத்தில் கொண்ட யூனிட் வட்டத்திற்கு, இந்த சூத்திரங்கள் கணிசமாகக் குறைக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் மையத்தின் ஆயத்தொலைவுகள் பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், ஆரம் ஒன்றுக்கு சமம்:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \\delta =\cos \\delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \\delta =\sin \\delta \end(array) \)

கொசைன் என்பது நன்கு அறியப்பட்ட முக்கோணவியல் செயல்பாடு ஆகும், இது முக்கோணவியலின் முக்கிய செயல்பாடுகளில் ஒன்றாகும். செங்கோண முக்கோணத்தில் உள்ள ஒரு கோணத்தின் கொசைன் என்பது முக்கோணத்தின் பக்கத்து கால் முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸுக்கு உள்ள விகிதமாகும். பெரும்பாலும், கொசைனின் வரையறை சரியாக ஒரு செவ்வக வகையின் முக்கோணத்துடன் தொடர்புடையது. ஆனால் ஒரு செவ்வக வகையின் முக்கோணத்தில் கொசைனைக் கணக்கிட வேண்டிய கோணம் ஒரு செவ்வக வகையின் இந்த முக்கோணத்தில் இல்லை என்பதும் நிகழ்கிறது. பிறகு என்ன செய்வது? முக்கோணத்தின் கோணத்தின் கோசைனை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

வலது கோண முக்கோணத்தில் ஒரு கோணத்தின் கோசைனை நீங்கள் கணக்கிட விரும்பினால், எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது. கோசைனின் வரையறையை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும், அதில் இந்த சிக்கலுக்கான தீர்வு உள்ளது. நீங்கள் அருகிலுள்ள காலுக்கும், முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்ஸுக்கும் இடையில் அதே விகிதத்தைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். உண்மையில், இங்கே ஒரு கோணத்தின் கோசைனை வெளிப்படுத்துவது கடினம் அல்ல. சூத்திரம் இதுபோல் தெரிகிறது: - cosα = a/c, இங்கே "a" என்பது காலின் நீளம், மற்றும் பக்க "c", முறையே, ஹைப்போடென்யூஸின் நீளம். எடுத்துக்காட்டாக, இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணத்தின் கோசைனைக் கண்டறியலாம்.

ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்தில் ஒரு கோணத்தின் கொசைன் எதற்கு சமம் என்பதில் நீங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால், கொசைன் தேற்றம் மீட்புக்கு வருகிறது, இது போன்ற சந்தர்ப்பங்களில் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும். கோசைன் தேற்றம் ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் சதுரமானது அதே முக்கோணத்தின் மற்ற பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமான ப்ரியோரி என்று கூறுகிறது, ஆனால் அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் மூலம் இந்தப் பக்கங்களின் இரு மடங்கு பெருக்கமில்லாமல்.

1. ஒரு முக்கோணத்தில் கடுமையான கோணத்தின் கோசைனை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால், நீங்கள் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்: cosα \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab).
2. ஒரு முக்கோணத்தில் ஒரு மழுங்கிய கோணத்தின் கோசைனைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம் என்றால், நீங்கள் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்: cosα \u003d (c 2 - a 2 - b 2) / (2ab). சூத்திரத்தில் உள்ள பெயர்கள் - a மற்றும் b - விரும்பிய கோணத்திற்கு அருகில் இருக்கும் பக்கங்களின் நீளம், c என்பது விரும்பிய கோணத்திற்கு எதிரே இருக்கும் பக்கத்தின் நீளம்.

மேலும், ஒரு கோணத்தின் கோசைனை சைன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம். ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து பக்கங்களும் எதிரெதிர் கோணங்களின் சைன்களுக்கு விகிதாசாரமாகும் என்று அது கூறுகிறது. சைன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒரு முக்கோணத்தின் மீதமுள்ள கூறுகளை நீங்கள் கணக்கிடலாம், இரண்டு பக்கங்கள் மற்றும் ஒரு பக்கத்திற்கு எதிரே இருக்கும் ஒரு கோணம் அல்லது இரண்டு கோணங்கள் மற்றும் ஒரு பக்கத்தை மட்டுமே அறிந்து கொள்ளலாம். ஒரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள். சிக்கல் நிலைமைகள்: a=1; b=2; c=3. "A" பக்கத்திற்கு எதிரே இருக்கும் கோணம், நாம் குறிக்கிறோம் - α, பின்னர், சூத்திரங்களின்படி, நம்மிடம் உள்ளது: cosα \u003d (b² + c²-a²) / (2 * b * c) \u003d (2² + 3² -1²) / (2 * 2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. பதில்: 1.

கோணத்தின் கொசைன் ஒரு முக்கோணத்தில் அல்ல, ஆனால் வேறு சில தன்னிச்சையான வடிவியல் உருவத்தில் கணக்கிடப்பட வேண்டும் என்றால், எல்லாம் இன்னும் கொஞ்சம் சிக்கலானதாகிவிடும். கோணத்தின் மதிப்பு முதலில் ரேடியன்கள் அல்லது டிகிரிகளில் தீர்மானிக்கப்பட வேண்டும், பின்னர் இந்த மதிப்பிலிருந்து கொசைனைக் கணக்கிட வேண்டும். பிராடிஸ் அட்டவணைகள், பொறியியல் கால்குலேட்டர்கள் அல்லது சிறப்புக் கணிதப் பயன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி எண் மதிப்பின்படி கொசைன் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

சிறப்புக் கணிதப் பயன்பாடுகள் கொடுக்கப்பட்ட படத்தில் உள்ள கோணங்களின் கோசைன்களின் தானியங்கு கணக்கீடு போன்ற செயல்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கலாம். அத்தகைய பயன்பாடுகளின் அழகு என்னவென்றால், அவை சரியான பதிலைத் தருகின்றன, மேலும் பயனர் சில நேரங்களில் மிகவும் சிக்கலான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் தனது நேரத்தை செலவிடுவதில்லை. மறுபுறம், சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான பிரத்தியேக பயன்பாடுகளை தொடர்ந்து பயன்படுத்துவதன் மூலம், முக்கோணங்களில் உள்ள கோணங்களின் கோசைன்கள் மற்றும் பிற தன்னிச்சையான புள்ளிவிவரங்களைக் கண்டறிவதற்கான கணித சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான அனைத்து திறன்களும் இழக்கப்படுகின்றன.

பள்ளி குழந்தைகள் மிகப்பெரிய சிரமங்களை சமாளிக்கும் கணிதத்தின் கிளைகளில் ஒன்று முக்கோணவியல் ஆகும். ஆச்சரியப்படுவதற்கில்லை: இந்த அறிவின் பகுதியை சுதந்திரமாக மாஸ்டர் செய்ய, உங்களுக்கு இடஞ்சார்ந்த சிந்தனை, சைன்கள், கோசைன்கள், டேன்ஜென்ட்கள், சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கோட்டான்ஜென்ட்களைக் கண்டறியும் திறன், வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குதல் மற்றும் கணக்கீடுகளில் பை எண்ணைப் பயன்படுத்த முடியும். கூடுதலாக, நீங்கள் தேற்றங்களை நிரூபிக்கும் போது முக்கோணவியலைப் பயன்படுத்த வேண்டும், மேலும் இதற்கு வளர்ந்த கணித நினைவகம் அல்லது சிக்கலான தருக்கச் சங்கிலிகளைக் கண்டறியும் திறன் தேவை.

முக்கோணவியலின் தோற்றம்

இந்த அறிவியலுடன் அறிமுகம் என்பது கோணத்தின் சைன், கொசைன் மற்றும் தொடுகோடு ஆகியவற்றின் வரையறையுடன் தொடங்க வேண்டும், ஆனால் முதலில் முக்கோணவியல் பொதுவாக என்ன செய்கிறது என்பதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

வரலாற்று ரீதியாக, கணித அறிவியலின் இந்தப் பிரிவில் செங்கோண முக்கோணங்கள் முக்கிய ஆய்வுப் பொருளாக உள்ளன. 90 டிகிரி கோணத்தின் இருப்பு பல்வேறு செயல்பாடுகளைச் செய்வதை சாத்தியமாக்குகிறது, இது இரண்டு பக்கங்கள் மற்றும் ஒரு கோணம் அல்லது இரண்டு கோணங்கள் மற்றும் ஒரு பக்கத்தைப் பயன்படுத்தி பரிசீலனையில் உள்ள உருவத்தின் அனைத்து அளவுருக்களின் மதிப்புகளையும் தீர்மானிக்க அனுமதிக்கிறது. கடந்த காலத்தில், மக்கள் இந்த முறையைக் கவனித்தனர் மற்றும் கட்டிடங்கள், வழிசெலுத்தல், வானியல் மற்றும் கலை ஆகியவற்றின் கட்டுமானத்தில் தீவிரமாக பயன்படுத்தத் தொடங்கினர்.

முதல் கட்டம்

ஆரம்பத்தில், மக்கள் கோணங்கள் மற்றும் பக்கங்களின் உறவைப் பற்றி பிரத்தியேகமாக செங்கோண முக்கோணங்களின் எடுத்துக்காட்டில் பேசினர். கணிதத்தின் இந்த பிரிவின் அன்றாட வாழ்க்கையில் பயன்பாட்டின் எல்லைகளை விரிவுபடுத்துவதை சாத்தியமாக்கிய சிறப்பு சூத்திரங்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன.

இன்று பள்ளியில் முக்கோணவியல் ஆய்வு செங்கோண முக்கோணங்களுடன் தொடங்குகிறது, அதன் பிறகு பெறப்பட்ட அறிவு இயற்பியலில் மாணவர்களால் பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் சுருக்க முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது, இது உயர்நிலைப் பள்ளியில் தொடங்குகிறது.

கோள முக்கோணவியல்

பின்னர், விஞ்ஞானம் வளர்ச்சியின் அடுத்த கட்டத்தை அடைந்தபோது, ​​கோள வடிவவியலில் சைன், கோசைன், டேன்ஜென்ட், கோட்டான்ஜென்ட் கொண்ட சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தத் தொடங்கின, அங்கு மற்ற விதிகள் பொருந்தும், மேலும் ஒரு முக்கோணத்தில் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் 180 டிகிரிக்கு மேல் இருக்கும். இந்தப் பிரிவு பள்ளியில் படிக்கப்படவில்லை, ஆனால் அதன் இருப்பைப் பற்றி அறிந்து கொள்வது அவசியம், ஏனென்றால் பூமியின் மேற்பரப்பு மற்றும் வேறு எந்த கிரகத்தின் மேற்பரப்பும் குவிந்ததாக உள்ளது, அதாவது எந்த மேற்பரப்பையும் குறிப்பது "வில் வடிவில்" இருக்கும். முப்பரிமாண வெளி.

பூகோளத்தையும் நூலையும் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். உலகில் உள்ள ஏதேனும் இரண்டு புள்ளிகளுடன் நூலை இணைக்கவும், அதனால் அது இறுக்கமாக இருக்கும். கவனம் செலுத்துங்கள் - இது ஒரு வில் வடிவத்தைப் பெற்றுள்ளது. பூகோள வடிவியல், புவியியல், வானியல் மற்றும் பிற கோட்பாட்டு மற்றும் பயன்பாட்டுத் துறைகளில் பயன்படுத்தப்படும் இத்தகைய வடிவங்களைக் கொண்டது.

வலது முக்கோணம்

முக்கோணவியலைப் பயன்படுத்துவதற்கான வழிகளைப் பற்றி கொஞ்சம் கற்றுக்கொண்ட பிறகு, சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் என்றால் என்ன, அவற்றின் உதவியுடன் என்ன கணக்கீடுகளைச் செய்யலாம் மற்றும் என்ன சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும் என்பதை மேலும் புரிந்து கொள்ள அடிப்படை முக்கோணவியலுக்குத் திரும்புவோம்.

முதல் படி செங்கோண முக்கோணம் தொடர்பான கருத்துக்களைப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். முதலில், ஹைப்போடென்யூஸ் என்பது 90 டிகிரி கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள பக்கமாகும். அவள் மிக நீளமானவள். பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி, அதன் எண் மதிப்பு மற்ற இரு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையின் மூலத்திற்கு சமம் என்பதை நாம் நினைவில் கொள்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு பக்கங்களும் முறையே 3 மற்றும் 4 சென்டிமீட்டராக இருந்தால், ஹைப்போடென்யூஸின் நீளம் 5 சென்டிமீட்டராக இருக்கும். மூலம், பண்டைய எகிப்தியர்கள் இதைப் பற்றி நான்கரை ஆயிரம் ஆண்டுகளுக்கு முன்பே அறிந்திருந்தனர்.

வலது கோணத்தை உருவாக்கும் இரண்டு மீதமுள்ள பக்கங்களும் கால்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. கூடுதலாக, ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஒரு முக்கோணத்தில் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180 டிகிரி என்பதை நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

வரையறை

இறுதியாக, வடிவியல் அடித்தளத்தைப் பற்றிய உறுதியான புரிதலுடன், ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன் மற்றும் டேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் வரையறைக்கு நாம் திரும்பலாம்.

ஒரு கோணத்தின் சைன் என்பது எதிர் காலின் விகிதமாகும் (அதாவது, விரும்பிய கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள பக்கம்) ஹைப்போடென்யூஸுக்கு. ஒரு கோணத்தின் கொசைன் என்பது ஹைபோடென்யூஸுக்கு அருகிலுள்ள காலின் விகிதமாகும்.

சைன் அல்லது கொசைன் ஒன்றை விட பெரியதாக இருக்க முடியாது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்! ஏன்? ஏனெனில் ஹைப்போடென்யூஸ் முன்னிருப்பாக மிக நீளமானது.கால் எவ்வளவு நீளமாக இருந்தாலும், அது ஹைப்போடென்யூஸை விடக் குறைவாக இருக்கும், அதாவது அவற்றின் விகிதம் எப்போதும் ஒன்றை விட குறைவாகவே இருக்கும். எனவே, சிக்கலுக்கான பதிலில் 1 ஐ விட அதிகமான மதிப்பைக் கொண்ட சைன் அல்லது கோசைனைப் பெற்றால், கணக்கீடுகள் அல்லது தர்க்கத்தில் பிழை உள்ளதா எனப் பார்க்கவும். இந்த பதில் தெளிவாக தவறு.

இறுதியாக, ஒரு கோணத்தின் தொடுகோடு என்பது எதிரெதிர் பக்கத்திற்கும் அருகிலுள்ள பக்கத்திற்கும் உள்ள விகிதமாகும். அதே முடிவு, கோசைன் மூலம் சைனைப் பிரிப்பதைக் கொடுக்கும். பார்: சூத்திரத்திற்கு இணங்க, பக்கத்தின் நீளத்தை ஹைபோடென்யூஸால் வகுக்கிறோம், அதன் பிறகு நாம் இரண்டாவது பக்கத்தின் நீளத்தால் வகுத்து, ஹைபோடென்யூஸால் பெருக்குகிறோம். இவ்வாறு, தொடுகோட்டின் வரையறையில் உள்ள அதே விகிதத்தைப் பெறுகிறோம்.

கோட்டான்ஜென்ட் என்பது முறையே, மூலையை ஒட்டிய பக்கத்தின் எதிர் பக்கத்தின் விகிதமாகும். தொடுகோளால் அலகைப் பிரிப்பதன் மூலம் அதே முடிவைப் பெறுகிறோம்.

எனவே, சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் என்றால் என்ன என்பதற்கான வரையறைகளை நாங்கள் பரிசீலித்தோம், மேலும் சூத்திரங்களைக் கையாளலாம்.

எளிமையான சூத்திரங்கள்

முக்கோணவியலில், சூத்திரங்கள் இல்லாமல் செய்ய முடியாது - அவை இல்லாமல் சைன், கோசைன், டேன்ஜென்ட், கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது இதுவே தேவைப்படுகிறது.

முக்கோணவியலைப் படிக்கத் தொடங்கும் போது நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய முதல் சூத்திரம், ஒரு கோணத்தின் சைன் மற்றும் கோசைனின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமம் என்று கூறுகிறது. இந்த சூத்திரம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் நேரடி விளைவாகும், ஆனால் நீங்கள் கோணத்தின் மதிப்பை அறிய விரும்பினால், பக்கத்தை அல்ல, நேரத்தை மிச்சப்படுத்துகிறது.

பல மாணவர்களால் இரண்டாவது சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்ள முடியாது, இது பள்ளி சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது மிகவும் பிரபலமானது: ஒன்றின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் ஒரு கோணத்தின் தொடுகோட்டின் சதுரம் கோணத்தின் கோசைனின் சதுரத்தால் வகுக்கப்படும் ஒன்றுக்கு சமம். உற்றுப் பாருங்கள்: எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இது முதல் சூத்திரத்தில் உள்ள அதே அறிக்கையாகும், அடையாளத்தின் இரு பக்கங்களும் கொசைனின் சதுரத்தால் வகுக்கப்படுகின்றன. ஒரு எளிய கணித செயல்பாடு முக்கோணவியல் சூத்திரத்தை முற்றிலும் அடையாளம் காண முடியாததாக மாற்றுகிறது. நினைவில் கொள்ளுங்கள்: சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் என்றால் என்ன, மாற்றும் விதிகள் மற்றும் சில அடிப்படை சூத்திரங்கள் ஆகியவற்றை அறிந்து, நீங்கள் எந்த நேரத்திலும் ஒரு தாளில் தேவையான சிக்கலான சூத்திரங்களை சுயாதீனமாக பெறலாம்.

இரட்டை கோண சூத்திரங்கள் மற்றும் வாதங்களின் சேர்த்தல்

நீங்கள் கற்றுக்கொள்ள வேண்டிய மேலும் இரண்டு சூத்திரங்கள், கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சைன் மற்றும் கொசைன் மதிப்புகளுடன் தொடர்புடையவை. அவை கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன. முதல் வழக்கில், சைன் மற்றும் கொசைன் இரண்டு முறை பெருக்கப்படுகிறது, இரண்டாவதாக, சைன் மற்றும் கோசைனின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்பு சேர்க்கப்படுகிறது.

இரட்டை கோண வாதங்களுடன் தொடர்புடைய சூத்திரங்களும் உள்ளன. அவை முற்றிலும் முந்தையவற்றிலிருந்து பெறப்பட்டவை - ஒரு நடைமுறையாக, பீட்டாவின் கோணத்திற்கு சமமான ஆல்பாவின் கோணத்தை எடுத்துக் கொண்டு, அவற்றை நீங்களே பெற முயற்சிக்கவும்.

இறுதியாக, இரட்டை கோண சூத்திரங்களை சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் ஆல்பாவின் அளவைக் குறைக்க மாற்றலாம்.

தேற்றங்கள்

அடிப்படை முக்கோணவியலில் இரண்டு முக்கிய தேற்றங்கள் சைன் தேற்றம் மற்றும் கொசைன் தேற்றம் ஆகும். இந்த கோட்பாடுகளின் உதவியுடன், சைன், கொசைன் மற்றும் டேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நீங்கள் எளிதாக புரிந்து கொள்ளலாம், எனவே உருவத்தின் பரப்பளவு மற்றும் ஒவ்வொரு பக்கத்தின் அளவு போன்றவை.

முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கங்களின் நீளத்தையும் எதிர் கோணத்தின் மதிப்பால் பிரிப்பதன் விளைவாக, அதே எண்ணைப் பெறுகிறோம் என்று சைன் தேற்றம் கூறுகிறது. மேலும், இந்த எண் சுற்றப்பட்ட வட்டத்தின் இரண்டு ஆரங்களுக்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் அனைத்து புள்ளிகளையும் கொண்ட வட்டம்.

கொசைன் தேற்றம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தை பொதுமைப்படுத்துகிறது, எந்த முக்கோணத்திலும் அதை முன்னிறுத்துகிறது. இரண்டு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையிலிருந்து, அவற்றின் தயாரிப்பைக் கழிக்கவும், அவற்றை ஒட்டிய கோணத்தின் இரட்டை கொசைன் மூலம் பெருக்கப்படுகிறது - இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு மூன்றாவது பக்கத்தின் சதுரத்திற்கு சமமாக இருக்கும். எனவே, பித்தகோரியன் தேற்றம் கொசைன் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாக மாறுகிறது.

கவனக்குறைவால் ஏற்படும் தவறுகள்

சைன், கோசைன் மற்றும் டேன்ஜென்ட் என்றால் என்ன என்பதை அறிந்தாலும், மனச்சோர்வு அல்லது எளிய கணக்கீடுகளில் உள்ள பிழை காரணமாக தவறு செய்வது எளிது. அத்தகைய தவறுகளைத் தவிர்க்க, அவற்றில் மிகவும் பிரபலமானவற்றைப் பற்றி அறிந்து கொள்வோம்.

முதலாவதாக, இறுதி முடிவு கிடைக்கும் வரை நீங்கள் சாதாரண பின்னங்களை தசமமாக மாற்றக்கூடாது - நிபந்தனை வேறுவிதமாகக் கூறாவிட்டால், நீங்கள் பதிலை சாதாரண பின்னமாக விடலாம். அத்தகைய மாற்றத்தை ஒரு தவறு என்று அழைக்க முடியாது, ஆனால் பணியின் ஒவ்வொரு கட்டத்திலும், புதிய வேர்கள் தோன்றக்கூடும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும், இது ஆசிரியரின் யோசனையின் படி குறைக்கப்பட வேண்டும். இந்த வழக்கில், நீங்கள் தேவையற்ற கணித செயல்பாடுகளில் நேரத்தை வீணடிப்பீர்கள். மூன்று அல்லது இரண்டின் ரூட் போன்ற மதிப்புகளுக்கு இது குறிப்பாக உண்மை, ஏனெனில் அவை ஒவ்வொரு அடியிலும் பணிகளில் நிகழ்கின்றன. "அசிங்கமான" எண்களை வட்டமிடுவதற்கும் இது பொருந்தும்.

மேலும், கொசைன் தேற்றம் எந்த முக்கோணத்திற்கும் பொருந்தும், ஆனால் பித்தகோரியன் தேற்றம் அல்ல! அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் கொசைனால் பெருக்கப்படும் பக்கங்களின் இரு மடங்கு பெருக்கத்தை நீங்கள் தவறாகக் கழிக்க மறந்துவிட்டால், நீங்கள் முற்றிலும் தவறான முடிவைப் பெறுவீர்கள், ஆனால் பொருள் பற்றிய முழுமையான தவறான புரிதலை நிரூபிக்கவும். இது கவனக்குறைவான தவறை விட மோசமானது.

மூன்றாவதாக, 30 மற்றும் 60 டிகிரி கோணங்களுக்கான சைன்கள், கோசைன்கள், டேன்ஜென்ட்கள், கோடன்ஜென்ட்கள் ஆகியவற்றிற்கான மதிப்புகளை குழப்ப வேண்டாம். இந்த மதிப்புகளை நினைவில் கொள்ளுங்கள், ஏனெனில் 30 டிகிரியின் சைன் 60 இன் கொசைனுக்கு சமம், மற்றும் நேர்மாறாகவும். அவற்றைக் கலக்க எளிதானது, இதன் விளைவாக நீங்கள் தவிர்க்க முடியாமல் தவறான முடிவைப் பெறுவீர்கள்.

விண்ணப்பம்

பல மாணவர்கள் முக்கோணவியலைப் படிக்கத் தொடங்குவதற்கு அவசரப்படுவதில்லை, ஏனெனில் அதன் பயன்பாட்டு அர்த்தத்தை அவர்கள் புரிந்து கொள்ளவில்லை. பொறியாளர் அல்லது வானியல் நிபுணருக்கு சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் என்றால் என்ன? தொலைதூர நட்சத்திரங்களுக்கான தூரத்தை நீங்கள் கணக்கிடலாம், ஒரு விண்கல் வீழ்ச்சியைக் கணிக்கலாம், மற்றொரு கிரகத்திற்கு ஆராய்ச்சி ஆய்வை அனுப்பலாம். அவை இல்லாமல், ஒரு கட்டிடத்தை உருவாக்குவது, ஒரு காரை வடிவமைப்பது, மேற்பரப்பில் சுமை அல்லது ஒரு பொருளின் பாதையை கணக்கிடுவது சாத்தியமில்லை. இவை மிகவும் வெளிப்படையான எடுத்துக்காட்டுகள்! எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இசை முதல் மருத்துவம் வரை எல்லா இடங்களிலும் ஒரு வடிவத்தில் அல்லது இன்னொரு வடிவத்தில் திரிகோணவியல் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இறுதியாக

எனவே நீங்கள் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட். நீங்கள் அவற்றை கணக்கீடுகளில் பயன்படுத்தலாம் மற்றும் பள்ளி சிக்கல்களை வெற்றிகரமாக தீர்க்கலாம்.

அறியப்படாத அளவுருக்கள் முக்கோணத்தின் அறியப்பட்ட அளவுருக்களிலிருந்து கணக்கிடப்பட வேண்டும் என்பதில் முக்கோணவியலின் முழு சாராம்சமும் கொதிக்கிறது. மொத்தம் ஆறு அளவுருக்கள் உள்ளன: மூன்று பக்கங்களின் நீளம் மற்றும் மூன்று கோணங்களின் அளவுகள். பணிகளில் உள்ள முழு வித்தியாசமும் வெவ்வேறு உள்ளீட்டுத் தரவு கொடுக்கப்பட்டதில் உள்ளது.

கால்களின் அறியப்பட்ட நீளம் அல்லது ஹைப்போடென்யூஸின் அடிப்படையில் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பது இப்போது உங்களுக்குத் தெரியும். இந்த சொற்கள் ஒரு விகிதத்தைத் தவிர வேறொன்றைக் குறிக்கவில்லை, மற்றும் விகிதம் ஒரு பின்னம் என்பதால், முக்கோணவியல் சிக்கலின் முக்கிய குறிக்கோள் ஒரு சாதாரண சமன்பாடு அல்லது சமன்பாடுகளின் அமைப்பைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். இங்கே நீங்கள் சாதாரண பள்ளி கணிதத்தால் உதவுவீர்கள்.

சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் கருத்துக்கள் முக்கோணவியலின் முக்கிய வகைகளாகும் - கணிதத்தின் ஒரு கிளை, மேலும் அவை ஒரு கோணத்தின் வரையறையுடன் பிரிக்கமுடியாத வகையில் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த கணித அறிவியலைப் பெறுவதற்கு சூத்திரங்கள் மற்றும் கோட்பாடுகளை மனப்பாடம் செய்து புரிந்துகொள்வது மற்றும் வளர்ந்த இடஞ்சார்ந்த சிந்தனை தேவைப்படுகிறது. அதனால்தான் முக்கோணவியல் கணக்கீடுகள் பெரும்பாலும் பள்ளி மாணவர்களுக்கும் மாணவர்களுக்கும் சிரமங்களை ஏற்படுத்துகின்றன. அவற்றைக் கடக்க, நீங்கள் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் மற்றும் சூத்திரங்களை நன்கு அறிந்திருக்க வேண்டும்.

முக்கோணவியலில் கருத்துக்கள்

முக்கோணவியலின் அடிப்படைக் கருத்துகளைப் புரிந்து கொள்ள, ஒரு வட்டத்தில் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் மற்றும் கோணம் என்ன என்பதை நீங்கள் முதலில் தீர்மானிக்க வேண்டும், மேலும் அனைத்து அடிப்படை முக்கோணவியல் கணக்கீடுகளும் ஏன் அவற்றுடன் தொடர்புடையவை. கோணங்களில் ஒன்று 90 டிகிரி இருக்கும் ஒரு முக்கோணம் ஒரு செங்கோண முக்கோணம். வரலாற்று ரீதியாக, இந்த எண்ணிக்கை பெரும்பாலும் கட்டிடக்கலை, வழிசெலுத்தல், கலை, வானியல் ஆகியவற்றில் மக்களால் பயன்படுத்தப்பட்டது. அதன்படி, இந்த உருவத்தின் பண்புகளைப் படித்து பகுப்பாய்வு செய்வதன் மூலம், அதன் அளவுருக்களின் தொடர்புடைய விகிதங்களைக் கணக்கிடுவதற்கு மக்கள் வந்தனர்.

செங்கோண முக்கோணங்களுடன் தொடர்புடைய முக்கிய வகைகள் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் கால்கள். ஹைப்போடென்யூஸ் என்பது ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கமானது, அது வலது கோணத்திற்கு எதிரே உள்ளது. கால்கள் முறையே மற்ற இரண்டு பக்கங்களாகும். எந்த முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் 180 டிகிரி ஆகும்.

கோள முக்கோணவியல் என்பது முக்கோணவியலின் ஒரு பிரிவாகும், இது பள்ளியில் படிக்கப்படவில்லை, ஆனால் வானியல் மற்றும் புவியியல் போன்ற பயன்பாட்டு அறிவியல்களில், விஞ்ஞானிகள் அதைப் பயன்படுத்துகின்றனர். கோள முக்கோணவியலில் ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு அம்சம் என்னவென்றால், அது எப்போதும் 180 டிகிரிக்கும் அதிகமான கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கொண்டிருக்கும்.

ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்கள்

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஒரு கோணத்தின் சைன் என்பது முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்ஸுக்கு விரும்பிய கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள காலின் விகிதமாகும். அதன்படி, கொசைன் என்பது அருகில் உள்ள கால் மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதமாகும். இந்த இரண்டு மதிப்புகளும் எப்போதும் ஒன்றை விட குறைவான மதிப்பைக் கொண்டிருக்கும், ஏனெனில் ஹைப்போடென்யூஸ் எப்போதும் காலை விட நீளமாக இருக்கும்.

ஒரு கோணத்தின் தொடுகோடு என்பது விரும்பிய கோணத்தின் அருகில் உள்ள காலுக்கு எதிர் காலின் விகிதத்திற்கு சமமான மதிப்பாகும், அல்லது கோசைனுக்கு சைன் ஆகும். கோட்டான்ஜென்ட், இதையொட்டி, விரும்பிய கோணத்தின் அருகிலுள்ள காலின் எதிர் கற்றாழைக்கு விகிதமாகும். ஒரு கோணத்தின் கோடேன்ஜென்ட்டை தொடுகின் மதிப்பால் அலகைப் பிரிப்பதன் மூலமும் பெறலாம்.

அலகு வட்டம்

வடிவவியலில் ஒரு அலகு வட்டம் என்பது ஒரு வட்டம், அதன் ஆரம் ஒன்றுக்கு சமம். அத்தகைய வட்டம் கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கட்டப்பட்டுள்ளது, வட்டத்தின் மையமானது தோற்றப் புள்ளியுடன் ஒத்துப்போகிறது, மேலும் ஆரம் திசையனின் ஆரம்ப நிலை X அச்சின் (அப்சிஸ்ஸா அச்சு) நேர்மறை திசையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. வட்டத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் இரண்டு ஆயங்கள் உள்ளன: XX மற்றும் YY, அதாவது, abscissa மற்றும் ordinate இன் ஆயத்தொலைவுகள். XX விமானத்தில் உள்ள வட்டத்தில் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுத்து, அதிலிருந்து செங்குத்தாக abscissa அச்சில் இறக்கினால், செங்குத்தாக வரையப்பட்ட ஒரு ஆரம் மூலம் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட புள்ளிக்கு (அதை C என்ற எழுத்தால் குறிப்போம்) ஒரு செங்குத்து முக்கோணத்தைப் பெறுகிறோம். X அச்சு (குறுக்குவெட்டு புள்ளி G என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது), மற்றும் தோற்றம் (புள்ளி A என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது) மற்றும் வெட்டுப்புள்ளி G க்கு இடையே உள்ள abscissa அச்சு. ஒரு வட்டம், இதில் AG என்பது ஹைப்போடென்யூஸ், மற்றும் AC மற்றும் GC ஆகியவை கால்கள். AC வட்டத்தின் ஆரம் மற்றும் AG என்ற பெயருடன் abscissa அச்சின் பிரிவுக்கு இடையே உள்ள கோணம், α (alpha) என வரையறுக்கிறோம். எனவே, cos α = AG/AC. AC என்பது அலகு வட்டத்தின் ஆரம் மற்றும் அது ஒன்றுக்கு சமமாக இருப்பதால், cos α=AG என்று மாறிவிடும். இதேபோல், sin α=CG.

கூடுதலாக, இந்தத் தரவை அறிந்துகொள்வதன் மூலம், வட்டத்தில் உள்ள புள்ளி C இன் ஒருங்கிணைப்பை தீர்மானிக்க முடியும், ஏனெனில் cos α=AG, மற்றும் sin α=CG, அதாவது புள்ளி C கொடுக்கப்பட்ட ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளது (cos α; sin α). டேன்ஜென்ட் என்பது சைன் மற்றும் கொசைன் விகிதத்திற்கு சமம் என்பதை அறிந்தால், tg α \u003d y / x மற்றும் ctg α \u003d x / y என்பதை நாம் தீர்மானிக்க முடியும். எதிர்மறை ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள கோணங்களைக் கருத்தில் கொண்டு, சில கோணங்களின் சைன் மற்றும் கொசைன் மதிப்புகள் எதிர்மறையாக இருக்கலாம் என்று கணக்கிடலாம்.

கணக்கீடுகள் மற்றும் அடிப்படை சூத்திரங்கள்

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகள்

அலகு வட்டத்தின் மூலம் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் சாரத்தை கருத்தில் கொண்டு, சில கோணங்களுக்கு இந்த செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளை நாம் பெறலாம். மதிப்புகள் கீழே உள்ள அட்டவணையில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன.

எளிமையான முக்கோணவியல் அடையாளங்கள்

முக்கோணவியல் செயல்பாட்டின் அடையாளத்தின் கீழ் அறியப்படாத மதிப்பு இருக்கும் சமன்பாடுகள் முக்கோணவியல் எனப்படும். sin x = α, k மதிப்பைக் கொண்ட அடையாளங்கள் ஏதேனும் ஒரு முழு எண்:

1. பாவம் x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. பாவம் x = a, |a| > 1, தீர்வுகள் இல்லை.
5. பாவம் x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

cos x = a மதிப்பைக் கொண்ட அடையாளங்கள், இதில் k என்பது எந்த முழு எண்:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, தீர்வுகள் இல்லை.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ± ஆர்க்கோஸ் α + 2πk.

tg x = a மதிப்பைக் கொண்ட அடையாளங்கள், இதில் k என்பது எந்த முழு எண்:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

ctg x = a மதிப்பைக் கொண்ட அடையாளங்கள், இதில் k என்பது எந்த முழு எண்:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

வார்ப்பு சூத்திரங்கள்

நிலையான சூத்திரங்களின் இந்த வகை நீங்கள் படிவத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளிலிருந்து வாதத்தின் செயல்பாடுகளுக்கு செல்லக்கூடிய முறைகளைக் குறிக்கிறது, அதாவது, எந்த மதிப்பின் கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றை கோணத்தின் தொடர்புடைய குறிகாட்டிகளுக்கு மாற்றவும். கணக்கீடுகளின் அதிக வசதிக்காக 0 முதல் 90 டிகிரி வரையிலான இடைவெளி.

ஒரு கோணத்தின் சைனுக்கான செயல்பாடுகளைக் குறைப்பதற்கான சூத்திரங்கள் இப்படி இருக்கும்:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

ஒரு கோணத்தின் கோசைனுக்கு:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

மேலே உள்ள சூத்திரங்களின் பயன்பாடு இரண்டு விதிகளுக்கு உட்பட்டு சாத்தியமாகும். முதலில், கோணத்தை ஒரு மதிப்பாக (π/2 ± a) அல்லது (3π/2 ± a) குறிப்பிட முடியுமானால், செயல்பாட்டின் மதிப்பு மாறுகிறது:

• பாவத்திலிருந்து காஸ் வரை;
• காஸ் முதல் பாவம் வரை;
• tg இலிருந்து ctg வரை;
• ctg முதல் tg வரை.

கோணத்தை (π ± a) அல்லது (2π ± a) என குறிப்பிட முடியுமானால் செயல்பாட்டின் மதிப்பு மாறாமல் இருக்கும்.

இரண்டாவதாக, குறைக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் அடையாளம் மாறாது: அது ஆரம்பத்தில் நேர்மறையாக இருந்தால், அது அப்படியே உள்ளது. எதிர்மறை செயல்பாடுகளுக்கும் இதுவே உண்மை.

கூட்டல் சூத்திரங்கள்

இந்த சூத்திரங்கள் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் மதிப்புகளை அவற்றின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் இரண்டு சுழற்சி கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டை வெளிப்படுத்துகின்றன. கோணங்கள் பொதுவாக α மற்றும் β ஆகக் குறிக்கப்படுகின்றன.

சூத்திரங்கள் இப்படி இருக்கும்:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

இந்த சூத்திரங்கள் எந்த கோணங்களுக்கும் α மற்றும் β செல்லுபடியாகும்.

இரட்டை மற்றும் மூன்று கோண சூத்திரங்கள்

இரட்டை மற்றும் மூன்று கோணத்தின் முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள் முறையே 2α மற்றும் 3α கோணங்களின் செயல்பாடுகளை α கோணத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுடன் தொடர்புபடுத்தும் சூத்திரங்கள் ஆகும். கூட்டல் சூத்திரங்களிலிருந்து பெறப்பட்டது:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

தொகையிலிருந்து தயாரிப்புக்கு மாற்றம்

2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), இந்த சூத்திரத்தை எளிதாக்குவதன் மூலம், sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 என்ற அடையாளத்தைப் பெறுகிறோம். இதேபோல், sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α - β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

தயாரிப்பிலிருந்து தொகைக்கு மாற்றம்

இந்த சூத்திரங்கள் கூட்டுத்தொகையை தயாரிப்புக்கு மாற்றுவதற்கான அடையாளங்களிலிருந்து பின்பற்றப்படுகின்றன:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

குறைப்பு சூத்திரங்கள்

இந்த அடையாளங்களில், சைன் மற்றும் கோசைனின் சதுர மற்றும் கன சக்திகள் பல கோணத்தின் முதல் சக்தியின் சைன் மற்றும் கோசைன் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படலாம்:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

உலகளாவிய மாற்று

உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்று சூத்திரங்கள் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை அரை கோணத்தின் தொடுகோணத்தின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்துகின்றன.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), இங்கு x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), இங்கு x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), x \u003d π + 2πn.

சிறப்பு வழக்குகள்

எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் குறிப்பிட்ட நிகழ்வுகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன (k என்பது ஏதேனும் முழு எண்).

சைனுக்கான தனிப்பட்ட:

கொசைன் அளவுகள்:

தொடுகோடு தனிப்பட்டது:

கோட்டான்ஜென்ட் அளவுகள்:

தேற்றங்கள்

சைன் தேற்றம்

தேற்றத்தின் இரண்டு பதிப்புகள் உள்ளன - எளிய மற்றும் நீட்டிக்கப்பட்ட. எளிய சைன் தேற்றம்: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. இந்த வழக்கில், a, b, c ஆகியவை முக்கோணத்தின் பக்கங்களாகவும், α, β, γ ஆகியவை முறையே எதிர் கோணங்களாகவும் இருக்கும்.

ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்திற்கான நீட்டிக்கப்பட்ட சைன் தேற்றம்: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. இந்த அடையாளத்தில், கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரத்தை R குறிக்கிறது.

கொசைன் தேற்றம்

அடையாளம் இந்த வழியில் காட்டப்படுகிறது: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. சூத்திரத்தில், a, b, c என்பது முக்கோணத்தின் பக்கங்கள், மற்றும் α என்பது எதிர் பக்க கோணம் a.

தொடு தேற்றம்

சூத்திரம் இரண்டு கோணங்களின் தொடுகோடுகளுக்கும், அவற்றுக்கு எதிரே உள்ள பக்கங்களின் நீளத்திற்கும் இடையிலான உறவை வெளிப்படுத்துகிறது. பக்கங்கள் a, b, c என்று லேபிளிடப்பட்டுள்ளன, மேலும் எதிர் கோணங்கள் α, β, γ ஆகும். தொடுகோடு தேற்றத்தின் சூத்திரம்: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

கோட்டான்ஜென்ட் தேற்றம்

ஒரு முக்கோணத்தில் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரத்தை அதன் பக்கங்களின் நீளத்துடன் இணைக்கிறது. a, b, c ஆகியவை முக்கோணத்தின் பக்கங்களாகவும், A, B, C ஆகியவை முறையே அவற்றின் எதிர் கோணங்களாகவும் இருந்தால், r என்பது பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் மற்றும் p என்பது முக்கோணத்தின் அரை-சுற்றளவு, பின்வரும் அடையாளங்கள் பிடி:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

விண்ணப்பங்கள்

முக்கோணவியல் என்பது கணித சூத்திரங்களுடன் தொடர்புடைய ஒரு கோட்பாட்டு அறிவியல் மட்டுமல்ல. அதன் பண்புகள், கோட்பாடுகள் மற்றும் விதிகள் மனித செயல்பாட்டின் பல்வேறு கிளைகளால் நடைமுறையில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன - வானியல், காற்று மற்றும் கடல் வழிசெலுத்தல், இசை கோட்பாடு, புவியியல், வேதியியல், ஒலியியல், ஒளியியல், மின்னணுவியல், கட்டிடக்கலை, பொருளாதாரம், இயந்திர பொறியியல், அளவிடும் வேலை, கணினி வரைகலை, வரைபடவியல், கடல்சார்வியல் மற்றும் பல.

சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவை முக்கோணவியலின் அடிப்படைக் கருத்துகளாகும், இதன் மூலம் முக்கோணத்தில் உள்ள கோணங்கள் மற்றும் பக்கங்களின் நீளங்களுக்கு இடையிலான உறவை கணித ரீதியாக வெளிப்படுத்தலாம் மற்றும் அடையாளங்கள், கோட்பாடுகள் மற்றும் விதிகள் மூலம் விரும்பிய அளவுகளைக் கண்டறியலாம்.