வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுப்பான் கண்டுபிடிப்பது எப்படி. வடிவியல் முன்னேற்றம்

வடிவியல் முன்னேற்றம் கணிதத்தில் கணிதத்தை விட குறைவான முக்கியத்துவம் இல்லை. ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் என்பது பி 1, பி 2, ..., பி [n] எண்களின் வரிசையாகும், இதன் ஒவ்வொரு அடுத்த காலமும் முந்தையதை ஒரு நிலையான எண்ணால் பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. இந்த எண்ணிக்கை, முன்னேற்றத்தின் அதிகரிப்பு அல்லது குறைவு விகிதத்தையும் வகைப்படுத்துகிறது, இது அழைக்கப்படுகிறது வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் மற்றும் குறிக்கவும்

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முழுமையான பணிக்கு, வகுப்பிற்கு கூடுதலாக, அதன் முதல் சொல்லை அறிந்து கொள்ள அல்லது தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம். வகுப்பினரின் நேர்மறையான மதிப்புக்கு, முன்னேற்றம் என்பது ஒரு மோனோடோனிக் வரிசை, மற்றும் எண்களின் இந்த வரிசை ஒரேமாதிரியாக குறைந்து, ஒரே மாதிரியாக அதிகரிக்கும் என்றால். ஒரே மாதிரியான எண்களின் வரிசை நம்மிடம் இருப்பதால், வகுத்தல் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும்போது வழக்கு நடைமுறையில் கருதப்படுவதில்லை, அவற்றின் சுருக்கம் நடைமுறை ஆர்வத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பொதுவான சொல் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் தொகை சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் கிளாசிக்கல் சிக்கல்களுக்கான தீர்வுகளைக் கவனியுங்கள். புரிந்துகொள்ள எளியவர்களுடன் தொடங்குவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல் 27, மற்றும் அதன் வகுத்தல் 1/3 ஆகும். வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் ஆறு சொற்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: பிரச்சினையின் நிலையை வடிவத்தில் எழுதுவோம்

கணக்கீடுகளுக்கு, வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் n வது காலத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

அதன் அடிப்படையில், முன்னேற்றத்தின் அறியப்படாத உறுப்பினர்களைக் காண்கிறோம்

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளை கணக்கிடுவது கடினம் அல்ல. முன்னேற்றமே இப்படி இருக்கும்

எடுத்துக்காட்டு 2. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் மூன்று சொற்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன: 6; -12; 24. வகுப்பையும் அதன் ஏழாவது காலத்தையும் கண்டறியவும்.

தீர்வு: புவியியல் முன்னேற்றத்தின் வகுப்பினை அதன் வரையறையின் அடிப்படையில் கணக்கிடுகிறோம்

எங்களுக்கு ஒரு மாற்று வடிவியல் முன்னேற்றம் கிடைத்தது, இதன் வகுத்தல் -2 ஆகும். ஏழாவது சொல் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

இது சிக்கலை தீர்த்துள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 3. ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் அதன் இரண்டு உறுப்பினர்களால் வழங்கப்படுகிறது ... முன்னேற்றத்தில் பத்தாவது காலத்தைக் கண்டறியவும்.

முடிவு:

கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளை சூத்திரங்கள் மூலம் எழுதுவோம்

விதிகளின்படி, வகுப்பினைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம், பின்னர் விரும்பிய மதிப்பைத் தேடுங்கள், ஆனால் பத்தாவது காலத்திற்கு நம்மிடம்

உள்ளீட்டுத் தரவைக் கொண்ட எளிய கையாளுதல்களின் அடிப்படையில் அதே சூத்திரத்தைப் பெறலாம். தொடரின் ஆறாவது காலத்தை இன்னொன்றால் வகுக்கிறோம், இதன் விளைவாக நமக்குக் கிடைக்கும்

இதன் விளைவாக மதிப்பு ஆறாவது காலத்தால் பெருக்கப்பட்டால், பத்தாவது கிடைக்கும்

எனவே, இதுபோன்ற பணிகளுக்கு, எளிய மாற்றங்களை விரைவான வழியில் பயன்படுத்தி, சரியான தீர்வைக் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 4. வடிவியல் முன்னேற்றம் தொடர்ச்சியான சூத்திரங்களால் வழங்கப்படுகிறது

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுப்பையும் முதல் ஆறு சொற்களின் கூட்டுத்தொகையையும் கண்டறியவும்.

முடிவு:

கொடுக்கப்பட்ட தரவை சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்

இரண்டாவது சமன்பாட்டை முதல் வகுப்பதன் மூலம் வகுப்பினை வெளிப்படுத்தவும்

முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல்லைக் கண்டறியவும்

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் தொகையைக் கண்டறிய அடுத்த ஐந்து சொற்களைக் கணக்கிடுவோம்

சில தொடர்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

7 28 112 448 1792...

அதன் எந்த உறுப்புகளின் மதிப்பும் முந்தையதை விட சரியாக நான்கு மடங்கு அதிகம் என்பது தெளிவாகத் தெரிகிறது. இதன் பொருள் இந்த தொடர் ஒரு முன்னேற்றம்.

எண்களின் எல்லையற்ற வரிசை ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதன் முக்கிய அம்சம் என்னவென்றால், அடுத்த எண்ணை முந்தைய எண்ணிக்கையிலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையால் பெருக்கி பெறலாம். இது பின்வரும் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

a z +1 \u003d a z q, இங்கு z என்பது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட தனிமத்தின் எண்ணிக்கை.

அதன்படி, z ∈ N.

பள்ளியில் வடிவியல் முன்னேற்றம் படிக்கும் காலம் தரம் 9 ஆகும். கருத்தைப் புரிந்துகொள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் உங்களுக்கு உதவும்:

0.25 0.125 0.0625...

இந்த சூத்திரத்தின் அடிப்படையில், முன்னேற்றத்தின் வகுப்பினை பின்வருமாறு காணலாம்:

Q அல்லது b z இரண்டுமே பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாது. மேலும், முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு கூறுகளும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கக்கூடாது.

அதன்படி, தொடரின் அடுத்த எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் கடைசியாக q ஆல் பெருக்க வேண்டும்.

இந்த முன்னேற்றத்தை அமைக்க, நீங்கள் அதன் முதல் உறுப்பு மற்றும் வகுப்பினைக் குறிப்பிட வேண்டும். அதன்பிறகு, அடுத்தடுத்த உறுப்பினர்களில் யாரையும் அவற்றின் தொகையையும் கண்டுபிடிக்க முடியும்.

வகைகள்

Q மற்றும் 1 ஐப் பொறுத்து, இந்த முன்னேற்றம் பல வகைகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது:

• 1 மற்றும் q இரண்டும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்டதாக இருந்தால், அத்தகைய வரிசை ஒவ்வொரு அடுத்த உறுப்புடனும் அதிகரிக்கும் வடிவியல் முன்னேற்றமாகும். அத்தகைய உதாரணம் கீழே வழங்கப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு: ஒரு 1 \u003d 3, q \u200b\u200b\u003d 2 - இரண்டு அளவுருக்கள் ஒன்றுக்கு மேற்பட்டவை.

பின்னர் எண் வரிசையை இவ்வாறு எழுதலாம்:

3 6 12 24 48 ...

• என்றால் | q | ஒன்றுக்கு குறைவானது, அதாவது, அதன் மூலம் பெருக்கல் என்பது பிரிவுக்கு சமம், பின்னர் இதே போன்ற நிலைமைகளைக் கொண்ட முன்னேற்றம் குறைந்து வரும் வடிவியல் முன்னேற்றமாகும். அத்தகைய உதாரணம் கீழே வழங்கப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு: ஒரு 1 \u003d 6, q \u003d 1/3 - a 1 ஒன்றுக்கு மேற்பட்டது, q குறைவாக உள்ளது.

பின்னர் எண் வரிசை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

6 2 2/3 ... - எந்தவொரு தனிமமும் அதைத் தொடர்ந்து வரும் உறுப்பை விட 3 மடங்கு பெரியது.

• மாற்று அடையாளம். Q என்றால்<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

எடுத்துக்காட்டு: ஒரு 1 \u003d -3, q \u003d -2 - இரண்டு அளவுருக்கள் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருக்கும்.

பின்னர் எண் வரிசை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

3, 6, -12, 24,...

சூத்திரங்கள்

வடிவியல் முன்னேற்றங்களை வசதியாகப் பயன்படுத்த பல சூத்திரங்கள் உள்ளன:

• Z-th உறுப்பினரின் சூத்திரம். முந்தைய எண்களைக் கணக்கிடாமல் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணின் கீழ் உருப்படியைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறது.

உதாரணமாக:q = 3, a 1 \u003d 4. முன்னேற்றத்தின் நான்காவது உறுப்பைக் கணக்கிட இது தேவைப்படுகிறது.

முடிவு:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• அதன் எண்ணிக்கையின் முதல் உறுப்புகளின் தொகை z... ஒரு வரிசையில் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையை கணக்கிடுகிறதுa z உள்ளடக்கியது.

முதல் (1-q) வகுக்கத்தில் உள்ளது, பின்னர் (1 - q)0, எனவே q 1 க்கு சமமாக இருக்காது.

குறிப்பு: q \u003d 1 என்றால், முன்னேற்றம் என்பது எண்ணற்ற தொடர்ச்சியான எண்களின் தொடராக இருக்கும்.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் தொகை, எடுத்துக்காட்டுகள்:a 1 = 2, q \u003d -2. எஸ் 5 ஐ கணக்கிடுங்கள்.

முடிவு:எஸ் 5 = 22 - சூத்திரத்தின் மூலம் கணக்கீடு.

• என்றால் தொகை |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

உதாரணமாக:a 1 = 2 , q \u003d 0.5. தொகையைக் கண்டறியவும்.

முடிவு:எஸ் z = 2 · = 4

எஸ் z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

சில பண்புகள்:

• சிறப்பியல்பு சொத்து. பின்வரும் நிபந்தனை என்றால் எந்தவொரு நிகழ்த்தப்பட்டதுz, பின்னர் கொடுக்கப்பட்ட எண் தொடர் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம்:

a z 2 = a z -1 · a z + 1

• மேலும், இந்த உறுப்பிலிருந்து சமமாக இருந்தால், ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையில் வேறு இரண்டு எண்களின் சதுரங்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் எந்த எண்ணின் சதுரமும் காணப்படுகிறது.

a z 2 = a z - டி 2 + a z + டி 2 எங்கேடி - இந்த எண்களுக்கு இடையிலான தூரம்.

• கூறுகள் q இல் வேறுபடுகின்றனநேரம்.
• முன்னேற்றத்தின் உறுப்புகளின் மடக்கைகளும் ஒரு முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகின்றன, ஆனால் ஏற்கனவே எண்கணிதம், அதாவது அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையால் முந்தையதை விட பெரியவை.

சில உன்னதமான சிக்கல்களுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

வடிவியல் முன்னேற்றம் என்ன என்பதை நன்கு புரிந்துகொள்ள, தரம் 9 க்கான தீர்வைக் கொண்ட எடுத்துக்காட்டுகள் உதவக்கூடும்.

• விதிமுறை:a 1 = 3, a 3 \u003d 48. கண்டுபிடிq.

தீர்வு: ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த உறுப்பு முந்தையதை விட பெரியதுq நேரம்.வகுப்பினைப் பயன்படுத்தி சில கூறுகளை மற்றவர்கள் மூலமாக வெளிப்படுத்த வேண்டியது அவசியம்.

எனவே,a 3 = q 2 · a 1

மாற்றாக இருக்கும்போதுq= 4

• விதிமுறை:a 2 = 6, a 3 \u003d 12. எஸ் 6 ஐக் கணக்கிடுங்கள்.

முடிவு:இதைச் செய்ய, முதல் உறுப்பு q ஐக் கண்டுபிடித்து அதை சூத்திரத்தில் மாற்றினால் போதும்.

a 3 = q· a 2 , எனவே,q= 2

a 2 \u003d q அ 1,அதனால் a 1 \u003d 3

எஸ் 6 \u003d 189

• · a 1 = 10, q \u003d -2. முன்னேற்றத்தின் நான்காவது உறுப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: இதற்காக நான்காவது உறுப்பை முதல் மற்றும் வகுத்தல் வழியாக வெளிப்படுத்த போதுமானது.

a 4 \u003d q 3· a 1 \u003d -80

பயன்பாட்டு எடுத்துக்காட்டு:

• வங்கியின் வாடிக்கையாளர் 10,000 ரூபிள் தொகையில் ஒரு வைப்புத்தொகையைச் செய்தார், இதன் விதிமுறைகளின்படி ஒவ்வொரு ஆண்டும் வாடிக்கையாளர் அசல் தொகையில் 6% அசல் தொகையில் சேர்க்கப்படுவார். 4 ஆண்டுகளில் கணக்கு எவ்வளவு இருக்கும்?

தீர்வு: ஆரம்ப தொகை 10 ஆயிரம் ரூபிள். இதன் பொருள், முதலீட்டிற்கு ஒரு வருடம் கழித்து, கணக்கில் 10000 + 10000 க்கு சமமான தொகை இருக்கும் · 0.06 \u003d 10000 1.06

அதன்படி, இன்னும் ஒரு வருடத்தில் கணக்கில் உள்ள தொகை பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படும்:

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 \u003d 1.06 1.06 10000

அதாவது, ஒவ்வொரு ஆண்டும் இந்த அளவு 1.06 மடங்கு அதிகரிக்கிறது. இதன் பொருள் 4 ஆண்டுகளில் கணக்கில் உள்ள நிதிகளின் அளவைக் கண்டறிய, முன்னேற்றத்தின் நான்காவது உறுப்பைக் கண்டுபிடிப்பது போதுமானது, இது முதல் உறுப்பு 10 ஆயிரத்திற்கு சமமாகவும், வகுப்பான் 1.06 க்கு சமமாகவும் அமைக்கப்பட்டுள்ளது.

எஸ் \u003d 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 \u003d 12625

தொகையை கணக்கிடுவதற்கான பணிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் பல்வேறு சிக்கல்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. தொகையைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு பின்வருமாறு கொடுக்கப்படலாம்:

a 1 = 4, q \u003d 2, கணக்கிடுங்கள்எஸ் 5.

தீர்வு: கணக்கீட்டிற்குத் தேவையான எல்லா தரவும் அறியப்படுகிறது, நீங்கள் அவற்றை சூத்திரத்தில் மாற்ற வேண்டும்.

எஸ் 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 \u003d 18. முதல் ஆறு உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடுங்கள்.

முடிவு:

புவியில். முன்னேற்றம், ஒவ்வொரு அடுத்த உறுப்பு முந்தையதை விட q மடங்கு பெரியது, அதாவது தொகையை கணக்கிட, நீங்கள் உறுப்பை அறிந்து கொள்ள வேண்டும்a 1 மற்றும் வகுத்தல்q.

a 2 · q = a 3

q = 3

இதேபோல், நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்a 1 அறிதல்a 2 மற்றும்q.

a 1 · q = a 2

a 1 \u003d2

எஸ் 6 = 728.

ஒவ்வொரு இயற்கை எண்ணும் இருந்தால் n உண்மையான எண்ணுடன் பொருந்தவும் ஒரு அது கொடுக்கப்பட்டதாக அவர்கள் கூறுகிறார்கள் எண் வரிசை :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , ஒரு , . . . .

எனவே, ஒரு எண் வரிசை என்பது இயற்கையான வாதத்தின் செயல்பாடாகும்.

எண் a 1 என்று வரிசையில் முதல் சொல் , எண் a 2 — இரண்டாம் தவணை , எண் a 3 — மூன்றாவது முதலியன எண் ஒரு என்று வரிசையின் n வது சொல் , மற்றும் இயற்கை எண் n — அவரது எண் .

இரண்டு அண்டை உறுப்பினர்களில் ஒரு மற்றும் ஒரு +1 வரிசை உறுப்பினர் ஒரு +1 என்று அடுத்தடுத்த (நோக்கி ஒரு ), மற்றும் ஒரு — முந்தையது (நோக்கி ஒரு +1 ).

ஒரு வரிசையைக் குறிப்பிட, எந்த எண்ணுடன் வரிசையின் உறுப்பினரைக் கண்டுபிடிக்க உங்களை அனுமதிக்கும் ஒரு முறையை நீங்கள் குறிப்பிட வேண்டும்.

பெரும்பாலும் வரிசை வழங்கப்படுகிறது nth கால சூத்திரங்கள் அதாவது, ஒரு வரிசையின் உறுப்பினரை அதன் எண்ணால் தீர்மானிக்க உங்களை அனுமதிக்கும் ஒரு சூத்திரம்.

உதாரணத்திற்கு,

நேர்மறை ஒற்றைப்படை எண்களின் வரிசையை சூத்திரத்தால் குறிப்பிடலாம்

ஒரு= 2n -1,

மற்றும் மாற்று வரிசை 1 மற்றும் -1 - சூத்திரத்தால்

b n = (-1) n +1 . ◄

வரிசையை தீர்மானிக்க முடியும் சுழல்நிலை சூத்திரம், அதாவது, ஒரு தொடரின் எந்தவொரு உறுப்பினரையும் வெளிப்படுத்தும் ஒரு சூத்திரம், சிலவற்றில் தொடங்கி, முந்தைய (ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) உறுப்பினர்கள் மூலம்.

உதாரணத்திற்கு,

ஒரு என்றால் a 1 = 1 , மற்றும் ஒரு +1 = ஒரு + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

என்றால் ஒரு a 1= 1, a 2 = 1, ஒரு +2 = ஒரு + ஒரு +1 , எண் வரிசையின் முதல் ஏழு உறுப்பினர்கள் பின்வருமாறு அமைக்கப்படுகிறார்கள்:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

ஒரு 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + ஒரு 3 = 1 + 2 = 3,

ஒரு 5 = ஒரு 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

வரிசைமுறைகள் இருக்கலாம் இறுதி மற்றும் முடிவற்றது .

வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது இறுதி அது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான உறுப்பினர்களைக் கொண்டிருந்தால். வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது முடிவற்றது அதில் எண்ணற்ற உறுப்பினர்கள் இருந்தால்.

உதாரணத்திற்கு,

இரண்டு இலக்க இயற்கை எண்களின் வரிசை:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

இறுதி.

பிரதான எண்களின் வரிசை:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

முடிவற்றது. ◄

வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது அதிகரித்து வருகிறது , அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது முதல் தொடங்கி, முந்தைய உறுப்பினரை விட அதிகமாக இருந்தால்.

வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது குறைகிறது அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது முதல் தொடங்கி, முந்தைய உறுப்பினரை விட குறைவாக இருந்தால்.

உதாரணத்திற்கு,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - அதிகரிக்கும் வரிசை;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / n, . . . - குறைந்து வரும் வரிசை. ◄

அதிகரிக்கும் எண்ணிக்கையுடன் உறுப்புகள் குறையாத ஒரு வரிசை, அல்லது, மாறாக, அதிகரிக்காதது என அழைக்கப்படுகிறது சலிப்பான வரிசை .

மோனோடோனிக் காட்சிகள், குறிப்பாக, ஏறும் வரிசைகள் மற்றும் இறங்கு வரிசைகள்.

எண்கணித முன்னேற்றம்

எண்கணித முன்னேற்றம் ஒரு வரிசை என அழைக்கப்படுகிறது, இதில் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவதாக தொடங்கி, முந்தையவருக்கு சமமாக இருக்கும், அதே எண் சேர்க்கப்படும்.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , ஒரு, . . .

எந்தவொரு இயற்கை எண்ணிற்கும் இருந்தால் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றமாகும் n நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டது:

ஒரு +1 = ஒரு + d,

எங்கே d - சில எண்.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட எண்கணித முன்னேற்றத்தின் அடுத்த மற்றும் முந்தைய உறுப்பினர்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு எப்போதும் நிலையானது:

a 2 - a 1 = ஒரு 3 - a 2 = . . . = ஒரு +1 - ஒரு = d.

எண் d என்று எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு.

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தை அமைக்க, அதன் முதல் காலத்தையும் வேறுபாட்டையும் குறிக்க போதுமானது.

உதாரணத்திற்கு,

ஒரு என்றால் a 1 = 3, d = 4 , பின்னர் வரிசையின் முதல் ஐந்து உறுப்பினர்கள் பின்வருமாறு காணப்படுகிறார்கள்:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

ஒரு 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = ஒரு 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

முதல் காலத்துடன் எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கு a 1 மற்றும் வித்தியாசம் d அவள் n

ஒரு = a 1 + (n- 1)d.

உதாரணத்திற்கு,

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முப்பதாவது காலத்தைக் கண்டறியவும்

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

ஒரு 30 = a 1 + (30 - 1)d \u003d1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

ஒரு= a 1 + (n- 1)d,

ஒரு +1 = a 1 + nd,

பின்னர் வெளிப்படையாக

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டிலிருந்து தொடங்கி, முந்தைய மற்றும் அடுத்தடுத்த உறுப்பினர்களின் எண்கணித சராசரிக்கு சமம்.

a, b மற்றும் c எண்கள் சில எண்கணித முன்னேற்றத்தின் தொடர்ச்சியான உறுப்பினர்களாக இருந்தால், அவற்றில் ஒன்று மற்ற இரண்டின் எண்கணித சராசரிக்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே.

உதாரணத்திற்கு,

ஒரு = 2n- 7 , ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம்.

மேற்கண்ட கூற்றைப் பயன்படுத்துவோம். எங்களிடம் உள்ளது:

ஒரு = 2n- 7,

a n-1 = 2(n -1) - 7 = 2n- 9,

a n + 1 = 2(n +1) - 7 = 2n- 5.

எனவே,

◄

அதை கவனியுங்கள் n எண்கணித முன்னேற்றத்தின் மூன்றாவது காலத்தை மட்டும் காண முடியாது a 1 , ஆனால் முந்தையது ஒரு கே

ஒரு = ஒரு கே + (n- கே)d.

உதாரணத்திற்கு,

க்கு a 5 எழுதலாம்

ஒரு 5 = a 1 + 4d,

ஒரு 5 = a 2 + 3d,

ஒரு 5 = ஒரு 3 + 2d,

ஒரு 5 = a 4 + d. ◄

ஒரு = a n-k + கே.டி.,

ஒரு = a n + k - கே.டி.,

பின்னர் வெளிப்படையாக

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் எந்தவொரு உறுப்பினரும், இரண்டிலிருந்து தொடங்கி, இந்த எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் அரை தொகைக்கு சமமானதாகும்.

கூடுதலாக, எந்த எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கும், சமத்துவம் உண்மை:

a m + a n \u003d a k + a l,

m + n \u003d k + l.

உதாரணத்திற்கு,

எண்கணித முன்னேற்றத்தில்

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = ஒரு 10 = ஒரு 3 + 7d\u003d 7 + 7 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;

3) ஒரு 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 \u003d a 5 + a 9, என

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

எஸ் என்= a 1 + a 2 + a 3 +. ... ...+ ஒரு,

முதல் n எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் சொற்களின் எண்ணிக்கையால் தீவிர சொற்களின் அரை தொகையின் தயாரிப்புக்கு சமம்:

எனவே, குறிப்பாக, விதிமுறைகளைச் சேர்ப்பது அவசியமானால் அது பின்வருமாறு

ஒரு கே, ஒரு கே +1 , . . . , ஒரு,

முந்தைய சூத்திரம் அதன் கட்டமைப்பைத் தக்க வைத்துக் கொள்கிறது:

உதாரணத்திற்கு,

எண்கணித முன்னேற்றத்தில் 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

எஸ் 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = எஸ் 10 - எஸ் 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் வழங்கப்பட்டால், மதிப்புகள் a 1 , ஒரு, d, n மற்றும்எஸ் n இரண்டு சூத்திரங்களால் இணைக்கப்பட்டுள்ளது:

எனவே, இந்த மூன்று அளவுகளின் மதிப்புகள் வழங்கப்பட்டால், மற்ற இரண்டு அளவுகளின் தொடர்புடைய மதிப்புகள் இந்த சூத்திரங்களிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பாக இணைக்கப்படுகின்றன.

எண்கணித முன்னேற்றம் என்பது ஒரு மோனோடோனிக் வரிசை. இதில்:

• ஒரு என்றால் d > 0 , பின்னர் அது அதிகரித்து வருகிறது;
• ஒரு என்றால் d < 0 , பின்னர் அது குறைந்து வருகிறது;
• ஒரு என்றால் d = 0 , பின்னர் வரிசை நிலையானதாக இருக்கும்.

வடிவியல் முன்னேற்றம்

வடிவியல் முன்னேற்றம் ஒரு வரிசை என அழைக்கப்படுகிறது, அவற்றில் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டிலிருந்து தொடங்கி, முந்தையதை விட சமமாக இருக்கும், அதே எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

எந்த இயற்கை எண்ணிற்கும் இருந்தால் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் n நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டது:

b n +1 = b n · q,

எங்கே q ≠ 0 - சில எண்.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அடுத்த உறுப்பினரின் விகிதம் முந்தையவருக்கு ஒரு நிலையான எண்:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

எண் q என்று வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல்.

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தை அமைக்க, அதன் முதல் காலத்தையும் வகுப்பையும் குறிக்க போதுமானது.

உதாரணத்திற்கு,

ஒரு என்றால் b 1 = 1, q = -3 , பின்னர் வரிசையின் முதல் ஐந்து உறுப்பினர்கள் பின்வருமாறு காணப்படுகிறார்கள்:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 மற்றும் வகுத்தல் q அவள் n இந்த வார்த்தையை சூத்திரத்தால் காணலாம்:

b n = b 1 · q n -1 .

உதாரணத்திற்கு,

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஏழாவது காலத்தைக் கண்டறியவும் 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 \u003d 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

பின்னர் வெளிப்படையாக

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டிலிருந்து தொடங்கி, முந்தைய மற்றும் அடுத்தடுத்த உறுப்பினர்களின் வடிவியல் சராசரிக்கு (விகிதாசார) சமம்.

உரையாடல் அறிக்கையும் உண்மை என்பதால், பின்வரும் அறிக்கை பின்வருமாறு:

a, b மற்றும் c எண்கள் சில வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் தொடர்ச்சியான உறுப்பினர்களாக இருந்தால், அவற்றில் ஒன்றின் சதுரம் மற்ற இரண்டின் தயாரிப்புக்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே, அதாவது எண்களில் ஒன்று மற்ற இரண்டின் வடிவியல் சராசரி.

உதாரணத்திற்கு,

சூத்திரத்தால் கொடுக்கப்பட்ட வரிசை என்பதை நிரூபிப்போம் b n \u003d -3 2 n , ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம். மேற்கண்ட கூற்றைப் பயன்படுத்துவோம். எங்களிடம் உள்ளது:

b n \u003d -3 2 n,

b n -1 \u003d -3 2 n -1 ,

b n +1 \u003d -3 2 n +1 .

எனவே,

b n 2 \u003d (-3 2 n) 2 \u003d (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

இது தேவையான அறிக்கையை நிரூபிக்கிறது. ◄

அதை கவனியுங்கள் n வடிவியல் முன்னேற்றத்தின்-வது காலத்தை மட்டுமல்ல b 1 , ஆனால் முந்தைய எந்த காலமும் b கே , இதற்கு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால் போதும்

b n = b கே · q n - கே.

உதாரணத்திற்கு,

க்கு b 5 எழுதலாம்

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b கே · q n - கே,

b n = b n - கே · q கே,

பின்னர் வெளிப்படையாக

b n 2 = b n - கே· b n + கே

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் எந்தவொரு உறுப்பினரின் சதுரமும், இரண்டிலிருந்து தொடங்கி, இந்த முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் தயாரிப்புக்கு சமமானதாகும்.

கூடுதலாக, எந்த வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கும், சமத்துவம் உண்மை:

b மீ· b n= b கே· b எல்,

மீ+ n= கே+ l.

உதாரணத்திற்கு,

அதிவேகமாக

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , என

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

எஸ் என்= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

முதல் n வகுப்போடு ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் q ≠ 0 சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

பிறகு எப்போது q = 1 - சூத்திரத்தின்படி

எஸ் என்= nb 1

நீங்கள் விதிமுறைகளை தொகுக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்க

b கே, b கே +1 , . . . , b n,

சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

உதாரணத்திற்கு,

அதிவேகமாக 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

எஸ் 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = எஸ் 10 - எஸ் 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் வழங்கப்பட்டால், மதிப்புகள் b 1 , b n, q, n மற்றும் எஸ் என் இரண்டு சூத்திரங்களால் இணைக்கப்பட்டுள்ளது:

எனவே, இந்த மூன்று அளவுகளின் மதிப்புகள் வழங்கப்பட்டால், மற்ற இரண்டு அளவுகளின் தொடர்புடைய மதிப்புகள் இந்த சூத்திரங்களிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பாக இணைக்கப்படுகின்றன.

முதல் காலத்துடன் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கு b 1 மற்றும் வகுத்தல் q பின்வரும் மோனோடோனிசிட்டி பண்புகள் :

• பின்வரும் நிபந்தனைகளில் ஒன்று பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் முன்னேற்றம் ஏறும்:

b 1 > 0 மற்றும் q> 1;

b 1 < 0 மற்றும் 0 < q< 1;

• பின்வரும் நிபந்தனைகளில் ஒன்றை பூர்த்தி செய்தால் முன்னேற்றம் குறைகிறது:

b 1 > 0 மற்றும் 0 < q< 1;

b 1 < 0 மற்றும் q> 1.

என்றால் ஒரு q< 0 , பின்னர் வடிவியல் முன்னேற்றம் மாறி மாறி வருகிறது: ஒற்றைப்படை எண்களைக் கொண்ட அதன் உறுப்பினர்கள் அதன் முதல் காலத்தின் அதே அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளனர், மற்றும் சம எண்களைக் கொண்ட உறுப்பினர்கள் எதிர் அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளனர். மாற்று வடிவியல் முன்னேற்றம் மோனோடோனிக் அல்ல என்பது தெளிவாகிறது.

முதல்வரின் வேலை n வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களை சூத்திரத்தால் கணக்கிடலாம்:

ப n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

உதாரணத்திற்கு,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

வடிவியல் முன்னேற்றத்தை எண்ணற்றதாகக் குறைக்கிறது

எண்ணற்ற குறைந்து வரும் வடிவியல் முன்னேற்றம் எல்லையற்ற வடிவியல் முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதன் வகுப்பினரின் மட்டு குறைவாக உள்ளது 1 , அதாவது

|q| < 1 .

எண்ணற்ற குறைந்து வரும் வடிவியல் முன்னேற்றம் குறைந்து வரும் வரிசையாக இருக்காது என்பதை நினைவில் கொள்க. இது வழக்குக்கு பொருந்துகிறது

1 < q< 0 .

இந்த வகுப்பால், வரிசை மாறி மாறி வருகிறது. உதாரணத்திற்கு,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

எண்ணற்ற குறைந்து வரும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் தொகை முதல் தொகையின் தொகை n எண்ணிக்கையில் வரம்பற்ற அதிகரிப்புடன் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் n ... இந்த எண் எப்போதும் வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

உதாரணத்திற்கு,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

எண்கணித மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றங்களுக்கு இடையிலான உறவு

எண்கணித மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றங்கள் நெருங்கிய தொடர்புடையவை. இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d பிறகு

b அ 1 , b அ 2 , b அ 3 , . . . b d .

உதாரணத்திற்கு,

1, 3, 5, . . . - வித்தியாசத்துடன் எண்கணித முன்னேற்றம் 2 மற்றும்

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - வகுப்போடு வடிவியல் முன்னேற்றம் 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - வகுப்போடு வடிவியல் முன்னேற்றம் q பிறகு

ஒரு ப 1 ஐ பதிவு செய்யவும், ஒரு பி 2 ஐ பதிவு செய்யவும், ஒரு பி 3 ஐ பதிவு செய்யவும், . . . - வித்தியாசத்துடன் எண்கணித முன்னேற்றம் ஒரு பதிவுq .

உதாரணத்திற்கு,

2, 12, 72, . . . - வகுப்போடு வடிவியல் முன்னேற்றம் 6 மற்றும்

எல்ஜி 2, எல்ஜி 12, எல்ஜி 72, . . . - வித்தியாசத்துடன் எண்கணித முன்னேற்றம் எல்ஜி 6 . ◄

தலைப்பில் பாடம் மற்றும் விளக்கக்காட்சி: "எண் வரிசைமுறைகள். வடிவியல் முன்னேற்றம்"

கூடுதல் பொருட்கள்
அன்புள்ள பயனர்களே, உங்கள் கருத்துகள், மதிப்புரைகள், விருப்பங்களைத் தெரிவிக்க மறக்காதீர்கள்! அனைத்து பொருட்களும் ஒரு வைரஸ் தடுப்பு நிரலால் சரிபார்க்கப்பட்டுள்ளன.

தரம் 9 க்கான ஒருங்கிணைந்த ஆன்லைன் ஸ்டோரில் கற்பித்தல் எய்ட்ஸ் மற்றும் சிமுலேட்டர்கள்
டிகிரி மற்றும் வேர்கள் செயல்பாடுகள் மற்றும் வரைபடங்கள்

நண்பர்களே, இன்று நாம் மற்றொரு வகை முன்னேற்றத்தைப் பற்றி அறிவோம்.
இன்றைய பாடத்தின் தலைப்பு வடிவியல் முன்னேற்றம்.

வடிவியல் முன்னேற்றம்

உதாரணமாக. 1,2,4,8,16 ... வடிவியல் முன்னேற்றம், இதில் முதல் சொல் ஒன்றுக்கு சமம், மற்றும் $ q \u003d 2 $.

உதாரணமாக. 8,8,8,8 ... வடிவியல் முன்னேற்றம், இதில் முதல் சொல் எட்டுக்கு சமம்,
மற்றும் $ q \u003d 1 $.

உதாரணமாக. 3, -3.3, -3.3 ... வடிவியல் முன்னேற்றம், இதில் முதல் சொல் மூன்றுக்கு சமம்,
மற்றும் $ q \u003d -1 $.

வடிவியல் முன்னேற்றம் சலிப்பின் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது.
$ B_ (1)\u003e 0 $ என்றால், $ q\u003e 1 $,
பின்னர் வரிசை ஏறும்.
$ B_ (1)\u003e 0 $ என்றால், $ 0 வரிசை பொதுவாக இவ்வாறு குறிக்கப்படுகிறது: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $.

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்திலும், ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் தனிமங்களின் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால், முன்னேற்றம் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n-2), b_ (n-1), b_ (n) $.
குறிப்பு, வரிசை ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் என்றால், உறுப்பினர்களின் சதுரங்களின் வரிசையும் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமாகும். இரண்டாவது வரிசைக்கு, முதல் சொல் $ b_ (1) ^ 2 $, மற்றும் வகுத்தல் $ q ^ 2 is ஆகும்.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் n-th காலத்தின் சூத்திரம்

எங்கள் எடுத்துக்காட்டுகளுக்குச் செல்வோம்.

உதாரணமாக. 1,2,4,8,16 ... வடிவியல் முன்னேற்றம், இதில் முதல் சொல் ஒன்றுக்கு சமம்,
மற்றும் $ q \u003d 2 $.
$ b_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (n) \u003d 2 ^ (n-1) $.

உதாரணமாக. 16,8,4,2,1,1 / 2 ... ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம், இதில் முதல் சொல் பதினாறு மற்றும் $ q \u003d \\ frac (1) (2) is ஆகும்.
$ b_ (n) \u003d 16 * (\\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $.

உதாரணமாக. 8,8,8,8 ... ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம், இதில் முதல் சொல் எட்டு மற்றும் $ q \u003d 1 is ஆகும்.
$ b_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (n-1) \u003d 8 $.

உதாரணமாக. 3, -3.3, -3.3 ... ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம், இதில் முதல் சொல் மூன்று மற்றும் $ q \u003d -1 is.
$ b_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (n-1) $.

உதாரணமாக. உங்களுக்கு ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் வழங்கப்படுகிறது $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n),… $.
a) $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 3 that என்று அறியப்படுகிறது. $ B_ (5) Find ஐக் கண்டறியவும்.
b) $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 2, b_ (n) \u003d 768 that என்று அறியப்படுகிறது. N ஐ கண்டுபிடி.
c) $ q \u003d -2, b_ (6) \u003d 96 that என்று அறியப்படுகிறது. $ B_ (1) Find ஐக் கண்டறியவும்.
d) $ b_ (1) \u003d - 2, b_ (12) \u003d 4096 that என்று அறியப்படுகிறது. Q ஐக் கண்டறியவும்.

முடிவு.
a) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d 486 $.
b) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (n-1) \u003d 6 * 2 ^ (n-1) \u003d 768 $.
$ 2 ^ (n-1) \u003d \\ frac (768) (6) \u003d 128 $ முதல் $ 2 ^ 7 \u003d 128 \u003d\u003e n-1 \u003d 7; n \u003d 8 $.
c) $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) * (- 2) ^ 5 \u003d -32 * b_ (1) \u003d 96 \u003d\u003e b_ (1) \u003d - 3 $.
d) $ b_ (12) \u003d b_ (1) * q ^ (11) \u003d - 2 * q ^ (11) \u003d 4096 \u003d\u003e q ^ (11) \u003d - 2048 \u003d\u003e q \u003d -2 $.

உதாரணமாக. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஏழாவது மற்றும் ஐந்தாவது சொற்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு 192, முன்னேற்றத்தின் ஐந்தாவது மற்றும் ஆறாவது சொற்களின் தொகை 192 ஆகும். இந்த முன்னேற்றத்தின் பத்தாவது காலத்தைக் கண்டறியவும்.

முடிவு.
எங்களுக்குத் தெரியும்: $ b_ (7) -b_ (5) \u003d 192 $ மற்றும் $ b_ (5) + b_ (6) \u003d 192 $.
எங்களுக்குத் தெரியும்: $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) \u003d b_ (1) * q ^ 6 $.
பிறகு:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 \u003d 192 $.
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 \u003d 192 $.
சமன்பாடுகளின் அமைப்பு எங்களுக்கு கிடைத்தது:
$ \\ தொடக்கம் (வழக்குகள்) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d 192 \\\\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) \u003d 192 \\ முடிவு (வழக்குகள்) $.
சமன்பாடு, எங்கள் சமன்பாடுகள் கிடைக்கும்:
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ q ^ 2-1 \u003d q + 1 $.
$ q ^ 2-q-2 \u003d 0 $.
எங்களுக்கு இரண்டு தீர்வுகள் கிடைத்தன q: $ q_ (1) \u003d 2, q_ (2) \u003d - 1 $.
இரண்டாவது சமன்பாட்டில் தொடர்ச்சியாக மாற்றவும்:
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 192 \u003d\u003e b_ (1) \u003d 4 $.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 192 \u003d\u003e solutions தீர்வுகள் இல்லை.
எங்களுக்கு அது கிடைத்தது: $ b_ (1) \u003d 4, q \u003d 2 $.
பத்தாவது காலத்தைக் கண்டறியவும்: $ b_ (10) \u003d b_ (1) * q ^ 9 \u003d 4 * 2 ^ 9 \u003d 2048 $.

வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் தொகை

வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றம் கொடுக்கப்படட்டும்: $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n-1), b_ (n) $.
அதன் உறுப்பினர்களின் தொகைக்கான குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்: $ S_ (n) \u003d b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $.
வழக்கில் $ q \u003d 1 when. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அனைத்து உறுப்பினர்களும் முதல் காலத்திற்கு சமம், பின்னர் $ S_ (n) \u003d n * b_ (1) $ என்பது தெளிவாகிறது.
இப்போது $ q 1 case வழக்கைக் கவனியுங்கள்.
மேலே உள்ள தொகையை q ஆல் பெருக்கவும்.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q \u003d b_ (1) * q + b_ (2) * q + + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q \u003d b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
குறிப்பு:
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.

$ S_ (n) * q-S_ (n) \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2) ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) (q-1) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பெற்றோம்.

முடிவு.
$ S_ (7) \u003d \\ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) \u003d 2 * (3 ^ (7) -1) \u003d 4372 $.

உதாரணமாக.
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஐந்தாவது சொல்லைக் கண்டறியவும், இது அறியப்படுகிறது: $ b_ (1) \u003d - 3 $; $ b_ (n) \u003d - 3072 $; $ S_ (n) \u003d - 4095 $.

முடிவு.
$ b_ (n) \u003d (- 3) * q ^ (n-1) \u003d - 3072 $.
$ q ^ (n-1) \u003d 1024 $.
$ q ^ (n) \u003d 1024q $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) \u003d - 4095 $.
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (q ^ (n) -1) $.
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (1024q-1) $.
$ 1365q-1365 \u003d 1024q-1 $.
$ 341 க \u003d $ 1364.
$ q \u003d 4 $.
$ b_5 \u003d b_1 * q ^ 4 \u003d -3 * 4 ^ 4 \u003d -3 * 256 \u003d -768 $.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சிறப்பியல்பு சொத்து

ஒரு எண் வரிசை என்பது ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமாகும், அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினரின் சதுரமும் முன்னேற்றத்தின் அருகிலுள்ள இரண்டு உறுப்பினர்களின் தயாரிப்புக்கு சமமாக இருக்கும்போது மட்டுமே. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட முன்னேற்றத்திற்கு இந்த நிபந்தனை முதல் மற்றும் கடைசி உறுப்பினர்களுக்கு பூர்த்தி செய்யப்படவில்லை என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள்.

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் எந்தவொரு உறுப்பினரின் மட்டு இரண்டு அருகிலுள்ள உறுப்பினர்களின் வடிவியல் சராசரிக்கு சமம்.

முடிவு.
சிறப்பியல்பு சொத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3x + 3) $.
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 \u003d 3x ^ 2 + 3x + 6x + 6 $.
$ x ^ 2-x-2 \u003d 0 $.
$ x_ (1) \u003d 2 $ மற்றும் $ x_ (2) \u003d - 1 $.
அசல் வெளிப்பாட்டில் தொடர்ச்சியாக மாற்றுதல், எங்கள் தீர்வுகள்:
$ X \u003d 2 With உடன், நமக்கு வரிசை கிடைத்தது: 4; 6; 9 - ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம், இதில் $ q \u003d 1.5 $.
$ X \u003d -1 With உடன், எங்களுக்கு வரிசை கிடைத்தது: 1; 0; 0.
பதில்: $ x \u003d 2. $

சுயாதீன தீர்வுக்கான பணிகள்

வடிவியல் முன்னேற்றம், எண்கணிதத்துடன் சேர்ந்து, ஒரு முக்கியமான எண் தொடராகும், இது 9 ஆம் வகுப்பில் பள்ளி இயற்கணித பாடத்தில் படிக்கப்படுகிறது. இந்த கட்டுரையில், ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுப்பையும், அதன் மதிப்பு அதன் பண்புகளை எவ்வாறு பாதிக்கிறது என்பதையும் கருத்தில் கொள்வோம்.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வரையறை

முதலில், இந்த எண் தொடரின் வரையறையை கொடுப்போம். வடிவியல் முன்னேற்றம் பகுத்தறிவு எண்களின் தொடர் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது அதன் முதல் உறுப்பை தொடர்ச்சியாக பெருக்கி ஒரு நிலையான எண்ணால் வகுப்பதன் மூலம் உருவாகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, 3, 6, 12, 24, ... வரிசையில் உள்ள எண்கள் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமாகும், ஏனென்றால் நீங்கள் 3 (முதல் உறுப்பு) ஐ 2 ஆல் பெருக்கினால், உங்களுக்கு 6 கிடைக்கும். நீங்கள் 6 ஐ 2 ஆல் பெருக்கினால், உங்களுக்கு 12 கிடைக்கும், மற்றும் பல.

பரிசீலனையில் உள்ள வரிசையின் உறுப்பினர்கள் வழக்கமாக ai என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுவார்கள், இங்கு நான் வரிசையில் உள்ள ஒரு தனிமத்தின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும் ஒரு முழு எண்.

ஒரு முன்னேற்றத்தின் மேற்கண்ட வரையறையை கணித மொழியில் பின்வருமாறு எழுதலாம்: ஒரு \u003d பிஎன் -1 * அ 1, இங்கு பி என்பது வகுப்பான். இந்த சூத்திரத்தை சரிபார்க்க எளிதானது: n \u003d 1 என்றால், b1-1 \u003d 1, மற்றும் நமக்கு a1 \u003d a1 கிடைக்கும். N \u003d 2 எனில், ஒரு \u003d b * a1, நாம் மீண்டும் பரிசீலிக்கப்படும் எண்களின் தொடரின் வரையறைக்கு வருகிறோம். N இன் பெரிய மதிப்புகளுக்கு இதேபோன்ற பகுத்தறிவைத் தொடரலாம்.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல்

முழு எண் தொடரில் எந்த எழுத்து இருக்கும் என்பதை எண் பி முழுமையாக தீர்மானிக்கிறது. வகுத்தல் நேர்மறை, எதிர்மறை அல்லது ஒன்று அல்லது அதற்கும் குறைவாக இருக்கலாம். இந்த விருப்பங்கள் அனைத்தும் வெவ்வேறு காட்சிகளுக்கு வழிவகுக்கும்:

• b\u003e 1. பகுத்தறிவு எண்களின் தொடர் தொடர்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 1, 2, 4, 8, ... உறுப்பு a1 எதிர்மறையாக இருந்தால், முழு வரிசையும் முழுமையான மதிப்பில் மட்டுமே அதிகரிக்கும், ஆனால் எண்களின் அடையாளத்தைப் பொறுத்து குறையும்.
• b \u003d 1. ஒரே மாதிரியான பகுத்தறிவு எண்களின் சாதாரண தொடர் இருப்பதால் இதுபோன்ற வழக்கு பெரும்பாலும் முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படுவதில்லை. உதாரணமாக, -4, -4, -4.

தொகைக்கான சூத்திரம்

கருதப்படும் வகை முன்னேற்றத்தின் வகுப்பினைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிட்ட சிக்கல்களைக் கருத்தில் கொள்வதற்கு முன், அதன் முதல் n கூறுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு ஒரு முக்கியமான சூத்திரம் கொடுக்கப்பட வேண்டும். சூத்திரம்: Sn \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1).

முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் சுழல்நிலை வரிசையை நீங்கள் கருத்தில் கொண்டால் இந்த வெளிப்பாட்டை நீங்களே பெறலாம். மேலேயுள்ள சூத்திரத்தில், தன்னிச்சையான எண்ணிக்கையிலான சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய முதல் உறுப்பு மற்றும் வகுப்பினை மட்டும் அறிந்து கொள்வது போதுமானது என்பதையும் நினைவில் கொள்க.

எண்ணற்ற அளவு குறைகிறது

அது என்ன என்பதற்கான விளக்கம் மேலே கொடுக்கப்பட்டது. இப்போது, \u200b\u200bSn க்கான சூத்திரத்தை அறிந்து, இந்த எண் தொடரில் அதைப் பயன்படுத்துங்கள். மாடுலஸ் 1 ஐ தாண்டாத எந்த எண்ணும், பெரிய டிகிரிக்கு உயர்த்தப்படும்போது பூஜ்ஜியமாக இருக்கும், அதாவது, b∞ \u003d\u003e 0, -1 என்றால்

வேறுபாடு (1 - b) எப்போதும் நேர்மறையானதாக இருக்கும் என்பதால், வகுப்பினரின் மதிப்பைப் பொருட்படுத்தாமல், வடிவியல் S∞ இன் குறைந்து வரும் எல்லையற்ற முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையின் அடையாளம் அதன் முதல் உறுப்பு a1 இன் அடையாளத்தால் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

இப்போது நாம் பல பணிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம், அங்கு குறிப்பிட்ட எண்களில் பெறப்பட்ட அறிவை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைக் காண்பிப்போம்.

சிக்கல் எண் 1. முன்னேற்றத்தின் அறியப்படாத கூறுகளின் கணக்கீடு மற்றும் தொகை

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் வழங்கப்படுகிறது, முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் 2, மற்றும் அதன் முதல் உறுப்பு 3. அதன் 7 மற்றும் 10 வது சொற்கள் எதற்கு சமமாக இருக்கும், அதன் ஏழு ஆரம்ப கூறுகளின் கூட்டுத்தொகை என்ன?

சிக்கலின் நிலை மிகவும் எளிமையாக இயற்றப்பட்டுள்ளது மற்றும் மேற்கண்ட சூத்திரங்களின் நேரடி பயன்பாட்டைக் குறிக்கிறது. எனவே, n உடன் எண்ணைக் கணக்கிட, நாம் ஒரு \u003d bn-1 * a1 என்ற வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம். நம்மிடம் உள்ள 7 வது உறுப்புக்கு: a7 \u003d b6 * a1, அறியப்பட்ட தரவை மாற்றி, நமக்கு கிடைக்கிறது: a7 \u003d 26 * 3 \u003d 192. 10 வது காலத்திற்கும் இதைச் செய்கிறோம்: a10 \u003d 29 * 3 \u003d 1536.

தொகைக்கு நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம் மற்றும் தொடரின் முதல் 7 கூறுகளுக்கு இந்த மதிப்பை தீர்மானிப்போம். எங்களிடம்: எஸ் 7 \u003d (27 - 1) * 3 / (2 - 1) \u003d 381.

சிக்கல் எண் 2. முன்னேற்றத்தின் தன்னிச்சையான கூறுகளின் கூட்டுத்தொகையை தீர்மானித்தல்

-2 என்பது அதிவேக முன்னேற்றத்தின் வகுப்பாக இருக்கட்டும் bn-1 * 4, இங்கு n என்பது ஒரு முழு எண். இந்த தொடரின் 5 முதல் 10 வது உறுப்பு வரையிலான அளவை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்.

அறியப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி நேரடியாக ஏற்படும் சிக்கலை தீர்க்க முடியாது. இதை 2 வெவ்வேறு முறைகள் மூலம் தீர்க்க முடியும். முழுமையின் பொருட்டு, இரண்டையும் முன்வைக்கிறோம்.

முறை 1. அதன் யோசனை எளிதானது: முதல் சொற்களின் இரண்டு தொடர்புடைய தொகைகளை கணக்கிட வேண்டியது அவசியம், பின்னர் மற்றொன்றை ஒன்றிலிருந்து கழிக்கவும். சிறிய தொகையை கணக்கிடுகிறோம்: எஸ் 10 \u003d ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -1364. இப்போது நாம் பெரிய தொகையை கணக்கிடுகிறோம்: எஸ் 4 \u003d ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -20. சிக்கல் வெளிப்பாட்டின் படி கணக்கிட வேண்டிய தொகையில் 5 வது ஏற்கனவே சேர்க்கப்பட்டுள்ளதால், கடைசி வெளிப்பாட்டில் 4 சொற்கள் மட்டுமே சுருக்கப்பட்டுள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க. இறுதியாக, வித்தியாசத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்: S510 \u003d S10 - S4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344.

முறை 2. எண்களை மாற்றுவதற்கும் எண்ணுவதற்கும் முன், கேள்விக்குரிய தொடரின் m மற்றும் n உறுப்பினர்களிடையேயான தொகைக்கு ஒரு சூத்திரத்தைப் பெறலாம். முறை 1 இல் உள்ளதைப் போலவே நாங்கள் செய்கிறோம், முதலில் நாம் தொகையின் குறியீட்டு பிரதிநிதித்துவத்துடன் மட்டுமே செயல்படுகிறோம். எங்களிடம் உள்ளது: Snm \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) \u003d a1 * (bn - bm-1) / (b - 1). இதன் விளைவாக வெளிப்பாட்டில், நீங்கள் அறியப்பட்ட எண்களை மாற்றலாம் மற்றும் இறுதி முடிவைக் கணக்கிடலாம்: S105 \u003d 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) \u003d -1344.

சிக்கல் எண் 3. வகுத்தல் என்றால் என்ன?

A1 \u003d 2, வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுப்பினைக் கண்டுபிடித்து, அதன் எல்லையற்ற தொகை 3 என வழங்கப்பட்டால், இது எண்களின் தொடர் தொடர் என்று அறியப்படுகிறது.

சிக்கலின் நிபந்தனையால், அதைத் தீர்க்க எந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும் என்று யூகிப்பது எளிது. நிச்சயமாக, முன்னேற்றத்தின் தொகை எண்ணற்ற அளவில் குறைந்து வருகிறது. எங்களிடம்: S∞ \u003d a1 / (1 - b). நாம் வகுப்பினை வெளிப்படுத்தும் இடத்திலிருந்து: b \u003d 1 - a1 / S∞. அறியப்பட்ட மதிப்புகளை மாற்றுவதற்கும் தேவையான எண்ணைப் பெறுவதற்கும் இது உள்ளது: b \u003d 1 - 2/3 \u003d -1 / 3 அல்லது -0.333 (3). இந்த வகை வரிசைக்கு, மாடுலஸ் 1 ஐ தாண்டக்கூடாது என்பதை நினைவு கூர்ந்தால் இந்த முடிவை தர ரீதியாக சரிபார்க்க முடியும். நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, | -1 / 3 |

சிக்கல் எண் 4. தொடர் எண்களை மீட்டெடுப்பது

ஒரு எண் தொடரின் 2 கூறுகள் கொடுக்கப்படட்டும், எடுத்துக்காட்டாக, 5 வது 30 க்கு சமம் மற்றும் 10 வது 60 க்கு சமம். இந்த தரவுகளிலிருந்து முழு தொடரையும் புனரமைக்க வேண்டியது அவசியம், இது ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பண்புகளை பூர்த்தி செய்கிறது என்பதை அறிந்து.

சிக்கலைத் தீர்க்க, நீங்கள் முதலில் அறியப்பட்ட ஒவ்வொரு காலத்திற்கும் தொடர்புடைய வெளிப்பாட்டை எழுத வேண்டும். எங்களிடம் உள்ளது: a5 \u003d b4 * a1 மற்றும் a10 \u003d b9 * a1. இப்போது இரண்டாவது வெளிப்பாட்டை முதலில் வகுக்கிறோம், நமக்கு கிடைக்கிறது: a10 / a5 \u003d b9 * a1 / (b4 * a1) \u003d b5. சிக்கல் அறிக்கையிலிருந்து அறியப்பட்ட சொற்களின் விகிதத்தின் ஐந்தாவது மூலத்தை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் வகுப்பினை இங்கே தீர்மானிக்கிறோம், b \u003d 1.148698. இதன் விளைவாக வரும் எண்ணை அறியப்பட்ட உறுப்புக்கான வெளிப்பாடுகளில் ஒன்றாக மாற்றுகிறோம், நமக்கு கிடைக்கிறது: a1 \u003d a5 / b4 \u003d 30 / (1.148698) 4 \u003d 17.2304966.

ஆகவே, பி.என் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் என்ன என்பதையும், வடிவியல் முன்னேற்றம் பி.என் -1 * 17.2304966 \u003d ஒரு, எங்கே பி \u003d 1.148698 என்பதையும் கண்டறிந்துள்ளோம்.

வடிவியல் முன்னேற்றங்கள் எங்கே பயன்படுத்தப்படுகின்றன?

நடைமுறையில் இந்த எண் தொடரின் பயன்பாடு எதுவும் இல்லை என்றால், அதன் ஆய்வு முற்றிலும் தத்துவார்த்த ஆர்வமாகக் குறைக்கப்படும். ஆனால் அத்தகைய பயன்பாடு உள்ளது.

மிகவும் பிரபலமான 3 எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே:

• ஜீனோவின் முரண்பாடு, இதில் புத்திசாலித்தனமான அகில்லெஸ் மெதுவான ஆமையைப் பிடிக்க முடியாது, எண்ணற்ற எண்ணிக்கையில் குறைந்துவரும் வரிசையின் கருத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகிறது.
• நீங்கள் சதுரங்கப் பலகையின் ஒவ்வொரு சதுரத்திலும் கோதுமை தானியங்களை வைத்தால், 1 தானியங்கள் 1 வது சதுக்கத்திலும், 2 - 2 ஆம் தேதியிலும், 3 - 3 ஆம் தேதியிலும், பலவற்றிலும் வைக்கப்பட்டால், குழுவின் அனைத்து சதுரங்களையும் நிரப்ப 18446744073709551615 தானியங்கள் தேவைப்படுகின்றன!
• டவர் ஆஃப் ஹனோய் விளையாட்டில், வட்டுகளை ஒரு தடியிலிருந்து மற்றொன்றுக்கு மறுசீரமைக்க, நீங்கள் 2n - 1 செயல்பாடுகளைச் செய்ய வேண்டும், அதாவது அவற்றின் எண்ணிக்கை பயன்படுத்தப்படும் வட்டுகளின் எண்ணிக்கையுடன் அதிவேகமாக வளர்கிறது.