மாடுலோ எண் இந்த எண் எதிர்மறையாக இருந்தால், அல்லது எதிர்மறையாக இருந்தால் அதே எண்ணை எதிர் அடையாளத்துடன் அழைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, 6 இன் மட்டு 6, -6 இன் மட்டு 6 ஆகும்.

அதாவது, ஒரு எண்ணின் முழுமையான மதிப்பு அதன் மதிப்பைக் கருத்தில் கொள்ளாமல் முழுமையான மதிப்பு, இந்த எண்ணின் முழுமையான மதிப்பு என புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது.

இது பின்வருமாறு நியமிக்கப்பட்டுள்ளது: | 6 |, | எக்ஸ்|, |மற்றும்| முதலியன

(மேலும் விவரங்களுக்கு, "எண் தொகுதி" என்ற பகுதியைப் பார்க்கவும்).

மாடுலஸுடன் சமன்பாடுகள்.

எடுத்துக்காட்டு 1 ... சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்|10 எக்ஸ் - 5| = 15.

முடிவு.

விதியின் படி, ஒரு சமன்பாடு இரண்டு சமன்பாடுகளின் சேர்க்கைக்கு சமம்:

10எக்ஸ் - 5 = 15
10எக்ஸ் - 5 = -15

நாங்கள் முடிவு செய்கிறோம்:

10எக்ஸ் = 15 + 5 = 20
10எக்ஸ் = -15 + 5 = -10

எக்ஸ் = 20: 10
எக்ஸ் = -10: 10

எக்ஸ் = 2
எக்ஸ் = -1

பதில்: எக்ஸ் 1 = 2, எக்ஸ் 2 = -1.

எடுத்துக்காட்டு 2 ... சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்|2 எக்ஸ் + 1| = எக்ஸ் + 2.

முடிவு.

மாடுலஸ் எதிர்மறை அல்லாத எண் என்பதால், பின்னர் எக்ஸ் + 2 ≥ 0. அதன்படி:

எக்ஸ் ≥ -2.

நாங்கள் இரண்டு சமன்பாடுகளை உருவாக்குகிறோம்:

2எக்ஸ் + 1 = எக்ஸ் + 2
2எக்ஸ் + 1 = -(எக்ஸ் + 2)

நாங்கள் முடிவு செய்கிறோம்:

2எக்ஸ் + 1 = எக்ஸ் + 2
2எக்ஸ் + 1 = -எக்ஸ் - 2

2எக்ஸ் - எக்ஸ் = 2 - 1
2எக்ஸ் + எக்ஸ் = -2 - 1

எக்ஸ் = 1
எக்ஸ் = -1

இரண்டு எண்களும் -2 ஐ விட அதிகம். எனவே, இரண்டும் சமன்பாட்டின் வேர்கள்.

பதில்: எக்ஸ் 1 = -1, எக்ஸ் 2 = 1.

எடுத்துக்காட்டு 3 ... சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

|எக்ஸ் + 3| - 1
————— = 4
எக்ஸ் - 1

முடிவு.

வகுத்தல் பூஜ்ஜியமாக இல்லாவிட்டால் சமன்பாடு அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும் - அதாவது என்றால் எக்ஸ் Condition 1. இந்த நிலையை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வோம். எங்கள் முதல் செயல் எளிதானது - பின்னத்திலிருந்து விடுபடுவது மட்டுமல்லாமல், அதை மாற்றியமைப்பதன் மூலம் தொகுதியை அதன் தூய வடிவத்தில் பெறுவோம்:

|எக்ஸ் + 3 | - 1 \u003d 4 ( எக்ஸ் - 1),

|எக்ஸ் + 3| - 1 = 4எக்ஸ் - 4,

|எக்ஸ் + 3| = 4எக்ஸ் - 4 + 1,

|எக்ஸ் + 3| = 4எக்ஸ் - 3.

இப்போது சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள தொகுதிக்குக் கீழே வெளிப்பாடு மட்டுமே உள்ளது. நகர்த்து.
ஒரு எண்ணின் மட்டு ஒரு எதிர்மறை அல்லாத எண் - அதாவது, அது பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்க வேண்டும். அதன்படி, சமத்துவமின்மையை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்:

4எக்ஸ் - 3 ≥ 0

4எக்ஸ் ≥ 3

எக்ஸ் ≥ 3/4

எனவே, எங்களுக்கு இரண்டாவது நிபந்தனை உள்ளது: சமன்பாட்டின் வேர் குறைந்தது 3/4 ஆக இருக்க வேண்டும்.

விதிக்கு இணங்க, நாங்கள் இரண்டு சமன்பாடுகளின் தொகுப்பை உருவாக்கி அவற்றைத் தீர்க்கிறோம்:

எக்ஸ் + 3 = 4எக்ஸ் - 3
எக்ஸ் + 3 = -(4எக்ஸ் - 3)

எக்ஸ் + 3 = 4எக்ஸ் - 3
எக்ஸ் + 3 = -4எக்ஸ் + 3

எக்ஸ் - 4எக்ஸ் = -3 - 3
எக்ஸ் + 4எக்ஸ் = 3 - 3

எக்ஸ் = 2
எக்ஸ் = 0

எங்களுக்கு இரண்டு பதில்கள் கிடைத்தன. அவை அசல் சமன்பாட்டின் வேர்கள் என்பதை சரிபார்க்கலாம்.

எங்களுக்கு இரண்டு நிபந்தனைகள் இருந்தன: சமன்பாட்டின் வேர் 1 க்கு சமமாக இருக்கக்கூடாது, அது குறைந்தது 3/4 ஆக இருக்க வேண்டும். அதாவது எக்ஸ் ≠ 1, எக்ஸ் 3/4. பெறப்பட்ட இரண்டு பதில்களில் ஒன்று மட்டுமே இந்த இரண்டு நிபந்தனைகளையும் பூர்த்தி செய்கிறது - எண் 2. இதன் பொருள் அசல் சமன்பாட்டின் வேர் மட்டுமே.

பதில்: எக்ஸ் = 2.

தொகுதிடன் ஏற்றத்தாழ்வுகள்.

எடுத்துக்காட்டு 1 ... சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்| எக்ஸ் - 3| < 4

முடிவு.

தொகுதி விதி கூறுகிறது:

|மற்றும்| = மற்றும், என்றால் ஒரு மற்றும் ≥ 0.

|மற்றும்| = -மற்றும், என்றால் ஒரு மற்றும் < 0.

தொகுதி எதிர்மறை மற்றும் எதிர்மறை எண்களைக் கொண்டிருக்கலாம். எனவே, இரண்டு நிகழ்வுகளையும் நாம் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்: எக்ஸ் - 3 ≥ 0 மற்றும் எக்ஸ் - 3 < 0.

1) எப்போது எக்ஸ் - 3 ≥ 0, எங்கள் அசல் சமத்துவமின்மை அப்படியே உள்ளது, மட்டு அடையாளம் இல்லாமல் மட்டுமே:
எக்ஸ் - 3 < 4.

2) எப்போது எக்ஸ் - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(எக்ஸ் - 3) < 4.

அடைப்புக்குறிகளை விரிவுபடுத்துவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்:

-எக்ஸ் + 3 < 4.

எனவே, இந்த இரண்டு நிபந்தனைகளிலிருந்தும், சமத்துவமின்மைகளின் இரண்டு அமைப்புகளின் தொழிற்சங்கத்திற்கு நாங்கள் வந்தோம்:

எக்ஸ் - 3 ≥ 0
எக்ஸ் - 3 < 4

எக்ஸ் - 3 < 0
-எக்ஸ் + 3 < 4

அவற்றைத் தீர்ப்போம்:

எக்ஸ் ≥ 3
எக்ஸ் < 7

எக்ஸ் < 3
எக்ஸ் > -1

எனவே, எங்கள் பதிலில் இரண்டு செட் ஒன்றியம் உள்ளது:

3 ≤ எக்ஸ் < 7 U -1 < எக்ஸ் < 3.

மிகச்சிறிய மற்றும் மிகப்பெரிய மதிப்புகளைத் தீர்மானிக்கவும். இவை -1 மற்றும் 7. ஒரே நேரத்தில் எக்ஸ் -1 ஐ விட அதிகமாக, ஆனால் 7 க்கும் குறைவாக.
தவிர, எக்ஸ் ≥ 3. எனவே, சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு இந்த தீவிர எண்களைத் தவிர்த்து -1 முதல் 7 வரையிலான முழு எண்களின் தொகுப்பாகும்.

பதில்: -1 < எக்ஸ் < 7.

அல்லது: எக்ஸ் ∈ (-1; 7).

சப்ளிமெண்ட்ஸ்.

1) எங்கள் சமத்துவமின்மையை தீர்க்க எளிய மற்றும் குறுகிய வழி உள்ளது - வரைகலை. இதைச் செய்ய, நீங்கள் ஒரு கிடைமட்ட அச்சை வரைய வேண்டும் (படம் 1).

வெளிப்பாடு | எக்ஸ் - 3| < 4 означает, что расстояние от точки எக்ஸ் நான்கு அலகுகளை விட 3 குறைவாக சுட்டிக்காட்ட. நாம் அச்சில் எண் 3 ஐக் குறிக்கிறோம் மற்றும் அதிலிருந்து இடது மற்றும் வலதுபுறம் 4 பிரிவுகளை எண்ணுகிறோம். இடதுபுறத்தில் நாம் புள்ளி -1, வலதுபுறம் - புள்ளி 7 க்கு வருவோம். இவ்வாறு, புள்ளிகள் எக்ஸ் அவற்றைக் கணக்கிடாமல் பார்த்தோம்.

மேலும், சமத்துவமின்மை நிலைக்கு ஏற்ப, -1 மற்றும் 7 தங்களை தீர்வுகளின் தொகுப்பில் சேர்க்கவில்லை. இவ்வாறு, நமக்கு பதில் கிடைக்கிறது:

1 < எக்ஸ் < 7.

2) ஆனால் இன்னும் ஒரு தீர்வு உள்ளது, இது வரைபட ரீதியாகவும் எளிமையானது. இதைச் செய்ய, எங்கள் சமத்துவமின்மை பின்வரும் வடிவத்தில் குறிப்பிடப்பட வேண்டும்:

4 < எக்ஸ் - 3 < 4.

எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, தொகுதி விதிப்படி இது எப்படி இருக்கும். எதிர்மறை அல்லாத எண் 4 மற்றும் ஒத்த எதிர்மறை எண் -4 ஆகியவை சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பதற்கான எல்லைகளாகும்.

4 + 3 < எக்ஸ் < 4 + 3

1 < எக்ஸ் < 7.

எடுத்துக்காட்டு 2 ... சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்| எக்ஸ் - 2| ≥ 5

முடிவு.

இந்த எடுத்துக்காட்டு முந்தையதை விட கணிசமாக வேறுபட்டது. இடது புறம் 5 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது 5 க்கு சமமாகவோ உள்ளது. ஒரு வடிவியல் பார்வையில், சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு புள்ளி 2 (படம் 2) இலிருந்து 5 அலகுகள் அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட தூரத்தில் உள்ள அனைத்து எண்களும் ஆகும். இவை அனைத்தும் -3 ஐ விடக் குறைவான அல்லது சமமானவை மற்றும் 7 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் எண்கள் என்று வரைபடம் காட்டுகிறது. எனவே, நாங்கள் ஏற்கனவே பதிலைப் பெற்றுள்ளோம்.

பதில்: -3 ≥ எக்ஸ் ≥ 7.

வழியில், அதே சமத்துவமின்மையை இலவச வார்த்தையை இடது மற்றும் வலதுபுறமாக எதிர் அடையாளத்துடன் அனுமதிப்பதன் மூலம் தீர்க்கிறோம்:

5 ≥ எக்ஸ் - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ எக்ஸ் ≥ 5 + 2

பதில் ஒன்றே: -3 எக்ஸ் ≥ 7.

அல்லது: எக்ஸ் ∈ [-3; 7]

எடுத்துக்காட்டு தீர்க்கப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 3 ... சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்6 எக்ஸ் 2 - | எக்ஸ்| - 2 ≤ 0

முடிவு.

எண் எக்ஸ் நேர்மறை, எதிர்மறை அல்லது பூஜ்ஜியமாக இருக்கலாம். எனவே, மூன்று சூழ்நிலைகளையும் நாம் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும். உங்களுக்குத் தெரியும், அவை இரண்டு ஏற்றத்தாழ்வுகளில் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன: எக்ஸ் 0 மற்றும் எக்ஸ் < 0. При எக்ஸ் ≥ 0 எங்கள் அசல் சமத்துவமின்மையை மீண்டும் எழுதுகிறோம், மட்டு அடையாளம் இல்லாமல் மட்டுமே:

6x 2 - எக்ஸ் - 2 ≤ 0.

இப்போது இரண்டாவது வழக்கு பற்றி: என்றால் எக்ஸ் < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6எக்ஸ் 2 - (-எக்ஸ்) - 2 ≤ 0.

அடைப்புக்குறிகளை விரிவாக்கு:

6எக்ஸ் 2 + எக்ஸ் - 2 ≤ 0.

இவ்வாறு, எங்களுக்கு இரண்டு சமன்பாடுகள் கிடைத்தன:

6எக்ஸ் 2 - எக்ஸ் - 2 ≤ 0
எக்ஸ் ≥ 0

6எக்ஸ் 2 + எக்ஸ் - 2 ≤ 0
எக்ஸ் < 0

அமைப்புகளில் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது அவசியம் - அதாவது இரண்டு இருபடி சமன்பாடுகளின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம். இதற்காக நாம் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் இடது புறங்களை பூஜ்ஜியத்துடன் ஒப்பிடுகிறோம்.

முதல் ஒன்றைத் தொடங்குவோம்:

6எக்ஸ் 2 - எக்ஸ் - 2 = 0.

இருபடி சமன்பாடு எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகிறது - "இருபடி சமன்பாடு" என்ற பகுதியைக் காண்க. நாங்கள் உடனடியாக பதிலுக்கு பெயரிடுவோம்:

எக்ஸ் 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

ஏற்றத்தாழ்வுகளின் முதல் அமைப்பிலிருந்து, அசல் சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு -1/2 முதல் 2/3 வரையிலான முழு எண்களின் தொகுப்பாகும். அதற்கான தீர்வுகளின் ஒன்றியத்தை நாங்கள் எழுதுகிறோம் எக்ஸ் ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

இப்போது இரண்டாவது இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கலாம்:

6எக்ஸ் 2 + எக்ஸ் - 2 = 0.

அதன் வேர்கள்:

எக்ஸ் 1 = -2/3, எக்ஸ் 2 = 1/2.

முடிவு: இல் எக்ஸ் < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

இரண்டு பதில்களையும் இணைத்து இறுதி பதிலைப் பெறுவோம்: தீர்வு இந்த தீவிர எண்கள் உட்பட -2/3 முதல் 2/3 வரையிலான முழு எண்களின் தொகுப்பாகும்.

பதில்: -2/3 ≤ எக்ஸ் ≤ 2/3.

அல்லது: எக்ஸ் ∈ [-2/3; 2/3].

தொகுதிகளுடனான ஏற்றத்தாழ்வுகளை வெளிப்படுத்துவதற்கான முறைகள் (விதிகள்) தொகுதிகளின் தொடர்ச்சியான வெளிப்பாட்டில் உள்ளன, அதே சமயம் சப்மோடூலர் செயல்பாடுகளின் அடையாளம் மாறிலியின் இடைவெளிகளைப் பயன்படுத்துகின்றன. இறுதி பதிப்பில், பல ஏற்றத்தாழ்வுகள் பெறப்படுகின்றன, அவற்றில் இருந்து இடைவெளிகள் அல்லது இடைவெளிகள் சிக்கலின் நிலையை பூர்த்தி செய்கின்றன.

நடைமுறையில் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்கு செல்லலாம்.

மாடுலியுடன் நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள்

நேரியல் மூலம் நாம் சமன்பாடுகளை குறிக்கிறோம், இதில் மாறி சமன்பாட்டை நேரியல் முறையில் நுழைகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1. சமத்துவமின்மைக்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டறியவும்

முடிவு:
சிக்கலின் நிலையில் இருந்து, தொகுதிகள் x \u003d -1 மற்றும் x \u003d -2 இல் பூஜ்ஜியமாக மாறும். இந்த புள்ளிகள் எண் அச்சை இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கின்றன

இந்த ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும், கொடுக்கப்பட்ட சமத்துவமின்மையை நாங்கள் தீர்க்கிறோம். இதைச் செய்ய, முதலில், சப்மோடூலர் செயல்பாடுகளின் நிலையான பகுதிகளின் வரைகலை வரைபடங்களை வரைகிறோம். அவை ஒவ்வொரு செயல்பாடுகளின் அறிகுறிகளைக் கொண்ட பகுதிகளாக சித்தரிக்கப்படுகின்றன

அல்லது அனைத்து செயல்பாடுகளின் அறிகுறிகளுடன் இடைவெளிகள்.

முதல் இடைவெளியில், தொகுதிகள் திறக்கவும்

நாங்கள் இருபுறமும் கழித்தல் ஒன்றால் பெருக்குகிறோம், மேலும் சமத்துவமின்மையின் அடையாளம் எதிர்மாறாக மாறும். இந்த விதியைப் பயன்படுத்துவது உங்களுக்கு கடினமாக இருந்தால், மைனஸிலிருந்து விடுபட ஒவ்வொரு பகுதியையும் அடையாளம் மூலம் நகர்த்தலாம். இறுதி பதிப்பில், நீங்கள் பெறுவீர்கள்

சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்பட்ட பகுதியுடன் x\u003e -3 தொகுப்பின் குறுக்குவெட்டு இடைவெளி (-3; -2) ஆகும். தீர்வுகளைத் தேடுவது எளிதாக இருப்பவர்களுக்கு, இந்த பகுதிகளின் குறுக்குவெட்டை வரைபடமாக வரையலாம்

பகுதிகளின் பொதுவான குறுக்குவெட்டு தீர்வாக இருக்கும். கடுமையான சீரற்ற தன்மையுடன், விளிம்புகள் சேர்க்கப்படவில்லை. கண்டிப்பாக இல்லாவிட்டால், மாற்றாக சரிபார்க்கவும்.

இரண்டாவது இடைவெளியில், நாங்கள் பெறுகிறோம்

பிரிவு இடைவெளியாக இருக்கும் (-2; -5/3). வரைபடமாக, தீர்வு எப்படி இருக்கும்

மூன்றாவது இடைவெளியில், நாம் பெறுகிறோம்

இந்த நிலை விரும்பிய பகுதியில் தீர்வுகளை வழங்காது.

காணப்படும் இரண்டு தீர்வுகள் (-3; -2) மற்றும் (-2; -5/3) x \u003d -2 புள்ளியால் எல்லைக்குட்பட்டவை என்பதால், அதையும் சரிபார்க்கிறோம்.

எனவே புள்ளி x \u003d -2 தீர்வு. இதை கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், பொதுவான தீர்வு (-3; 5/3) போல இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 2. சமத்துவமின்மைக்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டறியவும்
| x-2 | - | x-3 |\u003e \u003d | x-4 |

முடிவு:
X \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4 புள்ளிகள் துணை மாடுலர் செயல்பாடுகளின் பூஜ்ஜியங்களாகும். இந்த புள்ளிகளைக் காட்டிலும் குறைவான வாதங்களுக்கு, சப்மோடூலர் செயல்பாடுகள் எதிர்மறையானவை, மேலும் பெரியவற்றுக்கு அவை நேர்மறையானவை.

புள்ளிகள் உண்மையான அச்சை நான்கு இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கின்றன. நிலையான இடைவெளிகளுக்கு ஏற்ப தொகுதிகளை விரிவுபடுத்துகிறோம் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்கிறோம்.

1) முதல் இடைவெளியில், அனைத்து சப்மோடூலர் செயல்பாடுகளும் எதிர்மறையானவை, எனவே, தொகுதிகளை விரிவுபடுத்தும்போது, \u200b\u200bஅடையாளத்தை எதிர்மாறாக மாற்றுகிறோம்.

X இன் காணப்படும் மதிப்புகளின் குறுக்குவெட்டு பரிசீலனையில் உள்ள இடைவெளியுடன் புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும்

2) x \u003d 2 மற்றும் x \u003d 3 புள்ளிகளுக்கு இடையிலான இடைவெளியில், முதல் துணை மாடுலர் செயல்பாடு நேர்மறையானது, இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது எதிர்மறை. தொகுதிகள் விரிவடைந்து, நமக்குக் கிடைக்கும்

ஒரு சமத்துவமின்மை, நாம் தீர்க்கும் இடைவெளியுடன் சந்திக்கும் போது, \u200b\u200bஒரு தீர்வைக் கொடுக்கும் - x \u003d 3.

3) x \u003d 3 மற்றும் x \u003d 4 புள்ளிகளுக்கு இடையிலான இடைவெளியில், முதல் மற்றும் இரண்டாவது துணை மாடுலர் செயல்பாடுகள் நேர்மறையானவை, மூன்றாவது எதிர்மறையானது. இதன் அடிப்படையில், நமக்கு கிடைக்கிறது

இந்த நிபந்தனை முழு இடைவெளியும் மாடுலஸ் சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்யும் என்பதைக் காட்டுகிறது.

4) x\u003e 4 க்கு, அனைத்து செயல்பாடுகளும் நேர்மறையானவை. தொகுதிகள் விரிவாக்கும்போது, \u200b\u200bஅவற்றின் அடையாளத்தை நாங்கள் மாற்றுவதில்லை.

ஒரு இடைவெளியுடன் குறுக்குவெட்டில் காணப்படும் நிலை பின்வரும் தீர்வுகளைத் தருகிறது

சமத்துவமின்மை எல்லா இடைவெளிகளிலும் தீர்க்கப்படுவதால், x இன் அனைத்து மதிப்புகளிலும் பொதுவானதைக் கண்டறிய இது உள்ளது. தீர்வு இரண்டு இடைவெளிகளாக இருக்கும்

இந்த எடுத்துக்காட்டு தீர்க்கப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 3. சமத்துவமின்மைக்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டறியவும்
|| x-1 | -5 |\u003e 3-2x

முடிவு:
மாடுலஸின் மாடுலஸுடன் எங்களுக்கு ஏற்றத்தாழ்வு உள்ளது. தொகுதிகள் கூடு கட்டப்பட்டிருப்பதால் இத்தகைய ஏற்றத்தாழ்வுகள் வெளிப்படும், அவை ஆழமாக அமைந்திருக்கும்.

துணை தொகுதி செயல்பாடு x-1 x \u003d 1 இல் பூஜ்ஜியமாக மாறுகிறது. 1 க்கான சிறிய மதிப்புகளுக்கு, இது x\u003e 1 க்கு எதிர்மறையானது மற்றும் நேர்மறையானது. இதன் அடிப்படையில், நாங்கள் உள் தொகுதியைத் திறந்து ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் ஏற்றத்தாழ்வைக் கருதுகிறோம்.

முதலில், கழித்தல் முடிவிலியிலிருந்து ஒன்றிற்கான இடைவெளியைக் கவனியுங்கள்

X \u003d -4 புள்ளியில் துணை தொகுதி செயல்பாடு பூஜ்ஜியமாகும். குறைந்த மதிப்புகளில் இது நேர்மறையானது, அதிக மதிப்புகளில் அது எதிர்மறையானது. X க்கான தொகுதியை விரிவாக்குங்கள்<-4:

டொமைனுடனான குறுக்குவெட்டில், நாங்கள் தீர்வுகளின் தொகுப்பைப் பெறுகிறோம்

அடுத்த கட்டம் இடைவெளியில் தொகுதியைத் திறக்க வேண்டும் (-4; 1)

தொகுதி வெளிப்படுத்தலின் பகுதியை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, தீர்வு இடைவெளியைப் பெறுகிறோம்

நினைவில் கொள்ளுங்கள்: தொகுதிகள் கொண்ட இத்தகைய முறைகேடுகளில் ஒரு பொதுவான புள்ளியின் எல்லைக்கு இரண்டு இடைவெளிகள் கிடைத்தால், ஒரு விதியாக, இதுவும் ஒரு தீர்வாகும்.

இதைச் செய்ய, நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும்.

இந்த வழக்கில், x \u003d -4 புள்ளியை மாற்றவும்.

எனவே x \u003d -4 தீர்வு.
X\u003e 1 க்கான உள் தொகுதியைத் திறப்போம்

X க்கு எதிர்மறையான துணை தொகுதி செயல்பாடு<6.
தொகுதியை விரிவுபடுத்துவதன் மூலம், நமக்குக் கிடைக்கும்

இடைவெளியுடன் (1; 6) பிரிவில் உள்ள இந்த நிலை வெற்று தீர்வுகளை வழங்குகிறது.

X\u003e 6 க்கு நாம் சமத்துவமின்மையைப் பெறுகிறோம்

மேலும், தீர்க்க ஒரு வெற்று தொகுப்பு கிடைத்தது.
மேலே உள்ள அனைத்தையும் கருத்தில் கொண்டு, மாடுலியுடனான சமத்துவமின்மைக்கு ஒரே தீர்வு பின்வரும் இடைவெளி.

இருபடி சமன்பாடுகளைக் கொண்ட தொகுதிகள் கொண்ட ஏற்றத்தாழ்வுகள்

எடுத்துக்காட்டு 4. சமத்துவமின்மைக்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டறியவும்
| x ^ 2 + 3x |\u003e \u003d 2-x ^ 2

முடிவு:
X \u003d 0, x \u003d -3 புள்ளிகளில் துணை தொகுதி செயல்பாடு மறைந்துவிடும். கழித்தல் எளிய மாற்று

இடைவெளியில் (-3; 0) பூஜ்ஜியத்தை விடக் குறைவாகவும், அதற்கு வெளியே நேர்மறையாகவும் இருப்பதை நாங்கள் நிறுவுகிறோம்.
சப்மோடூலர் செயல்பாடு நேர்மறையாக இருக்கும் பகுதிகளில் தொகுதியை விரிவாக்குங்கள்

சதுர செயல்பாடு நேர்மறையாக இருக்கும் பகுதிகளை தீர்மானிக்க இது உள்ளது. இதைச் செய்ய, இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்

வசதிக்காக, x \u003d 0 புள்ளியை மாற்றுகிறோம், இது இடைவெளியைச் சேர்ந்தது (-2; 1/2). இந்த இடைவெளியில் செயல்பாடு எதிர்மறையானது, அதாவது பின்வரும் x ஐ அமைக்கிறது

இங்கே, அடைப்புக்குறிகள் தீர்வுகளின் பகுதிகளின் விளிம்புகளைக் குறிக்கின்றன, இது வேண்டுமென்றே செய்யப்பட்டது, பின்வரும் விதியை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது.

நினைவில் கொள்ளுங்கள்: தொகுதிகள் கொண்ட சமத்துவமின்மை அல்லது ஒரு எளிய சமத்துவமின்மை கண்டிப்பாக இருந்தால், கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பகுதிகளின் விளிம்புகள் தீர்வுகள் அல்ல, ஏற்றத்தாழ்வுகள் கண்டிப்பாக இல்லாவிட்டால் (), விளிம்புகள் தீர்வுகள் (சதுர அடைப்புக்குறிகளால் குறிக்கப்படுகின்றன).

இந்த விதி பல ஆசிரியர்களால் பயன்படுத்தப்படுகிறது: கடுமையான சமத்துவமின்மை குறிப்பிடப்பட்டால், மற்றும் கணக்கீடுகளின் போது நீங்கள் ஒரு சதுர அடைப்புக்குறியை ([,]) தீர்வில் எழுதினால், அவர்கள் அதை தானாகவே தவறான பதிலாக எண்ணுவார்கள். மேலும், சோதனை செய்யும் போது, \u200b\u200bதொகுதிகள் கொண்ட கடுமையான சமத்துவமின்மை குறிப்பிடப்பட்டால், தீர்வுகளில் சதுர அடைப்புக்குறிகளைக் கொண்ட பகுதிகளைத் தேடுங்கள்.

இடைவெளியில் (-3; 0), தொகுதியைத் திறந்து, செயல்பாட்டின் அடையாளத்தை எதிர்மாறாக மாற்றவும்

சமத்துவமின்மையை வெளிப்படுத்தும் பகுதியை கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், தீர்வுக்கு படிவம் இருக்கும்

முந்தைய பகுதியுடன் சேர்ந்து, இது இரண்டு அரை இடைவெளிகளைக் கொடுக்கும்

எடுத்துக்காட்டு 5. சமத்துவமின்மைக்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டறியவும்
9x ^ 2- | x-3 |\u003e \u003d 9x-2

முடிவு:
ஒரு தளர்வான சமத்துவமின்மை வழங்கப்படுகிறது, இதன் துணைநிலை செயல்பாடு x \u003d 3 புள்ளியில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். குறைந்த மதிப்புகளில் இது எதிர்மறையானது, அதிக மதிப்புகளில் அது நேர்மறையானது. X இடைவெளியில் தொகுதியை விரிவாக்குங்கள்<3.

சமன்பாட்டின் பாகுபாட்டைக் கண்டறியவும்

மற்றும் வேர்கள்

புள்ளி பூஜ்ஜியத்தை மாற்றியமைத்து, இடைவெளியில் [-1/9; 1] இருபடி செயல்பாடு எதிர்மறையானது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம், எனவே இடைவெளி ஒரு தீர்வாகும். அடுத்து, x\u003e 3 க்கான தொகுதியை விரிவாக்குங்கள்

இந்த ஆன்லைன் கணித கால்குலேட்டர் உங்களுக்கு உதவும் மாடுலியுடன் சமன்பாடு அல்லது சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்... க்கான திட்டம் மாடுலியுடன் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தீர்வுகள் பிரச்சினைக்கு ஒரு பதிலை மட்டும் கொடுக்கவில்லை, அது தருகிறது விளக்கங்களுடன் விரிவான தீர்வு, அதாவது. முடிவைப் பெறுவதற்கான செயல்முறையைக் காட்டுகிறது.

இந்த திட்டம் இடைநிலைப் பள்ளிகளின் மூத்த மாணவர்களுக்கு சோதனைகள் மற்றும் தேர்வுகளுக்கான தயாரிப்புகளில், தேர்வுக்கு முன் அறிவைச் சரிபார்க்கும்போது, \u200b\u200bகணிதம் மற்றும் இயற்கணிதத்தில் உள்ள பல சிக்கல்களின் தீர்வைக் கட்டுப்படுத்த பெற்றோருக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும். அல்லது நீங்கள் ஒரு ஆசிரியரை நியமிப்பது அல்லது புதிய பாடப்புத்தகங்களை வாங்குவது மிகவும் விலை உயர்ந்ததா? அல்லது உங்கள் கணித அல்லது இயற்கணித வீட்டுப்பாடத்தை விரைவில் செய்ய விரும்புகிறீர்களா? இந்த வழக்கில், எங்கள் திட்டங்களை விரிவான தீர்வோடு பயன்படுத்தலாம்.

இந்த வழியில், நீங்கள் உங்கள் சொந்த போதனைகளை நடத்தலாம் மற்றும் / அல்லது உங்கள் இளைய சகோதரர்கள் அல்லது சகோதரிகளுக்கு கற்பிக்கலாம், அதே நேரத்தில் தீர்க்கப்படும் பிரச்சினைகளின் துறையில் கல்வி நிலை அதிகரிக்கிறது.

மாடுலியுடன் சமன்பாடு அல்லது சமத்துவமின்மையை உள்ளிடவும்

இந்த சிக்கலை தீர்க்க தேவையான சில ஸ்கிரிப்ட்கள் ஏற்றப்படவில்லை, மற்றும் நிரல் வேலை செய்யாமல் போகலாம் என்று கண்டறியப்பட்டது.
ஒருவேளை நீங்கள் AdBlock இயக்கப்பட்டிருக்கலாம்.
இந்த வழக்கில், அதை முடக்கி, பக்கத்தைப் புதுப்பிக்கவும்.

ஏனெனில் சிக்கலைத் தீர்க்க நிறைய பேர் தயாராக உள்ளனர், உங்கள் கோரிக்கை வரிசைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது.
சில விநாடிகளுக்குப் பிறகு, தீர்வு கீழே தோன்றும்.
தயவுசெய்து காத்திருங்கள் நொடி ...

நீங்கள் என்றால் முடிவில் பிழை ஏற்பட்டது, நீங்கள் இதைப் பற்றி கருத்துப் படிவத்தில் எழுதலாம்.
மறவாதே எந்த பணியைக் குறிப்பிடவும் நீங்கள் என்ன முடிவு செய்கிறீர்கள் புலங்களில் உள்ளிடவும்.

எங்கள் விளையாட்டுகள், புதிர்கள், முன்மாதிரிகள்:

ஒரு பிட் கோட்பாடு.

மாடுலியுடன் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள்

அடிப்படை பள்ளியில் ஒரு இயற்கணித பாடத்தில், தொகுதிகள் கொண்ட எளிய சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளை நீங்கள் சந்திக்கலாம். அவற்றைத் தீர்க்க, x (| x-a | \\) என்பது x மற்றும் a: between (| x-a | \u003d \\ rho (x; \\; a) \\) புள்ளிகளுக்கு இடையிலான எண் வரியின் தூரம் என்ற உண்மையின் அடிப்படையில் ஒரு வடிவியல் முறையைப் பயன்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக, equ (| x-3 | \u003d 2 \\) சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, புள்ளி 3 இலிருந்து 2 தூரத்தில் உள்ள எண் வரியில் புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இதுபோன்ற இரண்டு புள்ளிகள் உள்ளன: \\ (x_1 \u003d 1 \\) மற்றும் \\ (x_2 \u003d 5 \\) ...

சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பது \\ (| 2x + 7 |

ஆனால் தொகுதிகளுடனான சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முக்கிய வழி "வரையறையின்படி தொகுதியின் விரிவாக்கம்" என்று அழைக்கப்படுகிறது.
\\ (a \\ geq 0 \\) என்றால், \\ (| a | \u003d a \\);
if \\ (a விதியாக, மாடுலியுடன் ஒரு சமன்பாடு (சமத்துவமின்மை) மட்டு அடையாளத்தைக் கொண்டிருக்காத சமன்பாடுகளின் தொகுப்பாக (ஏற்றத்தாழ்வுகள்) குறைக்கப்படுகிறது.

இந்த வரையறைக்கு கூடுதலாக, பின்வரும் அறிக்கைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:
1) \\ (c\u003e 0 \\) என்றால், \\ (| f (x) | \u003d c \\) சமன்பாடு சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு சமம்: \\ (\\ இடது [\\ தொடக்கம் (வரிசை) (எல்) எஃப் (எக்ஸ்) \u003d சி \\\\ 2) \\ (c\u003e 0 \\) என்றால், சமத்துவமின்மை \\ (| f (x) | 3) \\ (c \\ geq 0 \\) என்றால், சமத்துவமின்மை \\ (| f (x) |\u003e c \\) சமத்துவமின்மைகளின் தொகுப்பிற்கு சமம் : \\ (\\ இடது [\\ தொடக்கம் (வரிசை) (எல்) எஃப் (எக்ஸ்) சி \\ முடிவு (வரிசை) \\ வலது. \\)
4) சமத்துவமின்மையின் இருபுறமும் இருந்தால் \\ (f (x)
எடுத்துக்காட்டு 1. \\ (x ^ 2 +2 | x-1 | -6 \u003d 0 \\) சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும். \\ (X-1 \\ geq 0 \\) என்றால், \\ (| x-1 | \u003d x-1 \\) மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு வடிவத்தை எடுக்கும்

\\ (x ^ 2 +2 (x-1) -6 \u003d 0 \\ வலதுபுறம் x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\).
\\ (X-1 \\ (x ^ 2 -2 (x-1) -6 \u003d 0 \\ வலதுபுறம் x ^ 2 -2x -4 \u003d 0 \\) என்றால்.
இவ்வாறு, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு சுட்டிக்காட்டப்பட்ட இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் தனித்தனியாக கருதப்பட வேண்டும்.
1) Let (x-1 \\ geq 0 \\), அதாவது. \\ (x \\ geq 1 \\). X (x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\) சமன்பாட்டிலிருந்து \\ (x_1 \u003d 2, \\; x_2 \u003d -4 \\) ஐக் காண்கிறோம். X (x \\ geq 1 \\) என்ற நிலை value (x_1 \u003d 2 \\) மதிப்பால் மட்டுமே திருப்தி அடைகிறது.
2) \\ (x-1 பதில்: \\ (2; \\; \\; 1- \\ சதுரடி (5) Let)
எடுத்துக்காட்டு 2. equ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\) சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

முதல் வழி

(வரையறையின்படி தொகுதி விரிவாக்கம்). எடுத்துக்காட்டு 1 இல் உள்ளதைப் போல, இரண்டு நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு தனித்தனியாக கருதப்பட வேண்டும் என்ற முடிவுக்கு வருகிறோம்: \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\) அல்லது \\ (x ^ 2-6x + 7
1) \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\) என்றால், \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d x ^ 2-6x + 7 \\) மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு form (x ^ 2 -6x + 7 \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\ வலதுபுறம் 3x ^ 2-23x + 30 \u003d 0 \\). இந்த இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்போது, \u200b\u200bநாம் பெறுகிறோம்: \\ (x_1 \u003d 6, \\; x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\).

\\ (X_1 \u003d 6 \\) மதிப்பு the (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\) நிலையை பூர்த்திசெய்கிறதா என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, சதுர சமத்துவமின்மையில் குறிப்பிட்ட மதிப்பை மாற்றுகிறோம். நாம் பெறுகிறோம்: \\ (6 ^ 2-6 \\ cdot 6 + 7 \\ geq 0 \\), அதாவது. \\ (7 \\ geq 0 \\) உண்மையான சமத்துவமின்மை. எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் வேர் \\ (x_1 \u003d 6 \\) ஆகும்.
\\ (X_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) மதிப்பு condition (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\) என்ற நிலையை பூர்த்திசெய்கிறதா என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, சதுர சமத்துவமின்மையில் குறிப்பிட்ட மதிப்பை மாற்றுகிறோம். நாம் பெறுகிறோம்: \\ (\\ இடது (\\ frac (5) (3) \\ வலது) ^ 2 - \\ frac (5) (3) \\ cdot 6 + 7 \\ geq 0 \\), அதாவது. \\ (\\ frac (25) (9) -3 \\ geq 0 \\) - தவறான சமத்துவமின்மை. எனவே, \\ (x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல.
2) \\ (x ^ 2-6x + 7 மதிப்பு \\ (x_3 \u003d 3 \\) நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்தால் \\ (x ^ 2-6x + 7 மதிப்பு \\ (x_4 \u003d \\ frac (4) (3) \\) நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யாது \\ இரண்டாவது வழி.

\\ (| F (x) | \u003d h (x) \\) சமன்பாடு வழங்கப்பட்டால், \\ (h (x) \\ (\\ இடது [\\ தொடக்கம் (வரிசை) (l) x ^ 2-6x + 7 \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\\\ x ^ 2-6x + 7 \u003d - \\ frac (5x-9) (3) \\ end (array) \\ right. \\)

{!LANG-061aa38ec9ed7b83ddd9624d5d6b0943!}{!LANG-518b05545cc44de9058b99236c77dcfa!}
இந்த இரண்டு சமன்பாடுகளும் மேலே தீர்க்கப்பட்டன (கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்க முதல் வழி), அவற்றின் வேர்கள் பின்வருமாறு: \\ (6, \\; \\ frac (5) (3), \\; 3, \\; \\ frac (4) (3) \\). இந்த நான்கு மதிப்புகளின் \\ (\\ frac (5x-9) (3) \\ geq 0 \\) என்ற நிலை இரண்டு: 6 மற்றும் 3 ஆல் மட்டுமே திருப்தி அடைகிறது. எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு வேர்கள் உள்ளன: \\ (x \u003d 6, \\; x \u003d 3 \\ மூன்றாவது வழி

(கிராஃபிக்). 1) function (y \u003d | x ^ 2-6x + 7 | \\) செயல்பாட்டைத் திட்டமிடுவோம். முதலில், ஒரு பரவளையத்தை உருவாக்கவும் y (y \u003d x ^ 2-6x + 7 \\). எங்களிடம் \\ (x ^ 2-6x + 7 \u003d (x-3) ^ 2-2 \\) உள்ளது. \\ (Y \u003d (x-3) ^ 2-2 \\) செயல்பாட்டின் வரைபடம் function (y \u003d x ^ 2 \\) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திலிருந்து 3 அளவிலான அலகுகளை வலப்புறம் (x அச்சுடன்) மற்றும் 2 அளவிலான அலகுகளை கீழே மாற்றுவதன் மூலம் பெறலாம். y- அச்சில்). X \u003d 3 என்ற நேர் கோடு என்பது நாம் விரும்பும் பரபோலாவின் அச்சு. மிகவும் துல்லியமான சதித்திட்டத்திற்கான கட்டுப்பாட்டு புள்ளிகளாக, புள்ளியை (3; -2) எடுத்துக்கொள்வது வசதியானது - பரவளையத்தின் உச்சி, புள்ளி (0; 7) மற்றும் புள்ளி (6; 7) பரபோலா அச்சைப் பொறுத்தவரை அதற்கு சமச்சீர்.
இப்போது (y (| x- அச்சு பற்றி.
2) நேரியல் செயல்பாட்டை plot (y \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\) சதி செய்வோம். புள்ளிகளை (0; –3) மற்றும் (3; 2) கட்டுப்பாட்டு புள்ளிகளாக எடுத்துக்கொள்வது வசதியானது.
அப்சிஸ்ஸா அச்சுடன் நேர் கோட்டின் புள்ளி x \u003d 1.8 குறுக்குவெட்டு பராபோலாவின் குறுக்குவெட்டின் இடது புள்ளியின் வலதுபுறத்தில் அப்சிஸ்ஸா அச்சுடன் அமைந்திருப்பது அவசியம் - இது புள்ளி \\ (x \u003d 3- q சதுரடி (2) \\) (\\ (3- q சதுரடி (2 ) 3) வரைபடத்தின் அடிப்படையில் ஆராயும்போது, \u200b\u200bவரைபடங்கள் இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன - ஏ (3; 2) மற்றும் பி (6; 7) கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் இந்த புள்ளிகளின் x \u003d 3 மற்றும் x \u003d 6 ஆகியவற்றின் அப்சிசாக்களை மாற்றியமைத்து, இரண்டிற்கும் மற்றொரு மதிப்பு சரியான எண் சமத்துவத்தை அளிக்கிறது, அதாவது நமது கருதுகோள் உறுதிப்படுத்தப்பட்டுள்ளது - சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது: x \u003d 3 மற்றும் x \u003d 6. பதில்: 3; 6.

கருத்து

... வரைகலை முறை, அதன் அனைத்து அருளுக்கும், மிகவும் நம்பகமானதல்ல. கருதப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், சமன்பாட்டின் வேர்கள் முழு எண்ணாக இருப்பதால் மட்டுமே இது வேலை செய்தது.எடுத்துக்காட்டு 3. equ (| 2x-4 | + | x + 3 | \u003d 8 \\) சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

2x - 4 வெளிப்பாடு x \u003d 2 இல் 0 ஆகவும், x + 3 வெளிப்பாடு x \u003d –3 ஆகவும் மாறுகிறது. இந்த இரண்டு புள்ளிகள் எண் வரிசையை மூன்று இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கின்றன: \\ (x

(வரையறையின்படி தொகுதி விரிவாக்கம்).
முதல் இடைவெளியைக் கவனியுங்கள்: \\ ((- \\ infty; \\; -3) \\).

X என்றால் இரண்டாவது இடைவெளியைக் கவனியுங்கள்: \\ ([- 3; \\; 2) \\).
\\ (- 3 \\ leq x என்றால் மூன்றாவது இடைவெளியைக் கவனியுங்கள்: \\ (யு
எடுத்துக்காட்டு 2.

சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும் || x + 2 | - 3 |

முடிவு. ≤ 2.

இந்த சமத்துவமின்மை பின்வரும் முறைக்கு சமம்.

(| x + 2 | - 3 ≥ -2

(| x + 2 | - 3 ≤ 2,
(| x + 2 | 1
(| x + 2 | 5.
{!LANG-f4cbbff6e0d8c494436580529ee13b6d!}

அமைப்பின் முதல் சமத்துவமின்மையை தனித்தனியாக தீர்ப்போம். இது பின்வரும் மொத்தத்திற்கு சமம்:

யு [-1; 3].

2) ஒரு மாடுலஸின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது.

முதலில் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன் தொகுதி வரையறை.

| அ | \u003d a என்றால் a ≥ 0 மற்றும் | அ | \u003d -அ என்றால் ஒரு< 0.

உதாரணமாக, | 34 | \u003d 34, | -21 | \u003d - (- 21) \u003d 21.

எடுத்துக்காட்டு 1.

சமத்துவமின்மையை தீர்க்க 3 | x - 1 | ≤ x + 3.

இந்த சமத்துவமின்மை பின்வரும் முறைக்கு சமம்.

ஒரு தொகுதியின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, எங்களுக்கு இரண்டு அமைப்புகள் கிடைக்கின்றன:

(x - 1 0
(3 (x - 1) x + 3

(x - 1< 0
(-3 (x - 1) x + 3.

முதல் இரண்டாவது முறையைத் தனித்தனியாகத் தீர்ப்பது, நமக்கு கிடைக்கிறது:

(x 1
(x 3,

(எக்ஸ்< 1
(x 0.

அசல் சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு முதல் அமைப்பின் அனைத்து தீர்வுகளும் இரண்டாவது அமைப்பின் அனைத்து தீர்வுகளும் ஆகும்.

பதில்: x €.

3) சதுரத்தின் மூலம் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது.

எடுத்துக்காட்டு 1.

சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும் | x 2 - 1 |< | x 2 – x + 1|.

இந்த சமத்துவமின்மை பின்வரும் முறைக்கு சமம்.

சமத்துவமின்மையின் இருபுறமும் சதுரமாக இருப்போம். சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களும் நேர்மறையாக இருந்தால் மட்டுமே ஸ்கொயர் செய்ய முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்க. இந்த வழக்கில், இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் தொகுதிகள் உள்ளன, எனவே இதை நாம் செய்யலாம்.

(| x 2 - 1 |) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

இப்போது நாம் தொகுதியின் பின்வரும் சொத்தைப் பயன்படுத்துவோம்: (| x |) 2 \u003d x 2.

(x 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 - 1) 2 - (x 2 - x + 1) 2< 0.

(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,

(x - 2) (2x 2 - x)< 0,

x (x - 2) (2x - 1)< 0.

இடைவெளிகளின் முறையால் நாங்கள் தீர்க்கிறோம்.

பதில்: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) மாறிகளை மாற்றுவதன் மூலம் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தீர்வு.

உதாரணமாக.

சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும் (2x + 3) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30.

இந்த சமத்துவமின்மை பின்வரும் முறைக்கு சமம்.

(2x + 3) 2 \u003d (| 2x + 3 |) 2 என்பதை நினைவில் கொள்க. பின்னர் நாம் சமத்துவமின்மையைப் பெறுகிறோம்

(| 2x + 3 |) 2 - | 2x + 3 | 30.

மாற்றத்தை y \u003d | 2x + 3 | செய்வோம்.

கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளப்பட்ட மாற்றீட்டைக் கொண்டு நமது சமத்துவமின்மையை மீண்டும் எழுதுவோம்.

y 2 - y ≤ 30,

y 2 - y - 30 0.

இடதுபுறத்தில் சதுர முக்கோணத்தை காரணியாக்குவோம்.

y1 \u003d (1 + 11) / 2,

y2 \u003d (1 - 11) / 2,

(y - 6) (y + 5) ≤ 0.

இடைவெளிகளின் முறையால் தீர்க்கலாம் மற்றும் பெறுவோம்:

மாற்றுக்குச் செல்வோம்:

5 ≤ | 2x + 3 | 6.

இந்த இரட்டை சமத்துவமின்மை சமத்துவமின்மை முறைக்கு சமம்:

(| 2x + 3 | 6
(| 2x + 3 | ≥ -5.

ஒவ்வொரு ஏற்றத்தாழ்வுகளையும் தனித்தனியாக தீர்ப்போம்.

முதலாவது அமைப்புக்கு சமம்

(2x + 3 6
(2x + 3 ≥ -6.

அதைத் தீர்ப்போம்.

(x 1.5
(x ≥ -4.5.

இரண்டாவது சமத்துவமின்மை அனைத்து x க்கும் வெளிப்படையாக உள்ளது, ஏனெனில் மட்டு வரையறையால் நேர்மறையானது. கணினியின் தீர்வு அனைத்தும் ஒரே நேரத்தில் அமைப்பின் முதல் மற்றும் இரண்டாவது ஏற்றத்தாழ்வுகளை பூர்த்தி செய்யும் x என்பதால், அசல் அமைப்பிற்கான தீர்வு அதன் முதல் இரட்டை சமத்துவமின்மைக்கு தீர்வாக இருக்கும் (எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இரண்டாவது அனைத்து x க்கும் உண்மை).

பதில்: x € [-4.5; 1.5].

வலைப்பதிவு. தளம், பொருளின் முழு அல்லது பகுதியளவு நகலெடுப்பதன் மூலம், மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.