สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิต วิธีค้นหาและคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตสำหรับสอง

) และค่าเฉลี่ยตัวอย่าง (ตัวอย่าง)

วิทยาลัย YouTube

• 1 / 5

  ให้เราแสดงถึงชุดข้อมูล NS = (NS 1 , NS 2 , …, NS NS) จากนั้นค่าเฉลี่ยตัวอย่างจะถูกระบุโดยแถบแนวนอนเหนือตัวแปร (ออกเสียงว่า “ NSด้วยบรรทัด ")

  ตัวอักษรกรีก μ ใช้เพื่อแสดงถึงค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากรทั้งหมด สำหรับตัวแปรสุ่มที่ใช้หาค่าเฉลี่ย μ is ความหมายความน่าจะเป็นหรือการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม ถ้าชุด NSคือชุดของตัวเลขสุ่มที่มีค่าเฉลี่ยความน่าจะเป็น μ จากนั้นสำหรับตัวอย่างใดๆ NS ผมจากคอลเล็กชันนี้ μ = E ( NS ผม) คือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของกลุ่มตัวอย่างนี้

  ในทางปฏิบัติ ความแตกต่างระหว่าง μ และ x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x)))คือว่า μ เป็นตัวแปรทั่วไปเพราะคุณสามารถเห็นกลุ่มตัวอย่างมากกว่าประชากรทั้งหมด ดังนั้นหากตัวอย่างถูกนำเสนอแบบสุ่ม (ในแง่ของทฤษฎีความน่าจะเป็น) ดังนั้น x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x)))(แต่ไม่ใช่ μ) ถือเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็นในตัวอย่าง (การกระจายความน่าจะเป็นของค่าเฉลี่ย)

  ปริมาณทั้งสองนี้คำนวณในลักษณะเดียวกัน:

  x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) (\ displaystyle (\ bar (x)) = (\ frac (1) (n)) \ sum _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)).)

  ตัวอย่างของ

  • สำหรับตัวเลขสามตัว ให้บวกแล้วหารด้วย 3:
  x 1 + x 2 + x 3 3 (\ displaystyle (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3)) (3)))
  • สำหรับตัวเลขสี่ตัว ให้บวกแล้วหารด้วย 4:
  x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4. (\ displaystyle (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3) + x_ (4)) (4)))

  หรือมากกว่า 5 + 5 = 10, 10: 2 เนื่องจากเราบวกตัวเลข 2 ตัว ซึ่งหมายความว่าเราบวกจำนวนเท่าใด เราจึงหารด้วยจำนวนมาก

  ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

  f (x) ¯ [a; b] = 1 b - a ∫ abf (x) dx (\ displaystyle (\ overline (f (x))) _ () = (\ frac (1) (ba)) \ int _ (a) ^ (b) ฉ (x) dx)

  ปัญหาบางประการของการใช้ค่าเฉลี่ย

  ขาดความเข้มแข็ง

  แม้ว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตมักถูกใช้เป็นค่าเฉลี่ยหรือแนวโน้มกลาง แต่ก็ไม่ใช่สถิติที่แข็งแกร่ง ซึ่งหมายความว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้รับอิทธิพลอย่างมากจาก "ส่วนเบี่ยงเบนมาก" เป็นที่น่าสังเกตว่าสำหรับการแจกแจงที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้มาก ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอาจไม่สอดคล้องกับแนวคิดของ "ค่าเฉลี่ย" และค่าเฉลี่ยจากสถิติที่แข็งแกร่ง (เช่น ค่ามัธยฐาน) อาจอธิบายแนวโน้มศูนย์กลางได้ดีกว่า

  ตัวอย่างคลาสสิกคือการคำนวณรายได้เฉลี่ย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอาจตีความผิดว่าเป็นค่ามัธยฐาน ซึ่งอาจนำไปสู่ข้อสรุปว่ามีคนที่มีรายได้สูงกว่าที่เป็นจริงมากกว่าที่เป็นจริง รายได้ “เฉลี่ย” ตีความในลักษณะที่รายได้ของคนส่วนใหญ่ใกล้เคียงกับตัวเลขนี้ รายได้ "เฉลี่ย" (ในแง่ของค่าเฉลี่ยเลขคณิต) นี้สูงกว่ารายได้ของคนส่วนใหญ่ เนื่องจากรายได้สูงโดยมีค่าเบี่ยงเบนมากจากค่าเฉลี่ยทำให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเบ้อย่างแรง (ในทางตรงกันข้าม รายได้มัธยฐาน "ต่อต้าน" อคติดังกล่าว) อย่างไรก็ตาม รายได้ "เฉลี่ย" นี้ไม่ได้กล่าวถึงจำนวนคนที่ใกล้เคียงกับรายได้มัธยฐาน อย่างไรก็ตาม หากคุณใช้แนวคิดเรื่อง "ค่าเฉลี่ย" และ "คนส่วนใหญ่" เพียงเล็กน้อย คุณก็อาจสรุปผิดได้ว่าคนส่วนใหญ่มีรายได้สูงกว่าที่เป็นจริง ตัวอย่างเช่น รายงานรายได้สุทธิ "เฉลี่ย" ในเมืองเมดินา รัฐวอชิงตัน ซึ่งคำนวณเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายได้สุทธิประจำปีของผู้อยู่อาศัยทั้งหมด จะให้ตัวเลขที่มากอย่างน่าประหลาดใจเนื่องจากบิล เกตส์ พิจารณาตัวอย่าง (1, 2, 2, 2, 3, 9) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ 3.17 แต่ค่าห้าในหกค่าต่ำกว่าค่าเฉลี่ยนี้

  ดอกเบี้ยทบต้น

  ถ้าตัวเลข คูณ, แต่ไม่ พับคุณต้องใช้ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ไม่ใช่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เหตุการณ์นี้ส่วนใหญ่มักเกิดขึ้นเมื่อคำนวณผลตอบแทนจากการลงทุนทางการเงิน

  ตัวอย่างเช่น หากหุ้นลดลง 10% ในปีแรกและเพิ่มขึ้น 30% ในปีที่สอง การคำนวณ "ค่าเฉลี่ย" ที่เพิ่มขึ้นในช่วงสองปีนี้เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิต (-10% + 30%) ก็ไม่ถูกต้อง / 2 = 10%; ค่าเฉลี่ยที่ถูกต้องในกรณีนี้มาจากอัตราการเติบโตสะสมประจำปี ซึ่งการเติบโตประจำปีอยู่ที่ประมาณ 8.16653826392% ≈ 8.2% เท่านั้น

  เหตุผลก็คือเปอร์เซ็นต์มีจุดเริ่มต้นใหม่ทุกครั้ง: 30% คือ 30% จากจำนวนที่น้อยกว่าราคาเมื่อต้นปีแรก:หากราคาหุ้นอยู่ที่ 30 ดอลลาร์ในตอนเริ่มต้นและร่วงลง 10% จะอยู่ที่ 27 ดอลลาร์ในช่วงต้นปีที่สอง หากหุ้นขึ้น 30% จะมีมูลค่า 35.1 ดอลลาร์ ณ สิ้นปีที่สอง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการเติบโตนี้คือ 10% แต่เนื่องจากหุ้นมีเพียง 5.1 ดอลลาร์ใน 2 ปี การเพิ่มขึ้นเฉลี่ย 8.2% ให้ผลลัพธ์สุดท้ายที่ 35.1 ดอลลาร์:

  [$ 30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $ 30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $ 35.1] หากเราใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 10% ในลักษณะเดียวกัน เราจะไม่ได้ค่าจริง: [$ 30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = 36.3]

  ดอกเบี้ยทบต้น ณ สิ้นปี 2: 90% * 130% = 117% นั่นคือเพิ่มขึ้นทั้งหมด 17% และดอกเบี้ยทบต้นเฉลี่ยต่อปี 117% ≈ 108.2% (\ displaystyle (\ sqrt (117 \%)) \ ประมาณ 108.2 \%)นั่นคือการเพิ่มขึ้นเฉลี่ย 8.2% ต่อปี .. ตัวเลขนี้ไม่ถูกต้องด้วยเหตุผลสองประการ

  ค่าเฉลี่ยสำหรับตัวแปรไซคลิก ซึ่งคำนวณโดยใช้สูตรข้างต้น จะถูกเปลี่ยนจากค่าเฉลี่ยจริงไปเป็นค่ากลางของช่วงตัวเลข ด้วยเหตุนี้ ค่าเฉลี่ยจึงถูกคำนวณด้วยวิธีที่ต่างออกไป กล่าวคือ ตัวเลขที่มีความแปรปรวนน้อยที่สุด (จุดศูนย์กลาง) จะถูกเลือกเป็นค่าเฉลี่ย นอกจากนี้ แทนที่จะลบ ระยะทางโมดูลาร์ (นั่นคือ ระยะทางเส้นรอบวง) จะถูกใช้แทน ตัวอย่างเช่น ระยะห่างโมดูลาร์ระหว่าง 1 ° ถึง 359 ° คือ 2 ° ไม่ใช่ 358 ° (บนวงกลมระหว่าง 359 ° ถึง 360 ° == 0 ° - หนึ่งองศา ระหว่าง 0 ° ถึง 1 ° - รวมเป็น 1 °ด้วย - 2 °).

  ในการค้นหาค่าเฉลี่ยใน Excel (ไม่สำคัญว่าจะเป็นตัวเลข ข้อความ เปอร์เซ็นต์ หรือค่าอื่นๆ) มีฟังก์ชันมากมาย และแต่ละคนมีลักษณะและข้อดีของตัวเอง แน่นอน ในงานนี้ สามารถกำหนดเงื่อนไขบางอย่างได้

  ตัวอย่างเช่น ค่าเฉลี่ยของชุดตัวเลขใน Excel คำนวณโดยใช้ฟังก์ชันทางสถิติ คุณยังสามารถป้อนสูตรของคุณเองได้ ลองพิจารณาตัวเลือกต่างๆ

  จะหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขได้อย่างไร?

  การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต ให้บวกตัวเลขทั้งหมดในเซตแล้วหารผลรวมด้วยตัวเลข ตัวอย่างเช่น คะแนนของนักเรียนในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์: 3, 4, 3, 5, 5. อะไรที่มากกว่าหนึ่งในสี่: 4. เราพบค่าเฉลี่ยเลขคณิตจากสูตร: = (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.

  วิธีการทำอย่างรวดเร็วด้วยฟังก์ชัน Excel? ยกตัวอย่าง ชุดของตัวเลขสุ่มในสตริง:

  

  หรือ: ทำให้เซลล์ทำงานและเพียงแค่ป้อนสูตรด้วยตนเอง: = AVERAGE (A1: A8)

  ตอนนี้เรามาดูกันว่าฟังก์ชัน AVERAGE สามารถทำอะไรได้อีก

  
  

  หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขสองตัวแรกและสามตัวสุดท้าย สูตร: = ค่าเฉลี่ย (A1: B1; F1: H1) ผลลัพธ์:

  

  ค่าเฉลี่ยตามเงื่อนไข

  เงื่อนไขในการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตอาจเป็นเกณฑ์ตัวเลขหรือข้อความก็ได้ เราจะใช้ฟังก์ชัน: = AVERAGEIF ()

  หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขที่มากกว่าหรือเท่ากับ 10

  ฟังก์ชัน: = AVERAGEIF (A1: A8, "> = 10")

  
  ผลลัพธ์ของการใช้ฟังก์ชัน AVERAGEIF โดยเงื่อนไข "> = 10":

  อาร์กิวเมนต์ที่สาม - "ช่วงเฉลี่ย" - ถูกละไว้ ขั้นแรกให้เป็นทางเลือก ประการที่สอง ช่วงที่โปรแกรมวิเคราะห์ประกอบด้วยค่าตัวเลขเท่านั้น เซลล์ที่ระบุในอาร์กิวเมนต์แรกจะถูกค้นหาโดยเงื่อนไขที่ระบุในอาร์กิวเมนต์ที่สอง

  ความสนใจ! เกณฑ์การค้นหาสามารถระบุได้ในเซลล์ และในสูตรให้ทำลิงค์ไป

  ลองหาค่าเฉลี่ยของตัวเลขตามเกณฑ์ข้อความ ตัวอย่างเช่น ยอดขายเฉลี่ยของผลิตภัณฑ์ "โต๊ะ"

  

  ฟังก์ชันจะมีลักษณะดังนี้: = AVERAGEIF ($ A $ 2: $ A $ 12; A7; $ B $ 2: $ B $ 12) ช่วง - คอลัมน์ที่มีชื่อผลิตภัณฑ์ เกณฑ์การค้นหาคือลิงก์ไปยังเซลล์ที่มีคำว่า "tables" (คุณสามารถแทรกคำว่า "tables" แทนลิงก์ A7) ช่วงค่าเฉลี่ย - เซลล์เหล่านั้นที่จะนำข้อมูลมาคำนวณค่าเฉลี่ย

  จากการคำนวณฟังก์ชันเราได้รับค่าต่อไปนี้:

  

  ความสนใจ! สำหรับเกณฑ์ข้อความ (เงื่อนไข) ต้องระบุช่วงการเฉลี่ย

  วิธีการคำนวณราคาเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักใน Excel?

  

  เราทราบราคาถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักได้อย่างไร

  สูตร: = SUMPRODUCT (C2: C12; B2: B12) / SUM (C2: C12)

  
  

  โดยใช้สูตร SUMPRODUCT เราจะหารายได้รวมหลังการขายของปริมาณสินค้าทั้งหมด และฟังก์ชัน SUM จะสรุปปริมาณสินค้า โดยการหารรายได้รวมจากการขายผลิตภัณฑ์ด้วยจำนวนหน่วยของผลิตภัณฑ์ เราพบราคาถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก ตัวบ่งชี้นี้คำนึงถึง "น้ำหนัก" ของแต่ละราคา ส่วนแบ่งในมวลรวมของค่า

  ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน: สูตรใน Excel

  แยกแยะความแตกต่างระหว่างค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับประชากรทั่วไปและสำหรับกลุ่มตัวอย่าง ในกรณีแรก มันคือรากของความแปรปรวนทั่วไป ในวินาที จากความแปรปรวนตัวอย่าง

  ในการคำนวณสถิตินี้ จะมีการรวบรวมสูตรความแปรปรวน รากถูกสกัดจากมัน แต่ Excel มีฟังก์ชันสำเร็จรูปสำหรับค้นหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

  
  

  ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเชื่อมโยงกับมาตราส่วนของข้อมูลดั้งเดิม นี้ไม่เพียงพอสำหรับการแสดงเป็นรูปเป็นร่างของการแปรผันของช่วงที่วิเคราะห์ ค่าสัมประสิทธิ์การแปรผันคำนวณเพื่อให้ได้ระดับสัมพัทธ์ของความแปรปรวนของข้อมูล:

  ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน / ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

  สูตรใน Excel มีลักษณะดังนี้:

  STDEVP (ช่วงค่า) / AVERAGE (ช่วงค่า)

  ค่าสัมประสิทธิ์การแปรผันคำนวณเป็นเปอร์เซ็นต์ ดังนั้นเราจึงกำหนดรูปแบบเปอร์เซ็นต์ในเซลล์

  ในวิชาคณิตศาสตร์ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลข (หรือแค่ค่าเฉลี่ย) คือผลรวมของตัวเลขทั้งหมดในเซตที่กำหนด หารด้วยตัวเลข นี่เป็นแนวคิดทั่วไปและแพร่หลายที่สุดเกี่ยวกับขนาดเฉลี่ย ตามที่คุณเข้าใจแล้ว ในการหาคุณต้องสรุปตัวเลขทั้งหมดที่คุณได้รับ แล้วหารผลลัพธ์ด้วยจำนวนเทอม

  ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคืออะไร?

  ลองมาดูตัวอย่างกัน

  ตัวอย่าง 1... ให้ตัวเลข: 6, 7, 11 คุณต้องหาค่าเฉลี่ยของพวกเขา

  สารละลาย.

  อันดับแรก หาผลรวมของตัวเลขเหล่านี้กันก่อน

  ทีนี้ลองหารผลรวมที่เป็นผลลัพธ์ด้วยจำนวนเทอมกัน เนื่องจากเรามีเทอมสามเทอม ตามลำดับ เราจะหารด้วยสาม

  ดังนั้นค่าเฉลี่ยของ 6, 7 และ 11 คือ 8 ทำไม 8? เพราะผลรวมของ 6, 7 และ 11 จะเท่ากับสามแปด สิ่งนี้เห็นได้ชัดเจนในภาพประกอบ

  ค่าเฉลี่ยค่อนข้างคล้ายกับ "การจัดตำแหน่ง" ของชุดตัวเลข อย่างที่คุณเห็น กองดินสอกลายเป็นระดับหนึ่งแล้ว

  ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่งเพื่อรวบรวมความรู้ที่ได้รับ

  ตัวอย่างที่ 2ตัวเลขที่กำหนด: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29 คุณต้องหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

  สารละลาย.

  เราหาจำนวนเงิน

  3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

  หารด้วยจำนวนเทอม (ในกรณีนี้ - 15)

  ดังนั้น ค่าเฉลี่ยของชุดตัวเลขนี้คือ 22

  ทีนี้มาดูจำนวนลบกัน มาจำวิธีการสรุปพวกเขา ตัวอย่างเช่น คุณมีตัวเลข 1 และ -4 สองตัว ลองหาผลรวมของพวกเขา

  1 + (-4) = 1 - 4 = -3

  เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ ให้พิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง

  ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าเฉลี่ยของชุดตัวเลข: 3, -7, 5, 13, -2

  สารละลาย.

  หาผลรวมของตัวเลข

  3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

  เนื่องจากมี 5 เทอม เราจึงหารผลรวมที่ได้เป็น 5

  ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลข 3, -7, 5, 13, -2 คือ 2.4

  

  ในช่วงเวลาแห่งความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีของเรา การใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์เพื่อค้นหาค่าเฉลี่ยจะสะดวกกว่ามาก Microsoft Office Excel เป็นหนึ่งในนั้น การหาค่าเฉลี่ยใน Excel ทำได้ง่ายและรวดเร็ว นอกจากนี้ โปรแกรมนี้ยังรวมอยู่ในแพ็คเกจซอฟต์แวร์ Microsoft Office พิจารณาคำแนะนำสั้น ๆ ซึ่งหมายถึงการใช้โปรแกรมนี้

  ในการคำนวณค่าเฉลี่ยของชุดตัวเลข คุณต้องใช้ฟังก์ชัน AVERAGE ไวยากรณ์สำหรับฟังก์ชันนี้คือ:
  = ค่าเฉลี่ย (อาร์กิวเมนต์1,อาร์กิวเมนต์2,...อาร์กิวเมนต์255)
  โดยที่อาร์กิวเมนต์ 1 อาร์กิวเมนต์ 2 ... อาร์กิวเมนต์255 เป็นตัวเลขหรือการอ้างอิงเซลล์ (เซลล์หมายถึงช่วงและอาร์เรย์)

  เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ให้ลองใช้ความรู้ที่ได้รับ

  

  1. ป้อนตัวเลข 11, 12, 13, 14, 15, 16 ในเซลล์ C1 - C6
  2. เลือกเซลล์ C7 โดยคลิกที่เซลล์ ในเซลล์นี้ เราจะแสดงค่าเฉลี่ย
  3. คลิกที่แท็บสูตร
  4. เลือกฟังก์ชั่นเพิ่มเติม> สถิติที่จะเปิด
  5. เลือกเฉลี่ย หลังจากนั้น กล่องโต้ตอบควรเปิดขึ้น
  6. เลือกและลากเซลล์ C1-C6 ไปที่นั่นเพื่อกำหนดช่วงในกล่องโต้ตอบ
  7. ยืนยันการกระทำของคุณด้วยปุ่ม "ตกลง"
  8. หากคุณทำทุกอย่างถูกต้อง ในเซลล์ C7 คุณควรมีคำตอบ - 13.7 เมื่อคุณคลิกที่เซลล์ C7 ฟังก์ชัน (= ค่าเฉลี่ย (C1: C6)) จะแสดงในแถบสูตร

  สะดวกมากที่จะใช้ฟังก์ชันนี้สำหรับการบัญชี การออกใบแจ้งหนี้ หรือเมื่อคุณต้องการหาค่าเฉลี่ยของชุดตัวเลขที่ยาวมาก ดังนั้นจึงมักใช้ในสำนักงานและบริษัทขนาดใหญ่ วิธีนี้ช่วยให้คุณเก็บบันทึกตามลำดับและทำให้สามารถคำนวณบางอย่างได้อย่างรวดเร็ว (เช่น รายได้เฉลี่ยต่อเดือน) นอกจากนี้ เมื่อใช้ Excel คุณสามารถค้นหาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันได้

  เด็กสามคนไปที่ป่าเพื่อเก็บผลเบอร์รี่ ลูกสาวคนโตพบผลเบอร์รี่ 18 ลูก ลูกกลาง - 15 ลูก และน้องชาย 3 ลูก (ดูรูปที่ 1) พวกเขานำผลเบอร์รี่ไปให้แม่ของฉันซึ่งตัดสินใจแบ่งผลเบอร์รี่อย่างเท่าเทียมกัน เด็กแต่ละคนได้รับผลเบอร์รี่กี่ลูก?

  ข้าว. 1. ภาพประกอบสำหรับปัญหา

  สารละลาย

  (yag.) - เด็ก ๆ เก็บทุกอย่าง

  2) หารจำนวนผลเบอร์รี่ทั้งหมดด้วยจำนวนลูก:

  (yag.) มีลูกทุกคน

  ตอบ: เด็กแต่ละคนจะได้รับ 12 เบอร์รี่

  ในโจทย์ที่ 1 ตัวเลขที่ได้จากคำตอบคือค่าเฉลี่ยเลขคณิต

  ค่าเฉลี่ยเลขคณิตตัวเลขหลายตัวเรียกว่าผลหารของการหารผลรวมของตัวเลขเหล่านี้ด้วยจำนวนของพวกเขา

  ตัวอย่าง 1

  เรามีตัวเลขสองตัว: 10 และ 12 หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

  สารละลาย

  1) กำหนดผลรวมของตัวเลขเหล่านี้:.

  2) จำนวนตัวเลขเหล่านี้คือ 2 ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขเหล่านี้คือ:

  ตอบ: ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ 10 และ 12 คือ 11

  ตัวอย่างที่ 2

  เรามีตัวเลขห้าตัว: 1, 2, 3, 4 และ 5 หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

  สารละลาย

  1) ผลรวมของตัวเลขเหล่านี้คือ:.

  2) ตามคำจำกัดความ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือผลหารของการหารผลรวมของตัวเลขด้วยจำนวน เรามีตัวเลขห้าตัว ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ:

  ตอบ: ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลในเงื่อนไขของตัวเลขคือ 3

  นอกเหนือจากข้อเท็จจริงที่พบว่ามีการแนะนำในห้องเรียนอย่างต่อเนื่อง การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตนั้นมีประโยชน์มากในชีวิตประจำวัน ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราต้องการไปเที่ยวพักผ่อนที่กรีซ ในการเลือกเสื้อผ้าที่ใช่ เราดูที่อุณหภูมิปัจจุบันในประเทศนี้ อย่างไรก็ตาม เราไม่ทราบภาพรวมของสภาพอากาศ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องค้นหาอุณหภูมิอากาศในกรีซ เช่น เป็นเวลาหนึ่งสัปดาห์ และหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอุณหภูมิเหล่านี้

  ตัวอย่างที่ 3

  อุณหภูมิใน ประเทศกรีซ สำหรับสัปดาห์: วันจันทร์ -; วันอังคาร - ; วันพุธ -; วันพฤหัสบดี - ; วันศุกร์ - ; วันเสาร์ - ; วันอาทิตย์ - . คำนวณอุณหภูมิเฉลี่ยสำหรับสัปดาห์

  สารละลาย

  1) ลองคำนวณผลรวมของอุณหภูมิ:.

  2) หารจำนวนเงินที่ได้รับด้วยจำนวนวัน:.

  ตอบ: อุณหภูมิเฉลี่ยรายสัปดาห์โดยประมาณ

  ความสามารถในการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตยังจำเป็นในการกำหนดอายุเฉลี่ยของผู้เล่นในทีมฟุตบอล นั่นคือ เพื่อที่จะกำหนดว่าทีมนั้นมีประสบการณ์หรือไม่ จำเป็นต้องสรุปอายุของผู้เล่นทุกคนและหารด้วยจำนวนของพวกเขา

  งาน2

  พ่อค้ากำลังขายแอปเปิ้ล ตอนแรกเขาขายในราคา 85 รูเบิลต่อ 1 กิโลกรัม เขาจึงขาย 12 กก. จากนั้นเขาก็ลดราคาเหลือ 65 รูเบิลและขายแอปเปิ้ลที่เหลืออีก 4 กิโลกรัม ราคาเฉลี่ยของแอปเปิ้ลคืออะไร?

  สารละลาย

  1) ลองคำนวณจำนวนเงินที่ผู้ค้าได้รับทั้งหมด เขาขาย 12 กิโลกรัมในราคา 85 รูเบิลต่อ 1 กิโลกรัม: (ถู.).

  เขาขาย 4 กิโลกรัมในราคา 65 รูเบิลต่อ 1 กิโลกรัม: (รูเบิล)

  ดังนั้นจำนวนเงินทั้งหมดที่ได้รับจะเท่ากับ: (รูเบิล)

  2) น้ำหนักแอปเปิ้ลที่ขายได้ทั้งหมดคือ:.

  3) หารจำนวนเงินที่ได้รับด้วยน้ำหนักรวมของแอปเปิ้ลที่ขายและรับราคาเฉลี่ยสำหรับแอปเปิ้ล 1 กิโลกรัม: (รูเบิล)

  ตอบ: ราคาเฉลี่ยของแอปเปิ้ล 1 กิโลกรัมที่ขายได้คือ 80 รูเบิล

  ค่าเฉลี่ยเลขคณิตช่วยให้คุณประเมินข้อมูลโดยรวมโดยไม่ต้องแยกค่าแต่ละค่าแยกกัน

  อย่างไรก็ตาม ไม่สามารถใช้แนวคิดของค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้เสมอไป

  ตัวอย่างที่ 4

  มือปืนยิงไปที่เป้าหมายสองนัด (ดูรูปที่ 2): ครั้งแรกที่เขายิงได้สูงกว่าเป้าหมายหนึ่งเมตร และนัดที่สองต่ำกว่าเป้าหมายหนึ่งเมตร ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะแสดงว่าเขาตีจุดศูนย์กลางที่แน่นอนแม้ว่าเขาจะพลาดทั้งสองครั้งก็ตาม

  

  ข้าว. 2. ภาพประกอบเช่น

  ในบทเรียนนี้ เราได้ทำความคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องค่าเฉลี่ยเลขคณิต เราได้เรียนรู้คำจำกัดความของแนวคิดนี้ เรียนรู้วิธีคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตสำหรับตัวเลขหลายตัว นอกจากนี้เรายังได้เรียนรู้การประยุกต์ใช้แนวคิดนี้ในทางปฏิบัติ

  1. น. ย่า. วิเลนกิน. คณิตศาสตร์: หนังสือเรียน. สำหรับ 5 ซล. ทั่วไป อุ๊ย - เอ็ด วันที่ 17 - M.: Mnemosina, 2005.
  )
  2. อิกอร์มี 45 รูเบิลกับเขา Andrey - 28 และ Denis - 17
  3. ด้วยเงินทั้งหมดของพวกเขา พวกเขาซื้อตั๋วหนัง 3 ใบ ตั๋วหนึ่งใบราคาเท่าไหร่?

  เมื่อจำนวนขององค์ประกอบของชุดตัวเลขของกระบวนการสุ่มแบบคงที่มีแนวโน้มเป็นอนันต์ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีแนวโน้มที่จะคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม

  บทนำ

  เราหมายถึงชุดของตัวเลข NS = (NS 1 , NS 2 , …, NS NS) จากนั้นค่าเฉลี่ยตัวอย่างจะถูกระบุโดยแถบแนวนอนเหนือตัวแปร (ออกเสียงว่า “ NSด้วยบรรทัด ")

  ตัวอักษรกรีก μ มักใช้เพื่อแสดงถึงค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขทั้งชุด สำหรับตัวแปรสุ่มที่ใช้หาค่าเฉลี่ย μ is ความหมายความน่าจะเป็นหรือการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม ถ้าชุด NSคือชุดของตัวเลขสุ่มที่มีค่าเฉลี่ยความน่าจะเป็น μ จากนั้นสำหรับตัวอย่างใดๆ NS ผมจากคอลเล็กชันนี้ μ = E ( NS ผม) คือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของกลุ่มตัวอย่างนี้

  ในทางปฏิบัติ ความแตกต่างระหว่าง μ และ x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x)))คือว่า μ เป็นตัวแปรทั่วไปเพราะคุณสามารถเห็นกลุ่มตัวอย่างมากกว่าประชากรทั้งหมด ดังนั้นหากตัวอย่างถูกนำเสนอแบบสุ่ม (ในแง่ของทฤษฎีความน่าจะเป็น) ดังนั้น x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x)))(แต่ไม่ใช่ μ) ถือเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็นในตัวอย่าง (การกระจายความน่าจะเป็นของค่าเฉลี่ย)

  ปริมาณทั้งสองนี้คำนวณในลักษณะเดียวกัน:

  x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) (\ displaystyle (\ bar (x)) = (\ frac (1) (n)) \ sum _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)).)

  ตัวอย่างของ

  • สำหรับตัวเลขสามตัว ให้บวกแล้วหารด้วย 3:
  x 1 + x 2 + x 3 3 (\ displaystyle (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3)) (3)))
  • สำหรับตัวเลขสี่ตัว ให้บวกแล้วหารด้วย 4:
  x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4. (\ displaystyle (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3) + x_ (4)) (4)))

  ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

  หากมีอินทิกรัลของฟังก์ชันบางอย่าง f (x) (\ displaystyle f (x))หนึ่งตัวแปร แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตของฟังก์ชันนี้ในเซ็กเมนต์ [NS; b] (\ displaystyle)กำหนดในแง่ของอินทิกรัลแน่นอน:

  f (x) ¯ [a; b] = 1 b - a ∫ a b f (x) d x. (\ displaystyle (\ overline (f (x))) _ () = (\ frac (1) (b-a)) \ int _ (a) ^ (b) f (x) dx.)

  นี่ก็หมายความว่า ข> ก. (\ displaystyle b> ก.)

  ปัญหาบางประการของการใช้ค่าเฉลี่ย

  ขาดความเข้มแข็ง

  แม้ว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตมักถูกใช้เป็นค่าเฉลี่ยหรือแนวโน้มศูนย์กลาง แต่ก็ไม่ใช่สถิติที่แข็งแกร่ง ซึ่งหมายความว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้รับอิทธิพลอย่างมากจาก "ส่วนเบี่ยงเบนมาก" เป็นที่น่าสังเกตว่าสำหรับการแจกแจงที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้มาก ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอาจไม่สอดคล้องกับแนวคิดของ "ค่าเฉลี่ย" และค่าเฉลี่ยจากสถิติที่แข็งแกร่ง (เช่น ค่ามัธยฐาน) อาจอธิบายแนวโน้มศูนย์กลางได้ดีกว่า

  ตัวอย่างคลาสสิกคือการคำนวณรายได้เฉลี่ย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอาจตีความผิดว่าเป็นค่ามัธยฐาน ซึ่งอาจนำไปสู่ข้อสรุปว่ามีคนที่มีรายได้สูงกว่าที่เป็นจริงมากกว่าที่เป็นจริง รายได้ “เฉลี่ย” ตีความในลักษณะที่รายได้ของคนส่วนใหญ่ใกล้เคียงกับตัวเลขนี้ รายได้ "เฉลี่ย" (ในแง่ของค่าเฉลี่ยเลขคณิต) นี้สูงกว่ารายได้ของคนส่วนใหญ่ เนื่องจากรายได้สูงโดยมีค่าเบี่ยงเบนมากจากค่าเฉลี่ยทำให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเบ้อย่างแรง (ในทางตรงกันข้าม รายได้มัธยฐาน "ต่อต้าน" อคติดังกล่าว) อย่างไรก็ตาม รายได้ "เฉลี่ย" นี้ไม่ได้กล่าวถึงจำนวนคนที่ใกล้เคียงกับรายได้มัธยฐาน อย่างไรก็ตาม หากคุณใช้แนวคิดเรื่อง "ค่าเฉลี่ย" และ "คนส่วนใหญ่" เพียงเล็กน้อย คุณก็อาจสรุปผิดได้ว่าคนส่วนใหญ่มีรายได้สูงกว่าที่เป็นจริง ตัวอย่างเช่น รายงานรายได้สุทธิ "เฉลี่ย" ในเมืองเมดินา รัฐวอชิงตัน ซึ่งคำนวณเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายได้สุทธิประจำปีของผู้อยู่อาศัยทั้งหมด จะให้ตัวเลขที่มากอย่างน่าประหลาดใจเนื่องจากบิล เกตส์ พิจารณาตัวอย่าง (1, 2, 2, 2, 3, 9) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ 3.17 แต่ค่าห้าในหกค่าต่ำกว่าค่าเฉลี่ยนี้

  ดอกเบี้ยทบต้น

  ถ้าตัวเลข คูณ, แต่ไม่ พับคุณต้องใช้ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ไม่ใช่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เหตุการณ์นี้ส่วนใหญ่มักเกิดขึ้นเมื่อคำนวณผลตอบแทนจากการลงทุนทางการเงิน

  ตัวอย่างเช่น หากหุ้นลดลง 10% ในปีแรกและเพิ่มขึ้น 30% ในปีที่สอง การคำนวณ "ค่าเฉลี่ย" ที่เพิ่มขึ้นในช่วงสองปีนี้เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิต (-10% + 30%) ก็ไม่ถูกต้อง / 2 = 10%; ค่าเฉลี่ยที่ถูกต้องในกรณีนี้มาจากอัตราการเติบโตสะสมประจำปี ซึ่งการเติบโตประจำปีอยู่ที่ประมาณ 8.16653826392% ≈ 8.2% เท่านั้น

  เหตุผลก็คือเปอร์เซ็นต์มีจุดเริ่มต้นใหม่ทุกครั้ง: 30% คือ 30% จากจำนวนที่น้อยกว่าราคาเมื่อต้นปีแรก:หากราคาหุ้นอยู่ที่ 30 ดอลลาร์ในตอนเริ่มต้นและร่วงลง 10% จะอยู่ที่ 27 ดอลลาร์ในช่วงต้นปีที่สอง หากหุ้นขึ้น 30% จะมีมูลค่า 35.1 ดอลลาร์ ณ สิ้นปีที่สอง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการเติบโตนี้คือ 10% แต่เนื่องจากหุ้นมีเพียง 5.1 ดอลลาร์ใน 2 ปี การเพิ่มขึ้นเฉลี่ย 8.2% ให้ผลลัพธ์สุดท้ายที่ 35.1 ดอลลาร์:

  [$ 30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $ 30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $ 35.1] หากเราใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 10% ในลักษณะเดียวกัน เราจะไม่ได้ค่าจริง: [$ 30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = 36.3]

  ดอกเบี้ยทบต้น ณ สิ้นปี 2: 90% * 130% = 117% นั่นคือเพิ่มขึ้นทั้งหมด 17% และดอกเบี้ยทบต้นเฉลี่ยต่อปี 117% ≈ 108.2% (\ displaystyle (\ sqrt (117 \%)) \ ประมาณ 108.2 \%)นั่นคือการเติบโตเฉลี่ย 8.2% ต่อปี

  ทิศทาง

  บทความหลัก: สถิติปลายทาง

  เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวแปรบางตัวที่เปลี่ยนแปลงตามวัฏจักร (เช่น เฟสหรือมุม) ควรระมัดระวังเป็นพิเศษ ตัวอย่างเช่น ค่าเฉลี่ยของตัวเลข 1 และ 359 จะเป็น 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +359 ^ (\ circ)) (2)) =) 180. ตัวเลขนี้ไม่ถูกต้องด้วยเหตุผลสองประการ

  ค่าเฉลี่ยสำหรับตัวแปรไซคลิก ซึ่งคำนวณโดยใช้สูตรข้างต้น จะถูกเปลี่ยนจากค่าเฉลี่ยจริงไปเป็นค่ากลางของช่วงตัวเลข ด้วยเหตุนี้ ค่าเฉลี่ยจึงถูกคำนวณด้วยวิธีที่ต่างออกไป กล่าวคือ ตัวเลขที่มีความแปรปรวนน้อยที่สุด (จุดศูนย์กลาง) จะถูกเลือกเป็นค่าเฉลี่ย นอกจากนี้ แทนที่จะลบ ระยะทางโมดูลาร์ (นั่นคือ ระยะทางเส้นรอบวง) จะถูกใช้แทน ตัวอย่างเช่น ระยะห่างโมดูลาร์ระหว่าง 1 ° ถึง 359 ° คือ 2 ° ไม่ใช่ 358 ° (บนวงกลมระหว่าง 359 ° ถึง 360 ° == 0 ° - หนึ่งองศา ระหว่าง 0 ° ถึง 1 ° - รวมเป็น 1 °ด้วย - 2 °).