การคำนวณความยาวของส่วนโค้งวงกลมตามรัศมี เรขาคณิตวงกลม
วงกลม ชิ้นส่วน ขนาด และความสัมพันธ์เป็นสิ่งที่นักอัญมณีต้องเผชิญอยู่ตลอดเวลา แหวน กำไล วรรณะ ท่อ ลูกบอล เกลียว - ต้องทำของทรงกลมมากมาย คุณจะคำนวณทั้งหมดนี้ได้อย่างไร โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณโชคดีพอที่จะโดดเรียนวิชาเรขาคณิตที่โรงเรียนได้?..
ก่อนอื่นเรามาดูกันว่าวงกลมมีส่วนใดบ้างและเรียกว่าอะไร
- วงกลมคือเส้นที่ล้อมรอบวงกลม
- ส่วนโค้งเป็นส่วนหนึ่งของวงกลม
- รัศมีเป็นส่วนที่เชื่อมต่อจุดศูนย์กลางของวงกลมกับจุดใดๆ บนวงกลม
- คอร์ดคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดสองจุดบนวงกลม
- เซ็กเมนต์เป็นส่วนหนึ่งของวงกลมที่ล้อมรอบด้วยคอร์ดและส่วนโค้ง
- เซกเตอร์เป็นส่วนหนึ่งของวงกลมที่ล้อมรอบด้วยรัศมีสองรัศมีและส่วนโค้ง
จำนวนที่เราสนใจและการกำหนด:
ตอนนี้เรามาดูกันว่าปัญหาใดบ้างที่เกี่ยวข้องกับส่วนต่างๆ ของวงกลมที่ต้องแก้ไข
- ค้นหาความยาวของการพัฒนาของส่วนใดส่วนหนึ่งของแหวน (สร้อยข้อมือ) เมื่อพิจารณาจากเส้นผ่านศูนย์กลางและคอร์ด (ตัวเลือก: เส้นผ่านศูนย์กลางและมุมที่ศูนย์กลาง) ให้หาความยาวของส่วนโค้ง
- มีภาพวาดบนเครื่องบินคุณต้องทราบขนาดของมันในการฉายภาพหลังจากงอเป็นส่วนโค้ง เมื่อพิจารณาจากความยาวส่วนโค้งและเส้นผ่านศูนย์กลาง จงหาความยาวคอร์ด
- ค้นหาความสูงของชิ้นส่วนที่ได้จากการดัดชิ้นงานแบนให้เป็นส่วนโค้ง ตัวเลือกแหล่งข้อมูล: ความยาวและเส้นผ่านศูนย์กลางส่วนโค้ง ความยาวส่วนโค้งและคอร์ด หาความสูงของเซ็กเมนต์
ชีวิตจะให้ตัวอย่างอื่นๆ แก่คุณ แต่ฉันยกตัวอย่างเหล่านี้เพื่อแสดงความจำเป็นในการตั้งค่าพารามิเตอร์สองตัวเพื่อค้นหาพารามิเตอร์อื่นๆ ทั้งหมด นี่คือสิ่งที่เราจะทำ กล่าวคือเราจะใช้พารามิเตอร์ห้าตัวของเซ็กเมนต์: D, L, X, φ และ H จากนั้นเมื่อเลือกคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากพวกมัน เราจะพิจารณาว่าพวกมันเป็นข้อมูลเริ่มต้นและค้นหาส่วนที่เหลือทั้งหมดโดยการระดมความคิด
เพื่อไม่ให้เป็นภาระแก่ผู้อ่านโดยไม่จำเป็นฉันจะไม่ให้วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด แต่จะนำเสนอเฉพาะผลลัพธ์ในรูปแบบของสูตรเท่านั้น (ในกรณีที่ไม่มีวิธีแก้ปัญหาอย่างเป็นทางการฉันจะหารือไปตลอดทาง)
และอีกประการหนึ่ง: เกี่ยวกับหน่วยการวัด ปริมาณทั้งหมด ยกเว้นมุมที่ศูนย์กลาง ถูกวัดในหน่วยนามธรรมเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าหากคุณระบุค่าหนึ่งเป็นมิลลิเมตรก็ไม่จำเป็นต้องระบุค่าอื่นเป็นเซนติเมตรและค่าผลลัพธ์จะถูกวัดในหน่วยมิลลิเมตรเดียวกัน (และพื้นที่เป็นตารางมิลลิเมตร) เช่นเดียวกันกับหน่วยนิ้ว ฟุต และไมล์ทะเล
และเฉพาะมุมที่ศูนย์กลางในทุกกรณีเท่านั้นที่จะวัดเป็นองศาและไม่มีอะไรอื่นอีก เพราะตามหลักทั่วไปแล้ว คนที่ออกแบบบางสิ่งที่เป็นทรงกลมมักไม่มีแนวโน้มที่จะวัดมุมเป็นเรเดียน วลี "มุมพายคูณสี่" ทำให้หลายคนสับสนในขณะที่ทุกคนสามารถเข้าใจ "มุมสี่สิบห้าองศา" ได้ เนื่องจากมันสูงกว่าปกติเพียงห้าองศาเท่านั้น อย่างไรก็ตาม ในทุกสูตร จะมีมุมอีกหนึ่งมุม - α - แสดงเป็นค่ากลาง ในความหมาย นี่คือครึ่งหนึ่งของมุมศูนย์กลาง ซึ่งวัดเป็นเรเดียน แต่คุณไม่สามารถเจาะลึกความหมายนี้ได้อย่างปลอดภัย
1. เมื่อกำหนดเส้นผ่านศูนย์กลาง D และความยาวส่วนโค้ง L
; ความยาวคอร์ด 
;
ความสูงของส่วน 
; มุมกลาง 
.
2. ให้เส้นผ่านศูนย์กลาง D และความยาวคอร์ด X
; ความยาวส่วนโค้ง;
ความสูงของส่วน ; มุมกลาง 
.
เนื่องจากคอร์ดแบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วน ปัญหานี้จึงไม่มีวิธีแก้ปัญหาเพียงข้อเดียว แต่มีสองวิธี เพื่อให้ได้มุมที่สอง คุณต้องแทนที่มุม α ในสูตรด้านบนด้วยมุม
3. เมื่อพิจารณาจากเส้นผ่านศูนย์กลาง D และมุมศูนย์กลาง φ
; ความยาวส่วนโค้ง;
ความยาวคอร์ด ; ความสูงของส่วน .
4. เมื่อพิจารณาจากเส้นผ่านศูนย์กลาง D และความสูงของส่วน H
; ความยาวส่วนโค้ง;
ความยาวคอร์ด ; มุมกลาง .
6. ให้ความยาวส่วนโค้ง L และมุมที่ศูนย์กลาง φ
; เส้นผ่านศูนย์กลาง ;
ความยาวคอร์ด ; ความสูงของส่วน .
8. เมื่อพิจารณาจากความยาวคอร์ด X และมุมตรงกลาง φ
; ความยาวส่วนโค้ง 
;
เส้นผ่านศูนย์กลาง ; ความสูงของส่วน .
9. เมื่อพิจารณาจากความยาวของคอร์ด X และความสูงของส่วน H
; ความยาวส่วนโค้ง ;
เส้นผ่านศูนย์กลาง ; มุมกลาง .
10. เมื่อพิจารณาจากมุมศูนย์กลาง φ และความสูงของส่วน H
; เส้นผ่านศูนย์กลาง 
;
ความยาวส่วนโค้ง; ความยาวคอร์ด .
ผู้อ่านที่เอาใจใส่อดไม่ได้ที่จะสังเกตว่าฉันพลาดสองตัวเลือก:
5. ให้ความยาวส่วนโค้ง L และความยาวคอร์ด X
7. เมื่อพิจารณาความยาวของส่วนโค้ง L และความสูงของส่วน H
นี่เป็นเพียงสองกรณีที่ไม่พึงประสงค์เมื่อปัญหาไม่มีวิธีแก้ไขที่สามารถเขียนในรูปของสูตรได้ และงานก็ไม่ได้หายากนัก ตัวอย่างเช่น คุณมีชิ้นส่วนแบนที่มีความยาว L และคุณต้องการงอมันเพื่อให้ความยาวกลายเป็น X (หรือความสูงกลายเป็น H) ฉันควรใช้แมนเดรล (คานประตู) เส้นผ่านศูนย์กลางเท่าใด
ปัญหานี้เกิดจากการแก้สมการ: 
; - ในตัวเลือกที่ 5
; - ในตัวเลือกที่ 7
และถึงแม้ว่าจะไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยการวิเคราะห์ แต่ก็สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายโดยทางโปรแกรม และฉันรู้ด้วยซ้ำว่าจะหาโปรแกรมดังกล่าวได้ที่ไหน: บนเว็บไซต์นี้ภายใต้ชื่อ . เธอทำทุกอย่างที่ฉันบอกคุณอย่างละเอียดในหน่วยไมโครวินาที
เพื่อให้ภาพสมบูรณ์ เรามาเพิ่มผลการคำนวณของเรากับเส้นรอบวงและค่าพื้นที่สามค่า ได้แก่ วงกลม เซกเตอร์ และเซ็กเมนต์ (พื้นที่จะช่วยเราได้มากในการคำนวณมวลของชิ้นส่วนทรงกลมและครึ่งวงกลมทั้งหมด แต่จะเพิ่มเติมในบทความอื่น) ปริมาณทั้งหมดนี้คำนวณโดยใช้สูตรเดียวกัน:
เส้นรอบวง ;
พื้นที่ของวงกลม 
;
พื้นที่ภาค 
;
พื้นที่ส่วน 
;
โดยสรุป ฉันขอเตือนคุณอีกครั้งเกี่ยวกับการมีอยู่ของโปรแกรมฟรีที่ทำการคำนวณทั้งหมดข้างต้น ทำให้คุณไม่ต้องจำว่าอาร์คแทนเจนต์คืออะไรและจะหาได้จากที่ไหน
เส้นรอบวงเรียกว่าเส้นโค้งระนาบปิด ทุกจุดซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกันอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน
จุด เกี่ยวกับ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ร คือรัศมีของวงกลม - ระยะห่างจากจุดใดๆ บนวงกลมถึงจุดศูนย์กลาง โดยนิยามแล้วรัศมีทั้งหมดของรัศมีปิด
ข้าว. 1
เส้นโค้งมีความยาวเท่ากัน
ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนวงกลมเรียกว่าคอร์ด ส่วนของวงกลมที่ผ่านจุดศูนย์กลางและเชื่อมต่อจุดสองจุดเข้าด้วยกันเรียกว่าเส้นผ่านศูนย์กลาง จุดกึ่งกลางของเส้นผ่านศูนย์กลางคือจุดศูนย์กลางของวงกลม จุดบนวงกลมแบ่งเส้นโค้งปิดออกเป็นสองส่วน แต่ละส่วนเรียกว่าส่วนโค้งวงกลม หากปลายของส่วนโค้งอยู่ในเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมดังกล่าวจะเรียกว่าครึ่งวงกลมซึ่งมักจะแสดงความยาว π . องศาของวงกลมสองวงที่มีปลายเหมือนกันคือ 360 องศา
วงกลมมีศูนย์กลางร่วมกันคือวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกัน วงกลมตั้งฉากคือวงกลมที่ตัดกันที่มุม 90 องศา
ระนาบที่ล้อมรอบด้วยวงกลมเรียกว่าวงกลม ส่วนหนึ่งของวงกลมซึ่งถูกจำกัดด้วยสองรัศมีและส่วนโค้งคือเซกเตอร์วงกลม ส่วนโค้งของเซกเตอร์คือส่วนโค้งที่ขอบเขตของเซกเตอร์
ข้าว. 2
ตำแหน่งสัมพัทธ์ของวงกลมและเส้นตรง (รูปที่ 2)
วงกลมและเส้นตรงจะมีจุดเหมือนกันสองจุด ถ้าระยะห่างจากเส้นตรงถึงศูนย์กลางของวงกลมน้อยกว่ารัศมีของวงกลม ในกรณีนี้ เส้นตรงที่สัมพันธ์กับวงกลมเรียกว่าเส้นตัดขวาง
วงกลมและเส้นตรงมีจุดร่วมจุดเดียวถ้าระยะห่างจากเส้นตรงถึงศูนย์กลางของวงกลมเท่ากับรัศมีของวงกลม ในกรณีนี้ เส้นที่สัมพันธ์กับวงกลมเรียกว่าเส้นสัมผัสวงกลม จุดร่วมของพวกเขาเรียกว่าจุดสัมผัสของวงกลมและเส้น
สูตรวงกลมพื้นฐาน:
- C = 2πR , ที่ไหน ค - เส้นรอบวง
- R = С/(2π) = D/2 , ที่ไหน ซ/(2π) - ความยาวของส่วนโค้งของวงกลม
- D = C/π = 2R , ที่ไหน ดี - เส้นผ่านศูนย์กลาง
- ส = πR2 , ที่ไหน ส - พื้นที่ของวงกลม
- S = ((πR2)/360)α , ที่ไหน ส – พื้นที่ภาควงกลม
เส้นรอบวงและวงกลมมีชื่อในภาษากรีกโบราณ ในสมัยโบราณผู้คนสนใจวัตถุทรงกลม ดังนั้นวงกลมจึงกลายเป็นมงกุฎแห่งความสมบูรณ์แบบ ความจริงที่ว่าตัวทรงกลมสามารถเคลื่อนที่ได้ด้วยตัวเองนั้นเป็นแรงผลักดันให้เกิดการประดิษฐ์วงล้อ ดูเหมือนว่ามีอะไรพิเศษเกี่ยวกับสิ่งประดิษฐ์นี้? แต่ลองจินตนาการดูว่าหากวงล้อหายไปจากชีวิตเราในทันที สิ่งประดิษฐ์นี้ทำให้เกิดแนวคิดทางคณิตศาสตร์เรื่องวงกลมในเวลาต่อมา
หลักสูตรวิดีโอ "รับ A" ประกอบด้วยหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นในการผ่านการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ด้วยคะแนน 60-65 คะแนน ทำภารกิจทั้งหมด 1-13 ของการสอบ Profile Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ให้สมบูรณ์ ยังเหมาะสำหรับการผ่านการสอบ Basic Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย หากคุณต้องการผ่านการสอบ Unified State ด้วยคะแนน 90-100 คุณต้องแก้ส่วนที่ 1 ใน 30 นาทีโดยไม่มีข้อผิดพลาด!
หลักสูตรเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State สำหรับเกรด 10-11 รวมถึงสำหรับครูผู้สอน ทุกสิ่งที่คุณต้องการเพื่อแก้ส่วนที่ 1 ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหา 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียน 100 คะแนนและนักศึกษามนุษยศาสตร์ก็สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา
ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีแก้ปัญหาด่วน ข้อผิดพลาด และความลับของการสอบ Unified State งานปัจจุบันทั้งหมดของส่วนที่ 1 จาก FIPI Task Bank ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ Unified State Exam 2018 อย่างสมบูรณ์
หลักสูตรประกอบด้วย 5 หัวข้อใหญ่ หัวข้อละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อได้รับตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน
งานสอบ Unified State หลายร้อยรายการ ปัญหาคำศัพท์และทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมที่ง่ายและง่ายต่อการจดจำสำหรับการแก้ปัญหา เรขาคณิต. ทฤษฎี เอกสารอ้างอิง การวิเคราะห์งานการสอบ Unified State ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี วิธีแก้ปัญหาที่ยุ่งยาก เอกสารโกงที่มีประโยชน์ การพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้นจนถึงปัญหา 13 ทำความเข้าใจแทนการยัดเยียด คำอธิบายที่ชัดเจนของแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก กำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของส่วนที่ 2 ของการสอบ Unified State
คุณจำชื่อทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับวงกลมได้ดีแค่ไหน? ในกรณีที่ให้เราเตือนคุณ - ดูภาพ - รีเฟรชความรู้ของคุณ
ประการแรก - จุดศูนย์กลางของวงกลมคือจุดที่ระยะห่างจากทุกจุดบนวงกลมเท่ากัน
ประการที่สอง - รัศมี - ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดศูนย์กลางกับจุดบนวงกลม
มีรัศมีมากมาย (มากเท่าที่มีจุดบนวงกลม) แต่ รัศมีทั้งหมดมีความยาวเท่ากัน
บางครั้งก็สั้น รัศมีพวกเขาเรียกมันว่าอย่างแน่นอน ความยาวของส่วน“ศูนย์กลางคือจุดบนวงกลม” ไม่ใช่ส่วนนั้นเอง
และนี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น หากคุณเชื่อมต่อจุดสองจุดบนวงกลม? มีภาคด้วยเหรอ?
ดังนั้นส่วนนี้จึงเรียกว่า "คอร์ด".
เช่นเดียวกับในกรณีของรัศมี เส้นผ่านศูนย์กลางมักเป็นความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อจุดสองจุดบนวงกลมและผ่านจุดศูนย์กลาง อย่างไรก็ตาม เส้นผ่านศูนย์กลางและรัศมีมีความสัมพันธ์กันอย่างไร? ดูอย่างระมัดระวัง. แน่นอน, รัศมีเท่ากับครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง
นอกจากคอร์ดแล้วยังมี ซีแคนต์
จำสิ่งที่ง่ายที่สุดได้ไหม?
มุมกลางคือมุมระหว่างสองรัศมี
และตอนนี้ - มุมที่ถูกจารึกไว้
มุมที่จารึกไว้ - มุมระหว่างสองคอร์ดที่ตัดกันที่จุดบนวงกลม.
ในกรณีนี้ พวกเขาบอกว่ามุมที่จารึกไว้นั้นวางอยู่บนส่วนโค้ง (หรือบนคอร์ด)
ดูที่รูปภาพ:
การวัดส่วนโค้งและมุม
เส้นรอบวง. ส่วนโค้งและมุมวัดเป็นองศาและเรเดียน อันดับแรกเกี่ยวกับองศา ไม่มีปัญหาสำหรับมุม - คุณต้องเรียนรู้วิธีวัดส่วนโค้งเป็นองศา
การวัดระดับ (ขนาดส่วนโค้ง) คือค่า (เป็นองศา) ของมุมที่ศูนย์กลางที่สอดคล้องกัน
คำว่า "เหมาะสม" ในที่นี้หมายถึงอะไร? ลองดูอย่างระมัดระวัง:
คุณเห็นส่วนโค้งสองอันและมุมตรงกลางสองอันหรือไม่? ส่วนโค้งที่ใหญ่กว่าจะสอดคล้องกับมุมที่ใหญ่กว่า (และไม่เป็นไรที่มันจะใหญ่กว่า) และส่วนโค้งที่เล็กกว่าจะสอดคล้องกับมุมที่เล็กกว่า
ดังนั้นเราจึงเห็นพ้องกันว่า ส่วนโค้งมีจำนวนองศาเท่ากันกับมุมที่จุดศูนย์กลางที่สอดคล้องกัน
และตอนนี้เกี่ยวกับสิ่งที่น่ากลัว - เกี่ยวกับเรเดียน!
“เรเดียน” นี้คือสัตว์ชนิดใด?
ลองนึกภาพสิ่งนี้: เรเดียนเป็นวิธีหนึ่งในการวัดมุม...ในรัศมี!
มุมเรเดียนคือมุมที่ศูนย์กลางซึ่งมีความยาวส่วนโค้งเท่ากับรัศมีของวงกลม
แล้วคำถามก็เกิดขึ้น - มุมตรงมีกี่เรเดียน?
กล่าวอีกนัยหนึ่ง: รัศมี "พอดี" ในครึ่งวงกลมมีกี่รัศมี? หรืออีกนัยหนึ่ง: ความยาวของครึ่งวงกลมมากกว่ารัศมีกี่ครั้ง?
นักวิทยาศาสตร์ถามคำถามนี้ย้อนกลับไปในสมัยกรีกโบราณ
หลังจากค้นหามานานก็พบว่าอัตราส่วนของเส้นรอบวงต่อรัศมีไม่ต้องการให้แสดงเป็นตัวเลข "มนุษย์" เช่น เป็นต้น
และเป็นไปไม่ได้เลยที่จะแสดงทัศนคตินี้ผ่านรากเหง้า นั่นคือปรากฎว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะบอกว่าครึ่งวงกลมนั้นใหญ่กว่ารัศมีหลายเท่า! คุณลองจินตนาการดูสิว่ามันน่าทึ่งแค่ไหนที่ผู้คนค้นพบสิ่งนี้เป็นครั้งแรก! สำหรับอัตราส่วนความยาวครึ่งวงกลมต่อรัศมี ตัวเลข “ปกติ” ยังไม่เพียงพอ ฉันต้องป้อนจดหมาย
นี่คือตัวเลขที่แสดงอัตราส่วนของความยาวของครึ่งวงกลมต่อรัศมี
ตอนนี้เราสามารถตอบคำถามได้แล้ว: มีกี่เรเดียนในมุมตรง? มันมีเรเดียน แน่นอนเพราะว่าครึ่งหนึ่งของวงกลมมีขนาดใหญ่กว่ารัศมีหลายเท่า
คนโบราณ (และไม่โบราณนัก) ตลอดหลายศตวรรษ (!) พยายามคำนวณเลขลึกลับนี้ให้แม่นยำยิ่งขึ้น เพื่อแสดงออกได้ดีขึ้น (อย่างน้อยก็ประมาณ) ผ่านตัวเลข "ธรรมดา" และตอนนี้เราขี้เกียจอย่างไม่น่าเชื่อ - เราคุ้นเคยแล้วสำหรับเราสองสัญญาณหลังจากวันที่วุ่นวาย
ลองคิดดูสิ ซึ่งหมายความว่าความยาวของวงกลมที่มีรัศมี 1 มีค่าเท่ากันโดยประมาณ แต่ความยาวที่แน่นอนนี้เป็นไปไม่ได้เลยที่จะเขียนด้วยตัวเลข "มนุษย์" - คุณต้องมีตัวอักษร แล้วเส้นรอบวงนี้จะเท่ากัน และแน่นอน เส้นรอบวงของรัศมีก็เท่ากัน
ลองกลับไปหาเรเดียน.
เราพบแล้วว่ามุมตรงมีเรเดียน
เรามีอะไร:
แปลว่า ฉันดีใจ, ฉันดีใจ. ในทำนองเดียวกันจะได้จานที่มีมุมที่ได้รับความนิยมมากที่สุด
ความสัมพันธ์ระหว่างค่าของมุมที่ถูกจารึกไว้และมุมที่ศูนย์กลาง
มีข้อเท็จจริงที่น่าอัศจรรย์อย่างหนึ่ง:
มุมที่จารึกไว้คือครึ่งหนึ่งของขนาดมุมศูนย์กลางที่สอดคล้องกัน
ดูว่าข้อความนี้มีลักษณะอย่างไรในภาพ มุมกลางที่ "สอดคล้องกัน" คือมุมที่ปลายตรงกับปลายของมุมที่ถูกจารึกไว้ และมีจุดยอดอยู่ที่ศูนย์กลาง และในเวลาเดียวกัน มุมกลางที่ "สอดคล้อง" จะต้อง "ดู" ที่คอร์ดเดียวกัน () เป็นมุมที่จารึกไว้
ทำไมจึงเป็นเช่นนี้? มาดูกรณีง่ายๆกันก่อน ให้คอร์ดใดคอร์ดหนึ่งผ่านไปตรงกลาง มันเกิดขึ้นแบบนั้นบางครั้งใช่ไหม?
เกิดอะไรขึ้นที่นี่? ลองพิจารณาดู มันคือหน้าจั่ว และก็ - รัศมี ดังนั้น (ติดป้ายกำกับไว้)
ทีนี้เรามาดูกันดีกว่า. นี่คือมุมด้านนอกเพื่อ! เราจำได้ว่ามุมภายนอกเท่ากับผลรวมของมุมภายในสองมุมที่ไม่อยู่ติดกัน และเขียนว่า:
นั่นคือ! ผลกระทบที่ไม่คาดคิด แต่ก็มีมุมกลางสำหรับจารึกไว้ด้วย
ซึ่งหมายความว่าในกรณีนี้ พวกเขาพิสูจน์ว่ามุมที่ศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เขียนไว้ แต่มันเป็นกรณีพิเศษที่เจ็บปวด จริงไหมที่คอร์ดไม่ได้ผ่านจุดศูนย์กลางเสมอไป? แต่ไม่เป็นไร ตอนนี้กรณีนี้จะช่วยเราได้มาก ดู: กรณีที่สอง: ปล่อยให้ตรงกลางนอนอยู่ข้างใน
มาทำสิ่งนี้กัน: วาดเส้นผ่านศูนย์กลาง แล้ว...เราก็เห็นภาพสองภาพที่วิเคราะห์ไว้แล้วในกรณีแรก ดังนั้นเราจึงมีสิ่งนั้นอยู่แล้ว
ซึ่งหมายความว่า (ในรูปวาด a)
นั่นก็เหลือกรณีสุดท้าย: ศูนย์กลางอยู่นอกมุม
เราทำสิ่งเดียวกัน: วาดเส้นผ่านศูนย์กลางผ่านจุด ทุกอย่างเหมือนกัน แต่แทนที่จะเป็นผลรวมกลับมีความแตกต่าง
นั่นคือทั้งหมด!
ตอนนี้เรามาสร้างผลลัพธ์หลักและสำคัญมากสองประการจากข้อความที่ว่ามุมที่จารึกไว้คือครึ่งหนึ่งของมุมที่ศูนย์กลาง
ข้อพิสูจน์ 1
มุมที่ถูกจารึกไว้ทั้งหมดที่มีส่วนโค้งหนึ่งมีค่าเท่ากัน
เราแสดงให้เห็น:
มีมุมที่ถูกจารึกไว้จำนวนนับไม่ถ้วนตามส่วนโค้งเดียวกัน (เรามีส่วนโค้งนี้) มุมเหล่านั้นอาจดูแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง แต่ทุกมุมก็มีมุมที่ศูนย์กลางเหมือนกัน () ซึ่งหมายความว่ามุมที่ถูกจารึกไว้ทั้งหมดนี้เท่ากันระหว่างกัน
ข้อพิสูจน์ 2
มุมที่ต่อด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางจะเป็นมุมฉาก
ดู: มุมใดเป็นศูนย์กลางของ?
แน่นอน, . แต่เขาเท่าเทียมกัน! ดังนั้น (รวมถึงมุมที่ถูกจารึกไว้อีกมากมายที่วางอยู่) และมีค่าเท่ากัน
มุมระหว่างสองคอร์ดและเซแคนต์
แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามุมที่เราสนใจไม่ได้ถูกจารึกไว้และไม่ได้อยู่ตรงกลาง แต่เป็นตัวอย่างดังนี้:
หรือแบบนี้?
เป็นไปได้ไหมที่จะแสดงมันผ่านมุมตรงกลางบางมุม? ปรากฎว่ามันเป็นไปได้ ดู: เรามีความสนใจ
ก) (เป็นมุมภายนอกสำหรับ) แต่ - จารึกไว้ วางอยู่บนส่วนโค้ง - - จารึกไว้, วางอยู่บนส่วนโค้ง - .
เพื่อความงามพวกเขาพูดว่า:
มุมระหว่างคอร์ดเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของค่าเชิงมุมของส่วนโค้งที่อยู่ในมุมนี้
พวกเขาเขียนสิ่งนี้เพื่อความกระชับ แต่แน่นอนว่า เมื่อใช้สูตรนี้ คุณจะต้องคำนึงถึงมุมที่อยู่ตรงกลางด้วย
b) และตอนนี้ - "ข้างนอก"! จะเป็นอย่างไร? ใช่ เกือบจะเหมือนกัน! ตอนนี้เท่านั้น (เราใช้คุณสมบัติของมุมภายนอกอีกครั้ง) นั่นคือตอนนี้
และนั่นหมายความว่า... มานำความสวยงามและความกะทัดรัดมาสู่บันทึกย่อและถ้อยคำ:
มุมระหว่างเส้นตัดมุมเท่ากับครึ่งหนึ่งของความแตกต่างในค่าเชิงมุมของส่วนโค้งที่อยู่ในมุมนี้
ตอนนี้คุณก็มีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับมุมที่เกี่ยวข้องกับวงกลมแล้ว ไปข้างหน้า เผชิญกับความท้าทาย!
วงกลมและมุมที่อยู่ภายใน ระดับเฉลี่ย
แม้แต่เด็กห้าขวบยังรู้ว่าวงกลมคืออะไรใช่ไหม? นักคณิตศาสตร์มีคำจำกัดความที่ชัดเจนในหัวข้อนี้เหมือนเช่นเคย แต่เราจะไม่ให้คำจำกัดความ (ดู) แต่ให้เราจำไว้ว่าจุด เส้น และมุมที่เกี่ยวข้องกับวงกลมเรียกว่าอะไร
ข้อกำหนดที่สำคัญ
ประการแรก:
| ศูนย์กลางของวงกลม- จุดที่ทุกจุดบนวงกลมมีระยะห่างเท่ากัน |
ประการที่สอง:
มีอีกสำนวนหนึ่งที่ได้รับการยอมรับ: “คอร์ดหดตัวส่วนโค้ง” ในรูปนี้ คอร์ดรองรับส่วนโค้ง และหากจู่ๆ คอร์ดผ่านตรงกลาง ก็จะมีชื่อพิเศษว่า "เส้นผ่านศูนย์กลาง"
อย่างไรก็ตาม เส้นผ่านศูนย์กลางและรัศมีมีความสัมพันธ์กันอย่างไร? ดูอย่างระมัดระวัง. แน่นอน,
และตอนนี้ - ชื่อของมุม
เป็นธรรมชาติใช่ไหม? ด้านข้างของมุมยื่นออกมาจากจุดศูนย์กลาง - ซึ่งหมายความว่ามุมนั้นเป็นศูนย์กลาง
นี่คือจุดที่บางครั้งความยากลำบากเกิดขึ้น ใส่ใจ - ไม่มีมุมใดๆ ภายในวงกลมที่ถูกจารึกไว้แต่มีเพียงคนเดียวเท่านั้นที่มีจุดยอด "นั่ง" บนวงกลมนั้นเอง
มาดูความแตกต่างในภาพ:
อีกวิธีหนึ่งที่พวกเขาพูดว่า:
มีจุดยุ่งยากจุดหนึ่งที่นี่ มุมกลาง "ที่สอดคล้องกัน" หรือ "ของตัวเอง" คืออะไร? แค่มุมที่มีจุดยอดอยู่ตรงกลางวงกลมและปลายอยู่ที่ปลายส่วนโค้งใช่ไหม? ไม่เป็นอย่างนั้นอย่างแน่นอน ดูภาพวาดสิ
อย่างไรก็ตาม หนึ่งในนั้นดูไม่เหมือนมุมเลยด้วยซ้ำ มันใหญ่กว่า แต่สามเหลี่ยมไม่สามารถมีมุมได้มากกว่านี้ แต่วงกลมก็อาจดีได้! ดังนั้น: ส่วนโค้ง AB ที่เล็กกว่าจะสอดคล้องกับมุมที่เล็กกว่า (สีส้ม) และส่วนโค้งที่ใหญ่กว่าจะสอดคล้องกับมุมที่ใหญ่กว่า แบบนั้นเลยไม่ใช่เหรอ?
ความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของมุมที่ถูกจารึกไว้กับมุมที่ศูนย์กลาง
จำข้อความที่สำคัญมากนี้:
ในตำราเรียนพวกเขาชอบเขียนข้อเท็จจริงเดียวกันนี้ดังนี้:
ไม่เป็นความจริงหรือที่สูตรจะง่ายกว่าเมื่อมีมุมตรงกลาง?
แต่ถึงกระนั้น เรามาค้นหาความสอดคล้องระหว่างสองสูตรกัน และในขณะเดียวกันก็เรียนรู้ที่จะค้นหามุมกลางที่ "สอดคล้อง" และส่วนโค้งที่มุมที่ถูกจารึกไว้ "วางอยู่" ในภาพวาด
ดูสิ นี่คือวงกลมและมุมที่จารึกไว้:
มุมกลาง "ที่สอดคล้องกัน" อยู่ที่ไหน?
ลองดูอีกครั้ง:
กฎคืออะไร?
แต่! ในกรณีนี้ สิ่งสำคัญคือมุมที่จารึกไว้และมุมตรงกลางจะ "ดู" ที่ส่วนโค้งจากด้านหนึ่ง ตัวอย่างเช่น:
ผิดปกติพอสีฟ้า! เพราะส่วนโค้งยาวยาวเกินครึ่งวงกลม! ดังนั้นอย่าสับสน!
ผลที่ตามมาอะไรที่สามารถอนุมานได้จาก "ความครึ่งหนึ่ง" ของมุมที่ถูกจารึกไว้?
แต่ตัวอย่างเช่น:
มุมต่อด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง
คุณสังเกตไหมว่านักคณิตศาสตร์ชอบที่จะพูดถึงสิ่งเดียวกันด้วยคำที่ต่างกัน? ทำไมพวกเขาต้องการสิ่งนี้? คุณคงเห็นว่าภาษาของคณิตศาสตร์ถึงแม้จะเป็นทางการแต่ก็ยังมีชีวิตอยู่ ดังนั้นเช่นเดียวกับภาษาทั่วไป ทุกครั้งที่คุณต้องการพูดด้วยวิธีที่สะดวกกว่า เราได้เห็นแล้วว่า "มุมวางอยู่บนส่วนโค้ง" หมายความว่าอย่างไร ลองนึกภาพภาพเดียวกันนี้เรียกว่า "มุมวางอยู่บนคอร์ด" บนอะไร? ใช่แน่นอนสำหรับคนที่ทำให้ส่วนโค้งนี้กระชับขึ้น!
เมื่อไหร่จะสะดวกกว่าที่จะพึ่งพาคอร์ดมากกว่าส่วนโค้ง?
โดยเฉพาะเมื่อคอร์ดนี้มีเส้นผ่านศูนย์กลาง
มีข้อความที่เรียบง่าย สวยงาม และมีประโยชน์อย่างน่าประหลาดใจสำหรับสถานการณ์เช่นนี้!
ดูสิ นี่คือวงกลม เส้นผ่านศูนย์กลาง และมุมที่วางอยู่บนวงกลม
วงกลมและมุมที่อยู่ภายใน สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ
1. แนวคิดพื้นฐาน
3. การวัดส่วนโค้งและมุม
มุมเรเดียนคือมุมที่ศูนย์กลางซึ่งมีความยาวส่วนโค้งเท่ากับรัศมีของวงกลม
นี่คือตัวเลขที่แสดงอัตราส่วนระหว่างความยาวของครึ่งวงกลมต่อรัศมี
เส้นรอบวงรัศมีจะเท่ากับ
4. ความสัมพันธ์ระหว่างค่าของมุมที่ถูกจารึกไว้และมุมที่ศูนย์กลาง
เอาล่ะ หัวข้อมันจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก
เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางสิ่งได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบแสดงว่าคุณอยู่ใน 5% นี้!
ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด
คุณเข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำอีกครั้งว่า...นี่มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าคนรอบข้างส่วนใหญ่อยู่แล้ว
ปัญหาคือว่านี่อาจไม่เพียงพอ...
เพื่ออะไร?
สำหรับการผ่านการสอบ Unified State ได้สำเร็จ เพื่อเข้าวิทยาลัยด้วยงบประมาณ และที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต
ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใด ฉันจะพูดสิ่งเดียวเท่านั้น...
ผู้ที่ได้รับการศึกษาที่ดีจะมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับการศึกษา นี่คือสถิติ
แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ
สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาเช่นนี้) อาจเป็นเพราะโอกาสมากมายเปิดกว้างต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่รู้...
แต่คิดเอาเองนะ...
ต้องใช้อะไรบ้างเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่นๆ ในการสอบ Unified State และสุดท้ายจะ... มีความสุขมากขึ้น?
ช่วยคุณโดยการแก้ปัญหาในหัวข้อนี้
คุณจะไม่ถูกถามถึงทฤษฎีในระหว่างการสอบ
คุณจะต้องการ แก้ปัญหากับเวลา.
และถ้าคุณยังไม่ได้แก้ไขมัน (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ อย่างแน่นอนหรือไม่มีเวลาเลย
มันก็เหมือนกับกีฬา - คุณต้องทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งจึงจะชนะอย่างแน่นอน
ค้นหาคอลเลกชันทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหาการวิเคราะห์โดยละเอียดและตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!
คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และแน่นอนว่าเราแนะนำพวกเขา
เพื่อให้ใช้งานของเราได้ดียิ่งขึ้น คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่
ยังไง? มีสองตัวเลือก:
- ปลดล็อคงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
- ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความทั้ง 99 บทของหนังสือเรียน - ซื้อหนังสือเรียน - 899 RUR
ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนของเราและเข้าถึงงานทั้งหมดได้ และสามารถเปิดข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที
การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดทั้งชีวิตของไซต์
สรุปแล้ว...
หากคุณไม่ชอบงานของเราก็หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี
“เข้าใจแล้ว” และ “ฉันแก้ได้” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง
ค้นหาปัญหาและแก้ไข!
ปัญหาที่ 10 (OGE - 2015)
บนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง O จุด A และ B จะถูกทำเครื่องหมายเพื่อให้ ∠ AOB = 18° ความยาวของส่วนโค้ง AB ที่เล็กกว่าคือ 5 จงหาความยาวของส่วนโค้งที่ใหญ่กว่าของวงกลม
สารละลาย
∠ AOB = 18° วงกลมทั้งหมดมี 360° ดังนั้น ∠ AOB คือ 18/360 = 1/20 ของวงกลม
ซึ่งหมายความว่าส่วนโค้ง AB ที่เล็กกว่าคือ 1/20 ของวงกลมทั้งหมด ดังนั้นส่วนโค้งที่ใหญ่กว่าคือส่วนที่เหลือ นั่นคือ รอบวง 19/20.
1/20 ของวงกลมเท่ากับความยาวส่วนโค้ง 5 ดังนั้นความยาวของส่วนโค้งที่ใหญ่กว่าคือ 5 * 19 = 95
ปัญหาที่ 10 (OGE - 2015)
บนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง O จุด A และ B จะถูกทำเครื่องหมายเพื่อให้ ∠ AOB = 40° ความยาวของส่วนโค้ง AB ที่เล็กกว่าคือ 50 จงหาความยาวของส่วนโค้งที่ใหญ่กว่าของวงกลม
สารละลาย
∠ AOB = 40° วงกลมทั้งหมดมี 360° ดังนั้น ∠ AOB คือ 40/360 = 1/9 ของวงกลม
ซึ่งหมายความว่าส่วนโค้ง AB ที่เล็กกว่าคือ 1/9 ของวงกลมทั้งหมด ดังนั้นส่วนโค้งที่ใหญ่กว่าคือส่วนที่เหลือ นั่นคือ วงกลม 8/9.
1/9 ของวงกลมเท่ากับความยาวส่วนโค้ง 50 ดังนั้นความยาวของส่วนโค้งที่ใหญ่กว่าคือ 50*8 = 400
คำตอบ: 400.
ภารกิจที่ 10 (GIA - 2014)
ความยาวของคอร์ดของวงกลมคือ 72 และระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมถึงคอร์ดนี้คือ 27 จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม
สารละลาย
ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจากสามเหลี่ยมมุมฉาก AOB ที่เราได้รับ:
อ่าว 2 = อ็อบ 2 +เอบี 2,
อ่าว 2 = 27 2 +36 2 = 729+1296 = 2025,
เส้นผ่านศูนย์กลางคือ 2R = 2*45 = 90
ภารกิจที่ 10 (GIA - 2014)
จุด O คือจุดศูนย์กลางของวงกลมซึ่งมีจุด A, B และ C อยู่ เป็นที่ทราบกันว่า ∠ABC = 134° และ ∠OAB = 75° ค้นหามุม BCOให้คำตอบเป็นองศา
