ผู้ค้นพบอัตราส่วนทองคำ อัตราส่วนทองคำทำงานอย่างไร

บ้าน / อดีต

อัตราส่วนทองคำเป็นหลักการง่ายๆ ที่จะช่วยให้การออกแบบของคุณดูน่าพึงพอใจ ในบทความนี้เราจะอธิบายโดยละเอียดว่าควรใช้อย่างไรและทำไม

สัดส่วนทางคณิตศาสตร์ทั่วไปในธรรมชาติที่เรียกว่า Golden Ratio หรือ Golden Mean นั้นอิงจากลำดับฟีโบนักชี (ซึ่งคุณน่าจะเคยได้ยินเรื่องนี้บ่อยที่สุดในโรงเรียน หรืออ่านใน The Da Vinci Code ของแดน บราวน์) และแสดงถึงอัตราส่วนกว้างยาวที่ 1 :1.61.

อัตราส่วนดังกล่าวมักพบในชีวิตของเรา (เปลือกหอย สับปะรด ดอกไม้ ฯลฯ) และด้วยเหตุนี้บุคคลจึงมองว่าเป็นสิ่งที่เป็นธรรมชาติและสบายตา

→ อัตราส่วนทองคำคือความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขสองตัวในลำดับฟีโบนักชี
→ การพล็อตลำดับนี้เป็นสเกลจะทำให้เกิดเกลียวที่สามารถเห็นได้ในธรรมชาติ

นักวิทยาศาสตร์เชื่อว่าอัตราส่วนทองคำถูกใช้โดยมนุษย์ในด้านศิลปะและการออกแบบมานานกว่า 4,000 ปีและอาจมากกว่านั้น ตามที่นักวิทยาศาสตร์อ้างว่าชาวอียิปต์โบราณใช้หลักการนี้ในการสร้างปิรามิด

ตัวอย่างที่มีชื่อเสียง

ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว อัตราส่วนทองคำสามารถเห็นได้ตลอดประวัติศาสตร์ของศิลปะและสถาปัตยกรรม ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนที่ยืนยันความถูกต้องของการใช้หลักการนี้เท่านั้น:

สถาปัตยกรรม: พาร์เธนอน

ในสถาปัตยกรรมกรีกโบราณ อัตราส่วนทองคำถูกใช้ในการคำนวณสัดส่วนในอุดมคติระหว่างความสูงและความกว้างของอาคาร ขนาดของระเบียง และแม้แต่ระยะห่างระหว่างเสา ต่อมาหลักการนี้ได้รับการสืบทอดมาจากสถาปัตยกรรมนีโอคลาสสิก

ศิลปะ: กระยาหารมื้อสุดท้าย

สำหรับศิลปิน องค์ประกอบคือรากฐาน Leonardo da Vinci เช่นเดียวกับศิลปินอื่น ๆ ถูกชี้นำโดยหลักการของ Golden Ratio: ในกระยาหารมื้อสุดท้ายเช่นร่างของสาวกอยู่ในสองในสามด้านล่าง (ส่วนที่ใหญ่กว่าของสองส่วนของ Golden Ratio ) และพระเยซูถูกวางไว้ตรงกลางระหว่างสี่เหลี่ยมสองรูปอย่างเคร่งครัด

การออกแบบเว็บ: การออกแบบ Twitter ใหม่ในปี 2010

Doug Bowman ครีเอทีฟไดเร็กเตอร์ของ Twitter ได้โพสต์ภาพหน้าจอในบัญชี Flickr ของเขา โดยอธิบายถึงการใช้อัตราส่วนทองคำสำหรับการออกแบบใหม่ในปี 2010 “ใครก็ตามที่มีความสนใจในสัดส่วน #NewTwitter - รู้ว่าทุกอย่างทำเพื่อเหตุผล” เขากล่าว

Apple iCloud

ไอคอนบริการ iCloud ไม่ใช่ภาพร่างแบบสุ่มเลย ตามที่ Takamasa Matsumoto อธิบายในบล็อกของเขา (ฉบับภาษาญี่ปุ่นดั้งเดิม) ทุกอย่างมีพื้นฐานมาจากคณิตศาสตร์ของ Golden Ratio ซึ่งลักษณะทางกายวิภาคสามารถเห็นได้ในรูปด้านขวา

จะสร้างอัตราส่วนทองคำได้อย่างไร?

การก่อสร้างค่อนข้างง่ายและเริ่มต้นด้วยจัตุรัสหลัก:

วาดสี่เหลี่ยม นี่จะเป็นความยาวของ "ด้านสั้น" ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

แบ่งครึ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยเส้นแนวตั้งเพื่อให้ได้สี่เหลี่ยมสองรูป

ในสี่เหลี่ยมผืนผ้าเดียว ลากเส้นโดยเชื่อมมุมตรงข้าม

ขยายเส้นนี้ในแนวนอนตามที่แสดงในภาพ

สร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าอีกรูปโดยใช้เส้นแนวนอนที่คุณวาดในขั้นตอนก่อนหน้าเป็นฐาน พร้อม!

เครื่องมือ "ทองคำ"

หากการวาดภาพและการวัดผลไม่ใช่งานอดิเรกที่คุณโปรดปราน ให้ทิ้ง "งานสกปรก" ทั้งหมดไว้ในเครื่องมือที่ออกแบบมาสำหรับสิ่งนี้โดยเฉพาะ ด้วยความช่วยเหลือของบรรณาธิการ 4 คนด้านล่าง คุณสามารถค้นหาอัตราส่วนทองคำได้อย่างง่ายดาย!

แอป GoldenRATIO ช่วยให้คุณออกแบบเว็บไซต์ อินเทอร์เฟซ และเลย์เอาต์ตามอัตราส่วนทองคำ มีจำหน่ายจาก Mac App Store ในราคา $2.99 มีเครื่องคิดเลขในตัวพร้อมการตอบสนองด้วยภาพและคุณสมบัติรายการโปรดที่มีประโยชน์ซึ่งจัดเก็บการตั้งค่าสำหรับงานที่เกิดซ้ำ เข้ากันได้กับ Adobe Photoshop

เครื่องคิดเลขนี้จะช่วยคุณสร้างรูปแบบตัวอักษรที่สมบูรณ์แบบสำหรับไซต์ของคุณตามหลักการของอัตราส่วนทองคำ เพียงป้อนขนาดแบบอักษร ความกว้างของเนื้อหาในฟิลด์บนไซต์ แล้วคลิก "ตั้งค่าประเภทของฉัน"!

นี่เป็นแอปพลิเคชั่นที่ง่ายและฟรีสำหรับ Mac และ PC เพียงป้อนตัวเลขแล้วระบบจะคำนวณสัดส่วนตามกฎส่วนสีทอง

โปรแกรมแสนสะดวกที่จะช่วยให้คุณไม่ต้องคำนวณและวาดเส้นตาราง การหาสัดส่วนที่สมบูรณ์แบบเป็นเรื่องง่ายกับเธอ! ใช้งานได้กับโปรแกรมแก้ไขกราฟิกทั้งหมด รวมถึง Photoshop แม้ว่าจะมีการจ่ายเครื่องมือ - $ 49 แต่ก็สามารถทดสอบรุ่นทดลองได้เป็นเวลา 30 วัน

อัตราส่วนทองคำนั้นเรียบง่ายเหมือนทุกอย่างที่แยบยล ลองนึกภาพส่วนของเส้นตรง AB หารด้วยจุด C สิ่งที่คุณต้องทำคือวางจุด C เพื่อให้คุณสามารถเขียนสมการ CB/AC = AC/AB = 0.618 ได้ นั่นคือ จำนวนที่ได้จากการหารส่วนที่เล็กที่สุด CB ด้วยความยาวของส่วนตรงกลาง AC จะต้องตรงกับจำนวนที่ได้โดยการหารส่วนตรงกลาง AC ด้วยความยาวของส่วนที่ใหญ่ AB ตัวเลขนี้จะเป็น 0.618 นี่คือทองคำหรือตามที่พวกเขากล่าวในสมัยโบราณสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์ - ฉ(กรีก "พี") ดัชนีความเป็นเลิศ

เป็นการยากที่จะพูดอย่างแน่ชัดว่าเมื่อใดและโดยใครที่สังเกตว่าสัดส่วนนี้ให้ความรู้สึกกลมกลืน แต่ทันทีที่ผู้คนเริ่มสร้างบางสิ่งด้วยมือของพวกเขาเอง พวกเขาพยายามรักษาอัตราส่วนนี้ไว้โดยสัญชาตญาณ อาคารที่สร้างด้วย ฉดูกลมกลืนกันมากกว่าเมื่อเทียบกับส่วนที่ละเมิดสัดส่วนของส่วนสีทอง สิ่งนี้ได้รับการยืนยันซ้ำแล้วซ้ำอีกโดยการทดสอบต่างๆ

ในเรขาคณิต มีวัตถุสองชิ้นที่เชื่อมโยงกับ ฉ: รูปห้าเหลี่ยมปกติ (แฉก) และเกลียวลอการิทึม ในรูปดาวห้าแฉก แต่ละเส้นที่ตัดกับเส้นถัดไป แบ่งเป็นอัตราส่วนทองคำ และในเกลียวลอการิทึม เส้นผ่านศูนย์กลางของการหมุนที่อยู่ติดกันนั้นสัมพันธ์กันในลักษณะเดียวกับส่วน AC และ CB บนเส้นตรงของเรา เอบี. แต่ ฉใช้งานได้ไม่เฉพาะในเรขาคณิตเท่านั้น เป็นที่เชื่อกันว่าส่วนต่างๆ ของระบบใดๆ (เช่น โปรตอนและนิวตรอนในนิวเคลียสของอะตอม) สามารถมีสัดส่วนที่สัมพันธ์กัน ซึ่งสอดคล้องกับตัวเลขสีทอง ในกรณีนี้ นักวิทยาศาสตร์เชื่อว่าระบบนี้เหมาะสมที่สุด อย่างไรก็ตาม การยืนยันสมมติฐานทางวิทยาศาสตร์ต้องใช้เวลาการวิจัยมากกว่าสิบปี ที่ไหน ฉไม่สามารถวัดได้โดยวิธีการใช้เครื่องมือจึงใช้ชุดเลขฟีโบนักชีที่เรียกว่าซึ่งแต่ละหมายเลขต่อมาเป็นผลรวมของสองตัวก่อนหน้า: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ฯลฯ ลักษณะเฉพาะของชุดข้อมูลนี้คือเมื่อหารตัวเลขใดๆ ด้วยตัวถัดไป จะได้ผลลัพธ์ที่ใกล้เคียงที่สุดกับ 0.618 ตัวอย่างเช่น ลองใช้ตัวเลข 2.3 และ 5 2/3 = 0.666 และ 3/5 = 0.6 อันที่จริง มีความสัมพันธ์แบบเดียวกันที่นี่ระหว่างส่วนประกอบของเซ็กเมนต์ AB ของเรา ดังนั้น หากสามารถป้อนคุณลักษณะการวัดของวัตถุหรือปรากฏการณ์บางอย่างลงในอนุกรมเลขฟีโบนักชีได้ แสดงว่ามีสังเกตอัตราส่วนทองคำในโครงสร้างของพวกมัน และมีวัตถุและระบบดังกล่าวจำนวนนับไม่ถ้วน และวิทยาศาสตร์สมัยใหม่กำลังค้นพบสิ่งใหม่ๆ มากขึ้นเรื่อยๆ คำถามก็คือ มันคือ ฉสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์อย่างแท้จริงซึ่งโลกของเราตั้งอยู่นั้นไม่ได้เป็นเพียงสำนวนโวหาร

อัตราส่วนทองคำในธรรมชาติ

อัตราส่วนทองคำมีอยู่ในธรรมชาติและอยู่ในระดับที่ง่ายที่สุดแล้ว ยกตัวอย่างเช่น โมเลกุลโปรตีนที่ประกอบเป็นเนื้อเยื่อของสิ่งมีชีวิตทั้งหมด โมเลกุลแตกต่างกันในมวลซึ่งขึ้นอยู่กับจำนวนของกรดอะมิโนที่มีอยู่ เมื่อไม่นานนี้พบว่าโปรตีนที่พบมากที่สุดคือโปรตีนที่มีมวล 31; 81.2; 140.6; 231; 319,000 หน่วย นักวิทยาศาสตร์สังเกตว่าชุดนี้เกือบจะสอดคล้องกับอนุกรมฟีโบนักชี - 3, 8.13, 21, 34 (ในที่นี้ นักวิทยาศาสตร์ไม่ได้คำนึงถึงผลต่างทศนิยมของอนุกรมเหล่านี้)

แน่นอน การวิจัยเพิ่มเติมจะพบโปรตีนที่มวลจะสัมพันธ์กับ 5 แม้แต่โครงสร้างของโปรโตซัวก็ยังให้ความมั่นใจ - ไวรัสจำนวนมากมีโครงสร้างห้าเหลี่ยม มีแนวโน้มที่จะ ฉและสัดส่วนขององค์ประกอบทางเคมี พลูโทเนียมอยู่ใกล้ที่สุด: อัตราส่วนของจำนวนโปรตอนในนิวเคลียสต่อนิวตรอนคือ 0.627 ถัดมาเป็นไฮโดรเจน ในทางกลับกัน จำนวนอะตอมในสารประกอบเคมีมักจะเป็นจำนวนทวีคูณของอนุกรมฟีโบนักชีอย่างน่าประหลาดใจ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับยูเรเนียมออกไซด์และสารประกอบโลหะ

หากคุณตัดหน่อไม้ที่ยังไม่ได้เปิดออก คุณจะพบเกลียวสองอันที่นั่น ซึ่งชี้ไปในทิศทางที่ต่างกัน นี่คือจุดเริ่มต้นของใบไม้ อัตราส่วนของจำนวนรอบระหว่างเกลียวทั้งสองนี้จะเท่ากับ 2/3 หรือ 3/5 หรือ 5/8 เป็นต้น ซึ่งเป็นไปตาม Fibonacci อีกครั้ง อย่างไรก็ตาม เราเห็นความสม่ำเสมอในการจัดเรียงเมล็ดทานตะวันและโครงสร้างโคนต้นสน แต่กลับไปที่ใบ เมื่อเปิดใจจะไม่ขาดสายสัมพันธ์กับ ฉเพราะจะอยู่บนลำต้นหรือกิ่งเป็นเกลียวลอการิทึม แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด มีแนวคิดของ "มุมใบแตกต่าง" - นี่คือมุมที่ใบมีความสัมพันธ์ซึ่งกันและกัน การคำนวณมุมนี้ไม่ใช่เรื่องยาก ลองนึกภาพว่าปริซึมที่มีฐานห้าเหลี่ยมถูกจารึกไว้ในก้าน ตอนนี้เริ่มเป็นเกลียวตามลำต้น จุดที่เกลียวจะสัมผัสกับขอบของปริซึมนั้นสอดคล้องกับจุดที่ใบงอกออกมา ตอนนี้วาดเส้นตรงขึ้นจากใบแรกและดูว่ามีกี่ใบที่จะอยู่บนเส้นตรงนี้ จำนวนของพวกเขาในทางชีววิทยาแสดงด้วยตัวอักษร n (ในกรณีของเราคือสองแผ่น) ตอนนี้นับจำนวนรอบที่อธิบายโดยเกลียวรอบก้าน ตัวเลขผลลัพธ์เรียกว่าวงจรใบไม้และเขียนแทนด้วยตัวอักษร p (ในกรณีของเราคือ 5) ตอนนี้เราคูณมุมสูงสุด - 360 องศาด้วย 2 (n) และหารด้วย 5 (p) เราได้มุมความแตกต่างของใบไม้ที่ต้องการ - 144 องศา อัตราส่วนของ n และ p ต่องานฉลองของพืชหรือต้นไม้แต่ละต้นนั้นแตกต่างกัน แต่พวกมันทั้งหมดไม่ได้ออกจากอนุกรมฟีโบนักชี: 1/2; 2/5; 3/8; 5/13 เป็นต้น นักชีววิทยาพบว่ามุมที่เกิดจากสัดส่วนเหล่านี้มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดถึง 137 องศา ซึ่งเป็นมุมเบี่ยงเบนที่เหมาะสมที่สุดที่แสงแดดจะกระจายอย่างสม่ำเสมอตามกิ่งและใบ และในใบไม้เอง เราสามารถสังเกตเห็นการปฏิบัติตามอัตราส่วนทองคำ ดังที่จริง ในดอกไม้ - ง่ายที่สุดที่จะสังเกตเห็นในพวกที่มีรูปร่างเป็นรูปดาวห้าแฉก

ฉไม่ได้ข้ามโลกของสัตว์ ตามที่นักวิทยาศาสตร์กล่าวว่าการมีอัตราส่วนทองคำในโครงสร้างของโครงกระดูกของสิ่งมีชีวิตช่วยแก้ปัญหาที่สำคัญมาก ด้วยวิธีนี้ ความแข็งแรงสูงสุดของโครงกระดูกสามารถทำได้โดยมีน้ำหนักน้อยที่สุด ซึ่งจะทำให้สามารถกระจายเรื่องไปตามส่วนต่างๆ ของร่างกายได้อย่างมีเหตุผล สิ่งนี้ใช้กับตัวแทนของสัตว์เกือบทั้งหมด ดังนั้นปลาดาวจึงเป็นห้าเหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบและเปลือกหอยของหอยหลายชนิดเป็นเกลียวลอการิทึม อัตราส่วนความยาวหางของแมลงปอต่อลำตัวก็เช่นกัน ฉ. ใช่ และยุงก็ไม่ธรรมดา มันมีขาสามคู่ ส่วนท้องแบ่งออกเป็นแปดส่วน และมีเสาอากาศห้าอันบนหัว ซึ่งเป็นชุดฟีโบนักชีเดียวกัน จำนวนของกระดูกสันหลังในสัตว์หลายชนิด เช่น วาฬหรือม้า คือ 55 ซี่โครง จำนวน 13 ซี่ และจำนวนกระดูกในแขนขา 89 ตัว และแขนขาเองก็มีโครงสร้างไตรภาคี จำนวนกระดูกของสัตว์เหล่านี้ทั้งหมด นับฟัน (ซึ่งมี 21 คู่) และกระดูกของเครื่องช่วยฟังคือ 233 (หมายเลขฟีโบนักชี) จะแปลกใจทำไมเมื่อแม้แต่ไข่ซึ่งอย่างที่หลาย ๆ คนเชื่อว่าทุกสิ่งทุกอย่างเกิดขึ้นสามารถถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมผืนผ้าของส่วนสีทอง - ความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้าดังกล่าวคือ 1.618 เท่าของความกว้าง

18 เมษายน 2554 A. F. Afanasiev Updated 16 มิถุนายน 2555

ขนาดและสัดส่วนเป็นหนึ่งในงานหลักในการค้นหาภาพศิลปะของงานศิลปะพลาสติก เป็นที่ชัดเจนว่าปัญหาเรื่องขนาดได้รับการพิจารณาโดยคำนึงถึงห้องที่จะตั้งอยู่และวัตถุโดยรอบ

เมื่อพูดถึงสัดส่วน (อัตราส่วนของค่ามิติ) เรานำมาพิจารณาในรูปแบบของภาพแบน (รูปภาพ, ประดับมุก) ในอัตราส่วนของขนาดโดยรวม (ความยาว, ความสูง, ความกว้าง) ของวัตถุสามมิติใน อัตราส่วนของวัตถุสองชิ้นที่เป็นชุดเดียวกันซึ่งมีความสูงหรือความยาวต่างกัน ในอัตราส่วนของสองส่วนที่แตกต่างกันอย่างชัดเจนของวัตถุเดียวกัน เป็นต้น

ในวิจิตรศิลป์คลาสสิก มีวิธีการสร้างสัดส่วนที่เรียกว่าอัตราส่วนทองคำหรือตัวเลขสีทองมาเป็นเวลาหลายศตวรรษ หลักการของส่วนสีทองหรือสมมาตรแบบไดนามิกคือ "อัตราส่วนระหว่างสองส่วนทั้งหมดเท่ากับอัตราส่วนของส่วนที่มากกว่าต่อส่วนทั้งหมด" (หรือตามนั้น ทั้งหมดไปยังส่วนที่มากกว่า) ทางคณิตศาสตร์มัน

ตัวเลขจะแสดงเป็น - 1 ± 2? 5 - ซึ่งให้ 1.6180339 ... หรือ 0.6180339 ... ในงานศิลปะ 1.62 ถือเป็นตัวเลขสีทองนั่นคือ การแสดงออกโดยประมาณของอัตราส่วนของค่าที่มากกว่าตามสัดส่วนที่น้อยกว่า ค่า.
จากค่าประมาณถึงแม่นยำยิ่งขึ้น อัตราส่วนนี้สามารถแสดงได้: ฯลฯ โดยที่: 5+3=8, 8+5=13 เป็นต้น หรือ: 2.2:3.3:5.5:8 .8 เป็นต้น โดยที่ 2.2 + 3.3 -5.5 เป็นต้น

ในกราฟ อัตราส่วนทองคำสามารถแสดงโดยอัตราส่วนของส่วนต่างๆ ที่ได้จากโครงสร้างต่างๆ ในความเห็นของเราสะดวกกว่าคือการก่อสร้างที่แสดงในรูปที่ 169: ถ้าเราบวกด้านสั้นของมันเข้ากับเส้นทแยงมุมของครึ่งสี่เหลี่ยม เราก็จะได้ค่าที่สัมพันธ์กับตัวเลขสีทองกับด้านยาวของมัน

ข้าว. 169. โครงสร้างทางเรขาคณิตของสี่เหลี่ยมผืนผ้าในอัตราส่วนทองคำ 1.62: 1. ตัวเลขสีทอง 1.62 เทียบกับส่วนต่างๆ (a และ b)

ข้าว. 170. การสร้างกราฟิกของฟังก์ชันอัตราส่วนทองคำ 1.12: 1

สัดส่วนของสองอัตราส่วนทองคำ

สร้างความรู้สึกของความสามัคคีและความสมดุล มีอัตราส่วนที่กลมกลืนกันของปริมาณสองปริมาณที่อยู่ติดกันซึ่งแสดงด้วยหมายเลข 1.12 เป็นฟังก์ชันของตัวเลขสีทอง: หากคุณนำผลต่างระหว่างค่าสองค่าของส่วนสีทองมาหารด้วยอัตราส่วนทองคำแล้วเพิ่มแต่ละส่วนให้กับมูลค่าที่น้อยกว่าของส่วนสีทองดั้งเดิม คุณจะได้ อัตราส่วน 1.12 (รูปที่ 170) ในแง่นี้ ตัวอย่างเช่น องค์ประกอบตรงกลาง (ชั้นวาง) ถูกวาดด้วยตัวอักษร H, P, Z เป็นต้น ในแบบอักษรบางแบบ สัดส่วนของความสูงและความกว้างจะใช้สำหรับตัวอักษรกว้าง อัตราส่วนนี้ยังพบได้ในธรรมชาติ

ตัวเลขสีทองสังเกตได้ในสัดส่วนของบุคคลที่พัฒนาอย่างกลมกลืน (รูปที่ 171): ความยาวของศีรษะแบ่งระยะห่างจากเอวถึงส่วนบนของศีรษะในส่วนสีทอง หัวเข่ายังแบ่งระยะห่างจากเอวถึงฝ่าเท้า ปลายนิ้วกลางของมือที่เหยียดออกแบ่งความสูงทั้งหมดของบุคคลในอัตราส่วนทองคำ อัตราส่วนของช่วงนิ้วก็เป็นตัวเลขสีทองเช่นกัน ปรากฏการณ์เดียวกันนี้ยังพบเห็นได้ในโครงสร้างอื่นๆ ของธรรมชาติ เช่น เกลียวของหอย ในกลีบของดอกไม้ เป็นต้น

ข้าว. 172. สัดส่วนทองคำของใบเจอเรเนียมแกะสลัก (pelargonium) การก่อสร้าง: 1) ใช้กราฟมาตราส่วน (ดูรูปที่ 171) เรากำลังสร้างหรือไม่? เอบีซี	ข้าว. 173. ใบองุ่นห้ากลีบและสามกลีบ อัตราส่วนความยาวต่อความกว้างคือ 1.12 แสดงอัตราส่วนทองคำ

ในรูป 172 และ 173 แสดงการสร้างภาพวาดใบเจอเรเนียม (pelargonium) และใบองุ่นในสัดส่วนทองคำ 1.62 และ 1.12 ในใบเจอเรเนียม ฐานการก่อสร้างเป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูป: ABC และ CEF โดยที่อัตราส่วนของความสูงและฐานของแต่ละรายการแสดงด้วยตัวเลข 0.62 และ 1.62 และระยะห่างระหว่างจุดที่ไกลที่สุดสามคู่ของ ใบไม้คือ: AB=CE=SF. การก่อสร้างระบุไว้ในภาพวาด การออกแบบของใบไม้ดังกล่าวเป็นเรื่องปกติของเจอเรเนียมซึ่งมีใบแกะสลักคล้ายกัน

ใบต้นไม้ระนาบทั่วไป (รูปที่ 173) มีสัดส่วนเท่ากับใบองุ่น เทียบกับ 1.12 แต่ใบองุ่นสัดส่วนใหญ่คือความยาว และใบของต้นไม้ระนาบคือความกว้าง ใบมะเดื่อมีสามขนาดตามสัดส่วนสัมพันธ์กับ 1.62 การติดต่อทางสถาปัตยกรรมดังกล่าวเรียกว่ากลุ่มสาม (สำหรับสี่สัดส่วน - tetrad และอื่น ๆ : pectad, hexod)

ในรูป 174 แสดงวิธีการก่อสร้างตามสัดส่วนของส่วนสีทองของใบเมเปิล ด้วยอัตราส่วนความกว้างต่อความยาว 1.12 มีหลายสัดส่วนด้วยจำนวน 1.62 การก่อสร้างขึ้นอยู่กับสี่เหลี่ยมคางหมูสองอันซึ่งอัตราส่วนของความสูงและความยาวของฐานจะแสดงด้วยตัวเลขสีทอง โครงสร้างแสดงในภาพวาดและมีตัวเลือกสำหรับรูปร่างของใบเมเปิ้ลด้วย

ในงานวิจิตรศิลป์ ศิลปินหรือประติมากร ไม่ว่าจะรู้ตัวหรือไม่รู้ตัว เชื่อสายตาที่ฝึกฝนมา มักใช้อัตราส่วนของขนาดในอัตราส่วนทองคำ ดังนั้นในขณะที่ทำงานกับสำเนาจากหัวของพระคริสต์ (ตามที่มีเกลันเจโล) ผู้เขียนหนังสือเล่มนี้สังเกตเห็นว่าลอนผมที่อยู่ติดกันนั้นสะท้อนอัตราส่วนของส่วนสีทองในขนาดและรูปร่าง - เกลียวของอาร์คิมิดีส หมุนวน ท่านผู้อ่านสามารถเห็นได้ด้วยตนเองว่าในภาพวาดของศิลปินคลาสสิกจำนวนหนึ่ง บุคคลศูนย์กลางตั้งอยู่จากด้านข้างของรูปแบบในระยะทางที่ประกอบเป็นสัดส่วนของส่วนสีทอง (เช่น การจัดวางส่วนหัวทั้งในแนวตั้งและแนวนอน) ในภาพเหมือนของ M. I. Lopukhina โดย V. Borovikovsky วางตำแหน่งตามแนวตั้งตรงกลางของศีรษะในรูปของ A. S. Pushkin โดย O. Kiprensky และคนอื่นๆ บางครั้งสามารถเห็นเช่นเดียวกันกับการวางเส้นขอบฟ้า (F. Vasiliev: "Wet Meadow", I. Levitan: "March", "Evening Bells")

แน่นอนว่ากฎข้อนี้ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาการจัดองค์ประกอบภาพเสมอไป และไม่ควรแทนที่สัญชาตญาณของศิลปินในเรื่องจังหวะและสัดส่วนในงานของศิลปิน ตัวอย่างเช่น เป็นที่ทราบกันดีว่าศิลปินบางคนใช้อัตราส่วนของ "ตัวเลขทางดนตรี" ในการแต่งเพลง: สาม สี่ ห้า (2:3, 3:4 ฯลฯ) นักวิจารณ์ศิลปะไม่ใช่โดยไม่มีเหตุผล โปรดทราบว่าการออกแบบอนุสาวรีย์คลาสสิกของสถาปัตยกรรมหรือประติมากรรม ถ้าต้องการ สามารถปรับอัตราส่วนของตัวเลขได้ งานของเราในกรณีนี้ และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง งานของศิลปินมือใหม่หรือช่างแกะสลักไม้ คือการเรียนรู้วิธีการสร้างองค์ประกอบโดยเจตนาของงานของเขา ไม่ใช่ตามอัตราส่วนแบบสุ่ม แต่ตามสัดส่วนที่กลมกลืนกัน ซึ่งพิสูจน์แล้วโดยการปฏิบัติ สัดส่วนที่กลมกลืนกันเหล่านี้จะต้องสามารถระบุและเน้นการออกแบบและรูปทรงของผลิตภัณฑ์ได้

ให้เราพิจารณาเป็นตัวอย่างของการค้นหาสัดส่วนที่กลมกลืนกัน การกำหนดขนาดของเฟรมสำหรับงานที่แสดงในรูปที่ 175. รูปแบบของภาพที่วางอยู่ในสัดส่วนของส่วนสีทอง ขนาดภายนอกของกรอบที่มีความกว้างด้านข้างเท่ากันจะไม่ให้อัตราส่วนทองคำ ดังนั้นอัตราส่วนของความยาวและความกว้าง (ЗЗ0X220) จึงน้อยกว่าตัวเลขสีทองซึ่งเท่ากับ 1.5 และความกว้างของลิงค์ตามขวางจะเพิ่มขึ้นตามลำดับเมื่อเทียบกับด้านข้าง ทำให้สามารถเข้าถึงขนาดของเฟรมในแสงได้ (สำหรับรูปภาพ) ทำให้ได้สัดส่วนของส่วนสีทอง อัตราส่วนความกว้างของลิงค์ล่างของเฟรมต่อความกว้างของลิงค์บนจะถูกปรับเป็นตัวเลขสีทองอื่น เช่น ถึง 1.12 นอกจากนี้ อัตราส่วนความกว้างของลิงค์ล่างกับความกว้างของด้านข้าง (94:63) นั้นใกล้เคียงกับ 1.5 (ในรูป - ตัวเลือกทางด้านซ้าย)

ตอนนี้ทำการทดลอง: เราจะเพิ่มด้านยาวของเฟรมเป็น 366 มม. เนื่องจากความกว้างของลิงค์ด้านล่าง (จะเป็น 130 มม.) (ในรูป - ตัวเลือกทางด้านขวา) ซึ่งจะไม่เพียง อัตราส่วนแต่ใกล้เคียงกับทอง
หมายเลข 1.62 แทนที่จะเป็น 1.12 ผลลัพธ์ที่ได้คือการจัดองค์ประกอบใหม่ที่สามารถนำมาใช้ในผลิตภัณฑ์อื่นๆ ได้ แต่สำหรับกรอบนั้น มีความต้องการที่จะทำให้มันสั้นลง ปิดส่วนล่างของมันด้วยไม้บรรทัดเพื่อให้ตา "ยอมรับ" สัดส่วนที่ได้และเราจะได้ความยาว 330 มม. นั่นคือเราจะเข้าใกล้รุ่นดั้งเดิม

ดังนั้น การวิเคราะห์ทางเลือกต่างๆ (อาจมีอย่างอื่นนอกเหนือจากที่วิเคราะห์) อาจารย์ก็หยุดที่ทางออกเดียวที่เป็นไปได้จากมุมมองของเขา

การประยุกต์ใช้หลักการของส่วนสีทองในการค้นหาองค์ประกอบที่ต้องการทำได้ดีที่สุดโดยใช้อุปกรณ์ง่ายๆ แผนผังของการออกแบบที่แสดงในรูปที่ 176. ไม้บรรทัดสองตัวของอุปกรณ์นี้สามารถหมุนไปรอบ ๆ บานพับ B เพื่อสร้างมุมโดยพลการ หากสำหรับการเปิดมุมใด ๆ เราแบ่งระยะทาง AC ในส่วนสีทองด้วยจุด K และติดตั้งไม้บรรทัดอีกสองตัว: KM\\BC และ KE\\AB พร้อมบานพับที่จุด K, E และ M จากนั้นสำหรับ AC ใด ๆ สารละลาย ระยะนี้จะถูกหารด้วยจุด K เทียบกับอัตราส่วนทองคำ

อัตราส่วนทองคำ - คณิตศาสตร์

บุคคลแยกแยะวัตถุรอบตัวเขาด้วยรูปร่าง ความสนใจในรูปแบบของวัตถุอาจถูกกำหนดโดยความจำเป็นที่สำคัญ หรืออาจเกิดจากความงามของรูปแบบ รูปแบบซึ่งมีพื้นฐานมาจากการผสมผสานระหว่างความสมมาตรและอัตราส่วนทองคำ มีส่วนช่วยในการรับรู้ภาพที่ดีที่สุดและรูปลักษณ์ของความงามและความกลมกลืน ส่วนประกอบทั้งหมดประกอบด้วยชิ้นส่วนเสมอ ส่วนที่มีขนาดต่างกันมีความสัมพันธ์ซึ่งกันและกันและต่อทั้งหมด หลักการของส่วนสีทองเป็นการแสดงสูงสุดของความสมบูรณ์แบบของโครงสร้างและการใช้งานของทั้งส่วนและส่วนต่างๆ ในงานศิลปะ วิทยาศาสตร์ เทคโนโลยีและธรรมชาติ

อัตราส่วนทองคำ - สัดส่วนฮาร์มอนิก

ในวิชาคณิตศาสตร์ สัดส่วน (Latin proportio) คือ ความเท่าเทียมกันของอัตราส่วนสองอัตราส่วน: a: b = c: d
ส่วนของเส้นตรง AB สามารถแบ่งออกเป็นสองส่วนดังนี้:
ออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน - AB: AC = AB: BC;
เป็นสองส่วนไม่เท่ากันในอัตราส่วนใด ๆ (ส่วนดังกล่าวไม่เป็นสัดส่วน)
ดังนั้น เมื่อ AB: AC = AC: BC
ส่วนหลังเป็นส่วนสีทองหรือส่วนของส่วนในอัตราส่วนสูงสุดและเฉลี่ย
ส่วนสีทองเป็นการแบ่งสัดส่วนของส่วนออกเป็นส่วนที่ไม่เท่ากัน ซึ่งส่วนทั้งหมดเกี่ยวข้องกับส่วนที่ใหญ่กว่าในลักษณะเดียวกับส่วนที่ใหญ่กว่านั้นสัมพันธ์กับส่วนที่เล็กกว่า หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ส่วนที่เล็กกว่าเกี่ยวข้องกับส่วนที่ใหญ่กว่าเนื่องจากส่วนที่ใหญ่กว่าคือทุกสิ่ง

a: b = b: c หรือ c: b = b: a.

ข้าว. 1. การแสดงทางเรขาคณิตของอัตราส่วนทองคำ

ความคุ้นเคยในทางปฏิบัติกับอัตราส่วนทองคำเริ่มต้นด้วยการแบ่งส่วนของเส้นตรงในอัตราส่วนทองคำโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด

ข้าว. 2. การแบ่งส่วนของเส้นตรงตามส่วนสีทอง BC = 1/2 AB; ซีดี=BC

จากจุด B เส้นตั้งฉากเท่ากับครึ่ง AB จะถูกคืนค่า จุดที่เป็นผลลัพธ์ C เชื่อมต่อด้วยเส้นหนึ่งไปยังจุด A บนเส้นผลลัพธ์ จะมีการลงจุดส่วน BC และลงท้ายด้วยจุด D ส่วน AD จะถูกโอนไปยังเส้นตรง AB จุดที่เกิด E แบ่งส่วน AB ในอัตราส่วนของอัตราส่วนทองคำ

ส่วนของอัตราส่วนทองคำแสดงเป็นเศษส่วนอนันต์ AE \u003d 0.618 ... หากนำ AB เป็นหน่วย BE \u003d 0.382 ... เพื่อวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติ ค่าโดยประมาณคือ 0.62 และ 0.38 มักใช้ หากเซ็กเมนต์ AB ถูกใช้เป็น 100 ส่วน ส่วนที่ใหญ่กว่าของเซ็กเมนต์คือ 62 และส่วนที่เล็กกว่าคือ 38 ส่วน

คุณสมบัติของส่วนสีทองอธิบายโดยสมการ:
x2 - x - 1 = 0.

แก้สมการนี้:

คุณสมบัติของส่วนสีทองสร้างออร่าโรแมนติกของความลึกลับและการบูชาที่ลึกลับเกือบรอบตัวเลขนี้

อัตราส่วนทองคำที่สอง

นิตยสารบัลแกเรีย "ปิตุภูมิ" (ฉบับที่ 10, 1983) ตีพิมพ์บทความโดย Tsvetan Tsekov-Karandash "ในส่วนสีทองที่สอง" ซึ่งต่อจากส่วนหลักและให้อัตราส่วนที่แตกต่างกัน 44: 56
สัดส่วนดังกล่าวพบได้ในสถาปัตยกรรมและยังเกิดขึ้นในการสร้างองค์ประกอบของรูปภาพในรูปแบบแนวนอนยาว

การแบ่งจะดำเนินการดังนี้ ส่วน AB แบ่งตามสัดส่วนส่วนสีทอง จากจุด C ซีดีตั้งฉากจะถูกกู้คืน รัศมี AB คือจุด D ซึ่งเชื่อมต่อด้วยเส้นตรงไปยังจุด A มุมขวา ACD ถูกแบ่งออกเป็นสองส่วน เส้นถูกลากจากจุด C ไปยังจุดตัดกับเส้น AD จุดแบ่งส่วน AD สัมพันธ์กับ 56:44

ข้าว. 3. การก่อสร้างส่วนสีทองที่สอง

ข้าว. 4. หารสี่เหลี่ยมด้วยเส้นของส่วนสีทองที่สอง

รูปแสดงตำแหน่งของเส้นของส่วนสีทองที่สอง ตั้งอยู่ตรงกลางระหว่างเส้นส่วนสีทองกับเส้นกลางของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

สามเหลี่ยมทองคำ

ในการค้นหาส่วนของอัตราส่วนทองคำของแถวจากน้อยไปมากและจากมากไปน้อย คุณสามารถใช้รูปดาวห้าแฉกได้

ข้าว. 5. การสร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติและรูปดาวห้าแฉก

ในการสร้างรูปดาวห้าแฉก คุณต้องสร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติ วิธีการก่อสร้างได้รับการพัฒนาโดยจิตรกรชาวเยอรมันและศิลปินกราฟิก Albrecht Dürer (1471…1528) ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม A จุดบนวงกลม และ E เป็นจุดกึ่งกลางของส่วน OA ตั้งฉากกับรัศมี OA ยกขึ้นที่จุด O ตัดกับวงกลมที่จุด D ใช้เข็มทิศ ทำเครื่องหมายส่วน CE = ED บนเส้นผ่านศูนย์กลาง ความยาวของด้านของรูปห้าเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้ในวงกลมคือ DC เราแยกส่วน DC บนวงกลมและรับห้าคะแนนสำหรับการวาดรูปห้าเหลี่ยมปกติ เราเชื่อมต่อมุมของรูปห้าเหลี่ยมผ่านแนวทแยงหนึ่งเส้นแล้วได้รูปดาวห้าแฉก เส้นทแยงมุมทั้งหมดของรูปห้าเหลี่ยมแบ่งกันเป็นส่วน ๆ ที่เชื่อมต่อกันด้วยอัตราส่วนทองคำ
ปลายแต่ละด้านของดาวห้าเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมทองคำ ด้านข้างทำมุม 36° ที่ด้านบน และฐานที่วางด้านข้างแบ่งตามสัดส่วนกับส่วนสีทอง

ลากเส้นตรง AB จากจุด A เราวางส่วนของค่าที่กำหนดเองสามครั้งวาดฉากตั้งฉากกับเส้น AB ผ่านจุดที่ได้รับ P วางส่วน O บนแนวตั้งฉากกับด้านขวาและซ้ายของจุด P เราเชื่อมต่อจุดที่เป็นผล d และ d1 ด้วยเส้นตรงไปยังจุด A เราใส่ส่วน dd1 บนเส้น Ad1 เพื่อให้ได้จุด C เธอแบ่งเส้น Ad1 ตามสัดส่วนของอัตราส่วนทองคำ เส้น Ad1 และ dd1 ใช้สร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้า "สีทอง"

ข้าว. 6. สร้างสามเหลี่ยมทองคำ

ประวัติส่วนทองคำ

เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าแนวคิดของการแบ่งทองคำถูกนำมาใช้ทางวิทยาศาสตร์โดยพีทาโกรัสนักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ (ศตวรรษที่หกก่อนคริสต์ศักราช) มีข้อสันนิษฐานว่าพีธากอรัสยืมความรู้ของเขาเกี่ยวกับการแบ่งทองคำจากชาวอียิปต์และชาวบาบิโลน อันที่จริงสัดส่วนของปิรามิด Cheops, วัด, รูปปั้นนูน, ของใช้ในครัวเรือนและของประดับตกแต่งจากหลุมฝังศพของตุตันคามุนระบุว่าช่างฝีมือชาวอียิปต์ใช้อัตราส่วนของส่วนสีทองในการสร้าง สถาปนิกชาวฝรั่งเศส Le Corbusier พบว่าในความโล่งใจจากวิหารของฟาโรห์ Seti I ใน Abydos และในภาพนูนของฟาโรห์รามเสสสัดส่วนของตัวเลขสอดคล้องกับค่าของการแบ่งสีทอง สถาปนิกเคสิราซึ่งวาดภาพบนแผ่นไม้จากหลุมฝังศพของชื่อของเขาถือเครื่องมือวัดในมือซึ่งสัดส่วนของส่วนสีทองได้รับการแก้ไข
ชาวกรีกเป็น geometers ที่มีทักษะ แม้แต่เลขคณิตก็ถูกสอนให้ลูก ๆ ของพวกเขาใช้รูปทรงเรขาคณิต จตุรัสพีทาโกรัสและเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้เป็นพื้นฐานสำหรับการสร้างสี่เหลี่ยมไดนามิก

ข้าว. 7. สี่เหลี่ยมผืนผ้าไดนามิก

เพลโต (427 ... 347 ปีก่อนคริสตกาล) ก็รู้เรื่องการแบ่งทองคำเช่นกัน บทสนทนา "Timaeus" ของเขาทุ่มเทให้กับมุมมองทางคณิตศาสตร์และสุนทรียศาสตร์ของโรงเรียน Pythagoras และโดยเฉพาะอย่างยิ่งกับคำถามของแผนกทองคำ
ที่ด้านหน้าของวิหารกรีกโบราณของวิหารพาร์เธนอนมีสัดส่วนสีทอง ในระหว่างการขุดพบวงเวียนซึ่งถูกใช้โดยสถาปนิกและประติมากรของโลกโบราณ เข็มทิศปอมเปี้ยน (พิพิธภัณฑ์ในเนเปิลส์) ยังมีสัดส่วนของการแบ่งทองคำ

ข้าว. 8. เข็มทิศโบราณอัตราส่วนทองคำ

ในวรรณคดีโบราณที่ลงมาสู่เรา การแบ่งส่วนสีทองเป็นครั้งแรกในองค์ประกอบของยุคลิด ในหนังสือเล่มที่ 2 ของ "จุดเริ่มต้น" มีการสร้างเรขาคณิตของแผนกทองคำ หลังจาก Euclid, Hypsicles (ศตวรรษที่ II ก่อนคริสต์ศักราช), Pappus (ศตวรรษที่ III) และคนอื่น ๆ ได้มีส่วนร่วมในการศึกษาส่วนสีทอง ในยุโรปยุคกลาง กับดิวิชั่นสีทอง เราพบกันผ่านการแปลภาษาอาหรับของ Euclid's Elements ผู้แปล J. Campano จาก Navarre (ศตวรรษที่ 3) ให้ความเห็นเกี่ยวกับการแปล ความลับของฝ่ายทองคำได้รับการปกป้องอย่างหึงหวงและถูกเก็บเป็นความลับอย่างเข้มงวด พวกเขารู้จักเฉพาะผู้ประทับจิตเท่านั้น
ในช่วงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา ความสนใจในการแบ่งทองคำในหมู่นักวิทยาศาสตร์และศิลปินเพิ่มขึ้นตามการใช้งานทั้งในเรขาคณิตและในงานศิลปะ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในงานสถาปัตยกรรม เลโอนาร์โด ดา วินชี ศิลปินและนักวิทยาศาสตร์ เห็นว่า ศิลปินชาวอิตาลีมีประสบการณ์เชิงประจักษ์มากแต่ความรู้น้อย . เขาตั้งครรภ์และเริ่มเขียนหนังสือเกี่ยวกับเรขาคณิต แต่ในเวลานั้นมีหนังสือของพระลูก้า ปาซิโอลีปรากฏขึ้น และเลโอนาร์โดละทิ้งความคิดของเขา นักคณิตศาสตร์ร่วมสมัยและนักประวัติศาสตร์ทางวิทยาศาสตร์กล่าวว่า ลูก้า ปาซิโอลิเป็นนักคณิตศาสตร์อย่างแท้จริง นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในอิตาลีระหว่างฟีโบนักชีและกาลิเลโอ ลูก้า ปาซิโอลีเป็นนักเรียนของศิลปินชื่อ ปิเอโร เดลลา ฟรานเชสก้า ผู้เขียนหนังสือสองเล่ม ซึ่งเล่มหนึ่งเรียกว่ามุมมองด้านจิตรกรรม เขาถือเป็นผู้สร้างเรขาคณิตเชิงพรรณนา
Luca Pacioli ตระหนักดีถึงความสำคัญของวิทยาศาสตร์สำหรับศิลปะ ในปี 1496 ตามคำเชิญของ Duke of Moreau เขามาที่มิลานซึ่งเขาสอนวิชาคณิตศาสตร์ Leonardo da Vinci ยังทำงานที่ศาล Moro ในมิลานในเวลานั้น ในปี ค.ศ. 1509 Divine Proportion ของ Luca Pacioli ได้รับการตีพิมพ์ในเมืองเวนิสด้วยภาพประกอบที่วิจิตรบรรจง ซึ่งเป็นเหตุผลที่เชื่อกันว่า Leonardo da Vinci สร้างขึ้นมา หนังสือเล่มนี้เป็นเพลงสวดที่มีความกระตือรือร้นต่ออัตราส่วนทองคำ ในบรรดาข้อดีหลายประการของอัตราส่วนทองคำ พระลูก้า ปาซิโอลิไม่ได้ล้มเหลวที่จะเรียก "แก่นแท้อันศักดิ์สิทธิ์" ของมันว่าเป็นการแสดงออกถึงตรีเอกานุภาพของพระเจ้าพระบุตร พระเจ้าพระบิดา และพระเจ้าพระวิญญาณบริสุทธิ์ (เป็นที่เข้าใจกันว่า ส่วนคือตัวตนของพระเจ้าพระบุตรส่วนที่ใหญ่กว่าคือตัวตนของพระเจ้าพระบิดาและส่วนทั้งหมด - เทพเจ้าแห่งพระวิญญาณบริสุทธิ์)
Leonardo da Vinci ยังให้ความสนใจอย่างมากกับการศึกษาเรื่องแผนกทองคำ เขาสร้างส่วนต่างๆ ของร่างกายแบบสามมิติโดยเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ และทุกครั้งที่เขาได้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีอัตราส่วนกว้างยาวในส่วนสีทอง ดังนั้นเขาจึงตั้งชื่อแผนกนี้ว่าส่วนสีทอง จึงยังคงได้รับความนิยมมากที่สุด
ในเวลาเดียวกัน ในยุโรปเหนือ ในเยอรมนี Albrecht Dürer กำลังทำงานในปัญหาเดียวกัน เขาร่างบทนำสู่ร่างแรกของบทความเรื่องสัดส่วน Durer เขียน “จำเป็นที่ผู้รู้บางสิ่งควรสอนสิ่งนั้นแก่ผู้อื่นที่ต้องการสิ่งนั้น นี่คือสิ่งที่ฉันตั้งใจจะทำ”
เมื่อพิจารณาจากจดหมายฉบับหนึ่งของดูเรร์ เขาได้พบกับลูก้า ปาซิโอลี่ระหว่างที่เขาอยู่ที่อิตาลี Albrecht Dürerพัฒนารายละเอียดทฤษฎีเกี่ยวกับสัดส่วนของร่างกายมนุษย์ Dürer กำหนดสถานที่สำคัญในระบบอัตราส่วนของเขาให้กับส่วนสีทอง ความสูงของบุคคลแบ่งออกเป็นสัดส่วนสีทองตามเส้นเข็มขัดเช่นเดียวกับเส้นที่ลากผ่านปลายนิ้วกลางของมือที่ลดลงส่วนล่างของใบหน้า - โดยปาก ฯลฯ รู้จักเข็มทิศสัดส่วนDürer
นักดาราศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่แห่งศตวรรษที่ 16 Johannes Kepler เรียกอัตราส่วนทองคำว่าเป็นสมบัติทางเรขาคณิตอย่างหนึ่ง เขาเป็นคนแรกที่ให้ความสนใจกับความสำคัญของอัตราส่วนทองคำสำหรับพฤกษศาสตร์ (การเจริญเติบโตและโครงสร้างของพืช)
Kepler เรียกว่าอัตราส่วนทองคำต่อเนื่องกัน “มันถูกจัดเรียงในลักษณะนี้” เขาเขียนว่า “สองเทอมย่อยของสัดส่วนอนันต์นี้รวมกันเป็นเทอมที่สามและสองเทอมสุดท้ายหากรวมกันแล้วให้ เทอมถัดไป และสัดส่วนเดิมยังคงอยู่จนถึงอนันต์"
การสร้างชุดของส่วนของอัตราส่วนทองคำสามารถทำได้ทั้งในทิศทางที่เพิ่มขึ้น (อนุกรมที่เพิ่มขึ้น) และในทิศทางของการลด (ชุดจากมากไปน้อย)
หากอยู่บนเส้นตรงที่มีความยาวตามอำเภอใจ ให้แยกส่วน m ไว้ ต่อไปเราจะแยกส่วน M ออกจากกัน โดยยึดตามสองส่วนนี้ เราสร้างมาตราส่วนของสัดส่วนสีทองของแถวขึ้นและลง

ข้าว. 9. การสร้างมาตราส่วนของอัตราส่วนทองคำ

ในศตวรรษต่อมา กฎของอัตราส่วนทองคำกลายเป็นหลักการทางวิชาการ และเมื่อเวลาผ่านไป การต่อสู้เริ่มขึ้นในงานศิลปะด้วยกิจวัตรทางวิชาการ ท่ามกลางความร้อนระอุของการต่อสู้ "พวกเขาโยนเด็กออกไปพร้อมกับน้ำ ” ส่วนสีทองถูก "ค้นพบ" อีกครั้งในกลางศตวรรษที่ 19 ในปี ค.ศ. 1855 ศาสตราจารย์ Zeising นักวิจัยชาวเยอรมันของแผนกทองคำได้ตีพิมพ์ผลงานของเขา Aesthetic Research ด้วย Zeising สิ่งที่เกิดขึ้นย่อมเกิดขึ้นกับนักวิจัยที่ถือว่าปรากฏการณ์ดังกล่าวเป็นเช่นนี้อย่างแน่นอน โดยไม่เกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์อื่น เขาได้ทำให้สัดส่วนของส่วนสีทองสมบูรณ์โดยประกาศว่าเป็นสากลสำหรับปรากฏการณ์ทางธรรมชาติและศิลปะทั้งหมด Zeising มีผู้ติดตามจำนวนมาก แต่ก็มีฝ่ายตรงข้ามที่ประกาศหลักคำสอนเรื่องสัดส่วนของเขาว่าเป็น "สุนทรียศาสตร์ทางคณิตศาสตร์"

ข้าว. 10. สัดส่วนทองคำในส่วนของร่างกายมนุษย์

Zeising ทำได้ดีมาก เขาวัดร่างกายมนุษย์ประมาณสองพันคนและสรุปได้ว่าอัตราส่วนทองคำเป็นการแสดงออกถึงกฎสถิติโดยเฉลี่ย การแบ่งตัวตามจุดสะดือเป็นตัวบ่งชี้ที่สำคัญที่สุดของส่วนสีทอง สัดส่วนของตัวผู้จะผันผวนในอัตราส่วนเฉลี่ย 13: 8 = 1.625 และค่อนข้างใกล้เคียงกับอัตราส่วนทองคำมากกว่าสัดส่วนของร่างกายผู้หญิง ซึ่งสัมพันธ์กับค่าเฉลี่ยของสัดส่วนที่แสดงในอัตราส่วน 8: 5 = 1.6. ในทารกแรกเกิดสัดส่วนคือ 1: 1 เมื่ออายุ 13 ปีจะเป็น 1.6 และเมื่ออายุ 21 ปีจะเท่ากับผู้ชาย สัดส่วนของส่วนสีทองนั้นสัมพันธ์กับส่วนอื่น ๆ ของร่างกายเช่นกัน - ความยาวของไหล่ ปลายแขนและมือ มือและนิ้ว ฯลฯ

ข้าว. 11. สัดส่วนทองคำในร่างมนุษย์

Zeising ทดสอบความถูกต้องของทฤษฎีของเขาเกี่ยวกับรูปปั้นกรีก เขาได้พัฒนาสัดส่วนของ Apollo Belvedere อย่างละเอียดที่สุด แจกันกรีก โครงสร้างสถาปัตยกรรมของยุคต่างๆ พืช สัตว์ ไข่นก โทนดนตรี เมตรกวี อยู่ภายใต้การวิจัย Zeising กำหนดอัตราส่วนทองคำ แสดงให้เห็นว่ามันแสดงในส่วนของเส้นตรงและตัวเลขอย่างไร เมื่อได้ตัวเลขที่แสดงความยาวของเซ็กเมนต์ Zeising เห็นว่าพวกมันประกอบขึ้นเป็นอนุกรมฟีโบนักชีซึ่งสามารถดำเนินต่อไปได้เรื่อย ๆ ในทิศทางเดียวและอีกทางหนึ่ง หนังสือเล่มต่อไปของเขามีชื่อว่า "การแบ่งทองคำเป็นกฎทางสัณฐานวิทยาขั้นพื้นฐานในธรรมชาติและศิลปะ" ในปี พ.ศ. 2419 หนังสือเล่มเล็กซึ่งเกือบจะเป็นแผ่นพับได้รับการตีพิมพ์ในรัสเซียโดยสรุปงานของ Zeising ผู้เขียนได้หลบภัยภายใต้ชื่อย่อ Yu.F.V. ฉบับนี้ไม่ได้กล่าวถึงภาพวาดแม้แต่ภาพเดียว

ในตอนท้ายของ XIX - ต้นศตวรรษที่ XX มีหลายทฤษฎีที่เป็นทางการเกี่ยวกับการใช้ส่วนสีทองในงานศิลปะและสถาปัตยกรรม ด้วยการพัฒนาการออกแบบและสุนทรียภาพทางเทคนิค กฎของอัตราส่วนทองคำขยายไปถึงการออกแบบรถยนต์ เฟอร์นิเจอร์ ฯลฯ

ชุดฟีโบนักชี

ชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีเลโอนาร์โดจากปิซาหรือที่รู้จักกันดีในชื่อฟีโบนักชี (บุตรของโบนักชี) มีความสัมพันธ์ทางอ้อมกับประวัติอัตราส่วนทองคำ เขาเดินทางไปมากในตะวันออก แนะนำยุโรปให้รู้จักกับตัวเลขอินเดีย (อาหรับ) ในปี 1202 งานคณิตศาสตร์ของเขา The Book of the Abacus (Counting Board) ได้รับการตีพิมพ์ซึ่งรวบรวมปัญหาทั้งหมดที่ทราบในเวลานั้น งานหนึ่งอ่านว่า "จะมีกระต่ายกี่คู่ในหนึ่งปีจากคู่หนึ่งจะเกิด" เมื่อพิจารณาถึงหัวข้อนี้ ฟีโบนักชีได้สร้างชุดตัวเลขต่อไปนี้:

ชุดตัวเลข 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 เป็นต้น เรียกว่าชุดฟีโบนักชี ลักษณะเฉพาะของลำดับตัวเลขคือสมาชิกแต่ละตัว เริ่มจากตัวที่สาม เท่ากับผลรวมของสองตัวก่อนหน้า 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34 เป็นต้น และอัตราส่วนของตัวเลขที่อยู่ติดกันของอนุกรมนั้นเข้าใกล้อัตราส่วนของการหารทองคำ ดังนั้น 21:34 = 0.617 และ 34:55 = 0.618 อัตราส่วนนี้แสดงด้วยสัญลักษณ์ Ф เฉพาะอัตราส่วนนี้ - 0.618: 0.382 - ให้การแบ่งส่วนของเส้นตรงอย่างต่อเนื่องในอัตราส่วนทองคำ เพิ่มขึ้นหรือลดลงจนเป็นอนันต์ เมื่อส่วนที่เล็กกว่าสัมพันธ์กับส่วนที่ใหญ่กว่า เช่น ที่ใหญ่กว่าคือทุกอย่าง

ฟีโบนักชียังจัดการกับความต้องการในทางปฏิบัติของการค้า: อะไรคือจำนวนตุ้มน้ำหนักที่น้อยที่สุดที่สามารถใช้ในการชั่งน้ำหนักสินค้าโภคภัณฑ์? ฟีโบนักชีพิสูจน์ว่าระบบน้ำหนักต่อไปนี้เหมาะสมที่สุด: 1, 2, 4, 8, 16...

อัตราส่วนทองคำทั่วไป

อนุกรมฟีโบนักชีอาจเป็นเพียงเหตุการณ์ทางคณิตศาสตร์เท่านั้น หากไม่ใช่เพราะว่านักวิจัยทุกคนเกี่ยวกับการแบ่งทองคำในโลกพืชและสัตว์ ไม่ต้องพูดถึงศิลปะ มาในชุดนี้เป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ของกฎการหารด้วยทองคำอย่างสม่ำเสมอ .

นักวิทยาศาสตร์ยังคงพัฒนาทฤษฎีตัวเลขฟีโบนักชีและอัตราส่วนทองคำอย่างต่อเนื่อง Yu. Matiyasevich แก้ปัญหาที่ 10 ของ Hilbert โดยใช้ตัวเลขฟีโบนักชี มีวิธีการที่สวยงามในการแก้ปัญหาไซเบอร์เนติกส์จำนวนหนึ่ง (ทฤษฎีการค้นหา เกม การเขียนโปรแกรม) โดยใช้ตัวเลขฟีโบนักชีและส่วนสีทอง ในสหรัฐอเมริกา แม้แต่สมาคมคณิตศาสตร์ฟีโบนักชีกำลังถูกสร้างขึ้น ซึ่งตีพิมพ์วารสารพิเศษมาตั้งแต่ปี 2506

หนึ่งในความสำเร็จในด้านนี้คือการค้นพบตัวเลขฟีโบนักชีทั่วไปและอัตราส่วนทองคำทั่วไป

อนุกรมฟีโบนักชี (1, 1, 2, 3, 5, 8) และชุด “ไบนารี” ที่มีน้ำหนัก 1, 2, 4, 8, 16 ที่เขาค้นพบ… แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงในแวบแรก แต่อัลกอริธึมสำหรับการสร้างนั้นคล้ายกันมาก: ในกรณีแรก แต่ละตัวเลขคือผลรวมของตัวเลขก่อนหน้าด้วยตัวมันเอง 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ... ในวินาที - นี่คือผลรวมของสองตัวเลขก่อนหน้า 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... เป็นไปได้ไหมที่จะหาสูตรทางคณิตศาสตร์ทั่วไปที่ได้จากทั้งอนุกรม "ไบนารี" และอนุกรมฟีโบนักชี? หรือสูตรนี้อาจทำให้เรามีชุดตัวเลขใหม่พร้อมคุณสมบัติพิเศษใหม่บางอย่าง

อันที่จริง ให้เราตั้งค่าพารามิเตอร์ตัวเลข สซึ่งสามารถรับค่าใดก็ได้: 0, 1, 2, 3, 4, 5… พิจารณาชุดตัวเลข ส+ 1 ที่มีเทอมแรกเป็นหน่วย และแต่ละเทอมต่อมามีค่าเท่ากับผลรวมของสองเทอมก่อนหน้าและเทอมที่แยกจากกันก่อนหน้านี้โดย สขั้นตอน ถ้า นเราแสดงถึงเทอมที่ ของซีรีส์นี้โดย φส (น) จากนั้นเราจะได้สูตรทั่วไป φเอส( น) = φ S ( น– 1) + φ S (น – ส – 1).

เป็นที่ชัดเจนว่าที่ ส= 0 จากสูตรนี้เราได้อนุกรม "ไบนารี" ด้วย ส= 1 – อนุกรมฟีโบนักชีกับ ส\u003d 2, 3, 4. ชุดตัวเลขใหม่ที่เรียกว่า ส- ตัวเลขฟีโบนักชี

โดยทั่วไปทอง ส-สัดส่วนคือรากบวกของสมการทอง ส-ส่วนx S+1 - x S - 1 = 0

ง่ายที่จะแสดงว่าที่ S = 0 จะได้รับการแบ่งส่วนของเซ็กเมนต์ครึ่งหนึ่ง และที่ S = 1 ส่วนสีทองคลาสสิกที่คุ้นเคย

อัตราส่วนของเลขฟีโบนักชี S ที่อยู่ใกล้เคียงที่มีความแม่นยำทางคณิตศาสตร์สัมบูรณ์ตรงกับขีดจำกัดของสัดส่วน S สีทอง! นักคณิตศาสตร์ในกรณีเช่นนี้กล่าวว่า S-section สีทองเป็นค่าคงที่ตัวเลขของ Fibonacci S-numbers

ข้อเท็จจริงที่ยืนยันการมีอยู่ของส่วน S สีทองในธรรมชาตินั้นได้รับจากนักวิทยาศาสตร์ชาวเบลารุส E.M. Soroko ในหนังสือ "Structural Harmony of Systems" (มินสค์, "วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี", 1984) ตัวอย่างเช่น ปรากฎว่าโลหะผสมไบนารีที่ได้รับการศึกษามาอย่างดีนั้นมีคุณสมบัติการทำงานที่พิเศษและเด่นชัด (มีความเสถียรทางความร้อน แข็ง ทนต่อการสึกหรอ ทนต่อการเกิดออกซิเดชัน เป็นต้น) เฉพาะในกรณีที่แรงโน้มถ่วงจำเพาะของส่วนประกอบเริ่มต้นนั้นสัมพันธ์กัน โดยหนึ่งในสัดส่วน S สีทอง สิ่งนี้ทำให้ผู้เขียนสามารถเสนอสมมติฐานว่าส่วน S สีทองเป็นค่าคงที่เชิงตัวเลขของระบบการจัดระเบียบตนเอง เมื่อได้รับการยืนยันจากการทดลองแล้ว สมมติฐานนี้สามารถมีความสำคัญพื้นฐานสำหรับการพัฒนาซินเนอร์เจติก ซึ่งเป็นสาขาใหม่ของวิทยาศาสตร์ที่ศึกษากระบวนการในระบบการจัดการตนเอง

การใช้รหัสสัดส่วน S สีทอง จำนวนจริงใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมขององศาของสัดส่วน S สีทองที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

ความแตกต่างพื้นฐานระหว่างวิธีการเข้ารหัสตัวเลขนี้คือ ฐานของรหัสใหม่ ซึ่งเป็นสัดส่วน S สีทองสำหรับ S> 0 กลายเป็นจำนวนอตรรกยะ ดังนั้น ระบบตัวเลขใหม่ที่มีฐานอตรรกยะ ดังเช่นที่เป็นอยู่ ได้วางลำดับชั้นของความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ "กลับด้าน" ความจริงก็คือในตอนแรกตัวเลขธรรมชาตินั้น "ค้นพบ"; แล้วอัตราส่วนของพวกมันก็คือจำนวนตรรกยะ และต่อมา - หลังจากที่ชาวพีทาโกรัสค้นพบส่วนที่เทียบไม่ได้ - จำนวนอตรรกยะก็ปรากฏขึ้น ตัวอย่างเช่น ในระบบเลขฐานสิบ ควินารี เลขฐานสอง และระบบเลขตำแหน่งแบบคลาสสิกอื่นๆ ตัวเลขธรรมชาติ - 10, 5, 2 - ถูกเลือกให้เป็นหลักการพื้นฐานประเภทหนึ่ง ซึ่งตามกฎเกณฑ์บางประการ เป็นธรรมชาติอื่นๆ และมีเหตุผล และสร้างจำนวนอตรรกยะ

ทางเลือกหนึ่งสำหรับวิธีการนับที่มีอยู่คือระบบใหม่ที่ไม่ลงตัว ซึ่งเป็นหลักการพื้นฐาน ซึ่งจุดเริ่มต้นที่เลือกเป็นจำนวนอตรรกยะ (ซึ่งเราจำได้ว่าเป็นรากของสมการส่วนสีทอง) จำนวนจริงอื่น ๆ ถูกแสดงผ่านมันแล้ว

ในระบบตัวเลขดังกล่าว จำนวนธรรมชาติใดๆ จะถูกแทนด้วยจำนวนจำกัดเสมอ - และไม่ใช่อนันต์อย่างที่คิดไว้ก่อนหน้านี้! คือผลรวมของพลังของสัดส่วน S สีทองใดๆ นี่เป็นหนึ่งในเหตุผลที่เลขคณิต "ไม่ลงตัว" ซึ่งมีความเรียบง่ายและความสง่างามทางคณิตศาสตร์ที่น่าทึ่ง ดูเหมือนว่าจะซึมซับคุณสมบัติที่ดีที่สุดของเลขฐานสองคลาสสิกและเลขคณิต "ฟีโบนักชี"

หลักการสร้างรูปร่างในธรรมชาติ

ทุกสิ่งที่ก่อตัวขึ้น เติบโต พยายามเกิดขึ้นในอวกาศและรักษาตัวเองไว้ ความทะเยอทะยานนี้พบความสมหวังในสองรูปแบบหลัก - การเติบโตที่สูงขึ้นหรือแผ่ไปทั่วพื้นผิวโลกและบิดเป็นเกลียว

เปลือกบิดเป็นเกลียว หากคลี่ออก คุณจะได้ความยาวที่น้อยกว่าความยาวของงูเล็กน้อย เปลือกขนาดเล็กสิบเซนติเมตรมีเกลียวยาว 35 ซม. เกลียวมีอยู่ทั่วไปในธรรมชาติ แนวคิดของอัตราส่วนทองคำจะไม่สมบูรณ์หากไม่พูดถึงเกลียว

ข้าว. 12. เกลียวของอาร์คิมิดีส

รูปร่างของเปลือกที่ม้วนเป็นเกลียวดึงดูดความสนใจของอาร์คิมิดีส เขาศึกษาและอนุมานสมการของเกลียว เกลียวที่วาดตามสมการนี้เรียกว่าชื่อของเขา การเพิ่มขึ้นของขั้นตอนของเธอสม่ำเสมอเสมอ ปัจจุบันเกลียวของอาร์คิมิดีสมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านวิศวกรรม

แม้แต่เกอเธ่ยังเน้นย้ำถึงแนวโน้มของธรรมชาติไปสู่ความวนเวียน การเรียงตัวเป็นเกลียวและเกลียวของใบไม้บนกิ่งไม้นั้นสังเกตได้เมื่อนานมาแล้ว เห็นเป็นเกลียวในการจัดเรียงเมล็ดทานตะวัน โคนต้นสน สับปะรด กระบองเพชร ฯลฯ การทำงานร่วมกันของนักพฤกษศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ได้ให้ความกระจ่างเกี่ยวกับปรากฏการณ์ทางธรรมชาติที่น่าอัศจรรย์เหล่านี้ ปรากฎว่าในการจัดใบไม้บนกิ่งไม้ (ไฟโลตาซิส) เมล็ดทานตะวัน โคนต้นสน อนุกรมฟีโบนักชีปรากฏขึ้น ดังนั้นกฎของส่วนสีทองจึงปรากฏออกมา แมงมุมหมุนใยเป็นเกลียว พายุเฮอริเคนกำลังหมุนวน ฝูงกวางเรนเดียร์ที่หวาดกลัวกระจัดกระจายเป็นเกลียว โมเลกุลดีเอ็นเอถูกบิดเป็นเกลียวคู่ เกอเธ่เรียกเกลียวว่า "เส้นโค้งแห่งชีวิต"

ท่ามกลางพืชสมุนไพรริมถนนที่เติบโตเป็นพืชที่ไม่ธรรมดา - สีน้ำเงิน ลองมาดูกันดีกว่า เกิดกิ่งก้านขึ้นจากลำต้นหลัก นี่คือใบแรก

ข้าว. 13. ชิกโครี

กระบวนการนี้ทำให้การดีดออกอย่างรุนแรงในอวกาศ หยุด ปล่อยใบไม้ แต่สั้นกว่าครั้งแรกแล้ว ทำให้การดีดออกสู่อวกาศอีกครั้ง แต่ออกแรงน้อยกว่า ปล่อยใบไม้ที่มีขนาดที่เล็กกว่าและดีดออกอีกครั้ง หากค่าผิดปกติแรกเป็น 100 หน่วย ค่าที่สองคือ 62 หน่วย ค่าที่สามคือ 38 ค่าที่สี่คือ 24 เป็นต้น ความยาวของกลีบจะขึ้นอยู่กับอัตราส่วนทองคำ ในการเจริญเติบโตการพิชิตพื้นที่พืชยังคงสัดส่วนที่แน่นอน แรงกระตุ้นการเจริญเติบโตของมันค่อยๆ ลดลงตามสัดส่วนของอัตราส่วนทองคำ

ข้าว. 15. ไข่นก

เกอเธ่ผู้ยิ่งใหญ่ กวี นักธรรมชาติวิทยา และศิลปิน (เขาวาดภาพและระบายสีด้วยสีน้ำ) ใฝ่ฝันที่จะสร้างหลักคำสอนที่เป็นหนึ่งเดียวเกี่ยวกับรูปแบบ การก่อตัว และการเปลี่ยนแปลงของร่างกายอินทรีย์ เขาเป็นคนที่แนะนำคำสัณฐานวิทยาในการใช้งานทางวิทยาศาสตร์

ปิแอร์กูรีในตอนต้นของศตวรรษของเราได้กำหนดแนวความคิดที่ลึกซึ้งเกี่ยวกับความสมมาตรจำนวนหนึ่ง เขาแย้งว่าเราไม่สามารถพิจารณาความสมมาตรของร่างกายใด ๆ โดยไม่คำนึงถึงความสมมาตรของสิ่งแวดล้อม

รูปแบบของสมมาตร "สีทอง" นั้นแสดงออกมาในการเปลี่ยนแปลงพลังงานของอนุภาคมูลฐาน ในโครงสร้างของสารประกอบเคมีบางชนิด ในระบบดาวเคราะห์และอวกาศ ในโครงสร้างยีนของสิ่งมีชีวิต รูปแบบเหล่านี้ตามที่ระบุไว้ข้างต้นอยู่ในโครงสร้างของอวัยวะแต่ละส่วนของบุคคลและร่างกายโดยรวม และยังปรากฏใน biorhythms และการทำงานของสมองและการรับรู้ทางสายตา

อัตราส่วนทองคำและความสมมาตร

ไม่สามารถพิจารณาอัตราส่วนทองคำในตัวเองได้โดยไม่เกี่ยวข้องกับความสมมาตร นักผลึกศาสตร์ชาวรัสเซียผู้ยิ่งใหญ่ G.V. Wulff (1863-1925) ถือว่าอัตราส่วนทองคำเป็นหนึ่งในอาการของความสมมาตร

การแบ่งสีทองไม่ใช่การปรากฎของความไม่สมมาตรซึ่งตรงกันข้ามกับความสมมาตร ตามแนวคิดสมัยใหม่ การแบ่งสีทองนั้นเป็นสมมาตรแบบอสมมาตร ศาสตร์แห่งสมมาตรรวมถึงแนวคิดเช่นสมมาตรคงที่และไดนามิก ความสมมาตรแบบคงที่แสดงถึงการพัก การทรงตัว และสมมาตรแบบไดนามิกแสดงถึงลักษณะการเคลื่อนไหว การเติบโต โดยธรรมชาติแล้ว ความสมมาตรแบบสถิตย์จึงถูกแสดงโดยโครงสร้างของคริสตัล และในงานศิลปะนั้น มันแสดงถึงความสงบ ความสมดุล และความไม่สามารถเคลื่อนไหวได้ สมมาตรแบบไดนามิกแสดงถึงกิจกรรม ลักษณะการเคลื่อนไหว การพัฒนา จังหวะ เป็นหลักฐานของชีวิต ความสมมาตรแบบสถิตนั้นมีลักษณะเป็นส่วนที่เท่ากันและมีขนาดเท่ากัน สมมาตรแบบไดนามิกนั้นมีลักษณะเฉพาะที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงและแสดงเป็นค่าของส่วนสีทองของอนุกรมที่เพิ่มขึ้นหรือลดลง

คำอธิบายบรรณานุกรม: Maksimenko O. V. , Pastor V. S. , Vorfolomeeva P. V. , Mozikova K. A. , Nikolaeva M. E. , Shmeleva O. V. ในแนวคิดของ Golden Section // นักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ - 2559. - ครั้งที่ 6.1. - ส. 35-39..02.2019).

“เรขาคณิตมีสองสมบัติ:

หนึ่งในนั้นคือทฤษฎีบทพีทาโกรัส

อีกส่วนคือการแบ่งส่วนในอัตราส่วนกลางและสุด "

โยฮันเนส เคปเลอร์

คำสำคัญ: อัตราส่วนทองคำ สัดส่วนทองคำ ปรากฏการณ์ทางวิทยาศาสตร์

จุดประสงค์ของงานคือเพื่อศึกษาแหล่งข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับ "ส่วนทองคำ" ในความรู้ด้านต่างๆ เพื่อระบุรูปแบบและค้นหาความเชื่อมโยงระหว่างวิทยาศาสตร์ เพื่อระบุความหมายเชิงปฏิบัติของมาตราทองคำ

ความเกี่ยวข้องของการศึกษานี้พิจารณาจากประวัติศาสตร์เก่าแก่หลายศตวรรษของการใช้ส่วนสีทองในวิชาคณิตศาสตร์และศิลปะ สิ่งที่คนสมัยก่อนงงงวยยังคงมีความเกี่ยวข้องและกระตุ้นความสนใจของคนรุ่นเดียวกัน

ตลอดเวลา ผู้คนพยายามค้นหารูปแบบต่างๆ ในโลกรอบตัวพวกเขา พวกเขาล้อมรอบตัวเองด้วยวัตถุที่ "ถูกต้อง" จากมุมมองของพวกเขา มีเพียงการพัฒนาทางคณิตศาสตร์เท่านั้นที่ผู้คนสามารถวัด "อัตราส่วนทองคำ" ซึ่งต่อมากลายเป็นที่รู้จักในชื่อ "อัตราส่วนทองคำ"

อัตราส่วนทองคำ- สัดส่วนฮาร์มอนิก

ส่วนสีทองเป็นการแบ่งสัดส่วนของส่วนออกเป็นส่วนที่ไม่เท่ากัน ซึ่งส่วนทั้งหมดเกี่ยวข้องกับส่วนที่ใหญ่กว่าในลักษณะเดียวกับส่วนที่ใหญ่กว่านั้นสัมพันธ์กับส่วนที่เล็กกว่า หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ส่วนที่เล็กกว่านั้นสัมพันธ์กับส่วนที่ใหญ่กว่า เนื่องจากส่วนที่ใหญ่กว่านั้นหมายถึงทุกสิ่ง (รูปที่ 1)

เอ: ข = ข: ค

ข้าว. 1. การแบ่งส่วนตามสัดส่วนทองคำ

ให้เราเตือนคุณว่าอัตราส่วนทองคำคืออะไร คำจำกัดความที่กว้างขวางที่สุดของอัตราส่วนทองคำกล่าวว่าส่วนที่เล็กกว่านั้นสัมพันธ์กับส่วนที่ใหญ่กว่า เนื่องจากส่วนที่ใหญ่กว่านั้นหมายถึงส่วนทั้งหมด ค่าประมาณของมันคือ 1.6180339887 ในเปอร์เซ็นต์ที่ปัดเศษ สัดส่วนของส่วนต่างๆ ของทั้งหมดจะมีความสัมพันธ์เป็น 62% ถึง 38% อัตราส่วนนี้ทำงานในรูปแบบของพื้นที่และเวลา

สามเหลี่ยมทองคำและสี่เหลี่ยมผืนผ้า

นอกจากการแบ่งส่วนออกเป็นส่วนที่ไม่เท่ากัน (ส่วนสีทอง) ให้พิจารณาสามเหลี่ยมทองคำและสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีทอง

สี่เหลี่ยมผืนผ้าสีทองคือสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาวด้านเป็นอัตราส่วนทองคำ (รูปที่ 2)

ปลายแต่ละด้านของดาวห้าเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมทองคำ ด้านข้างทำมุม 36° ที่ด้านบน และฐานที่วางด้านข้างแบ่งตามสัดส่วนกับส่วนสีทอง (รูปที่ 3)

รูปที่ 2 สี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำ

รูปที่ 3 สามเหลี่ยมทองคำ

Pentacle

ในดาวห้าแฉกปกติ แต่ละส่วนจะถูกหารด้วยส่วนที่ตัดกันในส่วนสีทอง นั่นคือ อัตราส่วนของส่วนสีน้ำเงินกับสีเขียว แดงต่อน้ำเงิน เขียวถึงม่วง คือ 1.618 (รูปที่ 4)

รูปที่ 4 รูปดาวห้าแฉก-hygieia

Pythagoras อ้างว่ารูปดาวห้าแฉกหรือที่เขาเรียกว่า hygieia เป็นความสมบูรณ์แบบทางคณิตศาสตร์เนื่องจากซ่อนอัตราส่วนทองคำ อัตราส่วนของส่วนสีน้ำเงินต่อสีเขียว สีแดงต่อสีน้ำเงิน สีเขียวต่อสีม่วงเป็นอัตราส่วนทองคำ

ชุดฟีโบนักชี

ชุดตัวเลข 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 เป็นต้น เรียกว่าชุดฟีโบนักชี ลักษณะเฉพาะของลำดับตัวเลขคือสมาชิกแต่ละตัวเริ่มจากตัวที่สาม เท่ากับผลรวมของสองตัวก่อนหน้าและอัตราส่วนของจำนวนที่อยู่ติดกันของอนุกรมนั้นเข้าใกล้อัตราส่วนของการหารทองคำ

ดังนั้น 21:34 = 0.617

34: 55 = 0,618.

ประวัติส่วนทองคำ

สัดส่วนทองคำในส่วนต่างๆ ของร่างกายมนุษย์

ในปี ค.ศ. 1855 ศาสตราจารย์ Zeising นักวิจัยชาวเยอรมันของแผนกทองคำได้ตีพิมพ์ผลงานของเขา Aesthetic Research

Zeising วัดร่างกายมนุษย์ได้ประมาณสองพันคนและได้ข้อสรุปว่าอัตราส่วนทองคำแสดงกฎสถิติโดยเฉลี่ย (รูปที่ 5)

รูปที่ 5 สัดส่วนสีทองในส่วนต่างๆ ของร่างกายมนุษย์

อัตราส่วนทองคำในสัตว์ป่า

เป็นเรื่องน่าทึ่งที่มีแนวคิดทางคณิตศาสตร์เพียงแนวคิดเดียวที่พบในหลายส่วนของความรู้ของมนุษย์ ดูเหมือนว่าจะแทรกซึมทุกสิ่งในโลก เชื่อมโยงความสามัคคีและความโกลาหล คณิตศาสตร์และศิลปะ

จากการศึกษาทางชีววิทยาแสดงให้เห็นว่า เริ่มจากไวรัสและพืชและลงท้ายด้วยร่างกายมนุษย์ ทุกที่ที่มีการเปิดเผยสัดส่วนทองคำ โดยกำหนดลักษณะสัดส่วนและความกลมกลืนของโครงสร้าง อัตราส่วนทองคำได้รับการยอมรับว่าเป็นกฎสากลของระบบการดำรงชีวิต

ในจิ้งจก เมื่อมองแวบแรก สัดส่วนที่สบายตาของเราถูกจับได้ - ความยาวของหางสัมพันธ์กับความยาวของส่วนอื่นๆ ของร่างกายเท่ากับ 62 ถึง 38 (รูปที่ 6)

รูปที่ 6 สัดส่วนสีทองในส่วนต่างๆ ของร่างกายของจิ้งจก

อัตราส่วนทองคำในสถาปัตยกรรม

ในหนังสือเกี่ยวกับ "ส่วนสีทอง" สามารถพบข้อสังเกตว่าในสถาปัตยกรรมเช่นเดียวกับในการวาดภาพทุกอย่างขึ้นอยู่กับตำแหน่งของผู้สังเกตและหากสัดส่วนในอาคารในมือข้างหนึ่งดูเหมือนจะก่อตัวเป็น "ส่วนสีทอง" แล้วจากมุมมองอื่น ๆ พวกเขาจะดูแตกต่าง "ส่วนสีทอง" ให้อัตราส่วนที่ผ่อนคลายที่สุดของขนาดความยาวที่แน่นอน

งานสถาปัตยกรรมกรีกโบราณที่สวยงามที่สุดชิ้นหนึ่งคือวิหารพาร์เธนอน (รูปที่ 7) อัตราส่วนความสูงของอาคารต่อความยาวเท่ากับ 0.618 หากเราแบ่งพาร์เธนอนตาม "ส่วนสีทอง" เราจะได้รับส่วนที่ยื่นออกมาของส่วนหน้า

อีกตัวอย่างจากสถาปัตยกรรมโบราณคือพีระมิดแห่ง Cheops (รูปที่ 8)

สัดส่วนของมหาพีระมิดคงอยู่ใน "อัตราส่วนทองคำ"

ผู้สร้างโบราณสามารถสร้างอนุสาวรีย์ที่สง่างามนี้ได้ด้วยความแม่นยำและความสมมาตรทางวิศวกรรมที่เกือบจะสมบูรณ์แบบ

รูปที่ 7 พาร์เธนอน

รูปที่ 8 ปิรามิดแห่ง Cheops

อัตราส่วนทองคำในประติมากรรม

สัดส่วนของ "ส่วนสีทอง" สร้างความประทับใจให้กับความงามที่กลมกลืนกัน ดังนั้นประติมากรจึงใช้ส่วนเหล่านี้ในผลงานของพวกเขา ตัวอย่างเช่น รูปปั้น Apollo Belvedere ที่มีชื่อเสียงประกอบด้วยชิ้นส่วนต่างๆ ที่แบ่งตามอัตราส่วนทองคำ (รูปที่ 9)

รูปที่ 9 รูปปั้น Apollo Belvedere

อัตราส่วนทองคำในจิตรกรรม

เมื่อพิจารณาถึงตัวอย่างของ "ส่วนสีทอง" ในภาพวาด เราไม่สามารถหยุดความสนใจในผลงานของ Leonardo da Vinci ได้ มาดูภาพวาด "La Gioconda" กันดีกว่า องค์ประกอบของภาพเหมือนสร้างขึ้นจากสามเหลี่ยมทองคำ (รูปที่ 10)

มะเดื่อ 10 Leonardo da Vinci "Gioconda"

อีกตัวอย่างหนึ่งของส่วนสีทองในภาพวาดคือภาพเขียนของราฟาเอลเรื่อง The Massacre of the Innocents (รูปที่ 11) ในภาพร่างเตรียมการของราฟาเอล เส้นสีแดงจะถูกลากจากศูนย์กลางความหมายขององค์ประกอบ หากคุณเชื่อมต่อส่วนโค้งเหล่านี้ด้วยเส้นประด้วยความแม่นยำที่สูงมาก คุณจะได้รับ ... เกลียวทอง!

รูปที่ 11 ราฟาเอล "การสังหารหมู่ผู้บริสุทธิ์"

อัตราส่วนทองคำในงานวรรณกรรม

รูปแบบของศิลปะชั่วขณะในแบบของพวกเขาเองแสดงให้เราเห็นถึงหลักการของการแบ่งทองคำ กฎของส่วนสีทองยังใช้กับผลงานคลาสสิกของรัสเซียแต่ละชิ้น ดังนั้นในเรื่อง "The Queen of Spades" มี 853 บรรทัดและจุดสุดยอดอยู่ที่บรรทัดที่ 535 (853:535 = 1.6) - นี่คือจุดของส่วนสีทอง

อัตราส่วนทองคำในภาพเคลื่อนไหว

ผู้กำกับภาพยนตร์ Sergei Eisenstein ตั้งใจประสานงานสคริปต์สำหรับภาพยนตร์เรื่อง "The Battleship Potemkin" ของเขาด้วยกฎของส่วนสีทองโดยแบ่งเทปออกเป็นห้าส่วน

บทสรุป

อัตราส่วนทองคำเป็นที่รู้จักในอียิปต์โบราณและบาบิโลนในอินเดียและจีน พีธากอรัสผู้ยิ่งใหญ่ได้สร้างโรงเรียนลับที่มีการศึกษาแก่นแท้อันลึกลับของ "ส่วนสีทอง" Euclid ใช้มันสร้างรูปทรงเรขาคณิตของเขาและ Phidias - ประติมากรรมอมตะของเขา เพลโตกล่าวว่าจักรวาลถูกจัดเรียงตาม "ส่วนสีทอง" และอริสโตเติลพบว่าการติดต่อของ "ส่วนสีทอง" กับกฎหมายจริยธรรม ความสามัคคีสูงสุดของ "ส่วนสีทอง" จะได้รับการเทศนาโดย Leonardo da Vinci และ Michelangelo เพราะความงามและ "ส่วนสีทอง" เป็นหนึ่งเดียวกัน และผู้ลึกลับของคริสเตียนจะวาดรูปดาวห้าแฉกของ "ส่วนสีทอง" บนผนังของอารามของพวกเขาหนีจากปีศาจ ในเวลาเดียวกัน นักวิทยาศาสตร์ - จาก Pacioli ถึง Einstein - จะค้นหา แต่จะไม่มีวันพบความหมายที่แน่นอน อนุกรมที่ไม่มีที่สิ้นสุดหลังจุดทศนิยม - 1.6180339887... สิ่งที่แปลกประหลาด ลึกลับ และอธิบายไม่ได้: สัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์นี้มาพร้อมกับสิ่งมีชีวิตทั้งหมดอย่างลึกลับ ธรรมชาติที่ไม่มีชีวิตไม่รู้ว่า "ส่วนสีทอง" คืออะไร แต่คุณจะเห็นสัดส่วนนี้อย่างแน่นอนในความโค้งของเปลือกหอย ในรูปของดอกไม้ ในรูปแบบของแมลงปีกแข็ง และในร่างกายมนุษย์ที่สวยงาม ทุกสิ่งที่มีชีวิตและทุกสิ่งสวยงาม - ทุกสิ่งเป็นไปตามกฎหมายอันศักดิ์สิทธิ์ซึ่งมีชื่อว่า "ส่วนสีทอง" แล้ว "อัตราส่วนทองคำ" คืออะไร? อะไรคือการผสมผสานที่สมบูรณ์แบบและศักดิ์สิทธิ์นี้? บางทีอาจเป็นกฎแห่งความงาม? หรือยังคงเป็นความลับลึกลับ? ปรากฏการณ์ทางวิทยาศาสตร์หรือหลักจริยธรรม? คำตอบยังไม่ทราบ แม่นยำยิ่งขึ้น - ไม่เป็นที่รู้จัก "ส่วนสีทอง" เป็นทั้งส่วนนั้น และส่วนอื่น และส่วนที่สาม ไม่ใช่แค่แยกจากกัน แต่ในขณะเดียวกัน ... และนี่คือความลึกลับที่แท้จริงของเขา ความลับที่ยิ่งใหญ่ของเขา

วรรณกรรม:

Vilenkin N. Ya. , Zhokhov V. I. และคนอื่น ๆ คณิตศาสตร์ - 6. - M.: Mnemosyne, 2015
Korbalan F. ส่วนสีทอง. ภาษาคณิตศาสตร์ของความงาม (โลกแห่งคณิตศาสตร์ ต.1). - M.: DeAgostini, 2014
จับเวลา G.E. ส่วนสีทอง. - ม.: ลิโบคม, 2552

คำสำคัญ: อัตราส่วนทองคำ สัดส่วนทองคำ ปรากฏการณ์ทางวิทยาศาสตร์.

หมายเหตุ: อัตราส่วนทองคำเป็นการแสดงออกถึงความกลมกลืนของโครงสร้างที่เป็นสากล พบได้ในธรรมชาติ วิทยาศาสตร์ ศิลปะ ในทุกสิ่งที่บุคคลสามารถสัมผัสได้ ผู้เขียนบทความสำรวจวรรณกรรม ค้นหาความเชื่อมโยงระหว่างวิทยาศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับส่วนทองคำ เปิดเผยความหมายเชิงปฏิบัติของสัดส่วนทองคำ

อัตราส่วนทองคำในธรรมชาติ

ทางเลือกของบรรณาธิการ