การหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานผ่านเส้นทแยงมุม สี่เหลี่ยมด้านขนานและคุณสมบัติของมัน
สี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกัน
ในรูปนี้ ด้านตรงข้ามและมุมเท่ากัน เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานตัดกันที่จุดหนึ่งและลดลงครึ่งหนึ่ง สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานช่วยให้คุณหาค่าในรูปของด้าน ความสูง และเส้นทแยงมุมได้ สี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถนำเสนอได้ในกรณีพิเศษ จะถือว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สี่เหลี่ยมจัตุรัส และรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
ในการเริ่มต้น ให้พิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีความสูงและด้านที่ลดลง
กรณีนี้ถือเป็นกรณีคลาสสิกและไม่ต้องมีการสอบสวนเพิ่มเติม ให้พิจารณาสูตรการคำนวณพื้นที่ผ่านสองด้านและมุมระหว่างกัน ใช้วิธีเดียวกันในการคำนวณ หากกำหนดด้านและมุมระหว่างกัน พื้นที่จะถูกคำนวณดังนี้: 
สมมติว่าสี่เหลี่ยมด้านขนานมีด้าน a = 4 ซม., b = 6 ซม. มุมระหว่างพวกเขาคือ α = 30 ° ค้นหาพื้นที่: 
พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานผ่านเส้นทแยงมุม
สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานในแง่ของเส้นทแยงมุมช่วยให้คุณค้นหาค่าได้อย่างรวดเร็ว
สำหรับการคำนวณ คุณต้องมีค่าของมุมที่อยู่ระหว่างเส้นทแยงมุม
ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานผ่านเส้นทแยงมุม ให้สี่เหลี่ยมด้านขนานกับเส้นทแยงมุม D = 7 ซม., d = 5 ซม. มุมระหว่างพวกเขาคือ α = 30 ° แทนที่ข้อมูลลงในสูตร: 
ตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานผ่านเส้นทแยงมุมให้ผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยม - 8.75
เมื่อรู้สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานผ่านเส้นทแยงมุม คุณสามารถแก้ปัญหาที่น่าสนใจมากมายได้ ลองดูที่หนึ่งในนั้น
งาน:ให้สี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีพื้นที่ 92 ตร.ม. ดูจุด F อยู่ตรงกลางด้าน BC ลองหาพื้นที่ของ ADFB trapezoid ที่จะอยู่ในสี่เหลี่ยมด้านขนานของเรา เริ่มต้นด้วยการวาดทุกสิ่งที่เราได้รับตามเงื่อนไข
มาเริ่มแก้กันเลย: 
ตามเงื่อนไขของเรา ah = 92 และดังนั้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูของเราจะเท่ากัน 
บันทึก... นี่เป็นส่วนหนึ่งของบทเรียนเกี่ยวกับปัญหาเรขาคณิต (ส่วนสี่เหลี่ยมด้านขนาน) หากคุณต้องการแก้ปัญหาเรขาคณิตที่ไม่ได้อยู่ที่นี่ ให้เขียนเกี่ยวกับปัญหานั้นในฟอรัม เพื่อแสดงการกระทำของการแตกรากที่สองในการแก้ปัญหา ใช้สัญลักษณ์ √ หรือ sqrt () โดยมีนิพจน์รากอยู่ในวงเล็บ
วัสดุทางทฤษฎี
คำอธิบายสูตรการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:
- พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านใดด้านหนึ่งโดยความสูงที่ลดลงมาทางด้านนี้
- พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของด้านที่อยู่ติดกันสองด้านโดยไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน
- พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นทแยงมุมโดยไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน
ภารกิจในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
งาน.ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานความสูงที่เล็กกว่าและด้านที่เล็กกว่าจะเท่ากับ 9 ซม. และรากของ 82 ตามลำดับ เส้นทแยงมุมขนาดใหญ่คือ 15 ซม. หาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
สารละลาย.
ให้เราระบุความสูงที่ต่ำกว่าของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD ซึ่งลดลงจากจุด B ไปยัง AD ฐานที่ใหญ่กว่า เช่น BK
จงหาค่าของขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABK ที่เกิดจากความสูงที่น้อยกว่า ด้านที่เล็กกว่า และส่วนหนึ่งของฐานที่ใหญ่กว่า โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส:
AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + อ. 2
AK 2 = 82 - 81
AK = 1
ขยายฐานบนของสี่เหลี่ยมด้านขนาน BC และลดความสูง AN จากฐานล่างลงไป AN = BK เท่ากับด้านของสี่เหลี่ยม ANBK ค้นหาขา NC ของ ANC สามเหลี่ยมมุมฉากที่ได้
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC 2 = √144
NC = 12
หาค่าฐาน BC ที่ใหญ่กว่าของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD
BC = NC - NB
เราพิจารณาว่า NB = AK เป็นด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้า แล้ว
BC = 12 - 1 = 11
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของฐานและความสูงของฐานนี้
S = อา
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99
ตอบ: 99 ซม. 2
งาน
ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานของ AVSD VO ตั้งฉากจะถูกลดระดับลงบนเส้นทแยงมุม AC หาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานถ้า AO = 8, OC = 6 และ BO = 4
สารละลาย.
ให้เราวาง DK ตั้งฉากอีกตัวหนึ่งลงบน AC ในแนวทแยง
ดังนั้น สามเหลี่ยม AOB และ DKC, COB และ AKD จึงมีคู่กันเท่ากัน ด้านหนึ่งเป็นด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน มุมหนึ่งเป็นเส้นตรง เนื่องจากมันตั้งฉากกับเส้นทแยงมุม และอีกมุมหนึ่งที่เหลือคือกากบาทด้านในที่วางด้านขนานของสี่เหลี่ยมด้านขนานและเส้นทแยงมุมตัด
ดังนั้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานจึงเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่ระบุ นั่นคือ
ขนาน = 2S AOB + 2S BOC
พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากคือครึ่งหนึ่งของผลคูณของขา ที่ไหน
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 ซม. 2
ตอบ: 56 ซม. 2
เมื่อแก้ปัญหาในหัวข้อนี้นอกจาก คุณสมบัติพื้นฐาน สี่เหลี่ยมด้านขนานและสูตรที่เกี่ยวข้อง คุณสามารถจำและใช้สิ่งต่อไปนี้:
- เส้นแบ่งครึ่งของมุมด้านในของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะตัดสามเหลี่ยมหน้าจั่วออกจากมัน
- เส้นแบ่งครึ่งของมุมด้านในที่อยู่ติดกับด้านใดด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นตั้งฉากกัน
- แบ่งครึ่งที่โผล่ออกมาจากมุมด้านในด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานขนานกันหรืออยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว
- ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้าน
- พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นทแยงมุมและค่าไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน
ให้เราพิจารณางานในโซลูชันที่ใช้คุณสมบัติเหล่านี้
วัตถุประสงค์ 1
เส้นแบ่งครึ่งของมุม C ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD ตัดกับด้าน AD ที่จุด M และความต่อเนื่องของด้าน AB เกินจุด A ที่จุด E ค้นหาเส้นรอบวงของสี่เหลี่ยมด้านขนานถ้า AE = 4, DМ = 3
สารละลาย.
1. สามเหลี่ยม CMD เป็นหน้าจั่ว (ทรัพย์สิน 1). ดังนั้น CD = MD = 3 ซม.
2. สามเหลี่ยม EAM คือหน้าจั่ว
ดังนั้น AE = AM = 4 ซม.
3. AD = AM + MD = 7 ซม.
4. เส้นรอบวง ABCD = 20 ซม.
ตอบ. 20 ซม.
วัตถุประสงค์ 2
เส้นทแยงมุมจะถูกวาดใน ABCD รูปสี่เหลี่ยมนูน เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABD, ACD, BCD นั้นเท่ากัน พิสูจน์ว่าสี่เหลี่ยมที่ให้มานั้นเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
สารละลาย.
1. ให้ BE - ความสูงของสามเหลี่ยม ABD, CF - ความสูงของสามเหลี่ยม ACD เนื่องจากตามเงื่อนไขของปัญหา พื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันและมี AD ฐานร่วม ความสูงของสามเหลี่ยมเหล่านี้จึงเท่ากัน พ.ศ. = CF.
2. พ.ศ. CF ตั้งฉากกับ AD จุด B และ C อยู่ที่ด้านเดียวกันของเส้น AD พ.ศ. = CF. ดังนั้นเส้นตรง ВС || โฆษณา (*)
3. ให้ AL เป็นความสูงของสามเหลี่ยม АСD, BK - ความสูงของสามเหลี่ยม BCD เนื่องจากตามเงื่อนไขของปัญหา พื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันและมีแผ่นซีดีฐานร่วมกัน ความสูงของสามเหลี่ยมเหล่านี้จึงเท่ากัน อัล = บีเค
4. AL และ BK ตั้งฉากกับซีดี จุด B และ A อยู่ด้านเดียวกันของแผ่นซีดีเส้นตรง อัล = บีเค ดังนั้นเส้นตรง AB || ซีดี (**)
5. จากเงื่อนไข (*), (**) ดังนี้ - สี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD
ตอบ. พิสูจน์แล้ว ABCD - สี่เหลี่ยมด้านขนาน
วัตถุประสงค์ 3
ที่ด้าน BC และ CD ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD จะมีการทำเครื่องหมายจุด M และ H ตามลำดับ เพื่อให้ส่วน BM และ HD ตัดกันที่จุด O<ВМD = 95 о,
สารละลาย.
1. ในรูปสามเหลี่ยม DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก DHC แล้ว<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 แต่ซีดี = AB จากนั้น AB: HD = 2: 1 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = คำตอบ: AB: НD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = ภารกิจที่ 4 หนึ่งในเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ยาว 4√6 ทำมุม 60 องศากับฐาน และเส้นทแยงมุมที่สองทำมุม 45 ° ด้วยฐานเดียวกัน หาเส้นทแยงมุมที่สอง สารละลาย.
1. AO = 2√6. 2. เราใช้ทฤษฎีบทของไซน์กับสามเหลี่ยม AOD AO / บาป D = OD / บาป A. 2√6 / บาป 45 ® = OD / บาป 60 ® ОD = (2√6sin 60 ®) / บาป 45 ® = (2√6 √3 / 2) / (√2 / 2) = 2√18 / √2 = 6 คำตอบ: 12.
งาน 5. สี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้าน 5√2 และ 7√2 มีมุมที่เล็กกว่าระหว่างเส้นทแยงมุมเท่ากับมุมที่เล็กกว่าของสี่เหลี่ยมด้านขนาน หาผลรวมของความยาวของเส้นทแยงมุม. สารละลาย.
ให้ d 1, d 2 เป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน และมุมระหว่างเส้นทแยงมุมกับมุมที่เล็กกว่าของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากับ φ 1. ลองนับสองที่แตกต่างกัน S ABCD = AB AD บาป A = 5√2 7√2 บาป φ, S ABCD = 1/2 AС ВD บาป AOВ = 1/2 d 1 d 2 บาป ф เราได้รับความเท่าเทียมกัน 5√2 7√2 บาป φ = 1 / 2d 1 d 2 บาป φ หรือ 2 5√2 7√2 = วัน 1 วัน 2; 2. ใช้อัตราส่วนระหว่างด้านกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราเขียนความเท่าเทียมกัน (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2 ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 ง 1 2 + ง 2 2 = 296 3. มาเขียนระบบกัน: (d 1 2 + d 2 2 = 296, เราคูณสมการที่สองของระบบด้วย 2 แล้วบวกเข้ากับสมการแรก เราได้ (d 1 + d 2) 2 = 576 ดังนั้น Id 1 + d 2 I = 24 ตั้งแต่ d 1, d 2 คือความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน จากนั้น d 1 + d 2 = 24 คำตอบ: 24.
ภารกิจที่ 6 ด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 4 และ 6 มุมแหลมระหว่างเส้นทแยงมุมคือ 45 ° หาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน. สารละลาย.
1. จากรูปสามเหลี่ยม AOB โดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ เราเขียนความสัมพันธ์ระหว่างด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานกับเส้นทแยงมุม AB 2 = AO 2 + BO 2 2 AO VO cos AOB 4 2 = (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2) √2 / 2 = 16. d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64. 2. ในทำนองเดียวกัน เราเขียนความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยม AOD ให้พิจารณาว่า<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. เราได้สมการ d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 3. เรามีระบบ ลบอันแรกออกจากสมการที่สอง เราได้ 2d 1 d 2 √2 = 80 หรือ d 1 d 2 = 80 / (2√2) = 20√2 4.S ABCD = 1/2 AC · ВD · sin AOВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2 / 2 = 10 บันทึก:ในปัญหานี้และในปัญหาก่อนหน้านี้ ไม่จำเป็นต้องแก้ปัญหาระบบอย่างสมบูรณ์ โดยคาดว่าในปัญหานี้ ในการคำนวณพื้นที่ เราต้องการผลคูณของเส้นทแยงมุม คำตอบ: 10. ภารกิจที่ 7 พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 96 และด้านของมันคือ 8 และ 15 หากำลังสองของเส้นทแยงมุมที่เล็กกว่า สารละลาย.
1.S ABCD = AB · AD · บาป BAD มาทำการแทนที่ในสูตรกัน เราได้ 96 = 8 15 บาป BAD ดังนั้นบาป VAD = 4/5 2. ค้นหา cos BAD บาป 2 BAD + cos 2 BAD = 1 (4/5) 2 + cos 2 BAD = 1.cos 2 BAD = 9/25 ตามข้อความแจ้งปัญหา เราจะพบความยาวของเส้นทแยงมุมที่เล็กกว่า เส้นทแยงมุม BD จะเล็กลงหากมุม BAD นั้นแหลม จากนั้น cos BAD = 3/5 3. จากสามเหลี่ยม ABD โดยทฤษฎีบทโคไซน์ เราจะหากำลังสองของ BD แนวทแยง BD 2 = AB 2 + AD 2 - 2 · AB · BD · cos BAD ВD 2 = 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3/5 = 145 คำตอบ: 145.
ยังมีคำถาม? ไม่แน่ใจว่าจะแก้ปัญหาทางเรขาคณิตได้อย่างไร? เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน ในปัญหาทางเรขาคณิตมากมายที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณพื้นที่รวมถึงงานสำหรับการสอบจะใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานและรูปสามเหลี่ยม มีหลายอย่างที่นี่เราจะพิจารณาพวกเขา มันจะง่ายเกินไปที่จะแจกแจงสูตรเหล่านี้ ดีนี้เพียงพอแล้วในหนังสืออ้างอิงและในเว็บไซต์ต่างๆ ฉันต้องการถ่ายทอดสาระสำคัญ - เพื่อไม่ให้คุณยัดเยียด แต่เข้าใจและจดจำได้ง่ายทุกเวลา หลังจากศึกษาเนื้อหาของบทความแล้ว คุณจะเข้าใจว่าคุณไม่จำเป็นต้องเรียนรู้สูตรเหล่านี้เลย พูดตามตรง เป็นเรื่องปกติในการตัดสินใจที่ต้องจดจำเป็นเวลานาน 1.
ลองมาดูสี่เหลี่ยมด้านขนานกัน คำจำกัดความอ่าน: ทำไมถึงเป็นอย่างนั้น? มันง่ายมาก! เพื่อแสดงให้ชัดเจนว่าความหมายของสูตรคืออะไร เราจะทำโครงสร้างเพิ่มเติม กล่าวคือ เราจะพล็อตความสูง: พื้นที่ของสามเหลี่ยม (2) เท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยม (1) - เครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก "ตามขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก" ตอนนี้เราจิต "ตัด" อันที่สองแล้วโอนโดยวางทับบนอันแรก - เราได้สี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งพื้นที่จะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเดิม: เป็นที่ทราบกันดีว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับผลคูณของด้านที่อยู่ติดกัน ดังที่คุณเห็นจากภาพร่าง ด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมที่ได้จะเท่ากับด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านขนาน และอีกด้านหนึ่งเท่ากับความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้นเราจึงได้สูตรพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน S = a ∙ h NS 2. มาต่อกันอีกสูตรหนึ่งสำหรับพื้นที่ของมัน เรามี: ลองกำหนดด้านเป็น a และ b มุมระหว่างพวกเขาคือ γ "แกมมา" ความสูงคือ h a พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก:
(
(เนื่องจากในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ขาซึ่งอยู่ตรงข้ามกับมุม 30 ° เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก)
วิธีการของพื้นที่
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.
หากต้องการความช่วยเหลือจากติวเตอร์ - ลงทะเบียน
บทเรียนแรก ฟรี!
พื้นที่ของสูตรสี่เหลี่ยมด้านขนาน
