การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผลโดยวิธีช่วงเวลา

วิธีการเว้นวรรคเป็นวิธีสากลในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันเกือบทั้งหมดที่เกิดขึ้นในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน มันขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของฟังก์ชั่นดังต่อไปนี้:

1. ฟังก์ชันต่อเนื่อง g (x) สามารถเปลี่ยนเครื่องหมายได้เฉพาะที่จุดที่มันมีค่าเท่ากับ 0 ในทางกราฟิก หมายความว่ากราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องสามารถเปลี่ยนจากระนาบหนึ่งไปยังอีกระนาบหนึ่งได้ก็ต่อเมื่อข้ามผ่าน abscissa แกน (เราจำได้ว่าพิกัดของจุดใดๆ ที่วางอยู่บนแกน OX (แกน abscissa) เป็นศูนย์ นั่นคือ ค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้คือ 0):

เราจะเห็นว่าฟังก์ชัน y = g (x) ที่แสดงบนกราฟตัดกับแกน OX ที่จุด x = -8, x = -2, x = 4, x = 8 จุดเหล่านี้เรียกว่าศูนย์ฟังก์ชัน และในขณะเดียวกัน ฟังก์ชัน g (x) จะเปลี่ยนเครื่องหมาย

2. ฟังก์ชันนี้ยังสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในศูนย์ของตัวส่วนได้ - ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือฟังก์ชันที่รู้จักกันดี:

เราเห็นว่าฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมายที่รูทของตัวส่วน ณ จุดหนึ่ง แต่ไม่หายไป ณ จุดใดจุดหนึ่ง ดังนั้น ถ้าฟังก์ชันประกอบด้วยเศษส่วน สามารถเปลี่ยนเครื่องหมายที่รากของตัวส่วนได้

2. อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันไม่ได้เปลี่ยนเครื่องหมายที่รูทของตัวเศษหรือที่รูทของตัวส่วนเสมอไป ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y = x 2 ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายที่จุด x = 0:

เพราะ สมการ x 2 = 0 มีรากที่เท่ากันสองราก x = 0, ที่จุด x = 0 ฟังก์ชัน เหมือนเดิม จะกลายเป็น 0 สองครั้ง รูตดังกล่าวเรียกว่ารูทของทวีคูณที่สอง

การทำงาน เปลี่ยนเครื่องหมายที่ศูนย์ของตัวเศษ แต่ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายที่ศูนย์ของตัวส่วน: เนื่องจากรูทเป็นรูทของหลายหลากที่สอง นั่นคือ ของหลายหลาก:

สำคัญ! ที่รากของความหลายหลากเท่าๆ กัน ฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย

บันทึก! ใด ๆ ไม่เชิงเส้นความไม่เท่าเทียมกันของหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียนได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีการของช่วงเวลา

ฉันเสนอรายละเอียดให้คุณซึ่งคุณสามารถหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดได้เมื่อ การแก้ความไม่เท่าเทียมกันไม่เชิงเส้น.

1. ขั้นแรก คุณต้องนำความไม่เท่าเทียมกันมาสู่รูปแบบ

พี (x) V0,

โดยที่ V คือเครื่องหมายอสมการ:<,>, ≤ หรือ ≥ สิ่งนี้ต้องการ:

ก) โอนเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้ายมือของอสมการ

b) ค้นหารากของนิพจน์ผลลัพธ์

c) แยกตัวประกอบด้านซ้ายของอสมการเป็นตัวประกอบ

d) เขียนตัวประกอบเดียวกันเป็นกำลัง

ความสนใจ!การกระทำสุดท้ายจะต้องทำเพื่อไม่ให้เข้าใจผิดกับหลายหลากของราก - หากผลลัพธ์เป็นปัจจัยของกำลังที่เท่ากัน รูตที่สอดคล้องกันก็มีหลายหลากที่เท่ากัน

2. ใส่รากที่พบบนแกนตัวเลข

3. หากความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด วงกลมที่แสดงถึงรูตบนแกนตัวเลขจะ "ว่างเปล่า" หากความไม่เท่าเทียมกันนั้นไม่เข้มงวด เราจะเติมในวงกลม

4. เลือกรากของความหลายหลาก - ในนั้น พี (x)เครื่องหมายไม่เปลี่ยนแปลง

5. กำหนดเครื่องหมาย พี (x)บนช่วงขวาสุด ในการทำเช่นนี้ เราใช้ค่าใดค่าหนึ่ง x 0 ซึ่งมากกว่ารูทที่ใหญ่กว่าและแทนค่าลงใน พี (x).

ถ้า P (x 0)> 0 (หรือ ≥0) ให้ใส่เครื่องหมาย "+" ในช่องขวาสุด

ถ้า P (x 0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

เมื่อผ่านจุดที่แสดงถึงรากของหลายหลาก เครื่องหมายจะไม่เปลี่ยน

7. อีกครั้งที่เราดูเครื่องหมายของความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม และเลือกช่วงเวลาของเครื่องหมายที่เราต้องการ

8. โปรดทราบ! หากความไม่เท่าเทียมกันของเราไม่เข้มงวด เงื่อนไขของความเท่าเทียมกันเป็นศูนย์จะได้รับการตรวจสอบแยกกัน

9. เราเขียนคำตอบ

หากเป็นต้นฉบับ ความไม่เท่าเทียมกันมีสิ่งที่ไม่รู้จักในตัวส่วนจากนั้นเราก็โอนเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้ายและลดความไม่เท่าเทียมกันทางซ้ายลงในรูปแบบ

(โดยที่ V คือเครื่องหมายอสมการ:< или >)

ความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวดของประเภทนี้เทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน

ไม่เข้มงวดความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ

เท่ากับ ระบบ:

ในทางปฏิบัติ หากฟังก์ชันมีรูปแบบ ให้ทำดังนี้

1. หารากของตัวเศษและตัวส่วน
2. เราวางไว้บนแกน ปล่อยให้วงกลมทั้งหมดว่างเปล่า จากนั้น หากความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวด ให้ทาสีทับรากของตัวเศษ และปล่อยให้รากของตัวส่วนว่างเสมอ
3. ต่อไป เราทำตามอัลกอริทึมทั่วไป:
4. เลือกรากของหลายหลากคู่ (หากตัวเศษและตัวส่วนมีรากเหมือนกัน เราจะนับจำนวนครั้งที่รากเดียวกันเกิดขึ้น) ในรากเหง้าของความหลายหลาก เครื่องหมายไม่เปลี่ยนแปลง
5. เราพบเครื่องหมายบนช่วงขวาสุด
6. เราวางป้าย
7. ในกรณีของความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่เคร่งครัด เงื่อนไขของความเท่าเทียมกัน เงื่อนไขของความเท่าเทียมกันเป็นศูนย์ จะถูกตรวจสอบแยกกัน
8. เลือกช่องว่างที่จำเป็นและรากที่แยกออกมา
9. เราเขียนคำตอบ

เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้น อัลกอริทึมสำหรับการแก้ความไม่เท่าเทียมกันโดยวิธีช่วงเวลา, ชม VIDEO TUTORIAL ซึ่งจะลงรายละเอียดในตัวอย่าง การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันโดยวิธีช่วงเวลา.

ระบบความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผล

ข้อความบทเรียน

• บทสรุป [Bezdenezhnykh L.V. ]

  พีชคณิต ป. 9 UMK: A.G. Mordkovich พีชคณิต. เกรด 9 เวลา 2 นาฬิกา ส่วนที่ 1: หนังสือเรียน; ตอนที่ 2: นักฆ่า M.: Mnemosina, 2010 ระดับการศึกษา: หัวข้อบทเรียนพื้นฐาน: ระบบของความไม่เท่าเทียมกันที่มีเหตุผล. (บทเรียนแรกในหัวข้อ ให้เวลาศึกษาหัวข้อทั้งหมด 3 ชั่วโมง) บทเรียนในการศึกษาหัวข้อใหม่ จุดประสงค์ของบทเรียน: เพื่อทำซ้ำการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น แนะนำแนวคิดของระบบความไม่เท่าเทียมกันอธิบายวิธีแก้ปัญหาของระบบที่ง่ายที่สุดของความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น เพื่อสร้างความสามารถในการแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นของความซับซ้อนใดๆ ภารกิจ: การศึกษา: ศึกษาหัวข้อตามความรู้ที่มีอยู่ รวบรวมทักษะการปฏิบัติและความสามารถในการแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นอันเป็นผลมาจากการทำงานอิสระของนักเรียนและกิจกรรมการบรรยายและให้คำปรึกษาของผู้ที่เตรียมการมากที่สุด การพัฒนา: การพัฒนาความสนใจทางปัญญา, ความเป็นอิสระในการคิด, ความจำ, การริเริ่มของนักเรียนโดยใช้วิธีการสื่อสาร - กิจกรรมและองค์ประกอบของการเรียนรู้ปัญหา การศึกษา: การพัฒนาทักษะการสื่อสาร วัฒนธรรมการสื่อสาร ความร่วมมือ วิธีการดำเนินการ: - บรรยายด้วยองค์ประกอบของการสนทนาและการเรียนรู้ปัญหา - งานอิสระของนักเรียนพร้อมเนื้อหาเชิงทฤษฎีและปฏิบัติจากตำราเรียน -การพัฒนาวัฒนธรรมการลงทะเบียนการแก้ปัญหาระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น ผลลัพธ์ที่คาดหวัง: นักเรียนจะจดจำวิธีการแก้อสมการเชิงเส้น ทำเครื่องหมายจุดตัดของคำตอบของอสมการบนเส้นจำนวน และเรียนรู้วิธีแก้ระบบของอสมการเชิงเส้น อุปกรณ์บทเรียน: กระดานดำ, เอกสารประกอบคำบรรยาย (ภาคผนวก), ตำราเรียน, สมุดงาน เนื้อหาบทเรียน: 1. ช่วงเวลาขององค์กร ตรวจการบ้าน. 2. อัพเดทความรู้ นักเรียนร่วมกับครูกรอกตารางบนกระดานดำ: Inequality Drawing Gap ต่อไปนี้เป็นตารางที่เสร็จแล้ว: Inequality Drawing Gap 3 การเขียนตามคำบอกทางคณิตศาสตร์ การเตรียมพร้อมสำหรับการรับรู้หัวข้อใหม่ 1. แก้ความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้ตัวอย่างของตาราง: ตัวเลือก 1 ตัวเลือก 2 ตัวเลือก 3 ตัวเลือก 4 2. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน วาดตัวเลขสองตัวบนแกนเดียวกันและตรวจสอบว่าหมายเลข 5 เป็นวิธีแก้ปัญหาของสองอสมการหรือไม่: ตัวเลือก 1 ตัวเลือก 2 ตัวเลือก 3 ตัวเลือก 4 4. คำอธิบายของวัสดุใหม่ ... คำอธิบายของเนื้อหาใหม่ (หน้า 40-44): 1. ให้คำจำกัดความของระบบความไม่เท่าเทียมกัน (หน้า 41) คำนิยาม: ความไม่เท่าเทียมกันหลายอย่างกับตัวแปรตัวเดียว x สร้างระบบของความไม่เท่าเทียมกัน หากภารกิจคือการค้นหาค่าดังกล่าวทั้งหมดของตัวแปร ซึ่งแต่ละอสมการที่กำหนดกับตัวแปรจะกลายเป็นอสมการเชิงตัวเลขที่แท้จริง 2. แนะนำแนวคิดของการแก้ปัญหาเฉพาะและทั่วไปของระบบความไม่เท่าเทียมกัน ค่า x ดังกล่าวใดๆ เรียกว่า คำตอบ (หรือคำตอบเฉพาะ) ของระบบอสมการ ชุดของคำตอบเฉพาะทั้งหมดของระบบความไม่เท่าเทียมกันคือวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบความไม่เท่าเทียมกัน 3. พิจารณาในตำราการแก้ปัญหาของระบบความไม่เท่าเทียมกันตามตัวอย่างที่ 3 (a, b, c) 4. สรุปเหตุผลโดยแก้ระบบ: 5. การรักษาความปลอดภัยวัสดุใหม่ แก้งานจากหมายเลข 4.20 (a, b), 4.21 (a, b) 6. งานตรวจสอบ ตรวจสอบการดูดซึมของวัสดุใหม่ช่วยในการแก้ไขงานตามตัวเลือก: ตัวเลือก 1 a, c No. 4.6, 4.8 ตัวเลือก 2 b, d No. 4.6, 4.8 7. สรุป การสะท้อนความคิด คุณพบแนวคิดใหม่อะไรบ้างในวันนี้? คุณได้เรียนรู้วิธีหาคำตอบของระบบอสมการเชิงเส้นหรือไม่? คุณทำอะไรมากที่สุด ช่วงเวลาไหนที่คุณทำสำเร็จมากที่สุด? 8. การบ้าน: ลำดับ 4.5, 4.7.; ทฤษฎีในตำรา หน้า 40-44; สำหรับนักเรียนที่มีแรงจูงใจเพิ่มขึ้น № 4.23 (c, d) แอปพลิเคชัน. ตัวเลือกที่ 1 ช่องว่างของภาพไม่เท่ากัน 2. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน วาดภาพสองภาพบนแกนเดียว และตรวจดูว่าหมายเลข 5 เป็นคำตอบของสองความไม่เท่าเทียมกันหรือไม่: ภาพไม่เท่ากัน คำตอบของคำถาม ตัวเลือกที่ 2 ช่องว่างของภาพไม่เท่ากัน 2. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน วาดภาพสองภาพบนแกนเดียว และตรวจสอบว่าหมายเลข 5 เป็นคำตอบของสองความไม่เท่าเทียมกันหรือไม่: ภาพไม่เท่ากัน คำตอบของคำถาม ตัวเลือกที่ 3 ช่องว่างของภาพไม่เท่ากัน 2. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน วาดภาพสองภาพบนแกนเดียว และตรวจดูว่าหมายเลข 5 เป็นคำตอบของสองความไม่เท่าเทียมกันหรือไม่: ภาพไม่เท่ากัน คำตอบของคำถาม ตัวเลือกที่ 4 ช่องว่างของภาพไม่เท่ากัน 2. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน วาดภาพสองภาพบนแกนเดียว และตรวจดูว่าหมายเลข 5 เป็นคำตอบของสองความไม่เท่าเทียมกันหรือไม่: ภาพไม่เท่ากัน คำตอบของคำถาม

  ดาวน์โหลด: Algebra 9kl - synopsis [Bezdenezhnykh LV]. Docx

• เรื่องย่อของบทเรียน 2-4 [Zvereva L.P. ]

  พีชคณิต 9 ชั้น UMK: ALGEBRA-9CLASS, A.G. P.V. MORDKOVICH เซเมียนอฟ 2014 ระดับ - การเรียนรู้ - พื้นฐาน หัวข้อบทเรียน: ระบบความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผล จำนวนชั่วโมงทั้งหมดที่จัดสรรสำหรับการศึกษาหัวข้อ - 4 ชั่วโมง สถานที่ของบทเรียนในระบบบทเรียนในหัวข้อ บทที่ 2; ลำดับที่ 3; ลำดับที่ 4 จุดประสงค์ของบทเรียน: เพื่อสอนนักเรียนให้เขียนระบบความไม่เท่าเทียมกัน รวมทั้งสอนวิธีแก้ปัญหาระบบสำเร็จรูปที่ผู้เขียนหนังสือเรียนเสนอ วัตถุประสงค์ของบทเรียน: เพื่อสร้างทักษะ: แก้ปัญหาระบบความไม่เท่าเทียมกันอย่างอิสระในเชิงวิเคราะห์ รวมทั้งสามารถถ่ายโอนวิธีแก้ปัญหาไปยังเส้นพิกัดเพื่อบันทึกคำตอบได้อย่างถูกต้อง ทำงานกับเนื้อหาที่กำหนดอย่างอิสระ . ผลลัพธ์ตามแผน: นักเรียนควรจะสามารถแก้ปัญหาระบบสำเร็จรูปได้ เช่นเดียวกับการร่างระบบความไม่เท่าเทียมกันสำหรับเงื่อนไขข้อความของงานและแก้แบบจำลองที่สร้างขึ้น การสนับสนุนทางเทคนิคของบทเรียน: UMK: ALGEBRA-9CLASS, A.G. P.V. MORDKOVICH เซเมียนอฟ. สมุดงาน โปรเจ็กเตอร์สำหรับการนับด้วยปากเปล่า งานพิมพ์งานเพิ่มเติมสำหรับนักเรียนที่เก่ง การสนับสนุนระเบียบวิธีและการสอนเพิ่มเติมของบทเรียน (ลิงก์ไปยังแหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ตเป็นไปได้): 1. คู่มือโดย N.N. Khlevnyuk, M.V. อิวาโนว่า V.G. Ivaschenko, N.S. Melkov "การก่อตัวของทักษะการคำนวณในบทเรียนคณิตศาสตร์ 5-9 เกรด" 2.G.G. Levitas "คำสั่งทางคณิตศาสตร์" 7-11 เกรด 3 ทีจี Gulina "เครื่องจำลองทางคณิตศาสตร์" 5-11 (4 ระดับความยาก) ครูสอนคณิตศาสตร์: Zvereva L.P. บทเรียนที่ 2 วัตถุประสงค์: ฝึกทักษะการแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันทางเหตุผลโดยใช้การตีความทางเรขาคณิตเพื่อความชัดเจนของผลลัพธ์ของการแก้ปัญหา หลักสูตรของบทเรียนที่ 1 ช่วงเวลาขององค์กร: อารมณ์ของชั้นเรียนในการทำงาน ข้อความของหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียนที่ 11 การตรวจสอบการบ้าน 1. ส่วนทฤษฎี: * บันทึกการวิเคราะห์ของความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผลคืออะไร * คืออะไร บันทึกการวิเคราะห์ของระบบอสมการเหตุผล * การแก้ปัญหาระบบความไม่เท่าเทียมกันหมายความว่าอย่างไร * ผลลัพธ์ของการแก้ระบบอสมการตรรกยะคืออะไร 2. ส่วนปฏิบัติ: * แก้งานบนกระดานดำที่ทำให้นักเรียนลำบาก. ระหว่างทำการบ้าน II1 แบบฝึกหัด 1.ทำซ้ำวิธีการแยกตัวประกอบพหุนาม 2. ทบทวนว่าวิธีช่วงเวลาคืออะไรสำหรับการแก้ความไม่เท่าเทียมกัน 3. แก้ระบบ การแก้ปัญหานำโดยนักเรียนที่แข็งแกร่งที่กระดานดำภายใต้การดูแลของครู 1) แก้ความไม่เท่าเทียมกัน 3x - 10> 5x - 5; 3x - 5x> - 5 + 10; - 2x> 5; NS< – 2,5. 2) Решим неравенство х2 + 5х + 6 < 0; Найдём корни данного трёхчлена х2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х1=-3 х2 = – 2; тогда квадратный трёхчлен разложим по корням (х + 3)(х + 2) < 0. Имеем – 3 <х< – 2. 3) Найдем решение системы неравенств, для этого вынесим оба решения на одну числовую прямую. Вывод: решения совпали на промежутке от-3 до - 2,5(произошло перекрытие штриховок) О т в е т: – 3 <х< – 2,5. 4. Решить № 4.9 (б) самостоятельно споследующей проверкой. О т в е т: нет решений. 5.Повторяем теорему о квадратном трехчлене с отрицательным и положительным дискриминантом. Решаем №4.10(г) 1) Решим неравенство – 2х2 + 3х – 2 < 0; Найдём корни – 2х2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 < 0. По теореме неравенство верно при любых значениях х. 2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х<х; – 18х + 3 – 2х<х; – 20х – х<< – 3; – 21х<– 3; 3) х>วิธีแก้ปัญหาของระบบความไม่เท่าเทียมกันนี้ x> คำตอบ: x> 6. แก้หมายเลข 4.10 (c) บนกระดานและในโน้ตบุ๊ก ลองแก้ความไม่เท่าเทียมกัน 5x2 - 2x + 1 ≤ 0.5x2–2x + 1 = 0; D = 4 - 20 = –16< 0. По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений. О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение. в) 1) Решим неравенство 2х2 + 5х + 10 >0.2x2 + 5x + 10 = 0; D = –55< 0. По теореме неравенство верно при всех значениях х.-любое число 2) Решим неравенство х2 ≥ 16; х2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4; х = – 4. Решение х ≤ –4 их ≥ 4. Объединяем решения двух неравенств в систему 3) Решение системы неравенств являются два неравенства О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4. 8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях. Решение Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6. О т в е т: –2; 6. 9. Повторение ранее изученного материала. 1) Решить № 4.1 (а; -г) 4.2(а-г) на с. 25 устно. 2) Решить графически уравнение Строим графики функций y = –1 – x. О т в е т: –2. III. Итоги урока. 1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств. 2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений. 3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы. Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примеров 4 и 5 на с. 44–47 и записать решение в тетрадь; решить № 4.9 (а; в), № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.13 (а;б). . У р о к 3 Цели: Научить учащихся при решении двойных неравенств и нахождении области определения выражений, составлять системы неравенств и решать их, а также научить решать системы содержащих модули; Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 1I. Проверка домашнего задания. 1. Проверить выборочно у нескольких учащихся выполнение ими домашнего задания. 2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. 3. Устно решить № 4.2 (б) и № 4.1 (г). 4.Устная вычислительная работа: Вычисли рациональным способом: а)53,76*(-7.9) -53,76 *2,1 б) -0,125*32.6*(-8) в) Выразим указанную переменную из заданной формулы: 2a= ,y=? II. Объяснение нового материала. 1. Двойное неравенство можно решить двумя способами: а) сведением к системе двух неравенств; б) без системы неравенств с помощью преобразований. 2. Решить двойное неравенство № 4.15 (в) двумя способами. а) сведением к системе двух неравенств; I с п о с о б Решение – 2 <х< – 1. О т в е т: (– 2; – 1). б) без системы неравенств с помощью преобразований II с п о с о б 6 < – 6х< 12 | : (– 6) – 1 >x> - 2 จากนั้น - 2< х < – 1. О т в е т: (– 2; – 1). 3. Решить № 4.16 (б; в). I с п о с о б сведением к системе двух неравенств; б) – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2. Решим систему неравенств: О т в е т: II с п о с о б без системы неравенств с помощью преобразований – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2; прибавим к каждой части неравенства число (– 1), получим – 3 ≤ – 2х ≤ 1; разделим на (– 2), тогда в) – 3 << 1. Умножим каждую часть неравенства на 2, получим – 6 < 5х + 2 < 2. Решим систему неравенств: О т в е т: – 1,6 <х< 0. III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 4.18 (б) и № 4.19 (б) на доске и в тетрадях. 2. Решить № 4.14 (в) методом интервалов. в) 1) х2 – 9х + 14 < 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 7)(х – 2) < 0; х = 7; х = 2 Решение 2<х< 7. 2) х2 – 7х – 8 ≤ 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 8)(х + 1) ≤ 0; х = 8; х = – 1 Решение – 1 ≤ х ≤ 8. Соединим решения каждого неравенства на одной прямой т.е. создадим геометрическую модель. та часть прямой где произошло пересечение решений есть конечный результат О т в е т: 2 <х< 7. 4) Решить № 4.28 (в) самостоятельно с проверкой. в) Решим систему неравенств составленную из подкоренных выражений. 1) (х – 2)(х – 3) ≥ 0; х = 2; х = 3 Решение х ≤ 2 и х ≥ 3. 2) (5 – х)(6 – х) ≥ 0; – 1(х – 5) · (– 1)(х – 6) ≥ 0; (х – 5)(х – 6) ≥ 0 х = 5; х = 6 Решение х ≤ 5 и х ≥ 6. 3) О т в е т: х ≤ 2, 3 ≤ х ≤ 5, х ≥ 6. 5. Решение систем неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Решить № 4.34 (в; г). Учитель объясняет решение в) 1) | х + 5 | < 3 находим точку где модуль обращается в 0 х = -5 Решение – 8 <х< – 2. 2) | х – 1 | ≥ 4 находим точку где модуль обращается в 0 х = 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ 5. Соединили решения каждого неравенства в единую модель 3) О т в е т: – 8 <х ≤ 3. г) 1) | х – 3 | < 5; Решение – 2 <х< 8. 2) | х + 2 | ≥ 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ – 1. 3) О т в е т: –1 ≤ х< 8. 6. Решить № 4.31 (б). Учащиеся решают самостоятельно. Один ученик решает на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение. б) Решение Середина промежутка О т в е т: 7. Решить № 4.38 (а; б). Учитель на доске с помощью числовой прямой показывает решение данного упражнения, привлекая к рассуждениям учащихся. О т в е т: а) р< 3; р ≥ 3; б) р ≤ 7; р>7. 8. การทำซ้ำเนื้อหาที่ศึกษาก่อนหน้านี้ แก้หมายเลข 2.33 ให้ความเร็วเริ่มต้นของนักปั่น x km / h หลังจากการลดลงกลายเป็น (x - 3) km / h 15x - 45 + 6x = 1.5x (x - 3); 21x - 45 = 1.5x2 - 4.5x; 1.5x2 - 25.5x + 45 = 0 | : 1.5; จากนั้น x2 - 17x + 30 = 0; ง = 169; x1 = 15; x2 = 2 ไม่ตรงกับความหมายของปัญหา คำตอบ: 15 กม. / ชม.; 12 กม. / ชม IV. บทสรุปของบทเรียน: ในบทเรียนนี้ เราเรียนรู้ที่จะแก้ปัญหาระบบความไม่เท่าเทียมกันของประเภทที่ซับซ้อน โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับโมดูล ได้ทดลองใช้งานอิสระ การทำเครื่องหมาย การบ้าน: กรอกบนกระดาษแยกกัน การทดสอบบ้านหมายเลข 1 จากหมายเลข 7 ถึงหมายเลข 10 ในหน้า 32–33, หมายเลข 4.34 (a; b), หมายเลข 4.35 (a; b) บทที่ 4 การเตรียมงานทดสอบ วัตถุประสงค์ : เพื่อสรุปและจัดระบบเนื้อหาที่ศึกษาเพื่อเตรียมนักเรียนสำหรับการทดสอบในหัวข้อ "ระบบของความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผล" การไหลของบทเรียนที่ 1 ช่วงเวลาขององค์กร: อารมณ์ของชั้นเรียนในการทำงานข้อความของ หัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียน 11. การทำซ้ำของเนื้อหาที่ศึกษา * การแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันหมายความว่าอย่างไร * อะไรคือผลลัพธ์ของการแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันที่มีเหตุผล 1. รวบรวมเศษกระดาษที่มีการทดสอบที่บ้านเสร็จสมบูรณ์ 2. กฎอะไรที่ใช้ในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน? อธิบายวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน: a) 3x - 8<х + 2; б) 7(х – 1) ≥ 9х + 3. 3. Сформулируйте теорему для квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом. Устно решите неравенства: а) х2 + 2х + 11 >0; b) - 2x2 + x - 5> 0; c) 3x2 - x + 4 ≤ 0 4. กำหนดคำจำกัดความของระบบความไม่เท่าเทียมกันในสองตัวแปร การแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันหมายความว่าอย่างไร 5. วิธีการของช่วงเวลาซึ่งใช้ในการแก้ความไม่เท่าเทียมกันของตรรกยะคืออะไร? อธิบายสิ่งนี้โดยใช้ตัวอย่างการแก้ความไม่เท่าเทียมกัน: (2x - 4) (3 - x) ≥ 0; ไอ11. แบบฝึกหัดการฝึกอบรม 1. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: ก) 12 (1 - x) ≥ 5x - (8x + 2); ข) - 3x2 + 17x + 6< 0; в) 2. Найдите область определения выражения. а) f(х) = 12 + 4х – х2 ≥ 0; – х2 + 4х + 12 ≥ 0 | · (– 1); х2 – 4х – 12 ≤ 0; D = 64; х1 = 6; х2 = – 2; (х – 6)(х + 2) ≤ 0 О т в е т: – 2 ≤ х ≤ 6 или [– 2; 6]. б) f(х)= х2 + 2х + 14 ≥ 0; D< 0. По теореме о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом имеемх – любое число. О т в е т: множество решений или (– ∞; ∞). 2. Решите двойное неравенство и укажите, если возможно, наибольшее и наименьшее целое решение неравенства Р е ш е н и е Умножим каждую часть неравенства на 5, получим 0 – 5 < 3 – 8х ≤ 15; – 8 < – 8х ≤ 12; – 1,5 ≤ х< 1. Наибольшее целое число 0, наименьшее целое число (– 1). О т в е т: 0; – 1. 4. Решить № 76 (б) на доске и в тетрадях. б) Р е ш е н и е Для нахождения области определения выражения решим систему неравенств 1) х = х = 5. Решение ≤х< 5. 2) Решение х< 3,5 и х ≥ 4. 3) О т в е т: ≤х< 3,5 и 4 ≤ х< 5. 5. Найти область определения выражения. а) f(х) = б) f(х) = а) О т в е т: – 8 <х ≤ – 5; х ≥ – 3. б) О т в е т: х ≤ – 3; – 2 <х ≤ 4. 6. Решить систему неравенств (самостоятельно). Р е ш е н и е Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим: О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.40*. Решение объясняет учитель. Если р = 2, то неравенство примет вид 2х + 4 >0, x> - 2. สิ่งนี้ไม่สอดคล้องกับงาน a) หรืองาน b) ดังนั้น เราสามารถสมมติได้ว่า p ≠ 2 นั่นคือ อสมการที่กำหนดเป็นกำลังสอง a) อสมการกำลังสองของรูปแบบ ax2 + bx + c> 0 ไม่มีคำตอบถ้า a< 0, D< 0. Имеем D = (р – 4)2 – 4(р – 2)(3р – 2) = – 11р2 + 24р. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р< 0. б) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с>0 ถือเป็นค่าใด ๆ ของ x ถ้า a> 0 และ D< 0. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р>IV. สรุปบทเรียน จำเป็นต้องดูเนื้อหาที่ศึกษาทั้งหมดที่บ้านและเตรียมตัวสำหรับการทดสอบ การบ้าน: หมายเลข 1.21 (b; d), หมายเลข 2.15 (c; d); หมายเลข 4.14 (g), หมายเลข 4.28 (g); หมายเลข 4.19 (a), หมายเลข 4.33 (d)

  
  

  เรายังคงเจาะลึกในหัวข้อ "การแก้ความไม่เท่าเทียมกันด้วยตัวแปรเดียว" เราคุ้นเคยกับอสมการเชิงเส้นและอสมการกำลังสองแล้ว เป็นกรณีพิเศษ ความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผลซึ่งตอนนี้เราจะศึกษา เริ่มต้นด้วยการหาว่าความไม่เท่าเทียมกันประเภทใดที่เรียกว่าตรรกยะ ต่อไป เราจะจัดการกับการแบ่งออกเป็นอสมการตรรกยะและเศษส่วน หลังจากนั้นเราจะศึกษาวิธีการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผลด้วยตัวแปรเดียว จดอัลกอริทึมที่เกี่ยวข้องและพิจารณาคำตอบของตัวอย่างทั่วไปพร้อมคำอธิบายโดยละเอียด

  การนำทางหน้า

  ความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผลคืออะไร?

  ที่โรงเรียน ในบทเรียนพีชคณิต ทันทีที่มีการสนทนาเกี่ยวกับการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน จึงมีการประชุมเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันในเชิงเหตุผลทันที อย่างไรก็ตาม ในตอนแรกพวกเขาจะไม่ถูกเรียกตามชื่อ เนื่องจากในขั้นตอนนี้ ประเภทของความไม่เท่าเทียมกันนั้นไม่ค่อยน่าสนใจ และเป้าหมายหลักคือการได้รับทักษะเบื้องต้นในการทำงานกับความไม่เท่าเทียมกัน คำว่า "ความไม่เท่าเทียมเชิงเหตุผล" ในระยะนี้เริ่มนำมาใช้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 เมื่อการศึกษาโดยละเอียดเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันของประเภทนี้เริ่มต้นขึ้น

  มาดูกันว่าอสมการเชิงเหตุผลคืออะไร นี่คือคำจำกัดความ:

  คำจำกัดความที่ฟังไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับจำนวนตัวแปร ซึ่งหมายความว่าอนุญาตให้ใช้จำนวนเท่าใดก็ได้ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ ความไม่เท่าเทียมกันของตรรกยะมีความโดดเด่นด้วยหนึ่ง สอง เป็นต้น ตัวแปร โดยวิธีการที่ตำราเรียนให้คำจำกัดความที่คล้ายกัน แต่สำหรับความไม่เท่าเทียมกันที่มีเหตุผลกับตัวแปรเดียว เป็นเรื่องที่เข้าใจได้ เนื่องจากโรงเรียนมุ่งเน้นไปที่การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันด้วยตัวแปรเดียว (ด้านล่างเราจะพูดถึงการแก้ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลด้วยตัวแปรเดียวเท่านั้น) อสมการสองตัวแปรพิจารณาเพียงเล็กน้อย และให้ความสนใจเพียงเล็กน้อยต่อความไม่เท่าเทียมกันที่มีตัวแปรสามตัวขึ้นไป

  ดังนั้น ความเหลื่อมล้ำทางเหตุผลสามารถรับรู้ได้จากการเขียน ด้วยเหตุนี้ การดูนิพจน์ทางด้านซ้ายและด้านขวาก็เพียงพอแล้ว และตรวจดูให้แน่ใจว่าเป็นนิพจน์ที่มีเหตุผล การพิจารณาเหล่านี้ทำให้เราสามารถยกตัวอย่างความไม่เท่าเทียมกันที่มีเหตุผลได้ ตัวอย่างเช่น x> 4 x 3 + 2 y≤5 (y − 1) (x 2 +1)เป็นความไม่เท่าเทียมกันที่มีเหตุผล และความไม่เท่าเทียมกัน ไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากด้านซ้ายมีตัวแปรภายใต้เครื่องหมายรูท ดังนั้นจึงไม่ใช่นิพจน์ที่มีเหตุผล ความไม่เท่าเทียมกันก็ไม่มีเหตุผลเช่นกัน เนื่องจากทั้งสองส่วนไม่ใช่นิพจน์ที่มีเหตุผล

  เพื่อความสะดวกในการอธิบายเพิ่มเติม เราแนะนำการแบ่งอสมการเป็นจำนวนเต็มและเศษส่วน

  คำนิยาม.

  ความไม่เท่าเทียมกันทางเหตุผลจะถูกเรียกว่า ทั้งหมดถ้าทั้งสองส่วนเป็นนิพจน์ตรรกยะทั้งหมด

  คำนิยาม.

  ความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผลเศษส่วนเป็นอสมการตรรกยะ อย่างน้อยส่วนหนึ่งเป็นนิพจน์เศษส่วน

  ดังนั้น 0.5 x≤3 (2-5 y), เป็นอสมการจำนวนเต็ม และ 1: x + 3> 0 และ - มีเหตุผลเป็นเศษส่วน

  ตอนนี้ เรามีความเข้าใจที่ชัดเจนว่าความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลคืออะไร และเราสามารถเริ่มเข้าใจหลักการของการแก้สมการเชิงปริพันธ์และเศษส่วนด้วยตัวแปรเดียวได้อย่างปลอดภัย

  การแก้อสมการจำนวนเต็ม

  ให้เราตั้งปัญหาให้ตัวเอง: ให้เราแก้ความไม่เท่าเทียมกันของตรรกยะทั้งหมดด้วยตัวแปร x ตัวเดียวในรูปแบบ r (x) , ≥) โดยที่ r (x) และ s (x) เป็นนิพจน์ตรรกยะเชิงปริพันธ์บางตัว เพื่อแก้ปัญหานี้ เราจะใช้การแปลงความไม่เท่าเทียมกันที่เทียบเท่ากัน

  ย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปทางซ้าย ซึ่งจะนำเราไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ r (x) −s (x)<0 (≤, >, ≥) โดยมีศูนย์ทางด้านขวา เห็นได้ชัดว่านิพจน์ r (x) - s (x) เกิดขึ้นทางด้านซ้ายมือ ก็เป็นจำนวนเต็มเช่นกัน แต่เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าสิ่งใดๆ ก็เป็นไปได้ โดยการแปลงนิพจน์ r (x) −s (x) ให้เป็นพหุนามที่เท่ากันทุกประการ h (x) (ในที่นี้เราสังเกตว่านิพจน์ r (x) −s (x) และ h (x) มีตัวแปร x เหมือนกัน) เราส่งผ่านไปยังความไม่เท่าเทียมกันที่เท่ากัน h (x)<0 (≤, >, ≥).

  ในกรณีที่ง่ายที่สุด การแปลงที่ดำเนินการจะเพียงพอเพื่อให้ได้วิธีแก้ปัญหาที่ต้องการ เนื่องจากพวกมันจะนำเราจากความไม่เท่าเทียมกันเชิงตรรกยะทั้งหมดดั้งเดิมไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันที่เราสามารถแก้ได้ ตัวอย่างเช่น ไปเป็นเส้นตรงหรือกำลังสอง มาดูตัวอย่างกัน

  ตัวอย่าง.

  หาคำตอบของอสมการเหตุผลทั้งหมด x · (x + 3) + 2 · x≤ (x + 1) 2 +1

  สารละลาย.

  ขั้นแรก เราโอนนิพจน์จากด้านขวาไปด้านซ้าย: x (x + 3) + 2 x− (x + 1) 2 −1≤0... ทำทุกอย่างทางด้านซ้าย เรามาถึงอสมการเชิงเส้น 3 x − 2≤0 ซึ่งเทียบเท่ากับอสมการจำนวนเต็มดั้งเดิม วิธีแก้ปัญหานั้นไม่ยาก:
  3 x≤2,
  x≤2 / 3

  ตอบ:

  x≤2 / 3

  ตัวอย่าง.

  แก้ความไม่เท่าเทียมกัน (x 2 +1) 2 −3 x 2> (x 2 −x) (x 2 + x).

  สารละลาย.

  เราเริ่มต้นตามปกติโดยการย้ายนิพจน์จากด้านขวา จากนั้นทำการแปลงทางด้านซ้ายโดยใช้:
  (x 2 +1) 2 −3 x 2 - (x 2 −x) (x 2 + x)> 0,
  x 4 + 2 x 2 + 1−3 x 2 −x 4 + x 2> 0,
  1>0 .

  ดังนั้น เมื่อทำการแปลงที่เทียบเท่า เรามาถึงความไม่เท่าเทียมกัน 1> 0 ซึ่งเป็นจริงสำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร x ซึ่งหมายความว่าคำตอบของอสมการจำนวนเต็มดั้งเดิมคือจำนวนจริงใดๆ

  ตอบ:

  x คือค่าใดๆ

  ตัวอย่าง.

  แก้ความไม่เท่าเทียมกัน x + 6 + 2 x 3 −2 x (x 2 + x − 5)> 0.

  สารละลาย.

  ด้านขวามีเลขศูนย์ คุณจึงไม่ต้องโอนอะไรจากค่านั้น แปลงนิพจน์ทั้งหมดทางด้านซ้ายเป็นพหุนาม:
  x + 6 + 2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 + 10 x> 0,
  −2 x 2 + 11 x + 6> 0

  เราได้อสมการกำลังสอง ซึ่งเท่ากับอสมการดั้งเดิม เราแก้ปัญหาด้วยวิธีการใดๆ ที่เรารู้จัก ลองแก้อสมการกำลังสองแบบกราฟิกกัน

  หารากของไตรโนเมียลกำลังสอง −2 x 2 + 11 x + 6:
  

  เราสร้างแผนผังซึ่งเราทำเครื่องหมายศูนย์ที่พบและคำนึงถึงว่ากิ่งก้านของพาราโบลานั้นถูกชี้ลงเนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็นลบ:
  

  เนื่องจากเราแก้อสมการด้วยเครื่องหมาย> เราจึงสนใจช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่เหนือแกน abscissa สิ่งนี้เกิดขึ้นในช่วงเวลา (−0.5, 6) ซึ่งเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ต้องการ

  ตอบ:

  (−0,5, 6) .

  ในกรณีที่ซับซ้อนกว่านั้น ทางด้านซ้ายของผลลัพธ์ที่ไม่เท่ากัน h (x)<0 (≤, >, ≥) จะเป็นพหุนามระดับ 3 หรือสูงกว่า ในการแก้อสมการดังกล่าว วิธีการแบบช่วงนั้นเหมาะสม ในขั้นตอนแรกซึ่งจำเป็นต้องหารากทั้งหมดของพหุนาม h (x) ซึ่งมักจะทำผ่าน

  ตัวอย่าง.

  หาคำตอบของอสมการตรรกยะทั้งหมด (x 2 +2) (x + 4)<14−9·x .

  สารละลาย.

  ย้ายทุกอย่างไปทางซ้ายหลังจากนั้นและ:
  (x 2 +2) (x + 4) -14 + 9 x<0 ,
  x 3 + 4 x 2 + 2 x + 8-14 + 9 x<0 ,
  x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6<0 .

  การปรับเปลี่ยนที่ดำเนินการทำให้เราเกิดความไม่เท่าเทียมกันที่เทียบเท่ากับของเดิม ทางด้านซ้ายมือมีพหุนามดีกรีสาม คุณสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการของช่วงเวลา ในการทำเช่นนี้ ก่อนอื่น คุณต้องหารากของพหุนามซึ่งอยู่บน x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 = 0 ให้เราหาว่ารากมีเหตุมีผลหรือไม่ ซึ่งสามารถอยู่ในตัวหารของเทอมอิสระเท่านั้น นั่นคือ ท่ามกลางตัวเลข ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 การแทนที่ตัวเลขเหล่านี้แทนตัวแปร x ลงในสมการ x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 = 0 เราจะพบว่ารากของสมการคือตัวเลข 1, 2 และ 3 สิ่งนี้ทำให้เราสามารถแทนพหุนาม x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 เป็นผลคูณ (x − 1) (x − 2) (x − 3) และอสมการ x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.

  จากนั้นยังคงดำเนินการตามขั้นตอนมาตรฐานของวิธีช่วงเวลา: ทำเครื่องหมายจุดด้วยพิกัด 1, 2 และ 3 บนเส้นจำนวนซึ่งแบ่งเส้นนี้เป็นสี่ช่วง กำหนดและวางเครื่องหมาย วาดการฟักผ่านช่วงเวลาด้วยเครื่องหมายลบ เครื่องหมาย (เนื่องจากเราแก้ความไม่เท่าเทียมกันด้วยเครื่องหมาย<) и записать ответ.
  

  ดังนั้นเราจึงมี (−∞, 1) ∪ (2, 3)

  ตอบ:

  (−∞, 1)∪(2, 3) .

  ควรสังเกตว่าบางครั้งมันไม่สามารถทำได้จากความไม่เท่าเทียมกัน r (x) - s (x)<0 (≤, >, ≥) ไปที่อสมการ h (x)<0 (≤, >, ≥) โดยที่ h (x) เป็นพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสอง สิ่งนี้ใช้กับกรณีเหล่านั้นเมื่อการแยกตัวประกอบพหุนาม h (x) เป็นตัวประกอบยากกว่าการแสดงนิพจน์ r (x) - s (x) เป็นผลคูณของทวินามเชิงเส้นและไตรโนเมียลกำลังสอง ตัวอย่างเช่น โดยไม่รวม ตัวประกอบร่วมนอกวงเล็บ ให้เราอธิบายสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง

  ตัวอย่าง.

  แก้ความไม่เท่าเทียมกัน (x 2 −2 x − 1) (x 2 −19) ≥2 x (x 2 −2 x − 1).

  สารละลาย.

  นี่คือความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด ถ้าเราย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปด้านซ้าย จากนั้นเปิดวงเล็บและให้พจน์ที่คล้ายกัน เราจะได้ค่าอสมการ x 4 −4 x 3 -16 x 2 + 40 x + 19≥0... มันยากมากที่จะแก้มัน เพราะมันเกี่ยวข้องกับการหารากของพหุนามของดีกรีที่สี่ ง่ายต่อการตรวจสอบว่าไม่มีรากที่มีเหตุผล (อาจเป็นตัวเลข 1, −1, 19 หรือ −19) และการหารากอื่น ๆ ของมันนั้นเป็นปัญหา ดังนั้น เส้นทางนี้จึงเป็นทางตัน

  มองหาความเป็นไปได้ในการแก้ปัญหาอื่น ๆ สังเกตได้ง่ายว่าหลังจากย้ายนิพจน์จากด้านขวาของอสมการจำนวนเต็มดั้งเดิมไปทางด้านซ้ายแล้ว เราสามารถแยกตัวประกอบร่วม x 2 −2 x − 1:
  (x 2 −2 x − 1) (x 2 −19) −2 x (x 2 −2 x − 1) ≥0,
  (x 2 −2 x − 1) (x 2 −2 x − 19) ≥0.

  การแปลงที่ดำเนินการมีค่าเท่ากัน ดังนั้น คำตอบของอสมการที่ได้จะเป็นคำตอบของอสมการดั้งเดิม

  และตอนนี้เราสามารถหาค่าศูนย์ของนิพจน์ได้ทางด้านซ้ายของผลลัพธ์อสมการ สำหรับสิ่งนี้เราต้องการ x 2 −2 x − 1 = 0 และ x 2 −2 x − 19 = 0 รากของมันคือตัวเลข ... สิ่งนี้ทำให้เราส่งผ่านไปยังความไม่เท่าเทียมกันที่เท่ากัน และเราสามารถแก้ไขได้โดยวิธีช่วงเวลา:
  

  เราเขียนคำตอบตามรูปวาด

  ตอบ:

  โดยสรุปของส่วนย่อยนี้ ฉันต้องการเสริมว่ามันเป็นไปไม่ได้เสมอที่จะหารากของพหุนาม h (x) ทั้งหมด และเป็นผลจากการขยายมันไปสู่ผลคูณของทวินามเชิงเส้นและไตรโนเมียลกำลังสอง ในกรณีเหล่านี้ ไม่มีทางแก้อสมการ h (x)<0 (≤, >, ≥) ซึ่งหมายความว่าไม่มีทางที่จะหาคำตอบของสมการตรรกยะเดิมทั้งหมดได้

  การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผลเศษส่วน

  ตอนนี้ ให้เราจัดการกับปัญหาต่อไปนี้: ให้จำเป็นต้องแก้อสมการเศษส่วนด้วยตัวแปร x ตัวเดียวในรูปแบบ r (x) , ≥) โดยที่ r (x) และ s (x) เป็นนิพจน์ตรรกยะ และอย่างน้อยหนึ่งนิพจน์ที่เป็นเศษส่วน ให้อัลกอริทึมในการแก้ปัญหาทันทีหลังจากนั้นเราจะทำคำอธิบายที่จำเป็น

  อัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการเศษส่วนด้วยตัวแปร r (x) หนึ่งตัว , ≥):

  • ขั้นแรก คุณต้องหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้ (ADV) ของตัวแปร x สำหรับความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม
  • ถัดไป คุณต้องย้ายนิพจน์จากด้านขวาของอสมการไปทางซ้าย และแปลงนิพจน์ r (x) −s (x) ที่เกิดขึ้นที่นั่นให้อยู่ในรูปของเศษส่วน p (x) / q (x) โดยที่ p (x) และ q (x) เป็นนิพจน์จำนวนเต็มที่เป็นผลคูณของทวินามเชิงเส้น ไตรโนเมียลสี่เหลี่ยมที่แยกไม่ออกไม่ได้ และดีกรีของพวกมันด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ
  • ต่อไป เราต้องแก้ความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นโดยวิธีช่วงเวลา
  • สุดท้าย จากการแก้ปัญหาที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้า จำเป็นต้องแยกจุดที่ไม่รวมใน GDV ของตัวแปร x สำหรับความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม ซึ่งพบได้ในขั้นตอนแรก

  นี่จะให้คำตอบที่ต้องการสำหรับอสมการเศษส่วน

  ขั้นตอนที่สองของอัลกอริทึมต้องมีการชี้แจง การย้ายนิพจน์จากด้านขวาของอสมการไปทางซ้ายจะทำให้อสมการ r (x) −s (x)<0 (≤, >, ≥) ซึ่งเทียบเท่ากับของเดิม ทุกอย่างชัดเจนที่นี่ แต่คำถามเกิดขึ้นจากการเปลี่ยนแปลงต่อไปในรูปแบบ p (x) / q (x)<0 (≤, >, ≥).

  คำถามแรก: "เป็นไปได้เสมอที่จะดำเนินการหรือไม่" ในทางทฤษฎีใช่ เรารู้ว่าทุกสิ่งเป็นไปได้ ตัวเศษและตัวส่วนของเศษตรรกยะประกอบด้วยพหุนาม และจากทฤษฎีบทหลักของพีชคณิตและทฤษฎีบทของเบโซต์ ตามด้วยพหุนามใดๆ ของดีกรี n ที่มีตัวแปรเดียวสามารถแสดงเป็นผลคูณของทวินามเชิงเส้นได้ สิ่งนี้อธิบายความเป็นไปได้ของการเปลี่ยนแปลงนี้

  ในทางปฏิบัติ การแยกพหุนามพหุนามออกมาค่อนข้างยาก และหากดีกรีของพหุนามสูงกว่าพหุนามสี่ มันก็ไม่สามารถทำได้เสมอไป หากการแยกตัวประกอบเป็นไปไม่ได้ จะไม่มีวิธีใดที่จะหาทางแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม แต่ในโรงเรียน กรณีดังกล่าวมักไม่เกิดขึ้น

  คำถามที่สอง: “จะความไม่เท่าเทียมกัน p (x) / q (x)<0 (≤, >, ≥) เทียบเท่ากับอสมการ r (x) - s (x)<0 (≤, >, ≥) และด้วยเหตุนี้ต้นฉบับ "? มันสามารถเป็นได้ทั้งเทียบเท่าและไม่เท่ากัน จะเทียบเท่ากันหาก ODV สำหรับนิพจน์ p (x) / q (x) ตรงกับ ODV สำหรับนิพจน์ r (x) - s (x) ในกรณีนี้ ขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึมจะซ้ำซ้อน แต่ ODV สำหรับนิพจน์ p (x) / q (x) อาจกลายเป็นว่ากว้างกว่า ODV สำหรับนิพจน์ r (x) - s (x) การขยายตัวของ ODZ สามารถเกิดขึ้นได้เมื่อเศษส่วนลดลง เช่น เมื่อส่งผ่านจาก ถึง . นอกจากนี้ การขยาย ODZ สามารถอำนวยความสะดวกได้โดยการลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน เช่น ในการเปลี่ยนจาก ถึง . สำหรับกรณีนี้ ขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึมมีจุดมุ่งหมาย ซึ่งไม่รวมการตัดสินใจที่ไม่เกี่ยวข้องที่เกิดจากการขยายตัวของ ODZ ลองจับตาดูสิ่งนี้ในขณะที่เราดูตัวอย่างด้านล่าง

  แนวคิดเรื่องความไม่เท่าเทียมกันทางคณิตศาสตร์มีต้นกำเนิดในสมัยโบราณ สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อมนุษย์ดึกดำบรรพ์ต้องการเปรียบเทียบปริมาณและขนาดของพวกเขาเมื่อทำการนับและกระทำด้วยวัตถุต่างๆ ตั้งแต่สมัยโบราณ อาร์คิมิดีส ยูคลิด และนักวิทยาศาสตร์ชื่อดังคนอื่นๆ ได้ใช้ความไม่เท่าเทียมกันในการโต้เถียง เช่น นักคณิตศาสตร์ นักดาราศาสตร์ นักออกแบบ และนักปรัชญา

  แต่ตามกฎแล้วพวกเขาใช้คำศัพท์ทางวาจาในงานของพวกเขา เป็นครั้งแรกที่สัญลักษณ์สมัยใหม่ที่แสดงถึงแนวคิดของ "มากกว่า" และ "น้อยกว่า" ในรูปแบบที่เด็กนักเรียนทุกคนรู้จักในปัจจุบัน ถูกคิดค้นและนำไปใช้ในทางปฏิบัติในอังกฤษ นักคณิตศาสตร์ Thomas Garriot ได้ให้บริการดังกล่าวแก่ลูกหลาน และมันเกิดขึ้นเมื่อประมาณสี่ศตวรรษก่อน

  รู้จักความไม่เท่าเทียมกันหลายประเภท ในหมู่พวกเขานั้นเรียบง่ายประกอบด้วยหนึ่ง สองตัวแปรหรือมากกว่า สี่เหลี่ยมจัตุรัส เศษส่วน อัตราส่วนที่ซับซ้อน และแม้กระทั่งแสดงโดยระบบนิพจน์ และเพื่อให้เข้าใจวิธีการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน วิธีที่ดีที่สุดคือการใช้ตัวอย่างต่างๆ

  อย่าพลาดรถไฟ

  เริ่มต้นด้วย ให้ลองนึกภาพชาวบ้านคนหนึ่งกำลังรีบไปที่สถานีรถไฟห่างจากหมู่บ้าน 20 กม. เพื่อไม่ให้พลาดรถไฟ 11 โมง เขาต้องออกจากบ้านตรงเวลา ควรทำเมื่อใดหากความเร็วของการเคลื่อนที่คือ 5 กม. / ชม. การแก้ปัญหาในทางปฏิบัตินี้ลดลงตามเงื่อนไขนิพจน์: 5 (11 - X) ≥ 20 โดยที่ X คือเวลาออกเดินทาง

  เป็นเรื่องที่เข้าใจได้ เพราะระยะทางที่ชาวบ้านต้องไปถึงสถานีเท่ากับความเร็วเคลื่อนที่คูณด้วยจำนวนชั่วโมงระหว่างทาง บุคคลสามารถมาก่อนหน้านี้ได้ แต่เขาไม่สามารถมาสายได้ รู้วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันและนำทักษะของคุณไปปฏิบัติ ในที่สุดเราจะได้ X ≤ 7 ซึ่งเป็นคำตอบ ซึ่งหมายความว่าชาวบ้านควรไปที่สถานีรถไฟตอนเจ็ดโมงเช้าหรือเร็วกว่านั้นเล็กน้อย

  ช่วงตัวเลขบนเส้นพิกัด

  ตอนนี้เรามาดูวิธีการแมปความสัมพันธ์ที่อธิบายไว้กับความไม่เท่าเทียมกันที่ได้รับข้างต้นไม่เข้มงวด หมายความว่าตัวแปรสามารถรับค่าที่น้อยกว่า 7 หรือจะเท่ากับตัวเลขนี้ก็ได้ นี่คือตัวอย่างอื่นๆ ในการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาตัวเลขสี่ตัวด้านล่างอย่างรอบคอบ

  

  ในอันแรก คุณจะเห็นการแสดงภาพกราฟิกของช่วงเวลา [-7; 7]. ประกอบด้วยตัวเลขจำนวนมากที่อยู่บนเส้นพิกัดและอยู่ระหว่าง -7 ถึง 7 รวมทั้งขอบเขตด้วย ในกรณีนี้ จุดบนกราฟจะแสดงเป็นวงกลมเต็ม และช่วงเวลาจะถูกบันทึกโดยใช้

  ตัวเลขที่สองคือการแสดงภาพกราฟิกของความไม่เท่าเทียมกันอย่างรุนแรง ในกรณีนี้ ขอบเขตตัวเลข -7 และ 7 ที่แสดงด้วยจุดที่เจาะ (ไม่ได้เติม) จะไม่รวมอยู่ในชุดที่ระบุ และช่วงเวลานั้นจะถูกบันทึกในวงเล็บดังนี้: (-7; 7)

  กล่าวคือ เมื่อคิดหาวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันประเภทนี้ และได้รับคำตอบที่คล้ายกัน เราสามารถสรุปได้ว่าประกอบด้วยตัวเลขที่อยู่ระหว่างขอบเขตที่พิจารณา ยกเว้น -7 และ 7 สองกรณีถัดไปจะต้องประมาณใน วิธีที่คล้ายกัน รูปที่สามแสดงภาพช่องว่าง (-∞; -7] U

  ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อยและพิจารณาไม่ใช่แค่พหุนามเท่านั้น แต่เรียกว่าเศษส่วนตรรกยะของแบบฟอร์ม:

  โดยที่ $ P \ left (x \ right) $ และ $ Q \ left (x \ right) $ เป็นพหุนามเดียวกันทั้งหมดในรูปแบบ $ ((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + (( a) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + ((a) _ (0)) $ หรือผลคูณของพหุนามดังกล่าว

  นี่จะเป็นความไม่เท่าเทียมกันที่มีเหตุผล ประเด็นหลักคือการมีอยู่ของตัวแปร $ x $ ในตัวส่วน ตัวอย่างเช่น สิ่งเหล่านี้คือความไม่เท่าเทียมกันที่มีเหตุผล:

  \ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0; \\ & \ frac (\ left (7x + 1 \ right) \ left (11x + 2 \ right)) (13x-4) \ ge 0; \\ & \ frac (3 ((x) ^ (2)) + 10x + 3) (((\ ซ้าย (3-x \ ขวา)) ^ (2)) \ ซ้าย (4 - ((x) ^ ( 2)) \ right)) \ ge 0 \\ \ end (จัดตำแหน่ง) \]

  และนี่ไม่ใช่เหตุผล แต่เป็นความไม่เท่าเทียมกันที่พบบ่อยที่สุดซึ่งแก้ไขได้โดยวิธีช่วงเวลา:

  \ [\ frac (((x) ^ (2)) + 6x + 9) (5) \ ge 0 \]

  เมื่อมองไปข้างหน้า ฉันจะพูดทันที: มีวิธีแก้อสมการเชิงเหตุผลอย่างน้อยสองวิธี แต่พวกเขาทั้งหมดลดวิธีการของช่วงเวลาที่เรารู้อยู่แล้ว ดังนั้น ก่อนตรวจสอบวิธีการเหล่านี้ ให้ระลึกถึงข้อเท็จจริงเก่า มิฉะนั้น จะไม่มีเหตุผลจากเนื้อหาใหม่

  สิ่งที่คุณต้องรู้อยู่แล้ว

  มีข้อเท็จจริงที่สำคัญไม่มากนัก เราต้องการเพียงสี่เท่านั้น

  สูตรคูณแบบย่อ

  ใช่ ใช่ พวกเขาจะหลอกหลอนเราตลอดหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน และที่มหาวิทยาลัยด้วย มีสูตรเหล่านี้ค่อนข้างน้อย แต่เราต้องการเพียงสิ่งต่อไปนี้:

  \ [\ start (จัดตำแหน่ง) & ((a) ^ (2)) \ pm 2ab + ((b) ^ (2)) = ((\ left (a \ pm b \ right)) ^ (2)); \\ & ((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) = \ ซ้าย (a-b \ ขวา) \ ซ้าย (a + b \ ขวา); \\ & ((a) ^ (3)) + ((b) ^ (3)) = \ ซ้าย (a + b \ ขวา) \ ซ้าย (((a) ^ (2)) - ab + ((b ) ^ (2)) \ ขวา); \\ & ((a) ^ (3)) - ((b) ^ (3)) = \ left (ab \ right) \ left (((a) ^ (2)) + ab + ((b) ^ ( 2)) \ ขวา). \\ \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

  ให้ความสนใจกับสองสูตรสุดท้าย - นี่คือผลรวมและส่วนต่างของลูกบาศก์ (ไม่ใช่ผลรวมหรือความแตกต่างของลูกบาศก์!) จำได้ง่ายถ้าคุณสังเกตเห็นว่าเครื่องหมายในวงเล็บแรกเหมือนกับในนิพจน์ดั้งเดิม และในอันที่สอง เครื่องหมายตรงข้ามกับเครื่องหมายในนิพจน์ดั้งเดิม

  สมการเชิงเส้น

  สมการเหล่านี้เป็นสมการที่ง่ายที่สุดของรูปแบบ $ ax + b = 0 $ โดยที่ $ a $ และ $ b $ เป็นตัวเลขธรรมดา โดยที่ $ a \ ne 0 $ สมการนี้สามารถแก้ไขได้ง่ายๆ:

  \ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ax + b = 0; \\ & ขวาน = -b; \\ & x = - \ frac (b) (a) \\ \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

  โปรดทราบว่าเรามีสิทธิ์หารด้วยสัมประสิทธิ์ $ a $ เพราะ $ a \ ne 0 $ ข้อกำหนดนี้ค่อนข้างสมเหตุสมผล เนื่องจากสำหรับ $ a = 0 $ เราได้รับสิ่งนี้:

  ประการแรก ไม่มีตัวแปร $ x $ ในสมการนี้ โดยทั่วไป สิ่งนี้ไม่ควรทำให้เราสับสน (สิ่งนี้เกิดขึ้น กล่าวคือ ในเรขาคณิต และค่อนข้างบ่อย) แต่อย่างไรก็ตาม เราไม่ได้เผชิญกับสมการเชิงเส้นอีกต่อไป

  ประการที่สอง คำตอบของสมการนี้ขึ้นอยู่กับสัมประสิทธิ์ $ b $ เท่านั้น ถ้า $ b $ เป็นศูนย์ด้วย สมการของเราจะมีรูปแบบ $ 0 = 0 $ ความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงเสมอ ดังนั้น $ x $ จึงเป็นตัวเลขใดๆ (โดยปกติแล้วจะเขียนดังนี้: $ x \ in \ mathbb (R) $) หากสัมประสิทธิ์ $ b $ ไม่เท่ากับศูนย์ ความเท่าเทียมกัน $ b = 0 $ จะไม่มีวันเป็นที่น่าพอใจ กล่าวคือ ไม่มีคำตอบ (เขียน $ x \ in \ varnothing $ และอ่านว่า "ชุดโซลูชันว่างเปล่า")

  เพื่อหลีกเลี่ยงความยุ่งยากเหล่านี้ เราเพียงแค่ถือว่า $ a \ ne 0 $ ซึ่งไม่ได้จำกัดการคิดเพิ่มเติมของเรา

  สมการกำลังสอง

  ผมขอเตือนคุณว่านี่เรียกว่าสมการกำลังสอง:

  ทางซ้ายมือคือพหุนามของดีกรีที่สอง และอีกครั้ง $ a \ ne 0 $ (ไม่เช่นนั้น เราจะได้สมการเชิงเส้นแทนสมการกำลังสอง) สมการต่อไปนี้ได้รับการแก้ไขผ่านการเลือกปฏิบัติ:

  1. ถ้า $ D \ gt 0 $ เราจะได้รากที่แตกต่างกันสองแบบ
  2. ถ้า $ D = 0 $ จะมีหนึ่งรูท แต่มาจากหลายหลากแบบที่สอง (มันเป็นชนิดใดและจะพิจารณาอย่างไร - เพิ่มเติมในภายหลัง) หรือเราสามารถพูดได้ว่าสมการมีสองรากที่เหมือนกัน
  3. สำหรับ $ D \ lt 0 $ ไม่มีรากเลย และเครื่องหมายของพหุนาม $ a ((x) ^ (2)) + bx + c $ สำหรับ $ x $ ใดๆ เกิดขึ้นพร้อมกับเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ $ $. อย่างไรก็ตาม นี่เป็นข้อเท็จจริงที่มีประโยชน์มาก ซึ่งด้วยเหตุผลบางอย่างที่พวกเขาลืมพูดถึงในบทเรียนพีชคณิต

  รากเองนั้นได้รับการพิจารณาตามสูตรที่รู้จักกันดี:

  \ [((x) _ (1,2)) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \]

  ดังนั้นโดยวิธีการและข้อจำกัดในการเลือกปฏิบัติ ท้ายที่สุด รากที่สองของจำนวนลบไม่มีอยู่จริง สำหรับรากศัพท์ นักเรียนหลายคนมีความคิดที่ยุ่งเหยิงในหัว ดังนั้นฉันจึงเขียนบทเรียนทั้งหมดเป็นพิเศษ: อะไรคือรากศัพท์ในพีชคณิตและจะนับได้อย่างไร - ฉันขอแนะนำให้อ่านเป็นอย่างยิ่ง :)

  การกระทำที่มีเศษส่วนตรรกยะ

  ทุกอย่างที่เขียนไว้ข้างต้น คุณรู้อยู่แล้วว่าคุณศึกษาวิธีการของช่วงเวลาหรือไม่ แต่สิ่งที่เราจะวิเคราะห์ในตอนนี้ไม่มีความคล้ายคลึงในอดีต - นี่คือข้อเท็จจริงใหม่ทั้งหมด

  คำนิยาม. เศษส่วนตรรกยะคือนิพจน์เช่น

  \ [\ frac (P \ ซ้าย (x \ ขวา)) (Q \ ซ้าย (x \ ขวา)) \]

  โดยที่ $ P \ left (x \ right) $ และ $ Q \ left (x \ right) $ เป็นพหุนาม

  เห็นได้ชัดว่ามันง่ายที่จะได้รับความไม่เท่าเทียมกันจากเศษส่วน - เพียงแค่กำหนดเครื่องหมาย "มากกว่า" หรือ "น้อยกว่า" ทางด้านขวาก็เพียงพอแล้ว และอีกหน่อยเราจะพบว่ามันเป็นความสุขที่จะแก้ปัญหาดังกล่าวทุกอย่างง่ายมากที่นั่น

  ปัญหาเริ่มต้นเมื่อมีเศษส่วนดังกล่าวหลายตัวในนิพจน์เดียว พวกเขาจะต้องถูกลดขนาดให้เป็นตัวส่วนร่วม - และขณะนี้มีข้อผิดพลาดเชิงรุกจำนวนมากเกิดขึ้น

  ดังนั้น ในการแก้สมการตรรกยะให้ประสบผลสำเร็จ ทักษะสองอย่างจะต้องเชี่ยวชาญอย่างแน่นหนา:

  1. แยกตัวประกอบพหุนาม $ P \ left (x \ right) $;
  2. ที่จริงแล้วการลดเศษส่วนเป็นตัวส่วนร่วม

  จะแยกตัวประกอบพหุนามได้อย่างไร? ง่ายมาก. สมมติว่าเรามีพหุนามของรูปแบบ

  เราให้มันเป็นศูนย์ เราได้รับสมการของระดับ $ n $ -th:

  \ [((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + (( ก) _ (1)) x + ((ก) _ (0)) = 0 \]

  สมมติว่าเราแก้สมการนี้แล้วได้ราก $ ((x) _ (1)), \ ..., \ ((x) _ (n)) $ (ไม่ต้องตกใจ: ในกรณีส่วนใหญ่จะมี ไม่เกินสองรากนี้) ... ในกรณีนี้ พหุนามเดิมของเราสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

  \ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & P \ ซ้าย (x \ ขวา) = ((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x ) ^ (n-1)) + ... + ((a) _ (1)) x + ((a) _ (0)) = \\ & = ((a) _ (n)) \ left ( x - ((x) _ (1)) \ right) \ cdot \ left (x - ((x) _ (2)) \ right) \ cdot ... \ cdot \ left (x - ((x) _ ( n)) \ ขวา) \ end (จัดตำแหน่ง) \]

  นั่นคือทั้งหมด! โปรดทราบ: ค่าสัมประสิทธิ์นำหน้า $ ((a) _ (n)) $ ไม่ได้หายไปไหน - มันจะเป็นปัจจัยที่แยกจากกันที่ด้านหน้าของวงเล็บ และหากจำเป็น ก็สามารถแทรกเข้าไปในวงเล็บเหล่านี้ได้ (แบบฝึกหัด แสดงว่าด้วย $ ((a) _ (n)) \ ne \ pm 1 $ มักจะมีเศษส่วนอยู่ในราก)

  งาน. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

  \ [\ frac (((x) ^ (2)) + x-20) (x-4) - \ frac (2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3) (2x-3) - \ frac (4-8x-5 ((x) ^ (2))) (x + 2) \]

  สารละลาย. ก่อนอื่น มาดูตัวส่วนกันก่อน พวกมันล้วนเป็นทวินามเชิงเส้น และไม่มีอะไรจะแยกตัวประกอบ ลองแยกตัวประกอบตัวเศษออกมา:

  \ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((x) ^ (2)) + x-20 = \ ซ้าย (x + 5 \ ขวา) \ ซ้าย (x-4 \ ขวา); \\ & 2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3 = 2 \ ซ้าย (x- \ frac (3) (2) \ ขวา) \ ซ้าย (x-1 \ ขวา) = \ ซ้าย (2x- 3 \ ขวา) \ ซ้าย (x-1 \ ขวา); \\ & 4-8x-5 ((x) ^ (2)) = - 5 \ ซ้าย (x + 2 \ ขวา) \ ซ้าย (x- \ frac (2) (5) \ ขวา) = \ ซ้าย (x +2 \ ขวา) \ ซ้าย (2-5x \ ขวา) \\\ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

  ให้ความสนใจ: ในพหุนามที่สอง สัมประสิทธิ์นำหน้า "2" ตามแบบแผนของเรา ปรากฏตัวครั้งแรกที่ด้านหน้าวงเล็บ แล้วใส่เข้าไปในวงเล็บปีกกาแรก เนื่องจากเศษส่วนออกไปที่นั่น

  สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นในพหุนามที่สาม มีเพียงลำดับของพจน์เท่านั้นที่ยังสับสน อย่างไรก็ตาม สัมประสิทธิ์ "-5" ลงเอยในวงเล็บที่สอง (จำไว้ว่า: คุณสามารถป้อนปัจจัยในวงเล็บเดียวและวงเล็บเดียวเท่านั้น!) ซึ่งช่วยเราให้พ้นจากความไม่สะดวกที่เกี่ยวข้องกับรากเศษส่วน

  สำหรับพหุนามแรกนั้น ทุกอย่างเรียบง่าย: รากของมันถูกค้นหาด้วยวิธีมาตรฐานผ่านการแบ่งแยก หรือโดยทฤษฎีบทของเวียตา

  กลับไปที่นิพจน์เดิมแล้วเขียนใหม่ด้วยตัวเศษแยกตัวประกอบ:

  \ [\ เริ่มต้น (เมทริกซ์) \ frac (\ ซ้าย (x + 5 \ ขวา) \ ซ้าย (x-4 \ ขวา)) (x-4) - \ frac (\ ซ้าย (2x-3 \ ขวา) \ ซ้าย ( x-1 \ ขวา)) (2x-3) - \ frac (\ ซ้าย (x + 2 \ ขวา) \ ซ้าย (2-5x \ ขวา)) (x + 2) = \\ = \ ซ้าย (x + 5 \ ขวา) - \ ซ้าย (x-1 \ ขวา) - \ ซ้าย (2-5x \ ขวา) = \\ = x + 5-x + 1-2 + 5x = \\ = 5x + 4 \\ \ end (เมทริกซ์) \]

  คำตอบ: $ 5x + $ 4

  อย่างที่คุณเห็นไม่มีอะไรซับซ้อน คณิตศาสตร์เล็กน้อยในเกรด 7-8 เท่านั้น จุดประสงค์ของการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดคือการได้สิ่งที่เรียบง่ายจากการแสดงออกที่ซับซ้อนและน่ากลัวซึ่งง่ายต่อการใช้งาน

  อย่างไรก็ตาม จะไม่เป็นเช่นนั้นเสมอไป ดังนั้นตอนนี้เราจะพิจารณาปัญหาที่ร้ายแรงกว่านี้

  แต่ก่อนอื่น ลองหาวิธีนำเศษส่วนสองส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วมกันก่อน อัลกอริทึมนั้นง่ายมาก:

  1. แยกตัวประกอบทั้งสองส่วน
  2. พิจารณาตัวส่วนแรกและเพิ่มปัจจัยที่มีอยู่ในตัวส่วนที่สอง แต่ไม่มีอยู่ในตัวแรก ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นตัวหารร่วม
  3. ค้นหาปัจจัยที่ขาดหายไปสำหรับเศษส่วนดั้งเดิมแต่ละส่วนเพื่อให้ตัวส่วนมีค่าเท่ากับส่วนทั่วไป

  บางทีอัลกอริทึมนี้อาจดูเหมือนคุณเป็นเพียงข้อความที่มี "ตัวอักษรหลายตัว" ดังนั้นเราจะวิเคราะห์ทุกอย่างด้วยตัวอย่างเฉพาะ

  งาน. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

  \ [\ left (\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3) ) -8) - \ frac (1) (x-2) \ right) \ cdot \ left (\ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) \ right) \]

  สารละลาย. เป็นการดีกว่าที่จะแก้ปัญหาใหญ่ในส่วนต่างๆ ลองเขียนสิ่งที่อยู่ในวงเล็บแรก:

  \ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3)) - 8 ) - \ frac (1) (x-2) \]

  ต่างจากปัญหาก่อนหน้านี้ ทุกสิ่งทุกอย่างไม่ได้ง่ายนักกับตัวส่วน ลองแยกตัวประกอบแต่ละตัวดู

  trinomial กำลังสอง $ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 $ ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ เนื่องจากสมการ $ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 = 0 $ ไม่มีราก (discriminant เป็นลบ ). เราปล่อยให้มันไม่เปลี่ยนแปลง

  ตัวส่วนที่สอง - พหุนามลูกบาศก์ $ ((x) ^ (3)) - 8 $ - ภายใต้การตรวจสอบอย่างใกล้ชิดคือความแตกต่างของลูกบาศก์และสามารถย่อยสลายได้ง่ายตามสูตรคูณแบบย่อ:

  \ [((x) ^ (3)) - 8 = ((x) ^ (3)) - ((2) ^ (3)) = \ ซ้าย (x-2 \ ขวา) \ ซ้าย (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ ขวา) \]

  ไม่มีสิ่งอื่นใดที่สามารถแยกตัวประกอบได้ เนื่องจากในวงเล็บแรกมีทวินามเชิงเส้น และในข้อที่สอง มีโครงสร้างที่เราคุ้นเคยอยู่แล้ว ซึ่งไม่มีรากที่แท้จริง

  สุดท้าย ตัวส่วนที่สามเป็นทวินามเชิงเส้นที่ไม่สามารถย่อยสลายได้ ดังนั้นสมการของเราจะอยู่ในรูปแบบ:

  \ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right)) - \ frac (1) (x-2) \]

  เห็นได้ชัดว่าตัวส่วนร่วมจะเป็น $ \ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right) $ และเพื่อลดเศษส่วนทั้งหมดลง คุณต้องคูณเศษส่วนแรกเป็น $ \ left (x-2 \ right) $ และเศษส่วนสุดท้ายเป็น $ \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right) $ จากนั้นเหลือเพียงให้สิ่งต่อไปนี้:

  \ [\ เริ่มต้น (เมทริกซ์) \ frac (x \ cdot \ ซ้าย (x-2 \ ขวา)) (\ ซ้าย (x-2 \ ขวา) \ ซ้าย (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ ขวา)) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ ซ้าย (x-2 \ ขวา) \ ซ้าย (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ ขวา)) - \ frac (1 \ cdot \ ซ้าย (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ ขวา)) (\ ซ้าย (x-2 \ ขวา) \ ซ้าย (((x) ^ (2)) + 2x +4 \ ขวา)) = \\ = \ frac (x \ cdot \ ซ้าย (x-2 \ ขวา) + \ ซ้าย (((x) ^ (2)) + 8 \ ขวา) - \ ซ้าย (((x) ) ^ (2)) + 2x + 4 \ ขวา)) (\ ซ้าย (x-2 \ ขวา) \ ซ้าย (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ ขวา)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) - 2x + ((x) ^ (2)) + 8 - ((x) ^ (2)) - 2x-4) (\ ซ้าย (x-2 \ ขวา) \ ซ้าย (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ ขวา)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ ซ้าย (x-2 \ ขวา) \ ซ้าย (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ ขวา)) \\ \ end (เมทริกซ์) \]

  ให้ความสนใจกับบรรทัดที่สอง: เมื่อตัวส่วนมีอยู่แล้วทั่วไป เช่น แทนที่จะเป็นเศษส่วนสามตัว เราเขียนตัวใหญ่ตัวหนึ่ง คุณไม่ควรถอดวงเล็บออกทันที จะดีกว่าถ้าเขียนบรรทัดพิเศษและสังเกตว่า สมมุติว่า มีเครื่องหมายลบอยู่หน้าเศษส่วนที่สาม และจะไม่ไปไหน แต่จะ "แฮงค์" ในตัวเศษก่อนวงเล็บ สิ่งนี้จะช่วยคุณประหยัดข้อผิดพลาดได้มาก

  ในบรรทัดสุดท้าย มันมีประโยชน์ในการแยกตัวเศษออกมา ยิ่งไปกว่านั้น นี่คือกำลังสองที่แน่นอน และสูตรการคูณแบบย่อก็เข้ามาช่วยเราอีกครั้ง เรามี:

  \ [\ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right)) = \ frac (((\ left (x-2 \ right)) ^ (2))) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right) ) = \ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \]

  ทีนี้มาจัดการกับวงเล็บที่สองด้วยวิธีเดียวกัน ที่นี่ฉันจะเขียนห่วงโซ่ของความเท่าเทียมกัน:

  \ [\ start (เมทริกซ์) \ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) = \ frac ((( x) ^ (2))) (\ ซ้าย (x-2 \ ขวา) \ ซ้าย (x + 2 \ ขวา)) - \ frac (2) (2-x) = \\ = \ frac (((x) ^ (2))) (\ ซ้าย (x-2 \ ขวา) \ ซ้าย (x + 2 \ ขวา)) + \ frac (2) (x-2) = \\ = \ frac (((x) ^ ( 2))) (\ ซ้าย (x-2 \ ขวา) \ ซ้าย (x + 2 \ ขวา)) + \ frac (2 \ cdot \ ซ้าย (x + 2 \ ขวา)) (\ ซ้าย (x-2 \ ขวา) ) \ cdot \ ซ้าย (x + 2 \ ขวา)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) + 2 \ cdot \ ซ้าย (x + 2 \ ขวา)) (\ ซ้าย (x-2) \ ขวา) \ ซ้าย (x + 2 \ ขวา)) = \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ ซ้าย (x-2 \ ขวา) \ ซ้าย (x + 2 \ ขวา) ). \\ \ end (เมทริกซ์) \]

  เรากลับไปที่ปัญหาเดิมและดูผลิตภัณฑ์:

  \ [\ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \ cdot \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ left (x-2) \ ขวา) \ ซ้าย (x + 2 \ ขวา)) = \ frac (1) (x + 2) \]

  คำตอบ: \ [\ frac (1) (x + 2) \]

  ความหมายของงานนี้เหมือนกับงานก่อนหน้า: เพื่อแสดงให้เห็นว่านิพจน์ตรรกยะที่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้มากน้อยเพียงใดหากคุณเข้าใกล้การเปลี่ยนแปลงอย่างชาญฉลาด

  และเมื่อคุณทราบทั้งหมดนี้แล้ว ไปที่หัวข้อหลักของบทเรียนวันนี้ - การแก้สมการเศษส่วน-ตรรกยะ ยิ่งกว่านั้นหลังจากการเตรียมการดังกล่าวความไม่เท่าเทียมกันก็จะแตกเหมือนถั่ว :)

  วิธีหลักในการแก้ความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผล

  มีอย่างน้อยสองวิธีในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันที่มีเหตุผล ตอนนี้เราจะพิจารณาหนึ่งในนั้นซึ่งเป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน

  แต่ก่อนอื่น เรามาสังเกตรายละเอียดที่สำคัญกันก่อน ความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดแบ่งออกเป็นสองประเภท:

  1. เข้มงวด: $ f \ ซ้าย (x \ ขวา) \ gt 0 $ หรือ $ f \ ซ้าย (x \ ขวา) \ lt 0 $;
  2. หละหลวม: $ f \ ซ้าย (x \ ขวา) \ ge 0 $ หรือ $ f \ ซ้าย (x \ ขวา) \ le 0 $

  ความไม่เท่าเทียมกันของประเภทที่สองสามารถลดลงเป็นอันดับแรกได้อย่างง่ายดาย เช่นเดียวกับสมการ:

  "การบวก" เล็กน้อยนี้ $ f \ left (x \ right) = 0 $ นำไปสู่สิ่งที่ไม่พึงประสงค์เช่นจุดเติม - เราต้องรู้จักมันกลับมาในวิธีการเว้นวรรค มิฉะนั้น จะไม่มีความแตกต่างระหว่างความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวดและไม่เข้มงวด ดังนั้น มาวิเคราะห์อัลกอริธึมสากลกัน:

  1. รวบรวมองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของเครื่องหมายอสมการ ตัวอย่างเช่น ทางซ้าย;
  2. นำเศษส่วนทั้งหมดมาเป็นตัวส่วนร่วม (หากมีเศษส่วนดังกล่าวหลายตัว) ให้นำเศษส่วนที่คล้ายกันมา จากนั้น ถ้าเป็นไปได้ ให้แยกตัวประกอบเป็นตัวเศษและส่วน ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง เราจะได้ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ $ \ frac (P \ left (x \ right)) (Q \ left (x \ right)) \ vee 0 $ โดยที่เครื่องหมายถูกคือเครื่องหมายอสมการ
  3. ตั้งค่าตัวเศษเป็นศูนย์: $ P \ left (x \ right) = 0 $ เราแก้สมการนี้และรับราก $ ((x) _ (1)) $, $ ((x) _ (2)) $, $ ((x) _ (3)) $, ... จากนั้นเราต้องการ ว่าตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์: $ Q \ left (x \ right) \ ne 0 $. แน่นอน เราต้องแก้สมการ $ Q \ left (x \ right) = 0 $ แล้วเราจะได้ราก $ x_ (1) ^ (*) $, $ x_ (2) ^ (*) $, $ x_ (3 ) ^ (*) $, ... (ในปัญหาจริงแทบจะไม่มีมากกว่าสามรากดังกล่าว)
  4. เราทำเครื่องหมายรากเหล่านี้ทั้งหมด (ทั้งที่มีและไม่มีเครื่องหมายดอกจัน) บนเส้นตัวเลขเดียว และรากที่ไม่มีดาวจะถูกทาสีทับ และด้วยดวงดาว พวกมันจะถูกควักออกมา
  5. เราวางเครื่องหมาย "บวก" และ "ลบ" เลือกช่วงเวลาที่เราต้องการ หากความไม่เท่าเทียมกันดูเหมือน $ f \ left (x \ right) \ gt 0 $ คำตอบจะเป็นช่วงที่มีเครื่องหมาย "บวก" ถ้า $ f \ left (x \ right) \ lt 0 $ ให้ดูที่ช่วงเวลาด้วย "minuses"

  การปฏิบัติแสดงให้เห็นว่าความยากลำบากที่ยิ่งใหญ่ที่สุดเกิดจากจุดที่ 2 และ 4 - การแปลงที่มีความสามารถและการจัดเรียงตัวเลขที่ถูกต้องจากน้อยไปมาก และในขั้นตอนสุดท้ายให้ระวังอย่างยิ่ง: เรามักจะวางป้ายโดยพึ่งพา ความไม่เท่าเทียมกันล่าสุดที่เขียนก่อนไปที่สมการ... นี่เป็นกฎสากลที่สืบทอดมาจากวิธีการเว้นวรรค

  ดังนั้นโครงการจึงอยู่ที่นั่น มาฝึกกันเถอะ

  งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

  \ [\ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0 \]

  สารละลาย. เรามีรูปแบบที่ไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวดต่อหน้าเรา $ f \ left (x \ right) \ lt 0 $ แน่นอน จุดที่ 1 และ 2 จากโครงการของเราได้บรรลุผลแล้ว: องค์ประกอบทั้งหมดของความไม่เท่าเทียมกันถูกรวบรวมไว้ทางด้านซ้าย ไม่มีอะไรต้องถูกนำไปใช้กับตัวส่วนร่วม ดังนั้นเราจึงไปที่จุดที่สามโดยตรง

  ตั้งค่าตัวเศษเป็นศูนย์:

  \ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & x-3 = 0; \\ & x = 3 \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

  และตัวส่วน:

  \ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & x + 7 = 0; \\ & ((x) ^ (*)) = - 7. \\ \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

  หลายคนยึดติดกับสถานที่นี้เพราะในทางทฤษฎีคุณต้องเขียน $ x + 7 \ ne 0 $ ตามที่ ODZ กำหนด (คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้แค่นั้น) แต่ในอนาคตเราจะควักคะแนนที่มาจากตัวส่วน ดังนั้นคุณไม่ควรทำให้การคำนวณของคุณซับซ้อนอีกครั้ง - เขียนเครื่องหมายเท่ากับทุกที่และไม่ต้องกังวล ไม่มีใครจะลดคะแนนสำหรับสิ่งนี้ :)

  จุดที่สี่. เราทำเครื่องหมายรากผลลัพธ์บนเส้นจำนวน:

  เจาะทุกจุดเพราะความไม่เท่าเทียมเข้มงวด

  บันทึก: ทุกจุดถูกเจาะเพราะความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมนั้นเข้มงวด... และตรงนี้ไม่สำคัญว่าจุดเหล่านี้จะมาจากตัวเศษหรือตัวส่วน

  เรามาดูสัญญาณกัน ใช้หมายเลขใด ๆ $ ((x) _ (0)) \ gt 3 $ ตัวอย่างเช่น $ ((x) _ (0)) = 100 $ (แต่คุณสามารถใช้ $ ((x) _ (0)) = 3,1 $ หรือ $ ((x) _ (0) ได้เช่นกัน ) = 1 \ 000 \ 000 $) เราได้รับ:

  ทางขวาของรากทั้งหมด เรามีพื้นที่บวก และเมื่อผ่านแต่ละรูท เครื่องหมายจะเปลี่ยนไป (ซึ่งจะไม่เป็นเช่นนั้นเสมอไป แต่จะเพิ่มเติมในภายหลัง) ดังนั้นเราจึงไปยังจุดที่ห้า: เราจัดป้ายและเลือกป้ายที่คุณต้องการ:

  

  เรากลับไปที่อสมการสุดท้าย ซึ่งอยู่ก่อนการแก้สมการ อันที่จริง มันเกิดขึ้นพร้อมกันกับอันเดิม เพราะเราไม่ได้ทำการเปลี่ยนแปลงใดๆ ในงานนี้

  เนื่องจากจำเป็นต้องแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ $ f \ left (x \ right) \ lt 0 $ ฉันจึงแรเงาช่วงเวลา $ x \ in \ left (-7; 3 \ right) $ - มันเป็นเพียงอันเดียว ทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมายลบ นี่คือคำตอบ

  คำตอบ: $ x \ in \ left (-7; 3 \ right) $

  นั่นคือทั้งหมด! มันยากไหม? ไม่ ไม่ยาก จริงและงานก็ง่าย ตอนนี้เรามาทำให้ภารกิจซับซ้อนขึ้นเล็กน้อยและพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันที่ "แฟนซี" มากขึ้น เมื่อแก้ไขแล้ว ฉันจะไม่ให้การคำนวณโดยละเอียดอีกต่อไป - ฉันจะสรุปประเด็นสำคัญ โดยทั่วไปเราจะจัดในลักษณะเดียวกับงานอิสระหรือการสอบ :)

  งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

  \ [\ frac (\ ซ้าย (7x + 1 \ ขวา) \ ซ้าย (11x + 2 \ ขวา)) (13x-4) \ ge 0 \]

  สารละลาย. นี่คือความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $ องค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดจะถูกรวบรวมทางด้านซ้าย ไม่มีตัวส่วนต่างกัน มาดูสมการกัน

  เศษ:

  \ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ ซ้าย (7x + 1 \ ขวา) \ ซ้าย (11x + 2 \ ขวา) = 0 \\ & 7x + 1 = 0 \ ลูกศรขวา ((x) _ (1)) = - \ frac (1) (7); \\ & 11x + 2 = 0 \ ลูกศรขวา ((x) _ (2)) = - \ frac (2) (11) \\ \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

  ตัวส่วน:

  \ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & 13x-4 = 0; \\ & 13x = 4; \\ & ((x) ^ (*)) = \ frac (4) (13) \\ \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

  ฉันไม่รู้ว่าปัญหานี้เป็นปัญหาในทางที่ผิดอย่างไร แต่รากไม่ได้ผลดีนัก: เป็นการยากที่จะวางมันลงบนเส้นจำนวน และถ้ารูท $ ((x) ^ (*)) = (4) / (13) \; $ ทุกอย่างชัดเจนมากหรือน้อย (นี่เป็นตัวเลขบวกเท่านั้น - จะอยู่ทางขวา) แล้ว $ ((x) _ (1 )) = - (1) / (7) \; $ และ $ ((x) _ (2)) = - (2) / (11) \; $ ต้องการการวิจัยเพิ่มเติม: อันไหน ใหญ่กว่า?

  คุณสามารถค้นหาตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

  \ [((x) _ (1)) = - \ frac (1) (7) = - \ frac (2) (14) \ gt - \ frac (2) (11) = ((x) _ (2 )) \]

  ฉันหวังว่าไม่จำเป็นต้องอธิบายว่าทำไมเศษส่วนตัวเลข $ - (2) / (14) \; \ gt - (2) / (11) \; $? หากจำเป็น ฉันแนะนำให้จำวิธีการดำเนินการกับเศษส่วน

  และเราทำเครื่องหมายทั้งสามรูตบนเส้นจำนวน:

  เติมจุดจากตัวเศษจากตัวส่วน - เซาะ

  เราวางป้าย ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ $ ((x) _ (0)) = 1 $ และหาเครื่องหมาย ณ จุดนี้:

  \ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & f \ ซ้าย (x \ ขวา) = \ frac (\ ซ้าย (7x + 1 \ ขวา) \ ซ้าย (11x + 2 \ ขวา)) (13x-4); \\ & f \ ซ้าย (1 \ ขวา) = \ frac (\ ซ้าย (7 \ cdot 1 + 1 \ ขวา) \ ซ้าย (11 \ cdot 1 + 2 \ ขวา)) (13 \ cdot 1-4) = \ frac (8 \ cdot 13) (9) \ gt 0 \\\ end (จัดตำแหน่ง) \]

  อสมการสุดท้ายก่อนสมการคือ $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $ เราจึงสนใจเครื่องหมายบวก

  

  เราได้สองชุด: ชุดหนึ่งเป็นส่วนธรรมดาและอีกชุดเป็นรังสีเปิดบนเส้นจำนวน

  คำตอบ: $ x \ in \ left [- \ frac (2) (11); - \ frac (1) (7) \ right] \ bigcup \ left (\ frac (4) (13); + \ infty \ right ) $

  หมายเหตุสำคัญเกี่ยวกับตัวเลขที่เราแทนที่เพื่อค้นหาเครื่องหมายบนช่วงขวาสุด ไม่จำเป็นต้องแทนที่ตัวเลขใกล้กับรูทขวาสุดเลย คุณสามารถใช้เงินหลายพันล้านหรือแม้แต่ "บวกอินฟินิตี้" ได้ ในกรณีนี้ เครื่องหมายของพหุนามในวงเล็บ ตัวเศษ หรือตัวส่วน ถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่านั้น

  ลองดูที่ฟังก์ชัน $ f \ left (x \ right) $ จากอสมการสุดท้าย:

  มีสามพหุนามในบันทึกของเธอ:

  \ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((P) _ (1)) \ ซ้าย (x \ ขวา) = 7x + 1; \\ & ((P) _ (2)) \ ซ้าย (x \ ขวา) = 11x + 2; \\ & Q \ ซ้าย (x \ ขวา) = 13x-4 \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

  ทั้งหมดเป็นทวินามเชิงเส้น และสัมประสิทธิ์นำหน้าทั้งหมด (หมายเลข 7, 11 และ 13) เป็นบวก ดังนั้น เมื่อแทนจำนวนที่มาก พหุนามเองก็จะเป็นบวกเช่นกัน :)

  กฎนี้อาจดูซับซ้อนเกินไป แต่ในตอนแรก เมื่อเราวิเคราะห์งานที่ง่ายมากเท่านั้น ในความไม่เท่าเทียมกันอย่างร้ายแรง การแทนที่บวกอินฟินิตี้จะช่วยให้เราสามารถหาเครื่องหมายได้เร็วกว่ามาตรฐาน $ ((x) _ (0)) = 100 $ มาก

  เราจะเผชิญกับความท้าทายดังกล่าวในไม่ช้า แต่ก่อนอื่น มาดูทางเลือกอื่นในการแก้อสมการเศษส่วน-ตรรกยะกัน

  ทางเลือกอื่น

  นักเรียนคนหนึ่งแนะนำเทคนิคนี้ให้ฉัน ตัวฉันเองไม่เคยใช้มัน แต่การฝึกฝนแสดงให้เห็นว่านักเรียนหลายคนสะดวกกว่ามากในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันด้วยวิธีนี้

  ดังนั้นข้อมูลเริ่มต้นจะเหมือนกัน จำเป็นต้องแก้อสมการเศษส่วน-ตรรกยะ:

  \ [\ frac (P \ ซ้าย (x \ ขวา)) (Q \ ซ้าย (x \ ขวา)) \ gt 0 \]

  ลองคิดดูว่าพหุนาม $ Q \ left (x \ right) $ "แย่กว่า" กว่าพหุนามอย่างไร $ P \ left (x \ right) $? ทำไมเราต้องพิจารณาแยกกลุ่มของราก (มีและไม่มีเครื่องหมายดอกจัน) คิดเกี่ยวกับจุดเจาะ ฯลฯ ? ง่ายมาก: เศษส่วนมีขอบเขตของคำจำกัดความ พยัญชนะของเศษส่วนจะเข้าท่าก็ต่อเมื่อตัวส่วนไม่เป็นศูนย์

  มิฉะนั้นจะไม่สามารถติดตามความแตกต่างระหว่างตัวเศษและตัวส่วนได้: เรายังถือว่ามันเป็นศูนย์ มองหาราก จากนั้นทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวน เหตุใดจึงไม่แทนที่แถบเศษส่วน (อันที่จริงแล้วเครื่องหมายหาร) ด้วยการคูณแบบปกติ และเขียนข้อกำหนดทั้งหมดของ DHS ในรูปแบบของอสมการแยกกัน ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

  \ [\ frac (P \ ซ้าย (x \ ขวา)) (Q \ ซ้าย (x \ ขวา)) \ gt 0 \ ลูกศรขวา \ ซ้าย \ (\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & P \ ซ้าย (x \ ขวา) \ cdot Q \ ซ้าย (x \ ขวา) \ gt 0, \\ & Q \ ซ้าย (x \ ขวา) \ ne 0. \\ \ end (จัดตำแหน่ง) \ ขวา \]

  โปรดทราบ: วิธีการนี้จะลดปัญหาลงเป็นวิธีการของช่วงเวลา แต่ในขณะเดียวกันก็จะไม่ทำให้การแก้ปัญหายุ่งยากเลย ท้ายที่สุด เราจะยังคงเทียบพหุนาม $ Q \ left (x \ right) $ เป็นศูนย์

  เรามาดูกันว่ามันทำงานอย่างไรกับปัญหาในโลกแห่งความเป็นจริง

  งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

  \ [\ frac (x + 8) (x-11) \ gt 0 \]

  สารละลาย. มาดูวิธีการเว้นวรรคกัน:

  \ [\ frac (x + 8) (x-11) \ gt 0 \ ลูกศรขวา \ ซ้าย \ (\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ ซ้าย (x + 8 \ ขวา) \ ซ้าย (x-11 \ ขวา) \ gt 0 , \\ & x-11 \ ne 0 \\ \ end (จัดตำแหน่ง) \ right. \]

  ความไม่เท่าเทียมกันแรกนั้นแก้ไขได้ง่าย เราแค่ทำให้วงเล็บแต่ละวงเล็บเท่ากับศูนย์:

  \ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & x + 8 = 0 \ ลูกศรขวา ((x) _ (1)) = - 8; \\ & x-11 = 0 \ ลูกศรขวา ((x) _ (2)) = 11 \\ \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

  ความไม่เท่าเทียมกันที่สองนั้นง่ายเช่นกัน:

  เราทำเครื่องหมายจุด $ ((x) _ (1)) $ และ $ ((x) _ (2)) $ บนเส้นจำนวน ทั้งหมดถูกควักออกเนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด:

  จุดที่ถูกต้องถูกเจาะสองครั้ง นี้เป็นเรื่องปกติ

  สังเกตจุด $ x = 11 $ ปรากฎว่ามันถูก "เจาะสองครั้ง": ในอีกด้านหนึ่ง เราควักมันออกเนื่องจากความรุนแรงของความไม่เท่าเทียมกัน ในทางกลับกัน เนื่องจากข้อกำหนดเพิ่มเติมของ DHS

  ในกรณีใด ๆ มันจะเป็นเพียงจุดเจาะ ดังนั้นเราจึงใส่เครื่องหมายความไม่เท่าเทียมกัน $ \ ซ้าย (x + 8 \ ขวา) \ ซ้าย (x-11 \ ขวา) \ gt 0 $ - อันสุดท้ายที่เราเห็นก่อนที่เราจะเริ่มแก้สมการ:

  

  เรามีความสนใจในพื้นที่บวก เนื่องจากเราแก้ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ $ f \ left (x \ right) \ gt 0 $ - และแรเงาพวกมัน มันยังคงเป็นเพียงการเขียนคำตอบ

  ตอบ. $ x \ in \ left (- \ infty; -8 \ right) \ bigcup \ left (11; + \ infty \ right) $

  โดยใช้วิธีนี้เป็นตัวอย่าง ฉันต้องการเตือนคุณเกี่ยวกับข้อผิดพลาดทั่วไปในหมู่นักเรียนสามเณร กล่าวคือ: อย่าขยายวงเล็บในความไม่เท่าเทียมกัน! ในทางตรงกันข้าม พยายามแยกตัวประกอบทุกอย่าง - มันจะทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นและช่วยคุณจากปัญหามากมาย

  ทีนี้มาลองทำอะไรที่ยากขึ้นอีกหน่อย

  งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

  \ [\ frac (\ ซ้าย (2x-13 \ ขวา) \ ซ้าย (12x-9 \ ขวา)) (15x + 33) \ le 0 \]

  สารละลาย. นี่คือความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ $ f \ left (x \ right) \ le 0 $ ดังนั้นคุณต้องใส่ใจกับจุดที่เติมที่นี่

  ย้ายไปยังวิธีการเว้นวรรค:

  \ [\ ซ้าย \ (\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ ซ้าย (2x-13 \ ขวา) \ ซ้าย (12x-9 \ ขวา) \ ซ้าย (15x + 33 \ ขวา) \ le 0, \\ & 15x + 33 \ ne 0 \\ \ end (จัดตำแหน่ง) \ right. \]

  มาต่อกันที่สมการ:

  \ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ ซ้าย (2x-13 \ ขวา) \ ซ้าย (12x-9 \ ขวา) \ ซ้าย (15x + 33 \ ขวา) = 0 \\ & 2x-13 = 0 \ ลูกศรขวา ((x ) _ (1)) = 6.5; \\ & 12x-9 = 0 \ ลูกศรขวา ((x) _ (2)) = 0.75; \\ & 15x + 33 = 0 \ ลูกศรขวา ((x) _ (3)) = - 2.2 \\ \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

  เราคำนึงถึงข้อกำหนดเพิ่มเติม:

  เราทำเครื่องหมายรากที่ได้รับทั้งหมดบนเส้นจำนวน:

  หากจุดใดจุดหนึ่งมีการเจาะและแรเงาพร้อมๆ กัน ถือว่าเป็นจุดที่เจาะทะลุ

  อีกครั้ง สองจุด "ทับซ้อนกัน" กัน - นี่เป็นเรื่องปกติ มันจะเป็นเช่นนั้นเสมอ สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าจุดที่ทำเครื่องหมายทั้งเจาะและเติมเข้าไปนั้นถูกเจาะจริง เหล่านั้น. "เซาะร่อง" เป็นการกระทำที่แข็งแกร่งกว่า "การวาดภาพ"

  นี่เป็นตรรกะอย่างยิ่งเพราะการเซาะร่อง เราทำเครื่องหมายจุดที่ส่งผลต่อเครื่องหมายของฟังก์ชัน แต่อย่าเข้าร่วมในคำตอบด้วยตัวมันเอง และหากถึงจุดหนึ่ง ตัวเลขนั้นไม่เหมาะกับเรา (เช่น ไม่อยู่ใน ODZ) เราจะลบออกจากการพิจารณาจนกว่าจะสิ้นสุดปัญหา

  โดยทั่วไปแล้วให้หยุดคิดปรัชญา เราวางป้ายและทาสีตามช่วงเวลาที่ทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมายลบ:

  

  ตอบ. $ x \ in \ left (- \ infty; -2.2 \ right) \ bigcup \ left [0.75; 6.5 \ right] $.

  และอีกครั้ง ฉันต้องการดึงความสนใจของคุณไปที่สมการนี้:

  \ [\ ซ้าย (2x-13 \ ขวา) \ ซ้าย (12x-9 \ ขวา) \ ซ้าย (15x + 33 \ ขวา) = 0 \]

  อีกครั้ง: อย่าเปิดวงเล็บในสมการแบบนี้! คุณจะทำให้งานของคุณซับซ้อนเท่านั้น ข้อควรจำ: ผลคูณเป็นศูนย์เมื่อตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ ดังนั้น สมการนี้จึง "กระจัดกระจาย" ให้กลายเป็นสมการที่เล็กกว่าหลายๆ สมการ ซึ่งเราได้แก้ไขในปัญหาที่แล้ว

  โดยคำนึงถึงหลายหลากของราก

  จากงานก่อนหน้านี้ เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าความไม่เท่าเทียมกันที่หละหลวมนั้นยากที่สุด เพราะในนั้น คุณต้องติดตามจุดที่เติม

  แต่มีความชั่วร้ายที่ยิ่งใหญ่กว่านั้นในโลก - สิ่งเหล่านี้มีรากมาจากความไม่เท่าเทียมกันหลายประการ ในที่นี้ คุณต้องคอยติดตามว่าไม่ได้เติมจุดใดบ้าง - ที่นี่เครื่องหมายอสมการอาจไม่เปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหันเมื่อผ่านจุดเดียวกันเหล่านี้

  เราไม่ได้พิจารณาสิ่งนี้ในบทเรียนนี้ (แม้ว่าจะพบปัญหาที่คล้ายกันบ่อยครั้งในวิธีช่วงเวลา) ดังนั้นเราจึงแนะนำคำจำกัดความใหม่:

  คำนิยาม. รากของสมการ $ ((\ left (x-a \ right)) ^ (n)) = 0 $ เท่ากับ $ x = a $ และเรียกว่ารูทของการคูณ $ n $ th

  อันที่จริง เราไม่สนใจค่าของทวีคูณที่แน่นอนเป็นพิเศษ สิ่งสำคัญเพียงอย่างเดียวคือว่าจำนวน $ n $ นี้เป็นเลขคู่หรือคี่ เพราะ:

  1. ถ้า $ x = a $ เป็นรูทของหลายหลาก เครื่องหมายของฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อส่งผ่าน
  2. และในทางกลับกัน ถ้า $ x = a $ เป็นรูทของการคูณแบบคี่ เครื่องหมายของฟังก์ชันจะเปลี่ยนไป

  ปัญหาก่อนหน้านี้ทั้งหมดที่กล่าวถึงในบทเรียนนี้เป็นกรณีพิเศษของรากของหลายหลากคี่: ทุกที่ที่หลายหลากจะเท่ากับหนึ่ง

  และต่อไป. ก่อนที่เราจะเริ่มแก้ปัญหา ฉันต้องการจะดึงความสนใจของคุณไปที่ความละเอียดอ่อนอย่างหนึ่งที่นักเรียนที่มีประสบการณ์จะมองเห็นได้ชัดเจน แต่กลับทำให้ผู้เริ่มต้นหลายคนเกิดอาการมึนงง กล่าวคือ:

  รากของหลายหลาก $ n $ เกิดขึ้นเฉพาะเมื่อนิพจน์ทั้งหมดยกกำลังนี้: $ ((\ left (xa \ right)) ^ (n)) $ และไม่ใช่ $ \ left (((x) ^ ( n )) - a \ right) $.

  อีกครั้ง: วงเล็บ $ ((\ left (xa \ right)) ^ (n)) $ ให้ราก $ x = a $ ของหลายหลาก $ n $ แต่วงเล็บ $ \ left (((x) ^ ( n)) -a \ right) $ หรือบ่อยครั้งที่ $ (a - ((x) ^ (n))) $ ให้ราก (หรือสองราก ถ้า $ n $ เป็นคู่) ของหลายหลากแรก ไม่ว่าอะไรจะเท่ากับ $ n $

  เปรียบเทียบ:

  \ [((\ ซ้าย (x-3 \ ขวา)) ^ (5)) = 0 \ ลูกศรขวา x = 3 \ ซ้าย (5k \ ขวา) \]

  ทุกอย่างชัดเจนที่นี่: วงเล็บทั้งหมดถูกยกขึ้นเป็นยกกำลังที่ห้า ดังนั้นที่เอาต์พุต เราได้รากของกำลังที่ห้า และตอนนี้:

  \ [\ ซ้าย (((x) ^ (2)) - 4 \ ขวา) = 0 \ ลูกศรขวา ((x) ^ (2)) = 4 \ ลูกศรขวา x = \ pm 2 \]

  เรามีรากสองอัน, แต่พวกมันมีคูณหลายอันแรก. หรือนี่คืออีก:

  \ [\ ซ้าย (((x) ^ (10)) - 1024 \ ขวา) = 0 \ ลูกศรขวา ((x) ^ (10)) = 1024 \ ลูกศรขวา x = \ pm 2 \]

  และอย่าสับสนกับระดับสิบ สิ่งสำคัญคือ 10 เป็นจำนวนคู่ ดังนั้นที่ผลลัพธ์ เรามีรากที่สอง และทั้งคู่มีการคูณแรกอีกครั้ง

  โดยทั่วไป พึงระวัง: ความหลายหลากจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ องศาหมายถึงวงเล็บทั้งหมด ไม่ใช่แค่ตัวแปร.

  งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

  \ [\ frac (((x) ^ (2)) ((\ ซ้าย (6-x \ ขวา)) ^ (3)) \ ซ้าย (x + 4 \ ขวา)) (((\ ซ้าย (x + 7 \ right)) ^ (5))) \ ge 0 \]

  สารละลาย. ลองแก้ปัญหาด้วยวิธีอื่น - ผ่านการเปลี่ยนจากเฉพาะเป็นงาน:

  \ [\ ซ้าย \ (\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((x) ^ (2)) ((\ ซ้าย (6-x \ ขวา)) ^ (3)) \ ซ้าย (x + 4 \ ขวา) \ cdot ( (\ left (x + 7 \ right)) ^ (5)) \ ge 0, \\ & ((\ left (x + 7 \ right)) ^ (5)) \ ne 0. \\ \ end (จัดตำแหน่ง ) \ ขวา. \]

  เราจัดการกับอสมการแรกโดยใช้วิธีช่วงเวลา:

  \ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((x) ^ (2)) ((\ ซ้าย (6-x \ ขวา)) ^ (3)) \ ซ้าย (x + 4 \ ขวา) \ cdot ((\ ซ้าย ( x + 7 \ ขวา)) ^ (5)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) = 0 \ ลูกศรขวา x = 0 \ ซ้าย (2k \ ขวา); \\ & ((\ ซ้าย (6-x \ ขวา)) ^ (3)) = 0 \ ลูกศรขวา x = 6 \ ซ้าย (3k \ ขวา); \\ & x + 4 = 0 \ ลูกศรขวา x = -4; \\ & ((\ ซ้าย (x + 7 \ ขวา)) ^ (5)) = 0 \ ลูกศรขวา x = -7 \ ซ้าย (5k \ ขวา) \\ \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

  นอกจากนี้ เราแก้อสมการที่สอง อันที่จริง เราได้แก้ไขมันไปแล้ว แต่เพื่อไม่ให้ผู้ตรวจสอบพบข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหา ทางที่ดีควรแก้ไขอีกครั้ง:

  \ [((\ left (x + 7 \ right)) ^ (5)) \ ne 0 \ ลูกศรขวา x \ ne -7 \]

  โปรดทราบ: ไม่มีความซ้ำซ้อนในอสมการสุดท้าย อันที่จริง: การขีดฆ่าจุด $ x = -7 $ บนเส้นจำนวนต่างกันอย่างไร อย่างน้อยหนึ่งครั้ง อย่างน้อยห้า - ผลลัพธ์จะเหมือนกัน: จุดที่เจาะ

  มาทำเครื่องหมายทุกสิ่งที่เราได้รับบนเส้นจำนวน:

  

  อย่างที่ฉันพูดไป ในที่สุดจุด $ x = -7 $ จะถูกเจาะทะลุ หลายหลากถูกจัดเรียงตามการแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันโดยวิธีการของช่วง

  มันยังคงวางป้าย:

  

  เนื่องจากจุด $ x = 0 $ เป็นรากของหลายหลาก เครื่องหมายจึงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อผ่านจุดนั้น ประเด็นที่เหลือมีหลายหลากแบบแปลก ๆ และทุกอย่างก็ง่ายสำหรับพวกเขา

  ตอบ. $ x \ in \ left (- \ infty; -7 \ right) \ bigcup \ left [-4; 6 \ right] $

  หมายเหตุอีกครั้ง $ x = 0 $ เนื่องจากมีหลายหลากจึงเกิดเอฟเฟกต์ที่น่าสนใจ: ทางด้านซ้ายของมันทุกอย่างถูกทาสีไปทางขวาเช่นกันและจุดนั้นก็ถูกทาสีทับอย่างสมบูรณ์

  ด้วยเหตุนี้ จึงไม่จำเป็นต้องแยกออกเมื่อบันทึกคำตอบ เหล่านั้น. ไม่จำเป็นต้องเขียนบางอย่างเช่น $ x \ in \ left [-4; 0 \ right] \ bigcup \ left [0; 6 \ right] $ (แม้ว่าคำตอบนี้จะถูกต้องอย่างเป็นทางการก็ตาม) แต่เราเขียนทันที $ x \ in \ left [-4; 6 \ right] $

  ผลกระทบดังกล่าวเป็นไปได้เฉพาะกับรากของหลายหลากเท่านั้น และในงานต่อไปเราจะเผชิญกับ "การแสดง" ที่ตรงกันข้ามกับเอฟเฟกต์นี้ พร้อม?

  งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

  \ [\ frac (((\ left (x-3 \ right))) ^ (4)) \ left (x-4 \ right)) (((\ left (x-1 \ right)) ^ (2)) \ ซ้าย (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ ขวา)) \ ge 0 \]

  สารละลาย. คราวนี้เราจะไปตามรูปแบบมาตรฐาน ตั้งค่าตัวเศษเป็นศูนย์:

  \ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((\ ซ้าย (x-3 \ ขวา)) ^ (4)) \ ซ้าย (x-4 \ ขวา) = 0; \\ & ((\ ซ้าย (x-3 \ ขวา)) ^ (4)) = 0 \ ลูกศรขวา ((x) _ (1)) = 3 \ ซ้าย (4k \ ขวา); \\ & x-4 = 0 \ ลูกศรขวา ((x) _ (2)) = 4 \\ \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

  และตัวส่วน:

  \ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((\ ซ้าย (x-1 \ ขวา)) ^ (2)) \ ซ้าย (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ ขวา) = 0; \\ & ((\ ซ้าย (x-1 \ ขวา)) ^ (2)) = 0 \ ลูกศรขวา x_ (1) ^ (*) = 1 \ ซ้าย (2k \ ขวา); \\ & 7x-10 - ((x) ^ (2)) = 0 \ ลูกศรขวา x_ (2) ^ (*) = 5; \ x_ (3) ^ (*) = 2 \\ \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

  เนื่องจากเรากำลังแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่อ่อนแอของรูปแบบ $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $ รากจากตัวส่วน (ซึ่งมีเครื่องหมายดอกจัน) จะถูกเจาะทะลุและจากตัวเศษจะถูกเติมเข้าไป

  

  เราวางป้ายและพื้นที่ฟักที่มีเครื่องหมาย "บวก":

  จุด $ x = 3 $ ถูกแยกออก นี่เป็นส่วนหนึ่งของคำตอบ

  ก่อนเขียนคำตอบสุดท้าย ให้พิจารณาภาพอย่างใกล้ชิด:

  1. จุด $ x = 1 $ มีความคูณหลายเท่า แต่ถูกเจาะด้วยตัวมันเอง ดังนั้นจะต้องแยกคำตอบ: คุณต้องเขียน $ x \ in \ left (- \ infty; 1 \ right) \ bigcup \ left (1; 2 \ right) $ ไม่ใช่ $ x \ in \ ซ้าย (- \ infty; 2 \ ขวา) $.
  2. จุด $ x = 3 $ ก็มีหลายหลากเท่ากันและถูกเติมในเวลาเดียวกัน การจัดเรียงสัญญาณบ่งชี้ว่าจุดนั้นเหมาะกับเรา แต่เป็นก้าวซ้ายและขวา - และเราพบว่าตัวเองอยู่ในพื้นที่ที่ไม่เหมาะกับเราอย่างแน่นอน จุดดังกล่าวเรียกว่าแยกและเขียนเป็น $ x \ in \ left \ (3 \ right \) $

  เรารวมชิ้นส่วนผลลัพธ์ทั้งหมดเป็นชุดทั่วไปและจดคำตอบไว้

  คำตอบ: $ x \ in \ left (- \ infty; 1 \ right) \ bigcup \ left (1; 2 \ right) \ bigcup \ left \ (3 \ right \) \ bigcup \ left [4; 5 \ right) $

  คำนิยาม. การแก้ความไม่เท่าเทียมกันหมายถึง ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดของเขามากมายหรือพิสูจน์ว่าชุดนี้ว่าง

  ดูเหมือนว่า: อะไรที่เข้าใจยากที่นี่? ใช่ ความจริงของเรื่องนี้คือชุดสามารถระบุได้หลายวิธี มาเขียนคำตอบของปัญหาสุดท้ายกันอีกครั้ง:

  เราอ่านสิ่งที่เขียนตามตัวอักษร ตัวแปร "x" เป็นของชุดหนึ่ง ซึ่งได้มาจากการรวม (สัญลักษณ์ "U") สี่ชุดแยกกัน:

  • ช่วงเวลา $ \ left (- \ infty; 1 \ right) $ ซึ่งหมายความตามตัวอักษรว่า "ตัวเลขทั้งหมดน้อยกว่าหนึ่งตัว แต่ไม่ใช่ตัวมันเอง";
  • $ \ ซ้าย (1; 2 \ ขวา) $ ระยะห่างเช่น “ ตัวเลขทั้งหมดในช่วง 1 ถึง 2 แต่ไม่ใช่ตัวเลข 1 และ 2 เอง”;
  • ชุด $ \ left \ (3 \ right \) $ ประกอบด้วยตัวเลขเดียว - สาม;
  • ช่วง $ \ left [4; 5 \ right) $ ซึ่งมีตัวเลขทั้งหมดระหว่าง 4 ถึง 5 รวมถึงสี่ตัว แต่ไม่ใช่ห้า

  จุดที่สามเป็นที่น่าสนใจที่นี่ ซึ่งแตกต่างจากช่วงเวลาซึ่งระบุชุดจำนวนอนันต์และแสดงเฉพาะขอบเขตของชุดเหล่านี้เท่านั้น ชุด $ \ left \ (3 \ right \) $ ระบุหนึ่งตัวเลขโดยการแจงนับ

  เพื่อให้เข้าใจว่าเราแค่ระบุตัวเลขเฉพาะที่รวมอยู่ในชุด (และไม่ได้กำหนดขอบเขตหรืออย่างอื่น) วงเล็บปีกกาจึงถูกนำมาใช้ ตัวอย่างเช่น สัญกรณ์ $ \ left \ (1; 2 \ right \) $ หมายถึง "ชุดที่ประกอบด้วยตัวเลขสองตัว: 1 และ 2" ทุกประการ แต่ไม่ใช่เซ็กเมนต์ตั้งแต่ 1 ถึง 2 ไม่ว่าในกรณีใด คุณไม่ควรสับสนกับแนวคิดเหล่านี้ .

  กฎการเพิ่มทวีคูณ

  สรุปบทเรียนวันนี้ กระป๋องเล็กๆ จาก Pavel Berdov :)

  นักเรียนที่เอาใจใส่อาจถามคำถามไปแล้ว: จะเกิดอะไรขึ้นหากพบรากเดียวกันในตัวเศษและตัวส่วน ดังนั้น กฎต่อไปนี้ใช้งานได้:

  ทวีคูณของรากเดียวกันจะถูกเพิ่มเข้าไป ตลอดเวลา. แม้ว่ารูทนี้จะเกิดขึ้นทั้งในตัวเศษและตัวส่วน

  บางครั้งมันก็ดีกว่าที่จะตัดสินใจมากกว่าที่จะพูด ดังนั้นเราจึงแก้ปัญหาต่อไปนี้:

  งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

  \ [\ frac (((x) ^ (2)) + 6x + 8) (\ left ((x) ^ (2)) - 16 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ ขวา)) \ ge 0 \]

  \ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((x) ^ (2)) + 6x + 8 = 0 \\ & ((x) _ (1)) = - 2; \ ((x) _ (2)) = -4. \\ \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

  ยังไม่มีอะไรพิเศษ ตั้งค่าตัวส่วนเป็นศูนย์:

  \ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ ซ้าย (((x) ^ (2)) - 16 \ ขวา) \ ซ้าย (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ ขวา) = 0 \\ & ( (x) ^ (2)) - 16 = 0 \ ลูกศรขวา x_ (1) ^ (*) = 4; \ x_ (2) ^ (*) = - 4; \\ & ((x) ^ (2)) + 9x + 14 = 0 \ ลูกศรขวา x_ (3) ^ (*) = - 7; \ x_ (4) ^ (*) = - 2 \\ \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

  พบสองรากที่เหมือนกัน: $ ((x) _ (1)) = - 2 $ และ $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $ ทั้งสองเป็นพับแรก ดังนั้นเราจึงแทนที่ด้วยหนึ่งรูท $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $ แต่ด้วยหลายหลาก 1 + 1 = 2 แล้ว

  นอกจากนี้ยังมีรากเหมือนกัน: $ ((x) _ (2)) = - 4 $ และ $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $ พวกมันเป็นพหุคูณแรกเช่นกัน ดังนั้นเหลือเพียง $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $ ของการคูณ 1 + 1 = 2

  โปรดทราบ: ในทั้งสองกรณี เราได้ทิ้งรากที่ "เจาะ" ไว้ทั้งหมด และ "ทาสีทับ" นั้นไม่ได้พิจารณา เพราะแม้ในตอนต้นของบทเรียน เราก็เห็นด้วย: หากจุดใดจุดหนึ่งถูกเจาะและทาสีทับ เราก็ถือว่าจุดนั้นถูกเจาะ

  เป็นผลให้เรามีสี่รากและทั้งหมดถูกควักออกมา:

  \ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & x_ (1) ^ (*) = 4; \\ & x_ (2) ^ (*) = - 4 \ ซ้าย (2k \ ขวา); \\ & x_ (3) ^ (*) = - 7; \\ & x_ (4) ^ (*) = - 2 \ ซ้าย (2k \ ขวา) \\ \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

  เราทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวนโดยคำนึงถึงหลายหลาก:

  

  เราวางป้ายและทาสีบริเวณที่เราสนใจ:

  

  ทุกอย่าง. ไม่มีจุดแยกและความวิปริตอื่น ๆ คุณสามารถเขียนคำตอบ

  ตอบ. $ x \ in \ left (- \ infty; -7 \ right) \ bigcup \ left (4; + \ infty \ right) $.

  กฎการคูณ

  บางครั้งสถานการณ์ที่ไม่น่าพอใจยิ่งขึ้นก็เกิดขึ้น: สมการที่มีรากหลายตัวถูกยกขึ้นเป็นกำลังหนึ่ง ในกรณีนี้ ความซ้ำซ้อนของรากดั้งเดิมทั้งหมดจะเปลี่ยนไป

  นี่เป็นเรื่องหายาก ดังนั้นนักเรียนส่วนใหญ่จึงไม่มีประสบการณ์ในการแก้ปัญหาดังกล่าว และกฎที่นี่มีดังนี้:

  เมื่อสมการถูกยกกำลัง $ n $ คูณของรากทั้งหมดก็เพิ่มขึ้น $ n $ เท่าเช่นกัน

  กล่าวอีกนัยหนึ่ง การยกกำลังนำไปสู่การคูณคูณด้วยกำลังเดียวกัน ลองพิจารณากฎนี้ด้วยตัวอย่าง:

  งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

  \ [\ frac (x ((\ left (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ right)) ^ (2)) ((\ left (x-4 \ right)) ^ (5)) ) (((\ left (2-x \ right)) ^ (3)) ((\ left (x-1 \ right)) ^ (2))) \ le 0 \]

  สารละลาย. ตั้งค่าตัวเศษเป็นศูนย์:

  ผลคูณเป็นศูนย์เมื่อมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ ด้วยปัจจัยแรก ทุกอย่างชัดเจน: $ x = 0 $ แต่แล้วปัญหาก็เริ่มขึ้น:

  \ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((\ ซ้าย (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ ขวา)) ^ (2)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 \ ซ้าย (2k \ ขวา); \\ & D = ((6) ^ (3)) - 4 \ cdot 9 = 0 \\ & ((x) _ (2)) = 3 \ ซ้าย (2k \ ขวา) \ ซ้าย (2k \ ขวา) \ \ & ((x) _ (2)) = 3 \ ซ้าย (4k \ ขวา) \\ \ end (จัดตำแหน่ง) \]

  อย่างที่คุณเห็น สมการ $ ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 $ มีรากเดียวของทวีคูณที่สอง: $ x = 3 $ จากนั้นสมการทั้งหมดจะถูกยกกำลังสอง ดังนั้น หลายหลากของรูทจะเป็น $ 2 \ cdot 2 = 4 $ ซึ่งในที่สุดเราก็เขียนลงไป

  \ [((\ ซ้าย (x-4 \ ขวา)) ^ (5)) = 0 \ ลูกศรขวา x = 4 \ ซ้าย (5k \ ขวา) \]

  ไม่มีปัญหากับตัวส่วนอย่างใดอย่างหนึ่ง:

  \ [\ start (จัดตำแหน่ง) & ((\ left (2-x \ right)) ^ (3)) ((\ left (x-1 \ right)) ^ (2)) = 0; \\ & ((\ ซ้าย (2-x \ ขวา)) ^ (3)) = 0 \ ลูกศรขวา x_ (1) ^ (*) = 2 \ ซ้าย (3k \ ขวา); \\ & ((\ ซ้าย (x-1 \ ขวา)) ^ (2)) = 0 \ ลูกศรขวา x_ (2) ^ (*) = 1 \ ซ้าย (2k \ ขวา) \\ \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

  โดยรวมแล้ว เราได้ห้าคะแนน: สองเจาะและสามเต็ม ไม่มีรากที่ตรงกันในตัวเศษและส่วน ดังนั้นเราจึงทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวน:

  

  เราจัดเรียงสัญญาณโดยคำนึงถึงความหลากหลายและระบายสีตามช่วงเวลาที่เราสนใจ:

  อีกครั้งหนึ่งจุดแยกและหนึ่งเจาะ

  เนื่องจากรากเหง้าของความหลายหลาก เราจึงมีองค์ประกอบที่ "ไม่เป็นมาตรฐาน" สองสามอย่าง นี่คือ $ x \ in \ left [0; 1 \ right) \ bigcup \ left (1; 2 \ right) $ ไม่ใช่ $ x \ in \ left [0; 2 \ right) $ เช่นเดียวกับจุดแยก $ x \ in \ left \ (3 \ right \) $

  ตอบ. $ x \ in \ left [0; 1 \ right) \ bigcup \ left (1; 2 \ right) \ bigcup \ left \ (3 \ right \) \ bigcup \ left [4; + \ infty \ right) $

  อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างไม่ได้ยากนัก สิ่งสำคัญคือความเอาใจใส่ ส่วนสุดท้ายของบทเรียนนี้เน้นที่การเปลี่ยนแปลง - ที่เราพูดถึงในตอนเริ่มต้น

  การแปลงล่วงหน้า

  ความไม่เท่าเทียมกันที่เราพูดถึงในส่วนนี้ไม่ซับซ้อน อย่างไรก็ตาม ไม่เหมือนงานก่อนหน้านี้ คุณจะต้องใช้ทักษะจากทฤษฎีเศษส่วนตรรกยะ - การแยกตัวประกอบและการลดลงไปยังตัวส่วนร่วม

  เราได้กล่าวถึงปัญหานี้โดยละเอียดในตอนต้นของบทเรียนของวันนี้ หากคุณไม่แน่ใจว่าคุณเข้าใจเนื้อหาเกี่ยวกับอะไร เราขอแนะนำให้คุณกลับไปทำซ้ำ เพราะไม่มีประโยชน์ที่จะใช้วิธียัดเยียดเพื่อแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ถ้าคุณ "ลอย" ในการแปลงเศษส่วน

  ในการบ้านก็จะมีงานที่คล้ายกันมากมาย พวกเขาจะอยู่ในส่วนย่อยที่แยกต่างหาก และคุณจะพบตัวอย่างที่ไม่สำคัญ แต่มันจะเป็นการบ้าน และตอนนี้ เรามาวิเคราะห์ความไม่เท่าเทียมกันสองสามข้อกัน

  งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

  \ [\ frac (x) (x-1) \ le \ frac (x-2) (x) \]

  สารละลาย. ย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย:

  \ [\ frac (x) (x-1) - \ frac (x-2) (x) \ le 0 \]

  เรานำตัวส่วนร่วม เปิดวงเล็บ เราให้คำที่คล้ายกันในตัวเศษ:

  \ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ frac (x \ cdot x) (\ ซ้าย (x-1 \ ขวา) \ cdot x) - \ frac (\ ซ้าย (x-2 \ ขวา) \ ซ้าย (x-1 \ ขวา)) (x \ cdot \ ซ้าย (x-1 \ ขวา)) \ le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - \ left (((x) ^ (2)) - 2x-x + 2 \ right)) (x \ left (x-1 \ right)) \ เลอ 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - ((x) ^ (2)) + 3x-2) (x \ left (x-1 \ right)) \ le 0; \\ & \ frac (3x-2) (x \ left (x-1 \ right)) \ le 0 \\\ end (จัดตำแหน่ง) \]

  ตอนนี้ เรามีอสมการเศษส่วน-ตรรกยะแบบคลาสสิก ซึ่งการแก้ปัญหานั้นไม่ยากอีกต่อไป ฉันเสนอให้แก้ปัญหาด้วยวิธีอื่น - ผ่านวิธีช่วงเวลา:

  \ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ ซ้าย (3x-2 \ ขวา) \ cdot x \ cdot \ ซ้าย (x-1 \ ขวา) = 0; \\ & ((x) _ (1)) = \ frac (2) (3); \ ((x) _ (2)) = 0; \ ((x) _ (3)) = 1 \\ \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

  อย่าลืมข้อจำกัดที่มาจากตัวส่วน:

  เราทำเครื่องหมายหมายเลขและข้อ จำกัด ทั้งหมดบนเส้นจำนวน:

  รากทั้งหมดมีทวีคูณแรก ไม่มีปัญหา. เราเพียงแค่วางป้ายและทาสีบริเวณที่เราต้องการ:

  

  มันคือทั้งหมด คุณสามารถเขียนคำตอบ

  ตอบ. $ x \ in \ left (- \ infty; 0 \ right) \ bigcup \ left [(2) / (3) \ ;; 1 \ right) $.

  แน่นอนว่านี่เป็นเพียงตัวอย่างเท่านั้น ดังนั้นตอนนี้เราจะพิจารณาปัญหาอย่างจริงจังมากขึ้น และอีกอย่าง ระดับของงานนี้ค่อนข้างสอดคล้องกับงานอิสระและการควบคุมในหัวข้อนี้ในเกรด 8

  งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

  \ [\ frac (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) \ ge \ frac (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \]

  สารละลาย. ย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย:

  \ [\ frac (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) - \ frac (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \ ge 0 \]

  ก่อนที่จะลดเศษส่วนทั้งสองให้เป็นตัวส่วนร่วม เราจะแยกตัวส่วนเหล่านี้ออก เกิดอะไรขึ้นถ้าวงเล็บเดียวกันออกมา? ด้วยตัวส่วนแรก มันง่าย:

  \ [((x) ^ (2)) + 8x-9 = \ ซ้าย (x-1 \ ขวา) \ ซ้าย (x + 9 \ ขวา) \]

  ประการที่สองเป็นเรื่องยากขึ้นเล็กน้อย อย่าลังเลที่จะใส่ตัวคูณคงที่ในวงเล็บที่เศษส่วนปรากฏ ข้อควรจำ: พหุนามเดิมมีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ดังนั้นจึงมีความเป็นไปได้สูงที่การแยกตัวประกอบจะมีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มด้วย (อันที่จริง จะเป็นเช่นนี้เสมอ ยกเว้นเมื่อการเลือกปฏิบัติไม่ลงตัว)

  \ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & 3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2 = 3 \ ซ้าย (x-1 \ ขวา) \ ซ้าย (x- \ frac (2) (3) \ ขวา) = \\ & = \ ซ้าย (x-1 \ ขวา) \ ซ้าย (3x-2 \ ขวา) \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

  อย่างที่คุณเห็น มีวงเล็บทั่วไปคือ $ \ left (x-1 \ right) $ เรากลับไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันและนำเศษส่วนทั้งสองมาเป็นตัวส่วนร่วม:

  \ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ frac (1) (\ ซ้าย (x-1 \ ขวา) \ ซ้าย (x + 9 \ ขวา)) - \ frac (1) (\ ซ้าย (x-1 \ ขวา) \ ซ้าย (3x-2 \ ขวา)) \ ge 0; \\ & \ frac (1 \ cdot \ ซ้าย (3x-2 \ ขวา) -1 \ cdot \ ซ้าย (x + 9 \ ขวา)) (\ ซ้าย (x-1 \ ขวา) \ ซ้าย (x + 9 \ ขวา) ) \ ซ้าย (3x-2 \ ขวา)) \ ge 0; \\ & \ frac (3x-2-x-9) (\ ซ้าย (x-1 \ ขวา) \ ซ้าย (x + 9 \ ขวา) \ ซ้าย (3x-2 \ ขวา)) \ ge 0; \\ & \ frac (2x-11) (\ left (x-1 \ right) \ left (x + 9 \ right) \ left (3x-2 \ right)) \ ge 0; \\ \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

  ตั้งค่าตัวส่วนเป็นศูนย์:

  \ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ ซ้าย (x-1 \ ขวา) \ ซ้าย (x + 9 \ ขวา) \ ซ้าย (3x-2 \ ขวา) = 0; \\ & x_ (1) ^ (*) = 1; \ x_ (2) ^ (*) = - 9; \ x_ (3) ^ (*) = \ frac (2) (3) \\ \ end ( จัดตำแหน่ง) \]

  ไม่มีการคูณหรือรากที่เหมือนกัน เราทำเครื่องหมายตัวเลขสี่ตัวเป็นเส้นตรง:

  เราวางป้าย:

  

  เราเขียนคำตอบ

  คำตอบ: $ x \ in \ left (- \ infty; -9 \ right) \ bigcup \ left ((2) / (3) \ ;; 1 \ right) \ bigcup \ left [5,5; + \ infty \ ขวา) $.