อวกาศเป็นเรื่องบังเอิญหรือไม่? Dice online วิธีทำให้ลูกเต๋าล้มแบบสุ่มมากหรือน้อย

กฎแห่งโอกาสสามประการคืออะไร และเหตุใดความคาดเดาไม่ได้จึงทำให้เราสามารถคาดการณ์ได้อย่างน่าเชื่อถือที่สุด

จิตใจของเราด้วยสุดกำลังของมันต่อต้านแนวคิดเรื่องโอกาส ในระหว่างวิวัฒนาการของเราในฐานะสปีชีส์ เราได้พัฒนาความสามารถในการมองหาความสัมพันธ์ของเหตุและผลในทุกสิ่ง นานมาแล้วก่อนการเกิดขึ้นของวิทยาศาสตร์ เรารู้อยู่แล้วว่าพระอาทิตย์ตกดินสีแดงเลือดนกจะสื่อถึงพายุที่อันตราย และการที่ทารกหน้าแดงเป็นไข้หมายความว่าแม่ของเขาจะพบกับค่ำคืนที่ยากลำบาก จิตใจของเราพยายามจัดโครงสร้างข้อมูลที่เราได้รับโดยอัตโนมัติในลักษณะที่ช่วยให้เราสามารถอนุมานจากการสังเกตของเรา และใช้การอนุมานเหล่านั้นเพื่อทำความเข้าใจและคาดการณ์เหตุการณ์ต่างๆ

แนวคิดเรื่องความบังเอิญเป็นเรื่องยากที่จะยอมรับ เพราะมันขัดกับสัญชาตญาณพื้นฐานที่ทำให้เรามองหารูปแบบที่มีเหตุผลในโลกรอบตัวเรา และมีโอกาสแสดงให้เราเห็นว่ารูปแบบดังกล่าวไม่มีอยู่จริง ดังนั้น โดยพื้นฐานแล้ว โอกาสจะจำกัดสัญชาตญาณของเรา เพราะมันพิสูจน์ว่ามีกระบวนการ ซึ่งเราไม่สามารถคาดเดาได้อย่างเต็มที่ แนวคิดนี้ไม่ง่ายที่จะยอมรับ แม้ว่าจะเป็นส่วนสำคัญของกลไกของจักรวาลก็ตาม เมื่อไม่เข้าใจว่าความบังเอิญคืออะไร เราพบว่าตัวเองอยู่ในจุดจบของโลกที่คาดเดาได้อย่างสมบูรณ์แบบ ซึ่งไม่ได้อยู่เหนือจินตนาการของเรา

ฉันจะบอกว่าเมื่อเราเชี่ยวชาญคำพังเพยทั้งสาม - กฎสามประการของการสุ่ม - เราจะสามารถปลดปล่อยตนเองจากความปรารถนาดั้งเดิมของเราในการคาดเดาและยอมรับจักรวาลตามที่เป็นอยู่ ไม่ใช่อย่างที่เราอยากเห็น

สุ่มมีอยู่

เราใช้กลไกทางจิตใด ๆ เพียงไม่ต้องเผชิญกับการสุ่ม เรากำลังพูดถึงกรรม เกี่ยวกับอีควอไลเซอร์จักรวาล ซึ่งเชื่อมโยงสิ่งที่ไม่เกี่ยวข้องกันอย่างชัดเจน เราเชื่อในลางดีและร้าย ในข้อเท็จจริงที่ว่า "พระเจ้ารักตรีเอกานุภาพ" เราอ้างว่าเราได้รับอิทธิพลจากตำแหน่งของดวงดาว ระยะของดวงจันทร์ และการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ หากเราได้รับการวินิจฉัยว่าเป็นมะเร็ง เราจะพยายามตำหนิบางสิ่งบางอย่างโดยอัตโนมัติ (หรือใครบางคน)

แต่หลายเหตุการณ์ไม่สามารถคาดเดาหรืออธิบายได้อย่างเต็มที่ ภัยพิบัติเกิดขึ้นอย่างคาดไม่ถึง และทั้งคนดีและคนไม่ดีต้องทนทุกข์ทรมาน รวมทั้งผู้ที่เกิด "ใต้ดวงดารา" หรือ "ภายใต้เครื่องหมายอันเป็นมงคล" บางครั้งเราสามารถคาดเดาบางสิ่งได้ แต่โอกาสสามารถหักล้างการคาดคะเนที่น่าเชื่อถือที่สุดได้อย่างง่ายดาย อย่าแปลกใจถ้าเพื่อนบ้านที่อ้วนของคุณซึ่งเป็นนักขี่มอเตอร์ไซค์บ้าบิ่นที่ไม่หยุดสูบบุหรี่จะมีชีวิตยืนยาวกว่าคุณ

นอกจากนี้ เหตุการณ์สุ่มสามารถแกล้งทำเป็นไม่สุ่มได้ แม้แต่นักวิทยาศาสตร์ที่ฉลาดหลักแหลมที่สุดก็อาจมีปัญหาในการแยกแยะระหว่างผลที่เกิดขึ้นจริงกับความผันผวนแบบสุ่ม โอกาสสามารถเปลี่ยนยาหลอกเป็นยาวิเศษ และสารที่ไม่เป็นอันตรายกลายเป็นยาพิษร้ายแรง และสามารถสร้างอนุภาคย่อยจากสิ่งใดสิ่งหนึ่งได้

เหตุการณ์บางอย่างไม่สามารถคาดเดาได้

หากคุณเดินเข้าไปในคาสิโนในลาสเวกัสและมองดูผู้เล่นจำนวนมากที่โต๊ะพนัน คุณอาจจะเจอคนที่คิดว่าพวกเขาโชคดีในวันนี้ เขาชนะหลายครั้งติดต่อกัน และสมองของเขารับรองกับเขาว่าเขาจะชนะต่อไป ดังนั้นผู้เล่นจึงวางเดิมพันต่อไป คุณยังจะเห็นคนที่เพิ่งสูญเสีย สมองของผู้แพ้ก็เหมือนกับสมองของผู้ชนะเช่นกัน แนะนำให้เขาเล่นเกมต่อ เนื่องจากคุณแพ้มาหลายครั้งติดต่อกัน ตอนนี้มันอาจจะเริ่มมีโชค เป็นเรื่องโง่ที่จะออกไปตอนนี้และพลาดโอกาสนี้

แต่ไม่ว่าสมองของเราจะบอกเราอย่างไร ก็ไม่มีพลังลึกลับใดที่สามารถทำให้เรามี "ริ้วแห่งโชค" หรือความยุติธรรมสากลที่จะทำให้แน่ใจว่าในที่สุดผู้แพ้ก็เริ่มที่จะชนะ จักรวาลไม่สนใจว่าคุณชนะหรือแพ้โดยสิ้นเชิง สำหรับเธอ ทอยลูกเต๋าทั้งหมดเหมือนกัน

ไม่ว่าคุณจะใช้ความพยายามมากเพียงใดในการสังเกตว่าลูกเต๋าถูกวางอีกครั้งอย่างไร และไม่ว่าคุณจะมองผู้เล่นที่เชื่อว่าพวกเขาสามารถคว้าโชคได้อย่างใกล้ชิดเพียงใด คุณจะไม่ได้รับข้อมูลเกี่ยวกับการโยนครั้งต่อไปอย่างแน่นอน ผลของการโยนแต่ละครั้งไม่ขึ้นกับประวัติของการโยนครั้งก่อนโดยสมบูรณ์ ดังนั้น ความคาดหวังใด ๆ ในการได้เปรียบจากการดูเกมจะถึงวาระที่จะล้มเหลว เหตุการณ์ดังกล่าว - โดยไม่ขึ้นกับสิ่งใดและสุ่มโดยสมบูรณ์ - อย่าพยายามค้นหารูปแบบเพราะรูปแบบเหล่านี้ไม่มีอยู่จริง

ความสุ่มวางอุปสรรคในทางของความเฉลียวฉลาดของมนุษย์ เนื่องจากแสดงให้เห็นว่าตรรกะทั้งหมดของเรา วิทยาศาสตร์และความสามารถในการให้เหตุผลทั้งหมดของเรานั้นไม่สามารถทำนายพฤติกรรมของจักรวาลได้อย่างเต็มที่ ไม่ว่าคุณจะใช้วิธีใด ทฤษฎีใดก็ตามที่คุณคิดค้น ตรรกะใดก็ตามที่คุณใช้ในการทำนายผลลัพธ์ของการทอยลูกเต๋า คุณจะสูญเสียห้าในหกครั้ง ตลอดเวลา.

ความซับซ้อนของเหตุการณ์สุ่มสามารถคาดเดาได้ แม้ว่าแต่ละเหตุการณ์จะไม่ใช่ก็ตาม

การสุ่มเสี่ยงเป็นสิ่งที่น่ากลัว มันจำกัดความน่าเชื่อถือของทฤษฎีที่ซับซ้อนที่สุด และซ่อนองค์ประกอบบางอย่างของธรรมชาติจากเรา ไม่ว่าเราจะพยายามเจาะลึกถึงแก่นแท้ของพวกมันอย่างต่อเนื่องเพียงใด อย่างไรก็ตาม ไม่อาจโต้แย้งได้ว่าการสุ่มเป็นคำพ้องความหมายสำหรับสิ่งที่ไม่รู้ นี่ไม่ใช่กรณีทั้งหมด

การสุ่มปฏิบัติตามกฎของตัวเอง และกฎเหล่านี้ทำให้กระบวนการสุ่มเข้าใจและคาดเดาได้

กฎของตัวเลขจำนวนมากระบุว่าแม้ว่าเหตุการณ์สุ่มเดี่ยวจะคาดเดาไม่ได้โดยสิ้นเชิง แต่ตัวอย่างเหตุการณ์จำนวนมากเพียงพอสามารถคาดเดาได้ค่อนข้างมาก และยิ่งกลุ่มตัวอย่างมีขนาดใหญ่เท่าใด การทำนายก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ทรงพลังอีกอย่างหนึ่ง ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง ยังแสดงให้เห็นว่าผลรวมของตัวแปรสุ่มจำนวนมากเพียงพอจะมีการแจกแจงที่ใกล้เคียงกับค่าปกติ ด้วยเครื่องมือเหล่านี้ เราสามารถคาดการณ์เหตุการณ์ได้อย่างแม่นยำในระยะยาว ไม่ว่าเหตุการณ์จะวุ่นวาย แปลก และสุ่มอย่างไรในระยะสั้น

กฎแห่งโอกาสมีพลังมากจนทำให้เกิดกฎฟิสิกส์ที่ไม่สั่นคลอนและไม่เปลี่ยนแปลงมากที่สุด แม้ว่าอะตอมในถังบรรจุก๊าซจะเคลื่อนที่อย่างไม่เป็นระเบียบ แต่พฤติกรรมทั่วไปของพวกมันก็อธิบายได้ด้วยชุดสมการง่ายๆ แม้แต่กฎของอุณหพลศาสตร์ก็ยังมาจากการคาดเดาเหตุการณ์สุ่มจำนวนมากได้ กฎเหล่านี้ไม่สามารถสั่นคลอนได้อย่างแม่นยำเพราะการสุ่มเป็นสิ่งที่แน่นอน

ตรงกันข้าม มันเป็นความคาดเดาไม่ได้ของเหตุการณ์สุ่มที่ทำให้เราสามารถคาดการณ์ได้อย่างน่าเชื่อถือที่สุด

เขียนโดยนักออกแบบ Tyler Sigman บน Gamasutra ฉันชอบเรียกมันว่าบทความ "ผมในรูจมูกของออร์ค" แต่มันทำได้ดีทีเดียวในการจัดวางพื้นฐานของความน่าจะเป็นในเกม

หัวข้อสัปดาห์นี้

จนถึงวันนี้ เกือบทุกอย่างที่เราพูดถึงนั้นถูกกำหนดไว้แล้ว และเมื่อสัปดาห์ที่แล้วเราได้พิจารณากลไกสกรรมกริยาอย่างละเอียดถี่ถ้วนและแยกแยะรายละเอียดให้มากที่สุดเท่าที่ฉันจะอธิบายได้ แต่จนถึงตอนนี้ เรายังไม่ได้ให้ความสนใจกับแง่มุมใหญ่ๆ ของเกมหลายๆ เกม กล่าวคือ แง่มุมที่ไม่ได้กำหนดขึ้นเอง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ การสุ่ม การทำความเข้าใจธรรมชาติของการสุ่มเป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับนักออกแบบเกม เนื่องจากเราสร้างระบบที่ส่งผลต่อประสบการณ์ของผู้เล่นในเกมนั้นๆ ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องรู้ว่าระบบเหล่านี้ทำงานอย่างไร หากมีการสุ่มในระบบต้องเข้าใจ ธรรมชาติการสุ่มนี้และวิธีเปลี่ยนเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เราต้องการ

ลูกเต๋า

เริ่มจากสิ่งง่ายๆ ก่อน: ทอยลูกเต๋า เมื่อคนส่วนใหญ่นึกถึงลูกเต๋า พวกเขานึกถึงลูกเต๋าหกด้านที่เรียกว่า d6 แต่นักเล่นเกมส่วนใหญ่เคยเห็นลูกเต๋าอื่น ๆ มากมาย: จัตุรมุข (d4), octahedral (d8), สิบสอง (d12), ยี่สิบ (d20) ... และถ้าคุณ จริงเกินบรรยาย คุณอาจมีกระดูก 30 ด้านหรือ 100 ด้านอยู่ที่ไหนสักแห่ง หากคุณไม่คุ้นเคยกับคำศัพท์นี้ “d” หมายถึงการตาย และตัวเลขหลังจากนั้น มีกี่หน้า ถ้า ด้านหน้าตัว D ย่อมาจาก ตัวเลข แปลว่า ตัวเลขลูกเต๋าเมื่อโยน ตัวอย่างเช่น ในการผูกขาด คุณหมุน 2d6

ดังนั้น ในกรณีนี้ วลี "ลูกเต๋า" เป็นการกำหนดแบบธรรมดา มีตัวสร้างตัวเลขสุ่มอื่นๆ มากมายที่ไม่ได้มีรูปร่างเป็นก้อนพลาสติก แต่ทำหน้าที่เดียวกันในการสร้างตัวเลขสุ่มตั้งแต่ 1 ถึง n เหรียญธรรมดาสามารถคิดได้ว่าเป็นไดฮีดรัล d2 ฉันเห็นรูปแบบลูกเต๋าเจ็ดด้านสองแบบ แบบหนึ่งดูเหมือนลูกเต๋า และอีกแบบดูเหมือนดินสอไม้เจ็ดด้าน จัตุรมุข (หรือเรียกอีกอย่างว่าไทโททัม) มีความคล้ายคลึงกับกระดูกจัตุรมุข สนามเด็กเล่นที่มีลูกศรหมุนในเกม "Chutes & Ladders" ซึ่งผลลัพธ์อาจอยู่ระหว่าง 1 ถึง 6 สอดคล้องกับการตายหกเหลี่ยม เครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มในคอมพิวเตอร์สามารถสร้างตัวเลขใดก็ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 19 หากนักออกแบบถามคำสั่งดังกล่าวแม้ว่าคอมพิวเตอร์จะไม่มีลูกเต๋า 19 ด้าน (โดยทั่วไปฉันจะพูดถึงรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับความน่าจะเป็นที่จะได้ตัวเลข บนคอมพิวเตอร์ที่ ต่อไปสัปดาห์). แม้ว่ารายการเหล่านี้ทั้งหมดจะดูแตกต่างกัน แต่จริงๆ แล้วเหมือนกัน: คุณมีโอกาสเท่าเทียมกันที่จะได้รับหนึ่งในหลายผลลัพธ์

ลูกเต๋ามีคุณสมบัติที่น่าสนใจที่เราจำเป็นต้องรู้ อย่างแรก ความน่าจะเป็นที่ใบหน้าจะหลุดออกมาจะเท่ากัน (ฉันคิดว่าคุณกำลังหมุนแม่พิมพ์ที่ถูกต้อง ไม่ใช่รูปทรงเรขาคณิตที่ผิดปกติ) ดังนั้น หากท่านต้องการทราบ หมายถึงโยน (หรือที่รู้จักกันในหมู่ผู้ที่ชื่นชอบหัวข้อของความน่าจะเป็นว่า "คาดหวังทางคณิตศาสตร์") รวมค่าของขอบทั้งหมดแล้วหารผลรวมนี้ด้วย ตัวเลขใบหน้า ม้วนเฉลี่ยสำหรับแม่พิมพ์หกด้านมาตรฐานคือ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 หารด้วยจำนวนขอบ (6) เพื่อให้ได้ค่าเฉลี่ย 21/6 = 3.5 นี่เป็นกรณีพิเศษเพราะเราคิดว่าผลลัพธ์ทั้งหมดมีโอกาสเท่าเทียมกัน

เกิดอะไรขึ้นถ้าคุณมีลูกเต๋าพิเศษ? ตัวอย่างเช่น ฉันเห็นเกมที่มีลูกเต๋าหกเหลี่ยมที่มีสติกเกอร์พิเศษที่ขอบ: 1, 1, 1, 2, 2, 3 มันจึงมีลักษณะเป็นลูกเต๋าสามเหลี่ยมแปลก ๆ ที่มีโอกาสได้หมายเลข 1 มากกว่า 2 และ 2 มากกว่า 3 มูลค่าม้วนเฉลี่ยของแม่พิมพ์นี้คืออะไร? ดังนั้น 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10 หารด้วย 6 เท่ากับ 5/3 หรือประมาณ 1.66 ดังนั้นหากคุณมีลูกเต๋าแบบพิเศษและผู้เล่นจะทอยลูกเต๋าสามลูกแล้วบวกผลลัพธ์ คุณจะรู้ว่ายอดรวมโดยประมาณของพวกเขาจะอยู่ที่ประมาณ 5 และคุณสามารถสร้างสมดุลของเกมตามสมมติฐานนี้ได้

ลูกเต๋าและความเป็นอิสระ

อย่างที่บอก เราเริ่มจากสมมติฐานที่ว่าแต่ละหน้ามีโอกาสหลุดเท่ากัน ไม่สำคัญว่าคุณจะทอยลูกเต๋ากี่ลูก ทุกทอยลูกเต๋า อะไรก็ตามซึ่งหมายความว่าการโยนครั้งก่อนจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการโยนครั้งต่อๆ ไป ด้วยการทดลองที่เพียงพอ คุณต้อง สังเกต"อนุกรม" ของตัวเลข เช่น การหลุดจากค่าที่มากกว่าหรือน้อยกว่าเป็นส่วนใหญ่ หรือคุณลักษณะอื่นๆ และเราจะพูดถึงเรื่องนี้ในภายหลัง แต่นั่นไม่ได้หมายความว่าลูกเต๋าจะ "ร้อน" หรือ "เย็น" หากคุณทอยลูกเต๋าหกด้านมาตรฐานและเลข 6 ขึ้นมาสองครั้งติดต่อกัน โอกาสที่การม้วนต่อไปจะส่งผลให้ได้เลข 6 ก็คือ 1/6 ด้วย ความน่าจะเป็นไม่ได้เพิ่มขึ้นจากข้อเท็จจริงที่ว่าลูกบาศก์นั้น "อุ่นขึ้น" ความน่าจะเป็นไม่ลดลงเพราะเลข 6 หลุดไปแล้วสองครั้งติดต่อกัน ซึ่งหมายความว่าตอนนี้หน้าอื่นจะหลุดออกมา (แน่นอน ถ้าคุณทอยลูกเต๋า 20 ครั้ง และทุกครั้งที่เลข 6 ขึ้น โอกาสที่ 21 ที่จะได้เลข 6 นั้นค่อนข้างสูง ... เพราะบางทีนั่นอาจหมายความว่าคุณลูกเต๋าผิด!) แต่ ถ้าคุณมีลูกเต๋าที่ถูกต้อง ความน่าจะเป็นที่จะหลุดออกจากแต่ละหน้าจะเท่ากัน โดยไม่คำนึงถึงผลของการทอยครั้งอื่นๆ คุณยังสามารถจินตนาการได้ว่าทุกครั้งที่เราเปลี่ยนลูกเต๋า ดังนั้นหากหมายเลข 6 ปรากฏขึ้นสองครั้งติดต่อกัน ให้เอาลูกเต๋าที่ "ร้อน" ออกจากเกมและแทนที่ด้วยลูกเต๋าหกด้านใหม่ ขออภัยหากใครรู้เรื่องนี้แล้ว แต่จำเป็นต้องชี้แจงก่อนดำเนินการต่อ

วิธีทำให้ลูกเต๋าตกสุ่มมากหรือน้อย

มาพูดถึงวิธีการรับผลลัพธ์ที่แตกต่างกันในลูกเต๋าที่ต่างกัน หากคุณทอยลูกเต๋าเพียงครั้งเดียวหรือหลายครั้ง เกมจะปรากฎแบบสุ่มมากขึ้นหากลูกเต๋ามีขอบมากกว่า ยิ่งคุณทอยลูกเต๋ามากเท่าไหร่ หรือคุณทอยลูกเต๋ามากเท่าไหร่ ผลลัพธ์ก็จะยิ่งเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น ตัวอย่างเช่น หากคุณทอย 1d6 + 4 (นั่นคือ ลูกเต๋าฐานสิบหกมาตรฐานหนึ่งครั้งและเพิ่ม 4 ให้กับผลลัพธ์) ค่าเฉลี่ยจะเป็น 5 ถึง 10 หากคุณทอย 5d2 ค่าเฉลี่ยจะเป็น 5 ถึง 10 ด้วย แต่เมื่อ โยนลูกเต๋าหกด้าน ความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 5, 8 หรือ 10 เท่ากัน ผลของการโยน 5d2 ส่วนใหญ่จะเป็นตัวเลข 7 และ 8 ซึ่งมักจะน้อยกว่าค่าอื่น ชุดเดียวกัน แม้แต่ค่าเฉลี่ยเท่ากัน (7.5 ในทั้งสองกรณี) แต่ลักษณะของการสุ่มต่างกัน

รอสักครู่. ฉันไม่ได้บอกว่าลูกเต๋าไม่ร้อนขึ้นหรือเย็นลง? ตอนนี้ฉันกำลังบอกว่าถ้าคุณทอยลูกเต๋าเยอะ การทอยมาใกล้ค่าเฉลี่ยหรือไม่? ทำไม?

ให้ฉันอธิบาย ถ้าคุณโยน หนึ่งลูกเต๋า ความน่าจะเป็นที่จะหลุดออกจากแต่ละหน้าจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าหากคุณทอยลูกเต๋าหลาย ๆ หน้า แต่ละหน้าจะหลุดออกมาประมาณจำนวนเท่ากันเมื่อเวลาผ่านไป ยิ่งคุณทอยลูกเต๋ามากเท่าไหร่ ผลสะสมก็จะยิ่งเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น ไม่ใช่เพราะเลขหลุด "ทำให้" อีกเลขหนึ่งที่ยังไม่หลุด แต่เพราะว่าชุดเล็ก 6 (หรือ 20 หรือเลขอื่นๆ) สุดท้ายก็ไม่สำคัญหรอกถ้าคุณทอยลูกเต๋าอีกหมื่นครั้งและส่วนใหญ่ค่าเฉลี่ยจะตก ... บางทีตอนนี้คุณจะมีตัวเลขไม่กี่ตัว ที่มีมูลค่าสูง แต่บางทีภายหลัง ตัวเลขสองสามตัวที่มีมูลค่าต่ำ และเมื่อเวลาผ่านไป พวกมันก็จะเข้าใกล้ค่าเฉลี่ย ไม่ใช่เพราะการทอยครั้งก่อนส่งผลต่อลูกเต๋า (จริงๆ แล้ว ลูกเต๋าทำจาก พลาสติกเธอไม่มีสมองที่จะคิด: “โอ้ ไม่ได้ทอยมานานแล้ว”) แต่เพราะสิ่งนี้มักจะเกิดขึ้นกับการทอยลูกเต๋าจำนวนมาก ตัวเลขที่ซ้ำกันจำนวนน้อยแทบจะมองไม่เห็นในผลลัพธ์จำนวนมาก

ดังนั้น การคำนวณสำหรับการทอยลูกเต๋าแบบสุ่มหนึ่งครั้งจึงค่อนข้างตรงไปตรงมา อย่างน้อยก็เท่ากับการคำนวณมูลค่าการทอยเฉลี่ยที่เกี่ยวข้อง นอกจากนี้ยังมีวิธีคำนวณว่า "สุ่ม" อะไรเป็นวิธีการบอกว่าผลลัพธ์ของการทอย 1d6 + 4 จะ "สุ่มมากกว่า" 5d2 สำหรับ 5d2 การกระจายผลลัพธ์จะเท่ากัน ปกติสำหรับสิ่งนี้คุณ คำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน และยิ่งมีค่ามากเท่าไร ผลลัพธ์ก็จะยิ่งสุ่มมากขึ้นเท่านั้น แต่ต้องใช้การคำนวณมากกว่าที่ฉันต้องการให้ในวันนี้ (ฉันจะอธิบายหัวข้อนี้ในภายหลัง) สิ่งเดียวที่ฉันขอให้คุณรู้คือ ตามกฎทั่วไป ยิ่งทอยน้อยลง การสุ่มก็จะยิ่งมากขึ้น และอีกหนึ่งเพิ่มเติมในหัวข้อนี้: ยิ่งลูกเต๋ามีหน้ามากเท่าไหร่ ก็ยิ่งสุ่มมากขึ้นเท่านั้น เนื่องจากคุณมีตัวเลือกมากขึ้น

วิธีคำนวณความน่าจะเป็นโดยการนับ

คุณอาจสงสัยว่า เราจะคำนวณความน่าจะเป็นที่แน่นอนในการได้ผลลัพธ์ที่แน่นอนได้อย่างไร นี่เป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับเกมหลายๆ เกม เพราะหากคุณทอยลูกเต๋า มีแนวโน้มว่าจะได้ผลดีที่สุดในตอนแรก คำตอบคือ: เราต้องนับสองค่า ขั้นแรก นับจำนวนผลลัพธ์สูงสุดในการทอยลูกเต๋า (ไม่ว่าผลลัพธ์จะเป็นเช่นไร) จากนั้นนับจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจ การหารค่าที่สองด้วยค่าแรก คุณจะได้ความน่าจะเป็นที่คุณต้องการ เพื่อให้ได้เปอร์เซ็นต์ ให้คูณผลลัพธ์ของคุณด้วย 100

ตัวอย่าง:

นี่เป็นตัวอย่างที่ง่ายมาก คุณต้องการให้เลข 4 ขึ้นไปขึ้นมาและทอยลูกเต๋า 1 ครั้ง จำนวนผลลัพธ์สูงสุดคือ 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6) ในจำนวนนี้ 3 ผลลัพธ์ (4, 5, 6) เป็นที่น่าพอใจ ดังนั้น ในการคำนวณความน่าจะเป็น ให้หาร 3 ด้วย 6 แล้วได้ 0.5 หรือ 50%

นี่เป็นตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อย คุณต้องการทอยเลขคู่ในการทอย 2d6 จำนวนผลลัพธ์สูงสุดคือ 36 (6 สำหรับแต่ละลูกเต๋า และเนื่องจากหนึ่งตายไม่มีผลกับอีกคนหนึ่ง เราคูณ 6 ผลลัพธ์ด้วย 6 เพื่อให้ได้ 36) ความยากของคำถามประเภทนี้คือการนับสองครั้งได้ง่าย ตัวอย่างเช่น มีสองตัวเลือกสำหรับผลลัพธ์ของ 3 ในการทอย 2d6: 1 + 2 และ 2 + 1 พวกมันดูเหมือนกัน แต่ความแตกต่างคือหมายเลขใดที่ปรากฏบนไดคัทตัวแรกและตัวที่สอง คุณสามารถจินตนาการได้ว่าลูกเต๋ามีสีต่างกัน ตัวอย่างเช่น ในกรณีนี้ ลูกเต๋าหนึ่งเป็นสีแดงและอีกลูกเต๋าหนึ่งเป็นสีน้ำเงิน จากนั้นนับจำนวนตัวเลือกสำหรับเลขคู่: 2 (1 + 1), 4 (1 + 3), 4 (2 + 2), 4 (3 + 1), 6 (1 + 5), 6 (2 + 4), 6 (3 + 3), 6 (4 + 2), 6 (5 + 1), 8 (2 + 6), 8 (3 + 5), 8 (4 + 4), 8 (5 + 3 ), 8 (6 + 2), 10 (4 + 6), 10 (5 + 5), 10 (6 + 4), 12 (6 + 6) ปรากฎว่ามี 18 ตัวเลือกสำหรับผลลัพธ์ที่น่าพอใจจาก 36 อย่าง เช่นในกรณีก่อนหน้านี้ ความน่าจะเป็นจะเป็น 0.5 หรือ 50% อาจจะคาดไม่ถึงแต่ค่อนข้างแม่นยำ

การจำลองมอนติคาร์โล

เกิดอะไรขึ้นถ้าคุณมีลูกเต๋ามากเกินไปที่จะนับ? ตัวอย่างเช่น คุณต้องการทราบความน่าจะเป็นที่จะทอยจำนวน 15 หรือมากกว่าในการทอย 8d6 สำหรับลูกเต๋าแปดลูก มีผลลัพธ์ที่แตกต่างกันมากมาย และการนับด้วยตนเองจะใช้เวลานานมาก แม้ว่าเราจะพบวิธีแก้ปัญหาที่ดีในการจัดกลุ่มการทอยลูกเต๋าแบบต่างๆ ได้ แต่ก็ยังใช้เวลานานมากในการนับ ในกรณีนี้ วิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณความน่าจะเป็นไม่ใช่การนับด้วยตนเอง แต่ต้องใช้คอมพิวเตอร์ มีสองวิธีในการคำนวณความน่าจะเป็นบนคอมพิวเตอร์

วิธีแรกสามารถใช้เพื่อให้ได้คำตอบที่แน่นอน แต่ต้องใช้การเขียนโปรแกรมหรือการเขียนสคริปต์เพียงเล็กน้อย โดยพื้นฐานแล้ว คอมพิวเตอร์จะพิจารณาแต่ละโอกาส ประมาณการและนับจำนวนการทำซ้ำทั้งหมด และจำนวนการทำซ้ำที่ตรงกับผลลัพธ์ที่ต้องการ จากนั้นให้คำตอบ รหัสของคุณอาจมีลักษณะดังนี้:

int wincount = 0, จำนวนทั้งหมด = 0;

สำหรับ (int i = 1; i<=6; i++) {

สำหรับ (int j = 1; j<=6; j++) {

สำหรับ (int k = 1; k<=6; k++) {

… // แทรกลูปเพิ่มเติมที่นี่

ถ้า (i + j + k +…> = 15) (

ความน่าจะเป็นแบบลอย = wincount / totalcount;

ถ้าคุณไม่ชำนาญในการเขียนโปรแกรม และต้องการแค่คำตอบที่ไม่แม่นยำแต่เป็นคำตอบโดยประมาณ คุณสามารถจำลองสถานการณ์นี้ใน Excel ที่ซึ่งคุณโยน 8d6 หลายพันครั้งแล้วได้คำตอบ ในการส่ง 1d6 ใน Excel ให้ใช้สูตรต่อไปนี้:

ชั้น (RAND () * 6) +1

มีชื่อสถานการณ์ที่คุณไม่รู้คำตอบและพยายามหลาย ๆ ครั้ง - การจำลองมอนติคาร์โลและนี่เป็นทางออกที่ดีในการถอยกลับเมื่อคุณพยายามคำนวณความน่าจะเป็นและมันยากเกินไป สิ่งที่ยอดเยี่ยมคือในกรณีนี้ เราไม่จำเป็นต้องเข้าใจว่าการคำนวณทางคณิตศาสตร์ทำงานอย่างไร และเรารู้ว่าคำตอบจะ "ค่อนข้างดี" เพราะอย่างที่เราทราบกันดีอยู่แล้วว่ายิ่งจำนวนการโยนมากเท่าไรก็ยิ่งได้ผลมากเท่านั้น เข้าใกล้ค่าเฉลี่ย

วิธีรวมการทดสอบอิสระ

หากคุณถามเกี่ยวกับการท้าทายซ้ำๆ หลายครั้งแต่เป็นอิสระ ผลลัพธ์ของการทอยครั้งนั้นจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการทอยครั้งอื่นๆ มีคำอธิบายที่ง่ายกว่าสำหรับสถานการณ์นี้

จะแยกความแตกต่างระหว่างสิ่งที่ขึ้นอยู่กับและเป็นอิสระได้อย่างไร? โดยทั่วไป ถ้าคุณสามารถแยกแยะแต่ละทอยของลูกเต๋า (หรือชุดของทอย) เป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกัน มันก็จะเป็นอิสระ ตัวอย่างเช่น หากเราต้องการให้ทอยทั้งหมด 15 ครั้งใน 8d6 กรณีนี้ไม่สามารถแบ่งออกเป็นการทอยลูกเต๋าอิสระหลาย ๆ ครั้งได้ เนื่องจากผลลัพธ์ที่คุณนับผลรวมของค่าของลูกเต๋าทั้งหมด ผลลัพธ์ที่ตกบนลูกเต๋าหนึ่งส่งผลต่อผลลัพธ์ที่ควรตกบนลูกเต๋าอื่น เพราะเพียงเพิ่มค่าทั้งหมดคุณจะได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ .

นี่คือตัวอย่างของการโยนแบบอิสระ: คุณกำลังเล่นลูกเต๋าและคุณโยนลูกเต๋าหกเหลี่ยมหลายครั้ง หากต้องการอยู่ในเกม ม้วนแรกของคุณจะต้องเป็น 2 หรือสูงกว่า สำหรับม้วนที่สอง 3 หรือสูงกว่า อันที่สามต้องใช้ 4 หรือมากกว่า อันที่สี่ต้องใช้ 5 อันขึ้นไป และอันที่ห้าต้องใช้ 6 ถ้าทอยทั้ง 5 ม้วนได้สำเร็จ คุณจะชนะ ในกรณีนี้ ม้วนทั้งหมดเป็นอิสระ ใช่ ถ้าการโยนหนึ่งครั้งไม่สำเร็จ มันจะส่งผลต่อผลลัพธ์ของทั้งเกม แต่การโยนหนึ่งครั้งจะไม่ส่งผลต่อการโยนอีกครั้ง ตัวอย่างเช่น หากการทอยลูกเต๋าครั้งที่สองของคุณประสบความสำเร็จอย่างมาก จะไม่ส่งผลใดๆ ต่อโอกาสที่การทอยครั้งต่อไปจะประสบความสำเร็จ ดังนั้นเราจึงสามารถพิจารณาความน่าจะเป็นของแต่ละทอยลูกเต๋าแยกกันได้

หากคุณมีความน่าจะเป็นที่แยกจากกันและต้องการทราบความน่าจะเป็นที่ ทั้งหมดเหตุการณ์จะเกิดขึ้น คุณกำหนดความน่าจะเป็นของแต่ละคนและคูณมันอีกวิธีหนึ่ง: หากคุณใช้คำเชื่อม “และ” เพื่ออธิบายเงื่อนไขต่างๆ (เช่น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มจะเกิดขึ้นเป็นเท่าใด และเหตุการณ์สุ่มอิสระอื่น ๆ หรือไม่) นับความน่าจะเป็นของแต่ละบุคคลแล้วคูณด้วย

ไม่สำคัญหรอกว่าคิดยังไง ไม่เคยอย่าบวกความน่าจะเป็นอิสระ นี่เป็นข้อผิดพลาดทั่วไป เพื่อให้เข้าใจว่าทำไมสิ่งนี้ถึงผิด ลองนึกภาพสถานการณ์ที่คุณกำลังโยนเหรียญ 50/50 และคุณต้องการรู้ว่ามีความเป็นไปได้อย่างไรที่เหรียญจะถูกตีหัวสองครั้งติดต่อกัน ความน่าจะเป็นของการตีแต่ละด้านคือ 50% ดังนั้น หากคุณบวกความน่าจะเป็นทั้งสองนี้ คุณมีโอกาส 100% ที่จะตีหัว แต่เรารู้ว่านี่ไม่เป็นความจริง เพราะมันอาจได้ก้อยสองครั้งติดต่อกัน หากคุณคูณความน่าจะเป็นทั้งสองนี้แทน คุณจะได้ 50% * 50% = 25% ซึ่งเป็นคำตอบที่ถูกต้องสำหรับการคำนวณความน่าจะเป็นที่จะตีหัวสองครั้งติดต่อกัน

ตัวอย่าง

กลับไปที่เกมกับลูกเต๋าหกเหลี่ยมซึ่งคุณต้องได้ตัวเลขที่สูงกว่า 2 ก่อนจากนั้นจึงสูงกว่า 3 และอื่น ๆ มากถึง 6 โอกาสที่ในชุดการโยน 5 ครั้งที่กำหนดผลลัพธ์ทั้งหมดจะเป็นที่น่าพอใจ?

ตามที่ระบุไว้ข้างต้น การทดสอบเหล่านี้เป็นการทดสอบอิสระ ดังนั้นเราจึงคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับแต่ละม้วนแล้วคูณด้วย ความน่าจะเป็นที่ผลของการทอยครั้งแรกจะเป็นที่น่าพอใจคือ 5/6 ที่สองคือ 4/6 ที่สามคือ 3/6 ที่สี่ - 2/6, ที่ห้า - 1/6 คูณผลลัพธ์เหล่านี้ทั้งหมดแล้วเราจะได้ประมาณ 1.5% ... ดังนั้น การชนะในเกมนี้ค่อนข้างหายาก ดังนั้น หากคุณเพิ่มองค์ประกอบนี้ในเกมของคุณ คุณจะต้องมีแจ็คพอตที่ค่อนข้างใหญ่

การปฏิเสธ

เคล็ดลับที่เป็นประโยชน์อีกข้อ: ในบางครั้ง การคำนวณความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นทำได้ยาก แต่การระบุโอกาสที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นนั้นทำได้ง่ายกว่า จะไม่มา.

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเรามีอีกเกมหนึ่งและคุณหมุน 6d6 และ if อย่างน้อยหนึ่งครั้ง 6 ถูกทอย คุณชนะ ความน่าจะเป็นที่จะชนะคืออะไร?

ในกรณีนี้มีตัวเลือกมากมายในการคำนวณ เป็นไปได้ว่าเลข 6 ตัวหนึ่งจะหลุดคือ ในลูกเต๋าตัวใดตัวหนึ่ง เลข 6 จะดรอป และอีกตัวจากเลข 1 ถึง 5 และมี 6 แบบให้เลือก โดยที่ลูกเต๋าจะเป็นเลข 6 จากนั้นคุณอาจได้เลข 6 จากสองลูกเต๋า หรือ สามหรือมากกว่านั้น และทุกครั้งที่เราต้องนับแยกกัน ดังนั้นจึงง่ายที่จะสับสนเกี่ยวกับเรื่องนี้

แต่มีอีกวิธีในการแก้ปัญหานี้ ลองดูจากอีกด้านหนึ่ง คุณ แพ้ถ้า ไม่ใช่หนึ่งเลข 6 จะไม่หลุดจากลูกเต๋า ในกรณีนี้ เรามีแบบทดสอบอิสระ 6 ชุด ความน่าจะเป็นของแต่ละชุดคือ 5/6 (เลขอื่นที่ไม่ใช่ 6 สามารถทิ้งบนลูกเต๋าได้) คูณพวกมันและคุณจะได้ประมาณ 33% ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะแพ้คือ 1 ใน 3

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 67% (หรือ 2 ถึง 3)

จากตัวอย่างนี้จะเห็นได้ว่า หากคุณพิจารณาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้น คุณต้องลบผลลัพธ์ออกจาก 100%หากความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 67% ความน่าจะเป็น ที่จะสูญเสีย — 100% ลบ 67% หรือ 33% และในทางกลับกัน. หากคำนวณความน่าจะเป็นได้ยาก แต่คำนวณสิ่งที่ตรงกันข้ามได้ง่าย ให้คำนวณด้านตรงข้ามแล้วลบออกจาก 100%

การรวมเงื่อนไขสำหรับการทดสอบอิสระหนึ่งครั้ง

ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้นว่าคุณไม่ควรสรุปความน่าจะเป็นในการทดสอบอิสระ มีกรณีใดบ้างที่ สามารถรวมความน่าจะเป็น? - ใช่ ในสถานการณ์พิเศษอย่างหนึ่ง

หากคุณต้องการคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับผลลัพธ์ที่น่าพอใจที่ไม่เกี่ยวข้องหลายรายการของการทดลองเดียวกัน ให้เพิ่มความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่น่าพอใจแต่ละรายการ ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นที่จะได้ตัวเลข 4, 5 หรือ 6 ในวันที่ 1d6 คือ ผลรวมความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 4 ความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 5 และความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 6 คุณสามารถจินตนาการถึงสถานการณ์นี้ได้ดังนี้ ถ้าคุณใช้ตัวเชื่อม “หรือ” ในคำถามเกี่ยวกับความน่าจะเป็น (เช่น , ความน่าจะเป็นที่ หรือผลลัพธ์อื่นของเหตุการณ์สุ่มหนึ่งเหตุการณ์?) คำนวณความน่าจะเป็นแต่ละรายการและสรุป

โปรดทราบว่าเมื่อคุณบวกขึ้น ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเกมผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดต้องเท่ากับ 100% หากจำนวนเงินไม่ใช่ 100% แสดงว่าการคำนวณของคุณไม่ถูกต้อง นี่เป็นวิธีที่ดีในการตรวจสอบการคำนวณของคุณอีกครั้ง ตัวอย่างเช่น หากคุณวิเคราะห์ความน่าจะเป็นที่จะได้ไพ่โป๊กเกอร์ทั้งหมด หากคุณรวมผลลัพธ์ทั้งหมด คุณควรได้ 100% (หรืออย่างน้อยก็มีค่าเกือบ 100% หากคุณใช้เครื่องคิดเลข คุณอาจมี ข้อผิดพลาดในการปัดเศษเล็กน้อย แต่ถ้าคุณบวกตัวเลขที่แน่นอนด้วยมือ มันน่าจะได้ผล) หากผลรวมไม่รวมกัน เป็นไปได้มากว่าคุณไม่ได้คำนึงถึงชุดค่าผสมบางชุด หรือคำนวณความน่าจะเป็นของชุดค่าผสมบางชุดอย่างไม่ถูกต้อง จากนั้นคุณต้องตรวจสอบการคำนวณของคุณอีกครั้ง

ความน่าจะเป็นไม่เท่ากัน

จนถึงตอนนี้ เราสันนิษฐานว่าแต่ละหน้าของลูกเต๋าหลุดออกมาที่ความถี่เท่ากัน เพราะนี่คือวิธีการทำงานของลูกเต๋า แต่บางครั้งคุณต้องเผชิญกับสถานการณ์ที่ผลลัพธ์ที่ต่างกันออกไปก็มี หลากหลายโอกาสที่จะหลุดออก ตัวอย่างเช่นในหนึ่งในส่วนเสริมของเกมไพ่ "สงครามนิวเคลียร์" มีสนามเด็กเล่นที่มีลูกศรซึ่งผลของการยิงจรวดขึ้นอยู่กับ: โดยทั่วไปแล้วจะสร้างความเสียหายตามปกติแข็งแกร่งขึ้นหรืออ่อนลง แต่บางครั้งความเสียหายก็เพิ่มขึ้นสองหรือสามครั้ง หรือจรวดระเบิดที่แท่นยิงจรวดและทำให้คุณบาดเจ็บ หรือมีเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้น ไม่เหมือนสนามเด็กเล่นที่มีลูกศรใน "Chutes & Ladders" หรือ "A Game of Life" ผลลัพธ์ของสนามเด็กเล่นใน "Nuclear War" นั้นไม่เท่ากัน บางส่วนของสนามเด็กเล่นมีขนาดใหญ่กว่าและลูกศรจะหยุดที่ส่วนนั้นบ่อยกว่า ในขณะที่ส่วนอื่นๆ มีขนาดเล็กมากและลูกศรจะหยุดที่ส่วนนั้นน้อยครั้ง

เมื่อมองแวบแรก กระดูกจะมีลักษณะดังนี้: 1, 1, 1, 2, 2, 3; เราพูดไปแล้วว่ามันเหมือน 1d3 ที่ถ่วงน้ำหนัก ดังนั้น เราจำเป็นต้องแบ่งส่วนทั้งหมดเหล่านี้ออกเป็นส่วนเท่า ๆ กัน หาหน่วยวัดที่เล็กที่สุด ซึ่งเป็นผลคูณของทุกอย่าง แล้วแสดงสถานการณ์ในรูปของ d522 (หรืออื่น ๆ ) ซึ่งหลายหน้าของลูกเต๋าจะเป็นตัวแทนของสถานการณ์เดียวกัน แต่มีผลลัพธ์มากกว่า และนี่คือวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหา และเป็นไปได้ในทางเทคนิค แต่มีวิธีที่ง่ายกว่านั้น

กลับไปที่ลูกเต๋าฐานสิบหกมาตรฐานของเรา เราบอกว่าในการคำนวณค่าม้วนเฉลี่ยสำหรับแม่พิมพ์ปกติ คุณต้องรวมค่าบนขอบทั้งหมดแล้วหารด้วยจำนวนขอบ แต่อย่างไร อย่างแน่นอนอยู่ระหว่างดำเนินการ? คุณสามารถใส่มันแตกต่างกัน สำหรับลูกเต๋าหกเหลี่ยม ความน่าจะเป็นของแต่ละหน้าจะตกลงมาเท่ากับ 1/6 ตอนนี้เราทวีคูณ อพยพทุกหน้าบน ความน่าจะเป็นผลลัพธ์นี้ (ในกรณีนี้คือ 1/6 สำหรับแต่ละหน้า) จากนั้นเราสรุปค่าที่ได้รับ สรุป (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ) เราได้รับผลลัพธ์เดียวกัน (3.5) เช่นเดียวกับในการคำนวณด้านบน อันที่จริง เรานับสิ่งนี้ทุกครั้ง: เราคูณผลลัพธ์แต่ละอย่างด้วยความน่าจะเป็นของผลลัพธ์นั้น

เราสามารถทำการคำนวณแบบเดียวกันสำหรับนักกีฬาในสนามแข่งขันในสงครามนิวเคลียร์ได้หรือไม่? แน่นอนเราทำได้ และถ้าเรารวมผลลัพธ์ทั้งหมดที่พบ เราจะได้ค่าเฉลี่ย สิ่งที่เราต้องทำคือคำนวณความน่าจะเป็นของแต่ละผลลัพธ์สำหรับลูกศรบนกระดานแล้วคูณด้วยผลลัพธ์

ตัวอย่างอื่น

วิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยโดยการคูณผลลัพธ์แต่ละผลลัพธ์ด้วยความน่าจะเป็นของแต่ละผลลัพธ์ ก็เหมาะสมเช่นกันหากผลลัพธ์มีแนวโน้มเท่ากัน แต่มีข้อดีต่างกัน เช่น หากคุณทอยลูกเต๋าและชนะในบางขอบมากกว่าวิธีอื่นๆ ตัวอย่างเช่น พิจารณาเกมคาสิโน: คุณเดิมพันและหมุน 2d6 หากสามหมายเลขที่มีมูลค่าต่ำสุด (2, 3, 4) หรือสี่หมายเลขที่มีมูลค่าสูงสุด (9, 10, 11, 12) เกิดขึ้น คุณจะชนะเป็นจำนวนเงินเท่ากับเงินเดิมพันของคุณ ตัวเลขที่มีค่าต่ำสุดและสูงสุดเป็นพิเศษ: ถ้า 2 หรือ 12 ขึ้นมา คุณชนะ สองเท่ากว่าอัตราของคุณ หากหมายเลขอื่นออก (5, 6, 7, 8) คุณจะเสียเดิมพันของคุณ มันเป็นเกมที่ค่อนข้างง่าย แต่ความน่าจะเป็นที่จะชนะคืออะไร?

เริ่มต้นด้วยการคำนวณจำนวนครั้งที่คุณสามารถชนะ:

• จำนวนผลลัพธ์สูงสุดในการทอย 2d6 คือ 36 มีผลลัพธ์ที่ประสบความสำเร็จกี่รายการ
• มี 1 ตัวเลือกสำหรับสองและ 1 ตัวเลือกสำหรับสิบสอง
• มี 2 ​​ตัวเลือกสำหรับสิ่งที่ออกมาสามและสิบเอ็ด
• มี 3 ตัวเลือกสำหรับสี่และ 3 ตัวเลือกสำหรับสิบ
• มี 4 ตัวเลือกสำหรับเก้า
• เมื่อรวมตัวเลือกทั้งหมดแล้ว เราจะได้ผลลัพธ์ที่น่าพอใจจำนวน 16 จาก 36

ดังนั้น ภายใต้สภาวะปกติ คุณจะชนะ 16 ครั้งจากทั้งหมด 36 ครั้ง ... ความน่าจะเป็นที่จะชนะน้อยกว่า 50% เล็กน้อย

แต่ในสองกรณีจากทั้งหมด 16 ข้อนี้ คุณจะชนะได้เป็นสองเท่า กล่าวคือ มันเหมือนชนะสองครั้ง! หากคุณเล่นเกมนี้ 36 ครั้ง เดิมพันครั้งละ 1 ดอลลาร์ และผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเกิดขึ้นครั้งเดียว คุณจะชนะ 18 ดอลลาร์ (อันที่จริง คุณชนะ 16 ครั้ง แต่สองครั้งนับเป็นสองครั้ง) หากคุณเล่น 36 ครั้งและชนะ 18 ดอลลาร์ หมายความว่ามันเป็นโอกาสที่เท่าเทียมกันใช่หรือไม่?

ไม่ต้องรีบ. หากคุณนับจำนวนครั้งที่สูญเสีย คุณจะได้ 20 ไม่ใช่ 18 หากคุณเล่น 36 ครั้ง เดิมพันครั้งละ 1 ดอลลาร์ คุณจะชนะทั้งหมด 18 ดอลลาร์จากผลลัพธ์ที่น่าพอใจทั้งหมด ... แต่คุณจะแพ้ รวมเป็นเงิน 20 ดอลลาร์พร้อมผลลัพธ์ที่ไม่พึงประสงค์ทั้งหมด 20 รายการ! ผลที่ได้คือ คุณจะตามหลังอยู่เล็กน้อย: คุณเสียโดยเฉลี่ย 2 ดอลลาร์สุทธิสำหรับทุก ๆ 36 เกม (คุณสามารถพูดได้ว่าคุณเสียโดยเฉลี่ย 1/18 ดอลลาร์ต่อวัน) ตอนนี้คุณสามารถดูว่ามันง่ายเพียงใดในกรณีนี้ที่จะทำผิดพลาดและคำนวณความน่าจะเป็นอย่างไม่ถูกต้อง!

การเปลี่ยนแปลง

จนถึงขณะนี้เราได้สันนิษฐานว่าลำดับของตัวเลขเมื่อโยนลูกเต๋าไม่สำคัญ ม้วน 2 + 4 เท่ากับม้วน 4 + 2 ในกรณีส่วนใหญ่ เราคำนวณจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจด้วยตนเอง แต่บางครั้งวิธีนี้ใช้ไม่ได้และควรใช้สูตรทางคณิตศาสตร์จะดีกว่า

ตัวอย่างสถานการณ์นี้มาจากเกมที่มีลูกเต๋า Farkle ในแต่ละรอบใหม่ คุณจะทอย 6d6 หากคุณโชคดีและผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 1-2-3-4-5-6 (“ตรง”) คุณจะได้รับโบนัสก้อนโต ความน่าจะเป็นที่สิ่งนี้จะเกิดขึ้นคืออะไร? ในกรณีนี้ มีตัวเลือกมากมายสำหรับชุดค่าผสมนี้!

วิธีแก้ปัญหามีลักษณะดังนี้: ลูกเต๋าตัวใดตัวหนึ่ง (และตัวเดียวเท่านั้น) ควรมีหมายเลข 1! มีกี่แบบของการล้มจากหมายเลข 1 ในหนึ่งตาย? หก เนื่องจากมีลูกเต๋า 6 ลูก และตัวใดตัวหนึ่งสามารถมีเลข 1 ได้ ดังนั้น ให้นำลูกเต๋าหนึ่งลูกแล้ววางทิ้งไว้ ตอนนี้หนึ่งในลูกเต๋าที่เหลือควรมีหมายเลข 2 มีห้าตัวเลือกสำหรับสิ่งนี้ นำลูกเต๋าอีกลูกแล้วพักไว้ ต่อจากนั้นในลูกเต๋าสี่ลูกที่เหลือ หมายเลข 3 สามารถหลุดออกมาได้ ในลูกเต๋าสามลูกที่เหลือ หมายเลข 4 สามารถหลุดออกมาได้ สอง - หมายเลข 5 และด้วยเหตุนี้คุณจึงมีลูกเต๋าหนึ่งลูกที่หมายเลข 6 ควร ตก (ในกรณีหลังตายเป็นหนึ่งและไม่มีทางเลือก) ในการคำนวณจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจสำหรับชุดค่าผสมที่ "ตรงไปตรงมา" เราคูณตัวเลือกอิสระที่แตกต่างกันทั้งหมด: 6x5x4x3x2x1 = 720 - ดูเหมือนว่ามีตัวเลือกมากมายสำหรับสิ่งที่ชุดค่าผสมนี้จะเกิดขึ้น

ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้ตรง เราต้องหาร 720 ด้วยจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับการทอย 6d6 จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นเท่าใด แต่ละลูกเต๋าสามารถมีได้ 6 หน้า ดังนั้นเราจึงคูณ 6x6x6x6x6x6 = 46656 (จำนวนที่มากกว่านั้นมาก!) เราหาร 720/46656 และเราได้รับความน่าจะเป็นประมาณ 1.5% หากคุณกำลังออกแบบเกมนี้ จะเป็นประโยชน์สำหรับคุณที่จะรู้ว่าเพื่อสร้างระบบการให้คะแนนที่เหมาะสม ตอนนี้เราเข้าใจแล้วว่าทำไมในเกม "Farkle" คุณจะได้รับโบนัสก้อนโตหากคุณได้รับชุดค่าผสม "ตรง" เพราะสถานการณ์นี้ค่อนข้างหายาก!

ผลลัพธ์ก็น่าสนใจด้วยเหตุผลอื่น ตัวอย่างแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์ที่สอดคล้องกับความน่าจะเป็นลดลงในช่วงเวลาสั้น ๆ ในช่วงเวลาสั้น ๆ น้อยเพียงใด แน่นอนว่าถ้าเราจะโยนลูกเต๋าหลาย ๆ อัน หน้าต่าง ๆ ของลูกเต๋าจะหลุดออกมาค่อนข้างบ่อย แต่เมื่อเราทอยได้เพียงหกลูกเต๋าเกือบ ไม่เคยไม่ได้ตกหน้าทุกคน! จากนี้ไปก็เห็นชัดว่าโง่ที่คาดว่าตอนนี้หน้าอีกใบจะหลุดออกมาซึ่งยังไม่หลุดพ้น “เพราะเราไม่มีเลข 6 มาช้านาน แปลว่าเดี๋ยวจะหลุด” .

ฟังนะ เครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มของคุณเสีย ...

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความเข้าใจผิดทั่วไปเกี่ยวกับความน่าจะเป็น: การสันนิษฐานว่าผลลัพธ์ทั้งหมดมีความถี่เท่ากัน ในช่วงเวลาสั้นๆซึ่งไม่เป็นเช่นนั้นจริงๆ หากเราทอยลูกเต๋าหลายๆ ครั้ง ความถี่ของแต่ละขอบจะไม่เท่ากัน

หากคุณเคยทำงานในเกมออนไลน์ที่มีโปรแกรมสร้างตัวเลขสุ่มบางประเภท คุณมักจะเจอสถานการณ์ที่ผู้เล่นเขียนถึงฝ่ายสนับสนุนด้านเทคนิคเพื่อบอกว่าโปรแกรมสร้างตัวเลขสุ่มของคุณใช้งานไม่ได้และไม่แสดงตัวเลขสุ่ม และเขาก็มาถึงข้อสรุปนี้ เพราะเขาเพิ่งฆ่ามอนสเตอร์ 4 ตัวติดต่อกันและได้รับรางวัลเหมือนกัน 4 รางวัล และรางวัลเหล่านี้ควรออกมาเพียง 10% ของกรณีเท่านั้น ดังนั้นนี่ แทบจะไม่เคยไม่ควร แทนที่ซึ่งหมายความว่ามัน อย่างชัดเจนว่าเครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มของคุณเสีย

คุณกำลังคำนวณทางคณิตศาสตร์ 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 เท่ากับ 1 ใน 10,000 ซึ่งหมายความว่าเป็นกรณีที่ค่อนข้างหายาก และนั่นคือสิ่งที่ผู้เล่นพยายามจะบอกคุณ มีปัญหาในกรณีนี้หรือไม่?

ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสถานการณ์ ตอนนี้มีผู้เล่นกี่คนบนเซิร์ฟเวอร์ของคุณ? สมมติว่าคุณมีเกมที่ได้รับความนิยมและมีผู้เล่น 100,000 คนทุกวัน มีผู้เล่นกี่คนที่จะฆ่ามอนสเตอร์สี่ตัวติดต่อกัน? ทุกอย่างเป็นไปได้หลายครั้งต่อวัน แต่สมมติว่าครึ่งหนึ่งเป็นเพียงการแลกเปลี่ยนไอเทมต่างๆ ในการประมูล หรือเขียนใหม่บนเซิร์ฟเวอร์ RP หรือดำเนินการเกมอื่นๆ ดังนั้น อันที่จริงมีเพียงครึ่งหนึ่งเท่านั้นที่ล่ามอนสเตอร์ มีโอกาสเท่าไหร่ ถึงบางคนรางวัลเดียวกันจะดรอปหรือไม่? ในสถานการณ์เช่นนี้ คุณสามารถคาดหวังได้ว่ารางวัลเดียวกันจะหลุดออกมาหลายครั้งต่อวันเป็นอย่างน้อย!

โดยวิธีการที่ดูเหมือนว่าทุกสองสามสัปดาห์อย่างน้อย ใครบางคนถูกลอตเตอรีถึงแม้จะเป็นคนๆนั้น ไม่เคยไม่ใช่คุณหรือเพื่อนของคุณ ถ้าคนเล่นเพียงพอทุกสัปดาห์ อย่างน้อยก็มีโอกาศ หนึ่งโชคดี ... แต่ถ้า คุณเล่นลอตเตอรีคุณมีโอกาสน้อยที่จะชนะงานที่ Infinity Ward

แผนที่และการเสพติด

เราได้พูดคุยถึงเหตุการณ์ที่เป็นอิสระ เช่น การทอยลูกเต๋า และตอนนี้เรารู้เครื่องมืออันทรงพลังมากมายสำหรับการวิเคราะห์การสุ่มในเกมต่างๆ มากมาย การคำนวณความน่าจะเป็นจะยากขึ้นเล็กน้อยเมื่อต้องนำไพ่ออกจากสำรับ เพราะไพ่ทุกใบที่เรานำออกจะส่งผลต่อไพ่ที่เหลืออยู่ในสำรับ หากคุณมีสำรับไพ่มาตรฐาน 52 ใบแล้วจั่ว เช่น หัวใจ 10 ใบ และต้องการทราบความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบต่อไปจะเป็นไพ่ชุดเดียวกัน ความน่าจะเป็นเปลี่ยนไปเพราะคุณได้นำไพ่ชุดหัวใจไปแล้วหนึ่งใบ จากดาดฟ้า การ์ดแต่ละใบที่คุณนำออกจะเปลี่ยนความน่าจะเป็นของไพ่ใบถัดไปในสำรับ เนื่องจากในกรณีนี้ เหตุการณ์ก่อนหน้ามีผลกระทบต่อเหตุการณ์ถัดไป เราเรียกความน่าจะเป็นนี้ว่า ขึ้นอยู่กับ.

โปรดทราบว่าเมื่อฉันพูดไพ่ ฉันหมายถึง ใด ๆกลไกของเกมซึ่งมีชุดของวัตถุและคุณลบหนึ่งในวัตถุโดยไม่ต้องเปลี่ยน "สำรับไพ่" ในกรณีนี้คล้ายกับถุงโทเค็นที่คุณนำโทเค็นออกหนึ่งอันและไม่ต้องเปลี่ยน หรือโกศที่คุณเอาลูกบอลสีออกมา (อันที่จริง ฉันไม่เคยเห็นเกมที่มีโกศเพื่อเอาลูกบอลสีออกมา แต่ดูเหมือนว่านักการศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็นจะชอบตัวอย่างนี้ด้วยเหตุผลบางประการ)

คุณสมบัติการพึ่งพา

ฉันต้องการชี้แจงว่าเมื่อพูดถึงไพ่ ฉันคิดว่าคุณจั่วไพ่ ดูมัน และนำออกจากสำรับ การกระทำแต่ละอย่างเหล่านี้เป็นทรัพย์สินที่สำคัญ

ถ้าฉันมีสำรับ เช่น ไพ่หกใบที่มีตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6 และฉันสับมันและหยิบไพ่หนึ่งใบออกมาแล้วสับไพ่ทั้งหกใบอีกครั้ง มันจะเหมือนกับการโยนลูกเต๋าหกด้าน ผลลัพธ์หนึ่งรายการไม่มีผลกับสิ่งต่อไปนี้ เฉพาะในกรณีที่ฉันจั่วไพ่และไม่แทนที่ผลจากการที่ฉันจั่วไพ่ที่มีหมายเลข 1 จะเพิ่มโอกาสที่ครั้งต่อไปที่ฉันจั่วไพ่ที่มีหมายเลข 6 (ความน่าจะเป็นจะเพิ่มขึ้นจนกว่าฉันจะรับในที่สุด ออกไพ่ใบนี้หรือจนกว่าฉันจะสับไพ่)

ความจริงที่ว่าเรา ดูบนการ์ดก็มีความสำคัญเช่นกัน ถ้าฉันหยิบไพ่ออกจากสำรับแล้วไม่ดู ฉันก็ไม่มีข้อมูลเพิ่มเติม และในความเป็นจริง ความน่าจะเป็นไม่เปลี่ยนแปลง นี่อาจฟังดูขัดกับสัญชาตญาณ การพลิกไพ่อย่างง่ายจะเปลี่ยนความน่าจะเป็นได้อย่างไร? แต่นี่เป็นไปได้เพราะคุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับวัตถุที่ไม่รู้จักตามข้อเท็จจริงที่ว่าคุณ คุณรู้... ตัวอย่างเช่น หากคุณสับไพ่สำรับมาตรฐาน เปิดไพ่ 51 ใบ และไม่มีไพ่ใบใดที่เป็นราชินีแห่งไม้กอล์ฟ คุณจะรู้ได้อย่างแน่นอนว่า 100% ไพ่ที่เหลืออยู่คือราชินีแห่งไม้กอล์ฟ หากคุณสับไพ่มาตรฐานและจั่วไพ่ 51 ใบ ถึงอย่างไรก็ตามกับพวกเขา ความน่าจะเป็นที่ไพ่ที่เหลืออยู่เป็นราชินีแห่งไม้กระบองจะยังคงเป็น 1/52 เมื่อเปิดการ์ดแต่ละใบ คุณจะได้รับข้อมูลเพิ่มเติม

การคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่ไม่ขึ้นต่อกันเป็นไปตามหลักการเดียวกันกับเหตุการณ์อิสระ ยกเว้นว่ามันซับซ้อนกว่าเล็กน้อย เนื่องจากความน่าจะเป็นเปลี่ยนไปเมื่อคุณเปิดไพ่ ดังนั้น คุณต้องคูณค่าต่าง ๆ มากมาย แทนที่จะคูณค่าเดียวกัน อันที่จริง นี่หมายความว่าเราจำเป็นต้องรวมการคำนวณทั้งหมดที่เราทำเป็นชุดเดียว

ตัวอย่าง

คุณสับไพ่สำรับไพ่มาตรฐาน 52 ใบแล้วจั่วไพ่สองใบ โอกาสที่คุณจะออกคู่คืออะไร? มีหลายวิธีในการคำนวณความน่าจะเป็นนี้ แต่บางทีวิธีที่ง่ายที่สุดอาจเป็นดังนี้: ความน่าจะเป็นที่เมื่อคุณนำไพ่ออกหนึ่งใบ คุณจะไม่สามารถดึงไพ่ออกมาเป็นคู่ได้เป็นเท่าใด ความน่าจะเป็นนี้เป็นศูนย์ ดังนั้นไม่ว่าคุณจะจั่วไพ่ใบแรกใบไหน ตราบใดที่มันตรงกับไพ่ใบที่สอง ไม่สำคัญว่าเราหยิบไพ่ใบไหนออกก่อน เรายังมีโอกาสออกไพ่คู่ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เราจะหยิบไพ่คู่ออกมาหลังจากหยิบไพ่ใบแรกออกมาได้คือ 100%

โอกาสที่ไพ่ใบที่สองจะตรงกับไพ่ใบแรกเป็นเท่าใด? มีไพ่เหลืออยู่ในสำรับ 51 ใบ และไพ่ 3 ใบตรงกับไพ่ใบแรก (จริงๆ แล้วจะมี 4 ใบจาก 52 ใบ แต่คุณถอดไพ่ที่ตรงกันออกหนึ่งใบเมื่อคุณหยิบไพ่ใบแรกออกมา!) ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ 1/17. (ดังนั้นครั้งต่อไปที่ผู้ชายที่อยู่ตรงข้ามโต๊ะคุณที่เล่น Texas Hold'em จะพูดว่า “เจ๋งไปอีกคู่นะ วันนี้ฉันโชคดีนะ” คุณจะรู้ว่ามีโอกาสค่อนข้างสูงที่เขาจะบลัฟ )

จะเป็นอย่างไรถ้าเราเพิ่มโจ๊กเกอร์สองคนและตอนนี้เรามีไพ่ 54 ใบในสำรับ และเราอยากรู้ว่าความน่าจะเป็นที่จะออกไพ่คู่หนึ่งเป็นเท่าใด ไพ่ใบแรกอาจเป็นโจ๊กเกอร์ แล้วสำรับจะมีเพียง หนึ่งการ์ดไม่ใช่สามซึ่งจะตรงกัน คุณหาความน่าจะเป็นในกรณีนี้ได้อย่างไร? เราจะแยกความน่าจะเป็นและคูณความเป็นไปได้แต่ละรายการ

ไพ่ใบแรกของเราอาจเป็นโจ๊กเกอร์หรือไพ่อื่นๆ ความน่าจะเป็นที่จะจั่วโจ๊กเกอร์คือ 2/54 ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่ใบอื่นคือ 52/54

หากไพ่ใบแรกเป็นโจ๊กเกอร์ (2/54) ความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่สองตรงกับไพ่ใบแรกคือ 1/53 คูณค่า (เราสามารถคูณมันได้เพราะสิ่งเหล่านี้เป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกันและเราต้องการ ทั้งสองเหตุการณ์เกิดขึ้น) และเราได้ 1/1431 - น้อยกว่าหนึ่งในสิบของเปอร์เซ็นต์

หากคุณจั่วไพ่ใบอื่นก่อน (52/54) ความน่าจะเป็นที่จะบังเอิญกับไพ่ใบที่สองคือ 3/53 คูณค่าและรับ 78/1431 (มากกว่า 5.5%) เล็กน้อย

เราจะทำอย่างไรกับผลลัพธ์ทั้งสองนี้ พวกมันไม่ตัดกันและเราอยากรู้ความน่าจะเป็น ของแต่ละคนของเราจึงสรุปค่า! เราได้ผลลัพธ์สุดท้าย 79/1431 (ยังคงประมาณ 5.5%)

หากเราต้องการให้แน่ใจว่าคำตอบนั้นถูกต้อง เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้อื่น ๆ ทั้งหมด: นำโจ๊กเกอร์ออกและทำให้ไพ่ใบที่สองไม่ตรงกัน หรือดึงไพ่ใบอื่นออกมาแล้วจับคู่ไพ่ใบที่สองไม่ตรงกัน แล้วรวมเข้าด้วยกันทั้งหมด ขึ้นกับความน่าจะเป็นที่จะชนะ เราจะได้ 100% อย่างแน่นอน ฉันจะไม่ให้การคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่นี่ แต่คุณสามารถลองคำนวณเพื่อตรวจสอบซ้ำ

มอนตี้ ฮอลล์ พาราด็อกซ์

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความขัดแย้งที่รู้จักกันดีซึ่งมักจะสร้างความสับสนให้กับหลาย ๆ คน - ความขัดแย้งของมอนตี้ฮอลล์ ความขัดแย้งนี้ตั้งชื่อตาม “มาทำข้อตกลง” โฮสต์มอนตี้ฮอลล์ หากคุณไม่เคยดูรายการนี้มาก่อน รายการนี้จะตรงข้ามกับรายการโทรทัศน์ The Price Is Right ใน “The Price Is Right” ผู้ดำเนินรายการ (เดิมคือ Bob Barker ตอนนี้… Drew Carey? อย่างไรก็ตาม…) คือเพื่อนของคุณ เขา ต้องการเพื่อให้คุณสามารถชนะเงินหรือรางวัลใหญ่ เขาพยายามให้ทุกโอกาสที่จะชนะแก่คุณ โดยคุณสามารถเดาได้ว่าสิ่งของที่ผู้สนับสนุนซื้อนั้นมีราคาเท่าใด

มอนตี้ ฮอลล์ทำตัวแตกต่างออกไป เขาเป็นเหมือนฝาแฝดที่ชั่วร้ายของ Bob Barker เป้าหมายของเขาคือการทำให้คุณดูเหมือนคนงี่เง่าในโทรทัศน์แห่งชาติ หากคุณอยู่ในรายการ เขาเป็นคู่ต่อสู้ของคุณ คุณกำลังเล่นกับเขา และโอกาสชนะก็อยู่ในความโปรดปรานของเขา ฉันอาจจะพูดแรงเกินไป แต่เมื่อโอกาสที่จะถูกเลือกเป็นคู่แข่งดูเหมือนเป็นสัดส่วนโดยตรงว่าคุณสวมชุดที่ไร้สาระหรือไม่ ฉันก็ได้ข้อสรุปแบบนี้

แต่มีมที่โด่งดังที่สุดอย่างหนึ่งของรายการคือ มีสามประตูอยู่ข้างหน้าคุณ และพวกเขาถูกเรียกว่าประตูหมายเลข 1 ประตูหมายเลข 2 และประตูหมายเลข 3 คุณสามารถเลือกประตูใดก็ได้ ... ฟรี! ข้างหลังประตูบานหนึ่งมีรางวัลใหญ่ เช่น รถยนต์นั่งคันใหม่ ประตูอื่นไม่มีรางวัล ประตูสองบานนี้ไม่มีค่า จุดประสงค์ของพวกเขาคือทำให้คุณอับอาย ดังนั้นจึงไม่ใช่ว่าไม่มีอะไรอยู่เบื้องหลังพวกเขา มีบางอย่างที่ดูโง่อยู่ข้างหลังพวกเขา ตัวอย่างเช่น ข้างหลังพวกเขาคือแพะหรือยาสีฟันหลอดใหญ่ หรือบางอย่าง ... อะไรนะ อะไรนะ เป็น ไม่รถโดยสารใหม่

คุณเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง และมอนตี้กำลังจะเปิดประตูเพื่อที่คุณจะได้รู้ว่าคุณชนะหรือไม่ ... แต่เดี๋ยวก่อน ก่อนที่เราจะรู้ว่าลองมาดูที่หนึ่งใน เหล่านั้นประตูคุณ ไม่ได้เลือก... เนื่องจากมอนตี้รู้ว่าประตูไหนของรางวัลอยู่ด้านหลัง และมีเพียงรางวัลเดียวและ สองประตูที่คุณไม่ได้เลือกไม่ว่าอย่างไรก็ตามเขาสามารถเปิดประตูที่ไม่มีรางวัลได้เสมอ “คุณเลือกประตูหมายเลข 3 หรือไม่? จากนั้นมาเปิดประตู 1 เพื่อแสดงว่ามันไม่มีรางวัลอยู่เบื้องหลัง” และตอนนี้ ด้วยความเอื้ออาทร เขาเสนอโอกาสให้คุณแลกเปลี่ยนประตูหมายเลข 3 ที่เลือกไว้กับประตูหมายเลข 2 ที่อยู่เบื้องหลัง ขณะนี้คำถามเกิดขึ้นเกี่ยวกับความน่าจะเป็น: ความเป็นไปได้ในการเลือกประตูอื่นเพิ่มขึ้นหรือลดลง ความน่าจะเป็นในการชนะของคุณ หรือไม่เปลี่ยนแปลง? คุณคิดอย่างไร?

คำตอบที่ถูกต้อง: ความสามารถในการเลือกประตูอื่น เพิ่มขึ้นความน่าจะเป็นที่จะชนะจาก 1/3 ถึง 2/3 สิ่งนี้ไม่สมเหตุสมผล หากคุณไม่เคยพบกับความขัดแย้งนี้มาก่อน เป็นไปได้มากว่าคุณกำลังคิดว่า: เดี๋ยวก่อน เราเปลี่ยนความน่าจะเป็นอย่างอัศจรรย์ด้วยการเปิดประตูบานเดียวใช่หรือไม่ แต่ดังที่เราได้เห็นในตัวอย่างกับแผนที่ด้านบนแล้ว นี่คือ อย่างแน่นอนจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเราได้รับข้อมูลเพิ่มเติม เห็นได้ชัดว่าความน่าจะเป็นที่จะชนะในครั้งแรกที่คุณเลือกคือ 1/3 และฉันคิดว่าทุกคนจะเห็นด้วยกับสิ่งนั้น เมื่อประตูบานหนึ่งเปิดออก จะไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็นที่จะชนะสำหรับตัวเลือกแรกเลย ยังคงเป็นความน่าจะเป็น 1/3 แต่นี่หมายความว่าความน่าจะเป็นที่ อื่น ๆประตูที่ถูกต้องตอนนี้คือ 2/3

ลองดูตัวอย่างนี้จากมุมมองที่ต่างออกไป คุณเลือกประตู ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 1/3 แนะนำให้เปลี่ยน สองประตูอื่นๆ ซึ่งมอนตี้ ฮอลล์ เสนอให้ทำจริงๆ แน่นอน เขาเปิดประตูบานหนึ่งเพื่อแสดงว่าไม่มีรางวัลอยู่เบื้องหลัง แต่เขา เสมอสามารถทำได้ ดังนั้นจึงไม่เปลี่ยนแปลงอะไรจริงๆ แน่นอน คุณจะต้องเลือกประตูอื่น!

หากคุณยังไม่ค่อยเข้าใจในคำถามนี้ และต้องการคำอธิบายที่น่าเชื่อถือมากขึ้น ให้คลิกที่ลิงก์นี้เพื่อไปยังแอปพลิเคชัน Flash เล็กๆ ที่ยอดเยี่ยม ซึ่งจะช่วยให้คุณศึกษาความขัดแย้งนี้ในรายละเอียดเพิ่มเติม คุณสามารถเล่นได้ตั้งแต่ 10 ประตูแล้วค่อยย้ายไปเกมที่มีสามประตู นอกจากนี้ยังมีโปรแกรมจำลองที่คุณสามารถเลือกประตูจำนวนเท่าใดก็ได้ตั้งแต่ 3 ถึง 50 และเล่นหรือเรียกใช้การจำลองหลายพันครั้ง และดูว่าคุณชนะกี่ครั้งหากคุณเล่น

ข้อสังเกตจากครูคณิตศาสตร์ชั้นสูงและผู้เชี่ยวชาญด้านความสมดุลของเกม Maxim Soldatov ซึ่งแน่นอนว่า Schreiber ไม่มี แต่ถ้าไม่มีก็ค่อนข้างยากที่จะเข้าใจการเปลี่ยนแปลงมหัศจรรย์นี้:

เลือกประตู หนึ่งในสาม ความน่าจะเป็นที่จะ "ชนะ" คือ 1/3 ตอนนี้คุณมี 2 กลยุทธ์: เปลี่ยนทางเลือกหลังจากเปิดประตูผิดหรือไม่ หากคุณไม่เปลี่ยนตัวเลือก ความน่าจะเป็นจะยังคงอยู่ที่ 1/3 เนื่องจากตัวเลือกนั้นอยู่ในขั้นแรกเท่านั้น และคุณต้องเดาทันที หากคุณเปลี่ยน คุณจะชนะได้หากคุณเลือกประตูผิดก่อน ( แล้วเปิดผิดอีกอันจะเป็นจริงเปลี่ยนใจรับไปเลย)
ความน่าจะเป็นที่จะเลือกประตูผิดในตอนเริ่มต้นคือ 2/3 ดังนั้น การเปลี่ยนการตัดสินใจของคุณทำให้ความน่าจะเป็นในการชนะสูงขึ้น 2 เท่า

และอีกครั้งเกี่ยวกับ Monty Hall Paradox

สำหรับการแสดงนั้น มอนตี้ ฮอลล์ รู้เรื่องนี้เพราะแม้ว่าคู่แข่งของเขาจะไม่เก่งคณิตศาสตร์ เขาเข้าใจมันดี นี่คือสิ่งที่เขาทำเพื่อเปลี่ยนเกมเล็กน้อย หากคุณเลือกประตูด้านหลังซึ่งเป็นที่ตั้งของรางวัล ความน่าจะเป็นคือ 1/3 นั้น เสมอให้โอกาสคุณเลือกประตูอื่น ท้ายที่สุด คุณเลือกรถยนต์นั่งแล้วเปลี่ยนให้เป็นแพะ และคุณจะดูงี่เง่ามาก ซึ่งเป็นสิ่งที่เขาต้องการจริงๆ เพราะเขาเป็นคนประเภทที่ชั่วร้าย แต่ถ้าคุณเลือกประตูข้างหลังซึ่ง จะไม่มีรางวัล, เท่านั้น ครึ่งในกรณีเช่นนี้ เขาจะเสนอให้คุณเลือกประตูอื่น และในกรณีอื่นๆ เขาจะแสดงแพะตัวใหม่ให้คุณดู และคุณจะออกจากเวที มาวิเคราะห์เกมใหม่ที่มอนตี้ฮอลล์ทำได้ เลือกให้คุณมีโอกาสเลือกประตูอื่นหรือไม่

สมมติว่าเขาทำตามอัลกอริธึมนี้ หากคุณเลือกประตูที่มีรางวัล เขาจะเสนอโอกาสให้คุณเลือกประตูอื่นเสมอ มิฉะนั้น ความน่าจะเป็นที่เขาจะเสนอให้คุณเลือกประตูอื่นหรือให้แพะคือ 50/50 โอกาสที่คุณจะชนะคืออะไร?

ในหนึ่งในสามตัวเลือกนี้ คุณจะเลือกประตูที่อยู่ด้านหลังของรางวัลทันที และโฮสต์จะเชิญให้คุณเลือกประตูอื่น

จากสองตัวเลือกที่เหลือจากสามตัวเลือก (ในตอนแรก คุณเลือกประตูที่ไม่มีรางวัล) ในครึ่งกรณี เจ้าบ้านจะเสนอให้คุณเลือกประตูอื่น และในอีกครึ่งกรณีไม่ใช่ ครึ่งหนึ่งของ 2/3 เท่ากับ 1/3 นั่นคือ ในกรณีหนึ่งในสามคุณจะได้แพะ ในกรณีหนึ่งในสามคุณเลือกประตูผิดและเจ้าบ้านจะเสนอให้คุณเลือกอีกตัวหนึ่ง และในกรณีหนึ่งจากสามตัวคุณจะเลือก ประตูขวา,และเขาจะขอให้คุณเลือกประตูอื่น

หากผู้นำเสนอให้เลือกประตูอื่น เรารู้อยู่แล้วว่ากรณีหนึ่งในสามของกรณีที่เขาให้แพะแก่เราและเราจากไปนั้นไม่เกิดขึ้น นี่เป็นข้อมูลที่เป็นประโยชน์เพราะหมายความว่าโอกาสในการชนะของเราเปลี่ยนไป ในสองกรณีในสามเมื่อเรามีโอกาสเลือก คดีหนึ่งหมายความว่าเราเดาถูก และอีกกรณีหนึ่งเราเดาผิด ดังนั้นหากเราเสนอโอกาสในการเลือกเลยก็หมายความว่า ความน่าจะเป็นของการชนะของเราคือ 50 / 50 และไม่มี คณิตศาสตร์ผลประโยชน์อยู่กับทางเลือกของคุณหรือเลือกประตูอื่น

เช่นเดียวกับโป๊กเกอร์ ตอนนี้มันเป็นเกมทางจิตวิทยา ไม่ใช่เกมทางคณิตศาสตร์ มอนตี้เสนอทางเลือกให้คุณเพราะเขาคิดว่าคุณเป็นคนธรรมดาที่ไม่ทราบว่าการเลือกประตูอื่นเป็นการตัดสินใจที่ "ถูกต้อง" และคุณจะยึดมั่นในทางเลือกของคุณอย่างดื้อรั้นเพราะสถานการณ์ทางจิตวิทยาเมื่อคุณเลือกรถ แต่แล้วก็สูญเสียมันยากขึ้น? หรือเขาคิดว่าคุณฉลาดและเลือกประตูอื่นและเขาเสนอโอกาสนี้ให้คุณเพราะเขารู้ว่าคุณเดาได้ถูกต้องในตอนแรกและคุณจะติดและติดกับดัก? หรือบางทีเขาอาจจะใจดีกับตัวเองผิดปรกติและกดดันให้คุณทำบางอย่างเพื่อผลประโยชน์ส่วนตัวของคุณ เพราะเขาไม่ได้ให้รถมาเป็นเวลานานแล้ว และโปรดิวเซอร์ของเขาบอกเขาว่าคนดูเริ่มเบื่อและจะดีกว่าถ้าเขาให้ รางวัลใหญ่เร็ว ๆ นี้เพื่อให้เรตติ้งไม่ตก?

ดังนั้น มอนตี้จึงสามารถเสนอทางเลือกได้ (บางครั้ง) และความน่าจะเป็นที่จะชนะโดยรวมยังคงเท่ากับ 1/3 จำไว้ว่ามีโอกาส 1/3 ที่คุณจะสูญเสียทันที ความน่าจะเป็นที่คุณจะได้รับทันทีคือ 1/3 และใน 50% ของกรณีเหล่านี้ คุณจะชนะ (1/3 x 1/2 = 1/6) ความน่าจะเป็นที่คุณจะเดาผิดในตอนแรก แต่หลังจากนั้นคุณจะมีโอกาสเลือกประตูอื่นคือ 1/3 และใน 50% ของกรณีเหล่านี้คุณจะชนะ (เช่น 1/6) เพิ่มโอกาสในการชนะอิสระสองครั้ง และคุณจะได้รับความน่าจะเป็นเท่ากับ 1/3 ดังนั้น ไม่สำคัญว่าคุณจะอยู่กับตัวเลือกของคุณหรือเลือกประตูอื่น ความน่าจะเป็นโดยรวมของการชนะของคุณตลอดทั้งเกมจะเท่ากับ 1/3 .. ความน่าจะเป็นไม่ได้มากกว่าในสถานการณ์ที่คุณคาดเดาประตูและผู้นำเสนอจะแสดงให้คุณเห็นว่ามีอะไรอยู่หลังประตูนี้โดยไม่ต้องเลือกประตูอื่น! ดังนั้นประเด็นของการเสนอโอกาสในการเลือกประตูอื่นไม่ใช่เพื่อเปลี่ยนโอกาส แต่เพื่อให้กระบวนการตัดสินใจสนุกยิ่งขึ้นสำหรับการดูทีวี

อย่างไรก็ตาม นี่เป็นหนึ่งในเหตุผลที่ทำให้โป๊กเกอร์มีความน่าสนใจ: ในรูปแบบส่วนใหญ่ระหว่างรอบ เมื่อมีการวางเดิมพัน (เช่น ฟลอป เทิร์น และริเวอร์ในเท็กซัส โฮลเด็ม) การ์ดจะค่อยๆ เปิดเผย และหากในตอนเริ่มเกมคุณมีความเป็นไปได้ที่จะชนะหนึ่งครั้ง หลังจากการเดิมพันในแต่ละรอบ เมื่อเปิดไพ่มากขึ้น ความน่าจะเป็นนี้จะเปลี่ยนไป

เด็กชายและเด็กหญิง Paradox

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความขัดแย้งที่รู้จักกันดีซึ่งตามกฎแล้วทุกคนจะไขปริศนา - ความขัดแย้งของเด็กชายและเด็กหญิง สิ่งเดียวที่ฉันกำลังเขียนเกี่ยวกับวันนี้ซึ่งไม่เกี่ยวข้องโดยตรงกับเกม (แม้ว่าฉันคิดว่านี่หมายความว่าฉันควรสะกิดคุณให้สร้างกลไกของเกมที่เหมาะสม) นี่เป็นปริศนามากกว่า แต่น่าสนใจ และเพื่อที่จะแก้ปัญหานั้น คุณต้องเข้าใจความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ซึ่งเราพูดถึงข้างต้น

ความท้าทาย: ฉันมีเพื่อนที่มีลูกสองคน อย่างน้อยหนึ่งเด็กเป็นเด็กผู้หญิง โอกาสที่ลูกคนที่สองจะเป็นเท่าไหร่ ด้วยสาว? สมมติว่าในทุกครอบครัว โอกาสที่จะมีผู้หญิงหรือผู้ชายคือ 50/50 และนี่เป็นเรื่องจริงสำหรับเด็กทุกคน (อันที่จริง ผู้ชายบางคนมีสเปิร์มมากกว่าด้วยโครโมโซม X หรือโครโมโซม Y ดังนั้นความน่าจะเป็นจะเปลี่ยนไปเล็กน้อยหากคุณ รู้ว่าเด็กคนหนึ่งเป็นเด็กผู้หญิง ความน่าจะเป็นที่จะคลอดบุตรหญิงนั้นสูงขึ้นเล็กน้อย นอกจากนี้ยังมีเงื่อนไขอื่น ๆ เช่นกระเทย แต่สำหรับการแก้ปัญหานี้ เราจะไม่พิจารณาเรื่องนี้และถือว่า การเกิดของเด็กเป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระและความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กชายหรือเด็กหญิงเหมือนกัน)

เนื่องจากเรากำลังพูดถึงโอกาส 1/2 โดยสัญชาตญาณ เราคาดว่าคำตอบน่าจะเป็น 1/2 หรือ 1/4 หรือตัวเลขปัดเศษอื่นๆ ที่เป็นผลคูณของสอง แต่คำตอบคือ: 1/3 ... รอทำไม?

ความยากในกรณีนี้คือข้อมูลที่เรามีลดจำนวนความเป็นไปได้ สมมติว่าพ่อแม่เป็นแฟนของ Sesame Street และไม่ว่าเด็กชายหรือเด็กหญิงจะเกิดมาหรือไม่ พวกเขาตั้งชื่อลูกว่า A และ B ภายใต้สภาวะปกติ มีความเป็นไปได้ที่น่าจะเท่าเทียมกันสี่ประการ: A และ B เป็นเด็กชายสองคน A และ B เป็นเด็กผู้หญิงสองคน A เป็นเด็กผู้ชายและ B เป็นเด็กผู้หญิง A เป็นเด็กผู้หญิงและ B เป็นเด็กผู้ชาย เพราะเรารู้ว่า อย่างน้อยหนึ่งเด็กเป็นเด็กผู้หญิง เราสามารถขจัดความเป็นไปได้ที่ A และ B เป็นเด็กชายสองคน ดังนั้นเราจึงเหลือความเป็นไปได้สามอย่าง (ยังน่าจะเท่าๆ กัน) หากความเป็นไปได้ทั้งหมดมีความน่าจะเป็นเท่ากันและมีสามทาง เรารู้ว่าความน่าจะเป็นของแต่ละความเป็นไปได้คือ 1/3 จากหนึ่งในสามตัวเลือกนี้เท่านั้น เด็กทั้งสองเป็นเด็กผู้หญิง ดังนั้นคำตอบคือ 1/3

และอีกครั้งเกี่ยวกับความขัดแย้งของเด็กชายและเด็กหญิง

การแก้ปัญหาจะยิ่งไร้เหตุผลมากขึ้นไปอีก ลองนึกภาพถ้าฉันบอกคุณว่าเพื่อนของฉันมีลูกสองคนและลูกหนึ่งคน - สาวที่เกิดวันอังคาร... สมมติว่าภายใต้สภาวะปกติ ความน่าจะเป็นที่จะมีลูกในวันใดวันหนึ่งในเจ็ดวันของสัปดาห์จะเท่ากัน โอกาสที่ลูกคนที่สองจะเป็นเด็กผู้หญิงด้วยเป็นอย่างไร? คุณอาจคิดว่าคำตอบยังคงเป็น 1/3; วันอังคารหมายความว่าอย่างไร แต่ในกรณีนี้ สัญชาตญาณทำให้เราล้มเหลว ตอบ: 13/27 ซึ่งไม่ได้เป็นเพียงสัญชาตญาณเท่านั้น มันแปลกมาก เกิดอะไรขึ้น ในกรณีนี้?

อันที่จริง วันอังคารเปลี่ยนความน่าจะเป็นเพราะเราไม่รู้ ที่เด็กเกิดในวันอังคารหรืออาจจะ ลูกสองคนเกิดวันอังคาร ในกรณีนี้ เราใช้ตรรกะเดียวกันกับข้างต้น เรานับชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดเมื่อมีเด็กอย่างน้อยหนึ่งคนเกิดในวันอังคาร ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ สมมติว่าเด็กชื่อ A และ B ชุดค่าผสมมีดังนี้:

• ก - เด็กผู้หญิงที่เกิดในวันอังคาร ข - เด็กผู้ชาย (ในสถานการณ์นี้ มีความเป็นไปได้ 7 อย่าง หนึ่งอันสำหรับแต่ละวันในสัปดาห์ที่เด็กชายสามารถเกิดได้)
• B - เด็กผู้หญิงที่เกิดในวันอังคาร, A - เด็กผู้ชาย (มีความเป็นไปได้ 7 อย่างเช่นกัน)
• A - ผู้หญิงที่เกิดในวันอังคาร B - ผู้หญิงที่เกิดเมื่อ อื่นวันในสัปดาห์ (6 ความเป็นไปได้)
• B - ผู้หญิงที่เกิดในวันอังคาร, A - ผู้หญิงที่เกิดในวันอังคาร (มีโอกาส 6 เช่นกัน)
• A และ B - เด็กผู้หญิงสองคนที่เกิดในวันอังคาร (1 เป็นไปได้คุณต้องใส่ใจกับสิ่งนี้เพื่อไม่ให้นับสองครั้ง)

เราสรุปและรับ 27 ชุดค่าผสมที่เป็นไปได้เท่า ๆ กันของการเกิดของเด็กและวัน โดยมีความเป็นไปได้อย่างน้อยหนึ่งอย่างที่จะได้ลูกสาวในวันอังคาร ในจำนวนนี้มี 13 โอกาสที่ผู้หญิงสองคนจะเกิดมา มันยังดูไร้เหตุผลโดยสิ้นเชิง และดูเหมือนว่างานนี้ถูกสร้างขึ้นมาเพื่อทำให้ปวดหัวเท่านั้น หากคุณยังงงกับตัวอย่างนี้ Jesper Yule นักทฤษฎีเกมมีคำอธิบายที่ดีเกี่ยวกับเรื่องนี้ในเว็บไซต์ของเขา

หากคุณกำลังทำงานเกี่ยวกับเกม ...

หากมีการสุ่มในเกมที่คุณกำลังออกแบบ นี่เป็นโอกาสที่ดีในการวิเคราะห์ เลือกองค์ประกอบที่คุณต้องการวิเคราะห์ ขั้นแรก ถามตัวเองว่าคุณคาดหวังความน่าจะเป็นสำหรับองค์ประกอบใด คุณคิดว่าควรเป็นอย่างไรในบริบทของเกม ตัวอย่างเช่น หากคุณกำลังสร้างเกมสวมบทบาทและสงสัยว่าผู้เล่นจะสามารถเอาชนะสัตว์ประหลาดในการต่อสู้ได้เท่าไร ให้ถามตัวเองว่าเปอร์เซ็นต์ของเงินรางวัลที่คุณคิดว่าใช่สำหรับคุณนั้นเป็นอย่างไร โดยปกติเมื่อเล่น console RPGs ผู้เล่นจะหงุดหงิดมากเมื่อแพ้ ดังนั้นจึงเป็นการดีที่สุดที่พวกเขาจะไม่แพ้บ่อยๆ ... อาจจะ 10% ของเวลาหรือน้อยกว่านั้น? หากคุณเป็นนักออกแบบเกมสวมบทบาท คุณอาจรู้ดีกว่าฉัน แต่คุณต้องมีแนวคิดพื้นฐานว่าความน่าจะเป็นควรเป็นอย่างไร

แล้วถามตัวเองว่านี่คืออะไร ติดยาเสพติด(เช่นการ์ด) หรือ เป็นอิสระ(เหมือนลูกเต๋า). ทบทวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดและความน่าจะเป็น ตรวจสอบให้แน่ใจว่าผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดเป็น 100% สุดท้าย เปรียบเทียบผลลัพธ์ที่คุณได้รับกับความคาดหวังของคุณ ไม่ว่าคุณจะโยนลูกเต๋าหรือจั่วไพ่ในแบบที่คุณต้องการ หรือคุณเห็นว่าคุณจำเป็นต้องปรับค่า และแน่นอน ถ้าคุณ หาอะไรที่ต้องปรับเปลี่ยน คุณสามารถใช้การคำนวณแบบเดียวกันเพื่อกำหนดว่าต้องปรับอะไรมากน้อยแค่ไหน!

การบ้าน

“การบ้าน” ของคุณในสัปดาห์นี้จะช่วยให้คุณฝึกฝนทักษะที่เป็นไปได้ นี่คือเกมลูกเต๋าสองเกมและเกมไพ่ 1 เกมที่คุณจะวิเคราะห์โดยใช้ความน่าจะเป็น รวมถึงกลไกเกมแปลก ๆ ที่ฉันเคยพัฒนาซึ่งคุณสามารถใช้ทดสอบวิธี Monte Carlo ได้

เกมที่ 1 - กระดูกมังกร

นี่คือเกมลูกเต๋าที่เราเคยคิดค้นร่วมกับเพื่อนร่วมงาน (ขอบคุณ Jeb Havens และ Jesse King!) และเกมที่ตั้งใจนำสมองออกไปสู่ผู้ที่มีความเป็นไปได้ เกมนี้เป็นเกมคาสิโนง่ายๆ ที่เรียกว่า Dragon Bones และเป็นการแข่งขันลูกเต๋าระหว่างผู้เล่นกับเจ้าบ้าน คุณได้รับ 1d6 ตามปกติ เป้าหมายของเกมคือการโยนตัวเลขที่สูงกว่าบ้าน ทอมได้รับ 1d6 ที่ไม่ได้มาตรฐาน - เหมือนกับของคุณ แต่แทนที่จะเป็นตัวต่อตัว - ภาพของมังกร (ดังนั้นคาสิโนจึงมีลูกบาศก์ Dragon-2-3-4-5-6) ถ้าบ้านได้มังกร มันจะชนะโดยอัตโนมัติ และคุณ - แพ้ หากคุณทั้งคู่ได้เลขเท่ากัน แสดงว่าเสมอ แล้วคุณทอยลูกเต๋าอีกครั้ง ผู้ที่โยนตัวเลขสูงสุดจะเป็นผู้ชนะ

แน่นอนว่าทุกอย่างไม่ได้ไปเพื่อผู้เล่นทั้งหมดเพราะคาสิโนมีความได้เปรียบในรูปแบบของ Dragon's Edge แต่มันเป็นเช่นนั้นจริงหรือ? คุณต้องคิดออก แต่ก่อนหน้านั้น ให้ตรวจสอบสัญชาตญาณของคุณ สมมติว่าเงินรางวัลเป็น 2 ต่อ 1 ดังนั้นหากคุณชนะ คุณคงเงินเดิมพันไว้และเพิ่มเป็นสองเท่า ตัวอย่างเช่น หากคุณเดิมพัน 1 ดอลลาร์และชนะ คุณจะเก็บดอลลาร์นั้นไว้และได้เพิ่มอีก 2 ดอลลาร์รวมเป็น 3 ดอลลาร์ หากคุณแพ้ คุณจะเสียเดิมพันของคุณเท่านั้น คุณจะเล่นไหม คุณรู้สึกโดยสัญชาตญาณหรือไม่ว่าความน่าจะเป็นมากกว่า 2 ต่อ 1 หรือคุณยังคิดว่ามันน้อยกว่านี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง โดยเฉลี่ยแล้วใน 3 เกม คุณคาดหวังว่าจะชนะมากกว่าหนึ่งครั้งหรือน้อยกว่า หรือหนึ่งครั้งหรือไม่?

เมื่อสัญชาตญาณของคุณแยกออกแล้ว ให้ใช้คณิตศาสตร์ ลูกเต๋าทั้งสองมีตำแหน่งที่เป็นไปได้เพียง 36 ตำแหน่ง ดังนั้นคุณจึงสามารถคำนวณได้ทั้งหมดโดยไม่มีปัญหาใดๆ หากคุณไม่แน่ใจเกี่ยวกับประโยค 2 ต่อ 1 นี้ ลองคิดดูว่า: สมมติว่าคุณเล่นเกม 36 ครั้ง (เดิมพัน 1 ดอลลาร์ในแต่ละครั้ง) ทุกครั้งที่ชนะ คุณจะได้รับ 2 ดอลลาร์ ทุกการสูญเสียคุณจะสูญเสีย 1 ดอลลาร์ และเสมอไม่เปลี่ยนแปลง คำนวณการชนะและการสูญเสียที่เป็นไปได้ทั้งหมดของคุณและตัดสินใจว่าคุณจะเสียเงินหรือได้รับเงินจำนวนหนึ่งหรือไม่ แล้วถามตัวเองว่าสัญชาตญาณของคุณถูกต้องแค่ไหน และจากนั้น - ตระหนักว่าฉันเป็นคนร้าย

และใช่ ถ้าคุณคิดเกี่ยวกับคำถามนี้แล้ว - ฉันจงใจทำให้คุณสับสนโดยบิดเบือนกลไกที่แท้จริงของเกมลูกเต๋า แต่ฉันแน่ใจว่าคุณสามารถเอาชนะอุปสรรคนี้ได้ด้วยความคิดที่ดี พยายามแก้ปัญหานี้ด้วยตัวเอง ฉันจะโพสต์คำตอบทั้งหมดที่นี่ในสัปดาห์หน้า

เกม # 2 - โยนโชค

มันเป็นเกมลูกเต๋าแห่งโอกาสที่เรียกว่า Luck Roll (เช่น Birdcage เพราะบางครั้งลูกเต๋าจะไม่ถูกโยน แต่วางไว้ในกรงลวดขนาดใหญ่ซึ่งชวนให้นึกถึงกรงบิงโก) เป็นเกมง่ายๆ ที่สรุปได้ดังนี้: เดิมพัน พูดว่า 1 ดอลลาร์สำหรับตัวเลขระหว่าง 1 ถึง 6 จากนั้นคุณหมุน 3d6 สำหรับแต่ละลูกเต๋าที่ตีหมายเลขของคุณ คุณจะได้รับ 1 ดอลลาร์ (และเก็บเดิมพันเดิมของคุณ) หากหมายเลขของคุณไม่ปรากฏบนลูกเต๋าใด ๆ คาสิโนจะได้รับเงินดอลลาร์ของคุณและคุณจะไม่เป็นอะไร ดังนั้น หากคุณเดิมพันที่ 1 และได้ 1 ที่ขอบสามครั้ง คุณจะได้ 3 ดอลลาร์

ตามสัญชาตญาณ เกมนี้ดูเหมือนจะมีโอกาสเท่ากัน แต่ละลูกเต๋ามีโอกาสชนะ 1 ใน 6 ของตัวต่อตัว ดังนั้นโอกาสรวมของทั้งสามโอกาสที่จะชนะคือ 3 ถึง 6 อย่างไรก็ตาม จำไว้ว่าคุณกำลังสร้างลูกเต๋าสามลูกแยกกัน และคุณได้รับอนุญาตให้เพิ่มได้ก็ต่อเมื่อ เรากำลังพูดถึงการชนะรวมกันที่แยกจากกันของลูกเต๋าเดียวกัน สิ่งที่คุณจะต้องทวีคูณ

เมื่อคุณทราบผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดแล้ว (อาจทำได้ง่ายกว่าใน Excel มากกว่าการใช้มือ เนื่องจากมี 216 ผลลัพธ์) เกมยังคงดูแปลกและแม้แต่ในแวบแรก แต่ในความเป็นจริงแล้ว คาสิโนยังมีโอกาสชนะมากกว่า - อีกเท่าไหร่? โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คุณคาดว่าจะเสียเงินโดยเฉลี่ยเท่าไหร่ในแต่ละรอบของเกม? สิ่งที่คุณต้องทำคือรวมการชนะและการสูญเสียของผลลัพธ์ทั้งหมด 216 รายการแล้วหารด้วย 216 ซึ่งน่าจะค่อนข้างง่าย ... แต่อย่างที่คุณเห็น มีข้อผิดพลาดสองสามอย่างที่คุณสามารถตกได้ นั่นคือเหตุผลที่ฉัน กำลังบอกคุณว่า: หากคุณรู้สึกว่าโอกาสในการชนะแม้ในเกมนี้ แสดงว่าคุณคิดผิดทั้งหมด

เกม # 3 - 5 Card Stud Poker

หากคุณอุ่นเครื่องในเกมที่แล้ว มาเช็คกันว่าเรารู้อะไรเกี่ยวกับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขกับเกมไพ่ใบนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ลองนึกภาพโป๊กเกอร์ที่มีสำรับไพ่ 52 ใบ ลองนึกภาพ 5 Card Stud ซึ่งผู้เล่นแต่ละคนจะได้รับเพียง 5 ใบเท่านั้น คุณไม่สามารถทิ้งการ์ดได้ คุณไม่สามารถจั่วการ์ดใหม่ได้ ไม่มีเด็คทั่วไป คุณได้รับเพียง 5 ใบเท่านั้น

รอยัลฟลัชคือ 10-J-Q-K-A ในมือเดียว มีทั้งหมดสี่วิธี จึงมีสี่วิธีที่เป็นไปได้ในการรับรอยัลฟลัช คำนวณความน่าจะเป็นที่คุณจะได้รับชุดค่าผสมดังกล่าว

ฉันต้องเตือนคุณอย่างหนึ่ง: จำไว้ว่าคุณสามารถจั่วไพ่ห้าใบนี้ในลำดับใดก็ได้ นั่นคือในตอนแรกคุณสามารถวาดเอซหรือสิบก็ไม่สำคัญ ดังนั้นในขณะที่คำนวณสิ่งนี้ พึงระลึกไว้เสมอว่าจริงๆ แล้วมีมากกว่าสี่วิธีในการรับ Royal Flush สมมติว่าไพ่ถูกแจกตามลำดับ!

เกม # 4 - ลอตเตอรี IMF

ปัญหาที่สี่จะไม่สามารถแก้ไขได้ง่ายๆ ด้วยวิธีการที่เราได้พูดถึงในวันนี้ แต่คุณสามารถจำลองสถานการณ์โดยใช้โปรแกรมหรือ Excel ได้อย่างง่ายดาย เป็นตัวอย่างของปัญหานี้ที่คุณสามารถใช้วิธีมอนติคาร์โลได้

ฉันพูดถึงเกม "Chron X" ก่อนหน้านี้ซึ่งฉันทำงานอยู่และมีการ์ดที่น่าสนใจมากใบหนึ่ง - ลอตเตอรี IMF นี่คือวิธีการ: คุณใช้ในเกม หลังจากจบรอบ การ์ดจะถูกแจกจ่ายซ้ำ และมีความเป็นไปได้ 10% ที่การ์ดจะออกจากเกม และผู้เล่นสุ่มจะได้รับทรัพยากร 5 ยูนิตของทรัพยากรแต่ละประเภทที่มีโทเค็นอยู่บนการ์ดนี้ การ์ดถูกนำไปเล่นโดยไม่มีโทเค็นเดียว แต่ทุกครั้งที่มันยังคงอยู่ในเกมที่จุดเริ่มต้นของรอบถัดไป การ์ดนั้นจะได้รับหนึ่งโทเค็น ดังนั้นมีโอกาส 10% ที่คุณจะพาเธอลงเล่น รอบจะจบลง การ์ดจะออกจากเกม และไม่มีใครได้อะไรเลย หากสิ่งนี้ไม่เกิดขึ้น (ด้วยความน่าจะเป็น 90%) มีโอกาส 10% (จริง ๆ แล้ว 9% เนื่องจากนี่คือ 10% จาก 90%) ในรอบถัดไปเธอจะออกจากเกมและบางคนจะได้รับ 5 หน่วยของทรัพยากร หากการ์ดออกจากเกมหลังจากรอบหนึ่ง (10% ของ 81% ที่มีอยู่ ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ 8.1%) ใครบางคนจะได้รับ 10 ยูนิต หลังจากรอบอื่น - 15 อีก 20 ต่อไปเรื่อยๆ คำถาม: อะไรคือมูลค่าที่คาดหวังโดยทั่วไปของจำนวนทรัพยากรที่คุณจะได้รับจากการ์ดใบนี้เมื่อออกจากเกมในที่สุด?

โดยปกติ เราจะพยายามแก้ปัญหานี้โดยค้นหาความเป็นไปได้ของแต่ละผลลัพธ์และคูณด้วยจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด ดังนั้นจึงมีโอกาส 10% ที่คุณจะได้รับ 0 (0.1 * 0 = 0) 9% ที่คุณจะได้รับ 5 หน่วยของทรัพยากร (9% * 5 = 0.45 ทรัพยากร) 8.1% ของสิ่งที่คุณได้รับ 10 (8.1% * 10 = 0.81 ทรัพยากรทั้งหมด มูลค่าที่คาดไว้) เป็นต้น แล้วเราจะบวกมันทั้งหมดขึ้น

และตอนนี้ปัญหาก็ชัดเจนสำหรับคุณ: การ์ดมีโอกาสเสมอ ไม่จะออกจากเกมเพื่อที่เธอจะได้อยู่ในเกม ตลอดไปและตลอดไป, สำหรับจำนวนรอบที่ไม่มีที่สิ้นสุดเพื่อให้โอกาสในการคำนวณ ทุกโอกาสไม่ได้อยู่. วิธีการที่เราได้เรียนรู้ในวันนี้ไม่ได้ให้ความสามารถในการคำนวณการเรียกซ้ำแบบไม่มีที่สิ้นสุด ดังนั้นเราจะต้องสร้างมันขึ้นมาเทียม

หากคุณเก่งพอในการเขียนโปรแกรม ให้เขียนโปรแกรมที่จำลองการ์ดใบนี้ คุณควรมีไทม์ลูปที่นำตัวแปรกลับมาที่ตำแหน่งศูนย์เดิม แสดงตัวเลขสุ่ม และมีโอกาส 10% ที่ตัวแปรจะออกจากลูป มิฉะนั้นจะเพิ่ม 5 ให้กับตัวแปรและวนซ้ำ เมื่อมันหลุดออกมาจากลูป ให้เพิ่มจำนวนการทดลองใช้ทั้งหมด 1 ครั้ง และจำนวนทรัพยากรทั้งหมด (จำนวนขึ้นอยู่กับว่าตัวแปรเหลือจากตำแหน่งใด) จากนั้นรีเซ็ตตัวแปรและเริ่มต้นใหม่ เรียกใช้โปรแกรมหลายพันครั้ง สุดท้าย แบ่งทรัพยากรทั้งหมดด้วยการวิ่งทั้งหมด - นี่จะเป็นค่า Monte Carlo ที่คุณคาดหวัง เรียกใช้โปรแกรมหลาย ๆ ครั้งเพื่อให้แน่ใจว่าตัวเลขที่คุณได้รับนั้นใกล้เคียงกัน หากสเปรดยังคงมีขนาดใหญ่ ให้เพิ่มจำนวนการทำซ้ำในลูปด้านนอกจนกว่าคุณจะเริ่มจับคู่ คุณสามารถมั่นใจได้ว่าตัวเลขใด ๆ ที่คุณลงเอยจะถูกต้องโดยประมาณ

หากคุณไม่คุ้นเคยกับการเขียนโปรแกรม (หรือแม้ว่าคุณจะไม่คุ้นเคยก็ตาม) นี่คือแบบฝึกหัดเล็กๆ น้อยๆ สำหรับคุณในการวอร์มทักษะ Excel ของคุณ หากคุณเป็นนักออกแบบเกม ทักษะของ Excel จะไม่ซ้ำซากจำเจ

สำหรับตอนนี้ ฟังก์ชัน IF และ RAND จะมีประโยชน์ RAND ไม่ต้องการค่าใด ๆ มันแค่ส่งออกตัวเลขทศนิยมสุ่มระหว่าง 0 ถึง 1 โดยปกติเราจะรวมกับ FLOOR และข้อดีและข้อเสียเพื่อจำลองการหมุนของแม่พิมพ์ ซึ่งฉันได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ เราเหลือโอกาสเพียง 10% ที่การ์ดจะออกจากเกม ดังนั้นเราสามารถตรวจสอบว่าค่า RAND น้อยกว่า 0.1 หรือไม่ และไม่ต้องกังวลกับมันอีกต่อไป

IF มีสามความหมาย ตามลำดับ เงื่อนไขที่เป็นจริงหรือไม่ จากนั้นเป็นค่าที่ส่งคืนหากเงื่อนไขเป็นจริง และค่าที่ส่งคืนหากเงื่อนไขไม่เป็นความจริง ดังนั้นฟังก์ชันต่อไปนี้จะคืนค่า 5% ของเวลา และ 0 ที่เหลืออีก 90% ของเวลา:
= IF (แรนด์ ()<0.1,5,0)

มีหลายวิธีในการตั้งค่าคำสั่งนี้ แต่ฉันจะใช้สูตรเช่นนี้สำหรับเซลล์ที่แสดงรอบแรก สมมติว่าเป็นเซลล์ A1:

ไอเอฟ (แรนด์ ()<0.1,0,-1)

ฉันใช้ตัวแปรเชิงลบเพื่อหมายถึง "การ์ดใบนี้ยังไม่ออกจากเกมและยังไม่ได้บริจาคทรัพยากรใดๆ" ดังนั้นถ้ารอบแรกจบลงและไพ่หมด A1 จะเป็น 0; มิฉะนั้นจะเป็น -1

สำหรับเซลล์ถัดไปที่แสดงถึงรอบที่สอง:

IF (A1> -1, A1, IF (RAND ()<0.1,5,-1))

ดังนั้นหากรอบแรกจบลงและการ์ดออกจากเกมทันที A1 จะเป็น 0 (จำนวนทรัพยากร) และเซลล์นี้ก็จะคัดลอกค่านั้น ในกรณีตรงข้าม A1 คือ -1 (การ์ดยังไม่ออกจากเกม) และเซลล์นี้ยังคงสุ่มย้ายต่อไป: 10% ของเวลาที่จะคืนทรัพยากร 5 หน่วย เวลาที่เหลือจะยังคงมีมูลค่า เป็น -1 หากเราใช้สูตรนี้กับเซลล์เพิ่มเติม เราจะได้รอบเพิ่มเติม และไม่ว่าเซลล์ใดจะตกอยู่ที่คุณในตอนท้าย คุณจะได้ผลลัพธ์สุดท้าย (หรือ -1 หากการ์ดไม่ออกจากเกมหลังจากเล่นครบทุกรอบ) .

นำแถวของเซลล์นี้ ซึ่งเป็นแถวเดียวที่มีการ์ดใบนี้ แล้วคัดลอกและวางแถวหลายร้อย (หรือหลายพัน) แถว เราอาจทำไม่ได้ ไม่มีที่สิ้นสุดทดสอบ Excel (ในตารางมีจำนวนเซลล์ที่จำกัด) แต่อย่างน้อย เราก็สามารถครอบคลุมกรณีส่วนใหญ่ได้ จากนั้นเลือกหนึ่งเซลล์ที่คุณจะวางค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ของทุกรอบ (Excel กรุณาให้ฟังก์ชัน AVERAGE () สำหรับสิ่งนี้)

บน Windows อย่างน้อยคุณสามารถกด F9 เพื่อนับซ้ำตัวเลขสุ่มทั้งหมด เช่นเคย ทำเช่นนี้หลาย ๆ ครั้งแล้วดูว่าค่าที่คุณได้รับเหมือนกันหรือไม่ หากสเปรดกว้างเกินไป ให้เพิ่มจำนวนการวิ่งเป็นสองเท่าแล้วลองอีกครั้ง

งานที่ยังไม่ได้แก้ไข

หากคุณมีปริญญาด้านความน่าจะเป็นและปัญหาข้างต้นดูเหมือนง่ายเกินไปสำหรับคุณ นี่คือปัญหาสองข้อที่ฉันสงสัยมาหลายปีแล้ว แต่อนิจจา ฉันไม่เก่งคณิตศาสตร์ที่จะแก้ปัญหาเหล่านี้ หากคุณรู้วิธีแก้ปัญหาโดยฉับพลัน โปรดโพสต์ไว้ที่นี่ในความคิดเห็น ฉันจะอ่านด้วยความยินดี

ปัญหาหมายเลข 1: ลอตเตอรีกองทุนการเงินระหว่างประเทศ

ปัญหาแรกที่แก้ไม่ได้คือการบ้านครั้งก่อน ฉันสามารถใช้วิธี Monte Carlo ได้อย่างง่ายดาย (โดยใช้ C ++ หรือ Excel) และฉันจะมั่นใจในคำตอบของคำถาม "ผู้เล่นจะได้รับทรัพยากรเท่าใด" แต่ฉันไม่รู้ว่าจะให้การพิสูจน์ที่แน่นอนได้อย่างไร ตอบทางคณิตศาสตร์ (นี่คือชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด ) หากคุณรู้คำตอบก็โพสต์ที่นี่ ... หลังจากตรวจสอบกับ Monte Carlo แล้วแน่นอน

ปัญหาที่ยังไม่ได้แก้ไข # 2: ลำดับของรูปร่าง

ปัญหานี้ (และอีกครั้งที่นอกเหนือไปจากงานที่แก้ไขได้ในบล็อกนี้) เกิดขึ้นจากเกมเมอร์ที่คุ้นเคยเมื่อกว่า 10 ปีที่แล้วส่งมาหาฉัน เขาสังเกตเห็นคุณลักษณะหนึ่งที่น่าสนใจเมื่อเล่นแบล็คแจ็คในเวกัส: เมื่อเขาหยิบไพ่จากรองเท้าของเขาเป็น 8 สำรับ เขาเห็น สิบไพ่เรียงต่อกัน (ไพ่หนึ่งใบหรือไพ่หนึ่งชิ้น - 10, Joker, King หรือ Queen ดังนั้นจึงมี 16 ใบในสำรับไพ่มาตรฐาน 52 ใบดังนั้นจึงมี 128 ใบในรองเท้าไพ่ 416 ใบ) ความน่าจะเป็นที่รองเท้าคู่นี้ อย่างน้อยหนึ่งลำดับ ten หรือมากกว่าตัวเลข? สมมติว่าพวกเขาสับเปลี่ยนกันอย่างตรงไปตรงมาในลำดับแบบสุ่ม (หรือถ้าชอบมากกว่า ความน่าจะเป็นที่ ไม่พบที่ไหนเลยลำดับตั้งแต่สิบรูปร่างขึ้นไป?)

เราสามารถลดความซับซ้อนของงาน นี่คือลำดับ 416 ส่วน แต่ละชิ้นคือ 0 หรือ 1 มี 128 ตัวและศูนย์ 288 ตัวที่สุ่มกระจัดกระจายไปทั่วลำดับ มีกี่วิธีในการสุ่มแยก 128 ตัวกับศูนย์ 288 ตัว และวิธีเหล่านี้จะมีอย่างน้อย 1 กลุ่ม กลุ่มละ 10 ตัวขึ้นไป

ทุกครั้งที่ฉันเริ่มแก้ปัญหานี้ มันดูเหมือนง่ายและชัดเจนสำหรับฉัน แต่ทันทีที่ฉันเจาะลึกรายละเอียด มันก็พังทลายลงทันที และดูเหมือนว่าฉันจะเป็นไปไม่ได้เลย ดังนั้นอย่ารีบเร่งที่จะเบลอคำตอบ: นั่งลง คิดให้รอบคอบ ศึกษาเงื่อนไขของปัญหา พยายามแทนที่ตัวเลขจริงเพราะทุกคนที่ฉันพูดถึงปัญหานี้ด้วย (รวมถึงนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาหลายคนที่ทำงานในสาขานี้) ก็มีปฏิกิริยาเช่นเดียวกัน : "มันค่อนข้างชัดเจน ... โอ้ ไม่ เดี๋ยวก่อน มันไม่ชัดเลย" นี่เป็นกรณีที่ฉันไม่มีวิธีคำนวณตัวเลือกทั้งหมด ฉันสามารถบังคับปัญหาด้วยอัลกอริธึมของคอมพิวเตอร์ได้อย่างแน่นอน แต่การรู้วิธีทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหานี้จะยิ่งอยากรู้มากขึ้น

การแปล - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

คำกล่าวอ้างของไอน์สไตน์ที่ว่าพระเจ้าไม่เล่นลูกเต๋ากับจักรวาลถูกตีความผิดไป

วลีติดปากของไอน์สไตน์ไม่กี่คำได้รับการยกมาอย่างกว้างขวางพอๆ กับคำพูดของเขาที่ว่าพระเจ้าไม่ได้เล่นลูกเต๋าชนิดหนึ่งกับจักรวาล ผู้คนมักใช้คำอธิบายที่เฉียบแหลมของเขาเป็นหลักฐานว่าเขาต่อต้านกลศาสตร์ควอนตัมอย่างมีหลักการ ซึ่งมองว่าการสุ่มเป็นคุณลักษณะเฉพาะของโลกทางกายภาพ เมื่อแกนกลางของธาตุกัมมันตภาพรังสีสลายตัว มันเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติ ไม่มีกฎเกณฑ์ใดที่จะบอกคุณได้แน่ชัดว่าจะเกิดขึ้นเมื่อใดหรือทำไม เมื่ออนุภาคของแสงกระทบกระจกกึ่งโปร่งแสง มันสะท้อนจากกระจกเงาหรือทะลุผ่าน ผลลัพธ์สามารถเกิดขึ้นได้จนถึงช่วงเวลาที่เหตุการณ์นี้เกิดขึ้น และคุณไม่จำเป็นต้องไปที่ห้องปฏิบัติการเพื่อดูกระบวนการประเภทนี้: เว็บไซต์อินเทอร์เน็ตหลายแห่งแสดงสตรีมของตัวเลขสุ่มที่สร้างโดยเคาน์เตอร์ไกเกอร์หรือควอนตัมออปติก แม้ว่าในหลักการจะคาดเดาไม่ได้ก็ตาม ตัวเลขดังกล่าวเหมาะสำหรับการเข้ารหัส สถิติ และการแข่งขันโป๊กเกอร์ออนไลน์

ไอน์สไตน์ ตามตำนานกล่าวไว้ ปฏิเสธที่จะยอมรับความจริงที่ว่าเหตุการณ์บางอย่างไม่ได้ถูกกำหนดโดยธรรมชาติของพวกเขา - พวกเขาเพิ่งเกิดขึ้นและไม่มีอะไรสามารถทำได้เพื่อหาสาเหตุ เหลือเพียงความโดดเดี่ยวอันวิจิตรงดงาม ล้อมรอบด้วยเพื่อนฝูง ด้วยมือทั้งสองข้างที่เขายึดติดกับจักรวาลแห่งกลไกของฟิสิกส์คลาสสิก โดยใช้กลไกวัดวินาที ซึ่งแต่ละช่วงเวลากำหนดล่วงหน้าว่าจะเกิดอะไรขึ้นในครั้งต่อไป เส้นลูกเต๋าบ่งบอกถึงอีกด้านหนึ่งของชีวิตของเขา: โศกนาฏกรรมของนักปฏิวัติที่กลายเป็นปฏิกิริยาที่ปฏิวัติฟิสิกส์ด้วยทฤษฎีสัมพัทธภาพของเขา แต่ - ตามที่ Niels Bohr กล่าวในเชิงการฑูต - เมื่อต้องเผชิญกับทฤษฎีควอนตัม เขา "ไปทานอาหารเย็น "

อย่างไรก็ตาม ในช่วงหลายปีที่ผ่านมา นักประวัติศาสตร์ นักปรัชญา และนักฟิสิกส์หลายคนตั้งคำถามกับการตีความเรื่องนี้ เมื่อพวกเขากระโจนลงไปในทะเลของทุกสิ่งที่ไอน์สไตน์พูดจริง ๆ พวกเขาพบว่าการตัดสินของเขาเกี่ยวกับความคาดเดาไม่ได้นั้นรุนแรงกว่าและมีเฉดสีที่กว้างกว่าปกติ Don A. Howard นักประวัติศาสตร์จาก University of Notre Dame กล่าวว่า "การพยายามขุดค้นเรื่องจริงกลายเป็นงานเผยแผ่ศาสนาชนิดหนึ่ง ตามที่เขาและนักประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ได้แสดงให้เห็น Einstein ได้ตระหนักถึงธรรมชาติที่ไม่ถูกกำหนดของกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งไม่น่าแปลกใจเลย เนื่องจากเขาเป็นผู้ค้นพบความไม่แน่นอนของกลไกดังกล่าว สิ่งที่เขาไม่เคยยอมรับก็คือความไม่แน่นอนเป็นพื้นฐานในธรรมชาติ ทั้งหมดนี้บ่งชี้ว่าปัญหาเกิดขึ้นในระดับความจริงที่ลึกกว่าซึ่งทฤษฎีไม่ได้สะท้อน คำวิจารณ์ของเขาไม่ใช่เรื่องลึกลับ แต่มุ่งเน้นไปที่ปัญหาทางวิทยาศาสตร์บางอย่างที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขมาจนถึงทุกวันนี้

คำถามที่ว่ากลไกจักรกลคือจักรวาลหรือโต๊ะลูกเต๋าทำลายรากฐานของสิ่งที่เราคิดว่าฟิสิกส์คือ: การค้นหากฎง่ายๆ ที่รองรับความหลากหลายอันน่าทึ่งของธรรมชาติ หากมีอะไรเกิดขึ้นโดยไม่มีเหตุผล ก็จะเป็นการยุติการวิจัยอย่างมีเหตุผล แอนดรูว์ เอส. ฟรีดแมน นักจักรวาลวิทยาจากสถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์กล่าวว่า "ความไม่แน่นอนพื้นฐานจะหมายถึงจุดจบของวิทยาศาสตร์ นักปรัชญาตลอดประวัติศาสตร์เชื่อว่าความไม่แน่นอนเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับเจตจำนงเสรีของมนุษย์ ไม่ว่าเราจะเป็นเกียร์ของเครื่องจักร ดังนั้นทุกสิ่งที่เราทำจึงถูกกำหนดไว้ล่วงหน้า หรือเราเป็นผู้กำหนดชะตาชีวิตของเราเอง ซึ่งในกรณีนี้จักรวาลก็ไม่ควรกำหนด

การแบ่งขั้วนี้มีผลจริงมากซึ่งแสดงออกในลักษณะที่สังคมทำให้ผู้คนรับผิดชอบต่อการกระทำของพวกเขา ระบบกฎหมายของเราตั้งอยู่บนพื้นฐานของเจตจำนงเสรี จำเลยต้องกระทำด้วยเจตนา ศาลมักใช้ความคิดอย่างหนักเกี่ยวกับคำถามนี้: จะเกิดอะไรขึ้นหากบุคคลนั้นไร้เดียงสาเนื่องจากความวิกลจริต ความหุนหันพลันแล่นในวัยเยาว์ หรือสภาพแวดล้อมทางสังคมที่เน่าเฟะ

อย่างไรก็ตาม เมื่อใดก็ตามที่ผู้คนพูดถึงการแบ่งขั้ว พวกเขามักจะพยายามเปิดโปงว่าเป็นความเข้าใจผิด อันที่จริง นักปรัชญาหลายคนเชื่อว่ามันไม่มีความหมายที่จะพูดถึงว่าเอกภพเป็นตัวกำหนดหรือไม่กำหนด อาจเป็นได้ทั้งสองแบบ ขึ้นอยู่กับว่าหัวข้อการวิจัยมีขนาดใหญ่หรือซับซ้อนเพียงใด: อนุภาค อะตอม โมเลกุล เซลล์ สิ่งมีชีวิต จิตใจ ชุมชน Christian List นักปรัชญาจาก London School of Economics and Political Science กล่าวว่า "ความแตกต่างระหว่างการกำหนดและความไม่แน่นอนคือความแตกต่างขึ้นอยู่กับระดับของการศึกษาปัญหา" อะตอมในสมองของเราสามารถทำงานในลักษณะที่กำหนดได้อย่างแน่นอน ในขณะเดียวกันก็ปล่อยให้เรามีอิสระที่จะทำหน้าที่เป็นอะตอมและอวัยวะต่างๆ ที่ทำงานในระดับต่างๆ

ในทำนองเดียวกัน Einstein ได้แสวงหาระดับ subquantum ที่กำหนดขึ้นเอง ในขณะที่ไม่ได้ปฏิเสธว่าระดับควอนตัมนั้นน่าจะเป็นไปได้

สิ่งที่ไอน์สไตน์คัดค้าน

การที่ไอน์สไตน์ได้รับฉายาว่าเป็นปรปักษ์ต่อทฤษฎีควอนตัมนั้นแทบจะเป็นปริศนาที่ยิ่งใหญ่พอๆ กับกลศาสตร์ควอนตัมเอง แนวคิดของควอนตัมซึ่งเป็นหน่วยพลังงานที่ไม่ต่อเนื่องเป็นผลจากการสะท้อนของเขาในปี ค.ศ. 1905 และเกือบครึ่งทศวรรษที่เขายืนอยู่คนเดียวในการป้องกัน ไอน์สไตน์แนะนำว่า สิ่งที่นักฟิสิกส์ในปัจจุบันมองว่าเป็นคุณสมบัติหลักของฟิสิกส์ควอนตัม เช่น ความสามารถแปลก ๆ ของแสงในการทำหน้าที่เป็นอนุภาคและเป็นคลื่น และจากการสะท้อนของเขาในฟิสิกส์ของคลื่น เออร์วิน ชโรดิงเงอร์ ได้พัฒนาสูตรควอนตัมที่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางที่สุด ทฤษฎีในปี ค.ศ. 1920 ไอน์สไตน์ไม่ใช่ศัตรูของโอกาสเช่นกัน ในปี 1916 เขาแสดงให้เห็นว่าเมื่ออะตอมปล่อยโฟตอน เวลาและทิศทางของการแผ่รังสีจะเป็นปริมาณแบบสุ่ม

Jan von Plateau จากมหาวิทยาลัยเฮลซิงกิกล่าวว่า "สิ่งนี้ขัดต่อภาพลักษณ์ของ Einstein ที่ได้รับความนิยมในฐานะที่เป็นปฏิปักษ์กับแนวทางความน่าจะเป็น" แต่ไอน์สไตน์และผู้ร่วมสมัยของเขาประสบปัญหาร้ายแรง ปรากฏการณ์ควอนตัมเป็นแบบสุ่ม แต่ทฤษฎีควอนตัมเองไม่ใช่ สมการของชโรดิงเงอร์นั้นกำหนดได้ 100% อธิบายอนุภาคหรือระบบของอนุภาคโดยใช้สิ่งที่เรียกว่าฟังก์ชันคลื่น ซึ่งใช้ประโยชน์จากธรรมชาติคลื่นของอนุภาคและอธิบายรูปแบบคล้ายคลื่นที่กลุ่มอนุภาคก่อตัวขึ้น สมการทำนายว่าจะเกิดอะไรขึ้นกับฟังก์ชันคลื่น ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง ในหลายๆ ด้าน สมการนี้กำหนดได้ดีกว่ากฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน: ไม่ทำให้เกิดความสับสน เช่น ภาวะภาวะเอกฐาน (ซึ่งปริมาณกลายเป็นอนันต์จึงอธิบายไม่ได้) หรือความโกลาหล (ซึ่งการเคลื่อนที่คาดเดาไม่ได้)

สิ่งที่จับได้ก็คือ การกำหนดระดับของสมการชโรดิงเงอร์คือการกำหนดระดับของฟังก์ชันคลื่น และไม่สามารถสังเกตฟังก์ชันคลื่นได้โดยตรง ต่างจากตำแหน่งและความเร็วของอนุภาค แต่ฟังก์ชันคลื่นจะกำหนดปริมาณที่สามารถสังเกตได้และความน่าจะเป็นของแต่ละตัวเลือกที่เป็นไปได้แทน ทฤษฎีนี้เปิดประเด็นคำถามว่าฟังก์ชั่นของคลื่นคืออะไรและควรพิจารณาว่าเป็นคลื่นจริงในโลกวัตถุของเราหรือไม่ ดังนั้น คำถามต่อไปนี้ยังคงเปิดอยู่: การสุ่มที่สังเกตได้นั้นเป็นคุณสมบัติที่แท้จริงของธรรมชาติหรือเป็นเพียงส่วนหน้าของมันเท่านั้น Christian Wuthrich นักปรัชญาจากมหาวิทยาลัยเจนีวาในสวิตเซอร์แลนด์กล่าวว่า "มีการกล่าวอ้างว่ากลศาสตร์ควอนตัมไม่สามารถกำหนดได้ แต่นี่เป็นข้อสรุปที่รีบร้อนเกินไป

เวอร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์ก ผู้บุกเบิกอีกคนหนึ่งที่วางรากฐานของทฤษฎีควอนตัม จินตนาการว่าฟังก์ชันคลื่นเป็นหมอกควันของการดำรงอยู่ที่อาจเกิดขึ้น หากไม่สามารถระบุตำแหน่งของอนุภาคได้อย่างชัดเจนและไม่น่าสงสัย อาจเป็นเพราะไม่พบอนุภาคนั้นจริงๆ ในที่ใดที่หนึ่ง เฉพาะเมื่อคุณสังเกตอนุภาคเท่านั้นที่จะเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่งในอวกาศ ฟังก์ชั่นคลื่นอาจเบลอได้ในพื้นที่ขนาดใหญ่ แต่เมื่อทำการสังเกต มันจะยุบตัวทันที หดตัวลงสู่จุดแคบ ๆ ที่ตั้งอยู่ในที่ใดที่หนึ่ง และทันใดนั้นก็มีอนุภาคปรากฏขึ้นที่นั่น แต่ถึงแม้คุณจะมองอนุภาค - ปัง! - จู่ๆ เธอก็หยุดแสดงพฤติกรรมที่กำหนดและกระโดดไปสู่สภาวะสุดท้าย ราวกับเด็กคว้าเก้าอี้ในเกม "เก้าอี้ดนตรี" (เกมประกอบด้วยความจริงที่ว่าเด็ก ๆ เต้นรำเป็นวงกลมรอบเก้าอี้ซึ่งมีจำนวนน้อยกว่าจำนวนผู้เล่นและพยายามนั่งบนที่นั่งว่างทันทีที่เพลงหยุดลง)

ไม่มีกฎหมายควบคุมการล่มสลายนี้ ไม่มีสมการสำหรับเขา มันเพิ่งเกิดขึ้น - แค่นั้นแหละ! การล่มสลายกลายเป็นองค์ประกอบสำคัญของการตีความในโคเปนเฮเกน: มุมมองของกลศาสตร์ควอนตัมที่ตั้งชื่อตามเมืองที่บอร์และสถาบันของเขา ร่วมกับไฮเซนเบิร์ก ทำงานพื้นฐานส่วนใหญ่ (ตรงกันข้าม บอร์เองไม่รู้จักการล่มสลายของฟังก์ชันคลื่น) โรงเรียนโคเปนเฮเกนถือว่าการสุ่มสังเกตของฟิสิกส์ควอนตัมเป็นลักษณะเฉพาะที่ขัดต่อคำอธิบายเพิ่มเติม นักฟิสิกส์ส่วนใหญ่เห็นด้วยกับสิ่งนี้ หนึ่งในเหตุผลของสิ่งนี้คือสิ่งที่เรียกว่า เอฟเฟกต์จุดยึด หรือเอฟเฟกต์การยึด ที่ทราบจากจิตวิทยา: นี่เป็นคำอธิบายที่น่าพอใจอย่างยิ่ง และปรากฏเป็นอย่างแรก แม้ว่าไอน์สไตน์ไม่ได้ต่อต้านกลศาสตร์ควอนตัม แต่เขาก็ไม่เห็นด้วยกับการตีความของโคเปนเฮเกนอย่างแน่นอน เขาเริ่มต้นจากแนวคิดที่ว่าการวัดทำให้เกิดความแตกแยกในวิวัฒนาการอย่างต่อเนื่องของระบบทางกายภาพ และในบริบทนี้เองที่เขาเริ่มแสดงการต่อต้านการขว้างกระดูกจากพระเจ้า “นี่เป็นเหตุผลที่ว่าทำไม Einstein ถึงได้คร่ำครวญในปี 1926 และไม่ใช่เพราะคำกล่าวอ้างเชิงอภิปรัชญาที่ครอบคลุมทั้งหมดเกี่ยวกับการกำหนดระดับเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นอย่างยิ่ง” Howard กล่าว "

ความเป็นจริงมากมายและยัง - โลกถูกกำหนดหรือไม่? คำตอบสำหรับคำถามนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับกฎการเคลื่อนที่ขั้นพื้นฐานเท่านั้น แต่ยังขึ้นกับระดับที่เราอธิบายเกี่ยวกับระบบด้วย พิจารณาห้าอะตอมในก๊าซที่เคลื่อนที่ตามที่กำหนด (แผนภาพบน) พวกเขาเริ่มต้นการเดินทางจากที่เกือบจะเดียวกันและค่อยๆ แยกจากกัน อย่างไรก็ตาม ในระดับมหภาค (แผนภาพด้านล่าง) ไม่ใช่อะตอมเดี่ยวที่มองเห็นได้ แต่เป็นการไหลแบบอสัณฐานในแก๊ส หลังจากผ่านไประยะหนึ่ง ก๊าซก็มีแนวโน้มที่จะสุ่มกระจายไปตามลำธารหลายสาย การสุ่มในระดับมหภาคนี้เป็นผลพลอยได้จากการเพิกเฉยต่อกฎระดับจุลภาคของผู้สังเกต ซึ่งเป็นคุณสมบัติเชิงวัตถุของธรรมชาติที่สะท้อนถึงวิธีการที่อะตอมมารวมกัน ในทำนองเดียวกัน ไอน์สไตน์แนะนำว่าโครงสร้างภายในที่กำหนดขึ้นของจักรวาลนำไปสู่ธรรมชาติความน่าจะเป็นของอาณาจักรควอนตัม

Einstein แย้งว่าการล่มสลายแทบจะเป็นกระบวนการที่แท้จริง สิ่งนี้จะต้องมีการดำเนินการในทันทีจากระยะไกล ซึ่งเป็นกลไกลึกลับที่กล่าวได้ว่าทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของฟังก์ชันคลื่นจะยุบตัวลงเป็นจุดเล็กๆ เดียวกัน แม้ว่าจะไม่มีแรงตรงกับพฤติกรรมก็ตาม ไม่เพียงแต่ไอน์สไตน์ แต่นักฟิสิกส์ทุกคนในสมัยของเขาเชื่อว่ากระบวนการดังกล่าวเป็นไปไม่ได้ มันจะต้องเกิดขึ้นเร็วกว่าความเร็วของแสง ซึ่งขัดแย้งอย่างเห็นได้ชัดกับทฤษฎีสัมพัทธภาพอย่างเห็นได้ชัด อันที่จริง กลศาสตร์ควอนตัมไม่ได้เพียงแค่วางลูกเต๋าในมือของคุณ แต่ยังให้ลูกเต๋าคู่หนึ่งที่มักจะตกขอบเดียวกัน แม้ว่าคุณจะโยนลูกเต๋าในเวกัสและอีกอันในเวก้า สำหรับไอน์สไตน์ ดูเหมือนชัดเจนว่าลูกเต๋าจะต้องโกง ทำให้มีวิธีการซ่อนเร้นที่จะส่งผลต่อผลลัพธ์ของการโยนล่วงหน้า แต่โรงเรียนในโคเปนเฮเกนปฏิเสธความเป็นไปได้ดังกล่าว โดยบอกว่าข้อนิ้วจะส่งผลโดยตรงต่อกันและกันในพื้นที่อันกว้างใหญ่ไพศาล นอกจากนี้ ไอน์สไตน์ยังกังวลเกี่ยวกับพลังที่ชาวโคเปนเฮเกนมาจากการวัดผล ท้ายที่สุดแล้วมิติคืออะไร? จะเป็นสิ่งที่มีเพียงสิ่งมีชีวิต หรือแม้แต่อาจารย์ที่ดำรงตำแหน่งเท่านั้นที่สามารถทำได้? ไฮเซนเบิร์กและตัวแทนคนอื่นๆ ของโรงเรียนโคเปนเฮเกนไม่เคยระบุแนวคิดนี้ บางคนแนะนำว่าเราสร้างความเป็นจริงโดยรอบในจิตใจของเราในกระบวนการสังเกต ซึ่งเป็นแนวคิดที่ดูเป็นบทกวี หรือแม้แต่เป็นบทกวีที่มากเกินไป ไอน์สไตน์ยังพิจารณาถึงความสูงของความทะลึ่งของโคเปนเฮเกนเพื่ออ้างว่ากลศาสตร์ควอนตัมสมบูรณ์อย่างสมบูรณ์ ว่าเป็นทฤษฎีขั้นสูงสุดที่ไม่มีใครมาแทนที่ได้ เขาถือว่าทฤษฎีทั้งหมดรวมถึงทฤษฎีของเขาเองเป็นสะพานเชื่อมไปสู่บางสิ่งที่ยิ่งใหญ่กว่า

จริงๆแล้ว. Howard ให้เหตุผลว่า Einstein ยินดีที่จะยอมรับความไม่แน่นอน ถ้าเขาได้รับคำตอบสำหรับปัญหาทั้งหมดของเขาที่จำเป็นต้องแก้ไข ตัวอย่างเช่น ถ้ามีคนสามารถระบุได้ชัดเจนว่าการวัดคืออะไร และอนุภาคสามารถซิงโครไนซ์ได้อย่างไรโดยไม่มีการกระทำระยะไกล ข้อบ่งชี้ที่ไอน์สไตน์ถือว่าความไม่แน่นอนเป็นปัญหารองคือเขาทำข้อเรียกร้องเดียวกันและปฏิเสธทางเลือกที่กำหนดไว้ในโรงเรียนโคเปนเฮเกน นักประวัติศาสตร์อีกคนหนึ่งคือ Arthur Fine จากมหาวิทยาลัย Washington เชื่อ ฮาวเวิร์ดกล่าวเกินจริงถึงความอ่อนไหวต่อความไม่ชัดเจนของไอน์สไตน์ แต่เห็นด้วยว่าการตัดสินของเขามีพื้นฐานที่มั่นคงกว่าที่นักฟิสิกส์หลายชั่วอายุคนเชื่อ โดยอิงจากคำพูดของเขาเกี่ยวกับลูกเต๋า

ความคิดสุ่ม

หากคุณชักเย่อที่ด้านข้างของโรงเรียนโคเปนเฮเกน Einstein เชื่อว่าคุณจะพบว่าความผิดปกติของควอนตัมนั้นเหมือนกับความผิดปกติประเภทอื่น ๆ ในวิชาฟิสิกส์: มันเป็นผลิตภัณฑ์ของความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้น ไอน์สไตน์เชื่อว่าการเต้นของอนุภาคฝุ่นขนาดเล็กในลำแสงเผยให้เห็นการเคลื่อนไหวที่ซับซ้อนของโมเลกุล และการปล่อยโฟตอนหรือการสลายกัมมันตภาพรังสีของนิวเคลียสก็เป็นกระบวนการที่คล้ายกัน ในความเห็นของเขา กลศาสตร์ควอนตัมเป็นทฤษฎีการประเมินที่แสดงออกถึงพฤติกรรมทั่วไปขององค์ประกอบพื้นฐานของธรรมชาติ แต่ไม่มีความละเอียดเพียงพอที่จะรวบรวมรายละเอียดส่วนบุคคล

ทฤษฎีที่ลึกและสมบูรณ์ยิ่งขึ้นจะอธิบายการเคลื่อนไหวได้อย่างเต็มที่โดยไม่ต้องกระโดดอย่างคลุมเครือ จากมุมมองนี้ ฟังก์ชันคลื่นเป็นคำอธิบายโดยรวม เนื่องจากข้อความที่ว่าการตายที่ถูกต้อง หากถูกโยนซ้ำๆ จะตกลงมาประมาณจำนวนเท่ากันในแต่ละด้าน การล่มสลายของฟังก์ชันคลื่นไม่ใช่กระบวนการทางกายภาพ แต่เป็นการได้มาซึ่งความรู้ ถ้าคุณทอยลูกเต๋าหกด้านแล้วคิดได้ว่า สี่ ช่วงของตัวเลือกตั้งแต่หนึ่งถึงหกจะย่อลง หรือคุณอาจพูดได้ว่ายุบเป็นค่าจริงของสี่ ปีศาจที่เหมือนพระเจ้าซึ่งสามารถติดตามรายละเอียดของโครงสร้างอะตอมที่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของกระดูกที่ตกลงมา (เช่น การวัดว่ามือของคุณผลักและหมุนลูกบาศก์อย่างไรก่อนที่จะวางมันลงบนโต๊ะ) จะไม่พูดถึงการพังทลาย

สัญชาตญาณของไอน์สไตน์ได้รับการเสริมแรงจากงานแรกของเขาเกี่ยวกับผลรวมของการเคลื่อนที่ของโมเลกุล ศึกษาในสาขาฟิสิกส์ที่เรียกว่ากลศาสตร์สถิติ ซึ่งเขาแสดงให้เห็นว่าฟิสิกส์มีความน่าจะเป็นได้แม้ว่าปรากฏการณ์นั้นจะขึ้นอยู่กับความเป็นจริงที่กำหนดขึ้นได้ ในปี 1935 Einstein เขียนถึงนักปรัชญา Karl Popper ว่า “ฉันไม่คิดว่าคุณคิดถูกในคำกล่าวของคุณที่ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะสรุปผลทางสถิติตามทฤษฎีที่กำหนดขึ้นได้ ตัวอย่างเช่น กลศาสตร์สถิติแบบคลาสสิก (ทฤษฎีของก๊าซ หรือ ทฤษฎีการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน)” ความน่าจะเป็นในความเข้าใจของไอน์สไตน์นั้นเป็นจริงเช่นเดียวกับการตีความของโรงเรียนในโคเปนเฮเกน แสดงให้เห็นในกฎพื้นฐานของการเคลื่อนไหว สะท้อนคุณสมบัติอื่น ๆ ของโลกรอบข้าง พวกเขาไม่ได้เป็นเพียงสิ่งประดิษฐ์ของความไม่รู้ของมนุษย์ Einstein แนะนำให้ Popper เป็นตัวอย่าง ให้พิจารณาอนุภาคที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยความเร็วคงที่ ความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาคในส่วนที่กำหนดของส่วนโค้งวงกลมสะท้อนถึงความสมมาตรของวิถีของมัน ในทำนองเดียวกัน ความน่าจะเป็นที่จะตายลงบนใบหน้าที่กำหนดคือหนึ่งในหก เนื่องจากมีหกด้านเท่ากัน Howard กล่าวว่า "เขาเข้าใจดีกว่าคนส่วนใหญ่ในตอนนั้นว่ามีตัวตนทางกายภาพที่สำคัญอยู่ในรายละเอียดความน่าจะเป็นทางสถิติและทางกล

บทเรียนอีกประการหนึ่งในกลศาสตร์ทางสถิติคือปริมาณที่เราสังเกตไม่จำเป็นต้องมีอยู่ในระดับที่ลึกกว่า ตัวอย่างเช่น แก๊สมีอุณหภูมิ แต่ไม่ควรพูดถึงอุณหภูมิของโมเลกุลของแก๊สเดี่ยวๆ โดยการเปรียบเทียบ ไอน์สไตน์เชื่อว่าทฤษฎีซับควอนตัมจำเป็นต้องแสดงถึงการแตกสลายอย่างรุนแรงด้วยกลศาสตร์ควอนตัม ในปี 1936 เขาเขียนว่า: “ไม่ต้องสงสัยเลยว่ากลศาสตร์ควอนตัมได้จับองค์ประกอบที่สวยงามของความจริงเอาไว้<...>อย่างไรก็ตาม ฉันไม่เชื่อว่ากลศาสตร์ควอนตัมจะเป็นจุดเริ่มต้นในการค้นหารากฐานนี้ เช่นเดียวกับที่คุณไม่สามารถเปลี่ยนจากอุณหพลศาสตร์ (ตามลำดับ กลศาสตร์สถิติ) ไปเป็นรากฐานของกลศาสตร์ได้” เพื่อเติมเต็มระดับที่ลึกกว่านี้ Einstein ผลักดันไปสู่ ทฤษฎีเอกภาพ สนามที่อนุภาคเป็นอนุพันธ์ของโครงสร้างที่ไม่เหมือนกับอนุภาคเลย กล่าวโดยย่อ ภูมิปัญญาดั้งเดิมที่ไอน์สไตน์ปฏิเสธที่จะรับรู้ถึงธรรมชาติความน่าจะเป็นของฟิสิกส์ควอนตัมนั้นผิด เขาพยายามอธิบายการสุ่มแทนที่จะทำให้มัน ปรากฏว่าไม่มีเลย

ทำให้ระดับของคุณดีที่สุด

แม้ว่าโครงการของไอน์สไตน์ในการสร้างทฤษฎีแบบรวมศูนย์จะล้มเหลว แต่หลักการพื้นฐานของแนวทางสัญชาตญาณในการสุ่มตัวอย่างของเขายังคงเป็นความจริง: ความไม่แน่นอนสามารถเกิดขึ้นได้จากการกำหนด ระดับควอนตัมและซับควอนตัม - หรือระดับคู่อื่นใดในลำดับชั้นของธรรมชาติ - ประกอบด้วยโครงสร้างประเภทต่างๆ ที่แตกต่างกัน ดังนั้นจึงปฏิบัติตามกฎหมายประเภทต่างๆ กฎหมายที่ควบคุมระดับหนึ่งอาจอนุญาตให้มีองค์ประกอบของการสุ่ม แม้ว่ากฎหมายของระดับล่างจะได้รับการควบคุมอย่างเต็มที่ เจเรมี บัตเตอร์ฟิลด์ นักปรัชญาจากมหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ กล่าวว่า "จุลฟิสิกส์แบบกำหนดไม่ได้สร้างมาโครฟิสิกส์ที่กำหนดขึ้นได้

นึกถึงลูกเต๋าในระดับอะตอม ลูกบาศก์สามารถประกอบด้วยโครงสร้างอะตอมจำนวนมากที่ไม่สามารถจินตนาการได้ ซึ่งไม่สามารถแยกความแตกต่างออกจากกันโดยสิ้นเชิงด้วยตาเปล่า หากคุณติดตามการกำหนดค่าใด ๆ เหล่านี้ในระหว่างการหมุนของแม่พิมพ์ มันจะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่เฉพาะเจาะจง - ถูกกำหนดอย่างเข้มงวด ในการกำหนดค่าบางอย่าง ดายจะหยุดด้วยจุดหนึ่งจุดที่ขอบด้านบน ในส่วนอื่นๆ จะมีจุดสองจุด ฯลฯ ดังนั้น สถานะมหภาคเดียว (หากคุณทำการหมุนลูกบาศก์) สามารถนำไปสู่ผลลัพธ์ระดับมหภาคที่เป็นไปได้หลายประการ (หนึ่งในหกใบหน้าจะอยู่ที่ด้านบนสุด) “ถ้าเราอธิบายลูกเต๋าในระดับมหภาค เราสามารถมองมันเป็นระบบสุ่มที่อนุญาตให้มีการสุ่มตามวัตถุประสงค์” List ซึ่งกำลังศึกษาการผันคำกริยาระดับกับ Marcus Pivato นักคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัย Cergy-Pontoise ในฝรั่งเศสกล่าว

แม้ว่าระดับที่สูงกว่าจะสร้างในระดับที่ต่ำกว่า แต่ก็เป็นอิสระ ในการอธิบายลูกเต๋า คุณต้องทำงานในระดับที่ลูกเต๋ามีอยู่นั้น และเมื่อคุณทำเช่นนี้ คุณจะอดไม่ได้ที่จะละเลยอะตอมและไดนามิกของลูกเต๋า หากคุณข้ามระดับหนึ่งไปอีกระดับหนึ่ง คุณกำลังโกงโดยแทนที่หมวดหมู่: มันเหมือนกับถามเกี่ยวกับความสัมพันธ์ทางการเมืองกับแซนวิชปลาแซลมอน (เพื่อใช้ตัวอย่างของปราชญ์ David Albert แห่งมหาวิทยาลัยโคลัมเบีย) "เมื่อเรามีปรากฏการณ์ที่สามารถอธิบายได้ในระดับต่างๆ เราต้องระมัดระวังในแนวความคิดให้มากที่จะไม่ผสมระดับต่างๆ" ลิสท์กล่าว ด้วยเหตุนี้ผลของการทอยลูกเต๋าจึงไม่ใช่แค่สุ่ม มันสุ่มจริงๆ อสูรที่เหมือนพระเจ้าอาจอวดว่าเขารู้ดีว่าจะเกิดอะไรขึ้น แต่เขารู้แค่ว่าจะเกิดอะไรขึ้นกับอะตอม เขาไม่สงสัยด้วยซ้ำว่าลูกเต๋าคืออะไร เนื่องจากเป็นข้อมูลในระดับที่สูงกว่า ปีศาจไม่เคยเห็นป่า มีแต่ต้นไม้ เขาเป็นเหมือนตัวเอกของเรื่อง "Memorable Funes" ของนักเขียนชาวอาร์เจนตินา Jorge Luis Borges ซึ่งเป็นชายที่จำทุกอย่างได้ แต่ไม่เข้าใจอะไรเลย "การคิดหมายถึงการลืมความแตกต่าง การสรุป เป็นนามธรรม" Borges เขียน สำหรับปีศาจเพื่อที่เขาจะได้รู้ว่าลูกเต๋าจะตกด้านใดจึงจำเป็นต้องอธิบายว่าจะมองหาอะไร "ปีศาจจะสามารถเข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้นที่ระดับบนสุดได้ก็ต่อเมื่อเขาได้รับคำอธิบายโดยละเอียดว่าเรากำหนดขอบเขตระหว่างระดับอย่างไร" List กล่าว อันที่จริง หลังจากนี้ มารคงจะอิจฉาว่าเราเป็นมนุษย์ปุถุชน

ตรรกะระดับยังทำงานในทิศทางตรงกันข้าม จุลฟิสิกส์ที่ไม่กำหนดไว้ล่วงหน้าสามารถนำไปสู่มหภาคที่กำหนดขึ้นได้ ลูกเบสบอลสามารถสร้างจากอนุภาคที่มีพฤติกรรมวุ่นวาย แต่สามารถคาดการณ์การบินได้อย่างสมบูรณ์ การสุ่มควอนตัม การหาค่าเฉลี่ย หายไป ในทำนองเดียวกัน ก๊าซประกอบด้วยโมเลกุลที่ทำให้มีการเคลื่อนไหวที่ซับซ้อนอย่างยิ่งและแทบไม่กำหนดได้เอง แต่อุณหภูมิและคุณสมบัติอื่นๆ ของก๊าซนั้นเป็นไปตามกฎที่ง่ายเพียงสองและสอง นักฟิสิกส์บางคน เช่น Robert Laughlin จาก Stanford University ได้แนะนำว่าระดับล่างสุดไม่เกี่ยวข้องเลย โครงสร้างพื้นฐานสามารถเป็นอะไรก็ได้ และพฤติกรรมส่วนรวมของพวกเขาจะยังเหมือนเดิม ท้ายที่สุด ระบบต่างๆ แม้แต่ระบบที่แตกต่างจากโมเลกุลของน้ำ ดาวในดาราจักร และรถยนต์บนทางด่วน ต่างก็ปฏิบัติตามกฎแห่งการไหลของของไหลเช่นเดียวกัน

ฟรีในที่สุด

เมื่อคุณคิดในแง่ของระดับ ความกังวลที่ว่าความไม่แน่นอนมีแนวโน้มที่จะประกาศจุดจบของวิทยาศาสตร์จะหายไป รอบตัวเราไม่มีกำแพงสูงส่งที่ปกป้องชิ้นส่วนจักรวาลที่ปฏิบัติตามกฎหมายของเราจากเรื่องของอนาธิปไตยและส่วนที่เหลือไม่สามารถเข้าใจได้ อันที่จริง โลกนี้เป็นชั้นเค้กของการกำหนดระดับและความไม่แน่นอน ตัวอย่างเช่น ภูมิอากาศของโลกอยู่ภายใต้กฎการเคลื่อนที่ที่กำหนดขึ้นของ Nyoton แต่การพยากรณ์อากาศมีความน่าจะเป็น และในขณะเดียวกัน แนวโน้มสภาพอากาศตามฤดูกาลและระยะยาวก็สามารถคาดการณ์ได้อีกครั้ง ชีววิทยาก็มาจากฟิสิกส์ที่กำหนดขึ้นเองเช่นกัน แต่สิ่งมีชีวิตและระบบนิเวศต้องการวิธีการอธิบายแบบอื่น เช่น วิวัฒนาการของดาร์วิน “ความมุ่งมั่นไม่ได้อธิบายทุกอย่าง” Daniel Dennett นักปรัชญาจาก Tufts University กล่าว

ผู้คนกระจัดกระจายอยู่ภายในขนมพัฟนี้ เรามีเจตจำนงเสรีที่ทรงพลัง เรามักจะทำการตัดสินใจที่คาดเดาไม่ได้และส่วนใหญ่มีความสำคัญ เราตระหนักดีว่าเราสามารถทำอย่างอื่นได้ (และบ่อยครั้งที่เราเสียใจที่ไม่ได้ทำ) เป็นเวลานับพันปีที่เรียกว่าพวกเสรีนิยม ผู้สนับสนุนหลักปรัชญาเกี่ยวกับเจตจำนงเสรี (เพื่อไม่ให้สับสนกับกระแสการเมือง!) ได้โต้แย้งว่าเสรีภาพของมนุษย์ต้องการเสรีภาพของอนุภาค บางสิ่งจะต้องทำลายเส้นทางที่กำหนดของเหตุการณ์ เช่น การสุ่มควอนตัมหรือ "การเบี่ยงเบน" ซึ่งตามที่นักปรัชญาโบราณบางคนเชื่อว่าอะตอมสามารถสัมผัสได้ในระหว่างการเคลื่อนไหว (แนวคิดของการเบี่ยงเบนโดยไม่ได้ตั้งใจของอะตอมจากวิถีเดิมถูกนำมาใช้ โดย Lucretius สู่ปรัชญาโบราณเพื่อปกป้องหลักคำสอนปรมาณูของ Epicurus) ...

ปัญหาหลักของการให้เหตุผลแนวนี้คือการปลดปล่อยอนุภาค แต่ปล่อยให้เราเป็นทาส ไม่สำคัญหรอกว่าการตัดสินใจของคุณถูกกำหนดไว้ล่วงหน้าระหว่างบิ๊กแบงหรืออนุภาคเล็กๆ ก็ยังไม่ใช่การตัดสินใจของคุณ เพื่อความเป็นอิสระ เราต้องการความไม่แน่นอนไม่ใช่ที่ระดับอนุภาค แต่ในระดับมนุษย์ และนี่เป็นไปได้เพราะระดับมนุษย์และระดับอนุภาคนั้นเป็นอิสระจากกัน แม้ว่าทุกสิ่งที่คุณทำสามารถย้อนกลับไปสู่ขั้นตอนแรกได้ คุณเป็นเจ้านายของการกระทำของคุณ เพราะทั้งคุณและการกระทำของคุณไม่มีอยู่ที่ระดับของสสาร แต่อยู่ที่ระดับจิตสำนึกระดับมหภาคเท่านั้น "มาโครอินดีเทอร์มินิซึมแบบไมโครดีเทอร์มินนิสม์นี้น่าจะรับประกันเจตจำนงเสรี" บัตเตอร์ฟิลด์กล่าว Macroindeterminism ไม่ใช่เหตุผลสำหรับการตัดสินใจของคุณ นี่คือการตัดสินใจของคุณ

บางคนอาจคัดค้านและบอกคุณว่าคุณยังเป็นตุ๊กตาอยู่ และกฎของธรรมชาติทำหน้าที่เป็นผู้เชิดหุ่น และเสรีภาพของคุณเป็นเพียงภาพลวงตา แต่คำว่า "มายา" นั้นปลุกเร้าในความทรงจำของภาพลวงตาในทะเลทรายและสตรี ซึ่งถูกผ่าครึ่ง ทั้งหมดนี้ไม่มีอยู่จริง Macroindeterminism ไม่เหมือนกันเลย มันค่อนข้างจริงไม่ใช่พื้นฐาน เปรียบได้กับชีวิต อะตอมส่วนบุคคลเป็นสสารที่ไม่มีชีวิต แต่มวลมหาศาลของพวกมันสามารถมีชีวิตอยู่และหายใจได้ “ทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับตัวแทน สถานะของความตั้งใจ การตัดสินใจและทางเลือกของพวกเขา ไม่มีสิ่งใดที่เกี่ยวข้องกับชุดเครื่องมือเชิงแนวคิดของฟิสิกส์พื้นฐาน แต่นี่ไม่ได้หมายความว่าปรากฏการณ์เหล่านี้ไม่มีจริง” Liszt กล่าว . ก็หมายความว่าพวกมันล้วนเป็นปรากฏการณ์ในระดับที่สูงกว่ามาก "

มันจะเป็นความผิดพลาดอย่างเป็นหมวดหมู่ หากไม่เป็นการเพิกเฉยอย่างสมบูรณ์ ในการอธิบายการตัดสินใจของมนุษย์โดยกลไกการเคลื่อนที่ของอะตอมในหัวของคุณ จำเป็นต้องใช้แนวคิดทั้งหมดของจิตวิทยาแทน: ความปรารถนา, โอกาส, ความตั้งใจ ทำไมฉันดื่มน้ำไม่ดื่มไวน์? เพราะผมต้องการที่จะ. ความปรารถนาของฉันอธิบายการกระทำของฉัน ในกรณีส่วนใหญ่ เมื่อเราถามคำถาม "ทำไม" เรากำลังมองหาแรงจูงใจของแต่ละบุคคล ไม่ใช่ภูมิหลังทางกายภาพของเขา คำอธิบายทางจิตวิทยาทำให้เกิดความไม่แน่นอนบางอย่างที่ List พูดถึง ตัวอย่างเช่น นักทฤษฎีเกมจำลองการตัดสินใจของมนุษย์โดยจัดวางตัวเลือกต่างๆ และอธิบายว่าคุณจะเลือกตัวเลือกใดหากคุณดำเนินการอย่างมีเหตุผล อิสระในการเลือกตัวเลือกใดตัวเลือกหนึ่งเป็นตัวขับเคลื่อนทางเลือกของคุณ แม้ว่าคุณจะไม่เคยเลือกทางเลือกนั้นเลยก็ตาม

แน่นอน ข้อโต้แย้งของ List ไม่ได้อธิบายเจตจำนงเสรีอย่างเต็มที่ ลำดับชั้นของระดับเปิดพื้นที่สำหรับเจตจำนงเสรี แยกจิตวิทยาออกจากฟิสิกส์ และเปิดโอกาสให้เราทำสิ่งที่ไม่คาดคิด แต่เราต้องใช้โอกาสนี้ ตัวอย่างเช่น หากเราตัดสินใจทั้งหมดโดยการโยนเหรียญ สิ่งนี้จะยังถือว่าเป็นตัวตรวจวัดระดับมหภาค-ขั้นต่ำ แต่แทบจะไม่มีใครถือว่ามันเป็นเจตจำนงเสรีในแง่ที่มีความหมายใดๆ ในทางกลับกัน การตัดสินใจของบางคนอาจทำให้เหนื่อยจนไม่สามารถพูดได้ว่าจะทำอย่างเสรี

แนวทางการแก้ไขปัญหาการกำหนดระดับนี้ให้ความหมายและการตีความแก่ทฤษฎีควอนตัม ซึ่งเสนอขึ้นเมื่อไม่กี่ปีหลังจากไอน์สไตน์เสียชีวิตในปี 2498 เรียกว่าการตีความหลายโลก หรือการตีความของเอเวอเร็ตต์ ผู้เสนอให้โต้แย้งว่ากลศาสตร์ควอนตัมอธิบายชุดของจักรวาลคู่ขนาน - ลิขสิทธิ์ที่โดยรวมแล้วมีพฤติกรรมที่กำหนดขึ้นเอง แต่ดูเหมือนว่าเราจะไม่ได้กำหนดขึ้นเอง เนื่องจากเราสามารถเห็นจักรวาลเดียวได้เพียงจักรวาลเดียว ตัวอย่างเช่น อะตอมสามารถปล่อยโฟตอนไปทางขวาหรือทางซ้าย ทฤษฎีควอนตัมปล่อยให้ผลลัพธ์ของเหตุการณ์นี้เปิดขึ้น ตามการตีความของหลายโลก ภาพดังกล่าวถูกสังเกตเนื่องจากสถานการณ์เดียวกันนี้เกิดขึ้นในจักรวาลคู่ขนานจำนวนนับไม่ถ้วน: ในบางส่วนของพวกเขาโฟตอนจะบินไปทางซ้ายอย่างเป็นเอกเทศและที่เหลือไปทางขวา เราไม่สามารถบอกได้ชัดเจนว่าเราอยู่ในจักรวาลใด เราไม่สามารถคาดเดาสิ่งที่จะเกิดขึ้นได้ ดังนั้นสถานการณ์นี้จึงดูอธิบายไม่ได้จากภายใน Max Tegmark นักจักรวาลวิทยาของ MIT กล่าวว่า "ไม่มีการสุ่มที่แท้จริงในอวกาศ แต่เหตุการณ์ต่างๆ อาจปรากฏขึ้นแบบสุ่มต่อสายตาของผู้สังเกต" "การสุ่มสะท้อนถึงการที่คุณไม่มีความสามารถในการระบุว่าคุณอยู่ที่ไหน"

มันเหมือนกับการพูดว่า แม่พิมพ์หรือสมองสามารถสร้างขึ้นจากโครงสร้างอะตอมใดๆ ก็ได้ การกำหนดค่านี้อาจกำหนดได้เอง แต่เนื่องจากเราไม่สามารถรู้ได้ว่าอันไหนที่สอดคล้องกับความตายหรือสมองของเรา เราจึงถูกบังคับให้คิดว่าผลลัพธ์นั้นไม่ได้กำหนดไว้ ดังนั้นจักรวาลคู่ขนานจึงไม่ใช่ความคิดที่แปลกใหม่ลอยอยู่ในจินตนาการที่ป่วย ร่างกายและสมองของเราเป็นลิขสิทธิ์ขนาดเล็ก มันเป็นความหลากหลายของความเป็นไปได้ที่ทำให้เรามีอิสระ

มนุษย์ใช้ลูกเต๋ามานับพันปีแล้ว

ในศตวรรษที่ 21 เทคโนโลยีใหม่ทำให้คุณสามารถทอยลูกเต๋าได้ทุกเวลาที่สะดวก และถ้าคุณมีอินเทอร์เน็ต ในสถานที่ที่สะดวก ลูกเต๋าอยู่กับคุณที่บ้านหรือบนท้องถนนเสมอ

เครื่องกำเนิดลูกเต๋าช่วยให้คุณหมุนออนไลน์ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 4 ลูกเต๋า

ทอยลูกเต๋าออนไลน์อย่างยุติธรรม

เมื่อใช้ลูกเต๋าจริงสามารถใช้ความชำนาญด้วยตนเองหรือลูกเต๋าที่มีน้ำหนักเกินพิเศษด้านหนึ่งได้ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถหมุนลูกบาศก์ตามแกนใดแกนหนึ่ง จากนั้นการกระจายความน่าจะเป็นจะเปลี่ยนไป คุณลักษณะของคิวบ์เสมือนของเราคือการใช้ซอฟต์แวร์สร้างตัวเลขสุ่มหลอก สิ่งนี้ทำให้คุณสามารถให้ตัวเลือกแบบสุ่มจริงๆ สำหรับผลลัพธ์นี้หรือผลลัพธ์นั้น

และหากคุณเพิ่มหน้านี้ในบุ๊กมาร์ก ลูกเต๋าออนไลน์ของคุณจะไม่หายไปไหนและจะอยู่ในมือในเวลาที่เหมาะสมเสมอ!

บางคนได้ปรับตัวกับการใช้ลูกเต๋าออนไลน์เพื่อทำนายดวงหรือทำนายดวงชะตา

อารมณ์ดีวันที่ดีและโชคดี!

รูปแบบที่พบบ่อยที่สุดอยู่ในรูปของลูกบาศก์ซึ่งแต่ละด้านจะแสดงตัวเลขตั้งแต่หนึ่งถึงหก ผู้เล่นที่ขว้างมันลงบนพื้นราบเห็นผลที่ขอบด้านบน กระดูกเป็นกระบอกเสียงจริงสำหรับโอกาส โชคดี หรือโชคร้าย

อุบัติเหตุ.
ก้อน (กระดูก) มีมาเป็นเวลานาน แต่พวกมันได้รูปลักษณ์ดั้งเดิมที่มีหกด้านเมื่อประมาณ 2600 ปีก่อนคริสตกาล NS. ชาวกรีกโบราณชอบเล่นลูกเต๋า และในตำนานของพวกเขา วีรบุรุษ Palamed ซึ่งถูกกล่าวหาว่าทรยศโดย Odysseus อย่างไม่ยุติธรรมนั้นถูกเรียกว่าเป็นผู้ประดิษฐ์ ตามตำนานเล่าขาน เขาคิดค้นเกมนี้เพื่อสร้างความบันเทิงให้กับทหารที่ล้อมเมืองทรอย โดยถูกม้าไม้ตัวใหญ่จับตัวไป ชาวโรมันในช่วงเวลาของ Julius Caesar ยังสนุกกับเกมลูกเต๋าที่หลากหลาย ในภาษาละติน ลูกบาศก์ถูกเรียกว่า datum ซึ่งแปลว่า "ให้"

ข้อห้าม
ในยุคกลาง ราวศตวรรษที่ 12 เกมลูกเต๋าได้รับความนิยมอย่างมากในยุโรป: ลูกบาศก์ซึ่งสามารถนำติดตัวไปได้ทุกที่ เป็นที่นิยมของทั้งทหารและชาวนา มีเกมมากกว่าหกร้อยเกมที่กล่าวกันว่ามีอยู่จริง! การผลิตลูกเต๋ากลายเป็นอาชีพที่แยกจากกัน พระเจ้าหลุยส์ที่ 9 (ค.ศ. 1214-1270) เสด็จกลับจากสงครามครูเสด ไม่เห็นด้วยกับการพนัน และสั่งห้ามการผลิตลูกเต๋าทั่วทั้งราชอาณาจักร มากกว่าตัวเกมเอง เจ้าหน้าที่ไม่พอใจกับการจลาจลที่เกี่ยวข้อง - จากนั้นพวกเขาเล่นเป็นหลักในโรงเตี๊ยม และฝ่ายต่างๆ มักจะจบลงด้วยการต่อสู้และการแทง แต่ไม่มีข้อห้ามใดที่ขัดขวางไม่ให้ลูกเต๋ารอดตายมาได้จนถึงทุกวันนี้

กระดูกที่มี "ประจุ"!
ผลลัพธ์ของการทอยลูกเต๋านั้นสุ่มเสมอ แต่คนขี้โกงบางคนพยายามเปลี่ยนสิ่งนั้น โดยการเจาะรูในลูกบาศก์แล้วเทตะกั่วหรือปรอทลงไป คุณจะได้ผลลัพธ์เดียวกันทุกครั้งที่โยน ลูกบาศก์ดังกล่าวเรียกว่า "มีประจุ" ที่ทำจากวัสดุต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น ทอง หิน คริสตัล กระดูก ลูกเต๋า สามารถมีรูปร่างต่างกันได้ ลูกเต๋าขนาดเล็กรูปทรงปิรามิด (จัตุรมุข) ถูกพบในสุสานของฟาโรห์อียิปต์ที่สร้างปิรามิดขนาดใหญ่! หลายครั้ง กระดูกถูกสร้างขึ้นด้วย 8, 10, 12, 20 และ 100 ด้าน โดยปกติแล้วจะใช้ตัวเลขกับพวกเขา แต่ตัวอักษรหรือรูปภาพอาจปรากฏขึ้นแทนทำให้มีที่ว่างสำหรับจินตนาการ

วิธีการทอยลูกเต๋า.
ลูกเต๋าไม่เพียงแต่มีรูปร่างต่างกันเท่านั้นแต่ยังมีวิธีการเล่นที่แตกต่างกันอีกด้วย บางเกมต้องการการทอยในลักษณะใดรูปแบบหนึ่ง โดยปกติแล้วเพื่อหลีกเลี่ยงการทอยที่คำนวณได้ หรือเพื่อป้องกันไม่ให้ไดย์หยุดในท่าเอียง บางครั้งมีกระจกพิเศษติดอยู่เพื่อหลีกเลี่ยงการโกงหรือตกจากโต๊ะเล่น ในเกมเครปภาษาอังกฤษ ลูกเต๋าทั้งสามลูกต้องตีโต๊ะเกมหรือกำแพง เพื่อไม่ให้นักเล่นกลหลอกโยนโดยเพียงแค่ขยับลูกเต๋าแต่อย่าหมุนลูกเต๋า

ความสุ่มและความน่าจะเป็น
การตายจะให้ผลลัพธ์แบบสุ่มที่ไม่สามารถคาดเดาได้เสมอ ด้วยการตายครั้งเดียว ผู้เล่นมีโอกาสมากที่จะทอย 1 เท่าที่เขาทำ 6 - ทุกอย่างถูกกำหนดโดยบังเอิญ ในทางตรงกันข้าม ลูกเต๋าสองลูก ระดับของการสุ่มจะลดลง เนื่องจากผู้เล่นมีข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับผลลัพธ์ เช่น ลูกเต๋าสองลูก สามารถรับหมายเลข 7 ได้หลายวิธี - โดยการโยน 1 และ 6, 5 และ 2 หรือ 4 และ 3 ... แต่โอกาสที่จะได้หมายเลข 2 มีเพียงหนึ่งเดียว: ทอย 2 ครั้ง 1 ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้ 7 นั้นสูงกว่าการได้ 2! นี่เรียกว่าทฤษฎีความน่าจะเป็น หลายเกมเกี่ยวข้องกับหลักการนี้ โดยเฉพาะเกมเงินสด

เกี่ยวกับการใช้ลูกเต๋า
ลูกเต๋าสามารถเป็นเกมที่เป็นอิสระโดยไม่มีองค์ประกอบอื่น สิ่งเดียวที่แทบไม่มีอยู่จริงคือเกมสำหรับคิวบ์เดียว กฎเกณฑ์ต้องมีอย่างน้อยสองข้อ (เช่น เครป) ในการเล่นลูกเต๋าโป๊กเกอร์ คุณต้องมีลูกเต๋าห้าลูก ปากกา และกระดาษ เป้าหมายคือการเติมชุดค่าผสมที่คล้ายกับการรวมกันของเกมไพ่ที่มีชื่อเดียวกันโดยเขียนคะแนนสำหรับพวกเขาลงในตารางพิเศษ นอกจากนี้ คิวบ์ยังเป็นส่วนยอดนิยมสำหรับเกมกระดาน ทำให้คุณสามารถย้ายชิปหรือตัดสินผลลัพธ์ของการต่อสู้ในเกมได้

หล่อตาย.
ใน 49 ปีก่อนคริสตกาล NS. Julius Caesar อายุน้อยเอาชนะกอลและกลับไปที่ปอมเปอี แต่อำนาจของเขาทำให้เกิดความกังวลในหมู่สมาชิกวุฒิสภาที่ตัดสินใจยุบกองทัพก่อนที่เขาจะกลับมา จักรพรรดิในอนาคตเมื่อมาถึงชายแดนของสาธารณรัฐตัดสินใจที่จะฝ่าฝืนคำสั่งโดยข้ามกับกองทัพ ก่อนข้ามแม่น้ำ Rubicon (แม่น้ำที่เป็นพรมแดน) เขาออกเสียงว่า “Alea jacta est” (“ล็อตถูกโยน”) ต่อหน้ากองทหารของเขา ภาษิตนี้กลายเป็นวลีที่จับได้ ความหมายก็คือ ในเกมหลังจากตัดสินใจบางอย่างแล้ว จะไม่สามารถย้อนกลับได้อีกต่อไป