Teoretikal na materyal. Ano ang extrema ng isang function: mga kritikal na punto ng maximum at minimum Extrema ng isang function na maximum at minimum
ibig sabihin
Pinakamahusay
ibig sabihin
Hindi bababa sa
Pinakamataas na punto
Pinakamababang punto
Ang mga problema sa paghahanap ng mga punto ng isang extremum function ay nalutas ayon sa isang karaniwang pamamaraan sa 3 hakbang.
Hakbang 1. Hanapin ang derivative ng function
- Alalahanin ang mga derivative formula ng elementary functions at ang mga pangunahing tuntunin ng differentiation upang mahanap ang derivative.
y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.
Hakbang 2. Hanapin ang mga zero ng derivative
- Lutasin ang nagresultang equation upang mahanap ang mga zero ng derivative.
3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.
Hakbang 3. Maghanap ng mga matinding puntos
- Gamitin ang paraan ng agwat upang matukoy ang mga palatandaan ng derivative;
- Sa pinakamababang punto, ang derivative ay katumbas ng zero at nagbabago ng sign mula minus hanggang plus, at sa pinakamataas na punto, mula plus hanggang minus.
Gamitin natin ang pamamaraang ito upang malutas ang sumusunod na problema:
Hanapin ang pinakamataas na punto ng function na y=x3−243x+19.
1) Hanapin ang derivative: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;
2) Lutasin ang equation na y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;
3) Ang derivative ay positibo para sa x>9 at x<−9 и отрицательная при −9 Paano mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function Upang malutas ang problema sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function kailangan: Nakakatulong sa maraming gawain teorama: Kung mayroon lamang isang extremum point sa isang segment, at ito ang pinakamababang punto, kung gayon ang pinakamaliit na halaga ng function ay makakamit dito. Kung ito ay isang maximum na punto, pagkatapos ay ang pinakamalaking halaga ay naabot doon. 14. Konsepto at pangunahing katangian ng di-tiyak na integral. Kung ang function f(x X, At k– numero, kung gayon Sa madaling sabi: ang pare-pareho ay maaaring alisin sa integral sign. Kung ang mga function f(x) At g(x) ay may mga antiderivative sa pagitan X, Iyon Sa madaling sabi: ang integral ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga integral. Kung ang function f(x) ay may antiderivative sa pagitan X, pagkatapos ay para sa mga panloob na punto ng agwat na ito: Sa madaling sabi: ang derivative ng integral ay katumbas ng integrand. Kung ang function f(x) ay tuloy-tuloy sa pagitan X at naiba sa mga panloob na punto ng agwat na ito, kung gayon: Sa madaling sabi: ang integral ng differential ng isang function ay katumbas ng function na ito kasama ang integration constant. Bigyan natin ng mahigpit na kahulugan ng matematika mga konsepto ng hindi tiyak na integral. Ang isang pagpapahayag ng anyo ay tinatawag integral ng function f(x)
, Saan f(x)
- integrand function na ibinigay (kilala), dx
- pagkakaiba x
, na may simbolo na laging naroroon dx
. Kahulugan. Indefinite integral tinatawag na function F(x) + C
, na naglalaman ng arbitrary na pare-pareho C
, ang pagkakaiba nito ay katumbas ng integrand pagpapahayag f(x)dx
, ibig sabihin. Paalalahanan ka namin na- pag-andar ng kaugalian at tinukoy bilang mga sumusunod: Paghahanap ng problema hindi tiyak na integral ay upang mahanap ang ganoong function derivative na katumbas ng integrand. Ang function na ito ay tinutukoy na tumpak sa isang pare-pareho, dahil ang derivative ng pare-pareho ay zero. Halimbawa, ito ay kilala na , pagkatapos ito ay lumiliko na Paghanap ng problema hindi tiyak na integral Ang mga pag-andar ay hindi kasing simple at kadali na tila sa unang tingin. Sa maraming pagkakataon, kailangang may kasanayan sa pagtatrabaho hindi tiyak na integral, dapat mayroong karanasan na kasama ng pagsasanay at palagian paglutas ng mga halimbawa ng di-tiyak na integral. Ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang sa katotohanan na mga integral na hindi tiyak mula sa ilang mga function (mayroong medyo marami sa kanila) ay hindi kinuha sa elementarya function. 15. Talaan ng mga pangunahing di-tiyak na integral. Mga pangunahing formula 16. Definite integral bilang limitasyon ng integral sum. Geometric at pisikal na kahulugan ng integral. Hayaang tukuyin ang function na y=ƒ(x) sa pagitan [a; b], a< b. Выполним следующие действия. 1. Paggamit ng mga puntos na x 0 = a, x 1, x 2, ..., x n = B (x 0 2. Sa bawat bahagyang segment , i = 1,2,...,n, pumili ng arbitrary point na may i є at kalkulahin ang halaga ng function sa loob nito, ibig sabihin, ang halaga ƒ(may i). 3. I-multiply ang nahanap na halaga ng function ƒ (na may i) sa haba ∆x i =x i -x i-1 ng kaukulang partial segment: ƒ (na may i) ∆x i. 4. Gawin natin ang kabuuan S n ng lahat ng naturang produkto: Ang kabuuan ng anyo (35.1) ay tinatawag na integral sum ng function na y = ƒ(x) sa pagitan [a; b]. Tukuyin natin sa pamamagitan ng λ ang haba ng pinakamalaking bahagyang bahagi: λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n). 5. Hanapin natin ang limitasyon ng integral sum (35.1) kapag n → ∞ upang λ→0. Kung sa kasong ito ang integral sum S n ay may limitasyon I, na hindi nakasalalay sa paraan ng paghahati ng segment [a; b] sa mga bahagyang segment, o sa pagpili ng mga puntos sa kanila, kung gayon ang numero I ay tinatawag na isang tiyak na integral ng function na y = ƒ(x) sa segment [a; b] at ipinahiwatig na Kaya, Ang mga numerong a at b ay tinatawag na lower at upper limit ng integration, ayon sa pagkakabanggit, ƒ(x) - ang integrand function, ƒ(x) dx - the integrand, x - ang variable ng integration, ang segment [a; b] - lugar (segment) ng pagsasama. Function y=ƒ(x), kung saan sa pagitan [a; b] mayroong isang tiyak na integral na tinatawag na integrable sa pagitan na ito. Bumuo tayo ngayon ng isang teorama para sa pagkakaroon ng isang tiyak na integral. Theorem 35.1 (Cauchy). Kung ang function na y = ƒ(x) ay tuloy-tuloy sa pagitan [a; b], pagkatapos ay ang tiyak na integral Tandaan na ang pagpapatuloy ng isang function ay isang sapat na kundisyon para sa integrability nito. Gayunpaman, ang isang tiyak na integral ay maaari ding umiral para sa ilang mga hindi tuluy-tuloy na function, lalo na para sa anumang function na nakatali sa isang pagitan na may hangganan na bilang ng mga discontinuity point dito. Ipahiwatig natin ang ilang mga katangian ng tiyak na integral na direktang sumusunod mula sa kahulugan nito (35.2). 1. Ang tiyak na integral ay independiyente sa pagtatalaga ng variable ng integration: Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na ang integral sum (35.1), at samakatuwid ang limitasyon nito (35.2), ay hindi nakasalalay sa kung anong titik ang argumento ng isang naibigay na function ay tinutukoy ng. 2. Ang isang tiyak na integral na may parehong mga limitasyon ng pagsasama ay katumbas ng zero: 3. Para sa anumang tunay na numero c. 17. Newton-Leibniz formula. Mga pangunahing katangian ng isang tiyak na integral. Hayaan ang function y = f(x) tuloy-tuloy sa segment
At F(x) ay isa sa mga antiderivatives ng function sa segment na ito, kung gayon Formula ng Newton-Leibniz: Ang Newton-Leibniz formula ay tinatawag pangunahing pormula ng integral calculus. Upang patunayan ang formula ng Newton-Leibniz, kailangan natin ang konsepto ng integral na may variable na upper limit. Kung ang function y = f(x) tuloy-tuloy sa segment
, pagkatapos para sa argumento ang integral ng form ay isang function ng itaas na limitasyon. Tukuyin natin ang function na ito Sa katunayan, isulat natin ang pagtaas ng function na tumutugma sa pagtaas ng argumento at gamitin ang ikalimang pag-aari ng tiyak na integral at ang corollary mula sa ikasampung pag-aari: Muli nating isulat ang pagkakapantay-pantay na ito sa anyo Magkalkula tayo F(a), gamit ang unang katangian ng tiyak na integral: Ang pagtaas ng isang function ay karaniwang tinutukoy bilang Upang mailapat ang formula ng Newton-Leibniz, sapat na para sa amin na malaman ang isa sa mga antiderivatives y=F(x) pagsasama at pag-andar y=f(x) sa segment
at kalkulahin ang pagtaas ng antiderivative na ito sa segment na ito. Ang mga pamamaraan ng artikulo ng pagsasama ay tumatalakay sa mga pangunahing paraan ng paghahanap ng antiderivative. Magbigay tayo ng ilang halimbawa ng pagkalkula ng mga tiyak na integral gamit ang formula ng Newton-Leibniz para sa paglilinaw. Halimbawa. Kalkulahin ang halaga ng tiyak na integral gamit ang Newton-Leibniz formula. Solusyon. Upang magsimula, tandaan namin na ang integrand ay tuloy-tuloy sa pagitan
, samakatuwid, ay integrable dito. (Napag-usapan namin ang tungkol sa mga integrable function sa seksyon sa mga function kung saan mayroong isang tiyak na integral.) Mula sa talahanayan ng mga hindi tiyak na integral, malinaw na para sa isang function ang hanay ng mga antiderivatives para sa lahat ng tunay na halaga ng argumento (at samakatuwid para sa ) ay nakasulat bilang Ngayon ay nananatiling gamitin ang formula ng Newton-Leibniz upang kalkulahin ang tiyak na integral: 18. Mga geometric na aplikasyon ng tiyak na integral. GEOMETRICAL APPLICATIONS OF THE DETERMINATE INTEGRAL Pagkalkula ng dami ng katawan Pagkalkula ng dami ng isang katawan mula sa mga kilalang lugar ng magkatulad na mga seksyon: Dami ng katawan ng pag-ikot: ; . Halimbawa 1. Hanapin ang lugar ng figure na nililimitahan ng curve y=sinx ng mga tuwid na linya Solusyon: Paghahanap ng lugar ng figure: Halimbawa 2. Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya Solusyon: Hanapin natin ang abscissa ng mga intersection point ng mga graph ng mga function na ito. Upang gawin ito, lutasin namin ang sistema ng mga equation Mula dito makikita natin x 1 =0, x 2 =2.5. 19. Ang konsepto ng differential controls. Mga equation ng kaugalian ng unang order. Differential equation- isang equation na nag-uugnay sa halaga ng derivative ng isang function sa mismong function, ang mga halaga ng independent variable, at mga numero (parameter). Ang pagkakasunud-sunod ng mga derivatives na kasama sa equation ay maaaring magkakaiba (pormal na ito ay hindi limitado sa anumang bagay). Maaaring lumabas ang mga derivative, function, independent variable, at parameter sa isang equation sa iba't ibang kumbinasyon, o maaaring wala lahat maliban sa isang derivative. Hindi lahat ng equation na naglalaman ng mga derivatives ng isang hindi kilalang function ay isang differential equation. Halimbawa, Mga partial differential equation(PDF) ay mga equation na naglalaman ng mga hindi kilalang function ng ilang mga variable at ang kanilang mga partial derivatives. Ang pangkalahatang anyo ng naturang mga equation ay maaaring kinakatawan bilang: nasaan ang mga independiyenteng variable, at isang function ng mga variable na ito. Ang pagkakasunud-sunod ng mga partial differential equation ay maaaring matukoy sa parehong paraan tulad ng para sa ordinaryong differential equation. Ang isa pang mahalagang pag-uuri ng mga partial differential equation ay ang kanilang paghahati sa mga equation ng elliptic, parabolic at hyperbolic na mga uri, lalo na para sa second-order equation. Ang parehong mga ordinaryong differential equation at partial differential equation ay maaaring nahahati sa linear At nonlinear. Ang isang differential equation ay linear kung ang hindi kilalang function at ang mga derivatives nito ay pumasok sa equation hanggang sa unang degree lamang (at hindi pinarami sa isa't isa). Para sa mga naturang equation, ang mga solusyon ay bumubuo ng isang affine subspace ng espasyo ng mga function. Ang teorya ng linear differential equation ay binuo ng mas malalim kaysa sa teorya ng nonlinear equation. Pangkalahatang view ng isang linear differential equation n-ika-utos: saan p i(x) ay mga kilalang function ng independent variable, na tinatawag na coefficients ng equation. Function r(x) sa kanang bahagi ay tinatawag libreng miyembro(ang tanging termino na hindi nakasalalay sa hindi kilalang function) Ang isang mahalagang partikular na klase ng mga linear na equation ay mga linear differential equation na may pare-pareho ang mga koepisyent. Ang isang subclass ng linear equation ay homogenous differential equation - mga equation na hindi naglalaman ng libreng termino: r(x) = 0. Para sa mga homogenous na differential equation, ang superposition na prinsipyo ay mayroong: isang linear na kumbinasyon ng mga partial na solusyon ng naturang equation ang magiging solusyon din nito. Ang lahat ng iba pang mga linear differential equation ay tinatawag magkakaiba differential equation. Ang mga nonlinear na differential equation sa pangkalahatang kaso ay walang nakabuo ng mga pamamaraan ng solusyon, maliban sa ilang mga espesyal na klase. Sa ilang mga kaso (gamit ang ilang mga pagtatantya) maaari silang bawasan sa linear. Halimbawa, ang linear equation ng isang harmonic oscillator · - homogenous differential equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient. Ang solusyon ay isang pamilya ng mga function , kung saan at mga arbitrary constants, na para sa isang partikular na solusyon ay tinutukoy mula sa hiwalay na tinukoy na mga paunang kondisyon. Ang equation na ito, sa partikular, ay naglalarawan ng galaw ng isang harmonic oscillator na may cyclic frequency na 3. Ang ikalawang batas ni Newton ay maaaring isulat sa anyo ng isang differential equation kung saan m- bigat ng katawan, x- ang coordinate nito, F(x, t) - puwersang kumikilos sa isang katawan na may coordinate x sa isang punto ng panahon t. Ang solusyon nito ay ang tilapon ng katawan sa ilalim ng pagkilos ng tinukoy na puwersa. · Ang Bessel differential equation ay isang ordinaryong linear homogeneous equation ng pangalawang order na may variable coefficients: Ang mga solusyon nito ay ang Bessel functions. · Isang halimbawa ng hindi homogenous na hindi linear na ordinary differential equation ng 1st order: Sa susunod na pangkat ng mga halimbawa mayroong hindi kilalang function u depende sa dalawang variable x At t o x At y. · Homogeneous linear partial differential equation ng unang order: · One-dimensional wave equation - isang homogenous linear equation sa mga partial derivatives ng second order hyperbolic type na may pare-parehong coefficients, inilalarawan ang oscillation ng isang string kung - ang deflection ng string sa isang punto na may coordinate x sa isang punto ng panahon t, at ang parameter a nagtatakda ng mga katangian ng string: · Ang equation ng Laplace sa two-dimensional space ay isang homogenous na linear na partial differential equation ng pangalawang order ng elliptic type na may pare-parehong coefficients, na nagmumula sa maraming pisikal na problema ng mechanics, thermal conductivity, electrostatics, hydraulics: · Korteweg-de Vries equation, isang third-order nonlinear partial differential equation na naglalarawan ng mga nakatigil na nonlinear wave, kabilang ang mga soliton: 20. Differential equation na may separable applicable. Linear equation at Bernoulli's method. Ang first-order linear differential equation ay isang equation na linear na may kinalaman sa isang hindi kilalang function at ang derivative nito. Ito ay may anyo na Buong kapangyarihan. Sa katunayan, kung hahanapin at papalitan mo ang mga equation ng mga uri na isinasaalang-alang, makakakuha ka ng isang tunay na pagkakapantay-pantay. Gaya ng nabanggit sa artikulo tungkol sa homogenous equation, kung ayon sa kondisyon ay kinakailangan na makahanap lamang ng isang partikular na solusyon, kung gayon ang pag-andar, para sa malinaw na mga kadahilanan, ay hindi nakakaabala sa amin, ngunit kapag kinakailangan upang makahanap ng isang pangkalahatang solusyon/integral, pagkatapos ay kinakailangan upang tiyakin na ang function na ito ay hindi nawala! Dinala ko ang lahat ng sikat na variation ng Bernoulli equation sa isang malaking bag ng mga regalo at sinimulan kong ipamahagi ang mga ito. Isabit ang iyong mga medyas sa ilalim ng puno. Halimbawa 1 Maghanap ng isang partikular na solusyon sa differential equation na tumutugma sa ibinigay na paunang kondisyon. Marahil marami ang nagulat na ang unang regalo ay agad na inilabas sa bag kasama nito Cauchy na problema. Hindi ito aksidente. Kapag ang Bernoulli equation ay iminungkahi para sa isang solusyon, sa ilang kadahilanan ay madalas na kinakailangan upang makahanap ng isang partikular na solusyon. Mula sa aking koleksyon, gumawa ako ng random na pagpili ng 10 Bernoulli equation, at ang pangkalahatang solusyon (nang walang partikular na solusyon) ay kailangang matagpuan sa 2 equation lamang. Ngunit, sa katunayan, ito ay isang maliit na bagay, dahil ang isang pangkalahatang solusyon ay kailangang hanapin sa anumang kaso. Solusyon: Ang diffuser na ito ay may anyo at samakatuwid ay ang equation ni Bernoulli Ang pag-andar at ang pag-aaral ng mga tampok nito ay sumasakop sa isa sa mga pangunahing kabanata sa modernong matematika. Ang pangunahing bahagi ng anumang function ay ang mga graph na naglalarawan hindi lamang ng mga katangian nito, kundi pati na rin ang mga parameter ng derivative ng function na ito. Unawain natin ang mahirap na paksang ito. Kaya ano ang pinakamahusay na paraan upang mahanap ang maximum at minimum na mga puntos ng isang function? Anumang variable na sa ilang paraan ay nakasalalay sa mga halaga ng isa pang dami ay maaaring tawaging isang function. Halimbawa, ang function na f(x 2) ay quadratic at tinutukoy ang mga halaga para sa buong set x. Sabihin natin na x = 9, kung gayon ang halaga ng ating function ay magiging katumbas ng 9 2 = 81. Ang mga function ay may iba't ibang uri: logical, vector, logarithmic, trigonometric, numeric at iba pa. Ang mga ito ay pinag-aralan ng mga namumukod-tanging isip gaya ng Lacroix, Lagrange, Leibniz at Bernoulli. Ang kanilang mga gawa ay nagsisilbing pangunahing sa mga modernong paraan ng pag-aaral ng mga tungkulin. Bago hanapin ang pinakamababang puntos, napakahalagang maunawaan ang mismong kahulugan ng function at ang hinango nito. Ang lahat ng mga function ay nakasalalay sa kanilang mga variable, na nangangahulugan na maaari nilang baguhin ang kanilang halaga anumang oras. Sa graph, ito ay ipapakita bilang isang curve na bumaba o tumataas sa kahabaan ng ordinate axis (ito ang buong hanay ng mga "y" na numero sa kahabaan ng patayong graph). Kaya, ang pagtukoy sa maximum at minimum na mga punto ng isang function ay tiyak na nauugnay sa mga "oscillations" na ito. Ipaliwanag natin kung ano ang relasyong ito. Ang derivative ng anumang function ay naka-graph upang pag-aralan ang mga pangunahing katangian nito at kalkulahin kung gaano kabilis ang pagbabago ng function (ibig sabihin, nagbabago ang halaga nito depende sa variable na "x"). Sa sandaling tumaas ang function, tataas din ang graph ng derivative nito, ngunit anumang segundo ay maaaring magsimulang bumaba ang function, at pagkatapos ay bababa ang graph ng derivative. Ang mga punto kung saan nagbabago ang derivative mula sa isang minus sign patungo sa isang plus sign ay tinatawag na mga minimum na puntos. Upang malaman kung paano makahanap ng mga minimum na puntos, dapat mong mas maunawaan Ang kahulugan at mga function ay nagpapahiwatig ng ilang mga konsepto mula sa Sa pangkalahatan, ang mismong kahulugan ng isang derivative ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod: ito ang dami na nagpapakita ng rate ng pagbabago ng function. Ang mathematical na paraan ng pagtukoy nito ay tila kumplikado para sa maraming mga mag-aaral, ngunit sa katotohanan ang lahat ay mas simple. Kailangan mo lang sundin ang karaniwang plano para sa paghahanap ng derivative ng anumang function. Inilalarawan namin sa ibaba kung paano mo mahahanap ang pinakamababang punto ng isang function nang hindi inilalapat ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan at nang hindi sinasaulo ang talahanayan ng mga derivatives. Sa kurikulum ng matematika ng paaralan, posibleng mahanap ang pinakamababang punto ng isang function sa dalawang paraan. Napag-usapan na natin ang unang paraan gamit ang isang graph, ngunit paano natin matutukoy ang numerical value ng derivative? Upang gawin ito, kakailanganin mong matutunan ang ilang mga formula na naglalarawan sa mga katangian ng derivative at tumulong na i-convert ang mga variable tulad ng "x" sa mga numero. Ang sumusunod na pamamaraan ay unibersal, kaya maaari itong ilapat sa halos lahat ng mga uri ng mga pag-andar (parehong geometric at logarithmic). Ang pinakapangunahing bahagi sa pag-aaral ng isang function at ang hinango nito ay ang kaalaman sa mga tuntunin ng pagkita ng kaibhan. Tanging sa kanilang tulong maaari mong baguhin ang masalimuot na mga expression at malalaking kumplikadong mga function. Kilalanin natin sila, marami sa kanila, ngunit lahat sila ay napaka-simple dahil sa mga likas na katangian ng parehong kapangyarihan at logarithmic function. Napag-usapan na natin kung paano maghanap ng mga minimum na puntos, ngunit mayroon ding konsepto ng maximum na mga puntos ng isang function. Kung ang minimum ay tumutukoy sa mga puntong iyon kung saan nagbabago ang function mula sa isang minus sign patungo sa isang plus, kung gayon ang pinakamataas na puntos ay ang mga punto sa x-axis kung saan ang derivative ng function ay nagbabago mula sa plus hanggang sa kabaligtaran - minus. Mahahanap mo ito gamit ang pamamaraang inilarawan sa itaas, ngunit dapat mong isaalang-alang na ipinapahiwatig nila ang mga lugar kung saan nagsisimulang bumaba ang function, iyon ay, ang derivative ay magiging mas mababa sa zero. Sa matematika, kaugalian na gawing pangkalahatan ang parehong mga konsepto, na pinapalitan ang mga ito ng pariralang "mga punto ng extrema." Kapag hiniling sa iyo ng isang gawain na tukuyin ang mga puntong ito, nangangahulugan ito na kailangan mong kalkulahin ang derivative ng isang ibinigay na function at hanapin ang minimum at maximum na mga puntos. Pinakamalaking halaga ng pag-andar Pinakamaliit na halaga ng function Tulad ng sinabi ng ninong: "Walang personal." Mga derivatives lang! Ang gawain sa istatistika 12 ay itinuturing na medyo mahirap, at lahat dahil hindi binasa ng mga lalaki ang artikulong ito (joke). Sa karamihan ng mga kaso, ang kawalang-ingat ay dapat sisihin. Ang 12 gawain ay may dalawang uri: Mga gawain sa Pinag-isang Estado ng Pagsusuri: Hanapin ang pinakamataas na punto ng function Hanapin ang pinakamababang punto ng function Mga gawain sa Pinag-isang Estado ng Pagsusuri: Hanapin ang pinakamalaking halaga ng function sa pagitan [−4; −1] Sagot: −6 Hanapin ang pinakamalaking halaga ng function sa segment Sagot: 11 Mga konklusyon: Teorama.
(isang kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum) Kung ang function na f(x) ay differentiable sa puntong x = x 1 at ang punto x 1 ay isang extremum point, kung gayon ang derivative ng function ay naglalaho sa puntong ito. Patunay.
Ipagpalagay natin na ang function na f(x) ay may maximum sa puntong x = x 1. Pagkatapos para sa sapat na maliit na positibong Dх>0 ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay totoo: A-priory: Yung. kung Dх®0, ngunit Dх<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, pagkatapos ay f¢(x 1) £ 0. At ito ay posible lamang kung sa Dх®0 f¢(x 1) = 0. Para sa kaso kung ang function na f(x) ay may pinakamababa sa punto x 2, ang theorem ay napatunayan sa katulad na paraan. Ang teorama ay napatunayan. Bunga.
Ang baligtad na pahayag ay hindi totoo. Kung ang derivative ng isang function sa isang tiyak na punto ay katumbas ng zero, hindi ito nangangahulugan na ang function ay may extremum sa puntong ito. Ang isang mahusay na halimbawa nito ay ang function na y = x 3, ang derivative kung saan sa puntong x = 0 ay katumbas ng zero, ngunit sa puntong ito ang function ay mayroon lamang inflection, at hindi isang maximum o minimum. Kahulugan. Mga kritikal na puntos ang mga function ay ang mga punto kung saan ang derivative ng function ay hindi umiiral o katumbas ng zero. Ang teorama na tinalakay sa itaas ay nagbibigay sa atin ng mga kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum, ngunit ito ay hindi sapat. Halimbawa: f(x) = ôxô Halimbawa: f(x) = Sa puntong x = 0 ang function ay may pinakamababa, ngunit sa puntong x = 0 ang function ay wala walang derivative. maximum, walang minimum, walang produksyon Sa pangkalahatan, ang function na f(x) ay maaaring may extremum sa mga punto kung saan ang derivative ay wala o katumbas ng zero. Teorama.
(Sapat na mga kondisyon para sa pagkakaroon ng extremum) Hayaang ang function na f(x) ay tuluy-tuloy sa pagitan (a, b), na naglalaman ng kritikal na punto x 1, at naiba sa lahat ng punto ng pagitan na ito (maliban, marahil, ang puntong x 1 mismo). Kung, kapag dumadaan sa puntong x 1 mula kaliwa pakanan, ang derivative ng function na f¢(x) ay nagbabago ng sign mula sa “+” patungong “-“, pagkatapos ay sa puntong x = x 1 ang function na f(x) ay mayroong isang maximum, at kung ang derivative ay nagbabago ng sign mula sa "- " hanggang sa "+" - kung gayon ang function ay may isang minimum. Patunay.
Hayaan Ayon sa teorama ni Lagrange: f(x) – f(x 1) = f¢(e)(x – x 1), kung saan ang x< e < x 1 . Pagkatapos: 1) Kung x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1). 2) Kung x > x 1, kung gayon e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1). Dahil ang mga sagot ay nagtutugma, maaari nating sabihin na f(x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума. Ang patunay ng theorem para sa pinakamababang punto ay magkatulad. Ang teorama ay napatunayan. Batay sa itaas, maaari kang bumuo ng isang pinag-isang pamamaraan para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment: 1) Hanapin ang mga kritikal na punto ng function. 2) Hanapin ang mga halaga ng function sa mga kritikal na punto. 3) Hanapin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment. 4) Piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit sa mga nakuhang halaga. Pag-aaral ng isang function para sa isang extremum na paggamit derivatives ng mas mataas na mga order. Hayaan sa puntong x = x 1 f¢(x 1) = 0 at f¢¢(x 1) ay umiiral at tuluy-tuloy sa ilang kapitbahayan ng punto x 1. Teorama.
Kung f¢(x 1) = 0, kung gayon ang function na f(x) sa puntong x = x 1 ay may maximum kung f¢¢(x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.
Patunay.
Hayaan ang f¢(x 1) = 0 at f¢¢(x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 . kasi f¢¢(x) = (f¢(x))¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) >0 sa x Para sa kaso ng isang minimum na function, ang theorem ay pinatunayan sa katulad na paraan. Kung f¢¢(x) = 0, kung gayon ang katangian ng kritikal na punto ay hindi alam. Ang karagdagang pananaliksik ay kinakailangan upang matukoy ito. Convexity at concavity ng isang curve. Mga inflection point. Kahulugan.
Ang kurba ay matambok pataas sa pagitan (a, b) kung ang lahat ng mga punto nito ay nasa ibaba ng alinman sa mga tangent nito sa pagitan na ito. Ang isang curve convex paitaas ay tinatawag matambok, at tinatawag ang isang kurba na nakaharap nang matambok pababa malukong. Ang figure ay nagpapakita ng isang paglalarawan ng kahulugan sa itaas. Teorama 1.
Kung sa lahat ng punto ng pagitan (a, b) ang pangalawang derivative ng function na f(x) ay negatibo, kung gayon ang curve y = f(x) ay matambok paitaas (convex). Patunay.
Hayaan ang x 0 О (a, b). Gumuhit tayo ng tangent sa curve sa puntong ito. Curve equation: y = f(x); Tangent equation: Dapat patunayan na . Sa pamamagitan ng theorem ni Lagrange para sa f(x) – f(x 0): , x 0< c < x. Ayon sa teorama ni Lagrange para sa Hayaan ang x > x 0 pagkatapos x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 >0 at c – x 0 > 0, at bilang karagdagan, ayon sa kundisyon Kaya naman, . Hayaan ang x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то Parehong napatunayan na kung f¢¢(x) > 0 sa pagitan (a, b), kung gayon ang kurba y=f(x) ay malukong sa pagitan (a, b). Ang teorama ay napatunayan. Kahulugan.
Tinatawag ang puntong naghihiwalay sa matambok na bahagi ng kurba mula sa malukong bahagi inflection point. Malinaw, sa inflection point ang padaplis na intersect sa curve. Teorama 2.
Hayaang tukuyin ang kurba ng equation na y = f(x). Kung ang pangalawang derivative f¢¢(a) = 0 o f¢¢(a) ay wala at kapag dumadaan sa puntong x = a f¢¢(x) ay nagbabago ng sign, ang punto ng curve na may abscissa x = a ay isang inflection point. Patunay.
1) Hayaan ang f¢¢(x)< 0 при х < a и f¢¢(x) >0 para sa x > a. Pagkatapos sa x< a кривая выпукла, а при x >a ang kurba ay malukong, i.e. punto x = a – inflection point. 2) Hayaang f¢¢(x) > 0 para sa x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x >b – matambok pataas. Kung gayon ang x = b ay ang inflection point. Ang teorama ay napatunayan. Asymptotes. Kapag nag-aaral ng mga pag-andar, kadalasang nangyayari na kapag ang x-coordinate ng isang punto sa isang kurba ay gumagalaw sa infinity, ang kurba ay lumalapit nang walang katiyakan sa isang tiyak na tuwid na linya. Kahulugan.
Ang tuwid na linya ay tinatawag asymptote curve kung ang distansya mula sa variable na punto ng curve hanggang sa tuwid na linyang ito ay nagiging zero habang ang punto ay gumagalaw sa infinity. Dapat tandaan na hindi lahat ng kurba ay may asymptote. Ang mga asymptotes ay maaaring tuwid o pahilig. Ang pag-aaral ng mga function para sa pagkakaroon ng mga asymptotes ay napakahalaga at nagbibigay-daan sa iyong mas tumpak na matukoy ang likas na katangian ng function at ang pag-uugali ng curve graph. Sa pangkalahatan, ang isang kurba, na walang katiyakang papalapit sa asymptote nito, ay maaaring magsalubong dito, at hindi sa isang punto, tulad ng ipinapakita sa graph ng function sa ibaba Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang mga pamamaraan para sa paghahanap ng mga asymptotes ng mga kurba. Mga patayong asymptotes. Mula sa kahulugan ng isang asymptote sumusunod na kung o o , kung gayon ang tuwid na linya x = a ay ang asymptote ng kurba y = f(x). Halimbawa, para sa isang function, ang linyang x = 5 ay isang patayong asymptote. Oblique asymptotes. Ipagpalagay na ang curve y = f(x) ay may slanted asymptote y = kx + b. Tukuyin natin ang punto ng intersection ng curve at ang patayo sa asymptote - M, P - ang punto ng intersection ng patayo na ito sa asymptote. Tukuyin natin ang anggulo sa pagitan ng asymptote at ng Ox axis bilang j. Ang perpendicular MQ sa Ox axis ay nag-intersect sa asymptote sa punto N. Pagkatapos MQ = y ay ang ordinate ng punto sa curve, NQ = ay ang ordinate ng point N sa asymptote. Ayon sa kondisyon: , ÐNMP = j, . Ang anggulo j ay pare-pareho at hindi katumbas ng 90 0, kung gayon Pagkatapos Kaya, ang tuwid na linya y = kx + b ay ang asymptote ng curve. Upang tumpak na matukoy ang linyang ito, kinakailangan upang makahanap ng isang paraan upang makalkula ang mga coefficient k at b. Sa resultang expression, kinuha namin ang x sa mga bracket: kasi x®¥, kung gayon Pagkatapos kasi Tandaan na ang mga pahalang na asymptote ay isang espesyal na kaso ng oblique asymptotes para sa k = 0. Halimbawa. 1) Vertical asymptotes: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, samakatuwid, ang x = 0 ay isang vertical asymptote. 2) Oblique asymptotes: Kaya, ang tuwid na linya y = x + 2 ay isang pahilig na asymptote. I-plot natin ang function: Halimbawa. Maghanap ng mga asymptotes at i-graph ang function. Ang mga linyang x = 3 at x = -3 ay mga patayong asymptotes ng curve. Hanapin natin ang oblique asymptotes: y = 0 – pahalang na asymptote. Halimbawa. Maghanap ng mga asymptotes at i-graph ang function Ang tuwid na linya x = -2 ay ang patayong asymptote ng kurba. Hanapin natin ang oblique asymptotes. Sa kabuuan, ang tuwid na linya y = x – 4 ay isang oblique asymptote. Scheme ng pag-aaral ng function Ang proseso ng pananaliksik sa pag-andar ay binubuo ng ilang mga yugto. Para sa pinaka kumpletong pag-unawa sa pag-uugali ng function at sa likas na katangian ng graph nito, kinakailangan upang mahanap: 1) Ang domain ng pagkakaroon ng function. Kasama sa konseptong ito ang parehong domain ng mga halaga at ang domain ng kahulugan ng isang function. 2) Mga breaking point. (Kung bakante). 3) Mga pagitan ng pagtaas at pagbaba. 4) Pinakamataas at pinakamababang puntos. 5) Ang maximum at minimum na halaga ng isang function sa domain ng kahulugan nito. 6) Mga lugar ng convexity at concavity. 7) Mga inflection point (kung mayroon man). 8) Asymptotes (kung mayroon man). 9) Pagbuo ng isang graph. Tingnan natin ang aplikasyon ng scheme na ito gamit ang isang halimbawa. Halimbawa. Galugarin ang function at buuin ang graph nito. Nahanap namin ang domain ng pagkakaroon ng function. Obvious naman yun domain ng kahulugan ang function ay ang lugar (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). Sa turn, malinaw na ang mga tuwid na linya x = 1, x = -1 ay vertical asymptotes baluktot. Saklaw ng mga halaga ng function na ito ay ang pagitan (-¥; ¥). Mga break point Ang mga function ay mga puntos x = 1, x = -1. Nahanap namin kritikal na puntos. Hanapin natin ang derivative ng function Mga kritikal na puntos: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1. Hanapin natin ang pangalawang derivative ng function Alamin natin ang convexity at concavity ng curve sa pagitan. -¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая - < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < 0, y¢¢ >0, malukong kurba 0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < , y¢¢ >0, malukong kurba < x < ¥, y¢¢ >0, malukong kurba Paghahanap ng mga puwang dumarami At bumababa mga function. Upang gawin ito, tinutukoy namin ang mga palatandaan ng derivative ng function sa mga agwat. -¥ < x < - , y¢ >0, tumataas ang function - < x < -1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает 0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < , y¢ < 0, функция убывает < x < ¥, y¢¢ >0, tumataas ang function Makikita na ang puntong x = - ay isang punto maximum, at ang point x = ay isang punto pinakamababa. Ang mga halaga ng function sa mga puntong ito ay katumbas ng -3/2 at 3/2, ayon sa pagkakabanggit. Tungkol sa patayo asymptotes nasabi na sa itaas. Ngayon hanapin natin oblique asymptotes. Sa kabuuan, ang equation ng oblique asymptote ay y = x. Buuin natin iskedyul Mga Tampok: Mga pag-andar ng ilang mga variable
Kapag isinasaalang-alang ang mga function ng ilang variable, lilimitahan natin ang ating sarili sa isang detalyadong paglalarawan ng mga function ng dalawang variable, dahil lahat ng resultang nakuha ay magiging wasto para sa mga function ng isang arbitrary na bilang ng mga variable. Kahulugan: Kung ang bawat pares ng magkaparehong independiyenteng mga numero (x, y) mula sa isang tiyak na hanay, ayon sa ilang panuntunan, ay nauugnay sa isa o higit pang mga halaga ng variable z, kung gayon ang variable na z ay tinatawag na function ng dalawang variable. Kahulugan:
Kung ang isang pares ng mga numero (x, y) ay tumutugma sa isang halagang z, kung gayon ang function ay tinatawag hindi malabo, at kung higit sa isa, kung gayon - polysemantic. Kahulugan: Domain ng kahulugan Ang function na z ay ang hanay ng mga pares (x, y) kung saan umiiral ang function na z. Kahulugan: Kapitbahayan ng isang punto Ang M 0 (x 0, y 0) ng radius r ay ang set ng lahat ng puntos (x, y) na nakakatugon sa kundisyon Kahulugan:
Ang numero A ay tinatawag limitasyon function na f(x, y) bilang ang puntong M(x, y) ay may gawi sa puntong M 0 (x 0, y 0), kung para sa bawat numero e > 0 mayroong numero r > 0 na para sa anumang punto M (x, y), kung saan totoo ang kundisyon totoo rin ang kondisyon Isulat: Kahulugan:
Hayaang ang puntong M 0 (x 0, y 0) ay kabilang sa domain ng kahulugan ng function na f(x, y). Pagkatapos ay tinawag ang function na z = f(x, y). tuloy-tuloy sa puntong M 0 (x 0, y 0), kung at ang puntong M(x, y) ay humahantong sa puntong M 0 (x 0, y 0) sa isang arbitraryong paraan. Kung sa anumang puntong kondisyon (1) ay hindi nasiyahan, ang puntong ito ay tinatawag break point mga function na f(x, y). Ito ay maaaring sa mga sumusunod na kaso: 1) Ang function na z = f(x, y) ay hindi tinukoy sa puntong M 0 (x 0, y 0). 2) Walang limitasyon. 3) Umiiral ang limitasyong ito, ngunit hindi ito katumbas ng f(x 0 , y 0). Ari-arian.
Kung ang function na f(x, y, …) ay tinukoy at tuloy-tuloy sa isang closed at bounded domain D, pagkatapos ay sa domain na ito ay may hindi bababa sa isang punto N(x 0 , y 0 , …), para sa natitirang mga punto ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …) pati na rin ang punto N 1 (x 01, y 01, ...), na para sa lahat ng iba pang mga punto ay totoo ang hindi pagkakapantay-pantay f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …) pagkatapos f(x 0 , y 0 , …) = M – pinakamataas na halaga function, at f(x 01 , y 01 , ...) = m – pinakamaliit na halaga function na f(x, y, …) sa domain D. Ang tuluy-tuloy na function sa isang closed at bounded na domain D ay umabot sa pinakamalaking value nito kahit isang beses at ang pinakamaliit na value nito nang isang beses. Ari-arian.
Kung ang function na f(x, y, …) ay tinukoy at tuloy-tuloy sa isang closed bounded domain D, at ang M at m ay, ayon sa pagkakabanggit, ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng function sa domain na ito, kung gayon para sa anumang punto m О may punto N 0 (x 0 , y 0 , …) na ang f(x 0 , y 0 , …) = m. Sa madaling salita, ang tuluy-tuloy na pag-andar ay tumatagal sa domain D ng lahat ng mga intermediate na halaga sa pagitan ng M at m. Ang isang kinahinatnan ng ari-arian na ito ay maaaring ang konklusyon na kung ang mga numero M at m ay may magkakaibang mga palatandaan, pagkatapos ay sa domain D ang function ay naglalaho ng hindi bababa sa isang beses. Ari-arian.
Function f(x, y, …), tuloy-tuloy sa isang closed bounded domain D, limitado sa rehiyong ito, kung mayroong isang bilang na K na para sa lahat ng mga punto sa rehiyon ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo Ari-arian.
Kung ang isang function na f(x, y, …) ay tinukoy at tuloy-tuloy sa isang closed bounded domain D, kung gayon ito pare-parehong tuloy-tuloy sa lugar na ito, i.e. para sa anumang positibong numero e mayroong numerong D > 0 na para sa alinmang dalawang puntos (x 1, y 1) at (x 2, y 2) ng rehiyon na matatagpuan sa layong mas mababa sa D, ang hindi pagkakapantay-pantay ay nananatili Ang mga katangian sa itaas ay katulad ng mga katangian ng mga pag-andar ng isang variable na tuluy-tuloy sa isang pagitan. Tingnan ang Properties ng mga function na tuloy-tuloy sa isang interval. Derivatives at differentials ng mga function ilang variable. Kahulugan.
Hayaang maibigay ang isang function na z = f(x, y) sa ilang domain. Kumuha tayo ng arbitrary point M(x, y) at itakda ang increment Dx sa variable na x. Kung gayon ang dami D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) ay tinatawag bahagyang pagtaas ng function sa x. Maaari mong isulat Tapos tinawag na partial derivative mga function z = f(x, y) sa x. pagtatalaga: Ang partial derivative ng isang function na may kinalaman sa y ay natutukoy nang katulad. Geometric na kahulugan ang partial derivative (sabihin natin) ay ang padaplis ng anggulo ng inclination ng tangent na iginuhit sa punto N 0 (x 0, y 0, z 0) sa seksyon ng surface sa pamamagitan ng plane y = y 0. Buong pagtaas at buong pagkakaiba.
padaplis na eroplano Hayaang ang N at N 0 ay mga punto ng ibabaw na ito. Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya NN 0. Ang eroplano na dumadaan sa puntong N 0 ay tinatawag padaplis na eroplano sa ibabaw kung ang anggulo sa pagitan ng secant NN 0 at ang eroplanong ito ay may posibilidad na zero, kapag ang distansya NN 0 ay may posibilidad na zero. Kahulugan. Normal sa ibabaw sa punto N 0 ay isang tuwid na linya na dumadaan sa punto N 0 patayo sa tangent plane sa ibabaw na ito. Sa anumang punto ang ibabaw ay may alinman lamang sa isang tangent na eroplano o wala ito sa lahat. Kung ang ibabaw ay ibinigay ng equation na z = f(x, y), kung saan ang f(x, y) ay isang function na naiba-iba sa puntong M 0 (x 0, y 0), ang tangent plane sa puntong N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) ay umiiral at may equation: Ang equation ng normal sa ibabaw sa puntong ito ay: Geometric na kahulugan ang kabuuang pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable na f(x, y) sa punto (x 0, y 0) ay ang pagtaas ng applicate (z coordinates) ng tangent plane patungo sa ibabaw kapag gumagalaw mula sa punto (x 0). , y 0) hanggang sa punto (x 0 + Dx, y 0 +Dу). Tulad ng nakikita mo, ang geometric na kahulugan ng kabuuang kaugalian ng isang function ng dalawang variable ay isang spatial na analogue ng geometric na kahulugan ng kaugalian ng isang function ng isang variable. Halimbawa. Hanapin ang mga equation ng tangent plane at normal sa ibabaw sa puntong M(1, 1, 1). Tangent plane equation: Normal na equation: Tinatayang mga kalkulasyon gamit ang kabuuang mga pagkakaiba.
Ang kabuuang pagkakaiba ng function na u ay katumbas ng: Ang eksaktong halaga ng expression na ito ay 1.049275225687319176. Mga partial derivatives ng mas matataas na order. Kung ang isang function na f(x, y) ay tinukoy sa ilang domain D, ang mga partial derivatives nito ay tutukuyin din sa parehong domain o bahagi nito. Tatawagin natin itong mga derivatives mga partial derivative sa unang order. Ang mga derivatives ng mga function na ito ay pangalawang order na bahagyang derivatives. Sa patuloy na pag-iiba ng mga resultang pagkakapantay-pantay, nakakakuha kami ng mga partial derivatives ng mas matataas na order. Isaalang-alang ang function na y = f(x), na isinasaalang-alang sa pagitan (a, b). Kung posibleng magpahiwatig ng b-kapitbahayan ng isang puntong x1 na kabilang sa pagitan (a, b) para sa lahat ng x (x1, b), ang hindi pagkakapantay-pantay na f(x1) > f(x) ay humahawak, pagkatapos ay y1 = f1(x1) ay tinatawag maximum ng function y = f(x) tingnan ang fig. Tinutukoy namin ang maximum ng function na y = f(x) ng max f(x). Kung posible na magpahiwatig ng isang b-kapitbahayan ng isang punto x2 na kabilang sa pagitan (a, b) na para sa lahat ng x ito ay kabilang sa O (x2, 6), ang x ay hindi katumbas ng x2, ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak f(x2)< f(x)
, pagkatapos ay ang y2= f(x2) ay tinatawag na minimum ng function na y-f(x) (tingnan ang figure). Para sa isang halimbawa ng paghahanap ng maximum, tingnan ang sumusunod na video Tinutukoy namin ang minimum ng function na y = f(x) ng min f(x). Sa ibang salita, maximum o minimum ng isang function y = f(x) tinawag ang halaga nito na mas malaki (mas mababa) kaysa sa lahat ng iba pang mga halaga na tinatanggap sa mga puntong sapat na malapit sa ibinigay na isa at naiiba mula dito. Tandaan 1. Pinakamataas na function, na tinukoy ng hindi pagkakapantay-pantay ay tinatawag na isang mahigpit na maximum; ang hindi mahigpit na maximum ay tinutukoy ng hindi pagkakapantay-pantay f(x1) > = f(x2) Tandaan 2. magkaroon ng isang lokal na karakter (ito ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng pag-andar sa isang sapat na maliit na kapitbahayan ng kaukulang punto); Ang indibidwal na minima ng isang function ay maaaring mas malaki kaysa sa maxima ng parehong function Ang maximum at minimum ng isang function ay tinatawag na extremum
. Ang Extrema sa ay matatagpuan upang bumuo ng mga graph ng mga function Latin extremum ay nangangahulugang "matinding"
ibig sabihin. Ang halaga ng argumentong x kung saan naabot ang extremum ay tinatawag na extremum point. Ang kinakailangang kondisyon para sa isang extremum ay ipinahayag ng sumusunod na teorama. Teorama. Sa extremum point ng differentiable function, ang derivative nito ay katumbas ng zero. Ang theorem ay may simpleng geometric na kahulugan: ang tangent sa graph ng differentiable function sa kaukulang punto ay parallel sa Ox axis
o tinatawag ang function antiderivative function. Ang antiderivative ng isang function ay tinutukoy hanggang sa isang pare-parehong halaga.
, narito ang isang arbitrary na pare-pareho.
.
, at ang function na ito ay tuloy-tuloy at ang pagkakapantay-pantay ay totoo 
.
saan .
. Kung aalalahanin natin ang kahulugan ng derivative ng isang function at pumunta sa limitasyon sa , makukuha natin . Iyon ay, ito ay isa sa mga antiderivatives ng function y = f(x) sa segment
. Kaya, ang hanay ng lahat ng antiderivatives F(x) maaaring isulat bilang 
, Saan SA– di-makatwirang pare-pareho.
, samakatuwid, . Gamitin natin ang resultang ito kapag nagkalkula F(b): , yan ay 
. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nagbibigay ng mapapatunayang formula ng Newton-Leibniz .
. Gamit ang notasyong ito, ang formula ng Newton-Leibniz ay kumukuha ng anyo 
.
. Kunin natin ang antiderivative para sa C=0: .
.Parihabang S.K. Tinukoy ang function sa parametrically Polyarnaya S.K.
Pagkalkula ng mga lugar ng mga figure ng eroplano
Kinakalkula ang haba ng arko ng isang kurba ng eroplano
Pagkalkula ng ibabaw na lugar ng rebolusyon
ay hindi isang differential equation.
ay maaaring ituring bilang isang approximation ng nonlinear mathematical pendulum equation 
para sa kaso ng maliliit na amplitude, kapag y≈ kasalanan y.
, Tungkulin: kahulugan
Derivative at ang papel nito
Paano makalkula ang derivative?
Mga pamamaraan para sa pag-aaral ng function
Mga tuntunin ng pagkita ng kaibhan
Extremum na puntos
Mga halaga ng function at maximum at minimum na puntos
Paano kumilos sa mga kasong ito? Hanapin ang maximum/minimum na punto
Tama, una ang pagtaas ng function, pagkatapos ay bumababa - ito ang pinakamataas na punto!
Sagot: −15 
Sagot: −2 Hanapin ang pinakamalaking/pinakamaliit na halaga ng isang function
y y
sa
. Ang pahilig na asymptote nito ay y = x.
.
, dahil b = const, pagkatapos 
.
, samakatuwid,
.
, Iyon 
, samakatuwid,
.
.
.
.
(1)
.
.
Minimum na function
Bilang resulta, ang maximum (minimum) ng function ay tinatawag lokal na maximum(lokal na minimum) sa kaibahan sa absolute maximum (minimum) - ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga sa domain ng kahulugan ng function.
