Tukuyin ang kani-kanilang mga anggulo. Nakahiga nang crosswise
Magugunita ang teorema sa pagkakapantay-pantay ng mga namamalaging anggulo
Kung ang dalawang magkatulad na linya ay intersected ng isang lihim, kung gayon ang mga anggulo na nakahiga sa kabuuan ay pantay.
Teorya:
Kung ang dalawang magkaparehong linya ay intersected ng isang lihim, kung gayon ang mga kaukulang mga anggulo ay pantay.
Katibayan:
Hayaan ang magkatulad na mga linya at at b tumawid ng secant c. Kinakailangan upang patunayan na ang katumbas na mga anggulo 1 at 2 ay pantay. Mula nang direkta at kahanay sa tuwid b, pagkatapos ay ang mga namamalaging anggulo 2 at 3 ay pantay. Ang ∠1 at ∠3 ay pantay na patayo. Sinusundan ito mula sa pagkakapantay-pantay ∠2 \u003d ∠3 at ∠1 \u003d следует3 na ∠1 \u003d ∠2. Ang teorem ay napatunayan.
Hayaan ang linya MN maging kahanay sa bisector AD ng tatsulok na ABC.
Pagkatapos ay ∠NMC \u003d ∠BAD. Sa katunayan, ang mga anggulo ng NMC at DAC ay pantay-pantay bilang mga kaukulang anggulo, at ang ∠DAC \u003d ∠BAD, dahil ang AD ay isang bisector.
Teorya:
Kung ang dalawang magkaparehong linya ay intersected ng isang secant, kung gayon ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay 180 degree.
Katibayan:
Hayaan ang magkatulad na mga linya at at b tumawid ng secant c. Patunayan ang ∠1 + ∠2 \u003d 180 degree. Mula nang direkta at kahanay sa tuwid b, pagkatapos ay ang katumbas na ∠1 at ∠3 ay pantay. ∠2 + ∠3 \u003d 180 degree, dahil ang mga anggulo 2 at 3 ay katabi. Pagkatapos, mula sa pagkakapantay-pantay, ang anggulo ∠1 \u003d ∠3 at ∠2 + ∠3 \u003d 180 degree, sinusundan nito na ∠1 + ∠2 \u003d 180 degree. Ang teorem ay napatunayan.
Halimbawa: hayaan ang linya DE maging kahanay sa gilid AB ng tatsulok na ABC. Pagkatapos ay ∠BAD + ∠ADE \u003d 180 degree.
Ang Ray BD ay ang bisector ng anggulo na ABC, ang tuwid na linya ng DE ay kahanay sa tuwid na linya ng AB, at ∠ ЕDB \u003d 32 degree. Ano ang katumbas ng ∠CED?
Ang mga anggulo ng BDE at ABD ay pantay-pantay tulad ng panloob na namamalagi na mga anggulo na may kahanay na tuwid na linya ng AB at DE at isang lihim na BD. Iyon ay, ∠ABD \u003d 32 degree. Pagkatapos ay ∠АВС \u003d 64 degree, dahil ang ВD ang bisector nito.
Ang mga anggulo ng ABC at CED ay ang kaukulang mga anggulo para sa magkatulad na mga linya ng AB at DE at ang lihim na eroplano, na nangangahulugang pantay-pantay sila. Samakatuwid, ang ∠CED \u003d 64 degrees.
Ang sukat ng degree ng isa sa mga panloob na isang anggulo ng panig na nabuo ng intersection ng dalawang magkaparehong tuwid na mga linya ng secant ay mas mababa sa sukat ng degree ng iba pang 26 degrees. Kalkulahin ang mga sukat ng degree ng mga anggulo na ito.
Hayaan at at b kahanay ng tuwid na linya c - Secant sa mga magkatulad na linya na ito, at ang ∠1 at ∠2 ay panloob na isang panig.
Hayaan ang ∠1 \u003d xpagkatapos ay ∠2 \u003d x-26. Dahil ang ∠1 at ∠2 ay panloob na isang panig na may mga kahanay na linya at at b at lihim kasama, kung gayon ang kanilang kabuuan ay 180 degree, iyon ay, ∠1 + ∠2 \u003d 180 degree.
Isang tanda ng pagkakatulad ng mga linya kasama ang pagkakapantay-pantay ng mga namamalaging sulok:
Kung sa intersection ng dalawang tuwid na linya na pinutol ang crosswise, ang mga kasinungalingan na anggulo ay pantay-pantay, kung magkatulad ang mga linya.
Teorya:
Kung sa intersection ng dalawang tuwid na mga linya ng magkapareho ang mga kaukulang anggulo, magkatulad ang mga tuwid na linya.
Katibayan:
Ipagpalagay na sa intersection ng mga linya at at b lihim c ang mga kaukulang anggulo 1 at 2 ay pantay.
Patunayan natin na ang linya at kahanay sa tuwid b. Tandaan na ang mga anggulo 2 at 3 ay pantay, dahil ang mga ito ay patayo.
Samakatuwid, ang ∠1 \u003d ∠2, at ∠2 \u003d ∠3, sinusunod nito na ∠1 \u003d ∠3. At dahil ang mga anggulo 1 at 3 ay mga crosswise na mga anggulo na nakahiga sa pamamagitan ng intersection ng mga tuwid na linya at at b lihim c, kung gayon, sa pamamagitan ng kabutihan ng pag-sign ng paralelismo ng mga tuwid na linya sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay ng mga cross anggulo na nakahiga, nakuha namin na ang tuwid na linya at kahanay sa tuwid b. Ang teorem ay napatunayan.
Diretso at kahanay sa tuwid b. Diretso c - lihim sa mga magkatulad na linya. Hanapin ang lahat ng mga anggulo na katumbas ng anggulo 1.
∠1 \u003d ∠5, dahil ang mga ito ay mga kaukulang mga anggulo na may mga kahanay na linya. Ang mga anggulo 1 at 1 ay pantay na patayo. ∠5 \u003d ∠7, dahil sila rin ay patayo. At, samakatuwid, ∠1 \u003d ∠7.
Diretso at intersect ang mga gilid ng AB at BC ng tatsulok na ABC, ayon sa pagkakabanggit, sa point M at N upang ang anggulo BMN ay katumbas ng anggulo ng BAC. Patunayan na ang mga linya ng MN at AC ay magkatulad.
Hayaan ang linya ng AM na maging lihim na may paggalang sa mga linya ng MN at AC. Pagkatapos ang mga anggulo ng BMN at BAC ay katumbas para sa tuwid na MN at AC at ligtas na AM. At dahil, ayon sa kondisyon ng problema, ang mga anggulo na ito ay pantay, kung gayon ang linya ng MN ay kahanay sa linya ng AC. Q.E.D.
Diretso at intersect ang mga gilid ng AB at BC ng tatsulok na ABC, ayon sa pagkakabanggit, sa mga punto D at E upang ang ∠BED ay katumbas ng anggulo na patayo para sa ∠BCA. Patunayan na ang mga linya ng DE at AC ay magkatulad.
Ang Vertical ∠CAA ay ∠MCN. Pareho silang pantay. Sa kondisyon ng problema, ofBED \u003d ∠MCN. At, samakatuwid, ang mga anggulo ng BED at ICA ay pantay. Bilang karagdagan, ang mga anggulo ng BED at ICA ay katumbas para sa direktang DE at AC at secant EU. At dahil ang mga anggulo ay pantay-pantay, magkakatulad ang mga tuwid na linya ng DE at AC. Q.E.D.
Alin ang kasinungalingan sa parehong eroplano at alinman sa nag-tutugma o hindi magkatulad. Sa ilang mga kahulugan ng paaralan, ang mga linya ng pagtutugma ay hindi itinuturing na kahanay; narito, hindi isinasaalang-alang ang naturang kahulugan.
Ari-arian
- Ang pagkakatulad ay isang kaugnayan sa pagkakapareho ng binary, samakatuwid, pinaghahati nito ang buong hanay ng mga linya sa mga klase ng mga linya na kahanay sa bawat isa.
- Sa pamamagitan ng anumang punto maaari kang gumuhit ng eksaktong isang tuwid na linya kahanay sa ito. Ito ay isang natatanging pag-aari ng Euclidean geometry, sa iba pang mga geometry ang numero 1 ay pinalitan ng iba (sa Lobachevsky geometry mayroong hindi bababa sa dalawang ganoong linya)
- 2 magkatulad na linya sa espasyo ay namamalagi sa parehong eroplano.
- Sa intersection ng 2 kahanay na linya ng pangatlo, tinawag lihim:
- Ang lihim ay kinakailangang intersect parehong linya.
- Sa intersection, 8 ang mga anggulo ay nabuo, ang ilang mga pares ng katangian na mayroong mga espesyal na pangalan at katangian:
- Nakahiga nang crosswise ang mga anggulo ay pantay.
- Kaugnay ang mga anggulo ay pantay.
- Nag-iisang panig mga anggulo ng kabuuang 180 °.
Sa geometry ng Lobachevsky
Sa Lobachevsky geometry sa eroplano sa pamamagitan ng punto C sa labas ng linya na ito AB pumasa sa isang walang hanggan bilang ng mga linya na hindi lumulukso AB . Alin ang kahanay sa AB dalawa lang ang tinawag. Diretso CE ay tinatawag na isang pantay na linya (kahanay) na linya AB sa direksyon mula sa A sa B , kung:
- puntos B at E magsinungaling sa isang gilid ng isang tuwid na linya AC ;
- diretso CE hindi tumawid sa linya AB ngunit bawat ray na dumadaan sa sulok ACE tumawid sa beam AB .
Katulad nito, isang tuwid na linya, equilateral AB sa direksyon mula sa B sa A .
Tinawag ang lahat ng iba pang mga linya na hindi bumalandra ang ibinigay ultra-kahanay o paglilihis.
Tingnan din
Wikimedia Foundation. 2010.
Tingnan kung ano ang "crosswise" sa iba pang mga diksyonaryo:
Ito ay isang kahanay na linya ng teorema. Para sa anggulo batay sa diameter, tingnan ang isa pang teorema. Ang teorem ni Thales ay isa sa mga teorema ng planimetry. Kung sa isa sa dalawang tuwid na linya inilatag namin ang maraming pantay na mga segment nang sunud-sunod at iguhit ang mga ito sa kanilang mga dulo ... ... Wikipedia
Ang Order ng Ruso ni St. Anne, ay itinatag ng soberanong Duke ng Schleswig ng Holstein, Karl Frederick noong 1736 bilang paggalang sa asawa ng kanyang tsesarevna na si Anna Petrovna (anak na babae ni Peter the Great) at naitala sa mga utos ng Russia ni Emperor Peter III. Order ng St. Anne ...
Para sa pagsubok sa mga riple ng pangangaso ng riple na itinatag sa lahat ng mga bansa sa Kanlurang Europa. Ang pinakatanyag sa kanila ay sa London, Birmingham, Luttych, Zul at Saint Etienne. Ayon sa mga bagong patakaran kamakailan ipinakilala sa England, ang bawat puno ng kahoy ... ... Diksiyonaryo ng Encyclopedic F.A. Brockhaus at I.A. Efron
Ito ang pangalan ng isa sa mga pamamaraan para sa pagsukat ng nilalaman ng mga sangkap sa mga solusyon; Ang mga pamamaraan ni K. ay naaangkop sa dami ng pagpapasiya ng lahat ng mga sangkap na nagbibigay ng mga kulay na solusyon, o maaaring, gamit ang anumang reaksyon, ... Diksiyonaryo ng Encyclopedic F.A. Brockhaus at I.A. Efron
Inirereklamo para sa mga espesyal na merito o pagkakaiba, isang tanda ng isang nakapirming form, isinusuot sa isang tape, chain o kung hindi man. Mayroong mga indikasyon na sa Silangang Roman Empire, mula sa panahon ng Constantine the Great, ang mga emperador ay nagtatag ng mga pakikipagsosyo sa kawal o ... Diksiyonaryo ng Encyclopedic F.A. Brockhaus at I.A. Efron
Inirereklamo para sa mga espesyal na merito o pagkakaiba, isang tanda ng isang nakapirming form, isinusuot sa isang tape, chain o kung hindi man. May mga indikasyon na sa silangan. ang Roman Empire mula pa noong panahon ni Constantine Vel., itinatag ng mga emperador ang mga pakikipagsosyo sa kawal o order, ... ... Diksiyonaryo ng Encyclopedic F.A. Brockhaus at I.A. Efron
Ang pangalawang pamilya ng pagkakasunud-sunod na ito ay binubuo ng isang genus at species ng walrus (Odobenus rosmarus) *, ang pinakamalaking sa lahat ng mga pinnipeds. * Ang mga Walrus sa anatomya ay may pagkakapareho sa mga may tainga na mga seal at nagmula din sa isang primitive bear-like ... ... Buhay ng hayop
- (ibang Greek: παραλληλόγραμμον mula sa παράλληλος na kahanay at linya ng γραμμή) ito ay apat na paraan ... Wikipedia
Ang mga interseksyon ng mga linya (animation) Axiom ng Euclidean paralelismo, o ang ikalimang postulate ay isa sa mga axioms na namamalagi ... Wikipedia
Ang mga interseksyon ng mga linya (animasyon) Axiom ng Euclidean parallelism, o ang ikalimang postulate ay isa sa mga axioms na pinagbabatayan ng klasikal na planimetry. Sa kauna-unahang pagkakataon na ibinigay sa "Simula" ng Euclid: At kung ang isang linya na bumabagsak sa dalawang linya ay bumubuo sa loob at ... Wikipedia
Sa pahayag ng anumang teorema, ang dalawang bahagi ay maaaring makilala: kondisyon at konklusyon. Kondisyon ng teorema - ito ang ibinibigay, at konklusyon- ito ang kailangang patunayan.
Halimbawa, isaalang-alang ang isa sa mga palatandaan ng mga magkakatulad na linya:
Kung sa intersection ng dalawang tuwid na linya na pinutol ang crosswise, ang mga kasinungalingan na anggulo ay pantay-pantay, kung magkatulad ang mga linya.
Narito ang kundisyon na iginawad: Kung, sa intersection ng dalawang tuwid na linya, ang mga anggulo na nakahiga sa crosswise ay pantay. At ang konklusyon: ang mga linya ay kahanay.
Teorya baligtarin ito, ay tinatawag na teorem kung saan ang kundisyon ay ang pagtatapos ng teorema na ito, at ang konklusyon ay ang kundisyon ng teorema na ito.
Teorya:
Kung ang dalawang magkatulad na linya ay intersected ng isang lihim, kung gayon ang mga anggulo na nakahiga sa kabuuan ay pantay.
Katibayan:
Hayaan ang mga linya at at b kahanay at tumawid sa pamamagitan ng isang secant CD. Patunayan na ang mga namamalaging anggulo 1 at 2 ay pantay.
Ipagpalagay na ang mga anggulo 1 at 2 ay hindi pantay. Pagkatapos ay inilalagay namin ang лучЕCD \u003d ∠2 mula sa ray CD upang ang ∠ЕCD at ∠2 ay mga anggulo na nakahiga sa crossers sa intersection ng mga linya CE at b pagputol ng CD.
Sa pamamagitan ng konstruksyon, ang mga nakahiga na anggulo ay pantay, at samakatuwid ang linya ng CD ay kahanay sa linya b. Namin nakuha na ang dalawang linya ay dumaan sa point C ( at at CE) kahanay sa linya b. At ito ay sumasalungat sa axiom ng mga kahanay na linya. Samakatuwid, ang palagay ay hindi totoo at ang anggulo ∠1 \u003d ∠2. Q.E.D.
Ang tuwid na linya ng AB ay kahanay sa tuwid na linya ng CD, AD ay ang bisector ng anggulo BAC, at ang ∠ADC \u003d 50 degree. Ano ang antas ng degree na ∠CAD na katumbas?
Dahil ang mga tuwid na linya na AB at CD ay magkatulad at ang AD ay ligtas para sa mga magkatulad na linya na ito, kung gayon ang mga anggulo ng ADC at BAD ay pantay-pantay sa isang krus. Kaya ∠BAD \u003d 50 degree.
Dahil ang AD ay isang bisector ng ∠BAC, ∠CAD \u003d ∠BAD. Samakatuwid, ang sukat ng degree ∠CAD \u003d 50 degree.
Ang direktang AB at CD ay magkatulad. Ang segment na AB \u003d CD. Patunayan na ang linya ng AC ay kahanay sa linya BD.
Isaalang-alang ang tatsulok na ABD at ang tatsulok na ACD.
AB \u003d CD sa pamamagitan ng kondisyon ng problema, AD - pangkalahatan. At ang mga anggulo ng BAD at ADC ay pantay-pantay bilang isang anggulo ng cross na may mga magkatulad na tuwid na linya ng AB at CD at secant AD. Samakatuwid, ang mga tatsulok na ABD at ACD ay pantay sa unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok. Nangangahulugan ito na mayroon silang pantay na panig at anggulo.
Iyon ay, ∠CAD \u003d ∠BDA. At ang mga anggulo na ito ay namamalagi nang crosswise sa diretso na AC at BD at ligtas na AD. Nangangahulugan ito na ang mga linya ng AC at BD ay magkatulad. Q.E.D.
Sa pigura, ∠CBD \u003d ∠ADB. Patunayan na ang ∠ВСС \u003d ∠CAD.
Ang mga anggulo ng CBD at ADB ay ang mga namamalaging anggulo para sa mga tuwid na linya AD at BC at secant BD. At dahil ang mga anggulo ay pantay-pantay, ang mga tuwid na linya AD at BC ay magkatulad.
Ang CABCA at ∠CAD ay namamalagi sa magkatabing linya na magkatulad na mga linya AD at BC at ang lihim na tagapagsalita, at samakatuwid ay pantay sila. Q.E.D.
Tandaan na kung ang anumang teorem ay napatunayan, hindi ito nangangahulugan na ang pagbalangkas nito ay totoo.
Halimbawa, kung ang mga anggulo ay patayo, kung gayon sila ay pantay. Ngunit kung ang mga anggulo ay pantay-pantay, kung gayon hindi ito nangangahulugan na sila ay patayo.
Mga palatandaan ng pagkakatulad ng dalawang linya
Teorya 1. Kung, sa interseksyon ng dalawang tuwid na mga lihim na linya:
ang mga nakahiga na sulok ay pantay, o
ang magkatulad na anggulo ay pantay, o
ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay 180 °, pagkatapos
magkakatulad ang mga linya (fig. 1).
Katibayan. Inihigpitan natin ang ating sarili sa patunay ng kaso 1.
Ipagpalagay na sa intersection ng mga linya a at b ng lihim na AB, ang mga namamalaging anggulo ay pantay. Halimbawa, ∠ 4 \u003d ∠ 6. Patunayan natin na ang isang || b.
Ipagpalagay na ang mga linya ng a at b ay hindi magkakatulad. Pagkatapos sila ay lumusot sa ilang mga punto M at, samakatuwid, ang isa sa mga anggulo 4 o 6 ay magiging panlabas na sulok ng tatsulok na ABM. Para sa pagpapakahulugan, hayaan ang ∠ 4 ay ang panlabas na sulok ng tatsulok na ABM, at ang 6 ay maging panloob na sulok. Sinusundan ito mula sa teorema sa panlabas na anggulo ng tatsulok na ang ∠ 4 ay mas malaki kaysa sa 6, at sumasalungat ito sa kondisyon, na nangangahulugang ang mga linya ng isang at 6 ay hindi maaaring magkatulad, samakatuwid sila ay kahanay.
Corollary 1. Ang dalawang magkakaibang mga linya sa eroplano, patayo sa parehong linya, ay magkatulad (fig. 2).
Komento. Ang paraan na napatunayan lamang natin ang kaso 1 ng Theorem 1 ay tinatawag na paraan ng pagpapatunay sa pamamagitan ng pagsasalungat o humahantong sa kabalintunaan. Ang pamamaraang ito ay nakakuha ng unang pangalan dahil sa simula ng argumento ang isang palagay ay ginawa na kabaligtaran (kabaligtaran) sa kung ano ang kailangang mapatunayan. Tinatawag itong pagbawas sa kamangmangan dahil sa katotohanan na, ang pangangatuwiran batay sa pag-aakalang ginawa, nakarating tayo sa isang kamangmangan na konklusyon (sa walang katotohanan). Ang pagkuha ng ganoong konklusyon ay nagpipilit sa atin na tanggihan ang pagpapalagay na ginawa sa una at tanggapin ang isa na kinakailangan upang patunayan.
Gawain 1 Bumuo ng isang linya na dumadaan sa isang naibigay na punto M at kahanay sa isang naibigay na linya ng hindi pagpasa sa isang puntong M.
Desisyon. Gumuhit ng linya M linya p patayo sa linya ng isang (Larawan 3).
Pagkatapos ay iguhit ang punto M linya b patayo sa linya p. Ang linya b ay kahanay sa linya ayon sa corollary ng Theorem 1.
Ang isang mahalagang konklusyon ay sumusunod mula sa itinuturing na problema:
sa pamamagitan ng isang punto na hindi namamalagi sa isang naibigay na linya, maaari mong palaging gumuhit ng isang linya na kahanay sa ito.
Ang pangunahing pag-aari ng mga kahanay na linya ay ang mga sumusunod.
Axiom ng mga kahanay na linya. Sa pamamagitan ng isang naibigay na punto na hindi namamalagi sa isang naibigay na linya, isang linya lamang ang tumatakbo sa isang ito.
Isinasaalang-alang namin ang ilang mga katangian ng mga kahanay na linya na sumusunod mula sa axiom na ito.
1) Kung ang isang linya ay lumilitaw sa isa sa dalawang magkaparehong mga linya, kung gayon ito ay intersect sa iba pang (Fig. 4).
2) Kung ang dalawang magkakaibang mga linya ay kahanay sa ikatlong linya, kung gayon sila ay magkatulad (Fig. 5).
Ang sumusunod na teorema ay may bisa din.
Teorya 2. Kung ang dalawang magkaparehong linya ay intersected ng isang secant, kung gayon:
ang mga nakahiga na anggulo ay pantay-pantay sa buong;
magkatulad ang mga anggulo;
ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay 180 °.
Corollary 2. Kung ang linya ay patayo sa isa sa dalawang magkatulad na linya, kung gayon ito ay patayo sa iba pa (tingnan ang igos 2).
Komento. Ang Theorem 2 ay tinatawag na kabaligtaran Theorem 1. Ang konklusyon ng Theorem 1 ay isang kondisyon ng Theorem 2. At ang kondisyon ng Theorem 1 ay ang pagtatapos ng Theorem 2. Hindi lahat ng teorem ay may isang pakikipag-usap, iyon ay, kung ang teorema na ito ay totoo, kung gayon ang magkatawang teorema ay maaaring hindi totoo.
Ipaliwanag natin ito gamit ang halimbawa ng teorem ng anggulo ng anggulo. Ang teorem na ito ay maaaring mabalangkas tulad ng sumusunod: kung ang dalawang anggulo ay patayo, kung gayon sila ay pantay. Ang kabaligtaran teorama ay ito: kung ang dalawang anggulo ay pantay, kung gayon sila ay patayo. At ito, syempre, hindi totoo. Dalawang pantay na anggulo ay hindi kailangang maging patayo.
Halimbawa 1 Dalawang linya ng kahanay ang na-cross sa ikatlo. Alam na ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang panloob na anggulo ng isang panig ay 30 °. Hanapin ang mga sulok na ito.
Desisyon. Hayaan ang kondisyon na matugunan ang figure 6.
