Paano malalaman ang parity ng isang function. Kahit at kakaibang mga pag-andar

Ang pagiging pantay at kakaiba ng isang function ay isa sa mga pangunahing katangian nito, at ang parity ay tumatagal ng isang kahanga-hangang bahagi ng kurso sa matematika ng paaralan. Ito ay higit na tinutukoy ang pag-uugali ng function at lubos na pinapadali ang pagbuo ng kaukulang graph.

Tukuyin natin ang parity ng function. Sa pangkalahatan, ang pag-andar sa ilalim ng pag-aaral ay isinasaalang-alang kahit na para sa magkasalungat na mga halaga ng independiyenteng variable (x) na matatagpuan sa domain ng kahulugan nito, ang kaukulang mga halaga ng y (function) ay naging pantay.

Bigyan natin ng mas mahigpit na kahulugan. Isaalang-alang ang ilang function na f (x), na tinukoy sa domain na D. Ito ay magiging kahit na para sa anumang puntong x na matatagpuan sa domain ng kahulugan:

• -x (kabaligtaran) ay nasa saklaw din na ito,

• f(-x) = f(x).

Mula sa kahulugan sa itaas ay sumusunod sa kondisyong kinakailangan para sa domain ng kahulugan ng naturang function, ibig sabihin, symmetry na may paggalang sa punto O, na kung saan ay ang pinagmulan ng mga coordinate, dahil kung ang ilang punto b ay nakapaloob sa domain ng kahulugan ng isang even function, kung gayon ang kaukulang punto b ay nasa domain na ito. Mula sa itaas, samakatuwid, ang konklusyon ay sumusunod: ang kahit na function ay may isang form na simetriko na may paggalang sa ordinate axis (Oy).

Paano matukoy ang parity ng isang function sa pagsasanay?

Hayaang tukuyin ito gamit ang formula h(x)=11^x+11^(-x). Kasunod ng algorithm na direktang sumusunod sa kahulugan, sinusuri muna namin ang domain ng kahulugan nito. Malinaw, ito ay tinukoy para sa lahat ng mga halaga ng argumento, iyon ay, ang unang kondisyon ay nasiyahan.

Ang susunod na hakbang ay upang palitan ang kabaligtaran na halaga (-x) para sa argumento (x).
Nakukuha namin:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Dahil ang karagdagan ay nakakatugon sa commutative (commutative) na batas, malinaw na ang h(-x) = h(x) at ang ibinigay na functional dependence ay pantay.

Suriin natin ang parity ng function na h(x)=11^x-11^(-x). Kasunod ng parehong algorithm, nakukuha natin na h(-x) = 11^(-x) -11^x. Ang pagkuha ng minus, sa dulo mayroon kami
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Samakatuwid, ang h(x) ay kakaiba.

Sa pamamagitan ng paraan, dapat itong alalahanin na may mga pag-andar na hindi maaaring maiuri ayon sa mga pamantayang ito; ang mga ito ay tinatawag na hindi kahit na o kakaiba.

Kahit na ang mga pag-andar ay may ilang mga kagiliw-giliw na katangian:

• bilang resulta ng pagdaragdag ng mga katulad na function, nakakakuha sila ng kahit isa;
• bilang isang resulta ng pagbabawas ng naturang mga function, ang isang kahit na isa ay nakuha;
• kahit, gayundin kahit;
• bilang isang resulta ng pagpaparami ng dalawang ganoong mga pag-andar, ang isang kahit isa ay nakuha;
• bilang isang resulta ng pagpaparami ng kakaiba at kahit na mga pag-andar, isang kakaiba ang nakuha;
• bilang isang resulta ng paghahati ng kakaiba at kahit na mga pag-andar, isang kakaiba ang nakuha;
• ang derivative ng naturang function ay kakaiba;
• Kung i-square mo ang isang kakaibang function, makakakuha ka ng even one.

Ang parity ng isang function ay maaaring gamitin upang malutas ang mga equation.

Upang malutas ang isang equation tulad ng g(x) = 0, kung saan ang kaliwang bahagi ng equation ay isang pantay na pag-andar, ito ay sapat na upang mahanap ang mga solusyon nito para sa mga hindi negatibong halaga ng variable. Ang mga resultang ugat ng equation ay dapat isama sa kabaligtaran na mga numero. Isa sa mga ito ay napapailalim sa pag-verify.

Matagumpay din itong ginagamit upang malutas ang mga hindi karaniwang problema sa isang parameter.

Halimbawa, mayroon bang anumang halaga ng parameter a kung saan ang equation na 2x^6-x^4-ax^2=1 ay magkakaroon ng tatlong ugat?

Kung isasaalang-alang natin na ang variable ay pumapasok sa equation sa kahit na kapangyarihan, kung gayon ito ay malinaw na ang pagpapalit ng x ng - x ay hindi magbabago sa ibinigay na equation. Ito ay sumusunod na kung ang isang tiyak na numero ay ang ugat nito, kung gayon ang kabaligtaran na numero ay ang ugat din. Ang konklusyon ay halata: ang mga ugat ng isang equation na naiiba sa zero ay kasama sa hanay ng mga solusyon nito sa "mga pares".

Malinaw na ang numero mismo ay hindi 0, iyon ay, ang bilang ng mga ugat ng naturang equation ay maaari lamang maging pantay at, natural, para sa anumang halaga ng parameter hindi ito maaaring magkaroon ng tatlong ugat.

Ngunit ang bilang ng mga ugat ng equation na 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 ay maaaring kakaiba, at para sa anumang halaga ng parameter. Sa katunayan, madaling suriin na ang hanay ng mga ugat ng equation na ito ay naglalaman ng mga solusyon "sa pares". Suriin natin kung ang 0 ay isang ugat. Kapag pinalitan natin ito sa equation, makakakuha tayo ng 2=2. Kaya, bilang karagdagan sa mga "ipinares", ang 0 ay isang ugat din, na nagpapatunay ng kanilang kakaibang numero.

Ang isang function ay tinatawag na even (odd) kung para sa alinman at ang pagkakapantay-pantay

.

Ang graph ng pantay na function ay simetriko tungkol sa axis
.

Ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan.

Halimbawa 6.2. Suriin kung ang isang function ay even o odd

1)
; 2)
; 3)
.

Solusyon.

1) Tinutukoy ang function kung kailan
. Hahanapin natin
.

Yung.
. Nangangahulugan ito na ang function na ito ay pantay.

2) Tinutukoy ang function kung kailan

Yung.
. Kaya, ang function na ito ay kakaiba.

3) ang function ay tinukoy para sa , ibig sabihin. Para sa

,
. Samakatuwid ang function ay hindi kahit na o kakaiba. Tawagin natin itong isang function ng pangkalahatang anyo.

Function
ay tinatawag na pagtaas (pagbaba) sa isang tiyak na agwat kung sa pagitan na ito ang bawat mas malaking halaga ng argumento ay tumutugma sa isang mas malaki (mas maliit) na halaga ng function.

Ang mga function na tumataas (bumababa) sa isang tiyak na pagitan ay tinatawag na monotonic.

Kung ang function
naiba sa pagitan
at may positive (negative) derivative
, pagkatapos ay ang function
tumataas (bumababa) sa pagitan na ito.

Halimbawa 6.3. Maghanap ng mga pagitan ng monotonicity ng mga function

1)
; 3)
.

Solusyon.

1) Ang function na ito ay tinukoy sa buong linya ng numero. Hanapin natin ang derivative.

Ang derivative ay katumbas ng zero kung
At
. Ang domain ng kahulugan ay ang number axis, na hinati ng mga tuldok
,
sa mga pagitan. Alamin natin ang tanda ng derivative sa bawat pagitan.

Sa pagitan
ang derivative ay negatibo, ang function ay bumababa sa pagitan na ito.

Sa pagitan
ang derivative ay positibo, samakatuwid, ang function ay tumataas sa pagitan na ito.

2) Ang function na ito ay tinukoy kung
o

.

Tinutukoy namin ang tanda ng quadratic trinomial sa bawat pagitan.

Kaya, ang domain ng kahulugan ng function

Hanapin natin ang derivative
,
, Kung
, ibig sabihin.
, Ngunit
. Tukuyin natin ang tanda ng derivative sa mga pagitan
.

Sa pagitan
ang derivative ay negatibo, samakatuwid, ang function ay bumababa sa pagitan
. Sa pagitan
ang derivative ay positibo, ang function ay tumataas sa pagitan
.

Dot
tinatawag na maximum (minimum) point ng function
, kung mayroong ganoong kapitbahayan ng punto para yan sa lahat
mula sa kapitbahayang ito ang hindi pagkakapantay-pantay

.

Ang pinakamataas at pinakamababang punto ng isang function ay tinatawag na extremum point.

Kung ang function
sa punto ay may extremum, kung gayon ang derivative ng function sa puntong ito ay katumbas ng zero o wala (isang kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng extremum).

Ang mga punto kung saan ang derivative ay zero o hindi umiiral ay tinatawag na kritikal.

Panuntunan 1. Kung sa panahon ng paglipat (mula kaliwa hanggang kanan) sa pamamagitan ng kritikal na punto derivative
binabago ang sign mula “+” hanggang “–”, pagkatapos ay sa punto function
may maximum; kung mula sa "–" hanggang sa "+", kung gayon ang pinakamababa; Kung
ay hindi nagbabago ng tanda, pagkatapos ay walang extremum.

Panuntunan 2. Hayaan sa punto
unang derivative ng isang function
katumbas ng zero
, at ang pangalawang derivative ay umiiral at iba sa zero. Kung
, Iyon – pinakamataas na punto, kung
, Iyon – pinakamababang punto ng function.

Halimbawa 6.4. Galugarin ang maximum at minimum na mga function:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Solusyon.

1) Ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa pagitan
.

Hanapin natin ang derivative
at lutasin ang equation
, ibig sabihin.
.Mula rito
- mga kritikal na puntos.

Alamin natin ang tanda ng derivative sa mga pagitan,
.

Kapag dumadaan sa mga puntos
At
ang derivative ay nagbabago ng sign mula “–” hanggang “+”, samakatuwid, ayon sa panuntunan 1
- pinakamababang puntos.

Kapag dumaan sa isang punto
ang derivative ay nagbabago ng sign mula “+” hanggang “–”, kaya
- pinakamataas na punto.

,
.

2) Ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa pagitan
. Hanapin natin ang derivative
.

Ang pagkakaroon ng malutas ang equation
, hahanapin natin
At
- mga kritikal na puntos. Kung ang denominator
, ibig sabihin.
, kung gayon ang derivative ay hindi umiiral. Kaya,
- ikatlong kritikal na punto. Alamin natin ang tanda ng derivative sa mga pagitan.

Samakatuwid, ang function ay may pinakamababa sa punto
, maximum sa mga puntos
At
.

3) Ang isang function ay tinukoy at tuloy-tuloy kung
, ibig sabihin. sa
.

Hanapin natin ang derivative

.

Maghanap tayo ng mga kritikal na punto:

Mga kapitbahayan ng mga puntos
hindi kabilang sa domain ng kahulugan, samakatuwid hindi sila extrema. Kaya, suriin natin ang mga kritikal na punto
At
.

4) Ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa pagitan
. Gamitin natin ang panuntunan 2. Hanapin ang derivative
.

Maghanap tayo ng mga kritikal na punto:

Hanapin natin ang pangalawang derivative
at tukuyin ang tanda nito sa mga punto

Sa mga punto
may minimum ang function.

Sa mga punto
may maximum ang function.

Paano magpasok ng mga mathematical formula sa isang website?

Kung sakaling kailanganin mong magdagdag ng isa o dalawang mathematical formula sa isang web page, kung gayon ang pinakamadaling paraan upang gawin ito ay tulad ng inilarawan sa artikulo: ang mga mathematical formula ay madaling naipasok sa site sa anyo ng mga larawan na awtomatikong binuo ng Wolfram Alpha . Bilang karagdagan sa pagiging simple, ang unibersal na paraan na ito ay makakatulong na mapabuti ang visibility ng site sa mga search engine. Ito ay gumagana nang mahabang panahon (at, sa palagay ko, gagana magpakailanman), ngunit luma na sa moral.

Kung regular kang gumagamit ng mga mathematical formula sa iyong site, inirerekumenda kong gumamit ka ng MathJax - isang espesyal na library ng JavaScript na nagpapakita ng mathematical notation sa mga web browser gamit ang MathML, LaTeX o ASCIIMathML markup.

Mayroong dalawang paraan upang simulan ang paggamit ng MathJax: (1) gamit ang isang simpleng code, maaari mong mabilis na ikonekta ang isang MathJax script sa iyong website, na awtomatikong mai-load mula sa isang malayong server sa tamang oras (listahan ng mga server); (2) i-download ang MathJax script mula sa isang malayuang server patungo sa iyong server at ikonekta ito sa lahat ng pahina ng iyong site. Ang pangalawang paraan - mas kumplikado at matagal - ay magpapabilis sa paglo-load ng mga pahina ng iyong site, at kung ang parent na MathJax server ay pansamantalang hindi magagamit sa ilang kadahilanan, hindi ito makakaapekto sa iyong sariling site sa anumang paraan. Sa kabila ng mga pakinabang na ito, pinili ko ang unang paraan dahil ito ay mas simple, mas mabilis at hindi nangangailangan ng mga teknikal na kasanayan. Sundin ang aking halimbawa, at sa loob lamang ng 5 minuto ay magagamit mo na ang lahat ng feature ng MathJax sa iyong site.

Maaari mong ikonekta ang script ng library ng MathJax mula sa isang malayong server gamit ang dalawang opsyon sa code na kinuha mula sa pangunahing website ng MathJax o sa pahina ng dokumentasyon:

Kailangang kopyahin at i-paste ang isa sa mga opsyon ng code na ito sa code ng iyong web page, mas mabuti sa pagitan ng mga tag at o kaagad pagkatapos ng tag. Ayon sa unang opsyon, ang MathJax ay naglo-load nang mas mabilis at nagpapabagal sa pahina nang mas kaunti. Ngunit ang pangalawang opsyon ay awtomatikong sinusubaybayan at nilo-load ang pinakabagong mga bersyon ng MathJax. Kung ilalagay mo ang unang code, kakailanganin itong i-update sa pana-panahon. Kung ilalagay mo ang pangalawang code, mas mabagal ang paglo-load ng mga page, ngunit hindi mo kailangang patuloy na subaybayan ang mga update sa MathJax.

Ang pinakamadaling paraan upang ikonekta ang MathJax ay nasa Blogger o WordPress: sa control panel ng site, magdagdag ng widget na idinisenyo upang magpasok ng third-party na JavaScript code, kopyahin ang una o pangalawang bersyon ng download code na ipinakita sa itaas dito, at ilagay ang widget nang mas malapit. sa simula ng template (sa pamamagitan ng paraan, ito ay hindi sa lahat ng kailangan , dahil ang MathJax script ay load asynchronously). Iyon lang. Ngayon alamin ang markup syntax ng MathML, LaTeX, at ASCIIMathML, at handa ka nang magpasok ng mga mathematical formula sa mga web page ng iyong site.

Ang anumang fractal ay itinayo ayon sa isang tiyak na panuntunan, na patuloy na inilalapat ng walang limitasyong bilang ng beses. Ang bawat ganoong oras ay tinatawag na isang pag-ulit.

Ang umuulit na algorithm para sa pagbuo ng isang Menger sponge ay medyo simple: ang orihinal na cube na may side 1 ay hinahati ng mga eroplanong parallel sa mga mukha nito sa 27 pantay na cube. Ang isang gitnang kubo at 6 na kubo na katabi nito kasama ang mga mukha ay tinanggal mula dito. Ang resulta ay isang set na binubuo ng natitirang 20 mas maliit na cubes. Ang paggawa ng pareho sa bawat isa sa mga cube na ito, nakakakuha kami ng isang set na binubuo ng 400 mas maliliit na cube. Sa pagpapatuloy ng prosesong ito nang walang hanggan, nakakakuha kami ng Menger sponge.

Ang function ay isa sa pinakamahalagang konsepto ng matematika. Ang function ay ang dependence ng variable y sa variable x, kung ang bawat value ng x ay tumutugma sa isang value ng y. Ang variable na x ay tinatawag na independent variable o argument. Ang variable na y ay tinatawag na dependent variable. Ang lahat ng mga halaga ng independiyenteng variable (variable x) ay bumubuo sa domain ng kahulugan ng function. Ang lahat ng mga halaga na kinukuha ng dependent variable (variable y) ay bumubuo sa hanay ng function.

Ang graph ng isang function ay ang hanay ng lahat ng mga punto ng coordinate plane, ang abscissas kung saan ay katumbas ng mga halaga ng argumento, at ang mga ordinates ay katumbas ng kaukulang mga halaga ng function, iyon ay, ang Ang mga halaga ng variable na x ay naka-plot kasama ang abscissa axis, at ang mga halaga ng variable y ay naka-plot kasama ang ordinate axis. Upang i-graph ang isang function, kailangan mong malaman ang mga katangian ng function. Ang mga pangunahing katangian ng function ay tatalakayin sa ibaba!

Upang bumuo ng isang graph ng isang function, inirerekumenda namin ang paggamit ng aming program - Graphing function online. Kung mayroon kang anumang mga katanungan habang pinag-aaralan ang materyal sa pahinang ito, maaari mong palaging tanungin ang mga ito sa aming forum. Gayundin sa forum ay tutulungan ka nilang malutas ang mga problema sa matematika, kimika, geometry, teorya ng posibilidad at marami pang ibang mga paksa!

Mga pangunahing katangian ng mga pag-andar.

1) Ang domain ng kahulugan ng function at ang hanay ng mga halaga ng function.

Ang domain ng isang function ay ang hanay ng lahat ng wastong tunay na halaga ng argumentong x (variable x) kung saan tinukoy ang function na y = f(x).
Ang hanay ng isang function ay ang set ng lahat ng tunay na y value na tinatanggap ng function.

Sa elementarya na matematika, ang mga function ay pinag-aaralan lamang sa hanay ng mga tunay na numero.

2) Mga zero ng function.

Mga halaga ng x kung saan ang y=0 ay tinatawag function na mga zero. Ito ang mga abscissas ng mga punto ng intersection ng function graph na may Ox axis.

3) Mga agwat ng patuloy na pag-sign ng isang function.

Mga agwat ng patuloy na pag-sign ng isang function - tulad ng mga pagitan ng mga halaga x kung saan ang mga halaga ng function na y ay alinman sa positibo o negatibo lamang ay tinatawag mga pagitan ng pare-parehong pag-sign ng function.

4) Monotonicity ng function.

Ang pagtaas ng function (sa isang tiyak na agwat) ay isang function kung saan ang isang mas malaking halaga ng argument mula sa agwat na ito ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function.

Ang pagpapababa ng function (sa isang tiyak na agwat) ay isang function kung saan ang isang mas malaking halaga ng argument mula sa agwat na ito ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function.

5) Evenness (oddness) ng function.

Ang even function ay isang function na ang domain ng kahulugan ay simetriko na may kinalaman sa pinagmulan at para sa alinmang x f(-x) = f(x). Ang graph ng kahit na function ay simetriko tungkol sa ordinate.

Ang kakaibang function ay isang function na ang domain ng kahulugan ay simetriko na may kinalaman sa pinagmulan at para sa anumang x mula sa domain ng kahulugan ang pagkakapantay-pantay f(-x) = - f(x) ay totoo. Ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan.

Pati function
1) Ang domain ng kahulugan ay simetriko na may paggalang sa punto (0; 0), iyon ay, kung ang punto a ay kabilang sa domain ng kahulugan, kung gayon ang point -a ay kabilang din sa domain ng kahulugan.
2) Para sa anumang halaga x f(-x)=f(x)
3) Ang graph ng pantay na function ay simetriko tungkol sa Oy axis.

Ang isang kakaibang function ay may mga sumusunod na katangian:
1) Ang domain ng kahulugan ay simetriko tungkol sa punto (0; 0).
2) para sa anumang halaga x na kabilang sa domain ng kahulugan, ang pagkakapantay-pantay f(-x)=-f(x) ay nasiyahan
3) Ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko na may kinalaman sa pinagmulan (0; 0).

Hindi lahat ng function ay pantay o kakaiba. Mga pag-andar pangkalahatang pananaw ay hindi pantay o kakaiba.

6) Limitado at walang limitasyong mga pag-andar.

Ang isang function ay tinatawag na bounded kung mayroong isang positibong numero M tulad na |f(x)| ≤ M para sa lahat ng halaga ng x. Kung walang ganoong numero, walang limitasyon ang function.

7) Periodicity ng function.

Ang isang function na f(x) ay panaka-nakang kung mayroong isang hindi-zero na numerong T na para sa alinmang x mula sa domain ng kahulugan ng function ay ang mga sumusunod: f(x+T) = f(x). Ang pinakamaliit na bilang na ito ay tinatawag na panahon ng pagpapaandar. Ang lahat ng trigonometriko function ay panaka-nakang. (Mga formula ng trigonometriko).

Ang isang function na f ay tinatawag na periodic kung mayroong isang numero na para sa alinmang x mula sa domain ng kahulugan ang pagkakapantay-pantay na f(x)=f(x-T)=f(x+T) ay hawak. Ang T ay ang panahon ng pag-andar.

Ang bawat periodic function ay may walang katapusang bilang ng mga period. Sa pagsasagawa, ang pinakamaliit na positibong panahon ay karaniwang isinasaalang-alang.

Ang mga halaga ng isang periodic function ay paulit-ulit pagkatapos ng isang agwat na katumbas ng panahon. Ito ay ginagamit kapag gumagawa ng mga graph.

Function study.

1) D(y) – Definition domain: ang hanay ng lahat ng mga value na iyon ng variable x. kung saan ang mga algebraic na expression na f(x) at g(x) ay may katuturan.

Kung ang isang function ay ibinigay ng isang formula, kung gayon ang domain ng kahulugan ay binubuo ng lahat ng mga halaga ng independiyenteng variable kung saan ang formula ay may katuturan.

2) Mga katangian ng function: even/odd, periodicity:

Ang mga function na ang mga graph ay simetriko na may kinalaman sa mga pagbabago sa tanda ng argumento ay tinatawag na kakaiba at kahit.

Ang isang kakaibang function ay isang function na nagbabago ng halaga nito sa kabaligtaran kapag ang tanda ng independiyenteng variable ay nagbabago (symmetrical na nauugnay sa gitna ng mga coordinate).

Ang even function ay isang function na hindi nagbabago ng value nito kapag nagbabago ang sign ng independent variable (symmetrical tungkol sa ordinate).

Ang alinman sa kahit o isang kakaibang function (isang function ng pangkalahatang anyo) ay isang function na walang simetrya. Kasama sa kategoryang ito ang mga function na hindi nasa ilalim ng nakaraang 2 kategorya.

Tinatawag ang mga function na hindi kabilang sa alinman sa mga kategorya sa itaas hindi kahit na o kakaiba(o pangkalahatang pag-andar).

Mga kakaibang function

Kakaibang kapangyarihan kung saan ay isang arbitrary integer.

Kahit na mga function

Kahit na kapangyarihan kung saan ay isang arbitrary integer.

Ang periodic function ay isang function na inuulit ang mga value nito pagkatapos ng isang regular na pagitan ng argument, iyon ay, hindi nito binabago ang value nito kapag nagdaragdag sa argument ng ilang fixed non-zero na numero (panahon ng function) sa buong domain ng kahulugan.

3) Ang mga zero (roots) ng isang function ay ang mga punto kung saan ito ay nagiging zero.

Paghahanap ng intersection point ng graph na may axis Oy. Upang gawin ito kailangan mong kalkulahin ang halaga f(0). Hanapin din ang mga punto ng intersection ng graph sa axis baka, bakit hanapin ang mga ugat ng equation f(x) = 0 (o siguraduhing walang mga ugat).

Ang mga punto kung saan ang graph ay nag-intersect sa axis ay tinatawag na mga zero ng function. Upang mahanap ang mga zero ng isang function, kailangan mong lutasin ang equation, iyon ay, hanapin ang mga halaga ng "x" kung saan ang function ay nagiging zero.

4) Mga agwat ng patuloy na mga palatandaan, mga palatandaan sa kanila.

Mga agwat kung saan ang function na f(x) ay nagpapanatili ng sign.

Ang pagitan ng pare-parehong pag-sign ay isang agwat sa bawat punto kung saan ang function ay positibo o negatibo.

SA ITAAS ng x-axis.

IBABA ng axle.

5) Continuity (mga punto ng discontinuity, likas na katangian ng discontinuity, asymptotes).

Ang tuluy-tuloy na function ay isang function na walang "jumps", iyon ay, isa kung saan ang maliliit na pagbabago sa argument ay humahantong sa maliliit na pagbabago sa halaga ng function.

Kung ang limitasyon ng function umiiral, ngunit ang function ay hindi tinukoy sa puntong ito, o ang limitasyon ay hindi tumutugma sa halaga ng function sa puntong ito:

,

pagkatapos ay tinatawag ang punto naaalis na break point function (sa kumplikadong pagsusuri, isang naaalis na singular na punto).

Kung "itama" namin ang pag-andar sa punto ng naaalis na discontinuity at ilagay , pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang function na tuluy-tuloy sa isang naibigay na punto. Ang operasyong ito sa isang function ay tinatawag pagpapalawak ng function sa tuloy-tuloy o redefinition ng function sa pamamagitan ng continuity, na nagbibigay-katwiran sa pangalan ng punto bilang isang punto matatanggal pumutok.

Mga discontinuity point ng una at pangalawang uri

Kung ang isang function ay may discontinuity sa isang naibigay na punto (iyon ay, ang limitasyon ng function sa isang naibigay na punto ay wala o hindi nag-tutugma sa halaga ng function sa isang naibigay na punto), kung gayon para sa mga numerical function ay mayroong dalawang posibleng pagpipilian nauugnay sa pagkakaroon ng mga numerical function unilateral na mga limitasyon:

kung ang parehong isang panig na mga limitasyon ay umiiral at may hangganan, ang gayong punto ay tinatawag na isang discontinuity point ng unang uri. Ang mga matatanggal na discontinuity point ay ang mga discontinuity point ng unang uri;

kung hindi bababa sa isa sa mga one-sided na limitasyon ay wala o hindi isang may hangganang halaga, kung gayon ang naturang punto ay tinatawag na isang discontinuity point ng pangalawang uri.

Asymptote - tuwid, na may katangian na ang distansya mula sa isang punto sa curve hanggang dito tuwid may posibilidad na maging zero habang ang punto ay lumalayo sa kahabaan ng sangay hanggang sa infinity.

Patayo

Vertical asymptote - linya ng limitasyon .

Bilang isang patakaran, kapag tinutukoy ang vertical asymptote, naghahanap sila ng hindi isang limitasyon, ngunit dalawang isang panig (kaliwa at kanan). Ginagawa ito upang matukoy kung paano kumikilos ang function habang papalapit ito sa patayong asymptote mula sa iba't ibang direksyon. Halimbawa:

Pahalang na asymptote - tuwid species, napapailalim sa pagkakaroon limitasyon

.

Oblique asymptote - tuwid species, napapailalim sa pagkakaroon mga limitasyon

Tandaan: ang isang function ay maaaring magkaroon ng hindi hihigit sa dalawang oblique (horizontal) asymptotes.

Tandaan: kung ang hindi bababa sa isa sa dalawang limitasyon na binanggit sa itaas ay hindi umiiral (o katumbas ng ), kung gayon ang pahilig na asymptote sa (o ) ay wala.

kung sa aytem 2.), pagkatapos , at ang limitasyon ay makikita gamit ang horizontal asymptote formula, .

6) Paghahanap ng mga pagitan ng monotonicity. Maghanap ng mga pagitan ng monotonicity ng isang function f(x)(iyon ay, mga pagitan ng pagtaas at pagbaba). Ginagawa ito sa pamamagitan ng pagsusuri sa tanda ng derivative f(x). Upang gawin ito, hanapin ang derivative f(x) at lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay f(x)0. Sa mga pagitan kung saan nananatili ang hindi pagkakapantay-pantay na ito, ang function f(x)nadadagdagan. Kung saan ang reverse inequality hold f(x)0, function f(x) ay bumababa.

Paghahanap ng lokal na extremum. Ang pagkakaroon ng natagpuan ang mga agwat ng monotonicity, maaari naming agad na matukoy ang mga lokal na extremum point kung saan ang isang pagtaas ay pinalitan ng isang pagbaba, ang lokal na maxima ay matatagpuan, at kung saan ang isang pagbaba ay pinalitan ng isang pagtaas, ang isang lokal na minima ay matatagpuan. Kalkulahin ang halaga ng function sa mga puntong ito. Kung ang isang function ay may mga kritikal na punto na hindi lokal na extremum point, kung gayon ito ay kapaki-pakinabang upang kalkulahin ang halaga ng function sa mga puntong ito rin.

Paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function na y = f(x) sa isang segment (ipinagpatuloy)