Ang kahulugan ng tangent ng isang anggulo. Sine, cosine, tangent: ano ito? Paano makahanap ng sine, cosine at tangent? Sine sa trigonometrya

Mga halimbawa:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0.416…\)

Argumento at halaga

Cosine ng isang matinding anggulo

Cosine ng isang matinding anggulo maaaring matukoy gamit ang isang tamang tatsulok - ito ay katumbas ng ratio ng katabing binti sa hypotenuse.

Halimbawa :

1) Hayaang magbigay ng isang anggulo at kailangan mong matukoy ang cosine ng anggulong ito.

2) Kumpletuhin natin ang anumang right-angled triangle sa sulok na ito.

3) Sa pagsukat ng mga kinakailangang panig, maaari nating kalkulahin ang cosine.

Ang cosine ng isang acute angle ay mas malaki sa \(0\) at mas mababa sa \(1\)

Kung, kapag nilutas ang problema, ang cosine ng isang matinding anggulo ay naging mas malaki kaysa sa 1 o negatibo, kung gayon sa isang lugar sa solusyon ay mayroong isang error.

Cosine ng isang numero

Binibigyang-daan ka ng bilog ng numero na matukoy ang cosine ng anumang numero, ngunit kadalasan ay nahahanap ang cosine ng mga numero kahit papaano nauugnay sa : \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Halimbawa, para sa numerong \(\frac(π)(6)\) - ang cosine ay magiging katumbas ng \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . At para sa numerong \(-\)\(\frac(3π)(4)\) ito ay magiging katumbas ng \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (humigit-kumulang \ (-0 ,71\)).

Cosine para sa iba pang mga numero na madalas na nakatagpo sa pagsasanay, tingnan.

Ang halaga ng cosine ay palaging nasa pagitan ng \(-1\) at \(1\). Sa kasong ito, ang cosine ay maaaring kalkulahin para sa ganap na anumang anggulo at numero.

Cosine ng anumang anggulo

Salamat sa numerical na bilog, posibleng matukoy ang cosine ng hindi lamang isang matinding anggulo, kundi pati na rin ang isang mahina, negatibo, at mas malaki pa sa \ (360 ° \) (buong pagliko). Paano ito gawin - mas madaling makita nang isang beses kaysa marinig \(100\) beses, kaya tingnan ang larawan.

Ngayon isang paliwanag: hayaang kinakailangan upang matukoy ang cosine ng anggulo KOA na may sukat na antas sa \(150°\). Pinagsasama namin ang punto O sa gitna ng bilog, at sa gilid OK- na may \(x\) axis. Pagkatapos nito, itabi ang \ (150 ° \) counterclockwise. Pagkatapos ay ang ordinate ng punto PERO ipapakita sa atin ang cosine ng anggulong ito.

Kung kami ay interesado sa isang anggulo na may sukat na antas, halimbawa, sa \ (-60 ° \) (anggulo KOV), ginagawa namin ang parehong, ngunit \(60°\) itabi clockwise.

At sa wakas, ang anggulo ay mas malaki kaysa sa \(360°\) (ang anggulo KOS) - lahat ay katulad ng mapurol, pagkatapos lamang na maipasa ang isang buong pagliko sa pakanan, pumunta kami sa pangalawang pag-ikot at "kunin ang kakulangan ng mga degree". Sa partikular, sa aming kaso, ang anggulo \(405°\) ay naka-plot bilang \(360° + 45°\).

Madaling hulaan na upang magtabi ng isang anggulo, halimbawa, sa \ (960 ° \), kailangan mong gumawa ng dalawang pagliko (\ (360 ° + 360 ° + 240 ° \)), at para sa isang anggulo sa \ (2640 ° \) - buong pito.

Ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na:

Ang cosine ng isang tamang anggulo ay zero. Ang cosine ng isang obtuse angle ay negatibo.

Cosine sign sa quarters

Gamit ang cosine axis (iyon ay, ang abscissa axis, na naka-highlight sa pula sa figure), madaling matukoy ang mga palatandaan ng mga cosine kasama ang isang numerical (trigonometric) na bilog:

Kung saan ang mga halaga sa axis ay mula sa \(0\) hanggang \(1\), ang cosine ay magkakaroon ng plus sign (I at IV quarters ay ang berdeng lugar),
- kung saan ang mga halaga sa axis ay mula sa \(0\) hanggang \(-1\), ang cosine ay magkakaroon ng minus sign (II at III quarters - purple area).

Halimbawa. Tukuyin ang sign \(\cos 1\).
Solusyon: Hanapin natin ang \(1\) sa trigonometric circle. Magsisimula tayo sa katotohanan na \ (π \u003d 3,14 \). Nangangahulugan ito na ang isa ay humigit-kumulang tatlong beses na mas malapit sa zero (ang "simula" na punto).

Kung gumuhit tayo ng patayo sa cosine axis, magiging malinaw na ang \(\cos⁡1\) ay positibo.
Sagot: isang plus.

Kaugnayan sa iba pang trigonometriko function:

Function \(y=\cos(x)\)

Kung i-plot namin ang mga anggulo sa mga radian kasama ang \(x\) axis, at ang mga halaga ng cosine na tumutugma sa mga anggulong ito kasama ang \(y\) axis, nakukuha namin ang sumusunod na graph:

Ang graph na ito ay tinatawag at may mga sumusunod na katangian:

Ang domain ng kahulugan ay anumang halaga ng x: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- hanay ng mga halaga - mula \(-1\) hanggang \(1\) kasama: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- kahit: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- panaka-nakang may tuldok \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- mga punto ng intersection sa mga coordinate axes:
abscissa: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), kung saan \(n ϵ Z\)
y-axis: \((0;1)\)
- mga pagitan ng character:
ang function ay positibo sa mga pagitan: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), kung saan \(n ϵ Z\)
negatibo ang function sa mga pagitan: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), kung saan \(n ϵ Z\)
- mga pagitan ng pagtaas at pagbaba:
tumataas ang function sa mga pagitan: \((π+2πn;2π+2πn)\), kung saan \(n ϵ Z\)
bumababa ang function sa mga pagitan: \((2πn;π+2πn)\), kung saan \(n ϵ Z\)
- maxima at minima ng function:
ang function ay may pinakamataas na halaga \(y=1\) sa mga puntong \(x=2πn\), kung saan \(n ϵ Z\)
ang function ay may pinakamababang halaga \(y=-1\) sa mga puntong \(x=π+2πn\), kung saan \(n ϵ Z\).

Ano ang sine, cosine, tangent, cotangent ng isang anggulo ay makakatulong sa iyo na maunawaan ang isang tamang tatsulok.

Ano ang tawag sa mga gilid ng right triangle? Tama iyon, ang hypotenuse at mga binti: ang hypotenuse ay ang gilid na nasa tapat ng tamang anggulo (sa aming halimbawa, ito ang gilid \ (AC \) ); ang mga binti ay ang dalawang natitirang panig \ (AB \) at \ (BC \) (yaong mga katabi ng tamang anggulo), bukod dito, kung isasaalang-alang natin ang mga binti na may paggalang sa anggulo \ (BC \) , kung gayon ang binti Ang \ (AB \) ay katabing binti, at ang binti \ (BC \) ay nasa tapat. Kaya, ngayon sagutin natin ang tanong: ano ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo?

Sine ng isang anggulo- ito ang ratio ng kabaligtaran (malayong) binti sa hypotenuse.

Sa aming tatsulok:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosine ng isang anggulo- ito ang ratio ng katabing (malapit) na binti sa hypotenuse.

Sa aming tatsulok:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Anggulo padaplis- ito ang ratio ng kabaligtaran (malayong) binti sa katabing (malapit).

Sa aming tatsulok:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Cotangent ng isang anggulo- ito ang ratio ng katabing (malapit) na binti sa kabaligtaran (malayo).

Sa aming tatsulok:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Ang mga kahulugang ito ay kinakailangan Tandaan! Upang gawing mas madaling matandaan kung aling binti ang hahatiin sa kung ano, kailangan mong malinaw na maunawaan iyon padaplis at cotangent ang mga binti lamang ang nakaupo, at ang hypotenuse ay lilitaw lamang sa sinus at cosine. At pagkatapos ay maaari kang makabuo ng isang hanay ng mga asosasyon. Halimbawa, ang isang ito:

cosine → touch → touch → katabi;

Cotangent → touch → touch → katabi.

Una sa lahat, kinakailangang tandaan na ang sine, cosine, tangent at cotangent bilang mga ratio ng mga gilid ng isang tatsulok ay hindi nakasalalay sa mga haba ng mga panig na ito (sa isang anggulo). Huwag magtiwala? Pagkatapos ay siguraduhin sa pamamagitan ng pagtingin sa larawan:

Isaalang-alang, halimbawa, ang cosine ng anggulo \(\beta \) . Sa pamamagitan ng kahulugan, mula sa isang tatsulok \(ABC \): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ngunit maaari nating kalkulahin ang cosine ng anggulo \(\beta \) mula sa tatsulok \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Nakikita mo, ang mga haba ng mga gilid ay iba, ngunit ang halaga ng cosine ng isang anggulo ay pareho. Kaya, ang mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent ay nakasalalay lamang sa magnitude ng anggulo.

Kung naiintindihan mo ang mga kahulugan, pagkatapos ay magpatuloy at ayusin ang mga ito!

Para sa tatsulok \(ABC \) , na ipinapakita sa figure sa ibaba, nakita namin \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \ alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

Well, nakuha mo ba? Pagkatapos ay subukan ito sa iyong sarili: kalkulahin ang pareho para sa anggulo \(\beta \) .

Mga sagot: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Unit (trigonometric) bilog

Sa pag-unawa sa mga konsepto ng degree at radian, isinasaalang-alang namin ang isang bilog na may radius na katumbas ng \ (1 \) . Ang ganitong bilog ay tinatawag walang asawa. Ito ay lubhang kapaki-pakinabang sa pag-aaral ng trigonometrya. Samakatuwid, pinag-uusapan natin ito nang mas detalyado.

Gaya ng nakikita mo, ang bilog na ito ay binuo sa Cartesian coordinate system. Ang radius ng bilog ay katumbas ng isa, habang ang gitna ng bilog ay nasa pinanggalingan, ang paunang posisyon ng radius vector ay naayos kasama ang positibong direksyon ng \(x \) axis (sa aming halimbawa, ito ang radius \(AB \) ).

Ang bawat punto sa bilog ay tumutugma sa dalawang numero: ang coordinate sa kahabaan ng axis \(x \) at ang coordinate sa kahabaan ng axis \(y \) . Ano ang mga coordinate number na ito? At sa pangkalahatan, ano ang kinalaman nila sa paksang nasa kamay? Upang gawin ito, tandaan ang tungkol sa itinuturing na right-angled na tatsulok. Sa figure sa itaas, makikita mo ang dalawang buong right triangle. Isaalang-alang ang tatsulok \(ACG \) . Ito ay hugis-parihaba dahil ang \(CG \) ay patayo sa \(x \) axis.

Ano ang \(\cos \ \alpha \) mula sa tatsulok \(ACG \) ? Tama iyan \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Bukod pa rito, alam natin na ang \(AC \) ay ang radius ng unit circle, kaya \(AC=1 \) . I-substitute ang value na ito sa aming cosine formula. Narito kung ano ang mangyayari:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

At ano ang \(\sin \ \alpha \) mula sa tatsulok \(ACG \) ? Well, siyempre, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Palitan ang halaga ng radius \ (AC \) sa formula na ito at makuha ang:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Kaya, maaari mo bang sabihin sa akin kung ano ang mga coordinate ng punto \(C \) , na kabilang sa bilog? Well, hindi pwede? Ngunit paano kung napagtanto mo na ang \(\cos \ \alpha \) at \(\sin \alpha \) ay mga numero lamang? Anong coordinate ang katumbas ng \(\cos \alpha \)? Well, siyempre, ang coordinate \(x \) ! At anong coordinate ang katumbas ng \(\sin \alpha \)? Tama, ang \(y \) coordinate! Kaya ang punto \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Ano ang \(tg \alpha \) at \(ctg \alpha \) ? Tama, gamitin natin ang naaangkop na mga kahulugan ng tangent at cotangent at makuha iyon \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), a \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Paano kung mas malaki ang anggulo? Narito, halimbawa, tulad ng sa larawang ito:

Ano ang nagbago sa halimbawang ito? Alamin natin ito. Upang gawin ito, muli tayong lumiko sa isang right-angled na tatsulok. Isaalang-alang ang isang tamang tatsulok \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : isang anggulo (bilang katabi ng anggulo \(\beta \) ). Ano ang halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent para sa isang anggulo \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Tama iyon, sumunod kami sa kaukulang mga kahulugan ng mga function ng trigonometriko:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\anggulo ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Well, tulad ng nakikita mo, ang halaga ng sine ng anggulo ay tumutugma pa rin sa coordinate \ (y \) ; ang halaga ng cosine ng anggulo - ang coordinate \ (x \) ; at ang mga halaga ng tangent at cotangent sa kaukulang mga ratio. Kaya, ang mga relasyon na ito ay naaangkop sa anumang mga pag-ikot ng radius vector.

Nabanggit na na ang paunang posisyon ng radius vector ay nasa positibong direksyon ng \(x \) axis. Sa ngayon ay pinaikot natin ang vector na ito nang pakaliwa, ngunit ano ang mangyayari kung paikutin natin ito nang pakanan? Walang kakaiba, makakakuha ka rin ng isang anggulo ng isang tiyak na laki, ngunit ito lamang ang magiging negatibo. Kaya, kapag umiikot ang radius vector pakaliwa, nakukuha namin mga positibong anggulo, at kapag umiikot pakanan - negatibo.

Kaya, alam natin na ang buong rebolusyon ng radius vector sa paligid ng bilog ay \(360()^\circ \) o \(2\pi \) . Posible bang paikutin ang radius vector sa pamamagitan ng \(390()^\circ \) o ng \(-1140()^\circ \) ? Well, siyempre kaya mo! Sa unang kaso, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), kaya ang radius vector ay gagawa ng isang buong pag-ikot at hihinto sa \(30()^\circ \) o \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Sa pangalawang kaso, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), ibig sabihin, ang radius vector ay gagawa ng tatlong kumpletong rebolusyon at hihinto sa posisyon na \(-60()^\circ \) o \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Kaya, mula sa mga halimbawa sa itaas, maaari nating tapusin na ang mga anggulo na naiiba ng \(360()^\circ \cdot m \) o \(2\pi \cdot m \) (kung saan ang \(m \) ay anumang integer ) tumutugma sa parehong posisyon ng radius vector.

Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng anggulo \(\beta =-60()^\circ \) . Ang parehong imahe ay tumutugma sa sulok \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) atbp. Ang listahang ito ay maaaring ipagpatuloy nang walang katapusan. Ang lahat ng mga anggulong ito ay maaaring isulat gamit ang pangkalahatang formula \(\beta +360()^\circ \cdot m\) o \(\beta +2\pi \cdot m \) (kung saan ang \(m \) ay anumang integer)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Ngayon, alam ang mga kahulugan ng mga pangunahing pag-andar ng trigonometriko at gamit ang bilog ng yunit, subukang sagutin kung ano ang katumbas ng mga halaga:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Narito ang isang unit circle na tutulong sa iyo:

Anumang kahirapan? Pagkatapos ay alamin natin ito. Kaya alam natin na:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x); )(y).\end(array) \)

Mula dito, tinutukoy namin ang mga coordinate ng mga punto na naaayon sa ilang mga sukat ng anggulo. Well, magsimula tayo sa pagkakasunud-sunod: ang sulok sa loob \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) tumutugma sa isang punto na may mga coordinate \(\left(0;1 \right) \) , samakatuwid:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- ay hindi umiiral;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Dagdag pa, ang pagsunod sa parehong lohika, nalaman namin na ang mga sulok ay nasa \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) tumutugma sa mga puntos na may mga coordinate \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \right) \), ayon sa pagkakabanggit. Alam ito, madaling matukoy ang mga halaga ng mga function ng trigonometriko sa kaukulang mga punto. Subukan mo muna ito sa iyong sarili, pagkatapos ay suriin ang mga sagot.

Mga sagot:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- ay hindi umiiral

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- ay hindi umiiral

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- ay hindi umiiral

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- ay hindi umiiral

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Kaya, maaari naming gawin ang sumusunod na talahanayan:

Hindi na kailangang tandaan ang lahat ng mga halagang ito. Ito ay sapat na upang matandaan ang pagsusulatan sa pagitan ng mga coordinate ng mga punto sa bilog ng yunit at ang mga halaga ng mga function ng trigonometriko:

\(\kaliwa. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Kailangan tandaan o makapag-output!! \) !}

At narito ang mga halaga ng trigonometric function ng mga anggulo sa at \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) ibinigay sa talahanayan sa ibaba, dapat mong tandaan:

Hindi na kailangang matakot, ngayon ay ipapakita namin ang isa sa mga halimbawa ng isang medyo simpleng pagsasaulo ng kaukulang mga halaga:

Upang magamit ang pamamaraang ito, mahalagang tandaan ang mga halaga ng sine para sa lahat ng tatlong mga sukat ng anggulo ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), pati na rin ang halaga ng tangent ng anggulo sa \(30()^\circ \) . Alam ang mga halagang ito ng \(4\), medyo madaling ibalik ang buong talahanayan - ang mga halaga ng cosine ay inililipat alinsunod sa mga arrow, iyon ay:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), alam ito, posible na ibalik ang mga halaga para sa \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Ang numerator na “\(1 \) ” ay tutugma sa \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , at ang denominator na “\(\sqrt(\text(3)) \) ” ay tutugma sa \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Ang mga halaga ng cotangent ay inililipat alinsunod sa mga arrow na ipinapakita sa figure. Kung naiintindihan mo ito at naaalala ang scheme na may mga arrow, sapat na upang matandaan lamang ang \ (4 \) mga halaga mula sa talahanayan.

Mga coordinate ng isang punto sa isang bilog

Posible bang makahanap ng isang punto (mga coordinate nito) sa isang bilog, alam ang mga coordinate ng gitna ng bilog, ang radius at anggulo ng pag-ikot nito? Well, siyempre kaya mo! Kumuha tayo ng pangkalahatang formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng isang punto. Dito, halimbawa, mayroon kaming ganoong bilog:

Binibigyan tayo ng puntong iyon \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) ay ang sentro ng bilog. Ang radius ng bilog ay \(1,5 \) . Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng punto \(P \) na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng punto \(O \) sa pamamagitan ng \(\delta \) degrees.

Tulad ng makikita mula sa figure, ang coordinate \ (x \) ng punto \ (P \) ay tumutugma sa haba ng segment \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Ang haba ng segment \(UK \) ay tumutugma sa coordinate \(x \) ng gitna ng bilog, iyon ay, ito ay katumbas ng \(3 \) . Ang haba ng segment \(KQ \) ay maaaring ipahayag gamit ang kahulugan ng cosine:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Pagkatapos mayroon kaming na para sa punto \(P \) ang coordinate \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Sa parehong lohika, nakita namin ang halaga ng y coordinate para sa punto \(P\) . Sa ganitong paraan,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Kaya, sa mga pangkalahatang termino, ang mga coordinate ng mga puntos ay tinutukoy ng mga formula:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), saan

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - mga coordinate ng gitna ng bilog,

\(r\) - radius ng bilog,

\(\delta \) - anggulo ng pag-ikot ng radius ng vector.

Tulad ng nakikita mo, para sa bilog ng yunit na aming isinasaalang-alang, ang mga formula na ito ay makabuluhang nabawasan, dahil ang mga coordinate ng sentro ay zero, at ang radius ay katumbas ng isa:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Ang cosine ay isang kilalang trigonometric function, na isa rin sa mga pangunahing function ng trigonometry. Ang cosine ng isang anggulo sa isang right angled triangle ay ang ratio ng katabing paa ng triangle sa hypotenuse ng triangle. Kadalasan, ang kahulugan ng cosine ay nauugnay sa isang tatsulok na eksaktong isang hugis-parihaba na uri. Ngunit nangyayari rin na ang anggulo kung saan kinakailangan upang kalkulahin ang cosine sa isang tatsulok ng isang hugis-parihaba na uri ay hindi matatagpuan sa mismong tatsulok na ito ng isang hugis-parihaba na uri. Ano ang gagawin? Paano mahahanap ang cosine ng anggulo ng isang tatsulok?

Kung nais mong kalkulahin ang cosine ng isang anggulo sa isang right-angled na tatsulok, kung gayon ang lahat ay napaka-simple. Kailangan mo lamang tandaan ang kahulugan ng cosine, kung saan matatagpuan ang solusyon sa problemang ito. Kailangan mo lamang mahanap ang parehong ratio sa pagitan ng katabing binti, pati na rin ang hypotenuse ng tatsulok. Sa katunayan, dito hindi mahirap ipahayag ang cosine ng isang anggulo. Ang formula ay ganito ang hitsura: - cosα = a/c, dito "a" ay ang haba ng binti, at gilid "c", ayon sa pagkakabanggit, ay ang haba ng hypotenuse. Halimbawa, ang cosine ng isang matinding anggulo ng isang right triangle ay matatagpuan gamit ang formula na ito.

Kung interesado ka sa kung ano ang katumbas ng cosine ng isang anggulo sa isang arbitrary na tatsulok, kung gayon ang cosine theorem ay sumagip, na dapat gamitin sa mga ganitong kaso. Ang cosine theorem ay nagsasaad na ang parisukat ng isang gilid ng isang tatsulok ay isang priori na katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang mga gilid ng parehong tatsulok, ngunit walang dalawang beses ang produkto ng mga panig na ito sa pamamagitan ng cosine ng anggulo sa pagitan nila.

1. Kung kailangan mong hanapin ang cosine ng isang matinding anggulo sa isang tatsulok, kailangan mong gamitin ang sumusunod na formula: cosα \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab).
2. Kung sa isang tatsulok ay kinakailangan upang mahanap ang cosine ng isang mahinang anggulo, pagkatapos ay kailangan mong gamitin ang sumusunod na formula: cosα \u003d (c 2 - a 2 - b 2) / (2ab). Ang mga pagtatalaga sa formula - a at b - ay ang mga haba ng mga gilid na katabi ng nais na anggulo, c ay ang haba ng panig na nasa tapat ng nais na anggulo.

Gayundin, ang cosine ng isang anggulo ay maaaring kalkulahin gamit ang sine theorem. Sinasabi nito na ang lahat ng panig ng isang tatsulok ay proporsyonal sa mga sine ng mga anggulo na nasa tapat. Gamit ang sine theorem, maaari mong kalkulahin ang natitirang mga elemento ng isang tatsulok, alam lamang ang dalawang panig at isang anggulo na nasa tapat ng isang panig, o dalawang anggulo at isang panig. Isaalang-alang ang isang halimbawa. Mga kondisyon ng problema: a=1; b=2; c=3. Ang anggulo na nasa tapat ng gilid na "A", tinutukoy namin - α, pagkatapos, ayon sa mga formula, mayroon kami: cosα \u003d (b² + c²-a²) / (2 * b * c) \u003d (2² + 3² -1²) / (2 * 2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Sagot: 1.

Kung ang cosine ng anggulo ay kailangang kalkulahin hindi sa isang tatsulok, ngunit sa ilang iba pang di-makatwirang geometric figure, kung gayon ang lahat ay nagiging mas kumplikado. Ang halaga ng anggulo ay dapat munang matukoy sa radians o degrees, at pagkatapos lamang kalkulahin ang cosine mula sa halagang ito. Tinutukoy ang cosine sa pamamagitan ng numerical value gamit ang mga bradis table, engineering calculator, o espesyal na mathematical application.

Ang mga espesyal na aplikasyon sa matematika ay maaaring may mga function tulad ng awtomatikong pagkalkula ng mga cosine ng mga anggulo sa isang naibigay na figure. Ang kagandahan ng naturang mga application ay nagbibigay sila ng tamang sagot, at hindi ginugugol ng gumagamit ang kanyang oras sa paglutas kung minsan ay medyo kumplikadong mga problema. Sa kabilang banda, sa patuloy na paggamit ng eksklusibong mga aplikasyon para sa paglutas ng mga problema, ang lahat ng mga kasanayan para sa pagtatrabaho sa paglutas ng mga problema sa matematika para sa paghahanap ng mga cosine ng mga anggulo sa mga tatsulok, pati na rin ang iba pang mga di-makatwirang figure, ay nawala.

Ang isa sa mga sangay ng matematika kung saan nakayanan ng mga mag-aaral ang pinakamalaking paghihirap ay trigonometry. Hindi nakakagulat: upang malayang makabisado ang lugar na ito ng kaalaman, kailangan mo ng spatial na pag-iisip, ang kakayahang makahanap ng mga sine, cosine, tangent, cotangent gamit ang mga formula, gawing simple ang mga expression, at magamit ang numerong pi sa mga kalkulasyon. Bilang karagdagan, kailangan mong makapag-apply ng trigonometry kapag nagpapatunay ng mga theorems, at nangangailangan ito ng alinman sa isang nabuong memorya ng matematika o ang kakayahang maghinuha ng mga kumplikadong lohikal na chain.

Pinagmulan ng trigonometrya

Ang kakilala sa agham na ito ay dapat magsimula sa kahulugan ng sine, cosine at tangent ng anggulo, ngunit kailangan mo munang malaman kung ano ang ginagawa ng trigonometry sa pangkalahatan.

Sa kasaysayan, ang mga tamang tatsulok ang naging pangunahing bagay ng pag-aaral sa seksyong ito ng agham sa matematika. Ang pagkakaroon ng isang anggulo ng 90 degrees ay ginagawang posible na magsagawa ng iba't ibang mga operasyon na nagpapahintulot sa isa na matukoy ang mga halaga ng lahat ng mga parameter ng figure na isinasaalang-alang gamit ang dalawang panig at isang anggulo o dalawang anggulo at isang gilid. Noong nakaraan, napansin ng mga tao ang pattern na ito at nagsimulang aktibong gamitin ito sa pagtatayo ng mga gusali, nabigasyon, astronomiya, at kahit na sining.

Unang yugto

Sa una, ang mga tao ay nag-uusap tungkol sa relasyon ng mga anggulo at panig ng eksklusibo sa halimbawa ng mga tamang tatsulok. Pagkatapos ay natuklasan ang mga espesyal na formula na naging posible upang mapalawak ang mga hangganan ng paggamit sa pang-araw-araw na buhay ng seksyong ito ng matematika.

Ang pag-aaral ng trigonometrya sa paaralan ngayon ay nagsisimula sa mga right-angled triangles, pagkatapos kung saan ang nakuha na kaalaman ay ginagamit ng mga mag-aaral sa physics at paglutas ng mga abstract na trigonometric equation, na gumagana kung saan nagsisimula sa high school.

Spherical trigonometrya

Nang maglaon, nang maabot ng agham ang susunod na antas ng pag-unlad, ang mga formula na may sine, cosine, tangent, cotangent ay nagsimulang gamitin sa spherical geometry, kung saan nalalapat ang iba pang mga panuntunan, at ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok ay palaging higit sa 180 degrees. Ang seksyong ito ay hindi pinag-aaralan sa paaralan, ngunit kailangang malaman ang tungkol sa pagkakaroon nito, hindi bababa sa dahil ang ibabaw ng mundo, at ang ibabaw ng anumang iba pang planeta, ay matambok, na nangangahulugan na ang anumang marka sa ibabaw ay magiging "hugis arko" sa tatlong-dimensional na espasyo.

Kunin ang globo at thread. Ikabit ang sinulid sa alinmang dalawang punto sa globo upang ito ay mahigpit. Bigyang-pansin - nakuha nito ang hugis ng isang arko. Ito ay may ganitong mga anyo na ang spherical geometry, na ginagamit sa geodesy, astronomy, at iba pang teoretikal at inilapat na mga larangan, ay nakikipag-ugnayan.

Kanang tatsulok

Ang pagkakaroon ng natutunan ng kaunti tungkol sa mga paraan ng paggamit ng trigonometrya, bumalik tayo sa pangunahing trigonometrya upang higit na maunawaan kung ano ang sine, cosine, tangent, anong mga kalkulasyon ang maaaring gawin sa kanilang tulong at kung anong mga formula ang gagamitin.

Ang unang hakbang ay upang maunawaan ang mga konsepto na nauugnay sa isang tamang tatsulok. Una, ang hypotenuse ay ang gilid sa tapat ng 90 degree na anggulo. Siya ang pinakamatagal. Naaalala namin na, ayon sa Pythagorean theorem, ang numerical na halaga nito ay katumbas ng ugat ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig.

Halimbawa, kung ang dalawang panig ay 3 at 4 na sentimetro ayon sa pagkakabanggit, ang haba ng hypotenuse ay magiging 5 sentimetro. Sa pamamagitan ng paraan, alam ng mga sinaunang Egyptian ang tungkol dito mga apat at kalahating libong taon na ang nakalilipas.

Ang dalawang natitirang panig na bumubuo ng isang tamang anggulo ay tinatawag na mga binti. Bilang karagdagan, dapat nating tandaan na ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok sa isang rectangular coordinate system ay 180 degrees.

Kahulugan

Sa wakas, na may matatag na pag-unawa sa geometric na base, maaari nating buksan ang kahulugan ng sine, cosine at tangent ng isang anggulo.

Ang sine ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran na binti (i.e., ang gilid sa tapat ng nais na anggulo) sa hypotenuse. Ang cosine ng isang anggulo ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse.

Tandaan na alinman sa sine o cosine ay hindi maaaring mas malaki sa isa! Bakit? Dahil ang hypotenuse ay bilang default ang pinakamahaba. Kahit gaano kahaba ang binti, ito ay magiging mas maikli kaysa sa hypotenuse, na nangangahulugan na ang kanilang ratio ay palaging mas mababa sa isa. Kaya, kung nakakuha ka ng sine o cosine na may halagang higit sa 1 sa sagot sa problema, maghanap ng error sa mga kalkulasyon o pangangatwiran. Malinaw na mali ang sagot na ito.

Sa wakas, ang tangent ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi. Ang parehong resulta ay magbibigay ng dibisyon ng sine sa pamamagitan ng cosine. Tingnan: alinsunod sa pormula, hinahati namin ang haba ng gilid sa hypotenuse, pagkatapos ay hinahati namin sa haba ng pangalawang panig at i-multiply ng hypotenuse. Kaya, nakukuha namin ang parehong ratio tulad ng sa kahulugan ng tangent.

Ang cotangent, ayon sa pagkakabanggit, ay ang ratio ng gilid na katabi ng sulok sa kabaligtaran. Nakukuha namin ang parehong resulta sa pamamagitan ng paghahati ng yunit ng tangent.

Kaya, isinasaalang-alang namin ang mga kahulugan kung ano ang sine, cosine, tangent at cotangent, at maaari naming harapin ang mga formula.

Ang pinakasimpleng mga formula

Sa trigonometrya, hindi magagawa ng isang tao nang walang mga formula - kung paano makahanap ng sine, cosine, tangent, cotangent nang wala sila? At ito mismo ang kinakailangan kapag nilutas ang mga problema.

Ang unang formula na kailangan mong malaman kapag nagsisimula sa pag-aaral ng trigonometrya ay nagsasabi na ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng isang anggulo ay katumbas ng isa. Ang formula na ito ay direktang kinahinatnan ng Pythagorean theorem, ngunit nakakatipid ito ng oras kung gusto mong malaman ang halaga ng anggulo, hindi ang gilid.

Maraming mga mag-aaral ang hindi matandaan ang pangalawang pormula, na napakapopular din sa paglutas ng mga problema sa paaralan: ang kabuuan ng isa at ang parisukat ng tangent ng isang anggulo ay katumbas ng isa na hinati sa parisukat ng cosine ng anggulo. Tingnang mabuti: pagkatapos ng lahat, ito ay ang parehong pahayag tulad ng sa unang pormula, ang magkabilang panig lamang ng pagkakakilanlan ay nahahati sa parisukat ng cosine. Lumalabas na ang isang simpleng mathematical operation ay ginagawang ganap na hindi nakikilala ang trigonometriko formula. Tandaan: sa pag-alam kung ano ang sine, cosine, tangent at cotangent, ang mga panuntunan sa conversion at ilang pangunahing formula, maaari mong independiyenteng makuha anumang oras ang kinakailangang mas kumplikadong mga formula sa isang sheet ng papel.

Mga formula ng dobleng anggulo at pagdaragdag ng mga argumento

Dalawang higit pang mga formula na kailangan mong matutunan ay nauugnay sa mga halaga ng sine at cosine ng kabuuan at pagkakaiba ng mga anggulo. Ang mga ito ay ipinapakita sa figure sa ibaba. Pakitandaan na sa unang kaso, ang sine at cosine ay pinarami ng parehong beses, at sa pangalawang kaso, ang pairwise na produkto ng sine at cosine ay idinagdag.

Mayroon ding mga formula na nauugnay sa mga argumento ng double angle. Ang mga ito ay ganap na nagmula sa mga nauna - bilang isang kasanayan, subukang kunin ang mga ito sa iyong sarili, kunin ang anggulo ng alpha na katumbas ng anggulo ng beta.

Panghuli, tandaan na ang mga formula ng dobleng anggulo ay maaaring ma-convert upang mapababa ang antas ng sine, cosine, tangent alpha.

Theorems

Ang dalawang pangunahing teorema sa pangunahing trigonometrya ay ang sine theorem at ang cosine theorem. Sa tulong ng mga theorems na ito, madali mong maunawaan kung paano mahanap ang sine, cosine at tangent, at samakatuwid ang lugar ng figure, at ang laki ng bawat panig, atbp.

Ang sine theorem ay nagsasaad na bilang resulta ng paghahati ng haba ng bawat panig ng tatsulok sa halaga ng kabaligtaran na anggulo, nakukuha natin ang parehong numero. Bukod dito, ang bilang na ito ay magiging katumbas ng dalawang radii ng circumscribed na bilog, iyon ay, ang bilog na naglalaman ng lahat ng mga punto ng ibinigay na tatsulok.

Ang cosine theorem ay nagsa-generalize ng Pythagorean theorem, na ipinapalabas ito sa anumang mga tatsulok. Lumalabas na mula sa kabuuan ng mga parisukat ng dalawang panig, ibawas ang kanilang produkto, na pinarami ng dobleng cosine ng anggulo na katabi ng mga ito - ang resultang halaga ay magiging katumbas ng parisukat ng ikatlong panig. Kaya, ang Pythagorean theorem ay lumalabas na isang espesyal na kaso ng cosine theorem.

Mga pagkakamali dahil sa kawalan ng pansin

Kahit na alam kung ano ang sine, cosine at tangent, madaling magkamali dahil sa kawalan ng pag-iisip o pagkakamali sa pinakasimpleng mga kalkulasyon. Upang maiwasan ang gayong mga pagkakamali, kilalanin natin ang pinakasikat sa kanila.

Una, hindi mo dapat i-convert ang mga ordinaryong fraction sa mga decimal hanggang sa makuha ang huling resulta - maaari mong iwanan ang sagot bilang isang ordinaryong fraction, maliban kung iba ang sinasabi ng kundisyon. Ang ganitong pagbabago ay hindi matatawag na pagkakamali, ngunit dapat tandaan na sa bawat yugto ng gawain, maaaring lumitaw ang mga bagong ugat, na, ayon sa ideya ng may-akda, ay dapat mabawasan. Sa kasong ito, mag-aaksaya ka ng oras sa mga hindi kinakailangang operasyon sa matematika. Ito ay totoo lalo na para sa mga halaga tulad ng ugat ng tatlo o dalawa, dahil nangyayari ang mga ito sa mga gawain sa bawat hakbang. Ang parehong naaangkop sa pag-round ng "pangit" na mga numero.

Dagdag pa, tandaan na ang cosine theorem ay nalalapat sa anumang tatsulok, ngunit hindi ang Pythagorean theorem! Kung nakalimutan mong ibawas nang dalawang beses ang produkto ng mga panig na pinarami ng cosine ng anggulo sa pagitan nila, hindi ka lamang makakakuha ng isang ganap na maling resulta, ngunit nagpapakita rin ng isang kumpletong hindi pagkakaunawaan ng paksa. Ito ay mas masahol pa sa isang walang ingat na pagkakamali.

Pangatlo, huwag malito ang mga halaga para sa mga anggulo na 30 at 60 degrees para sa mga sine, cosine, tangent, cotangent. Tandaan ang mga halagang ito, dahil ang sine ng 30 degrees ay katumbas ng cosine ng 60, at vice versa. Madaling ihalo ang mga ito, bilang isang resulta kung saan hindi mo maaaring hindi makakuha ng isang maling resulta.

Aplikasyon

Maraming mga mag-aaral ang hindi nagmamadaling magsimulang mag-aral ng trigonometrya, dahil hindi nila naiintindihan ang inilapat na kahulugan nito. Ano ang sine, cosine, tangent para sa isang engineer o astronomer? Ito ang mga konsepto salamat sa kung saan maaari mong kalkulahin ang distansya sa malayong mga bituin, hulaan ang pagbagsak ng isang meteorite, magpadala ng isang pagsisiyasat sa pananaliksik sa ibang planeta. Kung wala ang mga ito, imposibleng magtayo ng isang gusali, magdisenyo ng kotse, kalkulahin ang pagkarga sa ibabaw o ang tilapon ng isang bagay. At ito ang mga pinaka-halatang halimbawa! Pagkatapos ng lahat, ang trigonometrya sa isang anyo o iba pa ay ginagamit sa lahat ng dako, mula sa musika hanggang sa medisina.

Sa wakas

Kaya ikaw ay sine, cosine, tangent. Maaari mong gamitin ang mga ito sa mga kalkulasyon at matagumpay na malutas ang mga problema sa paaralan.

Ang buong kakanyahan ng trigonometrya ay bumababa sa katotohanan na ang hindi kilalang mga parameter ay dapat kalkulahin mula sa mga kilalang parameter ng tatsulok. Mayroong anim na parameter sa kabuuan: ang haba ng tatlong panig at ang magnitude ng tatlong anggulo. Ang buong pagkakaiba sa mga gawain ay nakasalalay sa katotohanan na ang iba't ibang data ng pag-input ay ibinigay.

Paano mahahanap ang sine, cosine, tangent batay sa kilalang haba ng mga binti o hypotenuse, alam mo na ngayon. Dahil ang mga terminong ito ay nangangahulugan ng hindi hihigit sa isang ratio, at isang ratio ay isang fraction, ang pangunahing layunin ng trigonometriko problema ay upang mahanap ang mga ugat ng isang ordinaryong equation o isang sistema ng mga equation. At dito ay tutulungan ka ng ordinaryong matematika ng paaralan.

Ang mga konsepto ng sine, cosine, tangent at cotangent ay ang mga pangunahing kategorya ng trigonometry - isang sangay ng matematika, at hindi mapaghihiwalay na nauugnay sa kahulugan ng isang anggulo. Ang pagkakaroon ng mathematical science na ito ay nangangailangan ng pagsasaulo at pag-unawa sa mga formula at theorems, pati na rin ang nabuong spatial na pag-iisip. Iyon ang dahilan kung bakit ang mga kalkulasyon ng trigonometriko ay kadalasang nagdudulot ng mga paghihirap para sa mga mag-aaral at mag-aaral. Upang malampasan ang mga ito, dapat kang maging mas pamilyar sa mga function at formula ng trigonometriko.

Mga konsepto sa trigonometrya

Upang maunawaan ang mga pangunahing konsepto ng trigonometrya, kailangan mo munang magpasya kung ano ang isang tamang tatsulok at isang anggulo sa isang bilog, at kung bakit ang lahat ng mga pangunahing kalkulasyon ng trigonometriko ay nauugnay sa kanila. Ang isang tatsulok kung saan ang isa sa mga anggulo ay 90 degrees ay isang tamang tatsulok. Sa kasaysayan, ang figure na ito ay madalas na ginagamit ng mga tao sa arkitektura, nabigasyon, sining, astronomiya. Alinsunod dito, ang pag-aaral at pag-aaral ng mga katangian ng figure na ito, ang mga tao ay dumating sa pagkalkula ng kaukulang ratios ng mga parameter nito.

Ang mga pangunahing kategorya na nauugnay sa mga tamang tatsulok ay ang hypotenuse at ang mga binti. Ang hypotenuse ay ang gilid ng isang tatsulok na nasa tapat ng tamang anggulo. Ang mga binti, ayon sa pagkakabanggit, ay ang iba pang dalawang panig. Ang kabuuan ng mga anggulo ng anumang tatsulok ay palaging 180 degrees.

Ang spherical trigonometry ay isang seksyon ng trigonometry na hindi pinag-aaralan sa paaralan, ngunit sa mga inilapat na agham tulad ng astronomy at geodesy, ginagamit ito ng mga siyentipiko. Ang isang tampok ng isang tatsulok sa spherical trigonometrya ay na ito ay palaging may kabuuan ng mga anggulo na higit sa 180 degrees.

Mga anggulo ng isang tatsulok

Sa isang tamang tatsulok, ang sine ng isang anggulo ay ang ratio ng binti sa tapat ng nais na anggulo sa hypotenuse ng tatsulok. Alinsunod dito, ang cosine ay ang ratio ng katabing binti at hypotenuse. Ang parehong mga halagang ito ay palaging may halaga na mas mababa sa isa, dahil ang hypotenuse ay palaging mas mahaba kaysa sa binti.

Ang tangent ng isang anggulo ay isang halaga na katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa katabing binti ng nais na anggulo, o sine sa cosine. Ang cotangent, sa turn, ay ang ratio ng katabing binti ng nais na anggulo sa kabaligtaran na cactet. Ang cotangent ng isang anggulo ay maaari ding makuha sa pamamagitan ng paghahati ng unit sa halaga ng tangent.

bilog na yunit

Ang unit circle sa geometry ay isang bilog na ang radius ay katumbas ng isa. Ang nasabing bilog ay itinayo sa Cartesian coordinate system, na ang gitna ng bilog ay tumutugma sa pinanggalingan, at ang paunang posisyon ng radius vector ay tinutukoy ng positibong direksyon ng X axis (abscissa axis). Ang bawat punto ng bilog ay may dalawang coordinate: XX at YY, iyon ay, ang mga coordinate ng abscissa at ordinate. Ang pagpili ng anumang punto sa bilog sa XX na eroplano, at pagbaba ng patayo mula dito sa abscissa axis, nakakakuha tayo ng isang tamang tatsulok na nabuo sa pamamagitan ng isang radius sa napiling punto (ipahiwatig natin ito sa pamamagitan ng titik C), isang patayo na iginuhit sa ang X axis (ang intersection point ay ipinahiwatig ng letrang G), at isang segment ang abscissa axis sa pagitan ng pinanggalingan (ang punto ay tinutukoy ng letrang A) at ang intersection point G. Ang resultang tatsulok na ACG ay isang kanang tatsulok na nakasulat sa isang bilog, kung saan ang AG ay ang hypotenuse, at ang AC at GC ay ang mga binti. Ang anggulo sa pagitan ng radius ng bilog AC at ang segment ng abscissa axis na may pagtatalagang AG, tinutukoy namin bilang α (alpha). Kaya, cos α = AG/AC. Dahil ang AC ay ang radius ng unit circle, at ito ay katumbas ng isa, lumalabas na cos α=AG. Katulad nito, kasalanan α=CG.

Bilang karagdagan, sa pag-alam sa mga datos na ito, matutukoy mo ang coordinate ng point C sa bilog, dahil cos α=AG, at sin α=CG, na nangangahulugan na ang point C ay may ibinigay na mga coordinate (cos α; sin α). Alam na ang tangent ay katumbas ng ratio ng sine sa cosine, matutukoy natin na tg α \u003d y / x, at ctg α \u003d x / y. Isinasaalang-alang ang mga anggulo sa isang negatibong sistema ng coordinate, maaari itong kalkulahin na ang mga halaga ng sine at cosine ng ilang mga anggulo ay maaaring negatibo.

Mga kalkulasyon at pangunahing mga formula

Mga halaga ng trigonometriko function

Ang pagkakaroon ng pagsasaalang-alang sa kakanyahan ng mga function ng trigonometriko sa pamamagitan ng bilog ng yunit, maaari nating makuha ang mga halaga ng mga pag-andar na ito para sa ilang mga anggulo. Ang mga halaga ay nakalista sa talahanayan sa ibaba.

Ang pinakasimpleng trigonometriko pagkakakilanlan

Ang mga equation kung saan ang isang hindi kilalang halaga ay naroroon sa ilalim ng tanda ng trigonometric function ay tinatawag na trigonometric. Ang mga pagkakakilanlan na may halagang sin x = α, k ay anumang integer:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. kasalanan x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. kasalanan x = a, |a| > 1, walang solusyon.
5. kasalanan x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Mga pagkakakilanlan na may value na cos x = a, kung saan ang k ay anumang integer:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, walang solusyon.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Mga pagkakakilanlan na may halagang tg x = a, kung saan ang k ay anumang integer:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Mga pagkakakilanlan na may halagang ctg x = a, kung saan ang k ay anumang integer:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Mga formula ng cast

Ang kategoryang ito ng mga pare-parehong pormula ay tumutukoy sa mga pamamaraan kung saan maaari kang pumunta mula sa mga trigonometriko na pag-andar ng anyo hanggang sa mga pag-andar ng argumento, iyon ay, i-convert ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo ng anumang halaga sa kaukulang mga tagapagpahiwatig ng anggulo ng ang pagitan mula 0 hanggang 90 degrees para sa higit na kaginhawahan ng mga kalkulasyon.

Ang mga formula para sa pagbabawas ng mga function para sa sine ng isang anggulo ay ganito ang hitsura:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• kasalanan(1800 - α) = kasalanan α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• kasalanan(3600 + α) = kasalanan α.

Para sa cosine ng isang anggulo:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Ang paggamit ng mga formula sa itaas ay posibleng napapailalim sa dalawang panuntunan. Una, kung ang anggulo ay maaaring katawanin bilang isang halaga (π/2 ± a) o (3π/2 ± a), ang halaga ng function ay nagbabago:

• mula sa kasalanan hanggang sa cos;
• mula sa cos hanggang sa kasalanan;
• mula tg hanggang ctg;
• mula ctg hanggang tg.

Ang halaga ng function ay nananatiling hindi nagbabago kung ang anggulo ay maaaring katawanin bilang (π ± a) o (2π ± a).

Pangalawa, ang tanda ng pinababang pag-andar ay hindi nagbabago: kung ito ay positibo sa una, ito ay nananatiling gayon. Ang parehong ay totoo para sa mga negatibong function.

Mga Formula sa Pagdaragdag

Ang mga formula na ito ay nagpapahayag ng mga halaga ng sine, cosine, tangent, at cotangent ng kabuuan at pagkakaiba ng dalawang anggulo ng pag-ikot sa mga tuntunin ng kanilang mga trigonometric na function. Ang mga anggulo ay karaniwang tinutukoy bilang α at β.

Ang mga formula ay ganito ang hitsura:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Ang mga formula na ito ay wasto para sa anumang mga anggulo α at β.

Mga formula ng doble at triple anggulo

Ang mga trigonometric na formula ng doble at triple na anggulo ay mga formula na nag-uugnay sa mga function ng mga anggulo 2α at 3α, ayon sa pagkakabanggit, sa mga trigonometric na function ng angle α. Nagmula sa mga pormula ng karagdagan:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Paglipat mula sa kabuuan patungo sa produkto

Isinasaalang-alang na ang 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), na pinasimple ang formula na ito, nakuha natin ang pagkakakilanlan sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Katulad nito, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Paglipat mula sa produkto hanggang sa kabuuan

Ang mga formula na ito ay sumusunod mula sa mga pagkakakilanlan para sa paglipat ng kabuuan sa produkto:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Mga Formula ng Pagbawas

Sa mga pagkakakilanlan na ito, ang square at cubic na kapangyarihan ng sine at cosine ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng sine at cosine ng unang kapangyarihan ng maraming anggulo:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Pangkalahatang pagpapalit

Ang unibersal na trigonometric substitution formula ay nagpapahayag ng mga function na trigonometriko sa mga tuntunin ng tangent ng kalahating anggulo.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), habang x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), kung saan x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), kung saan x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), habang x \u003d π + 2πn.

Mga espesyal na kaso

Ang mga partikular na kaso ng pinakasimpleng trigonometric equation ay ibinibigay sa ibaba (k ay anumang integer).

Pribado para sa sine:

Cosine quotients:

Pribado para sa tangent:

Cotangent quotients:

Theorems

Sine theorem

Mayroong dalawang bersyon ng theorem - simple at extended. Simple sine theorem: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Sa kasong ito, ang a, b, c ay ang mga gilid ng tatsulok, at ang α, β, γ ay ang magkasalungat na mga anggulo, ayon sa pagkakabanggit.

Extended sine theorem para sa isang arbitrary triangle: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Sa pagkakakilanlang ito, ang R ay tumutukoy sa radius ng bilog kung saan ang ibinigay na tatsulok ay nakasulat.

Cosine theorem

Ang pagkakakilanlan ay ipinapakita sa ganitong paraan: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Sa formula, ang a, b, c ay ang mga gilid ng tatsulok, at ang α ay ang anggulo sa tapat ng panig a.

Tangent theorem

Ang formula ay nagpapahayag ng relasyon sa pagitan ng mga tangent ng dalawang anggulo, at ang haba ng mga gilid sa tapat ng mga ito. Ang mga gilid ay may label na a, b, c, at ang katumbas na magkasalungat na anggulo ay α, β, γ. Ang formula ng tangent theorem: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Cotangent theorem

Iniuugnay ang radius ng isang bilog na nakasulat sa isang tatsulok na may haba ng mga gilid nito. Kung ang a, b, c ay ang mga gilid ng isang tatsulok, at ang A, B, C, ayon sa pagkakabanggit, ay ang kanilang magkasalungat na mga anggulo, ang r ay ang radius ng inscribed na bilog, at ang p ay ang kalahating perimeter ng tatsulok, ang mga sumusunod na pagkakakilanlan hawakan:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Mga aplikasyon

Ang trigonometrya ay hindi lamang isang teoretikal na agham na nauugnay sa mga mathematical formula. Ang mga katangian, teorema at panuntunan nito ay ginagamit sa pagsasanay ng iba't ibang sangay ng aktibidad ng tao - astronomy, nabigasyon sa himpapawid at dagat, teorya ng musika, geodesy, chemistry, acoustics, optika, electronics, arkitektura, ekonomiya, mechanical engineering, pagsukat ng trabaho, computer graphics, cartography, oceanography, at marami pang iba.

Ang sine, cosine, tangent at cotangent ay ang mga pangunahing konsepto ng trigonometrya, kung saan maaari mong mathematically ipahayag ang ugnayan sa pagitan ng mga anggulo at haba ng mga gilid sa isang tatsulok, at hanapin ang nais na dami sa pamamagitan ng mga pagkakakilanlan, theorems at mga panuntunan.