Mga halimbawa ng pagpaparami ng mga fraction na may katulad na denominator. Pagguhit ng isang sistema ng mga equation

) at denominator ayon sa denominator (nakukuha natin ang denominator ng produkto).

Formula para sa pagpaparami ng mga fraction:

Halimbawa:

Bago mo simulan ang pagpaparami ng mga numerator at denominator, kailangan mong suriin kung ang fraction ay maaaring bawasan. Kung maaari mong bawasan ang fraction, magiging mas madali para sa iyo na gumawa ng karagdagang mga kalkulasyon.

Paghahati ng karaniwang fraction sa fraction.

Paghahati ng mga fraction na kinasasangkutan ng mga natural na numero.

Hindi ito nakakatakot gaya ng tila. Tulad ng sa kaso ng karagdagan, kino-convert namin ang integer sa isang fraction na may isa sa denominator. Halimbawa:

Pagpaparami ng mga pinaghalong fraction.

Mga panuntunan para sa pagpaparami ng mga fraction (halo-halong):

• i-convert ang mga mixed fraction sa hindi tamang fraction;
• pagpaparami ng mga numerator at denominador ng mga fraction;
• bawasan ang bahagi;
• Kung nakakuha ka ng hindi tamang fraction, iko-convert namin ang hindi tamang fraction sa isang mixed fraction.

Tandaan! Upang i-multiply ang isang mixed fraction sa isa pang mixed fraction, kailangan mo munang i-convert ang mga ito sa anyo ng mga hindi tamang fraction, at pagkatapos ay i-multiply ayon sa panuntunan para sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction.

Ang pangalawang paraan upang i-multiply ang isang fraction sa isang natural na numero.

Maaaring mas maginhawang gamitin ang pangalawang paraan ng pagpaparami ng karaniwang fraction sa isang numero.

Tandaan! Upang i-multiply ang isang fraction sa isang natural na numero, dapat mong hatiin ang denominator ng fraction sa numerong ito, at iwanan ang numerator na hindi nagbabago.

Mula sa halimbawang ibinigay sa itaas, malinaw na ang opsyong ito ay mas maginhawang gamitin kapag ang denominator ng isang fraction ay hinati nang walang nalalabi sa isang natural na numero.

Mga multistory fraction.

Sa mataas na paaralan, ang tatlong-kuwento (o higit pa) na mga praksyon ay madalas na nakatagpo. Halimbawa:

Upang dalhin ang naturang fraction sa karaniwang anyo nito, gamitin ang paghahati sa pamamagitan ng 2 puntos:

Tandaan! Kapag naghahati ng mga fraction, ang pagkakasunud-sunod ng paghahati ay napakahalaga. Mag-ingat, madaling malito dito.

Tandaan, Halimbawa:

Kapag hinahati ang isa sa anumang fraction, ang resulta ay magiging parehong fraction, baligtad lamang:

Mga praktikal na tip para sa pagpaparami at paghahati ng mga fraction:

1. Ang pinakamahalagang bagay kapag nagtatrabaho sa mga fractional na expression ay ang kawastuhan at pagkaasikaso. Gawin ang lahat ng mga kalkulasyon nang maingat at tumpak, puro at malinaw. Mas mabuting magsulat ng ilang dagdag na linya sa iyong draft kaysa mawala sa mga kalkulasyon ng isip.

2. Sa mga gawaing may iba't ibang uri ng fraction, pumunta sa uri ng ordinaryong fraction.

3. Binabawasan natin ang lahat ng fraction hanggang sa hindi na posible na bawasan.

4. Binabago namin ang mga multi-level na fractional expression sa mga ordinaryo gamit ang paghahati sa pamamagitan ng 2 puntos.

5. Hatiin ang isang yunit sa pamamagitan ng isang fraction sa iyong ulo, ibalik lamang ang fraction.

Noong nakaraang pagkakataon natutunan namin kung paano magdagdag at magbawas ng mga fraction (tingnan ang aralin na "Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction"). Ang pinakamahirap na bahagi ng mga pagkilos na iyon ay ang pagdadala ng mga fraction sa isang karaniwang denominator.

Ngayon ay oras na upang harapin ang multiplikasyon at paghahati. Ang magandang balita ay ang mga operasyong ito ay mas simple kaysa sa pagdaragdag at pagbabawas. Una, isaalang-alang natin ang pinakasimpleng kaso, kapag mayroong dalawang positibong fraction na walang pinaghiwalay na bahagi ng integer.

Upang i-multiply ang dalawang fraction, dapat mong i-multiply nang hiwalay ang kanilang mga numerator at denominator. Ang unang numero ay magiging numerator ng bagong fraction, at ang pangalawa ay ang denominator.

Upang hatiin ang dalawang fraction, kailangan mong i-multiply ang unang fraction sa "inverted" second fraction.

pagtatalaga:

Mula sa kahulugan ay sumusunod na ang paghahati ng mga fraction ay bumababa sa multiplikasyon. Upang "i-flip" ang isang fraction, palitan lang ang numerator at denominator. Samakatuwid, sa buong aralin, higit na isasaalang-alang natin ang pagpaparami.

Bilang resulta ng multiplikasyon, ang isang nababawas na bahagi ay maaaring lumitaw (at madalas na lumitaw) - ito, siyempre, ay dapat bawasan. Kung pagkatapos ng lahat ng mga pagbawas ang fraction ay lumabas na hindi tama, ang buong bahagi ay dapat na naka-highlight. Ngunit ang tiyak na hindi mangyayari sa multiplication ay ang pagbabawas sa isang common denominator: walang criss-cross na pamamaraan, pinakadakilang salik at hindi bababa sa karaniwang multiple.

Sa pamamagitan ng kahulugan mayroon kaming:

Pagpaparami ng mga fraction sa buong bahagi at negatibong mga fraction

Kung ang mga fraction ay naglalaman ng isang integer na bahagi, dapat silang i-convert sa mga hindi wasto - at pagkatapos ay i-multiply lamang ayon sa mga scheme na nakabalangkas sa itaas.

Kung mayroong isang minus sa numerator ng isang fraction, sa denominator o sa harap nito, maaari itong alisin sa multiplikasyon o alisin nang buo ayon sa mga sumusunod na patakaran:

1. Ang plus sa pamamagitan ng minus ay nagbibigay ng minus;
2. Dalawang negatibo ang nagpapatunay.

Hanggang ngayon, ang mga patakarang ito ay nakatagpo lamang kapag nagdaragdag at nagbabawas ng mga negatibong praksyon, kapag kinakailangan upang mapupuksa ang buong bahagi. Para sa isang trabaho, maaari silang gawing pangkalahatan upang "masunog" ang ilang mga kawalan nang sabay-sabay:

1. Tinatawid namin ang mga negatibo nang pares hanggang sa tuluyang mawala. Sa matinding mga kaso, ang isang minus ay maaaring mabuhay - ang isa kung saan walang kapareha;
2. Kung walang natitirang mga minus, nakumpleto ang operasyon - maaari mong simulan ang pagpaparami. Kung ang huling minus ay hindi na-cross out dahil walang pares para dito, dinadala namin ito sa labas ng mga limitasyon ng multiplikasyon. Ang resulta ay isang negatibong bahagi.

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

Kino-convert namin ang lahat ng mga fraction sa hindi wasto, at pagkatapos ay alisin ang mga minus sa multiplikasyon. Pinarami namin ang natitira ayon sa karaniwang mga patakaran. Nakukuha namin:

Ipaalala ko sa iyo muli na ang minus na lumalabas sa harap ng isang fraction na may naka-highlight na buong bahagi ay partikular na tumutukoy sa buong fraction, at hindi lamang sa buong bahagi nito (ito ay naaangkop sa huling dalawang halimbawa).

Bigyang-pansin din ang mga negatibong numero: kapag nagpaparami, sila ay nakapaloob sa mga panaklong. Ginagawa ito upang paghiwalayin ang mga minus mula sa mga palatandaan ng pagpaparami at gawing mas tumpak ang buong notasyon.

Pagbabawas ng mga fraction sa mabilisang

Ang pagpaparami ay isang napakahirap na operasyon. Ang mga numero dito ay lumalabas na medyo malaki, at upang gawing simple ang problema, maaari mong subukang bawasan pa ang bahagi bago magparami. Sa katunayan, sa esensya, ang mga numerator at denominator ng mga fraction ay mga ordinaryong salik, at, samakatuwid, maaari silang bawasan gamit ang pangunahing katangian ng isang fraction. Tingnan ang mga halimbawa:

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

Sa pamamagitan ng kahulugan mayroon kaming:

Sa lahat ng mga halimbawa, ang mga numero na nabawasan at kung ano ang natitira sa mga ito ay minarkahan ng pula.

Pakitandaan: sa unang kaso, ang mga multiplier ay ganap na nabawasan. Sa kanilang lugar ay may nananatiling mga yunit na, sa pangkalahatan, ay hindi kailangang isulat. Sa pangalawang halimbawa, hindi posible na makamit ang isang kumpletong pagbawas, ngunit ang kabuuang halaga ng mga kalkulasyon ay nabawasan pa rin.

Gayunpaman, huwag kailanman gamitin ang diskarteng ito kapag nagdaragdag at nagbabawas ng mga fraction! Oo, minsan may mga katulad na numero na gusto mo lang bawasan. Narito, tingnan:

Hindi mo magagawa iyon!

Ang error ay nangyayari dahil kapag nagdadagdag, ang numerator ng isang fraction ay gumagawa ng isang kabuuan, hindi isang produkto ng mga numero. Dahil dito, imposibleng ilapat ang pangunahing ari-arian ng isang fraction, dahil partikular na tumatalakay ang property na ito sa pagpaparami ng mga numero.

Walang iba pang mga dahilan para sa pagbabawas ng mga fraction, kaya ang tamang solusyon sa nakaraang problema ay ganito ang hitsura:

Tamang solusyon:

Tulad ng nakikita mo, ang tamang sagot ay naging hindi maganda. Sa pangkalahatan, mag-ingat.

Sa mga kurso sa middle at high school, tinakpan ng mga estudyante ang paksang "Mga Fraction." Gayunpaman, ang konseptong ito ay mas malawak kaysa sa ibinigay sa proseso ng pag-aaral. Ngayon, ang konsepto ng isang fraction ay madalas na nakatagpo, at hindi lahat ay maaaring kalkulahin ang anumang expression, halimbawa, multiply fractions.

Ano ang isang fraction?

Sa kasaysayan, ang mga fractional na numero ay lumitaw dahil sa pangangailangang sukatin. Tulad ng ipinapakita ng pagsasanay, madalas na may mga halimbawa ng pagtukoy sa haba ng isang segment at dami ng isang parihaba na parihaba.

Sa una, ang mga mag-aaral ay ipinakilala sa konsepto ng isang pagbabahagi. Halimbawa, kung hahatiin mo ang isang pakwan sa 8 bahagi, ang bawat tao ay makakakuha ng isang-ikawalo ng pakwan. Ang isang bahagi ng walo ay tinatawag na bahagi.

Ang isang bahagi na katumbas ng ½ ng anumang halaga ay tinatawag na kalahati; ⅓ - pangatlo; ¼ - isang quarter. Ang mga talaan ng anyo 5/8, 4/5, 2/4 ay tinatawag na mga ordinaryong fraction. Ang karaniwang fraction ay nahahati sa numerator at denominator. Sa pagitan nila ay ang fraction bar, o fraction bar. Ang fractional na linya ay maaaring iguhit bilang alinman sa isang pahalang o isang pahilig na linya. Sa kasong ito, ipinapahiwatig nito ang tanda ng dibisyon.

Ang denominator ay kumakatawan sa kung gaano karaming pantay na mga bahagi ang dami o bagay ay nahahati sa; at ang numerator ay kung gaano karaming magkaparehong bahagi ang kinuha. Ang numerator ay nakasulat sa itaas ng fraction line, ang denominator ay nakasulat sa ibaba nito.

Ito ay pinaka-maginhawa upang ipakita ang mga ordinaryong fraction sa isang coordinate ray. Kung ang isang segment ay nahahati sa 4 na pantay na bahagi, ang bawat bahagi ay itinalaga ng isang Latin na titik, kung gayon ang resulta ay maaaring maging isang mahusay na visual aid. Kaya, ang punto A ay nagpapakita ng bahagi na katumbas ng 1/4 ng buong bahagi ng yunit, at ang punto B ay nagmamarka ng 2/8 ng isang partikular na segment.

Mga uri ng fraction

Ang mga fraction ay maaaring ordinaryo, decimal, at mixed na mga numero. Bilang karagdagan, ang mga praksiyon ay maaaring hatiin sa wasto at hindi wasto. Ang pag-uuri na ito ay mas angkop para sa mga ordinaryong fraction.

Ang wastong fraction ay isang numero na ang numerator ay mas mababa sa denominator nito. Alinsunod dito, ang improper fraction ay isang numero na ang numerator ay mas malaki kaysa sa denominator nito. Ang pangalawang uri ay karaniwang isinusulat bilang isang halo-halong numero. Ang expression na ito ay binubuo ng isang integer at isang fractional na bahagi. Halimbawa, 1½. Ang 1 ay isang integer na bahagi, ang ½ ay isang fractional na bahagi. Gayunpaman, kung kailangan mong magsagawa ng ilang mga manipulasyon gamit ang expression (paghahati o pagpaparami ng mga fraction, pagbabawas o pag-convert sa mga ito), ang pinaghalong numero ay iko-convert sa isang hindi tamang fraction.

Ang tamang fractional expression ay palaging mas mababa sa isa, at ang isang mali ay palaging mas malaki sa o katumbas ng 1.

Tulad ng para sa expression na ito, ang ibig naming sabihin ay isang talaan kung saan ang anumang numero ay kinakatawan, ang denominator ng fractional na expression na maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng isa na may ilang mga zero. Kung wasto ang fraction, ang bahagi ng integer sa decimal notation ay magiging zero.

Upang magsulat ng isang decimal fraction, kailangan mo munang isulat ang buong bahagi, paghiwalayin ito mula sa fraction gamit ang isang kuwit, at pagkatapos ay isulat ang fraction expression. Dapat tandaan na pagkatapos ng decimal point ang numerator ay dapat maglaman ng parehong bilang ng mga digital na character na may mga zero sa denominator.

Halimbawa. Ipahayag ang fraction 7 21 / 1000 sa decimal notation.

Algorithm para sa pag-convert ng hindi tamang fraction sa isang mixed number at vice versa

Hindi tama ang pagsulat ng hindi wastong bahagi sa sagot sa isang problema, kaya kailangan itong i-convert sa isang halo-halong numero:

• hatiin ang numerator sa umiiral na denominator;
• sa isang partikular na halimbawa, ang isang hindi kumpletong kusyente ay isang buo;
• at ang natitira ay ang numerator ng fractional na bahagi, na ang denominator ay nananatiling hindi nagbabago.

Halimbawa. I-convert ang improper fraction sa mixed number: 47/5.

Solusyon. 47: 5. Ang partial quotient ay 9, ang natitira = 2. Kaya, 47 / 5 = 9 2/5.

Minsan kailangan mong katawanin ang isang halo-halong numero bilang isang hindi tamang fraction. Pagkatapos ay kailangan mong gamitin ang sumusunod na algorithm:

• ang integer na bahagi ay pinarami ng denominator ng fractional expression;
• ang nagresultang produkto ay idinagdag sa numerator;
• ang resulta ay nakasulat sa numerator, ang denominator ay nananatiling hindi nagbabago.

Halimbawa. Ilahad ang numero sa magkahalong anyo bilang isang di-wastong bahagi: 9 8 / 10.

Solusyon. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 ang numerator.

Sagot: 98 / 10.

Pagpaparami ng mga fraction

Ang iba't ibang mga algebraic na operasyon ay maaaring isagawa sa mga ordinaryong fraction. Upang i-multiply ang dalawang numero, kailangan mong i-multiply ang numerator sa numerator, at ang denominator sa denominator. Bukod dito, ang pagpaparami ng mga praksiyon na may magkakaibang denominador ay hindi naiiba sa pagpaparami ng mga praksiyon na may parehong denominador.

Nangyayari na pagkatapos mahanap ang resulta kailangan mong bawasan ang bahagi. Kinakailangang gawing simple ang resultang expression hangga't maaari. Siyempre, hindi maaaring sabihin ng isang tao na ang isang hindi wastong bahagi sa isang sagot ay isang pagkakamali, ngunit mahirap din itong tawagan ng isang tamang sagot.

Halimbawa. Hanapin ang produkto ng dalawang ordinaryong fraction: ½ at 20/18.

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, pagkatapos mahanap ang produkto, ang isang reducible fractional notation ay nakuha. Parehong ang numerator at ang denominator sa kasong ito ay nahahati sa 4, at ang resulta ay ang sagot na 5/9.

Pagpaparami ng mga decimal fraction

Ang produkto ng mga decimal fraction ay medyo naiiba sa produkto ng mga ordinaryong fraction sa prinsipyo nito. Kaya, ang pagpaparami ng mga fraction ay ang mga sumusunod:

• dapat isulat ang dalawang decimal fraction ng isa sa ilalim ng isa upang ang pinakakanang digit ay isa sa ilalim ng isa;
• kailangan mong i-multiply ang mga nakasulat na numero, sa kabila ng mga kuwit, iyon ay, bilang natural na mga numero;
• bilangin ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point sa bawat numero;
• sa resulta na nakuha pagkatapos ng multiplikasyon, kailangan mong bilangin mula sa kanan ng maraming mga digital na simbolo na nakapaloob sa kabuuan sa parehong mga kadahilanan pagkatapos ng decimal point, at maglagay ng separating sign;
• kung mayroong mas kaunting mga numero sa produkto, kailangan mong magsulat ng maraming mga zero sa harap ng mga ito upang masakop ang numerong ito, maglagay ng kuwit at idagdag ang buong bahagi na katumbas ng zero.

Halimbawa. Kalkulahin ang produkto ng dalawang decimal fraction: 2.25 at 3.6.

Solusyon.

Pagpaparami ng mga pinaghalong fraction

Upang kalkulahin ang produkto ng dalawang magkahalong fraction, kailangan mong gamitin ang panuntunan para sa pagpaparami ng mga fraction:

• i-convert ang mga pinaghalong numero sa mga hindi wastong fraction;
• hanapin ang produkto ng mga numerator;
• hanapin ang produkto ng mga denominador;
• isulat ang resulta;
• pasimplehin ang expression hangga't maaari.

Halimbawa. Hanapin ang produkto ng 4½ at 6 2/5.

Pagpaparami ng numero sa isang fraction (mga fraction sa isang numero)

Bilang karagdagan sa paghahanap ng produkto ng dalawang fraction at pinaghalong numero, may mga gawain kung saan kailangan mong i-multiply sa isang fraction.

Kaya, upang mahanap ang produkto ng isang decimal fraction at isang natural na numero, kailangan mo:

• isulat ang numero sa ilalim ng fraction upang ang pinakakanang mga digit ay isa sa itaas ng isa;
• hanapin ang produkto sa kabila ng kuwit;
• sa resultang resulta, paghiwalayin ang integer na bahagi mula sa fractional na bahagi gamit ang kuwit, binibilang mula sa kanan ang bilang ng mga digit na matatagpuan pagkatapos ng decimal point sa fraction.

Upang i-multiply ang isang karaniwang fraction sa isang numero, kailangan mong hanapin ang produkto ng numerator at ang natural na kadahilanan. Kung ang sagot ay gumagawa ng isang fraction na maaaring bawasan, dapat itong i-convert.

Halimbawa. Kalkulahin ang produkto ng 5 / 8 at 12.

Solusyon. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Sagot: 7 1 / 2.

Tulad ng nakikita mo mula sa nakaraang halimbawa, kinakailangan upang bawasan ang resultang resulta at i-convert ang maling fractional expression sa isang halo-halong numero.

Ang pagpaparami ng mga praksiyon ay may kinalaman din sa paghahanap ng produkto ng isang numero sa magkahalong anyo at isang natural na salik. Upang i-multiply ang dalawang numerong ito, dapat mong i-multiply ang buong bahagi ng mixed factor sa numero, i-multiply ang numerator sa parehong halaga, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago. Kung kinakailangan, kailangan mong gawing simple ang resultang resulta hangga't maaari.

Halimbawa. Hanapin ang produkto ng 9 5/6 at 9.

Solusyon. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1/2.

Sagot: 88 1 / 2.

Multiplikasyon sa pamamagitan ng mga kadahilanan ng 10, 100, 1000 o 0.1; 0.01; 0.001

Ang sumusunod na tuntunin ay sumusunod mula sa nakaraang talata. Upang i-multiply ang isang decimal fraction sa pamamagitan ng 10, 100, 1000, 10000, atbp., kailangan mong ilipat ang decimal point sa kanan ng kasing dami ng mga digit dahil may mga zero sa factor pagkatapos ng isa.

Halimbawa 1. Hanapin ang produkto ng 0.065 at 1000.

Solusyon. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.

Sagot: 65.

Halimbawa 2. Hanapin ang produkto ng 3.9 at 1000.

Solusyon. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.

Sagot: 3900.

Kung kailangan mong i-multiply ang isang natural na numero at 0.1; 0.01; 0.001; 0.0001, atbp., dapat mong ilipat ang kuwit sa resultang produkto sa kaliwa ng kasing dami ng mga digit na character dahil may mga zero bago ang isa. Kung kinakailangan, ang isang sapat na bilang ng mga zero ay nakasulat bago ang natural na numero.

Halimbawa 1. Hanapin ang produkto ng 56 at 0.01.

Solusyon. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

Sagot: 0,56.

Halimbawa 2. Hanapin ang produkto ng 4 at 0.001.

Solusyon. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.

Sagot: 0,004.

Kaya, ang paghahanap ng produkto ng iba't ibang fraction ay hindi dapat magdulot ng anumang kahirapan, maliban sa marahil sa pagkalkula ng resulta; sa kasong ito, hindi mo magagawa nang walang calculator.

§ 87. Pagdaragdag ng mga fraction.

Ang pagdaragdag ng mga fraction ay may maraming pagkakatulad sa pagdaragdag ng mga buong numero. Ang pagdaragdag ng mga fraction ay isang aksyon na binubuo sa katotohanan na ang ilang ibinigay na mga numero (mga termino) ay pinagsama sa isang numero (kabuuan), na naglalaman ng lahat ng mga yunit at mga fraction ng mga yunit ng mga termino.

Isasaalang-alang namin ang tatlong kaso nang sunud-sunod:

1. Pagdaragdag ng mga fraction na may katulad na denominador.
2. Pagdaragdag ng mga praksiyon na may magkakaibang denominador.
3. Pagdaragdag ng mga pinaghalong numero.

1. Pagdaragdag ng mga fraction na may katulad na denominador.

Isaalang-alang ang isang halimbawa: 1/5 + 2/5.

Kunin natin ang segment AB (Larawan 17), kunin ito bilang isa at hatiin ito sa 5 pantay na bahagi, pagkatapos ang bahagi ng AC ng segment na ito ay magiging katumbas ng 1/5 ng segment AB, at ang bahagi ng parehong segment na CD ay magiging katumbas ng 2/5 AB.

Mula sa pagguhit ay malinaw na kung kukunin natin ang segment AD, ito ay magiging katumbas ng 3/5 AB; ngunit ang segment na AD ay tiyak na kabuuan ng mga segment na AC at CD. Kaya maaari nating isulat:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Isinasaalang-alang ang mga terminong ito at ang resultang kabuuan, makikita natin na ang numerator ng kabuuan ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga numerator ng mga termino, at ang denominator ay nanatiling hindi nagbabago.

Mula dito nakukuha namin ang sumusunod na panuntunan: Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, kailangan mong idagdag ang kanilang mga numerator at iwanan ang parehong denominator.

Tingnan natin ang isang halimbawa:

2. Pagdaragdag ng mga praksiyon na may magkakaibang denominador.

Idagdag natin ang mga fraction: 3 / 4 + 3 / 8 Una kailangan nilang bawasan sa pinakamababang common denominator:

Hindi maisulat ang intermediate link 6/8 + 3/8; isinulat namin ito dito para sa kalinawan.

Kaya, upang magdagdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator, kailangan mo munang bawasan ang mga ito sa pinakamababang common denominator, idagdag ang kanilang mga numerator at lagyan ng label ang common denominator.

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa (magsusulat tayo ng mga karagdagang salik sa itaas ng mga kaukulang fraction):

3. Pagdaragdag ng mga pinaghalong numero.

Idagdag natin ang mga numero: 2 3/8 + 3 5/6.

Dalhin muna natin ang mga fractional na bahagi ng ating mga numero sa isang common denominator at muling isulat ang mga ito:

Ngayon idagdag namin ang integer at fractional na mga bahagi nang sunud-sunod:

§ 88. Pagbabawas ng mga fraction.

Ang pagbabawas ng mga fraction ay tinukoy sa parehong paraan tulad ng pagbabawas ng mga buong numero. Ito ay isang aksyon sa tulong ng kung saan, na ibinigay ang kabuuan ng dalawang termino at isa sa mga ito, isa pang termino ay natagpuan. Isaalang-alang natin ang tatlong magkakasunod na kaso:

1. Pagbabawas ng mga fraction na may mga katulad na denominador.
2. Pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominador.
3. Pagbabawas ng magkahalong numero.

1. Pagbabawas ng mga fraction na may mga katulad na denominador.

Tingnan natin ang isang halimbawa:

13 / 15 - 4 / 15

Kunin natin ang segment na AB (Larawan 18), kunin ito bilang isang yunit at hatiin ito sa 15 pantay na bahagi; pagkatapos ay ang bahagi ng AC ng segment na ito ay kumakatawan sa 1/15 ng AB, at ang bahagi ng AD ng parehong segment ay tumutugma sa 13/15 AB. Itabi natin ang isa pang segment na ED na katumbas ng 4/15 AB.

Kailangan nating ibawas ang fraction na 4/15 mula sa 13/15. Sa drawing, nangangahulugan ito na ang segment ED ay dapat ibawas sa segment AD. Bilang resulta, mananatili ang segment na AE, na 9/15 ng segment AB. Kaya maaari nating isulat:

Ang halimbawang ginawa namin ay nagpapakita na ang numerator ng pagkakaiba ay nakuha sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga numerator, ngunit ang denominator ay nanatiling pareho.

Samakatuwid, upang ibawas ang mga fraction na may katulad na denominator, kailangan mong ibawas ang numerator ng subtrahend mula sa numerator ng minuend at iwanan ang parehong denominator.

2. Pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominador.

Halimbawa. 3/4 - 5/8

Una, bawasan natin ang mga fraction na ito sa pinakamababang common denominator:

Ang intermediate 6 / 8 - 5 / 8 ay nakasulat dito para sa kalinawan, ngunit maaaring laktawan sa ibang pagkakataon.

Kaya, upang ibawas ang isang fraction mula sa isang fraction, kailangan mo munang bawasan ang mga ito sa pinakamababang common denominator, pagkatapos ay ibawas ang numerator ng minuend mula sa numerator ng minuend at lagdaan ang common denominator sa ilalim ng kanilang pagkakaiba.

Tingnan natin ang isang halimbawa:

3. Pagbabawas ng magkahalong numero.

Halimbawa. 10 3/4 - 7 2/3.

Bawasan natin ang mga fractional na bahagi ng minuend at subtrahend sa pinakamababang common denominator:

Nagbawas kami ng isang buo sa isang buo at isang fraction sa isang fraction. Ngunit may mga kaso kapag ang fractional na bahagi ng subtrahend ay mas malaki kaysa sa fractional na bahagi ng minuend. Sa ganitong mga kaso, kailangan mong kumuha ng isang unit mula sa buong bahagi ng minuend, hatiin ito sa mga bahagi kung saan ipinahayag ang fractional na bahagi, at idagdag ito sa fractional na bahagi ng minuend. At pagkatapos ay isasagawa ang pagbabawas sa parehong paraan tulad ng sa nakaraang halimbawa:

§ 89. Pagpaparami ng mga fraction.

Kapag nag-aaral ng fraction multiplication, isasaalang-alang natin ang mga sumusunod na tanong:

1. Pagpaparami ng isang fraction sa isang buong bilang.
2. Paghahanap ng fraction ng isang ibinigay na numero.
3. Pagpaparami ng buong bilang sa isang fraction.
4. Pagpaparami ng fraction sa fraction.
5. Pagpaparami ng magkahalong numero.
6. Ang konsepto ng interes.
7. Paghahanap ng porsyento ng isang naibigay na numero. Isaalang-alang natin ang mga ito nang sunud-sunod.

1. Pagpaparami ng isang fraction sa isang buong bilang.

Ang pagpaparami ng isang fraction sa isang buong numero ay may parehong kahulugan sa pagpaparami ng isang buong numero sa isang integer. Upang i-multiply ang isang fraction (multiplicand) sa pamamagitan ng isang integer (factor) ay nangangahulugang lumikha ng isang kabuuan ng magkaparehong mga termino, kung saan ang bawat termino ay katumbas ng multiplikand, at ang bilang ng mga termino ay katumbas ng multiplier.

Nangangahulugan ito na kung kailangan mong i-multiply ang 1/9 sa 7, maaari itong gawin tulad nito:

Madali naming nakuha ang resulta, dahil ang aksyon ay nabawasan sa pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator. Kaya naman,

Ang pagsasaalang-alang sa aksyon na ito ay nagpapakita na ang pagpaparami ng isang fraction sa isang buong numero ay katumbas ng pagtaas ng fraction na ito nang maraming beses na may mga yunit sa buong bilang. At dahil ang pagtaas ng isang fraction ay makakamit alinman sa pamamagitan ng pagtaas ng numerator nito

o sa pamamagitan ng pagbabawas ng denominator nito , pagkatapos ay maaari nating i-multiply ang numerator sa pamamagitan ng isang integer o hatiin ang denominator nito, kung posible ang naturang dibisyon.

Mula dito nakuha namin ang panuntunan:

Upang i-multiply ang isang fraction sa isang buong numero, i-multiply mo ang numerator sa buong numero na iyon at iiwan ang denominator na pareho, o, kung maaari, hatiin ang denominator sa numerong iyon, na iniiwan ang numerator na hindi nagbabago.

Kapag nagpaparami, posible ang mga pagdadaglat, halimbawa:

2. Paghahanap ng fraction ng isang ibinigay na numero. Maraming problema kung saan kailangan mong hanapin, o kalkulahin, ang bahagi ng isang naibigay na numero. Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga problemang ito at iba pa ay binibigyan nila ang bilang ng ilang mga bagay o yunit ng pagsukat at kailangan mong hanapin ang isang bahagi ng numerong ito, na ipinahiwatig din dito ng isang tiyak na bahagi. Upang mapadali ang pag-unawa, magbibigay muna kami ng mga halimbawa ng gayong mga problema, at pagkatapos ay magpapakilala ng isang paraan para sa paglutas ng mga ito.

Gawain 1. Mayroon akong 60 rubles; Ginastos ko ang 1/3 ng perang ito sa pagbili ng mga libro. Magkano ang halaga ng mga libro?

Gawain 2. Ang tren ay dapat maglakbay ng distansya sa pagitan ng mga lungsod A at B na katumbas ng 300 km. Nasaklaw na niya ang 2/3 nitong distansya. Ilang kilometro ito?

Gawain 3. Mayroong 400 na bahay sa nayon, 3/4 ng mga ito ay ladrilyo, ang iba ay kahoy. Gaano karaming mga brick house ang kabuuan?

Ito ang ilan sa maraming problemang nararanasan namin sa paghahanap ng bahagi ng isang naibigay na numero. Ang mga ito ay karaniwang tinatawag na mga problema upang mahanap ang bahagi ng isang naibigay na numero.

Solusyon sa problema 1. Mula sa 60 kuskusin. Gumastos ako ng 1/3 sa mga libro; Nangangahulugan ito na upang mahanap ang halaga ng mga aklat kailangan mong hatiin ang numerong 60 sa 3:

Paglutas ng problema 2. Ang punto ng problema ay kailangan mong makahanap ng 2/3 ng 300 km. Kalkulahin muna natin ang 1/3 ng 300; ito ay nakakamit sa pamamagitan ng paghahati ng 300 km sa 3:

300: 3 = 100 (1/3 iyon ng 300).

Upang makahanap ng dalawang-katlo ng 300, kailangan mong i-double ang resultang quotient, ibig sabihin, i-multiply sa 2:

100 x 2 = 200 (iyon ay 2/3 ng 300).

Paglutas ng suliranin 3. Dito kailangan mong matukoy ang bilang ng mga brick house na bumubuo sa 3/4 ng 400. Hanapin muna natin ang 1/4 ng 400,

400: 4 = 100 (1/4 iyon ng 400).

Upang kalkulahin ang tatlong quarter ng 400, ang resultang quotient ay dapat na triple, ibig sabihin, i-multiply sa 3:

100 x 3 = 300 (3/4 iyon ng 400).

Batay sa solusyon sa mga problemang ito, maaari nating makuha ang sumusunod na panuntunan:

Upang mahanap ang halaga ng isang fraction mula sa isang naibigay na numero, kailangan mong hatiin ang numerong ito sa denominator ng fraction at i-multiply ang resultang quotient sa numerator nito.

3. Pagpaparami ng buong bilang sa isang fraction.

Mas maaga (§ 26) ito ay itinatag na ang pagpaparami ng mga integer ay dapat na maunawaan bilang ang pagdaragdag ng magkaparehong mga termino (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Sa talatang ito (punto 1) ay itinatag na ang pagpaparami ng isang fraction sa isang integer ay nangangahulugan ng paghahanap ng kabuuan ng magkaparehong termino na katumbas ng fraction na ito.

Sa parehong mga kaso, ang pagpaparami ay binubuo ng paghahanap ng kabuuan ng magkaparehong termino.

Ngayon ay nagpapatuloy tayo sa pagpaparami ng isang buong numero sa isang fraction. Dito ay makakatagpo tayo, halimbawa, multiplikasyon: 9 2/3. Malinaw na ang dating kahulugan ng multiplikasyon ay hindi naaangkop sa kasong ito. Ito ay maliwanag mula sa katotohanan na hindi natin mapapalitan ang naturang multiplikasyon sa pamamagitan ng pagdaragdag ng pantay na mga numero.

Dahil dito, kailangan nating magbigay ng bagong kahulugan ng multiplikasyon, ibig sabihin, sa madaling salita, sagutin ang tanong kung ano ang dapat maunawaan ng multiplikasyon sa isang fraction, kung paano dapat maunawaan ang pagkilos na ito.

Ang kahulugan ng pagpaparami ng isang buong bilang sa isang fraction ay malinaw mula sa sumusunod na kahulugan: ang pagpaparami ng isang integer (multiplicand) sa isang fraction (multiplicand) ay nangangahulugan ng paghahanap ng fraction na ito ng multiplicand.

Ibig sabihin, ang pagpaparami ng 9 sa 2/3 ay nangangahulugan ng paghahanap ng 2/3 ng siyam na yunit. Sa nakaraang talata, nalutas ang mga naturang problema; kaya madaling malaman na magtatapos tayo sa 6.

Ngunit ngayon ang isang kawili-wili at mahalagang tanong ay bumangon: bakit tila magkaibang mga operasyon, tulad ng paghahanap ng kabuuan ng pantay na mga numero at paghahanap ng bahagi ng isang numero, na tinatawag sa aritmetika ng parehong salitang "pagpaparami"?

Nangyayari ito dahil ang nakaraang aksyon (pag-uulit ng isang numero na may mga termino nang maraming beses) at ang bagong aksyon (paghahanap ng fraction ng isang numero) ay nagbibigay ng mga sagot sa mga homogenous na tanong. Nangangahulugan ito na nagpapatuloy tayo dito mula sa mga pagsasaalang-alang na ang magkakatulad na mga tanong o gawain ay nalutas sa pamamagitan ng parehong aksyon.

Upang maunawaan ito, isaalang-alang ang sumusunod na problema: "Ang 1 m ng tela ay nagkakahalaga ng 50 rubles. Magkano ang halaga ng 4 m ng naturang tela?

Ang problemang ito ay malulutas sa pamamagitan ng pagpaparami ng bilang ng mga rubles (50) sa bilang ng mga metro (4), i.e. 50 x 4 = 200 (rubles).

Kunin natin ang parehong problema, ngunit sa loob nito ang halaga ng tela ay ipapahayag bilang isang bahagi: "Ang 1 m ng tela ay nagkakahalaga ng 50 rubles. Magkano ang 3/4 m ng naturang tela?"

Ang problemang ito ay kailangan ding lutasin sa pamamagitan ng pagpaparami ng bilang ng mga rubles (50) sa bilang ng mga metro (3/4).

Maaari mong baguhin ang mga numero sa loob nito nang maraming beses, nang hindi binabago ang kahulugan ng problema, halimbawa, kumuha ng 9/10 m o 2 3/10 m, atbp.

Dahil ang mga problemang ito ay may parehong nilalaman at naiiba lamang sa mga numero, tinatawag namin ang mga aksyon na ginamit sa paglutas sa kanila ng parehong salita - multiplikasyon.

Paano mo i-multiply ang isang buong numero sa isang fraction?

Kunin natin ang mga numerong nakatagpo sa huling problema:

Ayon sa kahulugan, kailangan nating hanapin ang 3/4 ng 50. Hanapin muna natin ang 1/4 ng 50, at pagkatapos ay 3/4.

1/4 ng 50 ay 50/4;

Ang 3/4 ng bilang na 50 ay .

Kaya naman.

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa: 12 5 / 8 =?

1/8 ng bilang 12 ay 12/8,

Ang 5/8 ng bilang na 12 ay .

Kaya naman,

Mula dito nakuha namin ang panuntunan:

Upang i-multiply ang isang buong numero sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang buong numero sa numerator ng fraction at gawin ang produktong ito bilang numerator, at lagdaan ang denominator ng fraction na ito bilang denominator.

Isulat natin ang panuntunang ito gamit ang mga titik:

Upang gawing ganap na malinaw ang panuntunang ito, dapat tandaan na ang isang fraction ay maaaring ituring bilang isang quotient. Samakatuwid, kapaki-pakinabang na ihambing ang nahanap na panuntunan sa panuntunan para sa pagpaparami ng numero sa isang quotient, na itinakda sa § 38

Mahalagang tandaan na bago magsagawa ng multiplikasyon, dapat mong gawin (kung maaari) mga pagbabawas, Halimbawa:

4. Pagpaparami ng fraction sa fraction. Ang pagpaparami ng isang fraction sa isang fraction ay may parehong kahulugan tulad ng pagpaparami ng isang buong numero sa isang fraction, ibig sabihin, kapag nagpaparami ng isang fraction sa isang fraction, kailangan mong hanapin ang fraction na nasa factor mula sa unang fraction (ang multiplicand).

Ibig sabihin, ang pagpaparami ng 3/4 sa 1/2 (kalahati) ay nangangahulugan ng paghahanap ng kalahati ng 3/4.

Paano mo i-multiply ang isang fraction sa isang fraction?

Kunin natin ang isang halimbawa: 3/4 na pinarami ng 5/7. Nangangahulugan ito na kailangan mong hanapin ang 5/7 ng 3/4. Hanapin muna natin ang 1/7 ng 3/4, at pagkatapos ay 5/7

Ang 1/7 ng bilang na 3/4 ay ihahayag tulad ng sumusunod:

Ang 5/7 na mga numero 3/4 ay ihahayag tulad ng sumusunod:

kaya,

Isa pang halimbawa: 5/8 na pinarami ng 4/9.

1/9 ng 5/8 ay ,

Ang 4/9 ng bilang na 5/8 ay .

kaya,

Mula sa mga halimbawang ito ay mahihinuha ang sumusunod na tuntunin:

Upang i-multiply ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang numerator sa numerator, at ang denominator sa denominator, at gawin ang unang produkto bilang numerator, at ang pangalawang produkto ang denominator ng produkto.

Ang panuntunang ito ay maaaring isulat sa pangkalahatang anyo tulad ng sumusunod:

Kapag nagpaparami, kinakailangan na gumawa (kung maaari) mga pagbawas. Tingnan natin ang mga halimbawa:

5. Pagpaparami ng magkahalong numero. Dahil ang mga pinaghalong numero ay madaling mapapalitan ng mga hindi wastong fraction, ang sitwasyong ito ay karaniwang ginagamit kapag nagpaparami ng mga pinaghalong numero. Nangangahulugan ito na sa mga kaso kung saan ang multiplicand, o ang multiplier, o ang parehong mga kadahilanan ay ipinahayag bilang halo-halong mga numero, ang mga ito ay papalitan ng mga hindi wastong fraction. I-multiply natin, halimbawa, halo-halong mga numero: 2 1/2 at 3 1/5. Gawing hindi tamang fraction ang bawat isa sa kanila at pagkatapos ay i-multiply ang mga resultang fraction ayon sa panuntunan para sa pagpaparami ng fraction sa fraction:

Panuntunan. Upang i-multiply ang mga pinaghalong numero, kailangan mo munang i-convert ang mga ito sa mga hindi tamang fraction at pagkatapos ay i-multiply ang mga ito ayon sa panuntunan para sa pagpaparami ng mga fraction sa mga fraction.

Tandaan. Kung ang isa sa mga kadahilanan ay isang integer, kung gayon ang pagpaparami ay maaaring isagawa batay sa batas ng pamamahagi tulad ng sumusunod:

6. Ang konsepto ng interes. Kapag nilulutas ang mga problema at nagsasagawa ng iba't ibang praktikal na kalkulasyon, ginagamit namin ang lahat ng uri ng mga fraction. Ngunit ito ay dapat makitid ang isip sa isip na maraming mga dami pinapayagan hindi lamang ng anumang, ngunit natural na dibisyon para sa kanila. Halimbawa, maaari kang kumuha ng isang daan (1/100) ng isang ruble, ito ay magiging isang kopeck, dalawang daan ay 2 kopecks, tatlong daan ay 3 kopecks. Maaari kang kumuha ng 1/10 ng isang ruble, ito ay magiging "10 kopecks, o isang sampung-kopeck na piraso. Maaari kang kumuha ng isang-kapat ng isang ruble, i.e. 25 kopecks, kalahating ruble, i.e. 50 kopecks (limampung kopecks). Ngunit halos hindi nila ito kinukuha, halimbawa, 2/7 ng isang ruble dahil ang ruble ay hindi nahahati sa ikapitong bahagi.

Ang yunit ng timbang, i.e. ang kilo, ay pangunahing nagbibigay-daan para sa mga dibisyon ng decimal, halimbawa 1/10 kg, o 100 g. At ang mga fraction ng isang kilo bilang 1/6, 1/11, 1/13 ay hindi karaniwan.

Sa pangkalahatan, ang aming (metric) na mga sukat ay decimal at pinapayagan ang mga dibisyon ng decimal.

Gayunpaman, dapat tandaan na ito ay lubhang kapaki-pakinabang at maginhawa sa isang malawak na iba't ibang mga kaso upang gamitin ang parehong (unipormeng) paraan ng subdividing dami. Ipinakita ng maraming taon ng karanasan na ang gayong mahusay na katwiran na dibisyon ay ang "ika-daang" dibisyon. Isaalang-alang natin ang ilang mga halimbawa na may kaugnayan sa mga pinaka magkakaibang mga lugar ng kasanayan ng tao.

1. Ang presyo ng mga aklat ay bumaba ng 12/100 ng nakaraang presyo.

Halimbawa. Ang dating presyo ng libro ay 10 rubles. Nabawasan ito ng 1 ruble. 20 kopecks

2. Ang mga savings bank ay nagbabayad sa mga nagdedeposito ng 2/100 ng halagang idineposito para sa mga ipon sa buong taon.

Halimbawa. Ang 500 rubles ay idineposito sa cash register, ang kita mula sa halagang ito para sa taon ay 10 rubles.

3. Ang bilang ng mga nagtapos sa isang paaralan ay 5/100 ng kabuuang bilang ng mga mag-aaral.

HALIMBAWA Mayroon lamang 1,200 estudyante sa paaralan, kung saan 60 ang nagtapos.

Ang daang bahagi ng isang numero ay tinatawag na porsyento.

Ang salitang "porsiyento" ay hiniram mula sa Latin at ang salitang "sentimo" ay nangangahulugang isang daan. Kasama ng pang-ukol (pro centum), ang salitang ito ay nangangahulugang "para sa isang daan." Ang kahulugan ng pananalitang ito ay sumusunod sa katotohanan na noong una sa sinaunang Roma, ang interes ay ang pangalang ibinigay sa pera na binayaran ng may utang sa nagpapahiram “sa bawat daan.” Ang salitang "sentimo" ay naririnig sa mga pamilyar na salita: sentimo (isang daang kilo), sentimetro (sabihin sentimetro).

Halimbawa, sa halip na sabihin na sa nakalipas na buwan ang planta ay gumawa ng 1/100 ng lahat ng mga produktong ginawa nito ay may depekto, sasabihin namin ito: sa nakalipas na buwan ang halaman ay gumawa ng isang porsyento ng mga depekto. Sa halip na sabihin: ang halaman ay gumawa ng 4/100 higit pang mga produkto kaysa sa itinatag na plano, sasabihin natin: ang planta ay lumampas sa plano ng 4 na porsyento.

Ang mga halimbawa sa itaas ay maaaring ipahayag nang iba:

1. Bumaba ng 12 porsiyento ang presyo ng mga libro sa nakaraang presyo.

2. Ang mga savings bank ay nagbabayad sa mga depositor ng 2 porsiyento bawat taon sa halagang idineposito sa mga ipon.

3. Ang bilang ng mga nagtapos sa isang paaralan ay 5 porsiyento ng lahat ng mga mag-aaral sa paaralan.

Upang paikliin ang titik, kaugalian na isulat ang % na simbolo sa halip na ang salitang "porsiyento".

Gayunpaman, kailangan mong tandaan na sa mga kalkulasyon ang % sign ay karaniwang hindi nakasulat; maaari itong isulat sa pahayag ng problema at sa huling resulta. Kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon, kailangan mong magsulat ng isang fraction na may denominator na 100 sa halip na isang buong numero na may simbolong ito.

Kailangan mong mapalitan ang isang integer ng ipinahiwatig na icon na may isang fraction na may denominator na 100:

Sa kabaligtaran, kailangan mong masanay sa pagsulat ng isang integer na may ipinahiwatig na simbolo sa halip na isang fraction na may denominator na 100:

7. Paghahanap ng porsyento ng isang naibigay na numero.

Gawain 1. Nakatanggap ang paaralan ng 200 cubic meters. m ng kahoy na panggatong, na may birch firewood accounting para sa 30%. Magkano ang kahoy na panggatong ng birch doon?

Ang kahulugan ng problemang ito ay ang birch na panggatong ay binubuo lamang ng bahagi ng kahoy na panggatong na inihatid sa paaralan, at ang bahaging ito ay ipinahayag sa bahaging 30/100. Nangangahulugan ito na mayroon tayong gawain na maghanap ng fraction ng isang numero. Upang malutas ito, dapat nating i-multiply ang 200 sa 30/100 (ang mga problema sa paghahanap ng fraction ng isang numero ay malulutas sa pamamagitan ng pagpaparami ng numero sa fraction.).

Nangangahulugan ito na 30% ng 200 ay katumbas ng 60.

Ang fraction na 30/100 na nakatagpo sa problemang ito ay maaaring bawasan ng 10. Posibleng gawin ang pagbawas na ito sa simula pa lamang; hindi magbabago ang solusyon sa problema.

Gawain 2. Mayroong 300 bata sa iba't ibang edad sa kampo. Ang mga batang 11 taong gulang ay bumubuo ng 21%, ang mga batang 12 taong gulang ay bumubuo ng 61% at sa wakas ay 13 taong gulang na mga bata ay bumubuo ng 18%. Ilang bata sa bawat edad ang naroon sa kampo?

Sa problemang ito kailangan mong magsagawa ng tatlong mga kalkulasyon, i.e. sunud-sunod na hanapin ang bilang ng mga bata 11 taong gulang, pagkatapos ay 12 taong gulang at sa wakas ay 13 taong gulang.

Nangangahulugan ito na dito kakailanganin mong hanapin ang bahagi ng numero nang tatlong beses. Gawin natin:

1) Ilang 11 taong gulang na bata ang naroon?

2) Ilan ang 12 taong gulang na bata doon?

3) Ilan ang 13 taong gulang na bata doon?

Pagkatapos malutas ang problema, ito ay kapaki-pakinabang upang idagdag ang mga numero na natagpuan; ang kanilang kabuuan ay dapat na 300:

63 + 183 + 54 = 300

Dapat ding tandaan na ang kabuuan ng mga porsyento na ibinigay sa pahayag ng problema ay 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Ito ay nagpapahiwatig na ang kabuuang bilang ng mga bata sa kampo ay kinuha bilang 100%.

3 a d a h a 3. Nakatanggap ang manggagawa ng 1,200 rubles bawat buwan. Dito, gumastos siya ng 65% sa pagkain, 6% sa mga apartment at heating, 4% sa gas, kuryente at radyo, 10% sa mga pangkulturang pangangailangan at 15% na natipid. Gaano karaming pera ang ginugol sa mga pangangailangan na ipinahiwatig sa problema?

Upang malutas ang problemang ito kailangan mong hanapin ang fraction ng 1,200 5 beses. Gawin natin ito.

1) Magkano ang nagastos sa pagkain? Sinasabi ng problema na ang gastos na ito ay 65% ​​ng kabuuang kita, ibig sabihin, 65/100 ng bilang na 1,200. Gawin natin ang pagkalkula:

2) Magkano ang binayaran mo para sa isang apartment na may heating? Nangangatuwirang katulad ng nauna, nakarating tayo sa sumusunod na kalkulasyon:

3) Magkano ang perang binayaran mo para sa gas, kuryente at radyo?

4) Magkano ang ginastos sa mga pangangailangang pangkultura?

5) Magkano ang naipon ng manggagawa?

Upang suriin, ito ay kapaki-pakinabang upang magdagdag ng mga numero na matatagpuan sa mga 5 tanong na ito. Ang halaga ay dapat na 1,200 rubles. Ang lahat ng mga kita ay kinukuha bilang 100%, na madaling suriin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga numero ng porsyento na ibinigay sa pahayag ng problema.

Nalutas namin ang tatlong problema. Sa kabila ng katotohanan na ang mga problemang ito ay humarap sa iba't ibang bagay (paghahatid ng kahoy na panggatong para sa paaralan, ang bilang ng mga bata na may iba't ibang edad, mga gastos ng manggagawa), sila ay nalutas sa parehong paraan. Nangyari ito dahil sa lahat ng mga problema ay kinakailangan upang mahanap ang ilang porsyento ng mga ibinigay na numero.

§ 90. Dibisyon ng mga fraction.

Habang pinag-aaralan natin ang paghahati ng mga fraction, isasaalang-alang natin ang mga sumusunod na tanong:

1. Hatiin ang isang integer sa isang integer.
2. Paghahati ng isang fraction sa isang buong bilang
3. Paghahati ng buong bilang sa isang fraction.
4. Paghahati ng fraction sa fraction.
5. Dibisyon ng mga pinaghalong numero.
6. Paghahanap ng numero mula sa ibinigay na fraction nito.
7. Paghahanap ng numero sa pamamagitan ng porsyento nito.

Isaalang-alang natin ang mga ito nang sunud-sunod.

1. Hatiin ang isang integer sa isang integer.

Tulad ng ipinahiwatig sa departamento ng mga integer, ang paghahati ay ang aksyon na binubuo sa katotohanan na, dahil sa produkto ng dalawang salik (dividend) at isa sa mga salik na ito (divisor), isa pang salik ang natagpuan.

Tiningnan namin ang paghahati ng isang integer sa isang integer sa seksyon sa mga integer. Nakatagpo kami ng dalawang kaso ng paghahati doon: paghahati nang walang nalalabi, o “buong” (150: 10 = 15), at paghahati na may natitira (100: 9 = 11 at 1 natitira). Kaya't maaari nating sabihin na sa larangan ng mga integer, ang eksaktong paghahati ay hindi laging posible, dahil ang dibidendo ay hindi palaging produkto ng divisor sa pamamagitan ng integer. Pagkatapos ipasok ang multiplikasyon sa pamamagitan ng isang fraction, maaari naming isaalang-alang ang anumang kaso ng paghahati ng mga integer na posible (tanging paghahati sa pamamagitan ng zero ang hindi kasama).

Halimbawa, ang paghahati ng 7 sa 12 ay nangangahulugan ng paghahanap ng isang numero na ang produkto sa pamamagitan ng 12 ay magiging katumbas ng 7. Ang nasabing numero ay ang fraction na 7 / 12 dahil 7 / 12 12 = 7. Isa pang halimbawa: 14: 25 = 14 / 25, dahil 14 / 25 25 = 14.

Kaya, upang hatiin ang isang buong numero sa isang buong numero, kailangan mong lumikha ng isang fraction na ang numerator ay katumbas ng dibidendo at ang denominator ay katumbas ng divisor.

2. Paghahati ng fraction sa buong bilang.

Hatiin ang fraction na 6 / 7 sa 3. Ayon sa kahulugan ng paghahati na ibinigay sa itaas, mayroon kami dito ang produkto (6 / 7) at isa sa mga kadahilanan (3); ito ay kinakailangan upang mahanap ang isang pangalawang kadahilanan na, kapag pinarami ng 3, ay magbibigay sa ibinigay na produkto 6/7. Malinaw, ito ay dapat na tatlong beses na mas maliit kaysa sa produktong ito. Nangangahulugan ito na ang gawaing itinakda sa amin ay bawasan ang fraction ng 6/7 ng 3 beses.

Alam na natin na ang pagbabawas ng isang fraction ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagpapababa ng numerator nito o sa pamamagitan ng pagtaas ng denominator nito. Kaya maaari kang sumulat:

Sa kasong ito, ang numerator 6 ay nahahati sa 3, kaya ang numerator ay dapat bawasan ng 3 beses.

Kumuha tayo ng isa pang halimbawa: 5 / 8 na hinati sa 2. Dito ang numerator 5 ay hindi nahahati sa 2, na nangangahulugan na ang denominator ay kailangang i-multiply sa numerong ito:

Batay dito, maaaring gawin ang isang panuntunan: Upang hatiin ang isang fraction sa isang buong numero, kailangan mong hatiin ang numerator ng fraction sa buong numero na iyon.(kung maaari), iniiwan ang parehong denominator, o i-multiply ang denominator ng fraction sa numerong ito, na iniiwan ang parehong numerator.

3. Paghahati ng buong bilang sa isang fraction.

Hayaang kailanganin na hatiin ang 5 sa 1/2, ibig sabihin, hanapin ang isang numero na, pagkatapos i-multiply sa 1/2, ay magbibigay sa produkto ng 5. Malinaw, ang bilang na ito ay dapat na mas malaki kaysa sa 5, dahil ang 1/2 ay isang wastong fraction , at kapag nagpaparami ng isang numero ang produkto ng isang wastong fraction ay dapat na mas mababa kaysa sa produktong pinaparami. Upang maging mas malinaw ito, isulat natin ang ating mga aksyon tulad ng sumusunod: 5: 1 / 2 = X , na nangangahulugang x 1/2 = 5.

Kailangan nating makahanap ng ganoong numero X , na, kung i-multiply sa 1/2, ay magbibigay ng 5. Dahil ang pagpaparami ng isang tiyak na numero sa 1/2 ay nangangahulugan ng paghahanap ng 1/2 ng numerong ito, kung gayon, samakatuwid, 1/2 ng hindi kilalang numero X ay katumbas ng 5, at ang buong bilang X doble ang dami, ibig sabihin, 5 2 = 10.

Kaya 5: 1/2 = 5 2 = 10

Suriin natin:

Tingnan natin ang isa pang halimbawa. Sabihin nating gusto mong hatiin ang 6 sa 2/3. Subukan muna nating hanapin ang nais na resulta gamit ang pagguhit (Larawan 19).

Fig.19

Gumuhit tayo ng segment na AB na katumbas ng 6 na yunit, at hatiin ang bawat yunit sa 3 pantay na bahagi. Sa bawat yunit, tatlong-katlo (3/3) ng buong segment AB ay 6 na beses na mas malaki, ibig sabihin. e. 18/3. Gamit ang maliliit na bracket, ikinonekta namin ang 18 na nagreresultang mga segment ng 2; Magkakaroon lamang ng 9 na mga segment. Nangangahulugan ito na ang fraction na 2/3 ay nakapaloob sa 6 na yunit ng 9 na beses, o, sa madaling salita, ang fraction na 2/3 ay 9 na beses na mas mababa sa 6 na buong yunit. Kaya naman,

Paano makukuha ang resultang ito nang walang pagguhit gamit ang mga kalkulasyon lamang? Mangatuwiran tayo ng ganito: kailangan nating hatiin ang 6 sa 2/3, ibig sabihin, kailangan nating sagutin ang tanong kung gaano karaming beses ang 2/3 ay nakapaloob sa 6. Alamin muna natin: ilang beses ang 1/3 ay nakapaloob sa 6? Sa isang buong yunit mayroong 3 ikatlo, at sa 6 na yunit ay may 6 na beses na higit pa, ibig sabihin, 18 ikatlo; upang mahanap ang numerong ito kailangan nating i-multiply ang 6 sa 3. Nangangahulugan ito na ang 1/3 ay nakapaloob sa b unit ng 18 beses, at ang 2/3 ay nasa b unit hindi 18 beses, ngunit kalahati ng maraming beses, i.e. 18: 2 = 9 . Samakatuwid , kapag hinahati ang 6 sa 2/3 ginawa namin ang sumusunod:

Mula dito nakuha namin ang panuntunan para sa paghahati ng isang buong numero sa isang fraction. Upang hatiin ang isang buong numero sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang buong bilang na ito sa denominator ng ibinigay na fraction at, gawin itong numerator, hatiin ito sa numerator ng ibinigay na fraction.

Isulat natin ang panuntunan gamit ang mga titik:

Upang gawing ganap na malinaw ang panuntunang ito, dapat tandaan na ang isang fraction ay maaaring ituring bilang isang quotient. Samakatuwid, kapaki-pakinabang na ihambing ang nahanap na panuntunan sa panuntunan para sa paghahati ng isang numero sa isang quotient, na itinakda sa § 38. Pakitandaan na ang parehong formula ay nakuha doon.

Kapag naghahati, posible ang mga pagdadaglat, halimbawa:

4. Paghahati ng fraction sa fraction.

Sabihin nating kailangan nating hatiin ang 3/4 sa 3/8. Ano ang ibig sabihin ng bilang na nagreresulta mula sa paghahati? Sasagutin nito ang tanong kung gaano karaming beses ang fraction 3/8 ay nakapaloob sa fraction 3/4. Upang maunawaan ang isyung ito, gumawa tayo ng pagguhit (Larawan 20).

Kumuha tayo ng isang segment na AB, kunin ito bilang isa, hatiin ito sa 4 na pantay na bahagi at markahan ang 3 tulad na mga bahagi. Ang Segment AC ay magiging katumbas ng 3/4 ng segment AB. Hatiin natin ngayon ang bawat isa sa apat na orihinal na mga segment sa kalahati, pagkatapos ay ang segment AB ay hahatiin sa 8 pantay na bahagi at ang bawat naturang bahagi ay magiging katumbas ng 1/8 ng segment AB. Ikonekta natin ang 3 ganoong mga segment na may mga arko, pagkatapos ang bawat isa sa mga segment na AD at DC ay magiging katumbas ng 3/8 ng segment AB. Ipinapakita ng drawing na ang isang segment na katumbas ng 3/8 ay nakapaloob sa isang segment na katumbas ng 3/4 nang eksaktong 2 beses; Nangangahulugan ito na ang resulta ng paghahati ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Tingnan natin ang isa pang halimbawa. Sabihin nating kailangan nating hatiin ang 15/16 sa 3/32:

Maaari tayong mangatuwiran nang ganito: kailangan nating maghanap ng numero na, pagkatapos i-multiply sa 3/32, ay magbibigay ng produkto na katumbas ng 15/16. Isulat natin ang mga kalkulasyon tulad nito:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 hindi kilalang numero X ay 15/16

1/32 ng hindi kilalang numero X ay ,

32 / 32 na mga numero X magkasundo .

Kaya naman,

Kaya, upang hatiin ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang numerator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa, at i-multiply ang denominator ng unang fraction sa numerator ng pangalawa, at gawin ang unang produkto bilang numerator, at ang pangalawa ang denominator.

Isulat natin ang panuntunan gamit ang mga titik:

Kapag naghahati, posible ang mga pagdadaglat, halimbawa:

5. Dibisyon ng mga pinaghalong numero.

Kapag hinahati ang halo-halong mga numero, dapat munang i-convert ang mga ito sa hindi wastong mga fraction, at pagkatapos ay dapat na hatiin ang mga resultang fraction ayon sa mga patakaran para sa paghahati ng mga fraction. Tingnan natin ang isang halimbawa:

I-convert natin ang mga pinaghalong numero sa mga hindi wastong fraction:

Ngayon hatiin natin:

Kaya, upang hatiin ang mga pinaghalong numero, kailangan mong i-convert ang mga ito sa hindi wastong mga fraction at pagkatapos ay hatiin gamit ang panuntunan para sa paghahati ng mga fraction.

6. Paghahanap ng numero mula sa ibinigay na fraction nito.

Kabilang sa iba't ibang mga problema sa fraction, minsan mayroong mga kung saan ang halaga ng ilang bahagi ng isang hindi kilalang numero ay ibinibigay at kailangan mong hanapin ang numerong ito. Ang ganitong uri ng problema ay magiging kabaligtaran ng problema ng paghahanap ng bahagi ng isang naibigay na numero; mayroong isang numero na ibinigay at ito ay kinakailangan upang mahanap ang ilang bahagi ng numerong ito, dito isang bahagi ng isang numero ay ibinigay at ito ay kinakailangan upang mahanap ang numerong ito mismo. Ang ideyang ito ay magiging mas malinaw kung tayo ay tutugon sa paglutas ng ganitong uri ng problema.

Gawain 1. Sa unang araw, pinakinang ng mga glazier ang 50 bintana, na 1/3 ng lahat ng bintana ng itinayong bahay. Ilang bintana ang mayroon sa bahay na ito?

Solusyon. Sinasabi ng problema na ang 50 glazed windows ay bumubuo sa 1/3 ng lahat ng mga bintana ng bahay, na nangangahulugang mayroong 3 beses na higit pang mga bintana sa kabuuan, i.e.

Ang bahay ay may 150 na bintana.

Gawain 2. Nagbenta ang tindahan ng 1,500 kg ng harina, na 3/8 ng kabuuang stock ng harina na mayroon ang tindahan. Ano ang unang supply ng harina sa tindahan?

Solusyon. Mula sa mga kondisyon ng problema ay malinaw na ang 1,500 kg ng harina na nabili ay bumubuo ng 3/8 ng kabuuang stock; Nangangahulugan ito na ang 1/8 ng reserbang ito ay magiging 3 beses na mas mababa, ibig sabihin, upang makalkula ito kailangan mong bawasan ang 1500 ng 3 beses:

1,500: 3 = 500 (ito ay 1/8 ng reserba).

Malinaw, ang buong supply ay magiging 8 beses na mas malaki. Kaya naman,

500 8 = 4,000 (kg).

Ang unang stock ng harina sa tindahan ay 4,000 kg.

Mula sa pagsasaalang-alang sa problemang ito, maaaring makuha ang sumusunod na panuntunan.

Upang makahanap ng isang numero mula sa isang ibinigay na halaga ng fraction nito, sapat na upang hatiin ang halagang ito sa numerator ng fraction at i-multiply ang resulta sa denominator ng fraction.

Nalutas namin ang dalawang problema sa paghahanap ng isang numero na ibinigay sa fraction nito. Ang ganitong mga problema, tulad ng malinaw na nakikita mula sa huli, ay nalutas sa pamamagitan ng dalawang aksyon: paghahati (kapag natagpuan ang isang bahagi) at pagpaparami (kapag natagpuan ang buong bilang).

Gayunpaman, pagkatapos nating matutunan ang paghahati ng mga fraction, ang mga problema sa itaas ay maaaring malutas sa isang aksyon, katulad: paghahati sa isang fraction.

Halimbawa, ang huling gawain ay maaaring malutas sa isang aksyon tulad nito:

Sa hinaharap, malulutas namin ang mga problema sa paghahanap ng isang numero mula sa fraction nito na may isang aksyon - dibisyon.

7. Paghahanap ng numero sa pamamagitan ng porsyento nito.

Sa mga problemang ito kakailanganin mong humanap ng numerong nakakaalam ng ilang porsyento ng bilang na iyon.

Gawain 1. Sa simula ng taong ito nakatanggap ako ng 60 rubles mula sa savings bank. kita mula sa halagang inilagay ko sa ipon noong isang taon. Gaano karaming pera ang inilagay ko sa savings bank? (Ang mga cash desk ay nagbibigay sa mga depositor ng 2% na kita bawat taon.)

Ang punto ng problema ay naglagay ako ng isang tiyak na halaga ng pera sa isang savings bank at nanatili doon ng isang taon. Pagkaraan ng isang taon, nakatanggap ako ng 60 rubles mula sa kanya. income, which is 2/100 of the money na idineposito ko. Magkano pera ang inilagay ko?

Dahil dito, ang pag-alam sa bahagi ng perang ito, na ipinahayag sa dalawang paraan (sa rubles at mga fraction), dapat nating hanapin ang kabuuan, na hindi pa alam, halaga. Ito ay isang ordinaryong problema ng paghahanap ng isang numero dahil sa fraction nito. Ang mga sumusunod na problema ay nalutas sa pamamagitan ng paghahati:

Nangangahulugan ito na 3,000 rubles ang idineposito sa savings bank.

Gawain 2. Natupad ng mga mangingisda ang buwanang plano ng 64% sa loob ng dalawang linggo, umani ng 512 toneladang isda. Ano ang kanilang plano?

Mula sa mga kondisyon ng problema ay alam na natapos ng mga mangingisda ang bahagi ng plano. Ang bahaging ito ay katumbas ng 512 tonelada, na 64% ng plano. Hindi natin alam kung ilang toneladang isda ang kailangang ihanda ayon sa plano. Ang paghahanap ng numerong ito ang magiging solusyon sa problema.

Ang ganitong mga problema ay nalutas sa pamamagitan ng paghahati:

Ibig sabihin, ayon sa plano, 800 toneladang isda ang kailangang ihanda.

Gawain 3. Ang tren ay nagmula sa Riga patungong Moscow. Nang makalampas siya sa ika-276 na kilometro, tinanong ng isa sa mga pasahero ang isang dumadaan na konduktor kung gaano na katagal ang kanilang paglalakbay. Sumagot dito ang konduktor: "Nasaklaw na namin ang 30% ng buong paglalakbay." Ano ang distansya mula Riga hanggang Moscow?

Mula sa mga kondisyon ng problema ay malinaw na ang 30% ng ruta mula sa Riga hanggang Moscow ay 276 km. Kailangan nating hanapin ang buong distansya sa pagitan ng mga lungsod na ito, ibig sabihin, para sa bahaging ito, hanapin ang kabuuan:

§ 91. Mga katumbas na numero. Pagpapalit ng dibisyon ng multiplikasyon.

Kunin natin ang fraction na 2/3 at palitan ang numerator sa lugar ng denominator, makakakuha tayo ng 3/2. Nakuha namin ang kabaligtaran ng fraction na ito.

Upang makuha ang inverse ng isang binigay na fraction, kailangan mong ilagay ang numerator nito sa lugar ng denominator, at ang denominator sa lugar ng numerator. Sa ganitong paraan maaari nating makuha ang kapalit ng anumang fraction. Halimbawa:

3/4, baligtarin 4/3; 5/6, baligtarin 6/5

Dalawang fraction na may katangian na ang numerator ng una ay ang denominator ng pangalawa, at ang denominator ng una ay ang numerator ng pangalawa, ay tinatawag magkabaligtaran.

Ngayon isipin natin kung anong fraction ang magiging reciprocal ng 1/2. Malinaw, ito ay magiging 2 / 1, o 2 lang. Sa pamamagitan ng paghahanap ng kabaligtaran na bahagi ng ibinigay na isa, nakakuha kami ng isang integer. At ang kasong ito ay hindi nakahiwalay; sa kabaligtaran, para sa lahat ng mga praksiyon na may numerator na 1 (isa), ang mga kapalit ay magiging mga integer, halimbawa:

1/3, baligtarin 3; 1/5, baligtarin 5

Dahil sa paghahanap ng mga reciprocal fraction ay nakatagpo din kami ng mga integer, sa mga sumusunod ay pag-uusapan natin hindi ang tungkol sa mga reciprocal fraction, ngunit tungkol sa mga reciprocal na numero.

Alamin natin kung paano isulat ang kabaligtaran ng isang integer. Para sa mga fraction, ito ay malulutas nang simple: kailangan mong ilagay ang denominator sa halip ng numerator. Sa parehong paraan, maaari mong makuha ang inverse ng isang integer, dahil ang anumang integer ay maaaring magkaroon ng denominator ng 1. Nangangahulugan ito na ang inverse ng 7 ay magiging 1/7, dahil 7 = 7/1; para sa bilang 10 ang kabaligtaran ay magiging 1/10, dahil 10 = 10/1

Ang ideyang ito ay maaaring ipahayag nang iba: ang reciprocal ng isang naibigay na numero ay nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng isa sa isang ibinigay na numero. Ang pahayag na ito ay totoo hindi lamang para sa mga buong numero, kundi pati na rin para sa mga fraction. Sa katunayan, kung kailangan nating isulat ang kabaligtaran ng fraction na 5/9, maaari nating kunin ang 1 at hatiin ito sa 5/9, i.e.

Ngayon ituro natin ang isang bagay ari-arian mga katumbas na numero, na magiging kapaki-pakinabang sa amin: ang produkto ng mga katumbas na numero ay katumbas ng isa. talaga:

Gamit ang property na ito, mahahanap natin ang mga katumbas na numero sa sumusunod na paraan. Sabihin nating kailangan nating hanapin ang kabaligtaran ng 8.

Tukuyin natin ito sa pamamagitan ng titik X , pagkatapos 8 X = 1, samakatuwid X = 1/8. Maghanap tayo ng isa pang numero na kabaligtaran ng 7/12 at tukuyin ito ng titik X , pagkatapos ay 7/12 X = 1, samakatuwid X = 1: 7 / 12 o X = 12 / 7 .

Ipinakilala namin dito ang konsepto ng reciprocal na mga numero upang bahagyang madagdagan ang impormasyon tungkol sa paghahati ng mga fraction.

Kapag hinati namin ang numero 6 sa 3/5, ginagawa namin ang sumusunod:

Bigyang-pansin ang ekspresyon at ihambing ito sa ibinigay na isa: .

Kung kukuha tayo ng expression nang hiwalay, nang walang koneksyon sa nauna, imposibleng malutas ang tanong kung saan ito nanggaling: mula sa paghahati ng 6 sa 3/5 o mula sa pagpaparami ng 6 sa 5/3. Sa parehong mga kaso pareho ang nangyayari. Samakatuwid masasabi natin na ang paghahati ng isang numero sa isa pa ay maaaring palitan sa pamamagitan ng pagpaparami ng dibidendo sa kabaligtaran ng divisor.

Ang mga halimbawang ibinigay namin sa ibaba ay ganap na nagpapatunay sa konklusyong ito.

Sabihin nating tumakbo si Achilles ng sampung beses na mas mabilis kaysa sa pagong at isang libong hakbang sa likod nito. Sa oras na kailangan ni Achilles upang tumakbo sa distansyang ito, ang pagong ay gagapang ng isang daang hakbang sa parehong direksyon. Kapag si Achilles ay tumakbo ng isang daang hakbang, ang pagong ay gumagapang ng isa pang sampung hakbang, at iba pa. Ang proseso ay magpapatuloy sa ad infinitum, hindi na maaabutan ni Achilles ang pagong.

Ang pangangatwiran na ito ay naging isang lohikal na pagkabigla para sa lahat ng kasunod na henerasyon. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Itinuring nilang lahat ang aporia ni Zeno sa isang paraan o iba pa. Napakalakas ng shock kaya" ... ang mga talakayan ay nagpapatuloy hanggang sa araw na ito, ang siyentipikong komunidad ay hindi pa nakakakuha ng isang karaniwang opinyon sa kakanyahan ng mga kabalintunaan ... matematikal na pagsusuri, set theory, bagong pisikal at pilosopikal na mga diskarte ay kasangkot sa pag-aaral ng isyu ; wala sa kanila ang naging pangkalahatang tinatanggap na solusyon sa problema..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Naiintindihan ng lahat na sila ay niloloko, ngunit walang nakakaintindi kung ano ang binubuo ng panlilinlang.

Mula sa isang mathematical point of view, si Zeno sa kanyang aporia ay malinaw na nagpakita ng paglipat mula sa dami sa . Ang paglipat na ito ay nagpapahiwatig ng aplikasyon sa halip na mga permanenteng. Sa pagkakaintindi ko, ang mathematical apparatus para sa paggamit ng mga variable na unit ng pagsukat ay hindi pa nabubuo, o hindi pa ito nailapat sa aporia ni Zeno. Ang paglalapat ng ating karaniwang lohika ay humahantong sa atin sa isang bitag. Kami, dahil sa pagkawalang-kilos ng pag-iisip, ay naglalapat ng pare-parehong mga yunit ng oras sa katumbas na halaga. Mula sa pisikal na pananaw, mukhang bumagal ang oras hanggang sa tuluyang huminto sa sandaling maabutan ni Achilles ang pagong. Kung titigil ang oras, hindi na kayang malampasan ni Achilles ang pagong.

Kung iikot natin ang ating karaniwang lohika, ang lahat ay nahuhulog sa lugar. Tumatakbo si Achilles sa patuloy na bilis. Ang bawat kasunod na bahagi ng kanyang landas ay sampung beses na mas maikli kaysa sa nauna. Alinsunod dito, ang oras na ginugol sa pagtagumpayan ito ay sampung beses na mas mababa kaysa sa nauna. Kung ilalapat natin ang konsepto ng "infinity" sa sitwasyong ito, tama na sabihing "Mabilis na maaabutan ni Achilles ang pagong."

Paano maiiwasan ang lohikal na bitag na ito? Manatili sa pare-parehong mga yunit ng oras at huwag lumipat sa reciprocal na mga yunit. Sa wika ni Zeno, ganito ang hitsura:

Sa oras na kailangan ni Achilles upang tumakbo ng isang libong hakbang, ang pagong ay gagapang ng isang daang hakbang sa parehong direksyon. Sa susunod na agwat ng oras na katumbas ng una, tatakbo si Achilles ng isa pang libong hakbang, at ang pagong ay gagapang ng isang daang hakbang. Ngayon si Achilles ay walong daang hakbang sa unahan ng pagong.

Ang diskarte na ito ay sapat na naglalarawan sa katotohanan nang walang anumang mga lohikal na kabalintunaan. Ngunit hindi ito kumpletong solusyon sa problema. Ang pahayag ni Einstein tungkol sa hindi mapaglabanan ng bilis ng liwanag ay halos kapareho sa aporia ni Zeno na "Achilles and the Tortoise". Kailangan pa nating pag-aralan, pag-isipang muli at lutasin ang problemang ito. At ang solusyon ay dapat hanapin hindi sa walang katapusang malalaking numero, ngunit sa mga yunit ng pagsukat.

Ang isa pang kawili-wiling aporia ng Zeno ay nagsasabi tungkol sa isang lumilipad na palaso:

Ang lumilipad na palaso ay hindi gumagalaw, dahil sa bawat sandali ng oras ito ay nagpapahinga, at dahil ito ay nakapahinga sa bawat sandali ng oras, ito ay palaging nasa pahinga.

Sa aporia na ito, ang lohikal na kabalintunaan ay napagtagumpayan nang napakasimple - sapat na upang linawin na sa bawat sandali ng oras ang isang lumilipad na arrow ay nagpapahinga sa iba't ibang mga punto sa kalawakan, na, sa katunayan, ay paggalaw. Ang isa pang punto ay kailangang tandaan dito. Mula sa isang larawan ng isang kotse sa kalsada imposibleng matukoy ang alinman sa katotohanan ng paggalaw nito o ang distansya dito. Upang matukoy kung ang isang kotse ay gumagalaw, kailangan mo ng dalawang larawan na kinunan mula sa parehong punto sa magkaibang mga punto ng oras, ngunit hindi mo matukoy ang distansya mula sa kanila. Upang matukoy ang distansya sa isang kotse, kailangan mo ng dalawang litrato na kinuha mula sa iba't ibang mga punto sa espasyo sa isang punto sa oras, ngunit mula sa kanila hindi mo matukoy ang katotohanan ng paggalaw (siyempre, kailangan mo pa rin ng karagdagang data para sa mga kalkulasyon, makakatulong sa iyo ang trigonometrya. ). Ang gusto kong bigyan ng espesyal na pansin ay ang dalawang punto sa oras at dalawang punto sa kalawakan ay magkaibang mga bagay na hindi dapat malito, dahil nagbibigay sila ng iba't ibang pagkakataon para sa pananaliksik.

Miyerkules, Hulyo 4, 2018

Ang mga pagkakaiba sa pagitan ng set at multiset ay inilarawan nang mahusay sa Wikipedia. Tingnan natin.

Tulad ng makikita mo, "hindi maaaring magkaroon ng dalawang magkaparehong elemento sa isang set," ngunit kung mayroong magkaparehong mga elemento sa isang set, ang naturang set ay tinatawag na "multiset." Ang mga makatwirang nilalang ay hindi kailanman mauunawaan ang gayong walang katotohanan na lohika. Ito ang antas ng pagsasalita ng mga parrot at sinanay na unggoy, na walang katalinuhan mula sa salitang "ganap". Ang mga mathematician ay kumikilos bilang mga ordinaryong tagapagsanay, na ipinangangaral sa amin ang kanilang mga walang katotohanan na ideya.

Noong unang panahon, ang mga inhinyero na gumawa ng tulay ay nasa isang bangka sa ilalim ng tulay habang sinusuri ang tulay. Kung ang tulay ay gumuho, ang pangkaraniwang inhinyero ay namatay sa ilalim ng mga durog na bato ng kanyang nilikha. Kung ang tulay ay makatiis sa karga, ang mahuhusay na inhinyero ay gumawa ng iba pang mga tulay.

Gaano man magtago ang mga mathematician sa likod ng pariralang "isipin mo ako, nasa bahay ako," o sa halip, "pag-aaral ng matematika ng mga abstract na konsepto," mayroong isang pusod na hindi mapaghihiwalay na nag-uugnay sa kanila sa katotohanan. Ang pusod na ito ay pera. Ilapat natin ang mathematical set theory sa mga mathematician mismo.

Nag-aral kami ng mabuti sa matematika at ngayon ay nakaupo kami sa cash register, nagbibigay ng suweldo. Kaya isang mathematician ang pumunta sa amin para sa kanyang pera. Binibilang namin ang buong halaga sa kanya at inilalatag ito sa aming mesa sa iba't ibang mga tambak, kung saan naglalagay kami ng mga bill ng parehong denominasyon. Pagkatapos ay kukuha kami ng isang kuwenta mula sa bawat tumpok at ibibigay sa mathematician ang kanyang "mathematical set of salary." Ipaliwanag natin sa mathematician na matatanggap lamang niya ang natitirang mga bayarin kapag napatunayan niya na ang isang set na walang magkatulad na elemento ay hindi katumbas ng isang set na may magkaparehong elemento. Dito nagsisimula ang saya.

Una sa lahat, gagana ang lohika ng mga kinatawan: "Maaari itong mailapat sa iba, ngunit hindi sa akin!" Pagkatapos ay magsisimula silang tiyakin sa amin na ang mga bill ng parehong denominasyon ay may iba't ibang mga numero ng bill, na nangangahulugang hindi sila maituturing na parehong mga elemento. Okay, bilangin natin ang mga suweldo sa mga barya - walang mga numero sa mga barya. Dito magsisimulang maalala ng mathematician ang pisika: ang iba't ibang mga barya ay may iba't ibang dami ng dumi, ang kristal na istraktura at pag-aayos ng mga atom ay natatangi para sa bawat barya...

At ngayon mayroon akong pinaka-kagiliw-giliw na tanong: nasaan ang linya kung saan ang mga elemento ng isang multiset ay nagiging mga elemento ng isang set at vice versa? Ang ganitong linya ay hindi umiiral - ang lahat ay napagpasyahan ng mga shaman, ang agham ay hindi malapit sa pagsisinungaling dito.

Tumingin dito. Pumili kami ng mga football stadium na may parehong field area. Ang mga lugar ng mga field ay pareho - ibig sabihin mayroon kaming multiset. Ngunit kung titingnan natin ang mga pangalan ng parehong mga istadyum, makakakuha tayo ng marami, dahil magkaiba ang mga pangalan. Tulad ng nakikita mo, ang parehong hanay ng mga elemento ay parehong set at multiset. Ano ang tama? At dito ang mathematician-shaman-sharpist ay naglabas ng isang ace of trumps mula sa kanyang manggas at nagsimulang sabihin sa amin ang tungkol sa isang set o isang multiset. Sa anumang kaso, kukumbinsihin niya tayo na tama siya.

Upang maunawaan kung paano gumagana ang mga modernong shaman gamit ang teorya ng set, tinali ito sa katotohanan, sapat na upang sagutin ang isang tanong: paano naiiba ang mga elemento ng isang set mula sa mga elemento ng isa pang set? Ipapakita ko sa iyo, nang walang anumang "maiisip bilang hindi isang solong kabuuan" o "hindi maiisip bilang isang solong kabuuan."

Linggo, Marso 18, 2018

Ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay isang sayaw ng mga shaman na may tamburin, na walang kinalaman sa matematika. Oo, sa mga aralin sa matematika ay tinuturuan tayong hanapin ang kabuuan ng mga digit ng isang numero at gamitin ito, ngunit iyan ang dahilan kung bakit sila ay mga shaman, upang turuan ang kanilang mga inapo ng kanilang mga kasanayan at karunungan, kung hindi, ang mga shaman ay mamamatay lamang.

Kailangan mo ba ng patunay? Buksan ang Wikipedia at subukang hanapin ang pahinang "Kabuuan ng mga digit ng isang numero." Wala siya. Walang formula sa matematika na magagamit upang mahanap ang kabuuan ng mga digit ng anumang numero. Pagkatapos ng lahat, ang mga numero ay mga graphic na simbolo kung saan namin isinusulat ang mga numero, at sa wika ng matematika ang gawain ay ganito ang tunog: "Hanapin ang kabuuan ng mga graphic na simbolo na kumakatawan sa anumang numero." Hindi malulutas ng mga matematiko ang problemang ito, ngunit madali itong magagawa ng mga shaman.

Alamin natin kung ano at paano natin gagawin upang mahanap ang kabuuan ng mga digit ng isang naibigay na numero. At sa gayon, magkaroon tayo ng numerong 12345. Ano ang kailangang gawin upang mahanap ang kabuuan ng mga digit ng numerong ito? Isaalang-alang natin ang lahat ng mga hakbang sa pagkakasunud-sunod.

1. Isulat ang numero sa isang papel. Ano'ng nagawa natin? Na-convert namin ang numero sa isang simbolo ng graphical na numero. Ito ay hindi isang mathematical operation.

2. Pinutol namin ang isang nagresultang larawan sa ilang mga larawan na naglalaman ng mga indibidwal na numero. Ang pagputol ng larawan ay hindi isang mathematical operation.

3. I-convert ang mga indibidwal na graphic na simbolo sa mga numero. Ito ay hindi isang mathematical operation.

4. Idagdag ang mga resultang numero. Ngayon ito ay matematika.

Ang kabuuan ng mga digit ng numerong 12345 ay 15. Ito ang mga "kurso sa pagputol at pananahi" na itinuro ng mga shaman na ginagamit ng mga mathematician. Ngunit hindi lang iyon.

Mula sa isang mathematical point of view, hindi mahalaga kung saang sistema ng numero tayo nagsusulat ng isang numero. Kaya, sa iba't ibang mga sistema ng numero ang kabuuan ng mga digit ng parehong numero ay magkakaiba. Sa matematika, ang sistema ng numero ay ipinahiwatig bilang isang subscript sa kanan ng numero. Sa malaking bilang na 12345, hindi ko nais na lokohin ang aking ulo, isaalang-alang natin ang numero 26 mula sa artikulo tungkol sa. Isulat natin ang numerong ito sa binary, octal, decimal at hexadecimal na mga sistema ng numero. Hindi namin titingnan ang bawat hakbang sa ilalim ng mikroskopyo; nagawa na namin iyon. Tingnan natin ang resulta.

Tulad ng nakikita mo, sa iba't ibang mga sistema ng numero ang kabuuan ng mga digit ng parehong numero ay iba. Ang resultang ito ay walang kinalaman sa matematika. Ito ay katulad ng kung tinukoy mo ang lugar ng isang parihaba sa metro at sentimetro, makakakuha ka ng ganap na magkakaibang mga resulta.

Pareho ang hitsura ng Zero sa lahat ng sistema ng numero at walang kabuuan ng mga digit. Ito ay isa pang argumento na pabor sa katotohanang iyon. Tanong para sa mga mathematician: paano itinalaga sa matematika ang isang bagay na hindi isang numero? Ano, para sa mga mathematician walang umiiral maliban sa mga numero? Maaari kong payagan ito para sa mga shaman, ngunit hindi para sa mga siyentipiko. Ang katotohanan ay hindi lamang tungkol sa mga numero.

Ang resulta na nakuha ay dapat isaalang-alang bilang patunay na ang mga sistema ng numero ay mga yunit ng pagsukat para sa mga numero. Pagkatapos ng lahat, hindi natin maihahambing ang mga numero sa iba't ibang mga yunit ng pagsukat. Kung ang parehong mga aksyon na may iba't ibang mga yunit ng pagsukat ng parehong dami ay humantong sa iba't ibang mga resulta pagkatapos ihambing ang mga ito, kung gayon ito ay walang kinalaman sa matematika.

Ano ang tunay na matematika? Ito ay kapag ang resulta ng isang mathematical operation ay hindi nakadepende sa laki ng numero, ang yunit ng pagsukat na ginamit at kung sino ang nagsasagawa ng pagkilos na ito.

Oh! Hindi ba ito ang palikuran ng mga babae?
- Batang babae! Isa itong laboratoryo para sa pag-aaral ng indephilic na kabanalan ng mga kaluluwa sa kanilang pag-akyat sa langit! Halo sa itaas at arrow pataas. Anong palikuran?

Babae... Ang halo sa itaas at ang arrow pababa ay lalaki.

Kung ang ganitong gawain ng sining ng disenyo ay kumikislap sa harap ng iyong mga mata nang maraming beses sa isang araw,

Kung gayon, hindi nakakagulat na bigla kang makakita ng kakaibang icon sa iyong sasakyan:

Sa personal, nagsisikap akong makita ang minus na apat na degree sa isang tumatae na tao (isang larawan) (isang komposisyon ng ilang mga larawan: isang minus sign, ang numero apat, isang pagtatalaga ng mga degree). At hindi ko akalain na ang babaeng ito ay isang hangal na hindi marunong sa pisika. Mayroon lang siyang malakas na stereotype sa pag-unawa sa mga graphic na larawan. At itinuturo ito sa amin ng mga mathematician sa lahat ng oras. Narito ang isang halimbawa.

Ang 1A ay hindi “minus four degrees” o “one a”. Ito ay "pooping man" o ang numerong "dalawampu't anim" sa hexadecimal notation. Ang mga taong patuloy na nagtatrabaho sa sistema ng numero na ito ay awtomatikong nakikita ang isang numero at isang titik bilang isang graphic na simbolo.