Ang formula para sa sectional area ng isang bilog. Lugar ng isang bilog: pormula

Panuto

Gamitin ang Pi upang mahanap ang radius batay sa kilalang lugar ng bilog. Ang palaging ito ay nagtatakda ng proporsyon sa pagitan ng diameter ng bilog at ang haba ng hangganan nito (bilog). Ang haba ng isang bilog ay ang maximum na lugar ng isang eroplano na maaaring sakop nito, at ang diameter ay katumbas ng dalawang radii, samakatuwid ang lugar na may radius ay nakikipag-ugnayan din sa bawat isa sa isang proporsyon na maaaring ipahayag sa pamamagitan ng numero Pi. Ang pare-pareho (π) na ito ay tinukoy bilang ang lugar (S) at ang parisukat na radius (r) ng bilog. Sinusundan mula rito na ang radius ay maaaring ipahayag bilang parisukat na ugat ng kabuuan ng paghati sa lugar ng bilang na Pi: r = √ (S / π).

Sa loob ng mahabang panahon, pinangunahan ni Erastophenes ang Library of Alexandria, ang pinakatanyag na aklatan ng sinaunang mundo. Bilang karagdagan sa pagkalkula ng laki ng ating planeta, gumawa siya ng maraming mahahalagang imbensyon at tuklas. Nag-imbento siya ng isang simpleng pamamaraan para sa pagtukoy ng mga pangunahing numero, na ngayon ay tinawag na "Erastofen sieve."

Gumuhit siya ng isang "mapa ng mundo" kung saan ipinakita niya ang lahat ng mga bahagi ng mundo na kilala ng mga sinaunang Greeks sa oras na iyon. Ang mapa ay itinuturing na isa sa pinakamahusay para sa oras nito. Bumuo ng isang sistema ng longitude at latitude at isang kalendaryo na may kasamang mga taon ng pagtalon. Naimbento ang armillary sphere, isang mechanical device na ginamit ng maagang mga astronomo upang maipakita at mahulaan ang maliwanag na paggalaw ng mga bituin sa kalangitan. Nag-compile din siya ng isang stellar catalog na 675 na mga bituin.

Pinagmulan:

• Ang Greek scientist na si Eratosthenes ng Cyrene ang nagkalkula ng radius ng Earth sa kauna-unahang pagkakataon sa buong mundo
• Eratosthenes "Pagkalkula ng Lupa" na Libot
• Eratosthenes

Ay isang patag na pigura na isang hanay ng mga puntos na equidistant mula sa gitna. Lahat sila ay nasa parehong distansya at bumubuo ng isang bilog.

Ang segment na nag-uugnay sa gitna ng bilog na may mga punto ng bilog nito ay tinawag radius... Sa bawat bilog, ang lahat ng radii ay katumbas ng bawat isa. Ang isang tuwid na linya na kumokonekta sa dalawang puntos sa isang bilog at dumadaan sa gitna ay tinatawag diameter... Ang pormula para sa lugar ng isang bilog ay kinakalkula gamit ang isang matematika na pare-pareho - ang bilang π ..

Ito ay kagiliw-giliw : Bilang π. ay ang ratio ng bilog ng isang bilog sa haba ng diameter nito at pare-pareho. Ang halagang = 3.1415926 ay inilapat pagkatapos ng mga gawa ni L. Euler noong 1737.

Ang lugar ng isang bilog ay maaaring kalkulahin gamit ang pare-pareho π. at ang radius ng bilog. Ang formula para sa lugar ng isang bilog sa mga tuntunin ng radius ay ganito ang hitsura:

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng isang bilog sa mga tuntunin ng radius. Hayaan ang isang bilog na may radius na R = 4 cm ang ibigay. Hanapin natin ang lugar ng pigura.

Ang aming paligid ay magiging 50.24 square meter. cm.

May pormula lugar ng isang bilog sa pamamagitan ng diameter... Malawak din itong ginagamit upang makalkula ang mga kinakailangang parameter. Ang mga formula na ito ay maaaring magamit upang maghanap.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng isang bilog sa pamamagitan ng diameter, alam ang radius nito. Hayaang ibigay ang isang bilog na may radius na R = 4 cm. Upang magsimula, nakita namin ang diameter, na, tulad ng alam mo, ay dalawang beses ang radius.


Ginagamit namin ngayon ang data bilang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng isang bilog gamit ang formula sa itaas:

Tulad ng nakikita mo, ang resulta ay ang parehong sagot tulad ng sa mga unang kalkulasyon.

Ang kaalaman sa karaniwang mga formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang bilog ay makakatulong sa hinaharap upang madaling matukoy lugar ng sektor at madali itong makahanap ng nawawalang dami.

Alam na natin na ang formula para sa lugar ng isang bilog ay kinakalkula sa pamamagitan ng produkto ng pare-pareho π ng parisukat ng radius ng bilog. Ang radius ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng paligid at ang expression ay maaaring mapalitan sa formula para sa lugar ng isang bilog sa mga tuntunin ng paligid:
Ngayon ay pinapalitan namin ang pagkakapantay-pantay na ito sa pormula para sa pagkalkula ng lugar ng isang bilog at makuha ang pormula para sa paghahanap ng lugar ng isang bilog, sa pamamagitan ng bilog

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng isang bilog sa mga tuntunin ng paligid. Hayaan ang isang bilog na may haba ng l = 8 cm ang ibibigay. Pinapalitan namin ang halaga sa nagmula sa pormula:

Ang kabuuang lugar ng bilog ay magiging 5 metro kuwadradong. cm.

Lugar ng isang bilog na nabalot sa paligid ng isang parisukat

Napakadali upang mahanap ang lugar ng isang bilog na nai-circumscribe sa paligid ng isang parisukat.

Nangangailangan lamang ito ng panig ng parisukat at ang kaalaman ng mga simpleng pormula. Ang dayagonal ng parisukat ay magiging katumbas ng diagonal ng tuli. Alam ang panig a, maaari itong matagpuan sa teorama ng Pythagorean: mula dito.
Matapos hanapin ang dayagonal, maaari nating kalkulahin ang radius:
At pagkatapos ay pinapalitan namin ang lahat sa pangunahing formula para sa lugar ng isang bilog na inilarawan sa paligid ng isang parisukat:

Ang isang bilog ay isang nakikitang koleksyon ng maraming mga puntos na sa parehong distansya mula sa gitna. Upang hanapin ang lugar nito, kailangan mong malaman kung ano ang radius, diameter, numero π at sirkulasyon.

Ang dami na kasangkot sa pagkalkula ng lugar ng isang bilog

Ang distansya na nalilimitahan ng gitnang punto ng bilog at alinman sa mga punto ng bilog ay tinatawag na radius ng geometric na pigura na ito. Ang haba ng lahat ng radii ng isang bilog ay pareho. Ang segment sa pagitan ng anumang 2 puntos ng bilog na dumadaan sa gitnang punto ay tinatawag na diameter. Ang haba ng diameter ay katumbas ng haba ng radius beses 2.

Upang makalkula ang lugar ng isang bilog, gamitin ang halagang π. Ang halagang ito ay katumbas ng ratio ng bilog sa haba ng diameter ng bilog at may pare-parehong halaga. Π = 3.1415926. Ang paligid ay kinakalkula ng pormulang L = 2πR.

Hanapin ang lugar ng isang bilog sa pamamagitan ng radius

Samakatuwid, ang lugar ng isang bilog ay katumbas ng produkto ng bilang π sa pamamagitan ng radius ng bilog, naitaas sa ika-2 lakas. Bilang isang halimbawa, kunin natin ang haba ng radius ng bilog na katumbas ng 5 cm. Pagkatapos ang lugar ng bilog S ay magiging katumbas ng 3.14 * 5 ^ 2 = 78.5 square meters. cm.

Lugar ng isang bilog sa pamamagitan ng diameter

Ang lugar ng isang bilog ay maaari ring kalkulahin sa pamamagitan ng pag-alam sa laki ng diameter ng bilog. Sa kasong ito, S = (π / 4) * d ^ 2, kung saan d ang diameter ng bilog. Gawin natin ang parehong halimbawa, kung saan ang radius ay 5 cm. Pagkatapos ang lapad nito ay 5 * 2 = 10 cm. Ang lugar ng bilog S = 3.14 / 4 * 10 ^ 2 = 78.5 sq. Cm. Ang resulta na katumbas ng kabuuang mga kalkulasyon sa unang halimbawa ay nagpapatunay sa kawastuhan ng mga kalkulasyon sa parehong mga kaso.

Lugar ng isang bilog sa pamamagitan ng bilog

Kung ang radius ng bilog ay kinakatawan sa mga tuntunin ng paligid, pagkatapos ang form ay magiging ganito: R = (L / 2) π. Pinalitan namin ang expression na ito sa formula para sa lugar ng isang bilog at bilang isang resulta nakakuha kami ng S = (L ^ 2) / 4π. Isaalang-alang ang isang halimbawa kung saan ang bilog ay 10 cm. Pagkatapos ang lugar ng bilog ay S = (10 ^ 2) / 4 * 3.14 = 7.96 sq. cm.

Lugar ng isang bilog sa haba ng isang gilid ng isang nakasulat na parisukat

Kung ang isang parisukat ay nakasulat sa isang bilog, pagkatapos ang haba ng diameter ng bilog ay katumbas ng haba ng dayagonal ng parisukat. Alam ang laki ng gilid ng parisukat, madali mong malalaman ang diameter ng bilog sa pamamagitan ng pormula: d ^ 2 = 2a ^ 2. Sa madaling salita, ang 2 lapad ng kuryente ay ang 2 gilid ng kuryente ng parisukat na beses 2.

Ang pagkakaroon ng pagkalkula ng halaga ng haba ng diameter ng isang bilog, maaari mong malaman ang radius nito, at pagkatapos ay gamitin ang isa sa mga formula para sa pagtukoy ng lugar ng isang bilog.

Lugar ng isang sektor ng isang bilog

Ang isang sektor ay isang bahagi ng isang bilog na nakagapos ng 2 radii at isang arc sa pagitan nila. Upang malaman ang lugar nito, kailangan mong sukatin ang anggulo ng sektor. Pagkatapos nito, kailangan mong gumawa ng isang maliit na bahagi, sa numerator kung saan magkakaroon ang halaga ng anggulo ng sektor, at sa denominator - 360. Upang makalkula ang lugar ng sektor, ang halagang nakuha bilang isang resulta ng paghahati ng maliit na bahagi ay dapat na maparami ng lugar ng bilog na kinakalkula gamit ang isa sa mga pormula sa itaas.

Nangangailangan ang mga lupon ng isang mas maingat na diskarte at higit na mas karaniwan sa mga item na B5. Sa parehong oras, ang pangkalahatang pamamaraan ng solusyon ay mas simple pa kaysa sa kaso ng mga polygon (tingnan ang aralin na "Mga lugar ng mga polygon sa isang coordinate grid").

Ang kailangan lang sa mga nasabing gawain ay upang mahanap ang radius ng bilog na R. Pagkatapos ay maaari mong kalkulahin ang lugar ng bilog gamit ang pormulang S = πR 2. Sinusundan din mula sa formula na ito na para sa isang solusyon sapat na upang makahanap ng R 2.

Upang hanapin ang mga ipinahiwatig na halaga, sapat na upang ituro ang bilog sa punto na nakasalalay sa intersection ng mga linya ng grid. At pagkatapos ay gamitin ang Pythagorean theorem. Isaalang-alang natin ang mga tukoy na halimbawa ng pagkalkula ng radius:

Isang gawain. Hanapin ang radii ng tatlong bilog na ipinakita sa pigura:

Magsagawa tayo ng mga karagdagang konstruksyon sa bawat bilog:

Sa bawat kaso, ang point B ay napili sa bilog upang ito ay namamalagi sa intersection ng mga linya ng grid. Ang point C sa mga bilog na 1 at 3 ay nakakumpleto ang hugis sa isang may tatsulok na tatsulok. Nananatili ito upang mahanap ang radii:

Isaalang-alang ang isang tatsulok na ABC sa unang bilog. Sa pamamagitan ng Pythagorean theorem: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Para sa pangalawang bilog, halata ang lahat: R = AB = 2.

Ang pangatlong kaso ay katulad ng una. Mula sa tatsulok na ABC ng teoryang Pythagorean: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.

Ngayon alam namin kung paano hanapin ang radius ng isang bilog (o hindi bababa sa parisukat nito). Samakatuwid, mahahanap natin ang lugar. May mga gawain kung saan kailangan mong hanapin ang lugar ng isang sektor, at hindi ang buong bilog. Sa mga ganitong kaso, madaling malaman kung anong bahagi ng bilog ang sektor na ito, at sa gayon hanapin ang lugar.

Isang gawain. Hanapin ang lugar ng S ng punong sektor. Mangyaring ipahiwatig ang S / π sa iyong sagot.

Malinaw na ang sektor ay isang isang kapat ng isang bilog. Samakatuwid, S = 0.25 · S bilog.

Nananatili itong upang makahanap ng S ng bilog - ang lugar ng bilog. Upang magawa ito, magsasagawa kami ng isang karagdagang konstruksyon:

Ang tatsulok na ABC ay parihaba. Sa pamamagitan ng Pythagorean theorem mayroon kaming: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Ngayon nakita namin ang mga lugar ng bilog at ang sektor: S ng bilog = πR 2 = 8π; S = 0.25 S bilog = 2π.

Panghuli, ang hinahangad na halaga ay S / π = 2.

Lugar ng sektor sa hindi kilalang radius

Ito ay isang ganap na bagong uri ng gawain, walang anuman ng uri noong 2010-2011. Sa pamamagitan ng kundisyon, binibigyan kami ng isang bilog ng isang tiyak na lugar (katulad ng lugar, hindi ang radius!). Pagkatapos, sa loob ng bilog na ito, ang isang sektor ay naka-highlight, kung saan matatagpuan ang lugar.

Ang magandang balita ay ang mga naturang problema ay ang pinakamadali sa lahat ng mga parisukat na problema na nasa pagsusulit sa matematika. Bilang karagdagan, ang bilog at sektor ay laging nakalagay sa grid. Samakatuwid, upang malaman kung paano malutas ang mga naturang problema, tingnan lamang ang larawan:

Hayaan ang orihinal na bilog na magkaroon ng lugar na S ng bilog = 80. Pagkatapos ay maaari itong nahahati sa dalawang sektor na may lugar na S = 40 bawat isa (tingnan ang hakbang 2). Katulad nito, ang bawat isa sa mga "halves" na sektor ay maaaring nahahati sa kalahati muli - nakakakuha kami ng apat na sektor na may lugar na S = 20 bawat isa (tingnan ang hakbang 3). Sa wakas, maaari nating hatiin ang bawat isa sa mga sektor na ito sa dalawa pa - nakakakuha kami ng 8 sektor na "scrap". Ang lugar ng bawat isa sa mga "scrap" na ito ay magiging S = 10.

Mangyaring tandaan: walang finer na dibisyon sa anumang problema sa PAGGAMIT sa matematika! Kaya, ang algorithm para sa paglutas ng Problem B-3 ay ang mga sumusunod:

1. Gupitin ang orihinal na bilog sa 8 mga sektor ng "scrap". Ang lugar ng bawat isa sa kanila ay eksaktong 1/8 ng lugar ng buong bilog. Halimbawa, kung sa pamamagitan ng kundisyon ang bilog ay may lugar na S ng bilog = 240, kung gayon ang mga "piraso" ay may lugar na S = 240: 8 = 30;
2. Alamin kung gaano karaming mga "scrap" ang inilalagay sa orihinal na sektor, ang lugar na nais mong hanapin. Halimbawa, kung sa aming sektor ay mayroong 3 "piraso" na may lugar na 30, kung gayon ang lugar ng nais na sektor ay S = 3 · 30 = 90. Ito ang magiging sagot.

Yun lang! Ang problema ay malulutas ng praktikal nang pasalita. Kung hindi mo pa rin nauunawaan ang isang bagay, bumili ng isang pizza at gupitin ito sa 8 piraso. Ang bawat naturang piraso ay magiging pareho ng sektor ng "scrap" na maaaring pagsamahin sa mas malaking mga piraso.

Ngayon tingnan natin ang mga halimbawa mula sa pagsubok sa pagsubok:

Isang gawain. Ang isang bilog ay iginuhit sa checkered paper, ang lugar kung saan ay 40. Hanapin ang lugar ng may kulay na pigura.

Kaya, ang lugar ng bilog ay 40. Hatiin natin ito sa 8 sektor - bawat isa ay may lugar na S = 40: 5 = 8. Nakukuha natin:

Malinaw na, ang puno ng sektor ay binubuo ng eksaktong dalawang sektor na "scrap". Samakatuwid, ang lugar nito ay 2 · 5 = 10. Iyon ang buong solusyon!

Isang gawain. Ang isang bilog ay iginuhit sa may papel na papel, ang lugar kung saan ay 64. Hanapin ang lugar ng may kulay na pigura.

Hatiin muli ang buong bilog sa 8 pantay na mga sektor. Malinaw na, ang lugar ng isa sa mga ito ay eksaktong kung ano ang kailangan mong hanapin. Samakatuwid, ang lugar nito ay S = 64: 8 = 8.

Isang gawain. Ang isang bilog ay iginuhit sa may papel na papel, ang lugar na kung saan ay 48. Hanapin ang lugar ng may kulay na pigura.

Hatiin muli ang bilog sa 8 pantay na sektor. Ang lugar ng bawat isa sa kanila ay katumbas ng S = 48: 8 = 6. Eksakto na tatlong mga sektor ang inilalagay sa hinahangad na sektor - isang "piraso" (tingnan ang pigura). Samakatuwid, ang lugar ng nais na sektor ay 3 6 = 18.