رسم بياني للدالة y sin x. الرسوم البيانية الوظيفية

>>الرياضيات: الدوال y = sin x، y = cos x وخصائصها ورسومها البيانية

الدوال y = sin x، y = cos x وخصائصها ورسومها البيانية

في هذا القسم سنناقش بعض خصائص الدوال y = sin x, y = cos x ونبني الرسوم البيانية الخاصة بها.

1. الدالة ص = الخطيئة X.

أعلاه، في الفقرة 20، قمنا بصياغة قاعدة تسمح لكل رقم t بربطه بالرقم cos t، أي. تتميز الدالة y = sin t. دعونا نلاحظ بعض خصائصه.

خصائص الدالة u = sin t.

مجال التعريف هو المجموعة K من الأعداد الحقيقية.
وينبع هذا من حقيقة أن أي رقم 2 يتوافق مع النقطة M(1) على دائرة الأعداد، والتي لها إحداثيات محددة جيدًا؛ هذا الإحداثي هو كوس ر.

u = sin t هي دالة فردية.

ويأتي هذا من حقيقة أنه، كما ثبت في § 19، لأية ر المساواة
هذا يعني أن الرسم البياني للدالة u = sin t، مثل الرسم البياني لأي دالة فردية، متماثل بالنسبة إلى الأصل في نظام الإحداثيات المستطيل tOi.

الدالة u = sin t تزداد على الفاصل الزمني
يأتي هذا من حقيقة أنه عندما تتحرك نقطة على طول الربع الأول من دائرة الأعداد، فإن الإحداثي يزداد تدريجيًا (من 0 إلى 1 - انظر الشكل 115)، وعندما تتحرك النقطة على طول الربع الثاني من دائرة الأعداد، فإن يتناقص الإحداثي تدريجياً (من 1 إلى 0 - انظر الشكل 116).

الدالة u = sint محدودة بالأسفل والأعلى. وينبع هذا من حقيقة أنه كما رأينا في الفقرة 19، فإن المتباينة تنطبق على أي شيء

(تصل الدالة إلى هذه القيمة في أي نقطة من النموذج (تصل الدالة إلى هذه القيمة في أي نقطة من النموذج
باستخدام الخصائص التي تم الحصول عليها، سنقوم ببناء رسم بياني للوظيفة التي تهمنا. لكن (انتبه!) بدلاً من u - sin t سنكتب y = sin x (بعد كل شيء، نحن معتادون على كتابة y = f(x)، وليس u = f(t)). هذا يعني أننا سنقوم ببناء رسم بياني بنظام الإحداثيات xOy المعتاد (وليس tOy).

لنقم بعمل جدول لقيم الدالة y - sin x:

تعليق.

دعونا نعطي إحدى إصدارات أصل مصطلح "الجيب". في اللاتينية، الجيوب الأنفية تعني الانحناء (سلسلة القوس).

الرسم البياني الذي تم إنشاؤه يبرر إلى حد ما هذه المصطلحات.

الخط الذي يعمل كرسم بياني للدالة y = sin x يسمى موجة جيبية. ذلك الجزء من الجيوب الأنفية الموضح في الشكل. 118 أو 119 تسمى موجة جيبية، وهذا الجزء من الموجة الجيبية الموضح في الشكل. 117 يسمى نصف موجة أو قوس موجة جيبية.

2. الدالة y = cos x.

يمكن إجراء دراسة الدالة y = cos x تقريبًا وفقًا لنفس المخطط الذي تم استخدامه أعلاه للدالة y = sin x. لكننا سنختار الطريق الذي يؤدي إلى الهدف بشكل أسرع. أولاً، سوف نثبت صيغتين مهمتين في حد ذاتها (سترى ذلك في المدرسة الثانوية)، ولكن في الوقت الحالي ليس لهما سوى أهمية إضافية لأغراضنا.

لأي قيمة t تكون المعادلات التالية صالحة:

دليل. دع الرقم t يتوافق مع النقطة M من الدائرة العددية n، والرقم * + - النقطة P (الشكل 124؛ من أجل البساطة، أخذنا النقطة M في الربع الأول). القوسان AM وBP متساويان، والمثلثان القائمان OKM وOLBP متساويان على التوالي. وهذا يعني O K = Ob، MK = Pb. من هذه التساويات ومن موقع المثلثين OCM وOBP في نظام الإحداثيات، نستخلص نتيجتين:

1) يتزامن إحداثي النقطة P من حيث القيمة المطلقة ويوقع مع حدود النقطة M؛ هذا يعني ذلك

2) إن حدود النقطة P تساوي القيمة المطلقة لإحداثي النقطة M، ولكنها تختلف عنها في الإشارة؛ هذا يعني ذلك

يتم تنفيذ نفس المنطق تقريبًا في الحالات التي لا تنتمي فيها النقطة M إلى الربع الأول.
دعونا نستخدم الصيغة (هذه هي الصيغة المثبتة أعلاه، ولكن بدلا من المتغير t نستخدم المتغير x). ماذا تعطينا هذه الصيغة؟ يسمح لنا بتأكيد أن الوظائف

متطابقة، وهو ما يعني أن الرسوم البيانية الخاصة بهم متطابقة.
دعونا نرسم الوظيفة للقيام بذلك، ننتقل إلى نظام الإحداثيات المساعد مع الأصل عند نقطة ما (يتم رسم الخط المنقط في الشكل 125). لنربط الدالة y = sin x بنظام الإحداثيات الجديد - سيكون هذا هو الرسم البياني للدالة (الشكل 125)، أي. رسم بياني للدالة y - cos x. إنها، مثل الرسم البياني للدالة y = sin x، تسمى موجة جيبية (وهو أمر طبيعي تمامًا).

خصائص الدالة y = cos x.

y = cos x هي دالة زوجية.

تظهر مراحل البناء في الشكل. 126:

1) إنشاء رسم بياني للدالة y = cos x (بتعبير أدق، نصف موجة)؛
2) عن طريق تمديد الرسم البياني المبني من المحور السيني بعامل 0.5، نحصل على نصف موجة من الرسم البياني المطلوب؛
3) باستخدام نصف الموجة الناتج، نقوم ببناء الرسم البياني الكامل للدالة y = 0.5 cos x.

وظيفةذ = خطيئةس

الرسم البياني للوظيفة هو الجيوب الأنفية.

يُطلق على الجزء الكامل غير المتكرر من الموجة الجيبية اسم الموجة الجيبية.

نصف موجة جيبية تسمى نصف موجة جيبية (أو قوس).

خصائص الوظيفةذ = خطيئةس:

لرسم دالة ذ= خطيئة سمن الملائم استخدام المقاييس التالية:

على ورقة بها مربع، نأخذ طول مربعين كوحدة قطعة.

على المحور سدعونا نقيس الطول π. في الوقت نفسه، للراحة، نقدم 3.14 في شكل 3 - أي بدون كسر. ثم على قطعة من الورق في الخلية π سيكون هناك 6 خلايا (ثلاث مرات خليتين). وستحصل كل خلية على اسمها الطبيعي (من الأول إلى السادس): π/6، π/3، π/2، 2π/3، 5π/6، π. هذه هي المعاني س.

على المحور الصادي نحدد الرقم 1، الذي يتضمن خليتين.

لنقم بإنشاء جدول قيم الوظائف باستخدام قيمنا س:

بعد ذلك سوف نقوم بإنشاء جدول زمني. والنتيجة هي نصف موجة أعلى نقطة فيها هي (π/2; 1). هذا هو الرسم البياني للوظيفة ذ= خطيئة سعلى الجزء. دعونا نضيف نصف موجة متماثلة إلى الرسم البياني الذي تم إنشاؤه (متماثل بالنسبة إلى الأصل، أي على المقطع -π). قمة نصف الموجة هذه تقع تحت المحور السيني بإحداثيات (-1؛ -1). وستكون النتيجة موجة. هذا هو الرسم البياني للوظيفة ذ= خطيئة سعلى الجزء [-π؛ π].

يمكنك متابعة الموجة من خلال بنائها على القطعة [π; 3π]، [π؛ 5π]، [π؛ 7π]، الخ. في كل هذه المقاطع، سيبدو الرسم البياني للدالة كما هو الحال في القطعة [-π; π]. سوف تحصل على خط متموج مستمر مع موجات متطابقة.

وظيفةذ = كوسس.

الرسم البياني للدالة عبارة عن موجة جيبية (تسمى أحيانًا موجة جيب التمام).

خصائص الوظيفةذ = كوسس:

وظيفةذ = مف(س).

لنأخذ الوظيفة السابقة ذ=cos س. كما تعلمون، الرسم البياني لها هو موجة جيبية. إذا ضربنا جيب تمام هذه الوظيفة بعدد معين م، فسوف تتوسع الموجة من المحور س(أو سوف يتقلص، اعتمادا على قيمة م).
ستكون هذه الموجة الجديدة هي الرسم البياني للدالة y = mf(x)، حيث m هو أي رقم حقيقي.

وبالتالي، فإن الدالة y = mf(x) هي الوظيفة المألوفة y = f(x) مضروبة في m.

لوم< 1, то синусоида сжимается к оси سبواسطة المعاملم. لوم > 1، ثم يتم تمديد الجيوب الأنفية من المحورسبواسطة المعاملم.

عند إجراء التمدد أو الضغط، يمكنك أولاً رسم نصف موجة واحدة فقط من الموجة الجيبية، ثم إكمال الرسم البياني بأكمله.

وظيفةص= و(kx).

إذا كانت الوظيفة ص=مف(س) يؤدي إلى تمدد الجيوب الأنفية من المحور سأو الضغط نحو المحور سفإن الدالة y = f(kx) تؤدي إلى التمدد من المحور ذأو الضغط نحو المحور ذ.

علاوة على ذلك، k هو أي عدد حقيقي.

عند 0< ك< 1 синусоида растягивается от оси ذبواسطة المعاملك. لوk > 1، ثم يتم ضغط الجيب باتجاه المحورذبواسطة المعاملك.

عند رسم هذه الدالة بيانيًا، يمكنك أولاً إنشاء نصف موجة من موجة جيبية، ثم استخدامها لإكمال الرسم البياني بأكمله.

وظيفةذ = tgس.

الرسم البياني الوظيفي ذ= تيراغرام سهو الظل.

يكفي إنشاء جزء من الرسم البياني في الفترة من 0 إلى π/2، وبعد ذلك يمكنك الاستمرار بشكل متماثل في الفترة من 0 إلى 3π/2.

خصائص الوظيفةذ = tgس:

وظيفةذ = ctgس

الرسم البياني الوظيفي ذ=ctg سوهو أيضًا مماسي (يُطلق عليه أحيانًا اسم المماس).

خصائص الوظيفةذ = ctgس:

العودة إلى الأمام

انتباه! معاينات الشرائح هي لأغراض إعلامية فقط وقد لا تمثل جميع ميزات العرض التقديمي. إذا كنت مهتما بهذا العمل، يرجى تحميل النسخة الكاملة.

الحديد يصدأ ولا يجد فائدة
تتعفن المياه الراكدة أو تتجمد في البرد ،
وعقل الإنسان يضعف ولا يجد أي فائدة.
ليوناردو دافنشي

التقنيات المستخدمة:التعلم القائم على حل المشكلات، والتفكير النقدي، والتواصل التواصلي.

الأهداف:

• تنمية الاهتمام المعرفي بالتعلم.
• دراسة خصائص الدالة y = sin x.
• تكوين المهارات العملية في بناء الرسم البياني للدالة y = sin x بناءً على المادة النظرية المدروسة.

المهام:

1. استخدم إمكانات المعرفة الحالية حول خصائص الوظيفة y = sin x في مواقف محددة.

2. تطبيق إنشاء واعي للروابط بين النماذج التحليلية والهندسية للدالة y = sin x.

تطوير المبادرة، واستعداد واهتمام معين بإيجاد حل؛ القدرة على اتخاذ القرارات وعدم التوقف عند هذا الحد والدفاع عن وجهة نظرك.

لتعزيز النشاط المعرفي لدى الطلاب، والشعور بالمسؤولية، واحترام بعضهم البعض، والتفاهم المتبادل، والدعم المتبادل، والثقة بالنفس؛ ثقافة الاتصال.

تقدم الدرس

المرحلة 1. تحديث المعرفة الأساسية، وتحفيز تعلم مواد جديدة

"دخول الدرس."

هناك 3 بيانات مكتوبة على السبورة:

1. المعادلة المثلثية sin t = a لها دائمًا حلول.
2. يمكن إنشاء الرسم البياني للدالة الفردية باستخدام تحويل التناظر حول محور Oy.
3. يمكن رسم الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام نصف موجة رئيسية واحدة.

يناقش الطلاب في أزواج: هل العبارات صحيحة؟ (دقيقة واحدة). يتم بعد ذلك إدخال نتائج المناقشة الأولية (نعم، لا) في الجدول الموجود في العمود "قبل".

يحدد المعلم أهداف وغايات الدرس.

2. تحديث المعرفة (أمامياً على نموذج للدائرة المثلثية).

لقد تعرفنا بالفعل على الدالة s = sin t.

1) ما هي القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير. ما هو نطاق هذه الوظيفة؟

2) في أي فترة توجد قيم التعبير sin t؟ أوجد القيم الأكبر والأصغر للدالة s = sin t.

3) حل المعادلة sin t = 0.

4) ماذا يحدث لإحداثي النقطة أثناء تحركها على طول الربع الأول؟ (يزيد الإحداثي). ماذا يحدث لإحداثي النقطة أثناء تحركها على طول الربع الثاني؟ (الإحداثي يتناقص تدريجيا). كيف يرتبط هذا برتابة الوظيفة؟ (الدالة s = sin t تزداد على القطعة وتنقص على القطعة).

5) لنكتب الدالة s = sin t بالشكل المألوف بالنسبة لنا y = sin x (سنقوم ببنائها في نظام الإحداثيات xOy المعتاد) ونقوم بتجميع جدول بقيم هذه الوظيفة.

المرحلة 2. الإدراك والفهم والتوحيد الأولي والحفظ اللاإرادي

المرحلة 4. التنظيم الأولي للمعرفة وأساليب النشاط ونقلها وتطبيقها في مواقف جديدة

6. رقم 10.18 (ب،ج)

المرحلة 5. الرقابة النهائية والتصحيح والتقييم والتقييم الذاتي

7. ارجع إلى العبارات (بداية الدرس)، وناقش استخدام خصائص الدالة المثلثية y = sin x، واملأ عمود "بعد" في الجدول.

8. د/ض: البند 10، رقم 10.7(أ)، 10.8(ب)، 10.11(ب)، 10.16(أ)

لاستخدام معاينات العرض التقديمي، قم بإنشاء حساب Google وقم بتسجيل الدخول إليه: https://accounts.google.com

التسميات التوضيحية للشرائح:

الوظائف y = sin x و y = cos x والرسوم البيانية الخاصة بها (العرض التقديمي المصاحب للدرس) KORPUSOVA TATYANA SERGEEVNA مدرس الرياضيات MBOU LSOSH رقم 2 سمي على اسم. منطقة NF Struchenkova بريانسك.

تعريف الدوال العددية المحددة بواسطة الصيغ y = sin x و y = cos x تسمى جيب التمام وجيب التمام، على التوالي. 11/10/2013 كوربوسوفا ت.س.

الدالة y=sin x والرسم البياني والخصائص. 11/10/2013 كوربوسوفا ت.س.

موجة جيبية 1 - π/2 π 2 π 3 π x -3 π/2 - π 0 π/2 3 π/2 5 π/2 -1 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

y = sin(x+a) مثال y 1 -1 π 2 π - π 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

ص = الخطيئة س + أ 1) ذ = الخطيئة س + 1؛ y 1 x - π 0 π 2 π x -1 x 2) y = sin x - 1 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

رسم الرسوم البيانية y=sin(x+m)+l y 1 - π 0 π 2 π 3 π x -1 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

الدالة y = cos x وخصائصها ورسمها البياني. 11/10/2013 كوربوسوفا ت.س.

y = cos x y 1 - π/2 π 2 π 3 π x - π 0 π/2 3 π/2 5 π/2 -1 تم الحصول على الرسم البياني للدالة y= cos x عن طريق إزاحة الشكل الجيبي إلى اليسار بمقدار π/2 10/11/2013 كوربوسوفا تي إس.

رسم الرسوم البيانية y = cos (x+m)+l 1)y =- cos x; y 2 y x 0 x -1 2)y= cos (x- π/4)+2 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

رسم الرسوم البيانية y=k · sin x y 2.5 1 x -1 -2.5 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

إيجاد دورة الدوال المثلثية إذا كانت y=f(x) دورية ولها أصغر فترة موجبة T₁، فإن الدالة y=A·f(kx+b)، حيث A وk وb ثابتة، وk ≠ 0 ، وهي أيضًا دورية مع فترة أمثلة: 11/10/2013 KORpuSOVA T.S. 1) ص=الخطيئة 6 × +2، Т₁=2 π T₁=2 π

رسم الرسوم البيانية للوظائف الدورية y x 1 1 y x 1 1 1)T= 4 2)T= 4 بالنظر إلى الدالة y= f(x) . أنشئ الرسم البياني الخاص بها إذا كانت الفترة معروفة. ص × 1 1 3)ت= 3

ارسم رسمًا بيانيًا للدالة: y=2cos(2x- π/3)-0.5 وابحث عن مجال التعريف ونطاق قيم الدالة 11/10/2013 KORPUSOVA T.S. ص × 1 -1 π - π 2 π -2 π T= π

درس وعرض حول موضوع: "الدالة y=sin(x). تعريفاتها وخصائصها"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الأدلة وأجهزة المحاكاة في متجر Integral عبر الإنترنت للصف العاشر من 1C
حل المشاكل في الهندسة. مهام البناء التفاعلية للصفوف 7-10
بيئة البرمجيات "1C: منشئ رياضي 6.1"

ما سوف ندرسه :

• خصائص الدالة Y=sin(X).
• الرسم البياني الوظيفي.
• كيفية بناء الرسم البياني وحجمه.
• أمثلة.

خصائص الجيب. ص = الخطيئة (X)

يا رفاق، لقد تعرفنا بالفعل على الدوال المثلثية للحجة العددية. هل تتذكرهم؟

دعونا نلقي نظرة فاحصة على الدالة Y=sin(X)

دعونا نكتب بعض خصائص هذه الوظيفة:
1) مجال التعريف هو مجموعة الأعداد الحقيقية.
2) الدالة غريبة. دعونا نتذكر تعريف الدالة الفردية. تسمى الدالة فردية إذا كانت المساواة: y(-x)=-y(x). كما نتذكر من الصيغ الشبحية: الخطيئة(-x)=-الخطيئة(x). تم استيفاء التعريف، مما يعني أن Y=sin(X) هي دالة فردية.
3) الدالة Y=sin(X) تزداد على المقطع وتتناقص على المقطع [π/2; π]. عندما نتحرك على طول الربع الأول (عكس اتجاه عقارب الساعة)، يزداد الإحداثي، وعندما نتحرك خلال الربع الثاني ينخفض.

4) الدالة Y=sin(X) محدودة من الأسفل ومن الأعلى. هذه الخاصية تأتي من حقيقة ذلك
-1 ≥ الخطيئة(X) ≥ 1
5) أصغر قيمة للدالة هي -1 (عند x = - π/2+ πk). أكبر قيمة للدالة هي 1 (عند x = π/2+ πk).

دعونا نستخدم الخصائص 1-5 لرسم الدالة Y=sin(X). سنقوم ببناء الرسم البياني الخاص بنا بشكل تسلسلي، مع تطبيق خصائصنا. لنبدأ في إنشاء رسم بياني للقطعة.

ينبغي إيلاء اهتمام خاص للمقياس. على المحور الإحداثي يكون من الملائم أكثر أخذ قطعة وحدة تساوي خليتين، وعلى محور الإحداثي المحوري يكون أكثر ملاءمة أخذ قطعة وحدة (خليتين) تساوي π/3 (انظر الشكل).

رسم دالة الجيب x، y=sin(x)

لنحسب قيم الوظيفة في الجزء الخاص بنا:

دعونا نبني رسمًا بيانيًا باستخدام نقاطنا، مع مراعاة الخاصية الثالثة.

جدول التحويل لصيغ الأشباح

لنستخدم الخاصية الثانية، التي تنص على أن الدالة فردية، مما يعني أنها يمكن أن تنعكس بشكل متماثل بالنسبة إلى نقطة الأصل:

نحن نعلم أن الخطيئة (س+ 2π) = الخطيئة (س). وهذا يعني أنه على الفاصل الزمني [- π؛ π] يبدو الرسم البياني كما هو في المقطع [π; 3π] أو [-3π؛ - π] وهكذا. كل ما علينا فعله هو إعادة رسم الرسم البياني في الشكل السابق بعناية على طول المحور السيني بأكمله.

الرسم البياني للدالة Y=sin(X) يسمى الجيوب الأنفية.

دعنا نكتب بعض الخصائص الإضافية وفقًا للرسم البياني الذي تم إنشاؤه:
6) الدالة Y=sin(X) تزداد على أي جزء من النموذج: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k هو عدد صحيح ويتناقص على أي جزء من النموذج: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk]، k – عدد صحيح.
7) الدالة Y=sin(X) هي دالة مستمرة. دعونا نلقي نظرة على الرسم البياني للدالة ونتأكد من أن الدالة لا تحتوي على فواصل، وهذا يعني الاستمرارية.
8) نطاق القيم: الجزء [- 1؛ 1]. وهذا واضح أيضًا من الرسم البياني للوظيفة.
9) الدالة Y=sin(X) - الدالة الدورية. دعونا نلقي نظرة على الرسم البياني مرة أخرى ونرى أن الدالة تأخذ نفس القيم على فترات زمنية معينة.

أمثلة على المشاكل مع الجيب

1. حل المعادلة sin(x)= x-π

الحل: لنقم ببناء رسمين بيانيين للدالة: y=sin(x) وy=x-π (انظر الشكل).
تتقاطع رسومنا البيانية عند نقطة واحدة A(π;0)، وهذه هي الإجابة: x = π

2. ارسم بيانيًا الدالة y=sin(π/6+x)-1

الحل: سيتم الحصول على الرسم البياني المطلوب عن طريق تحريك الرسم البياني للدالة y=sin(x) π/6 وحدات إلى اليسار ووحدة واحدة لأسفل.

الحل: لنرسم الدالة ونفكر في القطعة [π/2; 5π/4].
يوضح الرسم البياني للدالة أن القيم الأكبر والأصغر يتم تحقيقها في نهايات المقطع عند النقطتين π/2 و5π/4 على التوالي.
الإجابة: sin(π/2) = 1 – أكبر قيمة، sin(5π/4) = أصغر قيمة.

مشاكل جيبية لحل مستقل

• حل المعادلة: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• ارسم الدالة y=sin(π/3+x)-2
• ارسم الدالة y=sin(-2π/3+x)+1
• أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة y=sin(x) على القطعة
• أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة y=sin(x) على الفترة [- π/3; 5π/6]