تحليل كثير الحدود. الجزء 1

التخصيمهي تقنية عالمية تساعد في حل المعادلات المعقدة وعدم المساواة. الفكرة الأولى التي يجب أن تتبادر إلى الذهن عند حل المعادلات والمتباينات التي يكون فيها الصفر على الجانب الأيمن هي محاولة تحليل الطرف الأيسر.

نحن نسرد الرئيسي طرق لتحليل كثير الحدود:

• إخراج العامل المشترك من القوس
• استخدام صيغ الضرب المختصرة
• من خلال صيغة تحليل مربع ثلاثي الحدود
• طريقة التجميع
• قسمة كثير الحدود على ذات الحدين
• طريقة المعاملات غير المحددة

في هذه المقالة سوف نتناول الطرق الثلاثة الأولى بالتفصيل ، وسيتم مناقشة الباقي في المقالات التالية.

1. إخراج العامل المشترك من القوس.

لإخراج العامل المشترك من القوس ، يجب أن تجده أولاً. معامل المضاعف المشتركيساوي القاسم المشترك الأكبر لجميع المعاملات.

جزء الرسالةالعامل المشترك يساوي حاصل ضرب التعبيرات التي يتكون منها كل حد من الأس الأصغر.

يبدو مخطط إخراج العامل المشترك كما يلي:

انتباه!
عدد الحدود بين قوسين يساوي عدد حدود التعبير الأصلي. إذا تطابق أحد المصطلحات مع العامل المشترك ، فعند قسمة هذا المصطلح على العامل المشترك ، نحصل على واحد.

مثال 1

حلل كثير الحدود إلى عوامل:

لنأخذ العامل المشترك من الأقواس. للقيام بذلك ، نجدها أولاً.

1. أوجد القاسم المشترك الأكبر لجميع معاملات كثير الحدود ، أي الأرقام 20 و 35 و 15. وهي تساوي 5.

2. نثبت أن المتغير متضمن في كل الحدود ، وأصغر الأسس هو 2. المتغير موجود في جميع المصطلحات ، وأصغر الأسس هو 3.

المتغير موجود فقط في المصطلح الثاني ، لذا فهو ليس جزءًا من العامل المشترك.

لذا فإن العامل المشترك هو

3. نخرج العامل باستخدام المخطط أعلاه:

مثال 2حل المعادلة:

قرار. دعنا نحلل الطرف الأيسر من المعادلة. لنخرج العامل من الأقواس:

لذلك حصلنا على المعادلة

ضع كل عامل مساويًا للصفر:

نحصل على - جذر المعادلة الأولى.

الجذور:

الجواب: -1 ، 2 ، 4

2. التحليل باستخدام صيغ الضرب المختصرة.

إذا كان عدد المصطلحات في كثير الحدود التي سنقوم بتحليلها أقل من أو يساوي ثلاثة ، فإننا نحاول تطبيق معادلات الضرب المختصرة.

1. إذا كانت كثيرة الحدودالفرق بين فترتين، ثم نحاول التقديم فرق صيغة المربعات:

أو صيغة فرق المكعب:

ها هي الحروف ويشير إلى رقم أو تعبير جبري.

2. إذا كانت كثيرة الحدود هي مجموع حدين ، فربما يمكن تحليلها إلى عوامل باستخدام صيغ مجموع المكعبات:

3. إذا كان كثير الحدود يتكون من ثلاثة مصطلحات ، فإننا نحاول تطبيقه صيغة مجموع مربع:

أو صيغة مربع الفرق:

أو نحاول التحليل بواسطة صيغة لتحليل ثلاثي الحدود المربع:

وهنا جذور المعادلة التربيعية

مثال 3تحليل التعبير:

قرار. لدينا مجموع حدين. دعنا نحاول تطبيق صيغة مجموع المكعبات. للقيام بذلك ، يجب عليك أولاً تمثيل كل مصطلح كمكعب لبعض التعبيرات ، ثم تطبيق الصيغة لمجموع المكعبات:

مثال 4تحليل التعبير:

المحلول. أمامنا الفرق بين مربعي مقدارين. التعبير الأول: التعبير الثاني:

دعنا نطبق صيغة اختلاف المربعات:

لنفتح الأقواس ونعطي مصطلحات متشابهة ، نحصل على:

آلة حاسبة على الانترنت.
اختيار مربع ذات الحدين وتحليل المربع ثلاثي الحدود.

هؤلاء. يتم تقليل المشكلات لإيجاد الأرقام \ (p، q \) و \ (n، m \)

لا يعطي البرنامج الإجابة على المشكلة فحسب ، بل يعرض أيضًا عملية الحل.

يمكن أن يكون هذا البرنامج مفيدًا لطلاب المدارس الثانوية استعدادًا للاختبارات والامتحانات ، عند اختبار المعرفة قبل امتحان الدولة الموحدة ، للآباء للتحكم في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أو هل تريد فقط إنهاء واجباتك في الرياضيات أو الجبر في أسرع وقت ممكن؟ في هذه الحالة ، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع حل مفصل.

وبهذه الطريقة ، يمكنك إجراء تدريبك الخاص و / أو تدريب إخوتك أو أخواتك الأصغر سنًا ، مع زيادة مستوى التعليم في مجال المهام التي يتعين حلها.

إذا لم تكن على دراية بقواعد إدخال ثلاثي الحدود المربع ، فننصحك بالتعرف عليها.

قواعد إدخال مربع متعدد الحدود

يمكن لأي حرف لاتيني أن يعمل كمتغير.
على سبيل المثال: \ (x ، y ، z ، a ، b ، c ، o ، p ، q \) إلخ.

يمكن إدخال الأرقام كأعداد صحيحة أو كسور.
علاوة على ذلك ، يمكن إدخال الأرقام الكسرية ليس فقط في شكل رقم عشري ، ولكن أيضًا في شكل كسر عادي.

قواعد إدخال الكسور العشرية.
في الكسور العشرية ، يمكن فصل الجزء الكسري من العدد الصحيح إما بنقطة أو فاصلة.
على سبيل المثال ، يمكنك إدخال الكسور العشرية مثل هذا: 2.5x - 3.5x ^ 2

قواعد إدخال الكسور العادية.
فقط عدد صحيح يمكن أن يعمل كبسط ومقام وجزء صحيح من الكسر.

لا يمكن أن يكون المقام سالبًا.

عند إدخال كسر عددي ، يتم فصل البسط عن المقام بعلامة قسمة: /
يتم فصل الجزء الصحيح عن الكسر بواسطة علامة العطف: &
المدخلات: 3 & 1 / 3-5 & 6 / 5x + 1 / 7x ^ 2
النتيجة: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) x + \ frac (1) (7) x ^ 2 \)

عند إدخال تعبير يمكنك استخدام الأقواس. في هذه الحالة ، عند الحل ، يتم تبسيط التعبير المقدم أولاً.
على سبيل المثال: 1/2 (x-1) (x + 1) - (5x-10 & 1/2)

مثال حل مفصل

اختيار مربع ذات الحدين.$$ ax ^ 2 + bx + c \ rightarrow a (x + p) ^ 2 + q $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 = $$ $$ 2x ^ 2 +2 \ cdot 2 \ cdot \ left ( \ frac (1) (2) \ right) \ cdot x + 2 \ cdot \ left (\ frac (1) (2) \ right) ^ 2- \ frac (9) (2) = $$ $$ 2 \ left (x ^ 2 + 2 \ cdot \ left (\ frac (1) (2) \ right) \ cdot x + \ left (\ frac (1) (2) \ right) ^ 2 \ right) - \ frac (9 ) (2) = $$ $$ 2 \ يسار (س + \ فارك (1) (2) \ يمين) ^ 2- \ فارك (9) (2) $$ إجابه:$$ 2x ^ 2 + 2x-4 = 2 \ left (x + \ frac (1) (2) \ right) ^ 2- \ frac (9) (2) $$ التخصيم.$$ ax ^ 2 + bx + c \ rightarrow a (x + n) (x + m) $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 = $$
$$ 2 \ يسار (س ^ 2 + س -2 \ يمين) = $$
$$ 2 \ يسار (x ^ 2 + 2x-1x-1 \ cdot 2 \ right) = $$ $$ 2 \ left (x \ left (x +2 \ right) -1 \ left (x +2 \ right) ) \ يمين) = $$ $$ 2 \ يسار (س -1 \ يمين) \ يسار (س +2 \ يمين) $$ إجابه:$$ 2x ^ 2 + 2x-4 = 2 \ يسار (x -1 \ يمين) \ يسار (x +2 \ يمين) $$

وجد أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المهمة لم يتم تحميلها ، وقد لا يعمل البرنامج.
قد يكون لديك AdBlock ممكّنًا.
في هذه الحالة ، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.

لان هناك الكثير من الأشخاص الذين يرغبون في حل المشكلة ، طلبك في قائمة الانتظار.
بعد بضع ثوانٍ ، سيظهر الحل أدناه.
انتظر من فضلك ثانية ...

اذا أنت لاحظت وجود خطأ في الحل، ثم يمكنك الكتابة عنها في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى أي مهمةعليك أن تقرر ماذا أدخل في الحقول.

ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:

قليلا من النظرية.

استخلاص مربع ذي حدين من مربع ثلاثي الحدود

إذا تم تمثيل المحور ثلاثي الحدود المربع 2 + bx + c على أنه a (x + p) 2 + q ، حيث p و q عددان حقيقيان ، فيقولون ذلك من ثلاثي الحدود المربع ، يتم تمييز مربع ذات الحدين.

دعونا نستخرج مربع ذات الحدين من ثلاثية الحدود 2x 2 + 12x + 14.

\ (2 س ^ 2 + 12 س + 14 = 2 (س ^ 2 + 6 س + 7) \)

للقيام بذلك ، نمثل 6x كمنتج 2 * 3 * x ، ثم نجمع ونطرح 3 2. نحن نحصل:
$$ 2 (x ^ 2 + 2 \ cdot 3 \ cdot x + 3 ^ 2-3 ^ 2 + 7) = 2 ((x + 3) ^ 2-3 ^ 2 + 7) = $$ $$ = 2 ((x + 3) ^ 2-2) = 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

الذي - التي. نحن اختيار مربع ذي الحدين من مربع ثلاثي الحدود، وأظهر أن:
$$ 2x ^ 2 + 12x + 14 = 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

تحليل ثلاثي الحدود التربيعي إلى عوامل

إذا تم تمثيل الفأس المربّع ثلاثي الحدود 2 + bx + c على أنه a (x + n) (x + m) ، حيث n و m عددان حقيقيان ، عندئذٍ يُقال أن العملية قد أجريت تحصيل ثلاثي الحدود مربع.

دعنا نستخدم مثالاً لإظهار كيفية إجراء هذا التحويل.

لنحلل المربع ثلاثي الحدود 2x 2 + 4x-6.

لنأخذ المعامل a من الأقواس ، أي 2:
\ (2x ^ 2 + 4x-6 = 2 (x ^ 2 + 2x-3) \)

دعونا نحول التعبير بين قوسين.
للقيام بذلك ، نمثل 2x على أنها الفرق 3x-1x و -3 كـ -1 * 3. نحن نحصل:
$$ = 2 (x ^ 2 + 3 \ cdot x -1 \ cdot x -1 \ cdot 3) = 2 (x (x + 3) -1 \ cdot (x + 3)) = $$
$$ = 2 (x-1) (x + 3) $$

الذي - التي. نحن تحليل المربع ثلاثي الحدود إلى عوامل، وأظهر أن:
$$ 2x ^ 2 + 4x-6 = 2 (x-1) (x + 3) $$

لاحظ أن تحليل عامل ثلاثي الحدود التربيعي ممكن فقط عندما يكون للمعادلة التربيعية المقابلة لهذه الثلاثية جذور.
هؤلاء. في حالتنا ، يمكن تحليل ثلاثي الحدود 2x 2 + 4x-6 إذا كانت المعادلة التربيعية 2x 2 + 4x-6 = 0 لها جذور. في عملية التحليل ، وجدنا أن المعادلة 2x 2 + 4x-6 \ u003d 0 لها جذران 1 و -3 ، لأن بهذه القيم ، المعادلة 2 (x-1) (x + 3) = 0 تتحول إلى مساواة حقيقية.

يعتبر تحليل كثير الحدود إلى عوامل تحويلاً مماثلاً ، ونتيجة لذلك يتم تحويل كثير الحدود إلى منتج لعدة عوامل - كثيرات الحدود أو أحادية الحدود.

هناك عدة طرق لتحليل كثيرات الحدود إلى عوامل.

الطريقة الأولى: وضع أقواس للعامل المشترك.

يعتمد هذا التحويل على قانون التوزيع الخاص بالضرب: ac + bc = c (a + b). يتمثل جوهر التحول في تحديد العامل المشترك في المكونين قيد النظر و "استبعاده" من الأقواس.

دعونا نحلل كثير الحدود 28x3-35x 4.

قرار.

1. نجد قاسمًا مشتركًا للعنصرين 28x3 و 35x4. 28 و 35 تكون 7. لـ x 3 و x 4 - x 3. بعبارة أخرى ، العامل المشترك هو 7x3.

2. نحن نمثل كل عنصر على أنه نتاج عوامل ، أحدها
7x 3: 28x3-35x 4 \ u003d 7x 3 ∙ 4-7x 3 ∙ 5x.

3. وضع أقواس للعامل المشترك
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \ u003d 7x 3 ∙ 4-7x 3 ∙ 5x \ u003d 7x 3 (4-5x).

الطريقة الثانية: استخدام صيغ الضرب المختصرة. إن "إتقان" إتقان هذه الطريقة هو أن نلاحظ في التعبير إحدى الصيغ الخاصة بالضرب المختصر.

دعونا نحلل كثير الحدود x 6-1.

قرار.

1. يمكننا تطبيق صيغة فرق المربعات على هذا التعبير. للقيام بذلك ، نمثل x 6 كـ (x 3) 2 ، و 1 كـ 1 2 ، أي 1. يأخذ التعبير الشكل:
(× 3) 2-1 \ u003d (× 3 + 1) ∙ (× 3-1).

2. على التعبير الناتج ، يمكننا تطبيق صيغة مجموع المكعبات وفرقها:
(x 3 + 1) ∙ (x 3-1) \ u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

لذا،
س 6-1 = (س 3) 2-1 = (س 3 + 1) ∙ (س 3-1) = (س + 1) ∙ (س 2 - س + 1) ∙ (س - 1) ∙ (س 2 + س +1).

الطريقة الثالثة. تتكون طريقة التجميع من دمج مكونات كثيرة الحدود بطريقة تسهل إجراء العمليات عليها (الجمع ، الطرح ، إخراج عامل مشترك).

نقوم بتحليل كثير الحدود x 3 - 3x 2 + 5x - 15.

قرار.

1. قم بتجميع المكونات بهذه الطريقة: الأول مع الثاني ، والثالث مع الرابع
(× 3 - 3 × 2) + (5 × - 15).

2. في التعبير الناتج ، نخرج العوامل المشتركة من الأقواس: x 2 في الحالة الأولى و 5 في الحالة الثانية.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \ u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. نخرج العامل المشترك x - 3 ونحصل على:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \ u003d (x - 3) (x 2 + 5).

لذا،
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \ u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \ u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \ u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5).

دعونا نصلح المادة.

حلل كثير الحدود a 2-7ab + 12b 2 إلى عوامل.

قرار.

1. نمثل 7ab الأحادي كمجموع 3ab + 4ab. سيأخذ التعبير الشكل:
أ 2 - (3 أب + 4 أب) + 12 ب 2.

لنفتح الأقواس ونحصل على:
أ 2 - 3 أب - 4 أب + 12 ب 2.

2. اجمع مكونات كثير الحدود على هذا النحو: الأول مع الثاني والثالث مع الرابع. نحن نحصل:
(أ 2 - 3 أ ب) - (4 أ ب - 12 ب 2).

3. لنأخذ العوامل المشتركة:
(أ 2 - 3 ب) - (4 أب - 12 ب 2) \ u003d أ (أ - 3 ب) - 4 ب (أ - 3 ب).

4. لنأخذ العامل المشترك (أ - 3 ب):
أ (أ - 3 ب) - 4 ب (أ - 3 ب) = (أ - 3 ب) ∙ (أ - 4 ب).

لذا،
أ 2 - 7 أب + 12 ب 2 =
= أ 2 - (3 أب + 4 أب) + 12 ب 2 =
= أ 2 - 3 أب - 4 أب + 12 ب 2 =
= (أ 2 - 3 أب) - (4 أب - 12 ب 2) =
= أ (أ - 3 ب) - 4 ب (أ - 3 ب) =
= (а - 3 ب) ∙ (а - 4b).

blog.site ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، مطلوب ارتباط بالمصدر.

تعتبر مفاهيم "كثير الحدود" و "تحليل كثير الحدود إلى عوامل" في الجبر شائعة جدًا ، لأنك تحتاج إلى معرفتها من أجل إجراء العمليات الحسابية بسهولة باستخدام أرقام كبيرة متعددة القيم. ستصف هذه المقالة عدة طرق للتحلل. كل منهم سهل الاستخدام ، ما عليك سوى اختيار الخيار المناسب في كل حالة.

مفهوم كثير الحدود

كثير الحدود هو مجموع المونوميرات ، أي التعبيرات التي تحتوي على عملية الضرب فقط.

على سبيل المثال ، 2 * x * y هي أحادية ، لكن 2 * x * y + 25 هي كثيرة الحدود ، والتي تتكون من 2 أحادية: 2 * x * y و 25. تسمى هذه كثيرات الحدود ذات الحدين.

في بعض الأحيان ، لتسهيل حل الأمثلة ذات القيم متعددة القيم ، يجب تحويل التعبير ، على سبيل المثال ، إلى عدد معين من العوامل ، أي الأرقام أو التعبيرات التي يتم تنفيذ عملية الضرب بينها. هناك عدد من الطرق لتحليل كثير الحدود إلى عوامل. يجدر التفكير بها بدءًا من الأكثر بدائية ، والتي تستخدم حتى في الفصول الابتدائية.

تجميع (إدخال عام)

تبدو صيغة تحليل كثير الحدود إلى عوامل بطريقة التجميع بشكل عام كما يلي:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

من الضروري تجميع المونوميل بحيث يظهر عامل مشترك في كل مجموعة. في القوس الأول ، هذا هو العامل ج ، وفي الثاني - د. يجب القيام بذلك لإخراجها من القوس ، وبالتالي تبسيط العمليات الحسابية.

خوارزمية التحليل على مثال محدد

فيما يلي أبسط مثال على تحليل كثير الحدود إلى عوامل باستخدام طريقة التجميع:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

في القوس الأول ، يجب أن تأخذ المصطلحات مع العامل أ ، والذي سيكون شائعًا ، وفي الثاني - مع العامل ب. انتبه إلى علامتي + و- في التعبير النهائي. نضع قبل المونومال العلامة التي كانت في التعبير الأولي. أي أنك لا تحتاج إلى العمل مع التعبير 25 أ ، ولكن مع التعبير -25. علامة الطرح ، كما هي ، "مُلصقة" بالتعبير الموجود خلفها وتؤخذها دائمًا في الاعتبار في الحسابات.

في الخطوة التالية ، عليك إخراج العامل المشترك من القوس. هذا ما هو التجمع. لإخراجها من القوس ، يعني أن تكتب قبل القوس (مع حذف علامة الضرب) كل تلك العوامل التي تتكرر تمامًا في جميع المصطلحات الموجودة بين القوسين. إذا لم يكن هناك 2 ، ولكن 3 مصطلحات أو أكثر في القوس ، فيجب تضمين العامل المشترك في كل منها ، وإلا لا يمكن إزالته من القوس.

في حالتنا ، يوجد حدان فقط بين قوسين. المضاعف الكلي مرئي على الفور. القوس الأول هو أ ، والثاني هو ب. هنا تحتاج إلى الانتباه إلى المعاملات الرقمية. في القوس الأول ، كلا المعاملين (10 و 25) من مضاعفات الرقم 5. وهذا يعني أنه يمكن وضع 5 أ بين قوسين. قبل القوس ، اكتب 5 أ ، ثم اقسم كل مصطلح بين قوسين على العامل المشترك الذي تم حذفه ، واكتب أيضًا حاصل القسمة بين قوسين ، دون أن تنسى علامتي + و-. افعل الشيء نفسه مع القوس الثاني ، أخرج 7 ب ، بما أن 14 و 35 من مضاعفات 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

اتضح فصلين: 5 أ (2 ج - 5) و 7 ب (2 ج - 5). يحتوي كل منها على عامل مشترك (التعبير الكامل بين الأقواس هنا هو نفسه ، مما يعني أنه عامل مشترك): 2 ج - 5. يجب أيضًا إزالته من القوس ، أي المصطلحين 5 أ و 7 ب تبقى في القوس الثاني:

5 أ (2 ج - 5) + 7 ب (2 ج - 5) = (2 ج - 5) * (5 أ + 7 ب).

لذا فإن التعبير الكامل هو:

10ac + 14bc - 25a - 35b \ u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \ u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \ u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

وهكذا ، فإن كثير الحدود 10ac + 14bc - 25a - 35b يتحلل إلى عاملين: (2c - 5) و (5a + 7b). يمكن حذف علامة الضرب بينهما عند الكتابة

في بعض الأحيان توجد تعبيرات من هذا النوع: 5a 2 + 50a 3 ، هنا يمكنك وضع قوس ليس فقط على 5a أو 5a ، ولكن حتى 5a 2. يجب أن تحاول دائمًا إخراج أكبر عامل مشترك ممكن من القوس. في حالتنا ، إذا قسمنا كل مصطلح على عامل مشترك ، نحصل على:

5 أ 2/5 أ 2 = 1 ؛ 50 أ 3/5 أ 2 = 10 أ(عند حساب خارج قسمة عدة قوى ذات قواعد متساوية ، يتم الاحتفاظ بالأساس وطرح الأس). وهكذا ، يبقى المرء بين القوسين (لا تنس بأي حال من الأحوال أن تكتب واحدًا إذا أخرجت أحد المصطلحات من القوس بالكامل) وحاصل القسمة: 10 أ. لقد أتضح أن:

5 أ 2 + 50 أ 3 = 5 أ 2 (1 + 10 أ)

الصيغ المربعة

لتسهيل العمليات الحسابية ، تم اشتقاق العديد من الصيغ. يطلق عليهم معادلات الضرب المختزلة ويتم استخدامها في كثير من الأحيان. تساعد هذه الصيغ في تحليل كثيرات الحدود التي تحتوي على قوى. هذه طريقة قوية أخرى للتحليل. إذن ها هم:

• أ 2 + 2 أب + ب 2 = (أ + ب) 2 -الصيغة ، المسماة "مربع المجموع" ، لأنه نتيجة للتوسع في مربع ، يتم أخذ مجموع الأرقام الموجودة بين قوسين ، أي أن قيمة هذا المجموع مضروبة في نفسه مرتين ، والتي يعني أنه مُضاعِف.
• أ 2 + 2 أب - ب 2 = (أ - ب) 2 - صيغة مربع الاختلاف تشبه السابقة. وتكون النتيجة فرقًا محاطًا بأقواس ، مضمن في قوة مربعة.
• أ 2 - ب 2 \ u003d (أ + ب) (أ - ب)- هذه هي صيغة اختلاف المربعات ، حيث أن كثير الحدود في البداية يتكون من مربعين من الأرقام أو التعبيرات التي يتم إجراء الطرح بينهما. ربما يكون الأكثر استخدامًا من بين الثلاثة.

أمثلة لحساب صيغ المربعات

يتم إجراء الحسابات عليها بكل بساطة. علي سبيل المثال:

1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - استخدم صيغة "مربع المجموع".
2. 25x 2 هو مربع 5x. 20xy هو ضعف حاصل ضرب 2 * (5x * 2y) ، و 4y 2 هو مربع 2y.
3. إذن 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y) (5x + 2y).يتحلل كثير الحدود هذا إلى عاملين (العوامل هي نفسها ، لذلك يتم كتابتها كتعبير بقوة مربعة).

يتم تنفيذ العمليات وفقًا لصيغة مربع الفرق بطريقة مماثلة لتلك. ما تبقى هو الفرق في صيغة المربعات. من السهل جدًا تحديد أمثلة هذه الصيغة والعثور عليها من بين التعبيرات الأخرى. علي سبيل المثال:

• 25 أ 2 - 400 = (5 أ - 20) (5 أ + 20). منذ 25 أ 2 = (5 أ) 2 ، و 400 = 20 2
• 36x 2-25y 2 \ u003d (6x - 5y) (6x + 5y). منذ 36x 2 \ u003d (6x) 2 و 25y 2 \ u003d (5y 2)
• ج 2-169 ب 2 \ u003d (ج - 13 ب) (ج + 13 ب). منذ 169 ب 2 = (13 ب) 2

من المهم أن يكون كل مصطلح هو مربع تعبير ما. ثم يتم تحليل كثير الحدود هذا عن طريق صيغة فرق المربعات. لهذا ، ليس من الضروري أن تكون القوة الثانية أعلى من الرقم. هناك كثيرات حدود تحتوي على قوى كبيرة ، لكنها لا تزال مناسبة لهذه الصيغ.

أ 8 + 10 أ 4 +25 = (أ 4) 2 + 2 * أ 4 * 5 + 5 2 = (أ 4 +5) 2

في هذا المثال ، يمكن تمثيل الرقم 8 على أنه (أ 4) 2 ، أي مربع تعبير معين. 25 يساوي 5 2 و 10 أ يساوي 4 - هذا هو المنتج المزدوج للمصطلحات 2 * أ 4 * 5. وهذا يعني أن هذا التعبير ، على الرغم من وجود الدرجات ذات الأسس الكبيرة ، يمكن أن يتحلل إلى عاملين من أجل العمل معهم لاحقًا.

صيغ المكعب

توجد الصيغ نفسها لتحليل كثيرات الحدود التي تحتوي على مكعبات. هم أكثر تعقيدًا قليلاً من أولئك الذين لديهم مربعات:

• أ 3 + ب 3 \ u003d (أ + ب) (أ 2 - أب + ب 2)- تسمى هذه الصيغة مجموع المكعبات ، لأن كثير الحدود في شكلها الأولي هو مجموع تعبيرين أو رقمين محاطين بمكعب.
• أ 3 - ب 3 \ u003d (أ - ب) (أ 2 + أب + ب 2) -يُشار إلى صيغة مماثلة للصيغة السابقة على أنها فرق المكعبات.
• أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أب 2 + ب 3 = (أ + ب) 3 - مجموع المكعب ، نتيجة العمليات الحسابية ، يتم الحصول على مجموع الأرقام أو التعبيرات ، محاطًا بين قوسين ومضروباً في نفسه 3 مرات ، أي يقع في المكعب
• أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أب 2 - ب 3 = (أ - ب) 3 -الصيغة ، التي تم تجميعها بالقياس مع الصيغة السابقة مع تغيير في بعض علامات العمليات الحسابية (زائد وناقص) ، تسمى "مكعب الفرق".

لا يتم استخدام الصيغتين الأخيرتين عمليًا لغرض تحليل كثير الحدود ، نظرًا لأنها معقدة ، ومن النادر جدًا العثور على كثيرات الحدود التي تتوافق تمامًا مع مثل هذه البنية فقط بحيث يمكن تحللها وفقًا لهذه الصيغ. لكنك ما زلت بحاجة إلى معرفتها ، حيث ستكون مطلوبة لاتخاذ إجراءات في الاتجاه المعاكس - عند فتح الأقواس.

أمثلة على صيغ المكعب

فكر في مثال: 64 أ 3 - 8 ب 3 = (4 أ) 3 - (2 ب) 3 = (4 أ - 2 ب) ((4 أ) 2 + 4 أ * 2 ب + (2 ب) 2) = (4 أ − 2 ب) (16 أ 2 + 8 أب + 4 ب 2 ).

لقد أخذنا أعدادًا أولية إلى حد ما هنا ، لذا يمكنك أن ترى فورًا أن 64a 3 يساوي (4 أ) 3 و 8 ب 3 يساوي (2 ب) 3. وبالتالي ، يتم توسيع هذه كثيرة الحدود باختلاف صيغة المكعبات إلى عاملين. يتم تنفيذ الإجراءات على صيغة مجموع المكعبات عن طريق القياس.

من المهم أن نفهم أنه ليست كل كثيرات الحدود يمكن أن تتحلل بطريقة واحدة على الأقل. لكن توجد مثل هذه التعبيرات التي تحتوي على قوى أكبر من المربع أو المكعب ، ولكن يمكن أيضًا توسيعها إلى أشكال ضرب مختصرة. على سبيل المثال: x 12 + 125y 3 = (x 4) 3 + (5y) 3 = (x 4 + 5y) * ((x 4) 2 - x 4 * 5y + (5y) 2) = (x 4 + 5y) (س 8-5 س 4 ص + 25 ص 2).

يحتوي هذا المثال على ما يصل إلى 12 درجة. لكن حتى يمكن تحليلها إلى عوامل باستخدام صيغة مجموع المكعبات. للقيام بذلك ، عليك تمثيل x 12 كـ (x 4) 3 ، أي كمكعب لبعض التعبيرات. الآن ، بدلاً من a ، تحتاج إلى استبدالها في الصيغة. حسنًا ، المقدار 125y 3 هو مكعب 5y. الخطوة التالية هي كتابة الصيغة وإجراء العمليات الحسابية.

في البداية ، أو في حالة الشك ، يمكنك دائمًا التحقق من الضرب العكسي. ما عليك سوى فتح الأقواس في التعبير الناتج وتنفيذ الإجراءات بمصطلحات مماثلة. تنطبق هذه الطريقة على جميع طرق الاختزال المدرجة: للعمل مع عامل مشترك وتجميع ، والعمليات على صيغ المكعبات والقوى المربعة.

في هذا الدرس ، سوف نتذكر جميع الطرق التي تمت دراستها مسبقًا لتحليل كثير الحدود والنظر في أمثلة لتطبيقها ، بالإضافة إلى ذلك ، سوف ندرس طريقة جديدة - طريقة التربيع الكامل ونتعلم كيفية تطبيقها في حل المشكلات المختلفة.

موضوعات:تحليل كثيرات الحدود

درس:تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل. طريقة اختيار المربع الكامل. مزيج من الأساليب

تذكر الطرق الرئيسية لتحليل كثير الحدود التي تمت دراستها مسبقًا:

طريقة إخراج العامل المشترك من الأقواس ، أي عامل موجود في جميع أعضاء كثير الحدود. فكر في مثال:

تذكر أن المونومال هو نتاج قوى وأرقام. في مثالنا ، يمتلك كلا العضوين بعض العناصر المشتركة المتطابقة.

لذلك ، لنأخذ العامل المشترك من الأقواس:

;

تذكر أنه بضرب المضاعف المقدم في القوس ، يمكنك التحقق من صحة العرض.

طريقة التجميع. ليس من الممكن دائمًا إخراج عامل مشترك في كثير الحدود. في هذه الحالة ، تحتاج إلى تقسيم أعضائها إلى مجموعات بحيث يمكنك في كل مجموعة إخراج عامل مشترك ومحاولة تقسيمه بحيث يظهر عامل مشترك بعد استبعاد العوامل في المجموعات. التعبير بالكامل ، والتوسع يمكن أن يستمر. فكر في مثال:

جمِّع المصطلح الأول مع الرابع ، والثاني مع الخامس ، والثالث بالسادس على التوالي:

دعنا نخرج العوامل المشتركة في المجموعات:

التعبير له عامل مشترك. لنخرجه:

تطبيق صيغ الضرب المختصرة. فكر في مثال:

;

دعنا نكتب التعبير بالتفصيل:

من الواضح أن لدينا معادلة مربع الفرق ، نظرًا لوجود مجموع مربعي مقدارين وطرح حاصل ضربهما منه. دعنا نتحرك بالصيغة:

اليوم سوف نتعلم طريقة أخرى - طريقة اختيار المربع الكامل. يعتمد على صيغ مربع المجموع ومربع الفرق. أذكرهم:

صيغة مربع المجموع (الفرق) ؛

تكمن خصوصية هذه الصيغ في أنها تحتوي على مربعين من تعبيرين وحاصل ضربهما المزدوج. فكر في مثال:

لنكتب التعبير:

إذن ، التعبير الأول هو ، والثاني.

من أجل تكوين صيغة لمربع المجموع أو الفرق ، لا يكفي حاصل الضرب المزدوج للتعبيرات. يجب إضافته وطرحه:

دعونا ننهار المربع الكامل للمبلغ:

دعنا نحول التعبير الناتج:

نطبق صيغة فرق المربعات ، ونتذكر أن فرق مربعي تعبيرين هو حاصل الضرب والمجاميع باختلافهما:

إذن ، تتكون هذه الطريقة ، أولاً وقبل كل شيء ، من حقيقة أنه من الضروري تحديد التعبيرات a و b التي يتم تربيعها ، أي لتحديد التعبيرات التي يتم تربيعها في هذا المثال. بعد ذلك ، تحتاج إلى التحقق من وجود منتج مزدوج ، وإذا لم يكن موجودًا ، فقم بإضافته وطرحه ، فهذا لن يغير معنى المثال ، ولكن يمكن تحليل كثير الحدود باستخدام الصيغ الخاصة بالمربع لمجموع أو فرق وفرق المربعات ، إن أمكن.

دعنا ننتقل إلى حل الأمثلة.

مثال 1 - التحليل إلى عوامل:

ابحث عن التعبيرات المربعة:

دعنا نكتب ما يجب أن يكون عليه منتجهم المزدوج:

دعونا نجمع ونطرح المنتج المزدوج:

دعنا ننهار المربع الكامل للمبلغ ونعطي ما شابه ذلك:

سنكتب وفقًا لصيغة فرق المربعات:

مثال 2 - حل المعادلة:

;

يوجد ثلاثي الحدود في الجانب الأيسر من المعادلة. تحتاج إلى حلها. نستخدم صيغة مربع الفرق:

لدينا مربع التعبير الأول وحاصل الضرب المزدوج ، ومربع التعبير الثاني مفقود ، فلنجمعه ونطرحه:

دعونا ننهار المربع الكامل ونعطي المصطلحات المتشابهة:

دعونا نطبق صيغة فرق المربعات:

إذن لدينا المعادلة

نعلم أن حاصل الضرب يساوي صفرًا فقط إذا كان أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا. بناءً على ذلك ، سنكتب المعادلات:

لنحل المعادلة الأولى:

لنحل المعادلة الثانية:

الجواب: أو

;

نحن نتصرف بشكل مشابه للمثال السابق - حدد مربع الاختلاف.