تعريف المعادلات اللوغاريتمية. حل المعادلات اللوغاريتمية - الدرس الأخير

نحن جميعًا على دراية بالمعادلات من الصفوف الابتدائية. هناك تعلمنا أيضًا حل أبسط الأمثلة ، ويجب أن نعترف بأنهم وجدوا تطبيقها حتى في الرياضيات العليا. مع المعادلات ، كل شيء بسيط ، بما في ذلك المربعات. إذا كانت لديك مشاكل مع هذا الموضوع ، فنحن نوصي بشدة بتكراره.

ربما تكون قد مررت بالفعل اللوغاريتمات. ومع ذلك ، فإننا نعتبر أنه من المهم أن نحدد ما هو لمن لا يعرفون حتى الآن. اللوغاريتم يساوي الدرجة التي يجب أن ترفع القاعدة عندها للحصول على الرقم على يمين علامة اللوغاريتم. دعنا نعطي مثالًا ، بناءً على ذلك ، سيصبح كل شيء واضحًا لك.

إذا رفعت 3 إلى القوة الرابعة ، تحصل على 81. الآن استبدل الأرقام بالقياس ، وستفهم أخيرًا كيف يتم حل اللوغاريتمات. الآن يبقى فقط الجمع بين المفهومين المدروسين. في البداية ، يبدو الوضع صعبًا للغاية ، ولكن عند الفحص الدقيق ، يقع الوزن في مكانه الصحيح. نحن على يقين من أنه بعد هذه المقالة القصيرة لن تواجه أي مشاكل في هذا الجزء من الامتحان.

اليوم ، هناك العديد من الطرق لحل مثل هذه الهياكل. سنخبرك بأبسط واجبات الاستخدام وأكثرها فعالية وأكثرها قابلية للتطبيق. يجب أن يبدأ حل المعادلات اللوغاريتمية بأبسط مثال. تتكون أبسط المعادلات اللوغاريتمية من دالة ومتغير واحد فيها.

من المهم ملاحظة أن x داخل السعة. يجب أن يكون A و b رقمين. في هذه الحالة ، يمكنك ببساطة التعبير عن الدالة بدلالة عدد إلى أس. تبدو هكذا.

بالطبع سيقودك حل المعادلة اللوغاريتمية بهذه الطريقة إلى الإجابة الصحيحة. مشكلة الغالبية العظمى من الطلاب في هذه الحالة هي أنهم لا يفهمون ماذا وأين يأتي. نتيجة لذلك ، عليك أن تتحمل الأخطاء ولا تحصل على النقاط المطلوبة. سيكون الخطأ الأكثر هجومًا هو خلط الأحرف في بعض الأماكن. لحل المعادلة بهذه الطريقة ، تحتاج إلى حفظ صيغة المدرسة القياسية هذه ، لأنه من الصعب فهمها.

لتسهيل الأمر ، يمكنك اللجوء إلى طريقة أخرى - الشكل المتعارف عليه. الفكرة بسيطة جدا. انتبه إلى المشكلة مرة أخرى. تذكر أن الحرف a هو رقم وليس دالة أو متغير. أ لا يساوي واحدًا أو أكبر من صفر. لا توجد قيود على ب. الآن نتذكر واحدة من جميع الصيغ. يمكن التعبير عن B على النحو التالي.

ويترتب على ذلك أن جميع المعادلات الأصلية مع اللوغاريتمات يمكن تمثيلها على النحو التالي:

يمكننا الآن إسقاط اللوغاريتمات. والنتيجة هي بناء بسيط رأيناه سابقًا.

تكمن راحة هذه الصيغة في حقيقة أنه يمكن استخدامها في مجموعة متنوعة من الحالات ، وليس فقط لأبسط التصميمات.

لا تقلق بشأن OOF!

سيلاحظ العديد من علماء الرياضيات ذوي الخبرة أننا لم نعر اهتمامًا لمجال التعريف. يتم تقليل القاعدة إلى حقيقة أن F (x) بالضرورة أكبر من 0. لا ، لم نفوت هذه اللحظة. الآن نحن نتحدث عن ميزة جدية أخرى للشكل الكنسي.

لن تنشأ هنا جذور غير ضرورية. إذا كان المتغير سيظهر في مكان واحد فقط ، فلن يكون النطاق ضروريًا. يتم تشغيله تلقائيًا. للتحقق من هذا البيان ، فكر في حل بعض الأمثلة البسيطة.

كيفية حل المعادلات اللوغاريتمية ذات الأسس المختلفة

هذه معادلات لوغاريتمية معقدة بالفعل ، ويجب أن يكون نهج حلها خاصًا. نادرًا ما يتضح أنه يقتصر على الشكل الكنسي سيئ السمعة. لنبدأ قصتنا التفصيلية. لدينا التصميم التالي.

انتبه إلى الكسر. يحتوي على اللوغاريتم. إذا رأيت هذا في المهمة ، فمن الجدير أن تتذكر خدعة واحدة مثيرة للاهتمام.

ماذا يعني ذلك؟ يمكن تمثيل كل لوغاريتم على أنه حاصل قسمة لوغاريتمين بأساس مناسب. وهذه الصيغة لها حالة خاصة قابلة للتطبيق مع هذا المثال (بمعنى ، إذا كان ج = ب).

هذا هو بالضبط الكسر الذي نراه في مثالنا. في هذا الطريق.

في الواقع ، لقد قلبوا الكسر وحصلوا على تعبير أكثر ملاءمة. تذكر هذه الخوارزمية!

من الضروري الآن ألا تحتوي المعادلة اللوغاريتمية على أسس مختلفة. لنتخيل القاعدة على شكل كسر.

في الرياضيات ، هناك قاعدة على أساسها يمكنك الحصول على درجة من الأساس. البناء التالي تبين.

يبدو ، ما الذي يمنع الآن من تحويل تعبيرنا إلى شكل أساسي وحلها بطريقة أولية؟ ليس بسيط جدا. يجب ألا يكون هناك كسور قبل اللوغاريتم. نصلح هذا الوضع! يُسمح بتنفيذ الكسر كدرجة.

على التوالى.

إذا كانت الأسس هي نفسها ، فيمكننا إزالة اللوغاريتمات ومساواة التعبيرات نفسها. لذا فإن الوضع سيصبح أسهل بكثير مما كان عليه. ستبقى هناك معادلة أولية ، تمكن كل منا من حلها في الصف الثامن أو السابع. يمكنك إجراء الحسابات بنفسك.

لقد حصلنا على الجذر الحقيقي الوحيد لهذه المعادلة اللوغاريتمية. أمثلة حل معادلة لوغاريتمية بسيطة جدًا ، أليس كذلك؟ الآن سوف تكون قادرًا على معرفة حتى أصعب المهام للتحضير للامتحان واجتيازه بشكل مستقل.

ما هو المحصلة النهائية؟

في حالة أي معادلات لوغاريتمية ، ننطلق من قاعدة واحدة مهمة جدًا. من الضروري التصرف بطريقة تجعل التعبير في أبسط شكل ممكن. في هذه الحالة ، سيكون لديك المزيد من الفرص ليس فقط لحل المهمة بشكل صحيح ، ولكن أيضًا لجعلها بسيطة ومنطقية قدر الإمكان. هذا ما يفعله علماء الرياضيات دائمًا.

ننصح بشدة بعدم البحث عن طرق صعبة خاصة في هذه الحالة. تذكر بعض القواعد البسيطة التي تسمح لك بتحويل أي تعبير. على سبيل المثال ، أحضر اثنين أو ثلاثة لوغاريتمات إلى قاعدة واحدة ، أو احصل على درجة من القاعدة واربح عليها.

من الجدير بالذكر أيضًا أنك بحاجة إلى التدرب باستمرار على حل المعادلات اللوغاريتمية. تدريجيًا ، ستنتقل إلى تصميمات أكثر وأكثر تعقيدًا ، وهذا سيقودك بثقة إلى حل جميع متغيرات المشاكل في الامتحان. استعد لامتحاناتك في وقت مبكر ، ونتمنى لك التوفيق!

اليوم سوف نتعلم كيفية حل أبسط المعادلات اللوغاريتمية ، حيث لا تكون هناك حاجة للتحولات الأولية واختيار الجذور. ولكن إذا تعلمت كيفية حل مثل هذه المعادلات ، فسيكون الأمر أسهل بكثير.

أبسط معادلة لوغاريتمية هي معادلة بالصيغة log a f (x) = b ، حيث a ، b هي أرقام (a> 0 ، a ≠ 1) ، f (x) هي بعض الوظائف.

السمة المميزة لجميع المعادلات اللوغاريتمية هي وجود المتغير x تحت علامة اللوغاريتم. إذا تم تقديم مثل هذه المعادلة في البداية في المشكلة ، فإنها تسمى أبسطها. يتم اختزال أي معادلات لوغاريتمية أخرى إلى أبسط طريقة للتحولات الخاصة (انظر "الخصائص الأساسية للوغاريتمات"). ومع ذلك ، في هذه الحالة ، يجب مراعاة العديد من التفاصيل الدقيقة: قد تظهر جذور غير ضرورية ، وبالتالي سيتم النظر في المعادلات اللوغاريتمية المعقدة بشكل منفصل.

كيف تحل هذه المعادلات؟ يكفي استبدال الرقم الموجود على يمين علامة التساوي باللوغاريتم الموجود على نفس الأساس الموجود على اليسار. ثم يمكنك التخلص من علامة اللوغاريتم. نحن نحصل:

سجل أ و (س) = ب ⇒ سجل أ و (س) = سجل أ أ ب ⇒ و (س) = أ ب

حصلنا على المعادلة المعتادة. جذوره هي جذور المعادلة الأصلية.

أخذ درجات

في كثير من الأحيان ، يمكن حل المعادلات اللوغاريتمية ، التي تبدو خارجية معقدة وخطيرة ، في سطرين فقط دون استخدام صيغ معقدة. سننظر اليوم في مثل هذه المشكلات فقط ، حيث كل ما هو مطلوب منك هو تقليل الصيغة بعناية إلى الشكل الأساسي وعدم الخلط عند البحث عن مجال تعريف اللوغاريتمات.

اليوم ، كما خمنت بالفعل من الاسم ، سنحل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام الصيغ للانتقال إلى الشكل المتعارف عليه. تتمثل "الحيلة" الرئيسية في درس الفيديو هذا في العمل بالدرجات ، أو بالأحرى اشتقاق الدرجة من الأساس والحجة. دعنا نلقي نظرة على القاعدة:

وبالمثل ، يمكنك الحصول على الدرجة من القاعدة:

كما ترى ، عند إزالة الدرجة من وسيطة اللوغاريتم ، لدينا ببساطة عامل إضافي في المقدمة ، فعند إزالة الدرجة من القاعدة ، فهذا ليس مجرد عامل ، ولكنه عامل مقلوب. يجب تذكر هذا.

أخيرًا ، الجزء الممتع. يمكن دمج هذه الصيغ ، ثم نحصل على:

بالطبع ، عند إجراء هذه التحولات ، هناك بعض المزالق المرتبطة بالتوسع المحتمل لمنطقة التعريف أو ، على العكس من ذلك ، تضييق منطقة التعريف. أحكم لنفسك:

سجل 3 × 2 = 2 ∙ سجل 3 س

في الحالة الأولى ، يمكن أن يكون x أي رقم بخلاف 0 ، أي المتطلب x ≠ 0 ، في الحالة الثانية سنكتفي فقط بـ x ، والتي ليست فقط غير متساوية ، ولكنها أكبر من 0 تمامًا ، لأن مجال تعريف اللوغاريتم هو أن الحجة أكبر من الصفر تمامًا. لذلك ، دعني أذكرك بصيغة رائعة من مسار الجبر في الصفوف 8-9:

بمعنى ، يجب أن نكتب صيغتنا على النحو التالي:

سجل 3 × 2 = 2 ∙ سجل 3 | س |

ثم لن يحدث تضييق لمجال التعريف.

ومع ذلك ، في الفيديو التعليمي اليوم ، لن تكون هناك مربعات. إذا نظرت إلى مهامنا ، سترى الجذور فقط. لذلك ، لن نطبق هذه القاعدة ، ولكن لا يزال يتعين وضعها في الاعتبار حتى في الوقت المناسب ، عندما ترى دالة تربيعية في الوسيطة أو قاعدة اللوغاريتم ، ستتذكر هذه القاعدة وتنفذ جميع التحويلات بشكل صحيح.

إذن المعادلة الأولى:

لحل هذه المشكلة ، أقترح النظر بعناية في كل من المصطلحات الموجودة في الصيغة.

دعنا نعيد كتابة الحد الأول كقوة ذات أس كسري:

ننظر إلى الحد الثاني: log 3 (1 - x). لا تحتاج إلى فعل أي شيء هنا ، فكل شيء تحول بالفعل.

أخيرًا ، 0 ، 5. كما قلت في الدروس السابقة ، عند حل المعادلات والصيغ اللوغاريتمية ، أوصي بشدة بالتبديل من الكسور العشرية إلى الكسور العادية. هيا بنا نقوم بذلك:

0,5 = 5/10 = 1/2

دعنا نعيد كتابة الصيغة الأصلية مع مراعاة المصطلحات الناتجة:

سجل 3 (1 - س) = 1

الآن دعنا ننتقل إلى الشكل المتعارف عليه:

سجل 3 (1 - س) = سجل 3 3

نتخلص من علامة اللوغاريتم من خلال مساواة الحجج:

1 - س = 3

−x = 2

س = −2

هذا كل شيء ، لقد حللنا المعادلة. ومع ذلك ، دعنا نلعبها بأمان ونجد النطاق. للقيام بذلك ، ارجع إلى الصيغة الأصلية واطلع على:

1 - س> 0

−x> 1

x< 1

جذرنا x = −2 يلبي هذا المطلب ؛ لذلك ، x = −2 هو حل للمعادلة الأصلية. الآن تلقينا تبريرًا صارمًا وواضحًا. هذا كل شيء ، تم حل المشكلة.

دعنا ننتقل إلى المهمة الثانية:

دعونا نتعامل مع كل مصطلح على حدة.

نكتب الأول:

لقد قمنا بتحويل الفترة الأولى. نحن نعمل مع الفصل الثاني:

أخيرًا ، المصطلح الأخير على يمين علامة التساوي:

نستبدل التعبيرات التي تم الحصول عليها بدلاً من المصطلحات في الصيغة الناتجة:

سجل 3 س = 1

دعنا ننتقل إلى الشكل المتعارف عليه:

سجل 3 س = سجل 3 3

نتخلص من علامة اللوغاريتم ، ونعادل الحجج ، ونحصل على:

س = 3

مرة أخرى ، دعنا نلعبها بأمان في حالة ، عد إلى المعادلة الأصلية ونرى. في الصيغة الأصلية ، المتغير x موجود فقط في الوسيطة ، لذلك

x> 0

في اللوغاريتم الثاني ، x تحت الجذر ، ولكن مرة أخرى في الوسيطة ، يجب أن يكون الجذر أكبر من 0 ، أي يجب أن يكون التعبير الجذري أكبر من 0. انظر إلى جذرنا x = 3. من الواضح أنه يفي بهذا الشرط. إذن ، x = 3 هو حل للمعادلة اللوغاريتمية الأصلية. هذا كل شيء ، تم حل المشكلة.

هناك نقطتان أساسيتان في الفيديو التعليمي اليوم:

1) لا تخف من تحويل اللوغاريتمات ، وعلى وجه الخصوص ، لا تخف من إخراج القوى من علامة اللوغاريتم ، مع تذكر صيغتنا الأساسية: عند إزالة درجة من الحجة ، يتم إخراجها ببساطة بدون تغيير كعامل ، وعندما يتم إخراج درجة من القاعدة ، يتم عكس هذه الدرجة.

2) النقطة الثانية مرتبطة بالشكل القانوني نفسه. أجرينا الانتقال إلى الشكل المتعارف عليه في نهاية تحويل صيغة المعادلة اللوغاريتمية. دعني أذكرك بالصيغة التالية:

أ = سجل ب ب أ

بالطبع ، من خلال التعبير "أي رقم ب" ، أعني هذه الأرقام التي تفي بالمتطلبات المفروضة على أساس اللوغاريتم ، أي

1 ≠ ب> 0

بالنسبة لمثل ب ، وبما أننا نعرف الأساس بالفعل ، فسيتم استيفاء هذا المطلب تلقائيًا. لكن بالنسبة لمثل هذا ب - أي الذي يلبي هذا المطلب - يمكن إجراء هذا الانتقال ، ونحصل على الشكل الأساسي الذي يمكننا من خلاله التخلص من علامة اللوغاريتم.

توسيع النطاق والجذور غير الضرورية

في عملية تحويل المعادلات اللوغاريتمية ، يمكن أن يحدث توسع ضمني في مجال التعريف. في كثير من الأحيان ، لا يلاحظ الطلاب ذلك ، مما يؤدي إلى أخطاء وإجابات غير صحيحة.

لنبدأ بأبسط التصاميم. أبسط معادلة لوغاريتمية هي كما يلي:

سجل أ و (س) = ب

لاحظ أن x موجود فقط في وسيطة واحدة لوغاريتم واحد. كيف نحل مثل هذه المعادلات؟ نستخدم الصيغة المتعارف عليها. للقيام بذلك ، نمثل الرقم b = log a a b ، وستتم إعادة كتابة معادلتنا على النحو التالي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

يسمى هذا الإدخال بالشكل المتعارف عليه. بالنسبة لها ، يجب تقليل أي معادلة لوغاريتمية ستجدها ليس فقط في درس اليوم ، ولكن أيضًا في أي عمل مستقل وتحكمي.

كيف نصل إلى الشكل المتعارف عليه ، ما هي التقنيات التي يجب استخدامها هي بالفعل مسألة ممارسة. الشيء الرئيسي الذي يجب فهمه هو أنه بمجرد استلامك لمثل هذا السجل ، يمكنك افتراض أن المشكلة قد تم حلها. لأن الخطوة التالية هي أن تكتب:

و (س) = أ ب

بمعنى آخر ، نتخلص من علامة اللوغاريتم ونساوي الحجج فقط.

لماذا كل هذا الحديث؟ الحقيقة هي أن الشكل المتعارف عليه لا ينطبق فقط على أبسط المشاكل ، ولكن أيضًا على أي مشاكل أخرى. على وجه الخصوص ، إلى أولئك الذين سنخاطبهم اليوم. دعونا نرى.

المهمة الأولى:

ما هي مشكلة هذه المعادلة؟ حقيقة أن الوظيفة موجودة في لوغاريتمين في وقت واحد. يمكن اختزال المشكلة إلى أبسطها بطرح لوغاريتم واحد من الآخر. لكن هناك مشاكل في نطاق التعريف: قد تظهر جذور إضافية. لذلك دعونا ننقل أحد اللوغاريتمات إلى اليمين:

مثل هذا السجل يشبه إلى حد كبير الشكل المتعارف عليه. ولكن هناك فارق بسيط آخر: في الشكل القانوني ، يجب أن تكون الحجج هي نفسها. ولدينا لوغاريتم للأساس 3 على اليسار ، والأساس 1/3 على اليمين. يعلم ، عليك إحضار هذه الأسباب إلى نفس الرقم. على سبيل المثال ، لنتذكر ما هي القوى السلبية:

وبعد ذلك سوف نستخدم تحريك الأس "-1" خارج اللوغاريثم كعامل:

يرجى ملاحظة: الدرجة التي وقفت عند القاعدة تنقلب وتتحول إلى كسر. حصلنا على تدوين متعارف عليه تقريبًا ، تخلصنا من القواعد المختلفة ، ولكن في المقابل حصلنا على العامل "-1" على اليمين. دعونا نضيف هذا العامل إلى الحجة ، ونحولها إلى قوة:

بالطبع ، بعد أن تلقينا الشكل المتعارف عليه ، نشطب بجرأة علامة اللوغاريتم ونساوي الحجج. في نفس الوقت ، دعني أذكرك أنه عند رفع الكسر إلى القوة "1" ، يتم قلب الكسر ببساطة - يتم الحصول على النسبة.

دعنا نستخدم الخاصية الرئيسية للنسبة ونضربها بالعرض:

(س - 4) (2 س - 1) = (س - 5) (3 س - 4)

2x 2 - x - 8x + 4 = 3x 2 - 4x - 15x + 20

2x 2-9x + 4 = 3x2-19x + 20

× 2 - 10 × + 16 = 0

أمامنا المعادلة التربيعية المعطاة ، لذلك نحلها باستخدام صيغ فييتا:

(س - 8) (س - 2) = 0

× 1 = 8 ؛ س 2 = 2

هذا كل شئ. هل تعتقد أن المعادلة قد تم حلها؟ لا! لمثل هذا الحل ، نحصل على 0 نقطة ، لأن المعادلة الأصلية تحتوي على لوغاريتمين مع المتغير x مرة واحدة. لذلك ، يجب مراعاة نطاق التعريف.

وهنا تبدأ المتعة. يحتار معظم الطلاب: ما هو مجال اللوغاريتم؟ بالطبع ، يجب أن تكون جميع الحجج (لدينا اثنان) أكبر من الصفر:

(س - 4) / (3 س - 4)> 0

(س - 5) / (2 س - 1)> 0

يجب حل كل من هذه المتباينات ، ووضع علامة على خط مستقيم ، وعبورها - وعندها فقط نرى أي الجذور تقع عند التقاطع.

لنكون صادقين: هذه التقنية لها الحق في الوجود ، وهي موثوقة ، وستحصل على الإجابة الصحيحة ، ولكن هناك الكثير من الإجراءات غير الضرورية فيها. لذا دعنا ننتقل إلى حلنا مرة أخرى ونرى: أين تريد تحديد النطاق بالضبط؟ بمعنى آخر ، عليك أن تفهم بوضوح متى تظهر الجذور الإضافية بالضبط.

1. في البداية ، كان لدينا لوغاريتمان. ثم نقلنا إحداها إلى اليمين ، لكن هذا لم يؤثر على منطقة التعريف.
2. ثم نزيل الدرجة من القاعدة ، لكن لا يزال هناك لوغاريتمان ، يحتوي كل منهما على المتغير x.
3. أخيرًا ، قمنا بشطب إشارات السجل والحصول على المعادلة المنطقية الكسرية الكلاسيكية.

في الخطوة الأخيرة يتوسع النطاق! بمجرد أن ننتقل إلى المعادلة المنطقية الكسرية ، وتخلصنا من علامات اللوغاريتمات ، تغيرت متطلبات المتغير x بشكل كبير!

وبالتالي ، لا يمكن النظر في مجال التعريف في بداية الحل ، ولكن فقط في الخطوة المذكورة - قبل مساواة الحجج مباشرة.

هذا هو المكان الذي تكمن فيه فرصة التحسين. من ناحية ، نحن مطالبون بأن تكون كلتا الوسيطتين أكبر من الصفر. من ناحية أخرى ، نحن نساوي هذه الحجج. لذلك ، إذا كان أحدهما على الأقل إيجابيًا ، فسيكون الثاني إيجابيًا أيضًا!

لذلك اتضح أن طلب تحقيق متباينتين في وقت واحد هو مبالغة. يكفي اعتبار واحد فقط من هذه الكسور. أي واحد؟ هذا أسهل. على سبيل المثال ، دعنا نتعامل مع الكسر الصحيح:

(س - 5) / (2 س - 1)> 0

هذه متباينة كسرية عقلانية نموذجية ، نحلها بطريقة الفواصل:

كيف نضع اللافتات؟ لنأخذ عددًا من الواضح أنه أكبر من كل الجذور. على سبيل المثال 1 مليار واستبدل الكسر. نحصل على رقم موجب ، أي على يمين الجذر x = 5 ستكون هناك علامة زائد.

ثم تتبدل العلامات ، لأنه لا توجد جذور حتى للتعدد في أي مكان. نحن مهتمون بالفترات التي تكون فيها الوظيفة موجبة. لذلك ، x ∈ (−∞ ؛ −1/2) ∪ (5 ؛ + ∞).

الآن دعنا نتذكر الإجابات: x = 8 و x = 2. بالمعنى الدقيق للكلمة ، هذه ليست إجابات حتى الآن ، ولكنها مرشحة فقط للإجابة. أي واحد ينتمي إلى المجموعة المحددة؟ بالطبع ، x = 8. لكن x = 2 لا تناسبنا في مجال التعريف.

ستكون الإجابة الإجمالية للمعادلة اللوغاريتمية الأولى هي x = 8. الآن تلقينا حلًا كفؤًا وقائمًا على أسس جيدة ، مع مراعاة مجال التعريف.

دعنا ننتقل إلى المعادلة الثانية:

سجل 5 (س - 9) = سجل 0.5 4 - سجل 5 (س - 5) + 3

دعني أذكرك أنه إذا كان هناك كسر عشري في المعادلة ، فعليك التخلص منه. بعبارة أخرى ، دعونا نعيد كتابة 0.5 في صورة كسر عادي. نلاحظ على الفور أن اللوغاريتم الذي يحتوي على هذه القاعدة يتم حسابه بسهولة:

هذه لحظة مهمة جدا! عندما تكون لدينا درجات في القاعدة وفي الحجة ، يمكننا إخراج مؤشرات هذه الدرجات بالصيغة:

ارجع إلى معادلتنا اللوغاريتمية الأصلية وأعد كتابتها:

سجل 5 (س - 9) = 1 - سجل 5 (س - 5)

لقد حصلنا على بناء قريب جدًا من الشكل المتعارف عليه. ومع ذلك ، فإننا مرتبكون من المصطلحات وعلامة الطرح الموجودة على يمين علامة المساواة. لنفكر في واحد على أنه لوغاريتم للأساس 5:

سجل 5 (س - 9) = سجل 5 5 1 - سجل 5 (س - 5)

اطرح اللوغاريتمات من اليمين (بينما حججهم قابلة للقسمة):

سجل 5 (س - 9) = سجل 5 5 / (س - 5)

تماما. لذلك حصلنا على الشكل المتعارف عليه! اشطب علامات السجل وساوى بين الحجج:

(س - 9) / 1 = 5 / (س - 5)

هذه نسبة يمكن حلها بسهولة عن طريق الضرب بالعرض:

(س - 9) (س - 5) = 5 1

× 2-9 س - 5 س + 45 = 5

س 2 - 14 س + 40 = 0

من الواضح أن أمامنا المعادلة التربيعية المعطاة. يمكن حلها بسهولة باستخدام صيغ فييتا:

(س - 10) (س - 4) = 0

× 1 = 10

× 2 = 4

لدينا جذور. لكن هذه ليست إجابات نهائية ، ولكنها مرشحة فقط ، لأن المعادلة اللوغاريتمية تتطلب أيضًا التحقق من مجال التعريف.

أذكرك: لا داعي للبحث في الوقت المناسب كل واحدمن الحجج ستكون أكبر من الصفر. يكفي أن نطلب أن تكون وسيطة واحدة - إما x - 9 أو 5 / (x - 5) - أكبر من الصفر. تأمل الحجة الأولى:

س - 9> 0

x> 9

من الواضح أن س = 10 فقط تفي بهذا المطلب ، وهذه هي الإجابة النهائية. تم حل المشكلة برمتها.

مرة أخرى ، النقاط الرئيسية في درس اليوم هي:

1. بمجرد ظهور المتغير x في عدة لوغاريتمات ، تتوقف المعادلة عن كونها أولية ، وعليك حساب المجال. خلاف ذلك ، يمكنك بسهولة كتابة الجذور الإضافية ردا على ذلك.
2. يمكن تبسيط العمل مع المجال نفسه إلى حد كبير إذا كتبنا المتباينة ليس على الفور ، ولكن بالضبط في الوقت الذي نتخلص فيه من علامات اللوغاريتمات. بعد كل شيء ، عندما تتساوى الحجج مع بعضها البعض ، يكفي أن نطلب أن تكون واحدة منها فقط أكبر من الصفر.

بالطبع ، نحن أنفسنا نختار من بين الحجة التي نشكل عدم المساواة ، لذلك من المنطقي اختيار أبسطها. على سبيل المثال ، في المعادلة الثانية ، اخترنا الوسيطة (x - 9) - دالة خطية ، بدلاً من الوسيطة الثانية الكسرية المنطقية. توافق على أن حل المتباينة x - 9> 0 أسهل بكثير من 5 / (x - 5)> 0. على الرغم من أن النتيجة واحدة.

تعمل هذه الملاحظة على تبسيط البحث عن LDV بشكل كبير ، ولكن كن حذرًا: يمكنك استخدام متباينة واحدة بدلاً من اثنين فقط عندما تكون الوسيطات متطابقة تمامًا. متساوية مع بعضها البعض!

بالطبع ، سوف يسأل أحدهم الآن: ماذا يحدث بشكل مختلف؟ نعم احيانا. على سبيل المثال ، في الخطوة نفسها ، عندما نضرب وسيطين يحتويان على متغير ، يكون هناك خطر وجود جذور غير ضرورية.

احكم بنفسك: أولاً ، يجب أن تكون كل وسيطة أكبر من الصفر ، ولكن بعد الضرب ، يكفي أن يكون ناتجها أكبر من الصفر. نتيجة لذلك ، يتم تفويت الحالة عندما يكون كل من هذه الكسور سالبًا.

لذلك ، إذا كنت قد بدأت للتو في التعامل مع المعادلات اللوغاريتمية المعقدة ، فلا تقم بأي حال من الأحوال بضرب اللوغاريتمات التي تحتوي على المتغير x - في كثير من الأحيان سيؤدي ذلك إلى جذور غير ضرورية. من الأفضل أن تتخذ خطوة إضافية ، وتحرك مصطلحًا إلى الجانب الآخر ، وتشكيل النموذج المتعارف عليه.

حسنًا ، ماذا تفعل إذا كنت لا تستطيع الاستغناء عن ضرب هذه اللوغاريتمات ، سنناقش في الفيديو التعليمي التالي. :)

مرة أخرى حول الدرجات في المعادلة

سنقوم اليوم بتحليل موضوع زلق إلى حد ما يتعلق بالمعادلات اللوغاريتمية ، أو بالأحرى إزالة القوى من الحجج وقواعد اللوغاريتمات.

بل أود أن أقول إننا سنتحدث عن تكوين درجات متساوية ، لأنه بالدرجات الزوجية تنشأ معظم الصعوبات عند حل المعادلات اللوغاريتمية الحقيقية.

لنبدأ بالصيغة المتعارف عليها. لنفترض أن لدينا معادلة بالصيغة log a f (x) = b. في هذه الحالة ، نعيد كتابة الرقم ب وفقًا للصيغة b = log a a b. اتضح ما يلي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

ثم نساوي الحجج:

و (س) = أ ب

تسمى الصيغة قبل الأخيرة بالشكل المتعارف عليه. بالنسبة لها يحاولون تقليل أي معادلة لوغاريتمية ، بغض النظر عن مدى تعقيدها ورعبها للوهلة الأولى.

إذا دعنا نحاول. لنبدأ بالمهمة الأولى:

ملاحظة أولية: كما قلت ، من الأفضل تحويل جميع الكسور العشرية في المعادلة اللوغاريتمية إلى الكسور العادية:

0,5 = 5/10 = 1/2

دعونا نعيد كتابة المعادلة مع وضع هذه الحقيقة في الاعتبار. لاحظ أن كلا من 1/1000 و 100 هي قوى من عشرة ، ثم نخرج القوى من أي مكان تكون فيه: من الحجج وحتى من قاعدة اللوغاريتمات:

وهنا العديد من الطلاب لديهم سؤال: "من أين أتت الوحدة على اليمين؟" في الواقع ، لماذا لا تكتب فقط (س - 1)؟ بالطبع ، سنكتب الآن (x - 1) ، لكن الحق في مثل هذا السجل يعطينا حساب مجال التعريف. في الواقع ، يوجد بالفعل في لوغاريتم آخر (x - 1) ، ويجب أن يكون هذا التعبير أكبر من الصفر.

لكن عندما نخرج المربع من قاعدة اللوغاريتم ، يجب أن نترك الوحدة في القاعدة. اسمحوا لي أن أشرح لماذا.

الحقيقة هي أنه من وجهة نظر الرياضيات ، فإن تحويل درجة ما يعادل استخراج جذر. على وجه الخصوص ، عندما يتم إخراج المربع من التعبير (x - 1) 2 ، فإننا في الأساس نستخرج جذر الدرجة الثانية. لكن جذر المربع ليس أكثر من وحدة. بالضبط وحدة، لأنه حتى إذا كان التعبير x - 1 سالبًا ، عند تربيعه ، فإن "ناقص" سيظل محترقًا. المزيد من استخراج الجذر سيعطينا رقمًا موجبًا - بدون أي عيوب بالفعل.

بشكل عام ، لتجنب الأخطاء الهجومية ، تذكر بشكل نهائي:

الجذر الزوجي لأي دالة مرفوعة إلى نفس الأس لا يساوي الدالة نفسها ، بل مقياسها:

نعود إلى معادلتنا اللوغاريتمية. بالحديث عن الوحدة ، جادلت بأنه يمكننا إزالتها دون ألم. انها حقيقة. سأشرح لماذا. بالمعنى الدقيق للكلمة ، كان علينا التفكير في خيارين:

1. س - 1> 0 ⇒ | س - 1 | = س - 1
2. س - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

يجب معالجة كل خيار من هذه الخيارات. ولكن هناك مشكلة واحدة: تحتوي الصيغة الأصلية بالفعل على دالة (x - 1) بدون أي وحدة نمطية. وباتباع مجال تعريف اللوغاريتمات ، لدينا الحق في كتابة x - 1> 0 على الفور.

يجب تلبية هذا المطلب بشكل مستقل عن أي وحدات وتحويلات أخرى نقوم بها في عملية الحل. وبالتالي ، ليس من المنطقي النظر في الخيار الثاني - لن يظهر أبدًا. حتى إذا حصلنا على بعض الأرقام عند حل هذا الفرع من عدم المساواة ، فلن يتم تضمينها في الإجابة النهائية.

نحن الآن حرفياً على بعد خطوة واحدة من الشكل المتعارف عليه للمعادلة اللوغاريتمية. دعنا نمثل الوحدة على النحو التالي:

1 = تسجيل x - 1 (x - 1) 1

بالإضافة إلى ذلك ، نضيف العامل −4 على اليمين إلى السعة:

تسجيل x - 1 10 −4 = تسجيل x - 1 (x - 1)

أمامنا الشكل الأساسي للمعادلة اللوغاريتمية. تخلص من علامة اللوغاريتم:

10 −4 = س - 1

ولكن نظرًا لأن الأساس كان دالة (وليست عددًا أوليًا) ، فإننا نطلب أيضًا أن تكون هذه الدالة أكبر من صفر وألا تساوي واحدًا. سيظهر النظام:

نظرًا لأن المتطلب x - 1> 0 يتم تحقيقه تلقائيًا (بعد كل شيء ، x - 1 = 10 −4) ، يمكن حذف إحدى المتباينات من نظامنا. يمكن أيضًا شطب الشرط الثاني ، لأن x - 1 = 0.0001< 1. Итого получаем:

س = 1 + 0.0001 = 1.0001

هذا هو الجذر الوحيد الذي يلبي تلقائيًا جميع متطلبات مجال تعريف اللوغاريتم (ومع ذلك ، تم رفض جميع المتطلبات باعتبارها مستوفاة عن علم في ظروف مشكلتنا).

إذن المعادلة الثانية:

3 سجل 3 × س = 2 سجل 9 × × 2

كيف تختلف هذه المعادلة اختلافًا جوهريًا عن السابقة؟ بالفعل على الأقل من خلال حقيقة أن قواعد اللوغاريتمات - 3x و 9x - ليست درجات طبيعية لبعضها البعض. لذلك ، فإن الانتقال الذي استخدمناه في الحل السابق غير ممكن.

دعونا على الأقل نتخلص من الدرجات. في حالتنا ، الدرجة الوحيدة موجودة في الوسيطة الثانية:

3 سجل 3 س س = 2 ∙ 2 سجل 9 س | س |

ومع ذلك ، يمكن إزالة علامة المقياس ، لأن المتغير x موجود أيضًا في القاعدة ، أي س> 0 ⇒ | س | = س. دعنا نعيد كتابة معادلتنا اللوغاريتمية:

3 سجل 3 س س = 4 سجل 9 س س

حصلنا على لوغاريتمات بنفس الحجج ، لكن قواعد مختلفة. ماذا علي أن أفعل بعد ذلك؟ هناك العديد من الخيارات هنا ، لكننا سننظر في اثنين منها فقط ، وهما الأكثر منطقية ، والأهم من ذلك ، أنها تقنيات سريعة ومفهومة لمعظم الطلاب.

لقد درسنا بالفعل الخيار الأول: في أي موقف غير مفهوم ، قم بترجمة اللوغاريتمات ذات الأساس المتغير إلى قاعدة ثابتة. على سبيل المثال ، إلى الشيطان. صيغة الانتقال بسيطة:

بالطبع ، يجب أن يلعب الرقم العادي دور المتغير c: 1 ≠ c> 0. لنفترض ، في حالتنا ، c = 2. الآن لدينا معادلة منطقية كسرية عادية. نجمع كل العناصر الموجودة على اليسار:

من الواضح أنه من الأفضل إخراج العامل log 2 x ، لأنه موجود في كلا الكسرين الأول والثاني.

سجل 2 × = 0 ؛

3 سجل 2 9x = 4 سجل 2 3x

نقسم كل سجل إلى فترتين:

السجل 2 9x = السجل 2 9 + السجل 2 × = 2 السجل 2 3 + السجل 2 × ؛

سجل 2 3 س = سجل 2 3 + سجل 2 س

دعنا نعيد كتابة جانبي المساواة مع مراعاة هذه الحقائق:

3 (2 سجل 2 3 + سجل 2 س) = 4 (سجل 2 3 + سجل 2 س)

6 سجل 2 3 + 3 سجل 2 س = 4 سجل 2 3 + 4 سجل 2 س

2 سجل 2 3 = سجل 2 س

يبقى الآن إضافة اثنين تحت علامة اللوغاريتم (ستتحول إلى قوة: 3 2 = 9):

سجل 2 9 = سجل 2 س

أمامنا هو الشكل الأساسي الكلاسيكي ، نتخلص من علامة اللوغاريتم ونحصل على:

كما هو متوقع ، تبين أن هذا الجذر أكبر من الصفر. يبقى للتحقق من المجال. لنلقِ نظرة على الأسباب:

لكن الجذر x = 9 يفي بهذه المتطلبات. ومن ثم ، فهو القرار النهائي.

الاستنتاج من هذا الحل بسيط: لا تخاف من الحسابات الطويلة! إنه فقط في البداية ، اخترنا مؤسسة جديدة بشكل عشوائي - وهذا أدى إلى تعقيد العملية بشكل كبير.

لكن السؤال الذي يطرح نفسه بعد ذلك: ما هو نوع الأساس أفضل؟ سأتحدث عن هذا في الطريقة الثانية.

دعنا نعود إلى معادلتنا الأصلية:

3 سجل 3 س س = 2 سجل 9 س س 2

3 سجل 3x س = 2 ∙ 2 سجل 9x | س |

س> 0 ⇒ | س | = س

3 سجل 3 س س = 4 سجل 9 س س

لنفكر الآن قليلاً: ما الرقم أو الوظيفة التي ستكون الجذر الأمثل؟ من الواضح أن الخيار الأفضل هو c = x - أيًا كان ما هو موجود بالفعل في الوسيطات. في هذه الحالة ، ستتخذ الصيغة log a b = log c b / log c a الشكل:

بمعنى آخر ، يتم عكس التعبير ببساطة. في هذه الحالة ، يتم عكس الحجة والأساس.

هذه الصيغة مفيدة للغاية وغالبًا ما تستخدم عند حل المعادلات اللوغاريتمية المعقدة. ومع ذلك ، هناك مأزق خطير للغاية عند استخدام هذه الصيغة. إذا استبدلنا المتغير x بدلًا من القاعدة ، فسيتم فرض قيود عليه ، والتي لم يتم ملاحظتها سابقًا:

لم يكن هناك مثل هذا القيد في المعادلة الأصلية. لذلك ، من الضروري التحقق من الحالة بشكل منفصل عندما تكون x = 1. عوض بهذه القيمة في معادلتنا:

3 سجل 3 1 = 4 سجل 9 1

نحصل على المساواة العددية الصحيحة. إذن ، x = 1 جذر. وجدنا نفس الجذر بالضبط في الطريقة السابقة في بداية الحل.

ولكن الآن ، عندما درسنا هذه الحالة بالذات ، نفترض بأمان أن x ≠ 1. ثم ستتم إعادة كتابة معادلتنا اللوغاريتمية على النحو التالي:

3 سجل x 9x = 4 سجل x 3x

قم بتوسيع كلا اللوغاريتمين باستخدام نفس الصيغة كما كان من قبل. لاحظ أن السجل x x = 1:

3 (تسجيل x 9 + تسجيل x x) = 4 (تسجيل x 3 + تسجيل x x)

3 سجل × 9 + 3 = 4 سجل × 3 + 4

3 سجل × 3 2-4 سجل × 3 = 4 - 3

2 سجل × 3 = 1

لذلك توصلنا إلى الشكل المتعارف عليه:

سجل x 9 = سجل x x 1

س = 9

حصلنا على الجذر الثاني. يفي بالمتطلبات x ≠ 1. لذلك ، x = 9 وكذلك x = 1 هي الإجابة النهائية.

كما ترى ، انخفض حجم العمليات الحسابية بشكل طفيف. ولكن عند حل معادلة لوغاريتمية حقيقية ، سيكون عدد الخطوات أقل بكثير أيضًا لأنك لست مطالبًا بوصف كل خطوة بمثل هذه التفاصيل.

القاعدة الأساسية لدرس اليوم هي كما يلي: إذا كانت هناك درجة متساوية في المشكلة ، يتم استخراج جذر من نفس الدرجة منها ، فعند الإخراج نحصل على وحدة نمطية. ومع ذلك ، يمكن إزالة هذه الوحدة إذا انتبهنا إلى مجال تعريف اللوغاريتمات.

لكن كن حذرًا: يعتقد معظم الطلاب بعد هذا الدرس أنهم يفهمون كل شيء. لكن عند حل المشكلات الحقيقية ، لا يمكنهم إعادة إنتاج السلسلة المنطقية بأكملها. نتيجة لذلك ، تصبح المعادلة متضخمة بجذور غير ضرورية ، وتتضح أن الإجابة خاطئة.

تعليمات

اكتب التعبير اللوغاريتمي المحدد. إذا كان التعبير يستخدم لوغاريتم 10 ، فسيتم اقتطاع تدوينه ويبدو كما يلي: lg b هو اللوغاريتم العشري. إذا كان اللوغاريتم يحتوي على الرقم e كأساس ، فاكتب التعبير: ln b - اللوغاريتم الطبيعي. من المفهوم أن نتيجة أي هي القوة التي يجب رفع الرقم الأساسي إليها للحصول على الرقم ب.

عند إيجاد مجموع وظيفتين ، تحتاج فقط إلى التفريق بينهما ، وإضافة النتائج: (u + v) "= u" + v "؛

عند إيجاد مشتق ناتج وظيفتين ، من الضروري ضرب مشتق الوظيفة الأولى في الثانية وإضافة مشتق الوظيفة الثانية ، مضروبًا في الوظيفة الأولى: (u * v) "= u" * v + v "* u ؛

من أجل إيجاد مشتق حاصل قسمة وظيفتين ، من الضروري ، من حاصل ضرب مشتق المقسوم ، مضروبًا في دالة المقسوم عليه ، طرح منتج مشتق المقسوم عليه مضروبًا في دالة المقسوم ، ونقسم كل هذا على تربيع دالة المقسوم عليه. (u / v) "= (u" * v-v "* u) / v ^ 2 ؛

إذا تم إعطاء دالة معقدة ، فمن الضروري مضاعفة مشتق الوظيفة الداخلية ومشتق الدالة الخارجية. دع y = u (v (x)) ، ثم y "(x) = y" (u) * v "(x).

باستخدام تلك التي تم الحصول عليها أعلاه ، يمكنك التمييز بين أي وظيفة تقريبًا. لذا ، لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة:

y = x ^ 4، y "= 4 * x ^ (4-1) = 4 * x ^ 3 ؛

y = 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 + 6)، y "= 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2 * خ)) ؛
توجد أيضًا مشكلات في حساب المشتق عند نقطة ما. دع الدالة y = e ^ (x ^ 2 + 6x + 5) معطاة ، تحتاج إلى إيجاد قيمة الوظيفة عند النقطة x = 1.
1) أوجد مشتق الوظيفة: y "= e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) احسب قيمة الوظيفة عند النقطة المعينة y "(1) = 8 * e ^ 0 = 8

فيديوهات ذات علاقة

نصائح مفيدة

تعلم جدول المشتقات الأولية. هذا سيوفر الوقت بشكل كبير.

مصادر:

• مشتق ثابت

إذن ، ما هو الفرق بين المعادلة غير المنطقية والمعادلة المنطقية؟ إذا كان المتغير المجهول تحت علامة الجذر التربيعي ، فإن المعادلة تعتبر غير منطقية.

تعليمات

الطريقة الرئيسية لحل هذه المعادلات هي طريقة بناء كلا الجزأين المعادلاتفي مربع. ومع ذلك. هذا طبيعي ، الخطوة الأولى هي التخلص من اللافتة. هذه الطريقة ليست صعبة من الناحية الفنية ، ولكن في بعض الأحيان يمكن أن تتعثر. على سبيل المثال ، المعادلة v (2x-5) = v (4x-7). من خلال تربيع كلا الجانبين ، تحصل على 2x-5 = 4x-7. هذه المعادلة ليس من الصعب حلها ؛ س = 1. لكن الرقم 1 لن يكون معطى المعادلات... لماذا ا؟ عوّض بـ 1 في المعادلة عن x ، وسيحتوي كلا الجانبين الأيمن والأيسر على تعابير لا معنى لها ، أي. هذه القيمة غير صالحة لجذر تربيعي. لذلك ، 1 هو جذر غريب ، وبالتالي فإن المعادلة المعطاة ليس لها جذور.

لذلك ، يتم حل المعادلة غير المنطقية باستخدام طريقة تربيع طرفيها. وبعد حل المعادلة ، لا بد من قطع الجذور الدخيلة. للقيام بذلك ، استبدل الجذور التي تم العثور عليها في المعادلة الأصلية.

فكر في واحدة أخرى.
2x + vx-3 = 0
بالطبع ، يمكن حل هذه المعادلة بنفس طريقة حل المعادلة السابقة. نقل المركب المعادلاتالتي ليس لها جذر تربيعي ، إلى الجانب الأيمن ثم استخدم طريقة التربيع. حل المعادلة المنطقية والجذور الناتجة. ولكن أيضًا شخص آخر أكثر رشاقة. أدخل متغيرًا جديدًا ؛ ع = ذ. وفقًا لذلك ، تحصل على معادلة بالصيغة 2y2 + y-3 = 0. أي المعادلة التربيعية المعتادة. ابحث عن جذوره ؛ y1 = 1 و y2 = -3 / 2. بعد ذلك ، حدد اثنين المعادلاتع = 1 ؛ ع = -3 / 2. المعادلة الثانية ليس لها جذور ، من الأولى نجد أن x = 1. لا تنس التحقق من الجذور.

حل الهويات سهل بما فيه الكفاية. هذا يتطلب إجراء تحولات متطابقة حتى يتم تحقيق الهدف. وبالتالي ، بمساعدة أبسط العمليات الحسابية ، سيتم حل المهمة.

سوف تحتاج

• - ورق؛
• - قلم.

تعليمات

أبسط هذه التحولات هو الضرب المختصر الجبري (مثل مربع المجموع (الفرق) ، فرق المربعات ، المجموع (الفرق) ، مكعب المجموع (الفرق)). بالإضافة إلى ذلك ، هناك العديد من الصيغ المثلثية ، والتي هي في الأساس نفس الهويات.

في الواقع ، مربع مجموع حدين يساوي مربع أول زائد ضعف حاصل ضرب الأول في الثانية بالإضافة إلى مربع الثاني ، أي (أ + ب) ^ 2 = (أ + ب) (أ + ب) = أ ^ 2 + أب + با + ب ^ 2 = أ ^ 2 + 2 أب + ب ^ 2.

بسّط كلاهما

المبادئ العامة للحل

طريقة الاستبدال المتغير

حل التكاملات من النوع الثاني

استبدال حدود التكامل

يتضمن التحضير للاختبار النهائي في الرياضيات قسمًا مهمًا - "اللوغاريتمات". المهام من هذا الموضوع واردة بالضرورة في الامتحان. تظهر تجربة السنوات الماضية أن المعادلات اللوغاريتمية تسببت في صعوبات للعديد من أطفال المدارس. لذلك ، يجب على الطلاب ذوي المستويات المختلفة من التدريب فهم كيفية العثور على الإجابة الصحيحة والتعامل معها بسرعة.

اجتياز اختبار الشهادة بنجاح باستخدام البوابة التعليمية "Shkolkovo"!

عند التحضير لامتحان الدولة الموحدة ، يحتاج خريجو المدارس الثانوية إلى مصدر موثوق به يوفر المعلومات الأكثر اكتمالاً ودقة من أجل حل ناجح لمشاكل الاختبار. ومع ذلك ، فإن الكتاب المدرسي ليس دائمًا في متناول اليد ، وغالبًا ما يستغرق العثور على القواعد والصيغ اللازمة على الإنترنت وقتًا.

تتيح لك البوابة التعليمية "Shkolkovo" التحضير لامتحان الدولة الموحدة في أي مكان وفي أي وقت. يقدم موقعنا الطريقة الأكثر ملاءمة لتكرار واستيعاب كمية كبيرة من المعلومات حول اللوغاريتمات ، بالإضافة إلى معلومات مجهولة واحدة وعدة. ابدأ بالمعادلات السهلة. إذا تعاملت معهم بسهولة ، فانتقل إلى أكثر تعقيدًا. إذا كانت لديك مشكلات في حل مشكلة معينة ، فيمكنك إضافتها إلى المفضلة للعودة إليها لاحقًا.

يمكنك العثور على الصيغ اللازمة لإكمال المهمة ، وتكرار الحالات الخاصة وطرق حساب جذر المعادلة اللوغاريتمية القياسية من خلال النظر في قسم "المرجع النظري". لقد قام معلمو شكولكوفو بجمع وتنظيم وتقديم جميع المواد اللازمة لتسليم ناجح في أبسط شكل ومفهوم.

للتعامل بسهولة مع المهام من أي تعقيد ، يمكنك على بوابتنا التعرف على حل بعض المعادلات اللوغاريتمية النموذجية. للقيام بذلك ، انتقل إلى قسم "الدلائل". لقد قدمنا ​​عددًا كبيرًا من الأمثلة ، بما في ذلك معادلات مستوى الملف الشخصي للامتحان في الرياضيات.

يمكن للطلاب من المدارس في جميع أنحاء روسيا استخدام بوابتنا. للبدء ، ما عليك سوى التسجيل في النظام والبدء في حل المعادلات. لتوحيد النتائج ، ننصحك بالعودة إلى موقع Shkolkovo على الويب كل يوم.

حل المعادلات اللوغاريتمية. الجزء الأول.

المعادلة اللوغاريتميةهي معادلة يتم فيها احتواء المجهول تحت علامة اللوغاريتم (على وجه الخصوص ، في قاعدة اللوغاريتم).

الابسط معادلة لوغاريتميةيشبه:

حل أي معادلة لوغاريتميةيتضمن الانتقال من اللوغاريتمات إلى التعبيرات تحت علامة اللوغاريتمات. ومع ذلك ، فإن هذا الإجراء يوسع نطاق القيم المقبولة للمعادلة ويمكن أن يؤدي إلى ظهور جذور دخيلة. لتجنب ظهور الجذور الدخيلة، يمكنك القيام بإحدى الطرق الثلاث:

1. قم بإجراء انتقال مكافئمن المعادلة الأصلية للنظام بما في ذلك

اعتمادًا على المتباينة الأبسط أو الأبسط.

إذا كانت المعادلة تحتوي على مجهول في قاعدة اللوغاريتم:

ثم نذهب إلى النظام:

2. أوجد بشكل منفصل نطاق القيم المقبولة للمعادلة، ثم حل المعادلة وتحقق مما إذا كانت الحلول التي تم العثور عليها تفي بالمعادلة.

3. حل المعادلة ، ثم تحقق من:استبدل الحلول التي تم العثور عليها في المعادلة الأصلية ، وتحقق مما إذا كنا نحصل على المساواة الصحيحة.

دائمًا ما تقلل المعادلة اللوغاريتمية لأي مستوى من التعقيد إلى أبسط معادلة لوغاريتمية.

يمكن تقسيم جميع المعادلات اللوغاريتمية تقريبًا إلى أربعة أنواع:

1 ... المعادلات التي تحتوي فقط على اللوغاريتمات إلى الدرجة الأولى. بمساعدة التحولات والاستخدام ، يتم تقليلها إلى النموذج

مثال... لنحل المعادلة:

دعنا نساوي التعبيرات الموجودة أسفل علامة اللوغاريتم:

دعنا نتحقق مما إذا كان الجذر الخاص بنا يحقق المعادلة:

نعم إنها كذلك.

الجواب: س = 5

2 ... المعادلات التي تحتوي على لوغاريتمات بدرجة غير 1 (على وجه الخصوص ، في مقام الكسر). يتم حل هذه المعادلات باستخدام إدخال التغيير المتغير.

مثال.لنحل المعادلة:

دعنا نجد ODZ للمعادلة:

تحتوي المعادلة على مربع لوغاريتمات ، لذا يتم حلها عن طريق تغيير المتغير.

مهم! قبل تقديم الاستبدال ، من الضروري "تفكيك" اللوغاريتمات المتضمنة في المعادلة إلى "قوالب" باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

عند "سحب" اللوغاريتمات ، من المهم تطبيق خصائص اللوغاريتمات بعناية فائقة:

بالإضافة إلى ذلك ، هناك نقطة أكثر دقة هنا ، ولتجنب خطأ شائع ، سنستخدم مساواة وسيطة: نكتب درجة اللوغاريتم في هذا النموذج:

بصورة مماثلة،

عوّض بالتعبيرات الناتجة في المعادلة الأصلية. نحن نحصل:

الآن نرى أن المجهول موجود في المعادلة في التكوين. دعنا نقدم البديل:. نظرًا لأنه يمكن أن يأخذ أي قيمة حقيقية ، فإننا لا نفرض أي قيود على المتغير.