هل الفضاء عرضي؟ يمكن التنبؤ بمجموعة من الأحداث العشوائية ، حتى لو لم تكن الأحداث الفردية كذلك.

إن ميزة مولد النرد عبر الإنترنت على النرد العادي واضحة - فلن تضيع أبدًا! سوف يتعامل المكعب الافتراضي مع وظائفه بشكل أفضل بكثير من المكعب الحقيقي - حيث يتم استبعاد التلاعب بالنتائج تمامًا ولا يسع المرء إلا أن يأمل في فرصة صاحب الجلالة. النرد على الإنترنت ، من بين أشياء أخرى ، هو ترفيه رائع في أوقات فراغك. يستغرق توليد النتيجة ثلاث ثوان ، مما يزيد من إثارة واهتمام اللاعبين. لمحاكاة لفات النرد ، ما عليك سوى الضغط على الزر "1" على لوحة المفاتيح ، مما يتيح لك عدم تشتيت انتباهك ، على سبيل المثال ، عن لعبة لوحية مثيرة.

عدد النرد:

الرجاء مساعدة الخدمة بنقرة واحدة:أخبر أصدقاءك عن المولد!

عندما نسمع عبارة مثل "النرد" ، تأتي على الفور رابطة الكازينوهات ، حيث لا يمكنهم الاستغناء عنها. بادئ ذي بدء ، دعنا نتذكر قليلاً ما هو هذا الكائن.

الزهر عبارة عن مكعبات ، يتم تمثيل الأرقام من 1 إلى 6 بالنقاط على كل وجه ، وعندما نرميها ، نأمل دائمًا أن يسقط الرقم الذي تصورناه ونريده. ولكن هناك أوقات لا يُظهر فيها المكعب ، عند سقوطه على حافة ، رقمًا. هذا يعني أن من رمى ذلك يمكنه اختيار أي شخص.

يحدث أيضًا أن يتدحرج المكعب أسفل السرير أو خزانة الملابس ، وعندما يتم إزالته من هناك ، يتغير الرقم وفقًا لذلك. في هذه الحالة ، يتم رمي العظم مرة أخرى حتى يتمكن الجميع من رؤية الرقم بوضوح.

لفة النرد على الإنترنت بنقرة واحدة

في لعبة ذات نرد عادي ، من السهل جدًا الغش. للحصول على الرقم المطلوب ، تحتاج إلى وضع هذا الجانب من المكعب في الأعلى ولفه بحيث يظل كما هو (يتم تدوير الجزء الجانبي فقط). هذا ضمان غير كامل ، لكن نسبة الفوز ستكون 75٪.

إذا كنت تستخدم نردتين ، فسيتم تقليل الفرص إلى ثلاثين ، لكن هذه ليست نسبة صغيرة. بسبب الاحتيال ، لا تحب العديد من حملات اللاعبين استخدام النرد.

في الواقع ، تعمل خدمتنا الرائعة على وجه التحديد لتجنب مثل هذه المواقف. سيكون من المستحيل الغش معنا لأن لفة النرد عبر الإنترنت لا يمكن تزويرها. سيتم استبعاد عدد من 1 إلى 6 على الصفحة بطريقة عشوائية تمامًا ولا يمكن السيطرة عليها.

مولد النرد مناسب

ميزة كبيرة جدًا هي أنه لا يمكن فقد مولد النرد عبر الإنترنت (علاوة على ذلك ، يمكن وضع إشارة مرجعية عليه) ، ويمكن بسهولة أن يضيع نرد صغير عادي في مكان ما. أيضًا ، ستكون الإضافة الضخمة هي حقيقة أن التلاعب بالنتائج مستبعد تمامًا. يحتوي المولد على وظيفة تسمح لك بالاختيار من واحد إلى ثلاثة نرد للفة في نفس الوقت.

يعد منشئ النرد عبر الإنترنت وسيلة ترفيه مثيرة للاهتمام ، وهي إحدى طرق تطوير الحدس. استخدم خدمتنا واحصل على نتائج فورية وموثوقة.

الشكل الأكثر شيوعًا هو شكل مكعب ، يتم تصوير كل جانب منه بأرقام من واحد إلى ستة. اللاعب ، الذي يرميها على سطح مستوٍ ، يرى النتيجة على الحافة العلوية. العظام هي لسان حال حقيقي للفرصة أو الحظ السعيد أو الحظ السيئ.

حادثة.
توجد المكعبات (العظام) لفترة طويلة ، لكنها اكتسبت المظهر التقليدي بستة جوانب في حوالي 2600 قبل الميلاد. ه. أحب الإغريق القدماء اللعب بالنرد ، وفي أساطيرهم ، يُشار إلى البطل بالاميد ، الذي اتهمه أوديسيوس ظلماً بالخيانة ، على أنه مخترعهم. وفقًا للأسطورة ، اخترع هذه اللعبة للترفيه عن الجنود الذين حاصروا طروادة ، وتم أسرهم بواسطة حصان خشبي ضخم. استمتع الرومان في عهد يوليوس قيصر بمجموعة متنوعة من ألعاب النرد. في اللاتينية ، كان يسمى المكعب datum ، وهو ما يعني "معطى".

المحظورات.
في العصور الوسطى ، حوالي القرن الثاني عشر ، أصبحت لعبة النرد شائعة جدًا في أوروبا: المكعبات ، التي يمكن اصطحابها معك في كل مكان ، تحظى بشعبية لدى كل من الجنود والفلاحين. يقال أنه كان هناك أكثر من ستمائة لعبة مختلفة! أصبح إنتاج النرد مهنة منفصلة. الملك لويس التاسع (1214-1270) ، العائد من الحملة الصليبية ، رفض المقامرة وأمر بحظر إنتاج النرد في جميع أنحاء المملكة. أكثر من اللعبة نفسها ، كانت السلطات غير راضية عن أعمال الشغب المرتبطة بها - ثم لعبوا بشكل أساسي في الحانات وغالبًا ما تنتهي الحفلات بمعارك وطعن. لكن لم تمنع أي محظورات النرد من البقاء على قيد الحياة والبقاء على قيد الحياة حتى يومنا هذا.

عظام مع "شحنة"!
دائمًا ما تكون نتيجة لفة الموت عشوائية ، لكن بعض الغشاشين يحاولون تغيير ذلك. عن طريق حفر ثقب في المكعب وسكب الرصاص أو الزئبق فيه ، يمكنك تحقيق نفس النتيجة في كل مرة ترمي فيها. يسمى هذا المكعب "مشحونة". مصنوعة من مواد مختلفة ، سواء كانت من الذهب أو الحجر أو الكريستال أو العظام أو الزهر يمكن أن يكون لها أشكال مختلفة. تم العثور على نرد صغير على شكل هرم (رباعي الوجوه) في مقابر الفراعنة المصريين الذين بنوا الأهرامات الكبيرة! في أوقات مختلفة ، كانت العظام تتكون من 8 و 10 و 12 و 20 وحتى 100 جانب. عادةً ما يتم تطبيق الأرقام عليها ، ولكن قد تظهر أيضًا الحروف أو الصور في مكانها ، مما يعطي مساحة للخيال.

كيفية رمي النرد.
لا تأتي النرد بأشكال مختلفة فحسب ، بل لها أيضًا طرق مختلفة للعب. تتطلب بعض الألعاب أن يتم عمل لفة بطريقة معينة ، عادةً لتجنب لفة محسوبة أو لمنع توقف القالب في وضع مائل. في بعض الأحيان يتم إرفاق زجاج خاص بها لتجنب التعرض للغش أو السقوط من على طاولة اللعب. في لعبة الكريب الإنجليزية ، يجب أن تضرب أحجار النرد الثلاثة على طاولة اللعبة أو الحائط ، حتى لا يسمح للمحتالين بتزييف رمية واحدة بمجرد تحريك النرد ، ولكن لا تقلبها.

العشوائية والاحتمالية.
يعطي النرد دائمًا نتيجة عشوائية لا يمكن التنبؤ بها. بنردة واحدة ، يكون لدى اللاعب العديد من الفرص لرمي 1 كما يفعل 6 - كل شيء يتم تحديده بالصدفة. من ناحية أخرى ، مع اثنين من النرد ، ينخفض ​​مستوى العشوائية ، لأن اللاعب لديه المزيد من المعلومات حول النتيجة: على سبيل المثال ، مع اثنين من النرد ، يمكن الحصول على الرقم 7 بعدة طرق - عن طريق رمي 1 و 6 و 5 و 2 أو 4 و 3 ... لكن فرصة الحصول على الرقم 2 هي فرصة واحدة فقط: التدحرج مرتين 1. وبالتالي ، فإن احتمال الحصول على 7 أعلى من الحصول على 2! هذا يسمى نظرية الاحتمالات. ترتبط العديد من الألعاب بهذا المبدأ ، خاصة الألعاب النقدية.

على استخدام النرد.
يمكن أن يكون النرد لعبة مستقلة بدون عناصر أخرى. الشيء الوحيد غير الموجود عمليًا هو ألعاب لمكعب واحد. تتطلب القواعد اثنين على الأقل (على سبيل المثال ، كريب). للعب بوكر النرد ، تحتاج إلى خمسة أحجار نرد وقلم وورقة. الهدف هو ملء مجموعات مشابهة لمجموعات لعبة الورق التي تحمل الاسم نفسه عن طريق تدوين النقاط لها في جدول خاص. بالإضافة إلى ذلك ، يعد المكعب جزءًا شائعًا جدًا في ألعاب الطاولة ، مما يسمح لك بتحريك الرقائق أو تحديد نتيجة معارك اللعبة.

يموت يلقي.
في 49 ق. ه. غزا الشاب يوليوس قيصر بلاد الغال وعاد إلى بومبي. لكن سلطته أثارت مخاوف أعضاء مجلس الشيوخ الذين قرروا حل جيشه قبل عودته. قرر الإمبراطور المستقبلي ، بعد أن وصل إلى حدود الجمهورية ، انتهاك النظام بعبوره بجيش. قبل عبور نهر روبيكون (النهر الذي كان يمثل الحدود) ، نطق "Alea jacta est" ("تم إلقاء القرعة") قبل فيلقه. أصبح هذا القول المأثور عبارة جذابة ، ومعنى ذلك أنه ، كما هو الحال في اللعبة ، بعد اتخاذ بعض القرارات ، لم يعد من الممكن التراجع.

كتبه المصمم تايلر سيجمان على Gamasutra. أسميها باعتزاز مقال "الشعر في أنف أحد الأورك" ، لكنه يقوم بعمل جيد جدًا في وضع أساسيات الاحتمالات في الألعاب.

موضوع هذا الأسبوع

حتى اليوم ، كان كل شيء تحدثنا عنه تقريبًا حتميًا ، وفي الأسبوع الماضي ألقينا نظرة فاحصة على الميكانيكا المتعدية وقمنا بفرزها بأكبر قدر ممكن من التفاصيل التي يمكنني شرحها. لكن حتى الآن ، لم ننتبه إلى جانب كبير من العديد من الألعاب ، ألا وهو الجوانب غير الحتمية ، أي العشوائية. يعد فهم طبيعة العشوائية أمرًا مهمًا جدًا لمصممي الألعاب لأننا نصنع أنظمة تؤثر على تجربة اللاعب في لعبة معينة ، لذلك نحتاج إلى معرفة كيفية عمل هذه الأنظمة. إذا كانت هناك عشوائية في النظام ، فأنت بحاجة إلى فهم طبيعة سجيةهذه العشوائية وكيفية تغييرها للحصول على النتائج التي نحتاجها.

حجر النرد

لنبدأ بشيء بسيط: رمي النرد. عندما يفكر معظم الناس في النرد ، فإنهم يفكرون في نرد من ستة جوانب يُعرف باسم d6. لكن معظم اللاعبين رأوا العديد من النردات الأخرى: رباعي السطوح (d4) ، ثماني السطوح (d8) ، اثني عشر (d12) ، عشرون (d20) ... وإذا كنت حقيقيمهووس ، قد يكون لديك عظام 30 أو 100 جانب في مكان ما. إذا لم تكن معتادًا على هذا المصطلح ، فإن الحرف "d" يعني النرد ، والعدد الذي يليه ، وعدد الوجوه التي يمتلكها. إذا أمام"D" تعني رقم ، هذا يعني عددالنرد عند رميها. على سبيل المثال ، في لعبة Monopoly ، تقوم بتدوير 2d6.

لذلك ، في هذه الحالة ، فإن عبارة "النرد" هي تسمية تقليدية. هناك العديد من مولدات الأرقام العشوائية الأخرى التي ليست على شكل كتلة بلاستيكية ، ولكنها تؤدي نفس الوظيفة لتوليد رقم عشوائي من 1 إلى n. يمكن أيضًا اعتبار العملة العادية ثنائية السطوح d2. رأيت تصميمين من نرد ذي سبعة جوانب: بدا أحدهما مثل نرد ، والآخر بدا أشبه بقلم رصاص خشبي من سبعة جوانب. يشبه دريدل رباعي السطوح (المعروف أيضًا باسم تيتوتوم) عظم رباعي السطوح. ساحة اللعب بسهم دوار في لعبة "Chutes & Ladders" ، حيث يمكن أن تكون النتيجة من 1 إلى 6 ، يتوافق مع نرد سداسي. يمكن لمولد الأرقام العشوائية في الكمبيوتر إنشاء أي رقم من 1 إلى 19 إذا طلب المصمم مثل هذا الأمر ، على الرغم من أن الكمبيوتر لا يحتوي على نرد من 19 جانبًا (بشكل عام ، سأتحدث بمزيد من التفاصيل حول احتمالية الحصول على الأرقام على جهاز كمبيوتر في التاليأسبوع). بينما تبدو جميع هذه العناصر مختلفة ، إلا أنها في الواقع متشابهة: لديك فرصة متساوية للحصول على نتيجة من عدة نتائج.

للنرد بعض الخصائص المثيرة للاهتمام التي نحتاج إلى معرفتها. أولاً ، احتمال سقوط أي وجه هو نفسه (أفترض أنك تقوم بتدوير القالب الصحيح ، وليس الشكل الهندسي غير المنتظم). وهكذا ، إذا كنت تريد أن تعرف يعنيرمى (المعروف أيضًا بين أولئك الذين يعشقون موضوع الاحتمال باسم "توقع رياضي") ، وجمع قيم جميع الحواف وقسم هذا المجموع على عددوجوه. متوسط ​​لفة النرد السداسي العشري القياسي هو 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 ، اقسم على عدد الحواف (6) للحصول على متوسط ​​21/6 = 3.5. هذه حالة خاصة لأننا نفترض أن جميع النتائج متساوية في الاحتمال.

ماذا لو كان لديك نرد خاص؟ على سبيل المثال ، رأيت لعبة بها نرد سداسي مع ملصقات خاصة على الحواف: 1 ، 1 ، 1 ، 2 ، 2 ، 3 ، لذا فهي تتصرف مثل نرد مثلثي غريب مع فرصة أفضل للحصول على رقم 1 من 2 ، و 2 من 3. ما هو متوسط ​​قيمة لفة لهذا القالب؟ لذا ، 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10 ، اقسم على 6 ، يساوي 5/3 أو حوالي 1.66. لذلك إذا كان لديك مثل هذا النرد الخاص وسيقوم اللاعبون برمي ثلاثة أحجار نرد ثم جمع النتائج ، فأنت تعلم أن إجماليهم التقريبي سيكون حوالي 5 ، ويمكنك موازنة اللعبة بناءً على هذا الافتراض.

النرد والاستقلال

كما قلت ، ننطلق من افتراض أن كل وجه من المرجح أن يتساقط. لا يهم عدد أحجار النرد التي تدحرجها. كل لفة من النرد ايا كان، هذا يعني أن الرميات السابقة لا تؤثر على نتائج الرميات اللاحقة. مع ما يكفي من التجارب ، يجب عليك تنويه"سلسلة" من الأرقام ، مثل السقوط من قيم أكبر أو أصغر في الغالب ، أو ميزات أخرى ، وسنتحدث عن ذلك لاحقًا ، لكن هذا لا يعني أن النرد "ساخن" أو "بارد". إذا رميت نردًا قياسيًا من ستة جوانب وظهر الرقم 6 مرتين على التوالي ، فإن احتمالية أن ينتج عن اللفة التالية 6 هو أيضًا 1/6. لا تزداد الاحتمالية بسبب حقيقة أن المكعب "مُسخن". لا ينقص الاحتمال ، لأن الرقم 6 قد انخفض بالفعل مرتين على التوالي ، مما يعني أن وجهًا آخر سوف يسقط الآن. (بالطبع ، إذا رميت النرد عشرين مرة وفي كل مرة يظهر فيها الرقم 6 ، فإن فرص الحصول على الرقم 6 في الحادية والعشرين تكون عالية جدًا ... لأنه ربما يعني ذلك أن لديك النرد الخطأ!) إذا كان لديك النرد الصحيح ، فإن احتمال السقوط من كل وجه هو نفسه ، بغض النظر عن نتائج اللفات الأخرى. يمكنك أيضًا أن تتخيل أنه في كل مرة نستبدل فيها النرد ، لذلك إذا ظهر الرقم 6 مرتين على التوالي ، فقم بإزالة الزهر "الساخن" من اللعبة واستبداله بنرد جديد من ستة جوانب. أعتذر إذا كان أي منكم على علم بهذا بالفعل ، لكنني كنت بحاجة لتوضيح ذلك قبل المضي قدمًا.

كيفية جعل النرد يسقط بشكل عشوائي إلى حد ما

لنتحدث عن كيفية الحصول على نتائج مختلفة على نرد مختلف. إذا رميت النرد مرة واحدة فقط أو عدة مرات ، فستشعر اللعبة بمزيد من العشوائية إذا كان للنرد حواف أكثر. كلما رمي المزيد من النرد ، أو كلما رمي المزيد من النرد ، كلما اقتربت النتائج من المتوسط. على سبيل المثال ، إذا رميت 1d6 + 4 (أي ، نرد سداسي عشري قياسي مرة واحدة وأضفت 4 إلى النتيجة) ، فسيكون المتوسط ​​من 5 إلى 10. إذا رميت 5d2 ، فسيكون المتوسط ​​أيضًا من 5 إلى 10. ولكن عندما عند إلقاء نرد سداسي الجوانب ، فإن احتمال الحصول على الأرقام 5 أو 8 أو 10 هو نفسه. ستكون نتيجة رمي 5d2 هي الأرقام 7 و 8 بشكل أساسي ، وغالبًا ما تكون القيم الأخرى. نفس السلسلة ، حتى نفس القيمة المتوسطة (7.5 في كلتا الحالتين) ، لكن طبيعة العشوائية مختلفة.

انتظر دقيقة. ألم أقل فقط أن النرد لا يسخن أو يبرد؟ الآن أقول أنه إذا رميت الكثير من أحجار النرد ، فهل تقترب القوائم من المتوسط؟ لماذا ا؟

دعني أشرح. إذا رميت واحدالنرد ، فإن احتمال السقوط من كل وجه هو نفسه. هذا يعني أنك إذا رميت العديد من أحجار النرد ، فسوف يسقط كل وجه تقريبًا نفس عدد المرات بمرور الوقت. كلما دحرجت نردًا أكثر ، كلما اقتربت النتيجة التراكمية من المتوسط. هذا ليس لأن الرقم المسقط "يجعل" رقمًا آخر ، والذي لم يسقط بعد. ولكن نظرًا لأن السلسلة الصغيرة المكونة من 6 (أو 20 ، أو أي رقم آخر) لن تكون ذات أهمية كبيرة في النهاية إذا رميت النرد عشرة آلاف مرة أخرى وسيتراجع متوسط ​​القيمة في الغالب ... ربما سيكون لديك الآن القليل أرقام ذات قيمة عالية ، ولكن ربما لاحقًا بضعة أرقام ذات قيمة منخفضة وبمرور الوقت ستقترب من القيمة المتوسطة. ليس لأن اللفات السابقة تؤثر على النرد (على نحو خطير ، يتكون النرد من بلاستيك، ليس لديها عقل للتفكير: "أوه ، لم يتم دحرجتها لفترة طويلة") ، ولكن لأن هذا هو ما يحدث عادة مع عدد كبير من لفات النرد. ستكون سلسلة صغيرة من الأرقام المتكررة غير مرئية تقريبًا في عدد كبير من النتائج.

وبالتالي ، فإن إجراء الحسابات لدورة عشوائية واحدة من النرد أمر بسيط إلى حد ما ، على الأقل فيما يتعلق بحساب متوسط ​​قيمة اللف. توجد أيضًا طرق لحساب "مدى عشوائية" شيء ما ، وهي طريقة للقول بأن نتائج التدحرج 1d6 + 4 ستكون "أكثر عشوائية" من 5d2 ، أما بالنسبة إلى 5d2 فسيكون توزيع النتائج متساويًا ، وعادةً بالنسبة لك احسب الانحراف المعياري ، وكلما زادت القيمة ، كلما كانت النتائج عشوائية ، لكن هذا يتطلب حسابات أكثر مما أود تقديمه اليوم (سأشرح هذا الموضوع لاحقًا). الشيء الوحيد الذي أطلب منك معرفته هو أنه كقاعدة عامة ، كلما قل عدد النرد ، زادت العشوائية. وإضافة أخرى حول هذا الموضوع: كلما زاد عدد وجوه النرد ، زادت العشوائية ، لأن لديك المزيد من الخيارات.

كيفية حساب الاحتمال بالعد

قد تتساءل: كيف يمكننا حساب الاحتمال الدقيق للحصول على نتيجة معينة؟ هذا في الواقع مهم جدًا للعديد من الألعاب لأنه إذا رميت النرد ، فمن المحتمل أن تكون هناك بعض النتائج المثلى في البداية. الإجابة هي: نحتاج إلى عد قيمتين. أولاً ، احسب العدد الأقصى من النتائج على لفة النرد (بغض النظر عن النتيجة). ثم احسب عدد النتائج الإيجابية. بقسمة القيمة الثانية على الأولى ، تحصل على الاحتمال الذي تريده. للحصول على النسبة المئوية ، اضرب الناتج في 100.

أمثلة:

هذا مثال بسيط للغاية. تريد 4 أو أعلى ليصعد ويرمي النرد السداسي مرة واحدة. الحد الأقصى لعدد النتائج هو 6 (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6). من هذه ، 3 نتائج (4 ، 5 ، 6) مواتية. لذلك ، لحساب الاحتمال ، قسّم 3 على 6 واحصل على 0.5 أو 50٪.

هذا مثال أكثر تعقيدًا بعض الشيء. تريد تدوير رقم زوجي على لفة 2d6. الحد الأقصى لعدد النتائج هو 36 (6 لكل نردة ، وبما أن أحد النردات لا يؤثر على الآخر ، فإننا نضرب 6 نتائج في 6 لنحصل على 36). تكمن صعوبة هذا النوع من الأسئلة في سهولة العد مرتين. على سبيل المثال ، يوجد بالفعل خياران لنتيجة 3 على لفة 2d6: 1 + 2 و 2 + 1. تبدو متشابهة ، لكن الاختلاف هو أي رقم يظهر في النرد الأول وأي رقم في الثاني. يمكنك أيضًا أن تتخيل أن الزهر له ألوان مختلفة ، لذلك ، على سبيل المثال ، في هذه الحالة ، يكون أحد الزهر أحمر والآخر أزرق. ثم احسب عدد الخيارات لعدد زوجي: 2 (1 + 1) ، 4 (1 + 3) ، 4 (2 + 2) ، 4 (3 + 1) ، 6 (1 + 5) ، 6 (2 + 4) ، 6 (3 + 3) ، 6 (4 + 2) ، 6 (5 + 1) ، 8 (2 + 6) ، 8 (3 + 5) ، 8 (4 + 4) ، 8 (5 + 3) ) ، 8 (6 + 2) ، 10 (4 + 6) ، 10 (5 + 5) ، 10 (6 + 4) ، 12 (6 + 6). اتضح أن هناك 18 خيارًا للحصول على نتيجة إيجابية من أصل 36 ، كما في الحالة السابقة ، سيكون الاحتمال 0.5 أو 50٪. ربما غير متوقع ، لكنه دقيق للغاية.

محاكاة مونت كارلو

ماذا لو كان لديك الكثير من النرد للعد؟ على سبيل المثال ، تريد أن تعرف ما هو الاحتمال أن مبلغًا قدره 15 أو أكثر سيتم دحرجته على لفة 8d6. بالنسبة لثمانية أحجار نرد ، هناك العديد من النتائج الفردية المختلفة وسيستغرق عدهم يدويًا وقتًا طويلاً. حتى إذا تمكنا من إيجاد حل جيد لتجميع سلسلة مختلفة من لفات النرد ، فسيستغرق العد وقتًا طويلاً جدًا. في هذه الحالة ، أسهل طريقة لحساب الاحتمال ليس حسابه يدويًا ، ولكن باستخدام جهاز كمبيوتر. هناك طريقتان لحساب الاحتمالات على الكمبيوتر.

يمكن استخدام الطريقة الأولى للحصول على الإجابة الدقيقة ، ولكنها تتضمن القليل من البرمجة أو البرمجة النصية. بشكل أساسي ، سينظر الكمبيوتر في كل فرصة ، ويقدر ويحسب العدد الإجمالي للتكرارات وعدد التكرارات التي تطابق النتيجة المرجوة ، ثم يقدم إجابات. قد تبدو شفرتك كما يلي:

int wincount = 0 ، totalcount = 0 ؛

لـ (int i = 1 ؛ i<=6; i++) {

لـ (int j = 1 ؛ j<=6; j++) {

لـ (int k = 1 ؛ k<=6; k++) {

… // أدخل المزيد من الحلقات هنا

إذا (i + j + k +…> = 15) (

احتمال تعويم = wincount / totalcount ؛

إذا لم تكن على دراية بالبرمجة وتحتاج فقط إلى إجابة غير دقيقة ، ولكنها تقريبية ، فيمكنك محاكاة هذا الموقف في Excel ، حيث تقوم برمي 8d6 عدة آلاف من المرات والحصول على إجابة. لإرسال 1d6 في Excel ، استخدم الصيغة التالية:

الطابق (RAND () * 6) +1

هناك اسم لموقف لا تعرف فيه الإجابة وجربه عدة مرات - محاكاة مونت كارلووهذا حل رائع يمكنك الرجوع إليه عندما تحاول حساب الاحتمال وهو صعب للغاية. الشيء العظيم هو أنه في هذه الحالة ، لسنا بحاجة إلى فهم كيفية عمل الحساب الرياضي ، ونعلم أن الإجابة ستكون "جيدة جدًا" ، لأنه كما نعلم بالفعل ، كلما زاد عدد الرميات ، زادت تقترب النتيجة من متوسط ​​القيمة.

كيفية الجمع بين الاختبارات المستقلة

إذا سألت عن العديد من التحديات المتكررة ولكن المستقلة ، فإن نتيجة لفة واحدة لا تؤثر على نتيجة القوائم الأخرى. هناك تفسير آخر أبسط لهذا الموقف.

كيف نميز بين الشيء التابع والمستقل؟ بشكل أساسي ، إذا كان بإمكانك تمييز كل لفة من النرد (أو سلسلة من القوائم) كحدث منفصل ، فهذا يعني أنها مستقلة. على سبيل المثال ، إذا أردنا عرض إجمالي 15 مرة على 8d6 ، فلا يمكن تقسيم هذه الحالة إلى عدة لفات نرد مستقلة. نظرًا لأنك تحسب مجموع قيم كل أحجار النرد بالنسبة للنتيجة ، فإن النتيجة التي سقطت على نرد واحد تؤثر على النتائج التي يجب أن تقع على النرد الآخر ، لأن إضافة جميع القيم فقط ستحصل على النتيجة المرجوة .

فيما يلي مثال على الرميات المستقلة: أنت تلعب بالنرد وترمي النرد السداسي عدة مرات. للبقاء في اللعبة ، يجب أن تكون أول لفة لديك 2 أو أعلى. للفة الثانية ، 3 أو أعلى. يتطلب الثالث 4 أو أعلى ، والرابع يتطلب 5 أو أعلى ، والخامس يتطلب 6. إذا نجحت جميع اللفات الخمس ، فستفوز. في هذه الحالة ، كل القوائم مستقلة. نعم ، إذا لم تنجح رمية واحدة ، فإنها ستؤثر على نتيجة المباراة بأكملها ، لكن رمية واحدة لا تؤثر على الرمية الأخرى. على سبيل المثال ، إذا كانت رمية النرد الثانية ناجحة جدًا ، فلن يؤثر ذلك بأي شكل من الأشكال على احتمالية نجاح القوائم التالية. لذلك ، يمكننا النظر في احتمال كل لفة من النرد على حدة.

إذا كانت لديك احتمالات منفصلة ومستقلة وتريد أن تعرف ما هو احتمال ذلك الكلستأتي الأحداث ، وتحدد الاحتمالية الفردية وتضربها.طريقة أخرى: إذا كنت تستخدم حرف العطف "و" لوصف عدة شروط (على سبيل المثال ، ما هو احتمال وقوع حدث عشوائي وبعض الأحداث العشوائية المستقلة الأخرى؟) ، احسب الاحتمالات الفردية واضربها.

لا يهم ما تعتقده مطلقالا تضيف احتمالات مستقلة. هذا خطأ شائع. لفهم سبب خطأ هذا ، تخيل موقفًا تقوم فيه برمي عملة معدنية بنسبة 50/50 وتريد أن تعرف ما هو احتمال أن تصطدم بالرأس مرتين على التوالي. احتمال إصابة كل جانب هو 50٪ ، لذا إذا أضفت هذين الاحتمالين ، فلديك فرصة 100٪ لضرب الرأس ، لكننا نعلم أن هذا ليس صحيحًا ، لأنه مرتين على التوالي يمكن أن تحصل على الوجه. إذا قمت بضرب هذين الاحتمالين بدلاً من ذلك ، فستحصل على 50٪ * 50٪ = 25٪ ، وهي الإجابة الصحيحة لحساب احتمال ضرب الرؤوس مرتين على التوالي.

مثال

دعنا نعود إلى اللعبة بزهر سداسي ، حيث تحتاج إلى الحصول على رقم أعلى من 2 أولاً ، ثم أعلى من 3 ، وهكذا. حتى 6. ما هي احتمالات أن تكون جميع النتائج مواتية في سلسلة معطاة من 5 رميات؟

كما هو مذكور أعلاه ، فهذه اختبارات مستقلة ولذا فإننا نحسب الاحتمالات لكل لفة فردية ثم نضربها. احتمال أن تكون نتيجة اللف الأول مواتية هو 5/6. والثاني هو 4/6. الثالث 3/6. الرابع - 2/6 ، الخامس - 1/6. بضرب كل هذه النتائج ونحصل على حوالي 1.5٪ ... وبالتالي ، فإن الفوز في هذه اللعبة نادر جدًا ، لذا إذا أضفت هذا العنصر إلى لعبتك ، فستحتاج إلى جائزة كبرى كبيرة نسبيًا.

النفي

وإليك نصيحة أخرى مفيدة: في بعض الأحيان يكون من الصعب حساب احتمالية وقوع حدث ما ، ولكن من الأسهل تحديد احتمالات وقوع حدث ما. لن أحضر.

على سبيل المثال ، افترض أن لدينا لعبة أخرى وقمت بتدوير 6d6 ، وإذا مرة على الاقل 6 تدحرجت ، فزت. ما هو احتمال الفوز؟

في هذه الحالة ، هناك العديد من الخيارات للحساب. من الممكن أن يتم إسقاط رقم واحد 6 ، أي سيتم إسقاط الرقم 6 على أحد النردات ، وعلى الأرقام الأخرى من 1 إلى 5 ، وهناك 6 خيارات لأي من الزهر سيكون الرقم 6. ثم يمكنك الحصول على الرقم 6 على نردتين ، أو على ثلاثة ، أو حتى أكثر ، وفي كل مرة نحتاج إلى إجراء إحصاء منفصل ، لذلك من السهل الخلط حول هذا الأمر.

لكن هناك طريقة أخرى لحل هذه المشكلة ، فلنلق نظرة عليها من الجانب الآخر. أنت تخسرإذا ليس على أحدالرقم 6. لن يسقط من النرد.في هذه الحالة ، لدينا ستة اختبارات مستقلة ، واحتمال كل منها 5/6 (أي رقم غير 6 يمكن إسقاطه على النرد). اضربهم لتحصل على حوالي 33٪. وبالتالي ، فإن احتمال الخسارة هو 1 في 3.

لذلك ، فإن احتمال الفوز هو 67٪ (أو 2 إلى 3).

يتضح من هذا المثال أن إذا كنت تفكر في احتمال عدم وقوع الحدث ، فأنت بحاجة إلى طرح النتيجة من 100٪.إذا كان احتمال الفوز 67٪ فإن الاحتمال هو لتخسر — 100% ناقص 67٪ أو 33٪. والعكس صحيح. إذا كان من الصعب حساب احتمال واحد ، ولكن من السهل حساب العكس ، احسب العكس ، ثم اطرح من 100٪.

الجمع بين الشروط لاختبار مستقل واحد

لقد قلت أعلاه أنه لا يجب عليك تلخيص الاحتمالات في الاختبارات المستقلة. هل هناك أي حالات حيث علبةاجمع الاحتمالات؟ - نعم ، في حالة خاصة واحدة.

إذا كنت تريد حساب الاحتمال لعدة نتائج إيجابية غير ذات صلة لنفس التجربة ، فقم بإضافة احتمالات كل نتيجة مواتية. على سبيل المثال ، احتمال الحصول على الأرقام 4 أو 5 أو 6 على 1d6 هو المجموعاحتمالية الحصول على الرقم 4 ، واحتمال الحصول على الرقم 5 واحتمال الحصول على الرقم 6. يمكنك أيضًا تخيل هذا الموقف على النحو التالي: إذا استخدمت علامة العطف "أو" في السؤال حول الاحتمال (على سبيل المثال ، ما هو احتمال ذلك أونتيجة أخرى لحدث عشوائي واحد؟) ، احسب الاحتمالات الفردية ولخصها.

لاحظ أنه عندما تضيف ما يصل كل النتائج الممكنةألعاب ، يجب أن يكون مجموع كل الاحتمالات مساويًا لـ 100٪. إذا لم يكن المبلغ 100٪ ، فهذا يعني أنه تم إجراء الحساب بشكل غير صحيح. هذه طريقة جيدة للتحقق مرة أخرى من حساباتك. على سبيل المثال ، إذا قمت بتحليل احتمال الحصول على جميع توزيعات الورق في البوكر ، وإذا جمعت كل النتائج ، فيجب أن تحصل على 100٪ بالضبط (أو على الأقل قيمة قريبة جدًا من 100٪ ، إذا كنت تستخدم آلة حاسبة ، فقد يكون لديك خطأ صغير في التقريب. ولكن إذا جمعت الأرقام الدقيقة يدويًا ، فيجب أن تنجح.) إذا لم يتم جمع المجموع ، فعلى الأرجح أنك لم تأخذ في الاعتبار بعض المجموعات ، أو أنك قمت بحساب احتمالات بعض المجموعات بشكل غير صحيح ، ثم تحتاج إلى إعادة التحقق من حساباتك.

احتمالات غير متكافئة

حتى الآن ، افترضنا أن كل وجه من النرد يسقط بنفس التردد ، لأن هذه هي الطريقة التي يعمل بها النرد. لكن في بعض الأحيان ، تواجه موقفًا يكون من الممكن فيه تحقيق نتائج مختلفة مختلففرص السقوط. على سبيل المثال ، في إحدى الوظائف الإضافية للعبة الورق "Nuclear War" ، يوجد ملعب به سهم ، وتعتمد عليه نتيجة إطلاق الصاروخ: بشكل أساسي ، يتسبب في ضرر عادي ، أقوى أو أضعف ، لكن في بعض الأحيان يزداد الضرر بمقدار مرتين أو ثلاث مرات ، أو ينفجر الصاروخ عند منصة الإطلاق ويؤذيك ، أو يحدث بعض الأحداث الأخرى. على عكس الملعب الذي يحتوي على سهم في "Chutes & Ladders" أو "A Game of Life" ، فإن نتائج ساحة اللعب في "Nuclear War" غير متساوية. تكون بعض أقسام الملعب أكبر ويتوقف السهم عندها كثيرًا ، في حين أن الأقسام الأخرى صغيرة جدًا ونادرًا ما يتوقف السهم عندها.

لذلك ، للوهلة الأولى ، تبدو العظام كما يلي: 1 ، 1 ، 1 ، 2 ، 2 ، 3 ؛ لقد تحدثنا بالفعل عن ذلك ، إنه شيء مثل 1d3 مرجح ، لذلك ، نحتاج إلى تقسيم كل هذه الأقسام إلى أجزاء متساوية ، وإيجاد أصغر وحدة قياس ، وهي مضاعفة كل شيء ، ثم تمثيل الموقف في شكل d522 (أو البعض الآخر) ، حيث ستمثل العديد من وجوه النرد نفس الموقف ، ولكن مع المزيد من النتائج. وهذه إحدى طرق حل المشكلة ، وهي مجدية تقنيًا ، لكن هناك طريقة أسهل.

دعنا نعود إلى النرد السداسي القياسي. قلنا أنه من أجل حساب متوسط ​​قيمة اللف لقالب عادي ، تحتاج إلى جمع القيم على جميع الحواف وتقسيمها على عدد الحواف ، ولكن كيف بالضبطالتسوية قيد التقدم؟ يمكنك وضعها بشكل مختلف. بالنسبة للنرد السداسي ، يكون احتمال سقوط كل وجه هو 1/6 بالضبط. الآن نضرب نزوحكل وجه احتمالاهذه النتيجة (في هذه الحالة ، 1/6 لكل وجه) ، ثم نلخص القيم التي تم الحصول عليها. إذن ، نلخص (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) ، نحصل على نفس النتيجة (3.5) كما في الحساب أعلاه. في الواقع ، نحن نحسب هذا في كل مرة: نضرب كل نتيجة في احتمال تلك النتيجة.

هل يمكننا إجراء نفس الحساب لمطلق النار في ساحة اللعب في الحرب النووية؟ بالطبع نستطيع. وإذا جمعنا جميع النتائج ، نحصل على المتوسط. كل ما يتعين علينا القيام به هو حساب احتمال كل نتيجة للسهم الموجود على اللوحة وضربها في النتيجة.

مثال آخر

هذه الطريقة لحساب المتوسط ​​بضرب كل نتيجة في احتمالية فردية مناسبة أيضًا إذا كانت النتائج متساوية في الاحتمال ولكن لها مزايا مختلفة ، على سبيل المثال إذا دحرجت نردًا وربحت أكثر في بعض الحواف أكثر من غيرها. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك لعبة كازينو: تراهن وتشغل 2d6. إذا ظهرت ثلاثة أرقام بأقل قيمة (2 ، 3 ، 4) أو أربعة أرقام ذات أعلى قيمة (9 ، 10 ، 11 ، 12) ، فإنك تربح مبلغًا يساوي حصتك. الأرقام ذات أدنى وأعلى قيمة خاصة: إذا ظهرت 2 أو 12 ، فستفوز ضعفيمن السعر الخاص بك. إذا سقط أي رقم آخر (5 ، 6 ، 7 ، 8) ، ستخسر رهانك. إنها لعبة بسيطة جدًا. لكن ما هو احتمال الفوز؟

لنبدأ بحساب عدد المرات التي يمكنك فيها الفوز:

• الحد الأقصى لعدد النتائج في لفة 2d6 هو 36. ما هو عدد النتائج الناجحة الموجودة؟
• يوجد خيار واحد لشخصين وخيار واحد لاثني عشر.
• هناك خياران لما يخرج ثلاثة وأحد عشر.
• هناك 3 خيارات لأربعة و 3 خيارات لعشرة.
• هناك 4 خيارات لتسعة.
• بتلخيص جميع الخيارات ، نحصل على عدد النتائج المفضلة 16 من 36.

لذا ، في ظل الظروف العادية ، ستربح 16 مرة من أصل 36 مرة محتملة ... احتمال الفوز أقل بقليل من 50٪.

لكن في حالتين من بين هؤلاء الـ 16 ستفوز بضعف هذا المبلغ ، أي إنه مثل الفوز مرتين! إذا لعبت هذه اللعبة 36 مرة ، وراهنت بدولار واحد في كل مرة ، وظهرت كل النتائج المحتملة مرة واحدة ، فستربح 18 دولارًا (في الواقع ، تربح 16 مرة ، لكن مرتين منها تعتبر ربحين). إذا لعبت 36 مرة وربحت 18 دولارًا ، ألا يعني ذلك أنها فرصة متساوية؟

لا تتسرع. إذا قمت بحساب عدد المرات التي يمكن أن تخسرها ، فستحصل على 20 ، وليس 18. إذا لعبت 36 مرة ، وراهنت 1 دولار في كل مرة ، فستربح ما مجموعه 18 دولارًا على جميع النتائج الإيجابية ... لكنك ستخسر إجمالي مبلغ 20 دولارًا مع جميع النتائج غير المواتية العشرين! نتيجة لذلك ، ستكون متأخرًا قليلاً: تخسر في المتوسط ​​2 دولارًا صافيًا لكل 36 لعبة (يمكنك أيضًا أن تقول أنك تخسر في المتوسط ​​1/18 دولار في اليوم). يمكنك الآن معرفة مدى سهولة ارتكاب خطأ في هذه الحالة وحساب الاحتمال بشكل غير صحيح!

التقليب

حتى الآن ، افترضنا أن ترتيب الأرقام عند رمي النرد لا يهم. لفة 2 + 4 هي نفسها لفة 4 + 2. في معظم الحالات ، نحسب يدويًا عدد النتائج المفضلة ، ولكن في بعض الأحيان تكون هذه الطريقة غير عملية ومن الأفضل استخدام صيغة رياضية.

مثال على هذا الموقف هو من لعبة النرد "Farkle". لكل جولة جديدة ، تقوم بتدوير 6d6. إذا كنت محظوظًا وكانت جميع النتائج المحتملة 1-2-3-4-5-6 ("مباشرة") ، فستتلقى مكافأة كبيرة. ما هو احتمال حدوث ذلك؟ في هذه الحالة ، هناك العديد من الخيارات لهذه المجموعة!

يبدو الحل كالتالي: يجب أن يحمل أحد النرد (واحد فقط) الرقم 1! كم عدد متغيرات الرقم 1 التي تسقط على نرد واحد؟ ستة ، نظرًا لوجود 6 نردات ويمكن لأي منهم أن يحمل الرقم 1. وفقًا لذلك ، خذ نردًا واحدًا وضعه جانبًا. الآن ، يجب أن يحتوي أحد أحجار النرد المتبقية على رقم 2. هناك خمسة خيارات لهذا. خذ نردًا آخر وضعه جانبًا. ثم يتبع ذلك أنه في أربعة من أحجار النرد المتبقية يمكن أن يسقط الرقم 3 ، في ثلاثة من أحجار النرد المتبقية يمكن أن يسقط الرقم 4 ، على اثنين - الرقم 5 ونتيجة لذلك لديك نرد واحد يجب أن يكون الرقم 6 عليه السقوط (في الحالة الأخيرة ، يكون الموت واحدًا ولا يوجد خيار آخر). لحساب عدد النتائج المفضلة للمجموعة "المستقيمة" ، نقوم بضرب جميع الخيارات المستقلة المختلفة: 6x5x4x3x2x1 = 720 - يبدو أن هناك الكثير من الخيارات لما ستأتي به هذه المجموعة.

لحساب احتمال الحصول على خط مستقيم ، علينا قسمة 720 على عدد جميع النتائج الممكنة للفة 6d6. ما هو عدد كل النتائج الممكنة؟ يمكن أن يكون لكل نرد 6 وجوه ، لذلك نضرب 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 46656 (الرقم أكبر بكثير!). نقسم 720/46656 ونحصل على احتمال 1.5٪. إذا كنت تصمم هذه اللعبة ، فسيكون من المفيد لك أن تعرف ذلك حتى تتمكن من إنشاء نظام تسجيل مناسب. الآن نحن نفهم سبب حصولك في لعبة "Farkle" على مثل هذه المكافأة الكبيرة إذا حصلت على تركيبة "مستقيمة" ، لأن هذا الموقف نادر جدًا!

النتيجة مثيرة للاهتمام أيضًا لسبب آخر. يوضح المثال مدى ندرة حدوث نتيجة مقابلة للاحتمال في فترة قصيرة. بالطبع ، إذا رمينا عدة آلاف من النرد ، فإن وجوه النرد المختلفة ستسقط كثيرًا. لكن عندما نرمي ستة أحجار نرد ، تقريبًا مطلقالا يحدث أن يسقط كل وجه! انطلاقًا من ذلك ، يتضح أنه من الحماقة توقع سقوط وجه آخر الآن ، والذي لم ينسحب بعد "لأننا لم نحصل على الرقم 6 لفترة طويلة ، مما يعني أنه سيتساقط الآن" .

اسمع ، مولد الأرقام العشوائية معطل ...

يقودنا هذا إلى مفهوم خاطئ شائع حول الاحتمال: افتراض أن جميع النتائج تأتي بنفس التكرار. لفترة قصيرة من الزمنوهذا ليس هو الحال في الواقع. إذا دحرجنا النرد عدة مرات ، فلن يكون تكرار كل حافة هو نفسه.

إذا سبق لك أن عملت على لعبة عبر الإنترنت مع نوع من مولد الأرقام العشوائية ، فمن المرجح أنك واجهت موقفًا يكتب فيه أحد اللاعبين للدعم الفني ليقول إن مولد الأرقام العشوائي الخاص بك معطل ولا يعرض أرقامًا عشوائية. وقد توصل إلى هذا الاستنتاج ، لأنه قتل للتو 4 وحوش متتالية وحصل على 4 نفس المكافآت بالضبط ، وهذه المكافآت يجب أن تسقط فقط في 10٪ من الحالات ، لذلك هذا على الاغلب لالا ينبغي تجري، مما يعني ذلك بوضوحأن مولد الأرقام العشوائية معطل.

أنت تقوم بحساب رياضيات. 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 يساوي 1 من 10000 ، مما يعني أن هذه حالة نادرة نوعًا ما. وهذا ما يحاول اللاعب إخبارك به. هل هناك مشكلة في هذه الحالة؟

كل هذا يتوقف على الظروف. كم عدد اللاعبين على الخادم الخاص بك الآن؟ لنفترض أن لديك لعبة شائعة إلى حد ما ويلعبها 100000 شخص كل يوم. كم عدد اللاعبين الذين سيقتلون أربعة وحوش على التوالي؟ كل شيء ممكن ، عدة مرات في اليوم ، ولكن لنفترض أن نصفهم يتبادلون ببساطة عناصر مختلفة في المزادات أو يعيدون الكتابة على خوادم RP ، أو يؤدون إجراءات أخرى للعبة ، لذلك في الواقع نصفهم فقط يصطادون الوحوش. ما هو احتمال ذلك إلى شخص ماهل سيتم إسقاط نفس المكافأة؟ في هذه الحالة ، يمكنك أن تتوقع أن نفس المكافأة يمكن أن تترك عدة مرات في اليوم على الأقل!

بالمناسبة ، لذلك يبدو أن كل بضعة أسابيع على الأقل شخصا مايفوز في اليانصيب ، حتى لو كان ذلك الشخص مطلقاليس انت او اصدقائك. إذا لعب عدد كافٍ من الأشخاص كل أسبوع ، فهناك فرص على الأقل واحدمحظوظ ... ولكن إذا أنتعند لعب اليانصيب ، تقل احتمالية فوزك بوظيفة في Infinity Ward.

الخرائط والإدمان

لقد ناقشنا أحداثًا مستقلة ، مثل رمي النرد ، والآن نعرف العديد من الأدوات القوية لتحليل العشوائية في العديد من الألعاب. يعد حساب الاحتمال أكثر تعقيدًا عندما يتعلق الأمر بإخراج البطاقات من المجموعة ، لأن كل بطاقة نخرجها تؤثر على البطاقات المتبقية في المجموعة. إذا كان لديك مجموعة قياسية من 52 بطاقة ورسم ، على سبيل المثال ، 10 قلوب وتريد معرفة احتمال أن تكون البطاقة التالية من نفس النوع ، فقد تغير الاحتمال لأنك قمت بالفعل بإزالة بطاقة واحدة من مجموعة القلوب من على سطح السفينة. كل بطاقة تقوم بإزالتها تغير احتمالية البطاقة التالية في المجموعة. نظرًا لأن الحدث السابق في هذه الحالة يؤثر على الحدث التالي ، فإننا نسمي هذا الاحتمال اعتمادا.

لاحظ أنه عندما أقول بطاقات ، أعني أيميكانيكا اللعبة ، حيث توجد مجموعة من الكائنات وتقوم بإزالة أحد الكائنات دون استبدالها ، فإن "مجموعة أوراق اللعب" في هذه الحالة تشبه حقيبة الرموز التي تأخذ منها رمزًا مميزًا ولا تستبدلها ، أو جرة تخرج منها كرات ملونة (في الواقع ، لم أر أبدًا لعبة بها جرة لأخرج منها الكرات الملونة ، لكن يبدو أن معلمي نظرية الاحتمالات يفضلون هذا المثال لسبب ما) .

خصائص التبعية

أود أن أوضح أنه عندما يتعلق الأمر بالبطاقات ، أفترض أنك ترسم البطاقات وتنظر إليها وتزيلها من المجموعة. كل من هذه الإجراءات هي خاصية مهمة.

إذا كان لدي مجموعة أوراق مكونة من ستة أوراق بأرقام من 1 إلى 6 ، وقمت بخلطها وإخراج بطاقة واحدة ثم خلط جميع البطاقات الستة مرة أخرى ، فسيكون الأمر أشبه بإلقاء نرد من ستة جوانب ؛ نتيجة واحدة لا تؤثر على ما يلي. فقط إذا سحبت بطاقات ولم أستبدلها ، فإن نتيجة حقيقة أنني أرسم بطاقة بالرقم 1 ستزيد من احتمالية أن أرسم بطاقة بالرقم 6 في المرة القادمة (سيزداد الاحتمال حتى آخذها في النهاية إخراج هذه البطاقة أو حتى خلط البطاقات).

حقيقة أننا نظرةعلى البطاقات مهم أيضًا. إذا أخرجت بطاقة من على سطح السفينة ولم أنظر إليها ، فليس لدي معلومات إضافية ، وفي الواقع لا يتغير الاحتمال. قد يبدو هذا غير بديهي. كيف يمكن لقلب بسيط لبطاقة أن يغير الاحتمالية بطريقة سحرية؟ لكن هذا ممكن لأنه يمكنك فقط حساب احتمال وجود كائنات غير معروفة بناءً على حقيقة أنك أنت تعرف... على سبيل المثال ، إذا قمت بخلط مجموعة أوراق اللعب القياسية ، وكشفت عن 51 بطاقة ولم يكن أي منها ملكة النوادي ، فستعرف بشكل مؤكد 100٪ أن البطاقة المتبقية هي ملكة النوادي. إذا قمت بخلط مجموعة البطاقات القياسية ورسمت 51 بطاقة ، بالرغم منعليهم ، فإن احتمال أن تكون البطاقة المتبقية ملكة النوادي سيظل 1/52. من خلال فتح كل بطاقة ، تحصل على مزيد من المعلومات.

يتبع حساب احتمالية الأحداث التابعة نفس المبادئ المتبعة في الأحداث المستقلة ، باستثناء أنها أكثر تعقيدًا بعض الشيء ، حيث تتغير الاحتمالات عند فتح البطاقات. وبالتالي ، فأنت بحاجة إلى ضرب العديد من القيم المختلفة بدلاً من ضرب نفس القيمة. في الواقع ، هذا يعني أننا بحاجة إلى جمع كل العمليات الحسابية التي أجريناها في مجموعة واحدة.

مثال

يمكنك خلط مجموعة أوراق قياسية مكونة من 52 بطاقة ورسم ورقتين. ما هي احتمالية إخراج زوج؟ هناك عدة طرق لحساب هذا الاحتمال ، ولكن ربما يكون أبسطها كما يلي: ما هو احتمال عدم قدرتك على سحب زوج عند إخراج بطاقة واحدة؟ هذا الاحتمال هو صفر ، لذا لا يهم أي بطاقة ترسمها طالما أنها تطابق الثانية. لا يهم أي بطاقة نخرجها أولاً ، لا يزال لدينا فرصة لإخراج زوج ، وبالتالي فإن احتمال أن نخرج زوجًا بعد إخراج البطاقة الأولى هو 100٪.

ما هو احتمال تطابق البطاقة الثانية مع الأولى؟ هناك 51 بطاقة متبقية في المجموعة و 3 منها تتطابق مع البطاقة الأولى (في الواقع سيكون هناك 4 من أصل 52 ، لكنك قمت بالفعل بإزالة إحدى البطاقات المطابقة عندما أخرجت البطاقة الأولى!) ، لذا فإن الاحتمال هو 17/1. (لذا في المرة القادمة التي يقول فيها الرجل المقابل لك وهو يلعب تكساس هولدم ، "رائع ، زوج آخر؟ أنا محظوظ الليلة" ، ستعرف أن هناك فرصة كبيرة جدًا أنه يخادع.)

ماذا لو أضفنا مهرجين ولدينا الآن 54 بطاقة في المجموعة ، ونريد أن نعرف ما هو احتمال إخراج زوج؟ قد تكون البطاقة الأولى عبارة عن جوكر ، وبعد ذلك ستحتوي المجموعة فقط واحدبطاقة ، وليس ثلاثة ، والتي سوف تتطابق. كيف تجد الاحتمال في هذه الحالة؟ سنقسم الاحتمالات ونضرب كل احتمال.

قد تكون بطاقتنا الأولى جوكر أو بطاقة أخرى. احتمال رسم جوكر هو 2/54 ، واحتمال سحب أي بطاقة أخرى هو 52/54.

إذا كانت البطاقة الأولى جوكر (2/54) ، فإن احتمال تطابق البطاقة الثانية مع الأولى هو 1/53. اضرب القيم (يمكننا ضربها لأن هذه أحداث منفصلة ونريدها على حد سواءحدث) وحصلنا على 1/1431 - أقل من عُشر بالمائة.

إذا قمت برسم بطاقة أخرى أولاً (52/54) ، فإن احتمال المصادفة مع البطاقة الثانية هو 3/53. اضرب القيم واحصل على 78/1431 (أكثر بقليل من 5.5٪).

ماذا نفعل بهاتين النتيجتين؟ لا يتقاطعان ونريد معرفة الاحتمال لكل واحدمنهم ، لذلك نلخص القيم! حصلنا على النتيجة النهائية 79/1431 (لا تزال حوالي 5.5٪).

إذا أردنا التأكد من دقة الإجابة ، فيمكننا حساب احتمالية جميع النتائج المحتملة الأخرى: إخراج الجوكر وعدم تطابق البطاقة الثانية ، أو سحب بطاقة أخرى وعدم تطابق البطاقة الثانية ، وتجميعها جميعًا مع احتمال الفوز ، سنحصل بالضبط على 100٪. لن أعطي عملية حسابية هنا ، لكن يمكنك محاولة حسابها للتحقق مرة أخرى.

مفارقة مونتي هول

يقودنا هذا إلى مفارقة معروفة جيدًا غالبًا ما تربك الكثيرين - مفارقة مونتي هول. تمت تسمية المفارقة باسم مونتي هول مضيفة "دعونا نعقد صفقة". إذا لم تشاهد هذا العرض من قبل ، فقد كان عكس البرنامج التلفزيوني The Price Is Right. في "السعر مناسب" ، المضيف (بوب باركر سابقًا ، الآن ... درو كاري؟ على أي حال ...) هو صديقك. هو يريدحتى تتمكن من ربح أموال أو جوائز رائعة. يحاول أن يمنحك كل فرصة للفوز ، بشرط أن تتمكن من تخمين التكلفة الفعلية للعناصر التي تم شراؤها من قبل الرعاة.

تصرف مونتي هول بشكل مختلف. لقد كان مثل التوأم الشرير لبوب باركر. كان هدفه أن يجعلك تبدو مثل أحمق في التلفزيون الوطني. إذا كنت في العرض ، فقد كان خصمك ، وكنت تلعب ضده ، وكانت احتمالات الفوز في صالحه. قد أكون قاسيًا جدًا ، لكن عندما تبدو فرصة اختيارك كمنافس تتناسب بشكل مباشر مع ما إذا كنت ترتدي بدلة سخيفة ، فقد توصلت إلى هذا النوع من الاستنتاج.

لكن أحد أشهر الميمات في العرض كان هذا: كان هناك ثلاثة أبواب أمامك ، وكان يُطلق عليها الباب رقم 1 ، والباب رقم 2 ، ورقم الباب 3. يمكنك اختيار أي باب واحد ... مجانًا! خلف أحد هذه الأبواب ، كانت هناك جائزة كبيرة ، مثل سيارة ركاب جديدة. لم تكن هناك جوائز خلف الأبواب الأخرى ، وهذان البابان لا قيمة لهما. كان هدفهم هو إذلالك ، وبالتالي لم يكن هناك شيء وراءهم ، كان هناك شيء خلفهم يبدو غبيًا ، على سبيل المثال ، خلفهم كان ماعزًا أو أنبوبًا ضخمًا من معجون الأسنان ، أو شيء من هذا القبيل ... كان بالضبط ليسسيارة ركاب جديدة.

لقد اخترت أحد الأبواب وكان مونتي على وشك فتحه حتى تعرف ما إذا كنت قد فزت أم لا ... ولكن انتظر ، قبل ان نعلم، فلنلقِ نظرة على أحد أولئكأبواب لك لم يتم اختياره... بما أن مونتي يعرف أي باب يقع خلفه الجائزة ، وهناك جائزة واحدة فقط و اثنينأبواب لم تخترها مهما حدث ، يمكنه دائمًا فتح باب ليس له جائزة. ”هل تختار الباب رقم 3؟ ثم دعونا نفتح الباب 1 لنظهر أنه لا توجد جائزة وراءه ". والآن ، بدافع الكرم ، يقدم لك فرصة مقايضة الباب المحدد رقم 3 بالباب الموجود خلف الباب رقم 2. وفي هذه اللحظة يطرح السؤال حول الاحتمال: هل إمكانية اختيار باب آخر تزيد أو تنقص احتمالية الفوز أم يبقى دون تغيير؟ ما رأيك؟

الإجابة الصحيحة: القدرة على اختيار باب مختلف يزيداحتمالية الفوز من 1/3 إلى 2/3. هذا غير منطقي. إذا لم تكن قد واجهت هذا التناقض من قبل ، فعلى الأرجح أنك تفكر: انتظر ، بفتح باب واحد ، قمنا بتغيير الاحتمال بطريقة سحرية؟ ولكن كما رأينا بالفعل في المثال مع الخرائط أعلاه ، هذا هو بالضبطماذا يحدث عندما نتلقى المزيد من المعلومات. من الواضح أن احتمال الفوز في المرة الأولى التي تختارها هو 1/3 ، وأعتقد أن الجميع سيوافقون على ذلك. عندما يفتح أحد الأبواب ، فإنه لا يغير من احتمالية الفوز للخيار الأول على الإطلاق ، ولا يزال الاحتمال هو 1/3 ، ولكن هذا يعني أن الاحتمال أن الأخرىالباب الصحيح الآن 2/3.

لنلقِ نظرة على هذا المثال من منظور مختلف. اخترت الباب. احتمال الفوز هو 1/3. أقترح عليك التغيير اثنينأبواب أخرى ، وهو ما يقترحه مونتي هول بالفعل. طبعا يفتح أحد الأبواب ليبين أنه لا يوجد خلفه جائزة إلا هو دائمايمكنه فعل ذلك ، لذا فهو لا يغير شيئًا حقًا. بالطبع ، سترغب في اختيار باب مختلف!

إذا لم تكن واضحًا تمامًا بشأن هذا السؤال ، وتحتاج إلى شرح أكثر إقناعًا ، فانقر فوق هذا الرابط للانتقال إلى تطبيق Flash صغير رائع يتيح لك دراسة هذه المفارقة بمزيد من التفصيل. يمكنك اللعب بدءًا من حوالي 10 أبواب ثم الانتقال تدريجيًا إلى لعبة بثلاثة أبواب ؛ هناك أيضًا جهاز محاكاة حيث يمكنك اختيار أي عدد من الأبواب من 3 إلى 50 ولعب أو تشغيل عدة آلاف من المحاكاة ومعرفة عدد المرات التي فزت بها إذا لعبت.

ملاحظة من مدرس الرياضيات العليا والمتخصص في توازن اللعبة مكسيم سولداتوف ، والتي لم يكن لدى شرايبر بالطبع ، ولكن بدونها يصعب فهم هذا التحول السحري:

اختر بابًا ، واحدًا من ثلاثة ، احتمالية "الفوز" تساوي 1/3. الآن لديك استراتيجيتان: تغيير الخيار بعد فتح الباب الخطأ أم لا. إذا لم تقم بتغيير اختيارك ، فسيظل الاحتمال 1/3 ، نظرًا لأن الاختيار يكون فقط في المرحلة الأولى ، وعليك أن تخمن فورًا ، إذا قمت بالتغيير ، فيمكنك الفوز إذا اخترت الباب الخطأ أولاً (ثم ​​يفتحون واحدًا خاطئًا آخر ، ويظلون صادقين ، وتغير رأيك وتأخذها فقط)
احتمال اختيار الباب الخطأ في البداية هو 2/3 ، لذلك يتبين أنه بتغيير قرارك يجعل احتمال الفوز أعلى مرتين

ومرة أخرى حول مفارقة مونتي هول

بالنسبة للعرض نفسه ، كان مونتي هول يعرف ذلك لأنه حتى لو لم يكن خصومه جيدين في الرياضيات ، هويفهمها جيدا. إليك ما فعله لتغيير اللعبة قليلاً. إذا اخترت الباب الذي توجد خلفه الجائزة ، والاحتمال هو 1/3 ، فهو دائماعرضت عليك فرصة اختيار باب مختلف. بعد كل شيء ، اخترت سيارة ركاب ثم قمت بتغييرها إلى ماعز وستبدو غبيًا جدًا ، وهذا هو بالضبط ما يحتاجه ، لأنه نوع من الرجل الشرير. ولكن إذا اخترت الباب خلفه لن تكون هناك جائزة، فقط في المنتصففي مثل هذه الحالات ، سيعرض عليك اختيار باب آخر ، وفي حالات أخرى ، سيُظهر لك ماعزك الجديد ، وستترك المنصة. دعونا نحلل هذه اللعبة الجديدة التي يستطيع فيها مونتي هول تحديدنقدم لك فرصة لاختيار باب آخر أم لا.

لنفترض أنه يتبع هذه الخوارزمية: إذا اخترت بابًا به جائزة ، فإنه يعرض عليك دائمًا فرصة اختيار باب آخر ، وإلا فإن احتمال أن يعرض عليك اختيار باب آخر أو إعطاء عنزة هو 50/50. ما هو احتمال فوزك؟

في أحد الخيارات الثلاثة ، تقوم على الفور بتحديد الباب الذي توجد خلفه الجائزة ، ويدعوك المضيف لاختيار باب آخر.

من بين الخيارين المتبقيين من أصل ثلاثة (تختار مبدئيًا بابًا بدون جائزة) ، في نصف الحالات ، سيعرض عليك المضيف اختيار باب آخر ، وفي النصف الآخر من الحالات ، لا. نصف 2/3 هو 1/3 ، أي في حالة واحدة من بين كل ثلاثة ، ستحصل على عنزة ، وفي حالة واحدة من أصل ثلاثة ، تختار الباب الخطأ وسيعرض عليك المضيف اختيار باب آخر وفي حالة واحدة من بين ثلاثة ستختار الباب الأيمنوسيطلب منك اختيار باب آخر.

إذا عرض القائد اختيار باب آخر ، فنحن نعلم بالفعل أن حالة واحدة من بين ثلاثة ، عندما يعطينا عنزة ، ونغادر ، لم تحدث. هذه معلومات مفيدة لأنها تعني أن فرصنا في الفوز قد تغيرت. في حالتين من أصل ثلاث ، عندما تتاح لنا الفرصة للاختيار ، فهذا يعني في إحدى الحالات أننا خمّننا بشكل صحيح ، وفي الحالة الأخرى خمننا بشكل غير صحيح ، لذلك إذا أتيحت لنا الفرصة للاختيار على الإطلاق ، فهذا يعني أن احتمال فوزنا هو 50/50 ، ولا يوجد رياضيالفوائد ، ابق مع اختيارك أو اختر بابًا آخر.

مثل البوكر ، أصبحت الآن لعبة نفسية وليست رياضية. عرض عليك مونتي خيارًا لأنه يعتقد أنك أحمق لا يعرف أن اختيار باب مختلف هو القرار "الصحيح" ، وأنك ستتمسك باختيارك بعناد ، لأن الموقف النفسي عندما تختار سيارة ، ولكن بعد ذلك فقدها ، أصعب؟ أم أنه يعتقد أنك ذكي واخترت بابًا آخر وهو يعرض عليك هذه الفرصة لأنه يعلم أنك خمنت بشكل صحيح في البداية وأنك ستكون مدمن مخدرات ومحاصر؟ أو ربما يكون لطيفًا مع نفسه بشكل غير معتاد ويدفعك للقيام بشيء من أجل مصلحتك الشخصية ، لأنه لم يقدم سيارة لفترة طويلة ، ويخبره منتجوه أن الجمهور يشعر بالملل وسيكون من الأفضل لو أعطى السيارة جائزة كبيرة قريبًا للحفاظ على التصنيفات من الانخفاض؟

وهكذا ، تمكن مونتي من تقديم خيار (في بعض الأحيان) ويظل الاحتمال الإجمالي للفوز يساوي 1/3. تذكر أن هناك احتمال 1/3 أن تخسر على الفور. احتمال حصولك عليه على الفور هو 1/3 ، وفي 50٪ من هذه الحالات ستفوز (1/3 × 1/2 = 1/6). احتمال أن تخمن خاطئًا في البداية ، ولكن بعد ذلك سيكون لديك فرصة لاختيار باب آخر ، هو 1/3 ، وفي 50٪ من هذه الحالات ستفوز (أيضًا 1/6). أضف فرصتين مستقلتين للفوز ، وستحصل على احتمال يساوي 1/3 ، لذلك لا يهم إذا بقيت مع اختيارك أو اخترت بابًا آخر ، فإن الاحتمالية الإجمالية للفوز طوال اللعبة تساوي 1/3. ..الاحتمال لا يتعدى في موقف تخمن فيه الباب ويظهر لك المقدم ما وراء هذا الباب ، دون إمكانية اختيار باب آخر! لذا فإن الهدف من إتاحة الفرصة لاختيار باب آخر ليس تغيير الاحتمالية ، ولكن لجعل عملية اتخاذ القرار أكثر متعة لمشاهدة التلفزيون.

بالمناسبة ، هذا هو أحد الأسباب التي تجعل البوكر مثيرًا للاهتمام: في معظم التنسيقات بين الجولات ، عندما يتم عمل الرهانات (على سبيل المثال ، التقليب والانعطاف والنهر في Texas Hold'em) ، يتم الكشف عن البطاقات تدريجياً ، وإذا كان لديك احتمال الفوز في بداية اللعبة ، فبعد كل جولة من الرهانات ، عندما يتم فتح المزيد من البطاقات ، يتغير هذا الاحتمال.

مفارقة الصبي والفتاة

يقودنا هذا إلى مفارقة أخرى معروفة ، والتي ، كقاعدة عامة ، تحير الجميع - مفارقة الصبي والفتاة. الشيء الوحيد الذي أكتب عنه اليوم ليس له علاقة مباشرة بالألعاب (على الرغم من أنني أفترض أن هذا يعني ببساطة أنه يجب علي دفعك لإنشاء ميكانيكا اللعبة المناسبة). هذا أكثر من مجرد لغز ، ولكنه مثير للاهتمام ، ومن أجل حلها ، تحتاج إلى فهم الاحتمال الشرطي ، الذي تحدثنا عنه أعلاه.

التحدي: لدي صديق لطفلين ، واحد على الأقلالطفل بنت. ما هي احتمالية أن يكون الطفل الثاني جدافتاة؟ لنفترض أن فرصة إنجاب فتاة أو ولد في أي عائلة هي 50/50 ، وهذا صحيح لكل طفل (في الواقع ، لدى بعض الرجال المزيد من الحيوانات المنوية مع كروموسوم X أو كروموسوم Y ، لذلك يتغير الاحتمال قليلاً إذا أنت تعلم أن طفلة واحدة هي فتاة ، واحتمال إنجاب فتاة أعلى قليلاً ، بالإضافة إلى ذلك ، هناك شروط أخرى ، على سبيل المثال ، الخنوثة ، ولكن لحل هذه المشكلة ، لن نأخذ ذلك في الاعتبار ونفترض ذلك ولادة طفل هو حدث مستقل واحتمال إنجاب ولد أو بنات هو نفسه).

نظرًا لأننا نتحدث عن فرصة 1/2 ، فإننا نتوقع بشكل حدسي أن الإجابة ستكون على الأرجح 1/2 أو 1/4 ، أو رقم دائري آخر مضاعف لاثنين. لكن الجواب: 1/3 ... أنتظر لماذا؟

تكمن الصعوبة في هذه الحالة في أن المعلومات التي لدينا تقلل من عدد الاحتمالات. لنفترض أن الوالدين معجبان بشارع سمسم ، وبغض النظر عما إذا كان ولد أو بنت ، فقد أطلقوا على أطفالهم اسم أ و ب. فتاتان ، A ولد ، و B فتاة ، و A فتاة و B صبي. منذ أن عرفنا ذلك واحد على الأقلالطفلة فتاة ، يمكننا استبعاد احتمال أن يكون "أ" و "ب" ولدين ، لذلك يتبقى لنا ثلاثة احتمالات (لا تزال متساوية في الاحتمال). إذا كانت جميع الاحتمالات متساوية في الاحتمال وكان هناك ثلاثة منها ، فنحن نعلم أن احتمالية كل منها تساوي 1/3. في خيار واحد فقط من هذه الخيارات الثلاثة ، كلا الطفلين فتاتان ، لذا فإن الإجابة هي 1/3.

ومرة أخرى حول التناقض بين صبي وفتاة

يصبح حل المشكلة غير منطقي أكثر. تخيل لو أخبرتك أن صديقي لديه طفلان وطفل واحد - الفتاة التي ولدت يوم الثلاثاء... افترض أنه في ظل الظروف العادية ، فإن احتمال إنجاب طفل في أحد الأيام السبعة من الأسبوع هو نفسه. ما هو احتمال أن تكون الطفلة الثانية فتاة أيضًا؟ قد تعتقد أن الإجابة ستظل 1/3 ؛ ماذا يعني الثلاثاء لكن حتى في هذه الحالة ، يخذلنا الحدس. إجابه: 13/27 وهو ليس فقط غير بديهي ، إنه غريب جدًا. ما هو الأمر في هذه الحالة?

في الواقع ، الثلاثاء يغير الاحتمال لأننا لا نعرف التيولد الطفل يوم الثلاثاء أو ربما طفلانولدوا يوم الثلاثاء. في هذه الحالة ، نستخدم نفس المنطق الموضح أعلاه ، ونحسب جميع المجموعات الممكنة عندما تكون طفلة واحدة على الأقل هي فتاة ولدت يوم الثلاثاء. كما في المثال السابق ، افترض أنه تم تسمية الأطفال باسم A و B ، فإن المجموعات هي كما يلي:

• أ - فتاة ولدت يوم الثلاثاء ، ب - ولد (في هذه الحالة هناك 7 احتمالات ، واحدة لكل يوم من أيام الأسبوع عندما يمكن أن يولد الصبي).
• ب- البنت التي ولدت يوم الثلاثاء أ- ولد (ايضا 7 احتمالات).
• أ- البنت التي ولدت يوم الثلاثاء ب- البنت التي ولدت يوم الثلاثاء اخريوم من الأسبوع (6 احتمالات).
• ب- البنت التي ولدت يوم الثلاثاء أ- البنت التي ولدت في غير يوم الثلاثاء (ايضا 6 احتمالات).
• A و B - فتاتان ولدتا يوم الثلاثاء (احتمال واحد ، عليك الانتباه إلى هذا ، حتى لا تحسب مرتين).

نلخصها ونحصل على 27 مجموعة مختلفة متساوية من ولادة الأطفال وأيام مع إمكانية واحدة على الأقل لإنجاب فتاة يوم الثلاثاء. من بين هؤلاء ، هناك 13 فرصة عند ولادة فتاتين. يبدو أيضًا غير منطقي تمامًا ، ويبدو أن هذه المهمة قد تم إنشاؤها فقط لإحداث صداع. إذا كنت لا تزال في حيرة من هذا المثال ، فإن مُنظِّر اللعبة Jesper Yule لديه شرح جيد لهذه المسألة على موقعه على الإنترنت.

إذا كنت تعمل حاليًا على لعبة ...

إذا كانت هناك عشوائية في اللعبة التي تصممها ، فهذه فرصة رائعة لتحليلها. حدد بعض العناصر التي تريد تحليلها. أولاً ، اسأل نفسك ماذا تتوقع أن يكون الاحتمال لعنصر معين ، وماذا تعتقد أنه يجب أن يكون في سياق اللعبة. على سبيل المثال ، إذا كنت تقوم بإنشاء لعبة تقمص أدوار وتتساءل عن احتمالية أن يتمكن اللاعب من هزيمة وحش في المعركة ، اسأل نفسك عن النسبة المئوية للأرباح التي تبدو مناسبة لك. عادة عند لعب RPGs ، يشعر اللاعبون بالإحباط الشديد عندما يخسرون ، لذلك من الأفضل ألا يخسروا كثيرًا ... ربما 10٪ من الوقت أو أقل؟ إذا كنت مصممًا لأدوار RPG ، فمن المحتمل أنك تعرف أفضل مني ، ولكن يجب أن يكون لديك فكرة أساسية عن الاحتمالية التي يجب أن تكون.

ثم اسأل نفسك إذا كان هذا شيء شغوف(مثل البطاقات) أو لا يعتمد(مثل النرد). راجع جميع النتائج المحتملة واحتمالاتها. تأكد من أن مجموع كل الاحتمالات هو 100٪. أخيرًا ، بالطبع ، قارن النتائج التي تحصل عليها بتوقعاتك. سواء كنت ترمي النرد أو ترسم البطاقات بالطريقة التي تريدها ، أو ترى أنك بحاجة إلى تعديل القيم. وبطبيعة الحال ، إذا كنت تجدما يجب تعديله ، يمكنك استخدام نفس الحسابات لتحديد مقدار تعديل شيء ما!

الواجب المنزلي

سيساعدك "واجبك المنزلي" هذا الأسبوع على صقل مهاراتك المحتملة. فيما يلي لعبتي نرد ولعبة بطاقة ستقوم بتحليلها باستخدام الاحتمالات ، بالإضافة إلى ميكانيكي لعبة غريب قمت بتطويره مرة واحدة ويمكنك استخدامه لاختبار طريقة مونت كارلو.

اللعبة رقم 1 - عظام التنين

هذه لعبة نرد اخترعناها ذات مرة مع زملائنا (بفضل Jeb Havens و Jesse King!) ، والتي تعمد إخراج الدماغ إلى الأشخاص الذين لديهم احتمالات. هذه لعبة كازينو بسيطة تسمى Dragon Bones وهي منافسة نرد بين اللاعب والمنزل. يتم منحك يموت 1d6 المعتاد. الهدف من اللعبة هو رمي رقم أعلى من المنزل. حصل توم على 1d6 غير قياسي - هو نفسه الذي تملكه ، ولكن بدلاً من وجه واحد - صورة التنين (وبالتالي ، يحتوي الكازينو على مكعب Dragon-2-3-4-5-6). إذا حصل المنزل على تنين ، فإنه يفوز تلقائيًا ، وتخسر. إذا حصل كل منكما على نفس الرقم ، فسيكون هذا تعادلًا وتدحرج النرد مرة أخرى. الشخص الذي يرمي العدد الأكبر يفوز.

بالطبع ، كل شيء لا يسير لصالح اللاعب تمامًا ، لأن الكازينو يتمتع بميزة في شكل Dragon's Edge. ولكن هل هو حقا كذلك؟ عليك معرفة ذلك. لكن قبل ذلك ، تحقق من حدسك. لنفترض أن المكاسب هي 2 إلى 1. لذا إذا فزت ، فستحتفظ برهانك وستتضاعف. على سبيل المثال ، إذا راهنت بمبلغ 1 دولار وفزت ، فستحتفظ بهذا الدولار وتحصل على 2 دولار في المقدمة ليصبح المجموع 3 دولارات. إذا خسرت ، فإنك تخسر رهانك فقط. هل تلعب؟ لذا ، هل تشعر بشكل بديهي أن الاحتمال أكبر من 2 إلى 1 ، أم أنك ما زلت تعتقد أنه أقل؟ بمعنى آخر ، في المتوسط ​​في 3 ألعاب ، هل تتوقع الفوز أكثر من مرة ، أو أقل ، أو مرة واحدة؟

بمجرد تسوية حدسك ، قم بتطبيق الرياضيات. لا يوجد سوى 36 موضعًا ممكنًا لكلٍّ من نردَي النرد ، لذا يمكنك حسابها جميعًا دون أي مشاكل. إذا لم تكن متأكدًا من جملة 2 إلى 1 هذه ، ففكر في هذا: لنفترض أنك لعبت اللعبة 36 مرة (راهنت 1 دولار في كل مرة). مقابل كل فوز تحصل على 2 دولار ، مقابل كل خسارة تخسر دولارًا واحدًا ، ولا يغير السحب شيئًا. احسب كل المكاسب والخسائر المحتملة وقرر ما إذا كنت ستخسر بعض الدولارات أو المكاسب. ثم اسأل نفسك كيف كان حدسك صحيحًا. وبعد ذلك - أدرك كم أنا الشرير.

ونعم ، إذا كنت قد فكرت بالفعل في هذا السؤال - فأنا أربكك عمدًا عن طريق تشويه الآليات الحقيقية لألعاب النرد ، لكنني متأكد من أنه يمكنك التغلب على هذه العقبة بقدر كبير من التفكير. حاول حل هذه المشكلة بنفسك. سوف أنشر جميع الإجابات هنا الأسبوع المقبل.

لعبة # 2 - حظ إرم

إنها لعبة حظ تسمى Luck Roll (أيضًا Birdcage ، لأنه في بعض الأحيان لا يتم إلقاء النرد ، ولكن يتم وضعها في قفص سلكي كبير ، يشبه قفص البنغو). إنها لعبة بسيطة تتلخص في شيء من هذا القبيل: راهن ، لنقل ، 1 دولار على رقم بين 1 و 6. ثم تدحرجت 3d6. لكل نرد يصل إلى رقمك ، تتلقى دولارًا واحدًا (وتحتفظ بحصتك الأصلية). إذا لم يظهر رقمك على أي من النرد ، فإن الكازينو سيحصل على دولارك ، وأنت - لا شيء. لذا ، إذا راهنت على 1 وحصلت على 1 على الحواف ثلاث مرات ، فستحصل على 3 دولارات.

حدسيًا ، يبدو أن هذه اللعبة تتمتع بفرص متساوية. كل نرد هو فرصة فردية للفوز 1 من 6 ، لذا فإن مجموع فرصك الثلاثة للفوز هو 3 إلى 6. ومع ذلك ، بالطبع ، تذكر أنك تقوم بتكوين ثلاثة نرد منفصلة ، ولا يُسمح لك إلا إذا نحن نتحدث عن مجموعات فائزة منفصلة من نفس الزهر. شيء سوف تحتاج لمضاعفته.

بمجرد معرفة جميع النتائج المحتملة (ربما يكون القيام بذلك في Excel أسهل من القيام بذلك يدويًا ، نظرًا لوجود 216 منهم) ، لا تزال اللعبة تبدو غريبة وحتى للوهلة الأولى. لكن في الواقع ، لا يزال لدى الكازينو فرص أكبر للفوز - فكم أكثر من ذلك؟ على وجه الخصوص ، كم من المال تتوقع أن تخسره في المتوسط ​​في كل جولة من اللعبة؟ كل ما عليك فعله هو جمع المكاسب والخسائر لكل 216 نتيجة ثم القسمة على 216 ، والتي يجب أن تكون بسيطة جدًا ... ولكن كما ترى ، هناك بعض المزالق التي يمكنك الوقوع فيها ، وهذا هو السبب في أنني أخبرك: إذا كنت تشعر أن احتمالات الفوز حتى في هذه اللعبة ، فأنت قد أخطأت في الأمر.

لعبة # 3 - 5 بطاقات بوكر

إذا كنت قد استعدت في الألعاب السابقة ، فلنتحقق مما نعرفه عن الاحتمال الشرطي مع لعبة الورق هذه. على وجه الخصوص ، دعنا نتخيل لعبة البوكر بمجموعة من 52 ورقة. لنتخيل أيضًا 5 بطاقات ، حيث يتلقى كل لاعب 5 بطاقات فقط. لا يمكنك تجاهل بطاقة ، ولا يمكنك رسم بطاقة جديدة ، ولا توجد مجموعة أوراق مشتركة - تحصل فقط على 5 بطاقات.

إن Royal Flush هو 10-J-Q-K-A في يد واحدة ، وهناك أربعة في المجموع ، لذلك هناك أربع طرق ممكنة للحصول على Royal Flush. احسب احتمال حصولك على أحد هذه التركيبات.

يجب أن أحذرك من أمر واحد: تذكر أنه يمكنك رسم هذه البطاقات الخمس بأي ترتيب. هذا يعني أنه في البداية يمكنك رسم الآس ، أو عشرة ، لا يهم. لذا أثناء حساب هذا ، ضع في اعتبارك أن هناك بالفعل أكثر من أربع طرق للحصول على Royal Flush بافتراض أن البطاقات قد تم توزيعها بالترتيب!

اللعبة رقم 4 - صندوق اليانصيب

لن يكون حل المشكلة الرابعة بهذه السهولة بالطرق التي تحدثنا عنها اليوم ، ولكن يمكنك بسهولة محاكاة الموقف باستخدام البرمجة أو Excel. في مثال هذه المشكلة يمكنك عمل طريقة مونت كارلو.

لقد ذكرت سابقًا لعبة "Chron X" ، التي عملت عليها ، وكانت هناك بطاقة واحدة مثيرة جدًا للاهتمام - يانصيب صندوق النقد الدولي. وإليك طريقة عملها: لقد استخدمتها في اللعبة. بعد انتهاء الجولة ، تم إعادة توزيع البطاقات ، وكان هناك احتمال بنسبة 10٪ أن البطاقة ستغادر اللعبة ، وأن اللاعب العشوائي سيحصل على 5 وحدات من كل نوع من الموارد التي كان رمزها موجودًا على هذه البطاقة. تم تشغيل البطاقة بدون رمز واحد ، ولكن في كل مرة بقيت فيها في اللعبة في بداية الجولة التالية ، كانت تتلقى رمزًا واحدًا. لذلك كانت هناك فرصة بنسبة 10٪ أن تجعلها تلعب ، وتنتهي الجولة ، وتخرج البطاقة من اللعبة ، ولن يحصل أحد على أي شيء. إذا لم يحدث هذا (مع احتمال 90٪) ، فهناك فرصة 10٪ (في الواقع 9٪ ، لأن هذه 10٪ من 90٪) ستترك اللعبة في الجولة التالية ، وسيحصل شخص ما على 5 وحدات من الموارد. إذا غادرت البطاقة اللعبة بعد جولة واحدة (10٪ من النسبة المتاحة 81٪ ، وبالتالي فإن الاحتمال هو 8.1٪) ، سيحصل شخص ما على 10 وحدات ، وبعد جولة أخرى - 15 ، و 20 أخرى ، وهكذا. سؤال: ما هي القيمة العامة المتوقعة لعدد الموارد التي ستحصل عليها من هذه البطاقة عندما تغادر اللعبة في النهاية؟

عادة ، سنحاول حل هذه المشكلة بإيجاد إمكانية كل نتيجة وضربها في عدد كل النتائج. لذا فهناك احتمال 10٪ أن تحصل على 0 (0.1 * 0 = 0). 9٪ أنك ستتلقى 5 وحدات من الموارد (9٪ * 5 = 0.45 موارد). 8.1٪ مما تحصل عليه 10 (8.1٪ * 10 = 0.81 إجمالي الموارد ، القيمة المتوقعة). إلخ. ثم نجمعها كلها.

والآن أصبحت المشكلة واضحة لك: هناك دائمًا احتمال أن تكون البطاقة ليسستغادر اللعبة حتى تتمكن من البقاء فيها إلى الأبد، لعدد لا حصر له من الجولات ، بحيث يمكن حساب احتمالات كل فرصةغير موجود. الأساليب التي تعلمناها اليوم لا تمنحنا القدرة على حساب العودية اللانهائية ، لذلك سيتعين علينا إنشاءها بشكل مصطنع.

إذا كنت جيدًا بما يكفي في البرمجة ، فاكتب برنامجًا يحاكي هذه البطاقة. يجب أن يكون لديك حلقة زمنية تعيد المتغير إلى موضعه الصفري الأصلي ، ويعرض رقمًا عشوائيًا ، ولديه فرصة بنسبة 10٪ لخروج المتغير من الحلقة. وإلا فإنه يضيف 5 إلى المتغير وتتكرر الحلقة. عندما تنفصل أخيرًا عن الحلقة ، قم بزيادة العدد الإجمالي للتشغيل التجريبي بمقدار 1 والعدد الإجمالي للموارد (يعتمد المقدار على المكان الذي توقف فيه المتغير). ثم أعد تعيين المتغير وابدأ من جديد. قم بتشغيل البرنامج عدة آلاف من المرات. أخيرًا ، قسّم إجمالي الموارد على إجمالي عمليات التشغيل - ستكون هذه هي قيمة مونت كارلو المتوقعة. قم بتشغيل البرنامج عدة مرات للتأكد من أن الأرقام التي تحصل عليها هي نفسها تقريبًا ؛ إذا كان السبريد لا يزال كبيرًا ، فقم بزيادة عدد التكرارات في الحلقة الخارجية حتى تبدأ في الحصول على المطابقات. يمكنك التأكد من أن الأرقام التي ستنتهي بها ستكون صحيحة تقريبًا.

إذا لم تكن على دراية بالبرمجة (أو حتى إذا كنت كذلك) ، فإليك بعض التمارين لتسخين مهاراتك في برنامج Excel. إذا كنت مصمم ألعاب ، فإن مهارات Excel ليست زائدة عن الحاجة أبدًا.

في الوقت الحالي ، ستكون وظائف IF و RAND مفيدة. لا تتطلب RAND أي قيم ، فهي تنتج فقط عددًا عشريًا عشوائيًا بين 0 و 1. عادةً ما نقوم بدمجه مع FLOOR والإيجابيات والسلبيات لمحاكاة لفة القالب ، والتي ذكرتها سابقًا. ومع ذلك ، في هذه الحالة ، فإننا نترك فرصة بنسبة 10٪ فقط لخروج البطاقة من اللعبة ، لذلك يمكننا فقط التحقق مما إذا كانت قيمة RAND أقل من 0.1 ، ولم يعد الأمر كذلك.

إذا كان له ثلاثة معاني. بالترتيب ، شرط إما أن يكون صحيحًا أم لا ، ثم قيمة يتم إرجاعها إذا كان الشرط صحيحًا ، وقيمة يتم إرجاعها إذا كان الشرط غير صحيح. لذا فإن الوظيفة التالية سترجع 5٪ من الوقت ، و 0 الأخرى 90٪ من الوقت:
= إذا (RAND ()<0.1,5,0)

هناك العديد من الطرق لتعيين هذا الأمر ، لكنني سأستخدم صيغة مثل هذه للخلية التي تمثل الجولة الأولى ، دعنا نقول إنها الخلية A1:

IF (RAND ()<0.1,0,-1)

أنا هنا أستخدم متغيرًا سالبًا ليعني "هذه البطاقة لم تغادر اللعبة ولم تتبرع بأي موارد بعد." لذلك إذا انتهت الجولة الأولى وكانت البطاقة خارج اللعب ، فإن A1 تكون 0 ؛ وإلا فهو -1.

بالنسبة للخلية التالية التي تمثل الجولة الثانية:

إذا (A1> -1 ، A1 ، IF (RAND ()<0.1,5,-1))

لذلك إذا انتهت الجولة الأولى وغادرت البطاقة اللعبة على الفور ، فإن A1 هي 0 (عدد الموارد) وستقوم هذه الخلية ببساطة بنسخ هذه القيمة. في الحالة المعاكسة ، A1 هي -1 (البطاقة لم تغادر اللعبة بعد) ، وتستمر هذه الخلية في التحرك بشكل عشوائي: 10٪ من الوقت ستعيد 5 وحدات من الموارد ، وبقية الوقت ستبقى قيمتها يكون -1. إذا طبقنا هذه الصيغة على خلايا إضافية ، نحصل على جولات إضافية ، وأي خلية تقع عليك في النهاية ، ستحصل على النتيجة النهائية (أو -1 إذا لم تغادر البطاقة اللعبة بعد كل الجولات التي لعبتها) .

خذ هذا الصف من الخلايا ، وهو الجولة الوحيدة التي تحتوي على هذه البطاقة ، وانسخ والصق عدة مئات (أو آلاف) من الصفوف. قد لا نكون قادرين على القيام به بلا نهايةاختبار لـ Excel (يوجد عدد محدود من الخلايا في الجدول) ، ولكن على الأقل يمكننا تغطية معظم الحالات. ثم حدد خلية واحدة حيث ستضع متوسط ​​نتائج جميع الجولات (يرجى من Excel توفير وظيفة AVERAGE () لهذا الغرض).

في نظام Windows ، يمكنك الضغط على F9 على الأقل لإعادة فرز جميع الأرقام العشوائية. كما كان من قبل ، قم بذلك عدة مرات وتحقق مما إذا كانت القيم التي تحصل عليها هي نفسها. إذا كان الحيز واسعًا جدًا ، فقم بمضاعفة عدد الدورات وحاول مرة أخرى.

المهام التي لم يتم حلها

إذا حصلت على درجة علمية في الاحتمالية وتبدو المشكلات المذكورة أعلاه سهلة للغاية بالنسبة لك ، فإليك مشكلتين كنت أحيرهما منذ سنوات ، لكن للأسف ، لست جيدًا في الرياضيات لحلها. إذا عرفت حلاً فجأة ، فالرجاء نشره هنا في التعليقات ، وسأقرأه بسرور.

المشكلة رقم 1 غير المحلولة: اليانصيبصندوق النقد الدولي

المشكلة الأولى التي لم يتم حلها هي الواجب المنزلي السابق. يمكنني بسهولة تطبيق طريقة مونت كارلو (باستخدام C ++ أو Excel) ، وسأكون واثقًا من الإجابة على السؤال "مقدار الموارد التي سيحصل عليها اللاعب" ، لكنني لا أعرف بالضبط كيفية تقديم إثبات دقيق أجب رياضيًا (هذه سلسلة لا نهاية لها). إذا كنت تعرف الإجابة ، فقم بنشرها هنا ... بعد التحقق منها مع مونت كارلو ، بالطبع.

المشكلة رقم 2 التي لم يتم حلها: تسلسل الأشكال

هذه المشكلة (ومرة أخرى تتجاوز المهام التي تم حلها في هذه المدونة) تم طرحها لي من قبل لاعب مألوف منذ أكثر من 10 سنوات. لقد لاحظ ميزة واحدة مثيرة للاهتمام عند لعب البلاك جاك في فيغاس: عندما أخرج بطاقات من حذائه لثمانية طوابق ، رأى عشرةقطعة متتالية (قطعة ، أو قطعة بطاقة - 10 ، Joker ، King أو Queen ، لذلك هناك 16 منهم في مجموعة أوراق اللعب القياسية المكونة من 52 بطاقة ، لذلك يوجد 128 منهم في حذاء من 416 بطاقة). ما هو احتمال أن في هذا الحذاء على الاكثرتسلسل واحد عشرة او اكثرالأرقام؟ لنفترض أنه تم خلطهم بأمانة ، بترتيب عشوائي. (أو ، إذا كنت تحب ذلك بشكل أفضل ، فما هو احتمال ذلك غير موجود في أي مكانتسلسل من عشرة أو أكثر من الأشكال؟)

يمكننا تبسيط المهمة. هنا تسلسل من 416 جزء. كل قطعة هي 0 أو 1. هناك 128 آحاد و 288 صفراً مبعثرة بشكل عشوائي في جميع أنحاء التسلسل. كم عدد الطرق المتاحة لتداخل 128 بشكل عشوائي مع 288 صفرًا ، وكم مرة بهذه الطرق ستكون هناك مجموعة واحدة على الأقل من عشرة أو أكثر؟

في كل مرة ، بمجرد أن بدأت في حل هذه المشكلة ، بدا الأمر سهلاً وواضحًا بالنسبة لي ، ولكن بمجرد أن أتعمق في التفاصيل ، انهار فجأة وبدا لي ببساطة مستحيلاً. لذلك لا تتسرع في طمس الإجابة: اجلس ، فكر جيدًا ، ادرس ظروف المشكلة ، حاول استبدال الأرقام الحقيقية ، لأن جميع الأشخاص الذين تحدثت معهم حول هذه المشكلة (بما في ذلك العديد من طلاب الدراسات العليا العاملين في هذا المجال) رد فعل في نفس الشيء تقريبًا: "إنه واضح تمامًا ... أوه ، لا ، انتظر ، هذا ليس واضحًا على الإطلاق." هذه هي الحالة التي لا أملك فيها طريقة لحساب جميع الخيارات. يمكنني بالتأكيد أن أجبر المشكلة من خلال خوارزمية حاسوبية ، لكن سيكون من الغريب معرفة الطريقة الرياضية لحل هذه المشكلة.

ترجمة - Y. Tkachenko، I.Mikheeva

استخدم البشر النرد منذ آلاف السنين.

في القرن الحادي والعشرين ، تسمح لك التقنيات الجديدة برمي النرد في أي وقت مناسب ، وإذا كان لديك اتصال بالإنترنت ، في مكان مناسب. النرد دائمًا معك في المنزل أو على الطريق.

يتيح لك مولد النرد التدحرج عبر الإنترنت من 1 إلى 4 نرد.

إلى حد ما رمي النرد على الإنترنت

عند استخدام النرد الحقيقي ، يمكن استخدام البراعة اليدوية أو الزهر المصنوع خصيصًا للوزن الزائد من جانب واحد. على سبيل المثال ، يمكنك تدوير مكعب على أحد المحاور ، ثم يتغير توزيع الاحتمالات. تتمثل إحدى ميزات المكعبات الافتراضية لدينا في استخدام برنامج مولد الأرقام العشوائية الزائفة. يتيح لك هذا توفير خيار عشوائي حقًا لهذه النتيجة أو تلك.

وإذا أضفت هذه الصفحة إلى إشاراتك المرجعية ، فلن تضيع نردتك عبر الإنترنت في أي مكان وستكون دائمًا في متناول اليد في الوقت المناسب!

تكيف بعض الناس على استخدام النرد على الإنترنت لقراءة الطالع أو لعمل تنبؤات وتوقعات الأبراج.

مزاج سعيد ويوم سعيد ونتمنى لك التوفيق!