إيجاد مساحة متوازي الأضلاع باستخدام الأقطار. متوازي الأضلاع وخصائصه
متوازي الاضلاعشكل رباعي أضلاعه متوازية.
في هذا الشكل ، الأضلاع والزوايا المتقابلة متساوية. تتقاطع أقطار متوازي الأضلاع عند نقطة واحدة وتشطره. تسمح لك صيغ مساحة متوازي الأضلاع بالعثور على القيمة من خلال الجوانب والارتفاع والأقطار. يمكن أيضًا تمثيل متوازي الأضلاع في حالات خاصة. تعتبر مستطيل ومربع ومعين.
أولًا ، لنفكر في مثال لحساب مساحة متوازي الأضلاع بالارتفاع والضلع الذي تنزل إليه.
تعتبر هذه القضية كلاسيكية ولا تتطلب مزيدًا من التحقيق. من الأفضل مراعاة صيغة حساب المساحة من خلال ضلعين والزاوية بينهما. يتم استخدام نفس الطريقة في الحساب. إذا أعطيت الأضلاع والزاوية بينهما ، فسيتم حساب المساحة على النحو التالي: 
لنفترض أن متوازي أضلاع أضلاعه أ = 4 سم ، ب = 6 سم ، والزاوية بينهما هي α = 30 درجة. لنجد المنطقة: 
مساحة متوازي الأضلاع بدلالة الأقطار
تسمح لك صيغة مساحة متوازي الأضلاع بدلالة الأقطار بإيجاد القيمة بسرعة.
لإجراء العمليات الحسابية ، تحتاج إلى قيمة الزاوية الواقعة بين الأقطار.
ضع في اعتبارك مثال لحساب مساحة متوازي الأضلاع من خلال الأقطار. دع متوازي أضلاع بقطر D = 7 سم ، د = 5 سم ، الزاوية بينهما α = 30 درجة. استبدل البيانات الموجودة في الصيغة: 
أعطانا مثال لحساب مساحة متوازي الأضلاع من خلال القطر نتيجة ممتازة - 8.75.
بمعرفة صيغة مساحة متوازي الأضلاع بدلالة القطر ، يمكنك حل العديد من المسائل المثيرة للاهتمام. دعونا نلقي نظرة على واحد منهم.
مهمة:بالنظر إلى متوازي الأضلاع بمساحة 92 قدمًا. انظر النقطة F تقع في منتصف جانبها قبل الميلاد. لنجد مساحة شبه المنحرف ADFB ، والتي تقع في متوازي الأضلاع. بادئ ذي بدء ، لنرسم كل ما تلقيناه وفقًا للشروط.
دعنا نصل إلى الحل: 
وفقًا لظروفنا ، آه \ u003d 92 ، وبالتالي ، فإن مساحة شبه منحرف لدينا ستكون مساوية لـ 
ملحوظة. هذا جزء من درس مشاكل الهندسة (قسم متوازي الأضلاع). إذا كنت بحاجة إلى حل مشكلة في الهندسة ، وهي ليست هنا - فاكتب عنها في المنتدى. للإشارة إلى إجراء استخراج جذر تربيعي في حل المشكلات ، يتم استخدام الرمز √ أو sqrt () ، ويشار إلى التعبير الجذري بين قوسين.
المادة النظرية
تفسيرات الصيغ لإيجاد مساحة متوازي الأضلاع:
- مساحة متوازي الأضلاع تساوي حاصل ضرب طول أحد أضلاعه والارتفاع على ذلك الجانب.
- مساحة متوازي الأضلاع تساوي حاصل ضرب ضلعيه المتجاورين وجيب الزاوية بينهما
- مساحة متوازي الأضلاع تساوي نصف حاصل ضرب أقطارها وجيب الزاوية بينهما
مشاكل إيجاد مساحة متوازي الأضلاع
مهمة.في متوازي الأضلاع ، الضلع الأصغر والارتفاع الأقصر 9 سم وجذر 82 على التوالي ، أطول قطر هو 15 سم ، أوجد مساحة متوازي الأضلاع.
قرار.
دعنا نشير إلى الارتفاع الأصغر لمتوازي الأضلاع ABCD ، والذي تم خفضه من النقطة B إلى القاعدة الأكبر AD على شكل BK.
أوجد قيمة ضلع مثلث قائم الزاوية ABK يتكون من ارتفاع أصغر وطرف أصغر وجزء من قاعدة أكبر. وفقًا لنظرية فيثاغورس:
AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82-81
AK = 1
دعونا نمد القاعدة العلوية لمتوازي الأضلاع BC ونُسقط ارتفاع AN عليها من قاعدتها السفلية. AN = BK كأضلاع المستطيل ANBK. في المثلث الأيمن الناتج ANC نجد الساق NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC2 = 144
NC = 12
لنجد الآن القاعدة الأكبر BC لمتوازي الأضلاع ABCD.
BC = NC-NB
نأخذ في الحسبان أن NB = AK هي أضلاع المستطيل
BC = 12-1 = 11
مساحة متوازي الأضلاع تساوي حاصل ضرب القاعدة وارتفاع هذه القاعدة.
S = آه
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99
إجابه: 99 سم 2.
مهمة
في متوازي الأضلاع ABCD ، يتم إسقاط BO العمودي إلى القطر AC. أوجد مساحة متوازي الأضلاع إذا كانت AO = 8 ، OS = 6 ، BO = 4.
قرار.
دعونا نضع DK عموديًا واحدًا على القطر AC.
وفقًا لذلك ، فإن المثلثات AOB و DKC و COB و AKD متطابقة زوجيًا. أحد الأضلاع هو الجانب المقابل من متوازي الأضلاع ، وإحدى الزوايا هي الزاوية اليمنى ، لأنه عمودي على القطر ، وإحدى الزوايا المتبقية عبارة عن صليب داخلي يقع على جانبي متوازي الأضلاع والقاطع. من القطر.
وبالتالي ، فإن مساحة متوازي الأضلاع تساوي مساحة المثلثات المشار إليها. أي
سبارال = 2S AOB + 2S BOC
مساحة المثلث القائم الزاوية تساوي نصف حاصل ضرب الساقين. أين
S \ u003d 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) \ u003d 56 سم 2
إجابه: 56 سم 2.
عند حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع ، بالإضافة إلى الخصائص الأساسية متوازي الاضلاعوالصيغ المقابلة ، يمكنك تذكر وتطبيق ما يلي:
- منصف الزاوية الداخلية لمتوازي أضلاع يقطع منه مثلث متساوي الساقين
- منصفات الزوايا الداخلية المتاخمة لأحد جانبي متوازي الأضلاع متعامدة بشكل متبادل
- تأتي المنصفات من زوايا داخلية متقابلة في متوازي الأضلاع ، موازية لبعضها البعض أو تقع على خط مستقيم واحد
- مجموع مربعات قطري متوازي الأضلاع يساوي مجموع مربعات أضلاعه
- مساحة متوازي الأضلاع هي نصف حاصل ضرب الأقطار في جيب الزاوية بينهما.
دعنا نفكر في المهام في الحل التي تستخدم هذه الخصائص.
مهمة 1.
منصف الزاوية C من متوازي الأضلاع ABCD يتقاطع مع الجانب AD عند النقطة M واستمرار الجانب AB بعد النقطة A عند النقطة E. أوجد محيط متوازي الأضلاع إذا كان AE \ u003d 4، DM \ u003d 3.
قرار.
1. مثلث CMD متساوي الساقين. (خاصية 1). لذلك ، CD = MD = 3 سم.
2. مثلث EAM متساوي الساقين.
لذلك ، AE = AM = 4 سم.
3. AD = AM + MD = 7 سم.
4. محيط ABCD = 20 سم.
إجابه. 20 سم
المهمة 2.
يتم رسم الأقطار في شكل رباعي محدب ABCD. من المعروف أن مساحات المثلثات ABD و ACD و BCD متساوية. إثبات أن الشكل الرباعي المعطى متوازي أضلاع.
قرار.
1. لنفترض أن يكون ارتفاع المثلث ABD و CF هو ارتفاع المثلث ACD. بما أن مناطق المثلثات متساوية وفقًا لظروف المشكلة ولديها قاعدة مشتركة AD ، فإن ارتفاعات هذه المثلثات متساوية. BE = CF.
2. تكون BE ، CF متعامدة مع AD. تقع النقطتان B و C على نفس الجانب من الخط AD. BE = CF. لذلك ، الخط BC || ميلادي. (*)
3. دع AL يكون ارتفاع المثلث ACD ، BK ارتفاع المثلث BCD. نظرًا لأنه وفقًا لظروف المشكلة ، فإن مناطق المثلثات متساوية ولديها قرص مضغوط مشترك أساسي ، فإن ارتفاعات هذه المثلثات متساوية. AL = BK.
4. AL و BK عموديان على القرص المضغوط. النقطتان B و A تقعان على نفس الجانب من القرص المضغوط للخط المستقيم. AL = BK. لذلك ، فإن السطر AB || قرص مضغوط (**)
5. تشير الشروط (*) ، (**) إلى أن ABCD هو متوازي أضلاع.
إجابه. مثبت. ABCD هو متوازي الأضلاع.
المهمة 3.
على الجانبين BC و CD من متوازي الأضلاع ABCD ، يتم تمييز النقطتين M و H ، على التوالي ، بحيث يتقاطع المقطعان BM و HD عند النقطة O ؛<ВМD = 95 о,
قرار.
1. في المثلث DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. في المثلث الأيمن DHC ثم<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 لكن CD = AB. ثم AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = الجواب: AB: HD = 2: 1 ،<А = <С = 30 о, <В = المهمة 4. أحد قطري متوازي أضلاع طوله 4√6 يصنع زاوية 60 درجة مع القاعدة ، والقطري الثاني يصنع زاوية 45 درجة مع نفس القاعدة. أوجد القطر الثاني. قرار.
1. AO = 2√6. 2. طبق نظرية الجيب على المثلث AOD. AO / sin D = OD / sin A. 2√6 / sin 45 o = OD / sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3 / 2) / (√2 / 2) = 2√18 / √2 = 6. الجواب: 12.
المهمة 5. بالنسبة إلى متوازي أضلاع ضلعين 5√2 و 7√2 ، فإن الزاوية الأصغر بين القطرين تساوي الزاوية الأصغر في متوازي الأضلاع. أوجد مجموع أطوال الأقطار. قرار.
لنفترض أن د 1 ، د 2 هما قطري متوازي الأضلاع ، والزاوية بين الأقطار والزاوية الأصغر في متوازي الأضلاع هي φ. 1. دعونا نعد اثنين مختلفين S ABCD \ u003d AB AD sin A \ u003d 5√2 7√2 sin f ، S ABCD \ u003d 1/2 AC BD sin AOB \ u003d 1/2 d 1 d 2 sin f. نحصل على المساواة 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f أو 2 5√2 7√2 = د 1 د 2 ؛ 2. باستخدام النسبة بين الأضلاع والأقطار في متوازي الأضلاع ، نكتب المساواة (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = د 1 2 + د 2 2. د 1 2 + د 2 2 = 296. 3. لنصنع نظامًا: (د 1 2 + د 2 2 = 296 ، اضرب المعادلة الثانية للنظام في 2 وأضفها إلى الأولى. نحصل على (د 1 + د 2) 2 = 576. ومن هنا معرف 1 + د 2 أنا = 24. بما أن d 1 ، d 2 هي أطوال قطري متوازي الأضلاع ، إذن d 1 + d 2 = 24. الجواب: 24.
المهمة 6. ضلعا متوازي الأضلاع هما 4 و 6. الزاوية الحادة بين القطرين 45 o. أوجد مساحة متوازي الأضلاع. قرار.
1. من المثلث AOB ، باستخدام نظرية جيب التمام ، نكتب العلاقة بين ضلع متوازي الأضلاع والأقطار. AB 2 \ u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 \ u003d (د 1/2) 2 + (د 2/2) 2-2 (د 1/2) (د 2/2) cos 45 o ؛ د 1 2/4 + د 2 2/4 - 2 (د 1/2) (د 2/2) √2 / 2 = 16. د 1 2 + د 2 2 - د 1 د 2 √2 = 64. 2. وبالمثل ، نكتب علاقة المثلث AOD. نحن نأخذ ذلك في الاعتبار<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. نحصل على المعادلة د 1 2 + د 2 2 + د 1 د 2 √2 = 144. 3. لدينا نظام بطرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية ، نحصل على 2d 1 d 2 √2 = 80 أو د 1 د 2 = 80 / (2√2) = 20√2 4. S ABCD \ u003d 1/2 AC BD sin AOB \ u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \ u003d 1/2 20√2 √2 / 2 \ u003d 10. ملحوظة:في هذه المسألة وفي المسألة السابقة ، ليست هناك حاجة لحل النظام بالكامل ، مع توقع أننا في هذه المسألة نحتاج إلى حاصل ضرب الأقطار لحساب المساحة. الجواب: 10. المهمة 7. مساحة متوازي الأضلاع 96 وضلعه 8 و 15. أوجد مربع القطر الأصغر. قرار.
1. S ABCD \ u003d AB AD sin VAD. لنقم بالتعويض في الصيغة. نحصل على 96 = 8 15 sin VAD. ومن ثم الخطيئة VAD = 4/5. 2. أوجد cos BAD. الخطيئة 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25. وفقًا لحالة المسألة ، نحسب طول القطر الأصغر. سيكون القطر BD أصغر إذا كانت الزاوية BAD حادة. ثم cos BAD = 3/5. 3. من المثلث ABD ، باستخدام نظرية جيب التمام ، نجد مربع القطر BD. 2 دينار بحريني \ u003d AB 2 + AD 2-2 AB BD cos BAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3/5 = 145. الجواب: 145.
هل لديك اسئلة؟ لا أعرف كيف تحل مشكلة الهندسة؟ الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر. مساحة متوازي الأضلاع. في العديد من مشاكل الهندسة المتعلقة بحساب المناطق ، بما في ذلك التعيينات الخاصة بفحص الدولة الموحد ، يتم استخدام الصيغ الخاصة بمنطقة متوازي الأضلاع والمثلث. هناك العديد منهم ، هنا سننظر معهم معك. سيكون من السهل جدًا سرد هذه الصيغ ، فهذا الخير كافٍ بالفعل في الكتب المرجعية وفي مواقع مختلفة. أود أن أنقل الجوهر - حتى لا تحفظها ، لكن تفهمها وتتذكرها بسهولة في أي وقت. بعد دراسة مادة المقال ، ستفهم أنك لست بحاجة إلى تعلم هذه الصيغ على الإطلاق. من الناحية الموضوعية ، تحدث كثيرًا في القرارات التي يتم تخزينها في الذاكرة لفترة طويلة. 1.
لنلق نظرة على متوازي الأضلاع. التعريف يقرأ: لماذا هذا؟ كل شيء بسيط! لإظهار معنى الصيغة بوضوح ، دعنا نقوم ببعض الإنشاءات الإضافية ، أي سنقوم ببناء الارتفاعات: مساحة المثلث (2) تساوي مساحة المثلث (1) - العلامة الثانية للمساواة بين المثلثات القائمة الزاوية "على طول الساق والوتر". الآن دعنا "نقطع" الثانية عقليًا وننقلها بتراكبها على الأول - نحصل على مستطيل مساحته تساوي مساحة متوازي الأضلاع الأصلي: مساحة المستطيل ، كما تعلم ، تساوي حاصل ضرب أضلاعه المجاورة. كما يتضح من الرسم التخطيطي ، فإن أحد جانبي المستطيل الناتج يساوي جانب متوازي الأضلاع ، والآخر ارتفاعه من متوازي الأضلاع. لذلك ، نحصل على صيغة مساحة متوازي الأضلاع S = a ∙ hأ 2. دعنا نواصل ، صيغة أخرى لمساحتها. نملك: دعونا نشير إلى الضلعين على أنهما أ وب ، والزاوية بينهما γ "جاما" ، والارتفاع h أ. فكر في مثلث قائم الزاوية:
(
(بما أن الضلع الذي يقع في المثلث القائم الزاوية يساوي نصف طول الوتر).
طرق منطقته.
(د 1 + د 2 = 140.
(د 1 2 + د 2 2 - د 1 د 2 2 = 64 ،
(د 1 2 + د 2 2 + د 1 د 2 2 = 144.
للحصول على مساعدة مدرس - سجل.
الدرس الأول مجاني!
صيغة مساحة متوازي الأضلاع
