هل الفضاء عشوائي؟ النرد على الإنترنت كيفية جعل النرد يتدحرج بشكل عشوائي أو أكثر.

ما هي القوانين الثلاثة للعشوائية ولماذا يمنحنا عدم القدرة على التنبؤ القدرة على عمل التنبؤات الأكثر موثوقية.

عقلنا يقاوم فكرة العشوائية بكل قوتها. في سياق تطورنا كنوع بيولوجي ، طورنا القدرة على البحث عن علاقات السبب والنتيجة في كل شيء. قبل ظهور العلم بوقت طويل ، كنا نعلم بالفعل أن غروب الشمس القرمزي ينذر بعاصفة خطيرة ، وأن احمر الخدود المحموم على وجه الطفل يعني أن والدته ستقضي ليلة صعبة. تحاول أذهاننا تلقائيًا هيكلة البيانات التي تتلقاها بطريقة تساعدنا على استخلاص النتائج من ملاحظاتنا واستخدام تلك الاستنتاجات لفهم الأحداث والتنبؤ بها.

يصعب قبول فكرة العشوائية لأنها تتعارض مع الغريزة الأساسية التي تجعلنا نبحث عن أنماط عقلانية في العالم من حولنا. وتظهر لنا الحوادث أن مثل هذه الأنماط غير موجودة. هذا يعني أن العشوائية تحد بشكل أساسي من حدسنا ، لأنها تثبت أن هناك عمليات لا يمكننا التنبؤ بمسارها بشكل كامل. هذا المفهوم ليس من السهل قبوله ، على الرغم من أنه جزء أساسي من آلية الكون. بدون فهم ما هي العشوائية ، نجد أنفسنا في طريق مسدود لعالم يمكن التنبؤ به تمامًا والذي لا يوجد ببساطة خارج خيالنا.

أود أن أقول أنه فقط عندما نتعلم الأمثال الثلاثة - قوانين الصدفة الثلاثة - يمكننا تحرير أنفسنا من رغبتنا البدائية في القدرة على التنبؤ وقبول الكون كما هو ، وليس كما نود أن يكون.

العشوائية موجودة

نستخدم أي آليات عقلية لتجنب مواجهة العشوائية. نتحدث عن الكارما ، عن هذا المعادل الكوني الذي يربط أشياء لا علاقة لها على ما يبدو. نحن نؤمن بالبشائر الحسنة والبشائر السيئة ، أن "الله يحب الثالوث" ، ندعي أننا نتأثر بمواقف النجوم ومراحل القمر وحركة الكواكب. إذا تم تشخيص إصابتنا بالسرطان ، نحاول تلقائيًا إلقاء اللوم على شيء (أو شخص ما).

لكن العديد من الأحداث لا يمكن التنبؤ بها أو تفسيرها بشكل كامل. تحدث الكوارث بشكل غير متوقع ، ويعاني الطيبون والأشرار على حد سواء ، بما في ذلك أولئك الذين ولدوا "تحت نجم محظوظ" أو "تحت علامة ميمونة". في بعض الأحيان ننجح في التنبؤ بشيء ما ، لكن الصدفة يمكن أن تدحض بسهولة حتى أكثر التنبؤات موثوقية. لا تتفاجأ إذا كان جارك ، الذي يعاني من السمنة المفرطة والتدخين المتكرر وسائق الدراجة النارية المتهور ، يعيش أطول منك.

علاوة على ذلك ، يمكن أن تتظاهر الأحداث العشوائية بأنها غير عشوائية. حتى أكثر العلماء ذكاءً قد يواجهون صعوبة في التمييز بين التأثير الفعلي والتقلب العشوائي. يمكن للعشوائية تحويل الدواء الوهمي إلى عقار سحري ، أو مركب غير ضار إلى سم قاتل ؛ ويمكنها حتى تكوين جسيمات دون ذرية من العدم.

بعض الأحداث لا يمكن التنبؤ بها

إذا ذهبت إلى كازينو في لاس فيجاس وشاهدت حشد اللاعبين على طاولات الألعاب ، فمن المحتمل أن ترى شخصًا يعتقد أنه محظوظ اليوم. لقد فاز عدة مرات متتالية ، ويؤكد له عقله أنه سيستمر في الفوز ، فيستمر اللاعب في الرهان. سترى أيضًا شخصًا خسر للتو. عقل الخاسر ، مثل عقل الفائز ، ينصحه أيضًا بمواصلة اللعبة: نظرًا لأنك خسرت عدة مرات متتالية ، فهذا يعني أنك ستبدأ على الأرجح في أن تصبح محظوظًا. من الحماقة المغادرة الآن وتفويت هذه الفرصة.

ولكن بغض النظر عما تخبرنا به أدمغتنا ، لا توجد قوة غامضة قادرة على تزويدنا "بسلسلة من الحظ" أو العدالة الشاملة التي من شأنها التأكد من أن الخاسر يبدأ أخيرًا في الفوز. الكون لا يهتم إذا فزت أو خسرت ؛ بالنسبة لها ، كل لفات النرد هي نفسها.

بغض النظر عن مقدار الجهد الذي تبذله في مشاهدة رمي النرد مرة أخرى ، وبغض النظر عن مدى قربك من اللاعبين الذين يعتقدون أنهم قد حالفهم الحظ ، فلن تحصل على أي معلومات على الإطلاق حول لفة النرد التالية. نتيجة كل لفة مستقلة تمامًا عن تاريخ اللفات السابقة. لذلك ، فإن أي حساب يمكن للمرء أن يكتسب ميزة من خلال مشاهدة اللعبة محكوم عليه بالفشل. مثل هذه الأحداث - بغض النظر عن أي شيء وعشوائية تمامًا - تتحدى أي محاولات للعثور على أنماط ، لأن هذه الأنماط ببساطة غير موجودة.

تضع العشوائية حاجزًا في طريق الإبداع البشري ، لأنها توضح أن كل منطقنا وكل قدرتنا العلمية والتفكيرية لا يمكنها التنبؤ بسلوك الكون بشكل كامل. مهما كانت الأساليب التي تستخدمها ، ومهما كانت النظرية التي تخترعها ، ومهما كان المنطق الذي تطبقه للتنبؤ بنتيجة لفة النرد ، فستخسر خمس مرات من أصل ستة. دائما.

يمكن التنبؤ بمجموعة من الأحداث العشوائية ، حتى لو لم تكن الأحداث الفردية كذلك.

العشوائية مخيفة ، فهي تحد من مصداقية حتى أكثر النظريات تعقيدًا وتخفي عنا بعض عناصر الطبيعة ، بغض النظر عن مدى إصرارنا على محاولة اختراق جوهرها. ومع ذلك ، لا يمكن المجادلة بأن العشوائية هي مرادف للمجهول. هذا ليس صحيحا على الإطلاق.

تخضع العشوائية لقواعدها الخاصة ، وهذه القواعد تجعل العملية العشوائية مفهومة وقابلة للتنبؤ.

ينص قانون الأعداد الكبيرة على أنه على الرغم من أن الأحداث العشوائية الفردية لا يمكن التنبؤ بها تمامًا ، إلا أن عينة كبيرة بما يكفي من هذه الأحداث يمكن التنبؤ بها تمامًا - وكلما كانت العينة أكبر ، كان التنبؤ أكثر دقة. تُظهر أيضًا أداة رياضية قوية أخرى ، وهي نظريات الحد المركزي ، أن مجموع عدد كبير بما فيه الكفاية من المتغيرات العشوائية سيكون له توزيع قريب من الطبيعي. باستخدام هذه الأدوات ، يمكننا توقع الأحداث بدقة إلى حد ما على المدى الطويل ، بغض النظر عن مدى الفوضى والغرابة والعشوائية التي قد تكون عليها على المدى القصير.

إن قواعد الصدفة قوية لدرجة أنها تشكل أساس أكثر قوانين الفيزياء ثباتًا وثباتًا. على الرغم من أن الذرات الموجودة في حاوية الغاز تتحرك بشكل عشوائي ، إلا أن سلوكها العام يوصف بمجموعة بسيطة من المعادلات. حتى قوانين الديناميكا الحرارية تأتي من إمكانية التنبؤ بعدد كبير من الأحداث العشوائية. هذه القوانين لا تتزعزع على وجه التحديد لأن الصدفة مطلقة.

ومن المفارقات أن عدم القدرة على التنبؤ بالأحداث العشوائية هو الذي يمكننا من عمل تنبؤاتنا الأكثر موثوقية.

كتبه المصمم تايلر سيجمان عن "Gamasutra". أشير إليها بمودة على أنها مقالة "الشعر في أنف شركة أورك" ، لكنها تغطي أساسيات الاحتمالات في الألعاب جيدًا.

موضوع هذا الأسبوع

حتى اليوم ، كان كل شيء تحدثنا عنه تقريبًا حتميًا ، وفي الأسبوع الماضي ألقينا نظرة فاحصة على الميكانيكا المتعدية وقمنا بتقسيمها بأكبر قدر ممكن من التفاصيل التي يمكنني شرحها. لكن حتى الآن لم ننتبه إلى جانب كبير من العديد من الألعاب ، ألا وهو الجوانب غير الحتمية ، وبعبارة أخرى - العشوائية. يعد فهم طبيعة العشوائية أمرًا مهمًا جدًا لمصممي الألعاب لأننا نصنع أنظمة تؤثر على تجربة اللاعب في لعبة معينة ، لذلك نحتاج إلى معرفة كيفية عمل هذه الأنظمة. إذا كانت هناك عشوائية في النظام ، فأنت بحاجة إلى فهم طبيعةهذه العشوائية وكيفية تغييرها للحصول على النتائج التي نريدها.

حجر النرد

لنبدأ بشيء بسيط: النرد المتداول. عندما يفكر معظم الناس في النرد ، فإنهم يفكرون في نرد من ستة جوانب يُعرف باسم d6. لكن معظم اللاعبين رأوا العديد من النردات الأخرى: رباعي الجوانب (d4) ، ثمانية جوانب (d8) ، اثني عشر جانبًا (d12) ، عشرين جانبًا (d20) ... وإذا كنت حقيقةالمهوس ، قد يكون لديك بعض النرد من 30 جانبًا أو 100 جانب في مكان ما. إذا لم تكن معتادًا على هذا المصطلح ، فإن "d" تعني نرد ، والرقم الذي يليه هو عدد الوجوه التي بها. إذا أمامييرمز الحرف "d" إلى رقم ، فهو يرمز إليه رقمالنرد عند رميها. على سبيل المثال ، في لعبة Monopoly ، تقوم بتدوير 2d6.

لذلك ، في هذه الحالة ، فإن عبارة "النرد" هي تسمية تقليدية. هناك عدد كبير من مولدات الأرقام العشوائية الأخرى التي ليس لها شكل كتلة بلاستيكية ، ولكنها تؤدي نفس الوظيفة لتوليد رقم عشوائي من 1 إلى n. يمكن أيضًا اعتبار العملة العادية بمثابة يموت ثنائي السطوح d2. رأيت تصميمين لنرد من سبعة جوانب: أحدهما بدا مثل حجر النرد ، والثاني بدا أشبه بقلم رصاص خشبي من سبعة جوانب. دريدل رباعي السطوح (المعروف أيضًا باسم تيتوتوم) هو نظير لعظم رباعي السطوح. ميدان لعب السهم الدوار في لعبة "Chutes & Ladders" ، حيث يمكن أن تكون النتيجة من 1 إلى 6 ، يتوافق مع زهر من ستة جوانب. يمكن لمولد الأرقام العشوائية في الكمبيوتر إنشاء أي رقم من 1 إلى 19 إذا أعطى المصمم مثل هذا الأمر ، على الرغم من أن الكمبيوتر لا يحتوي على نرد من 19 جانبًا (بشكل عام ، سأتحدث أكثر عن احتمال سقوط الأرقام على كمبيوتر في التاليأسبوع). على الرغم من أن كل هذه العناصر تبدو مختلفة ، إلا أنها في الواقع متكافئة: لديك فرصة متساوية للحصول على نتيجة من عدة نتائج.

للنرد بعض الخصائص المثيرة للاهتمام التي نحتاج إلى معرفتها. أولاً ، احتمال ظهور أي وجه هو نفسه (أفترض أنك تقوم برمي النرد الصحيح ، وليس الشكل الهندسي الخاطئ). لذلك إذا كنت تريد أن تعرف يعنيلفة (المعروفة أيضًا بين الاحتماليين باسم "التوقع الرياضي") ، وجمع قيم جميع الحواف وقسم هذا المجموع على رقموجوه. متوسط ​​قيمة لفة لنرد قياسي سداسي الجوانب هو 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 ، مقسومًا على عدد الوجوه (6) ونحصل على متوسط ​​القيمة 21/6 = 3.5. هذه حالة خاصة لأننا نفترض أن جميع النتائج متساوية في الاحتمال.

ماذا لو كان لديك نرد خاص؟ على سبيل المثال ، رأيت لعبة نرد من ستة جوانب بها ملصقات خاصة على الوجوه: 1 ، 1 ، 1 ، 2 ، 2 ، 3 ، لذا فهي تتصرف مثل نرد غريب ثلاثي الجوانب ، والذي من المرجح أن يتدحرج الرقم 1 من 2 ، و 2 من 3. ما هو متوسط ​​قيمة لفة لهذا القالب؟ إذن 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10 مقسومًا على 6 يساوي 5/3 أو حوالي 1.66. لذلك إذا كان لديك هذا النرد المحدد وقام اللاعبون برمي ثلاثة أحجار نرد ثم جمعوا النتائج ، فأنت تعلم أن المجموع التقريبي لقوائمهم سيكون حوالي 5 ، ويمكنك موازنة اللعبة بناءً على هذا الافتراض.

النرد والاستقلال

كما قلت سابقًا ، ننطلق من افتراض أن تسرب كل وجه هو احتمال متساوٍ. لا يعتمد الأمر على عدد النرد الذي ترميه. كل لفة نرد بغض النظر، مما يعني أن القوائم السابقة لا تؤثر على نتائج القوائم اللاحقة. مع وجود عدد كافٍ من الاختبارات ، ستفعل ذلك بالتأكيد تنويه"سلسلة" من الأرقام ، مثل التدحرج في الغالب لقيم أعلى أو أقل ، أو ميزات أخرى ، وسنتحدث عن ذلك لاحقًا ، لكن هذا لا يعني أن النرد "ساخن" أو "بارد". إذا رميت نردًا قياسيًا سداسي الجوانب وظهر الرقم 6 مرتين على التوالي ، فإن احتمال أن ينتج عن اللفة التالية 6 هو أيضًا 1/6. لا تزداد الاحتمالية بسبب حقيقة أن المكعب "مُسخن". لا ينقص الاحتمال ، لأن الرقم 6 قد انخفض بالفعل مرتين على التوالي ، مما يعني أن وجهًا آخر سوف يسقط الآن. (بالطبع ، إذا رميت نردًا عشرين مرة وظهر الرقم 6 في كل مرة ، فإن فرصة ظهور الرقم 6 في المرة الحادية والعشرين تكون عالية جدًا ... لأن هذا قد يعني أن لديك نردة خاطئة !) ولكن إذا كان لديك النرد الصحيح ، فإن احتمال السقوط من كل وجه هو نفسه ، بغض النظر عن نتائج اللفات الأخرى. يمكنك أيضًا أن تتخيل أنه في كل مرة نغير فيها النرد ، لذلك إذا ظهر الرقم 6 مرتين على التوالي ، فقم بإزالة الزهر "الساخن" من اللعبة واستبداله بنرد جديد من ستة جوانب. أعتذر إذا كان أي منكم على علم بهذا بالفعل ، لكنني كنت بحاجة لتوضيح ذلك قبل المضي قدمًا.

كيفية جعل النرد لفة أكثر أو أقل عشوائية

لنتحدث عن كيفية الحصول على نتائج مختلفة على نرد مختلف. إذا رميت النرد مرة واحدة فقط أو عدة مرات ، فستشعر اللعبة بمزيد من العشوائية إذا كان للنرد حواف أكثر. كلما رميت نردًا أكثر ، أو كلما رمي نرد أكثر ، اقتربت النتائج من المتوسط. على سبيل المثال ، إذا قمت بتدوير 1d6 + 4 (أي قالب قياسي من ستة جوانب مرة واحدة وإضافة 4 إلى النتيجة) ، فسيكون المتوسط ​​عددًا بين 5 و 10. إذا رميت 5d2 ، فسيكون المتوسط ​​أيضًا رقمًا بين 5 و 10. ولكن عند رمي نرد سداسي الجوانب ، فإن احتمال الحصول على الأرقام 5 أو 8 أو 10 هو نفسه. ستكون نتيجة لفة 5d2 هي في الغالب الأرقام 7 و 8 ، وغالبًا ما تكون الأرقام الأخرى. نفس السلسلة حتى نفس المتوسط ​​(7.5 في كلتا الحالتين) ، لكن طبيعة العشوائية مختلفة.

انتظر دقيقة. ألم أقل فقط أن النرد لا يسخن أو يبرد؟ والآن أقول أنه إذا رميت الكثير من أحجار النرد ، فإن نتائج القوائم أقرب إلى المتوسط؟ لماذا ا؟

دعني أوضح. إذا كنت ترمي واحدالنرد ، فإن احتمال السقوط من كل وجه هو نفسه. هذا يعني أنك إذا رميت الكثير من النرد ، بمرور الوقت ، سيظهر كل وجه بنفس عدد المرات. كلما رميت نردًا أكثر ، كلما اقتربت النتيجة الإجمالية من المتوسط. لا يرجع السبب في ذلك إلى أن الرقم المدرج "يتسبب" في ظهور رقم آخر لم يظهر بعد. نظرًا لأن خطًا صغيرًا من 6 ثوانٍ (أو 20 ثانية ، أو أيًا كان) لا ينتهي به الأمر إلى أن يكون أمرًا كبيرًا إذا رميت النرد عشرة آلاف مرة أخرى ، وغالبًا ما يكون المتوسط ​​هو الذي يظهر ... ربما سيكون لديك الآن القليل أرقام ذات قيمة عالية ، ولكن ربما لاحقًا بضعة أرقام ذات قيمة منخفضة وبمرور الوقت ستقترب من القيمة المتوسطة. ليس لأن اللفات السابقة تؤثر على النرد (على نحو خطير ، يتكون الزهر من بلاستيك، ليس لديها العقل لتفكر "أوه ، لقد مر وقت طويل منذ ظهور الرقم 2") ، ولكن لأن هذا ما يحدث عادةً مع الكثير من رمي النرد. ستكون سلسلة صغيرة من الأرقام المتكررة غير مرئية تقريبًا في عدد كبير من النتائج.

وبالتالي ، من السهل إلى حد ما حساب لفة عشوائية واحدة من النرد ، على الأقل بقدر حساب متوسط ​​قيمة اللفة. هناك أيضًا طرق لحساب "مدى عشوائية" شيء ما ، وهي طريقة للقول بأن نتائج لفة 1d6 + 4 ستكون "أكثر عشوائية" من 5d2 ، أما بالنسبة إلى 5d2 فسيكون توزيع النتائج الملتفة أكثر اتساقًا ، عادةً ما تقوم بحساب الانحراف المعياري لهذا ، وكلما زادت القيمة ، ستكون النتائج عشوائية ، لكن هذا يتطلب عمليات حسابية أكثر مما أود أن أعطيها اليوم (سأشرح هذا الموضوع لاحقًا). الشيء الوحيد الذي أطلب منك معرفته هو أنه كقاعدة عامة ، كلما قل عدد النرد ، كلما كانت عشوائية. وإضافة أخرى حول هذا الموضوع: كلما زاد عدد جوانب النرد ، زادت العشوائية ، نظرًا لأن لديك المزيد من الخيارات.

كيفية حساب الاحتمالية باستخدام العد

قد يكون لديك سؤال: كيف يمكننا حساب الاحتمال الدقيق لظهور نتيجة معينة؟ هذا في الواقع مهم جدًا للعديد من الألعاب ، لأنه إذا رميت نردًا ، فمن المحتمل أن تكون هناك بعض النتائج المثلى في البداية. الإجابة هي: نحتاج إلى حساب قيمتين. أولاً ، احسب العدد الأقصى من النتائج عند رمي النرد (بغض النظر عن النتيجة). ثم احسب عدد النتائج الإيجابية. بقسمة القيمة الثانية على الأولى ، تحصل على الاحتمال المطلوب. للحصول على نسبة مئوية ، اضرب الناتج في 100.

أمثلة:

هنا مثال بسيط جدا. أنت تريد دحرجة 4 أو أعلى ورمي نرد ذي ستة جوانب مرة واحدة. الحد الأقصى لعدد النتائج هو 6 (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6). من هذه ، 3 نتائج (4 ، 5 ، 6) مواتية. لذلك ، لحساب الاحتمال ، نقسم 3 على 6 ونحصل على 0.5 أو 50٪.

هذا مثال أكثر تعقيدًا بعض الشيء. تريد رقمًا زوجيًا على لفة 2d6. الحد الأقصى لعدد النتائج هو 36 (6 لكل نرد ، وبما أن نردًا واحدًا لا يؤثر على الآخر ، فإننا نضرب 6 نتائج في 6 ونحصل على 36). تكمن صعوبة هذا النوع من الأسئلة في سهولة العد مرتين. على سبيل المثال ، هناك بالفعل نتيجتان محتملتان للقيمة 3 على لفة 2d6: 1 + 2 و 2 + 1. تبدو متشابهة ، لكن الاختلاف هو ما هو الرقم المعروض على النرد الأول وما هو على الثاني. يمكنك أيضًا أن تتخيل أن الزهر له ألوان مختلفة ، على سبيل المثال في هذه الحالة يكون أحد النرد أحمر والآخر أزرق. ثم احسب عدد الخيارات للحصول على رقم زوجي: 2 (1 + 1) ، 4 (1 + 3) ، 4 (2 + 2) ، 4 (3 + 1) ، 6 (1 + 5) ، 6 (2) +4) ، 6 (3 + 3) ، 6 (4 + 2) ، 6 (5 + 1) ، 8 (2 + 6) ، 8 (3 + 5) ، 8 (4 + 4) ، 8 (5+) 3) ، 8 (6 + 2) ، 10 (4 + 6) ، 10 (5 + 5) ، 10 (6 + 4) ، 12 (6 + 6). اتضح أن هناك 18 خيارًا للحصول على نتيجة إيجابية من أصل 36 ، كما في الحالة السابقة ، سيكون الاحتمال 0.5 أو 50٪. ربما غير متوقع ، لكنه دقيق تمامًا.

محاكاة مونت كارلو

ماذا لو كان لديك الكثير من النرد لهذا الحساب؟ على سبيل المثال ، تريد أن تعرف ما هو احتمال تدحرج إجمالي 15 أو أكثر على لفة 8d6. هناك العديد من الدرجات الفردية المختلفة لثمانية أحجار نرد وسيستغرق حسابها يدويًا وقتًا طويلاً. حتى إذا وجدنا بعض الحلول الجيدة لتجميع سلسلة مختلفة من لفات النرد ، فسيستغرق العد وقتًا طويلاً جدًا. في هذه الحالة ، أسهل طريقة لحساب الاحتمال ليست الحساب يدويًا ، ولكن باستخدام الكمبيوتر. هناك طريقتان لحساب الاحتمال على الكمبيوتر.

الطريقة الأولى هي الحصول على الإجابة الدقيقة ، ولكنها تتضمن القليل من البرمجة أو البرمجة النصية. في الأساس ، سوف يمر الكمبيوتر بكل احتمال ، ويقيم ويحسب العدد الإجمالي للتكرارات وعدد التكرارات التي تتوافق مع النتيجة المرجوة ، ثم يقدم إجابات. قد تبدو شفرتك كما يلي:

int wincount = 0 ، totalcount = 0 ؛

لـ (int i = 1 ؛ i<=6; i++) {

لـ (int j = 1 ؛ j<=6; j++) {

لـ (int k = 1 ؛ k<=6; k++) {

… // أدخل المزيد من الحلقات هنا

إذا (i + j + k +…> = 15) (

احتمال تعويم = wincount / totalcount ؛

إذا كنت لا تعرف الكثير عن البرمجة وتريد فقط إجابة غير دقيقة ولكنها تقريبية ، يمكنك محاكاة هذا الموقف في Excel ، حيث تقوم بتدوير 8d6 عدة آلاف من المرات والحصول على الإجابة. لتشغيل 1d6 في Excel ، استخدم الصيغة التالية:

الطابق (RAND () * 6) +1

هناك اسم للموقف عندما لا تعرف الإجابة وحاول عدة مرات - محاكاة مونت كارلو، وهو حل رائع يمكنك الرجوع إليه عندما تحاول حساب احتمال وهو معقد للغاية. الشيء العظيم هو أنه في هذه الحالة ، لسنا بحاجة إلى فهم كيفية عمل الرياضيات ، ونعلم أن الإجابة ستكون "جيدة جدًا" لأنه ، كما نعلم بالفعل ، كلما زاد عدد اللفات ، كلما اقتربت النتيجة من متوسط ​​القيمة.

كيفية الجمع بين التجارب المستقلة

إذا سألت عن تجارب متعددة متكررة ولكن مستقلة ، فلن تؤثر نتيجة لفة واحدة على نتيجة القوائم الأخرى. هناك تفسير آخر أبسط لهذا الموقف.

كيف نميز بين الشيء التابع والمستقل؟ من حيث المبدأ ، إذا كان بإمكانك عزل كل لفة من قالب (أو سلسلة من اللفات) كحدث منفصل ، فإنها تكون مستقلة. على سبيل المثال ، إذا أردنا دحرجة إجمالي 15 من خلال دحرجة 8d6 ، فلا يمكن تقسيم هذه الحالة إلى عدة لفات مستقلة من النرد. نظرًا لأنك تحسب مجموع قيم كل أحجار النرد للنتيجة ، فإن النتيجة التي يتم دحرجتها على نرد واحد تؤثر على النتائج التي يجب دحرجتها على نرد آخر ، لأنه فقط من خلال جمع كل القيم ستحصل النتيجة المرجوة.

إليك مثال على القوائم المستقلة: أنت تلعب لعبة النرد ، وتقوم برمي نرد سداسي الجوانب عدة مرات. للبقاء في اللعبة ، يجب عليك تدوير 2 أو أعلى في أول لفة. للفة الثانية ، 3 أو أعلى. الثالث يتطلب 4 أو أكثر ، والرابع يتطلب 5 أو أكثر ، والخامس يتطلب 6. إذا نجحت جميع القوائم الخمس ، فإنك تفوز. في هذه الحالة ، كل رميات مستقلة. نعم ، إذا فشلت إحدى الرولات ، فسيؤثر ذلك على نتيجة اللعبة بأكملها ، لكن لفة واحدة لا تؤثر على لفة أخرى. على سبيل المثال ، إذا كانت رمية النرد الثانية ناجحة جدًا ، فلن يؤثر ذلك على احتمالية نجاح القوائم التالية بنفس القدر. لذلك ، يمكننا النظر في احتمال كل لفة من النرد على حدة.

إذا كانت لديك احتمالات منفصلة ومستقلة وتريد أن تعرف ما هو احتمال ذلك الكلستأتي الأحداث ، وتحدد الاحتمالية الفردية وتضربها.طريقة أخرى: إذا كنت تستخدم حرف العطف "و" لوصف عدة شروط (على سبيل المثال ، ما هو احتمال وقوع حدث عشوائي وبعض الأحداث العشوائية المستقلة الأخرى؟) ، احسب الاحتمالات الفردية واضربها.

لا يهم ما تعتقده أبدالا تجمع الاحتمالات المستقلة. هذا خطأ شائع. لفهم سبب خطأ هذا ، تخيل موقفًا تقلب فيه عملة معدنية بنسبة 50/50 وتريد أن تعرف ما هو احتمال الحصول على الوجه مرتين على التوالي. كل جانب لديه فرصة بنسبة 50٪ للظهور ، لذا إذا أضفت الاحتمالين ، فستحصل على فرصة 100٪ للصعود ، لكننا نعلم أن هذا ليس صحيحًا لأنه قد يظهر ذيلان متتاليان. إذا قمت بضرب هذين الاحتمالين بدلاً من ذلك ، فستحصل على 50٪ * 50٪ = 25٪ ، وهي الإجابة الصحيحة لحساب احتمال الحصول على الوجه مرتين على التوالي.

مثال

لنعد إلى لعبة النرد ذات الجوانب الستة ، حيث تحتاج أولاً إلى رمي رقم أعلى من 2 ، ثم أعلى من 3 ، وهكذا. حتى 6. ما هي احتمالات أن تكون جميع النتائج مواتية في سلسلة معينة من 5 رميات؟

كما ذكرنا أعلاه ، هذه تجارب مستقلة ، لذلك نحسب الاحتمال لكل لفة فردية ثم نضربها. احتمال أن تكون نتيجة القرعة الأولى مواتية هو 5/6. الثاني - 4/6. الثالث - 3/6. الرابع - 2/6 ، الخامس - 1/6. بضرب كل هذه النتائج ، نحصل على حوالي 1.5٪ ... لذا ، فإن الفوز بهذه اللعبة نادر جدًا ، لذا إذا أضفت هذا العنصر إلى لعبتك ، فستحتاج إلى الفوز بالجائزة الكبرى.

النفي

إليك تلميح آخر مفيد: في بعض الأحيان يكون من الصعب حساب احتمالية وقوع حدث ما ، ولكن من الأسهل تحديد فرص وقوع حدث ما. لن أحضر.

على سبيل المثال ، افترض أن لدينا لعبة أخرى وقمت بتدوير 6d6 ، وإذا مرة على الاقللفات 6 ، فزت. ما هو احتمال الفوز؟

في هذه الحالة ، هناك العديد من الخيارات للنظر فيها. ربما يسقط رقم واحد 6 ، أي سيرمي أحد الزهر 6 والآخرون من 1 إلى 5 ، وهناك 6 خيارات لأي من الزهر سيحمل الرقم 6. ثم يمكنك رمي 6 على نردتين ، أو ثلاثة ، أو أكثر ، وفي كل مرة نحتاج إلى إجراء عملية حسابية منفصلة ، لذلك من السهل الخلط.

لكن هناك طريقة أخرى لحل هذه المشكلة ، فلنلق نظرة عليها من الجانب الآخر. أنت تخسرإذا لا أحدالرقم 6. لن يسقط من النرد في هذه الحالة ، لدينا ست تجارب مستقلة ، واحتمال كل منها هو 5/6 (أي رقم غير 6 يمكن أن يقع على النرد). اضربهم لتحصل على حوالي 33٪. وبالتالي ، فإن احتمال الخسارة هو 1 إلى 3.

لذلك ، فإن احتمال الفوز هو 67٪ (أو 2 إلى 3).

من هذا المثال يتضح أن إذا كنت تحسب احتمال عدم وقوع حدث ما ، اطرح النتيجة من 100٪.إذا كان احتمال الفوز 67٪ فإن الاحتمال هو تخسر — 100% ناقص 67٪ أو 33٪. والعكس صحيح. إذا كان من الصعب حساب احتمال واحد ، ولكن من السهل حساب العكس ، فاحسب العكس ، ثم اطرح من 100٪.

ربط الشروط لاختبار مستقل واحد

لقد قلت قبل قليل أنه لا يجب عليك جمع الاحتمالات في التجارب المستقلة. هل هناك أي حالات حيث يمكناجمع الاحتمالات؟ نعم ، في حالة معينة.

إذا كنت تريد حساب احتمالية وجود عدة نتائج غير ذات صلة ومواتية في نفس التجربة ، فقم بجمع احتمالات كل نتيجة مواتية. على سبيل المثال ، احتمال طرح 4 أو 5 أو 6 على 1d6 هو مجموعاحتمالية طرح الرقم 4 ، واحتمال طرح الرقم 5 ، واحتمال طرح الرقم 6. يمكنك أيضًا التفكير في هذا الموقف على النحو التالي: إذا كنت تستخدم علامة العطف "أو" في سؤال حول الاحتمال (على سبيل المثال ، ما هو احتمال أونتيجة مختلفة لحدث عشوائي واحد؟) ، احسب الاحتمالات الفردية ولخصها.

لاحظ أنه عند جمعها كل النتائج الممكنةلعبة ، يجب أن يساوي مجموع كل الاحتمالات 100٪. إذا لم يكن المجموع مساويًا لـ 100٪ ، فهذا يعني أنه تم إجراء الحساب بشكل غير صحيح. هذه طريقة جيدة للتحقق مرتين من حساباتك. على سبيل المثال ، قمت بتحليل احتمال الحصول على كل المجموعات في لعبة البوكر ، إذا جمعت كل النتائج ، يجب أن تحصل على 100٪ بالضبط (أو على الأقل قيمة قريبة جدًا من 100٪ ، إذا كنت تستخدم آلة حاسبة ، فقد يكون لديك خطأ صغير في التقريب ، ولكن إذا جمعت الأرقام الدقيقة يدويًا ، فيجب إضافة كل شيء). إذا لم يتقارب المجموع ، فعلى الأرجح أنك لم تأخذ في الاعتبار بعض المجموعات ، أو أنك حسبت احتمالات بعض المجموعات بشكل غير صحيح ، ثم تحتاج إلى إعادة التحقق من حساباتك.

احتمالات غير متكافئة

حتى الآن ، افترضنا أن كل وجه من النرد يسقط بنفس التردد ، لأن هذه هي الطريقة التي يعمل بها النرد. لكن في بعض الأحيان تواجه موقفًا يكون من الممكن فيه تحقيق نتائج مختلفة مختلفإسقاط الفرص. على سبيل المثال ، في إحدى التوسعات الخاصة بلعبة الورق "الحرب النووية" ، يوجد ملعب به سهم يحدد نتيجة إطلاق صاروخ: فهو يلحق ضررًا عاديًا ، أو ضررًا أكثر أو أقل ، ولكن في بعض الأحيان يتضاعف الضرر. أو تضاعف ثلاث مرات ، أو ينفجر الصاروخ على منصة الإطلاق ويضر بك ، أو يحدث حدث آخر. على عكس لوحة الأسهم في "Chutes & Ladders" أو "A Game of Life" ، فإن نتائج اللوحة في "Nuclear War" غير متكافئة. تكون بعض أقسام الملعب أكبر ويتوقف السهم عليها كثيرًا ، في حين أن الأقسام الأخرى صغيرة جدًا ونادرًا ما يتوقف السهم عليها.

لذا ، للوهلة الأولى ، يبدو العظم شيئًا كالتالي: 1 ، 1 ، 1 ، 2 ، 2 ، 3 ؛ لقد تحدثنا عنه بالفعل ، إنه شيء مثل 1d3 مرجح ، لذلك ، نحتاج إلى تقسيم كل هذه الأقسام إلى أجزاء متساوية ، وإيجاد أصغر وحدة قياس ، وهي مضاعفة لها ، ثم تمثيل الموقف في شكل d522 (أو غير ذلك) ، حيث تعرض مجموعة وجوه النرد نفس الموقف ، ولكن بعدد أكبر من النتائج. وهذه إحدى طرق حل المشكلة ، وهي مجدية تقنيًا ، لكن هناك طريقة أسهل.

دعنا نعود إلى حجر النرد القياسي سداسي الجوانب. قلنا أنه من أجل حساب متوسط ​​قيمة رمية حجر نرد عادي ، تحتاج إلى جمع القيم على جميع الوجوه وقسمتها على عدد الوجوه ، ولكن كيف بالضبطهل الحساب جار؟ يمكنك التعبير عنها بشكل مختلف. بالنسبة إلى نرد سداسي الجوانب ، فإن احتمال ظهور كل وجه هو 1/6 بالضبط. الآن نضرب نزوحكل حافة على احتمالاهذه النتيجة (في هذه الحالة ، 1/6 لكل وجه) ، ثم لخص القيم الناتجة. إذن ، جمع (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) ، نحصل على نفس النتيجة (3.5) كما في الحساب أعلاه. في الواقع ، نحسب هذا في كل مرة: نضرب كل نتيجة في احتمال تلك النتيجة.

هل يمكننا إجراء نفس الحساب للسهم في الملعب في لعبة "الحرب النووية"؟ بالطبع نستطيع. وإذا جمعنا كل النتائج ، نحصل على متوسط ​​القيمة. كل ما يتعين علينا القيام به هو حساب احتمال كل نتيجة للسهم على أرض الملعب وضربها في النتيجة.

مثال آخر

هذه الطريقة في حساب المتوسط ​​، بضرب كل نتيجة في احتمالية فردية ، مناسبة أيضًا إذا كانت النتائج متساوية في الاحتمال ولكن لها مزايا مختلفة ، مثل إذا دحرجت نردًا وفزت أكثر في بعض الجوانب أكثر من غيرها. على سبيل المثال ، لنأخذ لعبة تحدث في كازينو: تراهن وتشغل 2d6. إذا ظهرت ثلاثة أرقام منخفضة القيمة (2 ، 3 ، 4) أو أربعة أرقام عالية القيمة (9 ، 10 ، 11 ، 12) ، فستربح مبلغًا يساوي رهانك. تعتبر الأرقام ذات القيمة الأقل والأعلى قيمة خاصة: إذا كانت 2 أو 12 لفة ، فستفوز ضعفيمن عرضك. إذا ظهر أي رقم آخر (5 ، 6 ، 7 ، 8) ، فستفقد رهانك. هذه لعبة بسيطة جدا. لكن ما هو احتمال الفوز؟

لنبدأ بإحصاء عدد المرات التي يمكنك فيها الفوز:

• الحد الأقصى لعدد النتائج في لفة 2d6 هو 36. ما هو عدد النتائج المفضلة؟
• هناك خيار واحد يسقط اثنان وخيار واحد يسقط اثني عشر.
• هناك خياران للتدحرج ثلاثة وأحد عشر.
• هناك 3 خيارات للتدحرج أربعة و 3 خيارات للتداول العشرة.
• هناك 4 خيارات لتسعة في الظهور.
• بتلخيص جميع الخيارات ، نحصل على عدد النتائج المفضلة 16 من 36.

وبالتالي ، في ظل الظروف العادية ، ستربح 16 مرة من أصل 36 مرة محتملة ... احتمال الفوز أقل بقليل من 50٪.

لكن في حالتين من هؤلاء الـ 16 ، ستربح ضعف المبلغ ، أي إنه مثل الفوز مرتين! إذا لعبت هذه اللعبة 36 مرة ، وراهنت بدولار واحد في كل مرة ، وظهرت كل نتيجة ممكنة مرة واحدة ، فستربح ما مجموعه 18 دولارًا (تربح في الواقع 16 مرة ، لكن اثنتين من تلك المرات ستحسب فوزين). إذا لعبت 36 مرة وربحت 18 دولارًا ، ألا يعني ذلك أنها فرصة متساوية؟

لا تتسرع. إذا قمت بحساب عدد المرات التي يمكن أن تخسر فيها ، فستحصل على 20 ، وليس 18. إذا لعبت 36 مرة ، وراهنت بدولار واحد في كل مرة ، فستربح ما مجموعه 18 دولارًا مع كل الاحتمالات ... لكنك ستخسر إجمالي مبلغ 20 دولارًا لكل 20 نتيجة سيئة! نتيجة لذلك ، ستكون متأخرًا قليلاً: ستخسر متوسط ​​صافي 2 دولار لكل 36 لعبة (يمكنك أيضًا أن تقول أنك تخسر 1/18 دولارًا في المتوسط ​​في اليوم). الآن ترى مدى سهولة ارتكاب خطأ في هذه الحالة وحساب الاحتمال بشكل غير صحيح!

التقليب

حتى الآن ، افترضنا أن الترتيب الذي تُلقى به الأرقام لا يهم عند رمي النرد. لفة 2 + 4 هي نفسها لفة 4 + 2. في معظم الحالات ، نحسب عدد النتائج المفضلة يدويًا ، ولكن في بعض الأحيان تكون هذه الطريقة غير عملية ومن الأفضل استخدام صيغة رياضية.

مثال على هذا الموقف هو من لعبة النرد "Farkle". لكل جولة جديدة ، تقوم بتدوير 6d6. إذا كنت محظوظًا وظهرت جميع النتائج المحتملة من 1-2-3-4-5-6 (مباشرة) ، فستحصل على مكافأة كبيرة. ما هو احتمال حدوث ذلك؟ في هذه الحالة ، هناك العديد من الخيارات لفقدان هذه المجموعة!

الحل هو كما يلي: واحد من النرد (واحد فقط) يجب أن يرمي الرقم 1! كم عدد الطرق للحصول على الرقم 1 على نرد واحد؟ ستة ، نظرًا لوجود 6 نردات ، ويمكن لأي واحد منهم أن يهبط بالرقم 1. وفقًا لذلك ، خذ نردًا واحدًا وضعه جانبًا. الآن ، يجب أن يقع الرقم 2. على أحد أحجار النرد المتبقية ، وهناك خمسة خيارات لذلك. خذ نردًا آخر وضعه جانبًا. يتبع ذلك أن أربعة من أحجار النرد المتبقية قد تتدحرج 3 ، وقد تدحرج ثلاثة من أحجار النرد المتبقية 4 ، وقد يتدحرج اثنان من النرد المتبقي 5 ، وينتهي بك الأمر بزهر واحد يجب أن يلف 6 (في الأخير) هناك نرد واحد فقط ولا يوجد خيار آخر). لحساب عدد النتائج المفضلة لتكوين تركيبة مباشرة ، نقوم بضرب جميع الخيارات المستقلة المختلفة: 6x5x4x3x2x1 = 720 - يبدو أن هناك الكثير من الخيارات لهذه المجموعة لتظهر.

لحساب احتمال الحصول على توليفة مستقيمة ، علينا قسمة 720 على عدد كل النتائج الممكنة لتدحرج 6d6. ما هو عدد كل النتائج الممكنة؟ يمكن أن يصل كل قالب إلى 6 وجوه ، لذلك نضرب 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 46656 (رقم أعلى بكثير!). نقسم 720/46656 ونحصل على احتمال يساوي 1.5٪ تقريبًا. إذا كنت تصمم هذه اللعبة ، فسيكون من المفيد لك معرفة ذلك حتى تتمكن من إنشاء نظام تسجيل مناسب. الآن نحن نفهم لماذا تحصل في لعبة "Farkle" على مثل هذه المكافأة الكبيرة إذا حصلت على مزيج من "مستقيم" ، لأن هذا الموقف نادر جدًا!

النتيجة مثيرة للاهتمام أيضًا لسبب آخر. يوضح المثال مدى ندرة حدوث نتيجة مقابلة للاحتمال فعليًا في فترة قصيرة. بالطبع ، إذا دحرجنا عدة آلاف من النرد ، فستظهر جوانب مختلفة من النرد كثيرًا. لكن عندما نرمي ستة أحجار نرد تقريبًا ، تقريبًا أبدالا يحدث أن يسقط كل وجه! انطلاقًا من هذا ، يتضح أنه من الحماقة توقع سقوط وجه آخر الآن ، وهو ما لم يتساقط بعد "لأننا لم نتخلى عن الرقم 6 لفترة طويلة ، مما يعني أنه سيتساقط الآن. "

انظر ، مولد الأرقام العشوائية معطل ...

يقودنا هذا إلى مفهوم خاطئ شائع حول الاحتمال: افتراض أن جميع النتائج تأتي بنفس التكرار. خلال فترة زمنية قصيرة، وهذا ليس هو الحال في الواقع. إذا رمي النرد عدة مرات ، فلن يكون تكرار كل وجه هو نفسه.

إذا سبق لك أن عملت في لعبة عبر الإنترنت مع نوع من مولد الأرقام العشوائية من قبل ، فمن المرجح أنك واجهت موقفًا يكتب فيه أحد اللاعبين للدعم الفني ليقول إن مولد الأرقام العشوائي الخاص بك معطل ولا يعرض أرقامًا عشوائية ، وهو توصل إلى هذا الاستنتاج لأنه قتل للتو 4 وحوش متتالية وحصل على 4 نفس المكافآت بالضبط ، ويجب أن تنخفض هذه المكافآت بنسبة 10٪ فقط من الوقت ، لذلك هذا على الاغلب لالا ينبغي تجري، مما يعني ذلك بوضوحأن مولد الأرقام العشوائية معطل.

أنت تفعل الرياضيات. 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 يساوي 1 في 10000 ، مما يعني أنه نادر جدًا. وهذا ما يحاول اللاعب إخبارك به. هل هناك مشكلة في هذه الحالة؟

كل شيء يعتمد على الظروف. كم عدد اللاعبين على الخادم الخاص بك الآن؟ لنفترض أن لديك لعبة شائعة إلى حد ما ويلعبها 100000 شخص كل يوم. كم عدد اللاعبين الذين سيقتلون أربعة وحوش على التوالي؟ ربما كل شيء ، عدة مرات في اليوم ، لكن دعنا نفترض أن نصفهم يتداولون فقط عناصر مختلفة في المزادات أو الدردشة على خوادم RP ، أو يقومون بأنشطة ألعاب أخرى ، لذا فإن نصفهم فقط يصطادون الوحوش. ما هو احتمال ذلك شخصا ماهل ستنسحب نفس المكافأة؟ في هذه الحالة ، يمكنك أن تتوقع أن نفس المكافأة يمكن أن تنخفض عدة مرات في اليوم على الأقل!

بالمناسبة ، لهذا السبب يبدو كل بضعة أسابيع على الأقل شخصا مايفوز في اليانصيب ، حتى لو كان ذلك الشخص أبداأنت أو أصدقاؤك لا تأتون. إذا لعب عدد كافٍ من الأشخاص كل أسبوع ، فستكون هناك فرص على الأقل واحدمحظوظ ... ولكن إذا أنتكنت تلعب اليانصيب ، فمن غير المرجح أن تفوز بوظيفة في Infinity Ward.

الخرائط والإدمان

لقد ناقشنا أحداثًا مستقلة ، مثل إلقاء النرد ، والآن نعرف العديد من الأدوات القوية لتحليل العشوائية في العديد من الألعاب. يكون حساب الاحتمال أكثر تعقيدًا بعض الشيء عندما يتعلق الأمر بسحب البطاقات من المجموعة ، لأن كل بطاقة نرسمها تؤثر على البطاقات المتبقية في المجموعة. إذا كان لديك مجموعة قياسية من 52 بطاقة ورسمت 10 قلوب ، على سبيل المثال ، وتريد معرفة احتمال أن تكون البطاقة التالية من نفس النوع ، فقد تغير الاحتمال لأنك قمت بالفعل بإزالة بطاقة قلب واحدة من السطح. كل بطاقة تقوم بإزالتها تغير احتمالية البطاقة التالية في المجموعة. نظرًا لأن الحدث السابق في هذه الحالة يؤثر على الحدث التالي ، فإننا نسمي هذا الاحتمال يعتمد.

يرجى ملاحظة أنه عندما أقول "بطاقات" أعني أيميكانيكا اللعبة حيث توجد مجموعة من الكائنات وتقوم بإزالة أحد الكائنات دون استبدالها ، فإن "مجموعة أوراق اللعب" في هذه الحالة تشبه حقيبة الرقائق ، التي تزيل منها شريحة واحدة ولا تستبدلها ، أو جرة تزيل منها الكرات الملونة (في الواقع لم أشاهد مطلقًا لعبة حيث كانت هناك جرة بها كرات رخامية ملونة تم إخراجها منها ، ولكن يبدو أن معلمي نظرية الاحتمالات يفضلون هذا المثال لسبب ما).

خصائص التبعية

أود أن أوضح أنه عندما يتعلق الأمر بالبطاقات ، أفترض أنك ترسم البطاقات وتنظر إليها وتزيلها من المجموعة. كل من هذه الإجراءات هي خاصية مهمة.

إذا كان لدي مجموعة أوراق ، على سبيل المثال ، من ستة بطاقات مرقمة من 1 إلى 6 ، وقمت بخلطها ورسمت بطاقة واحدة ثم خلط جميع البطاقات الستة مرة أخرى ، فسيكون ذلك مثل دحرجة نرد من ستة جوانب ؛ نتيجة واحدة لا تؤثر على التالية. فقط إذا قمت برسم بطاقات ولم أستبدلها ، فستزيد نتيجة سحب بطاقة بالرقم 1 من احتمالية أن أرسم بطاقة بالرقم 6 في المرة القادمة (سيزداد الاحتمال حتى أقوم برسم هذه البطاقة في النهاية أو حتى أخلط البطاقات).

حقيقة أننا نحن ننظرعلى البطاقات مهم أيضًا. إذا أخرجت بطاقة من المجموعة ولم أنظر إليها ، فليس لدي أي معلومات إضافية والاحتمال لا يتغير في الواقع. قد يبدو هذا غير منطقي. كيف يمكن ببساطة قلب بطاقة بطريقة سحرية تغيير الاحتمالات؟ لكن هذا ممكن ، لأنه يمكنك حساب احتمال العناصر غير المعروفة فقط من حقيقة أنك أنت تعرف. على سبيل المثال ، إذا قمت بخلط مجموعة أوراق اللعب القياسية ، وكشفت عن 51 بطاقة ولم يكن أي منها ملكة النوادي ، فستعرف بشكل مؤكد 100٪ أن البطاقة المتبقية هي ملكة النوادي. إذا قمت بخلط مجموعة أوراق قياسية ورسمت 51 بطاقة ، على الرغم منعليهم ، فإن احتمال أن تكون البطاقة المتبقية هي ملكة الأندية سيظل 1/52. عند فتح كل بطاقة ، تحصل على مزيد من المعلومات.

يتبع حساب احتمالية الأحداث التابعة نفس المبادئ المتبعة في الأحداث المستقلة ، باستثناء أنها أكثر تعقيدًا بعض الشيء ، حيث تتغير الاحتمالات عندما تكشف عن البطاقات. وبالتالي ، تحتاج إلى ضرب العديد من القيم المختلفة ، بدلاً من ضرب نفس القيمة. في الواقع ، هذا يعني أننا بحاجة إلى جمع كل العمليات الحسابية التي أجريناها في مجموعة واحدة.

مثال

يمكنك خلط مجموعة قياسية من 52 بطاقة ورسم ورقتين. ما هو احتمال أن تخرج زوجًا؟ هناك عدة طرق لحساب هذا الاحتمال ، ولكن ربما يكون أبسطها: ما هو احتمال أنك إذا سحبت بطاقة واحدة ، فلن تتمكن من رسم زوج؟ هذا الاحتمال هو صفر ، لذلك لا يهم حقًا البطاقة الأولى التي ترسمها ، طالما أنها تتطابق مع الثانية. بغض النظر عن البطاقة التي نرسمها أولاً ، لا يزال لدينا فرصة لرسم زوج ، وبالتالي فإن احتمال أن نتمكن من رسم زوج بعد سحب البطاقة الأولى هو 100٪.

ما هو احتمال تطابق البطاقة الثانية مع الأولى؟ هناك 51 بطاقة متبقية في المجموعة و 3 منها تطابق البطاقة الأولى (في الواقع ستكون 4 من 52 ، لكنك قمت بالفعل بإزالة إحدى البطاقات المطابقة عندما سحبت البطاقة الأولى!) ، لذا فإن الاحتمال هو 1 / 17. (لذا في المرة القادمة التي يقول فيها الرجل المقابل للطاولة الذي يلعب لعبة Texas Hold'em ، "رائع ، زوج آخر؟ أنا محظوظ اليوم" ، ستعرف أن هناك فرصة كبيرة جدًا أنه يخادع.)

ماذا لو أضفنا مهرجين ولدينا الآن 54 بطاقة في المجموعة ونريد أن نعرف ما هو احتمال سحب زوج؟ قد تكون البطاقة الأولى هي الجوكر ، وبعد ذلك ستحتوي المجموعة فقط واحدبطاقة ، وليس ثلاثة ، والتي سوف تتطابق. كيف تجد الاحتمال في هذه الحالة؟ نقسم الاحتمالات ونضرب كل احتمال.

قد تكون بطاقتنا الأولى جوكر أو بطاقة أخرى. احتمال رسم جوكر هو 2/54 ، واحتمال سحب بطاقة أخرى هو 52/54.

إذا كانت البطاقة الأولى جوكر (2/54) ، فإن احتمال تطابق البطاقة الثانية مع الأولى هو 1/53. ضرب القيم (يمكننا ضربها لأنها أحداث منفصلة ونحن نريد ذلك على حد سواءحدث) وحصلنا على 1/1431 - أقل من عُشر بالمائة.

إذا قمت برسم بطاقة أخرى أولاً (52/54) ، فإن احتمال مطابقة البطاقة الثانية هو 3/53. نضرب القيم ونحصل على 78/1431 (أكثر بقليل من 5.5٪).

ماذا نفعل بهاتين النتيجتين؟ لا يتقاطعان ونريد معرفة الاحتمال كل واحدمنهم ، لذلك نلخص القيم! حصلنا على النتيجة النهائية 79/1431 (لا تزال حوالي 5.5٪).

إذا أردنا التأكد من دقة الإجابة ، فيمكننا حساب احتمال جميع النتائج المحتملة الأخرى: رسم جوكر وعدم مطابقة البطاقة الثانية ، أو رسم بطاقة أخرى وعدم مطابقة البطاقة الثانية ، وتجميعها جميعًا مع احتمال الفوز ، سنحصل على 100٪ بالضبط. لن أعطي الرياضيات هنا ، لكن يمكنك تجربة الرياضيات للتحقق مرة أخرى.

مفارقة مونتي هول

يقودنا هذا إلى مفارقة شهيرة غالبًا ما تربك الكثيرين ، وهي مفارقة مونتي هول. تمت تسمية المفارقة على اسم مونتي هول ، مضيف البرنامج التلفزيوني Let's Make a Deal. إذا لم تشاهد هذا العرض من قبل ، فقد كان عكس العرض التلفزيوني "The Price Is Right". في "The Price Is Right" ، المضيف (المعروف سابقًا باسم Bob Barker ، والآن هو… Drew Carey؟ على أي حال ...) هو صديقك. هو يريدلكسب المال أو جوائز رائعة. يحاول أن يمنحك كل فرصة للفوز ، طالما يمكنك تخمين القيمة الفعلية للعناصر التي ترعاها.

تصرف مونتي هول بشكل مختلف. كان مثل التوأم الشرير لبوب باركر. كان هدفه أن يجعلك تبدو مثل أحمق في التلفزيون الوطني. إذا كنت في العرض ، فقد كان خصمك ، ولعبت ضده وكانت الاحتمالات لصالحه. ربما أكون قاسيًا ، لكن عندما يبدو أن فرصة اختيارك لخصم تتناسب طرديًا مع ما إذا كنت ترتدي زيًا سخيفًا أم لا ، فقد توصلت إلى استنتاجات مماثلة.

لكن أحد أكثر الميمات شهرة في العرض كان هذا: كانت هناك ثلاثة أبواب أمامك ، وكان يُطلق عليها اسم الباب رقم 1 ، ورقم الباب 2 ، ورقم الباب 3. يمكنك اختيار أي باب واحد ... مجانًا! خلف أحد هذه الأبواب ، كانت هناك جائزة رائعة ، على سبيل المثال ، سيارة جديدة. لم تكن هناك جوائز خلف الأبواب الأخرى ، وهذان البابان لا قيمة لهما. كان هدفهم هو إذلالك وبالتالي لم يكن هناك شيء وراءهم على الإطلاق ، كان هناك شيء ما وراءهم يبدو غبيًا ، مثل عنزة خلفهم أو أنبوب ضخم من معجون الأسنان ، أو شيء ما ... ليسسيارة جديدة.

لقد اخترت أحد الأبواب وكان مونتي على وشك فتحه لإعلامك بما إذا كنت قد فزت أم لا ... ولكن انتظر ، قبل ان نعلمدعونا نلقي نظرة على واحدة من أولئكالباب لك لم يتم اختياره. بما أن مونتي يعرف أي باب خلف الجائزة ، وهناك جائزة واحدة فقط و اثنينأبواب لم تخترها مهما حدث ، يمكنه دائمًا فتح باب ليس خلفه جائزة. ”هل تختار الباب رقم 3؟ ثم دعونا نفتح الباب 1 لنظهر أنه لا توجد جائزة وراءه ". والآن ، بدافع الكرم ، يعرض عليك فرصة مقايضة الباب رقم 3 الذي اخترته لما يقع خلف الباب رقم 2. وهنا يأتي دور سؤال الاحتمالية: هل القدرة على اختيار باب مختلف تزيد أو تقلل من فرصتك في الفوز ، أم أنها تبقى على حالها؟ كيف تفكر؟

الإجابة الصحيحة: القدرة على اختيار باب آخر يزيداحتمالية الفوز من 1/3 إلى 2/3. هذا غير منطقي. إذا لم تكن قد صادفت هذه المفارقة من قبل ، فمن المحتمل أنك تفكر: انتظر ، بفتح باب واحد ، قمنا بتغيير الاحتمال بطريقة سحرية؟ ولكن كما رأينا في مثال الخريطة أعلاه ، هذا هو بالضبطماذا يحدث عندما نحصل على مزيد من المعلومات. من الواضح أن احتمال الفوز في المرة الأولى التي تختارها هو 1/3 ، وأعتقد أن الجميع سيتفقون على ذلك. عندما يفتح أحد الأبواب ، فإنه لا يغير من احتمالية الفوز للخيار الأول على الإطلاق ، فالاحتمال لا يزال 1/3 ، ولكن هذا يعني أن الاحتمال أن اخرالباب الصحيح الآن 2/3.

لنلقِ نظرة على هذا المثال من الجانب الآخر. اخترت الباب. احتمال الفوز هو 1/3. أقترح عليك التغيير اثنينأبواب أخرى ، وهو ما يقترحه مونتي هول بالفعل. طبعا يفتح أحد الأبواب ليبين أنه لا يوجد خلفه جائزة إلا هو دائمايمكنه فعل ذلك ، لذا فهو لا يغير شيئًا حقًا. بالطبع ، سترغب في اختيار باب مختلف!

إذا كنت لا تفهم هذه المشكلة تمامًا وتحتاج إلى شرح أكثر إقناعًا ، فانقر فوق هذا الرابط للانتقال إلى تطبيق Flash صغير رائع يتيح لك استكشاف هذه المفارقة بمزيد من التفاصيل. يمكنك أن تبدأ بحوالي 10 أبواب ثم الانتقال تدريجيًا إلى لعبة بثلاثة أبواب ؛ يوجد أيضًا جهاز محاكاة حيث يمكنك اختيار أي عدد من الأبواب من 3 إلى 50 ولعب أو تشغيل عدة آلاف من المحاكاة ومعرفة عدد المرات التي ستفوز فيها إذا لعبت.

ملاحظة من مدرس الرياضيات العليا والمتخصص في توازن اللعبة مكسيم سولداتوف ، والتي لم يكن لدى شرايبر بالطبع ، ولكن بدونها يصعب فهم هذا التحول السحري:

اختر بابًا ، واحدًا من ثلاثة ، احتمالية "الفوز" 1/3. الآن لديك استراتيجيتان: تغيير الخيار بعد فتح الباب الخطأ أم لا. إذا لم تقم بتغيير اختيارك ، فسيظل الاحتمال 1/3 ، لأن الاختيار يكون في المرحلة الأولى فقط ، ويجب أن تخمن على الفور ، ولكن إذا قمت بالتغيير ، فيمكنك الفوز إذا اخترت الباب الخطأ أولاً ( ثم يفتحون واحدًا خاطئًا آخر ، سيظل صحيحًا ، قم بتغيير القرار فقط خذها)
احتمال اختيار الباب الخطأ في البداية هو 2/3 ، لذلك يتبين أنه بتغيير قرارك يجعل احتمال الفوز مرتين أكثر

إعادة النظر في مفارقة مونتي هول

بالنسبة للعرض نفسه ، كان مونتي هول يعرف ذلك ، لأنه حتى لو لم يكن خصومه جيدًا في الرياضيات ، هل هويفهمها جيدا. إليك ما فعله لتغيير اللعبة قليلاً. إذا اخترت الباب الذي كانت الجائزة خلفه ، والاحتمال هو 1/3 ، فهو دائماعرضت عليك خيار اختيار باب آخر. لأنك اخترت سيارة ثم قمت بتغييرها إلى ماعز وتبدو غبيًا جدًا ، وهذا بالضبط ما يحتاجه ، لأنه نوع من الرجل الشرير. ولكن إذا اخترت الباب خلفه لن تكون هناك جائزة، فقط نصففي مثل هذه الحالات سيطلب منك اختيار باب آخر ، وفي حالات أخرى سيُظهر لك ماعزك الجديد وستترك المنصة. دعونا نحلل هذه اللعبة الجديدة حيث يستطيع مونتي هول تحديدنقدم لك فرصة لاختيار باب آخر أم لا.

لنفترض أنه يتبع هذه الخوارزمية: إذا اخترت بابًا به جائزة ، فإنه يعرض لك دائمًا فرصة اختيار باب آخر ، وإلا فإن احتمال أن يعرض عليك بابًا مختلفًا أو يعطيك عنزة هو 50/50. ما هو احتمال فوزك؟

في أحد الخيارات الثلاثة ، تختار على الفور الباب الذي توجد خلفه الجائزة ، ويدعوك المضيف لاختيار باب آخر.

من بين الخيارين المتبقيين من بين الخيارات الثلاثة (تختار مبدئيًا بابًا بدون جائزة) ، سيطلب منك المضيف نصف الوقت لاختيار باب آخر ، والنصف الآخر لن يفعل ذلك. نصف 2/3 هو 1/3 ، أي في حالة واحدة من أصل ثلاثة ستحصل على عنزة ، وفي حالة واحدة من أصل ثلاثة ستختار الباب الخطأ وسيطلب منك المضيف اختيار باب آخر وفي حالة واحدة من بين ثلاثة ستختار الباب الأيمنوسيطلب منك اختيار باب آخر.

إذا اقترح المضيف اختيار باب مختلف ، فنحن نعلم بالفعل أن إحدى الحالات الثلاث عندما أعطانا عنزة وغادرنا لم تحدث. هذه معلومات مفيدة لأنها تعني أن فرصنا في الفوز قد تغيرت. لدينا خيار مرتين من كل ثلاث مرات ، في حالة واحدة ، فهذا يعني أننا خمنا بشكل صحيح ، وفي الحالة الأخرى يعني أننا خمننا خطأ ، لذلك إذا عُرض علينا خيار على الإطلاق ، فهذا يعني أن احتمال فوزنا هو 50 / 50 ولا يوجد رياضيالفوائد ، ابق مع اختيارك أو اختر بابًا آخر.

مثل البوكر ، أصبحت الآن لعبة نفسية وليست رياضية. عرض عليك مونتي خيارًا لأنه يعتقد أنك غبي لا يعرف أن اختيار باب مختلف هو القرار "الصحيح" ، وأنك ستتمسك باختيارك بعناد لأنه ، من الناحية النفسية ، الموقف عندما تختار السيارة ، ثم خسرها ، أصعب؟ أم أنه يعتقد أنك ذكي واخترت بابًا آخر ، وهو يعرض عليك هذه الفرصة لأنه يعلم أنك خمنت بشكل صحيح في المرة الأولى وأنك ستكون مدمن مخدرات ومحاصر؟ أو ربما يكون لطيفًا مع نفسه بشكل غير معهود ويدفعك إلى القيام بشيء من أجل مصلحتك الشخصية لأنه لم يتبرع بسيارة لفترة طويلة ويخبره منتجوه أن الجمهور يشعر بالملل وسيكون من الأفضل إذا أعطى جائزة كبيرة قريبا .. حتى لا تنخفض التصنيفات؟

وهكذا ، تمكن مونتي من تقديم خيار (في بعض الأحيان) ويظل الاحتمال الإجمالي للفوز 1/3. تذكر أن احتمال خسارتك على الفور هو 1/3. هناك احتمال 1/3 أن تخمن على الفور ، و 50٪ من تلك المرات ستفوز (1/3 × 1/2 = 1/6). احتمال أن تخمن خاطئًا في البداية ، ولكن لديك فرصة لاختيار باب آخر هو 1/3 ، وفي 50٪ من هذه الحالات ستربح (أيضًا 1/6). أضف احتمالين مستقلين للفوز وستحصل على احتمال 1/3 ، لذلك سواء بقيت على اختيارك أو اخترت بابًا آخر ، فإن إجمالي احتمال فوزك طوال اللعبة هو 1/3 ... الاحتمال لا يزداد مما لو كنت تخمن الباب وكان المضيف سيظهر لك ما وراء هذا الباب ، دون القدرة على اختيار باب آخر! لذا فإن الهدف من عرض خيار اختيار باب مختلف ليس تغيير الاحتمال ، ولكن لجعل عملية صنع القرار أكثر متعة للمشاهدة على التلفزيون.

بالمناسبة ، هذا هو أحد الأسباب التي تجعل البوكر مثيرًا للاهتمام: في معظم التنسيقات بين الجولات ، عندما يتم عمل الرهانات (على سبيل المثال ، التقليب والانعطاف والنهر في Texas Hold'em) ، يتم الكشف عن البطاقات تدريجياً ، وإذا كان لديك احتمال الفوز في بداية اللعبة ، فبعد كل جولة مراهنة ، عندما يتم فتح المزيد من البطاقات ، يتغير هذا الاحتمال.

مفارقة الصبي والفتاة

يقودنا هذا إلى مفارقة أخرى معروفة تميل إلى إرباك الجميع ، مفارقة الصبي والفتاة. الشيء الوحيد الذي أكتب عنه اليوم لا يتعلق مباشرة بالألعاب (على الرغم من أنني أعتقد أن هذا يعني فقط أنه يجب علي دفعك لإنشاء ميكانيكا اللعبة المناسبة). هذا أكثر من مجرد لغز ، لكنه مثير للاهتمام ، ومن أجل حلها ، عليك أن تفهم الاحتمال الشرطي الذي تحدثنا عنه أعلاه.

المهمة: لدي صديق لطفلين ، واحد على الأقلالطفل بنت. ما هو احتمال أن يكون الطفل الثاني جدافتاة؟ لنفترض أن فرصة إنجاب فتاة أو ولد في أي عائلة هي 50/50 وهذا صحيح لكل طفل (في الواقع ، لدى بعض الرجال المزيد من الحيوانات المنوية في الحيوانات المنوية مع كروموسوم X أو كروموسوم Y ، لذا فإن الاحتمال يتغير قليلاً إذا كنت تعلم أن أحد الأطفال هو فتاة ، فإن احتمال إنجاب فتاة أعلى قليلاً ، بالإضافة إلى وجود حالات أخرى ، على سبيل المثال ، الخنوثة ، ولكن لحل هذه المشكلة ، لن نأخذ ذلك في الاعتبار ونفترض ذلك ولادة طفل هو حدث مستقل واحتمال إنجاب ولد أو بنات هو نفسه).

نظرًا لأننا نتحدث عن فرصة 1/2 ، فإننا نتوقع حدسيًا أن تكون الإجابة على الأرجح 1/2 أو 1/4 ، أو رقم دائري آخر يكون مضاعفًا لـ 2. لكن الجواب: 1/3 . أنتظر لماذا؟

الصعوبة في هذه الحالة هي أن المعلومات التي لدينا تقلل من عدد الاحتمالات. لنفترض أن الوالدين من عشاق شارع سمسم ، وبغض النظر عما إذا كان الطفل قد وُلد صبيًا أم بنتًا ، فقد سموا أطفالهم "أ" و "ب. فتاتان ، A ولد ، و B فتاة ، و A فتاة ، و B فتى. منذ أن عرفنا ذلك واحد على الأقلالطفلة فتاة ، يمكننا استبعاد احتمال أن يكون "أ" و "ب" صبيان ، مما يترك لنا ثلاثة احتمالات (لا تزال متساوية في الاحتمال). إذا كانت جميع الاحتمالات متساوية في الاحتمال وكان هناك ثلاثة منها ، فإننا نعلم أن احتمال كل منها هو 1/3. فقط في واحد من هذه الخيارات الثلاثة يوجد كلا الطفلين فتاتان ، لذا فإن الإجابة هي 1/3.

ومرة أخرى حول التناقض بين صبي وفتاة

يصبح حل المشكلة غير منطقي أكثر. تخيل أنني أخبرك أن صديقي لديه طفلان وطفل واحد - فتاة ولدت يوم الثلاثاء. افترض أنه في ظل الظروف العادية فإن احتمال إنجاب طفل في أحد الأيام السبعة من الأسبوع هو نفسه. ما هو احتمال أن تكون الطفلة الثانية فتاة أيضًا؟ قد تعتقد أن الإجابة ستظل 1/3 ؛ ما هي اهمية الثلاثاء؟ لكن في هذه الحالة ، يخذلنا الحدس. إجابه: 13/27 وهو ليس فقط غير بديهي ، إنه غريب جدًا. ماذا جرى في هذه الحالة?

في الواقع ، الثلاثاء يغير الاحتمال لأننا لا نعرف أيولد الطفل يوم الثلاثاء أو ربما طفلينولدوا يوم الثلاثاء. في هذه الحالة ، نستخدم نفس المنطق الموضح أعلاه ، ونحسب جميع المجموعات الممكنة عندما تكون طفلة واحدة على الأقل هي فتاة ولدت يوم الثلاثاء. كما في المثال السابق ، افترض أنه تم تسمية الأطفال باسم A و B ، فإن المجموعات هي كما يلي:

• A هي فتاة ولدت يوم الثلاثاء ، و B صبي (في هذه الحالة ، هناك 7 احتمالات ، واحدة لكل يوم من أيام الأسبوع عندما يمكن أن يولد الصبي).
• (ب) فتاة ولدت يوم الثلاثاء ، (أ) فتى (7 احتمالات أيضا).
• أ هي فتاة ولدت يوم الثلاثاء ، ب هي فتاة ولدت في اخريوم من الأسبوع (6 احتمالات).
• ب هي فتاة ولدت يوم الثلاثاء ، أ هي فتاة لم تولد يوم الثلاثاء (أيضا 6 احتمالات).
• A و B فتاتان ولدتا يوم الثلاثاء (احتمال واحد ، عليك الانتباه إلى هذا حتى لا تحسب مرتين).

نلخصها ونحصل على 27 مجموعة مختلفة متساوية من ولادة الأطفال وأيام مع احتمال واحد على الأقل لولادة فتاة يوم الثلاثاء. من بين هؤلاء ، هناك 13 احتمالًا عند ولادة فتاتين. يبدو أيضًا غير منطقي تمامًا ، ويبدو أن هذه المهمة تم إنشاؤها فقط لإحداث صداع. إذا كنت لا تزال في حيرة من هذا المثال ، فإن مُنظِّر اللعبة Jesper Juhl لديه شرح جيد للمسألة على موقعه على الإنترنت.

إذا كنت تعمل حاليًا على لعبة ...

إذا كانت هناك عشوائية في اللعبة التي تصممها ، فهذه فرصة رائعة لتحليلها. حدد أي عنصر تريد تحليله. اسأل نفسك أولاً ما هو احتمال هذا العنصر وفقًا لتوقعاتك ، وما يجب أن يكون ، في رأيك ، في سياق اللعبة. على سبيل المثال ، إذا كنت تصنع لعبة RPG وكنت تفكر في مدى احتمالية أن يتمكن اللاعب من هزيمة وحش في المعركة ، اسأل نفسك عن نسبة الفوز التي تشعر أنها مناسبة لك. عادة عند لعب ألعاب تقمص الأدوار ، يشعر اللاعبون بالإحباط الشديد عندما يخسرون ، لذلك من الأفضل ألا يخسروا كثيرًا ... ربما 10٪ من الوقت أو أقل؟ إذا كنت من مصممي ألعاب تقمص الأدوار ، فمن المحتمل أنك تعرف أفضل مني ، ولكن يجب أن تكون لديك فكرة أساسية عما يجب أن يكون عليه الاحتمال.

ثم اسأل نفسك إذا كان هذا شيء يعتمد(مثل البطاقات) أو مستقل(مثل النرد). ناقش كل النتائج المحتملة واحتمالاتها. تأكد من أن مجموع كل الاحتمالات هو 100٪. أخيرًا ، بالطبع ، قارن نتائجك بتوقعاتك. سواء تم رمي النرد أو تم رسم البطاقات بالطريقة التي تريدها أو ترى أنك بحاجة إلى ضبط القيم. وبالطبع إذا كنت تجدما يجب تعديله ، يمكنك استخدام نفس الحسابات لتحديد مقدار تعديل شيء ما!

واجب منزلي

سيساعدك "الواجب المنزلي" هذا الأسبوع على صقل مهارات الاحتمالات لديك. فيما يلي لعبتي نرد ولعبة بطاقة ستقوم بتحليلها باستخدام الاحتمالات ، بالإضافة إلى ميكانيكي لعبة غريب قمت بتطويره مرة واحدة وستختبر طريقة مونت كارلو عليه.

اللعبة رقم 1 - عظام التنين

هذه لعبة نرد توصلت إليها أنا وزملائي ذات مرة (بفضل Jeb Havens و Jesse King!) ، والتي تفجر عمدًا عقول الناس باحتمالاتها. هذه لعبة كازينو بسيطة تسمى "Dragon Bones" وهي عبارة عن منافسة نرد قمار بين اللاعب والمنشأة. يتم منحك يموت 1d6 منتظم. الهدف من اللعبة هو دحرجة رقم أعلى من رقم المنزل. حصل توم على 1d6 غير قياسي - مثل صورتك ، ولكن بدلاً من صورة واحدة على جانب واحد - صورة تنين (وبالتالي فإن الكازينو لديه زهر تنين-2-3-4-5-6). إذا حصلت المؤسسة على تنين ، فإنها تربح تلقائيًا ، وتخسر. إذا حصل كل منكما على نفس الرقم ، فسيكون ذلك بمثابة ربطة عنق وتدحرج النرد مرة أخرى. الشخص الذي يلقي أكبر عدد يفوز.

بالطبع ، كل شيء لا يسير لصالح اللاعب تمامًا ، لأن الكازينو يتمتع بميزة في شكل وجه التنين. ولكن هل هو حقا كذلك؟ عليك أن تحسبها. لكن قبل ذلك ، تحقق من حدسك. لنفترض أن الفوز هو 2 إلى 1. لذا إذا فزت ، ستحتفظ برهانك وتحصل على ضعف المبلغ. على سبيل المثال ، إذا راهنت بدولار واحد وفزت ، فستحتفظ بهذا الدولار وتحصل على دولارين إضافيين في المقدمة ، ليصبح المجموع 3 دولارات. إذا خسرت ، فإنك تخسر رهانك فقط. هل تلعب؟ لذا ، هل تشعر بشكل بديهي أن الاحتمال أكبر من 2 إلى 1 ، أم أنك ما زلت تعتقد أنه أقل؟ بمعنى آخر ، في المتوسط ​​أكثر من 3 ألعاب ، هل تتوقع الفوز أكثر من مرة ، أو أقل ، أو مرة واحدة؟

بمجرد أن تتعامل مع حدسك ، قم بتطبيق الرياضيات. لا يوجد سوى 36 موضعًا محتملاً لكلا النرد ، لذا يمكنك بسهولة عدهم جميعًا. إذا لم تكن متأكدًا من عرض 2 إلى 1 هذا ، ففكر في هذا: لنفترض أنك لعبت اللعبة 36 مرة (راهنت 1 دولار في كل مرة). مقابل كل فوز تحصل على 2 دولار ، مقابل كل خسارة تخسر دولارًا واحدًا ، ولا يغير السحب أي شيء. احسب كل مكاسبك وخسائرك المحتملة وقرر ما إذا كنت ستخسر بعض الدولارات أو ستكسب. ثم اسأل نفسك عن مدى صواب حدسك. وبعد ذلك - أدرك كم أنا الشرير.

ونعم ، إذا كنت قد فكرت بالفعل في هذا السؤال - لقد أربكتك عمدًا عن طريق تشويه الآليات الحقيقية لألعاب النرد ، لكنني متأكد من أنه يمكنك التغلب على هذه العقبة بمجرد التفكير الجيد. حاول حل هذه المشكلة بنفسك. سوف أنشر جميع الإجابات هنا الأسبوع المقبل.

اللعبة رقم 2 - لفة الحظ

هذه لعبة نرد تسمى Lucky Roll (أيضًا Birdcage لأنه في بعض الأحيان لا يتم دحرجة النرد ، ولكن يتم وضعها في قفص سلكي كبير ، يشبه قفص البنغو). إنها لعبة بسيطة تعمل كالتالي: راهن ، لنقل ، 1 دولار على رقم بين 1 و 6. ثم تقوم برمي 3d6. لكل نرد يصل إلى رقمك ، تحصل على دولار واحد (واحتفظ برهانك الأصلي). إذا لم يصل رقمك إلى أي حجر نرد ، فإن الكازينو يحصل على دولارك ولن تحصل على شيء. لذلك إذا راهنت على 1 وحصلت على 1 على الوجه ثلاث مرات ، فستحصل على 3 دولارات.

حدسيًا ، يبدو أن الفرص متساوية في هذه اللعبة. كل نرد فردي ، فرصة الفوز 1 من 6 ، وبالتالي فإن مجموع الثلاثة هو 3 في 6. ومع ذلك ، تذكر ، بالطبع ، أنك تضيف ثلاثة أحجار نرد منفصلة ، ولا يُسمح لك بالإضافة إلا إذا أردنا ذلك. نتحدث عن مجموعات فائزة منفصلة من نفس الزهر. شيء سوف تحتاج لمضاعفته.

بمجرد حساب جميع النتائج المحتملة (ربما يكون القيام بذلك في Excel أسهل من القيام بذلك يدويًا ، نظرًا لوجود 216 منهم) ، لا تزال اللعبة تبدو زوجية للوهلة الأولى. لكن في الواقع ، لا يزال من المرجح أن يفوز الكازينو - فكم أكثر؟ على وجه الخصوص ، ما مقدار الأموال التي تتوقع أن تخسرها في المتوسط ​​في كل جولة لعبة؟ كل ما عليك فعله هو جمع المكاسب والخسائر لجميع النتائج الـ 216 ثم القسمة على 216 ، وهو ما يجب أن يكون سهلاً للغاية ... ولكن كما ترى ، هناك بعض الفخاخ التي يمكنك الوقوع فيها ، ولهذا أخبرك : إذا كنت تعتقد أن هذه اللعبة لديها فرصة متساوية للفوز ، فهذا يعني أنك أخطأت في كل شيء.

لعبة # 3 - 5 بطاقات عشيق

إذا كنت قد استعدت بالفعل للألعاب السابقة ، فلنتحقق مما نعرفه عن الاحتمال الشرطي باستخدام لعبة الورق هذه كمثال. على وجه الخصوص ، لنتخيل لعبة البوكر بمجموعة من 52 ورقة. لنتخيل أيضًا 5 بطاقات ، حيث يحصل كل لاعب على 5 بطاقات فقط. لا يمكنك تجاهل بطاقة ، ولا يمكنك رسم واحدة جديدة ، ولا مجموعة أوراق مشتركة - تحصل على 5 بطاقات فقط.

التدفق الملكي هو 10-J-Q-K-A في مجموعة واحدة ، ليصبح المجموع أربعة ، لذلك هناك أربع طرق ممكنة للحصول على تدفق ملكي. احسب احتمال حصولك على إحدى هذه المجموعات.

لدي شيء واحد أحذرك منه: تذكر أنه يمكنك رسم هذه البطاقات الخمس بأي ترتيب. هذا يعني أنه في البداية يمكنك رسم الآس ، أو عشرة ، لا يهم. لذا عند حساب هذا ، ضع في اعتبارك أن هناك بالفعل أكثر من أربع طرق للحصول على تدفق ملكي ، بافتراض أن البطاقات قد تم توزيعها بالترتيب!

اللعبة رقم 4 - صندوق اليانصيب

لن يكون حل المهمة الرابعة بهذه السهولة باستخدام الأساليب التي تحدثنا عنها اليوم ، ولكن يمكنك بسهولة محاكاة الموقف باستخدام البرمجة أو Excel. في مثال هذه المشكلة يمكنك عمل طريقة مونت كارلو.

لقد ذكرت سابقًا لعبة "Chron X" ، التي عملت عليها ذات مرة ، وكانت هناك بطاقة واحدة مثيرة جدًا للاهتمام - يانصيب صندوق النقد الدولي. وإليك طريقة عملها: لقد استخدمتها في لعبة. بعد انتهاء الجولة ، تمت إعادة توزيع البطاقات وكان هناك احتمال بنسبة 10٪ أن تكون البطاقة خارج اللعب وأن اللاعب العشوائي سيحصل على 5 من كل نوع من الموارد التي تحتوي على رمز مميز على تلك البطاقة. تم تشغيل بطاقة بدون رمز واحد ، ولكن في كل مرة تظل فيها قيد التشغيل في بداية الجولة التالية ، تتلقى رمزًا واحدًا. لذلك كانت هناك فرصة بنسبة 10٪ أن تلعبها ، وتنتهي الجولة ، وستترك البطاقة تلعب ، ولن يحصل أحد على أي شيء. إذا لم يحدث ذلك (مع فرصة 90٪) ، فهناك فرصة 10٪ (9٪ في الواقع ، بما أن 10٪ من 90٪) ستترك اللعبة في الجولة التالية وسيحصل شخص ما على 5 موارد. إذا غادرت البطاقة اللعبة بعد جولة واحدة (10٪ من 81٪ متاحة ، لذا فإن فرصة 8.1٪) ، سيحصل شخص ما على 10 وحدات ، وجولة أخرى - 15 ، و 20 أخرى ، وهكذا. سؤال: ما هي القيمة المتوقعة لعدد الموارد التي ستحصل عليها من هذه البطاقة عندما تغادر اللعبة في النهاية؟

عادة نحاول حل هذه المسألة بإيجاد إمكانية كل نتيجة وضربها في عدد كل النتائج. لذا فهناك احتمال 10٪ أن تحصل على 0 (0.1 * 0 = 0). 9٪ أنك ستحصل على 5 موارد (9٪ * 5 = 0.45 موارد). 8.1٪ مما تحصل عليه هو 10 (8.1٪ * 10 = 0.81 إجمالي الموارد ، القيمة المتوقعة). إلخ. وبعد ذلك نلخص كل شيء.

والآن أصبحت المشكلة واضحة لك: هناك دائمًا احتمال أن تكون البطاقة ليسيترك اللعبة حتى تتمكن من البقاء فيها مدى الحياة، لعدد لا حصر له من الجولات ، بحيث يمكن حساب الاحتمالات أي احتمالغير موجود. الأساليب التي تعلمناها اليوم لا تسمح لنا بحساب العودية اللانهائية ، لذلك سيتعين علينا إنشاءها بشكل مصطنع.

إذا كنت جيدًا بما يكفي في البرمجة ، فاكتب برنامجًا يحاكي هذه البطاقة. يجب أن يكون لديك حلقة زمنية تنقل المتغير إلى الموضع الأولي للصفر ، وتظهر رقمًا عشوائيًا ، وباحتمال 10٪ يخرج المتغير من الحلقة. وإلا فإنه يضيف 5 إلى المتغير وتتكرر الحلقة. عندما يخرج أخيرًا من الحلقة ، قم بزيادة العدد الإجمالي للتشغيل التجريبي بمقدار 1 والعدد الإجمالي للموارد (حسب المقدار الذي يعتمد على مكان توقف المتغير). ثم أعد تعيين المتغير وابدأ من جديد. قم بتشغيل البرنامج عدة آلاف من المرات. أخيرًا ، قسّم إجمالي الموارد على العدد الإجمالي للتشغيل ، وهذه هي قيمة مونت كارلو المتوقعة. قم بتشغيل البرنامج عدة مرات للتأكد من أن الأرقام التي تحصل عليها هي نفسها تقريبًا ؛ إذا كان السبريد لا يزال كبيرًا ، فقم بزيادة عدد التكرارات في الحلقة الخارجية حتى تبدأ في الحصول على المطابقات. يمكنك التأكد من أن الأرقام التي ستنتهي بها ستكون صحيحة تقريبًا.

إذا لم تكن معتادًا على البرمجة (وحتى لو كنت كذلك) ، فإليك تمرينًا بسيطًا لتسخين مهاراتك في برنامج Excel. إذا كنت مصمم ألعاب ، فإن مهارات Excel ليست ضرورية أبدًا.

الآن ستكون وظائف IF و RAND مفيدة جدًا لك. لا تتطلب RAND قيمًا ، فهي تنتج فقط عددًا عشريًا عشوائيًا بين 0 و 1. نجمعها عادةً مع FLOOR والإيجابيات والسلبيات لمحاكاة لفة القالب ، والتي ذكرتها سابقًا. ومع ذلك ، في هذه الحالة ، فإننا نترك فرصة بنسبة 10٪ فقط لخروج البطاقة من اللعبة ، لذلك يمكننا فقط التحقق مما إذا كانت قيمة RAND أقل من 0.1 ولا داعي للقلق بشأن ذلك بعد الآن.

إذا كان له ثلاثة معاني. بالترتيب ، الشرط إما صحيحًا أم لا ، ثم القيمة التي يتم إرجاعها إذا كان الشرط صحيحًا ، والقيمة التي يتم إرجاعها إذا كان الشرط خاطئًا. لذا فإن الوظيفة التالية سترجع 5٪ من الوقت ، و 0 الأخرى 90٪ من الوقت:
= إذا (RAND ()<0.1,5,0)

هناك عدة طرق لتعيين هذا الأمر ، لكنني سأستخدم هذه الصيغة للخلية التي تمثل الجولة الأولى ، دعنا نقول إنها الخلية A1:

IF (RAND ()<0.1,0,-1)

أنا هنا أستخدم متغيرًا سالبًا يعني "هذه البطاقة لم تترك اللعبة ولم تقدم أي موارد حتى الآن". لذلك إذا انتهت الجولة الأولى وكانت البطاقة خارج اللعب ، فإن A1 تكون 0 ؛ وإلا فهو -1.

بالنسبة للخلية التالية التي تمثل الجولة الثانية:

إذا (A1> -1 ، A1 ، IF (RAND ()<0.1,5,-1))

لذلك إذا انتهت الجولة الأولى وغادرت البطاقة اللعبة على الفور ، فإن A1 هي 0 (عدد الموارد) وستقوم هذه الخلية ببساطة بنسخ هذه القيمة. خلاف ذلك ، A1 هي -1 (البطاقة لم تغادر اللعبة بعد) ، وتستمر هذه الخلية في الحركة العشوائية: 10٪ من الوقت ستعيد 5 وحدات من الموارد ، وبقية الوقت ستظل قيمتها -1 . إذا طبقنا هذه الصيغة على خلايا إضافية ، فسنحصل على جولات إضافية ، وأي خلية تنتهي بها ، ستحصل على النتيجة النهائية (أو -1 إذا لم تغادر البطاقة اللعبة بعد كل الجولات التي لعبتها).

خذ هذا الصف من الخلايا ، وهو الجولة الوحيدة التي تحتوي على هذه البطاقة ، وانسخ والصق بضع مئات (أو آلاف) من الصفوف. قد لا نكون قادرين على القيام به بلا نهايةاختبار لـ Excel (يوجد عدد محدود من الخلايا في الجدول) ، ولكن على الأقل يمكننا تغطية معظم الحالات. ثم حدد خلية واحدة حيث ستضع متوسط ​​نتائج جميع الجولات (يرجى من Excel توفير وظيفة AVERAGE () لهذا الغرض).

في Windows ، يمكنك على الأقل الضغط على F9 لإعادة حساب جميع الأرقام العشوائية. كما كان من قبل ، قم بذلك عدة مرات وتحقق مما إذا كانت القيم التي تحصل عليها هي نفسها. إذا كان الحيز كبيرًا جدًا ، فقم بمضاعفة عدد الدورات وحاول مرة أخرى.

مشاكل لم تحل

إذا حصلت على درجة علمية في الاحتمالية وتبدو المشكلات المذكورة أعلاه سهلة للغاية بالنسبة لك ، فإليك مشكلتين كنت أخدش رأسي بهما منذ سنوات ، ولكن ، للأسف ، لست جيدًا في الرياضيات لحلها. إذا كنت تعرف الحل فجأة ، فيرجى نشره هنا في التعليقات ، وسأقرأه بسرور.

المشكلة رقم 1 غير المحلولة: اليانصيبصندوق النقد الدولي

المشكلة الأولى التي لم يتم حلها هي الواجب المنزلي السابق. يمكنني بسهولة استخدام طريقة مونت كارلو (باستخدام C ++ أو Excel) والتأكد من الإجابة على السؤال "كم عدد الموارد التي سيتلقاها اللاعب" ، لكنني لا أعرف بالضبط كيفية تقديم إجابة دقيقة يمكن إثباتها رياضيًا (هذا هي سلسلة لا نهائية). إذا كنت تعرف الإجابة ، فقم بنشرها هنا ... بعد أن تتحقق منها مونت كارلو ، بالطبع.

المشكلة رقم 2 التي لم يتم حلها: تسلسل الشكل

هذه المهمة (ومرة أخرى تتجاوز المهام التي تم حلها في هذه المدونة) تم إلقاؤها من قبل لاعب مألوف منذ أكثر من 10 سنوات. لاحظ ميزة واحدة مثيرة للاهتمام أثناء لعب البلاك جاك في فيغاس: عندما أخرج بطاقات من حذاء من 8 طوابق ، رأى عشرةأرقام متتالية (شخصية ، أو بطاقة شخصية - 10 ، Joker ، King أو Queen ، لذلك هناك 16 منهم في مجموعة قياسية من 52 بطاقة ، لذلك هناك 128 منهم في حذاء من 416 بطاقة). ما هو احتمال أن في هذا الحذاء على الاكثرتسلسل واحد من عشرة او اكثرالأرقام؟ لنفترض أنه تم خلطهم بأمانة ، بترتيب عشوائي. (أو ، إذا كنت تفضل ذلك ، فما هو احتمال ذلك غير موجود في أي مكانتسلسل من عشرة أرقام أو أكثر؟)

يمكننا تبسيط المهمة. هنا تسلسل من 416 جزء. كل جزء هو 0 أو 1. هناك 128 آحاد و 288 صفراً مبعثرة بشكل عشوائي في جميع أنحاء التسلسل. كم عدد الطرق المتاحة لدمج 128 1s بشكل عشوائي مع 288 0s ، وكم مرة ستكون هناك مجموعة واحدة على الأقل من عشرة أو أكثر من الآحاد بهذه الطرق؟

في كل مرة توليت فيها هذه المهمة ، بدا الأمر سهلاً وواضحًا بالنسبة لي ، ولكن بمجرد أن أتعمق في التفاصيل ، انهار فجأة وبدا لي ببساطة مستحيلاً. لذلك لا تتسرع في تفريغ الإجابة: اجلس ، فكر جيدًا ، ادرس ظروف المشكلة ، حاول إدخال الأرقام الحقيقية ، لأن كل الأشخاص الذين تحدثت إليهم حول هذه المشكلة (بما في ذلك العديد من طلاب الدراسات العليا العاملين في هذا المجال) ردت بنفس الطريقة: "إنه واضح تمامًا ... أوه لا ، انتظر ، ليس واضحًا على الإطلاق." هذه هي الحالة التي لا أملك فيها طريقة لحساب جميع الخيارات. يمكنني بالتأكيد أن أجبر المشكلة من خلال خوارزمية حاسوبية ، لكن سيكون من المثير للاهتمام معرفة الطريقة الرياضية لحل هذه المشكلة.

ترجمة - Y. Tkachenko، I.Mikheeva

إن تصريح أينشتاين بأن الله لا يلعب النرد مع الكون قد أسيء تفسيره

تم اقتباس القليل من عبارات آينشتاين الشهيرة على نطاق واسع مثل ملاحظته أن الله لا يلعب النرد مع الكون. من الطبيعي أن يأخذ الناس هذا التعليق اللطيف على أنه دليل على أنه كان معارضًا دوغماتيًا لميكانيكا الكم ، التي تعتبر العشوائية سمة من سمات العالم المادي. عندما تتحلل نواة عنصر مشع ، يحدث ذلك تلقائيًا ، ولا توجد قاعدة تخبرك بالضبط متى أو لماذا يحدث هذا. عندما يسقط جسيم من الضوء على مرآة شفافة ، فإنه إما ينعكس منها أو يمر عبرها. يمكن أن تكون النتيجة أي شيء حتى لحظة وقوع هذا الحدث. ولست بحاجة للذهاب إلى المختبر لرؤية هذا النوع من العمليات: تعرض العديد من مواقع الإنترنت تدفقات من الأرقام العشوائية التي تم إنشاؤها بواسطة عدادات جيجر أو أجهزة البصريات الكمومية. نظرًا لعدم إمكانية التنبؤ بها حتى من حيث المبدأ ، فإن هذه الأرقام مثالية للتشفير والإحصاءات ودورات البوكر عبر الإنترنت.

أينشتاين ، كما تقول الأسطورة القياسية. رفض قبول حقيقة أن بعض الأحداث غير محددة بسبب طبيعتها. - لقد حدثت للتو ولا يمكن فعل أي شيء لمعرفة السبب. بقي في عزلة رائعة تقريبًا ، محاطًا بالمساواة ، تشبث بكلتا يديه بالكون الميكانيكي للفيزياء الكلاسيكية ، يقيس ميكانيكيًا الثواني ، حيث تحدد كل لحظة مسبقًا ما سيحدث في اليوم التالي. أصبح خط النرد مؤشراً على الجانب الآخر من حياته: مأساة ثوري تحول إلى رجعي أحدث ثورة في الفيزياء بنظريته النسبية ، ولكن - كما قال نيلز بور دبلوماسياً - واجه نظرية الكم ، "ترك لتناول العشاء".

ومع ذلك ، على مر السنين ، شكك العديد من المؤرخين والفلاسفة والفيزيائيين في هذا التفسير للقصة. بالغوص في بحر كل ما قاله أينشتاين في الواقع ، وجدوا أن أحكامه حول عدم القدرة على التنبؤ كانت أكثر راديكالية ولديها مجموعة من الفروق الدقيقة أكثر مما يصور عادة. يقول دون هوارد (دون أ. هوارد) ، مؤرخ من جامعة نوتردام: "إن محاولة استكشاف القصة الحقيقية تصبح شيئًا من التبشير". "إنه لأمر مدهش عندما تتعمق في الأرشيف وترى وجود تناقض مع عامة الفكرة المقبولة ". كما أوضح هو ومؤرخون آخرون للعلم ، أدرك أينشتاين الطبيعة غير الحتمية لميكانيكا الكم - وهذا ليس مفاجئًا ، لأنه هو الذي اكتشف اللاحتمية لها. ما لم يعترف به أبدًا هو أن اللاحتمية أمر أساسي بطبيعته. كل هذا يشير إلى أن المشكلة تنشأ على مستوى أعمق من الواقع ، وهو ما لم تعكسه النظرية. لم يكن نقده صوفيًا ، ولكنه ركز على مشاكل علمية محددة لا تزال دون حل حتى يومنا هذا.

إن مسألة ما إذا كان الكون عبارة عن ساعة أو جدول نرد يقوض أسس ما نعتقد أنه في الفيزياء: البحث عن قواعد بسيطة تكمن وراء التنوع المذهل للطبيعة. إذا حدث شيء بدون سبب ، فإنه يضع حدًا للتحقيق العقلاني. قال أندرو فريدمان ، عالم الكونيات في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا: "اللاحتمية الأساسية تعني نهاية العلم". ومع ذلك ، فقد اعتقد الفلاسفة عبر التاريخ أن اللاحتمية شرط ضروري للإرادة البشرية الحرة. فإما أننا جميعًا نساعدين في العمل على مدار الساعة ، وبالتالي فإن كل ما نقوم به محدد سلفًا ، أو أننا الوكيل لمصيرنا ، وفي هذه الحالة لا يزال الكون غير حتمي.

كان لهذا الانقسام عواقب حقيقية للغاية في الطريقة التي يُخضع بها المجتمع الناس للمساءلة عن أفعالهم. يقوم نظامنا القانوني على افتراض الإرادة الحرة ؛ لإدانة المدعى عليه ، يجب أن يكون قد تصرف بنية. تحير المحاكم باستمرار حول السؤال: ماذا لو كان الشخص بريئًا بسبب الجنون أو اندفاع الشباب أو البيئة الاجتماعية الفاسدة؟

ومع ذلك ، عندما يتحدث الناس عن ثنائية ، فإنهم يميلون إلى محاولة كشفها على أنها فكرة خاطئة. في الواقع ، يعتقد العديد من الفلاسفة أنه لا معنى للحديث عما إذا كان الكون حتميًا أم غير حتمي. يمكن أن يكون كلاهما ، اعتمادًا على حجم موضوع الدراسة أو تعقيده: الجسيمات ، والذرات ، والجزيئات ، والخلايا ، والكائنات الحية ، والنفسية ، والمجتمعات. يقول كريستيان ليست ، الفيلسوف في كلية لندن للاقتصاد والعلوم السياسية ، "الفرق بين الحتمية واللاحتمية هو اختلاف اعتمادًا على مستوى دراسة المشكلة ، حتى إذا لاحظت الحتمية على مستوى معين ، فهذا تتفق تمامًا مع اللاحتمية على المستويين الأعلى والأدنى. " يمكن للذرات في أدمغتنا أن تتصرف بطريقة حتمية تمامًا ، بينما تترك لنا الحرية في التصرف كذرات وأعضاء تعمل على مستويات مختلفة.

وبالمثل ، كان أينشتاين يبحث عن مستوى الكم الجزئي القطعي ، بينما في نفس الوقت لم ينكر أن المستوى الكمي هو احتمالي.

ما الذي اعترض عليه أينشتاين؟

كيف حصل أينشتاين على تسمية النظرية المضادة للكم هو لغز يكاد يكون بحجم ميكانيكا الكم نفسها. كان مفهوم الكم - وحدة منفصلة للطاقة - ثمرة انعكاساته في عام 1905 ، ولمدة عقد ونصف ، دافع عنها بمفرده تقريبًا. اقترح أينشتاين ذلك. ما يعتبره الفيزيائيون اليوم هو السمات الرئيسية لفيزياء الكم ، مثل القدرة الغريبة للضوء على العمل كجسيم وكموجة ، ومن انعكاساته في فيزياء الموجات ، طور إروين شرودنغر الصيغة الأكثر قبولًا على نطاق واسع للكم. النظرية في عشرينيات القرن الماضي. لم يكن أينشتاين معارضًا للصدفة أيضًا. في عام 1916 ، أظهر أنه عندما تصدر الذرات فوتونات ، يكون وقت واتجاه الانبعاث متغيرين عشوائيين.

يقول جان فون أفلاطون من جامعة هلسنكي: "هذا يتعارض مع الصورة الشعبية لأينشتاين على عكس النهج الاحتمالي". لكن آينشتاين ومعاصريه واجهوا مشكلة خطيرة. الظواهر الكمومية عشوائية ، لكن نظرية الكم نفسها ليست كذلك. معادلة شرودنجر حتمية 100٪. يصف جسيمًا أو نظامًا من الجسيمات باستخدام ما يسمى بوظيفة الموجة ، والتي تستخدم الطبيعة الموجية للجسيمات وتشرح النمط الشبيه بالموجة الذي تتشكله مجموعة من الجسيمات. تتنبأ المعادلة بما سيحدث للدالة الموجية في أي وقت ، بكل تأكيد. من نواحٍ عديدة ، تعتبر هذه المعادلة حتمية أكثر من قوانين نيوتن للحركة: فهي لا تؤدي إلى التباسات مثل التفرد (حيث تصبح الكميات غير محدودة وبالتالي لا يمكن وصفها) أو الفوضى (حيث تصبح الحركة غير متوقعة).

المهم هو أن حتمية معادلة شرودنجر هي حتمية وظيفة الموجة ، ولا يمكن ملاحظة وظيفة الموجة مباشرة ، على عكس موقع الجسيمات وسرعاتها. بدلاً من ذلك ، تحدد الدالة الموجية المقادير التي يمكن ملاحظتها واحتمال كل من النتائج المحتملة. تترك النظرية الأسئلة مفتوحة حول ماهية الدالة الموجية نفسها وما إذا كان ينبغي اعتبارها حرفياً موجة حقيقية في عالمنا المادي. وفقًا لذلك ، يظل السؤال التالي مفتوحًا: هل العشوائية المرصودة خاصية متأصلة متأصلة في الطبيعة أم أنها مجرد واجهة لها؟ يقول الفيلسوف كريستيان ووتريتش من جامعة جنيف في سويسرا: "يُزعم أن ميكانيكا الكم غير حتمية ، لكن هذا استنتاج متسرع للغاية".

فيرنر هايزنبرج ، أحد الرواد الآخرين الذين وضعوا الأساس لنظرية الكم ، تصور وظيفة الموجة على أنها ضباب للوجود المحتمل. إذا لم يكن من الممكن تحديد مكان الجسيم بشكل واضح لا لبس فيه ، فذلك لأن الجسيم لا يقع في أي مكان في مكان معين. فقط عندما ترصد جسيمًا يتجسد في مكان ما في الفضاء. يمكن تلطيخ الدالة الموجية على مساحة شاسعة من الفضاء ، ولكن في اللحظة التي تتم فيها الملاحظة ، تنهار على الفور وتتقلص إلى نقطة ضيقة تقع في مكان محدد واحد ، وفجأة يظهر جسيم هناك. ولكن حتى عندما تنظر إلى الجسيم ، فإن الانفجار! - يتوقف فجأة عن التصرف بحسم ويقفز إلى الحالة النهائية ، مثل طفل يمسك كرسيًا في لعبة "الكراسي الموسيقية". (تتكون اللعبة من حقيقة أن الأطفال يتجولون حول الكراسي في رقصة مستديرة على الموسيقى ، وعددها أقل بواحد من عدد اللاعبين ، ومحاولة الجلوس على مقعد فارغ بمجرد توقف الموسيقى) .

لا يوجد قانون يحكم هذا الانهيار. لا توجد معادلة لذلك. إنه يحدث فقط - هذا كل شيء! أصبح الانهيار عنصرًا أساسيًا في تفسير كوبنهاجن: منظر لميكانيكا الكم سمي على اسم المدينة التي قام بها بور ومعهده ، جنبًا إلى جنب مع هايزنبرغ ، بمعظم الأعمال الأساسية. (ومن المفارقات أن بوهر نفسه لم يتعرف أبدًا على انهيار الدالة الموجية). تعتبر مدرسة كوبنهاغن العشوائية الملحوظة لفيزياء الكم هي السمة الاسمية لها ، وليست قابلة لمزيد من الشرح. يتفق معظم الفيزيائيين مع هذا ، وأحد أسباب ذلك هو ما يسمى بتأثير الارتساء المعروف من علم النفس ، أو تأثير التثبيت: هذا تفسير مرضٍ تمامًا ، وقد ظهر أولاً. على الرغم من أن أينشتاين لم يكن معارضًا لميكانيكا الكم ، إلا أنه كان بالتأكيد معارضًا لتفسيرها في كوبنهاجن. بدأ من فكرة أن فعل القياس يسبب انقطاعًا في التطور المستمر للنظام المادي ، وفي هذا السياق بدأ في التعبير عن معارضته لقذف النرد الإلهي. يجادل هوارد "في هذه النقطة بالتحديد يندب أينشتاين في عام 1926 ، وليس على الادعاء الميتافيزيقي الشامل للحتمية كشرط ضروري للغاية".

تعددية الواقع.ومع ذلك ، هل العالم حتمي أم لا؟ لا تعتمد الإجابة على هذا السؤال على قوانين الحركة الأساسية فحسب ، بل تعتمد أيضًا على المستوى الذي نصف فيه النظام. ضع في اعتبارك أن خمس ذرات في غاز تتحرك بشكل قاطع (الرسم البياني العلوي). يبدأون من نفس الموقع تقريبًا ويتباعدون تدريجياً. ومع ذلك ، على المستوى العياني (الرسم البياني السفلي) ، لا يمكن رؤية الذرات الفردية ، ولكن التدفق غير المتبلور في الغاز. بعد مرور بعض الوقت ، من المحتمل أن يتم توزيع الغاز بشكل عشوائي في عدة تيارات. هذه العشوائية على المستوى الكلي هي نتاج ثانوي لجهل المراقب لقوانين المستوى الجزئي ، إنها خاصية موضوعية للطبيعة تعكس الطريقة التي تتجمع بها الذرات. وبالمثل ، افترض أينشتاين أن البنية الداخلية الحتمية للكون تؤدي إلى الطبيعة الاحتمالية للعالم الكمي.

جادل أينشتاين بأنه من غير المرجح أن يكون الانهيار عملية حقيقية. سيتطلب هذا إجراءً فوريًا على مسافة ، وهي آلية غامضة حيث ، على سبيل المثال ، ينهار كلا الجانبين الأيسر والأيمن للدالة الموجية إلى نفس النقطة الصغيرة ، حتى عندما لا تكون هناك قوة تنسق سلوكهما. ليس فقط أينشتاين ، ولكن كل الفيزيائيين في عصره اعتقدوا أن مثل هذه العملية كانت مستحيلة ، يجب أن تحدث أسرع من سرعة الضوء ، وهو ما يتناقض بشكل واضح مع نظرية النسبية. في الواقع ، ميكانيكا الكم لا تمنحك نردًا فحسب ، بل تمنحك أزواجًا من النرد دائمًا تأتي بنفس الوجه ، حتى لو رميت أحدهما في فيجاس والآخر في فيجا. بالنسبة لأينشتاين ، بدا واضحًا أنه يجب تحميل النرد ، مما يسمح لك بالتأثير على نتيجة القوائم بطريقة خفية مسبقًا. لكن مدرسة كوبنهاجن تنفي أي احتمال من هذا القبيل ، مشيرة إلى أن مفاصل الأصابع تؤثر بالفعل على بعضها البعض على الفور عبر مساحة شاسعة من الفضاء. بالإضافة إلى ذلك ، كان أينشتاين قلقًا بشأن القوة التي ينسبها أهل كوبنهاغن إلى فعل القياس. ما هو القياس على أي حال؟ ربما هو شيء لا يمكن أن يفعله سوى الكائنات الحية ، أو حتى الأساتذة الدائمون؟ لم يحدد هايزنبرغ وممثلون آخرون لمدرسة كوبنهاغن هذا المفهوم مطلقًا. اقترح البعض أننا نخلق الواقع المحيط في أذهاننا أثناء مراقبته ، وهي فكرة تبدو شاعرية ، وربما شعرية للغاية. اعتقد أينشتاين أيضًا أنه كان ذروة غطرسة كوبنهاغن أن يقول إن ميكانيكا الكم مكتملة ، وأن النظرية النهائية لن تحل محلها نظرية أخرى. لقد اعتبر كل النظريات ، بما في ذلك نظرياته ، جسوراً لشيء أعظم.

فعلا. يجادل هوارد بأن أينشتاين سيكون سعيدًا بقبول اللاحتمية إذا كان بإمكانه الحصول على إجابات لجميع مشاكله التي تحتاج إلى حل - على سبيل المثال ، إذا كان بإمكان شخص ما ، على سبيل المثال ، تحديد ماهية القياس وكيف يمكن للجسيمات أن تظل متزامنة دون إجراء طويل المدى. إشارة إلى أن أينشتاين اعتبر اللاحتمية مشكلة ثانوية هو أنه قدم نفس المطالب على البدائل الحتمية لمدرسة كوبنهاغن ورفضها أيضًا. مؤرخ آخر هو آرثر فاين من جامعة واشنطن. يعتقد. يبالغ هوارد في قابلية أينشتاين للتأثر باللاحتمية ، لكنه يوافق على أن أحكامه تستند إلى أساس أقوى مما اعتاد عدة أجيال من الفيزيائيين على تصديقه ، بناءً على قصاصات من تصريحاته حول لعبة النرد.

أفكار عشوائية

يعتقد أينشتاين أنه إذا كنت تأخذ شد الحبل إلى جانب مدرسة كوبنهاغن ، فستجد أن اضطراب الكم مثل جميع أنواع الاضطرابات الأخرى في الفيزياء: إنه نتاج رؤية أعمق. يعتقد أينشتاين أن رقصة جزيئات الغبار الصغيرة في شعاع من الضوء تخون الحركة المعقدة للجزيئات ، كما أن انبعاث الفوتونات أو التحلل الإشعاعي للنواة هو عملية مماثلة. في رأيه ، ميكانيكا الكم هي نظرية تقييمية تعبر عن السلوك العام لبنات بناء الطبيعة ، ولكن ليس لديها دقة كافية لالتقاط التفاصيل الفردية.

سوف تشرح النظرية الأعمق والأكثر اكتمالاً الحركة بشكل كامل - دون أي قفزات غامضة. من وجهة النظر هذه ، فإن الدالة الموجية هي وصف جماعي ، كتعبير عن أن النرد العادي ، إذا تم رميها عدة مرات ، سوف يسقط تقريبًا نفس عدد المرات على كل جانب من جوانبها. إن انهيار الدالة الموجية ليس عملية فيزيائية ، بل اكتساب المعرفة. إذا رميت نردًا سداسي الجوانب ووجدت ، على سبيل المثال ، أربعة ، فإن نطاق الخيارات من واحد إلى ستة يتقلص ، أو قد تقول ، ينهار إلى القيمة الفعلية "أربعة". لن يتحدث الشيطان الشبيه بالإله الذي يمكنه تتبع تفاصيل التركيب الذري الذي يؤثر على نتيجة الموت (أي قياس بالضبط كيف تدفع يدك وتدور الموت قبل أن تصل إلى الطاولة) أبدًا عن الانهيار.

تم تعزيز حدس أينشتاين من خلال عمله المبكر حول التأثير الجماعي للحركة الجزيئية ، والذي تمت دراسته في مجال الفيزياء يسمى الميكانيكا الإحصائية ، حيث أظهر أن الفيزياء يمكن أن تكون احتمالية حتى عندما تستند الظواهر على الواقع الحتمي. في عام 1935 ، كتب أينشتاين إلى الفيلسوف كارل بوبر: "لا أعتقد أنك محق في تأكيدك على أنه من المستحيل استخلاص استنتاجات إحصائية بناءً على نظرية حتمية. خذ ، على سبيل المثال ، الميكانيكا الإحصائية الكلاسيكية (نظرية الغازات أو نظرية الحركة البراونية). كانت الاحتمالات في فهم أينشتاين حقيقية كما في تفسير مدرسة كوبنهاغن. تتجلى في القوانين الأساسية للحركة ، فهي تعكس خصائص أخرى للعالم المحيط ، فهي ليست مجرد مصنوعات من الجهل البشري. اقترح أينشتاين على بوبر ، كمثال ، التفكير في جسيم يتحرك في دائرة بسرعة ثابتة ؛ يعكس احتمال العثور على جسيم في جزء معين من قوس دائري تماثل مساره. وبالمثل ، فإن احتمال هبوط قالب على وجه معين هو السدس لأنه يحتوي على ستة أوجه متساوية. يقول هوارد: "لقد فهم بشكل أفضل من غيره في ذلك الوقت أن الجوهر المادي المهم يكمن في تفاصيل الاحتمال الميكانيكي الإحصائي".

درس آخر للميكانيكا الإحصائية هو أن الكميات التي نلاحظها لا توجد بالضرورة على مستوى أعمق. على سبيل المثال ، للغاز درجة حرارة ، لكن ليس من المنطقي التحدث عن درجة حرارة جزيء غاز واحد. عن طريق القياس ، توصل أينشتاين إلى الاعتقاد بأن نظرية الكم الفرعي كانت مطلوبة للدلالة على انفصال جذري عن ميكانيكا الكم. في عام 1936 كتب: "ليس هناك شك في أن ميكانيكا الكم قد استولت على عنصر الحقيقة الجميل<...>ومع ذلك ، لا أعتقد أن ميكانيكا الكم ستكون نقطة البداية في البحث عن هذا الأساس ، ولا ، على العكس من ذلك ، لا يمكن للمرء الانتقال من الديناميكا الحرارية (على التوالي ، الميكانيكا الإحصائية) إلى أسس الميكانيكا. "لملء هذا المستوى الأعمق ، أينشتاين قاد البحث في اتجاه نظرية موحدة وهو مجال تكون فيه الجسيمات مشتقات هياكل ليست مثل الجسيمات على الإطلاق ، وباختصار ، فإن الحكمة التقليدية القائلة بأن أينشتاين رفض قبول الطبيعة الاحتمالية لفيزياء الكم هي حكمة خاطئة. شرح العشوائية ، حتى لا تظهر أنها غير موجودة على الإطلاق.

اجعل مستواك الأفضل

على الرغم من فشل مشروع النظرية الموحدة لأينشتاين ، فإن المبادئ الأساسية لنهجه الحدسي للعشوائية ما زالت صحيحة: يمكن أن تنشأ اللاحتمية من الحتمية. تتكون المستويات الكمومية والكمية الفرعية - أو أي زوج آخر من المستويات في التسلسل الهرمي للطبيعة - من أنواع مختلفة من الهياكل ، لذا فهي تخضع لأنواع مختلفة من القوانين. قد يسمح القانون الذي يحكم المستوى الواحد بشكل طبيعي بعنصر الصدفة ، حتى لو كانت قوانين المستوى الأدنى منظمة بالكامل. يقول الفيلسوف جيريمي باترفيلد من جامعة كامبريدج: "لا تؤدي الفيزياء الدقيقة الحتمية إلى ظهور فيزياء كبيرة حتمية".

تخيل نرد على المستوى الذري. يمكن أن يتكون المكعب من عدد لا يمكن تصوره من التكوينات الذرية التي لا يمكن تمييزها تمامًا عن بعضها البعض بالعين المجردة. إذا اتبعت أيًا من هذه التكوينات أثناء دوران القالب ، فسيؤدي ذلك إلى نتيجة محددة - حتمية تمامًا. في بعض التكوينات ، سيتوقف القالب بنقطة واحدة على الوجه العلوي ، وفي حالات أخرى سيتوقف بنقطتين. إلخ. لذلك ، يمكن أن تؤدي حالة مجهرية واحدة (إذا قمت بتدوير المكعب) إلى العديد من النتائج العيانية المحتملة (سيكون أحد الوجوه الستة في الأعلى). يقول ليزت ، الذي يدرس اقتران المستوى مع ماركوس بيفاتو ، عالم الرياضيات في جامعة سيرجي بونتواز في فرنسا: "إذا وصفنا قالبًا على المستوى الكلي ، فيمكننا التفكير فيه كنظام عشوائي يسمح بالعشوائية الموضوعية".

على الرغم من أن المستوى الأعلى يعتمد على المستوى الأدنى ، إلا أنه مستقل. لوصف النرد ، يجب على المرء أن يعمل على المستوى الذي يوجد فيه النرد على هذا النحو ، وعندما تفعل ذلك ، لا يمكنك إلا إهمال الذرات ودينامياتها. إذا قمت بخلط مستوى بمستوى آخر ، فأنت تقوم بخدعة استبدال فئة: إنها مثل السؤال عن الانتماء السياسي لشطيرة سمك السلمون (لاستخدام مثال فيلسوف جامعة كولومبيا ديفيد ألبرت). يقول ليست: "عندما تكون لدينا ظاهرة يمكن وصفها على مستويات مختلفة ، يجب أن نكون حريصين جدًا من الناحية المفاهيمية على عدم خلط المستويات". لهذا السبب ، لا تبدو نتيجة لفة القوالب عشوائية فحسب. إنه حقًا عشوائي. قد يتفاخر شيطان شبيه بالإله بأنه يعرف بالضبط ما سيحدث ، لكنه يعرف فقط ما سيحدث للذرات. إنه لا يشك حتى في ماهية النرد ، لأن هذه معلومات ذات مستوى أعلى. الشيطان لا يرى الغابة أبدًا ، فقط الأشجار. إنه مثل بطل قصة الكاتب الأرجنتيني خورخي لويس بورخيس "فونيس ذاكري" - رجل يتذكر كل شيء ، لكنه لا يفهم أي شيء. كتب بورخيس: "التفكير يعني نسيان الاختلاف ، والتعميم ، والتجريد". لكي يعرف الشيطان الجانب الذي سيسقط عليه النرد ، من الضروري شرح ما الذي تبحث عنه. تقول ليست: "الطريقة الوحيدة التي يستطيع بها الشيطان الوصول إلى ما يحدث في المستوى الأعلى هي إذا تم إعطاؤه وصفًا تفصيليًا لكيفية تحديدنا للحدود بين المستويات". في الواقع ، بعد هذا ، من المحتمل أن يشعر الشيطان بالغيرة لأننا بشر.

يعمل منطق المستويات أيضًا في الاتجاه المعاكس تمامًا. يمكن أن تؤدي الفيزياء المجهرية غير الحتمية إلى فيزياء كبيرة حتمية. يمكن صنع لعبة البيسبول من جزيئات تُظهر سلوكًا فوضويًا ، لكن طيرانها يمكن التنبؤ به تمامًا ؛ عشوائية الكم بمتوسط. يختفي. وبالمثل ، تتكون الغازات من جزيئات تتحرك في حركات شديدة التعقيد - وغير حتمية بالفعل - ، لكن درجة حرارتها وخصائصها الأخرى تتبع قوانين بسيطة مثل اثنين واثنين. بشكل أكثر تخمينًا ، يشير بعض الفيزيائيين ، مثل روبرت لافلين من جامعة ستانفورد ، إلى أن المستوى الأدنى لا يهم على الإطلاق. يمكن أن تكون اللبنات الأساسية أي شيء وسيظل سلوكهم الجماعي كما هو. بعد كل شيء ، تتبع الأنظمة المتنوعة مثل جزيئات الماء والنجوم في المجرة والسيارات على الطريق السريع نفس قوانين تدفق السوائل.

أخيرا حر

عندما تفكر من منظور المستويات ، فإن القلق من أن اللاحتمية قد تشير إلى نهاية العلم. لا يوجد جدار عالٍ حولنا ، يحمي الجزء الملتزم بالقانون من الكون من بقية الكون المعرضة للفوضى وغير المفهومة. في الواقع ، العالم عبارة عن كعكة طبقة من الحتمية واللاحتمية. مناخ الأرض ، على سبيل المثال ، تحكمه قوانين نيوتن الحتمية للحركة ، لكن توقعات الطقس احتمالية ، في حين أن الاتجاهات المناخية الموسمية وطويلة الأجل يمكن التنبؤ بها مرة أخرى. يتبع علم الأحياء أيضًا الفيزياء الحتمية ، لكن الكائنات الحية والنظم البيئية تتطلب طرقًا أخرى للوصف ، مثل التطور الدارويني. يشير دانييل دينيت ، الفيلسوف بجامعة تافتس ، إلى أن "الحتمية لا تفسر كل شيء على الإطلاق. لماذا ظهرت الزرافات؟ لأن من قرر: فليكن؟"

يتخلل الناس داخل هذه الطبقة الكعكة. لدينا شعور قوي بالإرادة الحرة. غالبًا ما نتخذ قرارات غير متوقعة وحيوية في الغالب ، ونفهم أنه كان بإمكاننا أن نفعل بشكل مختلف (وغالبًا ما نأسف لأننا لم نفعل ذلك). لآلاف السنين ، جادل من يُطلق عليهم الليبرتاريون ، مؤيدو العقيدة الفلسفية للإرادة الحرة (يجب عدم الخلط بينها وبين الحركة السياسية!) ، بأن حرية الفرد تتطلب حرية الجسيم. يجب أن يدمر شيء ما المسار الحتمي للأحداث ، مثل العشوائية الكمية أو "الانحرافات" ، والتي ، كما يعتقد بعض الفلاسفة القدماء ، يمكن للذرات أن تختبرها أثناء حركتها (تم إدخال مفهوم الانحراف العشوائي غير المتوقع للذرة عن مسارها الأصلي في الفلسفة القديمة لوكريتيوس للدفاع عن العقيدة الذرية لأبيقور).

المشكلة الرئيسية في هذا النوع من التفكير هي أنه يحرر الجسيمات ولكنه يتركنا كعبيد. لا يهم ما إذا كان قرارك قد تم تحديده مسبقًا في وقت الانفجار العظيم أو بواسطة جسيم صغير ، فهذا ليس قرارك. لكي نكون أحرارًا ، نحتاج إلى اللاحتمية ، ليس على مستوى الجسيمات ، ولكن على المستوى البشري. وهذا ممكن لأن المستوى البشري ومستوى الجسيمات مستقلان عن بعضهما البعض. حتى لو كان كل ما تفعله يمكن إرجاعه إلى الخطوات الأولى ، فأنت سيد أفعالك ، لأنه لا أنت ولا أفعالك موجودان على مستوى المادة ، ولكن فقط على المستوى الكلي للوعي. قال باترفيلد: "هذه الحتمية الكلية القائمة على التحديد الدقيق هي على الأرجح ما يضمن الإرادة الحرة". الحتمية الكلية ليست سبب قراراتك. هذا هو قرارك.

من المحتمل أن يعترض البعض ويخبرك أنك ما زلت دمية ، وأن قوانين الطبيعة تعمل بمثابة محرك للدمى ، وأن حريتك ليست أكثر من وهم. لكن كلمة "وهم" ذاتها تذكرنا بالسراب في الصحراء وتنقسم النساء إلى نصفين: كل هذا غير موجود في الواقع. الحتمية الكلية ليست هي نفسها. إنه حقيقي تمامًا ، وليس أساسيًا. يمكن مقارنتها بالحياة. الذرات الفردية هي مادة جامدة تمامًا ، لكن كتلتها الضخمة يمكنها العيش والتنفس. "كل ما يتعلق بالوكلاء ، وحالات نواياهم ، وقراراتهم وخياراتهم - لا علاقة لأي من هذه الكيانات بمجموعة الأدوات المفاهيمية للفيزياء الأساسية ، ولكن هذا لا يعني أن هذه الظواهر ليست حقيقية ،" يلاحظ ليست . يعني ببساطة أنها كلها ظواهر ذات مستوى أعلى بكثير ".

سيكون من الخطأ التصنيف ، إن لم يكن الجهل التام ، أن تصف القرارات البشرية من حيث آليات حركة الذرات في رأسك. بدلاً من ذلك ، من الضروري استخدام جميع مفاهيم علم النفس: الرغبة ، والإمكانية ، والنوايا. لماذا شربت الماء وليس الخمر؟ لأنني أردت. رغباتي توضح أفعالي. في معظم الحالات ، عندما نطرح السؤال "لماذا؟" ، فإننا نبحث عن دافع الفرد وليس خلفيته الجسدية. تسمح التفسيرات النفسية بهذا النوع من اللاحتمية التي يتحدث عنها ليست. على سبيل المثال ، يصمم منظرو اللعبة عملية صنع القرار البشري من خلال وضع مجموعة من الخيارات وشرح الخيار الذي ستختاره إذا كنت تتصرف بعقلانية. تتحكم حريتك في اختيار خيار معين في اختيارك ، حتى إذا لم تختر هذا الخيار مطلقًا.

من المؤكد أن حجج ليست تفسر الإرادة الحرة بشكل كامل. يفتح التسلسل الهرمي للمستويات مساحة للإرادة الحرة ، ويفصل علم النفس عن الفيزياء ويمنحنا القدرة على القيام بأشياء غير متوقعة. لكن يجب علينا اغتنام هذه الفرصة. على سبيل المثال ، إذا اتخذنا جميع القرارات من خلال رمي عملة معدنية ، فسيظل هذا يعتبر حتمية كلية ، لكنه بالكاد يمكن اعتباره إرادة حرة بأي معنى ذي معنى. من ناحية أخرى ، قد يكون صنع القرار من قبل بعض الناس مرهقًا لدرجة أنه لا يمكن القول إنهم يتصرفون بحرية.

يعطي نهج مماثل لمشكلة الحتمية معنى لتفسير نظرية الكم ، والتي تم اقتراحها بعد سنوات قليلة من وفاة أينشتاين في عام 1955. وقد أطلق عليها تفسير العوالم المتعددة ، أو تفسير إيفريت. يجادل مؤيدوها بأن ميكانيكا الكم تصف مجموعة من الأكوان المتوازية - كون متعدد يتصرف بشكل عام بشكل حتمي ، لكنه يبدو غير حتمي بالنسبة لنا لأننا لا نستطيع إلا أن نرى كونًا واحدًا. على سبيل المثال ، يمكن للذرة أن تصدر فوتونًا إلى اليمين أو اليسار ؛ تترك نظرية الكم نتيجة هذا الحدث مفتوحة. وفقًا لتفسير العوالم المتعددة ، تُلاحظ مثل هذه الصورة لأن نفس الموقف يحدث بالضبط في أكوان متوازية لا حصر لها: في بعضها ، يطير الفوتون بشكل حاسم إلى اليسار ، وفي الباقي إلى اليمين. بدون أن نكون قادرين على تحديد أي من الأكوان التي نحن فيها بالضبط ، لا يمكننا التنبؤ بما سيحدث ، لذلك يبدو هذا الموقف غير قابل للتفسير من الداخل. يوضح عالم الكونيات ماكس تيجمارك من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، وهو من المؤيدين المعروفين لهذا الرأي: "لا توجد عشوائية حقيقية في الفضاء ، ولكن الأحداث يمكن أن تظهر عشوائية لعين الراصد". تعكس العشوائية عدم قدرتك على تحديد المكان أنتم."

إنه مثل قول أنه يمكن بناء النرد أو الدماغ من أي تكوينات لا تعد ولا تحصى من الذرات. قد يكون هذا التكوين بحد ذاته حتميًا ، ولكن نظرًا لأننا لا نستطيع معرفة أيهما يتوافق مع حجر النرد أو دماغنا ، فنحن مضطرون إلى افتراض أن النتيجة غير حتمية. وبالتالي ، فإن الأكوان المتوازية ليست فكرة غريبة تحوم في خيال مريض. أجسامنا وعقولنا أكوان متعددة صغيرة ، وتنوع الاحتمالات هو الذي يوفر لنا الحرية.

استخدم الإنسان النرد لآلاف السنين.

في القرن الحادي والعشرين ، تسمح لك التقنيات الجديدة بالتخلص من الموت في أي وقت مناسب ، وإذا كان لديك اتصال بالإنترنت ، في مكان مناسب. النرد دائمًا معك في المنزل أو على الطريق.

يتيح لك مولد النرد التدحرج عبر الإنترنت من 1 إلى 4 نرد.

دحرج يموت على الإنترنت بصدق

عند استخدام النرد الحقيقي ، يمكن استخدام خفة اليد أو النرد المصنوع خصيصًا مع ميزة أحد الجوانب. على سبيل المثال ، يمكنك تدوير المكعب على أحد المحاور ، ثم يتغير توزيع الاحتمالات. تتمثل إحدى ميزات المكعبات الافتراضية لدينا في استخدام برنامج مولد الأرقام العشوائية الزائفة. يتيح لك هذا تقديم متغير عشوائي حقيقي لهذه النتيجة أو تلك.

وإذا قمت بوضع إشارة مرجعية على هذه الصفحة ، فلن تضيع النرد عبر الإنترنت في أي مكان وستكون دائمًا في متناول اليد في الوقت المناسب!

تكيف بعض الأشخاص لاستخدام النرد عبر الإنترنت للتنبؤ أو لعمل توقعات وتوقعات الأبراج.

مزاج مبهج ويوم سعيد ونتمنى لك التوفيق!

الشكل الأكثر شيوعًا هو شكل مكعب ، يتم تصوير الأرقام من واحد إلى ستة على كل جانب منه. اللاعب ، الذي يرميها على سطح مستوٍ ، يرى النتيجة على الوجه العلوي. العظام هي لسان حال حقيقي للحظ أو الحظ السعيد.

حادثة.
توجد المكعبات (العظام) لفترة طويلة ، لكن الشكل السداسي الذي أصبح تقليديًا تم اكتسابه حوالي عام 2600 قبل الميلاد. ه. أحب الإغريق القدماء لعب النرد ، وفي أساطيرهم ، يُذكر البطل بالامديس ، الذي اتهمه أوديسيوس ظلماً بالخيانة ، باعتباره مخترعهم. وفقًا للأسطورة ، اخترع هذه اللعبة للترفيه عن الجنود الذين كانوا يحاصرون طروادة ، وتم أسرهم بفضل حصان خشبي ضخم. كما استمتع الرومان في زمن يوليوس قيصر بمجموعة متنوعة من ألعاب النرد. في اللاتينية ، كان يسمى المكعب datum ، وهو ما يعني "معطى".

المحظورات.
في العصور الوسطى ، حوالي القرن الثاني عشر ، أصبح النرد شائعًا للغاية في أوروبا: الزهر ، الذي يمكنك اصطحابه معك في كل مكان ، يحظى بشعبية لدى كل من المحاربين والفلاحين. يقال أنه كان هناك أكثر من ستمائة لعبة مختلفة! يصبح إنتاج النرد مهنة منفصلة. الملك لويس التاسع (1214-1270) ، الذي عاد من الحملة الصليبية ، لم يوافق على القمار وأمر بحظر إنتاج النرد في جميع أنحاء المملكة. أكثر من اللعبة نفسها ، كانت السلطات غير راضية عن الاضطرابات المرتبطة بها - ثم لعبوا بشكل أساسي في الحانات وغالبًا ما تنتهي الحفلات بمعارك وطعن. لكن لم تمنع أي محظورات النرد من البقاء على قيد الحياة والبقاء على قيد الحياة حتى يومنا هذا.

عظام مع "شحنة"!
يتم دائمًا تحديد نتيجة لفة القوالب بالصدفة ، لكن بعض الغشاشين يحاولون تغيير ذلك. من خلال حفر ثقب في القالب وصب الرصاص أو الزئبق فيه ، من الممكن التأكد من أن اللفة تعطي نفس النتيجة في كل مرة. هذا المكعب يسمى "مشحونة". مصنوعة من مواد مختلفة ، سواء كانت من الذهب أو الحجر أو الكريستال أو العظام ، يمكن أن يكون للنرد أشكال مختلفة. تم العثور على نرد صغير على شكل هرم (رباعي الوجوه) في مقابر الفراعنة المصريين الذين بنوا الأهرامات الكبيرة! في أوقات مختلفة ، كانت العظام تتكون من 8 و 10 و 12 و 20 وحتى 100 جانب. عادةً ما يتم تطبيق الأرقام عليها ، ولكن يمكن أيضًا أن تظهر الأحرف أو الصور في مكانها ، مما يوفر مساحة للخيال.

كيفية رمي النرد.
لا يأتي النرد بأشكال مختلفة فحسب ، بل يأتي أيضًا بطرق مختلفة للعب. تتطلب قواعد بعض الألعاب دحرجة الدحرجة بطريقة معينة ، عادةً لتجنب لفة محسوبة أو لمنع سقوط القالب في وضع مائل. في بعض الأحيان يتم إرفاق زجاج خاص بها لتجنب الغش أو السقوط من طاولة الألعاب. في لعبة الكريب الإنجليزية ، يجب أن تضرب الزهر الثلاثة جميعًا طاولة اللعبة أو الحائط ، حتى لا يسمح للغشاشين بتزييف لفة بمجرد تحريك النرد ، ولكن لا تقلبها.

العشوائية والاحتمالية.
يعطي النرد دائمًا نتيجة عشوائية لا يمكن التنبؤ بها. بنردة واحدة ، يكون لدى اللاعب فرص في رمي 1 مثلها مثل 6 - كل شيء يتم تحديده بالصدفة. من ناحية أخرى ، مع اثنين من النرد ، ينخفض ​​مستوى العشوائية ، لأن اللاعب لديه المزيد من المعلومات حول النتيجة: على سبيل المثال ، مع اثنين من النرد ، يمكن الحصول على الرقم 7 بعدة طرق - عن طريق دحرجة 1 و 6 و 5 و 2 ، أو 4 ، و 3 ... لكن احتمال الحصول على الرقم 2 واحد فقط: رمي 1. مرتين ، وبالتالي ، فإن احتمال الحصول على 7 أعلى من الحصول على 2! إنها تسمى نظرية الاحتمالات. ترتبط العديد من الألعاب بهذا المبدأ ، خاصة الألعاب النقدية.

على استخدام النرد.
يمكن أن تكون النرد لعبة قائمة بذاتها بدون عناصر أخرى. الشيء الوحيد غير الموجود عمليًا هو ألعاب لمكعب واحد. تتطلب القواعد اثنين على الأقل (مثل الكريب). للعب بوكر النرد ، تحتاج إلى خمسة أحجار نرد وقلم وورقة. الهدف هو ملء مجموعات مشابهة لمجموعات لعبة الورق التي تحمل الاسم نفسه ، وتسجيل النقاط لهم في جدول خاص. بالإضافة إلى ذلك ، يعد المكعب جزءًا شائعًا جدًا في ألعاب الطاولة ، والذي يسمح لك بتحريك الرقائق أو تحديد نتيجة معارك اللعبة.

يموت يلقي.
في 49 ق. ه. غزا الشاب يوليوس قيصر بلاد الغال وعاد إلى بومبي. لكن سلطته كانت تخشى أعضاء مجلس الشيوخ ، الذين قرروا حل جيشه قبل عودته. قرر الإمبراطور المستقبلي ، بعد أن وصل إلى حدود الجمهورية ، انتهاك النظام بعبوره مع الجيش. قبل عبور نهر روبيكون (النهر الذي كان يمثل الحدود) ، قال لجنوده "Alea jacta est" ("الموت يلقي"). أصبح هذا القول شعارًا ، ومعناه ، كما هو الحال في اللعبة ، بعد اتخاذ بعض القرارات ، لم يعد من الممكن التراجع.