Kəsr ifadəsinin loqarifmi. Natural loqarifm, ln x funksiyası

Loqarifmləri öyrənməyə davam edirik. Bu yazıda biz danışacağıq loqarifmlərin hesablanması, bu proses adlanır loqarifm. Əvvəlcə loqarifmlərin tərifinə görə hesablanması ilə məşğul olacağıq. Sonra, xassələrindən istifadə edərək loqarifmlərin qiymətlərinin necə tapıldığını nəzərdən keçirin. Bundan sonra, digər loqarifmlərin ilkin verilən qiymətləri vasitəsilə loqarifmlərin hesablanması üzərində dayanacağıq. Nəhayət, loqarifm cədvəllərindən necə istifadə edəcəyimizi öyrənək. Bütün nəzəriyyə ətraflı həlləri olan nümunələrlə təmin edilmişdir.

Səhifə naviqasiyası.

Loqarifmlərin tərifinə görə hesablanması

Ən sadə hallarda tez və asanlıqla yerinə yetirmək mümkündür loqarifmin tərifinə görə tapılması. Bu prosesin necə baş verdiyinə daha yaxından nəzər salaq.

Onun mahiyyəti b ədədini a c şəklində təmsil etməkdir, buna görə də loqarifmin tərifinə görə c ədədi loqarifmin qiymətidir. Yəni tərifinə görə, loqarifmin tapılması aşağıdakı bərabərliklər zəncirinə uyğundur: log a b=log a a c =c .

Beləliklə, loqarifmin hesablanması, tərifinə görə, belə bir c sayını tapmağa gəlir ki, a c \u003d b və c nömrəsinin özü logarifmin istənilən dəyəridir.

Əvvəlki bəndlərin məlumatlarını nəzərə alaraq, loqarifmin işarəsi altında olan ədəd loqarifmin əsasının müəyyən dərəcəsi ilə verildikdə, dərhal loqarifmin nəyə bərabər olduğunu göstərə bilərsiniz - bu eksponentə bərabərdir. Nümunələr göstərək.

Misal.

log 2 2 −3 tapın, həmçinin e 5.3-ün natural loqarifmini hesablayın.

Həll.

Loqarifmin tərifi dərhal log 2 2 −3 = −3 olduğunu söyləməyə imkan verir. Həqiqətən də, loqarifmin işarəsi altındakı ədəd −3 gücünə 2 əsasına bərabərdir.

Eynilə, ikinci loqarifmi tapırıq: lne 5.3 =5.3.

Cavab:

log 2 2 −3 = −3 və lne 5.3 =5.3 .

Əgər loqarifmin işarəsi altındakı b rəqəmi loqarifmin əsasının gücü kimi verilmirsə, onda b ədədinin a c şəklində təsvirini tapmağın mümkün olub-olmadığını diqqətlə nəzərdən keçirmək lazımdır. Çox vaxt bu təmsil olduqca açıqdır, xüsusən loqarifmin işarəsi altındakı rəqəm 1, və ya 2 və ya 3, ...

Misal.

log 5 25 və loqarifmlərini hesablayın.

Həll.

25=5 2 olduğunu görmək asandır, bu, ilk loqarifmanı hesablamağa imkan verir: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

İkinci loqarifmin hesablanmasına davam edirik. Ədəd 7-nin gücü kimi təqdim edilə bilər: (lazım olduqda baxın). Beləliklə, .

Üçüncü loqarifmanı aşağıdakı formada yenidən yazaq. İndi bunu görə bilərsiniz , buradan belə nəticəyə gəlirik . Buna görə də, loqarifmin tərifi ilə .

Qısaca həll yolu aşağıdakı kimi yazıla bilər:

Cavab:

log 5 25=2 , Və .

Kifayət qədər böyük bir natural ədəd loqarifmin işarəsi altında olduqda, onu əsas amillərə parçalamaq zərər vermir. Çox vaxt belə bir ədədi loqarifmin əsasının bəzi gücü kimi təqdim etməyə və buna görə də bu loqarifmanı təriflə hesablamağa kömək edir.

Misal.

Loqarifmin qiymətini tapın.

Həll.

Loqarifmlərin bəzi xassələri dərhal loqarifmaların qiymətini təyin etməyə imkan verir. Bu xassələrə birinin loqarifminin xassəsi və bazaya bərabər olan ədədin loqarifminin xassələri daxildir: log 1 1=log a a 0 =0 və log a a=log a a 1 =1 . Yəni, 1 rəqəmi və ya a rəqəmi loqarifmin işarəsi altında, loqarifmin əsasına bərabər olduqda, bu hallarda loqarifmlər müvafiq olaraq 0 və 1-dir.

Misal.

Loqarifmlər və lg10 nədir?

Həll.

olduğundan, loqarifmin tərifindən irəli gəlir .

İkinci misalda loqarifmin işarəsi altında olan 10 rəqəmi onun bazası ilə üst-üstə düşür, ona görə də onluq loqarifmi birə bərabərdir, yəni lg10=lg10 1 =1 .

Cavab:

VƏ lg10=1 .

Qeyd edək ki, loqarifmlərin tərifinə görə hesablanması (bunu əvvəlki paraqrafda müzakirə etdik) loqarifmlərin xassələrindən biri olan log a a p =p bərabərliyinin istifadəsini nəzərdə tutur.

Təcrübədə loqarifmin işarəsi altında olan ədəd və loqarifmin əsası asanlıqla hansısa ədədin gücü kimi göstərildikdə, düsturdan istifadə etmək çox rahatdır. , loqarifmlərin xassələrindən birinə uyğundur. Bu düsturun istifadəsini təsvir edən loqarifmin tapılması nümunəsini nəzərdən keçirin.

Misal.

-nin loqarifmini hesablayın.

Həll.

Cavab:

.

Hesablamada yuxarıda qeyd olunmayan loqarifmlərin xassələrindən də istifadə olunur, lakin bu barədə növbəti paraqraflarda danışacağıq.

Digər məlum loqarifmlər baxımından loqarifmlərin tapılması

Bu paraqrafdakı məlumatlar loqarifmlərin xassələrindən onların hesablanmasında istifadə mövzusunu davam etdirir. Amma burada əsas fərq ondan ibarətdir ki, loqarifmlərin xassələri orijinal loqarifmanı dəyəri məlum olan başqa bir loqarifmlə ifadə etmək üçün istifadə olunur. Aydınlaşdırmaq üçün bir nümunə götürək. Tutaq ki, log 2 3≈1.584963 olduğunu bilirik, onda loqarifmin xassələrindən istifadə edərək kiçik bir transformasiya edərək, məsələn, log 2 6-nı tapa bilərik: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Yuxarıdakı misalda məhsulun loqarifminin xassəsindən istifadə etməyimiz kifayət idi. Bununla birlikdə, orijinal loqarifmanı verilmişlər baxımından hesablamaq üçün daha çox loqarifmlərin xüsusiyyətlərinin daha geniş arsenalından istifadə etməlisiniz.

Misal.

log 60 2=a və log 60 5=b olduğu məlumdursa, 27-nin 60 əsasına loqarifmini hesablayın.

Həll.

Beləliklə, log 60 27 tapmalıyıq. Asanlıqla görmək olar ki, 27=3 3 və orijinal loqarifm, dərəcənin loqarifm xüsusiyyətinə görə, 3·log 60 3 kimi yenidən yazıla bilər.

İndi log 60 3-ün məlum loqarifmlərlə necə ifadə oluna biləcəyinə baxaq. Baza bərabər olan ədədin loqarifminin xassəsi 60 60=1 bərabərliyini yazmağa imkan verir. Digər tərəfdən, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Beləliklə, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Beləliklə, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Nəhayət, orijinal loqarifmi hesablayırıq: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Cavab:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Formanın loqarifminin yeni bazasına keçid üçün düsturun mənasını ayrıca qeyd etmək lazımdır. . İstənilən əsaslı loqarifmlərdən qiymətləri məlum olan və ya onları tapmaq mümkün olan konkret əsaslı loqarifmlərə keçməyə imkan verir. Adətən, orijinal loqarifmdan, keçid düsturuna uyğun olaraq, 2, e və ya 10 əsaslarından birində loqarifmlərə keçirlər, çünki bu əsaslar üçün onları müəyyən dərəcədə dəqiqliklə hesablamağa imkan verən loqarifm cədvəlləri var. Növbəti hissədə bunun necə edildiyini göstərəcəyik.

Loqarifm cədvəlləri, onlardan istifadə

Loqarifmlərin dəyərlərinin təxmini hesablanması üçün istifadə edilə bilər loqarifm cədvəlləri. Ən çox istifadə olunanlar baza 2 loqarifm cədvəli, natural loqarifm cədvəli və onluq loqarifm cədvəlidir. Onluq say sistemində işləyərkən onluğu əsas götürmək üçün loqarifmlər cədvəlindən istifadə etmək rahatdır. Onun köməyi ilə loqarifmlərin dəyərlərini tapmağı öyrənəcəyik.

Təqdim olunan cədvəl 1000-dən 9.999-a qədər (üç onluq yerlə) ədədlərin onluq loqarifmlərinin dəyərlərini on mində bir dəqiqliklə tapmağa imkan verir. Müəyyən bir nümunədən istifadə edərək, ondalık loqarifmlər cədvəlindən istifadə edərək loqarifmin dəyərini tapmaq prinsipini təhlil edəcəyik - daha aydındır. lg1,256 tapaq.

Onluq loqarifmlər cədvəlinin sol sütununda biz 1.256 rəqəminin ilk iki rəqəmini tapırıq, yəni 1.2-ni tapırıq (aydınlıq üçün bu rəqəm mavi rənglə əhatə olunub). 1.256 (rəqəm 5) rəqəminin üçüncü rəqəmi qoşa sətrin solunda birinci və ya sonuncu sətirdə yerləşir (bu nömrə qırmızı rənglə dövrələnmişdir). Orijinal 1.256 nömrəsinin dördüncü rəqəmi (6 nömrə) qoşa sətrin sağındakı birinci və ya sonuncu sətirdə yerləşir (bu nömrə yaşıl rənglə dövrələnmişdir). İndi biz loqarifmlər cədvəlinin xanalarında işarələnmiş cərgə ilə işarələnmiş sütunların kəsişməsində tapırıq (bu rəqəmlər narıncı rənglə vurğulanır). İşarələnmiş ədədlərin cəmi dördüncü onluq yerlərinə qədər ondalıq loqarifmin istənilən qiymətini verir, yəni, log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Yuxarıdakı cədvəldən istifadə edərək, ondalık nöqtədən sonra üçdən çox rəqəmi olan ədədlərin onluq loqarifmlərinin dəyərlərini tapmaq və həmçinin 1-dən 9.999-a qədər olan hüdudları aşmaq mümkündürmü? Bəli sən bacararsan. Bunun necə edildiyini bir nümunə ilə göstərək.

Gəlin hesablayaq lg102.76332 . Əvvəlcə yazmaq lazımdır standart formada nömrə: 102.76332=1.0276332 10 2 . Bundan sonra, mantissa üçüncü onluq yerə qədər yuvarlaqlaşdırılmalıdır, bizdə var 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, ilkin onluq loqarifm təxminən nəticədə çıxan ədədin loqarifminə bərabər olduğu halda, yəni lg102.76332≈lg1.028·10 2 alırıq. İndi loqarifmin xüsusiyyətlərini tətbiq edin: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Nəhayət, lg1.028 onluq loqarifmlər cədvəlinə uyğun olaraq lg1.028 loqarifminin qiymətini tapırıq lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Nəticədə, loqarifmin hesablanmasının bütün prosesi belə görünür: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

Sonda qeyd etmək lazımdır ki, onluq loqarifmlər cədvəlindən istifadə edərək istənilən loqarifmin təxmini dəyərini hesablaya bilərsiniz. Bunu etmək üçün, ondalık loqarifmlərə keçmək, cədvəldə onların dəyərlərini tapmaq və qalan hesablamaları yerinə yetirmək üçün keçid düsturundan istifadə etmək kifayətdir.

Məsələn, log 2 3 hesablayaq. Loqarifmin yeni bazasına keçid düsturuna görə bizdə . Onluq loqarifmlər cədvəlindən biz lg3≈0,4771 və lg2≈0,3010 tapırıq. Beləliklə, .

Biblioqrafiya.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. və başqaları.Cəbr və təhlilin başlanğıcı: Ümumi təhsil müəssisələrinin 10-11-ci sinifləri üçün dərslik.
• Qusev V.A., Mordkoviç A.G. Riyaziyyat (texniki məktəblərə abituriyentlər üçün dərslik).

Loqarifmik ifadələr, misalların həlli. Bu yazıda loqarifmlərin həlli ilə bağlı məsələləri nəzərdən keçirəcəyik. Tapşırıqlar ifadənin qiymətini tapmaq məsələsini qoyur. Qeyd etmək lazımdır ki, loqarifm anlayışı bir çox tapşırıqlarda istifadə olunur və onun mənasını başa düşmək son dərəcə vacibdir. USE-ə gəldikdə, loqarifm tənliklərin həllində, tətbiqi məsələlərdə, həmçinin funksiyaların öyrənilməsi ilə bağlı tapşırıqlarda istifadə olunur.

Loqarifmin mənasını başa düşmək üçün nümunələr:

Əsas loqarifmik eynilik:

Həmişə yadda saxlamalı olduğunuz loqarifmlərin xüsusiyyətləri:

*Hasilin loqarifmi amillərin loqarifmlərinin cəminə bərabərdir.

* * *

* Hissənin (kəsirin) loqarifmi amillərin loqarifmlərinin fərqinə bərabərdir.

* * *

* Dərəcənin loqarifmi eksponentin və onun əsasının loqarifmasının hasilinə bərabərdir.

* * *

*Yeni bazaya keçid

* * *

Daha çox əmlak:

* * *

Loqarifmlərin hesablanması eksponentlərin xassələrindən istifadə etməklə sıx bağlıdır.

Onlardan bəzilərini sadalayırıq:

Bu xassənin mahiyyəti ondan ibarətdir ki, payı məxrəcə və əksinə köçürərkən göstəricinin işarəsi əksinə dəyişir. Misal üçün:

Bu əmlakın nəticəsi:

* * *

Gücü bir gücə qaldırarkən, əsas eyni qalır, lakin eksponentlər vurulur.

* * *

Gördüyünüz kimi, loqarifmin özü sadədir. Əsas odur ki, müəyyən bir bacarıq verən yaxşı təcrübə lazımdır. Şübhəsiz ki, düsturları bilmək məcburidir. Elementar loqarifmləri çevirmək bacarığı formalaşmayıbsa, sadə tapşırıqları həll edərkən asanlıqla səhv edə bilərsiniz.

Təcrübə edin, əvvəlcə riyaziyyat kursundan ən sadə nümunələri həll edin, sonra daha mürəkkəb olanlara keçin. Gələcəkdə mütləq "çirkin" loqarifmlərin necə həll olunduğunu göstərəcəyəm, imtahanda belələri olmayacaq, amma maraqlıdırlar, qaçırmayın!

Hamısı budur! Sənə uğurlar!

Hörmətlə, Aleksandr Krutitskix

P.S: Sosial şəbəkələrdə sayt haqqında məlumat versəniz minnətdar olaram.

Məxfiliyiniz bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik siyasətimizi oxuyun və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

• Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, e-poçt ünvanınız və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

• Topladığımız şəxsi məlumatlar bizə sizinlə əlaqə saxlamağa və unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlər haqqında sizə məlumat verməyə imkan verir.
• Zaman-zaman biz sizə vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün şəxsi məlumatlarınızdan istifadə edə bilərik.
• Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlərin aparılması, məlumatların təhlili və müxtəlif tədqiqatların aparılması kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
• Əgər siz uduş tirajı, müsabiqə və ya oxşar təşviqdə iştirak etsəniz, bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə açıqlama

Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

• Zəruri hallarda - qanuna, məhkəmə qaydasına, məhkəmə prosesinə uyğun olaraq və / və ya Rusiya Federasiyasının ərazisində ictimai sorğular və ya dövlət orqanlarının sorğuları əsasında - şəxsi məlumatlarınızı açıqlayın. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai maraq səbəbləri üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
• Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq üçüncü tərəfin varisinə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilməkdən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirlər də daxil olmaqla tədbirlər görürük.

Məxfiliyinizi şirkət səviyyəsində qorumaq

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz məxfilik və təhlükəsizlik təcrübələrini əməkdaşlarımıza çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

Beləliklə, bizim iki səlahiyyətimiz var. Əgər nömrəni alt xəttdən götürsəniz, bu rəqəmi əldə etmək üçün iki artırmalı olduğunuz gücü asanlıqla tapa bilərsiniz. Məsələn, 16-nı almaq üçün ikini dördüncü gücə qaldırmaq lazımdır. Və 64-ü almaq üçün ikidən altıncı gücə yüksəltmək lazımdır. Bunu cədvəldən görmək olar.

İndi - əslində loqarifmin tərifi:

X arqumentinin a əsasının loqarifmi x ədədini almaq üçün a rəqəminin qaldırılmalı olduğu gücdür.

Qeyd: log a x \u003d b, burada a əsasdır, x arqumentdir, b əslində loqarifmanın bərabər olduğu şeydir.

Məsələn, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8-in əsas 2 loqarifmi üçdür, çünki 2 3 = 8). 2 64 = 6 qeyd edə bilər, çünki 2 6 = 64.

Verilmiş baza üçün ədədin loqarifmini tapmaq əməliyyatına loqarifm deyilir. Beləliklə, cədvəlimizə yeni bir sıra əlavə edək:

Təəssüf ki, bütün loqarifmlər o qədər də asan nəzərə alınmır. Məsələn, log 2 5 tapmağa çalışın. Cədvəldə 5 rəqəmi yoxdur, lakin məntiq loqarifmin seqmentdə bir yerdə olacağını diktə edir. Çünki 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Belə ədədlərə irrasional deyilir: onluq nöqtədən sonrakı rəqəmlər qeyri-müəyyən müddətə yazıla bilər və onlar heç vaxt təkrarlanmır. Loqarifmin irrasional olduğu ortaya çıxarsa, onu belə tərk etmək daha yaxşıdır: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Loqarifmin iki dəyişəni (əsas və arqument) olan bir ifadə olduğunu başa düşmək vacibdir. Əvvəlcə bir çox insanlar əsasın harada olduğunu və mübahisənin harada olduğunu çaşdırırlar. Narahat anlaşılmazlıqların qarşısını almaq üçün şəklə nəzər salmaq kifayətdir:

Qarşımızda loqarifmin tərifindən başqa bir şey yoxdur. Unutmayın: loqarifm gücdür, arqumenti əldə etmək üçün əsası qaldırmaq lazımdır. Bir gücə qaldırılan əsasdır - şəkildə qırmızı rənglə vurğulanır. Belə çıxır ki, baza həmişə altdadır! Mən bu gözəl qaydanı ilk dərsdə tələbələrimə deyirəm - və heç bir qarışıqlıq yoxdur.

Tərifi anladıq - logarifmləri necə saymağı öyrənmək qalır, yəni. "log" işarəsindən qurtulun. Başlamaq üçün qeyd edirik ki, tərifdən iki mühüm fakt gəlir:

1. Arqument və əsas həmişə sıfırdan böyük olmalıdır. Bu, loqarifmin tərifinin azaldıldığı rasional göstərici ilə dərəcənin tərifindən irəli gəlir.
2. Baza birlikdən fərqli olmalıdır, çünki hər hansı bir güc vahidi hələ də vahiddir. Buna görə də “iki almaq üçün hansı gücə yüksəlmək lazımdır” sualı mənasızdır. Belə dərəcə yoxdur!

Belə məhdudiyyətlər deyilir etibarlı diapazon(ODZ). Belə çıxır ki, loqarifmin ODZ-si belə görünür: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Qeyd edək ki, b sayına heç bir məhdudiyyət yoxdur (loqarifmin dəyəri) tətbiq edilmir. Məsələn, loqarifm mənfi ola bilər: log 2 0.5 \u003d -1, çünki 0,5 = 2 −1 .

Ancaq indi biz yalnız ədədi ifadələri nəzərdən keçiririk, burada loqarifmin ODZ-ni bilmək tələb olunmur. Bütün məhdudiyyətlər artıq problemlərin tərtibçiləri tərəfindən nəzərə alınıb. Lakin loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklər meydana çıxdıqda, DHS tələbləri məcburi olacaq. Həqiqətən də, əsas və arqumentdə yuxarıda göstərilən məhdudiyyətlərə mütləq uyğun gəlməyən çox güclü konstruksiyalar ola bilər.

İndi loqarifmlərin hesablanmasının ümumi sxemini nəzərdən keçirək. Üç addımdan ibarətdir:

1. a əsasını və x arqumentini mümkün olan ən kiçik baza birdən böyük olan qüvvə kimi ifadə edin. Yolda onluq kəsrlərdən xilas olmaq daha yaxşıdır;
2. b dəyişəni üçün tənliyi həll edin: x = a b ;
3. Nəticədə çıxan ədəd b cavab olacaq.

Hamısı budur! Loqarifmin irrasional olduğu ortaya çıxarsa, bu, artıq ilk addımda görünəcək. Bazanın birdən böyük olması tələbi çox aktualdır: bu, səhv ehtimalını azaldır və hesablamaları xeyli asanlaşdırır. Onluq kəsrlərlə eynilə: onları dərhal adi olanlara çevirsəniz, səhvlər dəfələrlə az olacaq.

Bu sxemin konkret nümunələrlə necə işlədiyini görək:

Tapşırıq. Loqarifmi hesablayın: log 5 25

1. Baza və arqumenti beşin gücü kimi təqdim edək: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Tənliyi qurub həll edək:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Cavab alındı: 2.

Tapşırıq. Loqarifmi hesablayın:

Tapşırıq. Loqarifmi hesablayın: log 4 64

1. Baza və arqumenti ikinin qüvvəsi kimi təqdim edək: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Tənliyi qurub həll edək:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Cavab alındı: 3.

Tapşırıq. Loqarifmi hesablayın: log 16 1

1. Baza və arqumenti ikinin qüvvəsi kimi təqdim edək: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Tənliyi qurub həll edək:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Cavab alındı: 0.

Tapşırıq. Loqarifmi hesablayın: log 7 14

1. Baza və arqumenti yeddinin gücü kimi təqdim edək: 7 = 7 1 ; 14 yeddinin gücü kimi göstərilmir, çünki 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Əvvəlki bənddən belə çıxır ki, loqarifm nəzərə alınmır;
3. Cavab dəyişiklik yoxdur: log 7 14.

Son misalda kiçik bir qeyd. Bir nömrənin başqa bir rəqəmin dəqiq gücü olmadığına necə əmin olmaq olar? Çox sadədir - sadəcə onu əsas amillərə ayırın. Genişlənmədə ən azı iki fərqli amil varsa, rəqəm dəqiq güc deyil.

Tapşırıq. Ədədin dəqiq səlahiyyətlərinin olub olmadığını tapın: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - dəqiq dərəcə, çünki yalnız bir çarpan var;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 dəqiq güc deyil, çünki iki amil var: 3 və 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - dəqiq dərəcə;
35 = 7 5 - yenə dəqiq dərəcə deyil;
14 \u003d 7 2 - yenə dəqiq dərəcə deyil;

Onu da qeyd edək ki, sadə ədədlərin özləri həmişə özlərinin dəqiq səlahiyyətləridir.

Onluq loqarifm

Bəzi loqarifmlər o qədər geniş yayılmışdır ki, onların xüsusi adı və təyinatı var.

X arqumentinin onluq loqarifmi 10-un əsas loqarifmidir, yəni. x sayını almaq üçün 10 rəqəmini qaldırmaq lazım olan güc. Təyinat: lg x .

Məsələn, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - və s.

Bundan sonra dərslikdə “Find lg 0.01” kimi bir ifadə görünəndə bilin ki, bu, hərf səhvi deyil. Bu, onluq loqarifmdir. Ancaq belə bir təyinata öyrəşməmisinizsə, həmişə onu yenidən yaza bilərsiniz:
log x = log 10 x

Adi loqarifmlər üçün doğru olan hər şey ondalıq hissələr üçün də doğrudur.

təbii loqarifm

Öz qeydinə malik başqa bir loqarifm var. Müəyyən mənada bu, onluqdan daha vacibdir. Bu təbii loqarifmdir.

X-in təbii loqarifmi əsas e loqarifmidir, yəni. x ədədini əldə etmək üçün e ədədinin qaldırılmalı olduğu güc. Təyinat: ln x .

Çoxları soruşacaq: e rəqəmi başqa nədir? Bu irrasional rəqəmdir, onun dəqiq qiymətini tapmaq və yazmaq mümkün deyil. Budur yalnız ilk rəqəmlər:
e = 2,718281828459...

Bu rəqəmin nə olduğunu və nə üçün lazım olduğunu araşdırmayacağıq. Unutmayın ki, e təbii loqarifmin əsasıdır:
ln x = log e x

Beləliklə, ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - və s. Digər tərəfdən, ln 2 irrasional ədəddir. Ümumiyyətlə, istənilən rasional ədədin natural loqarifmi irrasionaldır. Əlbəttə ki, birlik istisna olmaqla: ln 1 = 0.

Təbii loqarifmlər üçün adi loqarifmlər üçün doğru olan bütün qaydalar etibarlıdır.

əsas xassələri.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

eyni əsaslar

log6 4 + log6 9.

İndi tapşırığı bir az çətinləşdirək.

Loqarifmlərin həlli nümunələri

Bəs loqarifmin əsası və ya arqumentində bir dərəcə varsa? Sonra bu dərəcənin göstəricisi aşağıdakı qaydalara uyğun olaraq loqarifmin işarəsindən çıxarıla bilər:

Təbii ki, bütün bu qaydalar ODZ loqarifminə əməl olunarsa məna kəsb edir: a > 0, a ≠ 1, x >

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Yeni bir təmələ keçid

Loqarifm loqaxı verilsin. Onda c > 0 və c ≠ 1 olan istənilən c ədədi üçün bərabərlik doğrudur:

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Həmçinin bax:

Loqarifmin əsas xassələri

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Göstərici 2,718281828… Göstəricini xatırlamaq üçün qaydanı öyrənə bilərsiniz: eksponent 2,7 və Lev Tolstoyun doğum ilindən iki dəfədir.

Loqarifmlərin əsas xassələri

Bu qaydanı bilməklə siz həm eksponentin dəqiq dəyərini, həm də Lev Tolstoyun doğum tarixini biləcəksiniz.

Loqarifmlər üçün nümunələr

İfadələrin loqarifmini götürün

Misal 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Xüsusiyyətlərə görə 3,5 hesablayırıq

2.

3.

4. Harada .

Misal 2 Əgər x tapın

Misal 3. Loqarifmlərin qiyməti verilsin

Əgər log(x) hesablayın

Loqarifmlərin əsas xassələri

Loqarifmlər, hər hansı bir rəqəm kimi, hər cür şəkildə əlavə edilə, çıxıla və çevrilə bilər. Amma loqarifmlər kifayət qədər adi ədədlər olmadığı üçün burada adlanan qaydalar var əsas xassələri.

Bu qaydalar bilinməlidir - onlarsız heç bir ciddi loqarifmik problem həll edilə bilməz. Bundan əlavə, onlardan çox azdır - hər şeyi bir gündə öyrənmək olar. Beləliklə, başlayaq.

Loqarifmlərin toplanması və çıxılması

Eyni bazaya malik iki loqarifmi nəzərdən keçirin: logax və loqay. Sonra onlar əlavə və çıxıla bilər və:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Deməli, loqarifmlərin cəmi məhsulun loqarifminə bərabərdir, fərq isə hissənin loqarifmidir. Diqqət yetirin: burada əsas məqam - eyni əsaslar. Əsaslar fərqlidirsə, bu qaydalar işləmir!

Bu düsturlar hətta onun ayrı-ayrı hissələri nəzərə alınmadıqda belə loqarifmik ifadəni hesablamağa kömək edəcək ("Loqarifm nədir" dərsinə baxın). Nümunələrə nəzər salın və baxın:

Loqarifmlərin əsasları eyni olduğundan, biz cəmi düsturundan istifadə edirik:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log2 48 − log2 3.

Əsaslar eynidir, fərq düsturundan istifadə edirik:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log3 135 − log3 5.

Yenə də əsaslar eynidir, buna görə də bizdə:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Gördüyünüz kimi, orijinal ifadələr ayrıca nəzərdən keçirilməyən "pis" loqarifmlərdən ibarətdir. Ancaq transformasiyalardan sonra olduqca normal rəqəmlər çıxır. Bir çox testlər bu fakta əsaslanır. Bəli, nəzarət - imtahanda bütün ciddilikdə oxşar ifadələr (bəzən - faktiki olaraq heç bir dəyişiklik olmadan) təklif olunur.

Göstəricinin loqarifmdən çıxarılması

Sonuncu qaydanın onların ilk ikisinə uyğun olduğunu görmək asandır. Ancaq hər halda bunu xatırlamaq daha yaxşıdır - bəzi hallarda hesablamaların miqdarını əhəmiyyətli dərəcədə azaldacaq.

Əlbəttə ki, ODZ loqarifmi müşahidə edilərsə, bütün bu qaydalar məna kəsb edir: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Və daha bir şey: bütün düsturları yalnız soldan sağa deyil, həm də əksinə tətbiq etməyi öyrənin, yəni. loqarifmin özünə loqarifmin işarəsindən əvvəlki rəqəmləri daxil edə bilərsiniz. Ən çox tələb olunan budur.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log7 496.

Birinci düstura görə arqumentdəki dərəcədən xilas olaq:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Qeyd edək ki, məxrəc bazası və arqumenti dəqiq dərəcələr olan loqarifmdir: 16 = 24; 49 = 72. Bizdə:

Düşünürəm ki, sonuncu misal aydınlaşdırılmalıdır. Loqarifmlər hara getdi? Son ana qədər biz ancaq məxrəclə işləyirik.

Loqarifmlərin düsturları. Loqarifmlər həll nümunələridir.

Orada duran loqarifmin əsasını və arqumentini dərəcələr şəklində təqdim etdilər və göstəriciləri çıxardılar - "üç mərtəbəli" bir kəsr aldılar.

İndi əsas hissəyə baxaq. Hissənin və məxrəcin eyni ədədi var: log2 7. log2 7 ≠ 0 olduğundan kəsri azalda bilərik - 2/4 məxrəcdə qalacaq. Hesab qaydalarına görə, dördü hesaba köçürmək olar, bu da edildi. Nəticə cavabdır: 2.

Yeni bir təmələ keçid

Loqarifmlərin toplanması və çıxılması qaydaları haqqında danışarkən, onların yalnız eyni əsaslarla işlədiyini xüsusi vurğuladım. Bəs əsaslar fərqlidirsə? Bəs onlar eyni sayda dəqiq səlahiyyətlər deyilsə?

Yeni bazaya keçid üçün düsturlar köməyə gəlir. Onları teorem şəklində tərtib edirik:

Loqarifm loqaxı verilsin. Onda c > 0 və c ≠ 1 olan istənilən c ədədi üçün bərabərlik doğrudur:

Xüsusilə, c = x qoysaq, alırıq:

İkinci düsturdan belə çıxır ki, loqarifmin əsasını və arqumentini dəyişdirmək mümkündür, lakin bu halda bütün ifadə “çevrilmişdir”, yəni. loqarifm məxrəcdədir.

Bu düsturlara adi ədədi ifadələrdə nadir hallarda rast gəlinir. Onların nə qədər əlverişli olduğunu yalnız loqarifmik tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli zamanı qiymətləndirmək mümkündür.

Bununla belə, yeni təmələ keçməkdən başqa heç bir şəkildə həll edilə bilməyən vəzifələr var. Bunlardan bir neçəsini nəzərdən keçirək:

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log5 16 log2 25.

Qeyd edək ki, hər iki loqarifmin arqumentləri dəqiq eksponentlərdir. Göstəriciləri çıxaraq: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

İndi ikinci loqarifmanı çevirək:

Məhsul faktorların dəyişməsindən dəyişmədiyi üçün sakitcə dörd və ikini vurduq və sonra loqarifmləri tapdıq.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log9 100 lg 3.

Birinci loqarifmin əsası və arqumenti dəqiq güclərdir. Gəlin onu yazaq və göstəricilərdən xilas olaq:

İndi yeni bazaya keçərək onluq loqarifmadan xilas olaq:

Əsas loqarifmik eynilik

Çox vaxt həll prosesində ədədi verilmiş bazaya loqarifm kimi təqdim etmək tələb olunur. Bu vəziyyətdə düsturlar bizə kömək edəcək:

Birinci halda n ədədi arqumentdə eksponent olur. N rəqəmi tamamilə hər şey ola bilər, çünki bu, sadəcə loqarifmin dəyəridir.

İkinci düstur əslində parafraz tərifdir. Bu belə adlanır:

Doğrudan da, b rəqəmi elə bir dərəcəyə qaldırılarsa, bu dərəcədəki b rəqəmi a rəqəmini verərsə, nə olar? Düzdür: bu eyni a sayıdır. Bu paraqrafı bir daha diqqətlə oxuyun - bir çox insan ona "asılır".

Yeni əsas çevirmə düsturları kimi, əsas loqarifmik eynilik bəzən yeganə mümkün həll yoludur.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Qeyd edək ki, log25 64 = log5 8 - bazadan kvadratı və loqarifmin arqumentini çıxarmaq kifayətdir. Gücləri eyni baza ilə vurma qaydalarını nəzərə alaraq, alırıq:

Kiminsə xəbəri yoxdursa, bu Vahid Dövlət İmtahanının əsl tapşırığı idi 🙂

Loqarifmik vahid və loqarifmik sıfır

Yekun olaraq, xassələri adlandırmaq çətin olan iki şəxsiyyət verəcəyəm - daha doğrusu, bunlar loqarifmin tərifindən gələn nəticələrdir. Onlar daim problemlər içində olurlar və təəccüblüdür ki, hətta “qabaqcıl” tələbələr üçün də problemlər yaradırlar.

1. logaa = 1-dir. Birdəfəlik xatırlayın: o bazanın özündən istənilən a əsasının loqarifmi birinə bərabərdir.
2. loqa 1 = 0-dır. Əsas a hər şey ola bilər, amma arqument birdirsə, loqarifm sıfırdır! Çünki a0 = 1 tərifin birbaşa nəticəsidir.

Bütün xassələri budur. Onları həyata keçirmək üçün məşq etməyinizə əmin olun! Dərsin əvvəlində fırıldaqçı vərəqini yükləyin, çap edin və problemləri həll edin.

Həmçinin bax:

b ədədinin a əsasına loqarifmi ifadəni bildirir. Loqarifmi hesablamaq, bərabərliyin doğru olduğu x () gücünü tapmaq deməkdir

Loqarifmin əsas xassələri

Yuxarıdakı xassələri bilmək lazımdır, çünki onların əsasında demək olar ki, bütün problemlər və misallar loqarifmlər əsasında həll olunur. Qalan ekzotik xassələri bu düsturlarla riyazi manipulyasiyalarla əldə etmək olar

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Loqarifmlərin cəmi və fərqi üçün düsturları hesablayarkən (3.4) kifayət qədər tez-tez rast gəlinir. Qalanları bir qədər mürəkkəbdir, lakin bir sıra tapşırıqlarda mürəkkəb ifadələri sadələşdirmək və onların dəyərlərini hesablamaq üçün əvəzolunmazdır.

Loqarifmlərin ümumi halları

Ümumi loqarifmlərdən bəziləri bazası hətta on, eksponensial və ya ikili olanlardır.
Əsas on loqarifm adətən on əsas loqarifm adlanır və sadəcə olaraq lg(x) ilə işarələnir.

Qeyddən görünür ki, qeyddə əsaslar yazılmayıb. Misal üçün

Natural loqarifm əsası eksponent olan loqarifmdir (ln(x) ilə işarələnir).

Göstərici 2,718281828… Göstəricini xatırlamaq üçün qaydanı öyrənə bilərsiniz: eksponent 2,7 və Lev Tolstoyun doğum ilindən iki dəfədir. Bu qaydanı bilməklə siz həm eksponentin dəqiq dəyərini, həm də Lev Tolstoyun doğum tarixini biləcəksiniz.

Digər mühüm əsas iki loqarifmdir

Funksiyanın loqarifminin törəməsi dəyişənə bölünən birinə bərabərdir

İnteqral və ya antiderivativ loqarifm asılılıqla müəyyən edilir

Yuxarıdakı material loqarifmlər və loqarifmlərlə bağlı geniş sinif məsələləri həll etmək üçün kifayətdir. Materialı mənimsəmək üçün məktəb kurikulumundan və universitetlərdən yalnız bir neçə ümumi nümunə verəcəyəm.

Loqarifmlər üçün nümunələr

İfadələrin loqarifmini götürün

Misal 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Xüsusiyyətlərə görə 3,5 hesablayırıq

2.
Loqarifmlərin fərq xassəsinə görə bizdə var

3.
3.5 xassələrindən istifadə edərək tapırıq

4. Harada .

Bir sıra qaydalardan istifadə edərək mürəkkəb görünən ifadə formaya sadələşdirilir

Loqarifm qiymətlərinin tapılması

Misal 2 Əgər x tapın

Həll. Hesablama üçün 5 və 13-cü xassələri son müddətə qədər tətbiq edirik

Qeyddə əvəz et və yas tut

Əsaslar bərabər olduğu üçün ifadələri bərabərləşdiririk

Loqarifmlər. Birinci səviyyə.

Loqarifmlərin qiyməti verilsin

Əgər log(x) hesablayın

Həlli: Loqarifmi şərtlərin cəminə yazmaq üçün dəyişənin loqarifmini götürün

Bu, loqarifmlər və onların xassələri ilə tanışlığın yalnız başlanğıcıdır. Hesablamaları məşq edin, praktik bacarıqlarınızı zənginləşdirin - tezliklə loqarifmik tənlikləri həll etmək üçün əldə edilmiş biliyə ehtiyacınız olacaq. Bu cür tənliklərin həlli üçün əsas üsulları öyrəndikdən sonra biz sizin biliklərinizi eyni dərəcədə vacib olan başqa bir mövzu - loqarifmik bərabərsizliklər üçün genişləndirəcəyik ...

Loqarifmlərin əsas xassələri

Loqarifmlər, hər hansı bir rəqəm kimi, hər cür şəkildə əlavə edilə, çıxıla və çevrilə bilər. Amma loqarifmlər kifayət qədər adi ədədlər olmadığı üçün burada adlanan qaydalar var əsas xassələri.

Bu qaydalar bilinməlidir - onlarsız heç bir ciddi loqarifmik problem həll edilə bilməz. Bundan əlavə, onlardan çox azdır - hər şeyi bir gündə öyrənmək olar. Beləliklə, başlayaq.

Loqarifmlərin toplanması və çıxılması

Eyni bazaya malik iki loqarifmi nəzərdən keçirin: logax və loqay. Sonra onlar əlavə və çıxıla bilər və:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Deməli, loqarifmlərin cəmi məhsulun loqarifminə bərabərdir, fərq isə hissənin loqarifmidir. Diqqət yetirin: burada əsas məqam - eyni əsaslar. Əsaslar fərqlidirsə, bu qaydalar işləmir!

Bu düsturlar hətta onun ayrı-ayrı hissələri nəzərə alınmadıqda belə loqarifmik ifadəni hesablamağa kömək edəcək ("Loqarifm nədir" dərsinə baxın). Nümunələrə nəzər salın və baxın:

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log6 4 + log6 9.

Loqarifmlərin əsasları eyni olduğundan, biz cəmi düsturundan istifadə edirik:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log2 48 − log2 3.

Əsaslar eynidir, fərq düsturundan istifadə edirik:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log3 135 − log3 5.

Yenə də əsaslar eynidir, buna görə də bizdə:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Gördüyünüz kimi, orijinal ifadələr ayrıca nəzərdən keçirilməyən "pis" loqarifmlərdən ibarətdir. Ancaq transformasiyalardan sonra olduqca normal rəqəmlər çıxır. Bir çox testlər bu fakta əsaslanır. Bəli, nəzarət - imtahanda bütün ciddilikdə oxşar ifadələr (bəzən - faktiki olaraq heç bir dəyişiklik olmadan) təklif olunur.

Göstəricinin loqarifmdən çıxarılması

İndi tapşırığı bir az çətinləşdirək. Bəs loqarifmin əsası və ya arqumentində bir dərəcə varsa? Sonra bu dərəcənin göstəricisi aşağıdakı qaydalara uyğun olaraq loqarifmin işarəsindən çıxarıla bilər:

Sonuncu qaydanın onların ilk ikisinə uyğun olduğunu görmək asandır. Ancaq hər halda bunu xatırlamaq daha yaxşıdır - bəzi hallarda hesablamaların miqdarını əhəmiyyətli dərəcədə azaldacaq.

Əlbəttə ki, ODZ loqarifmi müşahidə edilərsə, bütün bu qaydalar məna kəsb edir: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Və daha bir şey: bütün düsturları yalnız soldan sağa deyil, həm də əksinə tətbiq etməyi öyrənin, yəni. loqarifmin özünə loqarifmin işarəsindən əvvəlki rəqəmləri daxil edə bilərsiniz.

Loqarifmləri necə həll etmək olar

Ən çox tələb olunan budur.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log7 496.

Birinci düstura görə arqumentdəki dərəcədən xilas olaq:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Qeyd edək ki, məxrəc bazası və arqumenti dəqiq dərəcələr olan loqarifmdir: 16 = 24; 49 = 72. Bizdə:

Düşünürəm ki, sonuncu misal aydınlaşdırılmalıdır. Loqarifmlər hara getdi? Son ana qədər biz ancaq məxrəclə işləyirik. Orada duran loqarifmin əsasını və arqumentini dərəcələr şəklində təqdim etdilər və göstəriciləri çıxardılar - "üç mərtəbəli" bir kəsr aldılar.

İndi əsas hissəyə baxaq. Hissənin və məxrəcin eyni ədədi var: log2 7. log2 7 ≠ 0 olduğundan kəsri azalda bilərik - 2/4 məxrəcdə qalacaq. Hesab qaydalarına görə, dördü hesaba köçürmək olar, bu da edildi. Nəticə cavabdır: 2.

Yeni bir təmələ keçid

Loqarifmlərin toplanması və çıxılması qaydaları haqqında danışarkən, onların yalnız eyni əsaslarla işlədiyini xüsusi vurğuladım. Bəs əsaslar fərqlidirsə? Bəs onlar eyni sayda dəqiq səlahiyyətlər deyilsə?

Yeni bazaya keçid üçün düsturlar köməyə gəlir. Onları teorem şəklində tərtib edirik:

Loqarifm loqaxı verilsin. Onda c > 0 və c ≠ 1 olan istənilən c ədədi üçün bərabərlik doğrudur:

Xüsusilə, c = x qoysaq, alırıq:

İkinci düsturdan belə çıxır ki, loqarifmin əsasını və arqumentini dəyişdirmək mümkündür, lakin bu halda bütün ifadə “çevrilmişdir”, yəni. loqarifm məxrəcdədir.

Bu düsturlara adi ədədi ifadələrdə nadir hallarda rast gəlinir. Onların nə qədər əlverişli olduğunu yalnız loqarifmik tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli zamanı qiymətləndirmək mümkündür.

Bununla belə, yeni təmələ keçməkdən başqa heç bir şəkildə həll edilə bilməyən vəzifələr var. Bunlardan bir neçəsini nəzərdən keçirək:

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log5 16 log2 25.

Qeyd edək ki, hər iki loqarifmin arqumentləri dəqiq eksponentlərdir. Göstəriciləri çıxaraq: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

İndi ikinci loqarifmanı çevirək:

Məhsul faktorların dəyişməsindən dəyişmədiyi üçün sakitcə dörd və ikini vurduq və sonra loqarifmləri tapdıq.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log9 100 lg 3.

Birinci loqarifmin əsası və arqumenti dəqiq güclərdir. Gəlin onu yazaq və göstəricilərdən xilas olaq:

İndi yeni bazaya keçərək onluq loqarifmadan xilas olaq:

Əsas loqarifmik eynilik

Çox vaxt həll prosesində ədədi verilmiş bazaya loqarifm kimi təqdim etmək tələb olunur. Bu vəziyyətdə düsturlar bizə kömək edəcək:

Birinci halda n ədədi arqumentdə eksponent olur. N rəqəmi tamamilə hər şey ola bilər, çünki bu, sadəcə loqarifmin dəyəridir.

İkinci düstur əslində parafraz tərifdir. Bu belə adlanır:

Doğrudan da, b rəqəmi elə bir dərəcəyə qaldırılarsa, bu dərəcədəki b rəqəmi a rəqəmini verərsə, nə olar? Düzdür: bu eyni a sayıdır. Bu paraqrafı bir daha diqqətlə oxuyun - bir çox insan ona "asılır".

Yeni əsas çevirmə düsturları kimi, əsas loqarifmik eynilik bəzən yeganə mümkün həll yoludur.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Qeyd edək ki, log25 64 = log5 8 - bazadan kvadratı və loqarifmin arqumentini çıxarmaq kifayətdir. Gücləri eyni baza ilə vurma qaydalarını nəzərə alaraq, alırıq:

Kiminsə xəbəri yoxdursa, bu Vahid Dövlət İmtahanının əsl tapşırığı idi 🙂

Loqarifmik vahid və loqarifmik sıfır

Yekun olaraq, xassələri adlandırmaq çətin olan iki şəxsiyyət verəcəyəm - daha doğrusu, bunlar loqarifmin tərifindən gələn nəticələrdir. Onlar daim problemlər içində olurlar və təəccüblüdür ki, hətta “qabaqcıl” tələbələr üçün də problemlər yaradırlar.

1. logaa = 1-dir. Birdəfəlik xatırlayın: o bazanın özündən istənilən a əsasının loqarifmi birinə bərabərdir.
2. loqa 1 = 0-dır. Əsas a hər şey ola bilər, amma arqument birdirsə, loqarifm sıfırdır! Çünki a0 = 1 tərifin birbaşa nəticəsidir.

Bütün xassələri budur. Onları həyata keçirmək üçün məşq etməyinizə əmin olun! Dərsin əvvəlində fırıldaqçı vərəqini yükləyin, çap edin və problemləri həll edin.