Universal triqonometrik əvəzetmə, düsturların alınması, nümunələr.

Əsas triqonometrik funksiyalar - sinus, kosinus, tangens və kotangens arasındakı nisbətlər verilmişdir. triqonometrik düsturlar. Və triqonometrik funksiyalar arasında kifayət qədər çox əlaqə olduğundan, bu da triqonometrik düsturların bolluğunu izah edir. Bəzi düsturlar eyni bucağın triqonometrik funksiyalarını əlaqələndirir, digərləri - çoxlu bucağın funksiyaları, digərləri - dərəcəni azaltmağa imkan verir, dördüncüsü - bütün funksiyaları yarım bucağın tangensi ilə ifadə etmək və s.

Bu yazıda biz triqonometriya məsələlərinin böyük əksəriyyətini həll etmək üçün kifayət edən bütün əsas triqonometrik düsturları sıra ilə sadalayırıq. Yadda saxlama və istifadə asanlığı üçün onları məqsədlərinə görə qruplaşdırıb cədvəllərə daxil edəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

Əsas triqonometrik eyniliklər

Əsas triqonometrik eyniliklər bir bucağın sinusu, kosinusu, tangensi və kotangensi arasındakı əlaqəni təyin edin. Onlar sinus, kosinus, tangens və kotangensin tərifindən, həmçinin vahid dairə anlayışından irəli gəlir. Onlar bir triqonometrik funksiyanı digəri vasitəsilə ifadə etməyə imkan verir.

Bu triqonometriya düsturlarının ətraflı təsviri, onların əldə edilməsi və tətbiqi nümunələri üçün məqaləyə baxın.

Düsturlar

Düsturlar sinus, kosinus, tangens və kotangensin xassələrindən irəli gəlir, yəni triqonometrik funksiyaların dövrilik xassəsini, simmetriya xassəsini, həmçinin verilmiş bucaqla yerdəyişmə xassəsini əks etdirir. Bu triqonometrik düsturlar ixtiyari bucaqlarla işləməkdən sıfırdan 90 dərəcəyə qədər bucaqlarla işləməyə keçməyə imkan verir.

Bu düsturların əsaslandırılması, onları yadda saxlamaq üçün mnemonik qayda və onların tətbiqi nümunələri məqalədə öyrənilə bilər.

Əlavə Düsturlar

Triqonometrik əlavə düsturları iki bucağın cəmi və ya fərqinin triqonometrik funksiyalarının bu bucaqların triqonometrik funksiyaları ilə necə ifadə olunduğunu göstərin. Bu düsturlar aşağıdakı triqonometrik düsturların alınması üçün əsas rolunu oynayır.

Düsturlar ikiqat, üçlü və s. bucaq

Düsturlar ikiqat, üçlü və s. bucaq (onlara çoxlu bucaq düsturları da deyilir) ikiqat, üçlü və s. triqonometrik funksiyaların necə olduğunu göstərir. bucaqlar () tək bucağın triqonometrik funksiyaları ilə ifadə edilir. Onların əldə edilməsi əlavə düsturlarına əsaslanır.

Daha ətraflı məlumat ikiqat, üçlü və s. üçün məqalə düsturlarında toplanır. bucaq.

Yarım bucaq düsturları

Yarım bucaq düsturları yarım bucağın triqonometrik funksiyalarının tam bucağın kosinusu ilə necə ifadə olunduğunu göstərin. Bu triqonometrik düsturlar ikiqat bucaq düsturlarından əmələ gəlir.

Onların nəticəsi və tətbiqi nümunələri məqalədə tapıla bilər.

Azaltma düsturları

Dərəcələri azaltmaq üçün triqonometrik düsturlar triqonometrik funksiyaların təbii güclərindən birinci dərəcəli sinuslara və kosinuslara keçidi asanlaşdırmaq üçün nəzərdə tutulmuşdur, lakin çoxlu açılar. Başqa sözlə, onlar triqonometrik funksiyaların səlahiyyətlərini birinciyə endirməyə imkan verir.

Triqonometrik funksiyaların cəmi və fərqi üçün düsturlar

Əsas məqsəd triqonometrik funksiyalar üçün cəmi və fərq düsturları funksiyaların hasilinə keçiddən ibarətdir ki, bu da triqonometrik ifadələri sadələşdirərkən çox faydalıdır. Bu düsturlardan triqonometrik tənliklərin həllində də geniş istifadə olunur, çünki onlar sinusların və kosinusların cəmini və fərqini faktorlara ayırmağa imkan verir.

Sinusların, kosinusların və kosinusların hasilinin düsturları

Triqonometrik funksiyaların hasilindən cəmi və ya fərqə keçid sinusların, kosinusların və sinusların kosinuslarla hasilinin düsturları vasitəsilə həyata keçirilir.

Ağıllı tələbələrin müəllif hüquqları

Bütün hüquqlar qorunur.
Müəllif hüquqları qanunu ilə qorunur. www.saytın heç bir hissəsi, o cümlədən daxili materiallar və xarici dizayn, müəllif hüquqları sahibinin əvvəlcədən yazılı icazəsi olmadan hər hansı formada çoxalda və ya istifadə edilə bilməz.

Ən çox verilən suallar

Təqdim olunan nümunəyə uyğun olaraq sənədə möhür vurmaq mümkündürmü? Cavab verin Bəli, mümkündür. Skan edilmiş surəti və ya keyfiyyətli fotoşəkili e-poçt ünvanımıza göndərin və biz lazımi dublikatını hazırlayacağıq.

Hansı ödəniş növlərini qəbul edirsiniz? Cavab verin Doldurulma düzgünlüyünü və diplomun keyfiyyətini yoxladıqdan sonra kuryer tərəfindən sənəd alınarkən ödəniş edə bilərsiniz. Bu, çatdırılma zamanı nağd pul təklif edən poçt şirkətlərinin ofisində də edilə bilər.
Sənədlərin çatdırılması və ödənilməsinin bütün şərtləri "Ödəniş və Çatdırılma" bölməsində təsvir edilmişdir. Sənədin çatdırılması və ödənilməsi şərtləri ilə bağlı təkliflərinizi də dinləməyə hazırıq.

Sifariş verdikdən sonra mənim pulumla yoxa çıxmayacağınıza əmin ola bilərəmmi? Cavab verin Diplom istehsalı sahəsində kifayət qədər uzun təcrübəmiz var. Daim yenilənən bir neçə saytımız var. Mütəxəssislərimiz ölkənin müxtəlif yerlərində işləyir, gündə 10-dan çox sənəd hazırlayırlar. Bu illər ərzində sənədlərimiz bir çox insanlara məşğulluq problemlərini həll etməyə və ya daha yüksək maaşlı işə keçməyə kömək etdi. Müştərilər arasında etibar və tanınma qazanmışıq, buna görə də bunu etməyimiz üçün heç bir səbəb yoxdur. Üstəlik, fiziki olaraq bunu etmək sadəcə mümkün deyil: sifarişinizi əlinizə aldığınız anda ödəyirsiniz, əvvəlcədən ödəniş yoxdur.

İstənilən universitetdən diplom sifariş edə bilərəmmi? Cavab verin Ümumiyyətlə, bəli. 12 ilə yaxındır ki, bu sahədə işləyirik. Bu müddət ərzində ölkənin demək olar ki, bütün universitetləri tərəfindən verilən və müxtəlif buraxılış illərinə aid sənədlərin demək olar ki, dolğun məlumat bazası formalaşdırılıb. Sizə lazım olan tək şey universitet, ixtisas, sənəd seçmək və sifariş formasını doldurmaqdır.

Sənəddə yazı səhvləri və səhvlər tapsam nə etməliyəm? Cavab verin Kuryer və ya poçt şirkətimizdən sənəd alarkən, bütün detalları diqqətlə yoxlamağı tövsiyə edirik. Əgər hərf səhvi, xəta və ya qeyri-dəqiqlik aşkar edilərsə, diplomu götürməmək hüququnuz var və aşkar edilmiş çatışmazlıqları şəxsən kuryerə və ya elektron poçtla yazılı şəkildə bildirməlisiniz.
Ən qısa zamanda sənədi düzəldəcək və göstərilən ünvana yenidən göndərəcəyik. Təbii ki, çatdırılma şirkətimiz tərəfindən ödəniləcək.
Bu cür anlaşılmazlıqların qarşısını almaq üçün, orijinal formanı doldurmazdan əvvəl, son versiyanın yoxlanılması və təsdiqlənməsi üçün gələcək sənədin planını müştərinin poçtuna göndəririk. Sənədi kuryer və ya poçtla göndərməzdən əvvəl biz əlavə foto və video da çəkirik (o cümlədən ultrabənövşəyi işıqda) ki, sonda nə əldə edəcəyiniz barədə vizual təsəvvürünüz olsun.

Şirkətinizdən diplom sifariş etmək üçün nə etmək lazımdır? Cavab verin Sənədi (sertifikat, diplom, akademik attestat və s.) sifariş etmək üçün siz internet saytımızda onlayn sifariş formasını doldurmalı və ya elektron poçtunuzu təqdim etməlisiniz ki, sizə sorğu anketi göndərək, onu doldurub göndərəsiniz. bizə qayıt.
Sifariş formasının/anketin hər hansı sahəsində nəyi göstərəcəyinizi bilmirsinizsə, onları boş buraxın. Ona görə də bütün çatışmayan məlumatları telefonla aydınlaşdıracağıq.

Ən son rəylər

Aleksey:

Menecer kimi işə düzəlmək üçün diplom almalıydım. Ən əsası isə həm təcrübəm, həm də bacarığım var, amma sənədsiz bacarmıram, istənilən yerdə işə düzələcəm. Bir dəfə saytınızda diplom almağa qərar verdim. Diplom 2 günə tamamlandı! İndi əvvəllər xəyal etmədiyim bir işim var!! Təşəkkürlər!

Triqonometriyanı öyrənməyə düzbucaqlı üçbucaqla başlayırıq. Sinus və kosinusun nə olduğunu, eləcə də iti bucağın tangensi və kotangensini təyin edək. Bunlar triqonometriyanın əsaslarıdır.

Bunu xatırlayın düz bucaq 90 dərəcəyə bərabər olan bucaqdır. Başqa sözlə, açılmış küncün yarısı.

Kəskin künc- 90 dərəcədən az.

Küt bucaq- 90 dərəcədən çox. Belə bir bucaqla əlaqədar olaraq, "küt" təhqir deyil, riyazi bir termindir :-)

Gəlin düzbucaqlı üçbucaq çəkək. Düz bucaq adətən işarələnir. Qeyd edək ki, küncün qarşısındakı tərəf eyni hərflə qeyd olunur, yalnız kiçikdir. Beləliklə, A bucağına qarşı olan tərəf işarələnir.

Bucaq müvafiq yunan hərfi ilə işarələnir.

Hipotenuz Düzbucaqlı üçbucaq düz bucağın əks tərəfidir.

Ayaqlar- kəskin künclərə qarşı tərəflər.

Küncün qarşısındakı ayaq deyilir əks(bucağa nisbətən). Küncün bir tərəfində yatan digər ayaq deyilir bitişik.

Sinus Düzbucaqlı üçbucaqda kəskin bucaq əks ayağın hipotenuzaya nisbətidir:

Kosinus düz üçbucaqda kəskin bucaq - bitişik ayağın hipotenuzaya nisbəti:

Tangens Düzbucaqlı üçbucaqda kəskin bucaq - əks ayağın qonşuya nisbəti:

Başqa (ekvivalent) tərif: kəskin bucağın tangensi bucağın sinusunun onun kosinusuna nisbətidir:

Kotangent düz üçbucaqda kəskin bucaq - bitişik ayağın əks tərəfə nisbəti (və ya ekvivalent olaraq kosinusun sinus nisbəti):

Aşağıda verilmiş sinus, kosinus, tangens və kotangens üçün əsas nisbətlərə diqqət yetirin. Problemlərin həllində bizə faydalı olacaqlar.

Onlardan bəzilərini sübut edək.

Yaxşı, təriflər və yazılı düsturlar verdik. Bəs niyə bizə sinus, kosinus, tangens və kotangens lazımdır?

Biz bunu bilirik hər hansı üçbucağın bucaqlarının cəmidir.

arasındakı əlaqəni bilirik partiyalar düz üçbucaq. Bu Pifaqor teoremidir: .

Belə çıxır ki, üçbucaqda iki bucağı bilməklə üçüncünü tapmaq olar. Düzbucaqlı üçbucağın iki tərəfini bilməklə üçüncünü tapa bilərsiniz. Beləliklə, bucaqlar üçün - onların nisbəti, tərəflər üçün - öz. Bəs düz üçbucaqda bir bucaq (sağdan başqa) və bir tərəfi məlumdursa, amma başqa tərəfləri tapmaq lazımdırsa nə etməli?

Bu, insanların keçmişdə ərazinin və ulduzlu səmanın xəritələrini hazırladıqları şeydir. Axı, bir üçbucağın bütün tərəflərini birbaşa ölçmək həmişə mümkün deyil.

Sinus, kosinus və tangens - bunlara da deyilir bucağın triqonometrik funksiyaları- arasındakı nisbəti verin partiyalar və künclərüçbucaq. Bucağı bilməklə, xüsusi cədvəllərdən istifadə edərək onun bütün triqonometrik funksiyalarını tapa bilərsiniz. Üçbucağın və onun tərəflərindən birinin bucaqlarının sinuslarını, kosinuslarını və tangenslərini bilməklə, qalanını tapa bilərsiniz.

Həm də "yaxşı" bucaqlar üçün sinus, kosinus, tangens və kotangent dəyərlər cədvəlini çəkəcəyik.

Cədvəldəki iki qırmızı tireyə diqqət yetirin. Bucaqların müvafiq dəyərləri üçün tangens və kotangens mövcud deyil.

Bank of FIPI tapşırıqlarından triqonometriyada bir neçə problemi təhlil edək.

1. Üçbucaqda bucaq , -dir. tap .

Problem dörd saniyə ərzində həll olunur.

Nə qədər ki , .

2. Üçbucaqda bucaq , , dir. tap .

Pifaqor teoremi ilə tapaq.

Problem həll olundu.

Çox vaxt məsələlərdə bucaqları olan və ya bucaqları olan üçbucaqlar və . Onlar üçün əsas nisbətləri əzbərləyin!

Bucaqları olan üçbucaq və bucağın əksinə olan ayaq üçün bərabərdir hipotenuzanın yarısı.

Bucaqları olan və ikitərəfli üçbucaq. Orada hipotenuz ayaqdan dəfələrlə böyükdür.

Düzgün üçbucaqların həlli üçün - yəni naməlum tərəfləri və ya bucaqları tapmaq üçün məsələləri nəzərdən keçirdik. Ancaq bu, hamısı deyil! Riyaziyyatdan imtahan variantlarında üçbucağın xarici bucağının sinus, kosinus, tangens və ya kotangens göründüyü bir çox tapşırıq var. Bu barədə daha ətraflı növbəti məqalədə.

Bu yazıda hərtərəfli nəzərdən keçirəcəyik. Əsas triqonometrik eyniliklər bir bucağın sinusu, kosinusu, tangensi və kotangensi arasında əlaqə quran və məlum digəri vasitəsilə bu triqonometrik funksiyalardan hər hansı birini tapmağa imkan verən bərabərliklərdir.

Dərhal bu məqalədə təhlil edəcəyimiz əsas triqonometrik şəxsiyyətləri sadalayırıq. Biz onları cədvəl şəklində yazırıq və aşağıda bu düsturların törəmələrini veririk və lazımi izahatları veririk.

Səhifə naviqasiyası.

Bir bucağın sinüsü ilə kosinusu arasında əlaqə

Bəzən yuxarıdakı cədvəldə sadalanan əsas triqonometrik eyniliklər haqqında deyil, bir tək haqqında danışırlar əsas triqonometrik eynilik mehriban . Bu faktın izahı olduqca sadədir: bərabərliklər əsas triqonometrik eynilikdən onun hər iki hissəsini müvafiq olaraq və bərabərliklərə böldükdən sonra əldə edilir. və sinus, kosinus, tangens və kotangensin təriflərindən əməl edin. Bunu növbəti paraqraflarda daha ətraflı müzakirə edəcəyik.

Yəni, əsas triqonometrik eyniliyin adı verilən bərabərlik xüsusi maraq doğurur.

Əsas triqonometrik eyniliyi sübut etməzdən əvvəl onun formulunu veririk: bir bucağın sinusunun və kosinusunun kvadratlarının cəmi eyni olaraq birə bərabərdir. İndi gəlin sübut edək.

Əsas triqonometrik eynilik çox tez-tez istifadə olunur triqonometrik ifadələrin çevrilməsi. Bu, bir bucağın sinusunun və kosinusunun kvadratlarının cəmini bir ilə əvəz etməyə imkan verir. Daha az tez-tez əsas triqonometrik eynilik tərs qaydada istifadə olunur: vahid istənilən bucağın sinus və kosinusunun kvadratlarının cəmi ilə əvəz olunur.

Sinus və kosinus vasitəsilə tangens və kotangens

Formanın bir bucağının sinusu və kosinusu ilə tangensi və kotangensi birləşdirən eyniliklər və dərhal sinus, kosinus, tangens və kotangensin təriflərindən əmələ gəlir. Həqiqətən də tərifə görə sinus y-nin ordinatıdır, kosinus x-in absisidir, tangens ordinatın absissə nisbətidir, yəni. , kotangens isə absislərin ordinata nisbətidir, yəni .

Bu aşkarlıqdan ötəri şəxsiyyətlər və tez-tez tangens və kotangensin tərifləri absis və ordinatın nisbəti ilə deyil, sinus və kosinus nisbəti ilə verilir. Deməli, bucağın tangensi sinusun bu bucağın kosinusuna, kotangens isə kosinusun sinusuna nisbətidir.

Bu bölməni yekunlaşdırmaq üçün qeyd etmək lazımdır ki, şəxsiyyətlər və triqonometrik funksiyaların məna kəsb etdiyi bütün bucaqlar üçün saxlayın. Beləliklə, düstur (əks halda məxrəc sıfır olacaq və biz sıfıra bölməni təyin etməmişik) və düsturdan başqa hər hansı biri üçün etibarlıdır. - hamı üçün , fərqli , burada z hər hansıdır .

Tangens və kotangens arasındakı əlaqə

Əvvəlki ikisindən daha açıq triqonometrik eynilik, formanın bir bucağının tangensini və kotangensini birləşdirən eynilikdir. . Aydındır ki, -dən başqa hər hansı bucaqlar üçün baş verir, əks halda ya tangens, ya da kotangens müəyyən edilmir.

Düsturun sübutu çox sadə. Tərifinə görə və haradan . Sübut bir az fərqli şəkildə həyata keçirilə bilərdi. O vaxtdan və , sonra .

Deməli, mənalı olduqları bir bucağın tangensi və kotangensi belədir.

İki bucağın cəminin və fərqinin kosinusu

Bu bölmədə aşağıdakı iki düstur sübut olunacaq:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

İki bucağın cəminin (fərqinin) kosinusu bu bucaqların kosinuslarının hasilindən bu bucaqların sinuslarının hasilinə (plus) bərabərdir.

(2) düsturunun isbatından başlamaq bizim üçün daha rahat olacaq. Sadəlik üçün əvvəlcə bucaqların olduğunu fərz edək α və β aşağıdakı şərtləri təmin edin:

1) bu bucaqların hər biri mənfi deyil və ondan kiçikdir 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

0x oxunun müsbət hissəsi bucaqların ümumi başlanğıc tərəfi olsun α və β .

Bu bucaqların son tərəflərini müvafiq olaraq 0A və 0B kimi işarə edək. Aydındır ki, bucaq α - β 0B şüasını 0 nöqtəsi ətrafında saat əqrəbinin əksinə çevirmək lazım olan bucaq hesab edilə bilər ki, onun istiqaməti 0A şüanın istiqaməti ilə üst-üstə düşsün.

0A və 0B şüaları üzərində 0 koordinatlarının başlanğıcından 1 məsafədə olan M və N nöqtələrini qeyd edirik ki, 0M = 0N = 1 olsun.

x0y koordinat sistemində M nöqtəsinin koordinatları ( cosa, sinα) və N nöqtəsi - koordinatlar ( cos β , sin β). Beləliklə, aralarındakı məsafənin kvadratı belədir:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

Hesablamalarda biz şəxsiyyətdən istifadə etdik

sin 2 φ + cos 2 φ = 1.

İndi 0x və 0y oxlarını 0 nöqtəsi ətrafında saat əqrəbinin əksinə bucaqla fırlatmaqla əldə edilən başqa B0C koordinat sistemini nəzərdən keçirək. β .

Bu koordinat sistemində M nöqtəsinin koordinatları var (cos ( α - β ), günah ( α - β )), nöqtə isə N-koordinatlardır (1,0). Beləliklə, aralarındakı məsafənin kvadratı belədir:

d 2 2 \u003d 2 + 2 \u003d cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ günah 2 (α - β) \u003d 2.

Lakin M və N nöqtələri arasındakı məsafə bu nöqtələri hansı koordinat sistemi hesab etdiyimizdən asılı deyil. Belə ki

d 1 2 = d 2 2

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .

Burada (2) düstur gəlir.

İndi künclərdə təqdimatın sadəliyi üçün qoyduğumuz iki məhdudiyyəti xatırlamalıyıq. α və β .

Hər küncün olması tələbi α və β qeyri-mənfi idi, əslində əhəmiyyətli deyildi. Axı, bu bucaqların hər hansı birinə 2n-ə çox olan bir bucaq əlavə etmək olar ki, bu da (2) düsturun etibarlılığına heç bir şəkildə təsir göstərməyəcəkdir. Eynilə, verilmiş bucaqların hər birindən çoxluğu olan bucağı çıxara bilərsiniz 2π. Ona görə də belə hesab etmək olar 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

Vəziyyət α > β . Həqiqətən, əgər α < β , sonra β >α ; buna görə də funksiyanın bərabərliyini nəzərə alaraq cos X , alırıq:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,

(2) düsturu ilə mahiyyətcə üst-üstə düşür. Beləliklə formula

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

bütün bucaqlar üçün doğrudur α və β . Xüsusilə, əvəz etməklə β üstündə - β və funksiyanı nəzərə alaraq cosX cütdür və funksiyası günahX qəribədir, alırıq:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

\u003d cos α cos β - sin α sin β,

(1) düsturu sübut edir.

Beləliklə, (1) və (2) düsturları isbat olunur.

Nümunələr.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

Məşqlər

1 . Triqonometrik cədvəllərdən istifadə etmədən hesablayın:

a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;

b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;

c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;

d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;

e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8;

e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .

2.İfadələri sadələşdirin:

a). çünki ( α + π / 3 ) + cos (π / 3 - α ) .

b). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + günah (36° + α ) günah ( α - 24°).

v). günah (π / 4 - α ) günah (π / 4 + α ) - cos(π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )

d) cos 2 α +tg α günah 2 α .

3 . Hesablayın :

a) cos (α - β), əgər

cosα = - 2 / 5 , sinβ = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

b) çünki ( α + π / 6) əgər cos α = 0,6;

3π / 2< α < 2π.

4 . tapın cos(α + β) və cos (α - β) , əgər bilinsə ki, günah α = 7/25 cos β = - 5/13 və hər iki bucaq ( α və β ) eyni rübdə bitir.

5 .Hesablayın:

a). cos [ arcsin 1/3 + arccos 2/3 ]

b). cos [ arcsin 1/3 - arccos (- 2/3)] .

v). cos [arctg 1 / 2 + arccos (- 2)]