İmtahan nümunələri üzrə loqarifmlər. Loqarifmlər: nümunələr və həllər

Loqarifmik ifadələr, misalların həlli. Bu yazıda biz loqarifmlərin həlli ilə bağlı məsələlərə baxacağıq. Tapşırıqlarda ifadənin mənasını tapmaq sualı verilir. Qeyd etmək lazımdır ki, loqarifm anlayışı bir çox vəzifələrdə istifadə olunur və onun mənasını başa düşmək son dərəcə vacibdir. Vahid Dövlət İmtahanına gəldikdə, loqarifm tənlikləri həll edərkən, tətbiqi məsələlərdə, həmçinin funksiyaların öyrənilməsi ilə bağlı tapşırıqlarda istifadə olunur.

Loqarifmin mənasını başa düşmək üçün misallar verək:

Əsas loqarifmik eynilik:

Loqarifmlərin həmişə yadda saxlanmalı olan xüsusiyyətləri:

*Hasilin loqarifmi amillərin loqarifmlərinin cəminə bərabərdir.

* * *

*Bölmənin (kəsirin) loqarifmi amillərin loqarifmləri arasındakı fərqə bərabərdir.

* * *

*Göstəricinin loqarifmi eksponentin və əsasının loqarifmasının hasilinə bərabərdir.

* * *

*Yeni bir təmələ keçid

* * *

Daha çox əmlak:

* * *

Loqarifmlərin hesablanması eksponentlərin xassələrinin istifadəsi ilə sıx bağlıdır.

Onlardan bəzilərini sadalayaq:

Bu xassənin mahiyyəti ondan ibarətdir ki, pay məxrəcə və əksinə köçürüldükdə göstəricinin işarəsi əks tərəfə dəyişir. Misal üçün:

Bu əmlakdan nəticə:

* * *

Gücü bir gücə qaldırarkən, əsas eyni qalır, lakin eksponentlər vurulur.

* * *

Gördüyünüz kimi, loqarifm anlayışının özü sadədir. Əsas odur ki, sizə müəyyən bacarıq verən yaxşı təcrübə lazımdır. Təbii ki, düsturları bilmək tələb olunur. Elementar loqarifmləri çevirmək bacarığı inkişaf etdirilməyibsə, sadə tapşırıqları həll edərkən asanlıqla səhv edə bilərsiniz.

Təcrübə edin, əvvəlcə riyaziyyat kursundan ən sadə nümunələri həll edin, sonra daha mürəkkəb olanlara keçin. Gələcəkdə mən mütləq "çirkin" loqarifmlərin necə həll olunduğunu göstərəcəyəm, bunlar Vahid Dövlət İmtahanında görünməyəcək, lakin maraqlıdır, onları qaçırmayın!

Hamısı budur! Sənə uğurlar!

Hörmətlə, Aleksandr Krutitskix

P.S: Sosial şəbəkələrdə sayt haqqında məlumat versəniz minnətdar olaram.

Məxfiliyinizi qorumaq bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik təcrübələrimizi nəzərdən keçirin və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

• Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, e-poçt ünvanınız və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

• Topladığımız şəxsi məlumatlar bizə unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlərlə bağlı sizinlə əlaqə saxlamağa imkan verir.
• Zaman-zaman biz sizin şəxsi məlumatlarınızdan vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
• Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlər, məlumatların təhlili və müxtəlif araşdırmalar aparmaq kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
• Əgər siz uduş tirajında, müsabiqədə və ya oxşar təşviqatda iştirak edirsinizsə, biz bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə məlumatların açıqlanması

Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

• Zəruri hallarda - qanuna, məhkəmə proseduruna uyğun olaraq, məhkəmə prosesində və/və ya ictimai sorğular və ya Rusiya Federasiyasının ərazisində dövlət orqanlarının sorğuları əsasında - şəxsi məlumatlarınızı açıqlamaq. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai əhəmiyyətli məqsədlər üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
• Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq varisə üçüncü tərəfə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilməkdən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.

Şirkət səviyyəsində məxfiliyinizə hörmət etmək

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz əməkdaşlarımıza məxfilik və təhlükəsizlik standartlarını çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

Bu video dərslikdə biz kifayət qədər ciddi loqarifmik tənliyin həllinə baxacağıq, burada yalnız kökləri tapmaq lazım deyil, həm də müəyyən bir seqmentdə olanları seçmək lazımdır.

Problem C1. Tənliyi həll edin. Bu tənliyin intervala aid olan bütün köklərini tapın.

Loqarifmik tənliklər haqqında qeyd

Bununla belə, ildən-ilə mənim yanıma tələbələr gəlir ki, bunları həll etməyə çalışırlar, açığı, çətin tənliklər, lakin eyni zamanda başa düşə bilmirlər: hətta haradan başlamalı və loqarifmə necə yanaşmalı? Bu problem hətta güclü, yaxşı hazırlanmış tələbələr arasında da yarana bilər.

Nəticədə çoxları bu mövzudan qorxmağa başlayır, hətta özlərini axmaq hesab edirlər. Beləliklə, unutmayın: belə bir tənliyi həll edə bilmirsinizsə, bu, heç də axmaq olduğunuz demək deyil. Çünki, məsələn, bu tənliyi demək olar ki, şifahi şəkildə idarə edə bilərsiniz:

log 2 x = 4

Əgər belə olmasaydı, indi bu mətni oxumazdın, çünki daha sadə və daha adi işlərlə məşğul idin. Təbii ki, indi kimsə etiraz edəcək: "Bu ən sadə tənliyin sağlam quruluşumuzla nə əlaqəsi var?" Cavab verirəm: hər hansı bir loqarifmik tənlik, nə qədər mürəkkəb olsa da, son nəticədə şifahi şəkildə həll edilə bilən bu ən sadə strukturlara gəlir.

Əlbəttə ki, mürəkkəb loqarifmik tənliklərdən daha sadə tənliklərə seçim və ya qavalla rəqs etməklə deyil, aydın, uzun müddət müəyyən edilmiş qaydalara uyğun olaraq keçmək lazımdır. loqarifmik ifadələrin çevrilməsi qaydaları. Onları bilməklə, riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanında ən mürəkkəb tənliklərlə asanlıqla məşğul ola bilərsiniz.

Və bugünkü dərsdə danışacağımız bu qaydalardır. Get!

C1 məsələsində loqarifmik tənliyin həlli

Beləliklə, tənliyi həll edirik:

Hər şeydən əvvəl, loqarifmik tənliklərə gəldikdə, əsas taktikaları - belə desək, loqarifmik tənliklərin həllinin əsas qaydasını xatırlayırıq. O, aşağıdakılardan ibarətdir:

Kanonik forma teoremi. Hər hansı bir loqarifmik tənlik, nəyi ehtiva etməsindən asılı olmayaraq, hansı loqarifmlərdən, hansı bazadan və nəyi ehtiva etməsindən asılı olmayaraq, mütləq şəkildə formanın tənliyinə endirilməlidir:

log a f (x) = log a g (x)

Tənliyimizə baxsaq, dərhal iki problem görürük:

1. Solda bizdə iki ədədin cəmi, bunlardan biri ümumiyyətlə loqarifm deyil.
2. Sağda kifayət qədər loqarifm var, lakin onun əsasında bir kök var. Və soldakı logarifm sadəcə 2-dir, yəni. Sol və sağdakı loqarifmlərin əsasları fərqlidir.

Beləliklə, biz tənliyimizi ondan ayıran problemlərin bu siyahısını tərtib etdik kanonik tənlik, həll prosesi zamanı hər hansı loqarifmik tənliyə endirilməli. Beləliklə, bu mərhələdə tənliyimizi həll etmək yuxarıda təsvir olunan iki problemi aradan qaldırmağa gəlir.

İstənilən loqarifmik tənliyi kanonik formaya salsanız, tez və asanlıqla həll oluna bilər.

Məhsulun loqarifmlərinin və loqarifmlərinin cəmi

Gəlin qaydada davam edək. Əvvəlcə soldakı quruluşa baxaq. İki loqarifmin cəmi haqqında nə deyə bilərik? Gözəl düsturu xatırlayaq:

log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)

Ancaq nəzərə almağa dəyər ki, bizim vəziyyətimizdə birinci termin ümumiyyətlə loqarifm deyil. Bu o deməkdir ki, vahidi 2-ci bazaya loqarifm kimi təqdim etməliyik (dəqiq 2, çünki 2-ci bazanın loqarifmi soldadır). Bunu necə etmək olar? Gözəl düsturu bir daha xatırlayaq:

a = log b b a

Burada başa düşmək lazımdır: “Hər hansı b bazası” dedikdə, b-nin hələ də ixtiyari ədəd ola bilməyəcəyini nəzərdə tuturuq. Bir loqarifmə bir ədəd daxil etsək, müəyyən məhdudiyyətlər, yəni: loqarifmin əsası 0-dan böyük olmalıdır və 1-ə bərabər olmamalıdır. Əks halda, loqarifmin sadəcə mənası yoxdur. Bunu yazaq:

0 < b ≠ 1

Gəlin bizim vəziyyətimizdə nə baş verdiyinə baxaq:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

İndi bu faktı nəzərə alaraq bütün tənliyimizi yenidən yazaq. Və dərhal başqa bir qayda tətbiq edirik: loqarifmlərin cəmi arqumentlərin hasilinin loqarifmasına bərabərdir. Nəticədə əldə edirik:

Yeni bir tənliyimiz var. Gördüyümüz kimi, o, artıq cəhd etdiyimiz kanonik tənliyə çox yaxındır. Ancaq bir problem var, onu ikinci nöqtə kimi yazdıq: solda və sağda olan loqarifmlərimiz, müxtəlif səbəblər. Gəlin növbəti mərhələyə keçək.

Loqarifmadan güclərin çıxarılması qaydaları

Beləliklə, soldakı loqarifmin yalnız 2 əsası var və sağdakı loqarifmin əsasda bir kökü var. Ancaq loqarifmin arqumentlərinin əsaslarının güclərə qaldırıla biləcəyini xatırlasaq, bu problem deyil. Bu qaydalardan birini yazaq:

log a b n = n log a b

İnsan dilinə tərcümə: gücü loqarifmin əsasından çıxarıb çarpan kimi qarşıya qoya bilərsiniz. n ədədi loqarifmdən xaricə “köçmüş” və qabaqda əmsala çevrilmişdir.

Gücü loqarifmin əsasından asanlıqla əldə edə bilərik. Bu belə görünəcək:

Başqa sözlə desək, loqarifmin arqumentindən dərəcəni çıxarsanız, bu dərəcə həm də loqarifmadan əvvəl əmsal kimi yazılır, lakin ədəd kimi deyil, 1/k əks rəqəmi kimi yazılır.

Bununla belə, hamısı deyil! Bu iki düsturu birləşdirib aşağıdakı düsturla çıxış edə bilərik:

Loqarifmin həm bazasında, həm də arqumentində güc göründükdə, gücləri həm bazadan, həm də arqumentdən dərhal çıxarmaqla vaxta qənaət edə və hesablamaları sadələşdirə bilərik. Bu halda, arqumentdə olan şey (bizim vəziyyətimizdə bu n əmsalıdır) paylayıcıda görünəcəkdir. Və bazada dərəcə nə idi, a k, məxrəcə gedəcək.

Və loqarifmlərimizi eyni bazaya endirmək üçün indi istifadə edəcəyimiz bu düsturlardır.

İlk növbədə, az və ya çox gözəl bir baza seçək. Aydındır ki, iki ilə işləmək köklə işləməkdən daha xoşdur. Beləliklə, ikinci loqarifmanı 2-ci bazaya endirməyə çalışaq. Bu loqarifmanı ayrıca yazaq:

Burada nə edə bilərik? Rasional göstərici ilə güc düsturunu xatırlayaq. Başqa sözlə, kökləri rasional göstərici ilə bir güc kimi yaza bilərik. Və sonra həm arqumentdən, həm də loqarifmin əsasından 1/2-nin gücünü alırıq. Loqarifmə baxan pay və məxrəcdəki əmsallarda ikiliyi azaldırıq:

Nəhayət, yeni əmsalları nəzərə alaraq orijinal tənliyi yenidən yazaq:

log 2 2(9x 2 + 5) = log 2 (8x 4 + 14)

Kanonik loqarifmik tənliyi əldə etdik. Həm solda, həm də sağda eyni əsas 2-nin loqarifmimiz var. Bu loqarifmlərdən başqa, nə solda, nə də sağda heç bir əmsal, termin yoxdur.

Beləliklə, loqarifmin işarəsindən qurtula bilərik. Təbii ki, tərif sahəsini nəzərə alaraq. Amma bunu etməzdən əvvəl gəlin geri qayıdıb fraksiyalar haqqında bir az aydınlıq gətirək.

Kəsirin kəsrə bölünməsi: Əlavə mülahizələr

Düzgün loqarifmin qarşısındakı amillərin haradan gəldiyini və hara getdiyini bütün tələbələr başa düşmür. Yenidən yazaq:

Gəlin kəsrin nə olduğunu anlayaq. Gəlin yazaq:

İndi kəsrlərin bölünməsi qaydasını xatırlayaq: 1/2-ə bölmək üçün tərs kəsrə vurmaq lazımdır:

Əlbəttə ki, sonrakı hesablamaların rahatlığı üçün ikini 2/1 olaraq yaza bilərik - və həll prosesində ikinci əmsal kimi müşahidə etdiyimiz budur.

Ümid edirəm ki, indi hər kəs ikinci əmsalın haradan gəldiyini başa düşür, ona görə də birbaşa kanonik loqarifmik tənliyimizi həll etməyə keçək.

Loqarifm işarəsindən qurtulmaq

Nəzərinizə çatdırım ki, indi loqarifmlərdən qurtula və aşağıdakı ifadəni tərk edə bilərik:

2(9x 2 + 5) = 8x 4 + 14

Sol tərəfdəki mötərizələri açaq. Biz əldə edirik:

18x 2 + 10 = 8x 4 + 14

Gəlin hər şeyi sol tərəfdən sağa keçirək:

8x 4 + 14 − 18x 2 − 10 = 0

Gəlin oxşarları gətirək və əldə edək:

8x 4 − 18x 2 + 4 = 0

Əmsalları sadələşdirmək üçün bu tənliyin hər iki tərəfini 2-yə bölmək olar və əldə edirik:

4x 4 − 9x 2 + 2 = 0

Bizdən əvvəl adidir bikvadrat tənlik, və onun kökləri diskriminant vasitəsilə asanlıqla hesablanır. Beləliklə, diskriminantı yazaq:

D = 81 − 4 4 2 = 81 − 32 = 49

Əla, diskriminant “gözəl”dir, kökü 7-dir. Budur, X-ı özümüz sayaq. Amma bu halda köklər x deyil, x 2 olacaq, çünki bikvadrat tənliyimiz var. Beləliklə, seçimlərimiz:

Diqqət edin: kökləri çıxardıq, ona görə də iki cavab olacaq, çünki... kvadrat - hətta fəaliyyət göstərir. Və yalnız ikinin kökünü yazsaq, sadəcə olaraq ikinci kökü itirəcəyik.

İndi biquadratik tənliyimizin ikinci kökünü yazırıq:

Yenə də tənliyimizin hər iki tərəfinin arifmetik kvadrat kökünü götürüb iki kök alırıq. Ancaq unutmayın:

Loqarifmlərin arqumentlərini kanonik formada sadəcə olaraq bərabərləşdirmək kifayət deyil. Tərif sahəsini xatırlayın!

Ümumilikdə dörd kök aldıq. Onların hamısı həqiqətən bizim orijinal tənliyimiz üçün həllərdir. Baxın: orijinal loqarifmik tənliyimizdə içəridəki loqarifmlər ya 9x 2 + 5 (bu funksiya həmişə müsbətdir) və ya 8x 4 + 14-dür - bu da həmişə müsbətdir. Buna görə də, loqarifmlərin tərif sahəsi istənilən halda, hansı kökü almağımızdan asılı olmayaraq təmin edilir, bu o deməkdir ki, dörd kök də bizim tənliyimizin həllidir.

Əla, indi keçək problemin ikinci hissəsinə.

Seqment üzrə loqarifmik tənliyin köklərinin seçilməsi

Dörd kökümüzdən seqmentdə olanları seçirik [−1; 8/9]. Biz öz köklərimizə qayıdırıq və indi onların seçimini həyata keçirəcəyik. Başlamaq üçün bir koordinat oxu çəkməyi və üzərində seqmentin uclarını qeyd etməyi təklif edirəm:

Hər iki nöqtə kölgədə qalacaq. Bunlar. Problemin şərtlərinə görə, biz kölgəli seqmentlə maraqlanırıq. İndi köklərə baxaq.

İrrasional köklər

Məntiqsiz köklərdən başlayaq. Qeyd edək ki, 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:

Buradan belə çıxır ki, ikinin kökü bizim üçün maraqlı olan seqmentə düşmür. Eynilə, biz mənfi köklə əldə edəcəyik: −1-dən kiçikdir, yəni bizi maraqlandıran seqmentin solunda yerləşir.

Rasional köklər

İki kök qalıb: x = 1/2 və x = −1/2. Diqqət yetirək ki, seqmentin sol ucu (−1) mənfi, sağ ucu (8/9) müsbətdir. Buna görə də, bu ucların arasında haradasa 0 rəqəmi yerləşir. x = −1/2 kökü −1 ilə 0 arasında olacaq, yəni. son cavabla yekunlaşacaq. Eyni şeyi x = 1/2 kökü ilə edirik. Bu kök də nəzərdən keçirilən seqmentdə yerləşir.

8/9-un 1/2-dən böyük olduğuna əmin ola bilərsiniz. Bu ədədləri bir-birindən çıxaraq:

7/18 > 0 kəsirini aldıq, bu da tərifinə görə 8/9 > 1/2 deməkdir.

Koordinat oxunda uyğun kökləri qeyd edək:

Son cavab iki kök olacaq: 1/2 və -1/2.

İrrasional ədədlərin müqayisəsi: universal alqoritm

Sonda mən bir daha irrasional rəqəmlərə qayıtmaq istərdim. Onların nümunəsindən istifadə edərək, indi riyaziyyatda rasional və irrasional kəmiyyətləri necə müqayisə edəcəyimizə baxacağıq. Başlamaq üçün, onların arasında belə bir gənə var V - "daha çox" və ya "az" işarəsi, lakin onun hansı istiqamətə yönəldiyini hələ bilmirik. Gəlin yazaq:

Niyə ümumiyyətlə hər hansı müqayisə alqoritmlərinə ehtiyacımız var? Fakt budur ki, bu problemdə çox şanslı idik: 1 nömrəli bölmənin həlli zamanı ortaya çıxdı, bu barədə mütləq deyə bilərik:

Ancaq həmişə belə bir rəqəmi dərhal görməyəcəksiniz. Beləliklə, rəqəmlərimizi birbaşa müqayisə etməyə çalışaq.

Necə edilib? Adi bərabərsizliklərlə eyni şeyi edirik:

1. Birincisi, əgər bir yerdə mənfi əmsallarımız olsaydı, bərabərsizliyin hər iki tərəfini −1-ə vurardıq. Əlbəttə işarənin dəyişdirilməsi. Bu işarə V buna dəyişəcək - Λ.
2. Amma bizdə hər iki tərəf artıq müsbətdir, ona görə də nəyisə dəyişməyə ehtiyac yoxdur. Həqiqətən lazım olan budur hər iki tərəfi kvadrat radikaldan qurtulmaq üçün.

İrrasional ədədləri müqayisə edərkən dərhal ayıran elementi seçmək mümkün deyilsə, belə bir müqayisəni "baş-başa" etməyi məsləhət görürəm - onu adi bərabərsizlik kimi təsvir edirəm.

Onu həll edərkən belə rəsmiləşdirilir:

İndi hər şeyi müqayisə etmək asandır. Məsələ ondadır ki, 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.

Budur, biz bütün nömrələrin x rəqəm sətrində düzgün və dəqiq olaraq hansı ardıcıllıqla qeyd olunduğuna dair ciddi sübut aldıq. Bu həlldə heç kim günah tapmayacaq, buna görə də unutmayın: bölmə nömrəsini dərhal görmürsünüzsə (bizim vəziyyətimizdə bu 1-dir), onda yuxarıdakı konstruksiyanı yazın, çoxaldın, kvadratını çəkin - və sonunda gözəl bərabərsizlik əldə edin. Bu bərabərsizlikdən hansı rəqəmin daha çox, hansının az olduğu aydın olacaq.

Problemimizə qayıdaraq, tənliyimizi həll edərkən ən əvvəldə nə etdiyimizi bir daha diqqətinizə çatdırmaq istərdim. Məhz: orijinal loqarifmik tənliyimizi yaxından nəzərdən keçirdik və onu azaltmağa çalışdıq kanonik loqarifmik tənlik. Yalnız solda və sağda loqarifmlərin olduğu yerdə - heç bir əlavə şərtlər olmadan, qarşısında əmsallar və s. Bizə a və ya b əsasında iki loqarifm lazım deyil, başqa bir loqarifmə bərabər olan loqarifm lazımdır.

Bundan əlavə, loqarifmlərin əsasları da bərabər olmalıdır. Üstəlik, əgər tənlik düzgün qurulubsa, onda elementar loqarifmik çevrilmələrin (loqarifmlərin cəmi, ədədin loqarifmə çevrilməsi və s.) köməyi ilə bu tənliyi kanonik tənliyə endirəcəyik.

Buna görə də, bundan sonra dərhal həlli mümkün olmayan bir loqarifmik tənlik gördüyünüz zaman itirməməli və cavabı tapmağa çalışmamalısınız. Sizə lazım olan tək şey bu addımları yerinə yetirməkdir:

1. Bütün sərbəst elementləri loqarifmə çevirmək;
2. Sonra bu loqarifmləri əlavə edin;
3. Yaranan tikintidə bütün loqarifmləri eyni bazaya endirin.

Nəticədə siz 8-9-cu sinif materiallarından elementar cəbr alətlərindən istifadə etməklə həll edilə bilən sadə tənlik əldə edəcəksiniz. Ümumiyyətlə, mənim saytıma girin, loqarifm həllini məşq edin, mənim kimi loqarifmik tənlikləri həll edin, məndən yaxşı həll edin. Və mənim üçün hamısı budur. Pavel Berdov səninlə idi. Yenidən görüşərik!

Loqarifm nədir?

Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki materiallar.
Çox "çox deyil..." olanlar üçün.
Və "çox..." olanlar üçün)

Loqarifm nədir? Loqarifmləri necə həll etmək olar? Bu suallar bir çox məzunları çaşdırır. Ənənəvi olaraq, loqarifmlər mövzusu mürəkkəb, anlaşılmaz və qorxulu hesab olunur. Xüsusilə loqarifmli tənliklər.

Bu, qətiyyən doğru deyil. Mütləq! Mənə inanmırsan? Yaxşı. İndi cəmi 10-20 dəqiqə ərzində siz:

1. Anlayacaqsınız loqarifm nədir.

2. Eksponensial tənliklərin bütün sinfini həll etməyi öyrənin. Onlar haqqında heç nə eşitməmiş olsanız belə.

3. Sadə loqarifmləri hesablamağı öyrənin.

Üstəlik, bunun üçün sadəcə vurma cədvəlini və ədədi gücə necə yüksəltməyi bilməlisiniz...

Hiss edirəm ki, şübhəniz var... Yaxşı, yaxşı, vaxtı qeyd edin! Get!

Əvvəlcə bu tənliyi başınızda həll edin:

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Gəlin öyrənək - maraqla!)

Funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

Bildiyiniz kimi, ifadələri dərəcələrlə vurarkən onların göstəriciləri həmişə toplanır (a b *a c = a b+c). Bu riyazi qanunu Arximed çıxarmışdır və sonralar 8-ci əsrdə riyaziyyatçı Virasen tam ədədlər cədvəlini yaratmışdır. Məhz onlar loqarifmlərin sonrakı kəşfinə xidmət etmişlər. Bu funksiyadan istifadə nümunələri, demək olar ki, hər yerdə tapıla bilər, burada sadə toplama ilə çətin vurmanı sadələşdirmək lazımdır. Bu məqaləni oxumağa 10 dəqiqə vaxt ayırsanız, sizə loqarifmlərin nə olduğunu və onlarla necə işləməyi izah edəcəyik. Sadə və əlçatan dildə.

Riyaziyyatda tərif

Loqarifm aşağıdakı formanın ifadəsidir: log a b=c, yəni hər hansı qeyri-mənfi ədədin (yəni hər hansı müsbət) “b”-nin “a” bazasına loqarifmi “c” qüvvəsi hesab olunur. ” nəticədə “b” dəyərini əldə etmək üçün “a” bazası qaldırılmalıdır. Nümunələrdən istifadə edərək loqarifmanı təhlil edək, tutaq ki, log 2 ifadəsi var 8. Cavabı necə tapmaq olar? Çox sadədir, elə bir güc tapmaq lazımdır ki, 2-dən tələb olunan gücə 8-ə çatasınız. Beyninizdə bəzi hesablamalar apardıqdan sonra 3 rəqəmini alırıq! Və bu doğrudur, çünki 2-nin 3-ün qüvvəsi 8 kimi cavab verir.

Loqarifmlərin növləri

Bir çox şagird və tələbələr üçün bu mövzu mürəkkəb və anlaşılmaz görünür, amma əslində loqarifmlər o qədər də qorxulu deyil, əsas odur ki, onların ümumi mənasını başa düşmək və xassələrini və bəzi qaydaları yadda saxlamaq lazımdır. Loqarifmik ifadələrin üç ayrı növü var:

1. Təbii loqarifm ln a, burada əsas Eyler ədədidir (e = 2.7).
2. Ondalık a, burada əsas 10-dur.
3. a>1 əsası üçün istənilən b ədədinin loqarifmi.

Onların hər biri standart şəkildə həll edilir, o cümlədən loqarifmik teoremlərdən istifadə etməklə sadələşdirmə, reduksiya və sonradan tək loqarifmə endirmə. Loqarifmlərin düzgün dəyərlərini əldə etmək üçün onların xassələrini və həlli zamanı hərəkətlərin ardıcıllığını yadda saxlamalısınız.

Qaydalar və bəzi məhdudiyyətlər

Riyaziyyatda bir neçə qayda-məhdudiyyət var ki, onlar aksioma kimi qəbul edilir, yəni müzakirə mövzusu deyil və həqiqətdir. Məsələn, ədədləri sıfıra bölmək mümkün deyil, mənfi ədədlərin cüt kökünü çıxarmaq da mümkün deyil. Loqarifmlərin də öz qaydaları var, onlara əməl etməklə hətta uzun və tutumlu loqarifmik ifadələrlə işləməyi asanlıqla öyrənə bilərsiniz:

• “a” bazası həmişə sıfırdan böyük və 1-ə bərabər olmamalıdır, əks halda ifadə öz mənasını itirəcək, çünki “1” və “0” istənilən dərəcədə həmişə onların qiymətlərinə bərabərdir;
• a > 0 olarsa, a b >0 olarsa, belə çıxır ki, “c” də sıfırdan böyük olmalıdır.

Loqarifmləri necə həll etmək olar?

Məsələn, 10 x = 100 tənliyinin cavabını tapmaq tapşırığı verilir. Bu çox asandır, 100 aldığımız on rəqəmini qaldıraraq güc seçmək lazımdır. Bu, təbii ki, 10 2 = 100.

İndi bu ifadəni loqarifmik formada təqdim edək. Biz log 10 100 = 2 alırıq. Loqarifmləri həll edərkən, verilmiş ədədi əldə etmək üçün loqarifmin əsasını daxil etmək lazım olan gücü tapmaq üçün bütün hərəkətlər praktiki olaraq birləşir.

Naməlum dərəcənin dəyərini dəqiq müəyyən etmək üçün dərəcələr cədvəli ilə işləməyi öyrənməlisiniz. Bu belə görünür:

Gördüyünüz kimi, bəzi eksponentləri intuitiv olaraq təxmin etmək olar, əgər texniki ağlınız və vurma cədvəli haqqında məlumatınız varsa. Bununla birlikdə, daha böyük dəyərlər üçün bir güc masasına ehtiyacınız olacaq. Ondan hətta mürəkkəb riyazi mövzular haqqında heç nə bilməyənlər də istifadə edə bilər. Sol sütunda rəqəmlər var (a bazası), nömrələrin yuxarı cərgəsi a rəqəminin qaldırıldığı c gücünün dəyəridir. Kəsişmədə xanalar cavab olan rəqəm dəyərlərini ehtiva edir (a c = b). Məsələn, 10 rəqəmi olan ilk xananı götürək və onun kvadratını götürək, iki xanamızın kəsişməsində göstərilən 100 qiymətini alırıq. Hər şey o qədər sadə və asandır ki, hətta ən həqiqi humanist belə başa düşəcək!

Tənliklər və bərabərsizliklər

Belə çıxır ki, müəyyən şərtlərdə göstərici loqarifmdir. Buna görə də istənilən riyazi ədədi ifadələr loqarifmik bərabərlik kimi yazıla bilər. Məsələn, 3 4 =81, dördə bərabər olan 81-in 3 loqarifmi kimi yazıla bilər (log 3 81 = 4). Mənfi güclər üçün qaydalar eynidir: 2 -5 = 1/32 onu loqarifm kimi yazırıq, log 2 (1/32) = -5 alırıq. Riyaziyyatın ən maraqlı bölmələrindən biri “loqarifmlər” mövzusudur. Aşağıda onların xassələrini öyrəndikdən dərhal sonra tənliklərin nümunələrinə və həllərinə baxacağıq. İndi bərabərsizliklərin necə göründüyünə və onları tənliklərdən necə fərqləndirəcəyinə baxaq.

Aşağıdakı ifadə verilir: log 2 (x-1) > 3 - loqarifmik bərabərsizlikdir, çünki naməlum “x” dəyəri loqarifmik işarənin altındadır. Həm də ifadədə iki kəmiyyət müqayisə edilir: iki əsas üçün istədiyiniz ədədin loqarifmi üç rəqəmindən böyükdür.

Loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklər arasındakı ən mühüm fərq ondan ibarətdir ki, loqarifmli tənliklər (məsələn, loqarifm 2 x = √9) cavabda bir və ya bir neçə xüsusi ədədi dəyəri nəzərdə tutur, bərabərsizliyi həll edərkən hər ikisi məqbul diapazonu əhatə edir. dəyərlər və nöqtələr bu funksiyanı pozaraq müəyyən edilir. Nəticə etibarı ilə cavab tənliyin cavabında olduğu kimi fərdi ədədlərin sadə dəsti deyil, davamlı sıra və ya ədədlər toplusudur.

Loqarifmlər haqqında əsas teoremlər

Loqarifmin dəyərlərini tapmaq üçün ibtidai tapşırıqları həll edərkən, onun xüsusiyyətləri məlum olmaya bilər. Lakin loqarifmik tənliklərdən və ya bərabərsizliklərdən söhbət gedəndə, ilk növbədə, loqarifmin bütün əsas xassələrini aydın başa düşmək və praktikada tətbiq etmək lazımdır. Tənlik nümunələrinə daha sonra baxacağıq, əvvəlcə hər bir xüsusiyyətə daha ətraflı baxaq.

1. Əsas şəxsiyyət belə görünür: a logaB =B. O, yalnız a 0-dan böyük, birə bərabər deyil və B sıfırdan böyük olduqda tətbiq edilir.
2. Məhsulun loqarifmini aşağıdakı düsturla göstərmək olar: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu halda məcburi şərt: d, s 1 və s 2 > 0; a≠1. Bu loqarifmik düstur üçün misallar və həll yolu ilə sübut verə bilərsiniz. log a s 1 = f 1 və log a s 2 = f 2, sonra a f1 = s 1, a f2 = s 2. Alırıq ki, s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (xassələr) dərəcə ) və sonra tərifinə görə: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, sübut edilməli olan şeydir.
3. Hissənin loqarifmi belə görünür: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Düstur şəklində olan teorem aşağıdakı formanı alır: log a q b n = n/q log a b.

Bu düstur “loqarifm dərəcəsinin xassəsi” adlanır. O, adi dərəcələrin xassələrinə bənzəyir və təəccüblü deyil, çünki bütün riyaziyyat təbii postulatlara əsaslanır. Gəlin sübuta baxaq.

Log a b = t olsun, a t =b çıxır. Hər iki hissəni m qüvvəsinə qaldırsaq: a tn = b n ;

lakin a tn = (a q) nt/q = b n olduğundan, log a q b n = (n*t)/t, sonra log a q b n = n/q log a b. Teorem sübut edilmişdir.

Problemlər və bərabərsizliklər nümunələri

Loqarifmlər üzrə ən çox yayılmış problem növləri tənlik və bərabərsizlik nümunələridir. Onlar demək olar ki, bütün problem kitablarında olur və eyni zamanda riyaziyyat imtahanlarının tələb olunan hissəsidir. Universitetə ​​daxil olmaq və ya riyaziyyatdan qəbul imtahanlarından keçmək üçün bu cür tapşırıqları necə düzgün həll edəcəyinizi bilməlisiniz.

Təəssüf ki, loqarifmin naməlum qiymətinin həlli və təyini üçün vahid plan və ya sxem yoxdur, lakin hər bir riyazi bərabərsizliyə və ya loqarifmik tənliyə müəyyən qaydalar tətbiq oluna bilər. Hər şeydən əvvəl, ifadənin sadələşdirilə və ya ümumi formaya salına biləcəyini öyrənməlisiniz. Uzun loqarifmik ifadələrin xassələrindən düzgün istifadə etsəniz, onları sadələşdirə bilərsiniz. Gəlin onlarla tez tanış olaq.

Loqarifmik tənlikləri həll edərkən biz hansı növ loqarifmə malik olduğumuzu müəyyən etməliyik: nümunə ifadəsində təbii loqarifm və ya onluq ola bilər.

Budur ln100, ln1026 nümunələri. Onların həlli əsas 10-un müvafiq olaraq 100 və 1026-ya bərabər olacağı gücü təyin etmələri lazım olduğuna qədər qaynar. Təbii loqarifmləri həll etmək üçün loqarifmik eynilikləri və ya onların xassələrini tətbiq etmək lazımdır. Müxtəlif tipli loqarifmik məsələlərin həlli nümunələrinə baxaq.

Loqarifm düsturlarından necə istifadə etməli: Nümunələr və həllər ilə

Beləliklə, loqarifmlər haqqında əsas teoremlərdən istifadə nümunələrinə baxaq.

1. Məhsulun loqarifminin xassəsindən b ədədinin böyük qiymətini daha sadə amillərə parçalamaq lazım olan tapşırıqlarda istifadə oluna bilər. Məsələn, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cavab 9-dur.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - gördüyünüz kimi, loqarifmin gücünün dördüncü xassəsindən istifadə edərək, mürəkkəb və həll olunmayan zahirən bir ifadəni həll edə bildik. Siz sadəcə bazanı faktorlara ayırmalı və sonra eksponent dəyərləri loqarifmin işarəsindən çıxarmalısınız.

Vahid Dövlət İmtahanından tapşırıqlar

Logarifmlərə tez-tez qəbul imtahanlarında, xüsusən də Vahid Dövlət İmtahanında (bütün məktəb məzunları üçün dövlət imtahanı) bir çox logarifmik problemə rast gəlinir. Tipik olaraq, bu tapşırıqlar təkcə A hissəsində (imtahanın ən asan test hissəsi) deyil, həm də C hissəsində (ən mürəkkəb və həcmli tapşırıqlar) mövcuddur. İmtahan “Təbii loqarifmlər” mövzusunda dəqiq və mükəmməl bilik tələb edir.

Məsələnin nümunələri və həlli Vahid Dövlət İmtahanının rəsmi versiyalarından götürülmüşdür. Bu cür vəzifələrin necə həll edildiyini görək.

Verilmiş log 2 (2x-1) = 4. Həlli:
ifadəni bir az sadələşdirərək yenidən yazaq log 2 (2x-1) = 2 2, loqarifmin tərifindən alırıq ki, 2x-1 = 2 4, buna görə də 2x = 17; x = 8.5.

• Həll çətin və çaşdırıcı olmaması üçün bütün loqarifmləri eyni bazaya endirmək daha yaxşıdır.
• Loqarifm işarəsi altında olan bütün ifadələr müsbət kimi göstərilir, buna görə də loqarifm işarəsi altında olan və əsası olan ifadənin göstəricisi çarpan kimi çıxarıldıqda, loqarifmin altında qalan ifadə müsbət olmalıdır.