Kök orta kvadratını hesablayın. Standart sapma nədir - Excel-də standart kənarlaşmanı hesablamaq üçün standart sapma funksiyasından istifadə etməklə

Variasiyanın ən mükəmməl xarakteristikası standart (və ya standart kənarlaşma) adlanan standart kənarlaşmadır. Standart sapma() fərdi xüsusiyyət qiymətlərinin arifmetik ortadan sapmalarının orta kvadratının kvadrat kökünə bərabərdir:

Standart sapma sadədir:

Qruplaşdırılmış məlumatlar üçün çəkili standart kənarlaşma tətbiq edilir:

Normal paylanma şəraitində orta kvadrat və orta xətti kənarlaşmalar arasında aşağıdakı əlaqə baş verir: ~ 1.25.

Dəyişkənliyin əsas mütləq ölçüsü olan standart sapma normal paylanma əyrisinin ordinatlarının qiymətlərinin müəyyən edilməsində, nümunə müşahidəsinin təşkili və seçmə xüsusiyyətlərinin düzgünlüyünün müəyyən edilməsi ilə bağlı hesablamalarda, habelə homojen populyasiyada əlamətin dəyişmə sərhədlərinin qiymətləndirilməsi.

Dispersiya, onun növləri, standart kənarlaşma.

Təsadüfi dəyişənin variasiyası- verilmiş təsadüfi dəyişənin yayılmasının ölçüsü, yəni onun riyazi gözləntidən sapması. Statistikada təyin və ya tez-tez istifadə olunur. Dispersiyanın kvadrat kökü standart kənarlaşma, standart kənarlaşma və ya standart yayılma adlanır.

Ümumi variasiya (σ2) bu dəyişkənliyə səbəb olan bütün amillərin təsiri altında bütün populyasiyada bir əlamətin dəyişməsini ölçür. Eyni zamanda qruplaşdırma metodu sayəsində qruplaşma xüsusiyyətinə görə dəyişkənliyi və hesaba alınmamış amillərin təsiri altında baş verən dəyişkənliyi təcrid etmək və ölçmək mümkündür.

Qruplararası variasiya (σ 2 m.qr) sistematik dəyişkənliyi, yəni əlamətin - qruplaşmanın əsasını təşkil edən amilin təsiri altında yaranan tədqiq olunan əlamətin böyüklüyündəki fərqləri xarakterizə edir.

standart sapma(sinonimlər: standart sapma, standart yayınma, standart yayınma; oxşar terminlər: standart sapma, standart yayılma) - ehtimal nəzəriyyəsi və statistikada təsadüfi dəyişənin qiymətlərinin riyazi gözləntisinə nisbətən dağılmasının ən ümumi göstəricisi. Dəyər nümunələrinin məhdud massivləri ilə riyazi gözlənti əvəzinə nümunələr toplusunun arifmetik ortası istifadə olunur.

Standart kənarlaşma təsadüfi dəyişənin özünün vahidləri ilə ölçülür və arifmetik ortanın standart xətasının hesablanmasında, etibarlılıq intervallarının qurulmasında, fərziyyələrin statistik yoxlanılmasında və təsadüfi dəyişənlər arasında xətti əlaqənin ölçülməsində istifadə olunur. Təsadüfi dəyişənin dispersiyasının kvadrat kökü kimi müəyyən edilir.

Standart sapma:

Standart sapma(təsadüfi dəyişənin standart sapmasının qiymətləndirilməsi x onun dispersiyasının qərəzsiz qiymətləndirilməsinə əsaslanan riyazi gözləntisinə nisbətən):

dispersiya haradadır; — i- nümunə elementi; - nümunə ölçüsü; - nümunənin arifmetik ortası:

Qeyd etmək lazımdır ki, hər iki qiymətləndirmə qərəzlidir. Ümumi halda qərəzsiz qiymətləndirmə qurmaq mümkün deyil. Bununla belə, qərəzsiz dispersiya təxmininə əsaslanan qiymətləndirmə ardıcıldır.

Rejimin və medianın müəyyən edilməsinin mahiyyəti, əhatə dairəsi və proseduru.

Statistikada güc qanunu ortalamalarına əlavə olaraq, dəyişən atributun böyüklüyünün nisbi xarakteristikası və paylanma sıralarının daxili strukturu üçün əsasən aşağıdakılarla təmsil olunan struktur ortalamalardan istifadə olunur. rejim və median.

Moda- Bu, serialın ən çox yayılmış variantıdır. Moda, məsələn, alıcılar arasında ən çox tələbat olan paltarların, ayaqqabıların ölçülərinin müəyyən edilməsində istifadə olunur. Diskret seriyalar üçün rejim ən yüksək tezlikli variantdır. İnterval dəyişmə seriyası üçün rejimi hesablayarkən əvvəlcə modal intervalı (maksimum tezliyə görə), sonra isə düstura uyğun olaraq atributun modal dəyərinin dəyərini təyin etməlisiniz:

- - moda dəyəri

- - modal intervalın aşağı həddi

- - interval dəyəri

- - modal interval tezliyi

- - modaldan əvvəlki intervalın tezliyi

- - modaldan sonrakı intervalın tezliyi

orta - bu, sıralanmış seriyanın əsasını təşkil edən və bu seriyanı sayca bərabər iki hissəyə bölən xüsusiyyətin dəyəridir.

Tezliklərin mövcudluğunda diskret sıradakı medianı müəyyən etmək üçün əvvəlcə tezliklərin yarım cəmini hesablayın və sonra variantın hansı dəyərinə düşdüyünü müəyyənləşdirin. (Əgər çeşidlənmiş cərgədə tək sayda xüsusiyyət varsa, median rəqəm düsturla hesablanır:

M e \u003d (n (məcmu xüsusiyyətlərin sayı) + 1) / 2,

xüsusiyyətlərin cüt sayı olduğu halda, median cərgənin ortasındakı iki xüsusiyyətin ortasına bərabər olacaqdır).

Hesablayarkən medianlar interval variasiya seriyası üçün əvvəlcə medianın yerləşdiyi median intervalı, sonra isə düstura uyğun olaraq medianın qiymətini təyin edin:

- arzu olunan mediandır

- medianı ehtiva edən intervalın aşağı sərhədidir

- - interval dəyəri

- - tezliklərin cəmi və ya seriya üzvlərinin sayı

Mediandan əvvəlki intervalların yığılmış tezliklərinin cəmi

- median intervalın tezliyidir

Misal. Rejimi və medianı tapın.

Həll:
Bu misalda modal interval 25-30 yaş qrupundadır, çünki bu interval ən yüksək tezliyi (1054) təşkil edir.

Rejim dəyərini hesablayaq:

Bu o deməkdir ki, tələbələrin modal yaşı 27-dir.

Medianı hesablayın. Median interval 25-30 yaş qrupuna aiddir, çünki bu intervalda əhalini iki bərabər hissəyə bölən variant mövcuddur (Σf i /2 = 3462/2 = 1731). Sonra, lazımi ədədi məlumatları düstura əvəz edirik və medianın dəyərini alırıq:

Bu o deməkdir ki, tələbələrin yarısının yaşı 27,4-dən aşağı, digər yarısının isə 27,4 yaşından yuxarıdır.

Rejim və mediana əlavə olaraq, sıralanmış seriyanı 4 bərabər hissəyə bölməklə, kvartillər kimi göstəricilərdən istifadə edilə bilər, desil- 10 hissə və faizlər - 100 hissəyə.

Seçmə müşahidə anlayışı və onun əhatə dairəsi.

Seçici müşahidə davamlı müşahidənin tətbiqi zamanı tətbiq edilir fiziki cəhətdən mümkün deyil böyük miqdarda məlumatlara görə və ya iqtisadi cəhətdən qeyri-mümkündür. Fiziki qeyri-mümkünlük, məsələn, sərnişin axınını, bazar qiymətlərini, ailə büdcələrini öyrənərkən baş verir. İqtisadi məqsədəuyğunluq onların məhv edilməsi ilə əlaqəli malların keyfiyyətini qiymətləndirərkən baş verir, məsələn, dadmaq, kərpicləri möhkəmliyə sınamaq və s.

Müşahidə üçün seçilmiş statistik vahidlər nümunə və ya nümunəni, onların bütün massivini isə ümumi populyasiyanı (GS) təşkil edir. Bu halda nümunədəki vahidlərin sayı işarə edir n və bütün HS-də - N. Münasibət n/N nümunənin nisbi ölçüsü və ya nisbəti adlanır.

Nümunə götürmə nəticələrinin keyfiyyəti nümunənin reprezentativliyindən, yəni onun HS-də nə dərəcədə təmsil olunmasından asılıdır. Nümunənin reprezentativliyini təmin etmək üçün müşahidə etmək lazımdır vahidlərin təsadüfi seçilməsi prinsipi, bu fərz edir ki, HS vahidinin nümunəyə daxil edilməsinə təsadüfdən başqa heç bir amil təsir edə bilməz.

Mövcuddur Təsadüfi seçimin 4 yolu nümunə götürmək üçün:

1. Əslində təsadüfi seçim və ya "lotto üsulu", seriya nömrələri statistik dəyərlərə təyin edildikdə, müəyyən obyektlərə (məsələn, keqlərə) daxil edilir, sonra müəyyən bir qabda (məsələn, çantada) qarışdırılır və təsadüfi seçilir. Təcrübədə bu üsul təsadüfi ədədlər generatorundan və ya təsadüfi ədədlərin riyazi cədvəllərindən istifadə etməklə həyata keçirilir.
2. Mexanik seçim, buna görə hər biri ( Yoxdur)-ümumi əhalinin dəyəri. Məsələn, 100.000 dəyərdən ibarətdirsə və siz 1000 seçmək istəyirsinizsə, onda hər 100.000 / 1000 = 100-cü dəyər nümunəyə düşəcək. Üstəlik, əgər sıralanmasa, birinci yüzlük arasından təsadüfi seçilir, digərlərinin sayı isə yüz daha çox olacaqdır. Məsələn, 19 nömrəli vahid birinci idisə, növbəti 119 rəqəmi, sonra 219 nömrəsi, sonra 319 nömrəsi və s. Əhali vahidləri sıralanırsa, əvvəlcə #50, sonra #150, sonra #250 və s. seçilir.
3. Heterojen məlumat massivindən dəyərlərin seçilməsi həyata keçirilir təbəqələşmişdir(stratifikasiyalı) metod, ümumi əhalinin əvvəllər təsadüfi və ya mexaniki seçimin tətbiq olunduğu homojen qruplara bölündüyü zaman.
4. Xüsusi bir nümunə götürmə üsuludur serial ayrı-ayrı kəmiyyətlərin təsadüfi və ya mexaniki olaraq seçilmədiyi, lakin ardıcıl müşahidənin aparıldığı onların seriyası (bir sıra nömrələrdən bəzilərinə ardıcıllıqlar) seçmə.

Nümunə müşahidələrinin keyfiyyəti də ondan asılıdır nümunə növü: təkrarlanır və ya təkrarlanmayan.

At yenidən seçim nümunəyə daxil olan statistik dəyərlər və ya onların seriyaları istifadə edildikdən sonra yeni nümunəyə daxil olmaq imkanı əldə edərək ümumi əhaliyə qaytarılır. Eyni zamanda, ümumi əhalinin bütün dəyərlərinin nümunəyə daxil olma ehtimalı eynidir.

Təkrarlanmayan seçim o deməkdir ki, nümunəyə daxil olan statistik dəyərlər və ya onların seriyaları istifadə edildikdən sonra ümumi əhaliyə qaytarılmır və buna görə də, sonuncunun qalan dəyərləri üçün növbəti seçməyə daxil olma ehtimalı artır.

Təkrarlanmayan seçmə daha dəqiq nəticələr verir, ona görə də daha tez-tez istifadə olunur. Amma elə hallar olur ki, onu tətbiq etmək olmur (sərnişin axını, istehlakçı tələbatının öyrənilməsi və s.) və sonra yenidən seçim aparılır.

Müşahidə nümunəsinin marjinal xətası, nümunənin orta xətası, onların hesablanması qaydası.

Nümunə kütləsinin formalaşdırılmasının yuxarıdakı üsullarını və bu halda yaranan səhvləri ətraflı nəzərdən keçirək. təmsilçilik .
Əslində - təsadüfi seçmə ardıcıllıq elementləri olmadan təsadüfi olaraq ümumi əhali arasından vahidlərin seçilməsinə əsaslanır. Texniki cəhətdən düzgün təsadüfi seçim püşkatma (məsələn, lotereya) və ya təsadüfi ədədlər cədvəli ilə həyata keçirilir.

Əslində-təsadüfi seçmə "saf formada" seçmə müşahidə praktikasında nadir hallarda istifadə olunur, lakin o, digər seçim növləri arasında ilkindir, seçmə müşahidənin əsas prinsiplərini həyata keçirir. Nümunə alma metodu nəzəriyyəsinin bəzi suallarını və sadə təsadüfi seçmə üçün səhv düsturunu nəzərdən keçirək.

Nümunə alma xətası- bu, ümumi populyasiyada parametrin dəyəri ilə seçmə müşahidəsinin nəticələrinə görə hesablanmış dəyəri arasındakı fərqdir. Orta kəmiyyət xarakteristikası üçün seçmə xətası ilə müəyyən edilir

Göstərici marjinal seçmə xətası adlanır.
Nümunə ortalaması seçmədə hansı vahidlərin olduğundan asılı olaraq müxtəlif dəyərlər qəbul edə bilən təsadüfi dəyişəndir. Buna görə seçmə səhvləri də təsadüfi dəyişənlərdir və müxtəlif qiymətlər ala bilər. Buna görə də, mümkün səhvlərin ortasını təyin edin - ortalama seçmə xətası, bunlardan asılıdır:

Nümunə ölçüsü: sayı nə qədər böyükdürsə, orta səhv bir o qədər kiçikdir;

Öyrənilən əlamətin dəyişmə dərəcəsi: əlamətin dəyişməsi nə qədər kiçik olarsa və nəticədə dispersiya daha kiçik olarsa, orta seçmə xətası da bir o qədər kiçik olar.

At təsadüfi yenidən seçim orta xəta hesablanır:
.
Təcrübədə ümumi variasiya tam olaraq bilinmir, lakin in ehtimal nəzəriyyəsi sübut etdi
.
Kifayət qədər böyük n-in dəyəri 1-ə yaxın olduğundan, biz belə güman edə bilərik ki, . Sonra orta seçmə xətası hesablana bilər:
.
Ancaq kiçik bir nümunə halında (n üçün<30) коэффициент необходимо учитывать, и среднюю ошибку малой выборки рассчитывать по формуле
.

At təsadüfi seçmə verilən düsturlar qiymətlə düzəldilir. Nümunə almamanın orta xətası:
və .
Çünki həmişə -dən kiçikdirsə, onda () əmsalı həmişə 1-dən azdır. Bu o deməkdir ki, təkrarlanmayan seçimdə orta xəta həmişə təkrar seçimdən az olur.
Mexanik nümunə götürməümumi əhali hansısa şəkildə sıralandıqda (məsələn, əlifba sırası ilə seçici siyahıları, telefon nömrələri, ev nömrələri, mənzillər) istifadə olunur. Vahidlərin seçilməsi nümunənin faiz nisbətinin qarşılıqlı nisbətinə bərabər olan müəyyən bir intervalda aparılır. Beləliklə, 2% nümunə ilə hər 50 vahid = 1 / 0,02, 5%, ümumi əhalinin hər 1 / 0,05 = 20 vahidi seçilir.

Mənşə müxtəlif yollarla seçilir: təsadüfi, intervalın ortasından, mənşəyinin dəyişməsi ilə. Əsas odur ki, sistematik səhvlərdən qaçın. Məsələn, 5% nümunə ilə, ilk vahid kimi 13-cü seçilirsə, növbəti 33, 53, 73 və s.

Dəqiqlik baxımından mexaniki seçim düzgün təsadüfi seçməyə yaxındır. Buna görə də, mexaniki seçmənin orta xətasını müəyyən etmək üçün düzgün təsadüfi seçim düsturlarından istifadə olunur.

At tipik seçim sorğu edilən əhali ilkin olaraq bircinsli, tək tipli qruplara bölünür. Məsələn, müəssisələrin tədqiqi zamanı bunlar sənaye, alt sektorlar, əhalinin - ərazilər, sosial və ya yaş qrupları öyrənilərkən ola bilər. Sonra hər qrupdan mexaniki və ya düzgün təsadüfi üsulla müstəqil seçim aparılır.

Tipik seçmə digər üsullarla müqayisədə daha dəqiq nəticələr verir. Ümumi əhalinin tipləşdirilməsi hər bir tipoloji qrupun nümunədə təmsil olunmasını təmin edir ki, bu da qruplararası variasiyanın orta seçmə səhvinə təsirini istisna etməyə imkan verir. Buna görə də, dispersiyaların əlavə edilməsi qaydasına () görə tipik seçmənin xətasını taparkən, yalnız qrup dispersiyalarının ortasını nəzərə almaq lazımdır. Sonra orta seçmə xətası:
yenidən seçimdə
,
təkrarlanmayan seçim ilə
,
harada nümunədəki qrupdaxili dispersiyaların ortasıdır.

Serial (və ya iç-içə) seçim seçmə sorğu başlamazdan əvvəl əhali seriyalara və ya qruplara bölündükdə istifadə olunur. Bu seriyalar hazır məhsul paketləri, tələbə qrupları, komandalar ola bilər. Müayinə üçün seriyalar mexaniki və ya təsadüfi olaraq seçilir və seriya daxilində vahidlərin tam tədqiqi aparılır. Buna görə də orta seçmə xətası yalnız düsturla hesablanan qruplararası (seriyalararası) dispersiyadan asılıdır:

burada r seçilmiş seriyaların sayıdır;
- i-ci seriyanın orta qiyməti.

Orta seriyalı seçmə xətası hesablanır:

yenidən seçildikdə:
,
təkrarlanmayan seçimlə:
,
burada R seriyaların ümumi sayıdır.

Birləşdirilmiş seçim nəzərdən keçirilən seçim üsullarının məcmusudur.

Hər hansı bir seçmə üsulu üçün seçmənin orta xətası əsasən nümunənin mütləq ölçüsündən və daha az dərəcədə nümunənin faizindən asılıdır. Tutaq ki, birinci halda 4500 vahid əhalidən 225, ikinci halda isə 225 000 vahiddən 225 müşahidə aparılır. Hər iki halda fərqlər 25-ə bərabərdir. Sonra, birinci halda, 5% seçimlə, seçmə xətası belə olacaq:

İkinci halda, 0,1% seçim ilə, bu bərabər olacaq:

Bu minvalla, seçmə faizinin 50 dəfə azalması ilə nümunənin ölçüsü dəyişmədiyi üçün seçmə xətası bir qədər artdı.
Nümunə ölçüsünün 625 müşahidəyə qədər artırıldığını düşünək. Bu halda, seçmə xətası:

Ümumi əhalinin eyni ölçüsü ilə nümunənin 2,8 dəfə artması seçmə səhvinin ölçüsünü 1,6 dəfədən çox azaldır.

Nümunə kütləsinin formalaşdırılması üsulları və vasitələri.

Statistikada tədqiqatın məqsədləri ilə müəyyən edilən və öyrənilən obyektin xüsusiyyətlərindən asılı olan seçmə toplularının formalaşdırılmasının müxtəlif üsullarından istifadə olunur.

Seçmə sorğunun keçirilməsinin əsas şərti ümumi əhalinin hər bir vahidinin seçmələrə daxil olması üçün bərabər imkanlar prinsipinin pozulması nəticəsində yaranan sistematik xətaların baş verməsinin qarşısını almaqdır. Sistematik səhvlərin qarşısının alınmasına nümunə populyasiyanın formalaşdırılması üçün elmi əsaslandırılmış metodlardan istifadə nəticəsində nail olunur.

Ümumi əhali arasından vahidləri seçməyin aşağıdakı yolları var:

1) fərdi seçim - nümunədə fərdi vahidlər seçilir;

2) qrup seçimi - keyfiyyətcə eynicinsli qruplar və ya öyrənilən bölmələr silsiləsi nümunəyə düşür;

3) kombinə edilmiş seçim fərdi və qrup seçiminin birləşməsidir.
Seçim üsulları seçmə populyasiyasının formalaşdırılması qaydaları ilə müəyyən edilir.

Nümunə ola bilər:

• düzgün təsadüfi seçmənin ümumi populyasiyadan ayrı-ayrı vahidlərin təsadüfi (qəsdən) seçilməsi nəticəsində formalaşmasından ibarətdir. Bu halda, nümunə dəstində seçilmiş vahidlərin sayı adətən nümunənin qəbul edilmiş nisbətinə əsasən müəyyən edilir. Seçmə payı seçmə populyasiyasındakı vahidlərin sayının n ümumi populyasiyadakı vahidlərin sayına nisbəti N, yəni.

• mexaniki nümunədə vahidlərin seçilməsinin bərabər intervallara (qruplara) bölünmüş ümumi kütlədən aparılmasından ibarətdir. Bu halda, ümumi populyasiyada intervalın ölçüsü nümunənin nisbətinin əksinə bərabərdir. Belə ki, 2% nümunə ilə hər 50-ci vahid seçilir (1:0,02), 5% nümunə ilə, hər 20-ci vahid (1:0,05) və s. Beləliklə, qəbul edilmiş seçim nisbətinə uyğun olaraq, ümumi əhali, sanki, mexaniki olaraq bərabər qruplara bölünür. Nümunədəki hər qrupdan yalnız bir vahid seçilir.
• tipik - burada ümumi əhali ilk dəfə homojen tipik qruplara bölünür. Sonra hər bir tipik qrupdan təsadüfi və ya mexaniki nümunə ilə nümunəyə vahidlərin fərdi seçimi aparılır. Tipik seçmənin mühüm xüsusiyyəti ondan ibarətdir ki, o, nümunədə vahidlərin seçilməsinin digər üsulları ilə müqayisədə daha dəqiq nəticələr verir;
• serial- ümumi əhalinin eyni ölçülü qruplara bölündüyü - sıra. Nümunə dəstində seriyalar seçilir. Seriya daxilində sıraya düşən vahidlərin davamlı müşahidəsi aparılır;
• birləşdirilmiş- seçmə iki mərhələli ola bilər. Bu zaman ümumi əhali əvvəlcə qruplara bölünür. Sonra qruplar seçilir, sonuncular daxilində isə ayrı-ayrı bölmələr seçilir.

Statistikada nümunədə vahidlərin seçilməsinin aşağıdakı üsulları fərqləndirilir::

• tək mərhələ nümunə - hər bir seçilmiş vahid dərhal müəyyən bir əsasda öyrənilməyə məruz qalır (əslində təsadüfi və ardıcıl nümunələr);
• çoxpilləli seçmə - ayrı-ayrı qrupların ümumi populyasiyasından seçim aparılır və qruplardan ayrı-ayrı vahidlər seçilir (nümunə populyasiyasında vahidlərin mexaniki seçilməsi üsulu ilə tipik nümunə).

Bundan əlavə, var:

• yenidən seçim- qaytarılan topun sxeminə görə. Bu halda, nümunəyə düşmüş hər bir vahid və ya seriya ümumi kütləyə qaytarılır və buna görə də yenidən nümunəyə daxil olmaq şansı olur;
• təkrarlanmayan seçim- qaytarılmamış topun sxeminə görə. Eyni nümunə ölçüsü üçün daha dəqiq nəticələrə malikdir.

Tələb olunan nümunə ölçüsünün müəyyən edilməsi (Tələbə cədvəlindən istifadə etməklə).

Nümunə alma nəzəriyyəsində elmi prinsiplərdən biri də kifayət qədər sayda vahidlərin seçilməsini təmin etməkdir. Nəzəri olaraq, bu prinsipə riayət etmək zərurəti ehtimal nəzəriyyəsinin limit teoremlərinin sübutlarında təqdim olunur ki, bu da ümumi kütlədən neçə vahidin seçilməli olduğunu müəyyən etməyə imkan verir ki, kifayət qədər olsun və nümunənin reprezentativliyini təmin etsin.

Nümunənin standart səhvinin azalması və nəticədə qiymətləndirmənin düzgünlüyünün artması həmişə nümunənin ölçüsünün artması ilə əlaqələndirilir, buna görə də artıq nümunə müşahidəsinin təşkili mərhələsində qərar vermək lazımdır. müşahidə nəticələrinin tələb olunan dəqiqliyini təmin etmək üçün nümunənin ölçüsü nə olmalıdır. Tələb olunan seçmə ölçüsünün hesablanması bu və ya digər növ və seçim metoduna uyğun olan marjinal seçmə xətaları (A) üçün düsturlardan əldə edilən düsturlardan istifadə etməklə qurulur. Beləliklə, təsadüfi təkrarlanan nümunə ölçüsü (n) üçün bizdə:

Bu düsturun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, tələb olunan ədədin təsadüfi yenidən seçilməsi ilə seçmə ölçüsü etibarlılıq əmsalının kvadratına düz mütənasibdir. (t2) və variasiya xüsusiyyətinin dispersiyası (?2) və marjinal seçmə xətasının kvadratına tərs mütənasibdir (?2). Xüsusilə, marjinal səhvi iki dəfə artırmaqla tələb olunan seçmə ölçüsünü dörd dəfə azaltmaq olar. Üç parametrdən ikisi (t və?) tədqiqatçı tərəfindən təyin edilir.

Eyni zamanda tədqiqatçı Seçmə sorğunun məqsədləri üçün suala qərar verilməlidir: optimal variantı təmin etmək üçün bu parametrləri hansı kəmiyyət birləşməsinə daxil etmək daha yaxşıdır? Bir halda, o, əldə edilən nəticələrin etibarlılığı ilə (t) dəqiqlik ölçüsündən (?), digərində - əksinə daha çox qane ola bilər. Marjinal seçmə xətasının dəyəri ilə bağlı məsələni həll etmək daha çətindir, çünki tədqiqatçıda nümunə müşahidəsinin tərtibi mərhələsində bu göstərici yoxdur, buna görə də praktikada marjinal seçmə xətasını təyin etmək adətdir. bir qayda, əlamətin gözlənilən orta səviyyəsinin 10%-i daxilində. Fərz edilən orta səviyyənin müəyyən edilməsinə müxtəlif yollarla yanaşmaq olar: oxşar əvvəlki sorğuların məlumatlarından istifadə etmək və ya seçmə çərçivəsindəki məlumatlardan istifadə etmək və kiçik pilot nümunə götürmək.

Nümunə müşahidəsini tərtib edərkən müəyyən etmək ən çətin şey (5.2) düsturunda üçüncü parametrdir - seçmə populyasiyasının dispersiyasıdır. Bu zaman müstəntiqin ixtiyarında olan, əvvəlki oxşar və pilot sorğulardan əldə edilmiş bütün məlumatlardan istifadə etmək lazımdır.

Tərif sualıƏgər seçmə sorğusu seçmə vahidlərinin bir neçə xüsusiyyətlərinin öyrənilməsini nəzərdə tutursa, tələb olunan seçmə ölçüsü daha da mürəkkəbləşir. Bu halda, xarakteristikanın hər birinin orta səviyyələri və onların variasiyası, bir qayda olaraq, fərqlidir və buna görə də, yalnız məqsəd və vəzifələri nəzərə almaqla, xüsusiyyətlərin hansı dispersiyasına üstünlük veriləcəyinə qərar vermək olar. sorğu.

Nümunə müşahidəsini tərtib edərkən, müəyyən bir tədqiqatın məqsədlərinə və müşahidənin nəticələrinə əsaslanan nəticələrin ehtimalına uyğun olaraq icazə verilən seçmə xətasının əvvəlcədən müəyyən edilmiş dəyəri qəbul edilir.

Ümumiyyətlə, nümunənin orta dəyərinin marjinal səhvinin düsturu müəyyən etməyə imkan verir:

Ümumi əhalinin göstəricilərinin seçmə kütləsinin göstəricilərindən mümkün kənarlaşmalarının miqyası;

Mümkün səhvin hədlərinin müəyyən edilmiş müəyyən bir dəyəri keçməyəcəyi tələb olunan dəqiqliyi təmin edən tələb olunan nümunə ölçüsü;

Nümunədəki xətanın verilmiş limitə malik olması ehtimalı.

Tələbə paylanması ehtimal nəzəriyyəsində o, mütləq davamlı paylanmaların bir parametrli ailəsidir.

Dinamika silsiləsi (interval, moment), dinamika silsiləsi bağlanması.

Dinamiklər seriyası- bunlar müəyyən bir xronoloji ardıcıllıqla təqdim olunan statistik göstəricilərin qiymətləridir.

Hər bir zaman seriyası iki komponentdən ibarətdir:

1) dövrlərin göstəriciləri (illər, rüblər, aylar, günlər və ya tarixlər);

2) silsilənin səviyyələri adlanan zaman dövrləri və ya müvafiq tarixlər üzrə tədqiq olunan obyekti xarakterizə edən göstəricilər.

Seriyanın səviyyələri ifadə edilir həm mütləq, həm də orta və ya nisbi dəyərlər. Göstəricilərin xarakterindən asılı olaraq mütləq, nisbi və orta dəyərlərin dinamik sıraları qurulur. Nisbi və orta dəyərlərin dinamik sıraları mütləq dəyərlərin törəmə sıraları əsasında qurulur. Dinamikanın interval və moment sıraları var.

Dinamik interval seriyası müəyyən dövrlər üçün göstəricilərin dəyərlərini ehtiva edir. İnterval seriyalarında daha uzun müddət üçün fenomenin həcmini və ya yığılmış cəmləri əldə edərək səviyyələr yekunlaşdırıla bilər.

Dinamik moment seriyası müəyyən bir zamanda (vaxt tarixi) göstəricilərin dəyərlərini əks etdirir. Moment silsiləsində tədqiqatçını yalnız müəyyən tarixlər arasında silsilənin səviyyəsinin dəyişməsini əks etdirən hadisələrin fərqi maraqlandıra bilər, çünki burada səviyyələrin cəminin real məzmunu yoxdur. Burada məcmu cəmlər hesablanmır.

Dinamik sıraların düzgün qurulmasının ən mühüm şərti müxtəlif dövrlərə aid silsilələrin səviyyələrinin müqayisəli olmasıdır. Səviyyələr homojen miqdarda təqdim edilməli, fenomenin müxtəlif hissələrinin əhatə dairəsinin eyni tamlığı olmalıdır.

üçün Həqiqi dinamikanı təhrif etməmək üçün dinamik seriyanın statistik təhlilindən əvvəl olan statistik tədqiqatda (dinamik seriyanın bağlanması) ilkin hesablamalar aparılır. Zaman sıralarının bağlanması dedikdə səviyyələri müxtəlif metodologiyaya əsasən hesablanan və ya ərazi sərhədlərinə uyğun gəlməyən iki və ya daha çox seriyanın bir sıraya birləşməsi başa düşülür. Dinamik silsilənin bağlanması həm də dinamika silsiləsi səviyyələrinin uyğunsuzluğunu aradan qaldıran dinamika silsiləsi mütləq səviyyələrinin ümumi əsasa endirilməsini nəzərdə tuta bilər.

Zaman sıralarının, əmsalların, artım və artım templərinin müqayisəliliyi anlayışı.

Dinamiklər seriyası- bunlar təbii və sosial hadisələrin zamanla inkişafını xarakterizə edən statistik göstəricilər silsiləsi. Rusiya Dövlət Statistika Komitəsi tərəfindən nəşr olunan statistik məcmuələrdə cədvəl şəklində çoxlu sayda zaman seriyası var. Dinamikalar silsiləsi tədqiq olunan hadisələrin inkişaf qanunauyğunluqlarını aşkar etməyə imkan verir.

Zaman sıraları iki növ göstəricidən ibarətdir. Zaman göstəriciləri(illər, rüblər, aylar və s.) və ya zaman nöqtələri (ilin əvvəlində, hər ayın əvvəlində və s.). Sətir səviyyəsinin göstəriciləri. Zaman sıralarının səviyyələrinin göstəriciləri mütləq dəyərlərdə (istehsal ton və ya rublla), nisbi dəyərlərdə (şəhər əhalisinin payı%) və orta dəyərlərdə (sənaye işçilərinin illər üzrə orta əmək haqqı, və s.). Cədvəl şəklində zaman seriyası iki sütun və ya iki cərgədən ibarətdir.

Zaman sıralarının düzgün qurulması bir sıra tələblərin yerinə yetirilməsini nəzərdə tutur:

1. bir sıra dinamikanın bütün göstəriciləri elmi əsaslandırılmış, etibarlı olmalıdır;
2. bir sıra dinamikanın göstəriciləri zaman baxımından müqayisə oluna bilən olmalıdır, yəni. eyni vaxt dövrləri üçün və ya eyni tarixlərdə hesablanmalıdır;
3. bir sıra dinamikanın göstəriciləri bütün ərazi üzrə müqayisəli olmalıdır;
4. bir sıra dinamikanın göstəriciləri məzmunca müqayisəli olmalıdır, yəni. eyni üsulla vahid metodologiyaya görə hesablanır;
5. bir sıra dinamikanın göstəriciləri nəzərdən keçirilən təsərrüfatların diapazonu üzrə müqayisə edilə bilən olmalıdır. Bir sıra dinamikanın bütün göstəriciləri eyni ölçü vahidlərində verilməlidir.

Statistik göstəricilər ya tədqiq olunan prosesin müəyyən bir müddət ərzində nəticələrini, ya da müəyyən zaman anında tədqiq olunan hadisənin vəziyyətini xarakterizə edə bilər, yəni. göstəricilər interval (dövri) və ani ola bilər. Müvafiq olaraq, başlanğıcda dinamika seriyası ya interval, ya da an ola bilər. Dinamikanın moment sıraları da öz növbəsində bərabər və qeyri-bərabər zaman intervalları ilə ola bilər.

Dinamikanın ilkin seriyası bir sıra orta dəyərlərə və bir sıra nisbi dəyərlərə (zəncir və əsas) çevrilə bilər. Belə zaman sıralarına törəmə zaman sıraları deyilir.

Dinamik silsilədə orta səviyyənin hesablanması metodu dinamika seriyasının növünə görə fərqlidir. Nümunələrdən istifadə edərək, orta səviyyənin hesablanması üçün vaxt sıralarının növlərini və düsturlarını nəzərdən keçirin.

Mütləq qazanclar (Δy) seriyanın sonrakı səviyyəsinin əvvəlki ilə (sütun 3. - zəncirvari mütləq artımlar) və ya ilkin səviyyə ilə (sütun 4. - əsas mütləq artımlar) ilə müqayisədə neçə vahid dəyişdiyini göstərir. Hesablama düsturları aşağıdakı kimi yazıla bilər:

Seriyanın mütləq dəyərlərinin azalması ilə müvafiq olaraq "azalma", "azalma" olacaq.

Mütləq artım göstəriciləri göstərir ki, məsələn, 1998-ci ildə “A” məhsulunun istehsalı 1997-ci illə müqayisədə 4 min ton, 1994-cü illə müqayisədə isə 34 min ton artmışdır; digər illər üçün cədvələ baxın. 11,5 qr. 3 və 4.

Artım faktoru seriyanın səviyyəsinin əvvəlki ilə (5-ci sütun - zəncirvari artım və ya azalma əmsalları) və ya ilkin səviyyə ilə (6-cı sütun - əsas artım və ya azalma əmsalları) ilə müqayisədə neçə dəfə dəyişdiyini göstərir. Hesablama düsturları aşağıdakı kimi yazıla bilər:

Artım dərəcələri seriyanın növbəti səviyyəsinin əvvəlki ilə (sütun 7 - zəncirvari artım templəri) və ya ilkin səviyyə ilə müqayisədə (sütun 8 - əsas artım templəri) neçə faiz olduğunu göstərin. Hesablama düsturları aşağıdakı kimi yazıla bilər:

Belə ki, məsələn, 1997-ci ildə “A” məhsulunun istehsalının həcmi 1996-cı illə müqayisədə 105,5% (

Artım sürəti hesabat dövrünün səviyyəsinin əvvəlki ilə (9-cu sütun - zəncirvari artım templəri) və ya ilkin səviyyə ilə müqayisədə (10-cu sütun - əsas artım templəri) neçə faiz artdığını göstərin. Hesablama düsturları aşağıdakı kimi yazıla bilər:

T pr \u003d T p - 100% və ya T pr \u003d əvvəlki dövrün mütləq artımı / səviyyəsi * 100%

Belə ki, məsələn, 1996-cı ildə 1995-ci illə müqayisədə "A" məhsulu 3,8% (103,8% - 100%) və ya (8:210) x 100%, 1994-cü illə müqayisədə isə 9% çox istehsal edilmişdir. 109% - 100%).

Əgər silsilədə mütləq səviyyələr azalarsa, o zaman nisbət 100%-dən az olacaq və müvafiq olaraq azalma sürəti (mənfi işarə ilə artım tempi) olacaq.

1% artımın mütləq dəyəri(sütun 11) əvvəlki dövrün səviyyəsinin 1% artması üçün müəyyən bir dövrdə neçə ədəd istehsal edilməli olduğunu göstərir. Bizim nümunəmizdə 1995-ci ildə 2,0 min ton, 1998-ci ildə isə 2,3 min ton istehsal etmək lazım idi, yəni. daha böyük.

1% artımın mütləq dəyərinin böyüklüyünü müəyyən etməyin iki yolu var:

Əvvəlki dövrün səviyyəsini 100-ə bölün;

Mütləq zəncir artım templərini müvafiq zəncir artım templərinə bölün.

1% artımın mütləq dəyəri =

Dinamikada, xüsusən də uzun müddət ərzində, hər bir faiz artımının və ya azalmasının məzmunu ilə artım templərini birgə təhlil etmək vacibdir.

Qeyd edək ki, vaxt seriyalarının təhlili üçün nəzərdən keçirilən üsul həm səviyyələri mütləq dəyərlərlə (t, min rubl, işçilərin sayı və s.) İfadə olunan zaman seriyaları üçün, həm də zaman seriyaları üçün tətbiq olunur. nisbi göstəricilərlə (hurdanın %-i, kömürün % kül tərkibi və s.) və ya orta qiymətlərlə (c/ha-da orta məhsuldarlıq, orta əmək haqqı və s.) ifadə edilir.

Hər il üçün əvvəlki və ya ilkin səviyyə ilə müqayisədə hesablanmış nəzərə alınan analitik göstəricilərlə yanaşı, xronometriyanı təhlil edərkən dövr üzrə orta analitik göstəriciləri də hesablamaq lazımdır: seriyanın orta səviyyəsi, orta illik mütləq artım. (azalma) və orta illik artım tempi və artım tempi.

Bir sıra dinamikanın orta səviyyəsinin hesablanması üsulları yuxarıda müzakirə edilmişdir. Nəzərdən keçirdiyimiz dinamikanın interval seriyasında sıranın orta səviyyəsi sadə arifmetik orta düsturla hesablanır:

1994-1998-ci illərdə məhsulun orta illik buraxılışı. 218,4 min ton təşkil edib.

Orta illik mütləq artım sadə arifmetik orta düsturla da hesablanır:

İllik mütləq artımlar illər ərzində 4 ilə 12 min ton arasında dəyişdi (3-cü sütuna baxın), 1995-1998-ci illər üçün istehsalın orta illik artımı. 8,5 min ton təşkil edib.

Orta artım tempinin və orta artım sürətinin hesablanması üsulları daha ətraflı nəzərdən keçirilməsini tələb edir. Cədvəldə verilmiş seriya səviyyəsinin illik göstəriciləri nümunəsində onları nəzərdən keçirək.

Dinamik diapazonun orta səviyyəsi.

Dinamiklər seriyası (və ya zaman seriyası)- bunlar müəyyən statistik göstəricinin ardıcıl anlarda və ya zaman dövrlərində (yəni xronoloji ardıcıllıqla düzülmüş) ədədi dəyərləridir.

Bir sıra dinamikanı təşkil edən müəyyən bir statistik göstəricinin ədədi dəyərləri deyilir bir sıra səviyyələri və adətən hərflə işarələnir y. Serialın ilk üzvü y 1 ilkin və ya adlanır əsas, və sonuncu y n - final. Səviyyələrin aid olduğu anlar və ya zaman dövrləri ilə işarələnir t.

Dinamik seriyalar, bir qayda olaraq, cədvəl və ya qrafik şəklində təqdim olunur və x oxu boyunca zaman şkalası qurulur. t, və ordinat boyunca - sıra səviyyələrinin miqyası y.

Bir sıra dinamikanın orta göstəriciləri

Hər bir dinamika seriyası müəyyən bir çoxluq kimi qəbul edilə bilər n ortalar kimi ümumiləşdirilə bilən zamanla dəyişən göstəricilər. Belə ümumiləşdirilmiş (orta) göstəricilər bu və ya digər göstəricinin müxtəlif dövrlərdə, müxtəlif ölkələrdə və s. dəyişiklikləri müqayisə edərkən xüsusilə zəruridir.

Bir sıra dinamikanın ümumiləşdirilmiş xarakteristikası, ilk növbədə, ola bilər: orta sıra səviyyəsi. Orta səviyyənin hesablanması üsulu onun an seriyası və ya interval (dövr) seriyası olmasından asılıdır.

Nə vaxt interval sıra, onun orta səviyyəsi sıra səviyyələrinin sadə arifmetik orta düsturu ilə müəyyən edilir, yəni.

=
Əgər varsa an ehtiva edən sıra n səviyyələri ( y1, y2, …, yn) tarixlər (zaman nöqtələri) arasında bərabər intervallarla, onda belə bir sıra asanlıqla orta qiymətlər seriyasına çevrilə bilər. Eyni zamanda, hər bir dövrün əvvəlindəki göstərici (səviyyə) eyni zamanda əvvəlki dövrün sonundakı göstəricidir. Sonra hər bir dövr üçün göstəricinin orta dəyəri (tarixlər arasındakı interval) dəyərlərin yarım cəmi kimi hesablana bilər. saat dövrün əvvəlində və sonunda, yəni. Necə . Belə ortalamaların sayı olacaq. Daha əvvəl qeyd edildiyi kimi, orta sıralar üçün orta səviyyə arifmetik ortadan hesablanır.

Beləliklə, yaza bilərik:
.
Numeratoru çevirdikdən sonra alırıq:
,

harada Y1 və Yn- seriyanın birinci və son səviyyələri; Yi- orta səviyyələr.

Bu ortalama statistikada belə tanınır orta xronoloji an seriyası üçün. O, bu adı "cronos" (zaman, lat.) sözündən almışdır, çünki zamanla dəyişən göstəricilərdən hesablanır.

Qeyri-bərabər olduqda tarixlər arasındakı intervallar, an seriyası üçün xronoloji orta, tarixlər arasındakı məsafələr (zaman intervalları) ilə çəkilmiş hər bir cüt anlar üçün səviyyələrin orta qiymətlərinin arifmetik ortası kimi hesablana bilər, yəni.
.
Bu halda güman edilir ki, tarixlər arasındakı intervallarda səviyyələr müxtəlif qiymətlər alıb və biz iki məlum ( yi və yi+1) biz ortaları müəyyən edirik, ondan sonra bütün təhlil edilən dövr üçün ümumi ortanı hesablayırıq.
Hər bir dəyər olduğu fərz edilirsə yi gələnə qədər dəyişməz qalır (i+ 1)- ci an, yəni. səviyyələrin dəyişməsinin dəqiq tarixi məlumdur, onda hesablama çəkili arifmetik orta düsturdan istifadə etməklə aparıla bilər:
,

səviyyənin dəyişməz qaldığı vaxt haradadır.

Dinamiklər silsiləsində orta səviyyə ilə yanaşı, digər orta göstəricilər də hesablanır - seriyanın səviyyələrində orta dəyişiklik (əsas və zəncirvari üsullarla), orta dəyişmə sürəti.

Baza mütləq dəyişiklik deməkdir son əsas mütləq dəyişikliyin dəyişikliklərin sayına bölünməsi nisbətidir. Yəni

Zəncir mütləq dəyişiklik deməkdir silsilənin səviyyələri bütün zəncirvari mütləq dəyişikliklərin cəminin dəyişikliklərin sayına bölünməsi nisbətidir, yəni.

Orta mütləq dəyişikliklərin əlaməti ilə fenomenin dəyişməsinin xarakteri də orta hesabla qiymətləndirilir: artım, azalma və ya sabitlik.

Əsas və zəncirvari mütləq dəyişikliklərə nəzarət qaydasından belə çıxır ki, əsas və zəncirvari orta dəyişikliklər bərabər olmalıdır.

Orta mütləq dəyişikliklə yanaşı orta nisbi də əsas və zəncirvari üsullarla hesablanır.

Baza Orta Nisbi Dəyişiklik düsturla müəyyən edilir:

Zəncir nisbi dəyişiklik deməkdir düsturla müəyyən edilir:

Təbii ki, əsas və zəncirvari orta nisbi dəyişikliklər eyni olmalıdır və onları 1-lik kriteriya dəyəri ilə müqayisə edərək, orta hesabla fenomenin dəyişməsinin xarakteri haqqında bir nəticə çıxarılır: artım, azalma və ya sabitlik.
Baza və ya zəncir orta nisbi dəyişiklikdən 1-i çıxarmaqla, müvafiq orta dəyişmə dərəcəsi, işarəsi ilə bu dinamika silsiləsi ilə əks olunan tədqiq olunan fenomenin dəyişməsinin xarakterini də mühakimə etmək olar.

Mövsümi dalğalanmalar və mövsümilik indeksləri.

Mövsümi dalğalanmalar sabit ildaxili dalğalanmalardır.

Maksimum effekt əldə etmək üçün idarəetmənin əsas prinsipi gəlirin maksimumlaşdırılması və xərclərin minimuma endirilməsidir. Mövsümi tərəddüdləri öyrənməklə ilin hər səviyyəsində maksimum tənlik məsələsi həll edilir.

Mövsümi dalğalanmaları öyrənərkən bir-biri ilə əlaqəli iki vəzifə həll olunur:

1. İldaxili dinamikada fenomenin inkişaf xüsusiyyətlərinin müəyyən edilməsi;

2. Mövsümi dalğa modelinin qurulması ilə mövsümi dalğalanmaların ölçülməsi;

Mövsümi hinduşkalar adətən mövsümi ölçmək üçün sayılır. Ümumiyyətlə, onlar bir sıra dinamikanın ilkin tənliklərinin müqayisə üçün əsas olan nəzəri tənliklərə nisbəti ilə müəyyən edilir.

Təsadüfi kənarlaşmalar mövsümi dalğalanmaların üzərinə qoyulduğundan, onları aradan qaldırmaq üçün mövsümilik indeksləri orta hesablanır.

Bu halda, illik dövrün hər bir dövrü üçün ümumiləşdirilmiş göstəricilər orta mövsümi indekslər şəklində müəyyən edilir:

Mövsümi dalğalanmaların orta göstəriciləri əsas inkişaf tendensiyasının təsadüfi kənarlaşmalarının təsirindən azaddır.

Trendin xarakterindən asılı olaraq, orta mövsümilik indeksi üçün formula aşağıdakı formaları ala bilər:

1.Aydın əsas inkişaf tendensiyası ilə ildaxili dinamika seriyası üçün:

2. İldaxili dinamika silsiləsində artım və ya enmə meylinin olmadığı və ya əhəmiyyətsiz olduğu:

Ümumi orta haradadır;

Əsas tendensiyanın təhlili üsulları.

Hadisələrin zamanla inkişafına təbiətinə və təsir gücünə görə müxtəlif amillər təsir edir. Onların bəziləri təsadüfi xarakter daşıyır, digərləri demək olar ki, daimi təsir göstərir və dinamika silsiləsində müəyyən inkişaf tendensiyası formalaşdırır.

Statistikanın mühüm vəzifəsi müxtəlif təsadüfi amillərin təsirindən azad edilmiş dinamika silsiləsindəki tendensiyanı müəyyən etməkdir. Bu məqsədlə zaman sıraları intervalın genişləndirilməsi, hərəkətli orta və analitik düzülmə və s. üsulları ilə işlənir.

İnterval qabalaşdırma üsulu bir sıra dinamika səviyyələrini özündə birləşdirən zaman dövrlərinin genişlənməsinə əsaslanır, yəni. kiçik zaman dövrlərinə aid məlumatların daha böyük dövrlərə aid verilənlərlə əvəz edilməsidir. Serialın ilkin səviyyələri qısa müddət ərzində olduqda xüsusilə təsirlidir. Məsələn, gündəlik hadisələrlə bağlı göstəricilər silsiləsi həftəlik, aylıq və s. Bu daha aydın göstərəcək "Fenomenin inkişaf oxu". Genişləndirilmiş intervallar əsasında hesablanan orta göstərici əsas inkişaf tendensiyasının istiqamətini və xarakterini (artım sürətlənməsi və ya yavaşlaması) müəyyən etməyə imkan verir.

hərəkətli ortalama metoduəvvəlkinə bənzəyir, lakin bu halda, faktiki səviyyələr əhatə edən ardıcıl hərəkət (sürüşmə) üçün hesablanmış orta səviyyələrlə əvəz olunur. m sıra səviyyələri.

Misal üçün qəbul olunarsa m=3, sonra, əvvəlcə, seriyanın ilk üç səviyyəsinin orta qiyməti hesablanır, sonra - eyni sayda səviyyədən, lakin ardıcıl ikincidən başlayaraq, sonra - üçüncüdən başlayaraq və s. Beləliklə, orta, bir dövr üçün hərəkət edərək, dinamika silsiləsi boyunca "sürüşür". -dən hesablanır m hərəkətli ortalamaların üzvləri hər bir intervalın ortasına (mərkəzinə) istinad edir.

Bu üsul yalnız təsadüfi dalğalanmaları aradan qaldırır. Əgər seriyanın mövsümi dalğası varsa, o zaman hərəkətli ortalama üsulu ilə hamarlandıqdan sonra qalacaq.

Analitik uyğunlaşma. Təsadüfi dalğalanmaları aradan qaldırmaq və trendi müəyyən etmək üçün seriyanın səviyyələri analitik düsturlara (yaxud analitik uyğunlaşdırma) uyğunlaşdırılır. Onun mahiyyəti təmayülün riyazi modeli kimi götürülən müəyyən tənliyə əsasən hesablanan empirik (faktiki) səviyyələri nəzəri səviyyələrlə əvəz etməkdir, burada nəzəri səviyyələr zaman funksiyası kimi qəbul edilir: . Bu zaman hər bir faktiki səviyyə iki komponentin cəmi kimi qəbul edilir: , burada sistematik komponentdir və müəyyən tənliklə ifadə olunur və trend ətrafında dalğalanmalara səbəb olan təsadüfi dəyişəndir.

Analitik uyğunlaşdırmanın vəzifəsi aşağıdakı kimidir:

1. Tədqiq olunan göstəricinin inkişaf tendensiyasını ən adekvat şəkildə əks etdirə bilən hipotetik funksiya növünün faktiki məlumatlar əsasında müəyyən edilməsi.

2. Empirik məlumatlardan müəyyən edilmiş funksiyanın (tənliyin) parametrlərinin tapılması

3. Nəzəri (səviyyəli) səviyyələrin tapılmış tənliyinə əsasən hesablanması.

Müəyyən bir funksiyanın seçimi, bir qayda olaraq, empirik məlumatların qrafik təsviri əsasında həyata keçirilir.

Modellər reqressiya tənlikləridir, onların parametrləri ən kiçik kvadratlar üsulu ilə hesablanır

Aşağıda zaman sıralarının bərabərləşdirilməsi üçün ən çox istifadə edilən reqressiya tənlikləri verilmişdir və onların hansı inkişaf meyllərinin əks etdirilməsi üçün ən uyğun olduğunu göstərir.

Yuxarıdakı tənliklərin parametrlərini tapmaq üçün xüsusi alqoritmlər və kompüter proqramları mövcuddur. Xüsusilə, düz xəttin tənliyinin parametrlərini tapmaq üçün aşağıdakı alqoritmdən istifadə etmək olar:

Əgər dövrlər və ya zaman anları St = 0 alınacaq şəkildə nömrələnərsə, yuxarıdakı alqoritmlər əhəmiyyətli dərəcədə sadələşəcək və

Qrafikdə düzülmüş səviyyələr bu dinamik seriyanın faktiki səviyyələrindən ən yaxın məsafədən keçən bir düz xətt üzərində yerləşəcək. Kvadrat sapmaların cəmi təsadüfi amillərin təsirinin əksidir.

Onun köməyi ilə tənliyin orta (standart) xətasını hesablayırıq:

Burada n müşahidələrin sayı, m isə tənlikdəki parametrlərin sayıdır (bizim onlardan ikisi var - b 1 və b 0).

Əsas tendensiya (trend) sistematik amillərin zaman seriyalarının səviyyələrinə necə təsir etdiyini göstərir və səviyyələrin trend () ətrafında dəyişməsi qalıq amillərin təsirinin ölçüsü kimi xidmət edir.

İstifadə olunan zaman seriyası modelinin keyfiyyətini qiymətləndirmək üçün ondan da istifadə olunur Fisher F testi. Bu, iki dispersiyanın nisbətidir, yəni reqressiyanın yaratdığı dispersiya nisbətidir, yəni. tədqiq olunan amil, təsadüfi səbəblərdən yaranan dispersiyaya, yəni. qalıq fərq:

Genişləndirilmiş formada bu meyar üçün düstur aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:

burada n müşahidələrin sayıdır, yəni. sıra səviyyələrinin sayı,

m tənlikdəki parametrlərin sayı, y seriyanın faktiki səviyyəsi,

Sıranın düzlənmiş səviyyəsi, - sıranın orta səviyyəsi.

Başqalarından daha uğurlu olan model həmişə kifayət qədər qənaətbəxş olmaya bilər. O, yalnız onun üçün F meyarı müəyyən kritik həddi keçdikdə belə tanınır. Bu sərhəd F paylama cədvəllərindən istifadə etməklə müəyyən edilir.

İndekslərin mahiyyəti və təsnifatı.

Statistikada indeks dedikdə, zaman, məkan və ya hər hansı bir standartla müqayisədə hadisənin miqyasının dəyişməsini xarakterizə edən nisbi göstərici başa düşülür.

İndeks əlaqəsinin əsas elementi indeksləşdirilmiş dəyərdir. İndeksləşdirilmiş dəyər dedikdə, dəyişməsi tədqiqat obyekti olan statistik əhalinin əlamətinin dəyəri başa düşülür.

İndekslər üç əsas məqsədə xidmət edir:

1) mürəkkəb bir fenomendə dəyişikliklərin qiymətləndirilməsi;

2) mürəkkəb hadisənin dəyişməsinə fərdi amillərin təsirinin müəyyən edilməsi;

3) bəzi hadisənin miqyasının keçmiş dövrün miqyası ilə, başqa ərazinin miqyası ilə, habelə standartlar, planlar, proqnozlar ilə müqayisəsi.

İndekslər 3 meyara görə təsnif edilir:

2) əhali elementlərinin əhatə dairəsi üzrə;

3) ümumi indekslərin hesablanması üsulları ilə.

Məzmununa görə indeksləşdirilmiş qiymətlərdən indekslər kəmiyyət (həcm) göstəriciləri indekslərinə və keyfiyyət göstəriciləri indekslərinə bölünür. Kəmiyyət göstəriciləri indeksləri - sənaye istehsalının fiziki həcmi, satışın fiziki həcmi, sayı və s.. Keyfiyyət göstəriciləri indeksləri - qiymətlər, məsrəflər, əmək məhsuldarlığı, orta əmək haqqı və s.

Əhali vahidlərinin əhatə dairəsinə görə indekslər iki sinfə bölünür: fərdi və ümumi. Onları xarakterizə etmək üçün indeks metodunun tətbiqi praktikasında qəbul edilmiş aşağıdakı konvensiyaları təqdim edirik:

q- istənilən məhsulun natura şəklində miqdarı (həcmi). ; R- məhsul vahidinin qiyməti; z- istehsal vahidinin dəyəri; t- məhsul vahidinin istehsalına sərf olunan vaxt (əmək intensivliyi) ; w- vaxt vahidi üçün dəyər ifadəsində istehsal məhsulu; v- vaxt vahidi üçün fiziki göstəricilərlə çıxış; T- sərf olunan ümumi vaxt və ya işçilərin sayı.

İndekslənmiş dəyərlərin hansı dövrə və ya obyektə aid olduğunu ayırd etmək üçün sağ altda müvafiq simvoldan sonra alt işarələr qoymaq adətdir. Beləliklə, məsələn, dinamika indekslərində, bir qayda olaraq, müqayisə edilmiş (cari, hesabat) dövrlər üçün 1 alt işarəsi istifadə olunur və müqayisənin aparıldığı dövrlər üçün,

Fərdi indekslər mürəkkəb hadisənin ayrı-ayrı elementlərinin dəyişməsini xarakterizə etməyə xidmət edir (məsələn, bir növ məhsulun buraxılış həcminin dəyişməsi). Onlar dinamikanın nisbi dəyərlərini, öhdəliklərin yerinə yetirilməsini, indeksləşdirilmiş dəyərlərin müqayisəsini təmsil edir.

İstehsalın fiziki həcminin fərdi göstəricisi müəyyən edilir

Analitik nöqteyi-nəzərdən, verilmiş fərdi dinamika indeksləri artım əmsallarına (sürətlərinə) bənzəyir və baza ilə müqayisədə cari dövrdə indeksləşdirilmiş dəyərin dəyişməsini xarakterizə edir, yəni. onun neçə dəfə artdığını (azaldığını) göstərir. ) və ya neçə faiz artımdır (azalma). İndeks dəyərləri əmsal və ya faizlə ifadə edilir.

Ümumi (kompozit) indeks mürəkkəb hadisənin bütün elementlərinin dəyişməsini əks etdirir.

Ümumi indeks indeksin əsas formasıdır. O, məcmu adlanır, çünki onun payı və məxrəci “məcmu” toplusudur.

Orta indekslər, onların tərifi.

Statistikada məcmu indekslərlə yanaşı, onların başqa bir formasından - orta çəkili indekslərdən istifadə olunur. Mövcud məlumatlar ümumi məcmu indeksi hesablamağa imkan vermədikdə, onların hesablanmasına müraciət edilir. Deməli, qiymətlər haqqında məlumat yoxdursa, lakin cari dövrdə məhsulların maya dəyəri haqqında məlumat varsa və hər bir məhsul üzrə fərdi qiymət indeksləri məlumdursa, o zaman ümumi qiymət indeksini məcmu olaraq müəyyən etmək olmaz, lakin mümkündür. fərdi olanların ortalaması kimi hesablamaq. Eyni şəkildə istehsal edilmiş ayrı-ayrı məhsulların kəmiyyətləri məlum deyilsə, lakin ayrı-ayrı indekslər və baza dövrünün istehsalına çəkilən xərclər məlumdursa, o zaman istehsalın fiziki həcminin ümumi indeksini orta çəkili kimi müəyyən etmək olar.

Orta indeks - bu ayrı-ayrı indekslərin orta qiyməti kimi hesablanan indeks. Ümumi indeks ümumi indeksin əsas formasıdır, ona görə də orta göstərici məcmu indekslə eyni olmalıdır. Orta göstəriciləri hesablayarkən ortaların iki formasından istifadə olunur: arifmetik və harmonik.

Ayrı-ayrı indekslərin çəkiləri məcmu indeksin məxrəcinin şərtləri olarsa, orta hesab indeksi məcmu indekslə eynidir. Yalnız bu halda orta arifmetik düsturla hesablanan indeksin dəyəri məcmu indeksə bərabər olacaqdır.

Riyazi gözlənti və variasiya

Bir təsadüfi dəyişəni ölçək N dəfə, məsələn, küləyin sürətini on dəfə ölçür və orta dəyəri tapmaq istəyirik. Orta qiymət paylama funksiyası ilə necə bağlıdır?

Zərləri çoxlu sayda atacağıq. Hər atış zamanı qəlibə düşəcək xalların sayı təsadüfi dəyişəndir və 1-dən 6-a qədər istənilən təbii qiymətləri qəbul edə bilər. Nçox spesifik bir rəqəmə - riyazi gözləntiyə meyllidir Mx. Bu halda Mx = 3,5.

Bu dəyər necə yaranıb? İcazə verin N Testlər bir dəfə 1 bal, bir dəfə - 2 bal və s. Sonra N→ ∞ bir nöqtənin düşdüyü nəticələrin sayı, Eynilə, Buradan

Model 4.5. Zar

İndi fərz edək ki, təsadüfi dəyişənin paylanma qanununu bilirik x, yəni təsadüfi dəyişən olduğunu bilirik x dəyərlər qəbul edə bilər x 1 , x 2 , ..., x k ehtimallarla səh 1 , səh 2 , ..., p k.

Gözlənilən dəyər Mx təsadüfi dəyişən x bərabərdir:

Cavab verin. 2,8.

Riyazi gözlənti həmişə bəzi təsadüfi dəyişənin ağlabatan qiymətləndirilməsi deyil. Beləliklə, orta əmək haqqını qiymətləndirmək üçün median anlayışından, yəni elə bir dəyərdən istifadə etmək daha məqsədəuyğundur ki, orta maaşdan az və daha çox alan insanların sayı eyni olsun.

Median təsadüfi dəyişənə ədəd deyilir x 1/2 belə səh (x < x 1/2) = 1/2.

Başqa sözlə, ehtimal səh 1 təsadüfi dəyişəndir x az olacaq x 1/2 və ehtimal səh 2 təsadüfi dəyişəndir x daha böyük olacaq x 1/2 eyni və 1/2-ə bərabərdir. Median bütün paylamalar üçün unikal şəkildə müəyyən edilmir.

Təsadüfi dəyişənə qayıt x, dəyərləri qəbul edə bilən x 1 , x 2 , ..., x k ehtimallarla səh 1 , səh 2 , ..., p k.

dispersiya təsadüfi dəyişən x təsadüfi dəyişənin onun riyazi gözləntisindən kvadrat sapmasının orta qiymətidir:

Misal 2

Əvvəlki nümunənin şərtlərinə əsasən, təsadüfi dəyişənin dispersiyasını və standart kənarlaşmasını hesablayın x.

Cavab verin. 0,16, 0,4.

Model 4.6. hədəf atəşi

Misal 3

Birinci atışdan zərb üzərində yuvarlanan xalların sayının ehtimal paylanmasını, medianı, riyazi gözləntiləri, dispersiyanı və standart kənarlaşmanı tapın.

İstənilən sifətin düşmə ehtimalı eynidir, buna görə də paylanma belə görünəcək:

Standart kənarlaşma Görünür ki, dəyərin orta dəyərdən kənarlaşması çox böyükdür.

Riyazi gözləmənin xüsusiyyətləri:

• Müstəqil təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir:

Misal 4

İki zərə yuvarlanan xalların cəminin və hasilinin riyazi gözləntisini tapın.

3-cü misalda biz bunu bir kub üçün tapdıq M (x) = 3.5. Beləliklə, iki kub üçün

Dispersiya xüsusiyyətləri:

• Müstəqil təsadüfi dəyişənlərin cəminin dispersiyası dispersiyaların cəminə bərabərdir:

Dx + y = Dx + Dy.

Qoy N zar atmaq y xal. Sonra

Bu nəticə təkcə zar atmalarına aid deyil. Bir çox hallarda riyazi gözləntilərin empirik şəkildə ölçülməsinin düzgünlüyünü müəyyən edir. Ölçmələrin sayının artması ilə görünə bilər N dəyərlərin orta, yəni standart sapma ətrafında yayılması mütənasib olaraq azalır

Təsadüfi kəmənin dispersiyası bu təsadüfi dəyişənin kvadratının riyazi gözləntiləri ilə aşağıdakı əlaqə ilə əlaqələndirilir:

Bu bərabərliyin hər iki hissəsinin riyazi gözləntilərini tapaq. Tərifinə görə,

Riyazi gözləntilərin xassəsinə görə bərabərliyin sağ tərəfinin riyazi gözləntisi bərabərdir.

Standart sapma

standart sapma dispersiyanın kvadrat kökünə bərabərdir:
Tədqiq olunan əhalinin kifayət qədər böyük həcmi (n> 30) üçün standart sapmanı təyin edərkən aşağıdakı düsturlardan istifadə olunur:

Oxşar məlumat.

Fərziyyələrin statistik yoxlanılması zamanı, təsadüfi dəyişənlər arasında xətti əlaqənin ölçülməsi zamanı.

Standart sapma:

Standart sapma(təsadüfi dəyişən Döşəmə, ətrafımızdakı divarlar və tavanın standart sapmasının təxmini, x onun dispersiyasının qərəzsiz qiymətləndirilməsinə əsaslanan riyazi gözləntisinə nisbətən):

harada - fərq; - Döşəmə, ətrafımızdakı divarlar və tavan, i- nümunə elementi; - nümunə ölçüsü; - nümunənin arifmetik ortası:

Qeyd etmək lazımdır ki, hər iki qiymətləndirmə qərəzlidir. Ümumi halda qərəzsiz qiymətləndirmə qurmaq mümkün deyil. Bununla belə, qərəzsiz dispersiya təxmininə əsaslanan qiymətləndirmə ardıcıldır.

üç siqma qaydası

üç siqma qaydası() - normal paylanmış təsadüfi dəyişənin demək olar ki, bütün dəyərləri intervalda yatır. Daha ciddi şəkildə - ən azı 99,7% əminliklə, normal paylanmış təsadüfi dəyişənin dəyəri müəyyən edilmiş intervalda yerləşir (qiymətin doğru olması və nümunənin işlənməsi nəticəsində əldə edilməməsi şərti ilə).

Həqiqi dəyər bilinmirsə, o zaman istifadə etməlisən, ancaq döşəməni, ətrafımızdakı divarları və tavanı, s. Beləliklə, üç siqma qaydası üç mərtəbənin, ətrafımızdakı divarların və tavanın qaydasına çevrilir. s .

Standart kənarlaşmanın qiymətinin şərhi

Standart sapmanın böyük bir dəyəri təqdim olunan dəstdə dəstin orta dəyəri ilə dəyərlərin böyük yayılmasını göstərir; kiçik bir dəyər, müvafiq olaraq, dəstdəki dəyərlərin orta dəyər ətrafında qruplaşdırıldığını göstərir.

Məsələn, üç ədəd dəstimiz var: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) və (6, 6, 8, 8). Hər üç dəstin orta dəyərləri 7 və standart kənarlaşmalar müvafiq olaraq 7, 5 və 1. Sonuncu dəstdə kiçik standart sapma var, çünki dəstdəki dəyərlər orta dəyər ətrafında toplanır; birinci dəst standart sapmanın ən böyük dəyərinə malikdir - set daxilindəki dəyərlər orta dəyərdən kəskin şəkildə fərqlənir.

Ümumi mənada standart kənarlaşma qeyri-müəyyənliyin ölçüsü hesab edilə bilər. Məsələn, fizikada standart kənarlaşma müəyyən bir kəmiyyətin ardıcıl ölçmə silsiləsi xətasını təyin etmək üçün istifadə olunur. Bu dəyər tədqiq olunan hadisənin nəzəriyyə tərəfindən proqnozlaşdırılan dəyərlə müqayisədə inandırıcılığını müəyyən etmək üçün çox vacibdir: əgər ölçmələrin orta dəyəri nəzəriyyə ilə proqnozlaşdırılan dəyərlərdən çox fərqlənirsə (böyük standart sapma), onda alınan dəyərlər və ya onların əldə edilmə üsulu yenidən yoxlanılmalıdır.

Praktik istifadə

Praktikada standart sapma dəstdəki dəyərlərin orta dəyərdən nə qədər fərqlənə biləcəyini müəyyən etməyə imkan verir.

İqlim

Tutaq ki, eyni orta gündəlik maksimum temperatura malik iki şəhər var, lakin biri sahildə, digəri isə daxili ərazidə yerləşir. Sahil şəhərlərində bir çox fərqli gündəlik maksimum temperaturun daxili şəhərlərdən daha az olduğu məlumdur. Buna görə də, sahilyanı şəhərdə maksimal gündəlik temperaturun standart kənarlaşması, bu dəyərin orta qiymətinin onlar üçün eyni olmasına baxmayaraq, ikinci şəhərdən daha az olacaq, bu da praktikada maksimum havanın olma ehtimalı deməkdir. İlin hər bir xüsusi gününün temperaturu, qitə daxilində yerləşən bir şəhər üçün orta dəyərdən daha güclü, daha yüksək olacaq.

İdman

Tutaq ki, bəzi parametrlər toplusuna görə sıralanan bir neçə futbol komandası var, məsələn, vurulan və buraxılan qolların sayı, qol vurmaq şansları və s. Çox güman ki, bu qrupda ən yaxşı komanda ən yaxşılarına sahib olacaq. daha çox parametrlərdə dəyərlər. Təqdim olunan parametrlərin hər biri üçün komandanın standart sapması nə qədər kiçik olsa, komandanın nəticəsi bir o qədər proqnozlaşdırıla bilər, belə komandalar balanslaşdırılmışdır. Digər tərəfdən, böyük standart sapması olan komanda nəticəni proqnozlaşdırmaqda çətinlik çəkir, bu da öz növbəsində disbalansla, məsələn, güclü müdafiə, lakin zəif hücumla izah olunur.

Komandanın parametrlərinin standart kənarlaşmasından istifadə komandaların güclü və zəif tərəflərini, deməli, seçilmiş mübarizə üsullarını qiymətləndirərək, iki komanda arasında matçın nəticəsini müəyyən dərəcədə proqnozlaşdırmağa imkan verir.

Texniki analiz

həmçinin bax

Ədəbiyyat

* Borovikov, V. STATİSTİKA. Kompüter məlumatlarının təhlili sənəti: Peşəkarlar üçün / V. Borovikov. - Sankt-Peterburq. : Peter, 2003. - 688 s. - ISBN 5-272-00078-1.

Müdrik riyaziyyatçılar və statistiklər daha etibarlı bir göstərici ilə çıxış etdilər, baxmayaraq ki, bir az fərqli məqsədlə - orta xətti kənarlaşma. Bu göstərici verilənlər toplusunun dəyərlərinin onların orta dəyəri ətrafında yayılması ölçüsünü xarakterizə edir.

Məlumatların yayılması ölçüsünü göstərmək üçün əvvəlcə bu yayılmanın nəyə nisbətən hesab ediləcəyini müəyyən etməlisiniz - adətən bu, orta qiymətdir. Sonra, təhlil edilən məlumat dəstinin dəyərlərinin orta səviyyədən nə qədər uzaq olduğunu hesablamalısınız. Aydındır ki, hər bir dəyər müəyyən bir sapmaya uyğundur, lakin bizi bütün əhalini əhatə edən ümumi qiymətləndirmə də maraqlandırır. Buna görə də orta sapma adi arifmetik ortanın düsturundan istifadə etməklə hesablanır. Amma! Ancaq sapmaların ortasını hesablamaq üçün əvvəlcə onları əlavə etmək lazımdır. Əgər müsbət və mənfi ədədləri əlavə etsək, onlar bir-birini ləğv edəcək və onların cəmi sıfıra meyl edəcək. Bunun qarşısını almaq üçün bütün sapmalar modul olaraq qəbul edilir, yəni bütün mənfi ədədlər müsbət olur. İndi orta sapma dəyərlərin yayılmasının ümumiləşdirilmiş ölçüsünü göstərəcəkdir. Nəticədə orta xətti sapma düsturla hesablanacaq:

a orta xətti sapma,

x- təhlil edilən göstərici, üstündə tire ilə - göstəricinin orta dəyəri,

n təhlil edilən məlumat dəstindəki dəyərlərin sayıdır,

toplama operatoru, ümid edirəm, heç kimi qorxutmur.

Göstərilən düsturla hesablanmış orta xətti kənarlaşma bu əhali üçün orta qiymətdən orta mütləq kənarlaşmanı əks etdirir.

Şəkildəki qırmızı xətt orta qiymətdir. Hər bir müşahidənin orta göstəricidən sapmaları kiçik oxlarla göstərilir. Onlar modul üzrə götürülür və yekunlaşdırılır. Sonra hər şey dəyərlərin sayına bölünür.

Şəkli tamamlamaq üçün daha bir nümunə vermək lazımdır. Tutaq ki, kürək üçün şlamlar istehsal edən şirkət var. Hər kəsim 1,5 metr uzunluğunda olmalıdır, lakin daha da əhəmiyyətlisi, hamısı eyni və ya ən azı artı və ya mənfi 5 sm olmalıdır.Lakin səhlənkar işçilər 1,2 m, sonra 1,8 m kəsiləcək. Şirkətin direktoru şlamların uzunluğunun statistik təhlilini aparmaq qərarına gəlib. 10 ədəd seçdim və uzunluğunu ölçdüm, orta hesabla tapdım və orta xətti sapmanı hesabladım. Orta tam olaraq lazım olan kimi çıxdı - 1,5 m. Amma orta xətti sapma 0,16 m oldu.Beləliklə, hər kəsin lazım olduğundan orta hesabla 16 sm uzun və ya qısa olduğu ortaya çıxdı. işçilərlə söhbət etmək. Əslində bu göstəricinin real istifadəsini görməmişəm, ona görə də özüm bir misal gətirmişəm. Halbuki statistikada belə bir göstərici var.

Dispersiya

Orta xətti kənarlaşma kimi, dispersiya da məlumatın orta ətrafında yayılma dərəcəsini əks etdirir.

Dispersiyanı hesablamaq üçün formula belə görünür:

(variasiya seriyası üçün (çəkili dispersiya))

(qruplaşdırılmamış məlumatlar üçün (sadə variasiya))

Harada: σ 2 - dispersiya, Xi– sq göstəricisini təhlil edirik (xüsusiyyət dəyəri), – göstəricinin orta dəyəri, f i – təhlil edilən məlumat dəstindəki dəyərlərin sayı.

Dispersiya sapmaların orta kvadratıdır.

Əvvəlcə orta hesablanır, sonra hər bir əsas və orta arasındakı fərq alınır, kvadrata alınır, müvafiq xüsusiyyət dəyərinin tezliyinə vurulur, əlavə edilir və sonra əhalidəki dəyərlərin sayına bölünür.

Bununla belə, təmiz formada, məsələn, arifmetik orta və ya indeks, dispersiya istifadə edilmir. Bu, daha çox statistik təhlilin digər növləri üçün istifadə olunan köməkçi və ara göstəricidir.

Dispersiyanı hesablamaq üçün sadələşdirilmiş üsul

standart sapma

Verilənlərin təhlili üçün dispersiyadan istifadə etmək üçün ondan kvadrat kök götürülür. Bu sözdə çıxır standart sapma.

Yeri gəlmişkən, standart sapmaya siqma da deyilir - onu ifadə edən yunan hərfindən.

Standart sapma açıq şəkildə məlumatların yayılmasının ölçüsünü də xarakterizə edir, lakin indi (dispersiyadan fərqli olaraq) onu ilkin məlumatlarla müqayisə etmək olar. Bir qayda olaraq, statistikada orta-kvadrat göstəricilər xətti olanlardan daha dəqiq nəticələr verir. Buna görə də, standart sapma, orta xətti sapmadan daha dəqiq məlumatların səpilməsi ölçüsüdür.

Vikipediyadan, pulsuz ensiklopediyadan

standart sapma(sinonimlər: standart sapma, standart sapma, standart sapma; əlaqəli şərtlər: standart sapma, standart yayılma) - ehtimal nəzəriyyəsi və statistikada təsadüfi dəyişənin qiymətlərinin onun riyazi gözləntisinə nisbətən yayılmasının ən ümumi göstəricisidir. Dəyər nümunələrinin məhdud massivləri ilə riyazi gözlənti əvəzinə nümunələrin ümumi sayının arifmetik ortası istifadə olunur.

Əsas məlumat

Standart kənarlaşma təsadüfi dəyişənin özünün vahidləri ilə ölçülür və arifmetik ortanın standart xətasını hesablayarkən, etibarlılıq intervallarını qurarkən, hipotezləri statistik sınaqdan keçirərkən, təsadüfi dəyişənlər arasında xətti əlaqəni ölçərkən istifadə olunur. Təsadüfi dəyişənin dispersiyasının kvadrat kökü kimi müəyyən edilir.

Standart sapma:

$\backslash sigma=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash sol(x\_i-\backslash bar(x)\backslash sağ)^2).$

Standart sapma(təsadüfi dəyişənin standart sapmasının qiymətləndirilməsi x onun dispersiyasının qərəzsiz qiymətləndirilməsinə əsaslanan riyazi gözləntisinə nisbətən) $s$:

$s=\backslash sqrt(\backslash frac(n)(n-1)\backslash sigma^2)=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n-1)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash sol(x\_i-\backslash bar)\; (x)\backslash sağ)^2);$

üç siqma qaydası

üç siqma qaydası ($3\backslash sigma$) - normal paylanmış təsadüfi dəyişənin demək olar ki, bütün dəyərləri intervalda yatır $\backslash sol(\backslash bar(x)-3\backslash sigma;\backslash bar(x)+3\backslash sigma\backslash sağ)$. Daha ciddi şəkildə - təxminən 0,9973 ehtimalı ilə normal paylanmış təsadüfi dəyişənin dəyəri müəyyən edilmiş intervalda yerləşir (qiyməti $\backslash bar(x)$ doğrudur və nümunənin emalı nəticəsində əldə edilmir).

Əsl dəyər varsa $\backslash bar(x)$ bilinmir, onda istifadə etməlisiniz $\backslash sigma$, a s. Beləliklə, üç siqmanın qaydası üçlük qaydasına çevrilir s .

Standart kənarlaşmanın qiymətinin şərhi

Standart sapmanın daha böyük bir dəyəri təqdim olunan dəstdə dəyərlərin dəstin orta dəyəri ilə daha çox yayılmasını göstərir; daha aşağı bir dəyər, müvafiq olaraq, dəstdəki dəyərlərin orta dəyər ətrafında qruplaşdırıldığını göstərir.

Məsələn, üç ədəd dəstimiz var: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) və (6, 6, 8, 8). Hər üç dəstin orta dəyərləri 7 və standart kənarlaşmalar müvafiq olaraq 7, 5 və 1. Sonuncu dəstdə kiçik standart sapma var, çünki dəstdəki dəyərlər orta dəyər ətrafında toplanır; birinci dəst standart sapmanın ən böyük dəyərinə malikdir - set daxilindəki dəyərlər orta dəyərdən kəskin şəkildə fərqlənir.

Ümumi mənada standart kənarlaşma qeyri-müəyyənliyin ölçüsü hesab edilə bilər. Məsələn, fizikada standart kənarlaşma müəyyən bir kəmiyyətin ardıcıl ölçmə silsiləsi xətasını təyin etmək üçün istifadə olunur. Bu dəyər tədqiq olunan hadisənin nəzəriyyə tərəfindən proqnozlaşdırılan dəyərlə müqayisədə inandırıcılığını müəyyən etmək üçün çox vacibdir: əgər ölçmələrin orta dəyəri nəzəriyyə ilə proqnozlaşdırılan dəyərlərdən çox fərqlənirsə (böyük standart sapma), onda alınan dəyərlər və ya onların əldə edilmə üsulu yenidən yoxlanılmalıdır.

Praktik istifadə

Təcrübədə standart sapma bir dəstdən nə qədər dəyərlərin orta dəyərdən fərqlənə biləcəyini təxmin etməyə imkan verir.

İqtisadiyyat və maliyyə

Portfel gəlirinin standart kənarlaşması $\backslash sigma\; =\backslash sqrt(D[X])$ portfel riski ilə müəyyən edilir.

İqlim

Tutaq ki, eyni orta gündəlik maksimum temperatura malik iki şəhər var, lakin biri sahildə, digəri isə düzənlikdə yerləşir. Sahil şəhərlərində bir çox fərqli gündəlik maksimum temperaturun daxili şəhərlərdən daha az olduğu məlumdur. Buna görə də, sahilyanı şəhərdə maksimal gündəlik temperaturun standart kənarlaşması, bu dəyərin orta qiymətinin onlar üçün eyni olmasına baxmayaraq, ikinci şəhərdən daha az olacaq, bu da praktikada maksimum havanın olma ehtimalı deməkdir. İlin hər bir xüsusi gününün temperaturu qitə daxilində yerləşən bir şəhər üçün orta dəyərdən daha güclü, daha yüksək olacaq.

İdman

Tutaq ki, bəzi parametrlər toplusuna görə sıralanan bir neçə futbol komandası var, məsələn, vurulan və buraxılan qolların sayı, qol vurmaq şansları və s. Çox güman ki, bu qrupda ən yaxşı komanda ən yaxşılarına sahib olacaq. daha çox parametrlərdə dəyərlər. Təqdim olunan parametrlərin hər biri üçün komandanın standart sapması nə qədər kiçik olsa, komandanın nəticəsi bir o qədər proqnozlaşdırıla bilər, belə komandalar balanslaşdırılmışdır. Digər tərəfdən, böyük standart sapması olan komanda nəticəni proqnozlaşdırmaqda çətinlik çəkir, bu da öz növbəsində disbalansla, məsələn, güclü müdafiə, lakin zəif hücumla izah olunur.

Komandanın parametrlərinin standart kənarlaşmasından istifadə komandaların güclü və zəif tərəflərini, deməli, seçilmiş mübarizə üsullarını qiymətləndirərək, iki komanda arasında matçın nəticəsini müəyyən dərəcədə proqnozlaşdırmağa imkan verir.

həmçinin bax

"Standart sapma" məqaləsinə rəy yazın

Ədəbiyyat

• Borovikov V. STATİSTİKA. Kompüter məlumatlarının təhlili sənəti: Peşəkarlar üçün / V. Borovikov. - Sankt-Peterburq. : Peter, 2003. - 688 s. - ISBN 5-272-00078-1..

Standart sapmanı xarakterizə edən çıxarış