Kopyevskaya kənd orta məktəbi

Kvadrat tənliklərin həlli üçün 10 üsul

Rəhbər: Qalina Anatolyevna Patrikeyeva,

riyaziyyat müəllimi

Kopyevo kəndi, 2007

1. Kvadrat tənliklərin inkişaf tarixi

1.1 Qədim Babildə kvadratik tənliklər

1.2 Diophantus kvadrat tənlikləri necə tərtib etdi və həll etdi

1.3 Hindistanda Kvadrat Tənliklər

1.4 Əl-Xorəzmidən kvadrat tənliklər

1.5 Avropada kvadrat tənliklər XIII - XVII əsrlər

1.6 Vyeta teoremi haqqında

2. Kvadrat tənliklərin həlli üsulları

Nəticə

Ədəbiyyat

1. Kvadrat tənliklərin inkişaf tarixi

1.1 Qədim Babildə kvadratik tənliklər

Təkcə birinci deyil, həm də ikinci dərəcəli tənliklərin həlli zərurəti hətta antik dövrdə torpaq sahələrinin və hərbi xarakterli torpaq işlərinin tapılması, habelə astronomiyanın inkişafı ilə bağlı problemlərin həlli zərurətindən irəli gəlirdi. riyaziyyatın özü. Onlar təxminən eramızdan əvvəl 2000-ci ildə kvadrat tənlikləri həll edə bildilər. NS. babillilər.

Müasir cəbri qeydlərdən istifadə edərək deyə bilərik ki, onların mixi mətnlərində natamam olanlarla yanaşı, məsələn, tam kvadrat tənliklər də var:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Babil mətnlərində təsbit edilən bu tənliklərin həlli qaydası, mahiyyətcə müasir tənliklə üst-üstə düşür, lakin babillilərin bu qaydaya necə gəlib çatdıqları məlum deyil. İndiyə qədər tapılmış demək olar ki, bütün mixi yazılar, necə tapıldığına dair təlimat olmadan, yalnız reseptlər şəklində verilmiş həll yolları ilə bağlı problemlər verir.

Babildə cəbrin yüksək inkişaf səviyyəsinə baxmayaraq mixi yazılarda mənfi ədəd anlayışı və kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi üsullar yoxdur.

1.2 Diophantus kvadrat tənlikləri necə tərtib etdi və həll etdi.

Diofantın "Arifmetikasında" cəbrin sistemli təqdimatı yoxdur, lakin o, izahatlarla müşayiət olunan və müxtəlif dərəcəli tənliklər tərtib etməklə həll olunan sistemləşdirilmiş bir sıra problemləri ehtiva edir.

Tənliklər tərtib edərkən Diophantus həlli sadələşdirmək üçün məharətlə naməlumları seçir.

Burada, məsələn, onun vəzifələrindən biridir.

Problem 11."İki ədəd tapın, onların cəmi 20, hasilinin isə 96 olduğunu bilərək"

Diophantus belə iddia edir: məsələnin ifadəsindən belə çıxır ki, axtarılan ədədlər bərabər deyil, çünki onlar bərabər olsaydı, onda onların hasili 96 deyil, 100-ə bərabər olardı. Beləliklə, onlardan biri onların cəminin yarısından çox olacaq, yəni... 10 + x, digəri azdır, yəni. 10 - x... Aralarındakı fərq 2x .

Beləliklə, tənlik:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Buradan x = 2... Tələb olunan nömrələrdən biri budur 12 , digər 8 ... Həll x = -2çünki Diofant yoxdur, çünki yunan riyaziyyatı yalnız müsbət ədədləri bilirdi.

Tələb olunan ədədlərdən birini naməlum kimi seçərək bu məsələni həll etsək, onda tənliyin həllinə gələrik.

y (20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Aydındır ki, axtarılan ədədlərin yarı fərqini naməlum olaraq seçərək, Diofant həlli sadələşdirir; natamam kvadrat tənliyin (1) həllinə qədər problemi azaltmağı bacarır.

1.3 Hindistanda Kvadrat Tənliklər

Hindistan riyaziyyatçısı və astronomu Aryabhatta tərəfindən 499-cu ildə tərtib edilmiş "Aryabhattiam" astronomik traktında artıq kvadrat tənliklər üçün problemlərə rast gəlinir. Başqa bir hind alimi Brahmaqupta (VII əsr) vahid kanonik formaya salınmış kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi qaydanı qeyd etdi:

ah 2+ b x = c, a> 0. (1)

(1) tənliyində əmsallar istisna olmaqla a, mənfi ola bilər. Brahmagupta qaydası mahiyyətcə bizimki ilə eynidir.

Qədim Hindistanda çətin problemlərin həlli üçün ictimai rəqabət adi hal idi. Qədim hind kitablarından birində belə yarışlar haqqında belə deyilir: “Günəş öz parlaqlığı ilə ulduzları tutduğu kimi, alim də məşhur məclislərdə cəbri məsələləri təklif edib həll edərək digərinin izzətini elə tutacaq”. Tapşırıqlar çox vaxt poetik formada geyindirilirdi.

XII əsrin məşhur hind riyaziyyatçısının tapşırıqlarından biri budur. Bhaskaras.

Problem 13.

"Şəffaf meymun sürüsü və üzüm üzərində on iki ...

Gücü yedikdən sonra əylənir. Atlamağa başladılar, asıldılar ...

Onların səkkizdə bir hissəsi bir kvadratda Neçə meymun var idi,

Təmizlikdə əylənirdim. Mənə deyirsən, bu paketdə?"

Bhaskaranın həlli göstərir ki, o, kvadrat tənliklərin ikiqiymətli kökləri haqqında bilirdi (şək. 3).

13-cü məsələyə uyğun tənlik:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara adı altında yazır:

x 2 - 64x = -768

və bu tənliyin sol tərəfini kvadrata tamamlamaq üçün hər iki tərəfə əlavə edir 32 2 , sonra əldə edin:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Əl - Xorəzmi üçün kvadrat tənliklər

Əl - Xorəzmi cəbri traktatında xətti və kvadrat tənliklərin təsnifatı verilmişdir. Müəllif 6 növ tənliyi sayaraq onları aşağıdakı kimi ifadə edir:

1) "Kvadratlar köklərə bərabərdir", yəni. balta 2 + c = b NS.

2) "Kvadratlar ədədə bərabərdir", yəni. balta 2 = c.

3) "Köklər ədədə bərabərdir", yəni. ah = c.

4) "Kvadratlar və ədədlər köklərə bərabərdir", yəni balta 2 + c = b NS.

5) "Kvadratlar və köklər ədədə bərabərdir", yəni. ah 2+ bx = s.

6) “Köklər və ədədlər kvadratlara bərabərdir”, yəni. bx + c = balta 2.

Mənfi ədədlərdən qaçan əl-Xorəzmi üçün bu tənliklərin hər birinin şərtləri çıxılmır, toplanır. Bu zaman müsbət həlli olmayan tənliklər, şübhəsiz ki, nəzərə alınmır. Müəllif əl-cəbr və əl-müqəbəl üsullarından istifadə edərək bu tənliklərin həlli yollarını göstərir. Onun qərarı, təbii ki, bizimki ilə tam üst-üstə düşmür. Sırf ritorik olması ilə yanaşı, qeyd etmək lazımdır ki, məsələn, birinci növ natamam kvadrat tənliyi həll edərkən

əl - Xorəzmi XVII əsrə qədər olan bütün riyaziyyatçılar kimi, yəqin ki, konkret praktiki məsələlərdə əhəmiyyət kəsb etmədiyi üçün sıfır həllini nəzərə almır. Tam kvadrat tənliklərin həlli zamanı əl-Xorəzmi xüsusi ədədi nümunələrdən istifadə edərək, həlli qaydalarını, sonra isə həndəsi sübutlar qoyur.

Problem 14.“Kvadrat və 21 rəqəmi 10 kökə bərabərdir. Kökü tap" (x 2 + 21 = 10x tənliyinin kökünü nəzərdə tutur).

Müəllifin həlli belə oxuyur: köklərin sayını yarıya böl, 5-i al, 5-i özünə vur, hasildən 21-i çıxar, 4 olacaq. 4-ün kökünü çıxar, 2. 5-dən 2-ni çıxar. , 3 alırsınız, bu istədiyiniz kök olacaq. Yaxud 5-ə 2-ni əlavə et, bu da 7 verir, bu da kökdür.

“Əl-Xorəzmi” risaləsi bizə gəlib çatan ilk kitabdır ki, burada kvadrat tənliklərin təsnifatı sistemli şəkildə təqdim olunur və onların həlli üçün düsturlar verilir.

1.5 Avropada kvadrat tənliklər XIII - Xvii cc

Avropada əl-Xorəzmi modeli üzrə kvadrat tənliklərin həlli üçün düsturlar ilk dəfə 1202-ci ildə italyan riyaziyyatçısı Leonardo Fibonaççi tərəfindən yazılmış “Abakus kitabı”nda təqdim edilmişdir. İstər İslam ölkələrində, istərsə də Qədim Yunanıstanda riyaziyyatın təsirini əks etdirən bu həcmli əsər həm tamlığı, həm də təqdimatının aydınlığı ilə seçilir. Müəllif müstəqil olaraq problemlərin həlli üçün bəzi yeni cəbr nümunələri işləyib hazırladı və Avropada ilk olaraq mənfi ədədlərin tətbiqinə yaxınlaşdı. Onun kitabı cəbri biliklərin təkcə İtaliyada deyil, Almaniya, Fransa və digər Avropa ölkələrində yayılmasına töhfə verib. “Abakus kitabı”ndan bir çox problemlər 16-17-ci əsrlərin demək olar ki, bütün Avropa dərsliklərinə köçürüldü. və qismən XVIII.

Vahid kanonik formaya salınmış kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi qayda:

x 2 + bx = s,

ehtimal işarələrinin bütün mümkün birləşmələri ilə b , ilə Avropada yalnız 1544-cü ildə M. Ştifel tərəfindən tərtib edilmişdir.

Kvadrat tənliyi ümumi formada həll etmək üçün düsturun əldə edilməsi Vyetda mövcuddur, lakin Vyet yalnız müsbət kökləri tanıdı. İtalyan riyaziyyatçıları Tartaglia, Cardano, Bombelli 16-cı əsrdə birincilərdən idi. Müsbət və mənfi köklərə əlavə olaraq düşünün. Yalnız 17-ci əsrdə. Girard, Dekart, Nyuton və başqa alimlərin işi sayəsində kvadrat tənliklərin həlli üsulu müasir forma alır.

1.6 Vyeta teoremi haqqında

Kvadrat tənliyin əmsalları ilə onun kökləri arasındakı əlaqəni ifadə edən Vieta adlı teoremi ilk dəfə 1591-ci ildə o, aşağıdakı kimi tərtib etmişdir: “Əgər B + D ilə vurulur A - A 2 , bərabərdir BD, sonra A bərabərdir V və bərabərdir D ».

Vyetanı anlamaq üçün bunu xatırlamaq lazımdır A, hər hansı sait kimi, onun üçün naməlum (bizim NS), saitlər V, D- naməlum üçün əmsallar. Müasir cəbrin dilində Vyetanın yuxarıdakı formulası belə deməkdir: əgər

(a + b ) x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b ) x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Tənliklərin kökləri və əmsalları arasındakı əlaqəni simvollardan istifadə etməklə yazılmış ümumi düsturlarla ifadə edən Viet, tənliklərin həlli üsullarında vahidlik yaratmışdır. Bununla belə, Vyeta simvolizmi hələ də müasir formasından uzaqdır. Mənfi ədədləri tanımırdı və buna görə də tənlikləri həll edərkən yalnız bütün köklərin müsbət olduğu halları nəzərə alırdı.

2. Kvadrat tənliklərin həlli üsulları

Kvadrat tənliklər cəbrin möhtəşəm binasının dayandığı təməldir. Kvadrat tənliklərdən triqonometrik, eksponensial, loqarifmik, irrasional və transsendental tənliklərin və bərabərsizliklərin həllində geniş istifadə olunur. Kvadrat tənlikləri necə həll edəcəyimizi hamımız məktəbdən (8-ci sinif), məzun olana qədər bilirik.

Müasir cəmiyyətdə dəyişən kvadratı olan tənliklərlə hərəkətləri yerinə yetirmək bacarığı bir çox fəaliyyət sahələrində faydalı ola bilər və elmi-texniki inkişaflarda praktikada geniş istifadə olunur. Bunu dəniz və çay gəmilərinin, təyyarələrin və raketlərin dizaynı sübut edir. Bu cür hesablamaların köməyi ilə kosmik obyektlər də daxil olmaqla, müxtəlif cisimlərin hərəkət trayektoriyaları müəyyən edilir. Kvadrat tənliklərin həlli ilə bağlı nümunələr təkcə iqtisadi proqnozlaşdırmada, binaların layihələndirilməsində və tikintisində deyil, həm də ən adi gündəlik şəraitdə istifadə olunur. Onlar düşərgə səfərlərində, idman tədbirlərində, alış-veriş zamanı mağazalarda və digər çox yayılmış vəziyyətlərdə lazım ola bilər.

İfadəni onun tərkib amillərinə bölək

Tənliyin dərəcəsi verilən ifadənin tərkibində olan dəyişənin dərəcəsinin maksimum qiyməti ilə müəyyən edilir. Əgər 2-yə bərabərdirsə, onda belə tənlik kvadrat adlanır.

Əgər düsturların dilindən istifadə etsək, onda bu ifadələr necə görünməsindən asılı olmayaraq həmişə ifadənin sol tərəfi üç termindən ibarət olan formaya endirilə bilər. Bunlardan: ax 2 (yəni əmsalı ilə kvadrat olan dəyişən), bx (əmsalı ilə kvadratı olmayan naməlum) və c (sərbəst komponent, yəni adi ədəd). Sağ tərəfdəki bütün bunlar 0-a bərabərdir. Oxşar çoxhədlinin tərkibindən biri yoxdursa, balta 2 istisna olmaqla, ona natamam kvadrat tənlik deyilir. Bu cür məsələlərin həlli ilə bağlı, dəyişənlərin qiymətini tapmaq asan olan nümunələr ilk növbədə nəzərdən keçirilməlidir.

İfadə elə görünürsə ki, ifadənin sağ tərəfində iki termin var, daha doğrusu ax 2 və bx, dəyişəni mötərizənin xaricində yerləşdirməklə x tapmaq daha asandır. İndi tənliyimiz belə görünəcək: x (ax + b). Bundan əlavə, aydın olur ki, ya x = 0, ya da problem aşağıdakı ifadədən dəyişən tapmağa endirilir: ax + b = 0. Bu, vurmanın xüsusiyyətlərindən biri ilə diktə olunur. Qayda budur ki, iki amilin hasili yalnız onlardan biri sıfıra bərabər olduqda 0 ilə nəticələnir.

Misal

x = 0 və ya 8x - 3 = 0

Nəticədə tənliyin iki kökünü alırıq: 0 və 0.375.

Bu cür tənliklər mənşəli olaraq qəbul edilən müəyyən bir nöqtədən hərəkət etməyə başlayan cisimlərin cazibə qüvvəsinin təsiri altında hərəkətini təsvir edə bilər. Burada riyazi qeyd aşağıdakı formanı alır: y = v 0 t + gt 2/2. Lazımi dəyərləri əvəz etməklə, sağ tərəfi 0-a bərabərləşdirmək və mümkün bilinməyənləri tapmaqla, cismin qalxdığı andan düşdüyü ana qədər keçən vaxtı, eləcə də bir çox başqa kəmiyyətləri öyrənə bilərsiniz. Ancaq bu barədə sonra danışacağıq.

İfadə faktorinqi

Yuxarıda təsvir edilən qayda bu problemləri daha mürəkkəb hallarda həll etməyə imkan verir. Bu tip kvadrat tənliklərin həlli ilə nümunələri nəzərdən keçirək.

X 2 - 33x + 200 = 0

Bu kvadrat trinomial tamamlandı. Əvvəlcə ifadəni çevirək və faktoru alaq. Onlardan ikisi var: (x-8) və (x-25) = 0. Nəticədə 8 və 25-lik iki kökümüz var.

9-cu sinifdə kvadrat tənliklərin həlli ilə bağlı nümunələr bu üsulla nəinki ikinci, hətta üçüncü və dördüncü dərəcəli ifadələrdə dəyişən tapmağa imkan verir.

Məsələn: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Sağ tərəfi dəyişənli faktorlara ayırarkən onlardan üçü var, yəni (x + 1), (x-3) və (x + 3).

Nəticədə məlum olur ki, bu tənliyin üç kökü var: -3; -1; 3.

Kvadrat kökün çıxarılması

Natamam ikinci dərəcəli tənliyin başqa bir halı hərflərin dilində elə bir ifadədir ki, sağ tərəfi ax 2 və c komponentlərindən qurulur. Burada dəyişənin qiymətini almaq üçün sərbəst termin sağ tərəfə köçürülür, sonra isə bərabərliyin hər iki tərəfindən kvadrat kök çıxarılır. Qeyd etmək lazımdır ki, bu halda tənliyin adətən iki kökü olur. Yeganə istisnalar c termini ümumiyyətlə olmayan, dəyişənin sıfıra bərabər olduğu bərabərliklər, eləcə də sağ tərəfin mənfi olduğu zaman ifadələrin variantlarıdır. Sonuncu vəziyyətdə, heç bir həll yolu yoxdur, çünki yuxarıda göstərilən hərəkətlər köklərlə həyata keçirilə bilməz. Bu tip kvadrat tənliklərin həlli nümunələri nəzərdən keçirilməlidir.

Bu halda tənliyin kökləri -4 və 4 rəqəmləri olacaqdır.

Torpaq sahəsinin hesablanması

Bu cür hesablamalara ehtiyac qədim dövrlərdə yaranmışdır, çünki o uzaq dövrlərdə riyaziyyatın bir çox cəhətdən inkişafı torpaq sahələrinin sahələrini və perimetrlərini ən böyük dəqiqliklə müəyyən etmək zərurətindən irəli gəlirdi.

Bu cür məsələlər əsasında tərtib edilmiş kvadrat tənliklərin həlli ilə bağlı nümunələr bizim tərəfimizdən nəzərdən keçirilməlidir.

Beləliklə, tutaq ki, uzunluğu enindən 16 metr uzun olan düzbucaqlı bir torpaq sahəsi var. Sahənin 612 m 2 olduğu məlumdursa, sahənin uzunluğunu, enini və perimetrini tapın.

İşə başlasaq, əvvəlcə lazımi tənliyi tərtib edək. Bölmənin enini x ilə işarə edək, onda onun uzunluğu (x + 16) olacaqdır. Yazılanlardan belə çıxır ki, sahə x (x + 16) ifadəsi ilə müəyyən edilir ki, bu da məsələmizin şərtinə görə 612-dir. Bu o deməkdir ki, x (x + 16) = 612.

Tam kvadrat tənliklərin həlli və bu ifadə sadəcə olaraq eyni şəkildə edilə bilməz. Niyə? Onun sol tərəfində hələ də iki amil olsa da, məhsul ümumiyyətlə 0-a bərabər deyil, ona görə də burada başqa üsullar tətbiq olunur.

Diskriminant

İlk növbədə, biz lazımi çevrilmələri edəcəyik, sonra bu ifadənin görünüşü belə görünəcək: x 2 + 16x - 612 = 0. Bu o deməkdir ki, biz əvvəllər göstərilən standarta uyğun formada ifadə almışıq, burada a = 1, b = 16, c = -612.

Bu, kvadrat tənliklərin diskriminant vasitəsilə həllinə misal ola bilər. Burada sxemə uyğun olaraq lazımi hesablamalar aparılır: D = b 2 - 4ac. Bu köməkçi kəmiyyət nəinki ikinci dərəcəli tənlikdə tələb olunan kəmiyyətləri tapmağa imkan vermir, həm də mümkün variantların sayını müəyyən edir. Əgər D> 0 olarsa, onlardan ikisi var; D = 0 üçün bir kök var. Əgər D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Köklər və onların formulu haqqında

Bizim vəziyyətimizdə diskriminant: 256 - 4 (-612) = 2704. Bu, problemimizin cavabının olduğunu göstərir. Bilirsinizsə, k, kvadrat tənliklərin həlli aşağıdakı düsturdan istifadə etməklə davam etdirilməlidir. Bu, kökləri hesablamağa imkan verir.

Bu o deməkdir ki, təqdim olunan halda: x 1 = 18, x 2 = -34. Bu dilemmada ikinci variant həll yolu ola bilməz, çünki torpaq sahəsinin ölçüləri mənfi qiymətlərlə ölçülə bilməz, yəni x (yəni sahənin eni) 18 m-dir. Buradan uzunluğu hesablayırıq: 18 + 16 = 34 və perimetri 2 (34+ 18) = 104 (m 2).

Nümunələr və tapşırıqlar

Kvadrat tənlikləri öyrənməyə davam edirik. Nümunələr və onlardan bir neçəsinin ətraflı həlli aşağıda veriləcəkdir.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Hər şeyi bərabərliyin sol tərəfinə köçürür, transformasiya edirik, yəni tənliyin adətən standart adlanan formasını alırıq və onu sıfıra bərabərləşdiririk.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Bənzərləri əlavə edərək, diskriminantı təyin edirik: D = 49 - 48 = 1. Bu o deməkdir ki, tənliyimizin iki kökü olacaq. Onları yuxarıdakı düstura görə hesablayaq, yəni onlardan birincisi 4/3-ə, ikincisi isə 1-ə bərabər olacaqdır.

2) İndi fərqli növ tapmacaları açacağıq.

Gəlin öyrənək ki, burada ümumiyyətlə x 2 - 4x + 5 = 1 kökləri varmı? Tam cavab almaq üçün gəlin çoxhədlini uyğun tanış formaya gətirək və diskriminantı hesablayaq. Bu misalda kvadrat tənliyin həllinə ehtiyac yoxdur, çünki məsələnin mahiyyəti heç də bunda deyil. Bu halda, D = 16 - 20 = -4, yəni həqiqətən heç bir kök yoxdur.

Vyeta teoremi

Kvadrat tənlikləri yuxarıdakı düsturlardan və diskriminantdan istifadə edərək həll etmək, ikincinin dəyərindən kvadrat kök çıxarıldıqda rahatdır. Amma bu həmişə belə olmur. Bununla belə, bu vəziyyətdə dəyişənlərin dəyərlərini əldə etməyin bir çox yolu var. Nümunə: kvadrat tənliklərin Vyeta teoremi ilə həlli. O, 16-cı əsrdə Fransada yaşamış və riyazi istedadı və məhkəmədəki əlaqələri sayəsində parlaq karyera quran bir insanın adını daşıyır. Onun portretini məqalədə görmək olar.

Məşhur fransızın diqqət çəkdiyi naxış belə idi. O, sübut etdi ki, cəmdə tənliyin kökləri ədədi olaraq -p = b / a-ya bərabərdir və hasilləri q = c / a uyğundur.

İndi konkret tapşırıqlara baxaq.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Sadəlik üçün ifadəni çevirək:

x 2 + 7x - 18 = 0

Vyeta teoremindən istifadə edəcəyik, bu bizə aşağıdakıları verəcək: köklərin cəmi -7, hasil isə -18-dir. Buradan əldə edirik ki, tənliyin kökləri -9 və 2 ədədləridir. Yoxlama apararaq, dəyişənlərin bu qiymətlərinin həqiqətən ifadəyə uyğun olduğuna əmin olacağıq.

Parabola qrafiki və tənliyi

Kvadrat funksiya və kvadrat tənlik anlayışları bir-biri ilə sıx bağlıdır. Bunun nümunələri artıq əvvəl verilmişdir. İndi riyaziyyatın bəzi tapmacalarına bir az daha ətraflı baxaq. Təsvir edilən hər hansı bir tənlik vizuallaşdırıla bilər. Qrafik şəklində çəkilmiş belə əlaqəyə parabola deyilir. Onun müxtəlif növləri aşağıdakı şəkildə göstərilmişdir.

İstənilən parabolanın təpəsi, yəni budaqlarının çıxdığı nöqtə var. Əgər a> 0 olarsa, onlar sonsuzluğa yüksəlir və a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Funksiyaların vizual təsvirləri istənilən tənlikləri, o cümlədən kvadratikləri həll etməyə kömək edir. Bu üsul qrafik adlanır. X dəyişəninin qiyməti isə qrafik xəttinin 0x ilə kəsişdiyi nöqtələrdəki absis koordinatıdır. Təpənin koordinatlarını indicə verilmiş x 0 = -b / 2a düsturu ilə tapmaq olar. Və nəticədə alınan dəyəri funksiyanın orijinal tənliyinə əvəz edərək, y 0-ı, yəni ordinat oxuna aid olan parabolanın təpəsinin ikinci koordinatını tapa bilərsiniz.

Parabolanın budaqlarının absis oxu ilə kəsişməsi

Kvadrat tənliklərin həlli ilə bağlı çoxlu nümunələr var, lakin ümumi qanunauyğunluqlar da var. Gəlin onları nəzərdən keçirək. Aydındır ki, a> 0 üçün qrafikin 0x oxu ilə kəsişməsi yalnız y 0 mənfi qiymətlər aldıqda mümkündür. Və a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Əks halda, D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Kökləri parabola qrafikindən də müəyyən etmək olar. Bunun əksi də doğrudur. Yəni kvadratik funksiyanın vizual təsvirini almaq asan deyilsə, ifadənin sağ tərəfini 0-a bərabərləşdirmək və nəticədə yaranan tənliyi həll etmək olar. Və 0x oxu ilə kəsişmə nöqtələrini bilməklə, qrafik qurmaq daha asandır.

Tarixdən

Dəyişən kvadratı ehtiva edən tənliklərin köməyi ilə köhnə dövrlərdə nəinki riyazi hesablamalar apardılar və həndəsi fiqurların sahələrini təyin etdilər. Qədimlərə bu cür hesablamalar fizika və astronomiya sahəsində möhtəşəm kəşflər, eləcə də astroloji proqnozlar vermək üçün lazım idi.

Müasir alimlərin güman etdiyi kimi, Babil sakinləri kvadrat tənlikləri ilk həll edənlər arasında idi. Bu, bizim eramızdan dörd əsr əvvəl baş verib. Əlbəttə ki, onların hesablamaları hazırda qəbul edilənlərdən əsaslı şəkildə fərqli idi və daha primitiv olduğu ortaya çıxdı. Məsələn, Mesopotamiya riyaziyyatçılarının mənfi ədədlərin varlığı haqqında heç bir təsəvvürü yox idi. Dövrümüzün hər hansı bir məktəblisinin bildiyi digər incəliklərlə də tanış deyildilər.

Bəlkə də Babil alimlərindən daha əvvəl Hindistanlı müdrik Baudhayama kvadrat tənliklərin həlli ilə məşğul idi. Bu, Məsihin erasının gəlişindən təxminən səkkiz əsr əvvəl baş verdi. Düzdür, onun verdiyi ikinci dərəcəli tənliklər, həll üsulları ən sadə idi. Ondan əlavə, köhnə dövrlərdə Çin riyaziyyatçıları da oxşar suallarla maraqlanırdılar. Avropada kvadrat tənliklər yalnız 13-cü əsrin əvvəllərində həll olunmağa başladı, lakin sonradan Nyuton, Dekart və bir çox başqaları kimi böyük elm adamları tərəfindən işlərində istifadə edildi.

Kvadrat tənlik - həll etmək asandır! * Daha sonra "KU" mətnində. Dostlar, belə görünür ki, riyaziyyatda belə bir tənliyi həll etməkdən asan nə ola bilər. Amma bir şey mənə dedi ki, çoxlarının onunla problemləri var. Yandex-də ayda neçə təəssürat görməyə qərar verdim. Budur, nə oldu, baxın:

Bunun mənası nədi? Bu o deməkdir ki, ayda təxminən 70 min insan bu məlumatı axtarır və tədris ilinin ortasında nə baş verəcək - iki dəfə çox müraciət olacaq. Bu təəccüblü deyil, çünki məktəbi çoxdan bitirmiş və Vahid Dövlət İmtahanına hazırlaşan oğlan və qızlar bu məlumatı axtarırlar və məktəblilər də onu yaddaşlarında təzələməyə çalışırlar.

Bu tənliyi necə həll edəcəyinizi söyləyən bir çox saytın olmasına baxmayaraq, mən də öz işimi görmək və materialı dərc etmək qərarına gəldim. Əvvəla, bu xahiş üçün saytıma ziyarətçilərin gəlməsini istəyirəm; ikincisi, başqa yazılarda “KÜ” çıxışı gələndə bu yazıya keçid verəcəm; üçüncüsü, onun həlli haqqında sizə adətən başqa saytlarda deyildiyindən bir az daha çox məlumat verəcəyəm. Gəlin başlayaq! Məqalənin məzmunu:

Kvadrat tənlik aşağıdakı formanın tənliyidir:

burada a əmsalları,bvə ixtiyari ədədlərlə, ≠ 0 ilə.

Məktəb kursunda material aşağıdakı formada verilir - tənliklər şərti olaraq üç sinfə bölünür:

1. Onların iki kökü var.

2. * Yalnız bir kök var.

3. Kökləri yoxdur. Burada qeyd etmək lazımdır ki, onların etibarlı kökləri yoxdur.

Köklər necə hesablanır? Sadəcə!

Diskriminantı hesablayırıq. Bu “dəhşətli” sözün altında çox sadə bir düstur yatır:

Kök düsturları aşağıdakılardır:

* Bu düsturları əzbər bilmək lazımdır.

Dərhal yazıb qərar verə bilərsiniz:

Misal:

1. Əgər D> 0 olarsa, onda tənliyin iki kökü var.

2. Əgər D = 0 olarsa, onda tənliyin bir kökü var.

3. Əgər D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Gəlin tənliyə nəzər salaq:

Bu baxımdan diskriminant sıfır olduqda, məktəb kursunda bir kök alındığı deyilir, burada doqquza bərabərdir. Hər şey düzdür, amma...

Bu təqdimat bir qədər yanlışdır. Əslində iki kök var. Bəli, bəli, təəccüblənməyin, iki bərabər kök çıxır və riyazi olaraq dəqiq desək, cavab iki kök yazılmalıdır:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ancaq bu belədir - kiçik bir sapma. Məktəbdə yazıb deyə bilərsən ki, bir kök var.

İndi növbəti nümunə:

Bildiyimiz kimi, mənfi ədədin kökü çıxarılmır, ona görə də bu vəziyyətdə həll yoxdur.

Bütün həll prosesi budur.

Kvadrat funksiya.

Həll həndəsi şəkildə necə görünür. Bunu başa düşmək son dərəcə vacibdir (gələcəkdə məqalələrin birində kvadrat bərabərsizliyinin həllini ətraflı təhlil edəcəyik).

Bu formanın bir funksiyasıdır:

burada x və y dəyişənlərdir

a, b, c - verilmiş ədədlər, a ≠ 0 ilə

Qrafik paraboladır:

Yəni belə çıxır ki, “y” sıfıra bərabər olan kvadrat tənliyi həll etməklə parabolanın x oxu ilə kəsişmə nöqtələrini tapırıq. Bu nöqtələrdən ikisi ola bilər (diskriminant müsbətdir), biri (diskriminant sıfırdır) və heç biri (diskriminant mənfidir). Kvadrat funksiya haqqında daha çox Baxa bilərsinizİnna Feldmanın məqaləsi.

Bəzi nümunələri nəzərdən keçirək:

Nümunə 1: Həll edin 2x 2 +8 x–192=0

a = 2 b = 8 c = –192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4 ∙ 2 ∙ (–192) = 64 + 1536 = 1600

Cavab: x 1 = 8 x 2 = –12

* Tənliyin sol və sağ tərəflərini dərhal 2-yə bölmək, yəni sadələşdirmək mümkün idi. Hesablamalar daha asan olacaq.

Misal 2: Qərar ver x 2–22 x + 121 = 0

a = 1 b = –22 c = 121

D = b 2 –4ac = (- 22) 2 –4 ∙ 1 ∙ 121 = 484–484 = 0

Aldıq ki, x 1 = 11 və x 2 = 11

Cavabda x = 11 yazmaq caizdir.

Cavab: x = 11

Misal 3: Qərar ver x 2 –8x + 72 = 0

a = 1 b = –8 c = 72

D = b 2 –4ac = (- 8) 2 –4 ∙ 1 ∙ 72 = 64–288 = –224

Diskriminant mənfidir, həqiqi ədədlərdə həll yoxdur.

Cavab: həlli yoxdur

Diskriminant mənfidir. Bir həll var!

Burada mənfi diskriminant alındığı halda tənliyin həllindən danışacağıq. Kompleks ədədlər haqqında bir şey bilirsinizmi? Onların niyə və haradan gəldikləri və riyaziyyatda onların xüsusi rolu və ehtiyaclarının nədən ibarət olduğu haqqında burada təfərrüatlara girməyəcəyəm, bu, böyük bir ayrı məqalənin mövzusudur.

Kompleks ədəd anlayışı.

Bir az nəzəriyyə.

Kompleks ədəd z formanın ədədidir

z = a + bi

a və b həqiqi ədədlər olduğu halda, i xəyali vahid adlanır.

a + bi TƏK NÖMRƏdir, əlavə deyil.

Xəyali vahid mənfi birin kökünə bərabərdir:

İndi tənliyi nəzərdən keçirin:

İki konjugat kök aldıq.

Natamam kvadrat tənlik.

Xüsusi halları nəzərdən keçirək, bu, "b" və ya "c" əmsalı sıfıra bərabər olduqda (və ya hər ikisi sıfıra bərabərdir). Onlar heç bir ayrı-seçkilik olmadan asanlıqla həll olunur.

Hal 1. Əmsal b = 0.

Tənlik formanı alır:

Gəlin çevirək:

Misal:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Hal 2. = 0 olan əmsal.

Tənlik formanı alır:

Transformasiya edirik, faktorlara ayırırıq:

* Faktorlardan ən azı biri sıfıra bərabər olduqda məhsul sıfıra bərabərdir.

Misal:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x – 5) = 0 => x = 0 və ya x – 5 = 0

x 1 = 0 x 2 = 5

Hal 3. Əmsallar b = 0 və c = 0.

Burada aydın olur ki, tənliyin həlli həmişə x = 0 olacaqdır.

Əmsalların faydalı xassələri və nümunələri.

Böyük əmsallı tənlikləri həll etməyə imkan verən xüsusiyyətlər var.

ax 2 + bx+ c=0 bərabərlik qorunur

a + b+ c = 0, sonra

- tənliyin əmsalları üçün olarsa ax 2 + bx+ c=0 bərabərlik qorunur

a+ c =b, sonra

Bu xüsusiyyətlər müəyyən bir tənliyi həll etməyə kömək edir.

Misal 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Bahislərin cəmi 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0, deməli

Misal 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Bərabərlik təmin edilir a+ c =b, deməkdir

Əmsalların qanunauyğunluqları.

1. Əgər ax 2 + bx + c = 0 tənliyində "b" əmsalı (a 2 +1), "c" əmsalı ədədi olaraq "a" əmsalına bərabərdirsə, onun kökləri

ax 2 + (a 2 +1) ∙ х + а = 0 => х 1 = –а х 2 = –1 / a.

Misal. 6x 2 + 37x + 6 = 0 tənliyini nəzərdən keçirək.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Əgər ax 2 - bx + c = 0 tənliyində "b" əmsalı (a 2 +1), "c" əmsalı ədədi olaraq "a" əmsalına bərabərdirsə, onun kökləri

ax 2 - (a 2 +1) ∙ x + a = 0 => x 1 = a x 2 = 1 / a.

Misal. 15x 2 –226x +15 = 0 tənliyini nəzərdən keçirək.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Tənlikdə olarsa ax 2 + bx - c = 0 əmsalı "b" bərabərdir (a 2 - 1) və "c" əmsalı ədədi olaraq "a" əmsalına bərabərdir, onda onun kökləri bərabərdir

ax 2 + (a 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = - а х 2 = 1 / a.

Misal. 17x 2 + 288x - 17 = 0 tənliyini nəzərdən keçirək.

x 1 = - 17 x 2 = 1/17.

4. Əgər ax 2 - bx - c = 0 tənliyində "b" əmsalı (a 2 - 1), c əmsalı isə ədədi olaraq "a" əmsalına bərabərdirsə, onun kökləri

аx 2 - (а 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = а х 2 = - 1 / a.

Misal. 10x 2 - 99x –10 = 0 tənliyini nəzərdən keçirək.

x 1 = 10 x 2 = - 1/10

Vyeta teoremi.

Vyeta teoremi məşhur fransız riyaziyyatçısı Fransua Vietanın adını daşıyır. Vyeta teoremindən istifadə edərək ixtiyari KE-nin köklərinin cəmini və hasilini onun əmsalları ilə ifadə etmək olar.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Ümumilikdə 14 rəqəmi yalnız 5 və 9 verir. Bunlar köklərdir. Təqdim olunan teoremdən istifadə edərək müəyyən bir bacarıqla bir çox kvadrat tənliyi şifahi şəkildə həll edə bilərsiniz.

Bundan əlavə, Vyeta teoremi. rahatdır ki, kvadrat tənliyi adi şəkildə həll etdikdən sonra (diskriminant vasitəsilə) alınan kökləri yoxlamaq olar. Bunu hər zaman etməyi məsləhət görürəm.

Köçürmə ÜSULU

Bu üsulla "a" əmsalı sərbəst terminə vurulur, sanki ona "atılır" və buna görə də deyilir. "köçürmə" yolu ilə. Bu üsul Vyeta teoremindən istifadə edərək tənliyin köklərini asanlıqla tapa bildiyiniz zaman və ən əsası diskriminant dəqiq kvadrat olduqda istifadə olunur.

Əgər a± b + c≠ 0 olarsa, ötürmə texnikasından istifadə olunur, məsələn:

2NS 2 – 11x + 5 = 0 (1) => NS 2 – 11x + 10 = 0 (2)

(2) tənliyindəki Vyeta teoremi ilə x 1 = 10 x 2 = 1 olduğunu müəyyən etmək asandır.

Tənliyin əldə edilmiş köklərini 2-yə bölmək lazımdır (çünki ikisi x 2-dən "atıldı"), biz alırıq

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Səbəb nədir? Görün nə baş verir.

(1) və (2) tənliklərinin diskriminantları bərabərdir:

Tənliklərin köklərinə baxsanız, onda yalnız müxtəlif məxrəclər əldə edilir və nəticə x 2-dəki əmsaldan dəqiq asılıdır:

İkinci (dəyişdirilmiş) köklər 2 dəfə böyükdür.

Beləliklə, nəticəni 2-yə bölürük.

* Üçü yenidən yuvarlasaq, nəticəni 3-ə bölürük və s.

Cavab: x 1 = 5 x 2 = 0,5

kv. ur-ye və imtahan.

Onun əhəmiyyəti haqqında qısaca deyəcəyəm - SİZ cəld və tərəddüd etmədən HƏLL ETMƏ BİLMƏLİ OLMALISINIZ, köklərin və diskriminantın düsturlarını əzbər bilmək lazımdır. USE tapşırıqlarını təşkil edən bir çox tapşırıq kvadrat tənliyin (həndəsi olanlar da daxil olmaqla) həllinə endirilir.

Nəyi qeyd etməyə dəyər!

1. Tənliyin yazılması forması “örtülü” ola bilər. Məsələn, aşağıdakı giriş mümkündür:

15+ 9x 2 - 45x = 0 və ya 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 və ya 15 -5x + 10x 2 = 0.

Onu standart formaya gətirmək lazımdır (həll edərkən çaşqınlıq yaranmaması üçün).

2. Unutmayın ki, x naməlum kəmiyyətdir və onu istənilən başqa hərflə - t, q, p, h və başqaları ilə işarələmək olar.

", Yəni birinci dərəcəli tənliklər. Bu dərsdə təhlil edəcəyik buna kvadrat tənlik deyilir və necə həll etmək olar.

Kvadrat tənlik adlanan şey

Vacibdir!

Tənliyin dərəcəsi naməlumun dayandığı ən böyük dərəcə ilə müəyyən edilir.

Naməlumun dayandığı maksimum güc "2" olarsa, onda kvadrat tənliyiniz var.

Kvadrat tənliklərin nümunələri

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Vacibdir! Kvadrat tənliyin ümumi görünüşü belə görünür:

A x 2 + b x + c = 0

• "A" - birinci və ya ən əhəmiyyətli əmsal;
• “B” ikinci əmsaldır;
• "C" pulsuz üzvdür.

"a", "b" və "c" tapmaq üçün tənliyinizi "ax 2 + bx + c = 0" kvadrat tənliyinin ümumi forması ilə müqayisə etməlisiniz.

Kvadrat tənliklərdə “a”, “b” və “c” əmsallarını təyin etməyə məşq edək.

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Kvadrat tənlikləri necə həll etmək olar

Xətti tənliklərdən fərqli olaraq, kvadrat tənlikləri həll etmək üçün xüsusi kökləri tapmaq üçün düstur.

Unutma!

Kvadrat tənliyi həll etmək üçün sizə lazımdır:

• kvadrat tənliyi "ax 2 + bx + c = 0" ümumi formasına gətirin. Yəni sağ tərəfdə yalnız "0" qalmalıdır;
• köklər üçün düsturdan istifadə edin:

Kvadrat tənliyin köklərini tapmaq üçün düsturdan necə istifadə olunacağına dair bir nümunə götürək. Kvadrat tənliyi həll edək.

X 2 - 3x - 4 = 0

"x 2 - 3x - 4 = 0" tənliyi artıq "ax 2 + bx + c = 0" ümumi formasına endirilmişdir və əlavə sadələşdirmələr tələb etmir. Bunu həll etmək üçün sadəcə müraciət etmək lazımdır kvadrat tənliyin köklərini tapmaq üçün düstur.

Bu tənlik üçün “a”, “b” və “c” əmsallarını təyin edək.

Onun köməyi ilə istənilən kvadrat tənlik həll edilir.

"x 1; 2 =" düsturunda radikal ifadə tez-tez əvəz olunur
"D" hərfi ilə "B 2 - 4ac" və diskriminant adlanır. Ayrı-seçkilik anlayışı "Ayrı-seçkilik nədir" dərsində daha ətraflı müzakirə olunur.

Kvadrat tənliyin başqa bir nümunəsini nəzərdən keçirək.

x 2 + 9 + x = 7x

Bu formada “a”, “b” və “c” əmsallarını müəyyən etmək kifayət qədər çətindir. Əvvəlcə tənliyi “ax 2 + bx + c = 0” ümumi formasına gətirək.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

İndi kök düsturundan istifadə edə bilərsiniz.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

Kvadrat tənliklərdə köklərin olmadığı vaxtlar olur. Bu vəziyyət düsturda kökün altında mənfi ədəd tapıldıqda baş verir.

Bu riyaziyyat proqramı ilə siz edə bilərsiniz kvadrat tənliyi həll edin.

Proqram təkcə problemə cavab vermir, həm də həll prosesini iki şəkildə göstərir:
- diskriminantdan istifadə etməklə
- Vyeta teoremindən istifadə etməklə (mümkünsə).

Üstəlik, cavab təxmini deyil, dəqiq göstərilir.
Məsələn, \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \) tənliyi üçün cavab bu formada göstərilir:

Bu proqram ümumtəhsil məktəblərinin yuxarı sinif şagirdləri üçün sınaq və imtahanlara hazırlaşarkən, imtahandan əvvəl bilikləri yoxlayarkən, riyaziyyat və cəbr fənlərindən bir çox məsələlərin həllinə nəzarət etmək üçün valideynlər üçün faydalı ola bilər. Yoxsa repetitor tutmaq və ya yeni dərsliklər almaq sizə çox baha başa gəlir? Yoxsa riyaziyyat və ya cəbr ev tapşırığınızı mümkün qədər tez yerinə yetirmək istəyirsiniz? Bu halda siz də ətraflı həlli ilə proqramlarımızdan istifadə edə bilərsiniz.

Bu yolla siz öz tədrisinizi və/yaxud kiçik qardaşlarınızın tədrisini apara bilərsiniz, eyni zamanda həll olunan problemlər sahəsində təhsil səviyyəsi yüksəlir.

Əgər kvadrat polinomun daxil edilməsi qaydaları ilə tanış deyilsinizsə, onlarla tanış olmağı məsləhət görürük.

Kvadrat polinomun daxil edilməsi qaydaları

Hər hansı bir Latın hərfi dəyişən kimi istifadə edilə bilər.
Məsələn: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) və s.

Ədədlər tam və ya kəsr ədədlər kimi daxil edilə bilər.
Üstəlik, kəsr ədədləri yalnız onluq şəklində deyil, həm də adi kəsr şəklində daxil edilə bilər.

Onluq kəsrlərin daxil edilməsi qaydaları.
Onluq kəsrlərdə tamdan kəsr hissəsi nöqtə və ya vergüllə ayrıla bilər.
Məsələn, ondalık kəsrləri belə daxil edə bilərsiniz: 2.5x - 3.5x ^ 2

Adi kəsrlərin daxil edilməsi qaydaları.
Yalnız tam ədəddən kəsrin payı, məxrəci və tam hissəsi kimi istifadə edilə bilər.

Məxrəc mənfi ola bilməz.

Rəqəmli kəsr daxil edərkən, pay məxrəcdən bölmə işarəsi ilə ayrılır: /
Bütün hissə kəsrdən ampersandla ayrılır: &
Daxiletmə: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Nəticə: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)

İfadə daxil edərkən mötərizələrdən istifadə edilə bilər... Bu halda, kvadrat tənliyi həll edərkən əvvəlcə təqdim olunan ifadə sadələşdirilir.
Məsələn: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)

Məlum olub ki, bu problemi həll etmək üçün lazım olan bəzi skriptlər yüklənməyib və proqram işləməyə bilər.
Yəqin ki, sizdə AdBlock aktivləşdirilib.
Bu halda onu söndürün və səhifəni yeniləyin.

Çünki Problemi həll etmək istəyənlər çoxdur, müraciətiniz növbədədir.
Bir neçə saniyədən sonra həll aşağıda görünəcək.
Gözləyin, zəhmət olmasa san...

Əgər sən qərarında səhv olduğunu gördü, sonra bu barədə Əlaqə Formunda yaza bilərsiniz.
Unutma hansı tapşırığı göstərin siz qərar verin və nə sahələrə daxil olun.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emulyatorlarımız:

Bir az nəzəriyyə.

Kvadrat tənlik və onun kökləri. Natamam kvadrat tənliklər

Tənliklərin hər biri
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
formasına malikdir
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
burada x dəyişən, a, b və c ədəddir.
Birinci tənlikdə a = -1, b = 6 və c = 1.4, ikincidə a = 8, b = -7 və c = 0, üçüncüdə a = 1, b = 0 və c = 4/9. Belə tənliklər deyilir kvadrat tənliklər.

Tərif.
Kvadrat tənlik ax 2 + bx + c = 0 formasının tənliyidir, burada x dəyişəndir, a, b və c bəzi ədədlərdir və \ (a \ neq 0 \).

a, b və c ədədləri kvadrat tənliyin əmsallarıdır. a sayı birinci əmsal, b sayı ikinci əmsal, c sayı isə sərbəst termin adlanır.

ax 2 + bx + c = 0 şəklində olan tənliklərin hər birində, burada \ (a \ neq 0 \), x dəyişəninin ən böyük gücü kvadratdır. Buna görə də ad: kvadrat tənlik.

Qeyd edək ki, kvadrat tənliyə ikinci dərəcəli tənlik də deyilir, çünki onun sol tərəfi ikinci dərəcəli çoxhədlidir.

x 2-də əmsalın 1 olduğu kvadrat tənlik adlanır azaldılmış kvadrat tənlik... Məsələn, azaldılmış kvadrat tənliklər tənliklərdir
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)

Kvadrat tənlikdə ax 2 + bx + c = 0 ən azı b və ya c əmsallarından biri sıfıra bərabərdirsə, belə bir tənlik adlanır. natamam kvadrat tənlik... Deməli, -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 tənlikləri natamam kvadratik tənliklərdir. Onlardan birincisində b = 0, ikincidə c = 0, üçüncüdə b = 0 və c = 0.

Natamam kvadrat tənliklər üç növdür:
1) balta 2 + c = 0, burada \ (c \ neq 0 \);
2) ax 2 + bx = 0, burada \ (b \ neq 0 \);
3) balta 2 = 0.

Bu tiplərin hər birinin tənliklərinin həllini nəzərdən keçirək.

\ (c \ neq 0 \) üçün ax 2 + c = 0 formasının natamam kvadratik tənliyini həll etmək üçün onun sərbəst müddətini sağ tərəfə köçürün və tənliyin hər iki tərəfini a ilə bölün:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Sağ ox x_ (1,2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)

\ (c \ neq 0 \), sonra \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \) olduğundan

Əgər \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), onda tənliyin iki kökü var.

Əgər \ (- \ frac (c) (a) ax 2 + bx = 0 şəklində olan natamam kvadrat tənliyi \ (b \ neq 0 \) ilə həll etmək üçün sol tərəfini çarpdırın və tənliyi alın.
\ (x (ax + b) = 0 \ Sağ ox \ sol \ (\ başlanğıc (massiv) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ son (massiv) \ sağ. \ Sağ ox \ sol \ (\ başlanğıc (massiv) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ son (massiv) \ sağ. \)

Bu o deməkdir ki, \ (b \ neq 0 \) üçün ax 2 + bx = 0 formalı natamam kvadratik tənliyin həmişə iki kökü var.

ax 2 = 0 formasının natamam kvadratik tənliyi x 2 = 0 tənliyinə ekvivalentdir və buna görə də unikal kök 0-a malikdir.

Kvadrat tənliyin kökləri üçün düstur

Gəlin indi həm naməlumların əmsalları, həm də sərbəst terminin sıfırdan fərqli olduğu kvadrat tənliklərin necə həll edildiyini nəzərdən keçirək.

Kvadrat tənliyi ümumi formada həll edək və nəticədə köklərin düsturunu alırıq. Onda bu düstur istənilən kvadrat tənliyi həll etmək üçün tətbiq oluna bilər.

ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tənliyini həll edin

Onun hər iki hissəsini a-ya bölərək, ekvivalent azaldılmış kvadrat tənliyi əldə edirik
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)

Bu tənliyi binomialın kvadratını seçərək çeviririk:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ sol (\ frac (b) (2a) \ sağ) ^ 2- \ sol (\ frac (b) (2a) \ sağ) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Sağ ox \)

radikal ifadə deyilir kvadrat tənliyin diskriminantı ax 2 + bx + c = 0 (latınca "diskriminant" - diskriminator). D hərfi ilə təyin olunur, yəni.
\ (D = b ^ 2-4ac \)

İndi diskriminantın qeydindən istifadə edərək, kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturu yenidən yazırıq:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), burada \ (D = b ^ 2-4ac \)

Aydındır ki:
1) Əgər D> 0 olarsa, onda kvadrat tənliyin iki kökü var.
2) Əgər D = 0 olarsa, onda kvadrat tənliyin bir kökü var \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Əgər D Beləliklə, diskriminantın qiymətindən asılı olaraq, kvadrat tənliyin iki kökü ola bilər (D> 0 üçün), bir kökü (D = 0 üçün) və ya kökləri olmaya bilər (D üçün bundan istifadə edərək kvadrat tənliyi həll edərkən düsturla aşağıdakı şəkildə hərəkət etmək məsləhətdir:
1) diskriminantı hesablayın və onu sıfırla müqayisə edin;
2) diskriminant müsbət və ya sıfıra bərabərdirsə, kök düsturundan istifadə edin, əgər diskriminant mənfidirsə, köklərin olmadığını yazın.

Vyeta teoremi

Verilmiş balta 2 -7x + 10 = 0 kvadrat tənliyinin 2 və 5 kökləri var. Köklərin cəmi 7, hasil isə 10-dur. Görürük ki, köklərin cəmi əksi ilə götürülmüş ikinci əmsala bərabərdir. işarəsidir və köklərin hasili sərbəst terminə bərabərdir. Kökləri olan istənilən verilmiş kvadrat tənlik bu xüsusiyyətə malikdir.

Verilmiş kvadrat tənliyin köklərinin cəmi əks işarə ilə götürülmüş ikinci əmsala, köklərin hasili isə sərbəst müddətə bərabərdir.

Bunlar. Vyeta teoremində deyilir ki, x 2 + px + q = 0 azaldılmış kvadrat tənliyin x 1 və x 2 kökləri aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:
\ (\ sol \ (\ başlanğıc (massiv) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ son (massiv) \ sağ. \)