Denne artikel fortsætter emnet for ligningen af ​​en linje på et plan: vi vil betragte denne type ligning som den generelle ligning af en linje. Lad os definere teoremet og give dets bevis; Lad os finde ud af, hvad en ufuldstændig generel ligning af en linje er, og hvordan man laver overgange fra en generel ligning til andre typer ligninger af en linje. Vi vil forstærke hele teorien med illustrationer og løsninger på praktiske problemer.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Lad et rektangulært koordinatsystem O x y angives på planet.

Sætning 1

Enhver ligning af første grad, med formen A x + B y + C = 0, hvor A, B, C er nogle reelle tal (A og B er ikke lig med nul på samme tid), definerer en ret linje i et rektangulært koordinatsystem på et plan. Til gengæld er enhver ret linje i et rektangulært koordinatsystem på et plan bestemt af en ligning, der har formen A x + B y + C = 0 for et bestemt sæt værdier A, B, C.

Bevis

Denne sætning består af to punkter; vi vil bevise hver af dem.

1. Lad os bevise, at ligningen A x + B y + C = 0 definerer en ret linje på planet.

Lad der være et punkt M 0 (x 0 , y 0), hvis koordinater svarer til ligningen A x + B y + C = 0. Således: A x 0 + B y 0 + C = 0. Træk fra venstre og højre side af ligningen A x + B y + C = 0 venstre og højre side af ligningen A x 0 + B y 0 + C = 0, får vi en ny ligning, der ligner A (x - x 0) + B (y - y0) = 0 . Det svarer til A x + B y + C = 0.

Den resulterende ligning A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for vinkelretheden af ​​vektorerne n → = (A, B) og M 0 M → = (x - x 0, å-å0). Således definerer sættet af punkter M (x, y) en ret linje i et rektangulært koordinatsystem vinkelret på retningen af ​​vektoren n → = (A, B). Vi kan antage, at det ikke er tilfældet, men så ville vektorerne n → = (A, B) og M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) ikke være vinkelrette, og ligheden A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ville ikke være sandt.

Som følge heraf definerer ligningen A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 en bestemt linje i et rektangulært koordinatsystem på planet, og derfor definerer den ækvivalente ligning A x + B y + C = 0 samme linje. Sådan beviste vi den første del af sætningen.

1. Lad os give et bevis på, at enhver ret linje i et rektangulært koordinatsystem på en plan kan specificeres ved en ligning af første grad A x + B y + C = 0.

Lad os definere en ret linje a i et rektangulært koordinatsystem på en plan; punktet M 0 (x 0 , y 0), som denne linje går igennem, samt normalvektoren for denne linje n → = (A, B) .

Lad der også være et punkt M (x, y) - et flydende punkt på en linje. I dette tilfælde er vektorerne n → = (A, B) og M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vinkelrette på hinanden, og deres skalarprodukt er nul:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Lad os omskrive ligningen A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definere C: C = - A x 0 - B y 0 og som et endeligt resultat får vi ligningen A x + B y + C = 0.

Så vi har bevist anden del af sætningen, og vi har bevist hele sætningen som en helhed.

Definition 1

En ligning af formen A x + B y + C = 0 - Det her generel ligning af en linje på et plan i et rektangulært koordinatsystemOxy.

Baseret på den gennemprøvede sætning kan vi konkludere, at en ret linje og dens generelle ligning defineret på et plan i et fast rektangulært koordinatsystem er uløseligt forbundet. Med andre ord svarer den oprindelige linje til dens generelle ligning; den generelle ligning for en linje svarer til en given linje.

Af beviset for sætningen følger det også, at koefficienterne A og B for variablerne x og y er koordinaterne for linjens normalvektor, som er givet ved den generelle ligning for linjen A x + B y + C = 0.

Lad os overveje et specifikt eksempel på en generel ligning af en ret linje.

Lad ligningen 2 x + 3 y - 2 = 0 være givet, hvilket svarer til en ret linje i et givet rektangulært koordinatsystem. Normalvektoren for denne linje er vektoren n → = (2, 3). Lad os tegne den givne rette linje på tegningen.

Vi kan også oplyse følgende: den rette linje, som vi ser på tegningen, er bestemt af den generelle ligning 2 x + 3 y - 2 = 0, da koordinaterne for alle punkter på en given ret linje svarer til denne ligning.

Vi kan få ligningen λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 ved at gange begge sider af linjens generelle ligning med et tal λ ikke lig med nul. Den resulterende ligning svarer til den oprindelige generelle ligning, derfor vil den beskrive den samme lige linje på planet.

Fuldfør den generelle ligning af en linje– sådan en generel ligning af den rette linje A x + B y + C = 0, hvor tallene A, B, C er forskellige fra nul. Ellers er ligningen ufuldstændig.

Lad os analysere alle variationer af den ufuldstændige generelle ligning af en linje.

1. Når A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, har den generelle ligning formen B y + C = 0. En sådan ufuldstændig generel ligning definerer i et rektangulært koordinatsystem O x y en ret linje, der er parallel med O x-aksen, da for enhver reel værdi af x vil variablen y tage værdien - C B. Med andre ord, den generelle ligning for linjen A x + B y + C = 0, når A = 0, B ≠ 0, angiver stedet for punkter (x, y), hvis koordinater er lig med det samme tal - C B.
2. Hvis A = 0, B ≠ 0, C = 0, har den generelle ligning formen y = 0. Denne ufuldstændige ligning definerer x-aksen O x .
3. Når A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, får vi en ufuldstændig generel ligning A x + C = 0, der definerer en ret linje parallel med ordinaten.
4. Lad A ≠ 0, B = 0, C = 0, så vil den ufuldstændige generelle ligning have formen x = 0, og dette er ligningen for koordinatlinjen O y.
5. Endelig, for A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, har den ufuldstændige generelle ligning formen A x + B y = 0. Og denne ligning beskriver en lige linje, der går gennem oprindelsen. Faktisk svarer talparret (0, 0) til ligheden A x + B y = 0, da A · 0 + B · 0 = 0.

Lad os grafisk illustrere alle de ovennævnte typer af ufuldstændig generel ligning af en ret linje.

Eksempel 1

Det er kendt, at den givne rette linje er parallel med ordinataksen og går gennem punktet 2 7, - 11. Det er nødvendigt at nedskrive den generelle ligning for den givne linje.

Løsning

En ret linje parallel med ordinataksen er givet ved en ligning på formen A x + C = 0, hvor A ≠ 0. Betingelsen specificerer også koordinaterne for det punkt, som linjen går igennem, og koordinaterne for dette punkt opfylder betingelserne for den ufuldstændige generelle ligning A x + C = 0, dvs. ligheden er sand:

A27 + C = 0

Ud fra det er det muligt at bestemme C, hvis vi giver A en værdi, der ikke er nul, for eksempel A = 7. I dette tilfælde får vi: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Vi kender begge koefficienterne A og C, indsæt dem i ligningen A x + C = 0 og få den påkrævede lige linje: 7 x - 2 = 0

Svar: 7 x - 2 = 0

Eksempel 2

Tegningen viser en lige linje; du skal skrive dens ligning ned.

Løsning

Den givne tegning giver os mulighed for nemt at tage de indledende data for at løse problemet. Vi ser på tegningen, at den givne rette linje er parallel med O x-aksen og går gennem punktet (0, 3).

Den rette linje, som er parallel med abscissen, bestemmes af den ufuldstændige generelle ligning B y + C = 0. Lad os finde værdierne af B og C. Koordinaterne for punktet (0, 3), da den givne linje passerer gennem det, vil opfylde ligningen for linjen B y + C = 0, så er ligheden gyldig: B · 3 + C = 0. Lad os sætte B til en anden værdi end nul. Lad os sige B = 1, i hvilket tilfælde ud fra ligheden B · 3 + C = 0 kan vi finde C: C = - 3. Ved at bruge de kendte værdier af B og C får vi den krævede ligning for den rette linje: y - 3 = 0.

Svar: y-3 = 0.

Generel ligning for en linje, der går gennem et givet punkt i en plan

Lad den givne linje passere gennem punktet M 0 (x 0 , y 0), så svarer dens koordinater til linjens generelle ligning, dvs. ligheden er sand: A x 0 + B y 0 + C = 0. Lad os trække venstre og højre side af denne ligning fra venstre og højre side af den generelle komplette ligning af linjen. Vi får: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, denne ligning svarer til den oprindelige generelle, går gennem punktet M 0 (x 0, y 0) og har en normal vektor n → = (A, B).

Resultatet, vi opnåede, gør det muligt at nedskrive den generelle ligning for en linje med kendte koordinater for linjens normalvektor og koordinaterne for et bestemt punkt på denne linje.

Eksempel 3

Givet et punkt M 0 (- 3, 4), som en linje går igennem, og normalvektoren for denne linje n → = (1, - 2). Det er nødvendigt at nedskrive ligningen for den givne linje.

Løsning

De indledende betingelser giver os mulighed for at opnå de nødvendige data til at sammensætte ligningen: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Derefter:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problemet kunne have været løst anderledes. Den generelle ligning for en ret linje er A x + B y + C = 0. Den givne normalvektor giver os mulighed for at opnå værdierne af koefficienterne A og B, så:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Lad os nu finde værdien af ​​C ved hjælp af punktet M 0 (- 3, 4) specificeret af problemets tilstand, gennem hvilken den lige linje passerer. Koordinaterne for dette punkt svarer til ligningen x - 2 · y + C = 0, dvs. - 3 - 2 4 + C = 0. Derfor C = 11. Den påkrævede lige linje har formen: x - 2 · y + 11 = 0.

Svar: x-2 y + 11 = 0.

Eksempel 4

Givet en linje 2 3 x - y - 1 2 = 0 og et punkt M 0 liggende på denne linje. Kun abscissen af ​​dette punkt er kendt, og den er lig med - 3. Det er nødvendigt at bestemme ordinaten af ​​et givet punkt.

Løsning

Lad os betegne koordinaterne for punktet M 0 som x 0 og y 0 . Kildedataene indikerer, at x 0 = - 3. Da punktet hører til en given linje, svarer dets koordinater til den generelle ligning for denne linje. Så vil ligestillingen være sand:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definer y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Svar: - 5 2

Overgang fra en linjes generelle ligning til andre typer ligninger for en linje og omvendt

Som vi ved, er der flere ligningstyper for den samme rette linje på et plan. Valget af ligningstype afhænger af problemets betingelser; det er muligt at vælge den, der er mere bekvem til at løse det. Evnen til at konvertere en ligning af én type til en ligning af en anden type er meget nyttig her.

Lad os først overveje overgangen fra den generelle ligning på formen A x + B y + C = 0 til den kanoniske ligning x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Hvis A ≠ 0, så flytter vi udtrykket B y til højre side af den generelle ligning. På venstre side tager vi A ud af parentes. Som et resultat får vi: A x + C A = - B y.

Denne lighed kan skrives som en proportion: x + C A - B = y A.

Hvis B ≠ 0, efterlader vi kun udtrykket A x i venstre side af den generelle ligning, overfører de andre til højre, får vi: A x = - B y - C. Vi tager – B ud af parentes, så: A x = - B y + C B .

Lad os omskrive ligheden i form af en proportion: x - B = y + C B A.

Selvfølgelig er der ingen grund til at huske de resulterende formler. Det er nok at kende algoritmen for handlinger, når man går fra en generel ligning til en kanonisk.

Eksempel 5

Den generelle ligning for linjen 3 y - 4 = 0 er givet. Det er nødvendigt at omdanne det til en kanonisk ligning.

Løsning

Lad os skrive den oprindelige ligning som 3 y - 4 = 0. Dernæst fortsætter vi i henhold til algoritmen: udtrykket 0 x forbliver på venstre side; og på højre side sætter vi - 3 ud af beslag; vi får: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Lad os skrive den resulterende lighed som en proportion: x - 3 = y - 4 3 0 . Således har vi fået en ligning af kanonisk form.

Svar: x - 3 = y - 4 3 0.

For at omdanne en linjes generelle ligning til parametriske, laves først en overgang til den kanoniske form, og derefter en overgang fra en linjes kanoniske ligning til parametriske ligninger.

Eksempel 6

Den rette linje er givet ved ligningen 2 x - 5 y - 1 = 0. Skriv de parametriske ligninger for denne linje ned.

Løsning

Lad os lave overgangen fra den generelle ligning til den kanoniske:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Nu tager vi begge sider af den resulterende kanoniske ligning lig med λ, så:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Svar:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Den generelle ligning kan konverteres til en ligning af en ret linje med hældning y = k · x + b, men kun når B ≠ 0. Til overgangen lader vi udtrykket B y stå i venstre side, resten overføres til højre. Vi får: B y = - A x - C . Lad os dividere begge sider af den resulterende lighed med B, forskellig fra nul: y = - A B x - C B.

Eksempel 7

Linjens generelle ligning er givet: 2 x + 7 y = 0. Du skal konvertere den ligning til en hældningsligning.

Løsning

Lad os udføre de nødvendige handlinger i henhold til algoritmen:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Svar: y = - 2 7 x .

Fra den generelle ligning af en linje er det nok blot at få en ligning i segmenter af formen x a + y b = 1. For at lave en sådan overgang flytter vi tallet C til højre side af ligheden, dividerer begge sider af den resulterende lighed med – C og overfører til sidst koefficienterne for variablerne x og y til nævnerne:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Eksempel 8

Det er nødvendigt at transformere den generelle ligning for linjen x - 7 y + 1 2 = 0 til ligningen for linjen i segmenter.

Løsning

Lad os flytte 1 2 til højre side: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Lad os dividere begge sider af ligheden med -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Svar: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Generelt er den omvendte overgang også let: fra andre typer ligninger til den generelle.

Ligningen for en linje i segmenter og en ligning med en vinkelkoefficient kan let konverteres til en generel ved blot at samle alle led på venstre side af ligheden:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Den kanoniske ligning konverteres til en generel ligning i henhold til følgende skema:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

For at flytte fra parametriske skal du først flytte til den kanoniske og derefter til den generelle:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Eksempel 9

De parametriske ligninger for linjen x = - 1 + 2 · λ y = 4 er givet. Det er nødvendigt at nedskrive den generelle ligning for denne linje.

Løsning

Lad os lave overgangen fra parametriske ligninger til kanoniske ligninger:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Lad os gå fra det kanoniske til det generelle:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Svar: y - 4 = 0

Eksempel 10

Ligningen for en ret linje i segmenterne x 3 + y 1 2 = 1 er givet. Det er nødvendigt at gå over til den generelle form af ligningen.

Løsning:

Vi omskriver blot ligningen i den påkrævede form:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Svar: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Tegning af en generel ligning for en linje

Vi sagde ovenfor, at den generelle ligning kan skrives med kendte koordinater for normalvektoren og koordinaterne for det punkt, hvorigennem linjen går. En sådan ret linje er defineret af ligningen A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Der analyserede vi også det tilsvarende eksempel.

Lad os nu se på mere komplekse eksempler, hvor vi først skal bestemme koordinaterne for den normale vektor.

Eksempel 11

Givet en linje parallel med linjen 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Punktet M 0 (4, 1), hvorigennem den givne linje går, er også kendt. Det er nødvendigt at nedskrive ligningen for den givne linje.

Løsning

Begyndelsesbetingelserne fortæller os, at linjerne er parallelle, så som normalvektor for linjen, hvis ligning skal skrives, tager vi retningsvektoren for linjen n → = (2, - 3): 2 x - 3 år + 3 3 = 0. Nu kender vi alle de nødvendige data for at skabe den generelle ligning af linjen:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Svar: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Eksempel 12

Den givne linje går gennem origo vinkelret på linjen x - 2 3 = y + 4 5. Det er nødvendigt at lave en generel ligning for en given linje.

Løsning

Normalvektoren for en given linje vil være retningsvektoren for linjen x - 2 3 = y + 4 5.

Derefter n → = (3, 5) . Den rette linje går gennem oprindelsen, dvs. gennem punkt O (0, 0). Lad os lave en generel ligning for en given linje:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Svar: 3 x + 5 y = 0.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Linjen, der går gennem punktet K(x 0 ; y 0) og parallel med linjen y = kx + a, findes ved formlen:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Hvor k er linjens hældning.

Alternativ formel:
En linje, der går gennem punktet M 1 (x 1 ; y 1) og parallel med linjen Ax+By+C=0 er repræsenteret ved ligningen

A(x-x1)+B(y-y1)=0. (2)

Eksempel nr. 2. Skriv ligningen for en linje parallel med linjen 2x + 5y = 0, og dannelse, sammen med koordinatakserne, en trekant, hvis areal er 5.
Løsning . Da linjerne er parallelle, er ligningen for den ønskede linje 2x + 5y + C = 0. Arealet af en retvinklet trekant, hvor a og b er dens ben. Lad os finde skæringspunkterne for den ønskede linje med koordinatakserne:
;
.
Altså A(-C/2,0), B(0,-C/5). Lad os erstatte det med formlen for areal: . Vi får to løsninger: 2x + 5y + 10 = 0 og 2x + 5y – 10 = 0.

Eksempel nr. 3. Skriv en ligning for en linje, der går gennem punktet (-2; 5) og parallelt med linjen 5x-7y-4=0.
Løsning. Denne rette linje kan repræsenteres af ligningen y = 5 / 7 x – 4 / 7 (her a = 5 / 7). Ligningen for den ønskede linje er y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), dvs. 7(y-5)=5(x+2) eller 5x-7y+45=0 .

Eksempel nr. 4. Efter at have løst eksempel 3 (A=5, B=-7) ved hjælp af formel (2), finder vi 5(x+2)-7(y-5)=0.

Eksempel nr. 5. Skriv en ligning for en linje, der går gennem punktet (-2;5) og parallelt med linjen 7x+10=0.
Løsning. Her er A=7, B=0. Formel (2) giver 7(x+2)=0, dvs. x+2=0. Formel (1) er ikke anvendelig, da denne ligning ikke kan løses med hensyn til y (denne rette linje er parallel med ordinataksen).

Lektion fra serien "Geometriske algoritmer"

Hej kære læser!

I dag vil vi begynde at lære algoritmer relateret til geometri. Faktum er, at der er en hel del olympiadeproblemer inden for datalogi relateret til beregningsgeometri, og at løse sådanne problemer giver ofte vanskeligheder.

I løbet af flere lektioner vil vi overveje en række elementære delopgaver, som løsningen af ​​de fleste problemer inden for beregningsgeometri er baseret på.

I denne lektion vil vi lave et program til at finde ligningen for en linje, passerer gennem givet to point. For at løse geometriske problemer har vi brug for en vis viden om beregningsgeometri. Vi vil bruge en del af lektionen til at lære dem at kende.

Indsigt fra Computational Geometry

Beregningsgeometri er en gren af ​​datalogi, der studerer algoritmer til løsning af geometriske problemer.

De indledende data for sådanne problemer kan være et sæt punkter på et plan, et sæt segmenter, en polygon (specificeret for eksempel ved en liste over dets hjørner i urets rækkefølge) osv.

Resultatet kan enten være et svar på et spørgsmål (såsom hører et punkt til et segment, skærer to segmenter hinanden, ...), eller et eller andet geometrisk objekt (f.eks. den mindste konvekse polygon, der forbinder givne punkter, arealet af en polygon osv.).

Vi vil kun overveje problemer med beregningsgeometri på planet og kun i det kartesiske koordinatsystem.

Vektorer og koordinater

For at anvende metoderne til beregningsgeometri er det nødvendigt at oversætte geometriske billeder til talsproget. Vi vil antage, at planet får et kartesisk koordinatsystem, hvor rotationsretningen mod uret kaldes positiv.

Nu får geometriske objekter et analytisk udtryk. Så for at angive et punkt er det nok at angive dets koordinater: et par tal (x; y). Et segment kan specificeres ved at angive koordinaterne for dets ender; en ret linje kan specificeres ved at angive koordinaterne for et par af dets punkter.

Men vores vigtigste værktøj til at løse problemer vil være vektorer. Lad mig derfor minde om nogle oplysninger om dem.

Linjestykke AB, hvilket har en pointe EN betragtes som begyndelsen (anvendelsespunktet) og punktet I– ende, kaldet en vektor AB og er f.eks. angivet med enten eller med et fed lille bogstav EN .

For at angive længden af ​​en vektor (det vil sige længden af ​​det tilsvarende segment), vil vi bruge modulsymbolet (for eksempel ).

En vilkårlig vektor vil have koordinater svarende til forskellen mellem de tilsvarende koordinater for dens ende og begyndelse:

,

her er pointerne EN Og B har koordinater henholdsvis.

Til beregninger vil vi bruge konceptet orienteret vinkel, altså en vinkel, der tager højde for vektorernes relative position.

Orienteret vinkel mellem vektorer -en Og b positiv, hvis rotationen er fra vektoren -en til vektor b udføres i positiv retning (mod uret) og negativ i det andet tilfælde. Se fig. 1a, fig. 1b. Det siges også, at et par vektorer -en Og b positivt (negativt) orienteret.

Værdien af ​​den orienterede vinkel afhænger således af den rækkefølge, som vektorerne er opført i, og kan tage værdier i intervallet.

Mange problemer inden for beregningsgeometri bruger begrebet vektorprodukter (skævt eller pseudoskalært) af vektorer.

Vektorproduktet af vektorerne a og b er produktet af længderne af disse vektorer og sinus af vinklen mellem dem:

.

Krydsprodukt af vektorer i koordinater:

Udtrykket til højre er en andenordens determinant:

I modsætning til definitionen givet i analytisk geometri, er det en skalar.

Tegnet for vektorproduktet bestemmer vektorernes position i forhold til hinanden:

-en Og b positivt orienteret.

Hvis værdien er , så et par vektorer -en Og b negativt orienteret.

Krydsproduktet af ikke-nul vektorer er nul, hvis og kun hvis de er kollineære ( ). Det betyder, at de ligger på samme linje eller på parallelle linjer.

Lad os se på nogle få simple problemer, der er nødvendige, når du løser mere komplekse.

Lad os bestemme ligningen for en ret linje ud fra koordinaterne til to punkter.

Ligning for en linje, der går gennem to forskellige punkter, der er specificeret ved deres koordinater.

Lad to ikke-sammenfaldende punkter angives på en ret linje: med koordinater (x1; y1) og med koordinater (x2; y2). Følgelig har en vektor med en start ved et punkt og en ende ved et punkt koordinater (x2-x1, y2-y1). Hvis P(x, y) er et vilkårligt punkt på vores linje, så er vektorens koordinater lig med (x-x1, y – y1).

Ved at bruge vektorproduktet kan betingelsen for vektorers kollinearitet og skrives som følger:

De der. (x-x1)(y2-yl)-(y-yl)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Vi omskriver den sidste ligning som følger:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Så den rette linje kan specificeres med en ligning på formen (1).

Opgave 1. Koordinaterne for to punkter er givet. Find dens repræsentation på formen ax + by + c = 0.

I denne lektion lærte vi nogle oplysninger om beregningsgeometri. Vi løste problemet med at finde ligningen for en linje ud fra koordinaterne af to punkter.

I den næste lektion vil vi lave et program til at finde skæringspunktet for to linjer givet af vores ligninger.

Lad der gives to point M(x 1 ,U 1) og N(x 2,y 2). Lad os finde ligningen for linjen, der går gennem disse punkter.

Da denne linje går gennem punktet M, så ifølge formel (1.13) har dens ligning formen

U – Y 1 = K(X–x 1),

Hvor K– ukendt vinkelkoefficient.

Værdien af ​​denne koefficient bestemmes ud fra betingelsen om, at den ønskede rette linje passerer gennem punktet N, hvilket betyder, at dens koordinater opfylder ligning (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(x 2 – x 1),

Herfra kan du finde hældningen på denne linje:

,

Eller efter konvertering

(1.14)

Formel (1.14) bestemmer Ligning for en linje, der går gennem to punkter M(x 1, Y 1) og N(x 2, Y 2).

I det særlige tilfælde, når point M(EN, 0), N(0, B), EN ¹ 0, B¹ 0, lig på koordinatakserne, ligning (1.14) vil have en enklere form

Ligning (1,15) hedder Ligning af en ret linje i segmenter, Her EN Og B angiv segmenterne afskåret med en lige linje på akserne (Figur 1.6).

Figur 1.6

Eksempel 1.10. Skriv en ligning for en linje, der går gennem punkterne M(1, 2) og B(3, –1).

. Ifølge (1.14) har ligningen for den ønskede linje formen

2(Y – 2) = -3(x – 1).

Når vi overfører alle led til venstre side, opnår vi endelig den ønskede ligning

3x + 2Y – 7 = 0.

Eksempel 1.11. Skriv en ligning for en linje, der går gennem et punkt M(2, 1) og linjernes skæringspunkt x+ Y – 1 = 0, X – y+ 2 = 0.

. Vi finder koordinaterne for linjernes skæringspunkt ved at løse disse ligninger sammen

Hvis vi tilføjer disse ligninger led for led, får vi 2 x+ 1 = 0, hvorfra . Hvis vi erstatter den fundne værdi i en ligning, finder vi værdien af ​​ordinaten U:

Lad os nu skrive ligningen for den rette linje, der går gennem punkterne (2, 1) og:

eller .

Derfor eller –5( Y – 1) = x – 2.

Til sidst får vi ligningen for den ønskede linje i skemaet x + 5Y – 7 = 0.

Eksempel 1.12. Find ligningen for den linje, der går gennem punkterne M(2.1) og N(2,3).

Ved hjælp af formlen (1.14) får vi ligningen

Det giver ikke mening, da den anden nævner er nul. Fra betingelserne for problemet er det klart, at abscissen af ​​begge punkter har samme værdi. Det betyder, at den ønskede rette linje er parallel med aksen OY og dens ligning er: x = 2.

Kommentar . Hvis en af ​​nævnerne viser sig at være lig nul, når man skriver ligningen for en linje ved hjælp af formlen (1.14), så kan den ønskede ligning opnås ved at ligne den tilsvarende tæller med nul.

Lad os overveje andre måder at definere en linje på et plan på.

1. Lad en vektor, der ikke er nul, være vinkelret på den givne linje L, og peg M 0(x 0, Y 0) ligger på denne linje (figur 1.7).

Figur 1.7

Lad os betegne M(x, Y) ethvert punkt på en linje L. Vektorer og Ortogonal. Ved at bruge betingelserne for ortogonalitet af disse vektorer opnår vi eller EN(x – x 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Vi har fået ligningen for en linje, der går gennem et punkt M 0 er vinkelret på vektoren. Denne vektor kaldes Normal vektor til en lige linje L. Den resulterende ligning kan omskrives som

Åh + Wu + MED= 0, hvor MED = –(ENx 0 + Ved 0), (1.16),

Hvor EN Og I– koordinater for normalvektoren.

Vi får den generelle ligning for linjen i parametrisk form.

2. En ret linje på en plan kan defineres som følger: lad en vektor, der ikke er nul, være parallel med den givne rette linje L og periode M 0(x 0, Y 0) ligger på denne linje. Lad os tage et vilkårligt punkt igen M(x, y) på en lige linje (figur 1.8).

Figur 1.8

Vektorer og collineær.

Lad os nedskrive betingelsen for disse vektorers kollinearitet: , hvor T– et vilkårligt tal kaldet en parameter. Lad os skrive denne lighed i koordinater:

Disse ligninger kaldes Parametriske ligninger Lige. Lad os udelukke parameteren fra disse ligninger T:

Disse ligninger kan ellers skrives som

. (1.18)

Den resulterende ligning kaldes Linjens kanoniske ligning. Vektoren kaldes Den rettede vektor er lige .

Kommentar . Det er let at se, at if er normalvektoren til linjen L, så kan dens retningsvektor være vektoren siden , dvs.

Eksempel 1.13. Skriv ligningen for en linje, der går gennem et punkt M 0(1, 1) parallelt med linje 3 x + 2U– 8 = 0.

Løsning . Vektoren er normalvektoren til de givne og ønskede linjer. Lad os bruge ligningen for en linje, der går gennem et punkt M 0 med en given normalvektor 3( x –1) + 2(U– 1) = 0 eller 3 x + 2у– 5 = 0. Vi fik ligningen for den ønskede linje.

Ligningen for en linje, der går gennem et givet punkt i en given retning. Ligning for en linje, der går gennem to givne punkter. Vinklen mellem to lige linjer. Betingelsen for parallelitet og vinkelrethed af to rette linjer. Bestemmelse af skæringspunktet mellem to linjer

1. Ligning for en linje, der går gennem et givet punkt EN(x 1 , y 1) i en given retning, bestemt af hældningen k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Denne ligning definerer en blyant af linjer, der går gennem et punkt EN(x 1 , y 1), som kaldes strålecentret.

2. Ligning for en linje, der går gennem to punkter: EN(x 1 , y 1) og B(x 2 , y 2), skrevet således:

Vinkelkoefficienten for en ret linje, der går gennem to givne punkter, bestemmes af formlen

3. Vinkel mellem lige linjer EN Og B er den vinkel, som den første rette linje skal drejes med EN omkring skæringspunktet for disse linjer mod uret, indtil det falder sammen med den anden linje B. Hvis to rette linjer er givet ved ligninger med en hældning

y = k 1 x + B 1 ,