Regler for at addere og trække tal med brøker. Tilføjelse og subtrahering af almindelige brøker

Bemærk! Inden du skriver dit endelige svar, skal du se, om du kan forkorte den brøk, du har modtaget.

At trække brøker fra med ens nævnere, eksempler:

,

,

Træk en egentlig brøk fra en.

Hvis det er nødvendigt at trække en brøk fra en enhed, der er rigtig, konverteres enheden til form af en uægte brøk, dens nævner er lig med nævneren af ​​den subtraherede brøk.

Et eksempel på at trække en egentlig brøk fra en:

Nævner for den brøk, der skal trækkes fra = 7 , dvs. vi repræsenterer en som en uegen brøk 7/7 og trækker den fra i henhold til reglen for at trække brøker fra med ens nævnere.

At trække en egentlig brøk fra et helt tal.

Regler for at trække brøker fra - korrekt fra et helt tal (naturligt tal):

• Vi konverterer givne brøker, der indeholder en heltalsdel, til uægte. Vi opnår normale termer (det er lige meget om de har forskellige nævnere), som vi beregner efter reglerne ovenfor;
• Dernæst beregner vi forskellen mellem de brøker, vi modtog. Som et resultat vil vi næsten finde svaret;
• Vi udfører den omvendte transformation, det vil sige, vi slipper af med den ukorrekte fraktion - vi vælger hele delen i fraktionen.

Træk en egen brøk fra et helt tal: repræsentere det naturlige tal som et blandet tal. De der. Vi tager en enhed i et naturligt tal og konverterer den til form af en uegen brøk, hvor nævneren er den samme som for den subtraherede brøk.

Eksempel på at trække brøker fra:

I eksemplet erstattede vi en med den uægte brøk 7/7 og i stedet for 3 skrev vi et blandet tal ned og trak en brøk fra brøkdelen.

Fratræk brøker med forskellige nævnere.

Eller sagt på en anden måde, trække forskellige brøker fra.

Regel for fratrækning af brøker med forskellige nævnere. For at trække brøker med forskellige nævnere, er det nødvendigt først at reducere disse brøker til den laveste fællesnævner (LCD), og først herefter udføre subtraktionen som med brøker med samme nævnere.

Fællesnævneren for flere brøker er LCM (mindst fælles multiplum) naturlige tal, der er nævnerne for disse brøker.

Opmærksomhed! Hvis tæller og nævner i den sidste brøk har fælles faktorer, så skal brøken reduceres. En uægte fraktion er bedst repræsenteret som en blandet fraktion. At forlade subtraktionsresultatet uden at reducere brøken, hvor det er muligt, er en ufuldstændig løsning på eksemplet!

Fremgangsmåde for at subtrahere brøker med forskellige nævnere.

• find LCM for alle nævnere;
• sæt yderligere faktorer for alle fraktioner;
• gange alle tællere med en ekstra faktor;
• Vi skriver de resulterende produkter ind i tælleren og underskriver fællesnævneren under alle brøker;
• subtraher tællere af brøker, underskriv fællesnævneren under forskellen.

På samme måde foretages addition og subtraktion af brøker, hvis der er bogstaver i tælleren.

Fratræk af brøker, eksempler:

Fratræk blandede fraktioner.

På trække blandede brøker (tal) fra separat trækkes heltalsdelen fra heltalsdelen, og brøkdelen trækkes fra brøkdelen.

Den første mulighed for at trække blandede brøker fra.

Hvis brøkdelene det samme nævnere og tæller for brøkdelen af ​​minuenden (vi trækker den fra den) ≥ tæller for brøkdelen af ​​subtrahenden (vi trækker den fra).

For eksempel:

Den anden mulighed for at trække blandede brøker fra.

Når brøkdele forskellige nævnere. Til at begynde med bringer vi brøkdelene til en fællesnævner, og derefter trækker vi hele delen fra hele delen og brøkdelen fra brøkdelen.

For eksempel:

Den tredje mulighed for at trække blandede brøker fra.

Brøkdelen af ​​minuenden er mindre end brøkdelen af ​​subtrahenden.

Eksempel:

Fordi Brøkdele har forskellige nævnere, hvilket betyder, at vi som i den anden mulighed først bringer almindelige brøker til en fællesnævner.

Tælleren for brøkdelen af ​​minuenden er mindre end tælleren for brøkdelen af ​​subtrahenden.3 < 14. Det betyder, at vi tager en enhed fra hele delen og reducerer denne enhed til form af en uægte brøk med samme nævner og tæller = 18.

I tælleren på højre side skriver vi summen af ​​tællere, så åbner vi parenteserne i tælleren på højre side, det vil sige, vi multiplicerer alt og giver lignende. Vi åbner ikke parentesen i nævneren. Det er sædvanligt at lade produktet stå i nævnerne. Vi får:

Reglerne for at tilføje brøker med forskellige nævnere er meget enkle.

Lad os se på reglerne for at tilføje brøker med forskellige nævnere trin for trin:

1. Find LCM (mindste fælles multiplum) af nævnerne. Den resulterende LCM vil være fællesnævneren for brøkerne;

2. Reducer brøker til en fællesnævner;

3. Tilføj brøker reduceret til en fællesnævner.

Ved hjælp af et simpelt eksempel lærer vi at anvende reglerne for at lægge brøker sammen med forskellige nævnere.

Eksempel

Et eksempel på tilføjelse af brøker med forskellige nævnere.

Tilføj brøker med forskellige nævnere:

Vi vil beslutte trin for trin.

1. Find LCM (mindste fælles multiplum) af nævnerne.

Tallet 12 er deleligt med 6.

Ud fra dette konkluderer vi, at 12 er det mindste fælles multiplum af tallene 6 og 12.

Svar: antallet af tallene 6 og 12 er 12:

LCM(6; 12) = 12

Den resulterende LCM vil være fællesnævneren for to brøker 1/6 og 5/12.

2. Reducer brøker til en fællesnævner.

I vores eksempel skal kun den første brøk reduceres til en fællesnævner på 12, fordi den anden brøk allerede har en nævner på 12.

Divider fællesnævneren af ​​12 med nævneren af ​​den første brøk:

2 har en ekstra multiplikator.

Gang tælleren og nævneren for den første brøk (1/6) med en ekstra faktor på 2.

Almindelige brøktal møder først skolebørn i 5. klasse og ledsager dem hele deres liv, da det i hverdagen ofte er nødvendigt at overveje eller bruge en genstand ikke som en helhed, men i separate stykker. Begynd at studere dette emne - deler. Andele er lige dele, hvori dette eller hint objekt er opdelt. Det er trods alt ikke altid muligt at udtrykke for eksempel længden eller prisen på et produkt som et helt tal; dele eller brøkdele af et eller andet mål bør tages i betragtning. Formet fra verbet "at splitte" - at opdele i dele og have arabiske rødder, opstod selve ordet "brøkdel" i det russiske sprog i det 8. århundrede.

Brøkudtryk har længe været betragtet som den sværeste gren af ​​matematik. I det 17. århundrede, da de første lærebøger om matematik dukkede op, blev de kaldt "brudte tal", hvilket var meget svært for folk at forstå.

Den moderne form for simple brøkrester, hvis dele er adskilt af en vandret linje, blev først fremmet af Fibonacci - Leonardo af Pisa. Hans værker er dateret til 1202. Men formålet med denne artikel er enkelt og tydeligt at forklare læseren, hvordan blandede brøker med forskellige nævnere ganges.

Multiplikation af brøker med forskellige nævnere

I første omgang er det værd at bestemme typer af fraktioner:

• korrekt;
• ukorrekt;
• blandet.

Dernæst skal du huske, hvordan brøktal med de samme nævnere ganges. Selve reglen for denne proces er ikke svær at formulere uafhængigt: resultatet af multiplikation af simple brøker med identiske nævnere er et brøkudtryk, hvis tæller er produktet af tællere, og nævneren er produktet af nævnerne af disse brøker. . Det vil sige, at den nye nævner faktisk er kvadratet på en af ​​de oprindeligt eksisterende.

Ved multiplikation simple brøker med forskellige nævnere for to eller flere faktorer ændres reglen ikke:

en/b * c/d = a*c / b*d.

Den eneste forskel er, at det dannede tal under brøklinjen vil være et produkt af forskellige tal, og det kan naturligvis ikke kaldes kvadratet af et numerisk udtryk.

Det er værd at overveje multiplikationen af ​​brøker med forskellige nævnere ved hjælp af eksempler:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Eksemplerne bruger metoder til at reducere brøkudtryk. Du kan kun reducere tællertal med nævnertal; tilstødende faktorer over eller under brøklinjen kan ikke reduceres.

Sammen med simple brøker er der begrebet blandede brøker. Et blandet tal består af et heltal og en brøkdel, det vil sige, at det er summen af ​​disse tal:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Hvordan fungerer multiplikation?

Der er givet flere eksempler til overvejelse.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Eksemplet bruger multiplikation af et tal med almindelig brøkdel, kan reglen for denne handling skrives som:

en* b/c = a*b /c.

Faktisk er et sådant produkt summen af ​​identiske fraktionerede rester, og antallet af led indikerer dette naturlige tal. Særlig situation:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Der er en anden løsning til at gange et tal med en brøkrest. Du skal bare dividere nævneren med dette tal:

d* e/f = e/f: d.

Denne teknik er nyttig at bruge, når nævneren divideres med et naturligt tal uden en rest eller, som man siger, med et helt tal.

Konverter blandede tal til uægte brøker og få produktet på den tidligere beskrevne måde:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Dette eksempel involverer en måde at repræsentere en blandet fraktion som en uegentlig fraktion og kan også repræsenteres som en generel formel:

-en bc = a*b+ c / c, hvor nævneren for den nye brøk dannes ved at gange hele delen med nævneren og lægge den sammen med tælleren for den oprindelige brøkrest, og nævneren forbliver den samme.

Denne proces virker også i den modsatte retning. For at adskille hele delen og brøkresten skal du dividere tælleren for en uægte brøk med dens nævner ved at bruge et "hjørne".

Multiplikation af uægte brøker produceret på en alment accepteret måde. Når du skriver under en enkelt brøklinje, skal du reducere brøker efter behov for at reducere tal ved hjælp af denne metode og gøre det lettere at beregne resultatet.

Der er mange hjælpere på internettet til at løse selv komplekse matematiske problemer i forskellige variationer af programmer. Et tilstrækkeligt antal af sådanne tjenester tilbyder deres hjælp til at beregne multiplikationen af ​​brøker med forskellige tal i nævnerne - såkaldte online-beregnere til beregning af brøker. De er i stand til ikke kun at gange, men også at udføre alle andre simple regneoperationer med almindelige brøker og blandede tal. Det er ikke svært at arbejde med; du udfylder de relevante felter på hjemmesiden, vælger tegnet for den matematiske operation og klikker på "beregn". Programmet beregner automatisk.

Emnet regneoperationer med brøker er relevant gennem hele uddannelsen af ​​mellem- og gymnasieelever. I gymnasiet betragter de ikke længere den simpleste art, men heltals brøkudtryk, men kendskabet til reglerne for transformation og beregninger, der er opnået tidligere, anvendes i sin oprindelige form. Velmestreret grundlæggende viden giver fuld tillid til succesfuld løsning af de mest komplekse problemer.

Afslutningsvis giver det mening at citere ordene fra Lev Nikolaevich Tolstoj, der skrev: "Mennesket er en brøkdel. Det er ikke i en persons magt at øge sin tæller - sine fortjenester - men enhver kan reducere sin nævner - sin mening om sig selv, og med dette fald komme tættere på sin perfektion.

Denne lektion vil dække at addere og trække algebraiske brøker med forskellige nævnere. Vi ved allerede, hvordan man adderer og subtraherer fælles brøker med forskellige nævnere. For at gøre dette skal brøkerne reduceres til en fællesnævner. Det viser sig, at algebraiske brøker følger de samme regler. Samtidig ved vi allerede, hvordan man reducerer algebraiske brøker til en fællesnævner. Tilføjelse og fratrækning af brøker med forskellige nævnere er et af de vigtigste og sværeste emner i 8. klasseforløbet. Desuden vil dette emne optræde i mange emner i algebrakurset, som du vil studere i fremtiden. Som en del af lektionen vil vi studere reglerne for at addere og trække algebraiske brøker med forskellige nævnere og også analysere en række typiske eksempler.

Lad os se på det enkleste eksempel for almindelige brøker.

Eksempel 1. Tilføj brøker:.

Løsning:

Lad os huske reglen for at tilføje brøker. Til at begynde med skal brøker reduceres til en fællesnævner. Fællesnævneren for almindelige brøker er mindste fælles multiplum(LCM) af de oprindelige nævnere.

Definition

Det mindste naturlige tal, der er deleligt med både tal og .

For at finde LCM skal du faktorisere nævnerne i primfaktorer og derefter vælge alle primfaktorer, der er inkluderet i udvidelsen af ​​begge nævnere.

; . Så skal LCM af numre indeholde to toere og to treere: .

Når du har fundet fællesnævneren, skal du finde en ekstra faktor for hver brøk (faktisk dividere fællesnævneren med nævneren af ​​den tilsvarende brøk).

Hver brøk ganges derefter med den resulterende yderligere faktor. Vi får brøker med de samme nævnere, som vi lærte at lægge til og trække fra i tidligere lektioner.

Vi får: .

Svar:.

Lad os nu overveje tilføjelsen af ​​algebraiske brøker med forskellige nævnere. Lad os først se på brøker, hvis nævnere er tal.

Eksempel 2. Tilføj brøker:.

Løsning:

Løsningsalgoritmen ligner fuldstændig det foregående eksempel. Det er let at finde fællesnævneren for disse brøker: og yderligere faktorer for hver af dem.

.

Svar:.

Så lad os formulere algoritme til at addere og subtrahere algebraiske brøker med forskellige nævnere:

1. Find den laveste fællesnævner for brøker.

2. Find yderligere faktorer for hver af brøkerne (ved at dividere fællesnævneren med nævneren for den givne brøk).

3. Gang tællerne med de tilsvarende yderligere faktorer.

4. Tilføj eller subtraher brøker ved at bruge reglerne for at lægge til og trække brøker fra med ens nævnere.

Lad os nu betragte et eksempel med brøker, hvis nævner indeholder bogstavudtryk.

Eksempel 3. Tilføj brøker:.

Løsning:

Da bogstavudtrykkene i begge nævnere er ens, bør du finde en fællesnævner for tallene. Den endelige fællesnævner vil se sådan ud: . Løsningen på dette eksempel ser således ud:.

Svar:.

Eksempel 4. Træk brøker fra:.

Løsning:

Hvis du ikke kan "snyde", når du vælger en fællesnævner (du kan ikke faktorisere den eller bruge forkortede multiplikationsformler), så skal du tage produktet af nævnerne af begge brøker som fællesnævner.

Svar:.

Generelt, når man løser sådanne eksempler, er den sværeste opgave at finde en fællesnævner.

Lad os se på et mere komplekst eksempel.

Eksempel 5. Forenkle:.

Løsning:

Når du skal finde en fællesnævner, skal du først forsøge at faktorisere nævnerne af de oprindelige brøker (for at forenkle fællesnævneren).

I dette særlige tilfælde:

Så er det nemt at bestemme fællesnævneren: .

Vi bestemmer yderligere faktorer og løser dette eksempel:

Svar:.

Lad os nu etablere reglerne for at addere og trække brøker med forskellige nævnere.

Eksempel 6. Forenkle:.

Løsning:

Svar:.

Eksempel 7. Forenkle:.

Løsning:

.

Svar:.

Lad os nu overveje et eksempel, hvor ikke to, men tre brøker tilføjes (trods alt forbliver reglerne for addition og subtraktion for et større antal brøker de samme).

Eksempel 8. Forenkle:.

Du kan udføre forskellige operationer med brøker, for eksempel at tilføje brøker. Tilsætning af fraktioner kan opdeles i flere typer. Hver type tilføjelse af brøker har sine egne regler og algoritme for handlinger. Lad os se nærmere på hver type tilføjelse.

Tilføjelse af brøker med ens nævnere.

Lad os se på et eksempel på, hvordan man tilføjer brøker med en fællesnævner.

Turisterne gik på vandretur fra punkt A til punkt E. Den første dag gik de fra punkt A til B eller \(\frac(1)(5)\) af hele stien. På den anden dag gik de fra punkt B til D eller \(\frac(2)(5)\) hele vejen. Hvor langt rejste de fra rejsens begyndelse til punkt D?

For at finde afstanden fra punkt A til punkt D skal du tilføje brøkerne \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).

Tilføjelse af brøker med ens nævnere betyder, at du skal tilføje tællere for disse brøker, men nævneren forbliver den samme.

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

I bogstavelig form vil summen af ​​brøker med de samme nævnere se således ud:

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

Svar: turisterne gik \(\frac(3)(5)\) hele vejen.

Tilføjelse af brøker med forskellige nævnere.

Lad os se på et eksempel:

Du skal tilføje to brøker \(\frac(3)(4)\) og \(\frac(2)(7)\).

For at tilføje brøker med forskellige nævnere skal du først finde, og brug derefter reglen til at tilføje brøker med ens nævnere.

For nævnere 4 og 7 vil fællesnævneren være tallet 28. Den første brøk \(\frac(3)(4)\) skal ganges med 7. Den anden brøk \(\frac(2)(7)\ ) skal ganges med 4.

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \gange \farve(rød) (7) + 2 \gange \farve(rød) (4))(4 \ gange \farve(rød) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

I bogstavelig form får vi følgende formel:

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \ gange d + c \ gange b) (b \ gange d)\)

Tilføjelse af blandede tal eller blandede brøker.

Addition sker efter additionsloven.

For blandede fraktioner tilføjer vi hele delene med hele delene og fraktionerne med fraktionerne.

Hvis brøkdelene af blandede tal har de samme nævnere, tilføjer vi tællerne, men nævneren forbliver den samme.

Lad os tilføje de blandede tal \(3\frac(6)(11)\) og \(1\frac(3)(11)\).

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\farve(rød) (3) + \farve(blå) (\frac(6)(11))) + ( \farve(rød) (1) + \farve(blå) (\frac(3)(11))) = (\farve(rød) (3) + \farve(rød) (1)) + (\farve( blå) (\frac(6)(11)) + \farve(blå) (\frac(3)(11))) = \farve(rød)(4) + (\farve(blå) (\frac(6) + 3)(11))) = \farve(rød)(4) + \farve(blå) (\frac(9)(11)) = \farve(rød)(4) \farve(blå) (\frac (9)(11))\)

Hvis brøkdelene af blandede tal har forskellige nævnere, så finder vi fællesnævneren.

Lad os foretage tilføjelsen af ​​blandede tal \(7\frac(1)(8)\) og \(2\frac(1)(6)\).

Nævneren er forskellig, så vi skal finde fællesnævneren, den er lig med 24. Gang den første brøk \(7\frac(1)(8)\) med en ekstra faktor på 3, og den anden brøk \( 2\frac(1)(6)\) med 4.

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \gange \farve(rød) (3))(8 \gange \farve(rød) (3) ) = 2\frac(1\gange \farve(rød) (4))(6\gange \farve(rød) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24) ) = 9\frac(7)(24)\)

Relaterede spørgsmål:
Hvordan tilføjer man brøker?
Svar: først skal du beslutte, hvilken type udtryk det er: brøker har de samme nævnere, forskellige nævnere eller blandede brøker. Afhængigt af typen af ​​udtryk går vi videre til løsningsalgoritmen.

Hvordan løser man brøker med forskellige nævnere?
Svar: du skal finde fællesnævneren og derefter følge reglen om at lægge brøker sammen med de samme nævnere.

Hvordan løser man blandede fraktioner?
Svar: vi tilføjer heltalsdele med heltal og brøkdele med brøker.

Eksempel #1:
Kan summen af ​​to resultere i en egentlig brøk? Ukorrekt brøk? Giv eksempler.

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

Brøken \(\frac(5)(7)\) er en egenbrøk, den er resultatet af summen af ​​to egenbrøker \(\frac(2)(7)\) og \(\frac(3) (7)\).

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \ gange 9 + 8 \ gange 5)(5 \ gange 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)

Brøken \(\frac(58)(45)\) er en uegen brøk, den er resultatet af summen af ​​de rigtige brøker \(\frac(2)(5)\) og \(\frac(8) (9)\).

Svar: Svaret på begge spørgsmål er ja.

Eksempel #2:
Tilføj brøkerne: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .

a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \gange \farve(rød) (3))(3 \gange \farve(rød) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)

Eksempel #3:
Skriv den blandede brøk som summen af ​​et naturligt tal og en egen brøk: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)

a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

Eksempel #4:
Beregn summen: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11) )(13) \)

c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\gange 3)(5\gange 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)

Opgave #1:
Til frokost spiste vi \(\frac(8)(11)\) fra kagen, og om aftenen til middag spiste vi \(\frac(3)(11)\). Tror du, at kagen var helt spist eller ej?

Løsning:
Brøkens nævner er 11, det angiver hvor mange dele kagen var delt i. Til frokost spiste vi 8 stykker kage ud af 11. Til middag spiste vi 3 stykker kage ud af 11. Lad os lægge 8 + 3 = 11 til, vi spiste stykker kage ud af 11, det vil sige hele kagen.

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

Svar: hele kagen var spist.