Nedbrydning af polynomier på multiplikatorer. Del 1

Factorization. - Dette er en universel modtagelse, der hjælper med at løse komplekse ligninger og uligheder. Den første tanke, der skulle komme i tankerne, når de løser ligninger og uligheder, hvor nulet står på højre side - prøv at nedbryde den venstre del på multiplikatorerne.

Liste hovedet fremgangsmåder til nedbrydning af polynomer for multiplikatorer:

• multiplikator til beslag
• brug af formlerne af forkortet multiplikation
• ifølge nedbrydningsformel på firkantens multiplikatorer tre
• metode til gruppering
• division af polynom på biccoon
• metode til usikre koefficienter

I denne artikel vil vi i detaljer på de første tre måder, de andre vil overveje i følgende artikler.

1. Fjernelse af en fælles faktor for en beslag.

For at lave en generel multiplikator til beslaget, skal du først finde den. Fælles faktorkoefficient Det er lig med den største generelle divisor for alle koefficienter.

Literal Part. Den generelle faktor er lig med produktet af udtryk, der er en del af hvert udtryk med den mindste indikator.

Ordningen af \u200b\u200bden generelle fabrik ser sådan ud:

Opmærksomhed!
Antallet af medlemmer i parentes er lig med antallet af vilkår i det oprindelige udtryk. Hvis en af \u200b\u200bkomponenterne falder sammen med den generelle faktor, så når den er opdelt i en fælles faktor, får vi en enhed.

Eksempel 1.

Eliminer polynomer:

Jeg vil medføre en generel multiplikator til parenteser. For at gøre dette vil jeg finde det først.

1. Vi er den største fælles divisor for alle polynomiale koefficienter, dvs. Numbers 20, 35 og 15. Det er lig med 5.

2. Vi fastslår, at variablen er indeholdt i alle vilkår, og den mindste af dens grad er 2. Variablen er indeholdt i alle vilkår, og den mindste af dets grad er 3.

Variablen er kun indeholdt i anden sigt, så det er ikke inkluderet i den generelle faktor.

Så den generelle faktor er lige

3. Vi tager en multiplikator for parentes ved hjælp af ordningen over:

Eksempel 2. Løs ligning:

Afgørelse. Sprede den venstre del af faktorernes ligning. Jeg vil medføre en multiplikator til parenteser:

Så blev ligningen opnået

Sørg for, at hver multiplikator til nul:

Vi får - roden til den første ligning.

Roots:

Svar: -1, 2, 4

2. Nedbrydning af multiplikatorer ved anvendelse af formlerne af forkortet multiplikation.

Hvis antallet af komponenter i polynomialet, som vi vil nedbryde faktorerne mindre end eller lig med tre, forsøger vi at påføre forkortede multiplikationsformler.

1. Hvis polynomialet erforskellen mellem de to udtryk, så prøv at anvende firkantet forskel formel:

eller cubic Difference formel:

Her er bogstaverne Og betegne et nummer eller algebraisk udtryk.

2. Hvis polynomialet er summen af \u200b\u200bde to komponenter, kan det være muligt at nedbryde det for multiplikatorer med formler mængder kuber:

3. Hvis polynomet består af tre vilkår, så prøv at anvende square Formula Sum:

eller square Formula Forsky:

Eller prøv at dekomponere på faktor nedbrydningsformel for firkantet tre-stødfaktor:

Her og - rødderne af den firkantede ligning

Eksempel 3.Udvid udtryk på multiplicerings:

Afgørelse. Før os summen af \u200b\u200bde to vilkår. Vi vil forsøge at anvende CUBE-mængde formel. For at gøre dette skal du først repræsentere ethvert udtryk i form af en terning, og påfør derefter formlen for mængden af \u200b\u200bterninger:

Eksempel 4. Udvid udtryk på multiplikatorer:

Afskrækkelse. Før os, forskellen mellem kvadrater af to udtryk. Første udtryk:, andet udtryk:

Påfør formlen for firkantet forskel:

Vi vil afsløre parenteserne og give sådanne medlemmer, vi får:

Regnemaskine online.
Valget af pladsen er snoet og nedbrydning på firkantede tre-shred multiplikatorer.

De der. Opgaver reduceres til at finde numre \\ (P, Q \\) og \\ (N, M \\)

Programmet giver ikke kun svaropgaven, men viser også løsningsprocessen.

Dette program kan være nyttigt for studerende på gymnasier af generelle uddannelsesskoler, når de forbereder sig til test og eksamener, når man kontrollerer viden før eksamen, forældre til overvågning af løsningen af \u200b\u200bmange problemer i matematik og algebra. Eller måske er du for dyr til at ansætte en vejleder eller købe nye lærebøger? Eller du vil bare lave dine lektier i matematik eller algebra som muligt? I dette tilfælde kan du også bruge vores programmer med en detaljeret løsning.

Således kan du foretage din egen træning og / eller træning af dine yngre brødre eller søstre, mens uddannelsesniveauet på området for løst opgaver øges.

Hvis du ikke er bekendt med reglerne for at komme ind på firkantet tre decar, anbefaler vi at gøre dig bekendt med dem.

Firkantede polynomiske indtastningsregler

Som en variabel kan være et hvilket som helst latinsk brev.
For eksempel: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\) osv.

Numre kan komme ind i hele eller fraktioneret.
Desuden kan fraktionelle tal administreres ikke kun i form af en decimal, men også i form af en almindelig fraktion.

Reglerne for indgåelse af decimalfraktioner.
I decimalfraktioner kan den fraktionelle del af hele hinanden adskilles som et punkt og kommaet.
For eksempel kan du indtaste decimalfraktioner som denne: 2,5x - 3.5x ^ 2

Regler for indtastning af almindelige fraktioner.
Kun et helt tal kan fungere som en tæller, nævner og en hel del af fraktionen.

Denominator kan ikke være negativ.

Når du indtaster en numerisk fraktion, adskilles tælleren fra nævneren til fissionsmærket: /
Hele delen er adskilt fra det fraraty Ampersand-tegn: &
Input: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5X + 1 / 7X ^ 2
Resultat: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ frac (6) (5) x + \\ frac (1) (7) x ^ 2 \\)

Når du indtaster udtrykket du kan bruge parenteser. I dette tilfælde, når man løser det indtastede udtryk, forenkles først.
For eksempel: 1/2 (x-1) (x + 1) - (5x-10 & 1/2)

Eksempel Detaljeret løsning

Valget af pladsen er hoppe. $$ AX ^ 2 + BX + C \\ Rightarrow A (X + P) ^ 2 + Q $$$$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d $$$$ 2x ^ 2 +2 \\ CDOT 2 \\ CDOT \\ Venstre ( \\ Frac (1) (2) \\ Højre) \\ CDOT X + 2 \\ CDOT \\ Venstre (\\ Frac (1) (2) \\ Højre) ^ 2- \\ frac (9) (2) \u003d $$$$ 2 \\ Venstre (x ^ 2 + 2 \\ CDOT \\ Venstre (\\ Frac (1) (2) \\ Højre) \\ CDOT X + \\ Venstre (\\ Frac (1) (2) \\ Højre) ^ 2 \\ Højre) - \\ Frac ( 9) (2) \u003d $$ $$ 2 \\ VENSTRE (X + \\ FRAC (1) (2) \\ HØJRE) ^ 2- \\ frac (9) (2) $$ Svar: $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d 2 \\ venstre (x + \\ frac (1) (2) \\ højre) ^ 2- \\ frac (9) (2) $$ Factorization. $$ AX ^ 2 + BX + C \\ Rightarrow A (X + N) (X + M) $$$$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d $$
$$ 2 \\ venstre (x ^ 2 + x-2 \\ højre) \u003d $$
$$ 2 \\ VENSTRE (x ^ 2 + 2x-1x-1 \\ CDOT 2 \\ Right) \u003d $$$$ 2 \\ Venstre (x \\ Venstre (x +2 \\ Højre) -1 \\ Venstre (x +2 \\ HØJRE HØJRE ) \\ Right) \u003d $$$$ 2 \\ Venstre (x -1 \\ Højre) \\ Venstre (x +2 \\ Højre) $$ Svar: $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d 2 \\ venstre (x -1 \\ højre) \\ venstre (x +2 \\ højre) $$

Det er konstateret, at nogle scripts, der kræves for at løse denne opgave, ikke er indlæst, og programmet fungerer muligvis ikke.
Du har måske Adblock inkluderet.
I dette tilfælde skal du frakoble det og opdatere siden.

Fordi Ønsker at løse opgaven er meget, din anmodning er i kø.
Efter et par sekunder vises løsningen nedenfor.
Vent venligst sec ...

hvis du bemærkede en fejl i løsningenDu kan skrive om det i feedback-formularen.
Glem ikke angiv hvilken opgave. Du bestemmer og hvad indtast i feltet.

Vores spil, puslespil, emulatorer:

En smule teori.

Udvælgelse af en firkantet bicker fra firkantet tre

Hvis pladsen tre-forældet AH2 + BX + C er repræsenteret som A (X + P) 2 + Q, hvor P og Q er gyldige tal, siger de det fra firkantet tre streamet firkantede two.

Fremhæv 2x 2 + 12x + 14 kvadrat 2 + 12x + 14 kvadrat.

\\ (2x ^ 2 + 12x + 14 \u003d 2 (x ^ 2 + 6x + 7) \\)

For at gøre dette, forestil dig 6x i form af et arbejde 2 * 3 * x, og tilføj derefter og træk 3 2. Vi får:
$$ 2 (x ^ 2 + 2 \\ CDOT 3 \\ CDOT X + 3 ^ 2-3 ^ 2 + 7) \u003d 2 ((x + 3) ^ 2-3 ^ 2 + 7) \u003d $$$$$ \u003d 2 ((x + 3) ^ 2-2) \u003d 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

Så vi tildelt kvadratet af biccoule fra firkantet treog omrøring at:
$$ 2x ^ 2 + 12x + 14 \u003d 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

Nedbrydning for firkantede tre-chok multiplikatorer

Hvis kvadratet tre-forældet AH2 + BX + C er repræsenteret som A (X + N) (X + M), hvor N og M er gyldige tal, siger de, at operationen udføres nedbrydning af firkantet tre-chok.

Lad os vise på eksemplet, da denne transformation er færdig.

Vi dekomponerer firkanten tre halv 2x 2 + 4x-6 på multiplikatorer.

Jeg overfører koefficienten A til parentes, dvs. 2:
\\ (2x ^ 2 + 4x-6 \u003d 2 (x ^ 2 + 2x-3) \\)

Vi konverterer udtrykket i parentes.
For at gøre dette, forestil dig 2x i form af en 3x-1x forskel, A -3 i form -1 * 3. Vi får:
$$ \u003d 2 (x ^ 2 + 3 \\ CDOT X -1 \\ CDOT X -1 \\ CDOT 3) \u003d 2 (x (x + 3) -1 \\ CDOT (X + 3)) \u003d $$
$$ \u003d 2 (x-1) (x + 3) $$

Så vi nedbrydes på multipliatorer firkantede treog omrøring at:
$$ 2x ^ 2 + 4x-6 \u003d 2 (x-1) (x + 3) $$

Bemærk, at nedbrydning af firkantede tre-shred multiplikatorer kun er mulig, når den firkantede ligning svarende til denne tre-melan har en rod.
De der. I vores tilfælde er det muligt at dekomponere på multiplikatorer 3x 2 + 4x-6 muligt, hvis den firkantede ligning 2x 2 + 4x-6 \u003d 0 har rødder. I forbindelse med nedbrydning på faktorerne fandt vi, at ligning 2x 2 + 4x-6 \u003d 0 har to rod 1 og -3, fordi Ved disse værdier, ligning 2 (x - 1) (x + 3) \u003d 0 appellerer til den rigtige ligestilling.

Nedbrydning af polynomier på multiplikatorer er en identisk transformation, som et resultat af hvilket polynomet transformeres til et produkt af flere faktorer - polynomier eller enkeltfløj.

Der er flere måder at nedbryde polynomer på multiplikatorer.

Metode 1. Forskydning af en fælles faktor for beslag.

Denne transformation er baseret på fordelingsloven for multiplikation: AC + BC \u003d C (A + B). Essensen af \u200b\u200bkonverteringen er at allokere i de to komponenter under overvejelse den generelle faktor og "ud" den til parenteser.

Vi vil nedbryde polynomerne af polynomet 28x 3 - 35x 4.

Afgørelse.

1. Find elementer 28x 3 og 35x 4 fælles divisor. I 28 og 35 vil det være 7; For x 3 og x 4 - x 3. Med andre ord, vores samlede multiplikator på 7x 3.

2. Hver af de elementer repræsenterer arbejdet i multiplikatorer, hvoraf den ene
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. Vi tager en generel multiplikator til parenteser
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).

Metodifikation 2. Anvendelsen af \u200b\u200bformler af forkortet multiplikation. "MASTERY" ved besiddelse af denne metode er at lægge mærke til en af \u200b\u200bformlerne af forkortet multiplikation.

Spred på multiplikatorer af polynomier x 6 - 1.

Afgørelse.

1. Til dette udtryk kan vi anvende formlen for forskellen i kvadrater. For at gøre dette, forestil dig X6 som (x 3) 2 og 1 som 1 2, dvs. 1. Udtrykket vil tage formularen:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. Til det resulterende udtryk kan vi anvende formlen på mængden og forskel på kuber:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Så,
x6 - 1 \u003d (x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metode 3. Gruppering. Metoden til gruppering er at kombinere komponenterne i polynomet på en sådan måde, at de er nemme at udføre handlinger (tilføjelse, subtraktion, total multiplikator).

Vi vil nedbryde polynomialerne af x 3 - 3x 2 + 5x - 15 på multiplikatorer.

Afgørelse.

1. Grouting komponenterne på denne måde: 1. med 2. og 3. med den fjerde
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. I det resulterende udtryk vil vi udføre generelle multiplikatorer til parenteser: x 2 i det første tilfælde og 5 - i det andet.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. Vi tager ud den generelle faktor x - 3 til parentes og får:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).

Så,
x 3 - 3 x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5).

Fastgør materialet.

Dispatch polynomial A 2 - 7AB + 12B 2 på multiplikatorer.

Afgørelse.

1. Forestil dig 7AB 7AB som summen af \u200b\u200b3AB + 4AB. Udtrykket vil tage formularen:
a 2 - (3AB + 4AB) + 12B 2.

Vi vil afsløre parentes og få:
a 2 - 3AB - 4AB + 12B 2.

2. Fuglekomponenterne i polynomet på denne måde: 1. med 2. og 3. med den fjerde. Vi får:
(A 2 - 3AB) - (4AB - 12B 2).

3. Jeg vil bringe generelle multiplikatorer til parenteser:
(A 2 - 3AB) - (4AB - 12B 2) \u003d A (A - 3B) - 4B (A - 3B).

4. Jeg vil medføre en generel multiplikator for parenteser (A - 3B):
a (A - 3B) - 4B (A - 3B) \u003d (A - 3 B) ∙ (A - 4B).

Så,
a 2 - 7AB + 12B 2 \u003d
\u003d A 2 - (3AB + 4AB) + 12B 2 \u003d
\u003d A 2 - 3AB - 4AB + 12B 2 \u003d
\u003d (A 2 - 3AB) - (4AB - 12B 2) \u003d
\u003d A (A - 3B) - 4B (A - 3B) \u003d
\u003d (A - 3 b) ∙ (A - 4b).

blog.Sæt, med fuld eller delvis kopiering af den materielle reference til den oprindelige kilde er påkrævet.

Begreberne "Polynomial" og "Udvidelse af polynomier til multiplikatorer" på algebra findes meget ofte, fordi de skal være kendt for nemt at foretage beregninger med store multi-værdsatte tal. Denne artikel vil beskrive flere nedbrydningsmetoder. Alle er ganske enkle i brug, det er kun værd at vælge det rigtige i hvert enkelt tilfælde.

Begrebet polynom

Polynomet er summen af \u200b\u200bone-wing, det vil sige udtryk, der kun indeholder multiplikationsoperationen.

For eksempel er 2 * x * Y one-time, men 2 * x * Y + 25 er et polynom, som består af 2 enkeltfløj: 2 * x * y og 25. Sådanne polynomiske opkald snoet.

Nogle gange for at lette at løse eksempler med flerværdige værdier, skal udtrykket omdannes, for eksempel for at nedbryde på et bestemt antal multiplikatorer, det vil sige tal eller udtryk, mellem hvilke multiplikationen udføres. Der er en række metoder til nedbrydning af polynomier til multiplikatorer. Det er værd at overveje dem fra de mest primitive, som bruges i primære karakterer.

Gruppering (indgang generelt)

Nedbrydningsformelet for polynomien til multiplikatorerne i gruppemetoden i almindelighed ser på denne måde:

aC + BD + BC + AD \u003d (AC + BC) + (AD + BD)

Det er nødvendigt at gruppere deling, så i hver gruppe vises en fælles faktor. I den første beslag er dette en multiplikator med, og i den anden - d. Det skal gøres for at tage det ud af beslaget, og derved forenkle beregningen.

Algoritme af nedbrydning på et specifikt eksempel

Det enkleste eksempel på dekomponeringen af \u200b\u200bpolynomet til multiplikatorerne i grupperingsmetoden er angivet nedenfor:

10AS + 14BC - 25A - 35B \u003d (10AS - 25A) + (14BC - 35B)

I den første beslag skal du tage betingelserne med multiplikator A, som vil være generel og i den anden - med en multiplikator b. Vær opmærksom på tegnene + og - i det færdige udtryk. Vi sætter foran det samme tegn, der var i primære vilkår. Det vil sige, at du skal arbejde ikke med et udtryk 25a, men med et udtryk -25. Et minustegn er at "holde fast i udtrykket, der står bag ham og altid tager højde for det, når de beregnes.

I det næste trin skal du bære multiplikatoren, hvilket er almindeligt, for beslaget. Det er herfor, at gruppen er færdig. Tag ud beslaget - det betyder at skrive ud før beslaget (sænkning af et tegn på multiplikation) alle de multiplikatorer, der gentages nøjagtigt i alle de vilkår, der er i beslaget. Hvis ikke 2 i beslaget, og 3 vilkår og mere, skal den generelle faktor være indeholdt i hver af dem, ellers kan den ikke tages ud af beslaget.

I vores tilfælde, kun 2 udtryk i parentes. Den generelle faktor er umiddelbart synlig. I den første beslag er en, i den anden - b. Her skal du være opmærksom på de digitale koefficienter. I den første beslag er både koefficienter (10 og 25) flere 5. Dette betyder, at det er muligt at gøre en beslag ikke kun en, men også 5a. Foran beslaget for at skrive 5a, og derefter hver af komponenterne i parentes i parentes, som blev udført og også skrive en privat i parentes, ikke at glemme tegn + og - med den anden beslag at gøre også at bære ud 7b, fordi og 14 og 35 stolly 7.

10AS + 14BC - 25A - 35B \u003d (10AS - 25A) + (14BC - 35B) \u003d 5A (2C-5) + 7B (2C-5).

Det viste sig 2 vilkår: 5a (2c - 5) og 7b (2c - 5). Hver af dem indeholder en generel multiplikator (alle udtryk i parentes falder sammen her, det betyder, at det er en fælles faktor): 2C - 5. Det skal også tages ud for beslaget, det vil sige 3A og 7B-vilkårene forbliver i Andet beslag:

5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

Så fuldt udtryk:

10AS + 14BC - 25A - 35B \u003d (10AS - 25A) + (14BC - 35B) \u003d 5A (2C-5) + 7B (2C-5) \u003d (2C-5) * (5a + 7b).

Således foldes polynomet 10AS + 14BC-25A-35B i 2 multiplikatorer: (2C - 5) og (5a + 7b). Multiplikationskilt mellem dem, når optagelsen kan udelades

Nogle gange er der udtryk for denne type: 5a 2 + 50a 3, her kan du tage ud af beslaget på ikke kun en eller 5A, men endda 5a 2. Du bør altid forsøge at udholde den maksimale store generelle faktor bag beslaget. I vores tilfælde, hvis du opdeler hvert udtryk for en generel faktor, viser det sig:

5A2 / 5A 2 \u003d 1; 50A 3 / 5A 2 \u003d 10A (Ved beregning af private flere grader med lige baser, bevares basen, og indikatoren for graden er subtraheret). Således forbliver en enhed i beslaget (under ingen omstændigheder glem ikke at skrive en enhed, hvis vi tager en af \u200b\u200bde vilkår og private fra divisionen: 10a til beslaget. Viser sig at:

5A 2 + 50A 3 \u003d 5A 2 (1 + 10A)

Formler kvadrater.

For bekvemmeligheden af \u200b\u200bcomputing blev flere formler afledt. De kaldes forkortede multiplikationsformler og bruges ganske ofte. Disse formler hjælper med at nedbryde polynomer indeholdende grader. Dette er en anden effektiv måde at nedbryde multiplikatorer på. Så her er de:

• a 2 + 2AB + B2 \u003d (A + B) 2 - Formlen kaldes "firkantet sum" formel, da der som følge af nedbrydning på pladsen, mængden af \u200b\u200bnumre, der er indesluttet i parentes, er taget, det vil sige værdien af \u200b\u200bdette beløb multipliceres i sig selv 2 gange, og derfor er en multiplikator.
• a 2 + 2AB - B 2 \u003d (A - B) 2 - Formuleringen af \u200b\u200bkvadratet af forskellen, det ligner den forrige. Som følge heraf indeholdt forskellen i parenteserne på en kvadratgrad.
• a 2 - B 2 \u003d (A + B) (A - B) - Dette er en formel for forskellen i firkanter, da polynomialet oprindeligt består af 2 firkanter af tal eller udtryk, mellem hvilke subtrapper. Måske af de tre navngivne det bruges oftest.

Eksempler på beregninger ved hjælp af firkantede formler

Beregninger på dem er ret enkle. For eksempel:

1. 25x 2 + 20xy + 4Y 2 - Vi bruger den "firkantede mængde" formel.
2. 25x 2 er kvadratet af udtrykket 5x. 20hu - Dobbeltarbejde 2 * (5x * 2Y), og 4Y 2 er en firkant 2ow.
3. Således, 25x 2 + 20xy + 4Y 2 \u003d (5x + 2Y) 2 \u003d (5x + 2Y) (5x + 2Y). Denne polynom er afvist til 2 multiplikatorer (faktorerne er de samme, så det er skrevet i form af et udtryk med en kvadratgrad).

Foranstaltningerne om formlen på kvadratet af forskellen er lavet på samme måde som dette. Formlen forbliver forskellen mellem kvadrater. Eksempler på denne formel er meget nemme at bestemme og finde blandt andre udtryk. For eksempel:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). Siden 25a 2 \u003d (5a) 2, en 400 \u003d 20 2
• 36x 2 - 25U 2 \u003d (6x - 5Y) (6x + 5Y). Siden 36x 2 \u003d (6x) 2 og 25U 2 \u003d (5U 2)
• c 2 - 169B 2 \u003d (C-13B) (C + 13b). Siden 169b 2 \u003d (13b) 2

Det er vigtigt, at hver af komponenterne er en firkant af ethvert udtryk. Derefter er dette polynom underlagt nedbrydning af multiplikatorer ved hjælp af formlen for den firkantede forskel. Til dette er det ikke nødvendigt, at anden grad stod over antallet. Der er polynomier, der har stor udstrækning, men stadig egnet til disse formler.

a 8 + 10A 4 +25 \u003d (A 4) 2 + 2 * A 4 * 5 + 5 2 \u003d (A 4 +5) 2

I dette eksempel kan en 8 være repræsenteret som (A 4) 2, det vil sige en firkant af nogle ekspression. 25 er 5 2 og 10a 4 - dette fordobles producerede varer2 * A 4 * 5. Det vil sige, at dette udtryk på trods af tilstedeværelsen af \u200b\u200bgrader med store indikatorer kan dekomponeres på 2 multiplikatorer for at fortsætte med at arbejde sammen med dem.

Formler kuber.

De samme formler eksisterer til nedbrydning af polynomier indeholdende Cuba. De er lidt mere komplicerede af dem med kvadrater:

• a 3 + B 3 \u003d (A + B) (A 2 - AB + B 2) - Denne formel kaldes mængden af \u200b\u200bkuber, da i den indledende form af polynomet er summen af \u200b\u200bto udtryk eller numre indesluttet i terningen.
• a 3 - B 3 \u003d (A - B) (A 2 + AB + B 2) - Formlen er identisk med den foregående, er angivet som en forskel på terninger.
• a 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 \u003d (A + B) 3 - Kube beløb, som følge af beregninger, viser det mængden af \u200b\u200btal eller udtryk, der er vedlagt i parentes og multipliceret i sig selv 3 gange, det vil sige placeret i Cuba
• a 3-3A 2 B + 3AB 2 - B 3 \u003d (A - B) 3 -formlen kompileret af den analogi af den forrige med en ændring i kun nogle tegn på matematiske operationer (plus og minus) kaldes "Cube of Differ".

De sidste to formler er praktisk taget ikke brugt til at nedbryde polylimernes polynomier, da de er komplekse og har sjældent fundet polynomier, der fuldt ud svarer til en sådan bygning, så de kan dekomponeres på disse formler. Men de skal stadig vide, da de vil blive påkrævet under handlingerne i den modsatte retning - når de afslører parenteser.

Eksempler på kubeformler

Overvej et eksempel: 64A 3-8B 3 \u003d (4a) 3- (2b) 3 \u003d (4a-2b) ((4a) 2 + 4a * 2b + (2b) 2) \u003d (4a-2b) (16a 2 + 8AB + 4b2 ).

Der er ret simple numre her, så du kan straks se, at 64a 3 er (4a) 3, og 8b 3 er (2b) 3. Således falder denne polynom forskellen i forskellen mellem kuber til 2 multiplikatorer. Handlinger ved formlen af \u200b\u200bkuberne fremstilles analogt.

Det er vigtigt at forstå, at ikke alle polynomier er underlagt nedbrydning af mindst en af \u200b\u200bmåderne. Men der er sådanne udtryk, der indeholder høje grader end firkantet eller kube, men de kan også dekomponeres i henhold til form af forkortet multiplikation. For eksempel: x 12 + 125Y 3 \u003d (x 4) 3 + (5Y) 3 \u003d (x 4 + 5Y) * ((x 4) 2 - x 4 * 5Y + (5Y) 2) \u003d (x 4 + 5Y ) (x 8 - 5x 4 Y + 25Y 2).

Dette eksempel indeholder så meget som 12 grader. Men selv det er muligt at nedbryde på multiplikatorer ved hjælp af kubernes formel. For at gøre dette er det nødvendigt at præsentere X 12 som (x 4) 3, det vil sige som en kube af ethvert udtryk. Nu i formlen i stedet er det nødvendigt at erstatte det. Nå er udtrykket 125U 3 en kube 5Y. Dernæst skal arbejdet laves ved hjælp af formlen og lave beregninger.

I første omgang eller i tilfælde af tvivl kan du altid kontrollere omvendt multiplikation. Du behøver kun at afsløre parenteserne i det resulterende udtryk og udføre handlinger med lignende vilkår. Denne metode refererer til alle noterede måder at reducere: Begge arbejder med en fælles faktor og gruppering og handlinger på formlerne af terninger og firkantede grader.

Ved denne lektion vil vi huske alle tidligere undersøgte nedbrydningsmetoder af et polynom til multiplikatorer og overveje eksempler på deres anvendelse, desuden vil vi studere en ny metode - metoden til isolering af et fuld firkant og lærer at anvende det ved løsning forskellige opgaver.

Emne:Afhandling af polynomier til multiplikatorer

Lektie:Nedbrydning af polynomier på multiplikatorer. Metode til tildeling af en fuld plads. Kombination af metoder

Husk de vigtigste metoder til nedbrydning af en polynom til multiplikatorer, som tidligere blev undersøgt:

Fremgangsmåden til fremstilling af en fælles faktor for parentes, det vil sige en sådan multiplikator, som er til stede i alle medlemmer af polynomet. Overvej et eksempel:

Husk at der er et stykke grader og tal. I vores eksempel er der i begge medlemmer nogle almindelige, identiske elementer.

Så jeg vil medføre en generel faktor for parenteser:

;

Husk at ved at flytte den resulterende multiplikator til beslaget, kan du kontrollere rigtigheden af \u200b\u200bfjernelsen.

Grupperingsmetode. Ikke altid i polynomet kan du udholde en fælles faktor. I dette tilfælde er medlemmerne brug for at opdele i grupper på en sådan måde, at i hver gruppe er det muligt at lave en fælles multiplikator og forsøge at bryde op, så efter at have fremstillet multiplikatorer i grupper er der en generel multiplikator i hele udtrykket, Og det ville være muligt at fortsætte nedbrydning. Overvej et eksempel:

Vi griner det første medlem med fjerde, den anden med den femte og den tredje, med den sjette:

Lad os udføre fælles multiplikatorer i grupper:

Udtrykket syntes en generel faktor. Lad os tage det:

Påføring af formler af forkortet multiplikation. Overvej et eksempel:

;

Skær ekspressionsdetaljer:

Det er klart, foran os formlen på kvadratet af forskellen, da der er summen af \u200b\u200bkvadraterne af to udtryk og deres fordoblede arbejde fra det. I formlen:

I dag lærer vi en anden metode - metoden til at fremhæve en fuld plads. Den er baseret på summen af \u200b\u200bsummen af \u200b\u200bsummen og kvadratet af forskellen. Husk dem:

Square Formula Sum (Difference);

Disse formlers særegenhed er, at de har kvadrater af to udtryk og deres fordoblede arbejde. Overvej et eksempel:

Skær ekspression:

Så det første udtryk er dette, og det andet.

For at kompilere formlen på kvadratet af mængden eller forskellen mangler et dobbeltprodukt af udtryk. Det skal tilføjes og tage det væk:

Vi vil overtage det fulde firkantede beløb:

Vi forvandler det resulterende udtryk:

Vi anvender formlen for forskellen i firkanter, vi husker, at forskellen i kvadraterne af to udtryk er et produkt og beløb for deres forskel:

Så denne metode er først og fremmest i det faktum, at du skal identificere udtrykkene A og B, som er på en firkant, det vil sige at bestemme, hvorved kvadraterne af hvilke udtryk der er i dette eksempel. Derefter skal du kontrollere tilgængeligheden af \u200b\u200bet dobbeltarbejde, og hvis det ikke er, så tilføjes og tag det væk, vil følelsen af \u200b\u200beksemplet ikke ændre sig, men polynomet kan nedbrydes på faktorerne ved hjælp af de firkantede formler af sum eller forskel og forskellen mellem kvadrater, hvis der er en sådan mulighed.

Lad os henvende os til løsningen af \u200b\u200beksempler.

Eksempel 1 - Dekomponér på multiplikatorer:

Vi finder de udtryk, der står på pladsen:

Vi skriver hvad der skal være deres fordoblede arbejde:

Vi tilføjer og fjerner et dobbeltarbejde:

Vi vil overtage den fulde plads af mængden og lad os se følgende ::

Tal ved formuleringen af \u200b\u200bden firkantede forskel:

Eksempel 2 - Løs ligning:

;

På venstre side af ligningen er tre-mert. Du skal nedbryde det for multiplikatorer. Brug af forskellen Square Formel:

Vi har en firkant af det første udtryk og et dobbeltarbejde, mangler firkanten af \u200b\u200bdet andet udtryk, tilføjer og tager det væk:

Vi vil slå en fuld plads og give sådanne medlemmer:

Anvend kvadratforskel Formel:

Så vi har en ligning

Vi ved, at arbejdet kun er nul, hvis mindst en af \u200b\u200bmultiplikatorerne er nul. At lave en ligning på dette grundlag:

Resister den første ligning:

Løsning af den anden ligning:

Svar: Or

;

Vi gør ligeledes til det foregående eksempel - allokere kvadratet af forskellen.