Find arealet af et parallelogram ved hjælp af diagonalerne. Parallelogram og dets egenskaber
Parallelogram er en firkant, hvis sider parvis er parallelle.
I denne figur er modsatte sider og vinkler lig med hinanden. Diagonalerne i et parallelogram skærer hinanden i et punkt og halverer det. Formler for arealet af et parallelogram giver dig mulighed for at finde værdien ved hjælp af siderne, højden og diagonalerne. Et parallelogram kan også præsenteres i særlige tilfælde. De betragtes som et rektangel, firkant og rombe.
Lad os først se på et eksempel på beregning af arealet af et parallelogram efter højde og den side, hvortil det er sænket.
Denne sag betragtes som klassisk og kræver ikke yderligere undersøgelse. Det er bedre at overveje formlen til beregning af arealet gennem to sider og vinklen mellem dem. Samme metode bruges i beregninger. Hvis siderne og vinklen mellem dem er givet, beregnes arealet som følger: 
Antag, at vi får et parallelogram med siderne a = 4 cm, b = 6 cm Vinklen mellem dem er α = 30°. Lad os finde området: 
Arealet af et parallelogram gennem diagonaler
Formlen for arealet af et parallelogram ved hjælp af diagonalerne giver dig mulighed for hurtigt at finde værdien.
Til beregninger skal du bruge størrelsen af vinklen placeret mellem diagonalerne.
Lad os overveje et eksempel på beregning af arealet af et parallelogram ved hjælp af diagonaler. Lad et parallelogram gives med diagonaler D = 7 cm, d = 5 cm Vinklen mellem dem er α = 30°. Lad os erstatte dataene med formlen: 
Et eksempel på beregning af arealet af et parallelogram gennem diagonalen gav os et fremragende resultat - 8,75.
Ved at kende formlen for arealet af et parallelogram gennem diagonalen kan du løse mange interessante problemer. Lad os se på en af dem.
Opgave: Givet et parallelogram med et areal på 92 kvadratmeter. se Punkt F er placeret midt på sin side BC. Lad os finde arealet af den trapezformede ADFB, som vil ligge i vores parallelogram. Lad os først tegne alt, hvad vi modtog i henhold til betingelserne.
Lad os komme til løsningen: 
Ifølge vores forhold, ah =92, og derfor vil arealet af vores trapez være lig med 
Bemærk. Dette er en del af en lektion med geometriproblemer (parallelogramafsnit). Hvis du skal løse et geometriproblem, der ikke er her, så skriv om det i forummet. For at angive handlingen ved at udtrække en kvadratrod i problemløsninger, bruges symbolet √ eller sqrt() med det radikale udtryk angivet i parentes.
Teoretisk materiale
Forklaringer til formlerne til at finde arealet af et parallelogram:
- Arealet af et parallelogram er lig med produktet af længden af en af dets sider og højden af den side
- Arealet af et parallelogram er lig med produktet af dets to tilstødende sider og sinus af vinklen mellem dem
- Arealet af et parallelogram er lig med halvdelen af produktet af dets diagonaler og sinus af vinklen mellem dem
Problemer med at finde arealet af et parallelogram
Opgave.I et parallelogram er den kortere højde og den korte side henholdsvis 9 cm og roden af 82. Den største diagonal er 15 cm. Find arealet af parallelogrammet.
Løsning.
Lad os betegne den mindre højde af parallelogrammet ABCD sænket fra punkt B til den større base AD som BK.
Lad os finde værdien af benet i en retvinklet trekant ABK dannet af en mindre højde, en mindre side og en del af en større base. Ifølge Pythagoras sætning:
AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK = 1
Lad os forlænge den øverste base af parallelogrammet BC og sænke højden AN til den fra dens nederste base. AN = BK som siderne af rektanglet ANBK. Lad os finde benet NC af den resulterende retvinklede trekant ANC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC 2 = √144
NC=12
Lad os nu finde den større base BC af parallelogram ABCD.
BC = NC - NB
Lad os tage i betragtning, at NB = AK som siderne af rektanglet, så
BC = 12 - 1 = 11
Arealet af et parallelogram er lig med produktet af basen og højden til denne base.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99
Svar: 99 cm 2 .
Opgave
I parallelogrammet ABCD falder den vinkelrette BO ned på den diagonale AC. Find arealet af parallelogrammet, hvis AO=8, OC=6 og BO=4.
Løsning.
Lad os slippe endnu en vinkelret DK på diagonalen AC.
Følgelig er trekanter AOB og DKC, COB og AKD parvis ens. En af siderne er parallelogrammets modsatte side, en af vinklerne er en ret linje, da den er vinkelret på diagonalen, og en af de resterende vinkler er et indre kryds, der ligger for parallelogrammets og sekantens parallelle sider diagonal.
Således er arealet af parallelogrammet lig med arealet af de angivne trekanter. Det er
Sparallel = 2S AOB +2S BOC
Arealet af en retvinklet trekant er lig med halvdelen af produktet af benene. Hvor
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 cm 2
Svar: 56 cm 2 .
Ved løsning af problemer om dette emne, undtagen grundlæggende egenskaber parallelogram og de tilsvarende formler, kan du huske og anvende følgende:
- Halveringslinjen af en indre vinkel i et parallelogram afskærer en ligebenet trekant fra den
- Halvledere af indvendige vinkler støder op til en af siderne af et parallelogram er indbyrdes vinkelrette
- Halveringslinjer, der kommer fra modsatte indre hjørner af et parallelogram, er parallelle med hinanden eller ligger på samme lige linje
- Summen af kvadraterne af diagonalerne i et parallelogram er lig med summen af kvadraterne på dets sider
- Arealet af et parallelogram er lig med halvdelen af produktet af diagonalerne og sinus af vinklen mellem dem
Lad os overveje problemer, hvor disse egenskaber bruges.
Opgave 1.
Halveringslinjen af vinklen C på parallelogrammet ABCD skærer side AD i punktet M og fortsættelsen af siden AB ud over punktet A i punktet E. Find parallelogrammets omkreds, hvis AE = 4, DM = 3.
Løsning.
1. Trekant CMD er ligebenet. (Ejendom 1). Derfor er CD = MD = 3 cm.
2. Trekant EAM er ligebenet.
Derfor er AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Omkreds ABCD = 20 cm.
Svar. 20 cm.
Opgave 2.
Diagonaler tegnes i en konveks firkant ABCD. Det er kendt, at arealerne af trekanter ABD, ACD, BCD er lige store. Bevis, at denne firkant er et parallelogram.
Løsning.
1. Lad BE være højden af trekanten ABD, CF være højden af trekanten ACD. Da arealerne af trekanter i henhold til problemets betingelser er lige store, og de har en fælles base AD, så er højderne af disse trekanter lige store. BE = CF.
2. BE, CF er vinkelrette på AD. Punkterne B og C er placeret på samme side i forhold til den rette linje AD. BE = CF. Derfor lige linje BC || A.D. (*)
3. Lad AL være højden af trekanten ACD, BK højden af trekanten BCD. Da arealerne af trekanter i henhold til problemets betingelser er lige store, og de har en fælles base CD, så er højderne af disse trekanter lige store. AL = BK.
4. AL og BK er vinkelrette på CD. Punkterne B og A er placeret på samme side i forhold til den rette linje CD. AL = BK. Derfor rettes linje AB || CD (**)
5. Af betingelser (*), (**) følger, at ABCD er et parallelogram.
Svar. Bevist. ABCD er et parallelogram.
Opgave 3.
På siderne BC og CD af parallelogrammet ABCD er henholdsvis punkterne M og H markeret, således at segmenterne BM og HD skærer hinanden i punktet O;<ВМD = 95 о,
Løsning.
1. I trekant DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. I en retvinklet trekant DHC Derefter<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Men CD = AB. Så AB: HD = 2:1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Svar: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Opgave 4. En af diagonalerne i et parallelogram med en længde på 4√6 danner en vinkel på 60° med basen, og den anden diagonal danner en vinkel på 45° med den samme base. Find den anden diagonal. Løsning.
1. AO = 2√6. 2. Vi anvender sinussætningen på trekant AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Svar: 12.
Opgave 5. For et parallelogram med siderne 5√2 og 7√2 er den mindre vinkel mellem diagonalerne lig med parallelogrammets mindre vinkel. Find summen af længderne af diagonalerne. Løsning.
Lad d 1, d 2 være parallelogrammets diagonaler, og vinklen mellem diagonalerne og parallelogrammets mindre vinkel er lig φ. 1. Lad os tælle to forskellige S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f, S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f. Vi opnår ligheden 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f eller 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Ved hjælp af forholdet mellem siderne og diagonalerne i parallelogrammet skriver vi ligheden (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Lad os skabe et system: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Lad os gange systemets anden ligning med 2 og lægge den til den første. Vi får (d 1 + d 2) 2 = 576. Derfor Id 1 + d 2 I = 24. Da d 1, d 2 er længderne af parallelogrammets diagonaler, så er d 1 + d 2 = 24. Svar: 24.
Opgave 6. Siderne af parallelogrammet er 4 og 6. Den spidse vinkel mellem diagonalerne er 45 grader. Find arealet af parallelogrammet. Løsning.
1. Fra trekant AOB skriver vi ved hjælp af cosinussætningen forholdet mellem parallelogrammets side og diagonalerne. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. På samme måde skriver vi relationen for trekanten AOD. Lad os tage højde for det<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Vi får ligningen d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Vi har et system Trækker vi den første fra den anden ligning, får vi 2d 1 · d 2 √2 = 80 eller d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Bemærk: I dette og det foregående problem er der ikke behov for at løse systemet fuldstændigt, idet vi forudser, at vi i dette problem har brug for produktet af diagonaler for at beregne arealet. Svar: 10. Opgave 7. Parallelogrammets areal er 96, og dets sider er 8 og 15. Find kvadratet på den mindre diagonal. Løsning.
1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Lad os lave en erstatning i formlen. Vi får 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Derfor synd ВAD = 4/5. 2. Lad os finde cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25. I henhold til problemets betingelser finder vi længden af den mindre diagonal. Diagonalen ВD vil være mindre, hvis vinklen ВАD er spids. Så cos VAD = 3/5. 3. Fra trekanten ABD finder vi ved hjælp af cosinussætningen kvadratet på diagonalen BD. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145. Svar: 145.
Har du stadig spørgsmål? Ved du ikke, hvordan man løser et geometriproblem? hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden. Arealet af et parallelogram. I mange geometriproblemer relateret til beregning af områder, herunder opgaver på Unified State Exam, bruges formler for arealet af et parallelogram og en trekant. Der er flere af dem, vi vil se på dem her. Det ville være for enkelt at liste disse formler; der er allerede nok af disse ting i opslagsbøger og på forskellige websteder. Jeg vil gerne formidle essensen – så du ikke propper dem, men forstår dem og nemt kan huske dem til enhver tid. Efter at have studeret materialet i artiklen vil du forstå, at der overhovedet ikke er behov for at lære disse formler. Objektivt set forekommer de så ofte i beslutninger, at de forbliver i hukommelsen i lang tid. 1.
Så lad os se på et parallelogram. Definitionen lyder: Hvorfor det? Det er simpelt! For klart at vise, hvad meningen med formlen er, lad os udføre nogle yderligere konstruktioner, nemlig konstruere højderne: Arealet af trekanten (2) er lig med arealet af trekanten (1) - det andet tegn på lighed af retvinklede trekanter "langs benet og hypotenusen". Lad os nu mentalt "afskære" den anden og flytte den over den første - vi får et rektangel, hvis areal vil være lig med arealet af det originale parallelogram: Arealet af et rektangel er kendt for at være lig med produktet af dets tilstødende sider. Som det kan ses af skitsen, er den ene side af det resulterende rektangel lig med siden af parallelogrammet, og den anden er lig med højden af parallelogrammet. Derfor får vi formlen for arealet af et parallelogram S = a∙h-en 2. Lad os fortsætte, en anden formel for sit område. Vi har: Lad os betegne siderne som a og b, vinklen mellem dem er γ "gamma", højden er h a. Overvej en retvinklet trekant:
(
(Da i en retvinklet trekant er benet, der ligger modsat vinklen på 30°, lig med halvdelen af hypotenusen).
måder sit område.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Tilmeld dig for at få hjælp fra en vejleder.
Den første lektion er gratis!
Arealet af en parallelogramformel
