Toiminnon ääriarvo. Mitä ovat funktion ääriarvot: maksimin ja minimin kriittiset pisteet Funktion maksimin ja minimin ääriarvot

Funktion ääripiste on funktion määritelmäalueen piste, jossa funktion arvo saa minimi- tai maksimiarvon. Funktion arvoja näissä kohdissa kutsutaan funktion ääriarvoiksi (minimi ja maksimi)..

Määritelmä. Piste x1 funktioalue f(x) kutsutaan funktion maksimipiste , jos funktion arvo tässä pisteessä on suurempi kuin funktion arvot riittävän lähellä sitä pisteissä, jotka sijaitsevat sen oikealla ja vasemmalla puolella (eli epäyhtälö pätee f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 enimmäismäärä.

Määritelmä. Piste x2 funktioalue f(x) kutsutaan funktion minimipiste, jos funktion arvo tässä pisteessä on pienempi kuin funktion arvot riittävän lähellä sitä pisteissä, jotka sijaitsevat sen oikealla ja vasemmalla puolella (eli epäyhtälö pätee f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Tässä tapauksessa sanomme, että funktiolla on piste x2 minimi.

Sanotaan piste x1 - toiminnon maksimipiste f(x) . Sitten välissä asti x1 toiminta lisääntyy joten funktion derivaatta on suurempi kuin nolla ( f "(x) > 0 ), ja sen jälkeen x1 toiminto heikkenee, joten funktion derivaatta alle nolla ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Oletetaan myös, että kohta x2 - funktion minimipiste f(x) . Sitten välissä asti x2 funktio pienenee ja funktion derivaatta on pienempi kuin nolla ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funktio kasvaa ja funktion derivaatta on suurempi kuin nolla ( f "(x) > 0). Tässä tapauksessa myös pisteessä x2 funktion derivaatta on nolla tai sitä ei ole olemassa.

Fermatin lause (tarpeellinen merkki funktion ääripään olemassaolosta). Jos kohta x0 - funktion ääripiste f(x) niin tässä vaiheessa funktion derivaatta on yhtä suuri kuin nolla ( f "(x) = 0 ) tai sitä ei ole olemassa.

Määritelmä. Pisteitä, joissa funktion derivaatta on nolla tai ei ole olemassa, kutsutaan kriittiset kohdat .

Esimerkki 1. Harkitse funktiota.

Pisteessä x= 0 funktion derivaatta on nolla, siis piste x= 0 on kriittinen piste. Kuitenkin, kuten funktion kaaviosta voidaan nähdä, se kasvaa koko määrittelyalueen läpi, joten piste x= 0 ei ole tämän funktion ääripiste.

Siten ehdot, että funktion derivaatta pisteessä on nolla tai sitä ei ole olemassa, ovat välttämättömiä ehtoja ääripäälle, mutta eivät riittäviä, koska voidaan antaa muita esimerkkejä funktioista, joille nämä ehdot täyttyvät, mutta funktio ei ole ääripäätä vastaavassa pisteessä. Siksi todisteita pitää olla riittävästi, jonka avulla voidaan arvioida, onko tietyssä kriittisessä pisteessä ääripää ja millainen ääripää se on - maksimi vai minimi.

Lause (ensimmäinen riittävä merkki funktion ääripään olemassaolosta). Kriittinen piste x0 f(x) jos tämän pisteen läpi kulkiessaan funktion derivaatta vaihtaa etumerkkiä ja jos etumerkki vaihtuu plussasta miinusmerkkiin, niin kyseessä on maksimipiste, ja jos miinuksesta plussaan, niin se on minimipiste.

Jos lähellä pistettä x0 , sen vasemmalla ja oikealla puolella derivaatta säilyttää etumerkkinsä, mikä tarkoittaa, että funktio joko vain pienenee tai kasvaa vain tietyllä pisteen alueella x0 . Tässä tapauksessa pisteessä x0 ei ole äärimmäistä.

Niin, määrittääksesi funktion ääripisteet, sinun on tehtävä seuraava :

1. Etsi funktion derivaatta.
2. Yhdistä derivaatta nollaan ja määritä kriittiset pisteet.
3. Merkitse henkisesti tai paperille kriittiset pisteet lukuviivalle ja määritä funktion derivaatan merkit tuloksena olevissa intervalleissa. Jos derivaatan etumerkki vaihtuu plussasta miinuspisteeksi, kriittinen piste on maksimipiste, ja jos miinuksesta plussaan, niin minimipiste.
4. Laske funktion arvo ääripisteissä.

Esimerkki 2. Etsi funktion ääripää .

Ratkaisu. Etsitään funktion derivaatta:

Yhdistätään derivaatta nollaan kriittisten pisteiden löytämiseksi:

.

Koska millekään "x":n arvolle nimittäjä ei ole nolla, merkitsemme osoittajan nollaan:

On yksi kriittinen kohta x= 3. Määritetään derivaatan etumerkki tämän pisteen rajaamissa väleissä:

alueella miinus äärettömyydestä 3:een - miinusmerkki, eli funktio pienenee,

välissä 3 plus äärettömään on plusmerkki, eli funktio kasvaa.

Eli jakso x= 3 on minimipiste.

Etsitään funktion arvo minimipisteestä:

Siten funktion ääripiste löytyy: (3; 0), ja se on minimipiste.

Lause (toinen riittävä merkki funktion ääripään olemassaolosta). Kriittinen piste x0 on funktion ääripiste f(x) jos funktion toinen derivaatta tässä pisteessä ei ole nolla ( f ""(x) ≠ 0), ja jos toinen derivaatta on suurempi kuin nolla ( f ""(x) > 0 ), niin maksimipiste, ja jos toinen derivaatta on pienempi kuin nolla ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Huomautus 1. Jos kohdassa x0 Jos sekä ensimmäinen että toinen derivaatta katoavat, niin tässä vaiheessa on mahdotonta arvioida ääripään olemassaoloa toisen riittävän kriteerin perusteella. Tässä tapauksessa sinun on käytettävä ensimmäistä riittävää kriteeriä funktion ääripäälle.

Huomautus 2. Toinen riittävä kriteeri funktion ääripäälle ei päde, vaikka ensimmäistä derivaattia ei ole olemassa stationääripisteessä (silloin toista derivaattia ei myöskään ole). Tässä tapauksessa sinun on käytettävä myös funktion ääripään ensimmäistä riittävää merkkiä.

Toiminnon ääripään paikallinen luonne

Yllä olevista määritelmistä seuraa, että funktion ääriarvo on luonteeltaan paikallinen - se on funktion suurin ja pienin arvo verrattuna lähiarvoihin.

Oletetaan, että tarkastelet tulojasi yhden vuoden ajalta. Jos ansaitsit toukokuussa 45 000 ruplaa ja huhtikuussa 42 000 ruplaa ja kesäkuussa 39 000 ruplaa, niin toukokuun tulot ovat ansiofunktion maksimi verrattuna lähiarvoihin. Mutta lokakuussa ansaitsit 71 000 ruplaa, syyskuussa 75 000 ruplaa ja marraskuussa 74 000 ruplaa, joten lokakuun tulot ovat ansiofunktion vähimmäisarvo lähellä oleviin arvoihin verrattuna. Ja voit helposti nähdä, että huhti-touko-kesäkuun arvojen maksimi on pienempi kuin syys-loka-marraskuun minimi.

Yleisesti ottaen intervallilla funktiolla voi olla useita ääriarvoja, ja voi käydä niin, että jokin funktion minimi on suurempi kuin mikä tahansa maksimi. Joten yllä olevassa kuvassa näkyvälle funktiolle .

Eli ei pidä ajatella, että funktion maksimi ja minimi ovat vastaavasti sen suurin ja pienin arvo koko tarkasteltavana olevalla segmentillä. Maksimipisteessä funktiolla on suurin arvo vain verrattuna niihin arvoihin, jotka sillä on kaikissa pisteissä riittävän lähellä maksimipistettä, ja minimipisteessä sen arvo on pienin vain verrattuna näihin arvoihin. että sen kaikissa kohdissa on riittävän lähellä minimipistettä.

Siksi voimme selventää yllä olevaa funktion ääripisteiden käsitettä ja kutsua minimipisteitä paikallisiksi minimipisteiksi ja maksimipisteiksi paikallisiksi maksimipisteiksi.

Etsimme yhdessä funktion ääripäätä

Esimerkki 3.

Ratkaisu: Funktio on määritelty ja jatkuva koko lukurivillä. Sen johdannainen esiintyy myös koko numerorivillä. Siksi tässä tapauksessa kriittisiä pisteitä ovat vain ne, joissa, ts. , mistä ja . Kriittiset pisteet ja jaa koko funktion määrittelyalue kolmeen monotonisuusväliin: . Valitaan yksi ohjauspiste kustakin niistä ja etsitään derivaatan etumerkki tästä pisteestä.

Välille ohjauspiste voi olla: etsi. Ottamalla pisteen väliltä saamme, ja ottamalla pisteen väliltä, ​​meillä on. Joten, väliajoissa ja , ja välissä . Ensimmäisen ääripään riittävän kriteerin mukaan pisteessä ei ole ääriarvoa (koska derivaatta säilyttää etumerkkinsä intervallissaan), ja pisteessä funktiolla on minimi (koska derivaatta muuttaa etumerkin miinuksesta plussiksi ohittaessaan tämän kohdan kautta). Etsitään funktion vastaavat arvot: , a . Välillä funktio pienenee, koska tällä välillä , ja välissä se kasvaa, koska tällä välillä .

Kuvaajan rakenteen selventämiseksi etsitään sen leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa. Kun saadaan yhtälö, jonka juuret ovat ja, eli funktion kuvaajasta löytyy kaksi pistettä (0; 0) ja (4; 0). Rakennamme kaavion käyttämällä kaikkia vastaanotettuja tietoja (katso esimerkin alku).

Voit käyttää itsetarkistusta laskelmien aikana online-johdannaislaskin .

Esimerkki 4. Etsi funktion ääripiste ja rakenna sen kaavio.

Funktion määrittelyalue on koko lukuviiva pistettä lukuun ottamatta, ts. .

Tutkimuksen lyhentämiseksi voit käyttää sitä tosiasiaa, että tämä funktio on parillinen, koska . Siksi sen kuvaaja on symmetrinen akselin suhteen Oy ja tutkimus voidaan suorittaa vain ajanjaksolle.

Johdannan löytäminen ja toiminnon kriittiset kohdat:

1) ;

2) ,

mutta funktio kärsii epäjatkuvuudesta tässä vaiheessa, joten se ei voi olla ääripiste.

Siten annetulla funktiolla on kaksi kriittistä pistettä: ja . Ottaen huomioon funktion pariteetin tarkistamme vain pisteen käyttämällä toista ääripään riittävää kriteeriä. Tätä varten löydämme toisen derivaatan ja määritä sen merkki osoitteessa: saamme . Koska ja , Se on funktion ja vähimmäispiste .

Saadaksesi täydellisemmän kuvan funktion kaaviosta, selvitetään sen käyttäytyminen määritelmäalueen rajoilla:

(tässä symboli osoittaa halun x nollaan oikealta ja x pysyy positiivisena; tarkoittaa samalla tavalla pyrkimystä x nollaan vasemmalta ja x pysyy negatiivisena). Eli jos , niin . Seuraavaksi löydämme

,

nuo. jos sitten .

Funktion kuvaajalla ei ole leikkauspisteitä akselien kanssa. Kuva on esimerkin alussa.

Voit käyttää itsetarkistusta laskelmien aikana online-johdannaislaskin .

Jatkamme toiminnon ääripäiden etsimistä yhdessä

Esimerkki 8. Etsi funktion ääripää.

Ratkaisu. Etsitään funktion määritelmäalue. Koska epätasa-arvo on täytettävä, saamme osoitteesta .

Etsitään funktion ensimmäinen derivaatta.

Yksinkertainen algoritmi äärimmäisyyksien löytämiseen..

• Funktion derivaatan löytäminen
• Yhdistämme tämän derivaatan nollaan
• Löydämme tuloksena olevan lausekkeen muuttujan arvot (muuttujan arvot, jossa derivaatta muunnetaan nollaksi)
• Näitä arvoja käyttämällä jaamme koordinaattiviivan intervalleiksi (älä unohda taitepisteitä, jotka on myös piirrettävä viivalla), kaikkia näitä pisteitä kutsutaan "epäilyttäväksi" pisteeksi ääripäälle
• Laskemme, mikä näistä intervalleista on positiivinen ja mikä negatiivinen. Tätä varten sinun on korvattava arvo väliltä derivaatta.

Ekstreemin kannalta epäilyttäviä kohdista on löydettävä . Tätä varten katsomme intervallejamme koordinaattiviivalla. Jos derivaatan merkki vaihtuu plussasta miinukseksi kulkiessaan jonkin pisteen läpi, niin tämä piste on enimmäismäärä, ja jos miinuksesta plussaan, niin minimi.

Löytääksesi funktion suurimmat ja pienimmät arvot, sinun on laskettava funktion arvo segmentin päissä ja ääripisteissä. Valitse sitten suurin ja pienin arvo.

Katsotaanpa esimerkkiä
Etsimme derivaatan ja rinnastamme sen nollaan:

Piirrämme saadut muuttujien arvot koordinaattiviivalle ja laskemme derivaatan etumerkin jokaiselle intervalleille. No, esimerkiksi ensimmäiseksi-2 , niin derivaatta on yhtä suuri-0,24 , otamme toisen0 , niin derivaatta on2 , ja kolmannen otamme2 , niin derivaatta on-0,24. Laitoimme asianmukaiset merkit.

Näemme, että kulkiessaan pisteen -1 kautta derivaatta muuttaa etumerkin miinuksesta plussiksi, eli tämä on minimipiste, ja kun kuljetaan pisteen 1 kautta, se muuttaa etumerkin plussasta miinusmerkkiin, vastaavasti tämä on maksimipiste.

Toiminta ja sen ominaisuuksien tutkiminen on yksi modernin matematiikan keskeisistä luvuista. Minkä tahansa funktion pääkomponentti on kaaviot, jotka kuvaavat paitsi sen ominaisuuksia, myös tämän funktion derivaatan parametreja. Ymmärretään tämä vaikea aihe. Mikä on siis paras tapa löytää funktion maksimi- ja minimipisteet?

Tehtävä: määritelmä

Mitä tahansa muuttujaa, joka jollakin tavalla riippuu toisen suuren arvoista, voidaan kutsua funktioksi. Esimerkiksi funktio f(x 2) on neliöllinen ja määrittää arvot koko joukolle x. Oletetaan, että x = 9, niin funktiomme arvo on yhtä suuri kuin 9 2 = 81.

Toimintoja on monenlaisia: loogisia, vektori-, logaritmisi-, trigonometrisiä, numeerisia ja muita toimintoja. Niitä tutkivat sellaiset upeat mielet kuin Lacroix, Lagrange, Leibniz ja Bernoulli. Heidän teoksensa toimivat perustana nykyaikaisille toimintojen tutkimisen tavoille. Ennen minimipisteiden löytämistä on erittäin tärkeää ymmärtää funktion ja sen derivaatan merkitys.

Johdannainen ja sen rooli

Kaikki funktiot ovat riippuvaisia ​​niiden muuttujista, mikä tarkoittaa, että ne voivat muuttaa arvoaan milloin tahansa. Kaaviossa tämä kuvataan käyränä, joka joko laskee tai nousee ordinaatta-akselia pitkin (tämä on koko joukko "y"-lukuja pitkin pystysuoraa kuvaajaa). Joten funktion maksimi- ja minimipisteiden määrittäminen liittyy juuri näihin "värähtelyihin". Selvitetään, mikä tämä suhde on.

Minkä tahansa funktion derivaatta piirretään sen perusominaisuuksien tutkimiseksi ja laskemiseksi, kuinka nopeasti funktio muuttuu (eli muuttaa arvoaan muuttujan "x" mukaan). Sillä hetkellä, kun funktio kasvaa, myös sen derivaatan kuvaaja kasvaa, mutta minä hetkenä hyvänsä funktio voi alkaa pienentyä, jolloin derivaatan kuvaaja pienenee. Pisteitä, joissa derivaatta muuttuu miinusmerkistä plusmerkiksi, kutsutaan minimipisteiksi. Jotta tiedät kuinka löytää vähimmäispisteet, sinun pitäisi ymmärtää paremmin

Kuinka laskea johdannainen?

Määritelmä ja funktiot sisältävät useita käsitteitä kohteesta Yleisesti derivaatan määritelmä voidaan ilmaista seuraavasti: tämä on suure, joka osoittaa funktion muutosnopeuden.

Matemaattinen tapa määrittää se näyttää monille opiskelijoille monimutkaiselta, mutta todellisuudessa kaikki on paljon yksinkertaisempaa. Sinun tarvitsee vain noudattaa vakiosuunnitelmaa minkä tahansa funktion johdannaisen löytämiseksi. Alla kuvataan, kuinka voit löytää funktion minimipisteen soveltamatta differentiaatiosääntöjä ja muistamatta derivaattataulukkoa.

1. Voit laskea funktion derivaatan käyttämällä kuvaajaa. Tätä varten sinun on kuvattava itse funktio ja otettava sen päälle yksi piste (kuvassa piste A). Piirrä viiva pystysuoraan alas abskissa-akseliin (piste x 0) ja piirrä pisteeseen A tangentti funktion kaavio. X-akseli ja tangentti muodostavat tietyn kulman a. Laskeaksesi arvon, kuinka nopeasti funktio kasvaa, sinun on laskettava tämän kulman tangentti a.
2. Osoittautuu, että tangentin ja x-akselin suunnan välisen kulman tangentti on funktion derivaatta pienellä alueella pisteen A kanssa. Tätä menetelmää pidetään geometrisena menetelmänä derivaatan määrittämiseen.

Menetelmät funktion tutkimiseen

Koulun matematiikan opetussuunnitelmassa on mahdollista löytää funktion minimipiste kahdella tavalla. Olemme jo keskustelleet ensimmäisestä menetelmästä graafin avulla, mutta kuinka voimme määrittää derivaatan numeerisen arvon? Tätä varten sinun on opittava useita kaavoja, jotka kuvaavat derivaatan ominaisuuksia ja auttavat muuttamaan muuttujat, kuten "x" numeroiksi. Seuraava menetelmä on universaali, joten sitä voidaan soveltaa lähes kaikentyyppisiin funktioihin (sekä geometrisiin että logaritmiin).

1. On tarpeen rinnastaa funktio johdannaisfunktioon ja sitten yksinkertaistaa lauseke käyttämällä differentiaatiosääntöjä.
2. Joissakin tapauksissa, kun annetaan funktio, jossa muuttuja "x" on jakajassa, on tarpeen määrittää hyväksyttävien arvojen alue jättäen siitä pois piste "0" (sestä yksinkertaisesta syystä, että matematiikassa ei pitäisi koskaan jakaa nollalla).
3. Tämän jälkeen sinun tulee muuttaa funktion alkuperäinen muoto yksinkertaiseksi yhtälöksi, joka vastaa koko lauseke nollaan. Jos funktio näytti esimerkiksi tältä: f(x) = 2x 3 +38x, niin sen derivaatta on differentiaatiosääntöjen mukaan yhtä suuri kuin f"(x) = 3x 2 +1. Sitten muutetaan tämä lauseke seuraavan muotoinen yhtälö: 3x 2 +1 = 0 .
4. Kun yhtälö on ratkaistu ja “x”-pisteet löydetty, sinun tulee piirtää ne x-akselille ja määrittää, onko derivaatta näissä osissa merkittyjen pisteiden välillä positiivinen vai negatiivinen. Nimeämisen jälkeen käy selväksi, missä vaiheessa funktio alkaa laskea, eli muuttaa etumerkkiä miinuksesta päinvastaiseksi. Tällä tavalla voit löytää sekä minimi- että maksimipisteet.

Erottamisen säännöt

Peruskomponentti funktion ja sen derivaatan tutkimisessa on erilaistumissääntöjen tuntemus. Vain heidän avullaan voit muuttaa hankalia lausekkeita ja suuria monimutkaisia ​​toimintoja. Tutustutaanpa niihin, niitä on melko paljon, mutta ne ovat kaikki hyvin yksinkertaisia ​​sekä potenssi- että logaritmisen funktioiden luonnollisten ominaisuuksien vuoksi.

1. Minkä tahansa vakion derivaatta on nolla (f(x) = 0). Eli derivaatta f(x) = x 5 + x - 160 saa seuraavan muodon: f" (x) = 5x 4 +1.
2. Johdannainen kahden termin summasta: (f+w)" = f"w + fw".
3. Logaritmisen funktion johdannainen: (log a d)" = d/ln a*d. Tämä kaava koskee kaikentyyppisiä logaritmeja.
4. Tehon derivaatta: (x n)"= n*x n-1. Esimerkiksi (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Sinifunktion derivaatta: (sin a)" = cos a. Jos kulman a sin on 0,5, niin sen derivaatta on √3/2.

Äärimmäiset pisteet

Olemme jo keskustelleet minimipisteiden löytämisestä, mutta olemassa on myös funktion maksimipisteiden käsite. Jos minimi tarkoittaa niitä pisteitä, joissa funktio muuttuu miinusmerkistä plussaksi, niin maksimipisteet ovat niitä x-akselin pisteitä, joissa funktion derivaatta muuttuu plussasta vastakkaiseen - miinukseen.

Löydät sen yllä kuvatulla menetelmällä, mutta sinun tulee ottaa huomioon, että ne osoittavat alueita, joilla funktio alkaa pienentyä, eli derivaatta on pienempi kuin nolla.

Matematiikassa on tapana yleistää molemmat käsitteet korvaamalla ne ilmauksella "ääripisteet". Kun tehtävä pyytää sinua määrittämään nämä pisteet, se tarkoittaa, että sinun on laskettava tietyn funktion derivaatta ja löydettävä minimi- ja maksimipisteet.

Tarkastellaan funktiota y = f(x), jota tarkastellaan välillä (a, b).

Jos on mahdollista osoittaa väliin (a, b) kuuluvan pisteen x1 b-naapuri siten, että kaikilla x:illä (x1, b) pätee epäyhtälö f(x1) > f(x), niin y1 = kutsutaan f1(x1). toiminnon maksimi y = f(x) katso kuva.

Merkitään funktion y = f(x) maksimi arvolla max f(x). Jos on mahdollista osoittaa väliin (a, b) kuuluvan pisteen x2 b-naapuri siten, että kaikille x:lle se kuuluu O:een (x2, 6), x ei ole yhtä suuri kuin x2, epäyhtälö pätee f(x2)< f(x) , niin y2= f(x2) kutsutaan funktion y-f(x) minimiksi (katso kuva).

Katso esimerkki maksimiarvon löytämisestä seuraavasta videosta

Minimi toiminnot

Merkitään funktion y = f(x) minimi arvolla min f(x). Toisin sanoen, funktion maksimi tai minimi y = f(x) nimeltään sen arvo, joka on suurempi (pienempi) kuin kaikki muut arvot, jotka hyväksytään riittävän lähellä annettua arvoa ja eroavat siitä.

Huomautus 1. Maksimitoiminto, jonka määrittelee epätasa-arvo, kutsutaan tiukaksi maksimiksi; ei-tiukka maksimi määräytyy epäyhtälöllä f(x1) > = f(x2)

Muistio 2. niillä on paikallinen luonne (nämä ovat funktion suurimmat ja pienimmät arvot vastaavan pisteen riittävän pienellä alueella); funktion yksittäiset minimit voivat olla suurempia kuin saman funktion maksimi

Tämän seurauksena kutsutaan funktion maksimi (minimi). paikallinen maksimi(paikallinen minimi) toisin kuin absoluuttinen maksimi (minimi) - suurin (pienin) arvo funktion määritelmäalueella.

Funktion maksimi- ja minimiarvoa kutsutaan ääriarvoksi . Extrema in on havaittu rakentavan kuvaajia funktioista

Latina ääriarvo tarkoittaa "äärimmäistä" merkitys. Argumentin x arvoa, jossa ääriarvo saavutetaan, kutsutaan ääriarvopisteeksi. Ekstreemin välttämätön ehto ilmaistaan ​​seuraavalla lauseella.

Lause. Differentioituvan funktion ääripisteessä sen derivaatta on yhtä suuri kuin nolla.

Lauseen geometrinen merkitys on yksinkertainen: differentioituvan funktion kuvaajan tangentti vastaavassa pisteessä on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa

1°. Funktion ääripään määritys.

Kahden muuttujan funktion maksimi-, minimi- ja ääriarvokäsitteet ovat samanlaisia ​​kuin vastaavat yhden riippumattoman muuttujan funktion käsitteet.

Anna toiminnon z =f (x ; y) määritelty jollain alueella D piste N (x 0;v 0) D.

Piste (x 0;v 0) kutsutaan pisteeksi enimmäismäärä toimintoja z= f (x ;y ), jos on sellainen pisteen -naapuruus (x 0;v 0), että jokaiselle pisteelle (x;y), erilainen (x 0;v 0) tästä naapurustosta epätasa-arvo pätee f (x ;y)< f (x 0;y 0). Kuvassa 12: N 1 - maksimipiste, a N 2 - funktion minimipiste z =f (x ;y).

Piste määräytyy samalla tavalla minimi toiminnot: kaikille pisteille (x 0;v 0), erilainen (x 0;v 0), d -pisteen naapurustosta (x 0;v 0) epätasa-arvo pätee: f (x 0;y 0) >f (x 0;y 0).

Kolmen tai useamman muuttujan funktion ääriarvo määritetään samalla tavalla.

Kutsutaan funktion arvo maksimi- (minimi)pisteessä maksimi (minimi) toimintoja.

Kutsutaan funktion maksimi ja minimi ääripäät.

Huomaa, että määritelmän mukaan funktion ääripiste on funktion määritelmäalueen sisällä; maksimi ja minimi on paikallinen(paikallinen) merkki: funktion arvo pisteessä (x 0;v 0) verrataan sen arvoihin riittävän lähellä olevissa kohdissa (x 0;y 0). Alueella D funktiolla voi olla useita ääripäitä tai ei yhtään.

2°. Ekstreemin välttämättömät olosuhteet.

Tarkastellaan funktion ääripään olemassaolon ehtoja.

Geometrisesti yhtäläisyydet f"y (x 0;v 0)= 0 ja f"y (x 0;y 0) = 0 tarkoittaa, että funktion ääripisteessä z = f (x ; y) funktiota edustavan pinnan tangenttitaso f (x ; y), yhdensuuntainen tason kanssa Voi hoo koska tangenttitason yhtälö on z =z 0.

Kommentti. Funktiolla voi olla ääriarvo pisteissä, joissa ainakin yhtä osittaisderivaattaista ei ole. Esimerkiksi funktio on maksimi pisteessä NOIN(0;0), mutta sillä ei ole osittaisia ​​derivaattoja tässä vaiheessa.

Piste, jossa funktion ensimmäisen asteen osittaiset derivaatat z = f (x ;y) ovat yhtä kuin nolla, ts. f"x = 0, f" y = 0, soitettu paikallaan oleva piste toimintoja z.

Kutsutaan paikallaan olevia pisteitä ja pisteitä, joissa ei ole vähintään yhtä osittaista derivaattaa kriittiset kohdat.

Kriittisissä pisteissä funktiolla voi olla ääriarvo tai ei. Osittaisten derivaattojen yhtäläisyys nollaan on välttämätön, mutta ei riittävä ehto ääripään olemassaololle. Harkitse esimerkiksi funktiota z = hu. Sille piste 0(0; 0) on kriittinen (muuttuu nollaan). Kuitenkin ääripääfunktio siinä on z = xy ei ole, koska pisteen O(0;0) riittävän pienessä ympäristössä on pisteitä, joille z> 0 (1. ja 3. neljänneksen pisteet) ja z< 0 (II ja IV neljänneksen pisteet).

Siten funktion ääripisteen löytämiseksi tietyltä alueelta on tarpeen kohdistaa funktion jokainen kriittinen piste lisätutkimukselle.

Kiinteät pisteet löydetään ratkaisemalla yhtälöjärjestelmä

(ääripään välttämättömät ehdot).

Järjestelmä (1) vastaa yhtä yhtälöä df(x, y)=0. Yleensä ääripisteessä P(a, b) toimintoja f(x, y) tai df(x, y)=0, tai df(a, b) ei ole olemassa.

3°. Riittävät olosuhteet ääripäälle. Antaa P(a; b)- toiminnon kiinteä piste f(x,y), eli . df(a, b) = 0. Sitten:

ja jos d2f (a, b)< 0 klo , sitten f(a, b) On enimmäismäärä toimintoja f (x, y);

b) jos d2f (a, b) > 0 klo , sitten f(a, b)On minimi toimintoja f (x,y);

c) jos d2f (a, b) vaihtaa merkkiä sitten f (a, b) ei ole funktion ääriarvo f (x, y).

Annetut ehdot vastaavat seuraavia: anna Ja . Sävellytään syrjivä Δ=AC -B².

1) jos Δ > 0, niin funktiolla on pisteessä ääriarvo P(a;b) eli maksimi jos A<0 (tai KANSSA<0 ), ja vähintään jos A>0(tai С>0);

2) jos Δ< 0, то экстремума в точке P(a; b) Ei;

3) jos Δ =0, niin kysymys funktion ääripään olemassaolosta pisteessä P(a; b) jää auki (lisätutkimusta tarvitaan).

4°. Useiden muuttujien funktion tapaus. Kolmen tai useamman muuttujan funktiolle välttämättömät ehdot ääripään olemassaololle ovat samanlaiset kuin ehdot (1) ja riittävät ehdot ovat samanlaiset kuin ehdot a), b), c) 3°.

Esimerkki. Tutki ääriarvofunktiota z=x³+3xy²-15x-12y.

Ratkaisu. Etsitään osittaiset derivaatat ja luodaan yhtälöjärjestelmä (1):

Ratkaisemalla järjestelmän saamme neljä kiinteää pistettä:

Etsitään 2. kertaluvun derivaatat

ja luoda syrjinnän Δ=AC - B² jokaiselle paikallaan olevalle pisteelle.

1) Kohta: , Δ = AC-B² = 36-144<0 . Tämä tarkoittaa, että pisteessä ei ole ääripäätä.

2) Kohta P2: A = 12, B = 6, C = 12; Δ=144-36>0, A>0. Pisteessä P2 funktiolla on minimi. Tämä minimi on yhtä suuri kuin funktion arvo at x = 2, y = 1: zmin = 8 + 6-30-12 = -28.

3) Kohta: A = -6, B = -12, C = -6; A = 36-144<0 . Ei ole äärimmäistä.

4) Kohta P 4: A = -12, B = -6, C = -12; Δ=144-36>0. Pisteessä P4 funktion maksimi on yhtä suuri kuin Zmax=-8-6+30+12=28.

5°. Ehdollinen ääripää. Yksinkertaisimmassa tapauksessa ehdollinen ääripää toimintoja f(x,y) on tämän funktion maksimi tai minimi, joka saavutetaan sillä ehdolla, että sen argumentit liittyvät yhtälöön φ(x,y)=0 (yhteysyhtälö). Löytää funktion ehdollinen ääripää f(x, y) suhteen läsnä ollessa φ(x,y) = 0, muodostavat ns Lagrange-toiminto

F (x,y )=f (x,y )+λφ (x,y ),

missä λ on määrittelemätön vakiokerroin, ja tämän apufunktion tavallista ääripäätä etsitään. Ekstreemin välttämättömät ehdot pelkistetään kolmen yhtälön järjestelmäksi

kolmen tuntemattoman kanssa x, y, λ, josta nämä tuntemattomat voidaan yleisesti ottaen määrittää.

Kysymys ehdollisen ääripään olemassaolosta ja luonteesta ratkaistaan ​​Lagrange-funktion toisen differentiaalin etumerkin tutkimisen perusteella.

testattavalle arvojärjestelmälle x, y, λ, saatu kohdasta (2), edellyttäen että dx Ja dу liittyy yhtälöön

.

Nimittäin toiminto f(x,y) sisältää ehdollisen maksimiarvon jos d²F< 0 ja ehdollinen minimi jos d²F>0. Erityisesti, jos funktion diskriminantti Δ F(x,y) on positiivinen kiinteässä pisteessä, niin tässä pisteessä on funktion ehdollinen maksimi f(x, y), Jos A< 0 (tai KANSSA< 0), ja ehdollinen minimi, jos A > O(tai С>0).

Vastaavasti kolmen tai useamman muuttujan funktion ehdollinen ääripää löytyy yhden tai useamman yhteysyhtälön (joiden lukumäärän on kuitenkin oltava pienempi kuin muuttujien lukumäärä) läsnä ollessa. Tässä meidän on lisättävä Lagrange-funktioon niin monta epävarmaa tekijää kuin on kytkentäyhtälöitä.

Esimerkki. Etsi funktion ääripää z = 6-4x -3y edellyttäen, että muuttujat X Ja klo täyttää yhtälön x²+y²=1.

Ratkaisu. Geometrisesti ongelma liittyy sovelluksen suurimman ja pienimmän arvojen löytämiseen z kone z = 6 - 4x - Zu sen ja sylinterin leikkauspisteiden osalta x2+y2=1.

Lagrange-funktion kääntäminen F(x,y)=6-4x-3y+λ(x2+y2-1).

Meillä on . Tarvittavat ehdot antavat yhtälöjärjestelmän

ratkaisu, jonka löydämme:

.

,

d²F = 2λ (dx²+dy²).

Jos ja, niin sitten d²F > 0, ja siksi tässä vaiheessa funktiolla on ehdollinen minimi. Jos ja sitten d²F<0, ja siksi tässä vaiheessa funktiolla on ehdollinen maksimi.

Täten,

6°. Funktion suurimmat ja pienimmät arvot.

Anna toiminnon z =f (x ; y) määritelty ja jatkuva rajoitetulla suljetulla alueella . Sitten hän saavuttaa joitakin kohtia sinun suurin M ja vähiten T arvot (ns globaali ääriarvo). Nämä arvot saavutetaan funktiolla alueen sisällä sijaitsevissa pisteissä , tai alueen rajalla sijaitsevissa pisteissä.