Ennen kuin annamme vektoritulon käsitteen, siirrytään kysymykseen vektorien a → , b → , c → järjestetyn kolmikon orientaatiosta kolmiulotteisessa avaruudessa.

Laitetaan aluksi syrjään vektorit a → , b → , c → yhdestä pisteestä. Kolmoiskappaleen a → , b → , c → orientaatio on oikea tai vasen vektorin c → suunnasta riippuen. Suunta, johon lyhin käännös tehdään vektorista a → b → vektorin c → lopusta, määritetään kolmion a → , b → , c → muoto.

Jos lyhin kierto on vastapäivään, niin vektoreiden a → , b → , c → kolmoisosaa kutsutaan oikein jos myötäpäivään - vasemmalle.

Otetaan seuraavaksi kaksi ei-kollineaarista vektoria a → ja b → . Siirretään sitten vektorit A B → = a → ja A C → = b → pisteestä A. Muodostetaan vektori A D → = c → , joka on samanaikaisesti kohtisuorassa sekä A B → että A C → suhteen. Näin ollen, kun rakennamme vektoria A D → = c →, voimme tehdä kaksi asiaa antamalla sille joko yhden suunnan tai päinvastaisen (katso kuva).

Järjestetty vektoreiden trio a → , b → , c → voi, kuten havaitsimme, olla oikea tai vasen vektorin suunnasta riippuen.

Yllä olevasta voimme ottaa käyttöön vektoritulon määritelmän. Tämä määritelmä on annettu kahdelle vektorille, jotka on määritelty kolmiulotteisen avaruuden suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä.

Määritelmä 1

Kahden vektorin a → ja b → vektoritulo kutsumme tällaista kolmiulotteisen avaruuden suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä annettua vektoria siten, että:

• jos vektorit a → ja b → ovat kollineaarisia, se on nolla;
• se on kohtisuorassa sekä vektoriin a →​​ että vektoriin b → ts. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• sen pituus määritetään kaavalla: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• vektorien tripletillä a → , b → , c → on sama suunta kuin annetulla koordinaatistolla.

Vektorien a → ja b → ristitulolla on seuraava merkintä: a → × b → .

Tuotekoordinaatit ristiin

Koska millä tahansa vektorilla on tietyt koordinaatit koordinaattijärjestelmässä, on mahdollista ottaa käyttöön toinen ristitulon määritelmä, jonka avulla voit löytää sen koordinaatit vektorien annetuista koordinaateista.

Määritelmä 2

Kolmiulotteisen avaruuden suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä kahden vektorin a → = (a x ; a y ; a z) ja b → = (b x ; b y ; b z) vektoritulo kutsutaan vektoria c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , missä i → , j → , k → ovat koordinaattivektoreita.

Vektoritulo voidaan esittää kolmannen kertaluvun neliömatriisin determinanttina, jossa ensimmäisellä rivillä on ortavektorit i → , j → , k → , toisella rivillä on vektorin a → koordinaatit ja kolmannella on vektorin b → koordinaatit tietyssä suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa, tämä matriisin determinantti näyttää tältä: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Laajentamalla tätä determinanttia ensimmäisen rivin alkioihin saadaan yhtälö: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a k → = = × b y a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Ristikkäisten tuotteiden ominaisuudet

Tiedetään, että vektoritulo koordinaateissa esitetään matriisin c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z determinanttina, sitten kannassa matriisin determinanttien ominaisuudet seuraavat vektorituotteen ominaisuudet:

1. antikommutatiivisuus a → × b → = - b → × a → ;
2. jakautuvuus a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → tai a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. assosiatiivisuus λ a → × b → = λ a → × b → tai a → × (λ b →) = λ a → × b → , missä λ on mielivaltainen reaaliluku.

Näillä ominaisuuksilla ei ole monimutkaisia ​​todisteita.

Voimme esimerkiksi todistaa vektorituotteen.

Todiste antikommutatiivisuudesta

Määritelmän mukaan a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ja b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Ja jos kaksi matriisin riviä vaihdetaan, niin matriisin determinantin arvon tulisi muuttua päinvastaiseksi, joten a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , joka ja todistaa vektoritulon antikommutatiivisuuden.

Vektorituote - esimerkkejä ja ratkaisuja

Useimmissa tapauksissa on kolmenlaisia ​​tehtäviä.

Ensimmäisen tyypin tehtävissä on yleensä annettu kahden vektorin pituudet ja niiden välinen kulma, mutta sinun on löydettävä ristitulon pituus. Käytä tässä tapauksessa seuraavaa kaavaa c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Esimerkki 1

Laske vektorien a → ja b → ristitulon pituus, jos tunnetaan a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4.

Päätös

Käyttämällä vektorien a → ja b → vektoritulon pituuden määritelmää ratkaisemme tämän ongelman: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Vastaus: 15 2 2 .

Toisen tyypin tehtävillä on yhteys vektorien koordinaatteihin, ne sisältävät vektoritulon, sen pituuden jne. haetaan annettujen vektorien tunnetuista koordinaateista a → = (a x ; a y ; a z) ja b → = (b x ; b y ; b z) .

Tämän tyyppisissä tehtävissä voit ratkaista monia vaihtoehtoja tehtäville. Ei esimerkiksi vektorien a → ja b → koordinaatteja, vaan niiden laajennuksia muodon koordinaattivektoreihin b → = b x i → + b y j → + b z k → ja c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , tai vektorit a → ja b → voidaan antaa niiden koordinaateista. aloitus- ja loppupisteet.

Harkitse seuraavia esimerkkejä.

Esimerkki 2

Kaksi vektoria asetetaan suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Etsi heidän vektoritulonsa.

Päätös

Toisen määritelmän mukaan löydämme kahden vektorin ristitulon annetuissa koordinaateissa: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Jos kirjoitetaan vektoritulo matriisideterminantin mukaan, niin tämän esimerkin ratkaisu on seuraava: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Vastaus: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Esimerkki 3

Laske vektorien i → - j → ja i → + j → + k → ristitulon pituus, missä suorakulmaisen karteesisen koordinaatiston i → , j → , k → - orts.

Päätös

Etsitään ensin annetun vektoritulon i → - j → × i → + j → + k → koordinaatit annetusta suorakaiteen muotoisesta koordinaatistosta.

On tunnettua, että vektoreilla i → - j → ja i → + j → + k → on koordinaatit (1 ; - 1 ; 0) ja (1 ; 1 ; 1) vastaavasti. Laske vektoritulon pituus matriisideterminantilla, jolloin meillä on i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Siksi vektoritulolla i → - j → × i → + j → + k → on koordinaatit (- 1 ; - 1 ; 2) annetussa koordinaattijärjestelmässä.

Löydämme vektoritulon pituuden kaavalla (katso luku vektorin pituuden löytämisestä): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Vastaus: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Esimerkki 4

Kolmen pisteen A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​, C (1 , 4 , 2) koordinaatit on annettu suorakulmaisessa suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä. Etsi jokin vektori, joka on kohtisuorassa A B → ja A C → samanaikaisesti.

Päätös

Vektoreilla A B → ja A C → on seuraavat koordinaatit (- 1 ; 2 ; 2) ja (0 ; 4 ; 1) vastaavasti. Kun vektorien A B → ja A C → vektoritulo on löydetty, on selvää, että se on määritelmän mukaan kohtisuora vektori sekä A B → että A C → suhteen, eli se on ratkaisu ongelmaamme. Etsi se A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Vastaus: - 6 i → + j → - 4 k → . on yksi kohtisuorassa olevista vektoreista.

Kolmannen tyypin ongelmat keskittyvät vektorien vektoritulon ominaisuuksien käyttöön. Sen soveltamisen jälkeen saamme ratkaisun annettuun ongelmaan.

Esimerkki 5

Vektorit a → ja b → ovat kohtisuorassa ja niiden pituus on 3 ja 4. Laske ristitulon pituus 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Päätös

Vektoritulon distributiivisuusominaisuuden perusteella voidaan kirjoittaa 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Assosiatiivisuuden ominaisuudella otamme pois numeeriset kertoimet vektoritulojen etumerkin ulkopuolella viimeisessä lausekkeessa: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektoritulot a → × a → ja b → × b → ovat yhtä suuria kuin 0, koska a → × a → = a → a → sin 0 = 0 ja b → × b → = b → b → sin 0 = 0, sitten 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Vektoritulon antikommutatiivisuudesta seuraa - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Vektoritulon ominaisuuksia käyttämällä saadaan yhtälö 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Ehdolla vektorit a → ja b → ovat kohtisuorassa, eli niiden välinen kulma on yhtä suuri kuin π 2 . Nyt jää vain korvata löydetyt arvot vastaaviin kaavoihin: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Vastaus: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Vektorien ristitulon pituus määritelmän mukaan on a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Koska on jo tiedetty (koulun kurssilta), että kolmion pinta-ala on puolet sen kahden sivun pituuksien tulosta kerrottuna näiden sivujen välisen kulman sinillä. Siksi vektoritulon pituus on yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala - kaksinkertainen kolmio, nimittäin sivujen tulo vektorien a → ja b → muodossa, jotka on irrotettu yhdestä pisteestä sinin avulla niiden välisestä kulmasta sin ∠ a → , b → .

Tämä on vektoritulon geometrinen merkitys.

Vektoritulon fyysinen merkitys

Mekaniikassa, yhdessä fysiikan haaroista, vektorituotteen ansiosta voit määrittää voimamomentin suhteessa avaruuspisteeseen.

Määritelmä 3

Pisteeseen B kohdistetun voiman F → alaisena suhteessa pisteeseen A ymmärrämme seuraavan vektoritulon A B → × F → .

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

KOLMEN VEKTORIN SEKATUOTE JA SEN OMINAISUUDET

sekoitettu tuote kolmea vektoria kutsutaan numeroksi, joka on yhtä suuri kuin . Merkitty . Tässä kaksi ensimmäistä vektoria kerrotaan vektoriaalisesti ja sitten tuloksena oleva vektori kerrotaan skalaarisesti kolmannella vektorilla. Ilmeisesti tällainen tuote on jokin numero.

Harkitse sekatuotteen ominaisuuksia.

1. geometrinen tunne sekoitettu tuote. 3 vektorin sekatulo merkkiin asti on yhtä suuri kuin näille vektoreille rakennetun suuntaissärmiön tilavuus, kuten reunoilla, ts. .

   Siten ja .

   

   Todiste. Siirretään vektoreita yhteisestä origosta ja rakennetaan suuntaissärmiö. Merkitään ja huomautetaan, että . Skalaaritulon määritelmän mukaan

   Olettaen että ja merkitsemällä läpi h suuntaissärmiön korkeus, löydämme .

   Siten klo

   Jos , sitten ja . Siksi,.

   Yhdistämällä nämä molemmat tapaukset, saamme tai .

   Erityisesti tämän ominaisuuden todistuksesta seuraa, että jos vektoreiden kolmoisosa on oikea, niin sekatulo ja jos se on vasen, niin .

2. Kaikille vektoreille , tasa-arvo

   Tämän ominaisuuden todiste seuraa ominaisuudesta 1. On todellakin helppo osoittaa, että ja . Lisäksi merkit "+" ja "-" otetaan samanaikaisesti, koska vektorien ja ja ja väliset kulmat ovat molemmat teräviä tai tylpäitä.

3. Kun mitkä tahansa kaksi tekijää vaihdetaan keskenään, sekatuote vaihtaa merkkiä.

   Todellakin, jos tarkastelemme sekatuotetta , niin esimerkiksi tai

4. Sekatulo silloin ja vain, jos yksi tekijöistä on nolla tai vektorit ovat samassa tasossa.

   Todiste.

   Siten välttämätön ja riittävä ehto 3 vektorin komplanaaruudelle on niiden sekatuotteen yhtäläisyys nollaan. Lisäksi tästä seuraa, että kolme vektoria muodostavat kantaa avaruudessa, jos .

   Jos vektorit annetaan koordinaattimuodossa, voidaan osoittaa, että niiden sekatulo löytyy kaavasta:

   .

   Siten sekoitettu tulo on yhtä suuri kuin kolmannen kertaluvun determinantti, jonka ensimmäinen rivi sisältää ensimmäisen vektorin koordinaatit, toinen rivi sisältää toisen vektorin koordinaatit ja kolmas rivi sisältää kolmannen vektorin koordinaatit.

   Esimerkkejä.

ANALYYTTINEN GEOMETRIA AVARUUSSA

Yhtälö F(x, y, z)= 0 määrittää avaruudessa Oxyz jokin pinta, ts. niiden pisteiden sijainti, joiden koordinaatit x, y, z täyttää tämän yhtälön. Tätä yhtälöä kutsutaan pintayhtälöksi ja x, y, z– nykyiset koordinaatit.

Usein pintaa ei kuitenkaan määritellä yhtälöllä, vaan joukkona avaruuden pisteitä, joilla on jokin ominaisuus. Tässä tapauksessa on löydettävä pinnan yhtälö sen geometristen ominaisuuksien perusteella.

LENTO.

NORMAALI TASOVEKTORI.

TIETTYN PISTEEN LÄPIVÄN TASON YHTÄLÖ

Tarkastellaan mielivaltaista tasoa σ avaruudessa. Sen sijainti määritetään asettamalla vektori, joka on kohtisuorassa tätä tasoa vastaan, ja jokin kiinteä piste M0(x0, v 0, z0) makaa tasossa σ.

Tasoon σ nähden kohtisuoraa vektoria kutsutaan normaali tämän tason vektori. Olkoon vektorilla koordinaatit.

Johdetaan yhtälö annetun pisteen läpi kulkevalle tasolle σ M0 ja jolla on normaali vektori . Tätä varten otetaan mielivaltainen piste tasolta σ M(x, y, z) ja harkitse vektoria .

Mihin tahansa kohtaan M Siksi niiden skalaaritulo on nolla. Tämä tasa-arvo on ehto, että kohta MО σ. Se on voimassa tämän tason kaikissa pisteissä ja rikotaan heti pisteen jälkeen M on tason σ ulkopuolella.

Jos merkitsemme sädevektorilla pisteitä M, on pisteen sädevektori M0, niin yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa

Tätä yhtälöä kutsutaan vektori tasoyhtälö. Kirjoitetaan se koordinaattimuotoon. Siitä lähtien

Joten olemme saaneet annetun pisteen läpi kulkevan tason yhtälön. Siten tason yhtälön muodostamiseksi sinun on tiedettävä normaalivektorin koordinaatit ja jonkin tasossa olevan pisteen koordinaatit.

Huomaa, että tason yhtälö on 1. asteen yhtälö nykyisten koordinaattien suhteen x, y ja z.

Esimerkkejä.

TASON YLEINEN YHTÄLÖ

Voidaan osoittaa, että mikä tahansa ensimmäisen asteen yhtälö suorakulmaisten koordinaattien suhteen x, y, z on jonkin tason yhtälö. Tämä yhtälö kirjoitetaan seuraavasti:

Ax+By+Cz+D=0

ja soitti yleinen yhtälö taso ja koordinaatit A, B, C tässä ovat tason normaalivektorin koordinaatit.

Tarkastellaan yleisen yhtälön erityistapauksia. Selvitetään, kuinka taso sijaitsee suhteessa koordinaattijärjestelmään, jos yhtälön yksi tai useampi kerroin katoaa.

A on akselin tason leikkaaman segmentin pituus Härkä. Samalla tavalla sen voi osoittaa b ja c ovat tarkasteltavan tason katkaisemien segmenttien pituudet akseleilla Oy ja Oz.

Tasojen muodostamiseen on kätevää käyttää tason yhtälöä segmenteissä.

7.1. Ristituotteen määritelmä

Kolme ei-koplanaarista vektoria a , b ja c, jotka on otettu esitetyssä järjestyksessä, muodostavat oikeanpuoleisen kolmion, jos kolmannen vektorin c lopusta lyhin käännös ensimmäisestä vektorista a toiseen vektoriin b nähdään vastapäivään, ja vasen jos myötäpäivään (katso kuva . kuusitoista).

Vektorien a ja b vektorituloa kutsutaan vektoriksi c, joka:

1. Kohtisuorassa vektoreihin a ja b, eli c ^ a ja c ^ b;

2. Sen pituus on numeerisesti yhtä suuri kuin vektoreihin a ja rakennetun suunnikkaan pinta-alab kuten sivuilla (katso kuva 17), ts.

3. Vektorit a , b ja c muodostavat oikeanpuoleisen kolmion.

Vektorituloa merkitään a x b tai [a,b]. Vektoritulon määritelmästä seuraavat suoraan seuraamani orttien väliset suhteet, j ja k(katso kuva 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Todistakaamme se esimerkiksi i xj \u003d k.

1) k ^ i , k ^ j;

2) |k |=1, mutta | i x j| = |i | |J| sin(90°)=1;

3) vektorit i , j ja k muodostavat oikeanpuoleisen kolmion (katso kuva 16).

7.2. Ristikkäisten tuotteiden ominaisuudet

1. Kun tekijät järjestetään uudelleen, vektoritulo vaihtaa etumerkkiä, ts. ja xb \u003d (b xa) (katso kuva 19).

Vektorit a xb ja b xa ovat kollineaarisia, niillä on samat moduulit (suunnikaspinta-ala pysyy ennallaan), mutta ovat vastakkaiseen suuntaan (vastakkaisen suuntaiset kolmiot a, b, a xb ja a, b, b x a). Tuo on axb = -(bxa).

2. Vektoritulolla on yhdistelmäominaisuus skalaaritekijän suhteen, eli l (a xb) \u003d (la) x b \u003d a x (l b).

Olkoon l >0. Vektori l (a xb) on kohtisuorassa vektoreihin a ja b nähden. Vektori ( l kirves b on myös kohtisuorassa vektoreihin a ja b(vektorit a, l mutta makaa samassa tasossa). Joten vektorit l(a xb) ja ( l kirves b kollineaarinen. On selvää, että heidän suunnansa ovat samat. Niillä on sama pituus:

Niin l(a xb)= l a xb. Se on todistettu samalla tavalla l<0.

3. Kaksi nollasta poikkeavaa vektoria a ja b ovat kollineaarisia silloin ja vain, jos niiden vektoritulo on yhtä suuri kuin nollavektori, eli ja ||b<=>ja xb \u003d 0.

Erityisesti i*i =j*j =k*k =0.

4. Vektoritulolla on jakautumisominaisuus:

(a+b) xs = a xs + b xs .

Hyväksy ilman todisteita.

7.3. Ristituotteen ilmaisu koordinaatteina

Käytämme vektoriristitulotaulukkoa i , j ja k:

jos lyhimmän polun suunta ensimmäisestä vektorista toiseen on sama kuin nuolen suunta, niin tulo on yhtä suuri kuin kolmas vektori, jos se ei täsmää, otetaan kolmas vektori miinusmerkillä.

Olkoon kaksi vektoria a =a x i +a y j+az k ja b = bx i+tekijä j+bz k. Etsitään näiden vektorien vektoritulo kertomalla ne polynomeina (vektoritulon ominaisuuksien mukaan):

Tuloksena oleva kaava voidaan kirjoittaa vielä lyhyemmäksi:

koska yhtälön (7.1) oikea puoli vastaa kolmannen kertaluvun determinantin laajennusta ensimmäisen rivin elementtien suhteen.Yhtälö (7.2) on helppo muistaa.

7.4 Jotkut ristiintuotteen sovellukset

Vektorien kollineaarisuuden määrittäminen

Suunnikkaan ja kolmion alueen löytäminen

Vektorien ristitulon määritelmän mukaan a ja b |a xb | =| a | * |b |sin g , eli S par = |a x b |. Ja siksi D S \u003d 1/2 | a x b |.

Voiman momentin määrittäminen pisteen ympärillä

Kohdistetaan voima pisteeseen A F = AB Anna olla O- jokin piste avaruudessa (katso kuva 20).

Fysiikasta tiedetään, että vääntömomentti F suhteessa pisteeseen O kutsutaan vektoriksi M , joka kulkee pisteen läpi O ja:

1) kohtisuorassa pisteiden läpi kulkevaan tasoon nähden O, A, B;

2) numeerisesti yhtä suuri kuin voiman ja olkapään tulo

3) muodostaa oikean kolmion vektoreilla OA ja A B .

Siksi M \u003d OA x F.

Lineaarisen pyörimisnopeuden löytäminen

Nopeus v kulmanopeudella pyörivän jäykän kappaleen piste M w kiinteän akselin ympärillä, määritetään Eulerin kaavalla v \u003d w x r, missä r \u003d OM, missä O on jokin akselin kiinteä piste (katso kuva 21).

Tällä oppitunnilla tarkastelemme kahta muuta operaatiota vektoreilla: vektorien ristitulo ja vektorien sekatulo (välitön linkki sitä tarvitseville). Ei haittaa, joskus käy niin, että täydellisen onnen vuoksi, lisäksi vektorien pistetulo, tarvitaan enemmän ja enemmän. Tällainen on vektoririippuvuus. Saattaa saada vaikutelma, että olemme joutumassa analyyttisen geometrian viidakkoon. Tämä ei ole totta. Tässä korkeamman matematiikan osiossa polttopuuta on yleensä vähän, paitsi ehkä tarpeeksi Pinocchiolle. Itse asiassa materiaali on hyvin yleinen ja yksinkertainen - tuskin vaikeampi kuin sama skalaarituote, vaikka tyypillisiä tehtäviä on vähemmän. Pääasia analyyttisessä geometriassa, kuten monet näkevät tai ovat jo nähneet, EI VÄÄRÄ LASKENTIA. Toista kuin loitsu, niin olet onnellinen =)

Jos vektorit kimaltelevat jossain kaukana, kuten salama horisontissa, sillä ei ole väliä, aloita oppitunnilla Vektorit tutille palauttaa tai hankkia uudelleen perustiedot vektoreista. Valmistautuneemmat lukijat voivat tutustua tietoihin valikoivasti, yritin kerätä mahdollisimman kattavan kokoelman esimerkkejä, joita käytännön työssä usein löytyy

Mikä tekee sinut onnelliseksi? Kun olin pieni, pystyin jongleeraamaan kahta ja jopa kolmea palloa. Se onnistui hyvin. Nyt ei tarvitse jongleerata ollenkaan, koska harkitsemme vain avaruusvektorit, ja tasaiset vektorit, joissa on kaksi koordinaattia, jätetään pois. Miksi? Näin nämä toiminnot syntyivät - vektorien vektori ja sekatulo määritellään ja toimivat kolmiulotteisessa avaruudessa. Helpompaa jo!

Tässä operaatiossa, samalla tavalla kuin skalaaritulossa, kaksi vektoria. Olkoon ne katoamattomia kirjaimia.

Itse toiminta merkitty seuraavalla tavalla: . Muitakin vaihtoehtoja on, mutta olen tottunut merkitsemään vektorien ristituloa tällä tavalla, hakasulkeissa ristin kanssa.

Ja heti kysymys: jos sisään vektorien pistetulo kaksi vektoria on mukana, ja tässä myös kerrotaan kaksi vektoria mikä on ero? Selkeä ero ensinnäkin TULOKSET:

Vektorien skalaaritulon tulos on NUMERO:

Vektorien ristitulon tulos on VEKTORI: , eli kerrotaan vektorit ja saadaan taas vektori. Suljettu klubi. Itse asiassa, tästä toiminnan nimi. Erilaisissa oppikirjoissa nimitykset voivat myös vaihdella, käytän kirjainta .

Ristituotteen määritelmä

Ensin tulee määritelmä kuvan kanssa, sitten kommentit.

Määritelmä: ristiintuote ei-kollineaarinen vektorit, otettu tässä järjestyksessä, on nimeltään VECTOR, pituus mikä on numeerisesti yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala, rakennettu näille vektoreille; vektori kohtisuorassa vektoreihin nähden, ja se on suunnattu siten, että pohjalla on oikea suunta:

Analysoimme määritelmää luiden mukaan, siellä on paljon mielenkiintoisia asioita!

Joten voimme korostaa seuraavia tärkeitä kohtia:

1) Lähdevektorit, merkitty punaisilla nuolilla, määritelmän mukaan ei kollineaarista. Kollineaaristen vektoreiden tapausta on syytä tarkastella hieman myöhemmin.

2) Vektorit otettu tiukassa järjestyksessä: – "a" kerrotaan "olla", ei "olla" - "a". Vektorin kertolaskutulos on VECTOR , joka on merkitty sinisellä. Jos vektorit kerrotaan käänteisessä järjestyksessä, niin saamme vektorin, joka on yhtä pitkä ja vastakkainen suuntaisesti (purinpunainen väri). Eli tasa-arvoa .

3) Tutustutaan nyt vektoritulon geometriseen merkitykseen. Tämä on erittäin tärkeä kohta! Sinisen vektorin PITUUS (ja siten purppuraisen vektorin ) on numeerisesti yhtä suuri kuin vektoreille rakennetun suunnikkaan ALUE. Kuvassa tämä suunnikas on varjostettu mustalla.

Huomautus : piirustus on kaavamainen, ja tietenkään ristitulon nimellispituus ei ole yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala.

Muistamme yhden geometrisista kaavoista: suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin vierekkäisten sivujen ja niiden välisen kulman sini tulo. Siksi edellä olevan perusteella kaava vektoritulon PITUUS laskemiseksi on pätevä:

Korostan, että kaavassa puhumme vektorin PITUUDESTA, emme itse vektorista. Mikä on käytännön merkitys? Ja merkitys on sellainen, että analyyttisen geometrian ongelmissa suunnikkaan pinta-ala löytyy usein vektoritulon käsitteen kautta:

Saamme toisen tärkeän kaavan. Suunnikkaan diagonaali (punainen katkoviiva) jakaa sen kahteen yhtä suureen kolmioon. Siksi vektoreille rakennetun kolmion pinta-ala (punainen varjostus) löytyy kaavasta:

4) Yhtä tärkeä tosiasia on, että vektori on ortogonaalinen vektoreihin nähden, eli . Tietysti myös vastakkaiseen suuntaan suunnattu vektori (punainen nuoli) on ortogonaalinen alkuperäisiin vektoreihin nähden.

5) Vektori on suunnattu siten, että perusta Sillä on oikein suuntautuminen. Oppitunnilla aiheesta siirtyminen uudelle perustalle Olen puhunut yksityiskohtaisesti tasosuuntaus, ja nyt selvitämme mikä avaruuden suunta on. Selitän sormillasi oikea käsi. Yhdistä henkisesti etusormi vektorilla ja keskisormi vektorin kanssa. Nimetön ja pikkusormi paina kämmenelle. Tuloksena peukalo- vektoritulo näyttää ylöspäin. Tämä on oikealle suuntautunut perusta (se on kuvassa). Vaihda nyt vektorit ( etu- ja keskisormi) paikoin tämän seurauksena peukalo kääntyy ympäri ja vektoritulo näyttää jo alas. Tämä on myös oikealle suuntautunut perusta. Ehkä sinulla on kysymys: millä perusteella on vasen suuntaus? "Määritä" samat sormet vasen käsi vektorit ja saat vasemman kanta- ja vasemman avaruuden suunnan (tässä tapauksessa peukalo sijaitsee alemman vektorin suunnassa). Kuvannollisesti puhuen nämä pohjat "kiertelevät" tai suuntaavat tilaa eri suuntiin. Ja tätä käsitettä ei pidä pitää kaukaa haettuna tai abstraktina - esimerkiksi tavallisin peili muuttaa tilan suuntaa, ja jos "vedät heijastuneen kohteen ulos peilistä", niin yleensä ei ole mahdollista yhdistä se "alkuperäiseen". Tuo muuten kolme sormea ​​peilin luo ja analysoi heijastus ;-)

... kuinka hyvä se on, että tiedät siitä nyt oikealle ja vasemmalle suunnattu perusteet, koska joidenkin luennoitsijoiden lausunnot suunnanmuutoksesta ovat kauheita =)

Kollineaaristen vektorien vektoritulo

Määritelmä on työstetty yksityiskohtaisesti, on vielä selvitettävä, mitä tapahtuu, kun vektorit ovat kollineaarisia. Jos vektorit ovat kollineaarisia, ne voidaan sijoittaa yhdelle suoralle ja suunnikkaamme myös "taittuu" yhdeksi suoraksi. Sellaisten alue, kuten matemaatikot sanovat, rappeutunut suunnikas on nolla. Sama seuraa kaavasta - nollan tai 180 asteen sini on yhtä suuri kuin nolla, mikä tarkoittaa, että alue on nolla

Eli jos , niin ja . Huomaa, että ristitulo itse on yhtä suuri kuin nollavektori, mutta käytännössä tämä usein jätetään huomiotta ja kirjoitetaan, että se on myös nolla.

Erikoistapaus on vektorin ja itsensä vektoritulo:

Ristitulon avulla voit tarkistaa kolmiulotteisten vektorien kollineaarisuuden ja analysoimme myös tämän ongelman mm.

Käytännön esimerkkien ratkaisemiseksi se voi olla tarpeen trigonometrinen taulukko löytääksesi sinien arvot siitä.

No, sytytetään tulipalo:

Esimerkki 1

a) Laske vektorien vektoritulon pituus jos

b) Etsi vektoreille rakennetun suunnikkaan pinta-ala, jos

Päätös: Ei, tämä ei ole kirjoitusvirhe, tein tarkoituksella ehtokohteiden alkutiedot samanlaisiksi. Koska ratkaisujen suunnittelu on erilainen!

a) Ehdon mukaan se on löydettävä pituus vektori (vektoritulo). Vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Koska pituudesta kysyttiin, ilmoitamme vastauksessa mitat - yksiköt.

b) Ehdon mukaan se on löydettävä neliö- vektoreihin rakennettu suunnikas. Tämän suuntaviivan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin ristitulon pituus:

Vastaus:

Huomaa, että vektorituloa koskevassa vastauksessa ei puhuta ollenkaan, meiltä kysyttiin hahmon alue vastaavasti mitat ovat neliöyksiköitä.

Katsomme aina MITÄ ehto edellyttää, ja sen perusteella muotoilemme asia selvä vastaus. Se voi tuntua kirjaimellisuudelle, mutta opettajien joukossa on tarpeeksi kirjailijoita, ja tehtävä hyvillä mahdollisuuksilla palautetaan tarkistettavaksi. Vaikka tämä ei ole erityisen jännittynyt nitpicki - jos vastaus on väärä, syntyy vaikutelma, että henkilö ei ymmärrä yksinkertaisia ​​asioita ja/tai ei ole perehtynyt tehtävän olemukseen. Tämä hetki tulee aina pitää kurissa, ratkaista mikä tahansa ongelma korkeammassa matematiikan ja myös muissa aineissa.

Mihin iso en-kirjain katosi? Periaatteessa se voisi olla lisäksi kiinni ratkaisussa, mutta ennätyksen lyhentämiseksi en tehnyt. Toivottavasti kaikki ymmärtävät sen ja tarkoittavat samaa asiaa.

Suosittu esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta:

Esimerkki 2

Etsi vektoreille rakennetun kolmion pinta-ala, jos

Kaava kolmion alueen löytämiseksi vektoritulon kautta on annettu määritelmän kommenteissa. Ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Käytännössä tehtävä on todella yleinen, kolmiot voidaan yleensä kiduttaa.

Muiden ongelmien ratkaisemiseksi tarvitsemme:

Vektorien ristitulon ominaisuudet

Olemme jo tarkastelleet joitain vektorituotteen ominaisuuksia, mutta sisällytän ne tähän luetteloon.

Mielivaltaisille vektoreille ja mielivaltaiselle luvulle seuraavat ominaisuudet ovat tosia:

1) Muissa tietolähteissä tätä kohtaa ei yleensä eroteta ominaisuuksista, mutta se on käytännön kannalta erittäin tärkeä. Joten anna sen olla.

2) - kiinteistöstä on myös keskusteltu yllä, joskus sitä kutsutaan antikommutatiivisuus. Toisin sanoen vektorien järjestyksellä on väliä.

3) - yhdistelmä tai assosiatiivista vektoritulolakeja. Vakiot saadaan helposti pois vektoritulon rajoista. Oikeasti, mitä he tekevät siellä?

4) - jakelu tai jakelu vektoritulolakeja. Myöskään kiinnikkeiden avaamisessa ei ole ongelmia.

Harkitse esittelynä lyhyt esimerkki:

Esimerkki 3

Etsi jos

Päätös: Ehdon mukaan on jälleen löydettävä vektoritulon pituus. Maalataan pienoismallimme:

(1) Assosiatiivisten lakien mukaan otamme pois vakiot vektoritulon rajojen yli.

(2) Otamme vakion pois moduulista, kun taas moduuli "syö" miinusmerkin. Pituus ei voi olla negatiivinen.

(3) Seuraava on selvää.

Vastaus:

On aika heittää puita tuleen:

Esimerkki 4

Laske vektoreille rakennetun kolmion pinta-ala, jos

Päätös: Etsi kolmion pinta-ala kaavan avulla . Ongelmana on, että vektorit "ce" ja "te" esitetään itse vektoreiden summana. Tässä oleva algoritmi on vakio ja muistuttaa jonkin verran oppitunnin esimerkkejä 3 ja 4. Vektorien pistetulo. Jaa se kolmeen vaiheeseen selvyyden vuoksi:

1) Ensimmäisessä vaiheessa ilmaisemme vektorituotteen vektorituotteen kautta, itse asiassa, ilmaista vektoria vektorilla. Pituudesta ei vielä sanaakaan!

(1) Korvaamme vektoreiden lausekkeet.

(2) Distributiivisia lakeja käyttäen avataan sulut polynomien kertolaskusäännön mukaisesti.

(3) Assosiatiivisia lakeja käyttämällä otamme pois kaikki vakiot vektoritulojen ulkopuolella. Vähäisellä kokemuksella toiminnot 2 ja 3 voidaan suorittaa samanaikaisesti.

(4) Ensimmäinen ja viimeinen termi ovat yhtä kuin nolla (nollavektori) miellyttävästä ominaisuudesta johtuen. Toisessa termissä käytämme vektorituotteen:

(5) Esittelemme samanlaisia ​​termejä.

Tämän seurauksena vektori osoittautui ilmennetyksi vektorin kautta, mikä oli se, mitä vaadittiin saavuttamiseksi:

2) Toisessa vaiheessa löydämme tarvitsemamme vektoritulon pituuden. Tämä toiminto on samanlainen kuin esimerkki 3:

3) Etsi haluamasi kolmion pinta-ala:

Ratkaisun vaiheet 2-3 voitaisiin järjestää yhdelle riville.

Vastaus:

Tarkasteltu ongelma on melko yleinen testeissä, tässä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta:

Esimerkki 5

Etsi jos

Lyhyt ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa. Katsotaan kuinka tarkkaavainen olit tutkiessasi aiempia esimerkkejä ;-)

Koordinaattien vektorien ristitulo

Kaava on todella yksinkertainen: kirjoitamme koordinaattivektorit determinantin yläriville, "pakkaamme" vektoreiden koordinaatit toiselle ja kolmannelle riville ja laitamme tiukassa järjestyksessä- ensin vektorin "ve" koordinaatit, sitten vektorin "double-ve" koordinaatit. Jos vektorit on kerrottava eri järjestyksessä, tulee myös rivit vaihtaa:

Esimerkki 10

Tarkista, ovatko seuraavat avaruusvektorit kollineaarisia:
a)
b)

Päätös: Testi perustuu yhteen tämän oppitunnin väittämiin: jos vektorit ovat kollineaarisia, niin niiden ristitulo on nolla (nollavektori): .

a) Etsi vektoritulo:

Joten vektorit eivät ole kollineaarisia.

b) Etsi vektoritulo:

Vastaus: a) ei kollineaarinen, b)

Tässä on ehkä kaikki perustiedot vektorien vektoritulosta.

Tämä osa ei ole kovin suuri, koska vektoreiden sekatuloa käytettäessä on vähän ongelmia. Itse asiassa kaikki lepää määritelmän, geometrisen merkityksen ja muutaman työkaavan varassa.

Vektorien sekatulo on kolmen vektorin tulo:

Näin he asettuivat jonoon kuin juna ja odottavat, he eivät voi odottaa, kunnes heidät lasketaan.

Ensin taas määritelmä ja kuva:

Määritelmä: Sekoitettu tuote ei-tasossa vektorit, otettu tässä järjestyksessä, kutsutaan suuntaissärmiön tilavuus, rakennettu näille vektoreille, varustettu "+"-merkillä, jos kanta on oikea, ja "-"-merkillä, jos kanta on vasen.

Tehdään piirustus. Meille näkymätön viivat piirretään katkoviivalla:

Sukellaanpa määritelmään:

2) Vektorit otettu tietyssä järjestyksessä, eli vektorien permutaatio tuotteessa, kuten saatat arvata, ei jää ilman seurauksia.

3) Ennen kuin kommentoin geometrista merkitystä, huomautan ilmeisen tosiasian: vektorien sekatulo on NUMERO: . Oppikirjallisuudessa muotoilu voi olla hieman erilainen, minulla oli tapana nimetä sekatuotteen läpi, ja laskelmien tulosta kirjaimella "pe".

A-priory sekoitettu tuote on suuntaissärmiön tilavuus, rakennettu vektoreille (kuvio on piirretty punaisilla vektoreilla ja mustilla viivoilla). Eli luku on yhtä suuri kuin annetun suuntaissärmiön tilavuus.

Huomautus : Piirustus on kaavamainen.

4) Älkäämme enää vaivautuko kantajan ja tilan orientaation käsitteeseen. Loppuosan tarkoitus on, että äänenvoimakkuuteen voidaan lisätä miinusmerkki. Yksinkertaisesti sanottuna sekoitettu tuote voi olla negatiivinen: .

Kaava vektoreihin rakennetun suuntaissärmiön tilavuuden laskemiseksi seuraa suoraan määritelmästä.

Tässä artikkelissa käsittelemme kahden vektorin ristitulon käsitettä. Annamme tarvittavat määritelmät, kirjoitamme kaavan vektoritulon koordinaattien löytämiseksi, luettelemme ja perustelemme sen ominaisuudet. Sen jälkeen tarkastellaan kahden vektorin ristitulon geometrista merkitystä ja tarkastellaan erilaisten tyypillisten esimerkkien ratkaisuja.

Sivulla navigointi.

Vektoritulon määritelmä.

Ennen kuin annamme ristitulon määritelmän, tarkastellaan vektoreiden järjestetyn kolmikon orientaatiota kolmiulotteisessa avaruudessa.

Siirretään vektoreita yhdestä pisteestä. Vektorin suunnasta riippuen kolmio voi olla oikea tai vasen. Katsotaan vektorin lopusta, kuinka lyhin kääntyy vektorista . Jos lyhin kierto on vastapäivään, kutsutaan vektorien kolmiosaa oikein, muuten - vasemmalle.

Otetaan nyt kaksi ei-kollineaarista vektoria ja . Siirrä sivuun vektorit ja pisteestä A. Muodostetaan jokin vektori, joka on kohtisuorassa ja ja samaan aikaan. On selvää, että kun rakennamme vektoria, voimme tehdä kaksi asiaa, antamalla sille joko yhden suunnan tai päinvastaisen (katso kuva).

Vektorin suunnasta riippuen vektoreiden järjestyskolmoinen voi olla oikea tai vasen.

Joten pääsimme lähelle vektoritulon määritelmää. Se on annettu kahdelle vektorille, jotka on annettu kolmiulotteisen avaruuden suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä.

Määritelmä.

Kahden vektorin vektoritulo ja , annettuna kolmiulotteisen avaruuden suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä, kutsutaan vektoriksi siten, että

Ristitulo vektorit ja on merkitty .

Vektorituotteen koordinaatit.

Nyt annamme vektoritulon toisen määritelmän, jonka avulla voimme löytää sen koordinaatit annettujen vektorien koordinaateista ja.

Määritelmä.

Kolmiulotteisen avaruuden suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä kahden vektorin ristitulo ja on vektori , jossa ovat koordinaattivektorit.

Tämä määritelmä antaa meille ristitulon koordinaattimuodossa.

Vektoritulo esitetään kätevästi kolmannen kertaluvun neliömatriisin determinanttina, jonka ensimmäinen rivi on orts, toinen rivi sisältää vektorin koordinaatit ja kolmas rivi sisältää vektorin koordinaatit tietyssä järjestyksessä. suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä:

Jos laajennetaan tätä determinanttia ensimmäisen rivin elementeillä, saadaan yhtäläisyys vektoritulon määritelmästä koordinaateissa (katso tarvittaessa artikkeli):

On huomattava, että ristitulon koordinaattimuoto on täysin yhdenmukainen tämän artikkelin ensimmäisessä kappaleessa annetun määritelmän kanssa. Lisäksi nämä kaksi ristiintuotteen määritelmää ovat samanarvoisia. Todiste tästä tosiasiasta löytyy artikkelin lopussa mainitusta kirjasta.

Vektorituotteen ominaisuudet.

Koska vektoritulo koordinaateissa voidaan esittää matriisin determinanttina, voidaan seuraavaa perustella helposti sen perusteella vektorituotteen ominaisuudet:

Todistetaan esimerkkinä vektoritulon antikommutatiivisuusominaisuus.

A-priory ja . Tiedämme, että matriisin determinantin arvo käännetään, kun kaksi riviä vaihdetaan, joten , joka todistaa vektorituotteen.

Vektorituote - esimerkkejä ja ratkaisuja.

Periaatteessa tehtäviä on kolmenlaisia.

Ensimmäisen tyyppisissä tehtävissä on annettu kahden vektorin pituudet ja niiden välinen kulma, ja täytyy löytää ristitulon pituus. Tässä tapauksessa käytetään kaavaa .

Esimerkki.

Selvitä vektorien ristitulon pituus ja jos tiedossa .

Päätös.

Tiedämme määritelmästä, että vektorien ristitulon pituus ja on yhtä suuri kuin vektorien pituuksien tulo ja kerrotaan niiden välisen kulman sinillä, joten .

Vastaus:

.

Toisen tyyppiset ongelmat liittyvät vektoreiden koordinaatteihin, joissa vektorituloa, sen pituutta tai jotain muuta etsitään annettujen vektorien koordinaattien kautta. ja .

Täällä on tarjolla monia erilaisia ​​vaihtoehtoja. Esimerkiksi ei vektorien ja koordinaatit, vaan niiden laajennukset muodon koordinaattivektoreissa ja , tai vektorit ja voidaan määrittää niiden alku- ja loppupisteiden koordinaatteilla.

Tarkastellaan tyypillisiä esimerkkejä.

Esimerkki.

Kaksi vektoria on annettu suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä . Etsi heidän vektoritulonsa.

Päätös.

Toisen määritelmän mukaan kahden koordinaatin vektorin ristitulo kirjoitetaan seuraavasti:

Olisimme päässeet samaan tulokseen, jos olisimme kirjoittaneet vektoritulon determinantin kautta

Vastaus:

.

Esimerkki.

Etsi pituus rajat tuotteen vektorit ja , Missä ovat orts on suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä.

Päätös.

Etsi ensin vektoritulon koordinaatit tietyssä suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä.

Koska vektoreilla ja on koordinaatit ja vastaavasti (katso tarvittaessa vektorin artikkelikoordinaatit suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa), niin ristitulon toisella määritelmällä meillä on

Eli vektoritulo on koordinaatit annetussa koordinaattijärjestelmässä.

Löydämme vektoritulon pituuden sen koordinaattien neliöiden summan neliöjuurena (saimme tämän vektorin pituuden kaavan osiossa vektorin pituuden löytämisestä):

Vastaus:

.

Esimerkki.

Kolmen pisteen koordinaatit on annettu suorakulmaisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa. Etsi jokin vektori, joka on kohtisuorassa ja samanaikaisesti.

Päätös.

Vektorit ja niillä on koordinaatit ja vastaavasti (katso artikkeli vektorin koordinaattien löytämisestä pisteiden koordinaattien kautta). Jos löydämme vektorien ja vektoritulon, niin se on määritelmän mukaan vektori, joka on kohtisuorassa sekä kohti että vastaan, eli se on ratkaisu ongelmaamme. Etsitään hänet

Vastaus:

on yksi kohtisuorassa olevista vektoreista.

Kolmannen tyyppisissä tehtävissä tarkastetaan vektorien vektoritulon ominaisuuksien käyttötaitoa. Kun ominaisuudet on otettu käyttöön, sovelletaan vastaavia kaavoja.

Esimerkki.

Vektorit ja ovat kohtisuorassa ja niiden pituus on 3 ja 4. Etsi vektoritulon pituus .

Päätös.

Vektoritulon distributiivisuusominaisuuden perusteella voimme kirjoittaa

Assosiatiivisen ominaisuuden perusteella otamme pois numeeriset kertoimet vektoritulojen etumerkille viimeisessä lausekkeessa:

Vektorituotteet ja ovat nolla, koska ja , sitten.

Koska vektoritulo on antikommutatiivinen, niin .

Joten vektoritulon ominaisuuksia käyttämällä olemme tulleet tasa-arvoon .

Ehdolla vektorit ja ovat kohtisuorassa, eli niiden välinen kulma on yhtä suuri kuin . Eli meillä on kaikki tiedot tarvittavan pituuden löytämiseksi

Vastaus:

.

Vektoritulon geometrinen merkitys.

Määritelmän mukaan vektorien ristitulon pituus on . Ja lukion geometriakurssilta tiedämme, että kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet kolmion kahden sivun pituuden ja niiden välisen kulman sinin tulosta. Siksi ristitulon pituus on kaksi kertaa kolmion pinta-ala, jossa on vektorien sivut ja , jos ne siirretään yhdestä pisteestä. Toisin sanoen vektorien ristitulon pituus ja on yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala, jonka sivut ja ja niiden välinen kulma on yhtä suuri kuin . Tämä on vektoritulon geometrinen merkitys.