Opetusvideo 2: Pyramidi ongelma. Pyramidin tilavuus

Opetusvideo 3: Pyramidi ongelma. Oikea pyramidi

Luento: Pyramidi, sen pohja, kylkiluut, korkeus, sivupinta; kolmion muotoinen pyramidi; tavallinen pyramidi

Pyramidi on kolmiulotteinen kappale, jonka pohjassa on monikulmio ja sen kaikki pinnat koostuvat kolmioista.

Pyramidin erikoistapaus on kartio, jonka pohjassa on ympyrä.

Katsotaanpa pyramidin pääelementtejä:

Apothem- tämä on segmentti, joka yhdistää pyramidin yläosan sivupinnan alareunan keskikohtaan. Toisin sanoen tämä on pyramidin reunan korkeus.

Kuvassa näet kolmiot ADS, ABS, BCS, CDS. Jos tarkastelet nimiä tarkasti, näet, että jokaisen kolmion nimessä on yksi yhteinen kirjain - S. Tämä tarkoittaa, että kaikki sivupinnat (kolmiot) yhtyvät yhteen pisteeseen, jota kutsutaan pyramidin huipuksi. .

Segmentti OS, joka yhdistää kärjen pohjan diagonaalien leikkauspisteeseen (kolmioiden tapauksessa - korkeuksien leikkauspisteessä) on ns. pyramidin korkeus.

Diagonaalileikkaus on taso, joka kulkee pyramidin huipulta, samoin kuin yksi pohjan diagonaaleista.

Koska pyramidin sivupinta koostuu kolmioista, sivupinnan kokonaispinta-alan löytämiseksi on tarpeen löytää kunkin pinnan pinta-ala ja laskea ne yhteen. Kasvojen lukumäärä ja muoto riippuvat pohjassa olevan monikulmion sivujen muodosta ja koosta.

Pyramidin ainoa taso, joka ei kuulu sen kärkeen, on nimeltään perusta pyramidit.

Kuvasta näemme, että kanta on suunnikkaampi, mutta se voi olla mikä tahansa mielivaltainen monikulmio.

Ominaisuudet:

Tarkastellaan ensimmäistä pyramidin tapausta, jossa sen reunat ovat samanpituiset:

• Tällaisen pyramidin pohjan ympärille voidaan piirtää ympyrä. Jos heijastat tällaisen pyramidin huipun, sen projektio sijaitsee ympyrän keskellä.
• Pyramidin pohjan kulmat ovat samat molemmilla puolilla.
• Tässä tapauksessa riittävänä edellytyksenä sille, että pyramidin pohjan ympärille voidaan kuvata ympyrä ja että kaikki reunat ovat eripituisia, voidaan pitää samoja kulmia alustan ja pintojen jokaisen reunan välillä.

Jos törmäät pyramidiin, jossa sivupintojen ja pohjan väliset kulmat ovat yhtä suuret, seuraavat ominaisuudet ovat totta:

• Pystyt kuvaamaan pyramidin pohjan ympärillä olevan ympyrän, jonka huippu heijastetaan tarkalleen keskelle.
• Jos vedät korkeuden molemmat sivureunat pohjaan, ne ovat yhtä pitkiä.
• Tällaisen pyramidin sivupinta-alan löytämiseksi riittää, kun etsit pohjan kehä ja kerrotaan se puolella korkeuden pituudella.
• S bp = 0,5P oc H.
• Pyramidin tyypit.
• Riippuen siitä, mikä monikulmio sijaitsee pyramidin pohjalla, ne voivat olla kolmion muotoisia, nelikulmaisia ​​jne. Jos pyramidin pohjassa on säännöllinen monikulmio (samanpuoleinen), tällaista pyramidia kutsutaan säännölliseksi.

Säännöllinen kolmiopyramidi

Tämä opetusvideo auttaa käyttäjiä saamaan käsityksen Pyramid-teemasta. Oikea pyramidi. Tällä oppitunnilla tutustumme pyramidin käsitteeseen ja annamme sille määritelmän. Mietitään, mikä on tavallinen pyramidi ja mitä ominaisuuksia sillä on. Sitten todistetaan lause säännöllisen pyramidin sivupinnasta.

Tällä oppitunnilla tutustumme pyramidin käsitteeseen ja annamme sille määritelmän.

Harkitse monikulmiota A 1 A 2...A n, joka sijaitsee α-tasossa, ja piste P, joka ei ole α-tasossa (kuva 1). Yhdistetään pisteet P huippujen kanssa A 1, A 2, A 3, … A n. Saamme n kolmiot: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R ja niin edelleen.

Määritelmä. Polyhedron RA 1 A 2 ...A n, koostuu n-neliö A 1 A 2...A n Ja n kolmiot RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 kutsutaan n-hiilipyramidi. Riisi. 1.

Riisi. 1

Tarkastellaan nelikulmaista pyramidia PABCD(Kuva 2).

R- pyramidin huippu.

ABCD- pyramidin pohja.

RA- sivuribi.

AB- pohjajousi.

Kohdasta R pudotetaan kohtisuora RN perustasolle ABCD. Piirretty kohtisuora on pyramidin korkeus.

Riisi. 2

Pyramidin koko pinta koostuu sivupinnasta eli kaikkien sivupintojen pinta-alasta ja pohjan pinta-alasta:

S täysi = S puoli + S pää

Pyramidia kutsutaan oikeaksi, jos:

• sen kanta on säännöllinen monikulmio;
• segmentti, joka yhdistää pyramidin huipun pohjan keskustaan, on sen korkeus.

Selitys säännöllisen nelikulmaisen pyramidin esimerkillä

Tarkastellaan säännöllistä nelikulmaista pyramidia PABCD(Kuva 3).

R- pyramidin huippu. Pyramidin pohja ABCD- säännöllinen nelikulmio, eli neliö. Piste NOIN, diagonaalien leikkauspiste, on neliön keskipiste. tarkoittaa, RO on pyramidin korkeus.

Riisi. 3

Selitys: oikein n Kolmiossa piirretyn ympyrän keskipiste ja ympyrän keskipiste ovat samat. Tätä keskustaa kutsutaan monikulmion keskipisteeksi. Joskus he sanovat, että kärki heijastetaan keskelle.

Sen kärjestä vedetyn säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeutta kutsutaan apoteemi ja on nimetty h a.

1. säännöllisen pyramidin kaikki sivureunat ovat yhtä suuret;

2. Sivupinnat ovat tasakylkisiä kolmioita.

Annamme todisteen näistä ominaisuuksista käyttämällä säännöllisen nelikulmaisen pyramidin esimerkkiä.

Annettu: PABCD- säännöllinen nelikulmainen pyramidi,

ABCD- neliö,

RO- pyramidin korkeus.

Todistaa:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Katso kuva. 4.

Riisi. 4

Todiste.

RO- pyramidin korkeus. Eli suoraan RO kohtisuorassa tasoon nähden ABC ja siksi suora JSC, VO, SO Ja TEHDÄ makaa siinä. Kolmiot siis ROA, ROV, ROS, ROD- suorakaiteen muotoinen.

Harkitse neliötä ABCD. Neliön ominaisuuksista seuraa, että AO = VO = CO = TEHDÄ.

Sitten oikeat kolmiot ROA, ROV, ROS, ROD jalka RO- yleiset ja jalat JSC, VO, SO Ja TEHDÄ ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa, että nämä kolmiot ovat yhtä suuret kahdella sivulla. Kolmioiden yhtäläisyydestä seuraa osien yhtäläisyys, RA = PB = RS = PD. Kohta 1 on todistettu.

Segmentit AB Ja Aurinko ovat yhtä suuret, koska ne ovat saman neliön sivut, RA = PB = RS. Kolmiot siis AVR Ja VSR - tasakylkisiä ja yhtä suuria kolmelta sivulta.

Samalla tavalla löydämme kolmiot ABP, VCP, CDP, DAP ovat tasakylkisiä ja yhtä suuria, kuten 2 kohdassa vaaditaan.

Säännöllisen pyramidin sivupinnan pinta-ala on puolet pohjan kehän ja apoteemin tulosta:

Tämän todistamiseksi valitaan tavallinen kolmiopyramidi.

Annettu: RAVS- säännöllinen kolmiopyramidi.

AB = BC = AC.

RO- korkeus.

Todistaa: . Katso kuva. 5.

Riisi. 5

Todiste.

RAVS- säännöllinen kolmiopyramidi. Tuo on AB= AC = BC. Antaa NOIN- kolmion keskipiste ABC, Sitten RO on pyramidin korkeus. Pyramidin pohjalla on tasasivuinen kolmio ABC. huomaa, että .

Kolmiot RAV, RVS, RSA- yhtäläiset tasakylkiset kolmiot (ominaisuuden mukaan). Kolmion muotoisella pyramidilla on kolme sivupintaa: RAV, RVS, RSA. Tämä tarkoittaa, että pyramidin sivupinnan pinta-ala on:

S-puoli = 3S RAW

Lause on todistettu.

Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin pohjaan piirretyn ympyrän säde on 3 m, pyramidin korkeus 4 m. Selvitä pyramidin sivupinnan pinta-ala.

Annettu: säännöllinen nelikulmainen pyramidi ABCD,

ABCD- neliö,

r= 3 m,

RO- pyramidin korkeus,

RO= 4 m.

löytö: S-puoli. Katso kuva. 6.

Riisi. 6

Ratkaisu.

Todistetun lauseen mukaan .

Etsitään ensin pohjan puoli AB. Tiedämme, että säännöllisen nelikulmaisen pyramidin pohjaan piirretyn ympyrän säde on 3 m.

Sitten, m.

Etsi neliön ympärysmitta ABCD jonka sivu on 6 m:

Harkitse kolmiota BCD. Antaa M- keskellä sivua DC. Koska NOIN-keskellä BD, Tuo (m).

Kolmio DPC- tasakylkisiä. M-keskellä DC. Tuo on, RM- mediaani ja siten kolmion korkeus DPC. Sitten RM- pyramidin apoteemi.

RO- pyramidin korkeus. Siis suoraan RO kohtisuorassa tasoon nähden ABC ja siksi suora OM, makaa siinä. Etsitään apoteemi RM suorakulmaisesta kolmiosta ROM.

Nyt voimme löytää pyramidin sivupinnan:

Vastaus: 60 m2.

Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin pohjan ympärille piirretyn ympyrän säde on yhtä suuri kuin m. Sivupinta-ala on 18 m 2. Etsi apoteemin pituus.

Annettu: ABCP- säännöllinen kolmion muotoinen pyramidi,

AB = BC = SA,

R= m,

S-puoli = 18 m2.

löytö: . Katso kuva. 7.

Riisi. 7

Ratkaisu.

Suorakulmaisessa kolmiossa ABC Rajatun ympyrän säde on annettu. Etsitään puoli AB tämä kolmio käyttämällä sinilakia.

Kun tiedämme säännöllisen kolmion sivun (m), löydämme sen kehän.

Lauseen mukaan säännöllisen pyramidin sivupinta-alasta, missä h a- pyramidin apoteemi. Sitten:

Vastaus: 4 m.

Joten tarkastelimme mitä pyramidi on, mikä säännöllinen pyramidi on, ja todistimme lauseen säännöllisen pyramidin sivupinnasta. Seuraavalla oppitunnilla tutustumme katkaistuun pyramidiin.

Bibliografia

1. Geometria. Luokat 10-11: oppikirja yleisten oppilaitosten opiskelijoille (perus- ja erikoistasot) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. painos, rev. ja ylimääräisiä - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.
2. Geometria. Luokat 10-11: Oppikirja yleiskouluille / Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 s.: ill.
3. Geometria. Arvosana 10: Oppikirja yleissivistävälle oppilaitokselle, jossa on matematiikan syvällinen ja erikoistunut opiskelu /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. painos, stereotypia. - M.: Bustard, 008. - 233 s.: ill.

1. Internet-portaali "Yaklass" ()
2. Internet-portaali "Pedagogisten ideoiden festivaali "Syyskuun ensimmäinen" ()
3. Internet-portaali "Slideshare.net" ()

Kotitehtävät

1. Voiko säännöllinen monikulmio olla epäsäännöllisen pyramidin kanta?
2. Todista, että säännöllisen pyramidin disjunktit reunat ovat kohtisuorassa.
3. Laske säännöllisen nelikulmaisen pyramidin pohjan sivussa olevan dihedraalisen kulman arvo, jos pyramidin apoteemi on yhtä suuri kuin sen kannan sivu.
4. RAVS- säännöllinen kolmiopyramidi. Muodosta dihedraalisen kulman lineaarinen kulma pyramidin pohjaan.

Määritelmä. Sivureuna- tämä on kolmio, jossa yksi kulma on pyramidin huipulla ja vastakkainen puoli osuu pohjan (polygonin) sivuun.

Määritelmä. Sivukylkiluut- nämä ovat sivupintojen yhteiset puolet. Pyramidilla on yhtä monta reunaa kuin monikulmion kulmia.

Määritelmä. Pyramidin korkeus- tämä on kohtisuora, joka on laskettu pyramidin ylhäältä alas.

Määritelmä. Apothem- tämä on kohtisuora pyramidin sivupintaan nähden, laskettuna pyramidin huipulta pohjan sivulle.

Määritelmä. Diagonaalinen leikkaus- tämä on pyramidin poikkileikkaus tasosta, joka kulkee pyramidin huipun ja pohjan lävistäjän läpi.

Määritelmä. Oikea pyramidi on pyramidi, jonka kanta on säännöllinen monikulmio ja korkeus laskee pohjan keskelle.

Pyramidin tilavuus ja pinta-ala

Kaava. Pyramidin tilavuus pohjapinta-alan ja korkeuden läpi:

Pyramidin ominaisuudet

Jos kaikki sivureunat ovat yhtä suuret, pyramidin pohjan ympärille voidaan piirtää ympyrä, jonka pohjan keskipiste on sama kuin ympyrän keskusta. Myös ylhäältä pudonnut kohtisuora kulkee pohjan (ympyrän) keskustan läpi.

Jos kaikki sivureunat ovat yhtä suuret, ne ovat kallistettuina pohjan tasoon samoissa kulmissa.

Sivureunat ovat yhtä suuret, kun ne muodostavat yhtä suuret kulmat pohjan tason kanssa tai jos ympyrä voidaan kuvata pyramidin pohjan ympärillä.

Jos sivupinnat ovat vinossa pohjan tasoon nähden samassa kulmassa, niin pyramidin pohjaan voidaan kirjoittaa ympyrä ja pyramidin huippu heijastetaan sen keskustaan.

Jos sivupinnat ovat vinossa pohjan tasoon nähden samassa kulmassa, niin sivupintojen apoteemit ovat yhtä suuret.

Säännöllisen pyramidin ominaisuudet

1. Pyramidin huippu on yhtä kaukana jalustan kaikista kulmista.

2. Kaikki sivureunat ovat yhtä suuret.

3. Kaikki sivurivat ovat kaltevassa tasaisessa kulmassa alustaan ​​nähden.

4. Kaikkien sivupintojen apoteemit ovat yhtä suuret.

5. Kaikkien sivupintojen pinta-alat ovat yhtä suuret.

6. Kaikilla pinnoilla on samat kaksitahoiset (litteät) kulmat.

7. Pyramidin ympärillä voidaan kuvata pallo. Piirretyn pallon keskipiste on reunojen keskikohdan läpi kulkevien kohtisuorien leikkauspiste.

8. Voit sovittaa pallon pyramidiin. Piirretyn pallon keskipiste on reunan ja kannan välisestä kulmasta lähtevien puolittajien leikkauspiste.

9. Jos piirretyn pallon keskipiste on sama kuin rajatun pallon keskipiste, niin tasokulmien summa kärjessä on yhtä suuri kuin π tai päinvastoin, yksi kulma on yhtä suuri kuin π/n, missä n on luku pyramidin pohjan kulmista.

Pyramidin ja pallon välinen yhteys

Pallo voidaan kuvata pyramidin ympärillä, kun pyramidin juurella on monitahoinen, jonka ympärillä voidaan kuvata ympyrää (välttämätön ja riittävä ehto). Pallon keskipiste on pyramidin sivureunojen keskipisteiden läpi kohtisuorassa kulkevien tasojen leikkauspiste.

On aina mahdollista kuvata pallo minkä tahansa kolmion tai säännöllisen pyramidin ympärillä.

Pallo voidaan kirjoittaa pyramidiin, jos pyramidin sisäisten dihedraalisten kulmien puolittajatasot leikkaavat yhdessä pisteessä (välttämätön ja riittävä ehto). Tämä piste tulee olemaan pallon keskipiste.

Pyramidin kytkentä kartioon

Kartion sanotaan olevan kaiverrettu pyramidiin, jos sen kärjet ovat yhtenevät ja kartion kanta on kaiverrettu pyramidin pohjaan.

Pyramidiin voidaan kirjoittaa kartio, jos pyramidin apoteemit ovat yhtä suuret.

Kartion sanotaan olevan pyramidin ympärillä, jos sen kärjet ovat samat ja kartion kanta on rajattu pyramidin pohjan ympärille.

Kartiota voidaan kuvata pyramidin ympärillä, jos kaikki pyramidin sivureunat ovat yhtä suuret.

Pyramidin ja sylinterin välinen suhde

Pyramidia kutsutaan sylinteriin kirjoitetuksi, jos pyramidin yläosa on sylinterin yhdellä pohjalla ja pyramidin kanta on kaiverrettu sylinterin toiseen kantaan.

Sylinteri voidaan kuvata pyramidin ympärillä, jos ympyrä voidaan kuvata pyramidin pohjan ympärillä.

Tetraedrillä on neljä pintaa ja neljä kärkeä ja kuusi reunaa, joissa kahdella reunalla ei ole yhteisiä kärkipisteitä, mutta ne eivät kosketa.

Jokainen kärkipiste koostuu kolmesta muodostavasta pinnasta ja reunasta kolmiokulma.

Segmenttiä, joka yhdistää tetraedrin kärjen vastakkaisen pinnan keskustaan, kutsutaan tetraedrin mediaani(GM).

Bimediaan kutsutaan segmentiksi, joka yhdistää vastakkaisten reunojen keskipisteet, jotka eivät kosketa (KL).

Kaikki tetraedrin bimediaanit ja mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä (S). Tässä tapauksessa bimediaanit jaetaan puoliksi ja mediaanit suhteessa 3:1 alkaen ylhäältä.

Määritelmä. Teräväkulmainen pyramidi- pyramidi, jossa apoteemi on yli puolet pohjan sivun pituudesta.

Määritelmä. Tylsä pyramidi- pyramidi, jossa apoteemi on alle puolet pohjan sivun pituudesta.

Määritelmä. Säännöllinen tetraedri- tetraedri, jonka kaikki neljä sivua ovat tasasivuisia kolmioita. Se on yksi viidestä säännöllisestä monikulmiosta. Säännöisessä tetraedrissä kaikki dihedraaliset kulmat (pintojen välillä) ja kolmikulmaiset (kärkessä) ovat yhtä suuret.

Määritelmä. Suorakaiteen muotoinen tetraedri kutsutaan tetraedriksi, jonka kärjessä on suora kulma kolmen reunan välillä (reunat ovat kohtisuorassa). Muodostuu kolme kasvoa suorakaiteen muotoinen kolmiokulma ja pinnat ovat suorakulmaisia ​​kolmioita, ja kanta on mielivaltainen kolmio. Minkä tahansa kasvojen apoteemi on yhtä suuri kuin puolet pohjan sivusta, jolle apoteemi putoaa.

Määritelmä. Isoedrinen tetraedri kutsutaan tetraedriksi, jonka sivupinnat ovat yhtä suuret toistensa kanssa ja kanta on säännöllinen kolmio. Tällaisella tetraedrillä on pinnat, jotka ovat tasakylkisiä kolmioita.

Määritelmä. Ortosentrinen tetraedri kutsutaan tetraedriksi, jossa kaikki korkeudet (pystysuorat), jotka lasketaan ylhäältä vastakkaiselle pinnalle, leikkaavat yhdessä pisteessä.

Määritelmä. Tähtipyramidi kutsutaan monitahoiseksi, jonka kanta on tähti.

Pyramidi. Katkaistu pyramidi

Pyramidi on monitaho, jonka yksi pinoista on monikulmio ( pohja ), ja kaikki muut pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki ( sivupinnat ) (Kuva 15). Pyramidi on ns oikea , jos sen kanta on säännöllinen monikulmio ja pyramidin huippu on projisoitu pohjan keskelle (kuva 16). Kutsutaan kolmiomaista pyramidia, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret tetraedri .

Lateraalinen kylkiluu pyramidin sivupinnan se puoli, joka ei kuulu pohjaan Korkeus pyramidi on etäisyys sen huipulta pohjan tasoon. Säännöllisen pyramidin kaikki sivureunat ovat keskenään yhtä suuret, kaikki sivupinnat ovat yhtäläisiä tasakylkisiä kolmioita. Huippupisteestä vedetyn säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeutta kutsutaan apoteemi . Diagonaalinen leikkaus kutsutaan pyramidin poikkileikkaukseksi, jonka taso kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät kuulu samaan pintaan.

Sivuttaispinta-ala pyramidi on kaikkien sivupintojen pinta-alojen summa. Kokonaispinta-ala kutsutaan kaikkien sivupintojen ja pohjan pinta-alojen summaksi.

Lauseet

1. Jos pyramidissa kaikki sivureunat ovat yhtä vinossa pohjan tasoon nähden, niin pyramidin huippu heijastuu pohjan lähellä olevan ympyrän keskelle.

2. Jos pyramidin kaikki sivureunat ovat yhtä pitkiä, niin pyramidin huippu heijastuu ympyrän keskelle, joka on rajattu lähellä kantaa.

3. Jos pyramidin kaikki pinnat ovat yhtä kallistettuja kannan tasoon nähden, niin pyramidin huippu projisoidaan pohjaan piirretyn ympyrän keskelle.

Mielivaltaisen pyramidin tilavuuden laskemiseksi oikea kaava on:

Missä V- tilavuus;

S pohja– peruspinta-ala;

H– pyramidin korkeus.

Normaalille pyramidille seuraavat kaavat ovat oikein:

Missä s– pohjakehä;

h a- apoteemi;

H- korkeus;

S täynnä

S puoli

S pohja– peruspinta-ala;

V– säännöllisen pyramidin tilavuus.

Katkaistu pyramidi kutsutaan pyramidin osaksi, joka on suljettu pohjan ja pyramidin pohjan kanssa yhdensuuntaisen leikkaustason väliin (kuva 17). Tavallinen katkaistu pyramidi kutsutaan säännöllisen pyramidin osaksi, joka on suljettu pohjan ja pyramidin pohjan kanssa yhdensuuntaisen leikkaustason väliin.

Perusteet katkaistu pyramidi - samanlaisia ​​polygoneja. Sivukasvot - puolisuunnikkaan muotoiset. Korkeus Katkaistun pyramidin etäisyys on sen kantojen välinen etäisyys. Diagonaalinen katkaistu pyramidi on segmentti, joka yhdistää sen kärjet, jotka eivät ole samalla pinnalla. Diagonaalinen leikkaus on katkaistun pyramidin poikkileikkaus tasosta, joka kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät kuulu samaan pintaan.

Katkaistulle pyramidille ovat voimassa seuraavat kaavat:

(4)

Missä S 1 , S 2 – ylä- ja alapohjan alueet;

S täynnä– kokonaispinta-ala;

S puoli– sivupinta-ala;

H- korkeus;

V– katkaistun pyramidin tilavuus.

Normaalille katkaistulle pyramidille kaava on oikea:

Missä s 1 , s 2 – pohjan kehät;

h a– säännöllisen katkaistun pyramidin apoteemi.

Esimerkki 1. Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin kaksitahoinen kulma on 60º. Etsi sivureunan kaltevuuskulman tangentti pohjan tasoon nähden.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 18).

Pyramidi on säännöllinen, mikä tarkoittaa, että pohjassa on tasasivuinen kolmio ja kaikki sivupinnat ovat yhtäläisiä tasakylkisiä kolmioita. Dihedraalinen kulma pohjassa on pyramidin sivupinnan kaltevuuskulma pohjan tasoon nähden. Lineaarinen kulma on kulma a kahden kohtisuoran välissä: jne. Pyramidin huippu projisoidaan kolmion keskelle (ympyrän keskipiste ja kolmion piirretty ympyrä ABC). Sivureunan kaltevuuskulma (esim S.B.) on itse reunan ja sen pohjan tasoon projektion välinen kulma. Kylkiluulle S.B. tämä kulma on kulma SBD. Tangentin löytämiseksi sinun on tunnettava jalat NIIN Ja O.B.. Olkoon segmentin pituus BD on yhtä kuin 3 A. Piste NOIN Jana BD on jaettu osiin: ja mistä löydämme NIIN: Meiltä löydät:

Vastaus:

Esimerkki 2. Laske säännöllisen katkaistun nelikulmaisen pyramidin tilavuus, jos sen kantat ovat yhtä suuria kuin cm ja cm ja sen korkeus on 4 cm.

Ratkaisu. Katkaistun pyramidin tilavuuden selvittämiseksi käytämme kaavaa (4). Pohjien alueen löytämiseksi sinun on löydettävä perusneliöiden sivut, kun tiedät niiden lävistäjät. Pohjien sivut ovat vastaavasti 2 cm ja 8 cm. Tämä tarkoittaa kantojen pinta-alaa ja korvaamalla kaikki tiedot kaavaan laskemme katkaistun pyramidin tilavuuden:

Vastaus: 112 cm 3.

Esimerkki 3. Etsi säännöllisen kolmion muotoisen katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-ala, jonka pohjien sivut ovat 10 cm ja 4 cm ja pyramidin korkeus on 2 cm.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 19).

Tämän pyramidin sivupinta on tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen. Puolisuunnikkaan alueen laskemiseksi sinun on tiedettävä pohja ja korkeus. Pohjat on annettu kunnon mukaan, vain korkeus jää tuntemattomaksi. Löydämme hänet mistä A 1 E kohtisuorassa pisteestä A 1 alemman alustan tasossa, A 1 D– kohtisuoraan alkaen A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, koska tämä on pyramidin korkeus. Löytää DE Tehdään lisäpiirros, joka näyttää ylhäältä katsottuna (kuva 20). Piste NOIN– ylemmän ja alemman alustan keskipisteiden projektio. koska (katso kuva 20) ja Toisaalta OK– ympyrään merkitty säde ja OM– ympyrään merkitty säde:

MK = DE.

Pythagoraan lauseen mukaan

Kasvojen sivualue:

Vastaus:

Esimerkki 4. Pyramidin pohjassa on tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen puolisuunnikas, jonka kantat A Ja b (a> b). Jokainen sivupinta muodostaa kulman, joka on yhtä suuri kuin pyramidin pohjan taso j. Etsi pyramidin kokonaispinta-ala.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 21). Pyramidin kokonaispinta-ala SABCD yhtä suuri kuin pintojen summa ja puolisuunnikkaan pinta-ala ABCD.

Käytetään väitettä, että jos pyramidin kaikki pinnat ovat yhtä kallistettuja kannan tasoon nähden, niin kärki projisoidaan kantaan piirretyn ympyrän keskelle. Piste NOIN– kärkiprojektio S pyramidin juurella. Kolmio SOD on kolmion ortogonaalinen projektio CSD pohjan tasoon. Käyttämällä lausetta tasokuvan ortogonaalisen projektion alueella saamme:

Samoin se tarkoittaa Siten ongelma rajoittui puolisuunnikkaan alueen löytämiseen ABCD. Piirretään puolisuunnikkaan muotoinen ABCD erikseen (kuva 22). Piste NOIN– puolisuunnikkaan piirretyn ympyrän keskipiste.

Koska ympyrä voidaan kirjoittaa puolisuunnikkaan, niin tai Pythagoraan lauseesta meillä on

• apoteemi- säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeus, joka on vedetty sen kärjestä (lisäksi apoteemi on kohtisuoran pituus, joka lasketaan säännöllisen monikulmion keskeltä yhdelle sen sivuista);
• sivupinnat (ASB, BSC, CSD, DSA) - kolmiot, jotka kohtaavat kärjessä;
• lateraaliset kylkiluut ( KUTEN , B.S. , C.S. , D.S. ) — sivupintojen yhteiset puolet;
• pyramidin huipulla (t. S) - piste, joka yhdistää sivurivat ja joka ei ole pohjan tasossa;
• korkeus ( NIIN ) - kohtisuora segmentti, joka on vedetty pyramidin yläosan läpi sen pohjan tasoon (sellaisen segmentin päät ovat pyramidin yläosa ja kohtisuoran kanta);
• pyramidin diagonaalinen leikkaus- pyramidin osa, joka kulkee pohjan yläosan ja diagonaalin läpi;
• pohja (ABCD) - monikulmio, joka ei kuulu pyramidin kärkeen.

Pyramidin ominaisuudet.

1. Kun kaikki sivureunat ovat samankokoisia, niin:

• on helppo kuvata ympyrää lähellä pyramidin kantaa, ja pyramidin huippu projisoidaan tämän ympyrän keskelle;
• sivurivat muodostavat yhtä suuret kulmat alustan tason kanssa;
• Lisäksi on myös päinvastoin, ts. kun sivurivat muodostavat yhtä suuret kulmat pohjan tason kanssa tai kun pyramidin pohjan ympärille voidaan kuvata ympyrää ja pyramidin huippu projisoituu tämän ympyrän keskelle, se tarkoittaa, että kaikki sivureunat pyramidista ovat samankokoisia.

2. Kun sivupintojen kaltevuuskulma pohjan tasoon on sama, niin:

• on helppo kuvata ympyrää lähellä pyramidin kantaa, ja pyramidin huippu projisoidaan tämän ympyrän keskelle;
• sivupintojen korkeudet ovat yhtä pitkiä;
• sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin ½ alustan kehän ja sivupinnan korkeuden tulo.

3. Pallo voidaan kuvata pyramidin ympärillä, jos pyramidin pohjalla on monikulmio, jonka ympärillä voidaan kuvata ympyrä (välttämätön ja riittävä ehto). Pallon keskipiste on niiden tasojen leikkauspiste, jotka kulkevat niihin kohtisuorassa olevien pyramidin reunojen keskikohtien läpi. Tästä lauseesta päätämme, että pallo voidaan kuvata sekä minkä tahansa kolmion ympärillä että minkä tahansa säännöllisen pyramidin ympärillä.

4. Pallo voidaan kirjoittaa pyramidiin, jos pyramidin sisäisten dihedraalisten kulmien puolittajatasot leikkaavat 1. pisteessä (välttämätön ja riittävä ehto). Tästä pisteestä tulee pallon keskipiste.

Yksinkertaisin pyramidi.

Kulmien lukumäärän perusteella pyramidin kanta jaetaan kolmiomaiseen, nelikulmaiseen ja niin edelleen.

Tulee pyramidi kolmion muotoinen, nelikulmainen, ja niin edelleen, kun pyramidin kanta on kolmio, nelikulmio ja niin edelleen. Kolmion muotoinen pyramidi on tetraedri - tetraedri. Nelikulmainen - viisikulmainen ja niin edelleen.