Säännölliset kolmion prisman ominaisuudet. Prisma

1. Pienimmällä reunojen lukumäärällä on tetraedri - 6.

2. Prismassa on n kasvot. Mikä on monikulmio sen pohjassa?

(n - 2) on gon.

3. Onko prisma suora, jos sen kaksi vierekkäistä sivupintaa ovat kohtisuorassa alustan tasoon nähden?

Kyllä se on.

4. Missä prismassa sivuttaiset kylkiluut ovat yhdensuuntaiset sen korkeuden kanssa?

Suorassa prismassa.

5. Onko prisma oikea, jos kaikki sen reunat ovat yhtä suuret?

Ei, se ei välttämättä ole suoraa.

6. Voiko kaltevan prisman yhden sivupinnan korkeus olla prisman korkeus?

Kyllä, jos tämä pinta on kohtisuorassa pohjaan nähden.

7. Onko prismaa, jossa: a) sivureuna on kohtisuorassa vain pohjan reunaan nähden; b) onko vain yksi sivupinta kohtisuorassa alustaan ​​nähden?

a) kyllä. b) ei.

8. Säännöllinen kolmion muotoinen prisma jaetaan tasojen avulla, joka kulkee tukikohtien keskilinjojen läpi kahteen prismaan. Mikä on näiden prismien sivupintojen suhde?

Kohdan 27 lauseella saamme, että sivupinnat liittyvät toisiinsa suhteessa 5: 3

9. Onko pyramidi säännöllinen, jos sen sivupinnat ovat säännöllisiä kolmioita?

10. Kuinka monta kasvoa kohtisuorassa pohjan tasoon nähden voi olla pyramidilla?

11. Onko olemassa nelikulmainen pyramidi, jonka vastakkaiset sivupinnat ovat kohtisuorassa pohjaan nähden?

Ei, muuten vähintään kaksi suoraa, joka on kohtisuorassa pohjaan nähden, kulkisi pyramidin huipun läpi.

12. Voivatko kolmion pyramidin kaikki kasvot olla suorakulmaisia ​​kolmioita?

Kyllä (kuva 183).

Videokurssi "Hanki A" sisältää kaikki aiheet, jotka ovat tarpeen matematiikan kokeen suorittamiseksi 60-65 pisteellä. Täysin kaikki tehtävät 1-13 Profiilin yhdistetyssä matematiikan valtionkokeessa. Sopii myös matematiikan peruskokeen läpäisemiseen. Jos haluat suorittaa kokeen 90-100 pistettä, sinun on ratkaistava osa 1 30 minuutissa ilman virheitä!

Valmistelukurssi tentille luokille 10-11 sekä opettajille. Kaikki mitä tarvitset matematiikan tentin osan 1 (ensimmäiset 12 tehtävää) ja tehtävän 13 (trigonometria) ratkaisemiseen. Ja tämä on yli 70 pistettä tentissä, eikä sadan pisteen opiskelija tai humanistinen opiskelija voi tehdä ilman niitä.

Kaikki tarvitsemasi teoria. Nopeita ratkaisuja, ansoja ja tentin salaisuuksia. Irrotti kaikki osan 1 olennaiset tehtävät FIPI: n tehtävistä. Kurssi täyttää täysin tentti-2018 vaatimukset.

Kurssi sisältää 5 suurta aihetta, kukin 2,5 tuntia. Jokainen aihe on annettu alusta alkaen, yksinkertainen ja suoraviivainen.

Satoja tenttehtäviä. Sanatehtävät ja todennäköisyysteoria. Yksinkertaiset ja helposti muistettavat algoritmit ongelmien ratkaisemiseksi. Geometria. Teoria, vertailumateriaali, kaikenlaisten USE -tehtävien analyysi. Stereometria. Hankalat ratkaisut, hyödylliset huijausarkit, avaruuden mielikuvituksen kehittäminen. Trigonometria tyhjästä ongelmaan 13. Ymmärtäminen ahdistuksen sijasta. Visuaalinen selitys monimutkaisista käsitteistä. Algebra. Juuret, asteet ja logaritmit, funktio ja derivaatta. Tentti 2. osan monimutkaisten ongelmien ratkaisemisen perusta.

Yleistä tietoa suorasta prismasta

Prisman sivupintaa (tarkemmin sanottuna sivupintaa) kutsutaan summa sivupintojen alueet. Prisman kokonaispinta -ala on yhtä suuri kuin sivupinnan ja pohja -alueiden summa.

Lause 19.1. Suoran prisman sivupinta on yhtä suuri kuin peruskehän tulo prisman korkeudella eli sivuttaisen kylkiluun pituudella.

Todiste. Suoran prisman sivupinnat ovat suorakulmioita. Näiden suorakulmioiden pohjat ovat prisman juurella olevan monikulmion sivut, ja korkeudet ovat yhtä suuret kuin sivureunojen pituus. Tästä seuraa, että prisman sivupinta on

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

jossa a 1 ja n ovat pohjareunojen pituudet, p on prisman pohjan kehä ja I on sivureunojen pituus. Lause on todistettu.

Käytännön tehtävä

Haaste (22) ... Kaltevassa prismassa, -osiossa kohtisuorassa sivureunoihin nähden ja leikkaavat kaikki sivureunat. Etsi prisman sivupinta, jos leikkauksen kehä on p ja sivureunat l.

Ratkaisu. Piirretyn osan taso jakaa prisman kahteen osaan (kuva 411). Alistetaan yksi niistä rinnakkaissiirtoon, joka kohdistaa prisman perusteet. Tässä tapauksessa saamme suoran prisman, jossa pohja on alkuperäisen prisman osa ja sivureunat ovat yhtä suuret kuin l. Tällä prismalla on sama sivupinta kuin alkuperäisellä. Siten alkuperäisen prisman sivupinta on yhtä suuri kuin pl.

Yhteenveto käsitellystä aiheesta

Ja nyt yritetään kanssasi tehdä yhteenveto menneestä prismaa koskevasta aiheesta ja muistaa, mitä prisman ominaisuuksia on.

Prisman ominaisuudet

Ensinnäkin prisman osalta kaikki sen kannat ovat yhtäläisiä monikulmioita;
Toiseksi prisman tapauksessa kaikki sen sivupinnat ovat suuntaisia;
Kolmanneksi, niin monitahoisessa kuvassa kuin prisma, kaikki sivureunat ovat yhtä suuret;

On myös muistettava, että monikulmio, kuten prismat, voi olla suora ja vino.

Mitä prismaa kutsutaan suoraksi?

Jos prisman sivureuna sijaitsee kohtisuorassa sen pohjan tasoon nähden, niin tällaista prismaa kutsutaan suoraksi.

Ei ole tarpeetonta muistaa, että suoran prisman sivupinnat ovat suorakulmioita.

Millaista prismaa kutsutaan vinoksi?

Mutta jos prisman sivureuna ei ole kohtisuorassa sen pohjan tasoon nähden, voimme sanoa turvallisesti, että tämä on kalteva prisma.

Mitä prismaa kutsutaan oikeaksi?

Jos tavallinen monikulmio on suoran prisman juuressa, niin tällainen prisma on oikea.

Muistakaamme nyt oikealla prismalla olevat ominaisuudet.

Oikeat prisman ominaisuudet

Ensinnäkin säännölliset monikulmiot toimivat aina säännöllisen prisman perustana;
Toiseksi, jos tarkastelemme säännöllisen prisman sivupintoja, ne ovat aina yhtä suuria suorakulmioita;
Kolmanneksi, jos vertaamme sivuttaisten kylkiluiden kokoja, niin oikeassa prismassa ne ovat aina yhtä suuret.
Neljänneksi oikea prisma on aina suora;
Viidenneksi, jos säännöllisessä prismassa sivupinnat ovat neliömäisiä, niin tällaista lukua kutsutaan yleensä puolisäännölliseksi monikulmioksi.

Prisman osio

Katsotaan nyt prisman poikkileikkausta:

Kotitehtävät

Yritetään nyt vahvistaa tutkittu aihe ratkaisemalla ongelmia.

Piirretään vino kolmiomainen prisma, jossa sen reunojen välinen etäisyys on yhtä suuri: 3 cm, 4 cm ja 5 cm ja tämän prisman sivupinta on 60 cm2. Näiden parametrien avulla löydät tämän prisman sivureunan.

Tiesitkö, että geometriset muodot ympäröivät meitä jatkuvasti paitsi geometrian oppitunneilla, myös jokapäiväisessä elämässä on esineitä, jotka muistuttavat yhtä tai toista geometrista hahmoa.

Jokaisessa kodissa, koulussa tai työpaikassa on tietokone, jonka järjestelmäyksikkö on suoran prisman muodossa.

Jos otat yksinkertaisen lyijykynän, näet, että kynän pääosa on prisma.

Kävellessämme kaupungin pääkatua pitkin näemme, että jalkojemme alla on laatta, joka on kuusikulmaisen prisman muotoinen.

A. V. Pogorelov, Geometria luokille 7-11, Oppikirja oppilaitoksille

Määritelmä 1. Prismaattinen pinta
Lause 1. Prismaattisen pinnan yhdensuuntaisilla osilla
Määritelmä 2. Prisman kohtisuora leikkaus
Määritelmä 3. Prisma
Määritelmä 4. Prisman korkeus
Määritelmä 5. Suora prisma
Lause 2. Prisman sivupinnan alue

Suuntaissärmiö:
Määritelmä 6. Laatikko
Lause 3. Suoritusputken diagonaalien leikkauspisteestä
Määritelmä 7. Oikea suuntaissärmiö
Määritelmä 8. Suorakulmainen suuntaissärmiö
Määritelmä 9. Rinnakkaisputken mittaukset
Määritelmä 10. Kuutio
Määritelmä 11. Rhombohedron
Lause 4. Suorakulmaisen suuntaissärmiön diagonaaleilla
Lause 5. Prisman tilavuus
Lause 6. Suoran prisman tilavuus
Lause 7. Suorakulmaisen suuntaissärmiön tilavuus

Prisma Sitä kutsutaan monisilmäiseksi, jossa kaksi pintaa (pohjaa) sijaitsevat yhdensuuntaisilla tasoilla ja reunat, jotka eivät ole näissä pinnoissa, ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa.
Muita kasvoja kuin emäksiä kutsutaan sivuttain.
Sivupintojen ja pohjien sivuja kutsutaan prisman kylkiluut, kylkiluiden päitä kutsutaan prisman huiput. Kylkiluut reunoja, jotka eivät kuulu pohjaan, kutsutaan. Sivupintojen liitosta kutsutaan prisman sivupinta, ja kaikkien kasvojen liittoa kutsutaan koko prisman pinta. Prisman korkeus kutsutaan kohtisuoraksi, joka pudotetaan ylemmän pohjan pisteestä alemman pohjan tasoon tai tämän kohtisuoran pituutta. Suora prisma kutsutaan prismaksi, jossa sivureunat ovat kohtisuorassa pohjien tasoihin nähden. Oikea kutsutaan suoraksi prismaksi (kuva 3), jonka juurella on säännöllinen monikulmio.

Legenda:
l - sivuttainen kylkiluut;
P on pohjan kehä;
S o - perusalue;
H - korkeus;
P ^ - kohtisuoran osan kehä;
S b - sivupinta -ala;
V on tilavuus;
S p - prisman koko pinnan alue.

Määritelmä 2 ... Prismapinnan kohtisuoraa leikkausta kutsutaan tämän pinnan leikkaukseksi sen reunoja kohtisuoralla tasolla. Edellisen lauseen perusteella saman prismapinnan kaikki kohtisuorat leikkaukset ovat yhtäläisiä monikulmioita.

Määritelmä 3 ... Prisma on monikulmio, jota rajoittaa prismapinta ja kaksi tasoa, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa (mutta eivät yhdensuuntaisia ​​prisman reunojen kanssa)
Näissä viimeisissä koneissa olevia kasvoja kutsutaan prisman pohjat; prismapintaan kuuluvat kasvot - sivupinnat; prismapinnan reunat - prisman sivureunat... Edellisen lauseen mukaan prisman perusteet ovat yhtä monta polygonia... Prisman kaikki sivupinnat - rinnakkaismuotoisia; kaikki sivureunat ovat yhtä suuret.
On selvää, että jos sinulle annetaan prisman pohja ABCDE ja yksi reunoista AA "kooltaan ja suunnaltaan, voit rakentaa prisman piirtämällä reunat BB", CC ", .., yhtä suuret ja yhdensuuntaiset reunan AA kanssa ".

Määritelmä 4 ... Prisman korkeus on etäisyys sen tukikohtien tasojen välillä (HH ").

Määritelmä 5 ... Prismaa kutsutaan suoraksi, jos sen pohjat ovat kohtisuorassa prisman pinnan osissa. Tässä tapauksessa prisman korkeus on tietysti sen kylkiluut; sivupinnat tulevat suorakulmioita.
Prismat voidaan luokitella sen sivupintojen lukumäärän perusteella, joka on yhtä suuri kuin sen pohjana olevan monikulmion sivujen lukumäärä. Siten prismat voivat olla kolmiomaisia, nelikulmaisia, viisikulmaisia ​​jne.

Lause 2 ... Prisman sivupinnan pinta -ala on yhtä suuri kuin sivureunan tulo kohtisuoran leikkauksen kehän mukaan.
Olkoon ABCDEA "B" C "D" E " - tämä prisma ja abcde - sen kohtisuora leikkaus siten, että segmentit ab, bc, .. ovat kohtisuorassa sen sivureunoihin nähden. yhtä suuri kuin pohjan AA tulo korkeudelle, joka on sama kuin ab; BCB "C" -pinnan pinta -ala on yhtä suuri kuin pohjan BB tulo korkeudella bc jne. Siksi sivupinta (eli sivupintojen summa) on yhtä suuri kuin tuote sivuttaisesta kylkiluusta, toisin sanoen segmenttien kokonaispituus AA ", BB", .., määrälle ab + bc + cd + de + ea.

Määritelmä. Prisma on monikulmio, jonka kaikki kärkipisteet sijaitsevat kahdessa rinnakkaisessa tasossa, ja samassa kahdessa tasossa on kaksi prismapintaa, jotka ovat yhtäsuuria monikulmioita, joilla on vastaavasti yhdensuuntaiset sivut, ja kaikki reunat, jotka eivät ole näissä tasoissa, ovat yhdensuuntaisia.

Kaksi samanlaista kasvoa kutsutaan prisman pohjat(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Kaikkia muita prisman kasvoja kutsutaan sivupinnat(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Kaikki sivupinnat muodostuvat prisman sivupinta .

Prisman kaikki sivupinnat ovat suuntaisia .

Kylkiluita, jotka eivät ole pohjassa, kutsutaan prisman sivuttaiseksi kylkiluuksi ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Diagonaalinen prisma kutsutaan segmentiksi, jonka päät ovat prisman kaksi kärkeä, jotka eivät ole sen toisella puolella (AD 1).

Sen segmentin pituutta, joka yhdistää prisman pohjat ja on kohtisuorassa molempiin kantoihin samanaikaisesti, kutsutaan prisman korkeus .

Nimi:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1... (Ensinnäkin yhden pohjan kärkipisteet ilmoitetaan läpikulkujärjestyksessä ja sitten samassa järjestyksessä toisen kärjet; kummankin sivureunan päät on merkitty samoilla kirjaimilla, vain kärjet sijaitsevat yhdessä pohjassa on merkitty kirjaimilla, joilla ei ole indeksiä, ja toisella - indeksillä)

Prisman nimi liittyy sen pohjassa olevan kuvan kulmien lukumäärään, esimerkiksi kuviossa 1 on viisikulmainen pohja, joten prismaa kutsutaan viisikulmainen prisma... Mutta siitä lähtien tällaisella prismalla on 7 kasvot, niin se heptaedri(2 kasvot - prisman pohjat, 5 kasvot - suunnat, - sen sivupinnat)

Suoran prisman joukosta erottuu erityinen tyyppi: tavalliset prismat.

Suoraa prismaa kutsutaan oikea, jos sen kantat ovat säännöllisiä monikulmioita.

Säännöllisen prisman kaikki sivupinnat ovat yhtä suuret. Eräs prisman tapaus on suuntaissärmiö.

Suuntaissärmiö

Suuntaissärmiö on nelikulmainen prisma, jonka juurella on suuntakulma (vino suuntaissärmiö). Suorakulmainen- suuntaissärmiö, jonka sivureunat ovat kohtisuorassa pohjatasoihin nähden.

Suorakulmainen suuntaissärmiö- suora suuntaissärmiö, jonka pohja on suorakulmio.

Ominaisuudet ja lauseet:

Jotkin suuntaissärmiön ominaisuudet ovat samankaltaisia ​​rinnakkaismuotoisten tunnettujen ominaisuuksien kanssa. kuutio .Kuutiolla on kaikki kasvot yhtä suuret neliöt. Diagonaalin neliö on yhtä suuri kuin sen kolmen ulottuvuuden neliöiden summa.

,

missä d on neliön lävistäjä;
a - neliön puoli.

Idean prismasta antaa:

• erilaisia ​​arkkitehtonisia rakenteita;
• Lasten lelut;
• pakkauslaatikot;
• suunnittelutarvikkeita jne.

Prisman koko ja sivupinnan alue

Prisman kokonaispinta -ala on kaikkien kasvojen alueiden summa Sivupinta -ala kutsutaan sen sivupintojen pinta -alojen summaksi prisman kannat ovat yhtä suuret kuin monikulmio, sitten niiden alueet ovat yhtä suuret. Siksi

S täynnä = S -puoli + 2S -pää,

missä S täynnä- kokonaispinta -ala, S -puoli- sivupinnan pinta -ala, S pää- perusalue

Suoran prisman sivupinta -ala on yhtä suuri kuin peruskehän ja prisman korkeuden tulo.

S -puoli= P pää * h,

missä S -puoli- suoran prisman sivupinnan alue,

P -pää - suoran prisman pohjan kehä,

h on suoran prisman korkeus, joka on yhtä suuri kuin sivureuna.

Prisman tilavuus

Prisman tilavuus on yhtä suuri kuin alustan pinta -alan ja korkeuden tulo.