Luvun absoluuttinen arvo a Onko etäisyys alkuperästä pisteeseen A(a).

Voit ymmärtää tämän määritelmän korvaamalla muuttujan a mikä tahansa numero, esimerkiksi 3 ja yritä lukea se uudelleen:

Luvun absoluuttinen arvo 3 Onko etäisyys alkuperästä pisteeseen A(3 ).

Tulee selväksi, että moduuli on vain normaali etäisyys. Yritetään nähdä etäisyys alkuperästä pisteeseen A ( 3 )

Etäisyys lähtöpaikasta pisteeseen A ( 3 ) on 3 (kolme yksikköä tai kolme vaihetta).

Numeron moduuli ilmaistaan ​​kahdella pystysuoralla viivalla, esimerkiksi:

Numeron 3 moduuli on merkitty seuraavasti: | 3 |

Numeron 4 moduuli on merkitty seuraavasti: | 4 |

Numeron 5 moduuli on merkitty seuraavasti: | 5 |

Etsimme luvun 3 moduulia ja huomasimme, että se on yhtä suuri kuin 3. Joten kirjoitamme:

Se lukee näin: "Numeron kolme moduuli on kolme"

Yritetään nyt löytää luvun -3 moduuli. Palaa jälleen määritelmään ja korvaa numero -3 siihen. Vain pisteen sijasta A käytä uutta pistettä B... Kohta A olemme käyttäneet jo ensimmäisessä esimerkissä.

Modulo -numerot - 3 on etäisyys alkuperästä pisteeseen B(—3 ).

Etäisyys pisteestä toiseen ei voi olla negatiivinen. Siksi minkä tahansa negatiivisen luvun moduuli, joka on etäisyys, ei myöskään ole negatiivinen. Luvun -3 moduuli on numero 3. Etäisyys alkuperästä pisteeseen B (-3) on myös kolme yksikköä:

Se lukee näin: "Numeromoduuli miinus kolme on kolme"

Numeron 0 absoluuttinen arvo on 0, koska piste, jonka koordinaatti on 0, on sama kuin alkuperä, ts. etäisyys alkuperästä pisteeseen O (0) on nolla:

"Nollamoduuli on nolla"

Teemme johtopäätökset:

• Luvun moduuli ei voi olla negatiivinen;
• Positiivisella numerolla ja nollalla moduuli on yhtä suuri kuin luku itse ja negatiivisella luvulla vastakkainen luku;
• Vastakkaisilla numeroilla on samanlaiset moduulit.

Vastakkaiset luvut

Numeroita, jotka eroavat vain merkeistä, kutsutaan vastapäätä... Esimerkiksi numerot −2 ja 2 ovat vastakkaisia. Ne eroavat vain merkeistä. Numerossa −2 on miinusmerkki ja 2: ssa plusmerkki, mutta emme näe sitä, koska kuten aiemmin totesimme, he eivät perinteisesti kirjoita plus -merkkiä.

Lisää esimerkkejä vastakkaisista numeroista:

Vastakkaisilla numeroilla on samanlaiset moduulit. Etsitään esimerkiksi moduuleja −2 ja 2

Kuvasta näkyy, että etäisyys lähtöpisteestä pisteisiin A (−2) ja B (2) on yhtä suuri kuin kaksi vaihetta.

Piditkö oppitunnista?
Liity uuteen Vkontakte -ryhmään ja ala saada ilmoituksia uusista oppitunneista

Emme valitse matematiikkaa hänen ammattinsa, ja hän valitsee meidät.

Venäläinen matemaatikko Yu.I. Manin

Yhtälöt, joilla on moduuli

Koulumatematiikan vaikeimmin ratkaistavat tehtävät ovat yhtälöt, jotka sisältävät muuttujia moduulimerkin alla. Tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi sinun on tiedettävä moduulin määritelmä ja perusominaisuudet. Luonnollisesti opiskelijoilla pitäisi olla taitoja ratkaista tämän tyyppisiä yhtälöitä.

Peruskäsitteet ja ominaisuudet

Reaaliluvun moduuli (absoluuttinen arvo) merkitty ja määritellään seuraavasti:

Moduulin yksinkertaiset ominaisuudet sisältävät seuraavat suhteet:

Huomautus, että kaksi viimeistä ominaisuutta ovat päteviä tasaiselle tasolle.

Lisäksi jos, missä, niin sitten

Monimutkaisempia moduulin ominaisuuksia, jota voidaan tehokkaasti käyttää yhtälöiden ratkaisemiseen moduuleilla, on muotoiltu seuraavien teoreemien avulla:

Lause 1.Kaikille analyyttisille toiminnoille ja eriarvoisuus on totta

Lause 2. Tasa -arvo vastaa eriarvoisuutta.

Lause 3. Tasa -arvo eriarvoisuutta.

Tarkastellaan tyypillisiä esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta aiheesta "Yhtälöt, sisältää muuttujia moduulimerkin alla ".

Yhtälöiden ratkaiseminen moduulilla

Yleisin menetelmä koulumatematiikassa yhtälöiden ratkaisemiseksi moduulilla on menetelmä, perustuu moduulien laajentamiseen. Tämä menetelmä on monipuolinen, yleisesti ottaen sen soveltaminen voi kuitenkin johtaa erittäin raskaisiin laskelmiin. Tässä suhteessa oppilaiden tulee olla tietoisia muista, tehokkaampia menetelmiä ja tekniikoita tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi. Erityisesti, sinulla on oltava taitoja soveltaa lauseita, tässä artikkelissa.

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö. (1)

Ratkaisu. Yhtälö (1) ratkaistaan ​​"klassisella" menetelmällä - moduulien laajentamismenetelmällä. Tätä varten jaamme numeroakselin pisteitä ja aikaväleihin ja harkitse kolmea tapausta.

1. Jos, niin ,,, ja yhtälö (1) ovat muodoltaan. Tästä seuraa siis. Tässä tapauksessa löydetty arvo ei kuitenkaan ole yhtälön (1) juuri.

2. Jos sitten yhtälöstä (1) saadaan tai.

Siitä lähtien yhtälön (1) juuri.

3. Jos silloin yhtälö (1) saa muodon tai. Ota huomioon, että.

Vastaus:,.

Kun ratkaisemme myöhempiä yhtälöitä moduulilla, käytämme aktiivisesti moduulien ominaisuuksia parantaaksemme tällaisten yhtälöiden ratkaisemisen tehokkuutta.

Esimerkki 2. Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu. Siitä lähtien ja sitten yhtälö merkitsee... Tässä suhteessa,,, ja yhtälö saa muodon... Tästä saamme... Mutta , siksi alkuperäisellä yhtälöllä ei ole juuria.

Vastaus: juuria ei ole.

Esimerkki 3. Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu. Siitä lähtien. Jos sitten, ja yhtälö saa muodon.

Täältä saamme.

Esimerkki 4. Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu.Kirjoitamme yhtälön uudelleen vastaavaan muotoon. (2)

Tuloksena oleva yhtälö kuuluu tyypin yhtälöihin.

Lause 2 huomioon ottaen voidaan väittää, että yhtälö (2) vastaa eriarvoisuutta. Täältä saamme.

Vastaus:.

Esimerkki 5. Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu. Tällä yhtälöllä on muoto... Siksi , Lauseen 3 mukaan, tässä meillä on eriarvoisuus tai.

Esimerkki 6. Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu. Olettaa, että. Koska , silloin annettu yhtälö on toisen asteen yhtälö, (3)

missä ... Koska yhtälöllä (3) on yksi positiivinen juuri ja sitten ... Näin ollen saamme kaksi juurta alkuperäisestä yhtälöstä: ja.

Esimerkki 7. Ratkaise yhtälö. (4)

Ratkaisu. Yhtälöstä lähtienvastaa kahden yhtälön yhdistelmää: ja sitten yhtälön (4) ratkaisemisessa on tarkasteltava kahta tapausta.

1. Jos, niin tai.

Sieltä saamme, ja.

2. Jos, niin tai.

Siitä lähtien.

Vastaus:,,,.

Esimerkki 8.Ratkaise yhtälö . (5)

Ratkaisu. Siitä lähtien ja sitten. Tästä ja yhtälöstä (5) seuraa, että ja, ts. tässä meillä on yhtälöjärjestelmä

Tämä yhtälöjärjestelmä on kuitenkin epäjohdonmukainen.

Vastaus: juuria ei ole.

Esimerkki 9. Ratkaise yhtälö. (6)

Ratkaisu. Jos merkitsemme, niin ja yhtälöstä (6) saamme

Tai. (7)

Koska yhtälö (7) on muodoltaan, tämä yhtälö vastaa epätasa -arvoa. Täältä saamme. Siitä lähtien tai.

Vastaus:.

Esimerkki 10.Ratkaise yhtälö. (8)

Ratkaisu.Lauseen 1 mukaan voimme kirjoittaa

(9)

Ottaen huomioon yhtälön (8), päätämme, että molemmat eriarvoisuudet (9) muuttuvat tasa -arvoiksi, ts. yhtälöjärjestelmä pitää paikkansa

Lauseen 3 mukaan edellä oleva yhtälöjärjestelmä vastaa kuitenkin eriarvoisuusjärjestelmää

(10)

Ratkaisemalla eriarvoisuusjärjestelmän (10) saamme. Koska eriarvoisuusjärjestelmä (10) vastaa yhtälöä (8), alkuperäisellä yhtälöllä on yksi juuri.

Vastaus:.

Esimerkki 11. Ratkaise yhtälö. (11)

Ratkaisu. Olkoon ja sitten yhtälö seuraa yhtälöstä (11).

Tästä seuraa, että ja. Tässä meillä on siis eriarvoisuusjärjestelmä

Ratkaisu tähän eriarvoisuusjärjestelmään on ja.

Vastaus:,.

Esimerkki 12.Ratkaise yhtälö. (12)

Ratkaisu. Yhtälö (12) ratkaistaan ​​moduulien peräkkäisen laajentamisen menetelmällä. Tätä varten harkitse useita tapauksia.

1. Jos, niin.

1.1. Jos, niin ja ,.

1.2. Jos sitten. Mutta , siksi tässä tapauksessa yhtälöllä (12) ei ole juuria.

2. Jos, niin.

2.1. Jos, niin ja ,.

2.2. Jos, niin ja.

Vastaus:,,,,.

Esimerkki 13.Ratkaise yhtälö. (13)

Ratkaisu. Koska yhtälön (13) vasen puoli ei ole negatiivinen, niin ja. Tältä osin ja yhtälö (13)

ottaa muodon tai.

Tiedetään, että yhtälö vastaa kahden yhtälön yhdistelmää ja päättää mitä saamme,. Koska , silloin yhtälöllä (13) on yksi juuri.

Vastaus:.

Esimerkki 14. Ratkaise yhtälöjärjestelmä (14)

Ratkaisu. Siitä lähtien, ja sitten. Siksi yhtälöjärjestelmästä (14) saadaan neljä yhtälöjärjestelmää:

Edellä olevien yhtälöjärjestelmien juuret ovat yhtälöjärjestelmän (14) juuret.

Vastaus: ,,,,,,,.

Esimerkki 15. Ratkaise yhtälöjärjestelmä (15)

Ratkaisu. Siitä lähtien. Tältä osin yhtälöjärjestelmästä (15) saadaan kaksi yhtälöjärjestelmää

Ensimmäisen yhtälöjärjestelmän juuret ovat ja, ja toisesta yhtälöjärjestelmästä saamme ja.

Vastaus:,,,.

Esimerkki 16. Ratkaise yhtälöjärjestelmä (16)

Ratkaisu. Järjestelmän (16) ensimmäisestä yhtälöstä seuraa, että.

Siitä lähtien ... Harkitse järjestelmän toista yhtälöä. Sikäli kuin, sitten, ja yhtälö saa muodon,, tai.

Jos korvaat arvonjärjestelmän ensimmäiseen yhtälöön (16), sitten, tai.

Vastaus:,.

Ongelmanratkaisumenetelmien syvällisempi tutkimus, liittyy yhtälöiden ratkaisemiseen, sisältää muuttujia moduulimerkin alla, voit suositella opetusohjelmia suositellun lukemisen luettelosta.

1. Matematiikan tehtävien kerääminen teknillisten oppilaitosten hakijoille / Toim. MI. Skanavi. - M: Rauha ja koulutus, 2013 .-- 608 Sivumäärä

2. Suprun V.P. Matematiikka lukiolaisille: monimutkaisempia ongelmia. - M.: CD "Librokom" / URSS, 2017.- 200 Sivumäärä

3. Suprun V.P. Matematiikka lukiolaisille: epätyypilliset ongelmanratkaisumenetelmät. - M.: CD "Librokom" / URSS, 2017.- 296 Sivumäärä

Onko sinulla vielä kysymyksiä?

Jos haluat apua opettajalta - rekisteröidy.

sivustolla, jos materiaali on kopioitu kokonaan tai osittain, tarvitaan linkki lähteeseen.

Yksi opiskelijoiden vaikeimmista aiheista on ratkaista yhtälöt, jotka sisältävät muuttujan moduulimerkin alla. Selvitetään aluksi, mihin tämä liittyy? Miksi esimerkiksi toisen asteen yhtälöt ovat napsautuksia kuin pähkinöitä useimmille lapsille, ja koska niin kaukana monimutkaisesta konseptista kuin moduulista, sillä on niin paljon ongelmia?

Mielestäni kaikki nämä vaikeudet liittyvät selkeästi muotoiltujen sääntöjen puuttumiseen yhtälöiden ratkaisemiseksi moduulilla. Niinpä ratkaistessaan toisen asteen yhtälön opiskelija tietää varmasti, että hänen on ensin sovellettava erottelukaavaa ja sitten toisen asteen yhtälön kaavaa. Mutta entä jos yhtälössä on moduuli? Yritämme selkeästi kuvata tarvittavan toimintasuunnitelman tapaukselle, jossa yhtälö sisältää tuntemattoman moduuli -merkin alla. Tässä on esimerkkejä kustakin tapauksesta.

Mutta muistetaan ensin moduulin määritelmä... Siis luvun moduuli a itse tätä numeroa kutsutaan, jos a ei-negatiivinen ja -a jos numero a alle nolla. Voit kirjoittaa sen näin:

| a | = a jos a ≥ 0 ja | a | = -a jos a< 0

Moduulin geometrisesta merkityksestä puhuttaessa on muistettava, että jokainen reaaliluku vastaa tiettyä pistettä numeerisella akselilla - sen k koordinoida. Joten luvun moduuli tai absoluuttinen arvo on etäisyys tästä pisteestä numeerisen akselin alkuun. Etäisyys ilmoitetaan aina positiivisena numerona. Siten minkä tahansa negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on positiivinen luku. Muuten, jo tässä vaiheessa monet opiskelijat alkavat hämmentyä. Mikä tahansa numero voi olla moduulissa, mutta moduulin käytön tulos on aina positiivinen luku.

Siirrytään nyt suoraan yhtälöiden ratkaisemiseen.

1. Tarkastellaan yhtälöä muodossa | x | = c, missä c on reaaliluku. Tämä yhtälö voidaan ratkaista käyttämällä moduulin määritelmää.

Jaamme kaikki reaaliluvut kolmeen ryhmään: ne, jotka ovat suurempia kuin nolla, ne, jotka ovat pienempiä kuin nolla, ja kolmas ryhmä on luku 0. Kirjoitetaan ratkaisu kaavion muodossa:

(± c, jos c> 0

Jos | x | = c, niin x = (0, jos c = 0

(ei juuria, jos< 0

1) | x | = 5, koska 5> 0, sitten x = ± 5;

2) | x | = -5, koska -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | = 0, sitten x = 0.

2. Yhtälö muodossa | f (x) | = b, missä b> 0. Tämän yhtälön ratkaisemiseksi on välttämätöntä päästä eroon moduulista. Teemme sen näin: f (x) = b tai f (x) = -b. Nyt on tarpeen ratkaista jokainen saatu yhtälö erikseen. Jos alkuperäisessä yhtälössä b< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | = 4, koska 4> 0, siis

x + 2 = 4 tai x + 2 = -4

2) | x 2-5 | = 11, koska 11> 0, siis

x 2-5 = 11 tai x 2-5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 ei juuria

3) | x 2 - 5x | = -8, koska -kahdeksan< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Yhtälö muodossa | f (x) | = g (x). Moduulin merkityksessä tällaisella yhtälöllä on ratkaisuja, jos sen oikea puoli on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla, ts. g (x) ≥ 0. Sitten meillä on:

f (x) = g (x) tai f (x) = -g (x).

1) | 2x - 1 | = 5x - 10. Tällä yhtälöllä on juuret, jos 5x - 10 ≥ 0. Tästä alkaa tällaisten yhtälöiden ratkaisu.

1.O.D.Z. 5x - 10 ≥ 0

2. Ratkaisu:

2x - 1 = 5x - 10 tai 2x - 1 = - (5x - 10)

3. Yhdistämme ODZ: n. ja ratkaisu, saamme:

Juuri x = 11/7 ei sovi O.D.Z.: n mukaan, se on alle 2 ja x = 3 täyttää tämän ehdon.

Vastaus: x = 3

2) | x - 1 | = 1 - x 2.

1.O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Ratkaisemme tämän eriarvoisuuden intervallien menetelmällä:

(1 - x) (1 + x) ≥ 0

2. Ratkaisu:

x - 1 = 1 - 2 tai x - 1 = - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 tai x = 1 x = 0 tai x = 1

3. Yhdistämme ratkaisun ja ODZ: n:

Vain juuret x = 1 ja x = 0 ovat sopivia.

Vastaus: x = 0, x = 1.

4. Yhtälö muodossa | f (x) | = | g (x) |. Tällainen yhtälö vastaa kahta seuraavaa yhtälöä f (x) = g (x) tai f (x) = -g (x).

1) | x 2 - 5x + 7 | = | 2x - 5 |. Tämä yhtälö vastaa seuraavia kahta:

x 2-5x + 7 = 2x-5 tai x2-5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 tai x = 4 x = 2 tai x = 1

Vastaus: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Korvausmenetelmällä ratkaistut yhtälöt (muuttujan muutos). Tämä ratkaisumenetelmä on helpoin selittää tietyllä esimerkillä. Joten annetaan toisen asteen yhtälö, jolla on moduuli:

x 2-6 | x | + 5 = 0. Moduulin ominaisuuden mukaan x 2 = | x | 2, joten yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

| x | 2-6 | x | + 5 = 0. Korvataan | x | = t ≥ 0, niin meillä on:

t 2 - 6t + 5 = 0. Ratkaisemalla tämän yhtälön saamme, että t = 1 tai t = 5. Palataan takaisin korvaamiseen:

| x | = 1 tai | x | = 5

x = ± 1 x = ± 5

Vastaus: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Otetaan toinen esimerkki:

x 2 + | x | - 2 = 0. Moduulin ominaisuuden mukaan x 2 = | x | 2, siis

| x | 2 + | x | - 2 = 0. Korvataan | x | = t ≥ 0, sitten:

t 2 + t - 2 = 0. Ratkaisten tämän yhtälön, saamme t = -2 tai t = 1. Palatkaamme korvaukseen:

| x | = -2 tai | x | = 1

Ei juuria x = ± 1

Vastaus: x = -1, x = 1.

6. Toinen yhtälötyyppi on yhtälö, jolla on "monimutkainen" moduuli. Nämä yhtälöt sisältävät yhtälöitä, joissa on "moduulit moduulissa". Tällaiset yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä moduulin ominaisuuksia.

1) | 3 - | x || = 4. Jatkamme samalla tavalla kuin toisen tyyppisissä yhtälöissä. Koska 4> 0, niin saamme kaksi yhtälöä:

3 - | x | = 4 tai 3 - | x | = -4.

Nyt ilmaisemme kussakin yhtälössä moduulin x, sitten | x | = -1 tai | x | = 7.

Ratkaisemme kaikki saadut yhtälöt. Ensimmäisessä yhtälössä ei ole juuria, koska -1< 0, а во втором x = ±7.

Vastaus on x = -7, x = 7.

2) | 3 + | x + 1 || = 5. Ratkaisemme tämän yhtälön samalla tavalla:

3 + | x + 1 | = 5 tai 3 + | x + 1 | = -5

| x + 1 | = 2 | x + 1 | = -8

x + 1 = 2 tai x + 1 = -2. Ei juuria.

Vastaus: x = -3, x = 1.

On myös yleinen menetelmä moduulien mukaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi. Tämä on välimatkan menetelmä. Mutta harkitsemme sitä myöhemmin.

blogi -sivusto, jossa materiaali on kopioitu kokonaan tai osittain, tarvitaan linkki lähteeseen.

Tämä online -matematiikkalaskin auttaa sinua ratkaise yhtälö tai epätasa -arvo moduuleilla... Ohjelma yhtälöiden ja eriarvoisuuksien ratkaisut moduuleilla ei vain anna vastausta ongelmaan, se antaa yksityiskohtainen ratkaisu selityksineen eli näyttää prosessin tuloksen saamiseksi.

Tämä ohjelma voi olla hyödyllinen lukioiden vanhemmille opiskelijoille valmistautuessaan kokeisiin ja kokeisiin, kun he tarkistavat tietoja ennen tenttiä, vanhemmille, jotta he voivat hallita monien matematiikan ja algebran ongelmien ratkaisua. Tai ehkä on liian kallista palkata opettaja tai ostaa uusia oppikirjoja? Vai haluatko vain saada matematiikan tai algebran kotitehtävät mahdollisimman nopeasti? Tässä tapauksessa voit myös käyttää ohjelmiamme yksityiskohtaisella ratkaisulla.

Tällä tavalla voit johtaa omaa opetustasi ja / tai opettaa nuorempia veljiäsi tai sisariasi, kun taas koulutustaso ratkaistavien ongelmien alalla kasvaa.

Syötä yhtälö tai epätasa -arvo moduuleilla

Todettiin, että joitain tämän ongelman ratkaisemiseen tarvittavia skriptejä ei ladattu, eikä ohjelma välttämättä toimi.
Ehkä sinulla on AdBlock käytössä.
Poista tässä tapauksessa se käytöstä ja päivitä sivu.

Koska On monia ihmisiä, jotka haluavat ratkaista ongelman, pyyntösi on jonossa.
Muutaman sekunnin kuluttua ratkaisu näkyy alla.
Odota, ole hyvä sek ...

Jos sinä huomannut ratkaisussa virheen, voit kirjoittaa tästä palautelomakkeelle.
Älä unohda ilmoita mikä tehtävä sinä päätät ja mitä kirjoita kenttiin.

Pelimme, palapelit, emulaattorit:

Vähän teoriaa.

Yhtälöt ja eriarvoisuudet moduulien kanssa

Peruskoulun algebran aikana saatat kohdata yksinkertaisimmat yhtälöt ja eriarvoisuudet moduulien kanssa. Voit ratkaista ne käyttämällä geometrista menetelmää, joka perustuu siihen, että \ (| xa | \) on pisteiden x ja a välinen etäisyys numerolinjalla: \ (| xa | = \ rho (x; \; a ) \). Esimerkiksi yhtälön \ (| x-3 | = 2 \) ratkaisemiseksi sinun on löydettävä pisteitä numerolinjasta kahden etäisyyden päässä pisteestä 3. Tällaisia ​​pisteitä on kaksi: \ (x_1 = 1 \) ja \ (x_2 = 5 \) ...

Erotuksen ratkaiseminen \ (| 2x + 7 |

Mutta tärkein tapa ratkaista yhtälöt ja eriarvoisuudet moduuleilla liittyy niin sanottuun "moduulin laajentamiseen määritelmän mukaan":
jos \ (a \ geq 0 \), niin \ (| a | = a \);
jos \ (a Pääsääntöisesti yhtälö (eriarvoisuus), jossa on moduuleja, pienennetään yhtälöiksi (eriarvoisuuksiksi), jotka eivät sisällä moduulimerkkiä.

Edellä olevan määritelmän lisäksi käytetään seuraavia lausuntoja:
1) Jos \ (c> 0 \), yhtälö \ (| f (x) | = c \) vastaa yhtälöryhmää: \ (\ left [\ begin (array) (l) f (x) ) = c \\ f (x) = - c \ end (array) \ right. \)
2) Jos \ (c> 0 \), niin eriarvoisuus \ (| f (x) | 3) Jos \ (c \ geq 0 \), niin epätasa -arvo \ (| f (x) |> c \) on vastaa joukkoa eriarvoisuuksia: \ (\ left [\ begin (array) (l) f (x) c \ end (array) \ right. \)
4) Jos eriarvoisuuden molemmat puolet \ (f (x) ESIMERKKI 1. Ratkaise yhtälö \ (x ^ 2 +2 | x -1 | -6 = 0 \).

Jos \ (x-1 \ geq 0 \), niin \ (| x-1 | = x-1 \) ja annettu yhtälö ovat muotoa
\ (x ^ 2 +2 (x -1) -6 = 0 \ Oikeanuolinen x ^ 2 + 2x -8 = 0 \).
Jos \ (x -1 \ (x ^ 2 -2 (x -1) -6 = 0 \ Oikopolku x ^ 2 -2x -4 = 0 \).
Näin ollen yhtälöä on tarkasteltava erikseen kussakin kahdessa ilmoitetussa tapauksessa.
1) Olkoon \ (x-1 \ geq 0 \), eli \ (x \ geq 1 \). Yhtälöstä \ (x ^ 2 + 2x -8 = 0 \) löydämme \ (x_1 = 2, \; x_2 = -4 \). Ehto \ (x \ geq 1 \) täytetään vain arvolla \ (x_1 = 2 \).
2) Anna \ (x-1 vastaus: \ (2; \; \; 1- \ sqrt (5) \)

ESIMERKKI 2. Ratkaise yhtälö \ (| x ^ 2-6x + 7 | = \ frac (5x-9) (3) \).

Ensimmäinen tapa(moduulin laajennus määritelmän mukaan).
Esimerkin 1 mukaisesti päädymme siihen johtopäätökseen, että yhtälöä on tarkasteltava erikseen, jos kaksi ehtoa täyttyvät: \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \) tai \ (x ^ 2-6x + 7

1) Jos \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \), niin \ (| x ^ 2-6x + 7 | = x ^ 2-6x + 7 \) ja annettu yhtälö ovat muodossa \ (x ^ 2 -6x + 7 = \ frac (5x-9) (3) \ Oikopolku 3x ^ 2-23x + 30 = 0 \). Ratkaisemalla tämän toisen asteen yhtälön saadaan: \ (x_1 = 6, \; x_2 = \ frac (5) (3) \).
Selvitetään, täyttääkö arvo \ (x_1 = 6 \) ehdon \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \). Tätä varten korvaamme määritetyn arvon neliön epätasa -arvoon. Saamme: \ (6 ^ 2-6 \ cdot 6 + 7 \ geq 0 \), ts. \ (7 \ geq 0 \) on todellinen eriarvoisuus. Näin ollen \ (x_1 = 6 \) on annetun yhtälön juuri.
Selvitetään, täyttääkö arvo \ (x_2 = \ frac (5) (3) \) ehdon \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \). Tätä varten korvaamme määritetyn arvon neliön epätasa -arvoon. Saamme: \ (\ vasen (\ frac (5) (3) \ oikea) ^ 2 - \ frac (5) (3) \ cdot 6 + 7 \ geq 0 \), eli \ (\ frac (25) (9) -3 \ geq 0 \) - väärä eriarvoisuus. Näin ollen \ (x_2 = \ frac (5) (3) \) ei ole annetun yhtälön juuri.

2) Jos \ (x ^ 2-6x + 7 Arvo \ (x_3 = 3 \) täyttää ehdon \ (x ^ 2-6x + 7 Arvo \ (x_4 = \ frac (4) (3) \) ei täytä ehto \ (x ^ 2-6x + 7 Joten annetulla yhtälöllä on kaksi juurta: \ (x = 6, \; x = 3 \).

Toinen tapa. Jos yhtälö \ (| f (x) | = h (x) \) on annettu, niin \ (h (x) \ (\ left [\ begin (array) (l) x ^ 2-6x + 7 =) \ frac (5x-9) (3) \\ x ^ 2-6x + 7 =-\ frac (5x-9) (3) \ end (array) \ right. \)
Molemmat yhtälöt ratkaistiin edellä (ensimmäisellä tapaa ratkaista annettu yhtälö), niiden juuret ovat seuraavat: \ (6, \; \ frac (5) (3), \; 3, \; \ frac (4) ) (3) \). Näiden neljän arvon ehto \ (\ frac (5x-9) (3) \ geq 0 \) täyttyy vain kahdella: 6 ja 3. Näin ollen annetulla yhtälöllä on kaksi juurta: \ (x = 6, \; x = 3 \).

Kolmas tapa(graafinen).
1) Piirretään funktio \ (y = | x ^ 2-6x + 7 | \). Muodosta ensin paraabeli \ (y = x ^ 2-6x + 7 \). Meillä on \ (x ^ 2-6x + 7 = (x-3) ^ 2-2 \). Funktion \ (y = (x-3) ^ 2-2 \) kaavio saadaan funktion \ (y = x ^ 2 \) kaaviosta siirtämällä sitä 3 asteikkoyksikköä oikealle (pitkin x-akseli) ja 2 asteikkoyksikköä alaspäin (y-akselilla). Suora x = 3 on kiinnostavan paraabelin akseli. On kätevää ottaa piste (3; -2) - paraabelin kärki, piste (0; 7) ja piste (6; 7), jotka ovat symmetrisiä siihen verrattuna paraabelin akseliin, kontrollipisteinä tarkempaa piirtämistä varten kaavio.
Jos haluat piirtää funktion \ (y = | x ^ 2-6x + 7 | \) kaavion, sinun on jätettävä ennalleen ne rakennetun paraabelin osat, jotka eivät ole x-akselin alapuolella, ja heijastamaan osan paraabeli, joka sijaitsee x-akselin alapuolella x-akselin ympärillä.
2) Rakennetaan kaavio lineaarifunktiosta \ (y = \ frac (5x-9) (3) \). Pisteitä (0; –3) ja (3; 2) on kätevää käyttää ohjauspisteinä.

On välttämätöntä, että suoran piste x = 1,8 leikkauskohdan abskissa -akselin kanssa sijaitsee paraabelin vasemman leikkauspisteen oikealla puolella abskissa -akselin kanssa - tämä on piste \ (x = 3- \ sqrt ( 2) \) (koska \ (3- \ sqrt (2) 3) Piirustuksen perusteella kaaviot leikkaavat kaksi pistettä - A (3; 2) ja B (6; 7) Korvaamalla näiden pisteiden abscisit x = 3 ja x = 6 annetussa yhtälössä, varmistamme, että molemmille toinen arvo antaa oikean numeerisen yhtäläisyyden, mikä tarkoittaa, että hypoteesimme vahvistettiin - yhtälöllä on kaksi juurta: x = 3 ja x = 6. Vastaus: 3; 6.

Kommentti... Graafinen menetelmä kaikesta armostaan ​​huolimatta ei ole kovin luotettava. Tarkastellussa esimerkissä se toimi vain siksi, että yhtälön juuret ovat kokonaislukuja.

ESIMERKKI 3. Ratkaise yhtälö \ (| 2x-4 | + | x + 3 | = 8 \)

Ensimmäinen tapa
Lausekkeesta 2x - 4 tulee 0 pisteessä x = 2 ja lausekkeesta x + 3 pisteessä x = –3. Nämä kaksi pistettä jakavat numerolinjan kolmeen väliin: \ (x

Harkitse ensimmäistä väliä: \ (( - \ infty; \; -3) \).
Jos x Otetaan huomioon toinen väli: \ ([- 3; \; 2) \).
Jos \ (- 3 \ leq x Harkitse kolmatta aikaväliä: \ ()