Numeerisia segmenttejä, intervalleja, puoliväliä ja säteitä kutsutaan numeerisiksi intervalleiksi. Numeeriset intervallit Funktio

B) Numerorivi

Harkitse numeroviivaa (kuva 6):

Harkitse rationaalilukujen joukkoa

Jokaista rationaalilukua edustaa tietty piste numeroakselilla. Joten numerot on merkitty kuvaan.

Todistetaan se.

Todiste. Olkoon murto-osa: . Meillä on oikeus pitää tätä murto-osaa pelkistämättömänä. Koska , niin - luku on parillinen: - pariton. Korvaamalla sen lausekkeen löydämme: , mikä tarkoittaa, että se on parillinen luku. Olemme saaneet ristiriidan, joka vahvistaa väitteen.

Joten kaikki numeroakselin pisteet eivät edusta rationaalilukuja. Ne pisteet, jotka eivät edusta rationaalilukuja, edustavat kutsuttuja lukuja irrationaalinen.

Mikä tahansa muodon luku on joko kokonaisluku tai irrationaalinen luku.

Numeeriset intervallit

Numeerisia segmenttejä, intervalleja, puoliväliä ja säteitä kutsutaan numeerisiksi intervalleiksi.

Esitetään numerot koordinaattiviivalla a Ja b, sekä numero x heidän välillään.

Kaikkien ehdon täyttävien numeroiden joukko a ≤ x ≤ b, nimeltään numeerinen segmentti tai vain segmentti. Se on nimetty seuraavasti: [ a; b] - Se kuuluu näin: segmentti a:sta b:hen.

Ehdon täyttävä numerosarja a< x < b , nimeltään intervalli. Se on nimetty seuraavasti: ( a; b)

Se kuuluu näin: väli a:sta b:hen.

Lukujoukot, jotka täyttävät ehdot a ≤ x< b или a<x ≤ b, kutsutaan puolivälit. Nimitykset:

Aseta ≤ x< b обозначается так:[a; b), kuuluu näin: puoliväli alkaen a ennen b, mukaan lukien a.

Joukko a<x ≤ b ilmoitetaan seuraavasti:( a; b], kuuluu näin: puoliväli alkaen a ennen b, mukaan lukien b.

Nyt kuvitellaan säde pisteellä a, jonka oikealla ja vasemmalla puolella on joukko numeroita.

a, täyttää ehdon x ≥ a, nimeltään numeerinen säde.

Se on nimetty seuraavasti: [ a; +∞)-Lukee näin: numeerinen säde kohteesta a plus äärettömyyteen.

Numerojoukko pisteen oikealla puolella a, joka vastaa epätasa-arvoa x>a, nimeltään avaa numerosäde.

Se on nimetty seuraavasti: ( a; +∞)-Lukee näin: avoin numeerinen säde kohteesta a plus äärettömyyteen.

a, täyttää ehdon x ≤ a, nimeltään numeerinen säde miinus äärettömästäa .

Se on merkitty seuraavasti:( - ∞; a]-Lukee näin: numeerinen säde miinus äärettömästä a.

Numerojoukko pisteen vasemmalla puolella a, joka vastaa epätasa-arvoa x< a , nimeltään avaa lukusäde miinus äärettömästäa .

Se on nimetty seuraavasti: ( - ∞; a)-Lukee näin: avoin lukusäde miinus äärettömästä a.

Reaalilukujen joukkoa edustaa koko koordinaattiviiva. Häntä kutsutaan numeroviiva. Se on nimetty seuraavasti: ( - ∞; + ∞ )

3) Yhden muuttujan lineaariset yhtälöt ja epäyhtälöt, niiden ratkaisut:

Yhtälöä, joka sisältää muuttujan, kutsutaan yhtälöksi, jossa on yksi muuttuja, tai yhtälöksi, jossa on yksi tuntematon. Esimerkiksi yhtälö, jossa on yksi muuttuja, on 3(2x+7)=4x-1.

Yhtälön juuri tai ratkaisu on muuttujan arvo, jossa yhtälöstä tulee todellinen numeerinen yhtälö. Esimerkiksi luku 1 on yhtälön 2x+5=8x-1 ratkaisu. Yhtälöllä x2+1=0 ei ole ratkaisua, koska yhtälön vasen puoli on aina suurempi kuin nolla. Yhtälöllä (x+3)(x-4) =0 on kaksi juurta: x1= -3, x2=4.

Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa sen kaikkien juurten löytämistä tai sen todistamista, ettei juuria ole.

Yhtälöitä kutsutaan ekvivalenteiksi, jos kaikki ensimmäisen yhtälön juuret ovat toisen yhtälön juuria ja päinvastoin, kaikki toisen yhtälön juuret ovat ensimmäisen yhtälön juuria tai jos molemmilla yhtälöillä ei ole juuria. Esimerkiksi yhtälöt x-8=2 ja x+10=20 ovat ekvivalentteja, koska ensimmäisen yhtälön juuri x=10 on myös toisen yhtälön juuri ja molemmilla yhtälöillä on sama juuri.

Yhtälöitä ratkaistaessa käytetään seuraavia ominaisuuksia:

Jos siirrät yhtälön termiä osasta toiseen vaihtaen sen etumerkkiä, saat yhtälön, joka vastaa annettua yhtälöä.

Jos yhtälön molemmat puolet kerrotaan tai jaetaan samalla nollasta poikkeavalla luvulla, saadaan yhtälö, joka vastaa annettua yhtälöä.

Yhtälöä ax=b, jossa x on muuttuja ja a ja b joitakin lukuja, kutsutaan lineaariseksi yhtälöksi, jossa on yksi muuttuja.

Jos a¹0, yhtälöllä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Jos a=0, b=0, niin mikä tahansa x:n arvo täyttää yhtälön.

Jos a=0, b¹0, yhtälöllä ei ole ratkaisuja, koska 0x=b ei suoriteta millekään muuttujan arvolle.
Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö: -8(11-2x)+40=3(5x-4)

Avataan hakasulkeet yhtälön molemmilta puolilta, siirretään kaikki termit x:llä yhtälön vasemmalle puolelle ja termit, jotka eivät sisällä x:ää oikealle, saadaan:

16x-15x=88-40-12

Esimerkki 2. Ratkaise yhtälöt:

x3-2x2-98x+18=0;

Nämä yhtälöt eivät ole lineaarisia, mutta näytämme kuinka sellaiset yhtälöt voidaan ratkaista.

3x2-5x=0; x(3x-5)=0. Tulo on yhtä suuri kuin nolla, jos yksi tekijöistä on nolla, saadaan x1=0; x2= .

Vastaus: 0; .

Kerroin yhtälön vasen puoli:

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), so. (x-2)(x-3)(x+3)=0. Tämä osoittaa, että tämän yhtälön ratkaisut ovat luvut x1=2, x2=3, x3=-3.

c) Kuvittele 7x muodossa 3x+4x, niin meillä on: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, joten x1=-3, x2=-4.

Vastaus: -3; - 4.
Esimerkki 3. Ratkaise yhtälö: ½x+1ç+½x-1ç=3.

Muistakaamme luvun moduulin määritelmä:

Esimerkiksi: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.

Tässä yhtälössä moduulimerkin alla ovat luvut x-1 ja x+1. Jos x on pienempi kuin –1, niin luku x+1 on negatiivinen, silloin ½x+1½=-x-1. Ja jos x>-1, niin ½x+1½=x+1. Kohdassa x=-1 ½x+1½=0.

Täten,

Samoin

a) Tarkastellaan tätä yhtälöä½x+1½+½x-1½=3 x £-1, se vastaa yhtälöä -x-1-x+1=3, -2x=3, x=, tämä luku kuuluu joukkoon x £-1.

b) Olkoon -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

c) Tarkastellaan tapausta x>1.

x+1+x-1=3, 2x=3, x= . Tämä numero kuuluu joukkoon x>1.

Vastaus: x1=-1,5; x2 = 1,5.
Esimerkki 4. Ratkaise yhtälö:½x+2½+3½x½=2½x-1½.

Esitetään lyhyt muistiinpano yhtälön ratkaisusta, paljastaen moduulin etumerkin "välien yli".

x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), - 4x=4, x=-2О(-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)

Vastaus: [-2; 0]
Esimerkki 5. Ratkaise yhtälö: (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2), kaikille parametrin a arvoille.

Tässä yhtälössä on itse asiassa kaksi muuttujaa, mutta katso, että x on tuntematon ja a on parametri. Muuttujan x yhtälö on ratkaistava mille tahansa parametrin a arvolle.

Jos a=1, yhtälön muoto on 0×x=0, mikä tahansa luku täyttää tämän yhtälön.

Jos a=-1, yhtälö näyttää tältä 0×x=-2, yksikään luku ei täytä tätä yhtälöä.

Jos a¹1, a¹-1, yhtälöllä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Vastaus: jos a=1, niin x on mikä tahansa luku;

jos a=-1, niin ratkaisuja ei ole;

jos a¹±1, niin .

B) Lineaariset epäyhtälöt yhdellä muuttujalla.

Jos muuttujalle x annetaan mikä tahansa numeerinen arvo, saadaan numeerinen epäyhtälö, joka ilmaisee joko tosi tai epätosi lauseen. Olkoon esimerkiksi epäyhtälö 5x-1>3x+2. Kun x=2 saadaan 5·2-1>3·2+2 – tosi lause (true numeerinen lauseke); kohdassa x=0 saamme 5·0-1>3·0+2 – väärä väite. Mitä tahansa muuttujan arvoa, jossa tietty epäyhtälö muuttujan kanssa muuttuu todelliseksi numeeriseksi epäyhtälöksi, kutsutaan epäyhtälön ratkaisuksi. Epäyhtälön ratkaiseminen muuttujalla tarkoittaa sen kaikkien ratkaisujen joukon löytämistä.

Kahden epäyhtälön, joilla on sama muuttuja x, sanotaan olevan ekvivalentteja, jos näiden epäyhtälöiden ratkaisujoukot ovat samat.

Epäyhtälön ratkaisemisen pääidea on seuraava: korvaamme annetun epäyhtälön toisella, yksinkertaisemmalla, mutta vastaavalla kuin annettu; korvaamme taas tuloksena olevan epäyhtälön sitä vastaavalla yksinkertaisemmalla epäyhtälöllä jne.

Tällaiset korvaukset tehdään seuraavien lausuntojen perusteella.

Lause 1. Jos mikä tahansa epäyhtälön termi, jolla on yksi muuttuja, siirretään epäyhtälön osasta toiseen päinvastaisella etumerkillä jättäen epäyhtälön etumerkki ennalleen, saadaan annettua vastaava epäyhtälö.

Lause 2. Jos epäyhtälön, jossa on yksi muuttuja, molemmat puolet kerrotaan tai jaetaan samalla positiivisella luvulla jättäen epäyhtälön etumerkki ennalleen, niin saadaan annettua vastaava epäyhtälö.

Lause 3. Jos epäyhtälön, jossa on yksi muuttuja, molemmat puolet kerrotaan tai jaetaan samalla negatiivisella luvulla samalla kun epäyhtälön etumerkki vaihdetaan päinvastaiseksi, saadaan annettua vastaava epäyhtälö.

Epäyhtälöä, jonka muoto on ax+b>0, kutsutaan lineaariseksi (vastaavasti ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

Esimerkki 1. Ratkaise epäyhtälö: 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).

Kun sulut avataan, saadaan 2x-6+5-5x³6x-15,

"Luokan 7 algebrataulukot" - Neliöiden ero. Ilmaisut. Sisältö. Algebran laskentataulukot.

"Numeeriset funktiot" - Joukkoa X kutsutaan funktion f osoitusalueeksi tai määrittelyalueeksi ja sitä merkitään D (f). Funktiokaavio. Jokainen suora ei kuitenkaan ole jonkin funktion kaavio. Esimerkki 1. Laskuvarjohyppääjä hyppää leijuvasta helikopterista. Vain yksi numero. Toimintojen osittainen jako. Luonnonilmiöt liittyvät läheisesti toisiinsa.

"Numerosarjat" - Oppitunti-konferenssi. "Numerosekvenssit". Geometrinen eteneminen. Tehtävänantomenetelmät. Aritmeettinen progressio. Numerosarjat.

"Numeerisen sekvenssin raja" - Ratkaisu: Menetelmät sekvenssien määrittämiseen. Rajoitettu numerosarja. Suuruutta уn kutsutaan sekvenssin yhteiseksi termiksi. Numerosarjan raja. Funktion jatkuvuus pisteessä. Esimerkki: 1, 4, 9, 16, ..., n2, ... - rajoitettu alhaalta 1:llä. Määrittämällä analyyttinen kaava. Rajojen ominaisuudet.

"Numerosarja" - Numerosarja (numerosarja): numerot, jotka on kirjoitettu tietyssä järjestyksessä. 2. Menetelmät sekvenssien määrittämiseksi. 1. Määritelmä. Jakson nimitys. Jaksot. 1. Kaava sekvenssin n:nnelle jäsenelle: - voit etsiä minkä tahansa sekvenssin jäsenen. 3. Numerosekvenssikaavio.

"Pöydät" - Öljyn ja kaasun tuotanto. Taulukko 2. Taulukko 5. Taulukkotietomallit. Käyttöjärjestelmän tyyppitaulukon muodostamisjärjestys. Taulukko 4. Vuosiarviot. Taulukon numero. "Objektit – objektit" -tyyppiset taulukot. 10 "B"-luokan oppilaita. Taulukon rakenne. Objekti-ominaisuustyypin taulukot. Esineiden parit kuvataan; Kiinteistöjä on vain yksi.

Lukujoukkojen joukossa on joukkoja, joissa objektit ovat numeerisia välejä. Joukkoa ilmaistaessa se on helpompi määrittää intervallin perusteella. Siksi kirjoitamme muistiin ratkaisujoukkoja numeeristen välien avulla.

Tämä artikkeli tarjoaa vastauksia kysymyksiin numeerisista intervalleista, nimistä, merkinnöistä, kuvista intervalleista koordinaattiviivalla ja epäyhtälöiden vastaavuudesta. Lopuksi keskustellaan erotaulukosta.

Jokaiselle numerovälille on tunnusomaista:

• nimi;
• tavallisen tai kaksinkertaisen epätasa-arvon esiintyminen;
• nimitys;
• geometrinen kuva suoralla koordinaatilla.

Numeerinen väli määritetään millä tahansa 3 menetelmällä yllä olevasta luettelosta. Eli käytettäessä epäyhtälöä, merkintää, kuvaa koordinaattiviivalla. Tämä menetelmä on sopivin.

Kuvataan numeeriset intervallit yllämainituilla puolilla:

Määritelmä 2

• Avaa numerosäde. Nimi tulee siitä, että se jätetään pois ja jätetään auki.

Tällä välillä on vastaavat epäyhtälöt x< a или x >a , jossa a on jokin reaaliluku. Eli sellaisella säteellä on kaikki reaaliluvut, jotka ovat pienempiä kuin a - (x< a) или больше a - (x >a) .

Lukujoukko, joka täyttää muotoa x olevan epäyhtälön< a обозначается виде промежутка (− ∞ , a) , а для x >a as (a , + ∞) .

Avoimen säteen geometrinen merkitys ottaa huomioon numeerisen välin olemassaolon. Koordinaattiviivan pisteiden ja sen numeroiden välillä on vastaavuus, minkä vuoksi suoraa kutsutaan koordinaattiviivaksi. Jos haluat vertailla lukuja, niin koordinaattirivillä suurempi numero on oikealla. Sitten epäyhtälö muotoa x< a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x >a – pisteet, jotka ovat oikealla. Numero itsessään ei sovellu ratkaisuun, joten se on merkitty piirustuksessa pisteellä. Tarvittava aukko korostetaan varjostuksella. Harkitse alla olevaa kuvaa.

Yllä olevasta kuvasta käy selvästi ilmi, että numeeriset välit vastaavat suoran osia, eli säteitä, joiden alku on a. Toisin sanoen niitä kutsutaan säteiksi ilman alkua. Siksi se sai nimen avoin numerosäde.

Katsotaanpa muutama esimerkki.

Esimerkki 1

Tietylle tiukalle epäyhtälölle x > − 3 määritellään avoin säde. Tämä merkintä voidaan esittää koordinaattien muodossa (− 3, ∞). Eli nämä ovat kaikki pisteet, jotka sijaitsevat oikealla kuin -3.

Esimerkki 2

Jos meillä on muotoa x oleva epäyhtälö< 2 , 3 , то запись (− ∞ , 2 , 3) является аналогичной при задании открытого числового луча.

Määritelmä 3

• Numerovalo. Geometrinen merkitys on, että alkua ei hylätä, toisin sanoen säde säilyttää käyttökelpoisuutensa.

Sen tehtävä suoritetaan käyttämällä ei-tiukkoja epäyhtälöitä muotoa x ≤ a tai x ≥ a. Tälle tyypille hyväksytään muodon erikoismerkit (− ∞, a ] ja [ a , + ∞), ja hakasulkeen läsnäolo tarkoittaa, että piste sisältyy ratkaisuun tai joukkoon. Harkitse alla olevaa kuvaa.

Selkeän esimerkin saamiseksi määritellään numeerinen säde.

Esimerkki 3

Epäyhtälö muotoa x ≥ 5 vastaa merkintää [ 5 , + ∞), jolloin saadaan seuraavan muotoinen säde:

Määritelmä 4

• Intervalli. Väyliä käyttävä lauseke kirjoitetaan käyttämällä kaksois-epäyhtälöitä a< x < b , где а и b являются некоторыми действительными числами, где a меньше b , а x является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше a , но меньше b . Обозначение такого интервала принято записывать в виде (a , b) . Наличие круглых скобок говорит о том, что число a и b не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает 2 выколотые точки.

Harkitse alla olevaa kuvaa.

Esimerkki 4

Intervalliesimerkki − 1< x < 3 , 5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала (− 1 , 3 , 5) . Изобразим на координатной прямой и рассмотрим.

Määritelmä 5

• Numeerinen segmentti. Tämä väli eroaa siten, että se sisältää rajapisteitä, jolloin se on muotoa a ≤ x ≤ b. Tällainen ei-tiukka epäyhtälö viittaa siihen, että kirjoitettaessa numeerisen segmentin muodossa käytetään hakasulkeita [a, b], mikä tarkoittaa, että pisteet sisältyvät joukkoon ja ne esitetään varjostettuina.

Esimerkki 5

Janaa tutkittuamme toteamme, että sen määrittely on mahdollista käyttämällä kaksois-epäyhtälöä 2 ≤ x ≤ 3, jonka esitämme muodossa 2, 3. Koordinaattiviivalla annetut pisteet sisällytetään ratkaisuun ja varjostetaan.

Määritelmä 6 Esimerkki 6

Jos on puoliväli (1, 3], sen nimitys voi olla kaksois-epäyhtälön 1 muodossa< x ≤ 3 , при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3 , где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой.

Intervallit voidaan kuvata seuraavasti:

• avoin numero säde;
• numero säde;
• intervalli;
• numerorivi;
• puoliväli

Laskentaprosessin yksinkertaistamiseksi sinun on käytettävä erityistä taulukkoa, joka sisältää nimitykset rivin kaikentyyppisille numeerisille intervalleille.

Nimi	Epätasa-arvo	Nimitys	Kuva
Avaa numerosäde	x< a	- ∞ , a
	x>a	a , + ∞
Numerovalo	x ≤ a	(- ∞ , a ]
	x ≥ a	[a, + ∞)
Intervalli	a< x < b	a, b
Numeerinen segmentti	a ≤ x ≤ b	a, b
Puoliväli

Numeeriset intervallit sisältävät säteet, segmentit, intervallit ja puolivälit.

Numeeristen intervallien tyypit

Pöydässä a Ja b ovat rajapisteitä ja x- muuttuja, joka voi ottaa minkä tahansa numeeriseen väliin kuuluvan pisteen koordinaatin.

Rajapiste- tämä on piste, joka määrittää numeerisen välin rajan. Rajapiste voi kuulua tai ei kuulua numeeriseen väliin. Piirustuksissa rajapisteet, jotka eivät kuulu tarkasteltavana olevaan numeeriseen väliin, on merkitty avoimella ympyrällä ja niihin kuuluvat täytetyllä ympyrällä.

Avoin ja suljettu palkki

Avoin palkki on joukko pisteitä linjalla, joka sijaitsee rajapisteen toisella puolella, joka ei sisälly tähän joukkoon. Sädettä kutsutaan avoimeksi juuri sen rajapisteen vuoksi, joka ei kuulu siihen.

Tarkastellaan koordinaattiviivan pisteiden joukkoa, joiden koordinaatti on suurempi kuin 2 ja jotka siksi sijaitsevat pisteen 2 oikealla puolella:

Tällainen joukko voidaan määritellä epäyhtälöllä x> 2. Avoimet säteet merkitään suluilla - (2; +∞), tämä merkintä kuuluu näin: avoin numeerinen säde kahdesta plus äärettömään.

Joukko, jota epäyhtälö vastaa x < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:

Suljettu valo on joukko pisteitä viivalla, joka sijaitsee tiettyyn joukkoon kuuluvan rajapisteen toisella puolella. Piirustuksissa tarkasteltavaan joukkoon kuuluvat rajapisteet on merkitty täytetyllä ympyrällä.

Suljetut lukusäteet määritellään ei-tiukkojen epäyhtälöiden avulla. Esimerkiksi eriarvoisuudet x 2 ja x 2 voidaan kuvata näin:

Nämä suljetut säteet on merkitty seuraavasti: , se luetaan näin: numeerinen säde kahdesta plus äärettömään ja numeerinen säde miinus äärettömästä kahteen. Hakasulke merkinnässä osoittaa, että piste 2 kuuluu numeroväliin.

Jana

Jana on pisteiden joukko viivalla, joka sijaitsee kahden tiettyyn joukkoon kuuluvan rajapisteen välissä. Tällaiset joukot määritellään kaksinkertaisilla ei-tiukoilla epäyhtälöillä.

Tarkastellaan koordinaattiviivan segmenttiä, jonka päät ovat pisteissä -2 ja 3:

Tietyn janan muodostavien pisteiden joukko voidaan määrittää kaksois-epäyhtälöllä -2 x 3 tai merkitse [-2; 3], tällainen tietue kuuluu näin: segmentti miinus kahdesta kolmeen.

Intervalli ja puoliväli

Intervalli- tämä on pisteiden joukko viivalla, joka sijaitsee kahden rajapisteen välissä, jotka eivät kuulu tähän joukkoon. Tällaiset joukot määritellään kaksinkertaisella tiukalla epätasa-arvolla.

Tarkastellaan koordinaattiviivan segmenttiä, jonka päät ovat pisteissä -2 ja 3:

Tietyn välin muodostavien pisteiden joukko voidaan määrittää kaksois-epäyhtälöllä -2< x < 3 или обозначить (-2; 3). Такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.

Puoliväli on pisteiden joukko viivalla, joka sijaitsee kahden rajapisteen välissä, joista toinen kuuluu joukkoon ja toinen ei. Tällaiset joukot määritellään kaksois-epäyhtälöillä:

Nämä puolivälit on merkitty seuraavasti: (-2; 3] ja [-2; 3]. Se kuuluu näin: puoliväli miinus kahdesta kolmeen, mukaan lukien 3, ja puoliväli miinus kahdesta kolmeen, mukaan lukien miinus kaksi.