Rationaalisten epäyhtälöiden ratkaiseminen intervallimenetelmällä.

Intervallimenetelmä on universaali tapa ratkaista melkein kaikki koulualgebran kurssilla esiintyvät epäyhtälöt. Se perustuu seuraaviin funktioiden ominaisuuksiin:

1. Jatkuva funktio g(x) voi muuttaa etumerkkiä vain siinä kohdassa, jossa se on yhtä kuin 0. Graafisesti tämä tarkoittaa, että jatkuvan funktion kuvaaja voi siirtyä puolitasolta toiselle vain, jos se leikkaa x:n. -akseli (muistamme, että minkä tahansa OX-akselilla sijaitsevan pisteen ordinaatit (abskissa-akseli) on yhtä suuri kuin nolla, eli funktion arvo tässä pisteessä on 0):

Näemme, että kaaviossa esitetty funktio y=g(x) leikkaa OX-akselin pisteissä x= -8, x=-2, x=4, x=8. Näitä pisteitä kutsutaan funktion nolliksi. Ja samoissa kohdissa funktio g(x) muuttaa etumerkkiä.

2. Funktio voi myös muuttaa etumerkkiä nimittäjän nollien kohdalla - yksinkertaisin esimerkki on hyvin tunnettu funktio:

Näemme, että funktio vaihtaa etumerkkiä nimittäjän juuressa, pisteessä , mutta ei katoa missään vaiheessa. Siten, jos funktio sisältää murtoluvun, se voi muuttaa etumerkkiä nimittäjän juurissa.

2. Funktio ei kuitenkaan aina vaihda etumerkkiä osoittajan tai nimittäjän juuressa. Esimerkiksi funktio y=x 2 ei muuta etumerkkiä pisteessä x=0:

Koska yhtälöllä x 2 =0 on kaksi yhtäläistä juuria x=0, pisteessä x=0 funktio näyttää kääntyvän kahdesti arvoon 0. Tällaista juuria kutsutaan toisen kerrannaisuudeksi.

Toiminto muuttaa etumerkkiä osoittajan nollassa, mutta ei muuta etumerkkiä nimittäjän nollassa: , koska juuri on toisen kerrannaismäärän eli parillisen monikertaisuuden juuri:

Tärkeä! Parillisen monikertaisuuden juurissa funktio ei vaihda etumerkkiä.

Huomautus! Minkä tahansa epälineaarinen Koulualgebran kurssien epätasa-arvot ratkaistaan ​​yleensä intervallimenetelmällä.

Tarjoan sinulle yksityiskohtaisen, jota seuraamalla voit välttää virheitä milloin epälineaaristen epäyhtälöiden ratkaiseminen.

1. Ensin sinun täytyy tuoda epätasa-arvo muotoon

P(x)V0,

missä V on epätasa-arvomerkki:<,>,≤ tai ≥. Tätä varten tarvitset:

a) siirrä kaikki termit epäyhtälön vasemmalle puolelle,

b) etsi tuloksena olevan lausekkeen juuret,

c) kerro epäyhtälön vasen puoli

d) kirjoita identtiset tekijät potenssiksi.

Huomio! Viimeinen vaihe on tehtävä, jotta ei tehdä virhettä juurien moninkertaisuuden kanssa - jos tuloksena on kerroin parilliseen potenssiin, niin vastaavalla juurella on parillinen monikerta.

2. Piirrä löydetyt juuret lukuakselille.

3. Jos epäyhtälö on tiukka, niin numeroakselin juuria osoittavat ympyrät jätetään "tyhjiksi", jos epäyhtälö ei ole tiukka, täytetään ympyrät.

4. Valitsemme parillisen moninkertaisuuden juuret - niistä P(x) merkki ei muutu.

5. Määritä merkki P(x) oikeanpuoleisessa raossa. Tätä varten ota mielivaltainen arvo x 0, joka on suurempi kuin suurempi juuri, ja korvaa se arvolla P(x).

Jos P(x 0)>0 (tai ≥0), niin oikeanpuoleisimpaan tilaan laitetaan “+”-merkki.

Jos P(x 0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

Kun kuljetaan parillisen monikertaisuuden juurta ilmaisevan pisteen läpi, merkki EI MUUTU.

7. Katsomme jälleen alkuperäisen epäyhtälön etumerkkiä ja valitsemme tarvitsemamme merkin välit.

8. Huomio! Jos epäyhtälömme EI ole tiukka, tarkistamme tasa-arvon ehdon nollaan erikseen.

9. Kirjoita vastaus muistiin.

Jos alkuperäinen epäyhtälön nimittäjässä on tuntematon, sitten siirretään myös kaikki termit vasemmalle ja vähennetään epäyhtälön vasen puoli muotoon

(jossa V on epätasa-arvomerkki:< или >)

Tämän tyyppinen tiukka eriarvoisuus vastaa epätasa-arvoa

EI tiukkaa muodon epätasa-arvo

vastaava järjestelmä:

Käytännössä, jos funktiolla on muoto , toimitaan seuraavasti:

1. Etsi osoittajan ja nimittäjän juuret.
2. Levitämme ne akseliin. Jätä kaikki piirit tyhjiksi. Sitten, jos epäyhtälö ei ole tiukka, maalataan osoittajan juuret päälle ja nimittäjän juuret jätetään aina tyhjiksi.
3. Seuraavaksi noudatamme yleistä algoritmia:
4. Valitsemme parillisen monikertaisuuden juuret (jos osoittaja ja nimittäjä sisältävät samat juuret, lasketaan kuinka monta kertaa samat juuret esiintyvät). Tasaisen moninkertaisuuden juurissa merkki ei muutu.
5. Löydämme oikeanpuoleisimman raon merkin.
6. Laitamme kylttejä.
7. Ei-tiukan epätasa-arvon tapauksessa tarkastetaan tasa-arvon ehto ja nollan ehto erikseen.
8. Valitsemme tarvittavat raot ja vapaasti seisovat juuret.
9. Kirjoitamme vastauksen muistiin.

Ymmärtääkseen paremmin algoritmi epäyhtälöiden ratkaisemiseksi intervallimenetelmällä, katso VIDEOOPAS, joka selittää esimerkin yksityiskohtaisesti epäyhtälöiden ratkaiseminen intervallimenetelmällä.

Rationaalisen epätasa-arvon järjestelmät

Oppitunnin teksti

• abstrakti [Bezdenezhnykh L.V.]

  Algebra, 9. luokka UMK: A.G. Mordkovich. Algebra. 9-luokka. Klo 2 Osa 1. Oppikirja; Osa 2. Ongelmakirja; M.: Mnemosyne, 2010 Oppimistaso: perus Oppitunnin aihe: Rational epätasa-arvojärjestelmät. (Ensimmäinen oppitunti aiheesta, aiheen tutkimiseen on varattu yhteensä 3 tuntia) Oppitunti uuden aiheen opiskelusta. Oppitunnin tavoite: toista lineaaristen epäyhtälöiden ratkaiseminen; esittele epätasa-arvojärjestelmän käsitteet, selitä yksinkertaisimpien lineaaristen epäyhtälöysjärjestelmien ratkaisu; kehittää kykyä ratkaista minkä tahansa monimutkaisen lineaarisen epätasa-arvon järjestelmiä. Tavoitteet: Kasvatus: aiheen opiskelu olemassa olevan tiedon pohjalta, käytännön taitojen lujittaminen lineaarisen epätasa-arvon järjestelmien ratkaisemisessa opiskelijoiden itsenäisen työskentelyn ja heistä parhaiten valmistautuneiden luentojen ja neuvontatoiminnan tuloksena. Kehittävä: kognitiivisen kiinnostuksen, ajattelun itsenäisyyden, muistin, opiskelijoiden oma-aloitteisuuden kehittäminen kommunikatiivisten ja toimintalähtöisten menetelmien sekä ongelmalähtöisen oppimisen elementtien avulla. Koulutus: kommunikaatiotaitojen muodostuminen, kommunikaatiokulttuuri, yhteistyö. Suoritustavat: - luento, jossa on keskustelun elementtejä ja ongelmalähtöistä oppimista; -opiskelijoiden itsenäinen työskentely oppikirjan teoreettisen ja käytännön materiaalin kanssa; -kehitetään lineaarisen epätasa-arvon järjestelmien formalisointikulttuuria. Suunnitellut tulokset: Opiskelija muistaa lineaaristen epäyhtälöiden ratkaisemisen, merkitsee epäyhtälöiden ratkaisujen leikkauspisteen lukusuoraan ja oppii ratkaisemaan lineaaristen epäyhtälöiden järjestelmiä. Tuntivälineet: taulu, monisteet (sovellus), oppikirjat, työkirjat. Oppitunnin sisältö: 1. Organisatorinen hetki. Kotitehtävien tarkistaminen. 2. Tietojen päivittäminen. Oppilaat täyttävät yhdessä opettajan kanssa taululla olevan taulukon: Epäyhtälökaavio Intervalli Alla on valmis taulukko: Epäyhtälökaavio Intervalli 3. Matemaattinen sanelu. Valmistautuminen uuden aiheen hahmottamiseen. 1. Ratkaise epäyhtälöt esimerkkitaulukon avulla: Vaihtoehto 1 Vaihtoehto 2 Vaihtoehto 3 Vaihtoehto 4 2. Ratkaise epäyhtälöt, piirrä kaksi kuvaa samalle akselille ja tarkista onko luku 5 ratkaisu kahdelle epäyhtälölle: Vaihtoehto 1 Vaihtoehto 2 Vaihtoehto 3 Vaihtoehto 4 4. Uuden materiaalin selitys . Uuden materiaalin selitys (s. 40-44): 1. Määrittele epäyhtälöjärjestelmä (s. 41). Määritelmä: Useat yhden muuttujan x epäyhtälöt muodostavat epäyhtälöjärjestelmän, jos tehtävänä on löytää muuttujan kaikki sellaiset arvot, joille jokainen annetuista epäyhtälöistä muuttujan kanssa muuttuu oikeaksi numeeriseksi epäyhtälöksi. 2. Esittele epätasa-arvojärjestelmän tietyn ja yleisen ratkaisun käsite. Mitä tahansa tällaista x:n arvoa kutsutaan epäyhtälöjärjestelmän ratkaisuksi (tai tietyksi ratkaisuksi). Kaikkien yksittäisten ratkaisujen joukko eriarvoisuusjärjestelmään edustaa yleistä ratkaisua epätasa-arvojärjestelmään. 3. Tarkastellaan oppikirjassa esimerkin 3 (a, b, c) mukaista ratkaisua epätasa-arvojärjestelmiin. 4. Tee yhteenveto päättelystä ratkaisemalla järjestelmä:. 5. Uuden materiaalin yhdistäminen. Ratkaise tehtäviä kohdista 4.20 (a, b), 4.21 (a, b). 6. Testityö Tarkista uuden materiaalin assimilaatio auttamalla aktiivisesti tehtävien ratkaisemisessa vaihtoehtojen mukaan: Vaihtoehto 1 a, c nro 4.6, 4.8 vaihtoehto 2 b, d nro 4.6, 4.8 7. Yhteenveto. Pohdiskelu Mitä uusia käsitteitä opit tänään? Oletko oppinut löytämään ratkaisuja lineaarisen epätasa-arvon järjestelmään? Missä onnistuit eniten, mitkä osa-alueet onnistuivat parhaiten? 8. Kotitehtävät: Nro 4.5, 4.7.; teoria oppikirjassa s. 40-44; Lisääntyneen motivaation opiskelijoille nro 4.23 (c, d). Sovellus. Vaihtoehto 1. Epäyhtälön piirustusväli 2. Ratkaise epäyhtälöt, piirrä kaksi piirustusta samalle akselille ja tarkista onko luku 5 ratkaisu kahdelle epäyhtälölle: Epäyhtälöt Piirustus Vastaus kysymykseen. Vaihtoehto 2. Epäyhtälöpiirrosväli 2. Ratkaise epäyhtälöt, piirrä kaksi piirustusta samalle akselille ja tarkista onko luku 5 ratkaisu kahdelle epäyhtälölle: Epäyhtälöt Piirustus Vastaus kysymykseen. Vaihtoehto 3. Epäyhtälöiden piirustusväli 2. Ratkaise epäyhtälöt, piirrä kaksi piirustusta samalle akselille ja tarkista onko luku 5 ratkaisu kahdelle epäyhtälölle: Epäyhtälöt Piirustus Vastaus kysymykseen. Vaihtoehto 4. Epäyhtälöiden piirustusväli 2. Ratkaise epäyhtälöt, piirrä kaksi piirustusta samalle akselille ja tarkista onko luku 5 ratkaisu kahdelle epäyhtälölle: Epäyhtälöt Piirustus Vastaa kysymykseen.

  Lataa: Algebra 9kl - muistiinpanot [Bezdenezhnykh L.V.].docx

• oppituntimuistiinpanot 2-4 [Zvereva L.P.]

   Algebra 9. luokka UMK: ALGEBRA-9TH LUOKKA, A.G. MORDKOVICH.P.V. Semjonov, 2014. Taso - perusoppiminen Oppitunnin aihe: Rationaaliset epätasa-arvojärjestelmät Aiheen opiskeluun varatut kokonaistuntimäärät - 4 tuntia Oppitunnin paikka aiheen tuntijärjestelmässä oppitunti nro 2; nro 3; Nro 4. Oppitunnin tarkoitus: Opettaa opiskelijoille luomaan epätasa-arvojärjestelmiä sekä opettaa ratkaisemaan oppikirjan kirjoittajan ehdottamia valmiita järjestelmiä. Oppitunnin tavoitteet: Kehittää taitoja: ratkaista vapaasti analyyttisesti epäyhtälösysteemejä ja myös pystyä siirtämään ratkaisu koordinaattiviivalle vastauksen kirjoittamiseksi oikein, työskennellä itsenäisesti annetun materiaalin kanssa. .Suunnitellut tulokset: Opiskelija osaa ratkaista valmiita järjestelmiä sekä luoda tehtävien tekstiehtojen perusteella epäyhtälöjärjestelmiä ja ratkaista kootun mallin. Oppitunnin tekninen tuki: UMK: ALGEBRA-9TH CLASS, A.G. MORDKOVICH.P.V. Semjonov. Työkirja, projektori mielenlaskujen suorittamiseen, tulosteet lisätehtävistä vahvoille opiskelijoille. Metodologinen ja didaktinen lisätuki oppitunnille (linkit Internet-resursseihin ovat mahdollisia): 1. Manuaali N.N. Khlevnyuk, M.V. Ivanova, V.G. Ivaštšenko, N.S. Melkova "Laskennallisten taitojen muodostuminen matematiikan tunneilla, luokat 5-9" 2.G.G. Levitas "Matemaattiset sanelut" luokat 7-11.3. T.G. Gulina “Matemaattinen simulaattori” 5-11 (4 vaikeustasoa) Matematiikan opettaja: Zvereva L.P. Oppitunti nro 2 Tavoitteet: Kehittää taitoja ratkaista rationaalinen epäyhtälöllisyys käyttämällä geometrista tulkintaa havainnollistamaan ratkaisutulosta. Oppitunnin eteneminen 1. Organisatorinen hetki: Luokan asettaminen työhön, oppitunnin aiheen ja tarkoituksen kertominen 11 Kotitehtävän tarkistus 1. Teoreettinen osa: * Mikä on rationaalisen epätasa-arvon analyyttinen tietue * Mikä on analyyttinen tietue rationaalisen epätasa-arvon järjestelmä * Mitä tarkoittaa eriarvoisuusjärjestelmän ratkaiseminen * Mikä on rationaalisen epätasa-arvon järjestelmän ratkaisemisen tulos. 2. Käytännön osa: *Ratkaise taululla tehtävät, jotka aiheuttivat opiskelijoille vaikeuksia. Kotitehtäviä tehdessä II1 Harjoitusten tekeminen. 1. Toista menetelmät polynomin laskentaan. 2. Toista, mikä on intervallimenetelmä epäyhtälöiden ratkaisemiseen. 3. Ratkaise järjestelmä. Ratkaisua johtaa vahva oppilas taulun ääressä opettajan valvonnassa. 1) Ratkaistaan ​​epäyhtälö 3x – 10 > 5x – 5; 3x – 5x> – 5 + 10; – 2х> 5; X< – 2,5. 2) Решим неравенство х2 + 5х + 6 < 0; Найдём корни данного трёхчлена х2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х1=-3 х2 = – 2; тогда квадратный трёхчлен разложим по корням (х + 3)(х + 2) < 0. Имеем – 3 <х< – 2. 3) Найдем решение системы неравенств, для этого вынесим оба решения на одну числовую прямую. Вывод: решения совпали на промежутке от-3 до - 2,5(произошло перекрытие штриховок) О т в е т: – 3 <х< – 2,5. 4. Решить № 4.9 (б) самостоятельно споследующей проверкой. О т в е т: нет решений. 5.Повторяем теорему о квадратном трехчлене с отрицательным и положительным дискриминантом. Решаем №4.10(г) 1) Решим неравенство – 2х2 + 3х – 2 < 0; Найдём корни – 2х2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 < 0. По теореме неравенство верно при любых значениях х. 2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х<х; – 18х + 3 – 2х<х; – 20х – х<< – 3; – 21х<– 3; 3) х>Ratkaisu tälle epäyhtälöjärjestelmälle x> Vastaus: x> 6. Ratkaise nro 4.10 (c) taululle ja muistikirjoihin. Ratkaistaan ​​epäyhtälö 5x2 – 2x + 1 ≤ 0. 5x2-2x + 1 = 0; D = 4 – 20 = –16< 0. По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений. О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение. в) 1) Решим неравенство 2х2 + 5х + 10 >0. 2x2 + 5x + 10 = 0; D = -55< 0. По теореме неравенство верно при всех значениях х.-любое число 2) Решим неравенство х2 ≥ 16; х2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4; х = – 4. Решение х ≤ –4 их ≥ 4. Объединяем решения двух неравенств в систему 3) Решение системы неравенств являются два неравенства О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4. 8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях. Решение Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6. О т в е т: –2; 6. 9. Повторение ранее изученного материала. 1) Решить № 4.1 (а; -г) 4.2(а-г) на с. 25 устно. 2) Решить графически уравнение Строим графики функций y = –1 – x. О т в е т: –2. III. Итоги урока. 1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств. 2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений. 3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы. Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примеров 4 и 5 на с. 44–47 и записать решение в тетрадь; решить № 4.9 (а; в), № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.13 (а;б). . У р о к 3 Цели: Научить учащихся при решении двойных неравенств и нахождении области определения выражений, составлять системы неравенств и решать их, а также научить решать системы содержащих модули; Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 1I. Проверка домашнего задания. 1. Проверить выборочно у нескольких учащихся выполнение ими домашнего задания. 2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. 3. Устно решить № 4.2 (б) и № 4.1 (г). 4.Устная вычислительная работа: Вычисли рациональным способом: а)53,76*(-7.9) -53,76 *2,1 б) -0,125*32.6*(-8) в) Выразим указанную переменную из заданной формулы: 2a= ,y=? II. Объяснение нового материала. 1. Двойное неравенство можно решить двумя способами: а) сведением к системе двух неравенств; б) без системы неравенств с помощью преобразований. 2. Решить двойное неравенство № 4.15 (в) двумя способами. а) сведением к системе двух неравенств; I с п о с о б Решение – 2 <х< – 1. О т в е т: (– 2; – 1). б) без системы неравенств с помощью преобразований II с п о с о б 6 < – 6х< 12 | : (– 6) – 1 >x> – 2, sitten – 2< х < – 1. О т в е т: (– 2; – 1). 3. Решить № 4.16 (б; в). I с п о с о б сведением к системе двух неравенств; б) – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2. Решим систему неравенств: О т в е т: II с п о с о б без системы неравенств с помощью преобразований – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2; прибавим к каждой части неравенства число (– 1), получим – 3 ≤ – 2х ≤ 1; разделим на (– 2), тогда в) – 3 << 1. Умножим каждую часть неравенства на 2, получим – 6 < 5х + 2 < 2. Решим систему неравенств: О т в е т: – 1,6 <х< 0. III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 4.18 (б) и № 4.19 (б) на доске и в тетрадях. 2. Решить № 4.14 (в) методом интервалов. в) 1) х2 – 9х + 14 < 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 7)(х – 2) < 0; х = 7; х = 2 Решение 2<х< 7. 2) х2 – 7х – 8 ≤ 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 8)(х + 1) ≤ 0; х = 8; х = – 1 Решение – 1 ≤ х ≤ 8. Соединим решения каждого неравенства на одной прямой т.е. создадим геометрическую модель. та часть прямой где произошло пересечение решений есть конечный результат О т в е т: 2 <х< 7. 4) Решить № 4.28 (в) самостоятельно с проверкой. в) Решим систему неравенств составленную из подкоренных выражений. 1) (х – 2)(х – 3) ≥ 0; х = 2; х = 3 Решение х ≤ 2 и х ≥ 3. 2) (5 – х)(6 – х) ≥ 0; – 1(х – 5) · (– 1)(х – 6) ≥ 0; (х – 5)(х – 6) ≥ 0 х = 5; х = 6 Решение х ≤ 5 и х ≥ 6. 3) О т в е т: х ≤ 2, 3 ≤ х ≤ 5, х ≥ 6. 5. Решение систем неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Решить № 4.34 (в; г). Учитель объясняет решение в) 1) | х + 5 | < 3 находим точку где модуль обращается в 0 х = -5 Решение – 8 <х< – 2. 2) | х – 1 | ≥ 4 находим точку где модуль обращается в 0 х = 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ 5. Соединили решения каждого неравенства в единую модель 3) О т в е т: – 8 <х ≤ 3. г) 1) | х – 3 | < 5; Решение – 2 <х< 8. 2) | х + 2 | ≥ 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ – 1. 3) О т в е т: –1 ≤ х< 8. 6. Решить № 4.31 (б). Учащиеся решают самостоятельно. Один ученик решает на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение. б) Решение Середина промежутка О т в е т: 7. Решить № 4.38 (а; б). Учитель на доске с помощью числовой прямой показывает решение данного упражнения, привлекая к рассуждениям учащихся. О т в е т: а) р< 3; р ≥ 3; б) р ≤ 7; р>7. 8. Aiemmin opitun materiaalin toisto. Ratkaisu nro 2.33. Olkoon pyöräilijän alkunopeus x km/h, laskemisen jälkeen siitä tulee (x – 3) km/h. 15x – 45 + 6x = 1,5x(x – 3); 21x - 45 = 1,5x2 - 4,5x; 1,5x2 – 25,5x + 45 = 0 | : 1,5; sitten x2 – 17x + 30 = 0; D = 169; x1 = 15; x2 = 2 ei täytä tehtävän tarkoitusta. VASTAUS: 15 km/h; 12 km/h. IV Johtopäätös oppitunnista: Oppitunnilla opimme ratkaisemaan monimutkaisen tyyppisiä epätasa-arvosysteemejä, erityisesti moduulilla, kokeilimme käsiämme itsenäisessä työssä. Merkkien tekeminen. Kotitehtävä: suorita kotitehtävä koe nro 1 nro 7 - nro 10 s. 32–33, nro 4.34 (a; b), nro 4.35 (a; b). Oppitunti 4 Kokeeseen valmistautuminen Tavoitteet: tiivistää ja systematisoida opiskelumateriaali, valmistaa opiskelijat kokeeseen aiheesta "Rationaalisen epätasa-arvon järjestelmät". Oppitunnin eteneminen 1. Organisaatiohetki: Luokan valmistelu työhön, aiheen ja tavoitteiden tiedottaminen oppitunti. 11. Opiskelun materiaalin toisto. *Mitä tarkoittaa eriarvoisuusjärjestelmän ratkaiseminen *Mitä rationaalisen epätasa-arvojärjestelmän ratkaiseminen johtaa 1. Kerää paperinpalat kotitehtävästäsi. 2. Mitä sääntöjä käytetään eriarvoisuuksien ratkaisemisessa? Selitä epäyhtälöiden ratkaisu: a) 3x – 8<х + 2; б) 7(х – 1) ≥ 9х + 3. 3. Сформулируйте теорему для квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом. Устно решите неравенства: а) х2 + 2х + 11 >0; b) – 2x2 + x – 5 > 0; c) 3x2 – x + 4 ≤ 0. 4. Muotoile kahden muuttujan epäyhtälöjärjestelmän määritelmä. Mitä eriarvoisuusjärjestelmän ratkaiseminen tarkoittaa? 5. Mikä on intervallimenetelmä, jota käytetään aktiivisesti rationaalisten epäyhtälöiden ratkaisemisessa? Selitä tämä käyttämällä esimerkkiä epäyhtälön ratkaisusta: (2x – 4)(3 – x) ≥ 0; I11. Harjoitteluharjoitukset. 1. Ratkaise epäyhtälö: a) 12(1 – x) ≥ 5x – (8x + 2); b) – 3x2 + 17x + 6< 0; в) 2. Найдите область определения выражения. а) f(х) = 12 + 4х – х2 ≥ 0; – х2 + 4х + 12 ≥ 0 | · (– 1); х2 – 4х – 12 ≤ 0; D = 64; х1 = 6; х2 = – 2; (х – 6)(х + 2) ≤ 0 О т в е т: – 2 ≤ х ≤ 6 или [– 2; 6]. б) f(х)= х2 + 2х + 14 ≥ 0; D< 0. По теореме о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом имеемх – любое число. О т в е т: множество решений или (– ∞; ∞). 2. Решите двойное неравенство и укажите, если возможно, наибольшее и наименьшее целое решение неравенства Р е ш е н и е Умножим каждую часть неравенства на 5, получим 0 – 5 < 3 – 8х ≤ 15; – 8 < – 8х ≤ 12; – 1,5 ≤ х< 1. Наибольшее целое число 0, наименьшее целое число (– 1). О т в е т: 0; – 1. 4. Решить № 76 (б) на доске и в тетрадях. б) Р е ш е н и е Для нахождения области определения выражения решим систему неравенств 1) х = х = 5. Решение ≤х< 5. 2) Решение х< 3,5 и х ≥ 4. 3) О т в е т: ≤х< 3,5 и 4 ≤ х< 5. 5. Найти область определения выражения. а) f(х) = б) f(х) = а) О т в е т: – 8 <х ≤ – 5; х ≥ – 3. б) О т в е т: х ≤ – 3; – 2 <х ≤ 4. 6. Решить систему неравенств (самостоятельно). Р е ш е н и е Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим: О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.40*. Решение объясняет учитель. Если р = 2, то неравенство примет вид 2х + 4 >0, x> – 2. Tämä ei vastaa tehtävää a) eikä tehtävää b). Tämä tarkoittaa, että voidaan olettaa, että p ≠ 2, eli annettu epäyhtälö on neliöllinen. a) Neliöllisellä epäyhtälöllä muotoa ax2 + bx + c> 0 ei ole ratkaisuja, jos< 0, D< 0. Имеем D = (р – 4)2 – 4(р – 2)(3р – 2) = – 11р2 + 24р. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р< 0. б) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с>0 täyttyy mille tahansa x:n arvolle, jos a > 0 ja D< 0. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р>IV. Oppitunnin yhteenveto. Sinun tulee käydä läpi kaikki kotona opiskellut materiaalit ja valmistautua kokeeseen. Kotitehtävät: nro 1.21 (b; d), nro 2,15 (c; d); nro 4,14 (g), nro 4,28 (g); Nro 4.19 (a), nro 4.33 (d).

  
  

  Jatkamme kaivamista aiheeseen "erä-arvojen ratkaiseminen yhdellä muuttujalla". Me tunnemme jo lineaariset epäyhtälöt ja toisen asteen epäyhtälöt. Ne ovat erikoistapauksia rationaalista eriarvoisuutta, jota nyt tutkimme. Aloitetaan selvittämällä, minkä tyyppisiä epätasa-arvoja kutsutaan rationaalisiksi. Seuraavaksi tarkastelemme niiden jakautumista kokonaisiin rationaalisiin ja murto-osiin rationaalisiin epätasa-arvoihin. Ja tämän jälkeen tutkitaan kuinka ratkaista rationaalisia epäyhtälöitä yhdellä muuttujalla, kirjoitetaan vastaavat algoritmit ja mietitään ratkaisuja tyypillisiin esimerkkeihin yksityiskohtaisten selitysten kera.

  Sivulla navigointi.

  Mitä ovat rationaaliset eriarvoisuudet?

  Koulun algebratunneilla heti kun keskustelu alkaa eriarvoisuuksien ratkaisemisesta, kohtaamme heti rationaalisia eriarvoisuuksia. Aluksi heitä ei kuitenkaan kutsuta nimellä, koska tässä vaiheessa eriarvoisuuden tyypit eivät juuri kiinnosta, ja päätavoitteena on saada alkutaidot eriarvoisuuden kanssa työskennellä. Itse termi "rationaalinen epätasa-arvo" otetaan käyttöön myöhemmin 9. luokalla, kun tämän tyyppisen eriarvoisuuden yksityiskohtainen tutkimus alkaa.

  Selvitetään, mitä rationaalinen epätasa-arvo on. Tässä on määritelmä:

  Ilmoitettu määritelmä ei kerro mitään muuttujien lukumäärästä, mikä tarkoittaa, että mikä tahansa määrä niitä on sallittu. Tästä riippuen erotetaan rationaaliset epäyhtälöt yhden, kahden jne. kanssa. muuttujia. Muuten, oppikirja antaa samanlaisen määritelmän, mutta rationaalisille epäyhtälöille yhdellä muuttujalla. Tämä on ymmärrettävää, sillä koulu keskittyy eriarvoisuuksien ratkaisemiseen yhdellä muuttujalla (alla puhumme myös vain rationaalisten epäyhtälöiden ratkaisemisesta yhdellä muuttujalla). Epäyhtälöt kahdella muuttujalla pidetään vähäisenä, ja kolmen tai useamman muuttujan epäyhtälöihin ei käytännössä kiinnitetä mitään huomiota.

  Joten rationaalinen epäyhtälö voidaan tunnistaa sen merkinnöistä; tehdäksesi tämän, katso vain sen vasemmalla ja oikealla puolella olevia lausekkeita ja varmista, että ne ovat rationaalisia lausekkeita. Nämä pohdinnat antavat meille mahdollisuuden antaa esimerkkejä rationaalisesta epätasa-arvosta. Esimerkiksi x>4, x 3 +2 y≤5 (y−1) (x 2 +1), ovat rationaalista epätasa-arvoa. Ja eriarvoisuutta ei ole rationaalinen, koska sen vasen puoli sisältää muuttujan juurimerkin alla, ja siksi se ei ole rationaalinen lauseke. Epätasa-arvo ei myöskään ole rationaalinen, koska sen kumpikaan osa ei ole rationaalista ilmaisua.

  Lisäkuvauksen helpottamiseksi otamme käyttöön rationaaliset epäyhtälöt jaetaan kokonaislukuihin ja murtolukuihin.

  Määritelmä.

  Kutsumme rationaalista epätasa-arvoa koko, jos sen molemmat osat ovat kokonaisia ​​rationaalisia lausekkeita.

  Määritelmä.

  Murto-rationaalinen epäyhtälö on rationaalinen epäyhtälö, josta ainakin yksi osa on murtolauseke.

  Joten 0,5 x ≤ 3 (2–5 y), ovat kokonaislukuepäyhtälöt, ja 1:x+3>0 ja - murto-osa rationaalinen.

  Nyt meillä on selkeä käsitys siitä, mitä rationaaliset epäyhtälöt ovat, ja voimme turvallisesti alkaa ymmärtää kokonaisluku- ja murtolukujen rationaalisen epäyhtälöiden ratkaisemisen periaatteita yhdellä muuttujalla.

  Koko epätasa-arvon ratkaiseminen

  Asetetaan itsellemme tehtävä: sanotaan, että meidän on ratkaistava kokonainen rationaalinen epäyhtälö yhdellä muuttujalla x muotoa r(x) , ≥), missä r(x) ja s(x) ovat rationaalisia kokonaislukulausekkeita. Sen ratkaisemiseksi käytämme ekvivalentteja epäyhtälömuunnoksia.

  Siirretään lauseke oikealta puolelta vasemmalle, mikä johtaa ekvivalenttiseen epäyhtälöön muotoa r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) ja nolla oikealla. Ilmeisesti myös vasemmalle puolelle muodostettu lauseke r(x)−s(x) on kokonaisluku, ja tiedetään, että mikä tahansa . Kun lauseke r(x)−s(x) on muunnettu identtiseksi yhtäläiseksi polynomiksi h(x) (tässä todetaan, että lausekkeilla r(x)−s(x) ja h(x) on sama muuttuja x ), siirrytään ekvivalenttiin epäyhtälöön h(x)<0 (≤, >, ≥).

  Yksinkertaisimmissa tapauksissa tehdyt muunnokset riittävät halutun ratkaisun saamiseksi, koska ne johtavat meidät alkuperäisestä koko rationaalisesta epäyhtälöstä epäyhtälöyn, jonka osaamme ratkaista, esimerkiksi lineaariseen tai neliölliseen epäyhtälöyn. Katsotaanpa esimerkkejä.

  Esimerkki.

  Etsi ratkaisu koko rationaaliselle epäyhtälölle x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1.

  Ratkaisu.

  Ensin siirretään lauseke oikealta puolelta vasemmalle: x·(x+3)+2·x−(x+1) 2 −1≤0. Kun kaikki vasemmalla puolella on tehty, päädytään lineaariseen epäyhtälöön 3 x−2≤0, joka vastaa alkuperäistä kokonaislukuepäyhtälöä. Ratkaisu ei ole vaikea:
  3 x ≤ 2 ,
  x≤2/3.

  Vastaus:

  x≤2/3.

  Esimerkki.

  Ratkaise epätasa-arvo (x 2 +1) 2 -3 x 2 > (x 2 -x) (x 2 +x).

  Ratkaisu.

  Aloitamme tavalliseen tapaan siirtämällä lausekkeen oikealta puolelta ja teemme sitten muunnoksia vasemmalle puolelle käyttämällä:
  (x 2 +1) 2 -3 x 2 - (x 2 -x) (x 2 +x)>0,
  x 4 +2 x 2 +1−3 x 2 −x 4 +x 2 >0,
  1>0 .

  Suorittamalla vastaavat muunnokset saavutettiin siis epäyhtälö 1>0, mikä pätee mille tahansa muuttujan x arvolle. Tämä tarkoittaa, että alkuperäisen kokonaislukuepäyhtälön ratkaisu on mikä tahansa reaaliluku.

  Vastaus:

  x - mikä tahansa.

  Esimerkki.

  Ratkaise epätasa-arvo x+6+2 x 3 −2 x (x 2 +x−5)>0.

  Ratkaisu.

  Oikealla puolella on nolla, joten siitä ei tarvitse siirtää mitään. Muunnetaan koko lauseke vasemmalla polynomiksi:
  x+6+2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 +10 x>0,
  −2 x 2 +11 x+6>0 .

  Saimme neliöllisen epäyhtälön, joka vastaa alkuperäistä epäyhtälöä. Ratkaisemme sen millä tahansa tuntemallamme menetelmällä. Ratkaistaan ​​neliöllinen epäyhtälö graafisesti.

  Etsi neliöllisen trinomin −2 x 2 +11 x+6 juuret:
  

  Teemme kaavamaisen piirustuksen, johon merkitsemme löydetyt nollat, ja otamme huomioon, että paraabelin haarat on suunnattu alaspäin, koska johtava kerroin on negatiivinen:
  

  Koska ratkaisemme epäyhtälön >-merkillä, olemme kiinnostuneita intervalleista, joissa paraabeli sijaitsee x-akselin yläpuolella. Tämä tapahtuu välillä (−0.5, 6), joka on haluttu ratkaisu.

  Vastaus:

  (−0,5, 6) .

  Monimutkaisemmissa tapauksissa tuloksena olevan epäyhtälön h(x) vasemmalla puolella<0 (≤, >, ≥) on kolmannen tai korkeamman asteen polynomi. Tällaisten epäyhtälöiden ratkaisemiseen sopii intervallimenetelmä, jonka ensimmäisessä vaiheessa täytyy löytää kaikki polynomin h(x) juuret, mikä usein tehdään :n kautta.

  Esimerkki.

  Etsi ratkaisu koko rationaaliselle epäyhtälölle (x 2 +2)·(x+4)<14−9·x .

  Ratkaisu.

  Siirretään kaikki vasemmalle puolelle, jonka jälkeen on:
  (x 2 +2)·(x+4)−14+9·x<0 ,
  x 3 +4 x 2 +2 x+8−14+9 x<0 ,
  x 3 +4 x 2 +11 x−6<0 .

  Suoritetut manipulaatiot johtavat epätasa-arvoon, joka vastaa alkuperäistä. Sen vasemmalla puolella on kolmannen asteen polynomi. Se voidaan ratkaista intervallimenetelmällä. Tätä varten sinun on ensin löydettävä juuret polynomille, joka lepää x 3 +4 x 2 +11 x−6=0. Selvitetään, onko sillä rationaalisia juuria, jotka voivat olla vain vapaan termin jakajien joukossa, eli lukujen ±1, ±2, ±3, ±6 joukossa. Korvaamalla nämä luvut vuorotellen muuttujan x sijaan yhtälöön x 3 +4 x 2 +11 x−6=0, saadaan selville, että yhtälön juuret ovat luvut 1, 2 ja 3. Tämä mahdollistaa polynomin x 3 +4 x 2 +11 x−6 esittämisen tulona (x−1) (x−2) (x−3) , ja epäyhtälön x 3 +4 x 2 +11 x− 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.

  Ja sitten jää vain suorittaa intervallimenetelmän standardivaiheet: merkitse numeroriville pisteet koordinaatilla 1, 2 ja 3, jotka jakavat tämän rivin neljään väliin, määrität ja sijoitat merkit, piirrä varjostus intervallit miinusmerkillä (koska ratkaisemme epäyhtälön miinusmerkillä<) и записать ответ.
  

  Mistä meillä on (−∞, 1)∪(2, 3) .

  Vastaus:

  (−∞, 1)∪(2, 3) .

  On huomattava, että joskus se on epäyhtälöstä r(x)−s(x) sopimatonta.<0 (≤, >, ≥) siirry epäyhtälöön h(x)<0 (≤, >, ≥), jossa h(x) on polynomi, jonka aste on suurempi kuin kaksi. Tämä koskee tapauksia, joissa polynomin h(x) kertominen on vaikeampaa kuin lausekkeen r(x)−s(x) esittäminen lineaaristen binomien ja toisen asteen trinomien tulona, ​​esimerkiksi ottamalla huomioon yhteinen tekijä. . Selitetään tämä esimerkillä.

  Esimerkki.

  Ratkaise epätasa-arvo (x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)≥2·x·(x 2 −2·x−1).

  Ratkaisu.

  Tämä on täyttä eriarvoisuutta. Jos siirrämme lausekkeen sen oikealta puolelta vasemmalle, avaa sitten sulut ja lisää samankaltaisia ​​termejä, saadaan epäyhtälö x 4 −4 x 3 −16 x 2 +40 x+19≥0. Sen ratkaiseminen on erittäin vaikeaa, koska se edellyttää neljännen asteen polynomin juurien löytämistä. On helppo varmistaa, ettei sillä ole rationaalisia juuria (ne voivat olla luvut 1, −1, 19 tai −19), mutta sen muiden juurien etsiminen on ongelmallista. Siksi tämä polku on umpikuja.

  Etsitään muita mahdollisia ratkaisuja. On helppo nähdä, että kun lauseke on siirretty alkuperäisen kokonaislukuepäyhtälön oikealta puolelta vasemmalle, voidaan ottaa yhteinen tekijä x 2 −2 x−1 pois suluista:
  (x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)−2·x·(x 2 −2·x−1)≥0,
  (x 2 −2·x−1)·(x 2 −2·x−19)≥0.

  Suoritettu muunnos on ekvivalentti, joten tuloksena olevan epäyhtälön ratkaisu on myös ratkaisu alkuperäiseen epäyhtälöön.

  Ja nyt voimme löytää lausekkeen nollat, jotka sijaitsevat tuloksena olevan epäyhtälön vasemmalla puolella, tähän tarvitaan x 2 −2·x−1=0 ja x 2 −2·x−19=0. Niiden juuret ovat numerot . Näin voimme siirtyä ekvivalenttiseen epäyhtälöön, ja voimme ratkaista sen intervallimenetelmällä:
  

  Kirjoitamme vastauksen piirustuksen mukaan.

  Vastaus:

  Lopuksi haluan vain lisätä, että polynomin h(x) kaikkia juuria ei aina ole mahdollista löytää ja sen seurauksena laajentaa sitä lineaaristen binomien ja neliötrinomien tuloksi. Näissä tapauksissa ei ole mahdollista ratkaista epäyhtälöä h(x)<0 (≤, >, ≥), mikä tarkoittaa, että alkuperäiseen kokonaisluvun rationaaliseen yhtälöön ei voida löytää ratkaisua.

  Murto-osien rationaalisten epäyhtälöiden ratkaiseminen

  Ratkaistaan ​​nyt seuraava ongelma: oletetaan, että meidän on ratkaistava murto-rationaalinen epäyhtälö yhdellä muuttujalla x muotoa r(x) , ≥), jossa r(x) ja s(x) ovat joitain rationaalisia lausekkeita, ja ainakin yksi niistä on murtoluku. Esitetään heti algoritmi sen ratkaisemiseksi, minkä jälkeen teemme tarvittavat selitykset.

  Algoritmi murto-rationaalisten epäyhtälöiden ratkaisemiseksi yhdellä muuttujalla r(x) , ≥):

  • Ensin sinun on löydettävä alkuperäisen epäyhtälön muuttujan x hyväksyttävien arvojen alue (APV).
  • Seuraavaksi sinun on siirrettävä lauseke epäyhtälön oikealta puolelta vasemmalle ja muutettava siellä muodostettu lauseke r(x)−s(x) murto-osan muotoon p(x)/q(x) , missä p(x) ja q(x) ovat kokonaislukulausekkeita, jotka ovat lineaaristen binomiaalien, hajoamattomien toisen asteen trinomien ja niiden potenssien tuloja luonnollisella eksponentilla.
  • Seuraavaksi meidän on ratkaistava tuloksena oleva epäyhtälö intervallimenetelmällä.
  • Lopuksi edellisessä vaiheessa saadusta ratkaisusta on välttämätöntä sulkea pois pisteet, jotka eivät sisälly muuttujan x ODZ:hen alkuperäiselle epäyhtälölle, joka löydettiin ensimmäisessä vaiheessa.

  Näin saadaan haluttu ratkaisu murto-rationaaliseen epäyhtälöön.

  Algoritmin toinen vaihe vaatii selityksen. Kun lauseke siirretään epäyhtälön oikealta puolelta vasemmalle, saadaan epäyhtälö r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), joka vastaa alkuperäistä. Täällä kaikki on selvää. Mutta kysymyksiä herättää sen muunnos edelleen muotoon p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥).

  Ensimmäinen kysymys kuuluu: "Onko se aina mahdollista toteuttaa"? Teoreettisesti kyllä. Tiedämme, että kaikki on mahdollista. Rationaalisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä sisältävät polynomeja. Ja algebran peruslauseesta ja Bezoutin lauseesta seuraa, että mikä tahansa n-asteinen polynomi, jolla on yksi muuttuja, voidaan esittää lineaaristen binomien tulona. Tämä selittää mahdollisuuden suorittaa tämä muutos.

  Käytännössä polynomien faktorointi on melko vaikeaa, ja jos niiden aste on suurempi kuin neljä, se ei aina ole mahdollista. Jos faktorointi on mahdotonta, niin alkuperäiseen epätasa-arvoon ei löydy ratkaisua, mutta tällaisia ​​tapauksia ei yleensä tapahdu koulussa.

  Toinen kysymys: "Onko epäyhtälö p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥) vastaa epäyhtälöä r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), ja siten alkuperäiseen"? Se voi olla joko vastaava tai eriarvoinen. Se on ekvivalentti, kun lausekkeen p(x)/q(x) ODZ on sama kuin lausekkeen r(x)−s(x) ODZ. Tässä tapauksessa algoritmin viimeinen vaihe on redundantti. Mutta lausekkeen p(x)/q(x) ODZ voi olla leveämpi kuin lausekkeen r(x)−s(x) ODZ. ODZ:n laajeneminen voi tapahtua, kun fraktioita pienennetään, kuten esimerkiksi siirryttäessä . Myös ODZ:n laajentamista voidaan helpottaa tuomalla samankaltaisia ​​termejä, kuten esimerkiksi muuttaessa . Algoritmin viimeinen vaihe on tarkoitettu tähän tapaukseen, jossa ODZ:n laajenemisesta johtuvat ylimääräiset päätökset suljetaan pois. Noudatetaan tätä, kun tarkastellaan alla olevien esimerkkien ratkaisuja.

  Matemaattisen epätasa-arvon käsite syntyi muinaisina aikoina. Tämä tapahtui, kun primitiivisen ihmisen täytyi verrata niiden määrää ja kokoa laskeessaan ja käsitellessään erilaisia ​​esineitä. Muinaisista ajoista lähtien Archimedes, Euclid ja muut kuuluisat tiedemiehet: matemaatikot, tähtitieteilijät, suunnittelijat ja filosofit ovat käyttäneet eriarvoisuutta perusteluissaan.

  Mutta he yleensä käyttivät verbaalista terminologiaa teoksissaan. Ensimmäistä kertaa Englannissa keksittiin ja otettiin käyttöön nykyaikaiset merkit, jotka osoittavat käsitteitä "enemmän" ja "vähemmän" siinä muodossa, jossa jokainen koululainen tuntee ne nykyään. Matemaatikko Thomas Harriot tarjosi tällaisen palvelun jälkeläisilleen. Ja tämä tapahtui noin neljä vuosisataa sitten.

  Eriarvoisuuksia tunnetaan monenlaisia. Niiden joukossa on yksinkertaisia, jotka sisältävät yhden, kaksi tai useampia muuttujia, neliö-, murto- ja kompleksisia suhteita ja jopa niitä, joita edustaa lausekejärjestelmä. Paras tapa ymmärtää, miten eriarvoisuudet ratkaistaan, on käyttää erilaisia ​​esimerkkejä.

  Älä missaa junaa

  Aluksi kuvitellaan, että maaseudun asukas ryntää rautatieasemalle, joka sijaitsee 20 km päässä hänen kylästään. Jotta hän ei myöhästy klo 11 lähtevästä junasta, hänen on poistuttava talosta ajoissa. Mihin aikaan tämä pitäisi tehdä, jos sen nopeus on 5 km/h? Tämän käytännön ongelman ratkaisu tulee täyttämään lausekkeen ehdot: 5 (11 - X) ≥ 20, missä X on lähtöaika.

  Tämä on ymmärrettävää, sillä kyläläisen etäisyys asemalle on yhtä suuri kuin kulkunopeus kerrottuna tuntimäärällä tiellä. Ihminen voi saapua ajoissa, mutta hän ei voi myöhästyä. Kun osaat ratkaista eriarvoisuudet ja soveltaa taitojasi käytännössä, saat tulokseksi X ≤ 7, mikä on vastaus. Tämä tarkoittaa, että kyläläisen tulee mennä rautatieasemalle kello seitsemän aamulla tai vähän aikaisemmin.

  Numeeriset intervallit koordinaattiviivalla

  Selvitetään nyt, kuinka kuvatut suhteet kartoitetaan Yllä saatu epäyhtälö ei ole tiukka. Se tarkoittaa, että muuttuja voi ottaa arvoja alle 7 tai se voi olla yhtä suuri kuin tämä luku. Annetaan muita esimerkkejä. Tehdäksesi tämän, harkitse huolellisesti alla esitettyjä neljää kuvaa.

  

  Ensimmäisessä niistä näet graafisen esityksen intervallista [-7; 7]. Se koostuu numerojoukosta, jotka on sijoitettu koordinaattiviivalle ja jotka sijaitsevat välillä -7 ja 7, mukaan lukien rajat. Tässä tapauksessa kaavion pisteet on kuvattu täytetyinä ympyröinä ja väli tallennetaan käyttämällä

  Toinen kuva on graafinen esitys tiukasta epätasa-arvosta. Tässä tapauksessa rajanumerot -7 ja 7, jotka näkyvät rei'itetyillä (ei täytettyillä) pisteillä, eivät sisälly määritettyyn joukkoon. Ja itse väli kirjoitetaan sulkeisiin seuraavasti: (-7; 7).

  Eli kun on selvitetty, kuinka tämän tyyppiset epäyhtälöt ratkaistaan ​​ja saatu samanlainen vastaus, voimme päätellä, että se koostuu luvuista, jotka ovat kyseisten rajojen välissä, paitsi -7 ja 7. Seuraavat kaksi tapausta on arvioitava vastaavalla tavalla. Kolmannessa kuvassa on kuvia intervalleista (-∞; -7] U

  Monimutkaistaan ​​nyt ongelmaa hieman ja harkitsemme polynomien lisäksi muodon niin kutsuttuja rationaalisia murto-osia:

  missä $P\left(x \right)$ ja $Q\left(x \right)$ ovat samat polynomit muodossa $((a)_(n))((x)^(n))+( (a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(a)_(0))$ tai tällaisten polynomien tulo.

  Tämä tulee olemaan rationaalista eriarvoisuutta. Peruskohta on muuttujan $x$ läsnäolo nimittäjässä. Esimerkiksi nämä ovat rationaalisia eriarvoisuuksia:

  \[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\vasen(3-x \oikea))^(2))\vasen(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

  Ja tämä ei ole rationaalinen epäyhtälö, vaan yleisin epäyhtälö, joka voidaan ratkaista intervallimenetelmällä:

  \[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

  Tulevaisuudessa sanon heti: rationaalisia eriarvoisuuksia voidaan ratkaista ainakin kahdella tavalla, mutta kaikki ne tavalla tai toisella menevät meille jo tuntemamme intervallimenetelmään. Siksi ennen kuin analysoimme näitä menetelmiä, muistetaan vanhat tosiasiat, muuten uudesta materiaalista ei ole mitään järkeä.

  Mitä sinun on jo tiedettävä

  Tärkeitä tosiasioita ei ole koskaan liikaa. Tarvitsemme vain neljä.

  Lyhennetyt kertolaskukaavat

  Kyllä, kyllä: ne kummittelevat meitä koko koulun matematiikan opetussuunnitelman ajan. Ja myös yliopistossa. Näitä kaavoja on useita, mutta tarvitsemme vain seuraavat:

  \[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\vasen(a-b \oikea)\vasen(a+b \oikea); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\vasen(a+b \oikea)\vasen(((a)^(2))-ab+((b) ^(2)) \oikea); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\vasen(a-b \oikea)\vasen(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\oikea). \\ \end(tasaa)\]

  Kiinnitä huomiota kahteen viimeiseen kaavaan - nämä ovat kuutioiden summa ja erotus (eikä summan tai eron kuutio!). Ne on helppo muistaa, jos huomaat, että ensimmäisessä sulussa oleva merkki on sama kuin alkuperäisen lausekkeen merkki ja toisessa se on vastapäätä alkuperäisen lausekkeen merkkiä.

  Lineaariset yhtälöt

  Nämä ovat yksinkertaisimmat yhtälöt muodossa $ax+b=0$, jossa $a$ ja $b$ ovat tavallisia lukuja ja $a\ne 0$. Tämä yhtälö voidaan ratkaista yksinkertaisesti:

  \[\begin(align) & ax+b=0; \\&ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(tasaa)\]

  Haluan huomauttaa, että meillä on oikeus jakaa kertoimella $a$, koska $a\ne 0$. Tämä vaatimus on varsin looginen, koska arvolle $a=0$ saamme tämän:

  Ensinnäkin tässä yhtälössä ei ole muuttujaa $x$. Tämän ei yleisesti ottaen pitäisi hämmentää meitä (tätä tapahtuu esimerkiksi geometriassa ja melko usein), mutta silti tämä ei ole enää lineaarinen yhtälö.

  Toiseksi tämän yhtälön ratkaisu riippuu yksinomaan kertoimesta $b$. Jos $b$ on myös nolla, yhtälömme on muotoa $0=0$. Tämä tasa-arvo on aina totta; tämä tarkoittaa, että $x$ on mikä tahansa luku (kirjoitetaan yleensä näin: $x\in \mathbb(R)$). Jos kerroin $b$ ei ole nolla, yhtälö $b=0$ ei koskaan täyty, ts. ei ole vastauksia (kirjoita $x\in \varnothing $ ja lue "ratkaisujoukko on tyhjä").

  Kaikkien näiden vaikeuksien välttämiseksi oletamme yksinkertaisesti $a\ne 0$, mikä ei rajoita meitä jatkoajattelussa.

  Toisen asteen yhtälöt

  Haluan muistuttaa, että tämä on se, mitä kutsutaan toisen asteen yhtälöksi:

  Tässä vasemmalla on toisen asteen polynomi ja taas $a\ne 0$ (muuten saamme toisen asteen sijaan lineaarisen). Seuraavat yhtälöt ratkaistaan ​​diskriminantilla:

  1. Jos $D \gt 0$, saamme kaksi eri juuria;
  2. Jos $D=0$, silloin on yksi juuri, mutta toisen kerrannaisuudessa (mikä monikertaisuus tämä on ja miten se otetaan huomioon - siitä lisää myöhemmin). Tai voimme sanoa, että yhtälöllä on kaksi identtistä juurta;
  3. Arvolla $D \lt 0$ ei ole juuria ollenkaan, ja minkä tahansa $x$:n polynomin $a((x)^(2))+bx+c$ etumerkki on sama kuin kertoimen $a etumerkki. $. Tämä on muuten erittäin hyödyllinen tosiasia, josta jostain syystä he unohtavat puhua algebratunneilla.

  Itse juuret lasketaan käyttämällä tunnettua kaavaa:

  \[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

  Tästä muuten, syrjintää koskevat rajoitukset. Loppujen lopuksi negatiivisen luvun neliöjuurta ei ole olemassa. Monilla oppilailla on kauhea sotku päässä juurista, joten kirjoitin erityisesti koko oppitunnin: mikä on algebran juuri ja kuinka se lasketaan - suosittelen lukemista. :)

  Operaatiot rationaalisilla murtoluvuilla

  Tiedät jo kaiken yllä kirjoitetun, jos olet opiskellut intervallimenetelmää. Mutta sillä, mitä analysoimme nyt, ei ole analogeja menneisyydessä - tämä on täysin uusi tosiasia.

  Määritelmä. Rationaalinen murtoluku on muodon ilmaus

  \[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

  missä $P\left(x \right)$ ja $Q\left(x \right)$ ovat polynomeja.

  On selvää, että tällaisesta murtoluvusta on helppo saada epäyhtälö – sinun tarvitsee vain lisätä oikealle "suurempi kuin"- tai "pienempi kuin"-merkki. Ja hieman kauempana huomaamme, että tällaisten ongelmien ratkaiseminen on ilo, kaikki on hyvin yksinkertaista.

  Ongelmat alkavat, kun yhdessä lausekkeessa on useita tällaisia ​​murtolukuja. Ne on saatava yhteiselle nimittäjälle - ja juuri tällä hetkellä tehdään suuri määrä loukkaavia virheitä.

  Siksi, jotta voit ratkaista rationaaliset yhtälöt onnistuneesti, sinun on ymmärrettävä lujasti kaksi taitoa:

  1. Polynomin $P\left(x \right)$ kertolasku;
  2. Itse asiassa tuoda murtoluvut yhteiseen nimittäjään.

  Miten polynomi kerrotaan? Erittäin yksinkertainen. Otetaan muodon polynomi

  Yhdistämme sen nollaan. Saamme $n$:nnen asteen yhtälön:

  \[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

  Oletetaan, että ratkaisimme tämän yhtälön ja saimme juuret $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (älä huolestu: useimmissa tapauksissa on enintään kaksi näistä juurista). Tässä tapauksessa alkuperäinen polynomimme voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

  \[\begin(tasaa) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x) -((x)_(1)) \oikea)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \oikea) \end(tasaa)\]

  Siinä kaikki! Huomaa: johtava kerroin $((a)_(n))$ ei ole kadonnut mihinkään - se on erillinen kerroin sulujen edessä, ja se voidaan tarvittaessa lisätä mihin tahansa näistä suluista (harjoitus osoittaa että $((a)_ (n))\ne \pm 1$:lla juurien joukossa on melkein aina murtolukuja).

  Tehtävä. Yksinkertaista lauseke:

  \[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

  Ratkaisu. Ensin tarkastellaan nimittäjiä: ne ovat kaikki lineaarisia binomeja, eikä tässä ole mitään huomioitavaa. Otetaan siis osoittajat huomioon:

  \[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\vasen(x-\frac(3)(2) \oikea)\vasen(x-1 \oikea)=\vasen(2x- 3 \oikea)\vasen(x-1 \oikea); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\vasen(x+2 \oikea)\vasen(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x) +2 \oikea)\vasen(2-5x \oikea). \\\end(tasaa)\]

  Huomaa: toisessa polynomissa johtava kerroin "2", täysin kaaviomme mukaisesti, ilmestyi ensin hakasulkeen eteen ja sisällytettiin sitten ensimmäiseen hakasulkeeseen, koska murtoluku esiintyi siellä.

  Sama tapahtui kolmannessa polynomissa, vain siellä termien järjestys on myös päinvastainen. Kerroin ”−5” päätyi kuitenkin toiseen hakasulkeeseen (muista: voit syöttää kertoimen yhteen ja vain yhteen hakasulkeeseen!), mikä säästi meidät murtojuuriin liittyviltä vaivoilta.

  Ensimmäisen polynomin osalta kaikki on yksinkertaista: sen juuria etsitään joko standardinmukaisesti diskriminantin kautta tai käyttämällä Vietan lausetta.

  Palataan alkuperäiseen lausekkeeseen ja kirjoitetaan se uudelleen kertoimilla laskettuna:

  \[\begin(matriisi) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \oikea))(2x-3)-\frac(\vasen(x+2 \oikea)\vasen(2-5x \oikea))(x+2)= \\ =\vasen(x+5) \oikea)-\vasen(x-1 \oikea)-\vasen(2-5x \oikea)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matriisi)\]

  Vastaus: $5x+4$.

  Kuten näette, ei mitään monimutkaista. Hieman 7-8 luokan matematiikkaa ja siinä se. Kaikkien muunnosten tarkoitus on saada monimutkaisesta ja pelottavasta ilmaisusta jotain yksinkertaista ja helppokäyttöistä.

  Näin ei kuitenkaan aina tapahdu. Joten nyt tarkastellaan vakavampaa ongelmaa.

  Mutta ensin selvitetään, kuinka kaksi murtolukua saadaan yhteiseksi nimittäjäksi. Algoritmi on erittäin yksinkertainen:

  1. Kerroin molemmat nimittäjät;
  2. Harkitse ensimmäistä nimittäjää ja lisää siihen tekijät, jotka ovat toisessa nimittäjässä, mutta eivät ensimmäisessä. Tuloksena oleva tuote on yhteinen nimittäjä;
  3. Selvitä, mitä tekijöitä kustakin alkuperäisestä murtoluvusta puuttuu, jotta nimittäjät ovat yhtä suuret kuin yhteinen.

  Tämä algoritmi saattaa tuntua sinusta pelkältä tekstiltä, ​​jossa on "paljon kirjaimia". Siksi tarkastellaan kaikkea tietyn esimerkin avulla.

  Tehtävä. Yksinkertaista lauseke:

  \[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

  Ratkaisu. On parempi ratkaista tällaiset laajamittaiset ongelmat osissa. Kirjataan ylös, mitä ensimmäisessä sulussa on:

  \[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

  Toisin kuin edellisessä ongelmassa, tässä nimittäjät eivät ole niin yksinkertaisia. Otetaan jokainen niistä huomioon.

  Neliötrinomia $((x)^(2))+2x+4$ ei voida kertoilla, koska yhtälöllä $((x)^(2))+2x+4=0$ ei ole juuria (diskriminantti on negatiivinen ). Jätämme sen ennalleen.

  Toinen nimittäjä - kuutiopolynomi $((x)^(3))-8$ - huolellisen tarkastelun jälkeen on kuutioiden ero, ja sitä on helppo laajentaa käyttämällä lyhennettyjä kertolaskukaavoja:

  \[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\vasen(x-2 \oikea)\vasen(((x) ^(2))+2x+4 \oikea)\]

  Mitään muuta ei voida kertoa, koska ensimmäisessä sulussa on lineaarinen binomi ja toisessa meille jo tuttu konstruktio, jolla ei ole todellisia juuria.

  Lopuksi kolmas nimittäjä on lineaarinen binomi, jota ei voi laajentaa. Siten yhtälömme saa muodon:

  \[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \oikea))-\frac(1)(x-2)\]

  On aivan ilmeistä, että yhteinen nimittäjä on täsmälleen $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$, ja vähentää siihen kaikki murtoluvut on tarpeen kertoa ensimmäinen murtoluku kohdassa $\left(x-2 \right)$ ja viimeinen - kohdassa $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Sitten ei jää muuta kuin antaa samanlaisia:

  \[\begin(matriisi) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ oikea))+\frac(((x)^(2))+8)(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(((x)^(2))+2x+4 \oikea))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \oikea))(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(((x)^(2))+2x +4 \oikea))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \oikea)-\vasen(((x) )^(2))+2x+4 \oikea))(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(((x)^(2))+2x+4 \oikea))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\vasen(x-2 \oikea)\vasen (((x)^(2))+2x+4 \oikea))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\vasen(x-2 \oikea)\ vasen(((x)^(2))+2x+4 \oikea)). \\ \end(matriisi)\]

  Kiinnitä huomiota toiseen riviin: kun nimittäjä on jo yhteinen, ts. Kolmen erillisen murtoluvun sijaan kirjoitimme yhden ison, suluista ei kannata heti päästä eroon. On parempi kirjoittaa ylimääräinen rivi ja huomata, että sanotaan, että ennen kolmatta murtolukua oli miinus - ja se ei mene minnekään, vaan "roikkuu" osoittajassa hakasulkeen edessä. Tämä säästää sinut monilta virheiltä.

  No, viimeisellä rivillä on hyödyllistä kertoa osoittaja. Lisäksi tämä on tarkka neliö, ja lyhennetyt kertolaskut tulevat jälleen avuksemme. Meillä on:

  \[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(((x)^(2))+2x+4 \oikea))= \frac(((\vasen(x-2 \oikea))^(2)))(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(((x)^(2))+2x+4 \oikea) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

  Käsitellään nyt toista sulkua täsmälleen samalla tavalla. Kirjoitan tähän vain tasa-arvoketjun:

  \[\begin(matriisi) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((() x)^(2)))(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(x+2 \oikea))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(x+2 \oikea))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(x+2 \oikea))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \oikea)\vasen(x+2 \oikea))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(x+2 \oikea) ). \\ \end(matriisi)\]

  Palataan alkuperäiseen ongelmaan ja katsotaan tuotetta:

  \[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \oikea)\vasen(x+2 \oikea))=\frac(1)(x+2)\]

  Vastaus: \[\frac(1)(x+2)\].

  Tämän tehtävän tarkoitus on sama kuin edellisellä: näyttää kuinka rationaalisia lausekkeita voidaan yksinkertaistaa, jos lähestyt niiden muuntamista viisaasti.

  Ja nyt, kun tiedät kaiken tämän, siirrytään tämän päivän oppitunnin pääaiheeseen - murto-rationaalisten epäyhtälöiden ratkaisemiseen. Lisäksi tällaisen valmistelun jälkeen murtat itse epätasa-arvoa kuin pähkinöitä. :)

  Tärkein tapa ratkaista rationaalinen eriarvoisuus

  On olemassa ainakin kaksi lähestymistapaa rationaalisen epätasa-arvon ratkaisemiseen. Nyt tarkastelemme yhtä niistä - sitä, joka on yleisesti hyväksytty koulun matematiikan kurssilla.

  Mutta ensin huomioikaa eräs tärkeä yksityiskohta. Kaikki epätasa-arvo on jaettu kahteen tyyppiin:

  1. Tiukka: $f\left(x \right) \gt 0$ tai $f\left(x \right) \lt 0$;
  2. Lax: $f\left(x \right)\ge 0$ tai $f\left(x \right)\le 0$.

  Toisen tyypin epäyhtälöt voidaan helposti pelkistää ensimmäiseksi, samoin kuin yhtälö:

  Tämä pieni "lisäys" $f\left(x \right)=0$ johtaa sellaiseen epämiellyttävään asiaan kuin täytetyt pisteet - niihin tutustuimme intervallimenetelmässä. Muuten tiukkojen ja ei-tiukkojen epätasa-arvojen välillä ei ole eroja, joten katsotaanpa yleistä algoritmia:

  1. Kerää kaikki nollasta poikkeavat elementit epäyhtälömerkin yhdelle puolelle. Esimerkiksi vasemmalla;
  2. Pienennä kaikki murtoluvut yhteiseen nimittäjään (jos sellaisia ​​on useita), tuo samanlaiset. Kerro sitten osoittaja ja nimittäjä, jos mahdollista. Tavalla tai toisella saamme epäyhtälön muodossa $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, jossa "rasti" on epäyhtälömerkki .
  3. Yhdistämme osoittajan nollaan: $P\left(x \right)=0$. Ratkaisemme tämän yhtälön ja saamme juuret $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Sitten vaadimme että nimittäjä ei ollut nolla: $Q\left(x \right)\ne 0$. Pohjimmiltaan meidän on tietysti ratkaistava yhtälö $Q\left(x \right)=0$ ja saadaan juuret $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$ , $x_(3 )^(*)$, ... (todellisissa tehtävissä tällaisia ​​juuria tuskin on enemmän kuin kolme).
  4. Merkitsemme kaikki nämä juuret (sekä tähdellä että ilman) yhdelle numeroviivalle, ja juuret ilman tähtiä maalataan päälle ja tähdellä varustetut juuret puhkaistaan.
  5. Asetamme plus- ja miinusmerkit, valitsemme tarvitsemamme välit. Jos epäyhtälö on muotoa $f\left(x \right) \gt 0$, niin vastaus on plus-merkillä merkityt intervallit. Jos $f\left(x \right) \lt 0$, katsomme väliä "miinuksilla".

  Käytäntö osoittaa, että suurimmat vaikeudet aiheuttavat kohdat 2 ja 4 - toimivaltaiset muunnokset ja numeroiden oikea järjestys nousevaan järjestykseen. No, viimeisessä vaiheessa ole äärimmäisen varovainen: asetamme opasteet aina perustuen viimeinen epäyhtälö, joka on kirjoitettu ennen yhtälöihin siirtymistä. Tämä on universaali sääntö, joka on peritty intervallimenetelmästä.

  Joten, on olemassa kaava. Harjoitellaan.

  Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

  \[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

  Ratkaisu. Meillä on tiukka epäyhtälö muodossa $f\left(x \right) \lt 0$. Ilmeisesti kaaviomme kohdat 1 ja 2 on jo täytetty: kaikki eriarvoisuuden elementit on koottu vasemmalle, mitään ei tarvitse tuoda yhteiseen nimittäjään. Siksi siirrytään suoraan kolmanteen kohtaan.

  Yhdistämme osoittajan nollaan:

  \[\begin(align) & x-3=0; \\ & x=3. \end(tasaa)\]

  Ja nimittäjä:

  \[\begin(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(tasaa)\]

  Tässä monet ihmiset juuttuvat, koska teoriassa sinun on kirjoitettava $x+7\ne 0$, kuten ODZ vaatii (et voi jakaa nollalla, siinä kaikki). Mutta jatkossa pistelemme pois nimittäjästä tulleet pisteet, joten sinun ei tarvitse enää monimutkaista laskelmiasi - kirjoita yhtäläisyysmerkki kaikkialle ja älä huoli. Tästä ei kukaan vähennä pisteitä. :)

  Neljäs kohta. Merkitsemme tuloksena olevat juuret numeroriville:

  Kaikki kohdat on kiinnitetty, koska epätasa-arvo on tiukka

  Huomautus: kaikki kohdat on kiinnitetty pois, koska alkuperäinen eriarvoisuus on tiukka. Ja tässä ei ole väliä, tulivatko nämä pisteet osoittajasta vai nimittäjästä.

  No, katsotaanpa merkkejä. Otetaan mikä tahansa luku $((x)_(0)) \gt 3$. Esimerkiksi $((x)_(0))=100$ (mutta samalla menestyksellä voitaisiin ottaa $((x)_(0))=3.1$ tai $((x)_(0)) = 1\ 000\ 000 $). Saamme:

  Kaikkien juurien oikealla puolella meillä on siis positiivinen alue. Ja jokaisen juuren läpi kulkiessaan merkki muuttuu (tämä ei aina tule olemaan, mutta siitä lisää myöhemmin). Siksi siirrytään viidenteen kohtaan: järjestä kyltit ja valitse tarvitsemasi:

  

  Palataan viimeiseen epäyhtälöön, joka oli ennen yhtälöiden ratkaisemista. Itse asiassa se on sama kuin alkuperäinen, koska emme tehneet mitään muunnoksia tässä tehtävässä.

  Koska meidän on ratkaistava epäyhtälö muotoon $f\left(x \right) \lt 0$, varjostin välin $x\in \left(-7;3 \right)$ - se on ainoa merkitty miinusmerkillä. Tämä on vastaus.

  Vastaus: $x\in \left(-7;3 \right)$

  Siinä kaikki! Se on vaikeaa? Ei, se ei ole vaikeaa. Totta, tehtävä oli helppo. Monimutkaistaan ​​nyt tehtävää hieman ja pohditaan "kehittyneempää" eriarvoisuutta. Ratkaisessani sitä en enää anna niin yksityiskohtaisia ​​laskelmia - hahmotan vain avainkohdat. Yleensä muotoillaan samalla tavalla kuin itsenäisen työn tai tentin aikana. :)

  Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

  \[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

  Ratkaisu. Tämä on ei-tiukka epäyhtälö muodossa $f\left(x \right)\ge 0$. Kaikki nollasta poikkeavat elementit kerätään vasemmalle, eri nimittäjiä ei ole. Siirrytään yhtälöihin.

  Osoittaja:

  \[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Oikeanuoli ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(tasaa)\]

  Nimittäjä:

  \[\begin(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(tasaa)\]

  En tiedä millainen perverssi tämän ongelman loi, mutta juuret eivät selvinneet kovin hyvin: niitä olisi vaikea sijoittaa numeroriville. Ja jos juurilla $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ kaikki on enemmän tai vähemmän selvää (tämä on ainoa positiivinen luku - se on oikealla), niin $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ ja $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ vaativat lisätutkimusta: kumpi on suurempi?

  Voit selvittää sen esimerkiksi näin:

  \[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

  Toivottavasti ei tarvitse selittää, miksi murtoluku $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Tarvittaessa suosittelen muistamaan, kuinka operaatiot suoritetaan murtoluvuilla.

  Ja merkitsemme kaikki kolme juuria numeroriville:

  Osoittimen pisteet täytetään, nimittäjän pisteet pisteytetään

  Laitamme kylttejä. Voit esimerkiksi ottaa $((x)_(0))=1$ ja selvittää merkin tässä vaiheessa:

  \[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

  Viimeinen epäyhtälö ennen yhtälöitä oli $f\left(x \right)\ge 0$, joten olemme kiinnostuneita plusmerkistä.

  

  Saimme kaksi joukkoa: toinen on tavallinen segmentti ja toinen on avoin säde numeroviivalla.

  Vastaus: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \oikea )$

  Tärkeä huomautus numeroista, jotka korvaamme saadaksemme selville oikeanpuoleisimman välin etumerkin. Ei ole ehdottomasti tarpeen korvata oikeaa juuria lähinnä olevaa lukua. Voit ottaa miljardeja tai jopa "plus-ääretön" - tässä tapauksessa polynomin etumerkki suluissa, osoittajassa tai nimittäjässä määräytyy yksinomaan johtavan kertoimen etumerkillä.

  Katsotaanpa uudelleen funktiota $f\left(x \right)$ viimeisestä epäyhtälöstä:

  Sen merkintätapa sisältää kolme polynomia:

  \[\begin(tasaa) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x \right)=13x-4. \end(tasaa)\]

  Kaikki ne ovat lineaarisia binomeja, ja kaikki niiden johtavat kertoimet (luvut 7, 11 ja 13) ovat positiivisia. Siksi, kun korvataan erittäin suuria lukuja, myös itse polynomit ovat positiivisia. :)

  Tämä sääntö saattaa tuntua liian monimutkaiselta, mutta vain aluksi, kun analysoimme erittäin helppoja ongelmia. Vakavissa epätasa-arvoissa "plus-ääretön" korvaaminen antaa meille mahdollisuuden selvittää merkit paljon nopeammin kuin standardi $((x)_(0))=100$.

  Tällaisia ​​haasteita kohtaamme hyvin pian. Mutta ensin tarkastellaan vaihtoehtoista tapaa ratkaista murto-rationaaliset epätasa-arvot.

  Vaihtoehtoinen tapa

  Tätä tekniikkaa ehdotti minulle yksi oppilaistani. Itse en ole koskaan käyttänyt sitä, mutta käytäntö on osoittanut, että monien opiskelijoiden mielestä on todella kätevämpää ratkaista eriarvoisuudet tällä tavalla.

  Alkutiedot ovat siis samat. Meidän on ratkaistava rationaalinen murto-ero:

  \[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

  Ajatellaanpa: miksi polynomi $Q\left(x \right)$ on "huonompi" kuin polynomi $P\left(x \right)$? Miksi meidän täytyy harkita erillisiä juuriryhmiä (tähdellä ja ilman), ajatella puhkaisupisteitä jne.? Se on yksinkertaista: murtoluvulla on määritelmäalue, jonka mukaan murtoluvulla on järkeä vain, kun sen nimittäjä on eri kuin nolla.

  Muuten osoittajan ja nimittäjän välillä ei ole eroja: rinnastamme sen myös nollaan, etsimme juuret ja merkitsemme ne sitten numeroriville. Joten miksi et korvaa murtoviivaa (itse asiassa jakomerkkiä) tavallisella kertolaskulla ja kirjoita kaikki ODZ:n vaatimukset erillisen epäyhtälön muodossa? Esimerkiksi näin:

  \[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

  Huomaa: tämä lähestymistapa vähentää ongelman intervallimenetelmään, mutta ei vaikeuta ratkaisua ollenkaan. Loppujen lopuksi täsmennämme polynomin $Q\left(x \right)$ nollaan.

  Katsotaan kuinka tämä toimii todellisissa ongelmissa.

  Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

  \[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

  Ratkaisu. Joten siirrytään intervallimenetelmään:

  \[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(tasaa) \oikea.\]

  Ensimmäinen epäyhtälö voidaan ratkaista alkeellisella tavalla. Yhdistämme jokaisen hakasulkeen nollaan:

  \[\begin(align) & x+8=0\Oikeanuoli ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Oikeanuoli ((x)_(2))=11. \\ \end(tasaa)\]

  Toinen epäyhtälö on myös yksinkertainen:

  Merkitse numeroriville pisteet $((x)_(1))$ ja $((x)_(2))$. Ne kaikki tyrmätään, koska epätasa-arvo on tiukka:

  Oikea kohta kaivettiin ulos kahdesti. Tämä on hyvä.

  Kiinnitä huomiota kohtaan $x=11$. Osoittautuu, että se on "kaksoispisteinen": toisaalta pistämme sen pois epätasa-arvon vakavuuden vuoksi, toisaalta DL:n lisävaatimuksen vuoksi.

  Joka tapauksessa siitä tulee vain puhjennut kohta. Siksi järjestämme merkit epäyhtälölle $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - viimeinen, jonka näimme ennen yhtälöiden ratkaisemisen aloittamista:

  

  Olemme kiinnostuneita positiivisista alueista, koska ratkaisemme epäyhtälöä muodossa $f\left(x \right) \gt 0$ - varjostamme ne. Ei jää muuta kuin kirjoittaa vastaus muistiin.

  Vastaus. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

  Käyttämällä tätä ratkaisua esimerkkinä haluan varoittaa teitä aloittelevien opiskelijoiden yleisestä virheestä. Nimittäin: älä koskaan avaa sulkuja eriarvoisuuksissa! Päinvastoin, yritä ottaa kaikki huomioon - tämä yksinkertaistaa ratkaisua ja säästää sinua monilta ongelmilta.

  Kokeillaan nyt jotain monimutkaisempaa.

  Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

  \[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

  Ratkaisu. Tämä on ei-tiukka epäyhtälö muodossa $f\left(x \right)\le 0$, joten tässä on kiinnitettävä erityistä huomiota varjostettuihin pisteisiin.

  Siirrytään intervallimenetelmään:

  \[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ei 0. \\ \end(tasaa) \oikea.\]

  Mennään yhtälöön:

  \[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Oikeanuoli ((x )_(1)) = 6,5; \\ & 12x-9=0\Nuoli oikealle ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\nuoli oikealle ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(tasaa)\]

  Otamme huomioon lisävaatimuksen:

  Merkitsemme kaikki tuloksena olevat juuret numeroriville:

  Jos piste on sekä rei'itetty että täytetty, se katsotaan rei'itetyksi

  Jälleen kaksi pistettä "päällekkäin" - tämä on normaalia, se tulee aina olemaan näin. On vain tärkeää ymmärtää, että piste, joka on merkitty sekä rei'itetyksi että ylimaalatuksi, on itse asiassa rei'itetty piste. Nuo. "Pikkuva" on vahvempi toiminta kuin "maalaaminen".

  Tämä on ehdottoman loogista, koska nipistämällä merkitsemme kohtia, jotka vaikuttavat funktion etumerkkiin, mutta eivät itse osallistu vastaukseen. Ja jos jossain vaiheessa numero ei enää sovi meille (esimerkiksi se ei kuulu ODZ: hen), ylitämme sen harkinnasta tehtävän loppuun asti.

  Yleensä lopeta filosofointi. Asetamme kyltit ja maalaamme ne välit, jotka on merkitty miinusmerkillä:

  

  Vastaus. $x\in \left(-\infty ;-2.2 \right)\bigcup \left[ 0.75;6.5 \right]$.

  Ja jälleen halusin kiinnittää huomionne tähän yhtälöön:

  \[\vasen(2x-13 \oikea)\vasen(12x-9 \oikea)\vasen(15x+33 \oikea)=0\]

  Vielä kerran: älä koskaan avaa sulkuja sellaisissa yhtälöissä! Teet asioista vain vaikeampia itsellesi. Muista: tulo on yhtä suuri kuin nolla, kun vähintään yksi tekijöistä on nolla. Tämän seurauksena tämä yhtälö yksinkertaisesti "hajoaa" useiksi pienemmiksi, jotka ratkaisimme edellisessä tehtävässä.

  Ottaen huomioon juurten moninaisuus

  Edellisistä ongelmista on helppo nähdä, että vaikeimpia ovat ei-tiukat epätasa-arvot, koska niissä pitää seurata varjostettuja pisteitä.

  Mutta maailmassa on vielä suurempi pahuus - nämä ovat eriarvoisuuksien monia juuria. Täällä sinun ei enää tarvitse seurata joitain varjostettuja pisteitä - tässä epätasa-arvomerkki ei välttämättä muutu yhtäkkiä, kun kuljet samojen pisteiden läpi.

  Emme ole vielä käsitelleet mitään tällaista tällä oppitunnilla (vaikka samanlainen ongelma kohdattiin usein intervallimenetelmässä). Siksi otamme käyttöön uuden määritelmän:

  Määritelmä. Yhtälön $((\left(x-a \right))^(n))=0$ juuri on yhtä suuri kuin $x=a$ ja sitä kutsutaan $n$:nnen kerrannaisuuden juureksi.

  Itse asiassa emme ole erityisen kiinnostuneita moninkertaisuuden tarkasta arvosta. Ainoa asia, jolla on merkitystä, on onko tämä sama luku $n$ parillinen vai pariton. Koska:

  1. Jos $x=a$ on parillisen monikertaisuuden juuri, niin funktion etumerkki ei muutu sen läpi kulkiessaan;
  2. Ja päinvastoin, jos $x=a$ on parittoman monikertaisuuden juuri, funktion etumerkki muuttuu.

  Kaikki aiemmat tällä oppitunnilla käsitellyt ongelmat ovat erikoistapauksia parittoman moninkertaisuuden juuresta: kaikkialla moninkertaisuus on yhtä suuri kuin yksi.

  Ja kauemmas. Ennen kuin aloitamme ongelmien ratkaisemisen, haluaisin kiinnittää huomionne yhteen hienovaraisuuteen, joka näyttää kokeneelle opiskelijalle itsestään selvältä, mutta ajaa monet aloittelijat tyrmistöön. Nimittäin:

  Kertoimen $n$ juuri syntyy vain siinä tapauksessa, kun koko lauseke nostetaan tähän potenssiin: $((\left(x-a \right))^(n))$, ei $\left(((x) ^( n))-a \oikea)$.

  Jälleen kerran: hakasulke $((\left(x-a \right))^(n))$ antaa meille $n$-kertoimen juuren $x=a$, mutta hakasulke $\left(((x)^( n)) -a \oikea)$ tai, kuten usein tapahtuu, $(a-((x)^(n)))$ antaa meille juuren (tai kaksi juuria, jos $n$ on parillinen) , riippumatta siitä, mikä on $n$.

  Vertailla:

  \[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

  Tässä kaikki on selvää: koko haarukka nostettiin viidenteen tehoon, joten saamamme lähtö oli viidennen tehon juuri. Ja nyt:

  \[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

  Meillä on kaksi juuria, mutta molemmilla on ensimmäinen monikertaisuus. Tai tässä toinen:

  \[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

  Ja älä anna kymmenennen asteen häiritä sinua. Pääasia on, että 10 on parillinen luku, joten lähdössä meillä on kaksi juuria, ja molemmilla on jälleen ensimmäinen kerrannainen.

  Yleisesti ottaen ole varovainen: moninkertaisuus tapahtuu vain silloin, kun aste viittaa koko sulkuihin, ei vain muuttujaan.

  Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

  \[\frac(((x)^(2))((\vasen(6-x \oikea))^(3))\vasen(x+4 \oikea))(((\vasen(x+7) \oikea))^(5)))\ge 0\]

  Ratkaisu. Yritetään ratkaista se vaihtoehtoisella tavalla - siirtymällä osamäärästä tuotteeseen:

  \[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(tasaa )\oikea.\]

  Käsittelemme ensimmäistä epäyhtälöä intervallimenetelmällä:

  \[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \oikea))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Oikea nuoli x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Oikeanuoli x=-7\vasen(5k \oikea). \\ \end(tasaa)\]

  Lisäksi ratkaisemme toisen epäyhtälön. Itse asiassa olemme jo ratkaisseet sen, mutta jotta arvioijat eivät löydä vikaa ratkaisussa, on parempi ratkaista se uudelleen:

  \[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

  Huomaa: viimeisessä epäyhtälössä ei ole kertoimia. Itse asiassa: mitä eroa sillä on, kuinka monta kertaa ylität numeroviivan pisteen $x=-7$? Ainakin kerran, vähintään viisi kertaa, tulos on sama: puhjennut piste.

  Merkitään kaikki, mitä meillä on numerorivillä:

  

  Kuten sanoin, piste $x=-7$ puhkaistaan ​​lopulta. Kertoimet on järjestetty epäyhtälön ratkaisun perusteella intervallimenetelmällä.

  Jäljelle jää vain kyltien sijoittaminen:

  

  Koska piste $x=0$ on parillisen monikertaisuuden juuri, etumerkki ei muutu sen läpi kulkiessaan. Jäljellä olevilla pisteillä on pariton moninkertaisuus, ja kaikki on yksinkertaista niiden kanssa.

  Vastaus. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

  Jälleen kerran, kiinnitä huomiota $x=0$. Tasaisen moninaisuuden ansiosta syntyy mielenkiintoinen vaikutus: kaikki sen vasemmalla puolella on maalattu päälle, kaikki oikealla on myös maalattu päälle ja itse piste on kokonaan maalattu.

  Tämän seurauksena sitä ei tarvitse eristää vastausta tallennettaessa. Nuo. ei tarvitse kirjoittaa jotain kuten $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (vaikka muodollisesti tällainen vastaus olisi myös oikea). Sen sijaan kirjoitamme välittömästi $x\in \left[ -4;6 \right]$.

  Tällaiset vaikutukset ovat mahdollisia vain, kun juuret ovat parillisia. Ja seuraavassa ongelmassa kohtaamme tämän vaikutuksen käänteisen "ilmenemisen". Valmis?

  Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

  \[\frac(((\vasen(x-3 \oikea))^(4))\vasen(x-4 \oikea))(((\vasen(x-1 \oikea))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

  Ratkaisu. Tällä kertaa noudatamme vakiomallia. Yhdistämme osoittajan nollaan:

  \[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Nuoli oikealle ((x)_(2))=4. \\ \end(tasaa)\]

  Ja nimittäjä:

  \[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Nuoli oikealle x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(tasaa)\]

  Koska ratkaisemme ei-tiukkaa epäyhtälöä muodossa $f\left(x \right)\ge 0$, nimittäjän juuret (joissa on tähti) otetaan pois ja osoittajan juuret varjostetaan.

  

  Asetamme kylttejä ja varjostamme plus-merkillä merkityt alueet:

  Piste $x=3$ on eristetty. Tämä on osa vastausta

  Ennen kuin kirjoitat lopullisen vastauksen, katsotaanpa kuvaa tarkasti:

  1. Pisteellä $x=1$ on parillinen monikerta, mutta se on itse pisteytetty. Tästä syystä se on eristettävä vastauksessa: sinun on kirjoitettava $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, eikä $x\in \left(-\ infty ;2 \right)$.
  2. Pisteellä $x=3$ on myös parillinen monikerta ja se on varjostettu. Kylttien järjestely osoittaa, että piste itse sopii meille, mutta askel vasemmalle tai oikealle - ja löydämme itsemme alueelle, joka ei todellakaan sovi meille. Tällaisia ​​pisteitä kutsutaan eristetyiksi ja ne kirjoitetaan muodossa $x\in \left\(3 \right\)$.

  Yhdistämme kaikki vastaanotetut palaset yhteiseksi joukoksi ja kirjoitamme vastauksen ylös.

  Vastaus: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

  Määritelmä. Eriarvoisuuden ratkaiseminen tarkoittaa löytää kaikki sen ratkaisut tai todista, että tämä joukko on tyhjä.

  Vaikuttaa: mikä tässä voi olla käsittämätöntä? Kyllä, tosiasia on, että joukkoja voidaan määritellä eri tavoin. Kirjoita viimeiseen tehtävään vastaus uudelleen:

  Luemme kirjaimellisesti, mitä on kirjoitettu. Muuttuja "x" kuuluu tiettyyn joukkoon, joka saadaan yhdistämällä ("U"-merkki) neljä erillistä joukkoa:

  • Väli $\left(-\infty ;1 \right)$, joka tarkoittaa kirjaimellisesti "kaikkia yhtä pienempiä numeroita, mutta ei itse yksikköä";
  • Väli $\left(1;2 \right)$, ts. "kaikki luvut välillä 1-2, mutta eivät itse numerot 1 ja 2";
  • Joukko $\left\( 3 \right\)$, joka koostuu yhdestä numerosta - kolmesta;
  • Väli $\left[ 4;5 \right)$ sisältää kaikki luvut välillä 4-5, sekä itse neljän, mutta ei viittä.

  Kolmas kohta kiinnostaa tässä. Toisin kuin intervallit, jotka määrittelevät äärettömät lukujoukot ja osoittavat vain näiden joukkojen rajat, joukko $\left\( 3 \right\)$ määrittää tiukasti yhden luvun luetteloimalla.

  Ymmärtääksemme, että luettelemme tiettyjä sarjaan sisältyviä numeroita (eikä aseta rajoja tai mitään muuta), käytetään kiharoita. Esimerkiksi merkintä $\left\( 1;2 \right\)$ tarkoittaa täsmälleen "joukkoa, joka koostuu kahdesta luvusta: 1 ja 2", mutta ei segmenttiä 1 - 2. Älä sekoita näitä käsitteitä missään olosuhteissa. .

  Kertomien lisäämissääntö

  No, tämän päivän oppitunnin lopussa vähän tinaa Pavel Berdovilta. :)

  Huomaavaiset opiskelijat ovat luultavasti jo miettineet: mitä tapahtuu, jos osoittajalla ja nimittäjällä on samat juuret? Joten seuraava sääntö toimii:

  Identtisten juurien monikerrat lisätään. Aina. Vaikka tämä juuri esiintyisi sekä osoittajassa että nimittäjässä.

  Joskus on parempi päättää kuin puhua. Siksi ratkaisemme seuraavan ongelman:

  Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

  \[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\vasen(((x)^(2))-16 \oikea)\vasen(((x)^(2))+ 9x+14 \oikea))\ge 0\]

  \[\begin(tasaa) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(tasaa)\]

  Ei vielä mitään erikoista. Yhdistämme nimittäjän nollaan:

  \[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Nuoli oikealle x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Nuoli oikealle x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(tasaa)\]

  Kaksi identtistä juuria löydettiin: $((x)_(1))=-2$ ja $x_(4)^(*)=-2$. Molemmilla on ensimmäinen moninkertaisuus. Siksi korvaamme ne yhdellä juurella $x_(4)^(*)=-2$, mutta kerrannaisuudella 1+1=2.

  Lisäksi on olemassa myös identtiset juuret: $((x)_(2))=-4$ ja $x_(2)^(*)=-4$. Ne ovat myös ensimmäisen kerrannaisuudessa, joten vain $x_(2)^(*)=-4$ moninkertaisuudesta 1+1=2 jää jäljelle.

  Huomaa: molemmissa tapauksissa jätimme tarkalleen "puhkaistun" juuren ja jätimme "maalatun" pois tarkastelusta. Koska oppitunnin alussa sovittiin: jos piste on sekä puhjennut että maalattu päälle, niin katsomme sen silti puhkaistuna.

  Tämän seurauksena meillä on neljä juuria, ja ne kaikki leikattiin pois:

  \[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \oikea); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \oikea). \\ \end(tasaa)\]

  Merkitsemme ne numeroriville ottaen huomioon moninkertaisuuden:

  

  Asetamme kylttejä ja maalaamme meitä kiinnostavien alueiden päälle:

  

  Kaikki. Ei yksittäisiä pisteitä tai muita vääristymiä. Voit kirjoittaa vastauksen muistiin.

  Vastaus. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

  Sääntö kertoimien kertomisesta

  Joskus tapahtuu vielä epämiellyttävämpi tilanne: yhtälö, jolla on useita juuria, nostetaan itse johonkin potenssiin. Tässä tapauksessa kaikkien alkuperäisten juurien kertoimet muuttuvat.

  Tämä on harvinaista, joten useimmilla opiskelijoilla ei ole kokemusta tällaisten ongelmien ratkaisemisesta. Ja sääntö tässä on:

  Kun yhtälö nostetaan potenssiin $n$, myös sen kaikkien juurien kertoimet kasvavat $n$ kertaa.

  Toisin sanoen tehoon nostaminen johtaa kertoimien kertomiseen samalla teholla. Katsotaanpa tätä sääntöä esimerkin avulla:

  Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

  \[\frac(x((\vasen(((x)^(2))-6x+9 \oikea))^(2))((\vasen(x-4 \oikea))^(5)) )(((\vasen(2-x \oikea))^(3))((\vasen(x-1 \oikea))^(2)))\le 0\]

  Ratkaisu. Yhdistämme osoittajan nollaan:

  Tulo on nolla, kun vähintään yksi tekijöistä on nolla. Kaikki on selvää ensimmäisellä tekijällä: $x=0$. Mutta sitten ongelmat alkavat:

  \[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\vasen(2k \oikea); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\vasen(2k \oikea)\vasen(2k \oikea) \ \& ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]

  Kuten näemme, yhtälöllä $((x)^(2))-6x+9=0$ on yksi juuri toisen kerrannaisuudessa: $x=3$. Sitten tämä koko yhtälö neliötetään. Siksi juuren moninkertaisuus on $2\cdot 2=4$, minkä kirjoitimme lopulta muistiin.

  \[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

  Myöskään nimittäjän kanssa ei ole ongelmia:

  \[\begin(tasaa) & ((\vasen(2-x \oikea))^(3))((\vasen(x-1 \oikea))^(2))=0; \\ & ((\vasen(2-x \oikea))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\vasen(3k \oikea); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Oikeanuoli x_(2)^(*)=1\vasen(2k \oikea). \\ \end(tasaa)\]

  Yhteensä saimme viisi pistettä: kaksi lävistettyä ja kolme maalattua. Osoittajassa ja nimittäjässä ei ole yhtäpitäviä juuria, joten merkitsemme ne vain numeroriville:

  

  Järjestämme kyltit moninkertaisuudet huomioiden ja maalaamme meitä kiinnostavilla aikaväleillä:

  Jälleen yksi eristetty piste ja yksi puhjennut

  Tasaisen moninaisuuden juurten vuoksi saimme jälleen pari "epästandardista" elementtiä. Tämä on $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, ei $x\in \left[ 0;2 \right)$, ja myös eristetty piste $ x\in \left\( 3 \right\)$.

  Vastaus. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

  Kuten näet, kaikki ei ole niin monimutkaista. Pääasia on tarkkaavaisuus. Tämän oppitunnin viimeinen osa on omistettu muunnoksille - samoille, joista keskustelimme aivan alussa.

  Esimuunnokset

  Tässä osiossa tarkastelevia eriarvoisuuksia ei voida kutsua monimutkaisiksi. Toisin kuin aikaisemmissa tehtävissä, täällä joudut kuitenkin soveltamaan taitoja rationaalisten murtolukujen teoriasta - tekijöihin jakamiseen ja vähentämiseen yhteiseen nimittäjään.

  Keskustelimme tästä aiheesta yksityiskohtaisesti aivan tämän päivän oppitunnin alussa. Jos et ole varma, että ymmärrät mistä puhun, suosittelen palaamaan takaisin ja toistamaan sen. Koska ei ole mitään järkeä tunkea menetelmiä epäyhtälöiden ratkaisemiseen, jos "kellut" murtolukujen muuntamisessa.

  Muuten, kotitehtävissä tulee olemaan myös monia vastaavia tehtäviä. Ne on sijoitettu erilliseen alaosioon. Ja sieltä löydät hyvin ei-triviaaleja esimerkkejä. Mutta tämä tulee olemaan kotitehtävissä, ja nyt tarkastellaan paria tällaista epätasa-arvoa.

  Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

  \[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

  Ratkaisu. Siirrä kaikki vasemmalle:

  \[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

  Tuomme yhteisen nimittäjän, avaa sulut ja tuomme samanlaiset termit osoittajaan:

  \[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ oikea))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\vasen(((x)^(2))-2x-x+2 \oikea))(x\vasen(x-1 \oikea)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

  Nyt meillä on edessämme klassinen murto-rationaalinen epäyhtälö, jonka ratkaiseminen ei ole enää vaikeaa. Ehdotan sen ratkaisemista vaihtoehtoisella menetelmällä - intervallimenetelmällä:

  \[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(tasaa)\]

  Älä unohda rajoitusta, joka tulee nimittäjästä:

  Merkitsemme kaikki numerot ja rajoitukset numeroriville:

  Kaikilla juurilla on ensimmäinen moninaisuus. Ei ongelmaa. Asetamme vain kyltit ja maalaamme tarvitsemamme alueet:

  

  Tässä kaikki. Voit kirjoittaa vastauksen muistiin.

  Vastaus. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \oikea)$.

  Tämä oli tietysti hyvin yksinkertainen esimerkki. Joten katsotaan nyt ongelmaa vakavammin. Ja muuten, tämän tehtävän taso on melko yhdenmukainen itsenäisen ja testityön kanssa tästä aiheesta 8. luokalla.

  Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

  \[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

  Ratkaisu. Siirrä kaikki vasemmalle:

  \[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

  Ennen kuin tuomme molemmat murtoluvut yhteiseen nimittäjään, kerrotaan nämä nimittäjät. Entä jos samat sulut tulevat ulos? Ensimmäisellä nimittäjällä se on helppoa:

  \[((x)^(2))+8x-9=\vasen(x-1 \oikea)\vasen(x+9 \oikea)\]

  Toinen on hieman vaikeampi. Voit vapaasti lisätä vakiotekijän hakasulkeeseen, jossa murtoluku näkyy. Muista: alkuperäisessä polynomissa oli kokonaislukukertoimia, joten on hyvä mahdollisuus, että tekijöissä on kokonaislukukertoimia (itse asiassa on aina, ellei diskriminantti ole irrationaalinen).

  \[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\vasen(x-1 \oikea)\vasen(3x-2 \oikea) \end(tasaa)\]

  Kuten näet, on yleinen hakasulku: $\left(x-1 \right)$. Palaamme epätasa-arvoon ja tuomme molemmat murtoluvut yhteiseen nimittäjään:

  \[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ vasen(3x-2 \oikea))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(tasaa)\]

  Yhdistämme nimittäjän nollaan:

  \[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( kohdistaa)\]

  Ei monikertaisia ​​tai yhteneviä juuria. Merkitsemme riville neljä numeroa:

  Laitamme kylttejä:

  

  Kirjoitamme vastauksen muistiin.

  Vastaus: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5.5;+\infty \ right) $.